›
›
›

Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp - Đặng Việt Đông

doc 35 trang nhungbui22 12/08/2022 3430
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp - Đặng Việt Đông", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docly_thuyet_va_bai_tap_dai_so_lop_11_phan_1_hoan_vi_chinh_hop.doc

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp - Đặng Việt Đông

  1. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 PHẦN I – ĐỀ BÀI HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT I. Hoán vị 1. Giai thừa: n! 1.2.3n Qui ước: 0! 1 n! n –1 !n n! p 1 . p 2 n (với n p ) p! n! n – p 1 . n – p 2 n (với n p ) (n p)! 2. Hoán vị (không lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử là: Pn n! 3. Hoán vị lặp: Cho k phần tử khác nhau: a1 , a2 , , ak . Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n1 phần tử a1 , n2 phần tử a2 , ,nk phần tử ak n1 n2  nk n theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp n và kiểu n1 , n2 , , nk của k phần tử. Số các hoán vị lặp cấp n kiểu n1 , n2 , , nk của k phần tử là: n! Pn n1, n2 , , nk n1 !n2 ! nk ! 4. Hoán vị vòng quanh: Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử. Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Qn n – 1 ! II. Chỉnh hợp 1. Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 k n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: n! Ak n(n 1)(n 2) (n k 1) n (n k)! Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n. n Khi k = n thì An Pn n! 2. Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A. k k Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: An n III. Tổ hợp 1. Tổ hợp (không lặp): Trang 1
  2. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 k n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Ak n! Số các tổ hợp chập k của n phần tử: C k n n k! k!(n k)! 0 Qui ước: Cn = 1 Tính chất: n k 1 C 0 C n 1; C k C n k ; C k C k 1 C k ; C k C k 1 n n n n n n 1 n 1 n k n 2. Tổ hợp lặp: Cho tập A = a1;a2 ; ;an và số tự nhiên k bất kì. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A. k k m 1 Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử: Cn Cn k 1 Cn k 1 3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp: k k Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức: An k!Cn Chỉnh hợp: có thứ tự. Tổ hợp: không có thứ tự. Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, là tổ hợp. Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k n): k + Không thứ tự, không hoàn lại: Cn k + Có thứ tự, không hoàn lại: An k + Có thứ tự, có hoàn lại: An Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù) Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau: Đếm số phương án thực hiện hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay không) ta được a phương án. Đếm số phương án thực hiện hành động H không thỏa tính chất T ta được b phương án. Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: a b . B – BÀI TẬP DẠNG 1: BÀI TOÁN ĐẾM Phương pháp: Dựa vào hai quy tắc cộng, quy tắc nhân và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết được hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp. 1) Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là: Tất cả n phần tử đều phải có mặt Mỗi phần tử xuất hiện một lần. Có thứ tự giữa các phần tử. 2) Chỉnh hợp: Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần k phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự. 3) Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần Không quan tâm đến thứ tự k phần tử đã chọn. Câu 1: Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3? Trang 2
  3. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 A. 192 B. 202 C. 211 D. 180 Câu 2: Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam.Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 3 học sinh nữ ngồi kề nhau A. 34 B. 46 C. 36 D. 26 Câu 3: Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam.Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 2 học sinh nam ngồi kề nhau. A. 48 B. 42 C. 58 D. 28 Câu 4: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho A và F ngồi ở hai đầu ghế A. 48 B. 42 C. 46 D. 50 Câu 5: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: A và F ngồi cạnh nhau A. 242 B. 240 C. 244 D. 248 Câu 6: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: A và F không ngồi cạnh nhau A. 480 B. 460 C. 246 D. 260 Câu 7: Trong tủ sách có tất cả 10 cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề quyển thứ hai: A. 10!. B. 725760 . C. 9!. D. 9! 2!. Câu 8: Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau? A. 5!.7!. B. 2.5!.7!. C. 5!.8!. D. 12!. Câu 9: Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên,mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa điều kiện :sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị. A. 104 B. 106 C. 108 D. 112 Câu 10: Từ các số 1,2,3 lập được bao nhiều số tự nhiên gôm 6 chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau. A. 76 B. 42 C. 80 D. 68 Câu 11: Có bao nhiêu cách xếp 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 8 cuốn sách Hóa lên một kệ sách sao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác nhau. A. 7.5!.6!.8! B. 6.5!.6!.8! C. 6.4!.6!.8! D. 6.5!.6!.7! Câu 12: Có bao nhiêu cách xếp n người ngồi vào một bàn tròn. A. n! B. (n 1)! C. 2(n 1)! D. (n 2)! Câu 13: Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là: 7! A. C3 . B. A3 . C. . D. 7 . 7 7 3! Câu 14: Cho các số 1,2,4,5,7 có bao nhiêu cách tạo ra một số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho: A. 120. B. 256 . C. 24 . D. 36 . Câu 15: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ các số 0,1,2 ,3,4,5 . A. 60 . B. 80 . C. 240 . D. 600 . Câu 16: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên 1. Gồm 4 chữ số A. 1296 B. 2019 C. 2110 D. 1297 2. Gồm 3 chữ số đôi một khác nhau A. 110 B. 121 C. 120 D. 125 3. Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và là chữ số tự nhiên chẵn A. 182 B. 180 C. 190 D. 192 4. Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng chữ số 1 Trang 3
  4. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 A. 300 B. 320 C. 310 D. 330 5. Gồm 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau. A. 410 B. 480 C. 500 D. 512 Câu 17: Cho 6 chữ số 4,5,6,7,8,9. số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau lập thành từ 6 chữ số đó: A. 120. B. 60 . C. 256 . D. 216 . Câu 18: Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5 . Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và các chữ số đó phải khác nhau: A. 160. B. 156. C. 752 . D. 240 . Câu 19: Từ các số của tập A 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau trong đó có hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau. A. 360 B. 362 C. 345 D. 368 Câu 20: Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (thăm một bạn không quá một lần). A. 3991680 . B. 12!. C. 35831808 . D. 7!. Câu 21: Cho tập A 1,2,3,4,5,6,7,8 1. Có bao nhiêu tập con của A chứa số 2 mà không chứa số 3 A. 64 B. 83 C. 13 D. 41 2. Tức các chữ số thuộc tập A, lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số không bắt đầu bởi 123. A. 3340 B. 3219 C. 4942 D. 2220 Câu 22: Từ 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số từ 4 chữ số khác nhau? A. 7!. B. 74 . C. 7.6.5.4 . D. 7!.6!.5!.4!. Câu 23: Từ các số 0,1,2,7,8,9 tạo được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau? A. 120. B. 216 . C. 312 . D. 360 . Câu 24: Từ các số 0,1,2,7,8,9 tạo được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số khác nhau? A. 288 . B. 360 . C. 312 . D. 600 . Câu 25: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đứng cạnh nhau? A. 360 B. 280 C. 310 D. 290 Câu 26: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt hai lần, chữ số ba có mặt ba lần và các chữ số còn lại có mặt nhiều nhất một lần? A. 26460 B. 27901 C. 27912 D. 26802 Câu 27: Từ các số của tập A {1,2,3,4,5,6,7} lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 1. Năm chữ số đôi một khác nhau A. 2520 B. 2510 C. 2398 D. 2096 2. Sáu chữ số khác nhau và chia hết cho 5. A. 720 B. 710 C. 820 D. 280 3. Năm chữ số đôi một khác nhau, đồng thời hai chữ số 2 và 3 luôn đứng cạnh nhau A. 720 B. 710 C. 820 D. 280 4. Bảy chữ số, trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng ba lần. A. 31203 B. 30240 C. 31220 D. 32220 Câu 28: Từ các chữ số của tập hợp A 0,1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 1. 5 chữ số A. 14406 B. 13353 C. 15223 D. 14422 2. 4 chữ số đôi một khác nhau Trang 4
  5. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 A. 418 B. 720 C. 723 D. 731 3. 4 chữ số đôi một khác nhau và là số lẻ A. 300 B. 324 C. 354 D. 341 4. 5 chữ số đôi một khác nhau và là số chẵn. A. 1260 B. 1234 C. 1250 D. 1235 Câu 29: Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có, mỗi số có 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số ở hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8. A. 1300 B. 1400 C. 1500 D. 1600 Câu 30: Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số hàng ngàn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị. A. 221 B. 209 C. 210 D. 215 Trang 5
