Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 nâng cao - Quan hệ vuông góc

76 trang nhungbui22 12/08/2022 2751

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 nâng cao - Quan hệ vuông góc", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

ly_thuyet_va_bai_tap_hinh_hoc_lop_11_nang_cao_quan_he_vuong.docx

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 nâng cao - Quan hệ vuông góc

QUAN HỆ VUÔNG GÓC A – LÝ THUYẾT CHUNG I - VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1. Định nghĩa và các phép toán: ✓ Định nghĩa, tính chất và các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. ✓ Phép cộng, trừ vectơ:    • Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kì, ta có: AB BC AC .    • Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB AD AC .     • Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' , ta có: AB AD AA' AC '. ✓ Lưu ý: • Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Hai vectơ a và b (b 0 ) !k ¡ : a k.b . • Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( k 1), điểm O tùy ý.      OA kOB Ta có: MA k.MB OM 1 k • Trung điểm của đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, điểm O tùy ý.      Ta có: IA IB 0 OA OB 2OI • Trọng tâm của tam giác: Cho G là trọng tâm ABC, điểm O tùy ý.        Ta có: GA GB GC 0 OA OB OC 3OG 2. Sự đồng phẳng của ba vectơ: ✓ Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. ✓ Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b, c , trong đó a và b không cùng phương. Khi đó: a, b, c đồng phẳng !m, n ¡ : c m.a n.b ✓ Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng, x tùy ý. Khi đó: !m, n, p ¡ : x m.a n.b p.c 3. Tích vô hướng của hai vectơ:   ✓ Góc giữa hai vectơ trong không gian: Ta có: AB u, AC v . Khi đó: u, v B· AC (00 B· AC 1800 ) ✓ Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: Cho u, v 0 . Khi đó: u.v u . v .cos u,v • Với u 0 hoặc v 0 , quy ước: u.v 0 • Với u, v 0 , ta có: u  v u.v 0 II - GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
Vectơ a 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của a song song hoặc trùng với đường thẳng d. 2. Góc giữa hai đường thẳng: ✓ Cho a//a ' , b//b' và a ' , b ' cùng đi qua một điểm. Khi đó: a¶,b a· ',b' ✓ Giả sử u, v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b và u,v . 0 0 0 90 Khi đó: a¶,b 0 0 0 180 90 180 ✓ Nếu a//b hoặc a  b thì a¶,b 00 . 3. Hai đường thẳng vuông góc: ✓ a  b a¶,b 900 . ✓ Giả sử u, v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b. Khi đó: a  b u.v 0 ✓ Cho a//b . Nếu a  c thì b  c . Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. III - ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG 1. Định nghĩa: d  ( ) d  a, a  ( ) d  a d  b 2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: d  ( ) a,b  ( ) a b I 3. Tính chất: ✓ Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. a b ✓  b  a a b ✓ a  a//b b  //  ✓ a   a   ✓  a //    a a// ✓ b  a b 
a  ✓ a  b a//  b 4. Định lý ba đường vuông góc: Cho a  và b  , b ' là hình chiếu của b lên . Khi đó: a  b a  b' 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: ✓ Nếu d vuông góc với thì góc giữa d và là 900 . ✓ Nếu d không vuông góc với thì góc giữa d và là thì góc giữa d và d ' với d ' là hình chiếu của d trên . ✓ Chú ý: góc giữa d và là thì 00 900 . IV - GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 1. Góc giữa hai mặt phẳng: a  ✓ Nếu thì góc giữa hai mặt phẳng và  là góc giữa hai đường thẳng a và b. b   a  d,a  ( ) ✓ Giả sử ( )  ( ) d . Từ điểm I d , dựng thì góc giữa hai mặt phẳng b  d,b  ( ) và  là góc giữa hai đường thẳng a và b . 0 0 ✓ Chú ý: Gọi góc giữa hai mặt phẳng và  là thì 0 ;90 . 2. Diện tích hình chiếu của một đa giác: Gọi S là diện tích của đa giác ℋ nằm trong và S’ là diện tích của đa giác ℋ’ là hình chiếu vuông góc của đa giác ℋ lên  . Khi đó S ' S.cos với là góc giữa hai mặt phẳng và  . 3. Hai mặt phẳng vuông góc: Nếu hai mặt phẳng vuông góc mặt phẳng  thì góc giữa hai mặt phẳng và  0 bằng 90 . a  ( ) Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: ( )  ( ) a  ( ) 4. Tính chất:     d ✓ a   a  a  d   A ✓ a  A a a  
  ✓    d     d V - KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng a) Cho điểm O và đường thẳng . Hạ OH  (H ) . Khi đó khoảng cách từ O tới bằng độ dài đoạn OH . Kí hiệu là d O, . b) d O, OA ,với A là điểm bất kì thuộc . c) Cho hai đường thẳng a và cắt nhau tại M . Trên a lấy hai d A, MA điểm A, B . Khi đó: d B, MB d) Cho ABC vuông tại A . Dựng đường cao AH , khi đó ta có: AH d A, BC và AH được tính theo công thức: 1 1 1 AB.AC hoặc AH . AH 2 AB2 AC 2 BC 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng a) Định nghĩa Cho điểm O và mặt phẳng . Dựng OH  , H . Khi đó khoảng cách từ O tới bằng độ dài đoạn OH và được kí hiệu là d O, . b) Giả sử đường thẳng cắt tại M . Trên lấy hai điểm d A, AM A, B . Khi đó: . d B, BM
c) (Tính chất tứ diện vuông) Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu của O trên ABC . 1 1 1 1 Khi đó OH d O, ABC và . OH 2 OA2 OB2 OC 2 d) Cho đường thẳng song song với mặt phẳng . Khi đó khoảng cách giữa và được định nghĩa bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc tới . e) Cho hai mặt phẳng và  song song. Khi đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng và  là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc tới  . 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau + Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . Khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng vuông góc với cả hai đường thẳng a và b và cắt cả hai đường thẳng a và b. được gọi là đường vuông góc chung của a và b. Đoạn thẳng AB được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b bằng độ dài đoạn vuông góc chung AB + Nếu gọi (P);(Q) là hai mặt phẳng song song với nhau và lần lượt chứa hai thẳng a và b chéo nhau thì AB=d(A;(Q))=d(b;(P))=d(( P);(Q) Nhận xét: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn còn lại. - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
B - BÀI TẬP VÉC TƠ - TÍNH VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Câu 1. Cho tứ diện ABCD . Lấy các điểm M , N, P,Q lần lượt thuộc AB, BC,CD, DA sao cho  1   2   1    AM AB, BN BC, AQ AD, DP k DC . 3 3 2 Hãy xác định k để M , N, P,Q đồng phẳng. 1 1 1 1 A. k B. k C. k D. k 2 3 4 5  1  Câu 2. Cho hình hộp ABCD.A B C D . M là điểm trên cạnh AD sao cho AM AD. N là điểm 1 1 1 1 2 P trên đường thẳng BD1 . là điểm trên đường thẳng CC1 sao cho M , N, P thẳng hàng.  MN Tính  . NP 1 2 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 4 Câu 3. Giả sử M , N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC cỏa tứ diện SABC . Gọi I là giao điểm của ba mặt phẳng BCM , CAN , ABP và J là giao điểm của ba mặt phẳng ANP , BPM , CMN . Ta được S, I, J thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng? MS NS PS 1 JS MS NS PS 1 JS A. B. MA NB PC 2 JI MA NB PC 4 JI MS NS PS 1 JS MS NS PS JS C. D. 1 MA NB PC 3 JI MA NB PC JI Câu 4. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CB, AD và G là   trọng tâm tam giác BCD, là góc giữa 2 vectơ MG và NP . Khi đó cos có giá trị là: 2 2 2 1 A. B. C. D. 2 3 6 2 Câu 5. Cho tứ diện ABCD có DA DB DC và B· DA 600 , ·ADC 900 , B· DC 1200 . Trong các mặt của tứ diện đó: A. Tam giác ABD có diện tích lớn nhất. B. Tam giác BCD có diện tích lớn nhất. C. Tam giác ACD có diện tích lớn nhất. D. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất. Câu 6. Cho hình lăng trụ ABCD.A B C D . Hình chiếu vuông góc của A lên ABC trùng với trực tâm H của tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây không đúng? A. AA B B  BB C C . B. AA H  A B C . C. BB C C là hình chữ nhật. D. BB C C  AA H . Câu 7. Cho tứ diện OABC cóOA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng?
1 1 1 1 1 1 1 1 A. . B. . OH 2 AB2 AC2 BC2 OA2 AB2 AC2 BC2 1 1 1 1 1 1 1 1 C. . D. . OA2 OB2 OC2 BC2 OH 2 OA2 OB2 OC2 Câu 8. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB BC a , AD 2a . Cạnh SA 2a và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh AB và là mặt phẳng qua M vuông góc với AB . Diện tích thiết diện của mặt phẳng với hình chóp S.ABCD là 3a2 a2 A. S a2 . B. S . C. , S . D. S 2a2 . 2 2 3 Câu 9. Cho tứ diện SABC có hai mặt ABC và SBC là hai tam giác đều cạnh a , SA a . M 2 là điểm trên AB sao cho AM b 0 b a . P là mặt phẳng qua M và vuông góc với BC. Thiết diện của P và tứ diện SABC có diện tích bằng? 2 2 2 2 3 3 a b 3 a b 3 3 a b 3 3 a b A. . . B. . . C. . D. . 4 a 4 a 16 a 8 a Câu 10. Cho lăng trụ đứng OAB.O ' A' B ' có các đáy là các tam giác vuông cân OA OB a, AA' a 2 . Gọi M , P lần lượt là trung điểm các cạnhOA, AA' . Tính diện tích thiết diện khi cắt lăng trụ bởi B 'MP ? a2 15 5a2 15 5a2 15 a2 15 A. B. C. D. 12 2 12 2 6 2 6 2 Câu 11. Cho tứ diện ABCD có AB  CD , AB CD 6 ; M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC xBC 0 x 1 . Mặt phẳng P song song với AB và CD lần lượt cắt BC , AC , AD, BD tại M , N , P , Q . Diện tích lớn nhất của tứ giác MNPQ là: A. 9 . B. 6 . C. 10. D. 12. Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có SA a, SB b, SC c . Một mặt phẳng luôn đi qua trọng tâm của tam giác ABC , cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A', B ',C '. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 . SA'2 SB '2 SC '2 3 2 2 9 A. B. C. D. a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Câu 13. Cho tứ diện ABCD có BC DA a,CA DB b, AB DC c Gọi S là diện tích toàn phần ( tổng diện tích tất cả các mặt). Tính giá trị lớn nhất của 1 1 1 . a2b2 b2c2 c2a2 9 3 2 2 A. B. C. D. S 2 S S 2 S
Câu 14. Cho tứ diện ABCD có DA, DB, DC đôi một vuông góc. Gọi , , lần lượt là góc giữa các đường thẳng DA, DB, DC với mặt phẳng ABC . Tìm Giá trị nhỏ nhất của M 2 cot2 2 cot2  2 cot2  . A. 64 B. 8 C. 1 D. 64 2 Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a, SA a 3 và SA  ABC . Gọi M là điểm trên cạnh AB và AM x 0 x a , mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AB Giả sử thiết diện của hình chóp S.ABC với là tứ giác MNPQ . a) Hỏi tứ giác MNPQ là hình gì A. Hình chữ nhật B. hình vuông C. hình thang D. hình bình hành Câu 16. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , đường cao SO 2a . Gọi M là điểm thuộc đường cao AA' của tam giác ABC . Xét mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AA' . Đặt AM x . Giả sử tồn tại thiết diện của hình chóp khi cắt bởi . Giả sử tính được diện tích thiết diện theo a và x . Xác định vị trí của M để diện tích thiết diện lớn nhất. a 3 3a 3 3a 3a 3 A. x B. x C. x D. x 8 2 8 8 Câu 17. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc.M là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC . MA2 MB2 MC 2 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của T . OA2 OB2 OC 2 A. minT 3 B. minT 2 C. minT 4 D. minT 6 Câu 18. Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh bên bằng 200m , góc ·ASB 15 bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS . Trong đó điểm L cố định và LS 40m . Hỏi khi đó cần dung ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí?
