Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Tính giá trị, chứng minh, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương tình có chưa tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị - Đặng Việt Đông

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Tính giá trị, chứng minh, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương tình có chưa tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị - Đặng Việt Đông

1. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 PHẦN I – ĐỀ BÀI k k DẠNG 4: TÍNH GIÁ TRỊ, CHỨNG MINH, GIẢI PT, BPT, HPT CÓ CHỨA Pn , An , Cn Phương pháp: Dựa vào công thức tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị để chuyển phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tổ hợp về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số. 6 5 n 3 An An Câu 1: Cho Cn 1140 . Tính A 4 An A. 256 B. 342 C. 231 D. 129 1 1 1 C 2 C n Câu 2: Tính B , biết C1 2 n n n 45 2 2 2 n 1 n 1 A2 A3 An Cn Cn 9 10 1 A. B. C. D. 9 10 9 9 A4 3A3 Câu 3: Tính M n 1 n , biết C 2 2C 2 2C 2 C 2 149 . n 1 ! n 1 n 2 n 3 n 4 9 10 1 3 A. B. C. D. 10 9 9 4 n k Câu 4: Cho biết Cn 28. Giá trị của n và k lần lượt là: A. 8 và 4 . B. 8 và 3 . C. 8 và 2 . D. Không thể tìm được. 2 Câu 5: Nếu Ax 110 thì: A. x 10 . B. x 11. C. x 11hay x 10 . D. x 0 . 4 4 Câu 6: Nếu 2An 3An 1 thì n bằng: A. .n 11 B. . n 12 C. . n D.13 . n 14 Câu 7: Kết quả nào sau đây sai: 0 n 1 n 1 A. Cn 1 1 . B. Cn 1. C. Cn n 1. D. Cn n . Câu 8: Nghiệm của phương trình A3 20n là n A. n 6 . B. n 5. C. n 8 . D. không tồn tại. 6 7 8 9 8 Câu 9: Giá trị của n ¥ thỏa mãn đẳng thức Cn 3Cn 3Cn Cn 2Cn 2 là A. n 18. B. n 16 . C. n 15. D. n 14 . 2 2 Câu 10: Giá trị của n thỏa mãn 3An A2n 42 0 là A. 9 . B. 8 . C. 6 . D. 10. Câu 11: Cho đa giác đều n đỉnh, n ¥ và n 3 . Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo A. n 15. B. n 27 . C. n 8 . D. n 18. 3 2 Câu 12: Biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3Cn 1 3An 52(n 1) . Giá trị của n bằng: A. n 13. B. n 16 . C. n 15. D. n 14 . 0 x 1 x 2 Câu 13: Tìm x ¥ , biết Cx Cx Cx 79 A. x 13. B. x 17 . C. x 16 . D. x 12 . n 3 3 Câu 14: Giá trị của n ¥ thỏa mãn Cn 8 5An 6 là A. n 15. B. n 17 . C. n 6 . D. n 14 . 2 2 Câu 15: Giải phương trình với ẩn số nguyên dương n thỏa mãn An 3Cn 15 5n A. n 5 hoặc n 6 . B. n 5 hoặc n 6 hoặc n 12 . Trang 1
2. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 C. n 6 . D. n 5. n 1 n Câu 16: Tìm n ¥ , biết Cn 4 Cn 3 7(n 3) . A. n 15. B. n 18. C. n 16 . D. n 12 . 5 2 14 Câu 17: Giá trị của n ¥ bằng bao nhiêu, biết n n n . C5 C6 C7 A. n 2 hoặc n 4 . B. n 5. C. n 4 . D. n 3. n 2 n 1 n Câu 18: Giải phương trình sau với ẩn n ¥ :C5 C5 C5 25 A. n 3. B. n 5. C. n 3 hoặc n 4 . D. n 4 . 3 n 2 Câu 19: Tìm n ¥ , biết An Cn 14n . A. n 5. B. n 6 . C. n 7 hoặc n 8 . D. n 9 . 7n Câu 20: Giá trị của n ¥ thỏa mãn C1 C 2 C3 là n n n 2 A. .n 3 B. . n 6 C. . n 4 D. . n 8 2 Câu 21: Tìm số tự nhiên n thỏa An 210 . A. .1 5 B. . 12 C. . 21 D. . 18 2 n 1 Câu 22: Biết rằng An Cn 1 4n 6 . Giá trị của n là A. .n 12 B. . n 10 C. . n D.13 . n 11 Câu 23: Giải phương trình sau: Px 120 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 1 n 1 2 n 2 3 n 3 n Câu 25: Tìm n biết: Cn 3 2Cn 3 3Cn 3 nCn 256 A. n 4 B. n 5 C. n 6 D. n 7 0 1 2 n n Câu 26: Tìm n biết: Cn 2Cn 4Cn 2 Cn 243 A. n 4 B. n 5 C. n 6 D. n 7 1 2 2 3 n 2n 1 Câu 27: Tìm n biết: C2n 1 2.2C2n 1 3.2 C2n 1 (2n 1)2 C2n 1 2005 A. n 1100 B. n 1102 C. n 1002 D. n 1200 2 1 Câu 28: Tìm số nguyên dương n sao cho: An An 8 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6 5 Câu 29: Tìm số nguyên dương n sao cho: An 10An A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 10 9 8 Câu 30: Nghiệm của phương trình Ax Ax 9Ax là: A. x 10 . B. x 9. 91 C. x 11. D. x 9 và x . 9 4 4 Câu 31: Nếu 2An 3An 1 thì n bằng: A. n 11. B. n 12 . C. n 13. D. n 14 . 4 Câu 32: Tìm số nguyên dương n sao cho: Pn 1.An 4 15Pn 2 A. 3,4,5 B. 5,6,7 C. 6,8,2 D. 7,9,8 5 Câu 33: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) C n 1 C n A2 n 2 n 2 2 n A. n 2 B. n 3 C. n 5 D. n 4 3 n n n Câu 34: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) n! Cn .C2n .C3n 720 A. n 1,2,3 B. n 0,1,2 C. n 0,2,3 D. n 2,3,4 Trang 2
3. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 2 Cn 1 3 Câu 35: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) 2 n Cn 10 A. 2 n 4 B. 0 n 2 C. 1 n 5 D. 2 n 5 3 n 1 Câu 36: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) An 1 Cn 1 14 n 1 A. 2 n 4 B. 0 n 2 C. 1 n 5 D. 2 n 5 A4 143 Câu 37: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) n 4 n 2 ! 4Pn A. 2 n 4 B. 0 n 2 C. 1 n 5 D. 2 n 5 4 An 24 Câu 38: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) 3 n 4 An 1 Cn 23 A. 2 n 4 B. 0 n 2 C. 1 n 5 D. 2 n 5 2 2 Câu 39: Giải phương trình sau: 3Cx 1 xP2 4Ax A. x 3 B. x 4 C. x 5 D. x 6 5 2 14 Câu 40: Nghiệm của phương trình x x x C5 C6 C7 A. x 3 B. x 4 C. x 5 D. x 6 2 2 Câu 41: Giải phương trình sau: Px Ax 72 6(Ax 2Px ) x 3 x 3 x 2 x 1 A. B. C. D. x 4 x 2 x 4 x 4 2 x 2 2 3 3 x 3 Câu 42: Giải phương trình sau:Cx Cx 2Cx Cx Cx Cx 100 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 1 2 3 2 Câu 43: Giải phương trình sau:Cx 6.Cx 6.Cx 9x 14x A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 5 Câu 44: Giải phương trình sau:C 4 C3 A2 0 x 1 x 1 4 x 2 A. 11 B. 4 C. 5 D. 6 3 x 4 4 Câu 45: Giải phương trình sau: 24 Ax 1 Cx 23Ax A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3x 1 x2 2x 3 Câu 46: Giải phương trình sau: C2x 4 C2x 4 x 3 x 3 x 2 x 1 A. B. C. D. x 4 x 2 x 4 x 2 2 2 2 2 Câu 47: Giải phương trình sau:Cx 2Cx 1 3Cx 2 4Cx 3 130 A. 7 B. 4 C. 5 D. 6 x x 2Ay 5Cy 90 Câu 48: Giải hệ phương trình sau: x x 5Ay 2Cy 80 A. x 1; y 5 B. x 2; y 1 C. x 2; y 5 D. x 1; y 3 Trang 3
4. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 y 1 y Cx 1 Cx 1 Câu 49: Giải hệ phương trình sau: y 1 y 1 3Cx 1 5Cx 1 A. x 6; y 3 B. x 2; y 1 C. x 2; y 5 D. x 1; y 3 1 6 Câu 50: Giải bất phương trình sau: A2 A2 C3 10 2 2x x x x A. 3 x 4 B. 3 x C. x 4 D. x 4, x 3 P Câu 51: Giải bất phương trình sau: x 5 60Ak 2 (x k)! x 3 A. (x;k) (0;0),(1;1),(3;3) B. (x;k) (0;0),(1;0),(2;2) C. (x;k) (1;0),(1;1),(2;2),(3;3) D. (x;k) (0;0),(1;0),(1;1),(2;2),(3;3) Câu 52: Cho một tập hợp A gồm n phần tử ( n 4 ). Biết số tập con gồm 4 phần tử của A gấp 20 lần số tập con gồm hai phần tử của A. Tìm n A. 20 B. 37 C. 18 D. 21 Câu 53: Tìm k 1,2,3, ,n sao cho số tập con gồm k phần tử của tập A là lớn nhất. A. 12 B. 9 C. 21 D. 19 n k Câu 54: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho C2n 2n , trong đó k là một ước nguyên tố của n C2n . A. n=1 B. n=2 C. n=3 D. n=4 Câu 55: Cho S là tập các số nguyên trong đoạn 1;2002 và T là tập hợp các tập con khác rỗng của S.  m(X ) Với mỗi X T , kí hiệu m(X ) là trung bình cộng các phần tử của X. Tính m X T . T 3003 2003 4003 2003 A. m B. m C. m D. m 2 21 2 2 Trang 4
5. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI k k DẠNG 4: TÍNH GIÁ TRỊ, CHỨNG MINH, GIẢI PT, BPT, HPT CÓ CHỨA Pn , An , Cn Phương pháp: Dựa vào công thức tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị để chuyển phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tổ hợp về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số. 6 5 n 3 An An Câu 1: Cho Cn 1140 . Tính A 4 An A. 256 B. 342 C. 231 D. 129 Hướng dẫn giải: Chọn A. n ¥ ĐK: n 6 n! Ta có: C n 3 1140 1140 n 20 n 3!(n 3)! n(n 1) (n 5) n(n 1) (n 4) Khi đó: A n 4 (n 4)(n 5) 256 n(n 1) (n 3) 1 1 1 C 2 C n Câu 2: Tính B , biết C1 2 n n n 45 2 2 2 n 1 n 1 A2 A3 An Cn Cn 9 10 1 A. B. C. D. 9 10 9 9 Hướng dẫn giải: Chọn A. n! 2 n C 2!.(n 2)! C 1 Ta có: C1 n ; 2 n 2. n 1;.; n n 1 n 1 n! n 1 n! Cn Cn 1!.(n 1)! 1!.(n 1)! C 2 C n n(n 1) Nên C1 2 n n n 45 45 n 10 n 1 n 1 2 Cn Cn 1 1 1 1 9 B 1 . 2 2 2 n 10 A2 A3 An A4 3A3 Câu 3: Tính M n 1 n , biết C 2 2C 2 2C 2 C 2 149 . n 1 ! n 1 n 2 n 3 n 4 9 10 1 3 A. B. C. D. 10 9 9 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Trang 5
6. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 n ¥ Điều kiện: n 3 2 2 2 2 Ta có: Cn 1 2Cn 2 2Cn 3 Cn 4 149 n 1 ! n 2 ! n 3 ! n 4 ! 2 2 149 n 5 2! n 1 ! 2!n! 2! n 1 ! 2! n 2 ! A4 3A3 3 Do đó: M 6 5 . 6! 4 n k Câu 4: Cho biết Cn 28. Giá trị của n và k lần lượt là: A. 8 và 4 . B. 8 và 3 . C. 8 và 2 . D. Không thể tìm được. Hướng dẫn giải: Chọn C. Thử đáp án, dễ dàng tìm được n 8 và k 2 . 2 Câu 5: Nếu Ax 110 thì: A. x 10 . B. x 11. C. x 11hay x 10 . D. x 0 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Điều kiện: x ¢ , x 2 2 x! x 11 Ta có: Ax 110 110 x(x 1) 110 . x 2 ! x 10 So sánh điều kiện ta nhận x 11. 4 4 Câu 6: Nếu 2An 3An 1 thì n bằng: A. .n 11 B. . n 12 C. . n D.13 . n 14 Hướng dẫn giải: Chọn B. Điều kiện: n 4;n ¥ n! n 1 ! 2n Ta có: 2A4 3A4 2. 3. 3 n 12 . n n 1 n 4 ! n 5 ! n 4 Câu 7: Kết quả nào sau đây sai: 0 n 1 n 1 A. Cn 1 1 . B. Cn 1. C. Cn n 1. D. Cn n . Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 Vì Cn n nên câu C sai Câu 8: Nghiệm của phương trình A3 20n là n A. n 6 . B. n 5. C. n 8 . D. không tồn tại. Hướng dẫn giải: Chọn A. n! PT 20n, n ¥ ,n 3 n n 1 n 2 20n n 1 n 2 20 n2 3n 18 0 n 3 ! n 6 nhan n 6 . n 3 loai 6 7 8 9 8 Câu 9: Giá trị của n ¥ thỏa mãn đẳng thức Cn 3Cn 3Cn Cn 2Cn 2 là A. n 18. B. n 16 . C. n 15. D. n 14 . Hướng dẫn giải: Trang 6
7. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Chọn C. PP sử dụng máy tính để chọn đáp số đúng (PP trắc nghiệm): 6 7 8 9 8 + Nhập PT vào máy tính: Cn 3Cn 3Cn Cn 2Cn 2 0 + Tính (CALC) lần lượt với X 18 (không thoả); với X 16 (không thoả); với X 15 (thoả), với X 14 (không thoả) 2 2 Câu 10: Giá trị của n thỏa mãn 3An A2n 42 0 là A. 9 . B. 8 . C. 6 . D. 10. Hướng dẫn giải: Chọn C. * PP tự luận: + PT n! 2n ! 3. 42 0 , n ¥ ,n 2 3n n 1 2n. 2n 1 42 0 n2 n 42 0 n 2 ! 2n 2 ! n 6 nhan n 6 . n 7 loai * PP trắc nghiệm: 2 2 + Nhập vào máy tính PT 3An A2n 42 0 . + Tính (CALC) lần lượt với X 9 (không thoả); với X 8 (không thoả), với X 6 (thoả), với X 10 (không thoả). Câu 11: Cho đa giác đều n đỉnh, n ¥ và n 3 . Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo A. n 15. B. n 27 . C. n 8 . D. n 18. Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 + Tìm công thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo bởi n đỉnh là Cn , trong đó có n cạnh, suy ra 2 số đường chéo là Cn n . 2 + Đa giác đã cho có 135 đường chéo nên Cn n 135. + Giải PT n! 2 n 18 nhan : n 135 , n ¥ ,n 2 n 1 n 2n 270 n 3n 270 0 n 2 !2! n 15 loai n 18 . 3 2 Câu 12: Biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3Cn 1 3An 52(n 1) . Giá trị của n bằng: Trang 7
8. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 A. n 13. B. n 16 . C. n 15. D. n 14 . Hướng dẫn giải: Chọn A. * PP tự luận: PT n 1 ! n! n 1 n n 1 3. 3. 52 n 1 , n ¥ ,n 2 3 n 1 n 52 n 1 n 2 !3! n 2 ! 2 2 n 13 nhan n n 1 6n 104 n 5n 104 0 n 13 . n 8 loai * PP trắc nghiệm: 3 2 + Nhập vào máy tính 3Cn 1 3An 52(n 1) 0 . + Tính (CALC) lần lượt với X 13 (thoả); với X 16 (không thoả), với X 15 (không thoả), với X 14 (không thoả). 0 x 1 x 2 Câu 13: Tìm x ¥ , biết Cx Cx Cx 79 A. x 13. B. x 17 . C. x 16 . D. x 12 . Hướng dẫn giải: Chọn D. * PP tự luận: PT x! x! x 1 x 1 79 x ¥ , x 1 1 x 79 x2 x 156 0 x 1 ! x 2 !2! 2 x 12 nhan x 12. x 13 loai * PP trắc nghiệm: 0 x 1 x 2 + Nhập vào máy tính Cx Cx Cx 79 0 . + Tính (CALC) lần lượt với X 13 (không thoả); với X 17 (không thoả), với X 16 (không thoả), với X 12 (thoả). n 3 3 Câu 14: Giá trị của n ¥ thỏa mãn Cn 8 5An 6 là A. n 15. B. n 17 . C. n 6 . D. n 14 . Hướng dẫn giải: Chọn B. * PP tự luận: PT n 8 ! n 6 ! n 4 n 5 n 6 n 7 n 8 5. , n ¥ 5. n 4 n 5 n 6 5! n 3 ! n 3 ! 5! n 7 n 8 2 n 17 nhan 5 n 15n 544 0 n 17 . 5! n 32 loai * PP trắc nghiệm: Trang 8
9. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 n 3 3 + Nhập vào máy tính Cn 8 5An 6 0 . + Tính (CALC) lần lượt với X 15 (không thoả); với X 17 (thoả), với X 6 (không thoả), với X 14 (không thoả). 2 2 Câu 15: Giải phương trình với ẩn số nguyên dương n thỏa mãn An 3Cn 15 5n A. n 5 hoặc n 6 . B. n 5 hoặc n 6 hoặc n 12 . C. n 6 . D. n 5. Hướng dẫn giải: Chọn A. * PP tự luận: PT n! n! 3 n 1 n 3. 15 5n , n ¥ ,n 2 n 1 n 15 5n n 2 ! n 2 !2! 2 2 n 6 nhan n 11n 30 0 . n 5 nhan * PP trắc nghiệm: 2 2 + Nhập vào máy tính An 3Cn 15 5n 0 . + Tính (CALC) lần lượt với X 5, X 6 (thoả); với X 5, X 6, X 12 (không thoả), với X 6 (thoả), với X 5 (thoả). + KL: Giải phương trình được tất cả các nghiệm là n 6 hay n 5. n 1 n Câu 16: Tìm n ¥ , biết Cn 4 Cn 3 7(n 3) . A. n 15. B. n 18. C. n 16 . D. n 12 . Hướng dẫn giải: Chọn D. * PP tự luận: PT n 4 ! n 3 ! n 2 n 3 n 4 n 1 n 2 n 3 7 n 3 , n ¥ 7 n 3 3! n 1 ! 3!n! 6 6 n 2 n 4 n 1 n 2 42 3n 6 42 n 12. * PP trắc nghiệm: n 1 n + Nhập vào máy tính Cn 4 Cn 3 7(n 3) 0 . + Tính (CALC) lần lượt với X 15 (không thoả); với X 18 (không thoả), với X 16 (không thoả), với X 12 (thoả). + KL: Vậy n 12 . 5 2 14 Câu 17: Giá trị của n ¥ bằng bao nhiêu, biết n n n . C5 C6 C7 Trang 9
10. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 A. n 2 hoặc n 4 . B. n 5. C. n 4 . D. n 3. Hướng dẫn giải: Chọn D. * PP tự luận: PT 5 2 14 5. 5 n !n! 2. 6 n !n! 14. 7 n !n! , n ¥ ,0 n 5 5! 6! 7! 5! 6! 7! 5 n !n! 6 n !n! 7 n !n! 5.6.7 2.7. 6 n 14 6 n 7 n 210 84 14n 14n2 182n 588 2 n 11 loai 14n 196n 462 0 n 3. n 3 nhan * PP trắc nghiệm: 5 2 14 + Nhập vào máy tính n n n 0 . C5 C6 C7 + Tính (CALC) lần lượt với X 2, X 4 (không thoả); với X 5 (không thoả), với X 4 (không thoả), với X 3 (thoả). + KL: Vậy n 3. n 2 n 1 n Câu 18: Giải phương trình sau với ẩn n ¥ :C5 C5 C5 25 A. n 3. B. n 5. C. n 3 hoặc n 4 . D. n 4 . Hướng dẫn giải: Chọn C. * PP tự luận: 5! 5! 5! PT 25 , n ¥ ,2 n 5, do đó tạp xác định chỉ có 4 7 n ! n 2 ! 6 n ! n 1 ! 5 n !n! số: n 2; 3; 4; 5. Vậy ta thế từng số vào PT xem có thoả không? 5! 5! 5! + n 2 , PT 25 (không thoả) 7 2 ! 2 2 ! 6 2 ! 2 1 ! 5 2 !2! 5! 5! 5! + n 3, PT: 25 (thoả) 7 3 ! 3 2 ! 6 3 ! 3 1 ! 5 3 !3! 5! 5! 5! + n 4 , PT: 25 (thoả) 7 4 ! 4 2 ! 6 4 ! 4 1 ! 5 4 !4! 5! 5! 5! + n 5, PT: 25 (không thoả) 7 5 ! 5 2 ! 6 5 ! 5 1 ! 5 5 !5! n 3 + KL: Vậy . n 4 * PP trắc nghiệm: n 2 n 1 n + Nhập vào máy tính C5 C5 C5 25 0 . Trang 10
11. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 + Tính (CALC) lần lượt với X 3 (thoả); với X 5 (không thoả), với X 3, X 4 (thoả), với X 4 (thoả) n 3 + KL: Vậy . n 4 3 n 2 Câu 19: Tìm n ¥ , biết An Cn 14n . A. n 5. B. n 6 . C. n 7 hoặc n 8 . D. n 9 . Hướng dẫn giải: Chọn A. * PP tự luận: PT: n! n! 1 A3 C n 2 14n 14n n 2 n 1 n n 1 n 14n n n n 3 ! 2! n 2 ! 2 n 5 nhan 2 2n 5n 25 0 5 n 5 . n loai 2 * PP trắc nghiệm: 3 n 2 + Nhập vào máy tính An Cn 14n 0 . + Tính (CALC) lần lượt với X 5 (thoả); với X 6 (không thoả), với X 7, X 8 (không thoả), với X 9 (không thoả) + KL: Vậy n 5 . 7n Câu 20: Giá trị của n ¥ thỏa mãn C1 C 2 C3 là n n n 2 A. .n 3 B. . n 6 C. . n 4 D. . n 8 Hướng dẫn giải: Chọn D. * PP tự luận: PT 7n n! n! n! 7n C1 C 2 C3 , n ¥ ,n 3 n n n 2 n 1 !1! n 2 !2! n 3 !3! 2 1 1 7n n n 1 n n 2 n 1 n n2 16 n 4. 2 6 2 * PP trắc nghiệm: 7n + Nhập vào máy tính C1 C 2 C3 0 . n n n 2 Trang 11
12. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 + Tính (CALC) lần lượt với X 3 (không thoả); với X 6 (không thoả), với X 4 (thoả), với X 8 (không thoả). + KL: Vậy n 4 . 2 Câu 21: Tìm số tự nhiên n thỏa An 210 . A. .1 5 B. . 12 C. . 21 D. . 18 Hướng dẫn giải: Chọn A. * PP tự luận: PT n! A2 210 210, n ¥ ,n 2 n 1 n 210 n2 n 210 0 n n 2 ! n 15 nhan n 15 . n 14 loai * PP trắc nghiệm: 2 + Nhập vào máy tính An 210 0 . + Tính (CALC) lần lượt với X 15 (thoả); với X 12 (không thoả), với X 21 (không thoả), với X 18 (không thoả). + KL: Vậy n 15 . 2 n 1 Câu 22: Biết rằng An Cn 1 4n 6 . Giá trị của n là A. .n 12 B. . n 10 C. . n D.13 . n 11 Hướng dẫn giải: Chọn A. * PP tự luận: PT: n! n 1 ! 1 A2 C n 1 4n 6 4n 6, n ¥ ,n 2 n 1 n n n 1 4n 6 n n 1 n 2 ! 2! n 1 ! 2 2 n 12 nhan n 11n 12 0 n 12 . n 1 loai * PP trắc nghiệm: 2 n 1 + Nhập vào máy tính An Cn 1 4n 6 0 . + Tính (CALC) lần lượt với X 12 (thoả); với X 10 (không thoả), với X 13 (không thoả), với X 11 (không thoả). + KL: Vậy n 12 . Câu 23: Giải phương trình sau: Px 120 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Hướng dẫn giải: Trang 12
13. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 x ¥ Điều kiện: x 1 Ta có: P5 120 Với x 5 Px P5 120 phương trình vô nghiệm Với x 5 Px P5 120 phương trình vô nghiệm Vậy x 5 là nghiệm duy nhất. 2 2 Câu 24: Giải phương trình sau: Px Ax 72 6(Ax 2Px ) x 2 x 3 x 3 x 1 A. B. C. D. x 4 x 2 x 4 x 2 x ¥ Điều kiện: x 2 2 Phương trình Ax Px 6 12(Px 6) 0 Px 6 x! 6 x 3 (P 6)(A2 12) 0 . x x 2 Ax 12 x(x 1) 12 x 4 1 n 1 2 n 2 3 n 3 n Câu 25: Tìm n biết: Cn 3 2Cn 3 3Cn 3 nCn 256 A. n 4 B. n 5 C. n 6 D. n 7 Hướng dẫn giải: Chọn A. n! Ta có: kC k .3n k k 3n k nC k 13n k n k!(n k)! n 1 n n n 1 k n k k 1 n k k n 1 k n 1 Suy ra:  kCn 3 nCn 1 3 nCn 13 n.4 k 1 k 1 k 0 1 n 1 2 n 2 3 n 3 n n 1 3 Suy ra Cn 3 2Cn 3 3Cn 3 nCn 256 n.4 4.4 Từ đó ta tìm được n 4 . 0 1 2 n n Câu 26: Tìm n biết: Cn 2Cn 4Cn 2 Cn 243 A. n 4 B. n 5 C. n 6 D. n 7 Hướng dẫn giải: Chọn B. 0 1 2 n n n n Ta có Cn 2Cn 4Cn 2 Cn (1 2) 3 nên ta có n 5 1 2 2 3 n 2n 1 Câu 27: Tìm n biết: C2n 1 2.2C2n 1 3.2 C2n 1 (2n 1)2 C2n 1 2005 A. n 1100 B. n 1102 C. n 1002 D. n 1200 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2n 1 k 1 k 1 k Đặt S  ( 1) .k.2 C2n 1 k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 k 1 Ta có: ( 1) .k.2 C2n 1 ( 1) .(2n 1).2 C2n 0 1 2 2 2n 2n Nên S (2n 1)(C2n 2C2n 2 C2n 2 C2n ) 2n 1 Vậy 2n 1 2005 n 1002. 2 1 Câu 28: Tìm số nguyên dương n sao cho: An An 8 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Trang 13
14. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn A. n ¥ Điều kiện: n 2 n! n! Ta có A2 A1 8 8 n(n 1) n 8 n n (n 2)! (n 1)! n2 2n 8 0 n 4. 6 5 Câu 29: Tìm số nguyên dương n sao cho: An 10An A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 Chọn D. n ¥ Điều kiện: n 6 n! n! 10 Ta có: A6 10A5 10 1 n n (n 6)! (n 5)! n 5 n 15 . 10 9 8 Câu 30: Nghiệm của phương trình Ax Ax 9Ax là: A. x 10 . B. x 9. 91 C. x 11. D. x 9 và x . 9 Hướng dẫn giải: Chọn B. Điều kiện: x 10; x ¢ x! x! x! A10 A9 9A8 9. x x x x 10 ! x 9 ! x 8 ! 91 1 1 x 9 9x2 172x 821 0 9 x 10 (x 9) x 9 x 9 So sánh với điều kiện ta được nghiệm của phương trình x 9 . 4 4 Câu 31: Nếu 2An 3An 1 thì n bằng: A. n 11. B. n 12 . C. n 13. D. n 14 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Điều kiện: n 4;n ¥ n! n 1 ! 2n Ta có: 2A4 3A4 2. 3. 3 n 12 . n n 1 n 4 ! n 5 ! n 4 4 Câu 32: Tìm số nguyên dương n sao cho: Pn 1.An 4 15Pn 2 A. 3,4,5 B. 5,6,7 C. 6,8,2 D. 7,9,8 Hướng dẫn giải: Chọn A. n ¥ Điều kiện: n 1 Trang 14
15. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 (n 4)! Ta có: P .A4 15P (n 1)! 15(n 2)! n 1 n 4 n 2 n! (n 4)(n 3) 15 n2 8n 12 0 2 n 6 n 3,4,5. n 5 Câu 33: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) C n 1 C n A2 n 2 n 2 2 n A. n 2 B. n 3 C. n 5 D. n 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. Với n 2,n ¥ ta có: 5 5 n 3 ! 5 n! C n 1 C n A2 C n A2 n 2 n 2 2 n n 3 2 n n!3! 2 n 2 ! n n2 9n 26 6 0 luôn đúng với mọi n 2 . Vậy nghiệm của bất phương trình n 2,n ¥ . 3 n n n Câu 34: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) n! Cn .C2n .C3n 720 A. n 1,2,3 B. n 0,1,2 C. n 0,2,3 D. n 2,3,4 Hướng dẫn giải: Chọn B. Điều kiện n ¢ ,n 0 . Với điều kiện đó bất phương trình tương đương 3 2n ! 3n ! n! 720 3n ! 720 n!n! 2n !n! Ta thấy 3n ! tăng theo n và mặt khác 6! 720 3n ! Suy ra bất phương trình có nghiệm n 0,1,2 . 2 Cn 1 3 Câu 35: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) 2 n Cn 10 A. 2 n 4 B. 0 n 2 C. 1 n 5 D. 2 n 5 Hướng dẫn giải: Chọn D. n ¥ Điều kiện: n 2 (n 1)n 10 n(n 1) Bpt n 2 n 5 2 3 2 3 n 1 Câu 36: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) An 1 Cn 1 14 n 1 A. 2 n 4 B. 0 n 2 C. 1 n 5 D. 2 n 5 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 n 4 A4 143 Câu 37: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) n 4 n 2 ! 4Pn Trang 15
16. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 A. 2 n 4 B. 0 n 2 C. 1 n 5 D. 2 n 5 Hướng dẫn giải: Chọn B. Đáp số : 0 n 2 4 An 24 Câu 38: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) 3 n 4 An 1 Cn 23 A. 2 n 4 B. 0 n 2 C. 1 n 5 D. 2 n 5 Hướng dẫn giải: Chọn C. Đáp số: 1 n 5 2 2 Câu 39: Giải phương trình sau: 3Cx 1 xP2 4Ax A. x 3 B. x 4 C. x 5 D. x 6 Hướng dẫn giải: Chọn A. x ¥ Điều kiện: x 2 (x 1)! x! Phương trình 3 2x 4 2!(x 1)! (x 2)! 3(x 1)x 4x 8x(x 1) 3x 3 4 8x 8 x 3 5 2 14 Câu 40: Nghiệm của phương trình x x x C5 C6 C7 A. x 3 B. x 4 C. x 5 D. x 6 Hướng dẫn giải: Chọn A. x ¥ Điều kiện x 5 5.x!(5 x)! 2.x!(6 x)! 14.x!(7 x)! Ta có phương trình 5! 6! 7! 1 1 5 (6 x) (6 x)(7 x) x2 14x 33 0 x 3 . 3 3 2 2 Câu 41: Giải phương trình sau: Px Ax 72 6(Ax 2Px ) x 3 x 3 x 2 x 1 A. B. C. D. x 4 x 2 x 4 x 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. x ¥ Điều kiện: x 2 2 Phương trình Ax Px 6 12(Px 6) 0 Trang 16
17. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Px 6 x! 6 x 3 (P 6)(A2 12) 0 . x x 2 Ax 12 x(x 1) 12 x 4 2 x 2 2 3 3 x 3 Câu 42: Giải phương trình sau:Cx Cx 2Cx Cx Cx Cx 100 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Hướng dẫn giải: Chọn B. x ¥ Điều kiện: . x 3 x 2 2 x 3 3 Ta có: Cx Cx và Cx Cx nên phương trình đã cho tương đương với: 2 2 2 3 3 2 Cx 2Cx Cx Cx 100 2 3 2 2 3 Cx Cx 100 Cx Cx 10 x(x 1) x(x 1)(x 2) 10 2 6 x3 x 60 0 (x 4)(x2 4x 15) 0 x 4 . 1 2 3 2 Câu 43: Giải phương trình sau:Cx 6.Cx 6.Cx 9x 14x A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 Hướng dẫn giải: Chọn D. x 3 Điều kiện: x ¥ Phương trình x 3x(x 1) x(x 1)(x 2) 9x2 14x Giải phương trình ta tìm được: x 7 5 Câu 44: Giải phương trình sau:C 4 C3 A2 0 x 1 x 1 4 x 2 A. 11 B. 4 C. 5 D. 6 Hướng dẫn giải: Chọn A. x 5 Điều kiện: x ¥ Phương trình x2 9x 22 0 x 11 3 x 4 4 Câu 45: Giải phương trình sau: 24 Ax 1 Cx 23Ax A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Hướng dẫn giải: Chọn C. x ¥ Điều kiện: x 4 Phương trình x2 6x 5 0 x 5 3x 1 x2 2x 3 Câu 46: Giải phương trình sau: C2x 4 C2x 4 Trang 17
18. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 x 3 x 3 x 2 x 1 A. B. C. D. x 4 x 2 x 4 x 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. x ¥ Điều kiện: 1 x 5 Phương trình (3x 1)!(5 x)! (x2 2x 3)!(1 x2 4x)! x 1, x 2 . 2 2 2 2 Câu 47: Giải phương trình sau:Cx 2Cx 1 3Cx 2 4Cx 3 130 A. 7 B. 4 C. 5 D. 6 Hướng dẫn giải: Chọn A. Đáp số : x 7 . x x 2Ay 5Cy 90 Câu 48: Giải hệ phương trình sau: x x 5Ay 2Cy 80 A. x 1; y 5 B. x 2; y 1 C. x 2; y 5 D. x 1; y 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. Điều kiện x, y ¥ ; x y x x x 2Ay 5Cy 90 Ay 20 Ta có: x x x 5Ay 2Cy 80 Cy 10 20 Từ Ax x!C x suy ra x! 2 x 2 y y 10 2 2 y 4 (loai) Từ Ay 20 y y 1 20 y y 20 0 y 5 Vậy x 2; y 5 . y 1 y Cx 1 Cx 1 Câu 49: Giải hệ phương trình sau: y 1 y 1 3Cx 1 5Cx 1 A. x 6; y 3 B. x 2; y 1 C. x 2; y 5 D. x 1; y 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Điều kiện x, y ¥ ; x y (x 1)! (x 1)! y 1 y Cx 1 Cx 1 (y 1)!(x y)! y!(x y 1)! Ta có: 3C y 1 5C y 1 (x 1)! (x 1)! x 1 x 1 3 5 (y 1)!(x y)! (y 1)!(x y 2)! 1 1 y 1 x y 1 x 2y 3 5 3(y 1)(y 2) 5y(y 1) y(y 1) (x y 1)(x y 2) Trang 18
19. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 x 2y x 6 là nghiệm của hệ 3y 6 5y y 3 1 6 Câu 50: Giải bất phương trình sau: A2 A2 C3 10 2 2x x x x A. 3 x 4 B. 3 x C. x 4 D. x 4, x 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Đáp số: 3 x 4 P Câu 51: Giải bất phương trình sau: x 5 60Ak 2 (x k)! x 3 A. (x;k) (0;0),(1;1),(3;3) B. (x;k) (0;0),(1;0),(2;2) C. (x;k) (1;0),(1;1),(2;2),(3;3) D. (x;k) (0;0),(1;0),(1;1),(2;2),(3;3) Hướng dẫn giải: Chọn D. k, x ¥ Điều kiện: k x Bpt (x 4)(x 5)(x 1 k) 60 x 4 bất phương trình vô nghiệm 0 x 4 ta có các cặp nghiệm: (x;k) (0;0),(1;0),(1;1),(2;2),(3;3) . Câu 52: Cho một tập hợp A gồm n phần tử ( n 4 ). Biết số tập con gồm 4 phần tử của A gấp 20 lần số tập con gồm hai phần tử của A. Tìm n A. 20 B. 37 C. 18 D. 21 Hướng dẫn giải: Chọn C. 4 Số tập con gồm 4 phần tử của tập A: Cn 2 Số tập con gồm 2 phần tử của tập A: Cn n! n! Theo bài ra ta có: C 4 20C 2 20 n n 4!(n 4)! 2!(n 2)! 1 10 n2 5n 234 0 n 18 4! (n 2)(n 3) Vậy tập A có 18 phần tử. Câu 53: Tìm k 1,2,3, ,n sao cho số tập con gồm k phần tử của tập A là lớn nhất. A. 12 B. 9 C. 21 D. 19 Hướng dẫn giải: Chọn B. k Giả sử C18 là số tập con con lớn nhất của A. Khi đó 18! 18! 1 1 19 k k 1 k C18 C18 k!(18 k)! (k 1)!(19 k)! k 19 k 2 k 9 C k C k 1 18! 18! 1 1 17 18 18 k k!(18 k)! (k 1)!(17 k)! 18 k k 1 2 Trang 19
20. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Vậy số tập con gồm 9 phần tử của A là số tập con lớn nhất. n k Câu 54: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho C2n 2n , trong đó k là một ước nguyên tố của n C2n . A. n=1 B. n=2 C. n=3 D. n=4 Hướng dẫn giải: Chọn A. n n Giả sử p là một ước nguyên tố của C2n và m là số mũ của p trong phân tích tiêu chuẩn C2n . Ta chứng minh: pm 2n m 2n Giả sử p 2n m 0 p 2n n 2n n 2n n Và m 2 2 2 2 m 1 2 m 1 p p p p p p Mặt khác: 2[x] 2 2x [2x] [2x] 2[x] 1 Do đó: m 1 1 .  1 m 1 vô lí m 1 sô n k k 1 k 1 Từ đó suy ra C2n 2n n . C2n 2n n 1 Câu 55: Cho S là tập các số nguyên trong đoạn 1;2002 và T là tập hợp các tập con khác rỗng của S.  m(X ) Với mỗi X T , kí hiệu m(X ) là trung bình cộng các phần tử của X. Tính m X T . T 3003 2003 4003 2003 A. m B. m C. m D. m 2 21 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. Với mỗi k 1,2, ,2002 ta đặt mk  m(X ) ở đây lấy tổng theo X T mà X k . k 1 Xét phần tử a bất kì ta có a thuộc vào C2001 tập con X T mà X k k 1 k 1 Do đó: kmk 1 2 2002 C2001 2001.2001.C2001 2002 2002 k 1 2003 22002 1 C2001 Suy ra  m(X )  mk 1001.2003. X T k 1 k 1 k 2 2003 Mặt khác T 22002 1, do đó: m . 2 Trang 20