›
›
›

Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 nâng cao - Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân - Đặng Việt Đông

docx 50 trang nhungbui22 12/08/2022 2551
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 nâng cao - Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân - Đặng Việt Đông", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxly_thuyet_va_bai_tap_dai_so_lop_11_nang_cao_day_so_cap_so_co.docx

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 nâng cao - Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân - Đặng Việt Đông

  1. DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN A – LÝ THUYẾT CHUNG I – DÃY SỐ * • Một hàm sốu : N ¡ được gọi là một dãy số vơ hạn, kí hiệu là un . Khi n u n , khi đĩ un u n gọi là số hạng tổng quát của dãy un • Một hàm sốu xác định trên tập hợp m số nguyên dương đầu tiên được gọi là dãy số hữu hạn. * • Dãy số un là dãy số tăng nếu un 1 un 0,n ¥ * Dãy số un là dãy số giảm nếu un 1 un 0,n ¥ * • Dãy số un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un M ,n ¥ * Dãy số un được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số M sao cho un M ,n ¥ Dãy số được gọi là bị chặn nếu nĩ vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. II - CẤP SỐ CỘNG * 1. Định nghĩa: un là cấp số cộng nếu un 1 un d , với n ¥ , d là hằng số 2. Các khái niệm: Cho cấp số cộng un , Khi đĩ: un u1 n 1 d : số hạng tổng quát của cấp số cộng d : cơng sai của cấp số cộng Sn u1 u2 un : tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng 3. Tính chất: u u u n 1 n 1 n 2 n S u u n 2 1 n n sn 2u1 n 1 d 2 III - CẤP SỐ NHÂN * 1. Định nghĩa: un là cấp số nhân un 1 un .q , n ¥ n 1 2. Các khái niệm: un u1.q ,n 1 : số hạng tổng quát của cấp số nhân q :cơng bội của cấp số nhân 3. Tính chất: 2 • un un 1.un 1 n 2 n u1. q 1 • S u u ; q 1 n 1 n q 1
  2. B - BÀI TẬP DÃY SỐ Câu 1. Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là: 0,1;0,01;0,001;0,0001; . Số hạng tổng quát của dãy số này cĩ dạng? 1 1 A. u 0,00 01 . B. u 0,00 01 .C. u . D. u . n  n  n 10n 1 n 10n 1 n chữsố 0 n 1 chữsố 0 u1 5 Câu 2. Cho dãy số un với .Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? un 1 un n (n 1)n (n 1)n A. u . B. u 5 . n 2 n 2 (n 1)n (n 1)(n 2) C. u 5 . D. u 5 . n 2 n 2 u 1 Câu 3. Cho dãy số u với 1 . Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào dưới n 2 n un 1 un n đây? n n 1 2n 1 n n 1 2n 2 A. u 1 . B. u 1 . n 6 n 6 n n 1 2n 1 n n 1 2n 2 C. u 1 . D. u 1 . n 6 n 6 u1 2 Câu 4. Cho dãy số u với . Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào dưới n un 1 un 2n 1 n đây? 2 2 2 2 A. un 2 n 1 . B. un 2 n . C. un 2 n 1 . D. un 2 n 1 . u1 2 Câu 5. Cho dãy số un với 1 . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này là: u 2 n 1 un n 1 n 1 n 1 n A. u . B. u . C. u . D. u . n n n n n n n n 1 1 u1 Câu 6. Cho dãy số un với 2 . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này là: un 1 un 2 1 1 1 1 A. u 2 n 1 . B. u 2 n 1 . C. u 2n . D. u 2n . n 2 n 2 n 2 n 2
  3. u1 1 Câu 7. Cho dãy số un với 2n . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới un 1 un 1 đây? 2n A. un 1 n . B. un 1 n . C. un 1 1 . D. un n . u1 1 Câu 8. Cho dãy số un với 2n 1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào un 1 un 1 dưới đây? A. un 2 n . B. un khơng xác định. C. un 1 n . D. un n với mọi n . u 1 Câu 9. Cho dãy số u với 1 . Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào dưới n 2 n un 1 un n đây? n n 1 2n 1 n n 1 2n 2 A. u 1 . B. u 1 . n 6 n 6 n n 1 2n 1 n n 1 2n 2 C. u 1 . D. u 1 . n 6 n 6 u1 2 Câu 10. Cho dãy số un với . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới un 1 un 2n 1 đây? 2 2 2 2 A. un 2 n 1 . B. un 2 n . C. un 2 n 1 . D. un 2 n 1 . u1 2 Câu 11. Cho dãy số un với 1 . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này là: u 2 n 1 un n 1 n 1 n 1 n A. u . B. u . C. u . D. u . n n n n n n n n 1 1 u1 Câu 12. Cho dãy số un với 2 . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này là: un 1 un 2 1 1 1 1 A. u 2 n 1 . B. u 2 n 1 . C. u 2n . D. u 2n . n 2 n 2 n 2 n 2 u 1 1 Câu 13. Cho dãy số un với u . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này là: u n n 1 2 n n 1 n 1 n 1 1 1 1 1 A. un 1 . . B. un 1 . . C. un . D. un 1 . 2 2 2 2 .
  4. u1 2 Câu 14. Cho dãy số un với . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này: un 1 2un n 1 n n 1 A. un n . B. un 2 . C. un 2 . D. un 2. 1 u1 Câu 15. Cho dãy số un với 2 . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này: un 1 2un 1 1 A. u 2n 1 . B. u . C. u . D. u 2n 2 . n n 2n 1 n 2n n u1 1 Câu 16. Cho dãy số un với 2n . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào un 1 un 1 dưới đây? 2n A. un 1 n . B. un 1 n . C. un 1 1 . D. un n . Câu 17. Đặt Tn 2 2 2 2 (cĩ n dấu căn). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? A. T 3 . B. T 2cos . C. T cos . D. T 5 . n n 2n 1 n 2n 1 n u 1 1 Câu 18. Cho dãy số và S u 2 u 2 u 2 2018 . Khi đĩ S cĩ bao nhiêu chữ 2 1 2 2018 un 1 3un 2 số? A. 963 B. 962 C. 607 D. 608 u1 2 Câu 19. Cho dãy số un được xác định bởi cơng thức 2 . Tìm giới hạn của dãy 2018un 1 un 2017un u1 u2 un số Sn ? u2 1 u3 1 un 1 1 1 2017 A. lim S B. lim S 2018 C. lim S D. lim S 1 n 2018 n n 2018 n 3 5 Câu 20. Cho dãy số a xác định bởi a 1;a a 2 a 1,n ¥ * . Số hạng thứ 201 của dãy n 1 n 1 2 n 2 n số an cĩ giá trị bằng bao nhiêu? A. a2018 2 . B. a2018 1. C. a2018 0 . D. a2018 5. u1 cos 0 Câu 21. Cho dãy số un xác định bởi 1 u . Số hạng thứ 2017 của dãy số đã cho là: u n ,n 1 n 1 2 A. u2017 cos 2016 B. u2017 cos 2017 2 2 C. u2017 sin 2016 D. u2017 sin 2017 2 2
  5. Câu 22. Cho dãy số an xác định bởi a1 5,a2 0 và an 2 an 1 6an ,n 1. Số hạng thứ 14 của dãy là số hạng nào? A. 3164070 . B. 9516786 . C. 1050594. D. 9615090 . 2 Câu 23. Cho dãy số an xác định bởi a1 3 và an 1 an n 3n 4,n ¥ * . Số 1391 là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho? A. 18. B. 17 . C. 20 . D. 19 1 1 1 an2 bn Câu 24. Biết rằng , trong đĩ a,b,c,d và n là các số 1.2.3 2.3.4 n n 1 n 2 cn2 dn 16 nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức T a c b d . là : A. T 75 . B. T 364 . C. T 300 . D. T 256 . n n Câu 25. Cho dãy số a xác định bởi a 2017sin 2018cos . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh n n 2 3 đề đúng? * * A. an 6 an ,n ¥ . B. an 9 an ,n ¥ . * * C. an 12 an ,n ¥ . D. an 15 an ,n ¥ . a n a Câu 26. Cho dãy số n cĩ a ,n ¥ *. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số n . n n2 100 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 20 30 25 21 (u ) u n 2018 n 2017,n *. Câu 27. Cho dãy số n thỏa mãn n ¥ Khẳng định nào sau đây sai? A. Dãy số (un ) là dãy tăng. B. lim un 0. n 1 * un 1 C. 0 un ,n ¥ . D. lim 1. n 2 2018 un x an 4 x Câu 28. Cho dãy số n với x . Dãy số n là dãy số tăng khi: n n 2 A. a 2 . B. a 2 . C. a 2 . D. a 1. Câu 29. Trong các dãy số sau dãy số nào là dãy bị chặn ? 2 A. Dãy an , với an n 16,n ¥ *. 1 B. Dãy b , với b n ,n ¥ * . n n 2n n C. Dãy cn , với cn 2 3,n ¥ *. n D. Dãy d , với d ,n ¥ *. n n n2 4 an 2 Câu 30. Cho dãy số u với u ,a là tham số. Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số u là n n n 1 n một dãy số tăng A. a 1 B. a 1 C. a 2 D. a 2
  6. n n Câu 31. Cho dãy số (z ) xác định bởi z sin 2cos . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và n n 2 3 2 2 giá trị nhỏ nhất trong các số hạng của dãy số (zn ) . Tính giá trị biểu thức T M m . A. T 13. B. T 5. C. T 18. D. T 7. 1 un 2017 Câu 32. Cho dãy số (un ) thỏa mãn u1 ;un 1 ,n 1.Sn u1 u2 un khi n 2 2(n 1)un 1 2018 cĩ giá trị nguyên dương lớn nhất. A. 2017. B. 2015. C. 2016. D. 2014. 2 cos 2017 x Câu 33. Cho hàm số f x x 3x 2 và dãy số un được xác định bởi cơng thức tổng quát un log f 1 log f 2 log f n . Tìm tổng tất cả các giá trị của n thỏa mãn điều kiện 2018 un 1? A. 21 B. 18 C. 3 D. 2018 2 2 * f 1 f 3 f 2n 1 Câu 34. Cho f n n n 1 1 n N và đặt un . Tìm số nguyên f 2 f 4 f 2n 10239 dương n nhỏ nhất sao cho log u u ? 2 n n 1024 A. n 23 B. n 29 C. n 33 D. n 21 3 Câu 35. Cho dãy số a thỏa mãn điều kiện a 1; 5an 1 an 1 với mọi n Z . Tìm số n 1 3n 2 nguyên dương n 1 nhỏ nhất để an Z ? A. n 39 B. n 41 C. n 49 D. n 123 n 1 n n n Câu 36. Cho dãy số un xác định bởi u1 5;un 1 un 2 2.3 với mọi n 1. Tìm số nguyên nhỏ n n 100 nhất thỏa mãn un 2 5 . A. 146 B. 233 C. 232 D. 147 2019 un u4n u 2 u 2018 a b Câu 37. Biết rằng L lim 4 n 4 n trong đĩ u xác định bởi u u u u c n n 2n 22 n 22018 n u1 0;un 1 un 4n 3 và a,b,c là các số nguyên dương và b 2019 . Tính S a b c ? A. 1 B. 0 C. 2017 D. 2018 CẤP SỐ CỘNG 2n2 1 Câu 38. Cho dãy số u (un) cĩ u . Khẳng định nào sau đây sai? n n 3 1 2 2(n 1)2 1 A. Là cấp số cộng cĩ u ; d . B. Số hạng thứ n+1: u . 1 3 3 n 1 3 2(2n 1) C. Hiệuu u . D. Khơng phải là một cấp số cộng. n 1 n 3 Câu 39. Cho hai cấp số cộng xn : 4,7,10, và yn :1,6,11, Hỏi trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cĩ bao nhiêu số hạng chung? A. 404. B. 673. C. 403. D. 672.