S L K J I H G F E B C A D A. 40 67 40 mét. B. 20 111 40 mét. C. 40 31 40 mét. D. 40 111 40 mét. Câu 19. Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Gọi là góc giữa đường thẳng AG và mặt phẳng EBCH . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 2 A. 30 . B. 45. C. tan 2 . D. tan . 3 Câu 20. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính côsin của góc giữa mặt bên và mặt đáy. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3 Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và tam giác ABC không vuông gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác SBC . Tính số đó góc tạo bởi HK và mặt phẳng SBC . A. 45. B. 65 . C. 90 . D. 120 . Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp ABCD . Gọi a là góc giữa BD và mp SAD . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 3 3 A. cos a . B. sin a . C. a 60 . D. a 30. 2 2 2 2 Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  ABCD và SA a 6 . Gọi là góc giữa SC và SAB ,  là góc giữa AC và SBC . Giá trị tan sin  bằng? 1 7 1 19 7 21 1 20 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7
Câu 24. Cho hình chóp đều S.ABCD , đáy có cạnh bằng a và có tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , BC . Biết góc giữa MN và ABCD bằng 60 . Tính góc giữa MN và SAO . 1 1 3 1 A. arcsin . B. arcsin . C. arcsin . D. arcsin . 2 5 5 2 5 4 5 Câu 25. Cho hình chóp đều S.ABCD . Thiết diện qua đỉnh A và vuông góc với cạnh bên SC có diện tích thiết diện đó bằng nửa diện tích đáy. Gọi là góc giữa cạnh bên và đáy. Tính . 1 33 1 33 A. arcsin . B. arcsin . 4 8 1 33 2 33 C. arcsin . D. arcsin . 8 8 Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB 2a , SA vuông góc với ABCD và SA a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD . 10 5 10 10 A. arccos . B. arccos . C. arccos . D. arccos . 5 5 10 3 Câu 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA BC a , SA  ABC , SA a . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng SEF và SBC . 3 5 1 3 A. . B. . C. . D. . 10 10 10 2 10 Câu 28. Cho ba tia Ox , Oy , Oz trong không gian sao cho x· Oy 120 , z·Oy 90 , x· Oz 60 Trên ba tia ấy lần lượt lấy các điểm A , B , C sao cho OA OB OC a . Gọi ,  lần lượt là góc giữa mặt phẳng ABC với mặt phẳng OBC và mặt phẳng OAC . Tính tan  tan  ? 1 3 A. . B. 2 . C. . D. 1. 2 2 Câu 29. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC cân đỉnh A, ·ABC , BC ' tạo đáy góc  . Gọi · 0 I là trung điểm của AA’, biết BIC 90 . Tính tan2 tan2  1 A. . B. 2 . C. 3 . D. 1. 2 Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông tại B . Cho · 0 · 0 BSC 45 , gọi ASB . Tìm sin để góc giữa hai mặt phẳng ASC và BSC bằng 60 15 2 3 2 1 A. sin . B. sin . C. sin . D. sin . 5 2 9 5 KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐÉN MẶT PHẲNG Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB AD a , CD 2a , cạnh SD vuông góc với ABCD , SD a . Tính d A; SBC .
a 3 a 6 a 6 A. . B. a 3 . C. . D. . 3 6 3 · o Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , SA 3a , AB BC 2a , ABC 120 . Tính khoảng cách từ A đến SBC . a 3 3a A. a . B. 2a . C. . D. . 2 2 Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nữa lục giác đều với đáy lớn AD 2a SA  ABCD và SA a 3 . Tính khoảng cách từ A đến SBC . a 3 a 3 a 3 A. a . B. . C. . D. . 2 5 7 Câu 34. 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , đường chéo AC a , mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; góc giữa SC và o ABCD bằng 60 . Gọi I là trung điểm của AB . Tính khoảng cách từ I đến SBC . 3a 13 a 3 a 13 3a 13 A. . B. . C. . D. . 26 4 26 16   Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, ABC BAD 90 , BA BC a, AD 2a .Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2 .Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tính d H; SCD a 2a 2a a a A. B. C. D. 2 3 3 3 3 Câu 36. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB 3a , BC 4a , mặt phẳng · SBC vuông góc với mặt phẳng ABC . Biết SB 2a 3 và SBC 30. Tính d B; SAC . 3a 7 6a 7 A. . B. 6a 7 . C. . D. a 7 . 14 7  Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, BAD 60 ; 3a SO  (ABCD);SO .Đặt x d O; SBC ; y d A; SBC ; z d AD;SB . Tính x y z 4 9a 3a 15a 15a A. B. C. D. 8 4 4 8 3a Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SD . Hình chiếu vuông 2 góc của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm của AB . Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD . a 2a a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 3
· Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a; ABC 120 . Hình chiếu · vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là trọng tâm G của tam giác ABD, ASC 90 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBD tính theo a bằng a 3 a 3 a 2 a 6 A. . B. . C. . D. . 6 3 3 3 Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau, AD 2a 2; BC a 2 . Hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt đáy ABCD . Góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD bằng 60 . Khoảng cách từ M là trung điểm đoạn AB đến mặt phẳng SCD là a 15 a 15 3a 15 9a 15 A. . B. . C. . D. . 2 20 20 20 Câu 41. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , AA 2a , A C 3a . Gọi M là trung điểm đoạn thẳng A C , I là giao điểm của AM và A C . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng IBC . 2a 5 a 5 3a A. 2a 5 . B. . C. . D. . 5 5 5 Câu 42. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB a, AC 2a, B· AC 1200 . Gọi M là trung điểm cạnh CC ' thì B· MA' 900 . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BMA' . a 5 a 7 a 5 a 5 A. B. C. D. 7 7 5 3 Câu 43. Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , AD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên ABCD trùng với giao điểm của AC và BD . Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng A1BD theo a . a 3 a a 3 A. . B. a 3 . C. . D. . 2 2 6 Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA = a. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng 30 . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM) với M là trung điểm CD . a 2a 4a 5a A. B. C. D. 3 3 3 3 · · o Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang. ABC BAD 90 , BA BC a , AD 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2 . Gọi H là hình chiếu của A lên SB . Tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD 5a 4a 2a a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 46. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB 3a, AD DC a. Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 600. Tính khoảng cách từ trung điểm cạnh SD đến mặt phẳng SBC . a 17 a 15 a 6 a 3 A. . B. . C. . D. . 5 20 19 15 Câu 47. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh AA’, biết BM  AC’. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (BMC’). a 5 a 2 a 5 a 5 A. B. C. D. 5 2 3 4 Câu 48. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ , đáy ABC có AC a 3, BC 3a, ·ACB 300 . Cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 và mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC).Điểm H trên cạnh BC sao cho HC=3HB và mặt phẳng (A’AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (A’AC) 2a 5 3 3a 3a 5 3a 5 A. B. C. D. 3 4 2 7 Câu 49. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ , ABC đều có cạnh bằng a, AA’ = a và đỉnh A’ cách đều A, B,C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và A’B. Tính theo a khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AMN). a 5 3a a 5 a 22 A. . B. . C. . D. . 23 33 22 11 Câu 50. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của AC . Hình chiếu của S trên mặt đáy là điểm H thuộc đoạn BM sao cho HM 2HB . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SHC bằng 2a 7 a 7 3a 7 2a 7 A. . B. . C. . D. . 14 14 14 7 Câu 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA a 3 . Gọi I là hình chiếu của A lên SC . Từ I lần lượt vẽ các đường thẳng song song với SB, SD cắt BC, CD tại B, Q. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của PQ với AB, AD . Tính khoảng cách từ E đến (SBD). 3a 21 a 21 3a 21 a 21 A. B. C. D. 11 9 7 7 Câu 52. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, ACB = 300; M là trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 600. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Tính theo a khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (BMB’). a 5 3a 3a a 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 2
Câu 53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD 2AB 2BC , CD 2a 2 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm M của cạnhCD . Khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAD đến mặt phẳng SBM bằng 4a 10 3a 10 a 10 3a 10 A. . B. . C. . D. . 15 5 5 15 2 Câu 54. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2a , AB a 2 , BC 2a . Gọi M là trung điểm củaCD . Hai mặt phẳng SBD và SAM cùng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAM bằng 4a 10 3a 10 2a 10 3a 10 A. . B. . C. . D. . 15 5 5 5 Câu 55. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB AD 2a , o CD a ; góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 60 . Gọi I là trung điểm của AD, hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với ABCD . Tính theo a khoảng cách từ A đến SBC . a 15 3a 15 2a 15 2a 15 A. . B. . C. . D. . 5 10 10 5 Câu 56. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a; AD 2a, AA’ a .Gọi M là điểm chia AM đoạn AD với 3.Đặt x d AD’; B’C ; y d M ; AB’C . Tìm x.y MD 3a2 5a2 a2 3a2 A. B. C. D. 2 6 3 6 2 4 KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG - MẶT, MẶT- MẶT, ĐƯỜNG – ĐƯỜNG THẲNG Câu 57. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A' D ' . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ACC ') . a 3 a a a 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 3 4 Câu 58. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C ' có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 600 , đáy ABC là tam giác đều cạnh a và A' cách đều A, B,C . Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ. a 3 2a A. a . B. a 2 . C. . D. . 2 3 Câu 59. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a , AC a 3 và BB C C là hình vuông. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC là a 3 3a 2 A. . B. a . C. a 3 . D. . 2 4
