›
›
›

Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Hai mặt phẳng song song

doc 50 trang nhungbui22 12/08/2022 3260
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Hai mặt phẳng song song", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docly_thuyet_va_bai_tap_hinh_hoc_lop_11_chu_de_hai_mat_phang_so.doc

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Hai mặt phẳng song song

  1. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa. Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung, kí hiệu P  . Vậy P     . 2. Định lý và tính chất. • Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau a,b và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng M a  thì P  . α b a  ,b  β Vậy a  b M P  . a P  ,b P  • Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. Hệ quả 1 Nếu d P thì trong có một đường thẳng song song với d và qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với . Hệ quả 2 Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song. Hệ quả 3 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  2. Cho điểm không nằm trên mặt phẳng .Mọi đường thẳng đi qua A và song song với đều nằn trong mặt phẳng qua A song song với . A , A  A d a Vậy d   . α A d P  P β • Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến đó song song với nhau. P  Vậy    b Pa .   a Hệ quả Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn bằng nhau. 3. Định lí Ta-lét (Thales) Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. P  P  A1B1 A2 B2 d1  A1 ,d1   B1 ,d1   C1 . B1C1 B2C2      d2 A2 ,d2 B2 ,d2 C2 Định lí Ta-lét( Thales) đảo d1 d2 A2 Cho hai đường thẳng d1 ,d2 chéo nhau và A1 γ các điểm A1 ,B1 ,C1 trên d1 , các điểm A1B1 A2 B2 A ,B ,C trên d sao cho . B1 2 2 2 2 B2 B1C1 B2C2 β Lúc đó các đường thẳng A1A2 ,B1B2 ,C1C2 cùng song song với một mặt phăng. C2 C1 α – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  3. 4. Hình lăng trụ và hình chóp cụt. 4.1. Hình lăng trụ Cho hai mặt phẳng song song và ' . A4 A5 A3 A1 A2 Trên cho đa giác A1A2 An . Qua các đỉnh α A1 , A2 , , An vẽ các đường thẳng song song với ' ' ' nhau cắt ' lần lượt tại A1 , A2 , , An . A'4 ' ' ' A'5 A'3 Hình gồm hai đa giác A1A2 An , A1A2 An và các A' α' A'1 2 ' ' ' ' ' ' hình bình hành A1A1A2 A2 , A2 A2 A3 A3 , , An An A1A1 ' ' ' được gọi là hình lăng trụ A1A2 An .A1A2 An . Lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp. 4.2. Hình chóp cụt. Cho hình chóp S.A1A2 An . S Một mặt phẳng không đi qua đỉnh, song song với A'1 A'4 mặt phẳng đáy của hình chóp cắt các cạnh bên A'5 α A'2 A'3 ' ' ' SA1 ,SA2 , ,SAn lần lượt tại A1 , A2 , An . Hình tạo bởi ' ' ' thiết diện A1A2 An và đáy A1A2 An cùng với các A5 A A4 ' ' ' ' ' ' 1 tứ giác A1A2 A2 A1 , A2 A3 A3 A2 , , An A1A1An gọi là A2 ' ' ' A3 hình chóp cụt A1A2 An .A1A2 An . B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  4. Bài toán 01: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG . Phương pháp: Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta có thể thực hiện theo một trong hai hướng sau: - Chứng minh trong mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau cùng song a song với mặt phẳng kia. α b a  ,b  a  b I P  . β a P  b P  - Chứng minh hai mặt phẳng đó cùng song song với măt mặt phẳng thứ ba. α P  P  .  P  β γ Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hìh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA,SD . Chứng minh OMN / / SBC . Lời giải: Ta có M,O lần lượt là trung điểm của S SA, AC nên OM là đường trung bình của tam giác SAC ứng với cạnh SC do đó M OM PSC . N A B OM PSC Vậy OM P SBC 1 . O SC  SBC C D – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  5. Tương tự, Ta có N,O lần lượt là trung điểm của SD,BD nên ON là đường trung bình của tam giác SBD ứng với cạnh SB do đó OM / /SB. ON PSB Vậy OM P SBC 2 . Từ 1 và 2 ta có SB  SBC OM P SBC ON P SBC OMN P SBC . OM ON O Ví dụ 2. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M,N sao cho AM BN . Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M,N lần lượt cắt AD và AF tại M ' và N '. Chứng minh: a) ADF P BCE . b) DEF P MM ' N ' N . Lời giải: AD PBC a) Ta có AD P BCE F E BC  BCE AF PBE Tương tự AF P BCE . N' N BE  BCE A AD  ADF B Mà ADF P BCE . AF  ADF M' M D C – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  6. b) Vì ABCD và ABEF là các hìnhvuông nên AC BF 1 . AM ' AM Ta có MM ' PCD 2 AD AC AN ' BN NN ' P AB 3 AF BF AM ' AN ' Từ 1 , 2 và 3 ta được M ' N ' PDF AD AF DF P MM ' N ' N . Lại có NN ' P AB NN ' PEF EF P MM ' N ' N . DF P MM ' N ' N Vậy DEF P MM ' N ' N . EF P MM ' N ' N Bài toán 02: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA VỚI HÌNH CHÓP KHI BIẾT VỚI MỘT MẶT PHẲNG  CHO TRƯỚC Phương pháp: - Để xác định thiết diện trong trường hợp này ta sử dụng các tính chất sau. - Khi P  thì sẽ song song với tất cả các đường thẳng trong  và ta chuyển về dạng thiết diện song song với đường thẳng (§3) P   P  Sử dụng   d' Pd, M d' .    d M   - Tìm đường thẳng d mằn trong  và xét các mặt phẳng có trong hình chóp mà chứa d , khi đó Pd nên sẽ cắt các mặt phẳng chứa d ( nếu có) theo các giao tuyến song song với d . Các ví dụ – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  7. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi đi qua MN và song song với mặt phẳng SAD .Thiết diện là hình gì? A.Tam giác B.Hình thangC.Hình bình hànhD.Tứ giác Lời giải: Ta có S M SAB  SAB  MK PSA,K SB . SAB  SAD SA K N SCD  Tương tự P SAD H SCD  SAD SD A B M SCD  NH PSD,H SC . D Dễ thấy HK  SBC . Thiết diện là tứ giác N C MNHK Ba mặt phẳng ABCD , SBC và đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là MN,HK,BC , mà MN PBC MN PHK . Vậy thiết diện là một hình thang . Ví dụ 2. Cho hìh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O có AC a,BD b . Tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng di động song song với mặt phẳng SBD và đi qua điểm I trên đoạn AC và AI x 0 x a . a) thiết diện của hình chóp cắt bởi là hình gi? A.Tam giác B.Tứ giácC.Hình thangD.Hình bình hành – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  8. b) Tính diện tích thiết diện theo a,b và x . Lời giải: a) Trường hợp 1. Xét I thuộc đoạn OA I  ABD Ta có P SBD S ABD  SBD BD  ABD MN PBD,I MN . P K N  SAD A Tương tự P SBD M B I SAD  SBD SD N H O I  SAD NP PSD,P SN . D L C Thiết diện là tam giác MNP . P SBD Do SAB  SBD SB MP PSB . Hai tam giác MNP và BDS có các cặp cạnh tương SAB  MP ứng song song nên chúng đồng dạng, mà BDS đều nên tam giác MNP đều. Trường hợp 2. Điểm I thuộc đoạn OC , tương tự trường hợp 1 ta được thiết diện là tam giác đều HKL như hv . b) Trường hợp 1. I thuộc đoạn OA 2 2 2 A BD 3 b 3 SMNP MN Ta có SBCD , 4 4 SBCD BD P Do M B C – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất Q N D
  9. MN AI 2x MN PBD BD AO a 2 2x b2 x2 3 SMNP SBCD . a a2 Trường hợp 2. I thuộc đoạn OC , tính tương tự ta có 2 2 2 2 HL 2 a x 2 b 3 b a x 3 SMNP SBCD [ ] . BD a 4 a2 b2 x2 3 ; I (OA) a2 Vậy Std 2 . b2 a x 3 2 ; I OC a Bài toán 03: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ THALES. Phương pháp: Định lí Thales thừng được ứng dụng nhiều trong các bài toán tỉ số hay các bài toán chứng minh đường thẳng song song với một mặt phẳng cố định. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD và M,N là các điểm thay trên các cạnh AB,CD sao cho AM CN . MB ND a) Chứng minh MN luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định. AM CN b) Cho 0 và P là một điểm trên cạnh AC . thiết diện của hình chóp cắt bởi MB ND MNP là hình gì? A.Tam giác B.Tứ giácC.Hình thangD.Hình bình hành c) Tính theo k tỉ số diện tích tam giác MNP và diện tích thiết diện. k 2k 1 1 A. B. C. D. k 1 k 1 k k 1 Lời giải: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  10. AM CN a) Do nên theo định lí Thales thì các đường thẳng MN, AC,BD cùng song MB ND song với một mặt phẳng  .Gọi là mặt phẳng đi qua AC và song song với BD thì cố định và P  suy ra MN luôn song song với cố định. AP b) Xét trường hợp k , lúc này MP PBC nên BC P MNP . PC Ta có : N MNP  BCD BC P MNP BCD  MNP NQ PBC,Q BD . BC  BCD Thiết diện là tứ giác MPNQ .Xét trường A AP hợp k PC M Trong ABC gọi R BC  MP P C B R Trong BCD gọi Q NR  BD thì thiết K diện là tứ giác MPNQ . N Q Gọi K MN  PQ D S PK Ta có MNP . SMPNQ PQ AM CN Do nên theo định lí Thales đảo thì AC,NM,BD lần lượt thuộc ba mặt NB ND phẳng song song với nhau và đường thẳng PQ cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại P,K,Q nên áp dụng định lí Thales ta được PK PK AM CN PK PK KQ k k . KQ MB ND PQ PK KQ PK k 1 1 KQ – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  11. Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.A' B'C' D' có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a . Các điểm M,N lần lượt trên AD',BD sao cho AM DN x 0 x a 2 . a) Chứng minh khi x biến thiên, đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định. a 2 b) Chứng minh khi x thì MN P A'C . 3 Lời giải: a) Gọi P là mặt phẳng qua AD và song song với D' C' A' D'CB . Gọi Q là mặt phẳng qua M và song A' B' song với A' D'CB . Giả sử Q cắt BD tại điểm N '. Theo định lí Thales ta có M D C N I O AM DN ' A 1 B AD' DB Vì các mặt của hình hộp là hình vuuong cạnh a nên AD' DB a 2 . Từ 1 ta có AM DN ' , mà DN AM DN ' DN N '  N MN  Q . Q P A' D'CB Mà MN P A' D'CB . MN  Q Vậy MN luôn song song với mặt phẳng cố định A' D'CB . b) Gọi O AC  BD . Ta có a 2 a 2 2 DN x ,DO DN DO suy ra N là trọng tâm của tam giác ACD . 3 2 3 Tương tự M là trọng tâm của tam giác A' AD . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  12. IN 1 IM 1 IN IM Gọi I là trung điểm của AD ta có , MN P A'C . IC 3 IA' 3 IC IA' Bài toán 01: CHỨNG MINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG CÙNG NẰM TRONG MỘT MẶT PHẲNG HOẶC BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG. Phương pháp: - Để chứng minh các đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng ta chứng minh các đường thẳng đó cùng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng. - Để chứng minh 4 điểm đồng phẳng ta chứng minh các điểm đó thuộc các đường thẳng mà các đường thẳng đó đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng nào đó. - Ngoài ra ta có thể sử dụng định lí Menelaus Trong không gian để chứng minh bốn điểm đồng phẳng. Định lí Menelaus Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là các điểm trên các đường thẳng AB,BC,CD,DA của tứ diện ABCD ( M,N,P,Q khác với A,B,C,D ) thì M,N,P,Q đồng phẳng khi và chỉ khi MA NB PC QD . . . 1. MB NC PD QA Các ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh định lý Menelaus. Lời giải: Phần thuận. Giả sử M,N,P,Q đồng phẳng. Từ các đỉnh A,B,C dựng các mặt phẳng ,  ,  theo thứ tự song song với MNPQ . Từ D dựng đường thẳng d cắt ,  ,  theo thứ tự tại A',B',C' và cắt MNPQ tại O . OA' OB' OC' OD γ Ta có . . . 1 A OB' OC' OD OA' β C' OA' MA Q M Theo định lí Thales thì A' O OB' MB C α D B' P – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất N B