  7. Câu 40. Ba số phân biệt cĩ tổng là 217 cĩ thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng cĩ thể coi là số hạng thứ 2,thứ 9, thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 820? A. 20. B. 42. C. 21. D. 17. Câu 41. Cho cấp số cộng un biết u5 18 và 4Sn S2n . Tìm số hạng đầu tiên u1 và cơng sai d của cấp số cộng. A. u1 2,d 4 . B. u1 2,d 3 . C. u1 2,d 2 . D. u1 3,d 2 . 2 * Câu 42. Một cấp số cộng cĩ tổng n số hạng đầu Sn được tính theo cơng thức Sn 5n 3n, n ¥ . Tìm số hạng đầu u1 và cơng sai d của cấp số cộng đĩ A. u1 8,d 10 B. u1 8,d 10 C. u1 8,d 10 D. u1 8,d 10 Sn S7 77 S12 192. Câu 43. Cho cấp số cộng un và gọi là tổng n số đầu tiên của nĩ. Biết và Tìm u số hạng tổng quát n của cấp số cộng đĩ. A. un 5 4n . B. un 3 2n . C. un 2 3n . D. un 4 5n Câu 44. Cho ba số dương a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị lớn nhất của biểu thức a2 8bc 3 P cĩ dạng x y x, y ¥ . Hỏi x y bằng bao nhiêu: 2a c 2 1 A. 9 B. 11 C. 13 D. 7 Câu 45. Chu vi của một đa giác là158cm , số đo các cạnh của nĩ lập thành một cấp số cộng với cơng sai d 3cm . Biết cạnh lớn nhất là 44cm. Số cạnh của đa giác đĩ là: A. 3. B. 4. C. 5. D. 6 Câu 46. Chu vi của một đa giác n cạnh là 158, số đo các cạnh đa giác lập thành một cấp số cộng với cơng sai d 3. Biết cạnh lớn nhất cĩ độ dài là 44. Tính số cạnh của đa giác. A. 6. B. 4. C. 9. D. 5 Câu 47. Cho tam giác ABC cĩ độ dài các cạnh là a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết A C x tan tan x, y ¥ , giá trị x y là: 2 2 y A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 48. Cho các số hạng dương a, b, c là số hạng thứ m, n, p của một cấp số cộng và một cấp số nhân. (b c) (c a) (a b) Tính giá trị của biểu thức log2a .b .c A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 Câu 49. Cho a b c và cota, cotb, cotc tạo thành cấp số cộng. Gía trị cota.cotc bằng 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 50. Cho a, b, c theo thứ tự tạo thành cấp số cộng. Giá trị x y là bao nhiêu biết 2 2 2 2 2 P log2 a ab 2b bc c x log2 a ac c y x, y ¥ .
  8. A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 Câu 51. Cho ba (bố số chứ) số a, b, c, d theo thứ tự đĩ tạo thành cấp số nhân với cơng bội khác 1. Biết 148 tổng ba số hạng đầu bằng , đồng thời theo thứ tự đĩ chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và 9 thứ tám của một cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức T a b c d ? 101 100 100 101 A. T . B. T . C. T . D. T . 27 27 27 27 Câu 52. Cho cấp số cộng un . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? A. n p um p m un m n u p 0 . B. m n um n p un p m u p 0 . C. m p um n m un p n u p 0 . D. p n um m p un m n u p 0 . 1 1 1 Câu 53. Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện , , lập thành một cấp b c c a a b số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Ba số a,b,c lập thành một cấp số cộng. 1 1 1 B. Ba số , , lập thành một cấp số cộng. a b c C. Ba số a2 ,b2 ,c2 lập thành một cấp số cộng. D. Ba số a , b, c lập thành một cấp số cộng Câu 54. Biết rằng tồn tại các giá trị của x 0;2  để ba số 1 sin x,sin2 x,1 sin3x lập thành một cấp số cộng, tính tổng S các giá trị đĩ của x . 7 23 A. S 5 . B. S 3 . C. S . D. S . 2 6 Câu 55. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3 3x2 x m2 1 0 cĩ ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. A. m 16 . B. m 2 . C. m 2 . D. m 2 . Câu 56. Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị m1,m2 ,m3 của tham số m để phương trình x3 9x2 23x m3 4m2 m 9 0 cĩ ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính giá trị 3 3 3 của biểu thức P m1 m2 m3 . A. P 34. B. P 36. C. P 64 . D. P 34 . Câu 57. Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số m để phương trình sau cĩ bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: x4 10x2 2m2 7m 0 , tính tổng lập phương của hai giá trị đĩ. 343 721 721 343 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8 Câu 58. Cho một cấp số cộng un cĩ u1 1 và tổng của 100 số hạng đầu tiên 24850 . Tính giá trị của 1 1 1 1 biểu thức S ? u1u2 u2u3 u48u49 u49u50 4 9 49 A. S 123 B. S C. S D. S 23 246 246
  9. an bn Câu 59. Cho cấp số cộng ; cấp số nhân thỏa mãn a2 a1 0;b2 b1 1 và hàm số f x x3 3x f a 2 f a f log b 2 f log b sao cho 2 1 và 2 2 2 . Số nguyên dương n 1 nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện bn 2018an là? A. 16 B. 15 C. 17 D. 18 Câu 60. Cho cấp số cộng u cĩ số hạng đầu u1 2 và cơng sai d 3. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , lấy các điểm A1, A2 , sao cho với mỗi số nguyên dương n , điểm An cĩ tọa độ n;un . Biết rằng khi đĩ tất cả các điểm A1, A2 , , An , cùng nằm trên một đường thẳng. Hãy viết phương trình của đường thẳng đĩ. A. y 3x 5. B. y 3x 2. C. y 2x 3. D. y 2x 5 Câu 61. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đồ thị C của hàm số y 3x 2 . Với mỗi số nguyên dương n , gọi An là giao điểm của đồ thị C với đường thẳng d : x n 0 . Xét dãy số un với un là tung độ của điểm An . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? A. Dãy số un là một cấp số cộng cĩ cơng sai d 2 . B. Dãy số un là một cấp số cộng cĩ cơng sai d 3. C. Dãy số un là một cấp số cộng cĩ cơng sai d 1. D. Dãy số un khơng phải là một cấp số cộng. Câu 62. Trên tia Ox lấy các điểm A1, A2 , , An , sao cho với mỗi số nguyên dương n , OAn n . Trong cùng một nửa mặt phẳng cĩ bờ là đường thẳng chứa tia Ox , vẽ các nửa đường trịn đường kính OAn , n 1,2, Kí hiệu u1 là diện tích nửa đường trịn đường kính OA1 và với mỗi n 2 , kí hiệu un là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường trịn đường kính OAn 1 , nửa đường trịn đường kính OAn và tia Ox . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Dãy số un khơng phải là một cấp số cộng. B. Dãy số u là một cấp số cộng cĩ cơng sai d . n 4 C. Dãy số u là một cấp số cộng cĩ cơng sai d . n 8 D. Dãy số u khơng phải là một cấp số cộng cĩ cơng sai d . n 2 Câu 63. Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá từ mét khoan đầu tiên là 100000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 30000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước đĩ. Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan một giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hồn thành việc khoan giếng, gia đình đĩ phải thanh tốn cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu? A. 7700000 đồng. B. 15400000đồng. C. 8000000 đồng. D. 7400000 đồng. Câu 64. Trên một bàn cờ cĩ nhiều ơ vuơng. Người ta đặt 7 hạt dẻ vào ơ vuơng đầu tiên, sau đĩ đặt tiếp vào ơ thứ hai số hạt dẻ nhiều hơn ơ đầu tiên là 5, tiếp tục đặt vào ơ thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ơ thứ hai là 5, và cứ thế tiếp tục đến ơ cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ơ trên bàn cờ người ta đã phải sử dụng hết 25450 hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đĩ cĩ bao nhiêu ơ? A. 98 ơ. B. 100ơ. C. 102 ơ. D. 104 ơ.
  10. Câu 65. Một cơng ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho cơng ty là 13,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, múc lương sẽ được tăng thêm 500.000 đồng mỗi quý. Tính tổng số tiền lương một kỹ sư nhận được sau ba năm làm việc cho cơng ty. A. 198triệu đồng. B. 195 triệu đồng. C. 228 triệu đồng. D. 114 triệu đồng. Câu 66. Mặt sàn tầng của một ngơi nhà cao hơn mặt sân 0,5m . Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, một bậc cao 18cm . Kí hiệu hn là độ cao của bậc thứ n so với mặt sân. Viết cơng thức để tìm độ cao hn . A. hn 0,18n 0,32 m . B. hn 0,18n 0,5 m . C. hn 0,5n 0,18 m . D. hn 0,5n 0,32 m . A , A , , A , OA n. Câu 67. Trên tia Ox lấy các điểm 1 2 n sao cho với mỗi số nguyên dương n, n Trong cùng một nửa mặt phẳng cĩ bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các nửa đường trịn đường kính OA , n 1, 2 u OA u n Kí hiệu 1 là diện tích của nửa hình trịn đường kính 1 và với mỗi n 2, kí hiệu n OA , OA là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường trịn đường kính n 1 nửa đường trịn đường kính n (u ) và tia Ox. Chứng minh rằng dãy số n là một cấp số cộng. Hãy xác định cơng sai của cấp số cộng đĩ. 2 A. d B. d C. d D. d 4 2 3 3 CẤP SỐ NHÂN Câu 68. Cho tam giác ABC biết 3 gĩc của tam giác lập thành một cấp số cộng và cĩ một gĩc bằng 25 . Tìm 2 gĩc cịn lại? A. 65,90 B. 75,80 . C. 60,95 . D. 60,90 . Câu 69. Cho dãy số an xác định bởi a1 5,an 1 q.an 3 với mọi n 1, trong đĩ q là hằng số, 1 qn 1 a 0,q 1. Biết cơng thức số hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng a .qn 1  . n 1 q Tính 2 ? A. 13. B. 9. C. 11. D. 16. Câu 70. Trong dịp hội trại hè 2017 bạn A thả một quả bĩng cao su từ độ cao 3m so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bĩng lại nảy lên một độ cao bằng hai phần ba độ cao lần rơi trước. Tổng quãng đường quả bĩng đã bay (từ lúc thả bĩng cho đến lúc bĩng khơng nảy nữa) khoảng:
  11. A. 13m. B. 14m. C. 15m. D. 16m. u1 u2 u3 u4 15 Câu 71. Cĩ hai cấp số nhân thỏa mãn với cơng bội lần lượt là q ,q . Hỏi giá 2 2 2 2 1 2 u1 u2 u3 u4 85 trị của q1 q2 là: 1 3 5 7 A. B. C. D. 2 2 2 2 Câu 72. Cho tứ giác ABCD biết 4 gĩc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và gĩc A bằng 30o. Tìm các gĩc cịn lại? A. 75,120,65 . B. 72,114,156 . C. 70o; 110o; 150o. D. 80o; 110o; 135o. Câu 73. Cho một cấp số cộng (un ) cĩ u1 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính 1 1 1 S . u1 u2 u2u3 u49u50 9 4 49 A. S . B. S . C. S 123. D. S . 246 23 246 Câu 74. Cho a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A. a2 c2 2ab 2bc 2ac . B. a2 c2 2ab 2bc 2ac . C. a2 c2 2ab 2bc 2ac . D. a2 c2 2ab 2bc 2ac . u1 2 Câu 75. Cho dãy số un được xác định như sau: . Tính tổng un 1 4un 4 5n n 1 S u2018 2u2017 . A. S 2015 3.42017 B. S 2016 3.42018 C. S 2016 3.42018 D. S 2015 3.42017 Câu 76. Cho số hạng thứ m và thứ n của một cấp số nhân biết số hạng thứ (m n) bằng A , sổ hạng thứ (m n) bằng B và các số hạng đểu dương. Số hạng thứ m là: m m B 2n A n 2 A. A B. AB C. D. AB n A B 1 n 1 U U U Câu 77. Cho dãy số U xác định bởi: U và U .U . Tổng S U 2 3 10 n 1 3 n 1 3n n 1 2 3 10 bằng: 3280 29524 25942 1 A. . B. . C. . D. . 6561 59049 59049 243 Câu 78. Phương trình 1 a a2 a x 1 a 1 a2 1 a4 với 0 a 1 cĩ bao nhiêu nghiệm? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 79. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau cĩ ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: x3 3x 1 x2 5m 4 x 8 0. A. m 2. B. m 2. C. m 4. D. m 4.
