Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Phần 1: Khoảng cách (Có đáp án)

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Phần 1: Khoảng cách (Có đáp án)

1. KHOẢNG CÁCH A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng. M H Cho điểm M và một đường thẳng . Trong mp M , gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên . Khi đó khoảng cách MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến . d M , MH Nhận xét: OH OM ,M 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng Khoảng cách giữa hai đường thẳng D và D ' : - Nếu D và D ' cắt nhau hoặc trùng nhau thì d(D,D ') = 0. - Nếu D và D ' song song với nhau thì d(D,D ') = d(M ,D ') = d(N,D) M K ' H N 3. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng. M H d  Cho mặt phẳng và một điểm M , gọi H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng . Khi đó khoảng cách MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng . d M , MH 4. Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng. M H
2. Cho đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau. Khi đó khoảng cách từ một điểm bất kì trên đến mặt phẳng được gọi là khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng . d , d M , , M . - Nếu D cắt (a) hoặc D nằm trong (a) thì d(D,(a)) = 0. 5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng. M H  Cho hai mặt phẳng và  song song với nhau, khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳn kia được gọi là khoảng cách giữa hai mặt phẳng và  . d ,  d M ,  d N, , M , N  . 6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b. Độ dài đoạn vuông góc chung MN của a và b được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b . M ' N B – BÀI TẬP Câu 1: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây? A. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. B. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng ( ) chứa đường này và ( ) vuông góc với đường kia. C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc ( ) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b. D. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( ) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kì thuộc a tới mặt phẳng ( ) Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
3. D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó. Hướng dẫn giải:  Đáp án A: Đúng  Đáp án B: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố cắt nhau.  Đáp án C: Sai, vì mặt phẳng đó chưa chắc đã tồn tại.  Đáp án D: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố vuông góc. Chọn đáp án D. Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia. B. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ thuộc a tới mp(P). C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kỳ trên b. D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. DẠNG 1: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM M ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Δ . Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta cần xác định được hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng Δ , rồi xem M H là đường cao của một tam giác nào đó để tính. Điểm H thường được dựng theo hai cách sau: Trong mp M,Δ vẽ MH  Δ d M,Δ MH Dựng mặt phẳng α qua M và vuông góc với Δ tại H d M,Δ MH . Hai công thức sau thường được dùng để tính M H 1 1 1 ΔMAB vuông tại M và có đường cao AH thì . MH2 MA2 MB2 2S M H là đường cao của ΔMAB thì MH MAB . AB Câu 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với ABC và SA 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a2 , BC a . Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu? A. 2a. B. 4a. C. 3a. D. 5a. Hướng dẫn giải: Kẻ AH vuông góc với BC : 1 2.S 4a2 S AH.BC AH ABC 4a ABC 2 BC a Khoảng cách từ S đến BC chính là SH Dựa vào tam giác vuông SAH ta có SH SA2 AH 2 (3a)2 (4a)2 5a Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD trong đó SA, AB, BC đôi một vuông góc và SA AB BC 1. Khoảng cách giữa hai điểm S và C nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?