a 70 Câu 60. Cho hình chóp S.ABC có SC , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB 2a, AC a 5 và hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh AB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA. 3a 4a a 2a A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Câu 61. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng 3a. Chân đường cao hạ từ đỉnh S lên mặt phẳng ABC là điểm thuộc cạnh AB sao cho AB 3AH , góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng 600 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. a 3 a 3 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 25 45 15 5 Câu 62. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết AC 2a, BD 4a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC. 4a 13 a 165 4a 1365 a 135 A. . B. . C. . D. . 91 91 91 91 Câu 63. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB AC 2a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết SH a , khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC là 2a 4a a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 3 Câu 64. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD 3HB . Biết góc giữa mặt phẳng SCD và mặt phẳng đáy bằng 45. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là 3a 34 2a 13 2a 51 2a 38 A. . B. . C. . D. . 17 3 13 17 a Câu 65. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh . Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuông góc với ABCD a mặt phẳng và SH a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo . 2 3a 2 3a 2a a A. . B. . C. . D. . 19 19 5 5 Câu 66. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB BC 2a ; hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng ABC . Gọi M là trung điểm của AB , mặt phẳng ABC đi qua SM và song song với BC cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a . 2a 39 2a 39 2a 11 2a 11 A. . B. . C. . D. . 13 13 13 13
Câu 67. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB BC 2a . Tam giác SAC cân tại S có đường cao SO a 3 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC theo a . a 3 A. . B. 2a 3 . C. a 3 . D. a . 2 Câu 68. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA 2HB . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a . a 42 a 42 a 42 a 42 A. . B. . C. . D. . 8 4 12 10 Câu 69. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng SBD tạo với mặt phẳng ABCD một góc bằng 60 . Gọi M là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BM . 2a 6a a 3a A. . B. . C. . D. . 11 11 11 11 Câu 70. Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài đường cao từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy ABC bằng a 21 . Góc tạo bởi mặt bên với mặt phẳng đáy bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của 7 AB, SC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, MN . 9a 3 3a 3 6a 3 12a 3 A. . B. . C. . D. . 42 42 42 42 Câu 71. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm DD . Tính d CK; A D . 2a a 3a 4a A. . B. . C. . D. . 3 3 4 3 Câu 72. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB 2a ; BC a 2 ; BD a 6 . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là trọng tâm G của tam giác BCD, biết SG 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo a là: a a A. .a B. . 2a C. . D. . 2 3 Câu 73. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB 4a; BC 3a, gọi I là trung điểm của AB, hai mặt phẳng SIC và SIB cùng vuông góc với ABC , góc giữa hai mặt phẳng SAC và ABC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a là: 12a 3 3a 3 2a 3 5a 3 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 3
· Câu 74. Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc BAD 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, a 6 SG  (ABCD) và SG . Gọi M là trung điểm CD. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng 3 AB và SM theo a . a 2 a 3 a 5 a 7 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Câu 75. hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD 2a , tam giác SAB cân 2a tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ D đến SBC bằng . Khoảng 3 cách giữa hai đường thẳng SB và AC là : a 10 a 10 2a 10 2a 5 A. . B. . C. . D. . 10 5 5 5 Câu 76. Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của a2.d MN, A'C AB và CD. Khi đó, tỉ số bằng VA.A'B'C 'D' 2 2 3 2 2 A. B. C. D. 4 2 4 3
C – HƯỚNG DẪN GIẢI VÉC TƠ - TÍNH VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Câu 1. Cho tứ diện ABCD . Lấy các điểm M , N, P,Q lần lượt thuộc AB, BC,CD, DA sao cho  1   2   1    AM AB, BN BC, AQ AD, DP k DC . 3 3 2 Hãy xác định k để M , N, P,Q đồng phẳng. 1 1 1 1 A. k B. k C. k D. k 2 3 4 5 Hướng dẫn giải Chọn A. Cách 1. A  1    1  Ta có AM AB BM BA BA 3 3 M  2  Q BM BA . 3  2  Lại có BN BC do đó MN P AC . 3 B D Vậy Nếu M , N, P,Q đồng phẳng thì MNPQ  ACD PQ P AC N P PC QA  1  1 C 1 hay DP DC k . PD QD 2 2    Cách 2. Đặt DA a, DB b, DC c thì không khó khăn ta có các biểu diễn  2 2  2 1  1 1 MN a b , MP a b kc , MN a b 3 3 3 3 6 3    Các điểm M , N, P,Q đồng phẳng khi và chỉ khi các vec tơ MN, MP, MQ đồng phẳng    x, y : MP xMN yMQ 2 1 2 2 1 1 a b kc x a c y a b 3 3 3 3 6 3  Do các vec tơ a,b,c không đồng phẳng nên điều này tương đương với 2 1 2 x y 3 6 3 1 1 3 1 y x , y 1,k . 3 3 4 2 2 x k 3  1  Câu 2. Cho hình hộp ABCD.A B C D . M là điểm trên cạnh AD sao cho AM AD. N là điểm trên 1 1 1 1 2 P đường thẳng BD1 . là điểm trên đường thẳng CC1 sao cho M , N, P thẳng hàng.  MN Tính  . NP
1 2 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 4 Hướng dẫn giải Chọn B P D1 C1 A1 B1 C D M A B        Đặt AB a, AD b, AA1 c và BN xBD1;CP yCC1 yc .   Ba điểm M , N, P thẳng hàng nên MN .NP 1 .     Ta có: MN MA AB BN 1  1    b a xBD b a x BA BC BB 3 1 3 1 1 1 b a x a b c 1 x a x b xc 2 3 3 Ta lại có:      NP NB BC CP xBD1 b yc x b a c b yc  NP xa 1 x b y x c 3 Thay (2), (3) vào (1) ta được: 1 x x 1 2 3 3 x 1 x . Giải hệ ta được , x , y . 3 3 5 2 x y x  MN 2 Vậy  . NP 3 Câu 3. Giả sử M , N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC cỏa tứ diện SABC . Gọi I là giao điểm của ba mặt phẳng BCM , CAN , ABP và J là giao điểm của ba mặt phẳng ANP , BPM , CMN . Ta được S, I, J thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng? MS NS PS 1 JS MS NS PS 1 JS A. B. MA NB PC 2 JI MA NB PC 4 JI MS NS PS 1 JS MS NS PS JS C. D. 1 MA NB PC 3 JI MA NB PC JI Hướng dẫn giải
Chọn D. S Goi E BP CN, F CM  AP, T AN  BM . Trong BCM có I BF CT trong ANP có M NF  PT J . P    F Đặt SA a, SB b, SC c và       SM xMA, SN yNB, Sp zPC J T N E  x  y  z I Ta có SM a, SN b, SP c A C x 1 y 1 z 1 x 0, y 0, z 0 . Do T AN  BM nên    B T AN ST SM 1 SB    T BM ST  SN 1  SA     SM 1 SB  SN 1  SA x  y a 1 b b 1  a . Vì a,b không cùng phương nên ta có x 1 y 1 x x 1  x 1 x y 1  x y ST a b .  y y x y 1 x y 1 1  y 1 x y 1 Hoàn toàn tương tự ta có:  y z  z x SE b c, SF c a . y z 1 y z 1 z x 1 z x 1 Làm tương tự như trên đối với hai giao điểm I BF CT và NF  PT J ta được:  1  1 SI xa yb zc , SJ xa yb zc x y z 1 x y z 2  x y z 1    Suy ra SJ SI SJ x y z 1 IJ x y z 2 SI SM SN SP Vậy S, I, J thẳng hàng và x y z 1 1. IJ MA NB PC Câu 4. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CB, AD và G là   trọng tâm tam giác BCD, là góc giữa 2 vectơ MG và NP . Khi đó cos có giá trị là: 2 2 2 1 A. B. C. D. 2 3 6 2 Chọn C Hướng dẫn giải:
   Đặt AB a; AC b; AD c;  1    1 AG (a b c) MG AG AM ( a 2b 2c) 3 6    1 PN AN AP (a b c) 2 Không mất tính tổng quát, giả sử độ dài các cạnh của tứ diện đều bằng 1 1 a b c 1và a.b b.c c.a 1.1.cos600 2     MG.PN cos cos(MG, PN)   (*) MG . PN   1 Ta có: MG.PN ( a 2b 2c)(a b c) 12 1 2  2 2 1 ( a ab ac 2ab 2b 2bc 2ac 2bc 2c ) 12 12  1 1  1 2 MG ( a 2b 2c)2 ; PN (a b c)2 6 2 2 2 1 1 2 Thay vào (*) ta được cos 12 . (*) 1 2 3 2 6 . 2 2 Câu 5. Cho tứ diện ABCD có DA DB DC và B· DA 600 , ·ADC 900 , B· DC 1200 . Trong các mặt của tứ diện đó: A. Tam giác ABD có diện tích lớn nhất. B. Tam giác BCD có diện tích lớn nhất. C. Tam giác ACD có diện tích lớn nhất. D. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất. Hướng dẫn giải Chọn D
Đặt DA DB DC a a2 3 Tam giác ABD đều cạnh a nên diện tích S . ABD 4 1 a2 Tam giác ACD vuôn tại D nên diện tích S DA.DC . ACD 2 2 1 a2 3 Diện tích tam giác BCD là S DB.DC sin1200 . BCD 2 4 Tam giác ABC có AB a, AC a 2, BC a 3 nên tam giác ABC vuông tại A . Diện 1 a2 2 tích tam giác ABC là S AB.AC . ABC 2 2 Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất. Câu 6. Cho hình lăng trụ ABCD.A B C D . Hình chiếu vuông góc của A lên ABC trùng với trực tâm H của tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây không đúng? A. AA B B  BB C C . B. AA H  A B C . C. BB C C là hình chữ nhật. D. BB C C  AA H . Hướng dẫn giải Chọn A D' A' C' B' A D L H B K C
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BC H AK, BC  AK, BC  A H BC  AA H AA H  A B C BB C C  AA H nên đáp án B,C,D đúng. BC  BB Câu 7. Cho tứ diện OABC cóOA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 1 1 1 1 1 1 A. . B. . OH 2 AB2 AC2 BC2 OA2 AB2 AC2 BC2 1 1 1 1 1 1 1 1 C. . D. . OA2 OB2 OC2 BC2 OH 2 OA2 OB2 OC2 Hướng dẫn giải Chọn D A H C O K B Ta có OA  OB   OA  OBC OA  BC . OA  OC Mà OH  OBC OH  BC . BC  OA  Vậy ta có:  BC  OAH . BC  OH  Trong mặt phẳng ABC : AH cắt BC tại K Ta suy ra BC  OK (vì BC  OAH ). Tam giác OBC vuông tại O có: 1 1 1 1 . OK 2 OB2 OC 2 Có OA  OBC OA  OK . 1 1 1 Tam giác OAK vuông tại O có: 2 . OH 2 OA2 OK 2 1 1 1 1 Từ 1 và 2 ta suy ra: . OH 2 OA2 OB2 OC 2
Câu 8. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB BC a , AD 2a . Cạnh SA 2a và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh AB và là mặt phẳng qua M vuông góc với AB . Diện tích thiết diện của mặt phẳng với hình chóp S.ABCD là 3a2 a2 A. S a2 . B. S . C. , S . D. S 2a2 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A S P Q D A M N B C Vì và SAD cùng vuông góc với AB nên // SAD . Từ M kẻ đường thẳng song song với SA , AD, các đường thẳng lần lượt cắt SB và CD tại P và N ; từ P kẻ đường thẳng song song với AD, cắt SC tại Q . Khi đó là MNPQ . Theo cách dựng mặt phẳng , ta có N , P , Q lần lượt là trung điểm của CD , SB , SC . 1 AD BC 3a BC a Ta có MP SA a , MN , PQ . 2 2 2 2 2 MN //AD Vì nên MNPQ là hình thang. Lại có MQ  MN nên MNPQ là hình thang PQ//AD vuông tại M và P . 3a a MN PQ Do đó S .MP 2 2 .a a2 . MNPQ 2 2
3 Câu 9. Cho tứ diện SABC có hai mặt ABC và SBC là hai tam giác đều cạnh a , SA a . M là 2 điểm trên AB sao cho AM b 0 b a . P là mặt phẳng qua M và vuông góc với BC. Thiết diện của P và tứ diện SABC có diện tích bằng? 2 2 2 2 3 3 a b 3 a b 3 3 a b 3 3 a b A. . . B. . . C. . D. . 4 a 4 a 16 a 8 a Hướng dẫn giải Chọn C Gọi N là trung điểm của BC . SB SC BC  SN BC  SAN . AB AC BC  AN M P Theo bài ra BC  P . P / / SAN Kẻ MI / / AN, MK / /SA Thiết diện của P và tứ diện SABC là KMI. ABC a 3 là hai tam giác đều cạnh a AN SM SA SAN là tam giác đều SBC 2 2 a 3 3 a b 3 3 a b cạnh KMI là tam giác đều cạnh . S KMI . . 2 2 a 16 a Câu 10. Cho lăng trụ đứng OAB.O ' A' B ' có các đáy là các tam giác vuông cânOA OB a, AA' a 2 . Gọi M , P lần lượt là trung điểm các cạnhOA, AA' . Tính diện tích thiết diện khi cắt lăng trụ bởi B 'MP ? a2 15 5a2 15 5a2 15 a2 15 A. B. C. D. 12 2 12 2 6 2 6 2 Chọn C Hướng dẫn giải:
A' B' P O' A H B M Q O R Gọi R là giao điểm của MP và OO ' , Q là giao điểm của B ' R vớiOB . OQ RO 1 a Thiết diện là tứ giác MPB 'Q , ta có: OQ . O ' B ' RO ' 3 3 Tứ giác AMQB là hình chiếu vuông góc của tứ giác PMQB ' trên mặt phẳng OAB nên: S S AMQB . PMQB' cos Với là góc tạo bởi hai mặt phẳng OAB và MPB 'Q . 1 1 5 Ta có: S S S a2 a2 a2 AMQB OAB OMQ 2 12 12 MQ  OH Hạ OH  MQ , ta có: MQ  OHR MQ  OR Vậy: O· HR (O· HR nhọn) a OH OH 13 2 Ta có: cos cosO· HR RH OH 2 OR2 a2 a2 15 13 2 5a2 15 Vậy: S PMQB' 12 2 Câu 11. Cho tứ diện ABCD có AB  CD , AB CD 6 ; M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC xBC 0 x 1 . Mặt phẳng P song song với AB và CD lần lượt cắt BC , AC , AD , BD tại M , N , P , Q . Diện tích lớn nhất của tứ giác MNPQ là: A. 9 . B. 6 . C. 10. D. 12. Hướng dẫn giải Chọn A. MN CM Ta có x MN xAB 6x . AB CB NP AN BM BC CM CM 1 1 x NP 6 1 x . CD AC BC BC BC