  12. Câu 80. Biết rằng tồn tại hai giá trị m1 và m2 để phương trình sau cĩ ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: 2x3 2 m2 2m 1 x2 7 m2 2m 2 x 54 0. Tính giá trị của biểu thức 3 3 P m1 m2 . A. P 56 B. P 8. C. P 56 D. P 8. Câu 81. Ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng và cĩ tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số 2;3;9 vào ba số đĩ (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính F x2 y2 z2. A. F 389. hoặc F 395. B. F 395. hoặc F 179. C. F 389. hoặc F 179. D. F 441 hoặc F 357. a1 7, a6 224 Sk 3577. Câu 82. Cho cấp số nhân an cĩ và Tính giá trị của biểu thức T k 1 ak . A. T 17920. B. T 8064. C. T 39424. D. T 86016. Câu 83. Cho cấp số nhân an cĩ a1 2 và biểu thức 20a1 10a2 a3 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ bảy của cấp số nhân đĩ. A. a7 156250. B. a7 31250. C. a7 2000000. D. a7 39062. Câu 84. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là sai? A. Dãy số an , với a1 3 và an 1 an 6, n 1, vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân. 2 B. Dãy số bn , với b1 1 và bn 1 2bn 1 3, n 1, vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân. 2 C. Dãy số cn , với c1 2 và cn 1 3cn 10 n 1, vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân. 2 D. Dãy số dn , với d1 3 và d n 1 2d n 15, n 1, vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân. Câu 85. Xét bảng ơ vuơng gồm 4 4 ơ vuơng. Người ta điền vào mỗi ơ vuơng đĩ một trong hai số 1 hoặc 1 sao cho tổng các số trong mỗi hang và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0 . Hỏi cĩ bao nhiêu cách? A. 72 B. 90 C. 80 D. 144 Câu 86. Số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân. Biết thể tích của khối hộp là 125 cm3 và diện tích tồn phần là 175 cm2. Tính tổng số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật đĩ. A. 30cm. B. 28cm. C. 31cm. D. 17,5cm. Câu 87. Một của hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng). Sau đĩ, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên 10%. Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng đĩ lên 10%. Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai làn tăng giá là bao nhiêu? A. 120. B. 121. C. 122. D. 200. Câu 88. Một người đem 100 triệu đồng đi gửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là 0,7% số tiền mà người đĩ cĩ. Hỏi sau khi hết kỳ hạn, người đĩ được lĩnh về bao nhiêu tiền? A. 108. 0,007 5 (đồng) B. 108. 1,007 5 (đồng) C. 108. 0,007 6 (đồng) D. 108. 1,007 6 (đồng) Câu 89. Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là 1,2%. Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là 2 triệu người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh M sẽ là bao nhiêu?
  13. A. 10320 nghìn người. B. 3000 nghìn người. C. 2227 nghìn người. D. 2300 nghìn người. Câu 90. Tế bào E. Coli trong điều kiện nuơi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đơi một lần. Nếu lúc đầu cĩ 1012 tế bào thì sau 3 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào? A. 1024.1012 tế bào. B. 256.1012 tế bào. C. 512.1012 tế bào. D. 512.1013 tế bào. Câu 91. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng theo cách: Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích đế tháp là 12288m2 , tính diện tích mặt trên cùng. A. 6m2. B. 12m2. C. 24m2. D. 3m2. Câu 92. Một tứ giác lồi cĩ số đo các gĩc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của gĩc nhỏ nhất 1 bằng số đo của gĩc nhỏ thứ ba. Hãy tính số đo của các gĩc trong tứ giác đĩ. 9 A. 50 ,150 ,450 ,2250. B. 90 ,270 ,810 ,2430. C. 70 ,210 ,630 ,2690. D. 80 ,320 ,720 ,2480. Câu 93. Tam giác mà ba đỉnh của nĩ là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3B3C3 , sao cho A1B1C1 là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n 2 , tam giác An BnCn là tam giác trung bình của tam giác An 1Bn 1Cn 1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu Sn tương ứng là diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác An BnCn . Tính tổng S S1 S2 Sn ? 15 9 A. S . B. S 4 . C. S . D. S 5 . 4 2 Câu 94. Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Biết độ dài cạnh đáy BC, đường cao AH và cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân cơng bội q. Gía trị của q2 bằng 2 2 2 2 2 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Câu 95. Một cơng ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức như sau: mức lương của quý làm việc đầu tiên cho cơng ty là 15 triệu đồng/quý và kể từ quý làm việc thứ hai mức lương sẽ được tăng thêm 1,5 triệu đồng mỗi quý. Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư được nhận sau 3 năm làm việc cho cơng ty. A. 495 triệu đồng. B. 279 triệu đồng. C. 384 triệu đồng. D. 558 triệu đồng. Câu 96. Một hình vuơng ABCD cĩ cạnh AB a, diện tích S1. Nối 4 trung điểm A1, B1,C1, D1 theo thứ tự của 4 cạnh AB, BC,CD, DA ta được hình vuơng thứ hai là A1B1C1D1 cĩ diện tích S2. Tiếp tục như thế, ta được hình vuơng thứ ba là A2 B2C2 D2 cĩ diện tích S3 và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích S4 , S5 , Tính S S1 S2 S100. 100 2 100 2 99 2100 1 a 2 1 a 2 1 a 2 1 A. S . B. S . C. S . D. S 299 a2 299 299 299
  14. C – HƯỚNG DẪN GIẢI DÃY SỐ Câu 1. Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là: 0,1;0,01;0,001;0,0001; . Số hạng tổng quát của dãy số này cĩ dạng? 1 1 A. u 0,00 01 . B. u 0,00 01 .C. u . D. u . n  n  n 10n 1 n 10n 1 n chữsố 0 n 1 chữsố 0 Hướng dẫn giải Chọn A. Ta cĩ: Số hạng thứ 1 cĩ 1 chữ số 0 Số hạng thứ 2 cĩ 2 chữ số 0 Số hạng thứ 3 cĩ 3 chữ số 0 . Suy ra un cĩ n chữ số 0 . u1 5 Câu 2. Cho dãy số un với .Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? un 1 un n (n 1)n (n 1)n A. u . B. u 5 . n 2 n 2 (n 1)n (n 1)(n 2) C. u 5 . D. u 5 . n 2 n 2 Hướng dẫn giải Chọn B. n n 1 Ta cĩ u 5 1 2 3 n 1 5 . n 2 u 1 Câu 3. Cho dãy số u với 1 . Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào dưới n 2 n un 1 un n đây? n n 1 2n 1 n n 1 2n 2 A. u 1 . B. u 1 . n 6 n 6 n n 1 2n 1 n n 1 2n 2 C. u 1 . D. u 1 . n 6 n 6 Hướng dẫn giải Chọn C.
  15. u1 1 2 u2 u1 1 2 Ta cĩ: u3 u2 2 . Cộng hai vế ta được 2 un un 1 n 1 2 n n 1 2n 1 u 1 12 22 n 1 1 . n 6 u1 2 Câu 4. Cho dãy số u với . Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào dưới n un 1 un 2n 1 n đây? 2 2 2 2 A. un 2 n 1 . B. un 2 n . C. un 2 n 1 . D. un 2 n 1 . Hướng dẫn giải Chọn A. u1 2 u u 1 2 1 2 Ta cĩ: u3 u2 3 . Cộng hai vế ta được un 2 1 3 5 2n 3 2 n 1 . un un 1 2n 3 u1 2 Câu 5. Cho dãy số un với 1 . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này là: u 2 n 1 un n 1 n 1 n 1 n A. u . B. u . C. u . D. u . n n n n n n n n 1 Hướng dẫn giải Chọn C. 3 4 5 n 1 Ta cĩ: u ;u ;u ; Dễ dàng dự đốn được u . 1 2 2 3 3 4 n n 1 u1 Câu 6. Cho dãy số un với 2 . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này là: un 1 un 2 1 1 1 1 A. u 2 n 1 . B. u 2 n 1 . C. u 2n . D. u 2n . n 2 n 2 n 2 n 2 Hướng dẫn giải Chọn B.
  16. 1 u 1 2 u2 u1 2 1 1 Ta cĩ: u3 u2 2 . Cộng hai vế ta được u 2 2 2 2 n 1 . n 2 2 un un 1 2 u1 1 Câu 7. Cho dãy số un với 2n . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới un 1 un 1 đây? 2n A. un 1 n . B. un 1 n . C. un 1 1 . D. un n . Hướng dẫn giải Chọn D 2n Ta cĩ un 1 un 1 un 1 u2 2;u3 3;u4 4; Dễ dàng dự đốn đượcun n . Thật vậy, ta chứng minh được un n * bằng phương pháp quy nạp như sau: + Với n 1 u1 1. Vậy * đúng với n 1 * + Giả sử * đúng với mọi n k k ¥ , ta cĩ: uk k . Ta đi chứng minh * cũng đúng với n k 1, tức là: uk 1 k 1 2k + Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số un ta cĩ: uk 1 uk 1 k 1. Vậy * đúng với mọi n ¥ * . u1 1 Câu 8. Cho dãy số un với 2n 1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào un 1 un 1 dưới đây? A. un 2 n . B. un khơng xác định. C. un 1 n . D. un n với mọi n . Hướng dẫn giải Chọn A Ta cĩ: u2 0;u3 1;u4 2 ,. Dễ dàng dự đốn được un 2 n . u 1 Câu 9. Cho dãy số u với 1 . Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào dưới n 2 n un 1 un n đây? n n 1 2n 1 n n 1 2n 2 A. u 1 . B. u 1 . n 6 n 6
  17. n n 1 2n 1 n n 1 2n 2 C. u 1 . D. u 1 . n 6 n 6 Hướng dẫn giải Chọn C u1 1 2 u2 u1 1 2 Ta cĩ: u3 u2 2 . 2 un un 1 n 1 2 n n 1 2n 1 Cộng hai vế ta được u 1 12 22 n 1 1 . n 6 u1 2 Câu 10. Cho dãy số un với . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới un 1 un 2n 1 đây? 2 2 2 2 A. un 2 n 1 . B. un 2 n . C. un 2 n 1 . D. un 2 n 1 . Hướng dẫn giải Chọn A u1 2 u2 u1 1 Ta cĩ: u3 u2 3 . un un 1 2n 3 2 Cộng hai vế ta được un 2 1 3 5 2n 3 2 n 1 . u1 2 Câu 11. Cho dãy số un với 1 . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này là: u 2 n 1 un n 1 n 1 n 1 n A. u . B. u . C. u . D. u . n n n n n n n n 1 Hướng dẫn giải Chọn C 3 4 5 n 1 Ta cĩ: u ;u ;u ; Dễ dàng dự đốn được u . 1 2 2 3 3 4 n n 1 u1 Câu 12. Cho dãy số un với 2 . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này là: un 1 un 2 1 1 1 1 A. u 2 n 1 . B. u 2 n 1 . C. u 2n . D. u 2n . n 2 n 2 n 2 n 2
  18. Hướng dẫn giải Chọn B 1 u 1 2 u2 u1 2 Ta cĩ: u3 u2 2 . un un 1 2 1 1 Cộng hai vế ta được u 2 2 2 2 n 1 . n 2 2 u 1 1 Câu 13. Cho dãy số un với u . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này là: u n n 1 2 n n 1 n 1 n 1 1 1 1 1 A. un 1 . . B. un 1 . . C. un . D. un 1 . 2 2 2 2 . Hướng dẫn giải Chọn D u1 1 u u 1 2 2 u2 Ta cĩ: u3 . 2 u n 1 un 2 n 1 u1.u2.u3 un 1 1 1 Nhân hai vế ta được u1.u2.u3 un 1 . un 1 . n 1 1 . 2.2.2. 2 2 2 n 1 lan u1 2 Câu 14. Cho dãy số un với . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này: un 1 2un n 1 n n 1 A. un n . B. un 2 . C. un 2 . D. un 2. Hướng dẫn giải Chọn B
  19. u1 2 u2 2u1 Ta cĩ: u3 2u2 . un 2un 1 n 1 n Nhân hai vế ta được u1.u2.u3 un 2.2 .u1.u2 un 1 un 2 . 1 u1 Câu 15. Cho dãy số un với 2 . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này: un 1 2un 1 1 A. u 2n 1 . B. u . C. u . D. u 2n 2 . n n 2n 1 n 2n n Hướng dẫn giải Chọn D 1 u 1 2 u2 2u1 Ta cĩ: u3 2u2 . un 2un 1 1 Nhân hai vế ta được u .u .u u .2n 1.u .u u u 2n 2 . 1 2 3 n 2 1 2 n 1 n u1 1 Câu 16. Cho dãy số un với 2n . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào un 1 un 1 dưới đây? 2n A. un 1 n . B. un 1 n . C. un 1 1 . D. un n . Hướng dẫn giải Chọn D. 2n Ta cĩ: un 1 un 1 un 1 u2 2;u3 3;u4 4; Dễ dàng dự đốn được un n Thật vậy, ta chứng minh được un n * bằng phương pháp quy nạp như sau: + Với n 1 u1 1. Vậy * đúng với n 1 * + Giả sử * đúng với mọi n k k ¥ , ta cĩ: uk k . Ta đi chứng minh * cũng đúng với n k 1, tức là: uk 1 k 1 2k + Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số un ta cĩ: uk 1 uk 1 k 1. Vậy * đúng với mọi n ¥ * .