4. 3 A. 2. B. 3. C. 2. D. . 2 Hướng dẫn giải: SA  AB Do nên SA  (ABC) SA  AC SA  BC S Như vậy SC SA2 AC 2 SA2 (AB2 BC 2 ) 3 Chọn đáp án B. A C B Câu 3: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC  BCD và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC a 2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng 7 4 6 2 A. a . B. a . C. a . D. a . 5 7 11 3 Hướng dẫn giải: A a 3 Do ABC đều cạnh a nên đường cao MC 2 AC.MC 66 H d C, AM CH a 2 2 11 AC MC C D Chọn đáp án C. M B Câu 4: Trong mặt phẳng P cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng P lấy điểm S sao cho SA a . Khoảng cách từ A đến SBC bằng a 21 A. a 5. B. 2a. C. . D. a 3. 7 Hướng dẫn giải:  Gọi M là trung điểm của BC ; H là hình chiếu vuông góc của A trên SM.  Ta có BC  AM và BC  SA nên BC  SAM BC  AH. S Mà AH  SM , do đó AH  SBC . Vậy AH d A, SBC . a H a 3 AS.AM a 21 a  AM ; AH . A C 2 AS 2 AM 2 7 a Chọn đáp án C. M B Câu 5: Cho tứ diện SABC trong đó SA , SB , SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA 3a , SB a , SC 2a . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng: 3a 2 7a 5 8a 3 5a 6 A. . B. . C. . D. . 2 5 3 6
5. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. B + Dựng AH  BC d A, BC AH . H AS  SBC  BC AS  BC a + , AH cắt AS cùng AH  BC nằm trong SAH . ? BC  SAH  SH BC  SH . S 2a Xét trong SBC vuông tại S có SH là đường cao ta có: 3a C 1 1 1 1 1 5 4a2 SH 2 SH 2 SB2 SC 2 a2 4a2 4a2 5 2a 5 A SH . 5 + Ta dễ chứng minh được AS  SBC  SH AS  SH ASH vuông tại S . Áp dụng hệ thức lượng trong ASH vuông tại S ta có: 4a2 49a2 7a 5 AH 2 SA2 SH 2 9a2 AH . 5 5 5 Câu 6: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC  BCD và BCD là tam giác đều cạnh bằng a . Biết AC a 2 và M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng 2 6 7 4 A. a . B. a . C. a . D. a . 3 11 5 7 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Dựng CH  AM d C, AM CH . a 3 Vì BCD là tam giác đều cạnh a và M là trung điểm của BD nên dễ tính được CM . 2 Xét ACM vuông tại C có CH là đường cao, ta có: 1 1 1 1 1 11 6a2 A CH 2 CH 2 CA2 CM 2 2a2 3a2 6a2 11 4 6 CH a . a 2 11 ? H a a C D M a B Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD 2a, SA a. Khoảng cách từ A đến SCD bằng: 3a 3a 2 2a 2a 3 A. . B. . C. . D. . 7 2 5 3 Hướng dẫn giải:
6. SA  ABCD nên SA  CD; AD  CD . S Suy ra SAD  CD Trong SAD kẻ AH vuông góc SD tại H H . Khi đó AH  SCD SA.AD a.2a 2a 5 d A, SCD AH SA2 AD2 a2 (2a)2 5 A D Chọn đáp án C. Câu 8: Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến ABC bằng : B C A. 2a. B. a 3. C. a. D. a 5. Hướng dẫn giải: Gọi O là chân đường cao của hình chóp. S 2 2 3 Ta có AO AH .3a. a 3 3 3 2 d O,(ABC) SO SA2 AO2 a Chọn đáp án C. A C O H B Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a . Gọi M là trung điểm của CD . Khoảng cách từ M đến SAB nhận giá trị nào trong các giá trị sau? a 2 A. . B. 2a. C. a 2. D. a. 2 Hướng dẫn giải:  Khoảng cách từ M đến SAB : d M , SAB d D, SAB a. Chọn đáp án D. S a a D a A M B C Câu 10: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC  BCD và BCD là tam giác đều cạnh bằng a . Biết AC a 2 và M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng: 3a 2 2a 3 4a 5 a 11 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 2 Hướng dẫn giải:
7. Chọn D. AC  BD Ta có: BD  AM (Định lý 3 đường vuông CM  BD góc) d A; BD AM . a 3 CM (vì tam giác BCD đều). 2 3a2 a 11 Ta có: AM AC 2 MC 2 2a2 . 4 2 Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và Bˆ 60. Biết SA 2a . Tính khoảng cách từ A đến SC . 3a 2 4a 3 2a 5 5a 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 5 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Kẻ AH  SC , khi đó d A;SC AH . ABCD là hình thoi cạnh bằng a và Bˆ 60 VABC đều nên AC a . Trong tam giác vuông SAC ta có: 1 1 1 AH 2 SA2 AC 2 SA.AC 2a.a 2 5a AH . SA2 AC 2 4a2 a2 5 Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , SA 2a , ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Gọi O là tâm của ABCD , tính khoảng cách từ O đến SC . a 3 a 3 a 2 a 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 3 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. Kẻ OH  SC , khi đó d O;SC OH . Ta có: VSAC : VOCH (g-g) OH OC OC nên OH .SA . SA SC SC 1 a 2 Mà: OC AC , SC SA2 AC 2 a 6 . 2 2 OC a a 3 Vậy OH .SA . SC 3 3 Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng A. a 2 cot . B. a 2 tan . C. a 2 a 2 cos . D. sin . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. SO  ABCD , O là tâm của hình vuông ABCD .
