›
›
›

Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 5 - Tiếp tuyến (Có đáp án)

docx 54 trang nhungbui22 12/08/2022 2480
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 5 - Tiếp tuyến (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxly_thuyet_va_bai_tap_dai_so_lop_11_chuong_5_tiep_tuyen_co_da.docx

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 5 - Tiếp tuyến (Có đáp án)

  1. TIẾP TUYẾN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 1. Tiếp tuyến tại điểm M x0 ; y0 thuộc đồ thị hàm số: Cho hàm số C : y f x và điểm M x0 ; y0 C . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M. - Tính đạo hàm f ' x . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là f ' x0 - phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y f ' x x x0 y0 2. Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước - Gọi là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k. - Giả sử M x0 ; y0 là tiếp điểm. Khi đó x0 thỏa mãn: f ' x0 k (*) . - Giải (*) tìm x0 . Suy ra y0 f x0 . - Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y k x x0 y0 3. Tiếp tuyến đi qua điểm Cho hàm số C : y f x và điểm A a;b . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua A. - Gọi là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Khi đó : y k x a b (*) f x k x a b 1 - Để là tiếp tuyến của (C) có nghiệm. f ' x k 2 - Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x. Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm. Chú ý: 1. Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm M x0 ; y0 thuộc (C) là: k f ' x0 2. Cho đường thẳng d : y kd x b 1 +) / / d k kd +)  d k .kd 1 k kd k kd +) ,d tan +) ,Ox k tan 1 k .kd 3. Cho hàm số bậc 3: y ax3 bx2 cx d, a 0 +) Khi a 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. +) Khi a 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất. B – BÀI TẬP DẠNG 1: TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ: Câu 1. Cho hàm số y f (x) , có đồ thị C và điểm M 0 x0 ; f (x0 ) (C) . Phương trình tiếp tuyến của C tại M 0 là: A. y f (x) x x0 y0 . B. y f (x0 ) x x0 . C. y y0 f (x0 ) x x0 . D. y y0 f (x0 )x . Hướng dẫn giải: Chọn C
  2. Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 1 2 x – 2 tại điểm có hoành độ x 2 là A. y –8x 4 . B. y 9x 18 . C. y –4x 4 . D. y 9x 18 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm. Ta có x0 2 y0 0 . y x 1 2 x – 2 x3 3x 2 y 3x2 3 y 2 9 . Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 9 x 2 0 y 9x 18. Câu 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y x 3 – x 2 tại điểm có hoành độ x 2 là A. y –3x 8 . B. y –3x 6 . C. y 3x – 8. D. y 3x – 6 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm. Ta có x0 2 y0 2 . y x 3 x 2 x3 6x2 9x y 3x2 12x 9 y 2 3. Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 3 x 2 2 y 3x 8 . Câu 4. Cho đường cong C : y x2 . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M –1;1 là A. y –2x 1. B. y 2x 1. C. y –2x –1. D. y 2x –1. Hướng dẫn giải: Chọn C. y x2 y 2x . y 1 2 . Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y 2 x 1 1 y 2x 1. x2 x Câu 5. Cho hàm số y . Phương trình tiếp tuyến tại A 1; –2 là x 2 A. y –4 x –1 – 2 . B. y –5 x –1 2 . C. y –5 x –1 – 2 . D. y –3 x –1 – 2 . Hướng dẫn giải: Chọn C. x2 x x2 4x 2 y y , y 1 5 . x 2 x 2 2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y 5 x 1 2 y 5x 3 . 1 Câu 6. Cho hàm số y x3 – 3x2 7x 2 . Phương trình tiếp tuyến tại A 0;2 là: 3 A. y 7x 2 . B. y 7x 2 . C. y 7x 2 . D. y 7x 2 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có : y x2 6x 7 Hệ số góc tiếp tuyến y 0 7
  3. Phương trình tiếp tuyến tại A 0;2 : y 7 x 0 2 7x 2 . Câu 7. Gọi P là đồ thị của hàm số y 2x2 x 3 . Phương trình tiếp tuyến với P tại điểm mà P cắt trục tung là: A. y x 3 . B. y x 3 . C. y 4x 1. D. y 11x 3 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có : P cắt trục tung tại điểm M 0;3 . y 4x 1 Hệ số góc tiếp tuyến : y 0 1 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị P tại M 0;3 là y 1 x 0 3 x 3. 3x 1 Câu 8. Đồ thị C của hàm số y cắt trục tung tại điểm A . Tiếp tuyến của C tại điểm A có x 1 phương trình là: A. y 4x 1. B. y 4x 1. C. y 5x 1. D. y 5x 1. Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có : điểm A 0; 1 4 y hệ số góc tiếp tuyến y 0 4 x 1 2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm A 0; 1 là : y 4 x 0 1 4x 1. 2x 4 Câu 9. Cho hàm số y có đồ thị là (H) . Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục x 3 hoành là: A. y 2x 4 . B. y 3x 1. C. y 2x 4 . D. y 2x . Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 Giao điểm của (H) với trục hoành là A(2;0) . Ta có: y ' y '(2) 2 (x 3)2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 2(x 2) hay y 2x 4 . 3 2 Câu 10. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x x 2x 3x tại điểm có hoành độ x0 1 là: A. y 10x 4. B. y 10x 5. C. y 2x 4. D. y 2x 5. Hướng dẫn giải: Chọn A. Tập xác định: D ¡ . Đạo hàm: y 3x2 4x 3. y 1 10; y 1 6 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d : y 10 x 1 6 10x 4.
  4. x 1 Câu 11. Gọi H là đồ thị hàm số y . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị H tại các giao điểm x của H với hai trục toạ độ là: y x 1 A. y x 1. B. . C. y x 1. D. y x 1. y x 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. Tập xác định: D ¡ \ 0. 1 Đạo hàm: y . x2 H cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là x 1 và không cắt trục tung. y 1 1 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d : y x 1. x 1 Câu 12. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H ) : y tại giao điểm của (H ) và trục hoành: x 2 1 A. y (x 1). B. y 3x. C. y x 3. D. y 3(x 1). 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Tập xác định: D ¡ \ 2. 3 Đạo hàm: y . x 2 2 1 (H ) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x 1 y 1 ; y 1 0 o 3 1 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d : y x 1 . 3 Câu 13. Gọi P là đồ thị hàm số y x2 x 3 . Phương trình tiếp tuyến với P tại giao điểm của P và trục tung là A. y x 3. B. y x 3. C. y x 3 . D. y 3x 1. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Tập xác định: D ¡ . Giao điểm của P và trục tung là M 0;3 . Đạo hàm: y 2x 1 hệ số góc của tiếp tuyến tại x 0 là 1. Phương trình tiếp tuyến tại M 0;3 là y x 3 . 4 Câu 14. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm có hoành độ x 1có phương trình là: x 1 0 A. y x 2. B. y x 2 . C. y x 1. D. y x 3 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Tập xác định: D ¡ \ 1.
  5. 4 Đạo hàm: y . x 1 2 Tiếp tuyến tại M 1; 2 có hệ số góc là k 1. Phương trình của tiếp tuyến là y x 3 Câu 15. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 2x2 1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là: A. y 8x 6, y 8x 6. B. y 8x 6, y 8x 6. C. y 8x 8, y 8x 8. D. y 40x 57. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Tập xác định: D ¡ . Đạo hàm: y 4x3 4x . 4 2 x 1 Tung độ tiếp điểm bằng 2 nên 2 x 2x 1 . x 1 Tại M 1;2 . Phương trình tiếp tuyến là y 8x 6 . Tại N 1;2 . Phương trình tiếp tuyến là y 8x 6 . x 2 Câu 16. Cho đồ thị (H ) : y và điểm A (H ) có tung độ y 4 . Hãy lập phương trình tiếp tuyến x 1 của (H ) tại điểm A . A. y x 2 . B. y 3x 11. C. y 3x 11. D. y 3x 10 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Tập xác định: D ¡ \ 1. 3 Đạo hàm: y . x 1 2 x 2 Tung độ của tiếp tuyến là y 4 nên 4 x 2 . x 1 Tại M 2;4 . Phương trình tiếp tuyến là y 3x 10 . x2 3x 1 Câu 17. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có 2x 1 phương trình là: A. y x 1. B. y x 1. C. y x . D. y x . Hướng dẫn giải: Chọn A. 2x2 2x 1 Ta có: y ' . 2x 1 2 Giao điểm M của đồ thị với trục tung : x0 0 y0 1 Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là : k y ' 0 1.