  20. Câu 17. Đặt Tn 2 2 2 2 (cĩ n dấu căn). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? A. T 3 . B. T 2cos . C. T cos . D. T 5 . n n 2n 1 n 2n 1 n Hướng dẫn giải Chọn B. Ta chứng minh T 2cos bằng phương pháp quy nạp tốn học. Thật vậy: n 2n 1 Bước 1: Với n 1 thì vế trái bằng 2 , cịn vế phải bằng 2cos 2cos 2 . 21 1 4 Vậy đẳng thức đúng với n 1. Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n k 1, nghĩa là T 2cos . k 2k 1 Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với n k 1 , tức là chứng minh T 2cos . k 1 2k 2 Thật vậy, vì T 2 T nên theo giả thiết quy nạp ta cĩ T 2 T 2 2cos . k 1 k k 1 k 2k 1 2 2 Mặt khác, 1 cos k 1 1 cos 2. k 2 2cos k 2 nên Tk 1 2.2cos k 2 2cos k 2 . 2 2 2 2 2 u 1 1 Câu 18. Cho dãy số và S u 2 u 2 u 2 2018 . Khi đĩ S cĩ bao nhiêu chữ 2 1 2 2018 un 1 3un 2 số? A. 963 B. 962 C. 607 D. 608 Hướng dẫn giải 2 2 2 n Ta cĩ un 1 3.un 2 un a.3 b . 2 5 9a b a Vì u2 5 ta cĩ hệ phương trình 3 . Vậy 1 3a b b 1 2 u 2 .3n 1 2.3n 1 1 n 3 Khi đĩ S 2 1 31 32 32017 32018 1. Số chữ số của S 2018log3 1 963. Chọn A. u1 2 Câu 19. Cho dãy số un được xác định bởi cơng thức 2 . Tìm giới hạn của dãy 2018un 1 un 2017un u1 u2 un số Sn ? u2 1 u3 1 un 1 1 1 2017 A. lim S B. lim S 2018 C. lim S D. lim S 1 n 2018 n n 2018 n Hướng dẫn giải
  21. un un 1 un un un 1 un Ta cĩ: 2018 un 1 un un un 1 2018 un 1 2018 un 1 1 un 1 un 1 1 u u u u 1 1 n n 1 n n 2018 . 2018 un 1 1 un 1 un 1 1 un 1 1 un 1 un 1 1 Như vậy: 1 1 1 1 Sn 2018 lim Sn 2018 lim Sn 2018 . u1 1 un 1 1 2 1 limun 1 3 5 Câu 20. Cho dãy số a xác định bởi a 1;a a 2 a 1,n ¥ * . Số hạng thứ 201 của dãy n 1 n 1 2 n 2 n số an cĩ giá trị bằng bao nhiêu? A. a2018 2 . B. a2018 1. C. a2018 0 . D. a2018 5. Hướng dẫn giải Chọn A. Nhận thấy dãy số trên là dãy số cho bởi cơng thức truy hồi. Ta cĩ a1 1;a2 2;a3 0;a4 1;a2 2;a6 0; 1. * Từ đây chúng ta cĩ thể dự đốn an 3 an ,n ¥ . Chúng ta khẳng định dự đốn đĩ bằng phương pháp quy nạp tốn học. Thật vậy: Với n 1 thì a1 1 và a4 1. Vậy đẳng thức đúng với n 1. Giả sử đẳng thức đúng với n k 1, nghĩa là ak 3 ak . Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n k 1, nghĩa là chứng minh ak 4 ak 1 . 3 5 Thật vậy, ta cĩ a a2 a 1 (theo hệ thức truy hồi). k 4 2 k 3 2 k 3 3 5 Theo giả thiết quy nạp thì a a nên a a2 a 1 a . k 3 k k 4 2 k 2 k k 1 * Vậy đẳng thức đúng với n k 1. Suy ra an 3 an ,n ¥ . Từ kết quả phần trên, ta cĩ: nếu m  p mod3 thì am a p . Ta cĩ 2018  2 mod3 nên a2018 2 . u1 cos 0 Câu 21. Cho dãy số un xác định bởi 1 u . Số hạng thứ 2017 của dãy số đã cho là: u n ,n 1 n 1 2 A. u2017 cos 2016 B. u2017 cos 2017 C. u2017 sin 2016 D. 2 2 2 u2017 sin 2017 2 Hướng dẫn giải Đáp án A 1 cos 1 cos Ta cĩ u cos2 u 2 cos u cos 2 2 2 3 1 22 4 23
  22. Suy ra u2017 cos 2016 2 Câu 22. Cho dãy số an xác định bởi a1 5,a2 0 và an 2 an 1 6an ,n 1. Số hạng thứ 14 của dãy là số hạng nào? A. 3164070 . B. 9516786 . C. 1050594. D. 9615090 . Hướng dẫn giải Chọn A. + Ta cĩ an 2 an 1 6an ,n 1 an 2 2an 1 3 an 1 2an ,n 1. Do đĩ ta cĩ b1 a2 2a1 10 và bn 1 3bn ,n 1. 2 3 Từ hệ thức truy hồi của dãy số bn , ta cĩ b2 3b1;b3 3b2 3 b1;b4 3b3 3 b1 . Bằng phương pháp quy nạp tốn học, chúng ta chứng minh được rằng: n 1 n 1 bn 3 b1 10.3 ,n 1. + Ta cĩ an 2 an 1 6an ,n 1 an 2 3an 1 2 an 1 3an ,n 1. Do đĩ ta cĩ: c1 a2 3a1 15 và cn 1 2cn ,n 1. 2 3 Từ hệ thức truy hồi của dãy số cn , ta cĩ c2 2c1;c3 2 c1;c4 2 c1 . Bằng phương pháp quy nạp tốn học, chúng ta chứng minh được rằng: n 1 n 1 cn 2 c1 15. 2 ,n 1. + Từ các kết quả trên, ta cĩ hệ phương trình: a 2a 10.3n 1 n 1 n n 1 n 1 n 1 an 2.3 3. 2 . an 1 3an 15. 2 n 1 n 1 Do đĩ số hạng tổng quát của dãy số an là an 2.3 3. 2 ,n 1. Vậy suy ra a14 3164070 . 2 Câu 23. Cho dãy số an xác định bởi a1 3 và an 1 an n 3n 4,n ¥ * . Số 1391 là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho? A. 18. B. 17 . C. 20 . D. 19 Hướng dẫn giải Chọn A. Từ hệ thức truy hồi của dãy số an ta cĩ: 3 2 2 n 6n 17n 21 a a 12 22 n 1 3 1 2 n 1 4 n 1 a . n 1 n 3 n3 6n2 17n 21 Suy ra số hạng tổng quát của dãy số a là a . n n 3 Giải phương trình an 1391 ta được n 18 1 1 1 an2 bn Câu 24. Biết rằng , trong đĩ a,b,c,d và n là các số 1.2.3 2.3.4 n n 1 n 2 cn2 dn 16 nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức T a c b d . là : A. T 75 . B. T 364 . C. T 300 . D. T 256 . Hướng dẫn giải
  23. Chọn C . 1 1 1 1 Phân tích phần tử đại diện, ta cĩ: . k k 1 k 2 2 k k 1 k 1 k 2 1 1 1 Suy ra: 1.2.3 2.3.4 n n 1 n 2 1 1 1 1 1 1 1 . 2 1.2 2.3 2.3 3.4 n n 1 n 1 n 2 1 1 1 n2 3n 2n2 6n = . 2 2 n 1 n 2 4n2 12n 8 8n2 24n 16 Đối chiếu với hệ số, ta được: a 2;b 6;c 8;d 24 . Suy ra: T a c b d 300 . n n Câu 25. Cho dãy số a xác định bởi a 2017sin 2018cos . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh n n 2 3 đề đúng? * * A. an 6 an ,n ¥ . B. an 9 an ,n ¥ . * * C. an 12 an ,n ¥ . D. an 15 an ,n ¥ . Hướng dẫn giải Chọn C Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng. n 6 n 6 n n + Ta cĩ a 2017sin 2018cos 2017sin 2018cos a n 6 2 3 2 3 n n 9 n 9 n n + Ta cĩ a 2017sin 2018cos 2017sin 2018cos a . n 6 2 3 2 3 n n 12 n 12 n n + Ta cĩ a 2017sin 2018cos 2017sin 2018cos a . n 12 2 3 2 3 n n 15 n 15 n n + Ta cĩ a 2017sin 2018cos 2017sin 2018cos a . n 15 2 3 2 3 n a n a Câu 26. Cho dãy số n cĩ a ,n ¥ *. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số n . n n2 100 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 20 30 25 21 Hướng dẫn giải Chọn A. n n 1 2 Ta cĩ an 2 . Dấu bằng xảy ra khi n 100 n 10. n 100 2 n2.100 20 1 Vậy số hạng lớn nhất của dãy là số hạng bằng . 20 (u ) u n 2018 n 2017,n *. Câu 27. Cho dãy số n thỏa mãn n ¥ Khẳng định nào sau đây sai? A. Dãy số (un ) là dãy tăng. B. lim un 0. n 1 * un 1 C. 0 un ,n ¥ . D. lim 1. n 2 2018 un Hướng dẫn giải
  24. Chọn A x an 4 x Câu 28. Cho dãy số n với x . Dãy số n là dãy số tăng khi: n n 2 A. a 2 . B. a 2 . C. a 2 . D. a 1. Hướng dẫn giải Chọn B. a(n 1) 4 a(n 1) 4 an 4 2a 4 Ta cĩ x . Xét hiệu x x . n 1 n 3 n 1 n n 3 n 2 (n 2)(n 3) (xn ) là dãy tăng khi và chỉ khi xn 1 xn 0,n 1 2a 4 0 a 2. Câu 29. Trong các dãy số sau dãy số nào là dãy bị chặn ? 2 A. Dãy an , với an n 16,n ¥ *. 1 B. Dãy b , với b n ,n ¥ * . n n 2n n C. Dãy cn , với cn 2 3,n ¥ *. n D. Dãy d , với d ,n ¥ *. n n n2 4 Hướng dẫn giải Chọn D. (a ) a n2 16 17,n 1. Dãy số n là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì n 1 1 Dãy số (b ) là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì b n 2 n. 2,n 1. n n 2n 2n (c ) c 2n 3 5,n 1. Dãy số n là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì n 1 n n 1 Dãy số (dn ) là dãy số bị chặn vì 0 dn ,n 1. do0 2 . 4 n 4 4n 4 an 2 Câu 30. Cho dãy số u với u ,a là tham số. Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số u là n n n 1 n một dãy số tăng A. a 1 B. a 1 C. a 2 D. a 2 Hướng dẫn giải Chọn C n n Câu 31. Cho dãy số (z ) xác định bởi z sin 2cos . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và n n 2 3 2 2 giá trị nhỏ nhất trong các số hạng của dãy số (zn ) . Tính giá trị biểu thức T M m . A. T 13. B. T 5. C. T 18. D. T 7. Hướng dẫn giải Chọn A. Dựa vào chu kì của hàm số y sin x; y cos x, ta cĩ zn 12 zn ,n 1. Do đĩ tập hợp các phần tử của dãy số là S z1; z2 ; ; z12 3; 2; 1;0;2. Suy ra M 2;m 3.Do đĩ T 13.
  25. 1 un 2017 Câu 32. Cho dãy số (un ) thỏa mãn u1 ;un 1 ,n 1.Sn u1 u2 un khi n 2 2(n 1)un 1 2018 cĩ giá trị nguyên dương lớn nhất. A. 2017. B. 2015. C. 2016. D. 2014. Hướng dẫn giải Chọn C . Dễ chỉ ra được un 0,n 1. Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta cĩ 1 1 2n 2,n 1. un 1 un Suy ra 1 1 1 2 1 2(1 2 n 1) 2(n 1) 2 n(n 1) 2(n 1) n n un . un u1 un n(n 1) 1 1 Do đĩ u ,n 1. n n n 1 1 n 2017 n 2017 Vậy S u u u 1 . Vì S nên n 2017. n 1 2 n n 1 n 1 n 2018 n 1 2018 2017 Suy ra số nguyên dương lớn nhất để S là n 2016 . n 2018 2 cos 2017 x Câu 33. Cho hàm số f x x 3x 2 và dãy số un được xác định bởi cơng thức tổng quát un log f 1 log f 2 log f n . Tìm tổng tất cả các giá trị của n thỏa mãn điều kiện 2018 un 1? A. 21 B. 18 C. 3 D. 2018 Hướng dẫn giải n n Ta cĩ: un log f k cos 2017 k log k 1 log k 2 ( k chẵn) ( k lẻ). k 1 k 1 Trường hợp 1: n 2 p (Chẵn), khi đĩ ta cĩ khai triển sau: un log3 log 4 log 2 p 1 log 2 p 2 log 2 log3 log 2 p log 2 p 1 . 2018 Như vậy un log p 1 cho nên un 1 p 9 n 18 . Trường hợp 1: n 2 p 1 (Lẻ), khi đĩ ta cĩ khai triển sau: un log3 log 4 log 2 p 1 log 2 p 2 log 2 log3 log 2 p 2 log 2 p 3 . 2018 Như vậy un log 4 p 6 cho nên un 1 p 1 n 3 . 2018 Kết luận: Tổng các giá trị của n thỏa mãn điều kiện un 1 là 21. Chọn A. 2 2 * f 1 f 3 f 2n 1 Câu 34. Cho f n n n 1 1 n N và đặt un . Tìm số nguyên f 2 f 4 f 2n 10239 dương n nhỏ nhất sao cho log u u ? 2 n n 1024 A. n 23 B. n 29 C. n 33 D. n 21 Hướng dẫn giải
  26. 2 Ta cĩ: f n n2 n 1 1 n2 1 n 1 2 1 n N* . Đến đây ta dễ dàng cĩ: 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 1 2n 1 1 un 2 . 22 1 32 1 42 1 52 1 2n 2 1 2n 1 2 1 2n 2n 1 10239 1 1 1 Ta cĩ: log u u log u n 23 . 2 n n 1024 2 1024 1024 n 1024 Chọn A. 3 Câu 35. Cho dãy số a thỏa mãn điều kiện a 1; 5an 1 an 1 với mọi n Z . Tìm số n 1 3n 2 nguyên dương n 1 nhỏ nhất để an Z ? A. n 39 B. n 41 C. n 49 D. n 123 Hướng dẫn giải 3 3 3 Ta cĩ: 5an an 1 1 ; 5an 1 an 2 1 ; 5a2 a1 1 . 3n 1 3n 4 5 Nhân vế với vế ta được: a a 3 3 3 8.11.14 3n 1 3n 2 3n 2 5 n 1 1 1 1 . 3n 1 3n 4 5 5.8.11 3n 4 3n 1 5 Khi đĩ ta cĩ cơng thức tổng quát an log5 3n 2 . Chọn B. Chú ý: Tới đoạn này sử dụng lệnh CALC là nhanh nhất. Nhưng nếu bài tốn khơng cho trước đáp số cĩ thể sử dụng Bảng TABLE để truy tìm giá trị nguyên dương n 1 nhỏ nhất để an Z . n 1 n n n Câu 36. Cho dãy số un xác định bởi u1 5;un 1 un 2 2.3 với mọi n 1. Tìm số nguyên nhỏ n n 100 nhất thỏa mãn un 2 5 . A. 146 B. 233 C. 232 D. 147 Hướng dẫn giải n n 1 n 1 n 1 un un 1 2 2.3 n 1 n 2 n 2 n 2 un 1 un 2 2 2.3 n 2 n 1 2 n 1 Ta cĩ: un 2 1 2 2 2 2 1 3 3 3 . 2 1 u2 u1 2 2.3 n n n n n 100 n 100 Do vậy: un 2 3 nên un 2 5 3 5 n 100log3 5 n 147 . Chọn D. 2019 un u4n u 2 u 2018 a b Câu 37. Biết rằng L lim 4 n 4 n trong đĩ u xác định bởi u u u u c n n 2n 22 n 22018 n u1 0;un 1 un 4n 3 và a,b,c là các số nguyên dương và b 2019 . Tính S a b c ? A. 1 B. 0 C. 2017 D. 2018 Hướng dẫn giải 2 un un 1 4n 1 un 2n n 3 .
  27. 2 2018 2 2018 Xét S1 n,4n,4 n, 4 n và S2 n,2n,2 n, 2 n . 2 k 3 Ta cĩ: uk 2k k 3 2.k 2.k 2.k . 2k 2 k 3 2.k k 3 42019 1 2n.  2 2019 k S 2k k 3 2.k 3 2 1 Vậy L lim 1 . k 3 2n. 22019 1 3  2 k S2 2k k 3 2.k Chọn B.
  28. CẤP SỐ CỘNG 2n2 1 Câu 38. Cho dãy số u (un) cĩ u . Khẳng định nào sau đây sai? n n 3 1 2 2(n 1)2 1 A. Là cấp số cộng cĩ u ; d . B. Số hạng thứ n+1: u . 1 3 3 n 1 3 2(2n 1) C. Hiệuu u . D. Khơng phải là một cấp số cộng. n 1 n 3 Hướng dẫn giải Chọn A 2(n 1)2 1 2n2 1 2(2n 1) Ta cĩ u u . Vậy dãy số trên khơng phải cấp số cộng. n 1 n 3 3 3 Câu 39. Cho hai cấp số cộng xn : 4,7,10, và yn :1,6,11, Hỏi trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cĩ bao nhiêu số hạng chung? A. 404. B. 673. C. 403. D. 672. Hướng dẫn giải Chọn C Cấp số cộng xn : 4,7,10, cĩ x1 4 , cơng sai d 3. Số hạng tổng quát xn 4 (n 1).3 3n 1 Cấp số cộng yn :1,6,11,16,21 cĩ y1 1,cơng sai d 5 . Số hạng tổng quát yn' 1 (n 1).5 5n 4 3n Xét phương trình x y 3n 1 5n 4 n 1, 0 n,n 2018. Do n là số n n' 5 nguyên dương nên n chia hết cho 5 và 0 n 2018 . Suy ra số các giá trị n cần tìm là 2018 403 . 5 Vậy cĩ 403 số hạng chung. Câu 40. Ba số phân biệt cĩ tổng là 217 cĩ thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng cĩ thể coi là số hạng thứ 2,thứ 9, thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 820? A. 20. B. 42. C. 21. D. 17. Hướng dẫn giải Chọn A Câu 41. Cho cấp số cộng un biết u5 18 và 4Sn S2n . Tìm số hạng đầu tiên u1 và cơng sai d của cấp số cộng. A. u1 2,d 4 . B. u1 2,d 3 . C. u1 2,d 2 . D. u1 3,d 2 . Hướng dẫn giải
  29. Chọn A Giả sử un u1 n 1 d u5 u1 4d 18 1 . n 2u n 1 d 2n 2u 2n 1 d Ta cĩ: S 1 ;S 1 n 2 2n 2 S2n 4Sn 2n 2u1 2n 1 d Do 4n 2u1 n 1 d 2u1 2n 1 d 4u1 2n 2 d 2u1 d 2 . Từ (1) và (2) suy ra u1 2,d 4. 2 * Câu 42. Một cấp số cộng cĩ tổng n số hạng đầu Sn được tính theo cơng thức Sn 5n 3n, n ¥ . Tìm số hạng đầu u1 và cơng sai d của cấp số cộng đĩ A. u1 8,d 10 B. u1 8,d 10 C. u1 8,d 10 D. u1 8,d 10 Hướng dẫn giải Chọn C 2 * Tổng n số hạng đầu Sn u1 u2 un 5n 3n; n ¥ 2 Tổng số hạng đầu tiên là S1 u1 5.1 3.1 8 Tổng 2 số hạng đầu là 2 S2 u1 u2 5.2 3.2 26 8 u2 u2 18 8 10 u1 d d 10 Sn S7 77 S12 192. Câu 43. Cho cấp số cộng un và gọi là tổng n số đầu tiên của nĩ. Biết và Tìm u số hạng tổng quát n của cấp số cộng đĩ. A. un 5 4n . B. un 3 2n . C. un 2 3n . D. un 4 5n Hướng dẫn giải Chọn B 7.6.d 7u1 77 S7 77 2 7u1 21d 77 u1 5 Ta cĩ S 192 12.11.d 12u 66d 192 d 2 12 12u 192 1 1 2 Khi đĩ un u1 n 1 d 5 2 n 1 3 2n Câu 44. Cho ba số dương a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị lớn nhất của biểu thức a2 8bc 3 P cĩ dạng x y x, y ¥ . Hỏi x y bằng bao nhiêu: 2a c 2 1 A. 9 B. 11 C. 13 D. 7 Hướng dẫn giải Chọn B Ta cĩ:
  30. a c 2b a 2b c a2 2b c 2 a2 8bc 4b2 4bc c2 a2 8bc 2b c 2 2b c 3 t 3 1 Do đĩ P 10 với t 2b c , dấu bằng xảy ra khi 2b c . 2b c 2 1 t 2 1 3 Vậy x y 11. Câu 45. Chu vi của một đa giác là158cm , số đo các cạnh của nĩ lập thành một cấp số cộng với cơng sai d 3cm . Biết cạnh lớn nhất là 44cm. Số cạnh của đa giác đĩ là: A. 3. B. 4. C. 5. D. 6 Hướng dẫn giải Chọn B Câu 46. Chu vi của một đa giác n cạnh là 158, số đo các cạnh đa giác lập thành một cấp số cộng với cơng sai d 3. Biết cạnh lớn nhất cĩ độ dài là 44. Tính số cạnh của đa giác. A. 6. B. 4. C. 9. D. 5 Hướng dẫn giải Chọn B Câu 47. Cho tam giác ABC cĩ độ dài các cạnh là a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết A C x tan tan x, y ¥ , giá trị x y là: 2 2 y A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 Hướng dẫn giải Đáp án D Ta cĩ: a c 2b sin A sin C 2sin B A C A C B B A C A C 2sin cos 4sin .cos 4sin .cos 2 2 2 2 2 2 A C A C A C A C A C A C cos 2cos cos cos sin sin 2cos cos 2sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A C A C A C A C 1 3sin sin cos cos 3tan tan 1 tan tan 2 2 2 2 2 2 2 2 3 Câu 48. Cho các số hạng dương a, b, c là số hạng thứ m, n, p của một cấp số cộng và một cấp số nhân. (b c) (c a) (a b) Tính giá trị của biểu thức log2a .b .c A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 Hướng dẫn giải Đáp án C Ta cĩ a, b, c là số hạng thứu m, n, p của một cấp số cộng và một cấp số nhân nên: m 1 a u1 m 1 d a1q a b m n d n 1 b u1 n 1 d a1q b c n p d p 1 c a p m d c u1 p 1 d a1q
  31. b c c a a b m 1 n p d p 1 m n d 0 0 Do đĩ P log2 a .b .c log2 a1q a1q log2 a1 q 0 Câu 49. Cho a b c và cota, cotb, cotc tạo thành cấp số cộng. Gía trị cota.cotc bằng 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải Đáp án C Ta cĩ cot a.cot b 1 1 a b c a b cot a b cot c tan c 2 2 2 cot a cot b cot c cot a.cot b 1 1 a b c a b cot a b cot c tan c 2 2 2 cot a cot b cot c cot a.cot b.cot c cot a cot b cot c Mà cot a cot c 2cot b Do đĩ ta được cot a.cot b.cot c 3cot b cot a.cot c 3 a c 2b sin A sin C 2sin B A C A C B B A C A C 2sin cos 4sin .cos 4sin .cos 2 2 2 2 2 2 A C A C A C A C A C A C cos 2cos cos cos sin sin 2cos cos 2sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A C A C A C A C 1 3sin sin cos cos 3tan tan 1 tan tan 2 2 2 2 2 2 2 2 3 Câu 50. Cho a, b, c theo thứ tự tạo thành cấp số cộng. Giá trị x y là bao nhiêu biết 2 2 2 2 2 P log2 a ab 2b bc c x log2 a ac c y x, y ¥ . A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 Hướng dẫn giải Đáp án D Theo đề a, b, c theo thứ tự tạo thành cấp số cộng nên a c 2b a c 2 4b2 b a c 2b2 a c 2 2a 2 ab 2b2 bc c2 2 a2 ac c2 2 2 2 2 2 Do đĩ log2 a ab 2b bc c log2 a ac c 1 Câu 51. Cho ba (bố số chứ) số a, b, c, d theo thứ tự đĩ tạo thành cấp số nhân với cơng bội khác 1. Biết 148 tổng ba số hạng đầu bằng , đồng thời theo thứ tự đĩ chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và 9 thứ tám của một cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức T a b c d ? 101 100 100 101 A. T . B. T . C. T . D. T . 27 27 27 27 Hướng dẫn giải
  32. Chọn C 148 Gọi e là cơng sai. Ta cĩ: a b c 3a 10e 1 9 (Đề xuất b a 3e , c a 7e ) Gọi q là cơng bội khác 1 ta lại cĩ: b2 a2q2 ac a 3e 2 a 7 3e a 9e 0 2 . a 4 16 64 256 100 4 b ;c ;d T . Từ (1) và (2) e 3 9 27 27 9 Câu 52. Cho cấp số cộng un . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? A. n p um p m un m n u p 0 . B. m n um n p un p m u p 0 . C. m p um n m un p n u p 0 . D. p n um m p un m n u p 0 . Hướng dẫn giải Chọn A. Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng. Ta cĩ: um u1 m 1 d;un u1 n 1 d;u p u1 p 1 d . - Phương án A: Ta cĩ: n p um p m un m n u p n p u1 m 1 d p m u1 n 1 d m n u1 p 1 d 0 . 1 1 1 Câu 53. Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện , , lập thành một cấp b c c a a b số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Ba số a,b,c lập thành một cấp số cộng. 1 1 1 B. Ba số , , lập thành một cấp số cộng. a b c C. Ba số a2 ,b2 ,c2 lập thành một cấp số cộng. D. Ba số a , b, c lập thành một cấp số cộng Hướng dẫn giải Chọn A. Theo giả thiết ta cĩ: 1 1 2 b c a b c a c a a c 2 b 2 b c a b a c 2b Suy ra ba số a,b,c hoặc c,b,a lập thành một cấp số cộng. Câu 54. Biết rằng tồn tại các giá trị của x 0;2  để ba số 1 sin x,sin2 x,1 sin3x lập thành một cấp số cộng, tính tổng S các giá trị đĩ của x . 7 23 A. S 5 . B. S 3 . C. S . D. S . 2 6 Hướng dẫn giải Chọn A.
  33. Theo tính chất của cấp số cộng ta cĩ: 1 sin x 1 sin 3x 2sin2 x 2 4sin x 4sin3 x 2sin2 x 2sin3 x sin2 x 2sin x 1 0 1 sin x 2sin x 1 sin2 x 1 0 2 cos x 0 x k2 1 6 +) sin x . 2 7 x k2 6 +) cos x 0 x k 2 11 7 Với nghiệm x k2 và x 0;2  , ta tìm được x . Với nghiệm x k2 6 6 6 7 và x 0;2  , ta tìm được x . Với nghiệm x k và x 0;2  ta tìm được 6 2 3 nghiệm x ; x 2 2 11 7 3 Do đĩ S 5 . 6 6 2 2 Câu 55. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3 3x2 x m2 1 0 cĩ ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. A. m 16 . B. m 2 . C. m 2 . D. m 2 . Hướng dẫn giải Chọn D. Áp dụng kết quả phần lý thuyết, ta cĩ phương trình đã cho cĩ 3 nghiệm phân biệt thì điều b 3 kiện cần là 1 là nghiệm của phương trình. 3a 3 Suy ra 13 3.12 1 m2 1 0 m 2. Với m 2 , ta cĩ phương trình x3 3x2 x 3 0. x 3 x2 1 0 x 1, x 1, x 3 Ba số 1,1,3 lập thành cấp số cộng. Vậy các giá trị cần tìm là m 2 . Do đĩ D là phương án đúng. Câu 56. Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị m1,m2 ,m3 của tham số m để phương trình x3 9x2 23x m3 4m2 m 9 0 cĩ ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính giá trị 3 3 3 của biểu thức P m1 m2 m3 . A. P 34. B. P 36. C. P 64 . D. P 34 . Hướng dẫn giải Chọn A. Áp dụng kết quả ở phần lý thuyết, ta cĩ phương trình đã cho cĩ 3 nghiệm phân biệt thì điều b 9 kiện cần là: 3 là nghiệm của phương trình. 3a 3
  34. Suy ra 33 9.32 23.3 m3 4m2 m 9 0 m3 4m2 m 6 0 m 1,m 2,m 3 Với m 1,m 2,m 3 thì m3 4m2 m 6 0 nên m3 4m2 m 9 15. Do vậy, với m 1,m 2,m 3 ta cĩ phương trình x3 9x2 23x 15 0 x 3 x2 6x 5 0 x 1, x 3, x 5. Ba số 1,3,5 lập thành cấp số cộng. Vậy m 1,m 2,m 3 là các giá trị cần tìm. Do đĩ 1 3 23 33 34 Câu 57. Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số m để phương trình sau cĩ bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: x4 10x2 2m2 7m 0 , tính tổng lập phương của hai giá trị đĩ. 343 721 721 343 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8 Hướng dẫn giải Chọn C . Đặt t x2 t 0 . Khi đĩ ta cĩ phương trình: t 2 10t 2m2 7m 0 (*) . Phương trình đã cho cĩ 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) cĩ 2 nghiệm 52 (2m2 7m) 0 dương phân biệt 0 2m2 7m 25. 2 2m 7m 0 (do tổng hai nghiệm bằng 10 0 nên khơng cần điều kiện này). + Với điều kiện trên thì (*) cĩ hai nghiệm dương phân biệt là t1, t2 (t1 t2 ) . Khi đĩ phương trình đã cho cĩ bốn nghiệm phân biệt là t2 ; t1 ; t1 ; t2 . Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi t1 t2 t1 t1 t2 t1 t2 9t1. 2 Theo định lý Vi-ét ta cĩ: t1 t2 10; t1.t2 2m 7m . t2 9t1 t1 1 m 1 Suy ra ta cĩ hệ phương trình t1 t2 10 t2 9 9 . m 2 2 t1.t2 2m 7m 2m 7m 9 2 Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện nên đều cĩ thể nhận được. 3 3 9 721 Do đĩ 1 . 2 8 Câu 58. Cho một cấp số cộng un cĩ u1 1 và tổng của 100 số hạng đầu tiên 24850 . Tính giá trị của 1 1 1 1 biểu thức S ? u1u2 u2u3 u48u49 u49u50 4 9 49 A. S 123 B. S C. S D. S 23 246 246 Hướng dẫn giải Ta cĩ: u100 u1 497 u100 496 1 99d d 5 u50 246 . u u u u u u u u 1 1 1 49 Lại cĩ: 5S 2 1 3 2 49 48 50 49 1 S . u1u2 u2u3 u48u49 u49u50 u1 u50 246 246
  35. an bn Câu 59. Cho cấp số cộng ; cấp số nhân thỏa mãn a2 a1 0;b2 b1 1 và hàm số f x x3 3x f a 2 f a f log b 2 f log b sao cho 2 1 và 2 2 2 . Số nguyên dương n 1 nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện bn 2018an là? A. 16 B. 15 C. 17 D. 18 Hướng dẫn giải Tính bảng biến thiên: Vì f a2 f a1 a1,a2 0;1 và a2 1;a1 0 . Tương tự log2 b2 1 và log2 b1 0 . n 1 Khi đĩ an n 1 và bn 2 . n 1 Vậy bn 2018an 2 2018 n 1 . Chọn A. Câu 60. Cho cấp số cộng u cĩ số hạng đầu u1 2 và cơng sai d 3. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , lấy các điểm A1, A2 , sao cho với mỗi số nguyên dương n , điểm An cĩ tọa độ n;un . Biết rằng khi đĩ tất cả các điểm A1, A2 , , An , cùng nằm trên một đường thẳng. Hãy viết phương trình của đường thẳng đĩ. A. y 3x 5. B. y 3x 2. C. y 2x 3. D. y 2x 5 Hướng dẫn giải Chọn A. Số hạng tổng quát của cấp số cộng un là un u1 n 1 d 3n 5 . Nhận thấy toạ độ của các điểm An đều thoả mãn phương trình y 3x 5 nên phương trình đường thẳng đi qua các điểm A1, A2 , , An , là y 3x 5. Suy ra A là phương án đúng. Câu 61. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đồ thị C của hàm số y 3x 2 . Với mỗi số nguyên dương n , gọi An là giao điểm của đồ thị C với đường thẳng d : x n 0 . Xét dãy số un với un là tung độ của điểm An . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? A. Dãy số un là một cấp số cộng cĩ cơng sai d 2 . B. Dãy số un là một cấp số cộng cĩ cơng sai d 3. C. Dãy số un là một cấp số cộng cĩ cơng sai d 1. D. Dãy số un khơng phải là một cấp số cộng. Hướng dẫn giải Chọn B.
  36. Ta cĩ An n;un trong đĩ un 3n 2 . Do un 1 un 3,n 1 nên un là một cấp số cộng với cơng sai d 3 . Suy ra B là phương án đúng. Câu 62. Trên tia Ox lấy các điểm A1, A2 , , An , sao cho với mỗi số nguyên dương n , OAn n . Trong cùng một nửa mặt phẳng cĩ bờ là đường thẳng chứa tia Ox , vẽ các nửa đường trịn đường kính OAn , n 1,2, Kí hiệu u1 là diện tích nửa đường trịn đường kính OA1 và với mỗi n 2 , kí hiệu un là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường trịn đường kính OAn 1 , nửa đường trịn đường kính OAn và tia Ox . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Dãy số un khơng phải là một cấp số cộng. B. Dãy số u là một cấp số cộng cĩ cơng sai d . n 4 C. Dãy số u là một cấp số cộng cĩ cơng sai d . n 8 D. Dãy số u khơng phải là một cấp số cộng cĩ cơng sai d . n 2 Hướng dẫn giải Chọn B. n Bán kính đường trịn cĩ đường kính OA là r . n n 2 2 1 n n2 Diên tích nửa đường trịn đường kính OAn là Sn . 2 2 8 2 2n 1 Suy ra u s s n2 n 1 ,n 2 . n n n 1 8 8 2 1 1 Ta cĩ u1 . 2 2 8 Do u u ,n 1 nên u là cấp số cộng với cơng sai d . n 1 n 4 n 4 Suy ra B là phương án đúng. Câu 63. Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá từ mét khoan đầu tiên là 100000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 30000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước đĩ. Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan một giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hồn thành việc khoan giếng, gia đình đĩ phải thanh tốn cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu? A. 7700000 đồng. B. 15400000đồng. C. 8000000 đồng. D. 7400000 đồng. Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi un là giá của mét khoan thứ n , trong đĩ 1 n 20. Theo giả thiết, ta cĩ u1 100000 và un 1 un 30000 với 1 n 19 . Ta cĩ (un ) là cấp số cộng cĩ số hạng đầu u1 100000 và cơng sai d 30000 . Tổng số tiền gia đình thanh tốn cho cơ sở khoan giếng chính là tổng các số hạng của cấp số cộng (un ) . Suy ra số tiền mà gia đình phải thanh tốn cho cơ sở khoan giếng là
  37. 20[2u (20 1)d] S u u u 1 7700000 (đồng). 20 1 2 20 2 Câu 64. Trên một bàn cờ cĩ nhiều ơ vuơng. Người ta đặt 7 hạt dẻ vào ơ vuơng đầu tiên, sau đĩ đặt tiếp vào ơ thứ hai số hạt dẻ nhiều hơn ơ đầu tiên là 5, tiếp tục đặt vào ơ thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ơ thứ hai là 5, và cứ thế tiếp tục đến ơ cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ơ trên bàn cờ người ta đã phải sử dụng hết 25450 hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đĩ cĩ bao nhiêu ơ? A. 98 ơ. B. 100ơ. C. 102 ơ. D. 104 ơ. Hướng dẫn giải Chọn B. Kí hiệu un là số hạt dẻ ở ơ thứ n . Khi đĩ, ta cĩ u1 7 và un 1 un 5,n 1. Dãy số un là cấp số cộng với u1 7 và cơng sai d 5 nên cĩ 2 n 2u1 n 1 d 5n 9n S . n 2 2 5n2 9n Theo giả thiết, ta cĩ 25450 n 100 . 2 Suy ra bàn cờ cĩ 100 ơ. Câu 65. Một cơng ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho cơng ty là 13,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, múc lương sẽ được tăng thêm 500.000 đồng mỗi quý. Tính tổng số tiền lương một kỹ sư nhận được sau ba năm làm việc cho cơng ty. A. 198triệu đồng. B. 195 triệu đồng. C. 228 triệu đồng. D. 114 triệu đồng. Hướng dẫn giải Chọn B. Kí hiệu un là mức lương của quý thứ n làm việc cho cơng ty. Khi đĩ u1 13,5 và un 1 un 0,5,n 1. Dãy số un lập thành cấp số cộng cĩ số hạng đầu u1 13,5 và cơng sai d 0,5 . Một năm cĩ 4 quý nbên 3 năm cĩ tổng 12 quý. Số tiền lương sau 3 năm bằng tổng số tiền lương của 12 quý và bằng tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng un . Vậy, tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm làm việc cho cơng 12.2.13,5 11.0,5 ty của kỹ sư là S 195 (triệu đồng). 12 2 Câu 66. Mặt sàn tầng của một ngơi nhà cao hơn mặt sân 0,5m . Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, một bậc cao 18cm . Kí hiệu hn là độ cao của bậc thứ n so với mặt sân. Viết cơng thức để tìm độ cao hn . A. hn 0,18n 0,32 m . B. hn 0,18n 0,5 m . C. hn 0,5n 0,18 m . D. hn 0,5n 0,32 m . Hướng dẫn giải Chọn A. Ký hiệu hn là độ cao của bậc thứ n so với mặt sân.