8. Kẻ OH  SD , khi đó d O;SD OH , S· DO . a 2 Ta có: OH ODsin sin . 2 Câu 14: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA , AB , BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA 3a , AB a 3 , BC a 6 . Khoảng cách từ B đến SC bằng A. a 2 . B. 2a . C. 2a 3 . D. a 3 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Vì SA , AB , BC vuông góc với nhau từng đôi một nên CB  SB . Kẻ BH  SC , khi đó d B;SC BH . Ta có: SB SA2 AB2 9a2 3a2 2 3a . Trong tam giác vuông SBC ta có: 1 1 1 SB.BC 2 2 2 BH 2a . BH SB BC SB2 BC 2 Câu 15: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng: a 2 a 2 A. cosα B. a 2 tan C. sinα D. a 2 cotα 2 2 Hướng dẫn giải: a 2  AC a 2 OC 2  Khoảng cách cần tìm là đoạn OH . a 2 OH OC sin sin . S 2 Chọn đáp án C. H D α C a O A B Câu 16: Cho tứ diện ABCD có cạnh bên AC vuông góc với mặt phẳng (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC a 2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AM bằng 2 6 7 4 A. a . B. a . C. a . D. a . 3 11 5 7 Hướng dẫn giải: A Chọn đáp án B. Nối CM . Kẻ CH  AM Suy ra d(C; AM ) CH Xét ACM có a 2 1 1 1 1 1 11 H 2 2 2 2 2 2 CH AC CM a 2 a 3 6a 2 C B M D
9. 6 CH a 11 6 Vậy d(C; AM ) CH a . 11 Câu 17: Cho tứ diện ABCD có cạnh bên AC vuông góc với mặt phẳng (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC a 2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD bằng 3a 2 2a 3 4a 5 a 11 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. a 11 Ta có d(A; BD) AC  BCD AC  BD 2 Lại có với M là trung điểm BD mà BCD đều nên CM  BD AC  BD Từ đó ta có AM  BD CM  BD Suy ra d(A;BD) AM Xét tam giác vuông ACM , ta có 2 2 2 2 a 3 a 11 AM AC CM a 2 2 2 a 11 Vậy d(A; BD) . 2 Câu 18: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA 3a, AB a 3, BC a 6. Khoảng cách từ B đến SC bằng A. a 2 . B. 2a . C. 2a 3 . D. a 3 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Ta có SA  AB SB  BC AB  BC Suy ra SBC vuông tại B Kẻ BH  SC . Ta có d(B;SC) BH Lại có 1 1 1 1 1 1 BH 2 SB2 BC 2 SA2 AB2 BC 2 4a2 d(B;SC) BH 2a . Câu 19: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD bằng
10. a 6 a 3 A. a 2 . B. . C. . D. a 3 . 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của CD . Do ABCD.A B C D là hình lập B C phương nên tam giác ACD ' là tam giác đều cạnh a 2 . A D a 6 AM  CD d A,CD AM 2 M B' Đáp án: B. C' A' D' Câu 20: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng DB bằng a 6 a 3 a 6 A. a 2 . B. . C. . D. . 2 2 3 Hướng dẫn giải: Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống DB . B C Dễ thấy AD  ABB' A ADB'vuông đỉnh A . A D 1 1 1 a 6 AD a; AB a 2 AH AH 2 AD2 AB'2 3 Đáp án D. B' H C' A' D' Câu 21: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách từ ba điểm nào sau đây đến đường chéo AC bằng nhau ? A. A , B,C . B. B,C, D . C. B ,C , D . D. A, A , D . Hướng dẫn giải: Dễ thấy các tam giác ABC ',C CA, ADC là các tam giác vuông B C bằng nhau nên các đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống canh huyền cũng bằng nhau. A D Vậy: d B, AC d C, AC d D, AC Đáp án B. B' C' A' D'
11. DẠNG 2: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG. Để tính được khoảng từ điểm M đến mặt phẳng α thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm M trên . Phương pháp này, chúng tôi chia ra làm 3 trường hợp sau (minh hoạ bằng hình vẽ): TH 1: A là chân đường cao, tức là A º H . S P A K P Bước 1: Dựng AK   SAK  SAK và  SAK SK . Bước 2: Dựng AP  SK AP  d A, AP. TH 2: Dựng đường thẳng AH, AH P . A H A' H' Lúc đó: d A, d H, . TH 2: Dựng đường thẳng AH, AH Ç(a) = {I } . A H A' I H' d A, IA IA Lúc đó: d A, .d H, d H, IH IH Một kết quả có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đối với tứ diện vuông (tương tư như hệ thức lượng trong tam giác vuông) là: Nếu tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và có đường cao OH thì 1 1 1 1 . OH 2 OA2 OB2 OC 2 Câu 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA , AB , BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA a 3 , AB a 3 . Khoảng cách từ A đến SBC bằng:
12. a 3 a 2 2a 5 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 5 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. Kẻ AH  SB . BC  SA Ta có: BC  SAB BC  AH . BC  AB Suy ra AH  SBC d A; SBC AH . Trong tam giác vuông SAB ta có: 1 1 1 SA.AB 6a 2 2 2 AH . AH SA AB SA2 AB2 2 Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD 2a , SA a . Khoảng cách từ A đến SCD bằng: 3a 2 2a 3 2a 3a A. . B. . C. . D. . 2 3 5 7 Hướng dẫn giải: Chọn C. Kẻ AH  SD , mà vì CD  SAD CD  AH nên d A;SCD AH . Trong tam giác vuông SAD ta có: 1 1 1 AH 2 SA2 AD2 SA.AD a.2a 2a AH . SA2 AD2 4a2 a2 5 Câu 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a 3 . Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên: a 5 2a 3 3 2 A. . B. . C. a . D. a . 2 3 10 5 Hướng dẫn giải: Chọn C. SO  ABC , với O là trọng tâm của tam giác ABC . M là trung điểm của BC . Kẻ OH  SM , ta có BC  SO BC  SOM BC  OH BC  MO nên suy ra d O; SBC OH . 1 a 3 Ta có: OM AM 3 3 1 1 1 OH 2 SO2 OM 2
13. a 3 a 3. SO.OM 3a 3 OH 3 a . 2 2 3 30 10 SO OM 3a2 a2 9 Câu 4: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến BCD bằng: a 6 a 6 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 6 3 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: AO  BCD O là trọng tâm tam giác BCD . 3a2 a 6 d A; BCD AO AB2 BO2 a2 . 9 3 Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc B· AD 60o. Đường thẳng 3a SO vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SO . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng SBC 4 là: a 3a 3a a 3 A. . B. . C. . D. . 3 4 8 4 Hướng dẫn giải: Trong mặt phẳng ABCD : kẻ OK  BC K BC . S Mà BC  SO nên suy ra hai mặt phẳng SOK và SBC vuông góc nhau theo giao tuyến SK. Trong mặt phẳng SOK : kẻ OH  SK H SK . 3a/4 Suy ra: OH  SBC d O, SBC OH. H D a C a O 60 K A a B Câu 6: Cho hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc 60o , ABC cân ở C, ABD cân ở D. Đường cao DK của ABD bằng 12cm. Khoảng cách từ D đến ABC bằng A. 3 3 cm B. 6 3 cm C. 6 cm D. 6 2 cm Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm AB suy ra:
14. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên CM DH d(D,(ABC)) DH sin 600.DM 6 3 Chọn đáp án B. Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khi đó khoảng cách từ tâm của hình lập phương đến mặt phẳng (BDA ) bằng a 3 a 3 A. a 2 . B. a 3 . C. . D. . 3 6 Hướng dẫn giải: Bài toán chứng minh AC  A BD trong sách giáo B C K khoa đã có. Không chứng minh lại. A D Dễ dàng tìm được AC a 3 J O 1 a 3 d O, A BD OJ AC B' C' 6 6 Đáp án: D A' D' Câu 8: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Khoảng cách từ A đến (BDA ) bằng a 2 a 3 a 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 Hướng dẫn giải: A D AC '  BDA  1 Ta có  d A, BDA AG AC B C AC ' BDA G 3  G a 3 d A, BCA 3 A' Đáp án B. D' B' C' Câu 9: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Khoảng cách từ A đến (B CD ) bằng a 2 a 3 2a 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 3 Hướng dẫn giải: Ta có: AB' AC AD' B'D' B'C CD' a 2 A' D' Nên tứ diện AB 'CD ' là tứ diện đều. Gọi I là trung điểm B 'C , G là trọng tâm tam giác B 'CD '. B' C' Khi đó ta có: d A; B 'CD ' AG G 3 a 6 I Vì tam giác B 'CD ' đều nên D ' I a 2. . A 2 2 D 2 a 6 Theo tính chất trọng tâm ta có: D 'G D ' I . 3 3 B C Trong tam giác vuông AGD ' có: 2 2 2 2 a 6 2a 3 AG D ' A D 'G a 2 . Chọn C 3 3
15. Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB a. Mặt bên chứa BC của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45 . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy (ABC) . a a 2 a 3 3a A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi H là hình chiếu của S lên ABC , vì mặt bên SBC vuông S góc với (ABC) nên H BC. Dựng HI  AB, HJ  AC , theo đề bài ta có S· IH S· JH 450 . Do đó tam giác SHI SHJ (cạnh góc vuông - góc nhọn) A J C Suy ra HI HJ . Lại có Bµ Cµ 450 BIH CJH HB HC I H Vậy H trùng với trung điểm của BC . Từ đó ta có HI là đường AC a trung bình của tam giác ABC nên HI . 2 2 B Tam giác SHI vuông tại H và có S· IH 450 SHI vuông cân. a Do đó: SH HI .Chọn đáp án A. 2 Câu 11: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng b, cạnh đáy bằng d , với d b 3. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định bên dưới. 1 A. d S,(ABC) b2 d 2 . B. d S,(ABC) b2 d 2 . 2 1 C. d S,(ABC) b2 d 2 . D. d S,(ABC) b2 d 2 . 3 Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm của BC , H là trọng tâm tam giác ABC . Do S.ABC là hình chóp đều nên SH  ABC d S, ABC SH . d 2 d 3 Ta có AI AB2 BI 2 d 2 . S 4 2 2 d 3 d 2 AH AI SH SA2 AH 2 b2 . ChọnC. 3 3 3 A C H I B a 3 Câu 12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SO . Khoảng 3 cách từ điểm O đến cạnh bên SA bằng