2 1 2 1 SMNPQ 36x 1 x 9 36 x x 9 36 x 9 max SMNPQ 9 . 4 2 Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có SA a, SB b, SC c . Một mặt phẳng luôn đi qua trọng tâm của tam giác ABC , cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A', B ',C '. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 . SA'2 SB '2 SC '2 3 2 2 9 A. B. C. D. a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Hướng dẫn giải Chọn D.     Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Ta có 3SG SA SB SC SA  SB  SC  SA' SB ' SC '. SA' SB ' SC ' SA SB SC a b c Mà G, A', B ',C ' đồng phẳng nên 3 3 SA' SB ' SC ' SA' SB ' SC ' Theo BĐT Cauchy schwarz: 2 1 1 1 2 2 2 a b c Ta có 2 2 2 a b c SA' SB ' SC ' SA' SB ' SC ' 1 1 1 9 . SA'2 SB '2 SC '2 a2 b2 c2 Đẳng thức xảy ra khi 1 1 1 a b c kết hợp với 3 ta được aSA' bSB ' cSC ' SA' SB ' SC ' a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 SA' , SB ' , SC ' . 3a 3b 3c 1 1 1 9 Vậy GTNN của là . SA'2 SB '2 SC '2 a2 b2 c2 Câu 13. Cho tứ diện ABCD có BC DA a,CA DB b, AB DC c Gọi S là diện tích toàn phần ( tổng diện tích tất cả các mặt). Tính giá trị lớn nhất của 1 1 1 . a2b2 b2c2 c2a2 9 3 2 2 A. B. C. D. S 2 S S 2 S Hướng dẫn giải Do tứ diện ABCD có BC DA a,CA DB b, AB DC c nên BCD ADC DAB CBA. Gọi S ' là diện tích và R là bán kính đường tròn ngoại abc tiếp mỗi mặt đó thì S 4S ' , nên bất đẳng thức cần chứng minh R 1 1 1 9 a2 b2 c2 9R2 . a2b2 b2c2 c2a2 S 2 Theo công thức Leibbnitz: Với điểm M bất kì và G là trọng tâm của tam giác ABC thì 1 MA2 MB2 MC 2 GA2 GB2 BC 2 3MG2 a2 b2 c2 9MG2 3
Cho M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta được 9R2 aa2 b2 c2 9OG2 a2 b2 c2 . Câu 14. Cho tứ diện ABCD có DA, DB, DC đôi một vuông góc. Gọi , , lần lượt là góc giữa các đường thẳng DA, DB, DC với mặt phẳng ABC . Tìm Giá trị nhỏ nhất của M 2 cot2 2 cot2  2 cot2  . A. 64 B. 8 C. 1 D. 64 2 Hướng dẫn giải. Gọi H là hình chiếu của D trên ABC Khi đó H là trực tâm của tam giác ABC . A Và ·DA, ABC ·DA, AH D· AH Đặt DA a, DB b, DC c Gọi I AH  BC thì DI là đường cao của tam giác DBC H DB.DC bc nên DI BC b2 c2 D C 2 2 2 DA a b c cot2 DI b2c2 I a2 b2 c2 2 2 2a 4a 2 cot 2 2 Vậy B b2c2 bc bc 4a 2 cot2 1 bc 4b 4c Tương tự 2 cot2  2 và 2 cot2  3 ac ab Nhân theo vế các BĐT 1 , 2 , 3 ta được 2 cot2 2 cot2  2 cot2  64 ( đpcm) Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a, SA a 3 và SA  ABC . Gọi M là điểm trên cạnh AB và AM x 0 x a , mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AB Giả sử thiết diện của hình chóp S.ABC với là tứ giác MNPQ . a) Hỏi tứ giác MNPQ là hình gì A. Hình chữ nhật B. hình vuông C. hình thang D. hình bình hành b) Tìm x để diện tích thiết diện MNPQ lớn nhất. a a 3a A. x B. x C. x D. x a 2 2 2 Hướng dẫn giải.  AB . Ta có SA P SA  AB
M SAB  Do đó SA  SAB  SAB MN PSA S SA P  AB P Tương tự BC P BC  AB N M  ABC C BC  ABC A Q BC P M  ABC MQ BC,Q AC P B N SBC  BC  SBC  SBC NP PBC, P SC . BC P Thiết diện là tứ giác MNPQ . b) Ta có MN PSA, PQ PSA MN PPQ và MQ PBC, NP PBC MQ P NP nên MNPQ là hình bình hành. MN PSA Mặt khác NP PBC MN  NP . Vậy MNPQ là hình chữ nhật. SA  BC MN MB MB.SA a x a 3 b) Ta có MQ AM x , MN 3 a x SA AB AB a 2 a2 a a2 3 SMNPQ MN.MQ 3 a x x 3[ x ] 4 2 4 a2 3 a max S khi x . MNPQ 4 2 Câu 16. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , đường cao SO 2a . Gọi M là điểm thuộc đường cao AA' của tam giác ABC . Xét mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AA' . Đặt AM x . Giả sử tồn tại thiết diện của hình chóp khi cắt bởi . Giả sử tính được diện tích thiết diện theo a và x . Xác định vị trí của M để diện tích thiết diện lớn nhất. a 3 3a 3 3a 3a 3 A. x B. x C. x D. x 8 2 8 8 Hướng dẫn giải. S Vì S.ABC là hình chóp đều nên SO  ABC ( O là tâm tam giác ABC ).Do đó K SO  AA1 mà P AA1 SO P . Tương tự ta cũng có BC P A Trường hợp 1. x 0 thì thiết diện là điểm A . J C M I O A1 B
a 3 Trường hợp 2. 0 x thì M thuộc đoạn AO M A . 3 Ta có: M ABC  BC  ABC  ABC IJ PBC, I AB, J AC BC P M  SAA1 Tương tự SO  SAA1  SAA1 MK PSO, K SA . SO P Thiết diện là tam giác KIJ . a 3 a 3 Trường hợp 3. x khi đó M thuộc đoạn OA M 0;M A 3 2 Tương tự như trường hợp trên ta có: M ABC  BC  ABC S BC P  ABC IJ PBC, . F I AB, J AC N M  SAA1 E A SO  SAA1 C J SO P O M  SAA MN PSO, N SA . A1 1 1 I N  SBC B BC  SBC  SBC EF PIJ, N EF BC P Thiết diện là tứ giác IJEF . a 3 Trường hợp 4. x thì thiết diện là đoạn BC . 2 b) Xét các trường hợp: a 3 x 0 S 0 , x S 0 td 2 td a 3 1 0 x , thì S IJ.MK . 3 IJK 2 IJ AM x 2x 3 Ta có IJ PBC IJ BC AA1 a 3 3 2
MK AM x Tương tự MK 2x 3 . SO AO a 3 3 1 2x 3 Vậy S .2x 3 2x2 . IJK 2 3 a 3 a 2 1 x , dễ thây IJEF là hình thang nên S IJ EF MN 3 3 IJEF 2 a 3 x 2x 3 EF SN OM IJ , 3 EF 2 x 3 a 3 BC SA1 OA1 a 3 6 a 3 x MN MA 1 2 MN 2 3a 2x 3 SO OA1 a 3 6 2 Vậy S 4x 3 3a 3a 2x 3 . IJEF 3 a 3 a 3 Xét các trường hợp ta thấy S lớn nhất trong trường hợp x và td 3 2 3a2 3a 3 max S khi x . IJEF 4 8 Câu 17. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc.M là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC . MA2 MB2 MC 2 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của T . OA2 OB2 OC 2 A. minT 3 B. minT 2 C. minT 4 D. minT 6 b) Gọi H là trực tâm tam giác ABC và , , lần lượt là góc gữa đường thẳng OH với các đường thẳng OA,OB,OC . Tìm giá trị lớn nhất của A cot cot  cot 2 2 1 A. max A B. max A C. max A D. max A 2 4 3 2 cos cos  cos  cos cos cos c) Tìm GTNN của S cos2  cos2 cos2  A. min S 6 3 B. min S 3 C. min S 6 D. min S 4 Hướng dẫn giải. a) Gọi N AM  BC , kẻ MM POA thì ta có 1 O OA  OBC MM1  OBC A1 MM1 POA kẻ MA1  OA, A1 OA . Khi đó A 2 2 2 2 2 2 M1 AM AA1 MA1 AA1 MO OA1 OM 2 AA OA AA OA B 1 1 1 1 M N C
2 OM OA OA 2OA1 2 2 OM OA 2OA.OA1 AM 2 OM 2 2OA Suy ra 1 1 1 . OA2 OA2 OA Tương tự gọi B1,C1 là các điểm tương tự như A1 thì ta có MB2 OM 2 2OB 1 1 2 OB2 OB2 OB MC 2 OM 2 2OC 1 1 3 OC 2 OC 2 OC 2 1 1 1 OA1 OB1 OC1 Từ 1 , 2 , 3 ta có T OM 2 2 2 2 3 OA OB OC OA OB OC Gọi H là trực tâm của tam giác ABC thì ta đã biết kết quả quen thuộc 2 1 1 1 1 OM OA1 OB1 OC1 nên T 2 2 3 OA2 OB2 OC 2 OH 2 OH OA OB OC OA NM S Mặt khác 1 MBC OA NA SABC OB S OC S OA OB OC Tương tự 1 MAC , 1 MAB nên 1 1 1 1 OB SABC OC SABC OA OB OC OM 2 Do đó T 1 2 do OM OH . OH 2 Vậy minT 2 khi M  H .    Cách 2. Đặt OA a,OB b,OC c . Do A,B,C, M đồng phẳng nên tồn tại x, y, z sao cho     OM xOA yOB zOC x y z 1 .    Ta có AM OM OA x 1 a b c , bình phương vô hướng ta được 2 2 2 2 2 2 MA 2 y b z c AM 2 x 1 a2 y2b2 z2c2 x 1 . OA2 a2 a2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 MB x a 2 z c MC x a y b 2 Tương tự y 1 , z 1 OB2 b2 b2 OC 2 c2 c2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 Vì vậy T 2 2 2 a x b y c z 1 a b c 2 1 1 1 .ax .by .cz 1 2 ( Theo Cauchy-Schwarz) a b c Vậy minT 2 . b) Dễ thấy ·AOH,  B· OH, C· OH . 2 2 2 1 1 1 1 OH OH OH Ta có 2 2 2 2 1 OA OB OC OH OA OB OC cos2 cos2  cos2  1 1 . 1 1 cot2 x Lại có 1 tan2 x cos2 x * cos2 x 1 tan2 x 1 cot2 x
Áp dụng CT (*) cho x nhận các giá trị , , và kết hợp với 1 thu được cot2 cot2  cot2  1. 1 cot2 1 cot2  1 cot2  Đặt x cot2 , y cot2 , z cot2  x, y, z 0 thì bài toán trỏ thành x y z 1 Cho x, y, z 0 thỏa 1 . Chứng minh xyz . 1 x 1 y 1 z 8 x y z x y z yz Ta có 1 1 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 y 1 z 1 yz 2 2 . 1 x 1 y 1 z Tương tự ta có: 1 xz 1 xy 2 3 và 2 4 1 y 1 x 1 z 1 z 1 x 1 y 1 Nhân theo từng vế các BĐT 2 , 3 4 ta được xyz dpcm . 8 c) Tương tự như câu b) ta có min S 6 3 . Câu 18. Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh bên bằng 200m , góc ·ASB 15 bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS . Trong đó điểm L cố định và LS 40m . Hỏi khi đó cần dung ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí? S L K J I H G F E B C A D A. 40 67 40 mét. B. 20 111 40 mét. C. 40 31 40 mét. D. 40 111 40 mét. Hướng dẫn giải Chọn C. Ta sử dụng phương pháp trải đa diện S
Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải ra mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sau S L K A J A E F B I D G H C C D A B Từ đó suy ra chiều dài dây đèn led ngắn nhất là bằng AL LS . Từ giả thiết về hình chóp đều S.ABCD ta có ·ASL 120 . Ta có AL2 SA2 SL2 2SA.SL.cos ·ASL 2002 402 2.200.40.cos120 49600 . Nên AL 49600 40 31 . Vậy, chiều dài dây đèn led cần ít nhất là 40 31 40 mét.
GÓC Câu 19. Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Gọi là góc giữa đường thẳng AG và mặt phẳng EBCH . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 2 A. 30 . B. 45. C. tan 2 . D. tan . 3 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi O CE  BH . Khi đó O là trung điểm của AG . Gọi I AF  BE . Ta có BC  ABFE BC  AI . Lại có AI  BE nên AI  EBCH IO là hình chiếu của AO trên EBCH AG, EBCH AO, EBCH AO, IO ·AOI 1 2 1 1 AI AI a, IO FG a tan ·AOI 2 . Vậy tan 2 . 2 2 2 2 IO Câu 20. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính côsin của góc giữa mặt bên và mặt đáy. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3 Hướng dẫn giải Chọn A. S a B a C O I A D
+ Gọi O là tâm của hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Ta có SO  ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a và các mặt bên là các tam giác đều cạnh a . + Gọi I là trung điểm cạnh CD . SCD  ABCD CD Theo giả thiết ta có: OI  CD SI  CD nên góc giữa mặt bên SCD và mặt đáy ABCD bằng góc giữa hai đường thẳng OI và a OI 1 SI bằng góc S· IO . Khi đó: cos S· IO 2 cos S· IO . SI a 3 3 2 Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và tam giác ABC không vuông gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác SBC . Tính số đó góc tạo bởi HK và mặt phẳng SBC . A. 45. B. 65 . C. 90 . D. 120 . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi giao điểm của AH và CB là I . Ta có SA  ABC SA  BC , lại có BC  AI nên BC  SAI BC  SI HK  SAI . Vậy HK  BC .(1) Mặt khác, có BH  SAC BH  SC , và BK  SC nên SC  BHK . Vậy HK  SC .(2) Từ (1) và (2) ta có HK  SBC
góc tạo bởi HK và mặt phẳng SBC bằng 90 . Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp ABCD . Gọi a là góc giữa BD và mp SAD . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 3 3 A. cos a . B. sin a . C. a 60 . D. a 30. 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi K là trung điểm của SA . Ta có: AD  SAB và SAB đều nên BK  SAD . Vậy B·D, SAD B·D, KD B· DK a . x 3 Gọi cạnh của hình vuông ABCD là x , thì BD x 2 và BK . 2 BK 3 Xét trong tam giác vuông BKD có sin a . BD 2 2 Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  ABCD và SA a 6 . Gọi là góc giữa SC và SAB ,  là góc giữa AC và SBC . Giá trị tan sin  bằng? 1 7 1 19 7 21 1 20 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Hướng dẫn giải Chọn C.