  38. Khi đĩ, ta cĩ hn 1 hn 0,18 (mét), trong đĩ h1 0,5 (mét). Dãy số hn lập thành một cấp số cộng cĩ h1 0,5 và cơng sai d 0,18. Suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng này là hn 0,5 n 1 .0,18 0,18.n 0,32 (mét). A , A , , A , OA n. Câu 67. Trên tia Ox lấy các điểm 1 2 n sao cho với mỗi số nguyên dương n, n Trong cùng một nửa mặt phẳng cĩ bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các nửa đường trịn đường kính OA , n 1, 2 u OA u n Kí hiệu 1 là diện tích của nửa hình trịn đường kính 1 và với mỗi n 2, kí hiệu n OA , OA là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường trịn đường kính n 1 nửa đường trịn đường kính n (u ) và tia Ox. Chứng minh rằng dãy số n là một cấp số cộng. Hãy xác định cơng sai của cấp số cộng đĩ. 2 A. d B. d C. d D. d 4 2 3 3 Hướng dẫn giải Đáp án A Đặt OA0 0, ta cĩ 2 2 1 OA OA 2 2n 1 n n 1 2 un n n 1 ,n 1 2 4 4 8 8 2n 1 2n 1 Suy ra u u ,n 1 n 1 n 8 8 4 Do đĩ u là một cấp số cộng cơng sai d n 4 CẤP SỐ NHÂN Câu 68. Cho tam giác ABC biết 3 gĩc của tam giác lập thành một cấp số cộng và cĩ một gĩc bằng 25 . Tìm 2 gĩc cịn lại? A. 65,90 B. 75,80 . C. 60,95 . D. 60,90 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta cĩ:u1 u2 u3 180 25 25 d 25 2d 180 d 35 . Vâỵ u2 60; u3 90.
  39. Câu 69. Cho dãy số an xác định bởi a1 5,an 1 q.an 3 với mọi n 1, trong đĩ q là hằng số, 1 qn 1 a 0,q 1. Biết cơng thức số hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng a .qn 1  . n 1 q Tính 2 ? A. 13. B. 9. C. 11. D. 16. Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1. 3 Ta cĩ: a k q a k k kq 3 k n 1 n 1 q 2 n Đặt vn an k vn 1 q.vn q .vn 1 q v1 n 1 n 1 n 1 3 Khi đĩ vn q .v1 q . a1 k q . 5 1 q n 1 n 1 3 n 1 3 3 n 1 1 q Vậy an vn k q . 5 k q . 5 5q 3 1 q 1 q 1 q 1 q Do dĩ: 5; 3 2 5 2.3 11 Cách 2. Theo giả thiết ta cĩ a1 5,a2 5q 3. Áp dụng cơng thức tổng quát, ta được 1 1 1 1 1 q a1 .q  1 q 5 5 , suy ra , hay 2 1 5q 3 .q 3 2 1 1 q   a2 .q  .q  1 q 2 5 2.3 11 Câu 70. Trong dịp hội trại hè 2017 bạn A thả một quả bĩng cao su từ độ cao 3m so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bĩng lại nảy lên một độ cao bằng hai phần ba độ cao lần rơi trước. Tổng quãng đường quả bĩng đã bay (từ lúc thả bĩng cho đến lúc bĩng khơng nảy nữa) khoảng: A. 13m. B. 14m. C. 15m. D. 16m. Hướng dẫn giải Chọn C Gọi S là tổng quãng đường bĩng đã bay, khi đĩ ta cĩ: 2 3 4 5 n 2 2 2 2 2 2 S 3 3. .3 3. 3. 3. 3. 3 3 3 3 3 3 2 S là tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn cĩ số hạng đầu tiên là u 3, cơng bội là q nên 1 3 u 3 S 1 9 2 1 q 1 3
  40. Vậy tổng quãng đường đã bay của bĩng là khoảng 9m. Do đĩ x y 2 u1 u2 u3 u4 15 Câu 71. Cĩ hai cấp số nhân thỏa mãn với cơng bội lần lượt là q ,q . Hỏi giá 2 2 2 2 1 2 u1 u2 u3 u4 85 trị của q1 q2 là: 1 3 5 7 A. B. C. D. 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Đáp án C 2 u q4 1 u 2 q4 1 1 1 15 2 225 4 2 2 q 1 q2 1 q 1 q 1 225 Biến đổi giả thiết thành 2 8 2 8 2 8 q 1 q 1 85 u1 q 1 u q 1 85 1 2 85 q 1 2 q 1 1 q 14q4 17q3 17q2 17q 14 0 2 . q 2 5 Do đĩ q q . 1 2 2 Câu 72. Cho tứ giác ABCD biết 4 gĩc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và gĩc A bằng 30o. Tìm các gĩc cịn lại? A. 75,120,65 . B. 72,114,156 . C. 70o; 110o; 150o. D. 80o; 110o; 135o. Hướng dẫn giải Chọn C Ta cĩ: u1 u2 u3 u4 360 30 30 d 30 2d 30 3d 360 d 40 . Vâỵu2 70; u3 110; u4 150 . Câu 73. Cho một cấp số cộng (un ) cĩ u1 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính 1 1 1 S . u1 u2 u2u3 u49u50 9 4 49 A. S . B. S . C. S 123. D. S . 246 23 246 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi d là cơng sai của cấp số đã cho 497 2u Ta cĩ: S 50 2u 99d 24850 d 1 5 100 1 99
  41. 5 5 5 5S u1u2 u2u3 u49u50 u u u u u u 2 1 3 2 50 49 u1u2 u2u3 u49u50 1 1 1 1 1 1 1 1 u1 u2 u2 u3 u48 u49 u49 u50 1 1 1 1 245 u1 u50 u1 u1 49d 246 49 S . 246 Câu 74. Cho a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A. a2 c2 2ab 2bc 2ac . B. a2 c2 2ab 2bc 2ac . C. a2 c2 2ab 2bc 2ac . D. a2 c2 2ab 2bc 2ac . Hướng dẫn giải Chọn C a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi b a c b b a 2 c b 2 a2 c2 2ab 2bc a2 c2 2c2 2ab 2bc 2ab 2c c b 2ab 2c b a 2ab 2bc 2ac u1 2 Câu 75. Cho dãy số un được xác định như sau: . Tính tổng un 1 4un 4 5n n 1 S u2018 2u2017 . A. S 2015 3.42017 B. S 2016 3.42018 C. S 2016 3.42018 D. S 2015 3.42017 Hướng dẫn giải Chọn C Câu 76. Cho số hạng thứ m và thứ n của một cấp số nhân biết số hạng thứ (m n) bằng A , sổ hạng thứ (m n) bằng B và các số hạng đểu dương. Số hạng thứ m là: m m B 2n A n 2 A. A B. AB C. D. AB n A B Hướng dẫn giải Chọn B m n 1 um n A u1.q 2n A Ta cĩ A Bq q 2n m n 1 B um n B u1.q
  42. m 1 n um u1.q u A m n 2n Mặt khác q um A AB m n 1 A B um n u1.q m B 2n Tương tự ta cĩ thể tính được un A A 1 n 1 U U U Câu 77. Cho dãy số U xác định bởi: U và U .U . Tổng S U 2 3 10 n 1 3 n 1 3n n 1 2 3 10 bằng: 3280 29524 25942 1 A. . B. . C. . D. . 6561 59049 59049 243 Hướng dẫn giải Chọn B n 1 u 1 u 1 Ta cĩ u u n 1 . n u . n 1 3n n n 1 3 n 3n 1 u 1 u 1 u 1 u 1 2 u ; 3 2 u ; ; 10 u . 2 3 1 3 3 2 32 1 10 39 1 Khi đĩ: 1 1 1 10 u u u 1 1 1 3 3 29524 S u 2 3 10 . 1 2 10 1 2 3 10 3 3 3 1 59049 3 Câu 78. Phương trình 1 a a2 a x 1 a 1 a2 1 a4 với 0 a 1 cĩ bao nhiêu nghiệm? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Hướng dẫn giải Chọn B 1 a x 1 Phương trình biến đổi thành 1 a 1 a2 1 a4 1 a x 1 1 a8 x 7. 1 a Câu 79. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau cĩ ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: x3 3x 1 x2 5m 4 x 8 0. A. m 2. B. m 2. C. m 4. D. m 4. Hướng dẫn giải Chọn B. d 8 Phương pháp 1: Ta cĩ 8. a 1 Điều kiện cần để phương trình đã choc ĩ ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là x 3 8 2 là nghiệm của phương trình. Thay x 2 vào phương trình đã cho, ta được 4 2m 0 m 2. Với m 2, ta cĩ phương trình x3 7x2 14x 8 0 x 1; x 2; x 4 Ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân nên m 2 là giá trị cần tìm. Vậy, B là phương án đúng.
  43. Phương pháp 2: Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng. Câu 80. Biết rằng tồn tại hai giá trị m1 và m2 để phương trình sau cĩ ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: 2x3 2 m2 2m 1 x2 7 m2 2m 2 x 54 0. Tính giá trị của biểu thức 3 3 P m1 m2 . A. P 56 B. P 8. C. P 56 D. P 8. Hướng dẫn giải Chọn A. d 54 Ta cĩ 27. a 2 Điều kiện cần để phương trình đã cho cĩ ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân là x 3 27 3 phải là nghiệm của phương trình đã cho. m2 2m 8 0 m 2;m 4. Vì giả thiết cho biết tồn tại đúng hai giá trị của tham số m nên m 2 và m 4 là các giá trị thỏa mãn Suy ra P 23 4 3 56. Câu 81. Ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng và cĩ tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số 2;3;9 vào ba số đĩ (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính F x2 y2 z2. A. F 389. hoặc F 395. B. F 395. hoặc F 179. C. F 389. hoặc F 179. D. F 441 hoặc F 357. Hướng dẫn giải Chọn C . Theo tính chất của cấp số cộng, ta cĩ x z 2y . Kết hợp với giả thiết x y z 21, ta suy ra 3y 21 y 7 . Gọi d là cơng sai của cấp số cộng thì x y d 7 d và z y d 7 d . Sau khi thêm các số 2;3;9 vào ba số x, y, z ta được ba số là x 2, y 3, z 9 hay 9 d,10,16 d . Theo tính chất của cấp số nhân, ta cĩ 9 d 16 d 102 d 2 7d 44 0 . Giải phương trình ta được d 11 hoặc d 4 . Với d 11, cấp số cộng 18,7, 4. Lúc này F 389 . Với d 4 , cấp số cộng 3,7,11. Lúc này F 179. a1 7, a6 224 Sk 3577. Câu 82. Cho cấp số nhân an cĩ và Tính giá trị của biểu thức T k 1 ak . A. T 17920. B. T 8064. C. T 39424. D. T 86016. Hướng dẫn giải Chọn A. 5 Ta cĩ a6 224 a1q 224 q 2 (do a1 7 ). a 1 qk 1 k k k 9 Do Sk 7 2 1 nên Sk 3577 7 2 1 3577 2 2 k 9. 1 q 8 Suy ra T 10a9 10a1q 17920.