16. a 6 a 3 A. a 6 . B. . C. a 3 . D. . 6 3 Hướng dẫn giải: Vì hình chóp S.ABC đều có SO là đường cao O là tâm của S ABC Gọi I là trung điểm cạnh BC . H a 3 2 a 3 Tam giác ABC đều nên AI AO AI . 2 3 3 A C Kẻ OH  SA . d O, SA OH . Xét tam giác SOA vuông tại O O : I 1 1 1 1 1 6 a 6 2 2 2 2 2 2 OH . B OH SO OA a 3 a 3 a 6 3 3 Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Khoảng cách từ A1 đến mặt phẳng C1D1M bằng bao nhiêu? 2a 2a 1 A. B. C. a D. a 5 6 2 Hướng dẫn giải: A M Gọi N là trung điểm cạnh DD1 và H A1N MD1 A M D D Khi đó ta chứng minh được A N  MD B C 1 1 N suy ra A1N  (C1D1M ) H N 2 2 D1 A1D1 A1D1 A1 d A1,(C1D1M ) AH A D A N 2 2 1 1 B C 1 A1D1 ND1 1 1 2a d A ,(C D M ) 1 1 1 5 Chọn đáp án A. Câu 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a . Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC bằng: A. 4a. B. 3a. C. a. D. 2a. Hướng dẫn giải: S  Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Do S.ABC là chóp đều nên SG  ABC . 2a 3a 3 2  AM AG AM a 3. 2 3 A C  SAG vuông tại SG SA2 AG2 4a2 3a2 a. G 3a M Chọn đáp án C. B Câu 15: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2 . Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên: a 3 a 2 2a 5 a 10 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 5 Hướng dẫn giải:
17. Chọn B. SO  ABCD , với O là tâm của hình vuông ABCD . M là trung điểm của CD . Kẻ OH  SM , ta có: DC  SO DC  SOM DC  OH . DC  MO nên suy ra d O; SCD OH . 1 a Ta có: OM AD 2 2 1 1 1 SO.OM 2a 2 2 2 OH . OH SO OM SO2 OM 2 3 Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD với SA a 6 . Khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng SCD lần lượt là: a 2 a 3 a 2 a 3 A. a 2 ; B. a 2 ; C. a 3 ; D. a 3 ; 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: S 1 1 1 1  d A, SCD AH; 2 2 2 2 AH a 2 . AH 6a 3a 2a H 1 a 2  d B, SCD d I, SCD .d A, SCD . 2 2 Chọn đáp án A. A I D B C
18. Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có ba kích thước AB = a, AD = b, AA1 = c. Trong các kết quả sau, kết quả nào sai? A. khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC1 bằng b. ab B. khoảng cách từ A đến mặt phẳng (B1BD) bằng . a2 b2 abc C. khoảng cách từ A đến mặt phẳng (B1BD) bằng . a2 b2 c2 2 2 2 D. BD1 a b c Hướng dẫn giải: A1 B1  d AB,CC1 BC b Câu A đúng.  c 2 2 1 1 1 a b ab D1 C1 d A, B1BD AH; 2 2 2 2 AH . AH a b ab a2 b2 A Câu B đúng. a B  Suy ra câu C sai. b  Suy ra câu D đúng, đường chéo hình chữ nhật bằng H 2 2 2 D C BD1 a b c . Chọn đáp án C. Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và góc B· AD 120 , đường cao SO a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) . a 67 a 47 a 37 a 57 A. . B. . C. . D. . 19 19 19 19 Hướng dẫn giải: Vì hình thoi ABCD có B· AD bằng 120 Suy ra tam giác ABC đều cạnh a . S Kẻ đường cao AM của tam giác ABC a 3 AM . 2 AM a 3 Kẻ OI  BC tại I OI . 2 4 Kẻ OH  SI OH  SBC A H B d O, SBC OH 120o Xét tam giác vuông SOI ta có: O M 1 1 1 a 57 I OH . D C OH 2 SO2 OI 2 19 Chọn D . Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 3a; AD 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AH 2HB. Góc giữa mặt phẳng SCD và mặt phẳng ABCD bằng 60 . Khoảng từ điểm A đến mặt phẳng SBC tính theo a bằng a 39 3a 39 6a 39 6a 13 A. . B. . C. . D. . 13 13 13 13
19. Hướng dẫn giải: S Kẻ HK  CD góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD là S· KH 60 I Có HK AD 2a , SH HK.tan 60 2a 3 Có BC  SAB , J Kẻ HJ  SB , mà HJ  BC HJ  SBC B C d A, SBC BA 60o 3 d H, SBC BH H K d A, SBC 3.d H, SBC 3HJ A 1 1 1 1 1 13 D Mà HJ 2 HB2 SH 2 a2 12a2 12a2 2a 39 6a 39 HJ d A, SBC . 13 13 ChọnC. Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a; A· BC 120 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là trọng tâm G của tam giác ABD, A· SC 90 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBD tính theo a bằng a 3 a 3 a 2 a 6 A. . B. . C. . D. . 6 3 3 3 Hướng dẫn giải: S Xác định khoảng cách: - Đặc điểm của hình: Có đáy là hình thoi, góc A· BC 120 a 3 nên tam giác ABD đều cạnh a; AC a 3; AG 3 Tam giác SAC vuông ở S , có đường cao SG nên H a 3 a 6 SA AG.AC .a 3 a ; SG 3 3 D C G Xét hình chóp S.ABD có chân đường cao trùng với tâm O A B của đáy nên SA SB SD a . - Dựng hình chiếu của Alên mặt phẳng SBD : Kẻ đường cao AH của tam giác SAO với O là tâm của hình thoi. BD  AC BD  SAO BD  AH BD  SG AH  BD AH  SBD . Vậy d A, SBD AH AH  SO - Tính độ dài AH SG.AO AH SO