  13. OB' NB OC' PC OD QD , , OC' NC OD PD OA' QA MA NB PC QD OA' OB' OC' OD . . . . . . 1. MB NC PD QA OB' OC' OD OA' Phần đảo. MA NB PC QD Giả sử . . . 1. Gọi E MNP  AD theo chứng minh trên,do MB NC PD QA MA NB PC ED QD ED M,N,P,E đồng phẳng nên . . . 1 E  Q . MB NC PD EA QA EA Vậy M,N,P,Q đồng phẳng. Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC . Chứng minh các đường phân giác ngoài tại S của các tam giác SAB,SAC,SBC cùng nằm trong một mặt phẳng. Lời giải: Gọi dC là đường phân giác ngoài của góc S trong tam giác SAB và I là trung điểm của AB . dC S Do tam giác SAB cân tại S nên SI  AB và SI là phân giác trong của góc S nên SI  dC . Vậy trong SAB , ta có C B I dC  SI dC P AB dC P ABC . AB  SI A Gọi là mặt phẳng qua S và song song với ABC . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  14. S d C dC P ABC Vậy dC  . P ABC S Tương tự , gọi dA ,dB là các đường phân giác ngoài góc S của các tam giác SBC,SCA thì dA và dB cũng nằm trong mặt phẳng nên các đường thẳng dA ,dB ,dC cùng nằm trong mặt phẳng qua S và song song với mặt phẳng ABC . Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là các điểm trên các cạnh MA PD AB,BC,CD,DA ( M,N,P,Q khác với các đỉnh của tứ diện) sao cho và MB PC NB QA . Chứng minh bốn điểm M,N,P,Q đồng phẳng. NC QD Lời giải: MA PD MA PC Ta có . 1 1 A MB PC MB PD NB QA NB QD M Tương tự . 1 2 NC QD NC QA Q B Từ 1 và 2 suy ra N C MA NB PC QD . . . 1 theo định lí P MB NC PD QA D Menelaus thì bốn điểm M,N,P,Q đồng phẳng. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  15. Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD và một điểm S trong không gian ( S không trùng với A,B,C,D ). Gọi E,F,H,K lần lượt là chân các đường phân giác trong góc S của các tam giác SAB,SBC,SCD,SDA . Chứng minh bốn điểm E,F,H,K đồng phẳng. Lời giải: Theo tính chất đường phân giác ta có A S EA SA KD SD , E EB SA KA SA HC SC FB SB , HD SD FC SC B K F C EA FB HC KD Suy ra . . . EB FC HD KA H D SA SB SC SD . . . 1 theo định lí SB SC SD SA Menelaus thì bốn điểm E,F,H,K đồng phẳng. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,SA . a) Chứng minh SBN P DPM . b) Q là một điểm thuộc đoạn SP (Q khác S,P ). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi đi qua Q và song song với SBN . c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi  đi qua MN song song với SAD . 47. Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình bình hành tâm O . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và CD . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  16. a) Chứng minh OMN P SBC b) Gọi I là trung điểm của SD , J là một điểm trên ABCD cách đều AB và CD . Chứng minh IJ P SAB . 48. Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình bình hành tâm O , các tam giác SAD và ABC đều cân tại A . Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB . Chứng minh EF P SAD . 49. Hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M,N sao cho AM BN . Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M,N lần lượt cắt AD, AF tại M ',N '. a) Chứng minh BCE P ADF . b) Chứng minh DEF P MNN ' M ' . c) Gọi I là trung điểm của MN . Tìm tập hợp điểm I khi M,N thay đổi trên AC và BF . 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB 3a, AD CD a . Mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và SA 2a , mặt phẳng song song với SAB cắt các cạnh AD,BC,SC,SD theo thứ tự tại M,N,P,Q . a) Chứng minh MNPQ là hình thang cân. b) Đặt x AM 0 x a . Tính x để MNPQ là tứ giác ngoại tiếp được một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. c) Gọi I MQ  NP . Tìm tập hợp điểm I khi M di động trên AD . d) Gọi J MP  NQ . Chứng minh IJ có phương không đổi và điểm J luôn thuộc một mặt phẳng cố định. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  17. 51. Cho hình chóp S.ABC , một mặt phẳng di động luôn song song với ABC , cắt SA,SB,SC lần lượt tại A',B',C'. Tìm tập hợp điểm chung của ba mặt phẳng A' BC , B' AC , C' AB . 52. Cho hình hộp ABCD.A' B'C' D' . a) Chứng minh BDA' P B' D'C . b) Chứng minh đường chéo AC' đi qua trọng tâm G1 ,G2 của các tam giác BDA',B' D'C đồng thời chia đường chéo AC' thành ba phần bằng nhau. c) Xác định thiết diện của hình hộp cắt A' B'G2 . Thiết diện là hình gì? 53. Cho hình hộp ABCD.A' B'C' D' có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a .Trên các cạnh AB,CC',C' D' và AA' lấy các điểm M,N,P,Q sao cho AM C' N C' P AQ x 0 x a . a) Chứng minh bốn điểm M,N,P,Q đồng phẳng và MP,NQ cắt nhau tại một điểm cố định. b) Chứng minh MNPQ đi qua một đường thẳng cố định. c) Dựng thiết diện của hình hộp khi cắt bởi MNPQ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của chu vi thiết diện. 54. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SAD vuông tại A . Qua điểm M trên cạnh AB dựng mặt phẳng song song với SAD cắt CD,SC,SB tại N,P,Q . a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. b) Gọi I NP  MQ . Tìm tập hợp điểm I khi M di động trên cạnh AB . 55. Cho hình chóp cụt ABC.A' B'C'. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh A' B',BB',BC . a) Xác định thiết diện của hình chóp cụt với MNP . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  18. b) Gọi I là trung điểm của AB . Tìm giao điểm của IC' với MNP . 56. Cho hình hộp ABCD.A' B'C' D' có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a . Các điểm M,N nằm trên AD',BD sao cho AM DN x 0 x a 2 a) Chứng minh khi x biến thiên thì MN luôn song song với một mặt phẳng cố định. a 2 b) Khi x , chứng minh MN P A'C . 3 57. Cho hình lăng trụ ABC.A' B'C' a) Gọi I,K,G lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A' B'C' và ACC' . Chứng minh IGK P BB'C'C và A'KG P AIB . b) Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của BB' và CC' . Hãy dựng đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC cắt AB' và PQ . 58. Cho mặt phẳng và hai đường thẳng chéo nhau d1 ,d2 cắt tại A,B . Đường thẳng thay đổi luôn song song với cắt d1 ,d2 lần lượt tại M và N . Đường thẳng qua N song song với d1 cắt tại N '. a) Tứ giác AMNN ' là hình gì? Tìm tập hợp điểm N '. b) Xác định vị rí của để độ dài MN nhỏ nhất. c) Gọi O là trung điểm của AB , I là trung điểm của MN . Chứng minh OI là đường thẳng nằm trong mặt phẳng cố định khi M di động. 59. Cho tứ diện đều cạnh a . Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và DBC . Mặt phẳng qua IJ cắt các cạnh AB, AC,DC,DB lần lượt tại M,N,P,Q . a) Chứng minh MN,PQ,BC đồng quy hoặc song song và MNPQ là hình thang cân. b) Đặt AM x, AN y . Chứng minh a x y 3xy . Tìm GTNN và GTLN của AM AN . c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và s x y . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  19. 60. Cho lăng trụ ABCD.A' B'C' D' có đáy là hình thang, AD CD BC a, AB 2a . Măt phẳng đi qua A cắt các cạnh BB',CC',DD' lần lượt tại M,N,P . a) Tứ giác AMNP là hình gì? b) So sánh AM và NP . Lời giải: 46. a) Ta có BN PDM BN P DPM 1 Tương tự DM  DPM BS PMP BS P DPM 2 MP  DPM P Từ 1 và 2 suy ra SBN DPM . S SB  SBN b) Ta có SB P . Q P SBN P L Q SAB  vậy SB  SAB SAB  QR PSB,R AB A D SB P K . M N R Tương tự B C  ABCD RK PBN,K CD – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  20.  SCD KL PSB, L SD . Vậy thiết diện là tứ giác QRKL . M   SAB S SA P  c) Ta có SA  SAB   SAB MF PSA,F SB Tương tự   SCD NE / /SD,E SC . F E A D Thiết diện là hình thang MNEF . M N B C 47. a) Do O, M lần lượt là trung điểm của AC,SA nên OM là đường trung bình của S tam giác SAC ứng với cạnh SC OM PSC . I Mà SC  SBC OM P SBC 1 . M Tương tự A H ON PBC  SBC ON P SBC 2 D J Từ 1 và 2 suy ra OMN P SBC . O N b) Gọi H,K lần lượt là trung điểm của B K C AD và BC . Do J  ABCD và d J, AB d J,CD nên – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  21. J HK IJ  IHK . Ta dễ dàng chứng minh được IHK P SAB . IJ  IHK Vậy IJ P SAB . IHK P SAB 48. Kẻ FI PSA,I AB IF P SAD . FS IA S Ta có 1 . FB IB Theo tính chất đường phân giác ta có FS SA AD 2 FB AB AC F ( Do các tam giác ASD, ABC cân tại A nên D A SA AD, AB AC ) E ED AD I Mặt khác 3 . EC AC B C IA ED Từ 1 , 2 và 3 suy ra IE P AD . IB EC Mà AD  SAD IE P SAD . IE P SAD Ta có IEF P SAD . IF P SAD Mà EF  IEF EF P SAD . 49. F E X N N' Q – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất J B A K I Y M' M P D C
  22. BE P AF a) Ta có EB P ADF . AF  ADF Tương tự BC P ADF . Từ đó ta có BCE / / ADF . b) Vì MM ' P AB MM ' PCD nên theo định lí Thales ta có AM AM ' 1 . AC AD BN AN ' Tương tự NN ' P AB 2 BF AF AM ' AN ' Từ 1 và 2 suy ra AD AF M ' N ' PDF  DEF M ' N ' P DEF . Lại có MM '/ /CD PEF MM ' P DEF DEF P MNN ' M ' . c) Gọi P MM ' BC,Q NN ' BE và J,K lần lượt là trung điểm các đoạn AB và CF . Gọi X N 'Q  FJ , Y M ' P CJ thì XY MPQN '  FCJ . Trong M ' PQN ' gọi I XY  MN . YM CM XN FN Ta có 3 và 4 mà AJ BJ, AC BF nên từ 3 , 4 suy ra AJ CA BJ FB YM XN XMYN là hình bình hành nên I là trung điểm của MN . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  23. M ' PQN ' P CEFE Do CFJ  M ' PQN ' XY XY PCF mà IX IY nên I thuộc đường trung trung CFJ  CEFE CF tuyến JK của tam giác JCF . Giới hạn: Khi N B M A I J Khi N F M C I K Phần đảo: (bạn đọc tự giải) Vậy tập hợp điểm I là đường trung tuyến JK của tam giác JCF . 50. P SAB S a) Do ABCD  SAB AB MN P AB 1 . ABCD  MN P SAB I  Q P Tương tự SCD ABCD CD J  A B SCD PQ F PQ PCD 2 . M K N Lại có AB PCD 3 D C Từ 1 , 2 và 3 ta có E MN P AB PCD PPQ nên MNPQ là hình thang (*) Dễ thấy rằng MQ PSA,NP PSB do đó MQ DM NP CN DM CN ; mà nên SA DA SB CB DA CB MQ NP . SA SB – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  24. Mặt khác SAB cân tại S SA SB MQ NP * * . Từ * và * * suy ra MNPQ là hình thang cân. b) MNPQ là tứ giác ngoại tiếp MQ NP MN PQ MQ DM a x Ta có MQ 2 a x NP 2 a x SA DA a PQ SQ AM x Lại có PQ x CD SD AD a Không khó khăn ta tính được MN 3a 2x a Do đó MQ NP MN PQ 4 a x 3a 2x x x . 