  44. Câu 83. Cho cấp số nhân an cĩ a1 2 và biểu thức 20a1 10a2 a3 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ bảy của cấp số nhân đĩ. A. a7 156250. B. a7 31250. C. a7 2000000. D. a7 39062. Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi q là cơng bội của cấp số nhân an . 2 2 Ta cĩ 20a1 10a2 a3 2 q 10q 20 2 q 5 10 10,q. Dấu bằng xảy ra khi q 5. 6 6 Suy ra a7 a1.q 2.5 31250. Câu 84. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là sai? A. Dãy số an , với a1 3 và an 1 an 6, n 1, vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân. 2 B. Dãy số bn , với b1 1 và bn 1 2bn 1 3, n 1, vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân. 2 C. Dãy số cn , với c1 2 và cn 1 3cn 10 n 1, vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân. 2 D. Dãy số dn , với d1 3 và d n 1 2d n 15, n 1, vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân. Hướng dẫn giải Chọn D. Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai. + Phương án A:Ta cĩ a2 3;a2 3; Bằng phương pháp quy nạp tốn học chúng ra chứng minh được rằng an 3,n 1. Do đĩ an là dãy số khơng đổi. Suy ra nĩ vừa là cấp số cộng (cơng sai bằng 0 ) vừa là cấp số nhân (cơng bội bằng 1). + Phương án B: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được bn 1,n 1. Do đĩ bn là dãy số khơng đổi. Suy ra nĩ vừa là cấp số cộng (cơng sai bằng 0 ) vừa là cấp số nhân (cơng bội bằng 1). + Phương án C: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được cn 2,n 1. Do đĩ cn là dãy số khơng đổi. Suy ra nĩ vừa là cấp số cộng (cơng sai bằng 0 ) vừa là cấp số nhân (cơng bội bằng 1). + Phương án D: Ta cĩ: d1 3,d2 3,d3 3. Ba số hạng này khơng lập thành cấp số cộng cũng khơng lập thành cấp số nhân nên dãy số dn khơng phải là cấp số cộng và cũng khơng là cấp số nhân. Câu 85. Xét bảng ơ vuơng gồm 4 4 ơ vuơng. Người ta điền vào mỗi ơ vuơng đĩ một trong hai số 1 hoặc 1 sao cho tổng các số trong mỗi hang và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0 . Hỏi cĩ bao nhiêu cách? A. 72 B. 90 C. 80 D. 144 Hướng dẫn giải Xét 1 hàng (hay 1 cột bất kì). Giả sử trên hàng đĩ cĩ x số 1 và y số -1. Ta cĩ tổng các chữ số trên hàng đĩ là x y . Theo đề bài cĩ x y 0 x y . Lần lượt xếp các số vào các hàng ta cĩ số cách sắp xếp là 3!.3!.2.1 =72 (Cách)
  45. Câu 86. Số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân. Biết thể tích của khối hộp là 125 cm3 và diện tích tồn phần là 175 cm2. Tính tổng số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật đĩ. A. 30cm. B. 28cm. C. 31cm. D. 17,5cm. Hướng dẫn giải Chọn D. Vì ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân nên ta cĩ thể gọi ba kích a thước đĩ là ,q,aq. q a Thể tích của khối hình hộp chữ nhật là V .a.qa a3 125 a 5. q Diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật là a a 2 1 1 Stp 2 .a a.aq aq. 2a 1 q 50 1 q . q q q q q 2 1 2 Theo giả thiết, ta cĩ 50 1 q 175 2q 5q 2 0 1 . q q 2 1 Với q 2 hoặc q thì kích thước của hình hộp chữ nhật là 2,5cm;5cm;10cm. 2 Suy ra tổng của ba kích thước này là 2,5 5 10 17,5 cm. Câu 87. Một của hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng). Sau đĩ, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên 10%. Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng đĩ lên 10%. Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai làn tăng giá là bao nhiêu? A. 120. B. 121. C. 122. D. 200. Hướng dẫn giải Chọn B. Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng A là: M1 100 100.10% 110. Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng A là: M 2 110 110.10% 121. Câu 88. Một người đem 100 triệu đồng đi gửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là 0,7% số tiền mà người đĩ cĩ. Hỏi sau khi hết kỳ hạn, người đĩ được lĩnh về bao nhiêu tiền? A. 108. 0,007 5 (đồng) B. 108. 1,007 5 (đồng) C. 108. 0,007 6 (đồng) D. 108. 1,007 6 (đồng) Hướng dẫn giải Chọn D. 8 Số tiền ban đầu là M 0 10 (đồng). Đặt r 0,7% 0,007 . Số tiền sau tháng thứ nhất là M1 M 0 M 0r M 0 1 r . 2 Số tiền sau tháng thứ hai là M 2 M1 M1r M 0 1 r . M M 1 r 6 Lập luận tương tự, ta cĩ số tiền sau tháng thứ sáu là 6 0 . 8 6 Do đĩ M 6 10 1,007 .
  46. Câu 89. Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là 1,2%. Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là 2 triệu người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh M sẽ là bao nhiêu? A. 10320 nghìn người. B. 3000 nghìn người. C. 2227 nghìn người. D. 2300 nghìn người. Hướng dẫn giải Chọn C . 6 Đặt P0 2000000 2.10 và r 1,2% 0,012 . Gọi Pn là số dân của tỉnh M sau n năm nữa. Ta cĩ: Pn 1 Pn Pnr Pn 1 r . Suy ra Pn là một cấp số nhân với số hạng đầu P0 và cơng bội q 1 r . 9 6 10 Do đĩ số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là: P9 M 0 1 r 2.10 1,012 2227000 . Câu 90. Tế bào E. Coli trong điều kiện nuơi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đơi một lần. Nếu lúc đầu cĩ 1012 tế bào thì sau 3 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào? A. 1024.1012 tế bào. B. 256.1012 tế bào. C. 512.1012 tế bào. D. 512.1013 tế bào. Hướng dẫn giải Chọn C . Lúc đầu cĩ 1022 tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta cĩ 22 cấp số nhân với u1 10 và cơng bội q 2 . Do cứ 20 phút phân đơi một lần nên sau 3 giờ sẽ cĩ 9 lần phân chia tế bào. Ta cĩ u10 là số 9 12 tế bào nhận được sau 3 giờ. Vậy, số tế bào nhận được sau 3 giờ là u10 u1q 512.10 . Câu 91. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng theo cách: Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích đế tháp là 12288m2 , tính diện tích mặt trên cùng. A. 6m2. B. 12m2. C. 24m2. D. 3m2. Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi u0 là diện tích đế tháp và un là diện tích bề mặt trên của tầng thứ n , với 1 n 11. 1 Theo giả thiết, ta cĩ u u 0 n 10 . n 1 2 n 1 Dãy số u lập thành cấp số nhân với số hạng đầu u 12288 và cơng bội q . n 0 2 11 11 1 2 Diện tích mặt trên cùng của tháp là u11 u0.q 12288. 6m . 2 Câu 92. Một tứ giác lồi cĩ số đo các gĩc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của gĩc nhỏ nhất 1 bằng số đo của gĩc nhỏ thứ ba. Hãy tính số đo của các gĩc trong tứ giác đĩ. 9 A. 50 ,150 ,450 ,2250. B. 90 ,270 ,810 ,2430. C. 70 ,210 ,630 ,2690. D. 80 ,320 ,720 ,2480. Hướng dẫn giải Chọn B. Phương pháp 1: Kiểm tra các dãy số trong mỗi phương án cĩ thỏa mãn yêu cầu của bài tốn khơng. + Phương án A: Các gĩc 50 ,150 ,450 ,2250 khơng lập thành cấp số nhân vì 150 3.50 ; 450 3.150 ; 2250 3.450.
  47. + Phương án B : Các gĩc 90 ,270 ,810 ,2430 lập thành cấp số nhân và 1 90 270 810 2430 3600. Hơn nữa, 90 810 nên B là phương án đúng. 9 + Phương án C và D : Kiểm tra như phương án A. Phương pháp 2: Gọi các gĩc của tứ giác là a,aq,aq2 ,aq3 , trong đĩ q 1. 1 Theo giả thiết, ta cĩ a aq2 nên q 3. 9 Suy ra các gĩc của tứ giác là a,3a,9a,27a. Vì tổng các gĩc trong tứ giác bằng 3600 nên ta cĩ: a 3a 9a 27a 3600 a 90. Do đĩ, phương án đúng là B (vì trong ba phương án cịn lại khơng cĩ phương án nào cĩ gĩc 90 ). Câu 93. Tam giác mà ba đỉnh của nĩ là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3B3C3 , sao cho A1B1C1 là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n 2 , tam giác An BnCn là tam giác trung bình của tam giác An 1Bn 1Cn 1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu Sn tương ứng là diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác An BnCn . Tính tổng S S1 S2 Sn ? 15 9 A. S . B. S 4 . C. S . D. S 5 . 4 2 Hướng dẫn giải Chọn B *Gọi Ri là bán kính đường trịn ngoại tiếp Ai BiCi i 1;n . 2 Ta cĩ R OA A A 3 S 3 . 1 1 3 1 2 1 1 1 *Dễ thấy V 1 : A1B1C1 A2 B2C2 R2 R1 S2 S1. o; 2 4 2
  48. 1 1 1 V 1 : A2 B2C2 A3B3C3 R3 R2 R1 S3 2 S1. o; 2 4 4 2 1 Tương tự, ta cĩ: S S . n 4n 1 1 1 1 1 Suy ra: S S1 S2 Sn S1 1 2 n 1 4 4 4 1 4 S . S 4 . (Áp dụng cơng thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vơ hạn). 1 1 1 1 3 4 Câu 94. Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Biết độ dài cạnh đáy BC, đường cao AH và cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân cơng bội q. Gía trị của q2 bằng 2 2 2 2 2 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C A BC, AH, AB theo thứ tự lập thành CSN AH 2 BC.AB AB 2 q BC Ta cĩ: BC 2 AB2 AB AH 2 AB2 AB.BC 4 4 1 0 4 BC 2 BC AB 2 1 q B H C BC 2 Câu 95. Một cơng ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức như sau: mức lương của quý làm việc đầu tiên cho cơng ty là 15 triệu đồng/quý và kể từ quý làm việc thứ hai mức lương sẽ được tăng thêm 1,5 triệu đồng mỗi quý. Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư được nhận sau 3 năm làm việc cho cơng ty. A. 495 triệu đồng. B. 279 triệu đồng. C. 384 triệu đồng. D. 558 triệu đồng. Hướng dẫn giải Chọn B Câu 96. Một hình vuơng ABCD cĩ cạnh AB a, diện tích S1. Nối 4 trung điểm A1, B1,C1, D1 theo thứ tự của 4 cạnh AB, BC,CD, DA ta được hình vuơng thứ hai là A1B1C1D1 cĩ diện tích S2. Tiếp tục như thế, ta được hình vuơng thứ ba là A2 B2C2 D2 cĩ diện tích S3 và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích S4 , S5 , Tính S S1 S2 S100. 100 2 100 2 99 2100 1 a 2 1 a 2 1 a 2 1 A. S . B. S . C. S . D. S 299 a2 299 299 299 Hướng dẫn giải
  49. Đáp án C a2 a2 a2 Dễ thấy S a2 ; S ; S ; ;S 1 2 2 3 4 100 299 1 Như vậy S , S , S , , S là cấp số nhân với cơng bội q 1 2 3 100 2 a2 2100 1 2 1 1 1 S S1 S2 S100 a 1 2 99 99 2 2 2 2