20. a 3 a 6 a 3 Với AO ; SG ; SO 2 3 2 a 6 AH . 3 Cách khác: Nhận xét tứ diện S.ABD có tất cả các cạnh bằng a; Do đó S.ABD là tứ diện đều, vậy a 6 AH SG . 3 Chọn đáp án D . Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, DC. Góc giữa mặt phẳng SBM và mặt phẳng ABCD bằng 45 . Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SBM bằng a 3 a 2 a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2 Hướng dẫn giải: + Đặc điểm của hình: Đáy là hình vuông S ABCD nên AN  BM . Góc giữa mặt phẳng SBM và mặt phẳng ABCD là góc ·AIS 45 .Vậy tam giác ASI vuông cân tại A. AI a - Xác định khoảng cách: a d D, SBM d A, SBM AH . Với H là chân đường cao của tam giác ASI . 1 1 1 2 - Tính AH : AH 2 AS 2 AI 2 a2 A M D a 2 j AH . Chọn đáp án D 2 I N B C Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của cạnh AD, góc giữa hai mặt phẳng SAC và ABCD bằng 60 . Khoảng cách từ H đến mặt phẳng SBC tính theo a bằng a 11 a 11 a 33 2a 33 A. . B. . C. . D. . 33 11 11 11 Hướng dẫn giải: S - Đặc điểm của hình: Góc giữa hai mặt phẳng SAC và ABCD là S· IH 60 . a 2 a 6 IH SH IH.tan 600 4 4 - Xác định khoảng cách: d H, SAC HK . Với HK là đường cao của tam giác SHM với M là trung K điểm BC . - Tính HK . D C H O M A B
21. 1 1 1 1 1 11 Xét tam giác vuông SHM có 2 2 2 2 2 2 HK HS HM 6a a 3a 4 33a HK . Chọn đáp án C 11 Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABD. Cạnh bên SD tạo với mặt phẳng ABCD một góc bằng 60 . Khoảng cách từ A tới mặt phẳng SBC tính theo a bằng 3a 285 a 285 a 285 5a 285 A. . B. . C. . D. . 19 19 18 18 Hướng dẫn giải: 2 5a Đặc điểm hình: Góc giữa SD tạo với mặt phẳng ABCD là S· DE 60 . DE OD2 OE 2 ; 6 2 15 SE DE.tan 600 a 6 Xác định khoảng cách S 3 3 d A, SBC d E, SBC EH 2 2 Tính EH : 1 1 1 1 1 57 2 2 2 2 2 2 EH EK ES 2a 2 15a 20a 3 6 H 600 2 5a D EH . Vậy A 57 E 3 3 a 285 O d A, SBC d E, SBC EH . B 2 2 19 C Chọn đáp án B . K Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với AB 2a 3; BC 2a . Biết chân đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm đoạn DI và SB hợp với mặt phẳng đáy ABCD một góc 60 . Khoảng cách từ D đến SBC tính theo a bằng a 15 2a 15 4a 15 3a 15 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải: S Đặc điểm của hình: Góc giữa SB tạo với mặt phẳng 3 ABCD là S·BM 60 . BM BD 3a; 4 SM BM.tan 600 3 3a Xác định khoảng cách: 4 4 d D, SBC d M , SBC MH 3 3 H A D M I B K C
22. 1 1 1 1 1 5 Tính khoảng cách MH : 2 2 2 2 2 2 MH MK MS 3 3 3a 27a .2 3a 4 27 4 4 4 15 MH a , vậy d D, SBC d M , SBC MH a 5 3 3 5 Chọn đáp ánC. Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a, AC 2a, SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , SC tạo với mặt phẳng SAB một góc 30 . Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho BM 3MA. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCM là 34a 2 34a 3 34a 4 34a A. . B. . C. . D. . 51 51 51 51 Đặc điểm của hình: SC tạo với mặt phẳng S SAB góc C· SB 30 . BC 3a ; 0 SB BC.tan 30 a ; 300 2 3a 2 57 a MC 3a a ; MA ; 4 4 4 AC 2a ; AS 2 2a H 2S 19 AK AMC a D MC 19 A Xác định khoảng cách: d A, SBC AH M Tính AH K B 1 1 1 1 1 153 C 2 2 2 2 2 2 AH AK AS 19 2 2a 8a a 19 2 34 Vậy d A, SBC AH 51 Chọn đáp án B . Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và DC. Gọi H là giao điểm của CN và DM , biết SH vuông góc ABCD , SH a 3 . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SBP tính theo a bằng a 2 a 3 a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 2 Hướng dẫn giải:
23. Ta chứng minh : NC  MD Thật vậy : ADM DCM vì µA Dµ 900 ; AD DC; AM DN ·ADM D· CN; mà ·ADM M· DC 900 M· DC D· CN 900 NC  MD Ta có : BP  NC MD / /BP ; BP  SH BP  SNC SBP  SNC Kẻ HE  SF HE  SBP d H,(SBP) d(C,(SBP)) HE DC 2 2a 5 a 5 Do DC 2 HC.NC HC HF NC 5 5 SH.HF SH.HF a 3 Mà HE SF SH 2 HF 2 4 Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau, AD 2a 2; BC a 2 . Hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt đáy ABCD . Góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD bằng 60 . Khoảng cách từ M là trung điểm đoạn AB đến mặt phẳng SCD là a 15 a 15 3a 15 9a 15 A. . B. . C. . D. . 2 20 20 20 Hướng dẫn giải: Do SAC  ABCD , SBD  ABCD , SAC  SBD SO SO  ABCD Dựng góc giữa SCD ,(ABCD) : SCD  ABCD DC . Kẻ OK  DC SK  DC ·SCD , ABCD S· KO Kéo dài MO cắt DC tại E Ta có : S µ ¶ µ ¶ ¶ ¶ µ ¶ µ µ · 0 µ 0 A1 D1; A1 M1;M1 M 2 O1 D1 O1;O1 EOD 90 E 90 E  K 2a.a AB a 5 9a 5 2a 2 Ta có: OK ;OM ;MK A D a 5 2 2 10 H 1 1 M 60° 2 K 1 O 1 E B a 2 C
24. d(O,(SCD)) OE 9 d M ,(SCD) d(M ,(SCD)) ME 4 9 9 OK.OS a 15 9a 15 d O,(SCD) OH OH d M ,(SCD) 4 4 OK 2 OS 2 5 20 2a 15 OS OK.tan 600 5 Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA 3HD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết rằng SA 2 3a và đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc 30 . Khoảng cách từ M đến mặt phẳng SBC tính theo a bằng 2 66a 11a 2 66a 66a A. . B. . C. . D. . 11 66 11 11 Hướng dẫn giải: SC có hình chiếu vuông góc lên mp ABCD là HC S S·C, ABCD S· CH 300 Đặt AD 4x x 0 Ta có : 2 3a SA2 AH.AD 12a2 12x2 x a AD 4a, AH 3a, HD a K A Mà : H D SH SA2 AH 2 a 3 HC 3a DC 2 2a M 30° Kẻ HE  BC, SH  BC SHE  SBC Kẻ B E C HK HK  SE HK  SBC d H, SBC HK d M ,(SBC) 2 SH.EH 2a 66 a 66 HK d M ,(SBC) SH 2 EH 2 11 11 Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, AB a; BC a 3 , tam giác SAC vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của đoạn AI. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB tính theo a bằng a 3 a 3 3a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 2 Hướng dẫn giải: S Ta có : AC AB2 BC 2 2a , mà SAC vuông AB tại S SI a 2 a2 a 3 SH SI 2 HI 2 a2 4 2 Kẻ HK  AB; AB  SH AB  KHS SAB  (KHS) E Mà SAB  KHS SK . Kẻ A D K HE  SK HE  SAB d(H,(SCD)) HE H I a B C a 3
25. d C, SAB CA A HC  SAB 4 d C,(SAB) 4d(H,(SAB)) 4HE d H,(SAB) HA a 3 a 3 . HK.SH a 15 2a 15 HE 4 2 d C,(SAB) HK 2 SH 2 3a2 3a2 10 5 16 4 Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O, hình chiếu vuông góc của S trên ABCD là trung điểm của AO, góc giữa SCD và ABCD là 60 . Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng SCD tính theo a bằng 2a 3 a 2 2a 2 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải: S Chọn D. Ta có: HI CH 3 3a HI AD CA 4 4 L SH 3 3 tan 600 SH a HI 4 G 2 2 A 600 3 3a 3a 3 K D SI SH 2 HI 2 a H I 4 4 2 J O B 3 2 2 4 C d G, SCD d J, SCD d K, SCD . .d H, SCD 2 3 3 3 3 3 3a a. 8 8 8 SH.HI 8 3 d H, SCD HL . 4 4 a 9 9 9 SI 9 3a 3 2 Câu 31: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, AB AC a, B· AC 120 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh 3 bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc sao cho tan . Khoảng cách từ điểm C đến mặt 7 phẳng SAB tính theo a bằng a 13 3a 13 S A. . B. . 13 13 5a 13 3a C. . D. . 13 13 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: Gọi H là hình chiếu của J lên AB Gọi G là hình chiếu của G lên AB I Gọi I là hình chiếu của G lên SZ B C a G 0 J Z 120 a A H
26. 7 BJ BA2 AJ 2 2BA.AJ.cos1200 a 2 1 1 3a S .AB.AJ.sin1200 JH.AB JH BAJ 2 2 4 GZ BG 2 3 GZ a JH BJ 3 6 SG 3 SG 3 SG tan 2 GC 7 BG 7 BJ 3 2 7 SG . a a 7 2 SG.GZ d C, SAB 3d G, SAB 3GI 3. SZ 3 a. a SG.GZ 3 13 3 3. 6 a 2 2 2 13 SG GZ 3 a2 a 6 Câu 32: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SMN tính theo a bằng a 7a 3a a A. . B. . C. . D. . 7 3 7 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: 2 3a Trong SGC vuông tại G suy ra SG GC 3 a. 3 2 Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G trên MN và SE . Khi đó d C, SMN 3d G, SMN 3GF 1 1 2 GE d G,AC . .d M ,AC 2 2 3 S Ta có : 1 1 a 3 d M ,AC d B,AC . 3 6 12 Trong SGE vuông tại H suy ra a 3 .a GE.SG a GF 12 GE 2 SG2 2 7 a 3 2 a F 12 600 B N E C a G M A
27. Câu 33: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI, góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 60 . Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng SBC là a 21 a 21 4a 21 a 21 A. . B. . C. . D. . 4 29 29 29 2 29 Hướng dẫn giải: Chọn A. S Ta có: Trong ACI có trung tuyến AH suy ra 2 2 2 2 AI AC CI 7a2 a 7 AH . 4 16 4 a 21 Trong SHA vuông tại H suy ra SH AH 3 4 Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên BC và SE . Khi đó d H, SBC HF F 1 1 a 3 B Ta có : HE d I, BC d A, BC . C 2 4 8 H E Trong SHE vuông tại H suy ra I 600 a a 3 a 21 . A HE.SH a 21 HF 8 4 . 2 2 2 2 4 29 HE SH a 3 a 21 8 4