3 a 7 Khi đó tính được r . 6 c) Gọi E AD  BC SE SAD  SBC . I MP  SAD I MP  NQ I SE . I NQ  SBC Giới hạn: Gọi I0 là giao điểm của SE với mặt phẳng  đi qua CD và song song với SAB . Khi M D N B I I0 Khi M A N B I S Phần đảo: ( bạn đọc tự giải) d) Gọi K IJ  MN , vì MNPQ là hình thang cân nên K là trung điểm của MN . Gọi F EK  AB thì F là trung điểm của AB nên F cố định – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  25. dễ thấy IJ PSF suy ra IJ có phương không đổi và điểm J thuộc mặt phẳng cố định SEF . 51. Bổ đề: A Cho tam giác ABC các điểm M,N thuộc các cạnh AB, AC sao cho MN PBC . Gọi E,F lần lượt là M F N trung điểm của BC, MN và I MB CN thì A,F,I,E thẳng hàng. I Chứng minh: B E C    AB  AC  Ta có 2AE AB AC AM AN AM AN    k AM AN 2kAF . AB AC Với k . AM AN Hay A,E,F thẳng hàng.      IB IC S Mặt khác 2IE IB IC IN IM IN IM    IB IC l IN IM 2lIF vời l I,E,F IN IM C' thẳng hàng. A' P Vậy A,F,I,E thẳng hàng. M B' N I C Quay lại bài toán: A G Gọi M AB' BA',P AC'CA',N BC'CB' và F E I CM  AN B I AN  ABC' I BP ABC'  BCA' . I CM  BCA' – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  26. Vậy I chính là điểm đồng quy của ba mặt phẳng A' BC , B' AC , C' AB . Gọi E,F lần lượt là trung điểm của BC,BA . Theo bổ đề trên ta có S,N,E thẳng hàng và I AN nên I SAE . Tương tự I SCF . Gọi G là trọng tâm của ABC thì SG SAE  SCF nên I SG . Từ đó dễ dàng lập luận được quỹ tích điểm I là đoạn thẳng SG trừ S và G . 52. a) Gọi O,O' lần lượt là trọng tâm các mặt ABCD và A' B'C' D'. D C Dễ thấy DBB' D' là hình bình hành nên O B' D' PBD  BDA' F E A I B B' D' P BDA' 1 . G2 D' G1 C' Tương tự OCO' A' là hình bình hành nên O'C / /OA'  A' BD O' A' B' CO' P A' BD 2 . Từ 1 , 2 suy ra A' BD P CB' D' . G1O OA 1 b) Ta có A'O là trung tuyến của tam giác A' BD và nên G1 là trọng G1A' A'C' 2 tâm của tam giác A' BD . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  27. Tương tự G2 cũng là trọng tâm của tam giác CB' D' .Dễ thấy OG1 và O'G2 là đường trung bình của các tam giác ACG2 và A'C'G1 nên 1 AG G G G C' AC' . 1 1 2 1 3 c) Gọi I là trung điểm của CD' . Do G2 là trọng tâm tam giác CB' D' nên I B'G2  A' B'G2 . I A' B'G  CDD'C' 2 A' B' PC' D' Vậy A' B'G  CDD'C' EF PC' D'  2 A' B' A' B'G2 C' D'  CDD'C' E CC',F DD' . Thiết diện là hình bình hành A' B' EF 53. a) Dễ thấy PN PCD' và QM P A' B mà A' B PC' D nên PN PQM hay M,N,P,Q đồng phẳng. D' P C' b) Do PC' MA là hình bình hành nên MP đi qua trung điểm O của AC' . S B' A' O MNPQ . O N Q D Mặt khác A' B PMQ  MNPQ C R A' B P MNPQ . A M B Gọi là đường thẳng qua O và song song với A' B thì cố định và  MNPQ . Hay MNPQ luôn chứa đường thẳng cố định . MNPQ P A' BC' BC' P MNPQ BC' PNR BR C' N a a x . Đảo lại x , dễ dàng chứng BC CC' 2 2 minh được MNPQ P A' BC' . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  28. c) Dễ thấy cắt BC, A' D' tại các trung điểm R và S của chúng. Thiết diện là lục giác MPNPSQ . Dễ thấy lục giác có tâm đối xứng là O nên MQ NP, MR NS,RN SQ do đó chu vi thiết diện là 2 a 2 2p 2 RM MQ QS . Ta có MR QS a x , QM x 2 4 2 a 2 Vậy 2p 2 x 2 2 a x . 4 2 Đặt f x x 2 a2 4 a x ; x [0; a]. Theo CauChy -Schwarz 2 2 1 a2 4 a x 12 12 a 2 a x a2 4 a x 3a 2x 2 1 3a a Nên f x x 2 3a 2x . Đẳng thức xảy ra khi x 2 2 2 Vậy min 2p 3 2a . Mặt khác bằng biến đổi tương đương ta có 2 2 2 x 2 a2 4 a x 2a a a x a x a2 0 đúng x 0; a . Đẳng thức xảy ra khi x a .Vậy max 2p 2a 2 1 . 54. S I d P SAB a) Ta có ABCD  MN MN P AB Tương tự Q ABCD  SAB AB P B A  SAB MQ PSA . M – Website chuyên đề thi, tài liệu file wordD mới nhấtN C
  29.  SCD NP PSD . Thiết diện là tứ giác MNPQ . MN PBC MN  Do PQ PMN 1 BC  SBC SBC  PQ Ta có MN P AD, MQ PSA mà AD  SA nên MN  MQ 2 Từ 1 , 2 suy ra MNPQ là hình thang vuông. I NP  SCD b) Gọi d SAB  SCD , khi đó I NP  MQ I d từ đây dễ I MQ  SAB dàng tìm được quĩ tích của điểm I . 55. a) Trong ABB' A' gọi J MN  AB , trong ABC gọi Q JP  AC . C' Ta có ABC P A' B'C' nên A' R M B' MNP  A' B'C' MR PPQ . H Q C Thiết diện là ngũ giác MNPQR. A K N b) Trong ABC gọi K PQ  IC thì I P K MNP MK  MNP . B J Do CI PC' M nên trong MICC' gọi – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  30. H IC' MK H IC' MNP . 56. a) Gọi là mặt phẳng đi qua M và song song với A' D'CB và D' C' N '  BD . AM DN ' Ta có 1 A' D' AD' DB Ta có AD' BD a 2 nên AM DN ' mà M D C AM DN N I O DN DN ' N  N ' . A B Vậy MN  P A' D'CB do đó MN song song với mặt phẳng cố định A' D'CB . a 2 b) Khi x thì dễ thấy M,N lần lượt 3 là trọng tâm các tam giác A' AD và CAD nên A' M và CN cắt nhau tại trung điểm I của AD . IM IN Khi đó MN P A'C . IA' IC 57. a) Gọi O, M,E,F lần lượt là trung điểm của B B' AC', AC,BC,B'C'. Chứng minh IGK P BCC' B' . E F K I A' Ta có A M O G C C' – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  31. MI MG IG PCC'  BCC' B' MB MC' IG P BCC' B' 1 1 OA' OA' A'G Tương tự 3 A'C A'C 4 OA' 2 3 . A'C 3 A'K 2 A'G A'K Lại có A' F 3 A'C A' F GK PCF  BCC' B' GK P BCC' B' 2 . Từ 1 , 2 suy ra IGK P BCC' B' . Chứng minh A'KG P AIB' . S Dễ thấy AA' FE là hình bình hành nên A' F P AE hay A' F P AIB' 3 . Cũng dễ thấy B P CF PEB'  AIB' CF P AIB' 4 B' R Từ 3 , 4 suy ra A'CF / / AIB' mà A'CF E I A A' chính là A'KG nên A'KG P AIB' . M b) Trong BCC' B' gọi R PQ  B' E C Q C' R PQ R B' E  AB' E Trong AB' E gọi S IR  AB' thì đường thẳng IR chính là đường thẳng cần dựng. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  32. 58. a) Ta có MA PNN ' 1 d1 MN P Do I d2 AMNN '  AN ' M N AN ' PMN 2 J N' Từ 1 , 2 suy ra AMNN ' là hình bình A O hành. B α Gọi  là mặt phẳng chứa d2 và song song với d1 thì NN '   N '  từ đó ta có N ' thuộc giao tuyến d3 của và  . b) Ta có MN AN ' nên MN nhỏ nhất khi AN ' nhỏ nhất AN '  d3 . Từ đó ta xác định như sau: - Dựng  chứa d2 và  Pd1 . - Dựng giao tuyến d3   . - Gọi N ' là hình chiếu của A trên d3 . - Từ N ' dựng đường thẳng song song với d1 cắt d2 tại N . - Từ N dựng đường thẳng song song với N ' A thì là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán. c) Gọi J là trung điểm của AN ' thì OIJ P  mà O cố định và  cố định nên OIJ cố định. Vậy OI thuộc mặt phẳng cố định đi qua O và song song với  . 59.a) Ta có ABC , DBC , đôi một cắt nhau theo A các giao tuyến là BC, MN,PQ nên theo định lí về giao tuyến thì BC, MN,PQ hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. M I N K – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất B D Q J E P C
  33. Ta chứng minh MNPQ là hình thang cân trong trường hợp BC, MN,PQ đồng quy EI EJ Gọi E là trung điểm của BC thì IJ P AD . EA ED IJ  AD  ACD Từ đó ta có NP PIJ . IJ P AD  ACD NP Tương tự MQ PIJ nên MNPQ là hình thang. Dễ thấy DQ AM x,DP AN y . Theo định lí cô sin ta có MN 2 AM 2 AN 2 2AM.AN cos600 x2 y2 xy . Tương tự PQ2 DP2 DQ2 2DP.DQcos600 x2 y2 xy MN PQ Vậy MNPQ là hình thang cân. Trường hợp BC, MN,PQ song song không có gì khó khăn bạn đọc tự kiểm tra. 1 1 a 3 1 a 3 c) Ta có S S S xy sin 600 x. sin 300 y. sin 300 AMN AIM AIN 2 2 3 2 3 a x y 3xy . b) Ta có AM AN x y . Theo BĐT Cauchy ta có 2 x y 2 4a a x y 3xy 3 3 x y 4a x y x y 2 3 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  34. 4a 2a AM AN . Đẳng thức xảy ra khi x y , khi đó đi qua IJ và song song 3 3 với BC . 2a Không giảm tổng quát ta có thể giả sử x y khi đó x [ ; a] 3 ax 3x2 Và x y x 3x a 3x a 3a 3a2 3a a x 2a x 3a x y 0 x y . Đẳng thức xảy ra khi 2 3x a 2 3x a 2 a x a y . Khi đó đi qua B . 2 4a 3a Vậy min AM AN ,max AM AN . 3 2 c) Dễ thấy MNPQ là hình thang cân có MQ a x,NP a y , giả sử x y a x a y . M a-x Q a y a x x y Ta có HN 2 2 MH 2 MN 2 NH 2 P 2 N x-y H K x-y 2 2 x y x y xy 2 2 2 . 2 2 3 x y 6xy 3s2 8as 4 4 3s2 8as MH 3xy a x y 2 1 1 2 SMNPQ MQ NP MH 2a x y 3s 8as 2 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  35. 1 2a s 3s2 8as . 4 60.a) Ta có ABB' A' P CDD'C' , B'  ABB' A' AM A'  CDD'C' NP AM PNP 1 C' D' do đó M J AMNP là hình thang. N B A I 2a P a a D a C b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, AM thì IC P AD IC P ADD' A' lại có IJ PBB' P AA' IJ P AA'  ADD' A' CIJN P ADD' A' Mặt khác  ADD' A' AP và  CIJN JN nên JN P AP 2 Từ 1 , 2 suy ra S APNJ là hình bình hành , do đó 1 PN AJ AM . I M 2 J D E C O N F A B – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  36. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  37. PHÉP CHIẾU SONG SONG HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH TRONG KHÔNG GIAN A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Phép chiếu song song. Cho mặt phẳng và một đường thẳng cắt . Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song với cắt tại điểm M ' xác định. Điểm M ' được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng theo phương . Mặt phẳng được gọi là mặt phẳng chiếu, phương của gọi là phương chiếu. Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với hình chiếu M ' của nó trên được gọi là phép chiếu song song lên theo phương . Ta kí hiệu Ch M M ' . 2. Tính chất của phép chiếu song song. • Phép chiếu song song biến ba điểm thảng hàng tành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó. • Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng. • Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành đường thẳng song song hặc trùng nhau. • Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng. 3. Hình biểu diễn của một số hình không gian trên mặt phẳng. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  38. • Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác tùy ý cho trước ( tam giác cân, đều, vuông ) . • Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước ( Hình vuông ,hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành ) • Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài của hai cạnh đáy được bảo toàn. • Hình elip là hình biểu diễn của hình tròn. B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: VẼ HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH H CHO TRƯỚC Phương pháp: Để vẽ hình biểu diễn của hình H ta cần xác định các yếu tố bất biến có trong hình H . - Xác định các yếu tố song song. - Xác định tỉ số điểm M chia đoạn AB . - Trong hình H ' phải đảm bảo tính song song và tỉ số của điểm M chia đoạn AB . Các ví dụ Ví dụ 1. Hình thang