  6. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là : y k x x0 y0 y x 1. x2 x 1 Câu 18. Cho đường cong (C) : y và điểm A (C) có hoành độ x 3. Lập phương trình tiếp x 1 tuyến của (C) tại điểm A . 3 5 3 5 1 5 A. y x . B. y 3x 5. C. y x . D. y x . 4 4 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. x2 2x 7 Ta có: y ' . Tại điểm A (C) có hoành độ: x0 3 y0 x 1 2 2 3 Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k y ' 3 . 4 3 5 Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y k x x y y x . 0 0 4 4 1 1 Câu 19. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm A ;1 có phương trình là: 2x 2 A. 2x 2y 3. B. 2x 2y 1. C. 2x 2y 3. D. 2x 2y 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 Ta có: y ' . Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k y ' 1. 2x 2x 2 Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y k x x0 y0 2x 2y 3. 3 2 Câu 20. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x x 2x 2 tại điểm có hoành độ x0 2 có phương trình là: A. y 4x 8 . B. y 20x 22 . C. y 20x 22 . D. y 20x 16 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 Ta có: f ' x 3x 4x . Tại điểm A có hoành độ x0 2 y0 f x0 18 Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k f ' 2 20 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y k x x0 y0 y 20x 22 . 3 Câu 21. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) : y 3x 4x tại điểm có hoành độ x0 0 là: A. y 3x . B. y 0. C. y 3x 2 . D. y 12x . Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 Ta có: y ' 3 12x . Tại điểm A (C) có hoành độ: x0 0 y0 0 Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k y ' 0 3 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y k x x0 y0 y 3x . 1 Câu 22. Cho hàm số y x3 x2 2 có đồ thị hàm số C . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có 3 hoành độ là nghiệm của phương trình y" 0 là
  7. 7 7 7 7 A. y x B. y x C. y x D. y x 3 3 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có y x2 2x và y 2x 2 Theo giả thiết x0 là nghiệm của phương trình y (x0 ) 0 2x 2 0 x0 1 4 7 Phương trình tiếp tuyến tại điểm A 1; là: y x 3 3 2x 1 Câu 23. Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số y với trục tung. Phương trình tiếp tuyến với đồ x 2 thị hàm số trên tại điểm M là: 3 1 3 1 3 1 3 1 A. y x B. y x C. y x D. y x 2 2 4 2 4 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 Vì M là giao điểm của đồ thị với trục Oy M 0; 2 3 3 y k y (0) (x 2)2 4 3 1 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M là: y x 4 2 Câu 24. Cho hàm số y x3 3x2 3x 1 có đồ thị C . Phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm của C với trục tung là: A. y 3x 1 B. y 8x 1 C. y 8x 1 D. y 3x 1 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Giao điểm của C với trục tung là A(0;1) y (0) 3. x4 x2 Câu 25. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y 1 tại điểm có hoành độ x 1 là: 4 2 0 A. – 2 B. 0 C. 1 D. 2 Hướng dẫn giải: Ta có f ( 1) 2. Chọn đáp án A. 1 Câu 26. Cho hàm số y x3 2x2 3x 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là nghiệm 3 của phương trình y 0 có phương trình: 11 1 1 11 A. y x . B. y x . C. y x . D. y x . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D.
  8. y x2 4x 3 y 2x 4 0 x 2 . 5 Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm M 2; 3 5 11 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y y (2) x 2 y x . 3 3 3 Câu 27. Phương trình tiếp tuyến của C : y x tại điểm M 0 ( 1; 1) là: A. y 3x 2 . B. y 3x 2 . C. y 3x 3. D. y 3x 3. Hướng dẫn giải: Chọn B. + y 3x2 y ( 1) 3 + PTTT của (C) tại điểm M 0 ( 1; 1) là y 3(x 1) 1 y 3x 2 . Câu 28. Phương trình tiếp tuyến của C : y x3 tại điểm có hoành độ bằng 1 là: A. y 3x 2 . B. y 3x 2 . C. y 3x . D. y 3x 3. Hướng dẫn giải: Chọn B. + y 3x2 y (1) 3 . + x0 1 y0 y(1) 1. +PTTT của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 là: y 3(x 1) 1 y 3x 2. x2 11 Câu 29. Cho hàm số y f (x) , có đồ thị C . Phương trình tiếp tuyến của C tại M có hoành 8 2 độ x0 2 là: 1 1 1 1 A. y (x 2) 7 . B. y (x 2) 7 . C. y (x 2) 6 . D. y (x 2) 6 . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Đáp án C Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M x0 ; y0 có phương trình là: y y0 f x0 x x0 x 1 f (x) f ( 2) ; y 6 4 2 0 1 Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng y x 2 6 2 x2 x 1 Câu 30. Phương trình tiếp tuyến của đường cong f (x) tại điểm có hoành độ x 1 là: x 1 0 3 5 3 5 4 5 4 5 A. y x . B. y x . C. y x . D. y x . 4 4 4 4 3 4 3 4 Hướng dẫn giải: Chọn B Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M x0 ; y0 có phương trình là: y y0 f x0 x x0 x2 x 1 x2 2x 3 1 f (x) 2 , f 1 ; y 1 x 1 x 1 4 2
  9. 3 5 Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại x 1 có dạng y x . 0 4 4 Câu 31. Cho hàm số y f (x) x2 5x 4 , có đồ thị C . Tại các giao điểm của C với trục Ox , tiếp tuyến của C có phương trình: A. y 3x 3 và y 3x 12. B. y 3x 3 và y 3x 12 . C. y 3x 3 và y 3x 12. D. y 2x 3 và y 2x 12 . Hướng dẫn giải:. Đáp án A. Xét phương trình hoành độ giao điểm. 2 x 1 x 5x 4 0 x 4 f x 2x 5 TH1: x0 1; y0 0;f 1 3 PTTT có dạng : y 3x 3 TH2: x0 4; y0 0;f 4 3 PTTT có dạng : y 3x 12 Câu 32. Phương trình tiếp tuyến của đường cong y f x tan 3x tại điểm có hoành độ x0 4 6 là: A. y x 6 . B. y x 6 . C. y 6x 1. D. y x 6 . 6 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn C 3 f x ; 2 cos 3x 4 x ; y 1; f x 6 0 6 0 0 Phương trình tiếp tuyến: y 6x 1. 3 2 3 Câu 33. Cho hàm số y 2x 3x 1 có đồ thị C , tiếp tuyến với C nhận điểm M 0 ; y0 làm tiếp 2 điểm có phương trình là: 9 9 27 9 23 9x 31 A. y x . B. y x . C. y x . D. y . 2 2 4 2 4 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Tập xác định: D ¡ . 3 Ta có x y 1. 0 2 0 Đạo hàm của hàm số y 6x2 6x . 3 9 Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại M 0 ; y0 là k . 2 2