Để xác định góc giữa SC và SAB ta xác định hình chiếu của SC lên mặt phẳng SAB . Ta có: S là hình chiếu của S trên SAB , B là hình chiếu của C trên SAB vì BC  AB . BC  SA Vậy SB là hình chiếu của SC trên SAB SC, SAB B· SC . BC a 1 SBC vuông tại B tan tan B· SC . SB SA2 AB2 7 Kẻ AH  SB tại H mà BC  SAB nên AH  BC . AH  SBC HC là hình chiếu vuông góc của AC trên SBC AC, SBC ·ACH  . 1 1 1 a 6 SAB vuông nên AH . AH 2 AS 2 AB2 7 AH 21 ACH vuông tại H sin  sin ·ACH . AC 7 7 21 Vậy tan sin  . 7 Câu 24. Cho hình chóp đều S.ABCD , đáy có cạnh bằng a và có tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , BC . Biết góc giữa MN và ABCD bằng 60 . Tính góc giữa MN và SAO . 1 1 3 1 A. arcsin . B. arcsin . C. arcsin . D. arcsin . 2 5 5 2 5 4 5 Hướng dẫn giải
Chọn A. S M A B P O N H D C Gọi P là trung điểm của AO MP là đường trung bình của SAO MP / /SO MP  ABCD Góc giữa MN và ABCD bằng góc M· NP 60 . Áp dụng định lý cosin cho PNC ta có: 2 2 2 2 2 a 3 a 3 1 NP CN CP 2CN.CP.cos 45 a 2 2. . a 2. 4 4 2 4 2 a 2 9a 2 3 2a2 11a2 3a2 5a2 + 4 8 4 2 8 4 8 Trong tam giác vuông MNP ta có: PN 5 15 15 MN .a và PM NP.tan 60 a SO 2MP .a . cos60 2 8 2 Gọi H là trung điểm CO NH / /BD NH  AC . Mà NH  SO NH  SAC do đó ·MN, SAC N· MH . 1 a 2 5a Ta có: HN OB , MN (tính trên) 2 4 2 NH 1 Vậy trong MHN ta có:sin N· MH . Nên nếu gọi là góc giữa MN và SAO MN 2 5 1 1 thì: sin hay arcsin 0 . 2 5 2 5 2 Câu 25. Cho hình chóp đều S.ABCD . Thiết diện qua đỉnh A và vuông góc với cạnh bên SC có diện tích thiết diện đó bằng nửa diện tích đáy. Gọi là góc giữa cạnh bên và đáy. Tính . 1 33 1 33 A. arcsin . B. arcsin . 4 8 1 33 2 33 C. arcsin . D. arcsin . 8 8 Hướng dẫn giải Chọn B.
Đặt cạnh đáy hình vuông ABCD là a AC a 2 . Giả sử thiết diện qua A là cắt SC , SB , SD lần lượt tại K , N , M . Theo giả thiết SC  ANKM MN  SC . Mặt khác: BD  SC (vì BD  SAC ) MN //BD MN  SAC MN  AK 1 S AK.MN . ANKM 2 S· CA AK AC sin a 2 sin . MN SO SO OO OO 1 (vì ·AO O ·ACK ; với O MN  AK ). BD SO SO SO 1 a 2 cot 1 MN OO a 2 cot 1 2 1 cot2 . 2 BD OC tan 2 2 MN BD 1 cot a 2 1 cot 0 . 2 1 1 1 2 2 2 Ta có SAMKN SABCD AK.MN a a 2 sin .a 2 1 cot a 2 2 2 2 2 2 2sin 1 sin 4sin sin 2 0 0 2 1 33 1 33 sin arcsin . 8 8 Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB 2a , SA vuông góc với ABCD và SA a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD . 10 5 10 10 A. arccos . B. arccos . C. arccos . D. arccos . 5 5 10 3 Nhận xét: Theo định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng ta đi xác định hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng SBC và SCD . Hướng dẫn giải Chọn A.
Vì ABCD là nửa lục giác đều nên AD DC CB a . Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với SCD . Trong mặt phẳng ABCD dựng AH  CD tại H CD  SAH . Trong mặt phẳng SAH dựng AP  SH CD  AP AP  SCD . Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với SBC . Trong mặt phẳng SAC dựng AQ  SC . BC  AC Lại có AQ  BC vì BC  SAC BC  AQ . BC  SA Vậy AQ  SBC . Suy ra góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ấy là AP và AQ . a2 a 3 - Ta tính góc P· AQ , có AH AD2 HD2 a2 4 2 1 1 1 a 3 AP . AP2 AS 2 AH 2 5 SC a 6 Tam giác SAC vuông cân tại A AQ . 2 2 AP 10 10 APQ vuông tại P cos P· AQ P· AQ arccos . AQ 5 5 Câu 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA BC a , SA  ABC , SA a . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng SEF và SBC . 3 5 1 3 A. . B. . C. . D. . 10 10 10 2 10 Nhận xét: Giao tuyến của hai mặt phẳng SEF và SBC là đường thẳng St đi qua S và song song với EF và BC nên ta xác định hai đường thẳng qua S và lần lượt nằm trong hai mặt phẳng SEF và SBC và cùng vuông góc với St (ta đi chứng minh hai đường thẳng đó là SE và SB ).
Hướng dẫn giải Chọn A. EF  SEF Vì BC  SBC giao tuyến của SEF và SBC là đường thẳng qua S , song song EF // BC với BC , là St . BC  AB gt BC  SAB BC  SB hay St  SB . BC  SA vì SA  ABC Tương tự EF  SAE EF  SE mà EF // St St  SE . Vậy SB và SE cùng đi qua S và cùng vuông góc với St nên góc giữa hai mặt phẳng SEF và SBC bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SE . Ta tính góc B· SE . a 5 a Có SE SA2 AE 2 ; SB SA2 AB2 a 2 ; BE . 2 2 SE 2 SB2 BE 2 3 3 Theo định lí cosin ta có: cos B· SE B· SE arccos . 2.SE.SB 10 10 Câu 28. Cho ba tia Ox , Oy , Oz trong không gian sao cho x· Oy 120 , z·Oy 90 , x· Oz 60 Trên ba tia ấy lần lượt lấy các điểm A , B , C sao cho OA OB OC a . Gọi ,  lần lượt là góc giữa mặt phẳng ABC với mặt phẳng OBC và mặt phẳng OAC . Tính tan  tan  ? 1 3 A. . B. 2 . C. . D. 1. 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A.
OAB đều AC a . Tam giác OBC vuông BC a 2 . Áp dụng định lý cosin cho OAB AB a 3 ABC có AB2 AC 2 BC 2 ABC vuông tại C . Gọi H là trung điểm của AB H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC OH  ABC O· IH; O· JH (với I, J lần lượt là trung điểm của BC và AC ). 2 a 2 OH OH OH 2 1 tan .tan  . . HI HJ HI.HJ a a 2 2 . 2 2 Câu 29. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC cân đỉnh A, ·ABC , BC ' tạo đáy góc  . Gọi I · 0 là trung điểm của AA’, biết BIC 90 . Tính tan2 tan2  1 A. . B. 2 . C. 3 . D. 1. 2 Hướng dẫn giải Chọn D. BB ' Ta có: tan  . VAHB vuông tại H B 'C ' (H là trung điểm của BC ) AH 2AH tan BH BC 4 AI 2 AH 2 tan2 tan2  (*) BC 2 Mà VAIH vuông tại A nên AI 2 AH 2 IH 2 . BC VBIC vuông tại I IH BC 2 4IH 2 . Thay 2 vào (*) Ta có: tan2 tan2  1 .
Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông tại B . Cho · 0 · 0 BSC 45 , gọi ASB . Tìm sin để góc giữa hai mặt phẳng ASC và BSC bằng 60 15 2 3 2 1 A. sin . B. sin . C. sin . D. sin . 5 2 9 5 Hướng dẫn giải Chọn A. Dựng BJ  SC(1), BI  AC SA  BI BI  SAC BI  SC 2 Từ 1 và 2 SC  BIJ IJ  SC Góc giữa hai mặt phẳng ASC và (BSC) là B· JI . Do VBIJ vuông tại I nên B· JI 600 3 1 4 1 BI BJ . 3 2 BI 2 3 BJ 2 SBC có B· SC 450 SBC vuông cân tại B . Trong tam giác SJB vuông tại J có 1 2 J· SB 450 SB 2BJ BJ 2 BC 2 1 1 4 2 Từ 3 và 4 2 2 1 . 2 BC sin 3 BC 15 Giải phương trình ta được sin . 5
KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐÉN MẶT PHẲNG Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB AD a , CD 2a , cạnh SD vuông góc với ABCD , SD a . Tính d A; SBC . a 3 a 6 a 6 A. . B. a 3 . C. . D. . 3 6 3 Hướng dẫn giải Chọn C. S a H 2 a D C a A a B I Kẻ dài ADcắt BC tại I . Ta có: AB là đường trung bình của IDC DI 2a. 1 d A; SBC d A; SIC d D; SIC 2 Áp dụng tính chất tứ diện vuông cho tứ diện SIC ta có: 1 1 1 1 6 2a a a 6 d D; SIC d A; SBC . d 2 D; SIC a2 4a2 4a2 4a2 6 6 6 Nhận xét: Ta cũng có thể sử dụng tính chất tam giác vuông bằng cách dựng DH  SBC và DH là khoảng cách cần tìm. · o Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , SA 3a , AB BC 2a , ABC 120 . Tính khoảng cách từ A đến SBC . A. a . B. 2a . a 3 3a C. . D. . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Kẻ AH  BC và AK  SH . Ta có: BC  AH và BC  SA BC  SAH AK  SBC AK d A; SBC
Trong tam giác vuông BAH ta có: S AH AB.sin 60 a 3 . Trong tam giác vuông SAH ta có: AS.AH 3a.a 3 3 AK a SH 2 2 2 9a 3a 3a 3 d A; SBC a. 2 K Nhận xét: Trong bài này ta sử dụng tính chất tam A C giác vuông SAH để tính khoảng cách 2a 2a d A; SBC . Vậy có thể sử dụng tính chất của B tứ diện vuông dduocjw không? H Câu trả lời là được. Vì nếu lấy điểm H trên tia CB sao cho C· AH 90,C· AB ·ACB 30 nên ·ABH 60 , mặt khác ·ABH 60 ABH đều AH 2a , AC 2 AB2 BC 2 2AB.BC.cos120 4a2 4a2 4a2 4a2 . Sau đó sử dụng tính chất tứ diện vuông cho tứ diện SAHC ta có: 1 1 1 1 3a . Tính được d A; SBC . d 2 A; SBC AH 2 AS 2 AC 2 2 Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nữa lục giác đều với đáy lớn AD 2a SA  ABCD và SA a 3 . Tính khoảng cách từ A đến SBC . a 3 a 3 a 3 A. a . B. . C. . D. . 2 5 7 Hướng dẫn giải Chọn C. S Trong mặt phẳng ABCD , dựng AH  BC t ại H BC  SAH Trong mặt phẳng SAH . dựng AP  SH AP  SBC P tại P d A; SBC AP A D Mà a 3 1 1 1 a 3 AH AB2 BH 2 H B C 2 AP2 AS 2 AH 2 5 . Câu 34. 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , đường chéo AC a , mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; góc giữa SC và ABCD o bằng 60 . Gọi I là trung điểm của AB . Tính khoảng cách từ I đến SBC . 3a 13 a 3 a 13 3a 13 A. . B. . C. . D. . 26 4 26 16
Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: SI  AB, SAB  ABCD SI  ABCD S Gọi E là trung điểm của BC , F là trung điểm của Ta có AE  BC, IF / / AE IF  BC BC  IF, BC  SI BC  SBC Trong mặt phẳng SIF , dựng IH  SF A H a D v à H SF I O Ta có a B IH  SF, IH  BC IH  SBC F E C Do đó d I; SBC IH . Góc giữa SC và ABCD là S· CI nên a 3 3a S· CI 60,CI SI CI.tan S· CI 2 2 a 3 AE a 3 AE IF 2 2 4 1 1 1 4 16 52 3a Từ đó IH IH 2 IS 2 IF 2 9a2 3a2 9a2 52 3a 3a 13 d I; SBC IH 52 26   Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, ABC BAD 90 , BA BC a, AD 2a .Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2 .Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tính d H; SCD a 2a 2a a a A. B. C. D. 2 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi M AB CD; K AH  SM Vì BC là đường trung bình của MAD B là trung điểm của AM Ta có: BH BH.BS BA a2 1 BS BS 2 BS 2 3a2 3 H là trọng tâm của SAM Từ đó d(H;(SCD)) KH 1 . d(A;(SCD)) KA 3 Tứ diện ASDM vuông tại A nên
1 1 1 1 1 d 2 (A;(SCD)) AS 2 AD2 AM 2 a2 a d(A;(SCD)) a d(H;(SCD)) 3 Câu 36. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB 3a , BC 4a , mặt phẳng SBC · vuông góc với mặt phẳng ABC . Biết SB 2a 3 và SBC 30. Tính d B; SAC . 3a 7 6a 7 A. . B. 6a 7 . C. . D. a 7 . 14 7 Hướng dẫn giải Chọn C. Kẻ SH  BC H BC do SBC  ABC nên SH  ABC . Ta có: SH SB.sin 30 a 3 Kẻ HD  AC D AC , kẻ HK  SD K SD . Khi đó HK d H; SAC Vì BH SB.cos30 3a nên BC 4HC d B; SAC 4d H; SAC Ta có: AC AB2 BC 2 5a HC 3a SH.HD 3a 7 HC BC BH a HD AB. HK AC 5 SH 2 HD2 14 6a 7 Vậy d B; SAC 4HK . 7  Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, BAD 60 ; 3a SO  (ABCD);SO .Đặt x d O; SBC ; y d A; SBC ; z d AD;SB . Tính x y z 4 9a 3a 15a 15a A. B. C. D. 8 4 4 8 Hướng dẫn giải
Chọn D.  Vì BAD 60 BAD đều cạnh a a 3 a 3 a AO ;BD a OC ;OB 2 2 2 Suya ra tứ diện OSBC vuông tại O 1 1 1 1 1 1 1 64 2 2 2 2 3a 2 2 2 x SO OB OC ( )2 a a 3 9a 4 2 2 3a x .Ta có AC 2AO 8 3a d(A;(SBC)) 2d(O;(SBC)) y 4 3a Vì AD / /(SBC) z d(AD;SB) d(AD;(SBC)) d(A;(SBC)) 4 3a 3a 3a 15a x y z 8 4 4 8 3a Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SD . Hình chiếu vuông góc 2 của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm của AB . Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD . a 2a a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 3 Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi H là trung điểm của AB SH  ABCD . Do đó SH  HD , ta có SH SD2 HD2 SD2 AH 2 HD2 a . Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên BD và E là hình chiếu vuông góc của H trên SK . Ta có BD  HK và BD  SH BD  SHK BD  HE . Mà HE  SK do đó HE  SBD . a 2 HS.HK a Ta có HK HB.sin K· BH HE . 4 HS2 HK 2 3 2a Do đó d A; SBD 2d H; SBD 2HE . 3
· Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a; ABC 120 . Hình chiếu · vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là trọng tâm G của tam giác ABD, ASC 90 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBD tính theo a bằng a 3 a 3 a 2 a 6 A. . B. . C. . D. . 6 3 3 3 Hướng dẫn giải Xác định khoảng cách: - Đặc điểm của hình: Có đáy là hình thoi, góc A· BC 120 nên tam giác ABD đều cạnh a; a 3 S AC a 3; AG 3 Tam giác SAC vuông ở S , có đường cao SG a 3 a 6 nên SA AG.AC .a 3 a ; SG 3 3 H Xét hình chóp S.ABD có chân đường cao trùng với tâm của đáy nên SA SB SD a . - Dựng hình chiếu của A lên mặt phẳng SBD : D C G Kẻ đường cao AH của tam giác SAO với O là O A B tâm của hình thoi. BD  AC BD  SAO BD  AH BD  SG AH  BD AH  SBD . Vậy d A, SBD AH AH  SO - Tính độ dài AH SG.AO AH SO a 3 a 6 a 3 Với AO ; SG ; SO 2 3 2 a 6 AH . 3 Cách khác: Nhận xét tứ diện S.ABD có tất cả các cạnh bằng a Do; đó S.ABD là tứ diện a 6 đều, vậy AH SG . 3 Chọn đáp ánD . Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau, AD 2a 2; BC a 2 . Hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt đáy ABCD . Góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD bằng 60 . Khoảng cách từ M là trung điểm đoạn AB đến mặt phẳng SCD là a 15 a 15 3a 15 9a 15 A. . B. . C. . D. . 2 20 20 20
Hướng dẫn giải Do SAC  ABCD , SBD  ABCD , SAC  SBD SO SO  ABCD Dựng góc giữa SCD ,(ABCD) : SCD  ABCD DC . Kẻ OK  DC SK  DC ·SCD , ABCD S· KO Kéo dài MO cắt DC tại E Ta có: S µ ¶ µ ¶ ¶ ¶ µ ¶ µ µ · 0 µ 0 A1 D1; A1 M1;M1 M 2 O1 D1 O1;O1 EOD 90 E 90 E  K Ta có: 2a 2 2a.a AB a 5 9a 5 A D OK ;OM ;MK H a 5 2 2 10 1 1 d(O,(SCD)) OE 9 d M ,(SCD) M 60° d(M ,(SCD)) ME 4 2 K 1 9 9 O 1 d O,(SCD) OH E 4 4 B a 2 C 2a 15 OS OK.tan 600 5 OK.OS a 15 9a 15 OH d M ,(SCD) OK 2 OS 2 5 20 Câu 41. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , AA 2a , A C 3a . Gọi M là trung điểm đoạn thẳng A C , I là giao điểm của AM và A C . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng IBC . 2a 5 a 5 3a A. 2a 5 . B. . C. . D. . 5 5 5 Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: AC A C 2 A A2 a 5 BC AC 2 AB2 2a Hạ AK  A B K A B vì BC  ABB A nên AK  BC AK  IBC . 2S AA .AB 2a 5 d A; IBC AK AA B . A B AA 2 AB2 5 Câu 42. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB a, AC 2a, B· AC 1200 . Gọi M là trung điểm cạnh CC ' thì B· MA' 900 . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BMA' . a 5 a 7 a 5 a 5 A. B. C. D. 7 7 5 3 Hướng dẫn giải
Chọn D Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ABC ta có: BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cos B· AC BC 2 a2 4a2 2a.2a.cos1200 7a2 BC a 7 Đặt CC ' 2x .Ta có: A'M A'C '2 C 'M 2 4a2 x2 BM BC 2 CM 2 7a2 x2 A' B A' B '2 BB '2 a2 4x2 Tam giác BMA’ là tam giác vuông tại M nên MB2 MA'2 A' B2 Do đó 4a2 x2 7a2 x2 a2 4x2 x2 5a2 x a 5 CC '/ /(ABB ' A') VA.A'BM VMAA'B VCAA'B VA'.ABC 3V d(A,(A' BM )) A.A'BM SA'BM 1 1 1 15 V AA'.S .2x. .AB.AC.sin1200 a3 A'.ABC 3 ABC 3 2 3 1 s .MA'.MB 3 3a2 A'BM 2 15a3 5 d(A,(A' BM )) a 3 3a2 3 a 5 Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BM) là 3 Câu 43. Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , AD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên ABCD trùng với giao điểm của AC và BD . Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng A1BD theo a . a 3 a a 3 A. . B. . a 3 C. . D. . 2 2 6 Hướng dẫn giải Chọn A.
Gọi O là giao điểm của AC và BD . Khi đó A1O  ABCD . Ta có: B1C P A1D B1C P A1BD d B1; A1BD d C; A1BD . Kẻ CH  BD thì CH  A1BD CD.CB a 3 d B1; A1BD CH . CD2 CB2 2 Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA = a. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng 30 . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM) với M là trung điểm CD . a 2a 4a 5a A. B. C. D. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A. Chứng minh DB  (SAC) Hình chiếu vuông góc của DS lên (SAC) là SO, góc giữa SD và (SAC) là DSO = 30 . Đặt DO = x, ta có SO S = x3 (O là giao điểm AC và BD) a Từ SO2 AO2 SA2 x 2 Gọi N là trung điểm AB DN // BM. H 1 Suy ra d(D;(SBM)) = d(N;(SBM)) = 2 A D d(A;(SBM)) N O M Kẻ AI  BM, AH SM. I B C Từ đó chứng minh được AH (SBM) d(A;(SBM)) = AH. a2 Trong (ABCD): S S S ABC ABCD BCM 2 1 2a Mà S AI.BM AI ABM 2 5 1 1 1 2a a Khi đó AH d(D;(SBM )) AH 2 AI 2 SA2 3 3 · · o Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang. ABC BAD 90 , BA BC a , AD 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2 . Gọi H là hình chiếu của A lên SB . Tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD 5a 4a 2a a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Hướng dẫn giải Chọn D S Gọi I là trung điểm AD . AD Ta có: CI IA ID , suy ra ACD vuông tại 2 C CD  AC . Mà SA  ABCD SA  CD nên ta H A I D có CD  SD hay SCD vuông tại D .Gọi d1 , d2 lần lượt là khoảng cách từ B , H đến mặt phẳng SCD SA SB Ta có: SAB SHA SH SA B C SH SA2 2 SB SB2 3 SH d2 2 2 Mà d2 d1 . SB d1 3 3 Thể tích khối tứ diện S.BCD : 1 1 2a3 V SA. AB.BC S.BCD 3 2 6 Ta có SC SA2 AC 2 2a, 1 CD CI 2 ID2 2a S SC.CD 2a2 SCD 2 2a3 3. 1 a Ta có: V d .S d 6 . S.BCD 3 1 SCD 1 2a2 2 2 a Vậy khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD là d d . 2 3 1 3 Câu 46. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB 3a, AD DC a. Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 600. Tính khoảng cách từ trung điểm cạnh SD đến mặt phẳng SBC . a 17 a 15 a 6 a 3 A. . B. . C. . D. . 5 20 19 15 Hướng dẫn giải Chọn B. Vẽ IK  BC BC  SIK S· KI là góc giữa mặt phẳng (SBC) với mặt đáy nên S· KI 600. Vì 1 a2 3a 2 S DI.DC , S IDC 2 4 IAB 4 Suy ra 2 S BIC SABCD S ICD S IAB a .
Mặt khác BC AB CD 2 AD2 a 5 1 2a 5 và S IK.BC. Suy ra IK IAB 2 5 2a 15 Trong tam giác vuông SIK ta có SI IK.tan 600 . 5 Gọi M là trung điểm của SD , tính d M , SBC . ED DC 1 1 Gọi E là giao điểm của AD với BC , ta có ED AD ID . EA AB 3 2 1 1 Do đó d M , SBC d D, SBC d I, SBC 2 4 Gọi H là hình chiếu của I lên SK ta có d I, SBC IH . Trong tam giác vuông SIK , ta có: 1 1 1 5 5 5 a 15 IH . IH 2 SI 2 IK 2 12a2 4a2 3a2 5 a 15 Vậy d M , SBC . 20 Chọn B. Câu 47. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh AA’, biết BM  AC’. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (BMC’). a 5 a 2 a 5 a 5 A. B. C. D. 5 2 3 4 Hướng dẫn giải Chọn B  1   1     1  Ta có: BM (BA BA') (BA BA BB ') BA BB ' 2 2 2    AC ' AA' A'C '    1    BM.AC ' (BA BB ')(AA' A'C ') 2     1   1   BA'.AA' BA.A'C ' BB '.AA' BB '.A'C ' 2 2 1 BA.AC.cos1200 BA.AA.cos00 2 1 BA.AC.cos1200 BB '.AA'.cos00 2 1 1 1 1 a.a.( ) h.h a2 h2 2 2 2 2 Theo giả thiết:
  1 1 BM  AC ' BM.AC ' 0 h2 a2 h a 2 2 a2 3 Diện tích tam giác ABC là: S ABC 4 3 Vì AM//(BCC’) nên V V hay V a3 M .BCC ' A.BCC ' M .BCC ' 12 Gọi H là hình chiếu của M trên BC’. Ta có: a 5 a 3 MB MC ' , BC ' a 2 MH MA'2 HC '2 2 2 1 a2 6 S MH.BC ' MBC ' 2 4 3V 2 Vậy khoảng cách cần tìm là d(C,(BMC ')) CBMC ' a . SMBC ' 2 Chọn B Câu 48. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ , đáy ABC có AC a 3, BC 3a, ·ACB 300 . Cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 và mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC).Điểm H trên cạnh BC sao cho HC=3HB và mặt phẳng (A’AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (A’AC) 2a 5 3 3a 3a 5 3a 5 A. B. C. D. 3 4 2 7 Hướng dẫn giải Chọn B. A' BC  ABC A' A'AH  ABC A' H  ABC A' H A' BC  A'AH Suy ra ·A' AH 600. B' C' AH 2 AC 2 HC 2 2.AC.HC.cos300 a2 AH a A' H AH.tan 600 a 3 A 3a2 3 9a3 V S .A' H .a 3 . ABC.A'B'C ABC 4 4 2 2 2 Vì AH AC HC HA  AC AA'  AC. B H C 1 1 S AC.A' A a 3.2a a2 3. A'AC 2 2 9 a3 3V 3 3a d B; A' AC A' ABC 4 . 2 SA' AC a 3 4
Chọn B. Câu 49. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ , ABC đều có cạnh bằng a, AA’ = a và đỉnh A’ cách đều A, B,C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và A’B. Tính theo a khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AMN). a 5 3a a 5 a 22 A. . B. . C. . D. . 23 33 22 11 Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi O là tâm tam giác đều ABC A'O  ABC A' C' a 3 2 a 3 Ta có AM , AO AM 2 3 3 B' a2 a 6 A'O AA'2 AO2 a2 ; 3 3 N Ta có: 1 E VNAMC S AMC .d N, ABC 3 A C 3V O d N, ABC NAMC M S AMC B 1 a2 3 1 a 6 S AMC S ABC ;d N, ABC A'O 2 8 2 6 1 a2 3 a 6 a2 2 V . . NAMC 3 8 6 48 a 3 Lại có: AM AN , nên AMN cân tại A. 2 A'C a Gọi E là trung điểm của MN, suy ra AE  MN, MN 2 2 3a2 a2 a 11 1 a2 11 AE AN 2 NE 2 ;S MN.AE 4 16 4 AMN 2 16 3a2 2 a2 11 a 22 d C; AMN : (đvđd) 48 16 11 Chọn D. Câu 50. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của AC . Hình chiếu của S trên mặt đáy là điểm H thuộc đoạn BM sao cho HM 2HB . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SHC bằng 2a 7 a 7 3a 7 2a 7 A. . B. . C. . D. . 14 14 14 7 Hướng dẫn giải Chọn D
d A, SCH 2d M , SHC . Dựng MK  CH Khi đó d A, SCH 2MK Mặt khác a 3 2 a 3 a BM MH BM ;MC 2 3 3 2 MH.MC a Suy ra MK do đó MH 2 MC 2 7 2a 7 d 2MK 7 Câu 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA a 3 . Gọi I là hình chiếu của A lên .S TừC I lần lượt vẽ các đường thẳng song song với SB, SD cắt BC, CD tại B, Q. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của PQ với AB, AD . Tính khoảng cách từ E đến (SBD). 3a 21 a 21 3a 21 a 21 A. B. C. D. 11 9 7 7 Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Qua A dựng AH  SO. Dễ dàng chứng minh được AH  BD. Khi đó AH = d(A;(SBD)). Trong tam giác vuông SAC, ta có: IC AC 2 AC 2 AB2 BC 2 2a2 2 CI.SC AC 2 SC SC 2 SA2 AC 2 SA2 (AB2 BC 2 ) 2a2 3a2 5 ∆CBS có IP//SB S IP CP CI CP 2 SB CB CS CB 5 Áp dụng định lý Talet: I PE BP 3 BE BC CP 3 H D CQ PC 2 CQ PC 2 A F 5 O Q Mà AB = CD = CQ + QP = CQ + BE = BE. B 3 P C Do tam giác AEF vuông tại A nên: E 2 1 1 1 2 32 32a S AE.AF AE 2 AB BE AB2 (đvdt) AEF 2 2 2 25 25
DA 5 3 d E, SBD d A, SBD DE 3 5 1 1 1 3a2 Tam giác SAO vuông tại A , khi đó AH 2 AH 2 SA2 AO2 7 3a 21 Vậy d E, SBD . 7 Câu 52. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, ACB = 300; M là trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 600. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Tính theo a khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (BMB’). a 5 3a 3a a 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C. A' Q A' H  ABC A' H là đường cao của hình C' lăng trụ. P AH là hình chiếu vuông góc của AA’ lên (ABC) B' A'A H 600 VABC. A’B’C’ A' H.SABC AC 2a,MA MB AB a a 3 3a AH A' H M C 2 2 A 2 1 1 a 3 H S BA.BC a.a 3 ABC 2 2 2 B 3a a2 3 3a3 3 ^ VABC.A'B'C ' . 2 2 4 E 3V d C ', BMB ' d C, BMB ' d A, BMB ' A.BMB' SBMB' 1 a3 3 V V V A.BMB' B'.AMB 6 ABC.A'B'C ' 8 Do BM  AHA' nên BM  AA' BM  BB ' BMB ' vuông tại B. 1 1 a2 3 3a3 3 a2 2 3a SBMB' BB '.BM a 3.a . Suy ra d C '; BMB ' : 2 2 2 8 2 4 a 3 3a (Cách 2: d A, BMB ' AE AH.sin AHE .sin 600 ) 2 4 Chọn C. Câu 53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD 2AB 2BC , CD 2a 2 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm M của cạnh.C KhoảngD cách từ trọng tâm G của tam giác SAD đến mặt phẳng SBM bằng
4a 10 3a 10 a 10 3a 10 A. . B. . C. . D. . 15 5 5 15 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi E là trung điểm của AD ta có CE AB ED . Có CD 2a 2 CE ED 2a Do vậy AD 4a; BD 2a . Gọi N là trung điểm của AB suy ra 1 MN 3a, S NM.AB 3a2 MAB 2 MA AN 2 NM 2 a 10 MB . Gọi L là trung điểm của DE ta có LA 3a và L là trung điểm của.AP d A, SBM 6 3 3 Khi đó LP 3a EP 4a; PA 6a. ,d E, SBM d G, SMB d E, SBM 4 2 2 4 4 4 3a 10 4a 10 Do đó d G, SBM d A, SMB AF . 9 9 9 5 15 2 Câu 54. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2a , AB a 2 , BC 2a . Gọi M là trung điểm của.C HaiD mặt phẳng SB vàD SA Mcùng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAM bằng 4a 10 3a 10 2a 10 3a 10 A. . B. . C. . D. . 15 5 5 5 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi H AM  BD . SBD  ABC Ta có: SH  ABC SAM  ABC
Lại có HB AB 1 2 d D, SAM d B, SAM HD DM 2 1 1 a2 S S S . ADM 2 ADC 4 ABCD 2 Ta có: 1 2 S AD.DM sin D sin D Dµ 45 ADM 2 2 Do vậy 10 AM AD2 DM 2 2AD.DM cos 45 a 2 2S 2a a 10 Do vậy DK ADM . AM 10 5 S.ABCD ABCD AB AD 2a Câu 55. Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại A và D , , o CD a ; góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 60 . Gọi I là trung điểm của AD , hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với ABCD . Tính theo a khoảng cách từ A đến SBC . a 15 3a 15 2a 15 2a 15 A. . B. . C. . D. . 5 10 10 5 Hướng dẫn giải Chọn D. SBI  ABCD Ta có SI  ABCD SCI  ABCD Trong mặt phẳng ABCD , dựng IK  BC, K BC Trong mặt phẳng SIK , dựng IH  SK, H SK Từ IH  SBC d I; SBC IB a2 3a2 S S S S 3a2 a2 IBC ABCD DIC ABI 2 2 2S 3a 5 BC 2a2 a2 a 5 IK IBC BC 5 Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD là S· KI . Nên 3a 15 S· KI 60 SI IK.tan S· KI 5 1 1 1 5 5 20 3a 15 Ta có: d I; SBC IH . IH 2 IS 2 IK 2 27a2 9a2 27a2 10 Trong mặt phẳng ABCD , gọi E là giao điểm của AD và BC thì E AI  SBC . d A; SBC EA 4 4 2a 15 d A; SBC d I; SBC . d I; SBC EI 3 3 5
Câu 56. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a; AD 2a, AA’ a .Gọi M là điểm chia AM đoạn AD với 3.Đặt x d AD’; B’C ; y d M ; AB’C . Tìm x.y MD 3a2 5a2 a2 3a2 A. B. C. D. 2 6 3 6 2 4 Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có B 'C / /(AA ' D ' D) d(B'C;AD') B'A' a x Goi I BM  AC d(M ;(AB 'C)) MI AM 3 d(B;(AB 'C)) BI BC 4 3 d(M ;(AB 'C)) d(B;(AB 'C)) 4 Tứ diện BAB’C vuông tại B nên ta có 1 1 1 1 9 d 2 (B;(AB 'C)) a2 a2 4a2 4a2 2a 3 2a a d(B;(AB 'C)) d(M ;(AB 'C)) . y 3 4 3 2 a a2 Vậy x.y a. 2 2
KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG - MẶT, MẶT- MẶT, ĐƯỜNG – ĐƯỜNG THẲNG Câu 57. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A' D ' . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ACC ') . a 3 a a a 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 3 4 Hướng dẫn giải Chọn D. A M D Ta có: Trong tam giác ACD : MN / / AC (1) . N Trong hình vuông AA' D ' D : B C AM A' P AM / / A' P AMPA' là hình chữ nhật. A' P D' AA'  AM MP / / AA' MP / /CC ' (2) . B' Từ (1) và (2) suy ra: (MNP) / /(ACC ') . C' d((MNP),(ACC ')) d(I,(ACC ')) (với I là trung điểm MN ). Gọi O AC  BD . IO  AC Mặt khác: IO  (ACC ') d(I,(ACC ')) IO . IO  CC ' 1 1 1 a 2 Mà: IO DO BD a 2 . 2 4 4 4 a 2 Suy ra: d((MNP),(ACC ')) . 4 Câu 58. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C ' có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 600 , đáy ABC là tam giác đều cạnh a và A' cách đều A, B,C . Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ. a 3 2a A. a . B. .a 2 C. . D. . 2 3 Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: (A' B 'C ') / /(ABC) A' C' d((A' B 'C '),(ABC)) d(A',(ABC)) . Gọi M là trung điểm BC . Gọi H là trọng tâm tam giácABC . B' A C H M B
Tam giác ABC đều, trọng tâm H và A' cách đều A, B,C . Suy ra: A' thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A' H  (ABC) d(A',(ABC)) A' H . Mặt khác: góc giữa cạnh bên và đáy bằng 600 ·A' AH 600 . A' H 2 a 3 Trong tam giác A' AM : tan 600 A' H AH.tan 600 . . 3 a . AH 3 2 Suy ra: d((A' B 'C '),(ABC)) a . Câu 59. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a , AC a 3 và BB C C là hình vuông. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC là a 3 3a 2 A. . B. .a C. . a 3 D. . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Ta có : B' C' AH  BC AH  BB C C A' AH  BB d AA , BC d AA , BB C C H Vì AA // BB C C . B C d A, BB C C AH Xét tam giác vuông ABC vuông tại A có : A 1 1 1 4 a 3 AH . AH 2 AB2 AC 2 3a2 2 a 70 Câu 60. Cho hình chóp S.ABC có SC , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB 2a, AC a và 5 hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh AB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA. 3a 4a a 2a A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Chọn B. Tam giác AHC vuông cân cạnh a nên CH a 2 Tam giác SHC vuông tại H nên 2a SH SC 2 CH 2 5 Dựng AK  BC, HI  BC . Đường thẳng qua
A song song với BC cắt IH tại D BC / / SAD d BC, SA d BC, SAD d B, SAD 2d H, SAD AD  SDH SAD  SDH . Kẻ HJ  SD HJ  SAD d H, SAD HJ 1 1 1 2a a Ta có: AK HD AK 2 AB2 AC 2 5 5 1 1 1 2a 4a HJ . Vậy d BC, SA HJ 2 HD2 HS 2 5 5 Chọn B. Câu 61. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng 3a. Chân đường cao hạ từ đỉnh S lên mặt phẳng ABC là điểm thuộc cạnh AB sao cho AB 3AH , góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng 600 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. a 3 a 3 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 25 45 15 5 Hướng dẫn giải Chọn A. Nhận thấy SH  ABC HC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng ABC S· CH 60o là góc giữa SC và mặt phẳng ABC Ta có: HC 2 AC 2 AH 2 2AC.AH.cos60o 1 9a2 a2 2.3a.a 7a2 2 HC a 7 SH HC.tan 60o a 21   Dựng AD CB AD//CB BC// SAD d SA; BC d BC; SAD d B; SAD 3d H; SAD Dựng HE  AD tại E AD  SHE SAD  SHE (theo giao tuyến SE) Dựng HF  SE tại F HF  SAD HF d H; SAD a 3 Ta có; HE AH sin 60o 2 1 1 1 4 1 29 a 21 3a 21 HF d B; SAD HF 2 HE 2 SH 2 3a2 21a 2 21a 2 29 29 3a 21 Vậy d SA; BC . 29 Chọn A.
Câu 62. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết AC 2a, BD 4a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC. 4a 13 a 165 4a 1365 a 135 A. . B. . C. . D. . 91 91 91 91 Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi O AC  BD, H là trung điểm của AB,suy ra SH  AB. Do AB SAB  ABCD và SAB  ABCD nên SH  ABCD AC 2a Ta có: OA a 2 2 BD 4a OB 2a 2 2 Ab OA2 OB2 a2 4a2 a 5 AB 3 a 15 1 1 SH ;S AC.BD 2a.4a 4a2 2 2 ABCD 2 2 Thể tích khối chóp S.ABCD là 1 1 a 15 2a3 15 V SH.S 4a2 S.ABCD 3 ABCD 3 2 3 Ta có: BC / / AD AD / / SBC d AD, SC d AD; SBC d A; SBC DoH là trung điểm của AB và B AH  SCB d A; SBC 2d H; SBC Kẻ HE  BC, H BC. Do SH  BC BC  SHE . Kẻ HK  SE, K SE, ta có BC  HK HK  SBC HK d H; SBC 2S S S 4a2 2a 5 HE BCH ABC ABCD BC BC 2BC 2a 5 5 1 1 1 5 4 91 2a 15 2a 1365 HK HK 2 HE 2 SH 2 4a2 15a2 60a2 91 91 4a 1365 Vậy d AD, SC 2HK . 91 Chọn C. Câu 63. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB AC 2a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh.A BiếtB SH , a khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC là 2a 4a a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 3 Hướng dẫn giải
Chọn A Dựng Ax//BC d SA, BC d B;SAx Dựng HK  Ax SHK  Ax Dựng HE  SK d B, SAx 2d H, SAx a Ta có: HK AH sin H· AK asin 56 2 SH.HK a d H, SAx HE SH 2 HK 2 3 2a Do đó d SA, BC 3 Câu 64. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD 3HB . Biết góc giữa mặt phẳng SCD và mặt phẳng đáy bằng 45. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là 3a 34 2a 13 2a 51 2a 38 A. . B. . C. . D. . 17 3 13 17 Hướng dẫn giải Chọn A Dựng HK  CD CD  SHK do vậy ·SCD, ABCD S· KH 45 . Ta có: HKD vuông cân tại K do vậy 3a 3a HK KD SH HK tan 45 . 2 2 Dựng Ax//BD ta có: d SA, BD d BD, SAx d H, SAx Dựng HE  Ax HE OA a 2 Dựng HF  SE HF  SAx SH.HE 3a 34 Ta có: HF SH 2 HE 2 17 S.ABCD ABCD a N Câu 65. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Gọi M và lần lượt là trung CN SH ABCD điểm các cạnh AB và AD ; H là giao điểm của và DM . Biết vuông góc với mặt SC a phẳng và SH a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và theo .
2 3a 2 3a 2a a A. . B. . C. . D. . 19 19 5 5 Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: ADM DCN nên ·ADM D· CN DM  CN Có DM  SH DM  SHC Hạ HK  SC tại K HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC Do đó d DM ;SC HK Trong tam giác vuông CND ta có: CD2 a2 2a CH.CN CD2 CH CN a 5 5 2 Mặt khác HK.SC SH.HC 2a a 3. SH.HC 2a2 3 2a 3 HK 5 SH 2 HC 2 4a2 19a2 19 3a2 5. 5 5 Câu 66. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB BC 2a ; hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng ABC . Gọi M là trung điểm của AB , mặt phẳng ABC đi qua SM và song song với BC cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a . 2a 39 2a 39 2a 11 2a 11 A. . B. . C. . D. . 13 13 13 13 Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng ABC nên SA  ABC . Từ AB  BC SB  BC nên S· BA là góc giữa SBC và ABC . Từ đó S· BA 60 ; SA AB.tan S· BA 2a 3 Kẻ đường thẳng đi qua N , song song với AB . Hạ AD  D AB P SND d AB;SN d AB; SND d A; SND Dựng AH  SD tại H AH  SND d A; SND AH . BC Tam giác SAD vuông tại A , có AH  SD và AD a 2
SA.AD 2a 39 d AB;SN AH . SA2 AD2 13 S.ABC ABC AB BC 2a Câu 67. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại B , . Tam giác SAC cân tại S có đường cao SO a 3 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC theo a . a 3 A. . B. . 2a 3 C. . a 3D. . a 2 Hướng dẫn giải Chọn C. Tam giác SAC cân tại S có SO  AC và SAC  ABC nên SO  ABC . Gọi D là điểm đối xứng với B qua O , khi đó ABCD là hình vuông nên AB PCD AB P SCD d AB;SC d AB; SCD Gọi E là trung điểm của AB d AB; SCD d E; SCD Gọi F là trung điểm của CD . Kẻ OH  SF H SF thì OH  SCD d O, SCD OH . Dựng EK POH K SF EK  SCD 1 1 1 4 d E; SCD EK và EK 2OH mà OH 2 OF 2 OS 2 3a2 a 3 OH EK d AB;SC 2OH a 3 2 Câu 68. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA 2HB . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a . a 42 a 42 a 42 a 42 A. . B. . C. . D. . 8 4 12 10 Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: S· CH ·SC; ABC 60 Kẻ Ax PBC . Gọi N và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên Ax và SN . 3 Ta có BC P SAN và BA nên 2
3 d SA; BC d B, SAN d H, SAN . 2 Ta cũng có Ax  SHN nên Ax  HK . Do đó HK  SAN d H, SAN HK 2a a 3 SH.HN a 42 AH , HN AH.sin 60 HK 3 3 SH 2 HN 2 12 a 42 Vậy d SA; BC . 8 Câu 69. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng SBD tạo với mặt phẳng ABCD một góc bằng 60 . Gọi M là trung điểm của AD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC vàBM . 2a 6a a 3a A. . B. . C. . D. . 11 11 11 11 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi O là tâm của hình vuông ABCD AO  BD BD  SAO . a 6 Do đó · SBD , ABCD S· OA 60 SA . 2 Qua C vẽ đường thẳng song song với BM cắt AD tại.E Khi đó BM // SCE d BM , SC d M , SCE 2 2 Mà ME AE d M , SCE d A, SCE 3 3 Kẻ AH  CE tại H suy ra CE  SAH và AH.CE CD.AE . Kẻ AK  SH tại K suy ra AK  SCE d A, SCE AK . 3a Mà AH nên 5 1 1 1 3a AK . AK 2 AH 2 SA2 11 2 3a 2a Do đó d BM , SC 3 11 11
Câu 70. Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài đường cao từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy ABC bằng a 21 . Góc tạo bởi mặt bên với mặt phẳng đáy bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của.A B, SC 7 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng.SA, MN 9a 3 3a 3 6a 3 12a 3 A. . B. . C. . D. . 42 42 42 42 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi H là tâm của tam giác ABC, I là trung điểm của.BC Suy ra · SBC , ABC ·SI, AI S¶IA 60 . 1 x 3 x Đặt AB x HI AI SH tan 60.HI 3 6 2 x a 21 2a 21 3a2 3 x S . 2 7 7 ABC 7 Gọi P là trung điểm của AC suy ra NP / /SA SA / / MNP . 3V d SA, MN d SA, MNP d A, MNP A.MNP . S MNP 9a3 7 • 3VA.MNP d N, ABC S AMP 392 1 1 a 21 a a2 21 • S MP.NP . . . MNP 2 2 7 2 28 9a 3 9a 3 Do đó d A, MNP d SA, MN 42 42 Câu 71. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm DD . Tính d CK; A D . 2a a 3a 4a A. . B. . C. . D. . 3 3 4 3 Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi M là trung điểm BB . Ta có: A M PKC nên d CK; A D d CK; A MD d K; A MD .
d K; A MD NK 1 Gọi N AK  A D , P AB  A M . Khi đó . d A; A MD NA 2 1 1 d CK; A D d A; A MD d A; A DP . 2 2 Tứ diện đều AA DP vuông tại A nên: 1 1 1 1 1 1 1 9 d 2 A; A DP A A2 AD2 AP2 a2 a2 4a2 4a2 2a a d A; A DP d CK; A D . 3 3 Câu 72. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB 2a ; BC a 2 ; BD a 6 . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là trọng tâm G của tam giác BCD, biết SG 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo a là: a a A. .a B. . 2a C. . D. . 2 3 Hướng dẫn giải Ta có ABCD là hình bình hành, S AB 2a, BC a 2, BD a 6 nên ABCD là hình chữ nhật. Dựng hình bình hành ACEB . Ta có AC / /BE, AC  SBE AC / / SBE mà SBE  SB vậy A D d SB, AC d AC, SBE d G, SBE . H Dựng GK  BE, K BE lại có SG  BE nên G BE  SGK . B C Dựng GH  SK, H SK lại có GH  BE nên K GH  SBE d G, SBE GH. E 1 1 1 Ta có GK d B, AC . Tam giác ABC vuông tại B suy ra vậy d 2 B, AC BA2 BC2 2a GK d B, AC . 3 2a Xét tam giác SGK vuông tại G , đường cao GH, SG 2a,GK có 3 1 1 1 GH a d SB, AC a . GH 2 GK 2 GS 2 Chọn A. Câu 73. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB 4a; BC 3a, gọi I là trung điểm của AB, hai mặt phẳng SIC và SIB cùng vuông góc với ABC , góc giữa hai mặt phẳng SAC và ABC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a là:
12a 3 3a 3 2a 3 5a 3 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 3 Hướng dẫn giải Ta có SIC , SIB cùng vuông góc với mặt phẳng ABC nên SI  ABC . Dựng hình bình hành ACBE . Ta có AC / /BE, AC  SBE AC / / SBE mà d SB, AC d AC, SBE d A, SBE SBE  SB vậy . 2d I, SBE Dựng IK  BE, K BE lại có SI  BE nên BE  SGK . Dựng IH  SK, H SK lại có IH  BE nên IH  SBE d I, SBE IH. S Kéo dài IK cắt AC tại D mà SI  AC SID  AC . Lại có SAC  ABC AC . SAD  ABC AD SAD  ASC SD A 600 D C Góc giữa SAC và ABC bằng S· DI suy ra H I S· DI 600 . E 1 K B Ta có ID IK d B, AC 2 1 1 1 Mà tam giác ABC vuông tại B suy ra vậy d 2 B, AC BA2 BC2 12a ID IK d B, AC . 5 12a 12a 3 Xét tam giác SID vuông tại I , ID , S· DI 600 suy ra SI . 5 5 Xét tam giác SIK vuông tại I , đường cao IH có 1 1 1 6a 3 12a 3 IH d SB, AC S IH 2 IK 2 IS 2 5 5 . Chọn A. · Câu 74. Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc BAD 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, SG  (ABCD) và a 6 SG . Gọi M là trung điểm CD. Tính khoảng cách a 6 3 3 giữa các đường thẳng AB và SM theo .a a 2 a 3 a 5 K a 7 A. . B. . C. . D. . H 2 2 2 A 2 600 B Hướng dẫn giải G O D J M C
Chọn A. Ta có: Gọi J, K lần lượt là hình chiếu của H lên DC,SJ 3 d AB, SM d AB, SDC d A, SDC d G, SDC 2 3 3 SG.GJ 3 SG.GC.sin G· CJ GK . . 2 2 SJ 2 SG2 GJ 2 3 SG.GC.sin G· CJ . 2 2 SG2 GC.sin G· CJ a 6 2 . .AC.sin 300 3 . 3 3 2 2 2 a 6 2 0 .AC.sin 30 3 3 a 6 2 a 6 2 a 3 . .2AO.sin 300 . .2. .sin 300 3 3 a 2 . 3 3 . 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 a 6 2 0 a 6 2 a 3 0 .2AO.sin 30 .2. .sin 30 3 3 3 3 2 Câu 75. hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD 2a , tam giác SAB cân 2a tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ D đến SBC bằng . Khoảng cách 3 giữa hai đường thẳng SB và AC là : a 10 a 10 2a 10 2a 5 A. . B. . C. . D. . 10 5 5 5 Hướng dẫn giải Chọn B. S Ta có: Vẽ đường thẳng d qua A và song song với AC Gọi K, I lần lượt là hình chiếu của H lên L d, SK I 2a 2a d D, SBC d A, SBc A K 3 3 2a a H B O a a D d H, SBC HI C 3 3 1 1 1 9 1 4 1 5 a 5 2 2 2 2 2 2 2 2 SH HI SH HB a SH a SH a 5 HK HK sin K· BH sin C· AB HB HB a .2a CB HK HB.CB 5a HK 2 AC HB AC 5.a 5
d AC, SB d A, SBK 2d H, SBK 2HL SH.HK SH.HK SH 2 SH a 10 = 2 2 2. 2 SK SH 2 HK 2 SH 2 2 5 Câu 76. Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của a2.d MN, A'C AB và CD. Khi đó, tỉ số bằng VA.A'B'C 'D' 2 2 3 2 2 A. B. C. D. 4 2 4 3 Hướng dẫn giải 1 1 1 Ta có: V AA'.S .a.a2 a3 . A.A'B'C 'D' 3 A'B'C 'D' 3 3 Vì MN / / A' BC d MN, A'C d MN, A' BC d M , A' BC d M , A' BC MB 1 Vì AM  A' BC B d A, A' BC AB 2 1 d M , A' BC d A, A' BC 2 Trong AA' B ' B , kẻ AH  A' B, H A' B . Vì BC  AA' B ' B BC  AH . AH  AA' B ' B AH  A' B AH  A' BC Vì AH  BC d A, A' BC AH AB2 BH 2 2 A' B a 2 2 a 2 a 2 Ta có: BH AH a 2 2 2 2 . 1 1 a 2 Khi đó: d MN, A'C d M , A' BC d A, A' BC AH . 2 2 4 2 a 2 2 a . a .d MN, A'C 3 2 Vậy 4 V 1 3 4 A.A'B'C 'D' a 3 Chọn C.