có thể là hình biểu diễn của một hình bình hành không. Lời giải: Hình thang không thể coi là hình biểu diễn của hình bình hành vì hai cạnh bên của hình thang không song song còn cặp cạnh đối của hình bình hành thì song song ( tính song song không được bảo toàn). Ví dụ 2. Vẽ hình biểu diễn của tứ diện ABCD lên mặt phẳng P theo phương chiếu AB ( AB không song song với P ). Lời giải: Vì phương chiếu l là đường thẳng AB nên hình A chiếu của A và B chính là giao điểm của AB và P . D B Do đó AB  P A'  B' C D' A'≡B' P C' – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  39. Các đường thẳng lần lượt đi qua C,D song song với AB cắt P tại C',D' thì C',D' chính là hình chiếu của C,D lên P theo phương AB . Vậy hình chiếu của tứ diện ABCD là tam giác A'C' D' . Bài toán 01: CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH TỈ SỐ CỦA HAI ĐOẠN THẲNG VÀ CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Phương pháp: MA Để tính tỉ số của điểm M chia đoạn AB ( tính ) ta xét phép MB Chiếu song song lên mặt phẳng theo phương l không song song với AB sao cho M ' A' ảnh của M, A,B là ba điểm M ', A',B' mà ta có thể tính được , khi đó M ' B' MA M ' A' . MB M ' B' Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD.A' B'C' D' . Xác định các điểm M,N tương ứng trên các MA đoạn AC',B' D' sao cho MN song song với BA' và tính tỉ số . MC' A.2 B.3C.4D.1 Lời giải: Xét phép chiếu song song lên mặt A K D phẳng A' B'C' D' theo phương chiếu BA'. Ta có N là ảnh của M hay M chính là giao điểm của B' D' và ảnh B AC' qua phép chiếu này . Do đó ta xác A' D' C N M – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất B' C'
  40. định M,N như sau: Trên A' B' kéo dài lấy điểm K sao cho A'K B' A' thì ABA'K là hình bình hành nên AK / /BA' suy ra K là ảnh của A trên AC' qua phép chiếu song song. Gọi N B' D' KC' . Đường thẳng qua N và song song với AK cắt AC' tại M . Ta có M,N là các điểm cần xác định. Theo định lí Thales , ta có MA NK KB' 2 . MC' NC' C' D' Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.A' B'C' D' . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CD và CC' . a) Xác định đường thẳng đi qua M đồng thời cắt AN và A' B. IM b) Gọi I, J lần lượt là giao điểm của với AN và A' B. Hãy tính tỉ số . IJ A.2 B.3C.4D.1 Lời giải: a) Giả sử đã dựng được đường thẳng B' C' cắt cả AN và BA'. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của với AN và BA'. A' D' Xét phép chiếu song song lên N J Δ I N' B – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất C I' M A D
  41. ABCD theo phương chiếu A' B. Khi đó ba điểm J,I, M lần lượt có hình chiếu là B,I ', M . Do J,I, M thẳng hàng nên B,I ', M cũng thẳng hàng. Gọi N ' là hình chiếu của N thì An' là hình chiếu của AN . Vì I AN I ' AN ' I ' BM  AN ' . Từ phân tích trên suy ra cách dựng: - Lấy I ' AN ' BM . - Trong ANN ' dựng II ' PNN ' ( đã có NN ' PCD' ) cắt AN tại I . - Vẽ đường thẳng MI , đó chính là đường thẳng cần dựng. b) Ta có MC CN ' suy ra MN ' CD AB. Do đó I ' là trung điểm của BM . Mặt IM khác II ' P JB nên II ' là đường trung bình của tam giác MBJ , suy ra IM IJ 1. IJ CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 61. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . M là trung điểm của SC . a) Tìm giao điểm I của SD với AMN SI b) Tính . ID 62. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Cọi N là trung điểm của SD còn I, J lần lượt là trung điểm của AB và ON . Chứng minh IJ P SBC . 63. Cho lăng trụ tam giác ABC.A' B'C'. Trên đường thẳng BA lấy điểm M sao cho A 1 nằm giữa B và M , MA AB . 2 a) Xác định thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi qua M,B' và trung điểm E của AC . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  42. BD b) Gọi D BC  MB' E . Tính tỉ số . CD 64. Cho tứ diện ABCD . Gọi M,P lần lượt là trung điểm các cạnh AD,BC còn N là 1 điểm trên cạnh AB sao cho AN AB . 3 a) Tìm giao điểm Q của DC với MNP . DQ b) Tính tỉ số . DC 65. Cho tứ diện ABCD , M là một điểm trên cạnh DB , là mặt phẳng đi qua M song song với AD,BC . a) Xác định thiết diện của hình chóp với . b) Xác định vị trí của M để thiết diện là hình thoi. c) Xác định vị trí của để diện tích thiết diện lớn nhất. 66. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm các mặt đối diện với các đỉnh A,B,C,D lần lượt là A',B',C',D' . Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm các cặp cạnh đối của tứ diện. a) Chứng minh AA',BB',CC',DD' đồng qui tại G ( G gọi là trọng tâm của tứ diện, AA',BB',CC',DD' được gọi là các đường trọng tuyến của tứ diện). b) Chứng minh bảy đoạn thẳng AA',BB',CC',DD', MN,PQ,RS đồng quy. 67. Cho tứ diện ABCD , G là trọng tâm của tam giác BCD và M là điểm thuộc miền trong tam giác BCD . Đường thẳng qua M và song song với AG cắt các mặt phẳng ABC , ACD , ABD tại P,Q,R . a) Chứng minh MP MQ MR không đổi khi M di động trong tam giác BCD . b) Xác định vị trí của điểm M để MP.MQ.MR đạt giá trị lớn nhất. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  43. 68. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Trên các cạnh BC,CD lấy các điểm M,N sao cho MC 1 CN 2 PA 4 , . Trên trung tuyến AP của tam giác ABD lấy điểm I sao cho . MB 2 CD 3 PI 5 Tính diện tích thiết diện tạo thành khi cắt tứ diện bởi MNP . 