  10. 9 23 Phương trình của tiếp tuyến là y x 2 4 Câu 34. Cho hàm số y x3 3x2 6x 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hoành độ tiếp điểm bằng 1 A. y 3x 6 B. y 3x 7 C. y 3x 4 D. y 3x 5 Hướng dẫn giải: Chọn C. Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Ta có: y ' 3x2 6x 6 . Ta có: x0 1 y0 1, y '(1) 3 Phương trình tiếp tuyến là: y y '(x0 )(x x0 ) y0 3(x 1) 1 3x 4 Câu 35. Cho hàm số y x3 3x2 6x 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tung độ tiếp điểm bằng 9 y 18x 81 y x 81 y 18x 1 y x 81 A. y 9x B. y 9x C. y 9x D. y 9x y 18x 27 y 9x 2 y 9x 7 y 9x 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Ta có: y ' 3x2 6x 6 . 3 2 Ta có: y0 9 x0 3x0 6x0 8 0 x0 1, x0 2, x0 4 . x0 4 y '(x0 ) 18 . Phương trình tiếp tuyến là: y 18(x 4) 9 18x 81 x0 1 y '(x0 ) 9 . Phương trình tiếp tuyến là: y 9(x 1) 9 9x x0 2 y '(x0 ) 18. Phương trình tiếp tuyến là: y 18(x 2) 9 18x 27 . Câu 36. Cho hàm số y x3 3x 1(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hoành độ tiếp điểm bằng 0 A. y 3x 12 B. y 3x 11 C. y 3x 1 D. y 3x 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 Ta có: y ' 3x 3. Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Ta có: x0 0 y0 1, y '(x0 ) 3 Phương trình tiếp tuyến: y 3x 1. Câu 37. Cho hàm số y x3 3x 1(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung độ tiếp điểm bằng 3 A. y 9x 1 hay y 3 B. y 9x 4 hay y 3 C. y 9x 3 hay y 3 D. y 9x 13 hay y 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 Ta có: y ' 3x 3. Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm 3 Ta có: y0 3 x0 3x0 2 0 x0 2, x0 1
  11. x0 1 y '(x0 ) 0. Phương trình tiếp tuyến: y 3 x0 2 y '(x0 ) 9 . Phương trình tiếp tuyến: y 9(x 2) 3 9x 13. Câu 38. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y 2x4 4x2 1 biết tung độ tiếp điểm bằng 1 y 1 y 1 y 1 y 1 A. y 8 2x 5 B. y 8 2x 15 C. y 8 2x 1 D. y 8 2x 10 y 8 2x 5 y 8 2x 15 y 8 2x 1 y 8 2x 10 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: y ' 8x3 8x Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm. 4 2 Ta có: y0 1 2x0 4x0 0 x0 0, x0 2 x0 0 y '(x0 ) 0 . Phương trình tiếp tuyến là: y 1 x0 2 y '(x0 ) 8 2 . Phương trình tiếp tuyến y 8 2 x 2 1 8 2x 15 x0 2 y '(x0 ) 8 2 . Phương trình tiếp tuyến y 8 2 x 2 1 8 2x 15. Câu 39. Cho hàm số y x4 x2 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung độ tiếp điểm bằng 1 A. y 2 B. y 1 C. y 3 D. y 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. 3 Ta có: y ' 4x 2x . Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm 4 2 Ta có y0 1 x0 x0 0 x0 0, y '(x0 ) 0 Phương trình tiếp tuyến: y 1 2x 2 Câu 40. Cho hàm số y (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tung độ tiếp điểm bằng x 1 2 . y x 7 y x 7 y x 27 y x 27 A. B. C. D. y x 1 y x 21 y x 21 y x 1 4 2x0 2 : y 2 (x x0 ) . (x0 1) x0 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. 4 Hàm số xác định với mọi x 1. Ta có: y ' (x 1)2 Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): Vì tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 nên ta có
  12. 4 2 1 x0 3, x0 1 (x0 1) x0 2 y0 4 : y x 7 x0 1 y0 0 : y x 1 ax b Câu 41. Cho hàm số y , có đồ thị là C . Tìm a,b biết tiếp tuyến của đồ thị C tại giao điểm x 2 1 của C và trục Ox có phương trình là y x 2 2 A. a 1, b 1 B. a 1, b 2 C. a 1, b 3 D. a 1, b 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 Giao điểm của tiếp tuyến d : y x 2 với trục Ox là A 4;0 , hệ số góc của d : k và A 4;0 , 2 2 4a b (C) 0 4a b 0 . 2 2a b 2a b Ta có: y ' y 4 (x 2)2 4 1 1 2a b 1 Theo bài toán thì: k y '(4) 2a b 2 2 2 4 2 4a b 0 Giải hệ ta được a 1, b 4 2a b 2 Câu 42. Cho hàm số y x3 3x 1 có đồ thị là C .Giả sử d là tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x 2 , đồng thời d cắt đồ thị C tại N, tìm tọa độ N . A. N 1; 1 B. N 2;3 C. N 4; 51 D. N 3;19 Hướng dẫn giải: Chọn C. Tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị C có hoành độ x0 2 y0 3 2 Ta có y '(x) 3x 3 y '(x0 ) y '(2) 9 Phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị C là y y '(x0 )(x x0 ) y0 y 9(x 2) 3 y 9x 15 Xét phương trình x3 3x 1 9x 15 x3 12x 16 0 x 2 x2 2x 8 0 x 4 hoặc x 2 ( không thỏa ) Vậy N 4; 51 là điểm cần tìm Câu 43. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 6x2 11x 1 tại điểm có tung độ bằng 5. A. y 2x 1 ; y x 2 ; y 2x 1 B. y 2x 3 ; y x 7 ; y 2x 2 C. y 2x 1 ; y x 2 ; y 2x 2 D. y 2x 3 ; y x 7 ; y 2x 1 Hướng dẫn giải: Chọn D.
  13. Ta có: y 5 x3 6x2 11x 6 0 x 1; x 2; x 3 Phương trình các tiếp tuyến: y 2x 3 ; y x 7 ; y 2x 1 2x m 1 Câu 44. Cho hàm số y (Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x 2 tạo x 1 0 25 với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng . 2 23 23 23 23 m 2;m m 2;m m 2;m m 2;m 9 9 9 9 A. B. C. D. 28 28 28 28 m 7;m m 7;m m 7;m m 7;m 9 9 9 9 Hướng dẫn giải: Chọn A. m 3 Ta có: y ' (x 1)2 Ta có x0 2 y0 m 5, y '(x0 ) m 3. Phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 2 là: y ( m 3)(x 2) m 5 ( m 3)x 3m 11. 3m 11 Ox A A ;0 , với m 3 0 m 3 Oy B B 0;3m 11 1 1 (3m 11)2 Suy ra diện tích tam giác OAB là: S OA.OB 2 2 m 3 1 (3m 11)2 25 Theo giả thiết bài toán ta suy ra: 2 m 3 2 9m2 66m 121 25m 75 (3m 11)2 25 m 3 2 9m 66m 121 25m 75 23 2 m 2;m 9m 41m 46 0 9 . 9m2 91m 196 0 28 m 7;m 9 f (x) Câu 45. Giả sử tiếp tuyến của ba đồ thị y f (x), y g(x), y tại điểm của hoành độ x 0 bằng g(x) nhau. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. 1 1 1 1 A. f (0) B. f (0) C. f (0) D. f (0) 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. f '(0).g(0) g '(0) f (0) Theo giả thiết ta có: f '(0) g '(0) g 2 (0)