28. DẠNG 3: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG. Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình thang vuông cạnh a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và SAD . a 2 a 3 a a A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: Vì IJ // AD nên IJ // SAD a d IJ; SAD d I; SAD IA . 2 Câu 2: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D , AD 2a . Trên đường thẳng vuông góc tại D với ABCD lấy điểm S với SD a 2 . Tính khỏang cách giữa đường thẳng DC và SAB . 2a a a 3 A. . B. . C. a 2 . D. . 3 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Vì DC // AB nên DC // SAB d DC; SAB d D; SAB . Kẻ DH  SA , do AB  AD , AB  SAnên AB  SAD DH  AB suy ra d D;SC DH . Trong tam giác vuông SAD ta có: 1 1 1 SA.AD 2a 2 2 2 DH . DH SA AD SA2 AD2 3 2a Câu 3: Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH . Gọi M 3 và N lần lượt là trung điểm của OA và OB . Khoảng cách giữa đường thẳng MN và ABC bằng: a a 2 a a 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. Vì M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB nên MN // AB MN // ABC . 1 a 3 Ta có: d MN; ABC d M ; ABC OH (vì M 2 3 là trung điểm của OA). Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB SA 2a. Khoảng cách từ đường thẳng AB đến SCD bằng bao nhiêu? a 6 a 6 a A. . B. . C. . D. a. 2 3 2
29. Hướng dẫn giải: Gọi I, M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD thì CD  (SIM ) S Vẽ IH  SM tại H SM thì IH  (SCD) SO.IM d AB,(SCD) d I,(SCD) IH SM H SAB đều cạnh 2a SI a 3 SM a 3 A D 1 2 2 Và OM IM a SO SM OM a 2 I 2 O M SO.IM a 2.2a 2a 6 B Cuối cùng d AB,(SCD) C SM a 3 3 Chọn đáp án B. Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB vàCB. Tính khỏang cách giữa đường thẳng IJ và SAD . a 2 a a 3 a A. B. C. D. 2 2 3 3 Hướng dẫn giải: IJ / / AD IJ / /(SAD) a d IJ,(SAD) d I,(SAD) IA . 2 Chọn đáp án B. 2a Câu 6: Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH . 3 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB . Tính khoảng cách giữa đường thẳng MN và ABC . a 3 a 2 a a A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3 Hướng dẫn giải: Khoảng cách giữa đường thẳng MN và ABC : OH a 3 d MN, ABC d MNP , ABC . 2 3 2a Câu 7: Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA 3 và OB. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và ABC bằng a a 2 a O a 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 3 Hướng dẫn giải: M P Do MN // ABC d MN, ABC d M , ABC N A C H B
30. OA d O, ABC 2 d M , ABC MA d M , ABC Lại có 1 OH a 3 d O, ABC 2 2 3 Chọn D . Chọn đáp án A. Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , mặt đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và SAD . a 2 a 3 a a A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 Hướng dẫn giải: SA  ABCD SA  AI . S Lại có AI  AD ( hình thang vuông) suy ra IA  SAD theo tính chất hình thang, nên IJ PAD D a A d IJ, SAD d I, SAD IA 2 I J B C Câu 9: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D, AD 2a. Trên đường thẳng vuông góc với ABCD tại D lấy điểm S với SD a 2. Tính khoảng cách giữa DC và SAB . 2a a a 3 A. . B. . C. a 2 . D. . 3 2 3 Hướng dẫn giải: S * Trong tam giác DHA , dựng DH  SA ; * Vì DC / / AB d DC; SAB d D; SAB DH Xét tam giác vuông SDA có : 1 1 1 a 12 2a DH H DH 2 SD2 AD2 3 3 C Chọn A. D A B Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD) bằng S a 6 a 6 A. . B. . C. 2 4 2a 6 a 6 . D. . 9 3 Hướng dẫn giải: H Gọi O là tâm hình vuông ABCD A D Khi đó SO  ABCD . O I B C
31. Kẻ OI  CD,OH  SI OH  SCD a 2 a 2 Ta tính được AO , SO SA2 AO2 2 2 AD a OI 2 2 1 1 1 a 6 a 6 OH d A, SCD . OH 2 SO2 OI 2 6 3 Chọn D . Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CB D ) bằng a 2 2a 3 a 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 3 Hướng dẫn giải: Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ A 0;0;0 ; B 1;0;0 ; D 0;1;0 ; A 0;0;1 A' D' C 1;1;0 ; B 1;0;1 ; D 0;1;1 ;C 1;1;1   O' CB 0; 1;1 ;CD 1;0;1 Viết phương trình mặt phẳng CB D   B' C' Có VTPT n CB ;CD 1; 1; 1 A D CB D :1 x 1 1 y 1 1 z 0 0 x y z 2 0 H 1 0 0 2 1 3 O d BD; CB D d B; CB D a 12 12 12 3 3 a a 3 Vậy d BD; CB D . B C 3