  6. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 DẠNG 2: XẾP VỊ TRÍ – CÁCH CHỌN, PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC Câu 1: Một liên đoàn bóng rổ có 10 đội, mỗi đội đấu với mỗi đội khác hai lần, một lần ở sân nhà và một lần ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là: A. 45 . B. 90 . C. 100. D. 180. Câu 2: Một liên đoàn bóng rổ có 10 đội, mỗi đội đấu với mỗi đội khác hai lần, một lần ở sân nhà và một lần ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là: A. 45 . B. 90 . C. 100. D. 180. Câu 3: Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2 trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là: A. 180 B. 160. C. 90 . D. 45 . Câu 4: Giả sử ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là: 5! 5! A. . B. 8 . C. . D. 53 . 2! 3!2! Câu 5: Sau bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với mỗi người khác trong phòng. Có tất cả 66 người lần lượt bắt tay. Hỏi trong phòng có bao nhiêu người: A. 11. B. 12. C. 33 . D. 66 . Câu 6: Tên 15 học sinh được ghi vào 15 tờ giấy để vào trong hộp. Chọn tên 4 học sinh để cho đi du lịch. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các học sinh: A. 4!. B. 15!. C. 1365. D. 32760 . Câu 7: Một hội đồng gồm 2 giáo viên và 3 học sinh được chọn từ một nhóm 5 giáo viên và 6 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? A. 200 . B. 150. C. 160. D. 180. Câu 8: Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có bạn An. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực trong đó phải có An: A. 990 . B. 495 . C. 220 . D. 165. Câu 9: Từ một nhóm 5 người, chọn ra các nhóm ít nhất 2 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn: A. 25 . B. 26 . C. 31. D. 32 . Câu 10: Một tổ gồm 7 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực sao cho có ít nhất 2 nữ? 2 5 1 3 4 2 2 1 3 4 A. C7 C6 ) (C7 C6 C6 . B. C7 .C6 C7 .C6 C6 . 2 2 2 2 3 1 4 C. C11.C12 . D. C7 .C6 C7 .C6 C7 . Câu 11: Số cách chia 10 học sinh thành 3 nhóm lần lượt gồm 2 , 3 , 5 học sinh là: 2 3 5 2 3 5 A. C10 C10 C10 . B. C10.C8 .C5 . 2 3 5 5 3 2 C. C10 C8 C5 . D. C10 C5 C2 . Câu 12: Một thí sinh phải chọn 10 trong số 20 câu hỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 câu hỏi này nếu 3 câu đầu phải được chọn: 10 10 3 7 3 7 A. C20 . B. c7 C10 . C. C10.C10 . D. C17 . Câu 13: Trong các câu sau câu nào sai? 3 11 3 4 4 A. C14 C14 . B. C10 C10 C11 . 0 1 2 3 4 4 4 5 C. C4 C4 C4 C4 C4 16 . D. C10 C11 C11 . Câu 14: Có tất cả 120 cách chọn 3 học sinh từ nhóm n (chưa biết) học sinh. Số n là nghiệm của phương trình nào sau đây? A. n n 1 n 2 120. B. n n 1 n 2 720 . Trang 6
  7. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 C. n n 1 n 2 120 . D. n n 1 n 2 720 . Câu 15: Số cách chọn một ban chấp hành gồm một trưởng ban, một phó ban, một thư kí và một thủ quỹ được chọn từ 16 thành viên là: 16! 16! 16! A. 4 . B. . C. . D. . 4 12!.4! 12! Câu 16: Trong một buổi hoà nhạc, có các ban nhạc của các trường đại học từ Huế, Đà Nằng, Quy Nhơn, Nha Trang, Đà Lạt tham dự. Tìm số cách xếp đặt thứ tự để các ban nhạc Nha Trang sẽ biểu diễn đầu tiên. A. 4 . B. 20 . C. 24 . D. 120. Câu 17: Ông và bà An cùng có 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng: A. 720 . B. 1440. C. 18720. D. 40320 . Câu 18: Trong một hộp bánh có 6 loại bánh nhân thịt và 4 loại bánh nhân đậu xanh. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 bánh để phát cho các em thiếu nhi. A. 240 . B. 151200. C. 14200. D. 210 . Câu 19: Hai nhóm người cần mua nền nhà, nhóm thứ nhất có 2 người và họ muốn mua 2 nền kề nhau, nhóm thứ hai có 3 người và họ muốn mua 3 nền kề nhau. Họ tìm được một lô đất chia thành 7 nền đang rao bán (các nền như nhau và chưa có người mua). Tính số cách chọn nền của mỗi người thỏa yêu cầu trên A. 144 B. 125 C. 140 D. 132 Câu 20: Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2 trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là: A. 180 B. 160. C. 90 . D. 45 . Câu 21: Một Thầy giáo có 10 cuốn sách Toán đôi một khác nhau, trong đó có 3 cuốn Đại số, 4 cuốn Giải tích và 3 cuốn Hình học. Ông muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 học sinh sao cho sau khi tặng mỗi loại sách còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng. A. 23314 B. 32512 C. 24480 D. 24412 Câu 22: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người,gồm 12 nam và 3 nữ.Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ ? A. 12141421 B. 5234234 C. 4989600 D. 4144880 Câu 23: Đội thanh niên xung kích có của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong ba lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? A. 4123 B. 3452 C. 372 D. 446 Câu 24: Một nhóm học sinh gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một đội cờ đỏ sao cho phải có 1 đội trưởng nam, 1 đội phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội cờ đỏ. A. 131444 B. 141666 C. 241561 D. 111300 Câu 25: Một Thầy giáo có 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Văn và 7 cuốn sách anh văn và các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy giáo muốn tặng 6 cuốn sách cho 6 học sinh. Hỏi Thầy giáo có bao nhiêu cách tặng nếu: 1. Thầy giáo chỉ muốn tặng hai thể loại A. 2233440 B. 2573422 C. 2536374 D. 2631570 2. Thầy giáo muốn sau khi tặng xong mỗi thể loại còn lại ít nhất một cuốn. A. 13363800 B. 2585373 C. 57435543 D. 4556463 Câu 26: Đội tuyển HSG của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 HS khối 12, 6 HS khối 11 và 5 HS khối10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 cách cử 8 HS đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 HS được chọn A. 41811 B. 42802 C. 41822 D. 32023 Trang 7
  8. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Câu 27: Một cuộc họp có 13 người, lúc ra về mỗi người đều bắt tay người khác một lần, riêng chủ tọa chỉ bắt tay ba người. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay? A. 69 B. 80 C. 82 D. 70 Câu 28: Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 em khối 12, 6 em khối 11 và 5 em khối 10. Tính số cách chọn 6 em trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn A. 41811 B. 42802 C. 41822 D. 32023 Câu 29: Trong một môn học, Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó,10 câu trung bình và 15 câu dễ.Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra,mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau,sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 3 câu ( khó, dễ, Trung bình) và số câu dễ không ít hơn 2? A. 41811 B. 42802 C. 56875 D. 32023 Câu 30: Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác A. 111300 B. 233355 C. 125777 D. 112342 Câu 31: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách. A. 46 B. 69 C. 48 D. 40 Câu 32: Một hội nghị bàn tròn có các phái đoàn 3 người Anh, 5 người Pháp và 7 người Mỹ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho các thành viên sao cho những người có cùng quốc tịch thì ngồi gần nhau. A. 72757600 B. 7293732 C. 3174012 D. 1418746 Câu 33: Một lớp học có 20 nam và 26 nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một ban cán sự gồm 3 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu 1. Trong ban cán sự có ít nhất một nam A. 12580 B. 12364 C. 12462 D. 12561 2. Trong ban cán sự có cả nam và nữ. A. 11440 B. 11242 C. 24141 D. 53342 Câu 34: Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy? 3 7 2 9 A. C7 C26 B. C4 C19 2 8 3 8 3 7 2 9 2 8 3 8 2 8 2 9 C. C7 C26C5 C18 D. C7 C26 C4 C19 +C7 C26C5 C18 +C7 C26C5 C18 Câu 35: Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra A. 176451 B. 176435 C. 268963 D. 168637 Câu 36: Trong một lớp học có 20 học sinh nữ và 15 học sinh nam. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn: 1. Ba học sinh làm ban các sự lớp A. 6545 B. 6830 C. 2475 D. 6554 2. Ba học sinh làm ba nhiệm vụ lớp trưởng, lớp phó và bí thư A. 39270 B. 47599 C. 14684 D. 38690 3. Ba học sinh làm ban cán sự trong đó có ít nhất một học sinh nữ A. 6090 B. 6042 C. 5494 D. 7614 4. Bốn học sinh làm tổ trưởng của 4 tổ sao cho trong 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ. A. 1107600 B. 246352 C. 1267463 D. 1164776 Câu 37: Có 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem như đôi 1 khác nhau) người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông. 1. Có bao nhiêu cách chọn các bông hoa được chọn tuỳ ý. A. 120 B. 136 C. 268 D. 170 Trang 8
  9. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 2. Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đúng 1 bông màu đỏ. A. 4 B. 7 C. 9 D. 8 3. Có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ. A. 13 B. 36 C. 23 D. 36 Câu 38: Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người biết rằng nhóm đó có ít nhất 3 nữ. A. 3690 B. 3120 C. 3400 D. 3143 Câu 39: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. A. 2037131 B. 3912363 C. 207900 D. 213930 Câu 40: Có 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 7 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 7 và 8 quả cầu vàng được đánh số từ 1 đến 8. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác màu và khác số. A. 392 B. 1023 C. 3014 D. 391 Câu 41: Có 7 bông hồng đỏ, 8 bông hồng vàng và 10 bông hồng trắng, mỗi bông hồng khác nhau từng đôi một. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 bông hồng có đủ ba màu. A. 560 B. 310 C. 3014 D. 319 Câu 42: Có 7 nhà toán học nam, 4 nhà toán học nữ và 5 nhà vật lý nam.Có bao nhiêu cách lập đoàn công tác gồm 3 người có cả nam và nữ đồng thời có cả toán học và vật lý. A. 210 B. 314 C. 420 D. 213 Câu 43: Có 15 học sinh lớp A, trong đó có Khánh và 10 học sinh lớp B, trong đó có Oanh. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội tình nguyện gồm 7 học sinh trong đó có 4 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và trong đó chỉ có một trong hai em Hùng và Oanh. 3 3 4 2 3 3 4 2 3 4 A. C14.C9 B. C14.C9 C. C14.C9 C14.C9 D. C9 C14 Câu 44: Có m nam và n nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra k người trong đó có ít nhất a nam và ít nhất b nữ ( k m,n;a b k;a,b 1) k A. Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: Cm n 2(S1 S2 ) . k B. Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: 2Cm n (S1 S2 ) . k C. Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: 3Cm n 2(S1 S2 ) . k D. Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: Cm n (S1 S2 ) . Trang 9
  10. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 DẠNG 3: ĐẾM TỔ HỢP LIẾN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC Câu 1: Cho hai đường thẳng song song d1,d2 . Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, trên d2 lấy 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 25 vừa nói trên. 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 A. C10C15 B. C10C15 C. C10C15 C10C15 D. C10C15.C10C15 Câu 2: Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho ba điểm bất kì không thẳng hàng. Hỏi: Có bao nhiêu véc tơ khác véc tơ – không có điểm đầu và điểm cuối thuộc 2010 điểm đã cho. A. 4039137 B. 4038090 C. 4167114 D. 167541284 Câu 3: Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó thuộc vào 2010 điểm đã cho. A. 141427544 B. 1284761260 C. 1351414120 D. 453358292 Câu 4: Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là: A. 35 . B. 120. C. 240 . D. 720 . Câu 5: Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều 12 cạnh được vẽ thì số đường chéo là: A. 121. B. 66 . C. 132. D. 54 . Câu 6: Nếu một đa giác đều có 44 đường chéo, thì số cạnh của đa giác là: A. 11. B. 10. C. 9 . D. 8 . Câu 7: Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh? A. 5 . B. 6 . C. 7 . D. 8 . Câu 8: Mười hai đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm? A. 12. B. 66 . C. 132. D. 144. Câu 9: Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 có 10 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm phân biệt ( n 2 ). Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên. Tìm n? A. 20 B. 21 C. 30 D. 32 Câu 10: Cho đa giác đều A1 A2 A2n nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2 , , A2n gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A1, A2 , , A2n . Tìm n? A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 Câu 11: Trong mặt phẳng cho n điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất cả các đường thẳng nối hai điểm bất kì, không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc vuông góc. Qua mỗi diểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác định bởi 2 trong n 1 điểm còn lại. Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau là bao nhiêu? 2 2 3 2 2 3 A. 2Cn(n 1)(n 2) n(Cn 1 1) 5Cn B. Cn(n 1)(n 2) 2 n(Cn 1 1) 5Cn 2 2 2 2 3 2 2 3 C. 3Cn(n 1)(n 2) 2 n(Cn 1 1) 5Cn D. Cn(n 1)(n 2) n(Cn 1 1) 5Cn 2 2 Trang 10
  11. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 PHẦN II - HƯỠNG DẪN GIẢI HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT I. Hoán vị 1. Giai thừa: n! 1.2.3n Qui ước: 0! 1 n! n –1 !n n! p 1 . p 2 n (với n p ) p! n! n – p 1 . n – p 2 n (với n p ) (n p)! 2. Hoán vị (không lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử là: Pn n! 3. Hoán vị lặp: Cho k phần tử khác nhau: a1 , a2 , , ak . Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n1 phần tử a1 , n2 phần tử a2 , ,nk phần tử ak n1 n2  nk n theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp n và kiểu n1 , n2 , , nk của k phần tử. Số các hoán vị lặp cấp n kiểu n1 , n2 , , nk của k phần tử là: n! Pn n1, n2 , , nk n1 !n2 ! nk ! 4. Hoán vị vòng quanh: Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử. Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Qn n – 1 ! II. Chỉnh hợp 1. Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 k n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: n! Ak n(n 1)(n 2) (n k 1) n (n k)! Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n. n Khi k = n thì An Pn n! 2. Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A. Trang 11
  12. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 k k Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: An n III. Tổ hợp 1. Tổ hợp (không lặp): Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 k n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Ak n! Số các tổ hợp chập k của n phần tử: C k n n k! k!(n k)! 0 Qui ước: Cn = 1 Tính chất: n k 1 C 0 C n 1; C k C n k ; C k C k 1 C k ; C k C k 1 n n n n n n 1 n 1 n k n 2. Tổ hợp lặp: Cho tập A = a1;a2 ; ;an và số tự nhiên k bất kì. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A. k k m 1 Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử: Cn Cn k 1 Cn k 1 3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp: k k Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức: An k!Cn Chỉnh hợp: có thứ tự. Tổ hợp: không có thứ tự. Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, là tổ hợp. Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k n): k + Không thứ tự, không hoàn lại: Cn k + Có thứ tự, không hoàn lại: An k + Có thứ tự, có hoàn lại: An Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù) Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau: Đếm số phương án thực hiện hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay không) ta được a phương án. Đếm số phương án thực hiện hành động H không thỏa tính chất T ta được b phương án. Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: a b . B – BÀI TẬP DẠNG 1: BÀI TOÁN ĐẾM Phương pháp: Dựa vào hai quy tắc cộng, quy tắc nhân và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết được hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp. 1) Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là: Tất cả n phần tử đều phải có mặt Mỗi phần tử xuất hiện một lần. Có thứ tự giữa các phần tử. 2) Chỉnh hợp: Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần k phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự. 3) Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần Trang 12
  13. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Không quan tâm đến thứ tự k phần tử đã chọn. Câu 1: Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3? A. 192 B. 202 C. 211 D. 180 Hướng dẫn giải: Chọn A. Đặt y 23, xét các số x abcde trong đó a,b,c,d,e đôi một khác nhau và thuộc tập 0,1, y,4,5. Có P5 P4 96 số như vậy Khi ta hoán vị 2,3 trong y ta được hai số khác nhau Nên có 96.2 192 số thỏa yêu cầu bài toán. Câu 2: Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam.Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 3 học sinh nữ ngồi kề nhau A. 34 B. 46 C. 36 D. 26 Hướng dẫn giải: Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 3!.3! 36 Chọn C. Câu 3: Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam.Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 2 học sinh nam ngồi kề nhau. A. 48 B. 42 C. 58 D. 28 Hướng dẫn giải: Chọn A. Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 2!.4! 48 Câu 4: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho A và F ngồi ở hai đầu ghế A. 48 B. 42 C. 46 D. 50 Hướng dẫn giải: Chọn A. Số cách xếp A, F: 2! 2 Số cách xếp B,C, D, E : 4! 24 Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 2.24 48 Câu 5: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: A và F ngồi cạnh nhau A. 242 B. 240 C. 244 D. 248 Hướng dẫn giải: Chọn B. Xem AF là một phần tử X , ta có: 5! 120 số cách xếp X , B,C, D, E . Khi hoán vị A, F ta có thêm được một cách xếp Vậy có 240 cách xếp thỏa yêu cầu bài toán. Câu 6: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: A và F không ngồi cạnh nhau A. 480 B. 460 C. 246 D. 260 Hướng dẫn giải: Chọn A. Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 6! 240 480 cách Câu 7: Trong tủ sách có tất cả 10 cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề quyển thứ hai: A. 10!. B. 725760 . C. 9!. D. 9! 2!. Hướng dẫn giải: Trang 13
  14. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Chọn B. Chọn 2 vị trí liên tiếp trong 10 vị trí, có 9 cách. Hoán vị hai quyển sách có 2 cách. Sắp 8 quyển sách còn lại vào 8 vị trí, có 8! cách. Vậy có 9.2.8! 725760 cách. Câu 8: Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau? A. 5!.7!. B. 2.5!.7!. C. 5!.8!. D. 12!. Hướng dẫn giải: Chọn C. Sắp 5 quyển văn có 5! cách sắp xếp. Sắp 7 quyển toán và bộ 5 quyển văn có 8! cách sắp xếp. Vậy có 5!.8! cách sắp xếp. Câu 9: Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên,mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa điều kiện :sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị. A. 104 B. 106 C. 108 D. 112 Hướng dẫn giải: Chọn C. Cách 1: Gọi x a1a2 a6 , ai 1,2,3,4,5,6 là số cần lập Theo bài ra ta có: a1 a2 a3 1 a4 a5 a6 (1) Mà a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 1,2,3,4,5,6 và đôi một khác nhau nên a1 a2 a3 a4 a5 a6 1 2 3 4 5 6 21 (2) Từ (1), (2) suy ra: a1 a2 a3 10 Phương trình này có các bộ nghiệm là: (a1,a2 ,a3 ) (1,3,6); (1,4,5); (2,3,5) Với mỗi bộ ta có 3!.3! 36 số. Vậy có cả thảy 3.36 108 số cần lập. Cách 2: Gọi x abcdef là số cần lập a b c d e f 1 2 3 4 5 6 21 Ta có: a b c d e f 1 a b c 11. Do a,b,c 1,2,3,4,5,6 Suy ra ta có các cặp sau: (a,b,c) (1,4,6); (2,3,6); (2,4,5) Với mỗi bộ như vậy ta có 3! cách chọn a,b,c và 3! cách chọn d,e, f Do đó có: 3.3!.3! 108 số thỏa yêu cầu bài toán. Câu 10: Từ các số 1,2,3 lập được bao nhiều số tự nhiên gôm 6 chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau. A. 76 B. 42 C. 80 D. 68 Hướng dẫn giải: Chọn A. Đặt A {1,2,3}. Gọi S là tập các số thỏa yêu cầu thứ nhất của bài toán 6! Ta có số các số thỏa điều kiện thứ nhất của bài toán là 90 (vì các số có dạng aabbcc và khi hoán 23 vị hai số a,a ta được số không đổi) Gọi S1, S2 , S3 là tập các số thuộc S mà có 1,2,3 cặp chữ số giống nhau đứng cạnh nhau. Số phần tử của S3 chính bằng số hoán vị của 3 cặp 11,22,33 nên S3 6 Trang 14
  15. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Số phần tử của S2 chính bằng số hoán vị của 4 phần tử là có dạng a,a,bb,cc nhưng a,a không 4! đứng cạnh nhau. Nên S 6 6 phần tử. 2 2 Số phần tử của S1 chính bằng số hoán vị của các phần tử có dạng a,a,b,b,cc nhưng a,a và b,b 5! không đứng cạnh nhau nên S 6 12 12 1 4 Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán là: 90 (6 6 12) 76 . Câu 11: Có bao nhiêu cách xếp 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 8 cuốn sách Hóa lên một kệ sách sao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác nhau. A. 7.5!.6!.8! B. 6.5!.6!.8! C. 6.4!.6!.8! D. 6.5!.6!.7! Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta xếp các cuốn sách cùng một bộ môn thành một nhóm Trước hết ta xếp 3 nhóm lên kệ sách chúng ta có: 3! 6 cách xếp Với mỗi cách xếp 3 nhóm đó lên kệ ta có 5! cách hoán vị các cuốn sách Toán, 6! cách hoán vị các cuốn sách Lý và 8! cách hoán vị các cuốn sách Hóa Vậy theo quy tắc nhân có tất cả: 6.5!.6!.8! cách xếp Câu 12: Có bao nhiêu cách xếp n người ngồi vào một bàn tròn. A. n! B. (n 1)! C. 2(n 1)! D. (n 2)! Hướng dẫn giải: Chọn B. Nếu xếp một người ngồi vào một vị trí nào đó thì ta có 1 cách xếp và n 1 người còn lại được xếp vào n 1 vị trí còn lại nên có (n 1)! cách xếp. Vậy có tất cả (n 1)! cách xếp. Câu 13: Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là: 7! A. C3 . B. A3 . C. . D. 7 . 7 7 3! Hướng dẫn giải: Chọn A. 3 Đây là tổ hợp chập 3 của 7 phần tử. Vậy có C7 tập hợp con. Câu 14: Cho các số 1,2,4,5,7 có bao nhiêu cách tạo ra một số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho: A. 120. B. 256 . C. 24 . D. 36 . Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi số cần tìm có dạng : abc Chọn c : có 2 cách c 2;4 2 Chọn ab : có A4 cách 2 Theo quy tắc nhân, có 2.A4 24 (số) Câu 15: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ các số 0,1,2 ,3,4,5 . A. 60 . B. 80 . C. 240 . D. 600 . Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi số cần tìm có dạng : abcde a 0 . Trang 15
  16. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Chọn a : có 5 cách a 0 4 Chọn bcde : có A5 cách 4 Theo quy tắc nhân, có 5.A5 600 (số) Câu 16: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên 1. Gồm 4 chữ số A. 1296 B. 2019 C. 2110 D. 1297 2. Gồm 3 chữ số đôi một khác nhau A. 110 B. 121 C. 120 D. 125 3. Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và là chữ số tự nhiên chẵn A. 182 B. 180 C. 190 D. 192 4. Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng chữ số 1 A. 300 B. 320 C. 310 D. 330 5. Gồm 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau. A. 410 B. 480 C. 500 D. 512 Hướng dẫn giải: 1 Gọi số cần lập là: x abcd . Ta chọn a,b,c,d theo thứ tự sau a : có 6 cách chọn b : có 6 cách chọn c : có 6 cách chọn d : có 6 cách chọn Vậy có 64 1296 số Chọn A. 2. Mỗi số cần lập ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử 3 Nên số cần lập là: A6 120 số. Chọn C. 3. Gọi số cần lập là : x abcd Vì x chẵn nên có 3 cách chọn d . Ứng với mỗi cách chọn d sẽ có 3 3 A5 cách chọn a,b,c . Vậy có 3.A5 180 số. Chọn B. 4. Gọi số cần lập là : x abcd 3 Vì a 1 nên a có 5 cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn a ta có: A5 cách chọn b,c,d . Vậy có 3 5.A5 300 số. Chọn A. 5. Gọi x là số có 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 luôn đứng cạnh nhau. Đặt y 12 khi đó x có dạng abcde với a,b,c,d,e đôi một khác nhau và thuộc tập y,3,4,5,6 nên có P5 5! 120 số. Khi hoán vị hai số 1,2 ta được một số khác nên có 120.2 240 số x Vậy số thỏa yêu cầu bài toán là: P6 240 480 số. Chọn B. Câu 17: Cho 6 chữ số 4,5,6,7,8,9. số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau lập thành từ 6 chữ số đó: A. 120. B. 60 . C. 256 . D. 216 . Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi số cần tìm có dạng : abc . Trang 16
  17. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Chọn c : có 3 cách c 4;6;8 2 Chọn ab : có A5 cách 2 Theo quy tắc nhân, có 3.A5 60 (số). Câu 18: Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5 . Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và các chữ số đó phải khác nhau: A. 160. B. 156. C. 752 . D. 240 . Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi số cần tìm có dạng : abcd a 0 . TH1. d 0 Chọn d : có 1 cách 3 Chọn abc : có A5 cách 3 Theo quy tắc nhân, có 1.A5 60 (số) TH2. d 0 Chọn d : có 2 cách d 2;4 Chọn a : có 4 cách a 0,a d 2 Chọn bc : có A4 cách 2 Theo quy tắc nhân, có 2.4.A4 96 (số) Theo quy tắc cộng, vậy có 60 96 156 (số). Câu 19: Từ các số của tập A 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau trong đó có hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau. A. 360 B. 362 C. 345 D. 368 Hướng dẫn giải: Chọn A. Vì có 3 số lẻ là 1,3,5, nên ta tạo được 6 cặp số kép: 13,31,15,51,35,53 Gọi A là tập các số gồm 4 chữ số được lập từ X 0,13,2,4,6 . Gọi A1, A2 , A3 tương ứng là số các số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số của tập X 0,13,2,4,6 và 13 đứng ở vị trí thứ nhất, thứ hai và thứ ba. 3 Ta có: A1 A4 24; A2 A3 3.3.2 18 nên A 24 2.18 60 Vậy số các số cần lập là: 6.60 360 số. Câu 20: Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (thăm một bạn không quá một lần). A. 3991680 . B. 12!. C. 35831808 . D. 7!. Hướng dẫn giải: Chọn A 7 Vì 1 tuần có 7 ngày nên có A12 3991680 (kế hoạch). Câu 21: Cho tập A 1,2,3,4,5,6,7,8 1. Có bao nhiêu tập con của A chứa số 2 mà không chứa số 3 A. 64 B. 83 C. 13 D. 41 2. Tức các chữ số thuộc tập A, lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số không bắt đầu bởi 123. A. 3340 B. 3219 C. 4942 D. 2220 Trang 17
  18. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Hướng dẫn giải: 1. Xét tập B 1,4,5,6,7,8 , ta có B không chứa số 3. X là một tập con của A thỏa yêu cầu bài toán khi và chỉ khi X \ 2 là một tập con của B . Do đo, số tập con của A thỏa yêu cầu bài toán bằng số tập con của B và bằng 26 64 . Chọn A. 2. Xét số x abcde được lập từ các chữ số thuộc tập A. Vì x lẻ nên e 1,3,5,7, suy ra có 4 cách chọn e. Bốn chữ số còn lại được chọn từ 7 chữ số của tập 4 A \ e nên có A7 840 cách Suy ra, có 4.840 3360 số lẻ gồm năm chữ số khác nhau. 2 Mà số x bắt đầu bằng 123 có A5 20 số. Vậy số x thỏa yêu cầu bài toán là : 3360 20 3340 số. Chọn A. Câu 22: Từ 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số từ 4 chữ số khác nhau? A. 7!. B. 74 . C. 7.6.5.4 . D. 7!.6!.5!.4!. Hướng dẫn giải: Chọn C. 7! Chọn 4 trong 7 chữ số để sắp vào 4 vị trí (phân biệt thứ tự) có A4 7.6.5.4 . 7 3! 2 Vậy có 8! A6 .6! 18720 cách sắp xếp. Câu 23: Từ các số 0,1,2,7,8,9 tạo được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau? A. 120. B. 216 . C. 312 . D. 360 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Gọi abcde là số cần tìm. 4 Nếu e 0 , chọn 4 trong 5 số còn lại sắp vào các vị trí a,b,c,d có A5 120 cách. Nếu e 0 , chọn e có 2 cách. Chọn a 0 và a e có 4 cách. 3 Chọn 3 trong 4 số còn lại sắp vào các vị trí b,c,d có A4 cách. 4 3 Như vậy có: A5 2.4.A4 312 số. Câu 24: Từ các số 0,1,2,7,8,9 tạo được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số khác nhau? A. 288 . B. 360 . C. 312 . D. 600 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi abcde là số cần tìm. Chọn e có 3 cách. Chọn a 0 và a e có 4 cách. 3 Chọn 3 trong 4 số còn lại sắp vào b,c,d có A4 cách. 3 Vậy có 3.4.A4 288 số. Câu 25: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đứng cạnh nhau? A. 360 B. 280 C. 310 D. 290 Hướng dẫn giải: Chọn A. Trang 18
  19. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Gọi A là số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác nhau lấy từ các số 0,1,2,3,4,5,6 số cách chọn được A là 2 A3 6 . Số chẵn có 5 chữ số mà hai số lẻ đứng kề nhau phải chứa A và ba trong 4 chữ số 0;2;4;6. Gọi abcd;a,b,c,d {A,0,2,4,6} là số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 *TH1: Nếu a Acó 1 cách chọn a và A4 chọn b,c,d . * TH 2: a Acó 3 cách chọn a 2 + Nếu b A có 1 cách chọn b và A3 cách chọn c,d . 2 + Nếu c Acó 1 cách chọn c và A3 cách chọn b,d . 2 3 2 2 Vậy có A3 A4 3 1.A3 1.A3 360 số thỏa mãm yêu cầu bài toán. Câu 26: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt hai lần, chữ số ba có mặt ba lần và các chữ số còn lại có mặt nhiều nhất một lần? A. 26460 B. 27901 C. 27912 D. 26802 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta đếm các số có 7 chữ số được chọn từ các số 2,2,3,3,3,a,b với a,b 0,1,4,5,6,7,8,9 , kể cả số 0 đứng đầu. Ta có được: 7! số như vậy. Tuy nhiên khi hoán vị hai số 2 cho nhau hoặc các số 3 cho nhau thì ta được số không đổi do đó có tất cả 7! 420 số. 2!.3! 2 2 Vì có A8 cách chọn a,b nên ta có: 480.A8 26880 số. Ta đếm các số có 6 chữ số được chọn từ các số 2,2,3,3,3, x với x 1,4,5,6,7,8,9 . 6! Tương tự như trên ta tìm được A1 420 số 2!.3! 7 Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán: 26460 . Câu 27: Từ các số của tập A {1,2,3,4,5,6,7} lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 1. Năm chữ số đôi một khác nhau A. 2520 B. 2510 C. 2398 D. 2096 2. Sáu chữ số khác nhau và chia hết cho 5. A. 720 B. 710 C. 820 D. 280 3. Năm chữ số đôi một khác nhau, đồng thời hai chữ số 2 và 3 luôn đứng cạnh nhau A. 720 B. 710 C. 820 D. 280 4. Bảy chữ số, trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng ba lần. A. 31203 B. 30240 C. 31220 D. 32220 Hướng dẫn giải: 1. Mỗi số cần lập thỏa yêu cầu bài toán sẽ ứng với mỗi chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử. Do đó, có 5 A7 2520 . Chọn A. 2. Gọi số cần lập là x a1a2 a6 Vì x chia hết cho 5 nên a6 5 a6 có một cách chọn 5 Số cách chọn các chữ số a1,a2 , ,a5 chính bằng số chỉnh hợp chập 5 của 6 phân tử và bằng A6 . 5 Vậy số các số cần lập là 1.A6 720 Chọn A. 4 3. Đặt x 23 . Số các số cần lập có dạng abcd với a,b,c,d 1, x,4,5,6,7. Có A6 360 số như vậy Trang 19
  20. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Mặt khác khi hoán vị hai số 2 và 3 ta được thêm một số thỏa yêu cầu bài toán. Vậy có 360.2 720 số thỏa yêu cầu bài toán. Chọn A. 4. Xét các số tự nhiên có bảy chữ số được lập từ 1,2,2,2,3,4,5,6,7 7 Ta thấy có A9 số như vậy. A7 Tuy nhiên khi hoán vị vị trí của ba số 2 cho nhau thì số thu được không thay đổi. Vậy có 9 30240 3! số thỏa yêu cầu bài toán. Chọn A. Câu 28: Từ các chữ số của tập hợp A 0,1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 1. 5 chữ số A. 14406 B. 13353 C. 15223 D. 14422 2. 4 chữ số đôi một khác nhau A. 418 B. 720 C. 723 D. 731 3. 4 chữ số đôi một khác nhau và là số lẻ A. 300 B. 324 C. 354 D. 341 4. 5 chữ số đôi một khác nhau và là số chẵn. A. 1260 B. 1234 C. 1250 D. 1235 Hướng dẫn giải: 1. Gọi x abcde với a,b,c,e A;a 0 Để lập x ta chọn các số a,b,c,d,e theo tứ thự sau Chọn a : Vì a A,a 0 nên ta có 6 cách chọn a Vì b A và b có thể trùng với a nên với mỗi cách chọn a ta có 7 cách chọn b Tương tự : với mỗi cách chọn a,b có 7 cách chọn c với mỗi cách chọn a,b,c có 7 cách chọn d với mỗi cách chọn a,b,c,d có 7 cách chọn e Vậy theo quy tắc nhân ta có: 6.7.7.7.7 14406 số thỏa yêu cầu bài toán. Chọn A. 2. Gọi x abcd là số cần lập với a,b,d,c A đôi một khác nhau và a 0 . Ta chọn a,b,c,d theo thứ tự sau Chọn a : Vì a A,a 0 nên có 6 cách chọn a Với mỗi cách chọn a ta thấy mỗi cách chọn b,c,d chính là một cách lấy ba phần tử của tập A \ a và xếp chúng theo thứ tự, nên mỗi cách chọn b,c,d ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử 3 Suy ra số cách chọn b,c,d là: A6 3 Theo quy tắc nhân ta có: 6.A6 720 số thỏa yêu cầu bài toán. Chọn B. 3. Gọi x abcd là số cần lập với a,b,c,d A đôi một khác nhau, a 0 . Vì x là số lẻ nên d 1,3,5 d có 3 cách chọn. Với mỗi cách chọn d ta có a A \ 0,d a có 5 cách chọn 2 Với mỗi cách chọn a,d ta có A5 cách chọn bc 2 Theo quy tắc nhân ta có: 3.5.A5 300 số thỏa yêu cầu bài toán. Trang 20
  21. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Chọn A. 4. Gọi x abcde là số cần lập với a,b,c,d,e A đôi một khác nhau và a 0 . Vì x là số lẻ nên e 0,2,4,6 . Ta xét các trường hợp sau e 0 e có 1 cách chọn Vì a 0 a có 6 cách chọn 3 Số cách chọn các chữ số còn lại: A5 3 Do đó trường hợp này có tất cả 1.6.A5 360 số e 0 e có 3 cách chọn Với mỗi cách chọn e ta có a A \ 0,e a có 5 cách chọn 3 Số cách chọn các số còn lại là: A5 3 Do đó trường hợp này có tất cả 3.5.A5 900 số Vậy có cả thảy 360 900 1260 số thỏa yêu cầu bài toán. Chọn A. Câu 29: Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có, mỗi số có 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số ở hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8. A. 1300 B. 1400 C. 1500 D. 1600 Hướng dẫn giải: Chọn B. Gọi n a1a2a3a4a5a6 là một số thỏa yêu cầu bài toán thì a3 a4 a5 8 . Có hai bộ 3 số có tổng bằng 8 trong các số 1,2, ,8,9 là : 1;2;5 và 1;3;4 3 3 Nếu a3;a4 ;a5 1;2;5 thì a3 ,a4 ,a5 có 3! cách chọn và a1,a2 ,a6 có A6 cách chọn suy ra có 3!A6 720 số thỏa yêu cầu. Nếu a3;a4 ;a5 1;2;5 thì cũng có 720 số thỏa yêu cầu. Vậy có 720 720 1400 số thỏa yêu cầu Câu 30: Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số hàng ngàn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị. A. 221 B. 209 C. 210 D. 215 Hướng dẫn giải: Chọn C. Gọi x a1a2a3a4 với 9 a1 a2 a3 a4 0 là số cần lập. X 0; 1; 2; ; 8; 9 . Từ 10 phần tử của X ta chọn ra 4 phần tử bất kỳ thì chỉ lập được 1 số A. Nghĩa là không có hoán vị hay là một tổ hợp chập 4 của 10. 4 Vậy có C10 210 số. Trang 21
  22. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 DẠNG 2: XẾP VỊ TRÍ – CÁCH CHỌN, PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC Câu 1: Một liên đoàn bóng rổ có 10 đội, mỗi đội đấu với mỗi đội khác hai lần, một lần ở sân nhà và một lần ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là: A. 45 . B. 90 . C. 100. D. 180. Hướng dẫn giải: Chọn B. Mỗi đội sẽ gặp 9 đội còn lại. Do đó có 10.9 90 trận đấu. Câu 2: Một liên đoàn bóng rổ có 10 đội, mỗi đội đấu với mỗi đội khác hai lần, một lần ở sân nhà và một lần ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là: A. 45 . B. 90 . C. 100. D. 180. Hướng dẫn giải: Chọn B. Mỗi đội sẽ gặp 9 đội còn lại. Do đó có 10.9 90 trận đấu. Câu 3: Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2 trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là: A. 180 B. 160. C. 90 . D. 45 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Mỗi đội sẽ gặp 9 đội khác trong hai lượt trận sân nhà và sân khách. Có 10.9 90 trận. Mỗi đội đá 2 trận sân nhà, 2 trận sân khách. Nên số trận đấu là 2.90 180 trận. Câu 4: Giả sử ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là: 5! 5! A. . B. 8 . C. . D. 53 . 2! 3!2! Hướng dẫn giải: Chọn A. 5! Chọn 3 trong 5 màu để tô vào 3 nước khác nhau nên có A3 cách. 5 2! Câu 5: Sau bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với mỗi người khác trong phòng. Có tất cả 66 người lần lượt bắt tay. Hỏi trong phòng có bao nhiêu người: A. 11. B. 12. C. 33 . D. 66 . Hướng dẫn giải: Chọn B Cứ hai người sẽ có 1 lần bắt tay. 2 n! n 12 Khi đó Cn 66 66 n n 1 132 n 12 n ¥ n 2 !.2! n 11 Câu 6: Tên 15 học sinh được ghi vào 15 tờ giấy để vào trong hộp. Chọn tên 4 học sinh để cho đi du lịch. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các học sinh: A. 4!. B. 15!. C. 1365. D. 32760 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Chọn 4 trong 15 học sinh (không phân biệt thứ tự) là tổ hợp chập 4 của 15. 4 Vậy có C15 1365 cách chọn. Câu 7: Một hội đồng gồm 2 giáo viên và 3 học sinh được chọn từ một nhóm 5 giáo viên và 6 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? A. 200 . B. 150. C. 160. D. 180. Hướng dẫn giải: Trang 22
  23. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Chọn A. 2 Chọn 2 trong 5 giáo viên có: C5 10 cách chọn. 3 Chọn 3 trong 6 học sinh có C6 20 cách chọn. Vậy có 10.20 200 cách chọn. Câu 8: Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có bạn An. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực trong đó phải có An: A. 990 . B. 495 . C. 220 . D. 165. Hướng dẫn giải: Chọn D. Chọn An có 1 cách chọn. 3 Chọn 3 bạn trong 11 bạn còn lại có C11 165 cách chọn. Vậy có 165 cách chọn. Câu 9: Từ một nhóm 5 người, chọn ra các nhóm ít nhất 2 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn: A. 25 . B. 26 . C. 31. D. 32 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 3 4 5 Chọn lần lượt nhóm có 2,3,4,5 người, ta có C5 ,C5 ,C5 ,C5 cách chọn. 2 3 4 5 Vậy tổng cộng có: C5 C5 C5 C5 26 cách chọn. Câu 10: Một tổ gồm 7 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực sao cho có ít nhất 2 nữ? 2 5 1 3 4 2 2 1 3 4 A. C7 C6 ) (C7 C6 C6 . B. C7 .C6 C7 .C6 C6 . 2 2 2 2 3 1 4 C. C11.C12 . D. C7 .C6 C7 .C6 C7 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 2 Chọn nhóm gồm 2 nam, 2 nữ, có C7 .C6 cách. 1 3 Chọn nhóm gồm 1 nam, 3 nữ, có C7 .C6 cách. 4 Chọn nhóm gồm 4 nữ, có C6 cách 2 2 1 3 4 Vậy có: C7 .C6 C7 .C6 C6 cách. Câu 11: Số cách chia 10 học sinh thành 3 nhóm lần lượt gồm 2 , 3 , 5 học sinh là: 2 3 5 2 3 5 A. C10 C10 C10 . B. C10.C8 .C5 . 2 3 5 5 3 2 C. C10 C8 C5 . D. C10 C5 C2 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 Chọn 2 trong 10 học sinh chia thành nhóm 2 có: C10 cách. 3 Chọn 3 trong 8 học sinh còn lại chia thành nhóm 3 có: C8 cách. 5 Chọn 5 trong 5 học sinh còn lại chia thành nhóm 5 có C5 cách. 2 3 5 Vậy có C10.C8 .C5 cách. Câu 12: Một thí sinh phải chọn 10 trong số 20 câu hỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 câu hỏi này nếu 3 câu đầu phải được chọn: 10 10 3 7 3 7 A. C20 . B. c7 C10 . C. C10.C10 . D. C17 . Hướng dẫn giải: Chọn D. 7 Thí sinh chỉ phải chọn 7 câu trong 17 câu còn lại. Vậy có C17 cách chọn. Câu 13: Trong các câu sau câu nào sai? Trang 23
  24. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 3 11 3 4 4 A. C14 C14 . B. C10 C10 C11 . 0 1 2 3 4 4 4 5 C. C4 C4 C4 C4 C4 16 . D. C10 C11 C11 . Hướng dẫn giải: Chọn D. k k 1 k 1 4 4 5 Ta có công thức: Cn Cn Cn 1 nên đáp án sai là C10 C11 C11 . Câu 14: Có tất cả 120 cách chọn 3 học sinh từ nhóm n (chưa biết) học sinh. Số n là nghiệm của phương trình nào sau đây? A. n n 1 n 2 120. B. n n 1 n 2 720 . C. n n 1 n 2 120 . D. n n 1 n 2 720 . Hướng dẫn giải: Chọn D. n! n n 1 n 2 Chọn 3 trong n học sinh có C3 . n n 3 !.3! 6 3 Khi đó Cn 120 n n 1 n 2 720 . Câu 15: Số cách chọn một ban chấp hành gồm một trưởng ban, một phó ban, một thư kí và một thủ quỹ được chọn từ 16 thành viên là: 16! 16! 16! A. 4 . B. . C. . D. . 4 12!.4! 12! Hướng dẫn giải: Chọn D. 16! Chọn 4 trong 16 thành viên để bầu ban chấp hành (có phân biệt thứ tự) có A4 16 12! Câu 16: Trong một buổi hoà nhạc, có các ban nhạc của các trường đại học từ Huế, Đà Nằng, Quy Nhơn, Nha Trang, Đà Lạt tham dự. Tìm số cách xếp đặt thứ tự để các ban nhạc Nha Trang sẽ biểu diễn đầu tiên. A. 4 . B. 20 . C. 24 . D. 120. Hướng dẫn giải: Chọn C. 4 Sắp xếp thứ tự biểu diễn của 4 ban nhạc còn lại có A4 4! 20 cách. Câu 17: Ông và bà An cùng có 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng: A. 720 . B. 1440. C. 18720. D. 40320 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta dùng phần bù. Sắp 8 người vào 8 vị trí theo hàng dọc có 8! cách sắp xếp. 2 Sắp ông và bà An vào 2 trong 6 vị trí (trừ vị trí đầu và cuối hàng) có A6 cách. Sắp 6 người con vào 6 vị trí còn lại có 6! cách. Câu 18: Trong một hộp bánh có 6 loại bánh nhân thịt và 4 loại bánh nhân đậu xanh. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 bánh để phát cho các em thiếu nhi. A. 240 . B. 151200. C. 14200. D. 210 . Hướng dẫn giải: Chọn D. 6 Chọn 6 trong 10 bánh có C10 210 cách. Câu 19: Hai nhóm người cần mua nền nhà, nhóm thứ nhất có 2 người và họ muốn mua 2 nền kề nhau, nhóm thứ hai có 3 người và họ muốn mua 3 nền kề nhau. Họ tìm được một lô đất chia thành 7 nền Trang 24
  25. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 đang rao bán (các nền như nhau và chưa có người mua). Tính số cách chọn nền của mỗi người thỏa yêu cầu trên A. 144 B. 125 C. 140 D. 132 Hướng dẫn giải: Xem lô đất có 4 vị trí gồm 2 vị trí 1 nền, 1 vị trí 2 nền và 1 vị trí 3 nền. Bước 1: nhóm thứ nhất chọn 1 vị trí cho 2 nền có 4 cách và mỗi cách có 2! 2 cách chọn nền cho mỗi người. Suy ra có 4.2 8 cách chọn nền. Bước 2: nhóm thứ hai chọn 1 trong 3 vị trí còn lại cho 3 nền có 3 cách và mỗi cách có 3! 6 cách chọn nền cho mỗi người. Suy ra có 3.6 18 cách chọn nền. Vậy có 8.18 144 cách chọn nền cho mỗi người Câu 20: Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2 trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là: A. 180 B. 160. C. 90 . D. 45 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Mỗi đội sẽ gặp 9 đội khác trong hai lượt trận sân nhà và sân khách. Có 10.9 90 trận. Mỗi đội đá 2 trận sân nhà, 2 trận sân khách. Nên số trận đấu là 2.90 180 trận. Câu 21: Một Thầy giáo có 10 cuốn sách Toán đôi một khác nhau, trong đó có 3 cuốn Đại số, 4 cuốn Giải tích và 3 cuốn Hình học. Ông muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 học sinh sao cho sau khi tặng mỗi loại sách còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng. A. 23314 B. 32512 C. 24480 D. 24412 Hướng dẫn giải: 5 Số cách lấy 5 cuốn sách và đem tặng cho 5 học sinh: S A10 30240 cách. 2 Số cách chọn sao cho không còn sách Đại số: S1 C7 .5! 2520 cách 1 Số cách chọn sao cho không còn sách Giải tích: S2 C6.5! 720 cách 2 Số cách chọn sao cho không còn sách Hình học: S3 C7 .5! 2520 cách. Vậy số cách tặng thỏa yêu cầu bài toán:: S S1 S2 S3 24480 cách tặng. Câu 22: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người,gồm 12 nam và 3 nữ.Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ ? A. 12141421 B. 5234234 C. 4989600 D. 4144880 Hướng dẫn giải: 4 Có C12 cách phân công 4 nam về tỉnh thứ nhất 4 4 Với mỗi cách phân công trên thì có C8 cách phân công 4 nam về tỉnh thứ hai và có C4 cách phân công 4 nam còn lại về tỉnh thứ ba. Khi phân công nam xong thì có 3! cách phân công ba nữ về ba tỉnh đó. 4 4 4 Vậy có tất cả C12.C8 .C4 .3! 4989600 cách phân công. Câu 23: Đội thanh niên xung kích có của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong ba lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? A. 4123 B. 3452 C. 372 D. 446 Hướng dẫn giải: TH 1: 4 học sinh được chọn thuộc một lớp: 4 A: có C5 5 cách chọn Trang 25
  26. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 4 B: có C4 1 cách chọn Trường hợp này có: 6 cách chọn. TH 2: 4 học sinh được chọn thuộc hai lớp: 4 4 4 A và B: có C9 (C5 C4 ) 120 4 4 B và C: có C9 C4 125 4 4 C và A: có C9 C5 121 Trường hợp này có 366 cách chọn. Vậy có 372 cách chọn thỏa yêu cầu bài toán. Câu 24: Một nhóm học sinh gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một đội cờ đỏ sao cho phải có 1 đội trưởng nam, 1 đội phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội cờ đỏ. A. 131444 B. 141666 C. 241561 D. 111300 Hướng dẫn giải: Vì trong 5 người được chọn phải có ít nhất 1 nữ và ít nhất phải có 2 nam nên số học sinh nữ gồm 1 hoặc 2 hoặc 3 nên ta có các trường hợp sau: chọn 1 nữ và 4 nam. +) Số cách chọn 1 nữa: 5 cách 2 +) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: A15 2 +) Số cách chọn 2 nam còn lại: C13 2 2 Suy ra có 5A15.C13 cách chọn cho trường hợp này. chọn 2 nữ và 3 nam. 2 +) Số cách chọn 2 nữ: C5 cách. 2 +) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: A15 cách. +) Số cách chọn 1 còn lại: 13 cách. 2 2 Suy ra có 13A15.C5 cách chọn cho trường hợp này. Chọn 3 nữ và 2 nam. 3 +) Số cách chọn 3 nữ : C5 cách. 2 +) Số cách chọn 2 làm đội trưởng và đội phó: A15 cách. 2 3 Suy ra có A15.C5 cách chọn cho trường hợp 3. 2 2 2 2 2 3 Vậy có 5A15.C13 13A15.C5 A15.C5 111300 cách. Câu 25: Một Thầy giáo có 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Văn và 7 cuốn sách anh văn và các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy giáo muốn tặng 6 cuốn sách cho 6 học sinh. Hỏi Thầy giáo có bao nhiêu cách tặng nếu: 1. Thầy giáo chỉ muốn tặng hai thể loại A. 2233440 B. 2573422 C. 2536374 D. 2631570 2. Thầy giáo muốn sau khi tặng xong mỗi thể loại còn lại ít nhất một cuốn. A. 13363800 B. 2585373 C. 57435543 D. 4556463 Hướng dẫn giải: 6 1. Tặng hai thể loại Toán, Văn có : A11 cách 6 Tặng hai thể loại Toán, Anh Văn có : A12 cách 6 Tặng hai thể loại Văn, Anh Văn có : A13 cách 6 6 6 Số cách tặng: A11 A12 A13 2233440 2. Số cách tặng hết sách Toán : 5!.13 1560 Số cách tặng hết sách Văn: 6! 720 Trang 26
  27. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 6 Số cách tặng thỏa yêu cầu bài toán: A18 1560 720 13363800 . Câu 26: Đội tuyển HSG của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 HS khối 12, 6 HS khối 11 và 5 HS khối10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 cách cử 8 HS đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 HS được chọn A. 41811 B. 42802 C. 41822 D. 32023 Hướng dẫn giải: Số cách chọn 8 học sinh gồm hai khối là: 8 8 8 C13 C11 C12 1947 . 8 Số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán: C18 1947 41811. Câu 27: Một cuộc họp có 13 người, lúc ra về mỗi người đều bắt tay người khác một lần, riêng chủ tọa chỉ bắt tay ba người. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay? A. 69 B. 80 C. 82 D. 70 Hướng dẫn giải: 2 Số bắt tay 12 người (trừ chủ tọa) C12 2 Vậy có : C12 3 69 bắt tay. Câu 28: Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 em khối 12, 6 em khối 11 và 5 em khối 10. Tính số cách chọn 6 em trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn A. 41811 B. 42802 C. 41822 D. 32023 Hướng dẫn giải: Số cách chọn 8 học sinh gồm hai khối là: 8 8 8 C13 C11 C12 1947 . 8 Số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán: C18 1947 41811. Câu 29: Trong một môn học, Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó,10 câu trung bình và 15 câu dễ.Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra,mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau,sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 3 câu ( khó, dễ, Trung bình) và số câu dễ không ít hơn 2? A. 41811 B. 42802 C. 56875 D. 32023 Hướng dẫn giải: Ta có các trường hợp sau 2 2 1 TH 1: Đề thi gồm 2 D, 2 TB, 1 K: C15.C10.C5 2 1 2 TH 1: Đề thi gồm 2 D, 1 TB, 2 K: C15.C10.C5 3 1 1 TH 1: Đề thi gồm 3 D, 1 TB, 1 K: C15.C10.C5 Vậy có: 56875 đề kiểm tra. Câu 30: Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác A. 111300 B. 233355 C. 125777 D. 112342 Hướng dẫn giải: 2 Chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có A15 cách. Chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ. 2 +) chọn 1 nữ và 2 nam có 5.C13 cách. 2 +) chọn 2 nữ và 1 nam có 13.C5 cách. 3 +) chọn 3 nữ có C5 cách. 2 2 2 3 Vậy có A15 5.C13 13.C5 C5 111300 cách. Trang 27
  28. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Câu 31: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách. A. 46 B. 69 C. 48 D. 40 Hướng dẫn giải: Cách 1: Ta có các trường hợp sau 3 người được chọn gồm 1 nữ và 2 nam. chọn ra 1 trong 3 nữ ta có 3 cách. 2 chọn ra 2 trong 5 nam ta có C5 cách 2 Suy ra có 3C5 cách chọn 3 người được chọn gồm 2 nữ và 1 nam. 2 chọn ra 2 trong 3 nữ có C3 cách. chọn ra 1 trong 5 nam có 5 cách. 2 Suy ra có 5C3 cách chọn. 3 người chọn ra gồm 3 nữ có 1 cách. 2 2 Vậy có 3C5 5C3 1 46 cách chọn. 3 Cách 2: Số cách chọn 3 người bất kì là: C8 3 Số cách chọn 3 người nam cả là: C5 Vậy số cách chọn 3 người thỏa yêu cầu bài toán là: 3 3 C8 C5 46 cách. Câu 32: Một hội nghị bàn tròn có các phái đoàn 3 người Anh, 5 người Pháp và 7 người Mỹ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho các thành viên sao cho những người có cùng quốc tịch thì ngồi gần nhau. A. 72757600 B. 7293732 C. 3174012 D. 1418746 Hướng dẫn giải: Có 2! cách xếp 3 phái đoàn vào bàn tròn. Với mỗi cách xếp thì có: 3! cách xếp các thành viên phái đoàn Anh 5! cách xếp các thành viên phái đoàn Pháp 7! cách xếp các thành viên phái đoàn Mỹ Vậy có tất cả: 2!3!5!7! 7257600 cách xếp. Câu 33: Một lớp học có 20 nam và 26 nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một ban cán sự gồm 3 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu 1. Trong ban cán sự có ít nhất một nam A. 12580 B. 12364 C. 12462 D. 12561 2. Trong ban cán sự có cả nam và nữ. A. 11440 B. 11242 C. 24141 D. 53342 Hướng dẫn giải: 3 Có C46 cách chọn ba học sinh trong lớp 3 1. Có C26 cách chọn ban cán sự không có nam (ta chọn nữ cả) 3 3 Do đó, có C46 C26 12580 cách chọn ban cán sự trong đó có ít nhất một nam được chọn. 3 2. Có C26 cách chọn ban cán sự không có nam 3 Có C20 cách chọn ban cán sự không có nữ. 3 3 3 Vậy có C46 (C26 C20 ) 11440 cách chọn thỏa yêu cầu bài toán. Trang 28
  29. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Câu 34: Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy? 3 7 2 9 A. C7 C26 B. C4 C19 2 8 3 8 3 7 2 9 2 8 3 8 2 8 2 9 C. C7 C26C5 C18 D. C7 C26 C4 C19 +C7 C26C5 C18 +C7 C26C5 C18 Hướng dẫn giải: Số cách chia lớp thành 3 tổ thỏa yêu cầu có 3 trường hợp 3 7 * TH1: Tổ 1 có 3 nữ, 7 nam có C7 C26 cách chọn 2 9 Tổ 2 có 2 nữ, 9 nam có C4 C19 cách chọn 2 10 Tổ 3 có 2 nữ, 10 nam có C2 C10 1 cách chọn 3 7 2 9 Vậy có C7 C26 C4 C19 cách chia thành 3 tổ trong TH này 2 8 3 8 * TH2: Tổ 2 có 3 nữ và hai tổ còn lại có 2 nữ, tương tự tính được C7 C26C5 C18 cách chia. 2 8 2 9 * TH3: Tổ 3 có 3 nữ và hai tổ còn lại có 2 nữ, tương tự tính được C7 C26C5 C18 cách chia. 3 7 2 9 2 8 3 8 2 8 2 9 Vậy có tất cả C7 C26 C4 C19 +C7 C26C5 C18 +C7 C26C5 C18 cách chia Câu 35: Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra A. 176451 B. 176435 C. 268963 D. 168637 Hướng dẫn giải: 10 * Loại 1: chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu có C20 cách. * Loại 2: chọn 10 câu có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó. 10 +) Chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có C16 cách. 10 +) Chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có C13 cách. 10 +) Chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có C11 cách. 10 10 10 10 Vậy có C20 C16 C13 C11 176451 đề kiểm tra. Câu 36: Trong một lớp học có 20 học sinh nữ và 15 học sinh nam. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn: 1. Ba học sinh làm ban các sự lớp A. 6545 B. 6830 C. 2475 D. 6554 2. Ba học sinh làm ba nhiệm vụ lớp trưởng, lớp phó và bí thư A. 39270 B. 47599 C. 14684 D. 38690 3. Ba học sinh làm ban cán sự trong đó có ít nhất một học sinh nữ A. 6090 B. 6042 C. 5494 D. 7614 4. Bốn học sinh làm tổ trưởng của 4 tổ sao cho trong 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ. A. 1107600 B. 246352 C. 1267463 D. 1164776 Hướng dẫn giải: 3 1 Số cách chọn ban cán sự: C35 6545 2. Số cách chọn 3 học sinh làm lớp trưởng, lớp phó và bí thư là 3 A35 39270 3 3. Số cách chọn ba học sinh làm ban cán sự mà không có nữ được chọn là : C15 455 3 3 Số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán: C35 C15 6090 4 4. Số cách chọn 4 học sinh làm 4 tổ trưởng là: A35 4 Số cách chọn 4 học sinh làm tổ trưởng trong đó không có học sinh nam được chọn là: A20 4 Số cách chọn 4 học sinh làm tổ trưởng trong đó không có học sinh nữ được chọn là: A15 Trang 29
  30. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 4 4 4 Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán: A35 A20 A15 1107600 Câu 37: Có 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem như đôi 1 khác nhau) người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông. 1. Có bao nhiêu cách chọn các bông hoa được chọn tuỳ ý. A. 120 B. 136 C. 268 D. 170 2. Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đúng 1 bông màu đỏ. A. 4 B. 7 C. 9 D. 8 3. Có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ. A. 13 B. 36 C. 23 D. 36 Hướng dẫn giải: 1. Mỗi cách chọn thỏa yêu cầu bài toán có nghĩa là ta lấy bất kì 7 bông từ 10 bông đã cho mà không tính đến thứ tự lấy. Do đó mỗi cách lấy là một tổ hợp chập 7 của 10 phần tử 7 Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là: C10 120 . 2. Có 4 cách chọn 1 bông hồng màu đỏ Với mỗi cách chọn bông hồng màu đỏ, có 1 cách chọn 6 bông còn lại Vậy có tất cả 4 cách chọn bông thỏa yêu cầu bài toán. 3. Vì có tất cả 4 bông hồng đỏ nên ta có các trường hợp sau 7 bông được chọn gồm 3 bông vàng và 4 bông đỏ Số cách chọn trong trường hợp này là 1 cách 7 bông được chọn gồm 3 bông vàng, 3 bông đỏ và 1 bông trắng 3 Số cách chọn trong trường hợp này là 3.C4 12 cách Vậy có tất cả 13 cách chọn thỏa yêu cầu bài toán. Câu 38: Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người biết rằng nhóm đó có ít nhất 3 nữ. A. 3690 B. 3120 C. 3400 D. 3143 Hướng dẫn giải: Mỗi cách chọn có ít nhất 3 nữ có 3 khả năng xảy ra 3 5 KN1: 3 Nữ + 5 Nam có C5 C10 cách chọn 4 4 KN2: 4 Nữ + 4 Nam có C5 C10 cách chọn 5 3 KN3: 5 Nữ + 3Nam có C5 C10 cách chọn 3 5 4 4 5 3 Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu là C5 C10 C5 C10 C5 C10 3690 . Câu 39: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. A. 2037131 B. 3912363 C. 207900 D. 213930 Hướng dẫn giải: 4 1 Có C12.C3 cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất. Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất thì có 4 1 C8 .C2 cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai. 4 1 Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất và tỉnh thứ hai thì có C4 .C1 cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba. Vậy số cách phân công thỏa mãn yêu cầu bài 4 1 4 1 4 1 toán là: C12C3.C8 C2.C4 C1 207900 . Câu 40: Có 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 7 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 7 và 8 quả cầu vàng được đánh số từ 1 đến 8. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác màu và khác số. A. 392 B. 1023 C. 3014 D. 391 Hướng dẫn giải: Ta chọn các quả cầu theo trình tự sau Chọn quả xanh: 7 cách chọn Trang 30
  31. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Chọn quả cầu vàng: có 7 cách chọn Chọn quả cầu đỏ: có 8 cách chọn Vậy có tất cả 7.7.8 392 cách chọn. Câu 41: Có 7 bông hồng đỏ, 8 bông hồng vàng và 10 bông hồng trắng, mỗi bông hồng khác nhau từng đôi một. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 bông hồng có đủ ba màu. A. 560 B. 310 C. 3014 D. 319 Hướng dẫn giải: 3 Số cách lấy 3 bông hồng bất kì: C25 2300 3 3 3 Số cách lấy 3 bông hồng chỉ có một màu: C7 C8 C10 211 3 3 3 3 3 3 Số cách lấy 3 bông hồng có đúng hai màu:C15 C17 C18 2 C7 C8 C10 1529 . Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là: 2300 211 1529 560 . Câu 42: Có 7 nhà toán học nam, 4 nhà toán học nữ và 5 nhà vật lý nam.Có bao nhiêu cách lập đoàn công tác gồm 3 người có cả nam và nữ đồng thời có cả toán học và vật lý. A. 210 B. 314 C. 420 D. 213 Hướng dẫn giải: Ta có các khả năng sau Đoàn công tác gồm: 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lý và 1 nhà toán học nam 1 1 1 Số cách chọn: C7 .C4.C5 140 cách Đoàn công tác gồm: 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lý 1 2 Số cách chọn: C4.C5 40 cách Đoàn công tác gồm: 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lý 2 1 Số cách chọn: C4 .C5 30 cách Vậy số cách lập là: 210 cách. Câu 43: Có 15 học sinh lớp A, trong đó có Khánh và 10 học sinh lớp B, trong đó có Oanh. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội tình nguyện gồm 7 học sinh trong đó có 4 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và trong đó chỉ có một trong hai em Hùng và Oanh. 3 3 4 2 3 3 4 2 3 4 A. C14.C9 B. C14.C9 C. C14.C9 C14.C9 D. C9 C14 Hướng dẫn giải: Ta có các khả năng sau Đội tình nguyện chỉ có Khánh mà không có Oanh Số cách chọn chính bằng số cách chọn 3 học sinh từ 14 học sinh lớp A (vì đã chọn Khánh) và 3 học 3 3 sinh từ 9 (vì đã loại Oanh) học sinh lớp B nên số cách chọn bằng: C14.C9 Đội tình nguyện chỉ có Oanh mà không có Khánh 4 2 Số cách chọn bằng: C14.C9 3 3 4 2 Vậy số cách chọn là: C14.C9 C14.C9 Câu 44: Có m nam và n nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra k người trong đó có ít nhất a nam và ít nhất b nữ ( k m,n;a b k;a,b 1) k A. Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: Cm n 2(S1 S2 ) . k B. Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: 2Cm n (S1 S2 ) . k C. Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: 3Cm n 2(S1 S2 ) . k D. Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: Cm n (S1 S2 ) . Hướng dẫn giải: k Số cách chọn k người trong m n người là Cm n Trang 31
  32. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 a-1 a i 1 k a i 1 *Số cách chọn có ít hơn a nam là: S  Cm .Cn 1 i 0 b 1 b i 1 k b i 1 *Số cách chọn có ít hơn b nữ là: S2 Cn .Cm i 0 k Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: Cm n (S1 S2 ) . Trang 32
  33. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 DẠNG 3: ĐẾM TỔ HỢP LIẾN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC Câu 1: Cho hai đường thẳng song song d1,d2 . Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, trên d2 lấy 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 25 vừa nói trên. 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 A. C10C15 B. C10C15 C. C10C15 C10C15 D. C10C15.C10C15 Hướng dẫn giải: Số tam giác lập được thuộc vào một trong hai loại sau Loại 1: Gồm hai đỉnh thuộc vào d1 và một đỉnh thuộc vào d2 2 Số cách chọn bộ hai điểm trong 10 thuộc d1 : C10 1 Số cách chọn một điểm trong 15 điểm thuộc d2 : C15 2 1 Loại này có: C10.C15 tam giác. Loại 2: Gồm một đỉnh thuộc vào d1 và hai đỉnh thuộc vào d2 1 Số cách chọn một điểm trong 10 thuộc d1 : C10 2 Số cách chọn bộ hai điểm trong 15 điểm thuộc d2 : C15 1 2 Loại này có: C10.C15 tam giác. 2 1 1 2 Vậy có tất cả: C10C15 C10C15 tam giác thỏa yêu cầu bài toán. Câu 2: Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho ba điểm bất kì không thẳng hàng. Hỏi: Có bao nhiêu véc tơ khác véc tơ – không có điểm đầu và điểm cuối thuộc 2010 điểm đã cho. A. 4039137 B. 4038090 C. 4167114 D. 167541284 Hướng dẫn giải: Mỗi véc tơ thỏa yêu cầu bài toán ứng với một chỉnh hợp chập 2 của 2010, nên số véc tơ cần tìm là: 2 A2010 . Câu 3: Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó thuộc vào 2010 điểm đã cho. A. 141427544 B. 1284761260 C. 1351414120 D. 453358292 Hướng dẫn giải: Mỗi tam giác thỏa yêu cầu bài toán ứng với một tổ hợp chập 3 của 2010, nên số tam giác cần tìm là: 3 C2010 . Câu 4: Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là: A. 35 . B. 120. C. 240 . D. 720 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác. 3 Chọn 3 trong 10 đỉnh của đa giác, có C10 120 . Vậy có 120 tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác 10 cạnh. Câu 5: Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều 12 cạnh được vẽ thì số đường chéo là: A. 121. B. 66 . C. 132. D. 54 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Cứ 2 đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một đoạn thẳng (bao gồm cả cạnh đa giác và đường chéo). 2 Khi đó có C12 66 cạnh. Số đường chéo là: 66 12 54 . Câu 6: Nếu một đa giác đều có 44 đường chéo, thì số cạnh của đa giác là: Trang 33
  34. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 A. 11. B. 10. C. 9 . D. 8 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Cứ hai đỉnh của đa giác n n ¥ ,n 3 đỉnh tạo thành một đoạn thẳng (bao gồn cả cạnh đa giác và đường chéo). n! Khi đó số đường chéo là: C 2 n 44 n 44 n n 2 !.2! n 11 n n 1 2n 88 n 11 (vì n ¥ ). n 8 Câu 7: Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh? A. 5 . B. 6 . C. 7 . D. 8 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Đa giác có n cạnh n ¥ ,n 3 . 2 Số đường chéo trong đa giác là: Cn n . 2 n! n 7 Ta có: Cn n 2n 3n n n 1 6n n 7 . n 2 !.2! n 0 Câu 8: Mười hai đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm? A. 12. B. 66 . C. 132. D. 144. Hướng dẫn giải: Chọn B. Để được nhiều giao điểm nhất thì mười hai đường thẳng này phải đôi một cắt nhau tại các điểm phân biệt. 2 Như vậy có C12 66 . Câu 9: Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 có 10 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm phân biệt ( n 2 ). Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên. Tìm n? A. 20 B. 21 C. 30 D. 32 Hướng dẫn giải: Chọn A. Tam giác cần lập thuộc hai loại 1 2 Loại 1: Tam giác có một đỉnh thuộc d1 và hai đỉnh thuộc d2. Loại này có C10.Cn tam giác. 2 1 Loại 2: Tam giác có một đỉnh thuộc d2 và hai đỉnh thuộc d1. Loại này có C10.Cn tam giác. 1 2 2 1 Theo bài ra ta có: C10.Cn C10.Cn 2800 n(n 1) 10 45n 2800 n2 8n 560 0 n 20. 2 Câu 10: Cho đa giác đều A1 A2 A2n nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2 , , A2n gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A1, A2 , , A2n . Tìm n? A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2 , , A2n là: C2n . Ta thấy ứng với hai đường chéo đi qua tâm O của đa giác A1 A2 A2n cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 điểm trong 2n điểm A1, A2 , , A2n và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho tương Trang 34
  35. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 ứng hai đường chéo đi qua tâm O của đa giác. Mà số đường chéo đi qua tâm của đa giác là n nên số 2 hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm bằng Cn . 2n(2n 1)(2n 2) n(n 1) Theo giả thiết: C3 20C 2 20 n 8 . 2n n 3! 2 Câu 11:Trong mặt phẳng cho n điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất cả các đường thẳng nối hai điểm bất kì, không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc vuông góc. Qua mỗi diểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác định bởi 2 trong n 1 điểm còn lại. Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau là bao nhiêu? 2 2 3 2 2 3 A. 2Cn(n 1)(n 2) n(Cn 1 1) 5Cn B. Cn(n 1)(n 2) 2 n(Cn 1 1) 5Cn 2 2 2 2 3 2 2 3 C. 3Cn(n 1)(n 2) 2 n(Cn 1 1) 5Cn D. Cn(n 1)(n 2) n(Cn 1 1) 5Cn 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 2 Gọi n điểm đã cho là A1, A2 , , An . Xét một điểm cố định, khi đó có Cn 1 đường thẳng nên sẽ có Cn 1 đường thẳng vuông góc đi qua điểm cố định đó. n(n 1)(n 2) Do đó có nC 2 đường thẳng vuông góc nên có n 1 2 2 Cn(n 1)(n 2) giao điểm (tính cả những giao điểm trùng nhau). 2 Ta chia các điểm trùng nhau thành 3 loại 2 (n 1)(n 2) 2 * Qua một điểm có Cn 1 nên ta phải trừ đi n Cn 1 1 điểm 2 * Qua A1, A2 , A3 có 3 đường thẳng cùng vuông góc với A4 A5 và 3 đường thẳng này song song với 3 nhau, nên ta mất 3 giao điểm, do đó trong TH này ta phải loại đi 3Cn * Trong mỗi tam giác thì ba đường cao chỉ có một giao điểm, nên ta mất 2 điểm cho mỗi tam giác, do 3 đó trường hợp này ta phải trừ đi 2Cn Vậy số giao điểm nhiều nhất có được là: 2 2 3 Cn(n 1)(n 2) n(Cn 1 1) 5Cn . 2 Trang 35