  14. f '(0) g '(0) 2 2 1 1 1 g(0) f (0) f (0) g(0) g (0) g(0) 1 2 4 2 4 g (0) Câu 46. Tìm trên (C) : y 2x3 3x2 1 những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8. A. M ( 1; 4) B. M ( 2; 27) C. M (1;0) D. M (2;5) Hướng dẫn giải: Chọn A. 3 2 2 Giả sử M (x0 ; y0 ) (C) y0 2x0 3x0 1. Ta có: y 3x 6x . 2 3 2 Phương trình tiếp tuyến tại M: y (6x0 6x0 )(x x0 ) 2x0 3x0 1. 3 2 đi qua P(0;8) 8 4x0 3x0 1 x0 1. Vậy M ( 1; 4) . x Câu 47. Phương trình tiếp tuyến của đường cong f (x) tại điểm M 1; 1 là: x 2 A. y 2x 1. B. y 2x 1. C. y 2x 1. D. y 2x 1. Hướng dẫn giải: Chọn C 2 f x x 2 2 Ta có x0 1; y0 1; f x0 2 Phương trình tiếp tuyến y 2x 1. Câu 48. Tiếp tuyến của parabol y 4 x2 tại điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông. Diện tích của tam giác vuông đó là: 25 5 5 25 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. + y 2x y (1) 2. +PTTT tại điểm có tọa độ (1;3) là: y 2(x 1) 3 y 2x 5 (d) . 5 + Ta có (d) giao Ox tại A ;0 , giao Oy tại B(0;5) khi đó (d) tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông 2 OAB vuông tại O . 1 1 5 25 Diện tích tam giác vuông OAB là: S OA.OB . .5 . 2 2 2 4 1 Câu 49. Trên đồ thị của hàm số y có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ x 1 tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là: 1 3 4 3 A. 2;1 . B. 4; . C. ; . D. ; 4 . 3 4 7 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 Ta có: y ' . Lấy điểm M x0 ; y0 C . x 1 2
  15. 1 1 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y . x x . 2 0 x 1 x0 1 0 Giao với trục hoành:  Ox=A 2x0 1;0 . 2x 1 Giao với trục tung:  Oy=B 0; 0 2 x0 1 2 1 2x0 1 3 3 SOAB OA.OB 4 x0 . Vậy M ; 4 . 2 x0 1 4 4 Câu 50. Cho hàm số y f (x) x2 5 , có đồ thị C . Phương trình tiếp tuyến của C tại M có tung độ y0 1 với hoành độ x0 0 là A. y 2 6 x 6 1. B. y 2 6 x 6 1. C. y 2 6 x 6 1. D. y 2 6 x 6 1. Hướng dẫn giải: Chọn A f x 2x Do x0 0 nên x0 6 ; f x0 2 6 . Phương trình tiếp tuyến: y 2 6 x 6 1. 4 2 Câu 51. Cho hàm số y x 8x m 1 (Cm ) . Giả sử rằng tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm có hoành độ x0 1 luôn cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt. Tìm tọa độ các giao điểm. A. A(1;m 6), B 1 3;m 18 3 B. A(1;m 6), B 1 7;m 18  7 C. A(1;m 6), B 1 2;m 18 2 D. A(1;m 6), B 1 6;m 18  6 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: y ' 4x3 16x Vì x0 1 y0 m 6, y '(x0 ) 12 . Phương trình tiếp tuyến d của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 1 là: y 12(x 1) m 6 12x m 6 . Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với d x4 8x2 m 1 12x m 6 x4 8x2 12x 5 0 (x 1)2 (x2 2x 5) 0 x 1, x 1 6 Vậy d và (Cm) luôn cắt nhau tại ba điểm phân biệt A(1;m 6), B 1 6;m 18  6 2x m 1 Câu 52. Cho hàm số y (Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x 0 đi x 1 0 qua A(4;3) 16 6 1 16 A. m B. m C. m D. m 5 5 5 15 Hướng dẫn giải: Chọn D.
  16. m 3 Ta có: y ' (x 1)2 Vì x0 0 y0 m 1, y '(x0 ) m 3 . Phương trình tiếp tuyến d của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 0 là: y ( m 3)x m 1 16 Tiếp tuyến đi qua A khi và chỉ khi: 3 ( m 3)4 m 1 m . 5 Câu 53. Cho hàm số y x4 2x2 3 . Tìm phương trình tiếp tuyến của hàm số có khoảng cách đến điểm 5 M 0; 3 bằng . 65 A. y 2x 1 B. y 3x 2 C. y 7x 6 D. Đáp án khác Hướng dẫn giải: Gọi A C A a;a4 2a2 3 Ta có: y ' 4x3 4x y ' a 4a3 4a Phương trình tiếp tuyến t : 4a3 4a x y 3a4 2a2 3 0 5 3a4 2a2 5 d M ; t hay hay 2 65 4a3 4a 1 65 5 a 1 a 1 117a6 193a4 85a2 5 0 Giải tìm a, sau đó thế vào phương trình (t) suy ra các phương trình tiếp tuyến cần tìm. x4 x2 Câu 54. Cho hàm số y 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết khoảng 4 2 9 cách từ điểm A(0;3) đến (d) bằng . 4 5 1 3 3 3 A. y 2x , y 2x B. y 2x , y 2x 4 4 4 14 3 3 3 3 C. y 2x , y 2x D. y 2x , y 2x 4 4 14 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y y '(x0 )(x x0 y(x0 ) (trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C)). x4 x2 3 1 Phương trình (d): y (x3 x )(x x ) 0 0 2 (x3 x )x x4 x2 2 0 0 0 4 2 0 0 4 0 2 0 3 1 (x3 x )x y x4 x2 2 0. 0 0 4 0 2 0 3 1 x4 x2 1 9 4 0 2 0 9 d(A;(d)) 4 5 3 2 4 5 (x0 x0 ) 1 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 3x0 2x0 4 5 9 x0 (x0 1) 1 5(3x0 2x0 4) 81[x0 (x0 1) 1]
  17. 2 2 2 2 Đặt t x0 , t 0. Phương trình (1) trở thành:5(3t 2t 4) 81[t(t 1) 1] 5(9t 4 4t 2 16 12t3 24t 2 16t) 81t3 162t 2 81t 81 45t 4 21t3 22t 2 t 1 0 (t 1)(45t3 24t 2 2t 1) 0 t 1 (do t 0 nên 45t3 24t 2 2t 1 0) 2 Với t 1,ta có x0 1 x0 1. 3 3 Suy ra phương trình tiếp tuyến (d): y 2x , y 2x 4 4 Câu 55. Cho hàm số y ax4 bx2 c (a 0) , có đồ thị là C . Tìm a,b,c biết C có ba điểm cực trị, điểm cực tiểu của C có tọa độ là 0;3 và tiếp tuyến d của C tại giao điểm của C với trục Ox có phương trình là y 8 3x 24 . A. a 1, b 2, c 3 B. a 1, b 21, c 3 C. a 1, b 21, c 13 D. a 12, b 22, c 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. a 0,b 0 C có ba điểm cực trị, điểm cực tiểu của C có tọa độ là 0;3 c 3 Giao điểm của tiếp tuyến d và trục Ox là B 3;0 và hệ số góc của d là 8 3 9a 3b c 0 B (C) 9a 3b c 0 3 . y ' 3 8 3 4a 3 2b 3 8 3 6a b 4 c 3 Giải hệ 9a 3b c 0 ta được a 1, b 2, c 3 y x4 2x2 3 6a b 4 2x 2 Câu 56. Cho hàm số: y có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp x 1 tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân. A. y x 1, y x 6 . B. y x 2 y x 7 . C. y x 1, y x 5 . D. y x 1, y x 7 . Hướng dẫn giải: Chọn D. 4 Hàm số đã cho xác định với x 1. Ta có: y ' x 1 2 Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của C : 4 2x 2 4 2x 2 y x x 0 với y ' x và y 0 2 0 x 1 0 2 0 x 1 x0 1 0 x0 1 0 Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1. Mặt khác: y ' x0 0 , nên có: y ' x0 1 4 Tức 2 1 x0 1 hoặc x0 3. x0 1