69. Cho hình hộp ABCD.A' B'C' D' . Xác định các điểm M,N trên các đoạn AC',B' D' MA tương ứng sao cho MN PBA' và tính tỉ số . MC' 70. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Gọi E là trung điểm của SC . Mặt phẳng thay đổi nhưng luôn chứa AE cắt SB,SD lần lượt tại M,N . Xác SM SN định vị trí của M,N trên các cạnh SB,SD sao cho đạt giá trị lớn nhất. SB SD ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 61. a) Gọi E AN CD,F AN  BC và I EM SD thì I SD  AMN . BF NB 1 b) Ta có BF P AD . Từ AD ND 3 BF 1 FC 2 AD 3 AD 3 EC FC 2 . ED AD 3 Kẻ CJ / /SD, J EI . Ta có MC CJ ID ED IS MS EC 2 ; . MS IS CJ EC ID MC ED 3 IS 2 Vậy . ID 3 62. Ta có ON PSB  SBC S – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mớiN nhất J D C O A I B
  44. ON P SBC 1 . Tương tự ON / /BC  SBC ON P SBC 2 Từ 1 , 2 suy ra ONI P SBC mà IJ  ONI IJ P SBC . 63. a) Trong ABB' A' gọi K MB' AA' . C' Trong ABC gọi D ME CB . Thiết diện là tứ giác DEKB'. B' A' b) Kẻ EF P AB F CB . Khi đó EF là đường trung bình của tam giác ABC và AB EF . Xét tam giác DBM ta có C K 2 D FD EF 1 1 1 FD BF FC , tức D F E BD BM 3 2 2 B M BD A là trung điểm của FC do đó 3 CD 64. D a) Trong ABC gọi E AC  NP , trong Q M – Website chuyên đề thi, tài liệu file wordF mới nhất K E A C N P B
  45. ACD gọi Q EM CD Q CD Q CD  MNP Q EM  MNP . b) Kẻ AF PCD,F AD , kẻ KP P AN,K AC . AF MA Ta có 1 AF DQ 1 , DQ MD AF EA 2 QC EC 1 1 3 Do KP AB .3AN AN nên 2 2 2 AN 2 KP 3 EA AN 2 EA 1 3 . EK KP 3 EC 2 QD FA EA 1 Từ 1 , 2 , 3 suy ra QC QC EC 2 QD 1 . DC 3 65. A M  ABD a) Ta có AD  ABD N AD P P  ABD MN P AD,N AB . B Tương tự  ABC NP PBC,P AC . M D Q – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mớiC nhất
  46.  BCD MQ PBC,Q CD . Thiết diện là tứ giác MNPQ . b) Giả sử có điểm M trên cạnh BD để MNPQ là hình thoi. MQ DM DM.BC Ta có MQ 1 BC DB DB MN MB MB.AD Tương tự MN 2 AD BD BD Do MNPQ là hình bình hành nên nó là hình thoi khi MN MQ , do đó từ 1 và 2 ta DM.BC AD.MB có = DM.BC DA DB DM DB BD AD.BD DM BC AD AD.BD DM . BC AD AD.BD Rõ ràng 0 DM BD nên điều kiện M nằm trên BD được thỏa mãn. BC AD AD.BD Vậy thiết diện là hình thoi khi M nằm trên cạnh BD sao cho DM . BC AD MQ MD MN MB MQ MN MD MB c) Ta có , 1 BC DB DA DB BC AD DB Vì MQ PBC, MN P AD mà BC, AD không đổi nên góc giữa MN và MQ không đổi, do đó SMNPQ MN.MQsin ( trong đó là góc giữa MN và MQ ). Ta thấy sin không đổi và – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  47. MN MQ S MN.MQsin AD.BC sin . . MNPQ AD BC 2 MN MQ AD.BC sin AD.BC sin AD BC 2 4 MN MQ 1 Đẳng thức xảy ra khi M là trung điểm của BD . AD BC 2 AD.BC sin Vậy thiết diện thiết diện lớn nhất bằng 4 khi M là trung điểm của BD . 66. a) Gọi N là trung điểm của cạnh CD , thì A ta dễ thấy A' BN và B' AN do đó trong ABN , AA' và BB' cắt nhau tại điểm G . M Tương tự chứng minh được các đường G thẳng AA',BB',CC',DD' đôi một cắt nhau, B' mà bốn đường thẳng đôi một cắt nhau thì B D chúng đòng quy. A' N b) Dễ dàng chứng minh được G là trung điểm của MN và từ đó ta có bảy đường C thẳng AA',BB',CC', DD', MN,PQ,RS đồng quy tại G . 67. a) Gọi I, J,K lần lượt là giao điểm của MG với Q BC,CD,BD , kẻ MH PGC,H BC thì ta có: MP IG IH S 3S Ta có MBC MBC AG IJ GC SGBC SBCD A – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất P I K R D B M G H J C
  48. MQ 3S MR 3S Tương tự MCD , MBD AG SBCD AG SBCD Từ đó ta có MP MQ MR 3AG . b) Theo BĐT Cauchy ta có 3 MP MQ MR 3 MP.MQ.MR AG 3 Đẳng thức xảy ra khi MP MQ MR AG M  G A 68. Cọi X MN  BD , E XP  AD , F XP  AB . Thiết diện là tứ giác MNEF . Dựng MQ PBD , Q CD . F P E CQ CM 1 Ta có N là trung điểm J CD CB 3 B X của QD do đó DX MQ I D N DX MQ 1 M . Q DB DB 3 C Dựng IJ PXF, J AB . Ta có AF AP 4 4 AF FJ 1 FJ AI 5 5 BF BX BX BX 6BX 6 BX 8 5 . JF BF 2 . JF IX ID DX 1 1 5BD 5 3 5 8 BD BD BX 2 3 4 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  49. 4 4 5 1 AF 1 Từ 1 , 2 suy ra AF FJ . FB FB 5 5 8 2 AB 3 CM 1 FA CM 1 Do FM P AC AC P MXF . CB 3 AB CB 3 2a a MF PNE . Vậy thiết diện MNEF là hình thang cân có MF ,NF ; AFE có 3 3 a 2a AF , AE . 3 3 a2 a EF 2 AE2 AF 2 2AE.AF cos600 EF . 9 3 2 2 FM EN a Đường cao của hình thang là h EF 2 2 3 1 11a2 Diện tích thiết diện S h MF NE . 2 24 3 MA 69. 2 . MC'   70. Gọi O AC BD,G AE SO , thì G là S trọng tâm của tam giác SAC Dễ thấy G MN . S SG.SM 2 SM Ta có SGM E S SO.SB 3 SB M SOB N G S SG.SN 2 SN D SGN A S SO.SD 3 SD SOD O B C – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  50. S S 2S 2S SMG SNG SMG SNG SSMG SSNG 2 SM SN SSOB SSOD SSBB SSBD Mặt khác S S 3 SB SB 2S 2SM.SN SOB SOD SMN SSBD SB.SD 1 SM SN SM.SN SB SD Suy ra 3 * 3 SB SD SB.SD SM SN SM SN 1 SM SN SB SD 1 SM.SD SN.SB 2 SB SD 3 SB SD SM SN 3 SN.SB SM.SD SB SD SM SN 1 a b Đặt a ,b thì a b 3 và 2 SM SN SB SD 3 b a Do a 1,b 1 và a b 3 nên ta có a [1; 2], từ đó . a b a 3 a 9 6a 2a2 5 Ta có ,a [1; 2] b a 3 a a a 3 a 2 SM SN 1 a b 1 5 3 2 2 . SB SD 3 b a 3 2 2 SM SN 3 Vậy max( ) khi M  B , N là trung điểm của SD hoặc N  D , M là trung SB SD 2 điểm của SB . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất