Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 nâng cao - Giới hạn

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 nâng cao - Giới hạn

1. GIỚI HẠN A - LÝ THUYẾT CHUNG GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I. Giới hạn hữu hạn của dãy số 1. Định nghĩa • Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cực và viết lim un 0 viết tắt là limu 0 hoặc u 0 , nếu mọi số hạng của dãy số đều có n n n giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. • Định nghĩa 2: Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là số thực a khi n dần đến dương vô cực và viết lim un a , viết tắt là limun a hoặc un a , nếu lim un a 0 n n 2. Một vài giới hạn đặc biệt 1 1 a) lim 0 ; lim 0 với k nguyên dương n nk b) lim qn 0 nếu q 1 c) Nếu un c ( c là hằng số) thì limun limc c II. Định lý về giới hạn hữu hạn Định lý 1: a) Nếu limun a , limvn b thì • lim un vn a b • lim un vn a b • lim unvn a.b u a • lim n (nếu b 0 ) vn b b) Nếu un 0 với mọi n và limun a thì a 0 và lim un a III. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân vô hạn u1,u2 ,u3, un , có công bội q với q 1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. u Tổng S của cấp số nhân đó là: S u u q u q2 1 . 1 1 1 1 q IV. Giới hạn vô cực 1. Định nghĩa:
2. • Ta nói dãy số un có giới hạn nếu với mỗi số dương tùy ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Khi đó ta viết lim un hoặc lim(un ) hoặc un • Ta nói dãy số un có giới hạn nếu với mỗi số âm tùy ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó. Khi đó ta viết lim un hoặc limun hoặc un 2. Một vài giới hạn đặc biệt a) lim nk với k nguyên dương b) lim qn nếu q 1 3. Định lý 2: un a) Nếu limun a và limvn thì lim 0 vn un b) Nếu limun a 0 , limvn 0 và vn 0 với mọi n thì lim vn c) Nếu limun và limvn a 0 thì lim unvn V. Một số lưu ý: Khi làm bài tập trắc nghiệm, ta có thể làm như bài tập tự luận, sau khi tính toán sẽ chọn kết quả phù hợp với yêu cầu của bài toán Ngoài ra có thể sử dụng các nhận xét để có kết quả nhanh chóng, chính xác hơn. Có một số bài tập có thể nhận xét nhanh để loại trừ được những phương án không phù hợp GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1. Định lý: a) Giả sử lim f x L và lim g x M . Khi đó: x x0 x x0 • lim f x g x L M x x0 • lim f x g x L M x x0 • lim f x .g x L.M x x0 f x L • lim (nếu M 0 ) x x0 g x M b) Nếu f x 0 với mọi x J \ x0 , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x0 thì L 0 và lim f x L x x0 2. Một vài giới hạn đặc biệt • lim xk với k nguyên dương x • lim xk nếu k là số lẻ x
3. • lim xk nếu k là số chẵn x 3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực Định lý về giới hạn của tích và thương hai hàm số chỉ áp dụng được khi các hàm số có giới hạn hữu hạn Sau đây là một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số có giới hạn vô cực. Nếu lim f x L 0 và lim g x thì x x0 x x0 lim f x .g x bằng (dấu “+” nếu hai giới hạn cùng dấu và dấu “- “ nếu hai giới hạn x x0 khác dấu. f x lim 0 x x0 g x g x lim (dấu “+” nếu hai giới hạn cùng dấu và dấu “-“ nếu hai giới hạn khác dấu. x x0 f x Các quy tắc trên vẫn được áp dụng cho các trường hợp : x x0 , x x0 , x và x HÀM SỐ LIÊN TỤC 1. Hàm số liên tục tại một điểm Định nghĩa: Giả sử hàm số f x xác định trên khoảng K và x0 K . Hàm số y f x gọi là liên tục tại x x0 nếu lim f x f x0 x x0 Hàm số không liên tục tại x x0 gọi là gián đoạn tại x0 2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn Hàm số y f x liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng đó. Hàm số y f x gọi là liên tục trên đoạn a;b nếu nó liên tục trên khoảng a,b và lim f x f a x a ; lim f x f b x b 3. Một số định lý cơ bản Định lý 1: Hàm số đa thức liên tục trên tập ¡ . Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác y sin x , y cos x , y tan x , y cot x là những hàm số liên tục trên tập xác định của chúng Định lý 2. Giả sử y f x và y g x là hai hàm số liên tục tại điểm x0 . Khi đó:
4. a) Các hàm số y f x g x , y f x g x và y f x .g x liên tục tại điểm x0 f x b) Hàm số y liên tục tại x nếu g x 0 g x 0 0 Định lý 3. Nếu hàm số f x liên tục trên đoạn a;b và f a . f b 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c a;b sao cho f c 0 B - BÀI TẬP n 1 Câu 1. Tìm limu biết u n n  2 k 1 n k A. B. C. 3 D. 1 limu Câu 2. Tìm n biết u 2 2 2 n  n dau can A. B. C. 2 D. 1 1 1 1 1 Câu 3. Tìm giá trị đúng của S 2 1 n . 2 4 8 2 1 A. 2 1. B. 2 . C. 2 2 . D. . 2 1 1 1 Câu 4. Tính giới hạn lim 1.2 2.3 n n 1 3 A. 0 B. 1. C. . D. Không có 2 giới 1 1 1 Câu 5. Tính lim 1.3 3.5 n 2n 1 2 A. 1. B. 0. C. . D. 2. 3 1 1 1 Câu 6. Tính giới hạn: lim 1.3 2.4 n n 2 3 2 A. . B. 1. C. 0. D. . 4 3
5. 1 1 1 Câu 7. Tính giới hạn lim . 1.4 2.5 n(n 3) 11 3 A. . B. 2. C. 1. D. . 18 2 1 1 1 Câu 8. Tính giới hạn: lim 1 2 1 2 1 2 . 2 3 n 1 1 3 A. 1. B. . C. . D. . 2 4 2 1 1 1 n(n 1) Câu 9. Tính giới hạn của dãy số un (1 )(1 ) (1 ) trong đó Tn .: T1 T2 Tn 2 1 A. B. C. D. 1 3 23 1 33 1 n3 1 Câu 10. Tính giới hạn của dãy số u . .: n 23 1 33 1 n3 1 2 A. B. C. D. 1 3 n 2k 1 Câu 11. Tính giới hạn của dãy số u .: n  k k 1 2 A. B. C. 3 D. 1 n n Câu 12. Tính giới hạn của dãy số u .: n  2 k 1 n k A. B. C. 3 D. 1 2 n Câu 13. Tính giới hạn của dãy số un q 2q nq với q 1.: q q A. B. C. D. 1 q 2 1 q 2 13 23 33 n3 a lim 3 a,b ¥ Câu 14. Biết n 1 b . Giá trị của 2a2 b2 là: A. 33 B. 73 C. 51 D. 99 1 1 1 Câu 15. Tính giới hạn của dãy số u : n 2 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1 A. B. C. 0 D. 1 (n 1) 13 23 n3 Câu 16. Tính giới hạn của dãy số u : n 3n3 n 2
6. 1 A. B. C. D. 1 9 1 a a2 an Câu 17. Cho các số thực a,b thỏa a 1; b 1. Tìm giới hạn I lim . 1 b b2 bn 1 b A. B. C. D. 1 1 a u0 2011 u3 Câu 18. Cho dãy số (u ) được xác định bởi: 1 . Tìm lim n . n u u n 1 n 2 n un A. B. C. 3 D. 1 u1 3 Câu 19. Cho dãy số un được xác định bởi . Tính limun. 2 n 1 un 1 nun n 2 A. limun 1. B. limun 4 . C. limun 3. D. limun 0 . 1 u 1 2 Câu 20. Cho dãy số có giới hạn (u ) xác định bởi: . Tìm kết quả đúng của n 1 un 1 , n 1 2 un limun . 1 A. 0 . B. 1. C. 1. D. 2 u1 2 Câu 21. Cho dãy số un thỏa mãn un 2 1 ,n ¥ . Tính u2018 . un 1 1 2 1 u n A. u2018 7 5 2 B. u2018 2 C. u2018 7 5 2 D. u2018 7 2 1 Câu 22. Cho dãy số (x ) xác định bởi x , x x2 x ,n 1 n 1 2 n 1 n n 1 1 1 Đặt Sn  . Tính limSn . x1 1 x2 1 xn 1 A. B. C. 2 D. 1 1 2 k Câu 23. Cho dãy (x ) được xác định như sau: x k k 2! 3! (k 1)!
7. n n n n Tìm limun với un x1 x2 x2011 . 1 1 A. B. C. 1 D. 1 2012! 2012! 1 2 k Câu 24. Cho dãy (x ) được xác định như sau: x . k k 2! 3! (k 1)! n n n n Tìm limun với un x1 x2 x2011 . 1 1 A. . B. . C. 1 . D. 1 2012! 2012! Câu 25. Cho hàm số f n a n 1 b n 2 c n 3 n ¥ * với a,b,c là hằng số thỏa mãn a b c 0. Khẳng định nào sau đây đúng? A. lim f n 1 B. lim f n 1 C. lim f n 0 D. x x x lim f n 2 x å å å Câu 26. Cho a,b ¥ ,(a,b) 1;n ab 1,ab 2, . Kí hiệu rn là số cặp số (u,v) ¥ ¥ r 1 sao cho n au bv . Tìm lim n . n n ab 1 A. . B. . C. . D. ab 1. ab Câu 27. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 3,2un 1 un 1 với mọi n 1 . Gọi Sn là tổng n số hạng đàu tiên của dãy số (un ) . Tìm lim Sn . A. .l im Sn C. . B.l .i m Sn 1D. lim Sn lim Sn 1 . u u Câu 28. Cho dãy số (u ) xác định bởi u 1,u 2,u n 1 n với mọi n 1 . Tìm limu . n 1 2 n 2 2 n 3 5 4 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 1 u Câu 29. Cho dãy số (u ) xác định bởi u ,u u2 n với mọi n 1 . Tìm limu . n 1 4 n 1 n 2 n 1 1 A. .l imu C. . B.l i.m u D. limu 0 n 4 n 2 n limun .
8. un 1 Câu 30. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 1,un 1 un 2n 1với mọi n 1 . Khi đó lim un bằng. A. . B. 0. C. 1. D. 2. u u Câu 31. Cho dãy số (u ) được xác định bởi u a,u b,u n 1 n với mọi n 1 , trong n 1 2 n 2 2 đó a và b là các số thực cho trước, a b . Tìm giới hạn của (un ) . a 2b A. .l imu a C. . B. . limu D. limu b n n 3 n 2a b limu . n 3 4n2 n 2 Câu 32. Cho dãy số (u ) với u , trong đó a là tham số. Để (u ) có giới hạn bằng n n an2 5 n 2 thì giá trị của tham số a là? A. -4. B. 2. C. 4. D. 3. Câu 33. Tìm hệ thức liên hệ giữa các số thực dương a và b để: lim( n2 an 5 n2 bn 3) 2 . A. .a b 2 B. . aC. b . 2 D. . a b 4 a b 4 Câu 34. Tìm các số thực a và b sao cho lim( 3 1 n3 a n b) 0 . a 1 a 1 a 1 a 0 A. . B. . C. . D. . b 0 b 0 b 1 b 1 n 3n2 9n 1 n u u Câu 35. Cho dãy số (un ) . Biết  k với mọi n 1 . Tìm  k . k 1 2 nun k 1 1 A. 1. B. . C. 0. D. . 2 n 1 3 32 3k lim Câu 36. bằng: k 2 k 1 5 17 17 1 A. 0. B. . C. . D. . 100 200 8
9. GIỚI HẠN HÀM SỐ n a0 x an 1x an Câu 37. Tìm giới hạn A lim , (a0 ,b0 0) . x m b0 x bm 1x bm 4 A. . B. . C. . D. Đáp án 3 khác. 3x 5sin 2x cos2 x Câu 38. lim bằng: x x2 2 A. . B. 0 . C. 3. D. . Câu 39. Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để giới hạn: a b lim là hữu hạn: 2 2 x 2 x 6x 8 x 5x 6 A. a 4b 0. B. a 3b 0. C. a 2b 0. D. a b 0. x4 a4 Câu 40. Cho a là một số thực khác 0. Kết quả đúng của lim bằng: x a x a A. 3a3 B. 2a3 C. a3 D. 4a3 x2 mx m 1 Câu 41. Cho C lim ,m là tham số thực. Tìm m để C 2. x 1 x2 1 A. m 2 B. m 2 C. m 1 D. m 1 x2 ax b Câu 42. Cho a và b là các số thực khác 0.Nếu lim 6 thì a b bằng: x 2 x 2 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 x 1 5x 1 a Câu 43. Giới hạn lim bằng (phân số tối giản). Giá trị của a b là x 3 x 4x 3 b 1 9 A. 1. B. . C. 1. D. 9 8 3 8x 11 x 7 m m Câu 44. Biết lim trong đó là phân số tối giản, m và n là các số x 2 x2 3x 2 n n nguyên dương. Tổng 2m n bằng: A. 68 B. 69 C. 70 D. 71 6x 9 3 27x 54 m m Câu 45. Biết lim , trong đó là phân số tối giản, m và n là các số x 3 x 3 x2 3x 18 n n nguyên dương. Khi đó 3m n bằng:
10. A. 55 B. 56 C. 57 D. 58 Câu 46. Cho a,b,c là các số thực khác 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa a,b,c để ax b 9x2 2 lim 5 . x cx 1 a 3b a 3b a 3b A. 5 . B. 5 . C. . 5D. c c c a 3b 5 . c 4x2 3x 1 Câu 47. Cho a và b là các tham số thực. Biết rằng lim ax b 0,a và b x cx 1 thỏa mãn hệ thức nào trong các hệ thức dưới đây? A. a b 9. B. a b 9. C. a b 9. D. a b 9. 1 1 1 Câu 48. Cho a là một số thực dương. Tính giới hạn lim 2 . x a x a x a 1 A. bằng . B. là . C. là . D. không tồn a2 tại. n 1 n Câu 49. Cho là một số nguyên dương. Tính giới hạn lim n . x 1 1 x 1 x n n 1 n 1 n 2 A. . B. . C. . D. 2 2 2 2 1 k Câu 50. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực k sao cho giới hạn lim( ) là hữu x 1 x 1 x2 1 hạn. A. .k 2 B. .k 2 C. . k 2 D. . k 2 n 1 ax 1 Câu 51. Tìm giới hạn B lim (n ¥ *,a 0) : x 0 x a n A. B. C. D. 1 n a n 1 ax 1 Câu 52. Tìm giới hạn A lim với ab 0 : x 0 m 1 bx 1 am am A. B. C. D. 1 bn bn
11. m 1 ax n 1 bx Câu 53. Tìm giới hạn N lim : x 0 x a b a b A. B. C. D. m n m n m 1 ax n 1 bx Câu 54. Tìm giới hạn N lim : x 0 1 x 1 2 an bm A. B. C. D. 0 mn m 1 ax n 1 bx 1 Câu 55. Tìm giới hạn G lim : x 0 x a b a b A. B. C. D. m n m n n (2x 1)(3x 1)(4x 1) 1 Câu 56. Tìm giới hạn F lim : x 0 x 9 A. B. C. D. 0 n 1 x 3 1  x 4 1  x 1 Câu 57. Tìm giới hạn B lim với  0 .: x 0 x   A. B. C. B D. 4 3 2   B 4 3 2 1 mx n 1 nx m Câu 58. Tìm giới hạn V lim : x 0 x2 mn n m mn n m A. B. C. D. 2 2 1 x 1 3 x 1 n x Câu 59. Tìm giới hạn K lim : x 1 1 x n 1 1 A. B. C. D. 0 n! n n 1 x2 x 1 x2 x Câu 60. Tìm giới hạn L lim : x 0 x A. B. C. 2n D. 0
12. 1 mx n 1 nx m Câu 61. Tìm giới hạn V lim : x 0 1 2x 3 1 3x 2 an bm A. B. C. D. mn n m mn Câu 62. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số f x mx 9x2 3x 1 có giới hạn hữu hạn khi x . A. m 3 B. m 3 C. m 0 D. m 0 Câu 63. Giới hạn lim ( x2 3x 5+ax) = + nếu. x A. .a 1 B. . a 1 C. . a D.1 . a 1 lim (ax x2 bx 2) 3 a b 0 x a b Câu 64. Cho và là các số thực khác . Biết , thì tổng bằng A. .2 B. . 6 C. . 7 D. . 5 Câu 65. Cho a và b là các số thực khác 0 . Biết lim (ax+b- x2 6x 2) 5 số lớn hơn trong x hai số a và b là số nào trong các số dưới đây? A. .4 B. . 3 C. . 2 D. . 1 m m Câu 66. Biết lim ( 9x2 2x 3 27x3 4x2 5) trong đó là phân số tối giản, m và n x n n là các số nguyên dương. Tìm bội số chung nhỏ nhất của m và n . A. .1 35 B. . 136 C. . 138 D. . 140 7 Câu 67. Cho a và b là các số nguyên dương. Biết lim ( 9x2 + ax 3 27x3 bx2 5) , hỏi x 27 a và b thỏa mãn hệ thức nào dưới đây? A. .a 2b 33B. . C. .a 2b D.34 a 2b 35 a 2b 36 . n Câu 68. Tìm giới hạn C lim [ (x a1)(x a2 ) (x an ) x]: x a a a A. B. C. 1 2 n D. n a1 a2 an 2n 1 ax 1 Câu 69. Cho a và b là các số thực khác 0.Giới hạn lim bằng: x 0 sin bx
13. a a 2a 2a A. B. C. D. 2b 2b b b Câu 70. Cho a,b,c là các số thực khác 0,3b 2c 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a,b,c để: tan ax 1 lim . x 0 1 bx 3 1 cx 2 a 1 a 1 a 1 A. B. C. D. 3b 2c 10 3b 2c 6 3b 2c 2 a 1 3b 2c 12 sin x 1 Câu 71. Cho m và n là các số nguyên dương phân biệt. Giới hạn lim bằng: x 1 xm xn 1 1 A. m n B. n m C. D. m n n m sin( xm ) Câu 72. Tìm giới hạn A lim. : x 1 sin( xn ) n A. B. C. D. 0 m m cos ax m cosbx Câu 73. Tìm giới hạn H lim : x 0 sin2 x b a A. B. C. D. 0 2n 2m 1 n cos ax Câu 74. Tìm giới hạn M lim : x 0 x2 a A. B. C. D. 0 2n f (x) 15 3 5 f (x) 11 4 Câu 75. Cho f (x) là đa thức thỏa mãn lim 12 . Tính T lim . x 3 x 3 x 3 x2 x 6 3 3 1 1 A. T . B. T . C. T D. T . 20 40 4 20 HÀM SỐ LIÊN TỤC
14. eax 1 khix 0 x Câu 76. Cho hàm số f x , với a 0. Tìm giá trị của a để hàm số f x 1 khix 0 2 liên tục tại x0 0. 1 1 A. a 1. B. a . C. a 1. D. a 2 2 4x 1 1 khi x 0 Câu 77. Tìm a để các hàm số f (x) ax2 (2a 1)x liên tục tại x 0 3 khi x 0 1 1 1 A. B. C. D. 1 2 4 6 x2 , x 1 2x3 Câu 78. Cho hàm số f x , 0 x 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1 x xsin x , x 0 A. f x liên tục trên ¡ . B. f x liên tục trên ¡ \ 0 . C. f x liên tục trên ¡ \ 1 . D. f x liên tục trên ¡ \ 0;1 . 1 x 1 x khi x 0 x Câu 79. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số f x liên tục tại 1 x m khi x 0 1 x x 0. A. m 1. B. m 2 . C. m 1. D. m 0 3 x 2 2x 1 khi x 1 Câu 80. Tìm m để các hàm số f (x) x 1 liên tục trên ¡ 3m 2 khi x 1 4 A. m 1 B. m C. m 2 D. m 0 3 2x 4 3 khi x 2 Câu 81. Tìm m để các hàm số f (x) x 1 liên tục trên ¡ khi x 2 x2 2mx 3m 2 1 A. m 1 B. m C. m 5 D. m 0 6
15. x x 2 neáu x 2 2 x 4 Câu 82. Cho hàm số f x x 2 3b neáu x 2 liên tục tại x 2. Tính I a b ? 2a b 6 neáu x 2 9 93 19 173 A. I B. I C. I D. I 30 16 32 16 x 3 2 khi x 3 Câu 83. Chon hàm số f x x 3 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m m khi x 3 để hàm số liên tục tại x 3 . A. .m  B. . m ¡ C. . mD. .1 m 1 ax2 (a 2)x 2 khi x 1 Câu 84. Cho hàm số f (x) x 3 2 . Có tất cả bao nhiêu giá trị của a để 2 8 a khi x 1 hàm số liên tục tại x 1? A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. 12 x 9 Câu 85. Cho hàm số f x ax 2b 12 . Biết rằng a, b là giá trị thực để hàm số liên x 9 3 x 1 2 x 9. tục tại 0 Tính giá trị của P a b. 1 1 A. P B. P 5 C. P 17 D. P 2 2 Câu 86. Cho phương trình x3 ax2 bx c 0 1 trong đó a,b,c là các tham số thực. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. Phương trình 1 vô nghiệm với mọi a,b,c . B. Phương trình 1 có ít nhất một nghiệm với mọi a,b,c . C. Phương trình 1 có ít nhất hai nghiệm với mọi a,b,c . D. Phương trình 1 có ít nhất ba nghiệm với mọi a,b,c . 1 Câu 87. Phương trình x5 x4 5x3 x2 4x 1 0 có bao nhiêu nghiệm. 2 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
16. Câu 88. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm 2m2 5m 2 x 1 2017 x2018 2 2x 3 0. 1  1 1  A. .m ¡ B.\ .C.;2 . D. . m ;  2; m ;2 m ¡ 2  2 2 