  18. Với x0 1 y0 0 : y x 1 Với x0 3 y0 4 : y x 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y x 1, y x 7 . 2x 2 Câu 57. Cho hàm số: y có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp x 1 tuyến tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy bằng 2 . 4 1 4 2 A. y x , y 4x 14. B. y x , y 4x 1. 9 9 9 9 4 1 4 2 C. y x , y 4x 1. D. y x , y 4x 14. 9 9 9 9 Hướng dẫn giải: Chọn D. 4 Hàm số đã cho xác định với x 1. Ta có: y ' x 1 2 Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của C : 4 2x 2 4 2x 2 y x x 0 với y ' x và y 0 2 0 x 1 0 2 0 x 1 x0 1 0 x0 1 0 2 Khoảng cách từ M x0 ; y0 đến trục Oy bằng 2 suy ra x0 2 , hay M 2; , M 2;6 . 3 2 4 2 Phương trình tiếp tuyến tại M 2; là: y x 3 9 9 Phương trình tiếp tuyến tại M 2;6 là: y 4x 14 4 2 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y x , y 4x 14. 9 9 x2 2mx 2m2 1 Câu 58. Tìm m để đồ thị hàm số y cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp x 1 tuyến với Cm tại hai điểm này vuông góc với nhau. 2 2 A. m B. m 1 C. m , m 1 D. m 0 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Hàm số đã cho xác định trên ¡ \ 1 . Xét phương trình hoành độ giao điểm của Cm và trục hoành: x2 2mx 2m2 1 0 x2 2mx 2m2 1 0, x 1 1 x 1 Để Cm cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình 1 phải có hai nghiệm phân biệt ' m2 2m2 1 0 1 m 1 m 0 1 m 1 khác 1. Tức là ta phải có: hay tức 2 . 2 1 2m 2m 1 0 2m m 1 0 m 0 2 Gọi x1; x2 là hai nghiệm của 1 . Theo định lý Vi – ét, ta có: x1 x2 2m, x1.x2 2m 1
  19. Giả sử I x0 ;0 là giao điểm của Cm và trục hoành. Tiếp tuyến của Cm tại điểm I có hệ số góc 2 2 2x0 2m x0 1 x0 2mx0 2m 1 2x 2m y ' x 0 0 2 x 1 x0 1 0 2x1 2m 2x2 2m Như vậy, tiếp tuyến tại A, B lần lượt có hệ số góc là y ' x1 , y ' x2 . x1 1 x2 1 2x1 2m 2x2 2m Tiếp tuyến tại A, B vuông góc nhau khi và chỉ khi y ' x1 y ' x2 1 hay 1 x1 1 x2 1 2 5x .x 4m 1 x x 4m2 1 0 tức 3m2 m 2 0 m 1 hoặc m . Đối chiếu điều 1 2 1 2 3 2 kiện chỉ có m thỏa mãn. 3
  20. DẠNG 2: TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC K CHO TRƯỚC 2 3x Câu 1. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục x 1 hoành bằng : 1 1 A. 9 . B. . C. 9. D. . 9 9 Hướng dẫn giải: Chọn A. Tập xác định: D ¡ \ 1. 1 Đạo hàm: y . x 1 2 2 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A ; 0 . 3 2 Hệ số góc của tiếp tuyến là y 9. 3 x3 Câu 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 3x2 2 có hệ số góc k 9, có phương trình là : 3 A. y 16 9(x 3). B. y 9(x 3). C. y 16 9(x 3). D. y 16 9(x 3). Hướng dẫn giải: Chọn A. Tập xác định: D ¡ . Đạo hàm: y x2 6x. 2 2 k 9 y xo 9 xo 6xo 9 xo 3 0 xo 3 yo 16 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d : y 9 x 3 16 y 16 9 x 3 . x 1 Câu 3. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại giao điểm với trục tung bằng : x 1 A. 2. B. 2. C. 1. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn B. Tập xác định: D ¡ \ 1. 2 Đạo hàm: y . x 1 2 Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có xo 0 yo 2. Câu 4. Cho hàm số y x3 3x2 có đồ thị C . Có bao nhiêu tiếp tuyến của C song song đường thẳng y 9x 10? A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải: Chọn C. Tập xác định: D ¡ . Đạo hàm: y 3x2 6x.
  21. 2 2 xo 3 k 9 3xo 6xo 9 0 xo 2xo 3 0 . xo 1 Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 5. Gọi C là đồ thị của hàm số y x4 x . Tiếp tuyến của C vuông góc với đường thẳng d : x 5y 0 có phương trình là: A. y 5x 3.B. y 3x 5. C. y 2x 3 . D. y x 4 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có : y 4x3 1 1 Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x nên tiếp tuyến có hệ số góc y x 4x3 1 5 5 0 0 x0 1 y0 2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M 1;2 có dạng y 5 x 1 2 5x 3. x2 3x 2 Câu 6. Gọi C là đồ thị hàm số y . Tìm tọa độ các điểm trên C mà tiếp tuyến tại đó với x 1 C vuông góc với đường thẳng có phương trình y x 4 . A. (1 3;5 3 3),(1 3;5 3 3). B. 2; 12 . C. 0; 0 . D. 2; 0 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Tập xác định: D ¡ \ 1. 2 2x 3 x 1 x 3x 2 x2 2x 5 Đạo hàm: y . x 1 2 x 1 2 Giả sử xo là hoành độ điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán y xo 1 2 xo 2xo 5 2 2 2 1 xo 2xo 5 xo 1 xo 1 2 2 2xo 4xo 4 0 xo 2xo 2 0 xo 1 3 y 5 3 3. Câu 7. Biết tiếp tuyến d của hàm số y x3 2x 2 vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. Phương trình d là: 1 18 5 3 1 18 5 3 A. y x , y x . 3 9 3 9 B. y x, y x 4. 1 18 5 3 1 18 5 3 C. y x , y x . 3 9 3 9 D. y x 2, y x 4. Hướng dẫn giải:
  22. Tập xác định: D ¡ . Chọn C. y 3x2 2. Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình : x y. d có hệ số góc là 1. 1 y x 1 3x2 2 1 x . o o o 3 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1 18 5 3 1 18 5 3 d : y x , y x . 3 9 3 9 Câu 8. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y tan x tại điểm có hoành độ x . 4 1 2 A. k 1. B. k . C. k . D. 2 . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 y tan x y . cos2 x Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y tan x tại điểm có hoành độ x là k y 2. 4 4 1 x Câu 9. Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong y f x sin tại điểm có hoành độ x là: 2 3 0 3 3 1 1 A. . B. . C. . D. . 12 12 12 12 Hướng dẫn giải: Chọn C 1 x 1 1 f x cos f cos 6 3 6 3 12 Câu 10. Cho hàm số y x3 – 6x2 7x 5 C . Tìm trên C những điểm có hệ số góc tiếp tuyến tại điểm đó bằng 2 ? A. –1; –9 ; 3; –1 . B. 1;7 ; 3; –1 . C. 1;7 ; –3; –97 . D. 1;7 ; –1; –9 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm. Ta có y 3x 12x 7 . 2 Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2 y x0 2 3x0 12x0 7 2 2 x0 1 y0 7 3x0 12x0 9 0 . x0 3 y0 1 x2 3x 3 Câu 11. Cho hàm số y , tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng. x 2 d :3y – x 6 0 là A. y –3x – 3; y –3x –11. B. y –3x – 3; y –3x 11.
  23. C. y –3x 3; y –3x –11. D. y –3x – 3; y 3x –11. Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 1 d :3y – x 6 0 y x 2 k . 3 d 3 x2 4x 3 Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm. Ta có y . x 2 2 1 Tiếp tuyến vuông góc với d ktt .kd 1 ktt 3 y x0 3 kd 3 2 x0 x0 4x0 3 2 2 3 4x0 16x0 15 0 . x 2 2 5 0 x 0 2 3 3 3 3 Với x0 y0 pttt: y 3 x y 3x 3 . 2 2 2 2 5 7 5 7 Với x0 y0 pttt: y 3 x y 3x 11. 2 2 2 2 5 Câu 12. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 2m –1 x4 – m tại điểm có hoành độ x –1 4 vuông góc với đường thẳng d : 2x – y – 3 0 . 3 1 7 9 A. . B. . C. . D. . 4 4 16 16 Hướng dẫn giải: Chọn D. d : 2x – y – 3 0 y 2x 3 kd 2 . 5 y 2m –1 x4 – m y 4 2m 1 x3 . 4 5 Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y 2m –1 x4 – m tại điểm có hoành độ x –1 là 4 3 ktt y 1 4 2m 1 1 4 2m 1 . 9 Ta có k .k 1 8 2m 1 1 m tt d 16 ax b Câu 13. Cho hàm số y có đồ thị cắt trục tung tại A 0; –1 , tiếp tuyến tại A có hệ số góc k 3. x 1 Các giá trị của a , b là A. a 1, b 1. B. a 2 , b 1. C. a 1, b 2 . D. a 2 , b 2 . Hướng dẫn giải: Chọn B. ax b b A 0; –1 C : y 1 b 1. x 1 1
  24. a b Ta có y . Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A là k y 0 a b 3 x 1 2 a 3 b 2 . Câu 14. Điểm M trên đồ thị hàm số y x3 – 3x2 –1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M , k là A. M 1; –3 , k –3. B. M 1;3 , k –3. C. M 1; –3 , k 3. D. M 1; –3 , k –3. Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 Gọi M x0 ; y0 . Ta có y 3x 6x . 2 2 Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại M là k y x0 3x0 6x0 3 x0 1 3 3 Vậy k bé nhất bằng 3 khi x0 1, y0 3. Câu 15. Cho hàm số y x3 3x2 6x 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến 1 vuông góc với đường thẳng y x 1 18 A. : y 18x 8 và y 18x 27 . B. : y 18x 8 và y 18x 2 . C. : y 18x 81 và y 18x 2 . D. : y 18x 81 và y 18x 27 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Ta có: y ' 3x2 6x 6 . 1 Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x 1 nên 18 2 Ta có: y '(x0 ) 15 x0 2x0 8 0 x0 4, x0 2 Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y 18x 81 và y 18x 27 . Câu 16. Cho hàm số y x3 3x 1(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 A. y 9x 1 hay y 9x 17 B. y 9x 1 hay y 9x 1 C. y 9x 13 hay y 9x 1 D. y 9x 13 hay y 9x 17 Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 Ta có: y ' 3x 3. Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm 2 Ta có: y '(x0 ) 9 3x0 3 9 x0 2 x0 2 y0 3 . Phương trình tiếp tuyến: y 9(x 2) 3 9x 13. x0 2 y0 1. Phương trình tiếp tuyến: y 9(x 2) 1 9x 17 . Câu 17. Cho hàm số y x3 3x 1(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với trục Oy. A. y 2, y 1 B. y 3, y 1 C. y 3, y 2 D. x 3, x 1 Hướng dẫn giải: Chọn B.
  25. 2 Ta có: y ' 3x 3. Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Vì tiếp tuyến vuông góc với Oy nên ta có: y '(x0 ) 0 Hay x0 1. Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y 3, y 1. Câu 18. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y 2x4 4x2 1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 48x 1. A. y 48x 9 B. y 48x 7 C. y 48x 10 D. y 48x 79 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: y ' 8x3 8x Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y 48x 1 3 Nên ta có: y '(x0 ) 48 x0 x0 6 0 x0 2 Suy ra y0 17 . Phương trình tiếp tuyến là: y 48(x 2) 17 48x 79 . Câu 19. Cho hàm số y x4 x2 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thng y 6x 1 A. y 6x 2 B. y 6x 7 C. y 6x 8 D. y 6x 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. 3 Ta có: y ' 4x 2x . Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y 6x 1 nên ta có: 3 y '(x0 ) 6 4x0 2x0 6 x0 1 y0 3 Phương trình tiếp tuyến: y 6x 3 . 2x 2 Câu 20. Cho hàm số y (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với x 1 đường thẳng d : y 4x 1. y 4x 2 y 4x 21 y 4x 2 y 4x 12 A. B. C. D. y 4x 14 y 4x 14 y 4x 1 y 4x 14 Hướng dẫn giải: Chọn A. 4 Hàm số xác định với mọi x 1. Ta có: y ' (x 1)2 Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): Vì tiếp tuyến song với đường thẳng d : y 4x 1 nên ta có: 4 y '(x0 ) 4 2 4 x0 0, x0 2 . (x0 1) x0 0 y0 2 : y 4x 2 x0 2 y0 6 : y 4x 14 . 2x 2 Câu 21. Cho hàm số y (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết biết tiếp tuyến tạo với hai x 1 trục tọa độ một tam giác vuông cân.
  26. y x 11 y x 11 y x 1 y x 1 A. B. C. D. y x 7 y x 17 y x 17 y x 7 Hướng dẫn giải: Chọn A. 4 Hàm số xác định với mọi x 1. Ta có: y ' (x 1)2 Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vuông góc với một trong hai đường phân giác y x , do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 hay y '(x0 ) 1. Mà y ' 0, x 1 nên ta có 4 y '(x0 ) 1 2 1 x0 1, x0 3 (x0 1) x0 1 y0 0 : y x 1 x0 3 y0 4 : y x 7 . 2x 1 Câu 22. Cho hàm số y (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với x 1 1 đường thẳng y x 2 3 A. y 3x 11 hay y 3x 11 B. y 3x 11 hay y 3x 1 C. y 3x 1 hay y 3x 1 D. y 3x 1 hay y 3x 11 Hướng dẫn giải: Chọn D. 3 1 Ta có y ' . Gọi M x ; y là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x 2 (x 1)2 0 0 3 nên ta có 3 y '(x0 ) 3 2 3 x0 0, x0 2 (x0 1) x0 0 y0 1, phương trình tiếp tuyến là: y 3x 1 x0 2 y0 5 , phương trình tiếp tuyến là: y 3(x 2) 5 3x 11. Câu 23. Cho hàm số y x3 2x2 8x 5 có đồ thị là C . Khẳng định nào sau đây đúng nhất ? A. Không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau B. Luôn có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau C. Hàm số đi qua điểm M 1;17 D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có y '(x) 3x2 4x 8 Giả sử trái lại có hai tiếp tuyến với đồ thị C vuông góc với nhau. Gọi x1, x2 tương ứng là các hoành độ của hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó.
  27. Gọi k1,k2 lần lượt là các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại các điểm trên C có hoành độ x1, x2 . ' ' 2 2 Khi đó k1,k2 1 y x1 .y x2 1 3x1 4x1 8 3x2 4x2 8 1 1 Tam thức f t 3t 2 4t 8 có ' 0 nên f t 0t R từ đó và từ 1 suy ra mâu thuẫn. Vậy, giả thiết phản chứng là sai, suy ra (đpcm) x2 3x 1 Câu 24. Cho hàm số y và xét các phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k 2 của đồ thị hàm x 2 số là A. y 2x –1; y 2x – 3. B. y 2x – 5; y 2x – 3 . C. y 2x –1; y 2x – 5. D. y 2x –1; y 2x 5. Hướng dẫn giải: Chọn A. x2 4x 5 Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm. Ta có y . x 2 2 x2 4x 5 x 1 Hệ số góc của tiếp tuyến k 2 y x 2 0 0 2 x2 4x 3 0 0 . 0 2 0 0 x 3 x0 2 0 Với x0 1 y0 1 pttt: y 2 x 1 1 y 2x 1. Với x0 3 y0 1 pttt: y 2 x 3 1 y 2x 5 . Vậy hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 2x –1, y 2x – 5 . Câu 25. Cho hàm số y x2 6x 5 có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó là: A. x 3. B. y 4. C. y 4. D. x 3. Hướng dẫn giải: Chọn B. Tập xác định: D ¡ . Đạo hàm: y 2x 6. Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên ta có: y xo 0 2xo 6 0 xo 3 yo 4 d : y 4. Câu 26. Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y x3 3x2 2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng A. 3 . B. 3 . C. 4 . D. 0 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Tập xác định: D ¡ . Đạo hàm: y 3x2 6x 3 x 1 2 3 3 . Vậy trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số đã cho, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng 3 . 4 Câu 27. Cho hàm số y 2 có đồ thị H . Đường thẳng vuông góc với đường thẳng d : y x 2 x và tiếp xúc với H thì phương trình của là y x 2 y x 2 A. y x 4. B. . C. . D. Không tồn tại. y x 4 y x 6 Hướng dẫn giải:
  28. Chọn đáp án C. Tập xác định: D ¡ \ 0. 4 Đạo hàm: y x2 Đường thẳng vuông góc với đường thẳng d : y x 2 nên có hệ số góc bằng 1. Ta có phương trình 4 x 2 1 2 . x x 2 Tại M 2;0 . Phương trình tiếp tuyến là y x 2 . Tại N 2;4 . Phương trình tiếp tuyến là y x 6 . Câu 28. Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) : y x3 3x2 8x 1, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng : y x 2017 ? A. y x 2018. B. y x 4 . C. y x 4 ; y x 28. D. y x 2018 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Tập xác định: D ¡ . Đạo hàm: y 3x2 6x 8 . Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng : y x 2017 nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1. 2 x 1 Ta có phương trình 1 3x 6x 8 . x 3 Tại M 1; 3 . Phương trình tiếp tuyến là y x 4 . Tại N 3;25 . Phương trình tiếp tuyến là y x 28. Câu 29. Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến song song với trục hoành của đồ thị hàm số y x3 3x 2 là A. x 1và x 1. B. x 3và x 3. C. x 1và x 0 . D. x 2 và x 1. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Tập xác định: D ¡ . Đạo hàm: y 3x2 3 . 2 x 1 Tiếp tuyến song song với trục hoành có hệ số góc bằng 0 nên có phương trình 0 3x 3 x 1 Câu 30. Cho hàm số y x3 3x2 2 có đồ thị C . Số tiếp tuyến của C song song với đường thẳng y 9x là: A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 2 . Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 Ta có: y ' 3x 6x . Lấy điểm M x0 ; y0 C . y ' x 9 Tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng y 9x suy ra 0 2 x0 1 3x0 6x0 9 0 . x0 3 Với x0 1 y0 2 ta có phương trình tiếp tuyến: y 9x 7.
  29. Với x0 3 y0 2 ta có phương trình tiếp tuyến: y 9x 25. Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn. 1 Câu 31. Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số C : y song song với trục hoành x2 1 bằng: A. 1. B. 0 . C. 1. D. 2 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 2x Ta có: y ' 2 . Lấy điểm M x0 ; y0 C . x2 1 2x0 Tiếp tuyến tại điểm M song song với trục hoành nên y ' x0 0 0 x0 0 . 2 2 x0 1 x 8 Câu 32. Tiếp tuyến của hàm số y tại điểm có hoành độ x 3 có hệ số góc bằng x 2 0 A. 3 B. 7 C. 10 D. 3 Hướng dẫn giải: 10 10 Ta có: y k y (x ) y (3) 10 (x 2)2 0 (3 2)2 x3 Câu 33. Gọi C là đồ thị hàm số y 2x2 x 2 . Có hai tiếp tuyến của C cùng song song với 3 đường thẳng y 2x 5 . Hai tiếp tuyến đó là 4 A. y 2x 4 và y 2x 2 B. y 2x và y 2x 2 3 2 C. y 2x và y 2x 2 C. y 2x 3 và y 2x 1 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có y x2 4x 1 Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y 2x 5 k y 2 4 x 1 y y(1) Suy ra x2 4x 1 2 x2 4x 3 0 0 0 3 0 0 0 0 x0 3 y0 y(3) 4 2 Vậy d : y 2x và d : y 2x 2 1 3 2 x 1 Câu 34. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm A 1;0 có hệ số góc bằng x 5 1 6 1 6 A. B. C. D. 6 25 6 25 Hướng dẫn giải:
  30. Chọn C. 6 1 Ta có y . Theo giả thiết: k y ( 1) (x 5)2 6 Câu 35. Cho hàm số y x2 4x 3 có đồ thị P . Nếu tiếp tuyến tại điểm M của P có hệ số góc bằng 8 thì hoành độ điểm M là: A. 12 B. 6 C. 1 D. 5 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có y 2x 4 Gọi tiếp điểm M (x0 ; y0 ) . Vì tiếp tuyến tại điểm M của P có hệ số góc bằng 8 nên y (x0 ) 8 2x0 4 8 x0 6 Câu 36. Cho hàm số y x3 3x2 3 có đồ thị C . Số tiếp tuyến của C vuông 1 góc với đường thẳng y x 2017 là: 9 A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. 1 Tiếp tuyến của C vuông góc với đường thẳng y x 2017 có dạng : y 9x c. 9 x3 3x2 3 9x c x3 3x2 3 9x c là tiếp tuyến của C có nghiệm . 2 x 1 3x 6x 9 x 3 Vậy có hai giá trị c thỏa mãn. Câu 37. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số f (x) x3 x 2 tại điểm M ( 2; 8) là: A. 11. B. 12 C. 11. D. 6. Hướng dẫn giải: Ta có f ( 2) 11 Chọn đáp án C. x2 2x 1 Câu 38. Cho hàm số f (x) có đồ thị H . Tìm tất cả tọa độ tiếp điểm của đường thẳng x 2 song song với đường thẳng d : y 2x 1 và tiếp xúc với H . 1 A. M 0; B. M 2; 3 2 C. M1 2; 3 và M 2 1; 2 D. Không tồn tại Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Đường thẳng song song với đường thẳng d : y 2x 1 có dạng : y 2x c (c -1).
  31. x2 2x 1 là tiếp tuyến của H 2x c có nghiệm kép x2 (c 2)x 1 2c 0 có nghiệm kép x 2 c2 4c 0 c 0 x 2 4 2(c 2) 1 2c 0 c 4 Vậy có hai giá trị c thỏa mãn nên có hai tiếp tuyến tương ứng với hai tiếp điểm. 1 Câu 39. Cho hàm số y x3 2x2 3x 1 có đồ thị C . Trong các tiếp tuyến với C , tiếp tuyến có 3 hệ số góc lớn nhất bằng bao nhiêu? A. k 3 B. k 2 C. k 1 D. k 0 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Xét tiếp tuyến với C tại điểm có hoành độ x bất kì trên C . Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến đó là 0 2 2 y (x0 ) x0 4x0 3 1 (x0 2) 1x. Câu 40. Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y sin x 1 tại điểm có hoành độ là 3 1 3 1 3 A. k . B. k . C. k . D. k . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 y cos x , k y cos . 3 3 2 x 1 Câu 41. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y song song với đường thẳng : 2x y 1 0 x 1 là A. 2x y 7 0 . B. 2x y 0 . C. 2x y 1 0 . D. 2x y 7 0 . Hướng dẫn giải: Chọn A. +Gọi M (x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm x0 1 . 2 + y (x 1)2 +Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng : y 2x 1 suy ra 2 x 2 0 y (x0 ) 2 2 . (x0 1) x0 0 + với x0 2 y0 3 , PTTT tại điểm (2;3) là y 2 x 2 3 2x y 7 0 + với x0 0 y0 1, PTTT tại điểm (0; 1) là y 2x 1 2x y 1 0 . x Câu 42. Phương trình tiếp tuyến của C : y x3 biết nó vuông góc với đường thẳng : y 8 là: 27 1 1 A. y x 8 . B. y 27x 3. C. y x 3 . D. y 27x 54 . 27 27 Hướng dẫn giải: Chọn D. y 3x2 .
  32. +Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm. 1 + Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : y x 8 suy ra 27 2 x0 3 y (x0 ) 27 3x0 27 . x0 3 +Với x0 3 y0 27 . PTTT là: y 27 x 3 27 y 27x 54 + Với x0 3 y0 27 . PTTT là: y 27 x 3 27 y 27x 54 . Câu 43. Cho hàm số y 3x2 2x 5, có đồ thị C . Tiếp tuyến của C vuông góc với đường thẳng x 4y 1 0 là đường thẳng có phương trình: A. y 4x 1. B. y 4x 2 . C. y 4x 4 . D. y 4x 2 . Hướng dẫn giải: Đáp án C. Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M x0 ; y0 có phương trình là: y y0 f x0 x x0 1 1 d : x 4y 1 0 y x 4 4 y 6x 2 1 Tiếp tuyến vuông góc với d nên y x0 . 1 y x0 4 6x0 2 4 x0 1, 4 y 1 6 . Phương trình tiếp tuyến có dạng : y 4x 2 x Câu 44. Cho đường cong y cos và điểm M thuộc đường cong. Điểm M nào sau đây có tiếp 3 2 1 tuyến tại điểm đó song song với đường thẳng y x 5? 2 5 5 5 5 A. M ;1 . B. M ; 1 . C. M ;1 . D. M ; 0 . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải:. Chọn đáp án C Hai đường thẳng song song nếu hệ số góc bằng nhau. 1 xM Tiếp tuyến của đường cong có hệ số góc : y xM sin 2 3 2 1 Hệ số góc của đường thẳng k 2 1 xM 1 xM xM 5 Ta có sin sin 1 k2 xM k4 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 Câu 45. Tìm hệ số góc của cát tuyến MN của đường cong C : y x2 x 1, biết hoành độ M , N theo thứ tự là 1 và 2. 7 A. 3 . B. . C. 2 . D. 1. 2 Hướng dẫn giải:. Đáp án C. M 1;1 , N 2; 3 Phương trình đường thẳng MN là : y 2x 1. Vậy hệ số góc của cát tuyến là 2
  33. Câu 46. Cho hàm số y x2 2x 3 , có đồ thị C . Tiếp tuyến của C song song với đường thẳng y 2x 2018 là đường thẳng có phương trình: A. y 2x 1. B. y 2x 1. C. y 2x 4 . D. y 2x 4 . Hướng dẫn giải:. Đáp án B. d : y 2x 2018 Tiếp tuyến của C song song với d y x0 2 2x0 2 2 x0 2 ; y0 3 Vậy PTTT có dạng : y 2x 1. Câu 47. Phương trình tiếp tuyến của C : y x3 biết nó có hệ số góc k 12 là: A. y 12x 24. B. y 12x 16 . C. y 12x 4. D. y 12x 8 . Hướng dẫn giải:. Đáp án B. 2 2 x0 2 y0 8 y 3x . Ta có y x0 12 3x0 12 x0 2 y0 8 PPTT có dạng y 12x 16 1 Câu 48. Phương trình tiếp tuyến của C : y x3 biết nó song song với đường thẳng d : y x 10 là 3 1 2 1 1 1 1 1 A. y x . B. y x . C. y x . D. y x 27 . 3 27 3 3 3 27 3 Hướng dẫn giải:. Đáp án A 1 1 x0 y0 2 1 2 1 3 27 y 3x . Ta có y x 3x 0 3 0 3 1 1 x y 0 3 0 27 1 2 PPTT có dạng y x 3 27 Câu 49. Tìm hệ số góc của cát tuyến MN của đường cong C : y f x x3 x , biết hoành độ M , N theo thứ tự là 0 và 3 . 1 5 A. 4 . B. . C. . D. 8. 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi k là hệ số góc của cát tuyến MN với đường cong C . 3 3 y f x f x 0 0 3 3 Ta có k M N 8 x xM xN 0 3 1 1 4 Câu 50. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 x2 2x , biết tiếp tuyến vuông 3 2 3 góc với đường thẳng x 4y 1 0 . 7 2 73 26 A. y 4x ; y 4x B. y 4x ; y 4x 6 3 6 3
  34. 73 2 7 26 C. y 4x ; y 4x D. y 4x ; y 4x 6 3 6 3 Hướng dẫn giải: Chọn B Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 4y 1 0 1 1 y x Tiếp tuyến có hệ số góc k 4 4 4 y ' 4 x2 x 6 0 x 3; x 2 1 73 * x 3 Phương trình tiếp tuyến y 4(x 3) 4x 6 6 2 26 * x 2 Phương trình tiếp tuyến y 4(x 2) 4x 3 3 1 Câu 51. Tìm m để đồ thị : y mx3 m 1 x2 3m 4 x 1 có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc 3 với đường thẳng x y 2013 0. 1 1 1 A. m 1 B. m C. m 1 D. m 1 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn C Để tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đthẳng x y 2012 0 khi và chỉ khi y '.1 1 hay 1 mx2 m 1 x 3m 3 0 có nghiệm  ¡ . Đáp số: m 1. 2 Câu 52. Tìm m để đồ thị y x3 3mx 2 có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x y 7 0 góc sao 1 cho cos . 26 A. m 2 B. m 3 C. m 1, m 4 D. Đáp án khác Hướng dẫn giải:  Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tiếp tuyến có vectơ pháp tuyến n k; 1 , d có vec tơ pháp tuyến  1 n2 1;1   n1 n2 1 k 1 3 2 Ta có cos   k hoặc k 2 2 3 n1 n2 26 2 k 1 Yêu cầu bài toán ít nhất một trong hai phương trình y ' k1 hoặc y ' k2 có nghiệm x tức 3 3x2 2 1 2m x 2 m có nghiêm 2 . 2 3x2 2 1 2m x 2 m có nghiêm 3 Tìm điều kiện có nghiệm suy ra m. 2x 2 Câu 53. Cho hàm số: y có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp x 1 tuyến có hệ số góc bằng 1. A. y x 2, y x 7 . B. y x 5, y x 6 . C. y x 1, y x 4. D. y x 1, y x 7 .
  35. Hướng dẫn giải: Chọn D 4 Hàm số đã cho xác định với x 1. Ta có: y ' x 1 2 Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của C : 4 2x 2 4 2x 2 y x x 0 với y ' x và y 0 2 0 x 1 0 2 0 x 1 x0 1 0 x0 1 0 Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 4 Nên có: 1 x0 3, x0 1 x 1 2 Với x0 1 y0 0 : y x 1 Với x0 2 y0 4 : y x 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y x 1, y x 7 . 2x 2 Câu 54. Cho hàm số: y có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp x 1 tuyến song song với đường thẳng d : y 4x 1. A. y 4x 3, y 4x 4 . B. y 4x 2, y 4x 44 . C. y 4x 2, y 4x 1. D. y 4x 2, y 4x 14 . Hướng dẫn giải: Chọn D 4 Hàm số đã cho xác định với x 1. Ta có: y ' x 1 2 Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của C : 4 2x 2 4 2x 2 y x x 0 với y ' x và y 0 2 0 x 1 0 2 0 x 1 x0 1 0 x0 1 0 Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y 4x 1. 4 Nên có: y ' x0 4 2 4 x0 0 hoặc x0 2 x0 1 Với x0 0 y0 2 : y 4x 2 Với x0 2 y0 6 : y 4x 14 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y 4x 2, y 4x 14 . 2x Câu 55. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2 x 1 A. y 2x 1, y 2x B. y 2x 2, y 2x 4 C. y 2x 9, y 2x D. y 2x 8, y 2x Hướng dẫn giải: Chọn D 2 x 1 2x 2 Ta có: y ' . x 1 2 x 1 2
  36. 2 Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại x0 ; y0 bằng y ' x0 2 x0 1 2 Theo giải thiết, ta có: y ' x0 2 2 2 x0 1 2 x0 1 1 x0 2 y0 4 x0 1 1 x0 1 1 x0 0 y0 0 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y 2x 8, y 2x 2x Câu 56. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y , biết tiếp tuyến song song với đường x 1 thẳng d : x 2y 0 1 7 1 7 1 27 1 7 A. y x , y x B. y x , y x 2 4 2 4 2 4 2 4 1 2 1 7 1 27 1 7 C. y x , y x D. y x , y x 2 4 2 4 2 4 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn B 2 x 1 2x 2 Ta có: y ' . x 1 2 x 1 2 2 Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại x0 ; y0 bằng y ' x0 2 x0 1 2 1 2 1 Theo giải thiết, ta có: x 1 2 2 0 4 x0 1 1 27 1 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y x , y x 2 4 2 4 2x Câu 57. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y , biết tiếp tuyến vuông góc với đường x 1 thẳng :9x 2y 1 0 2 2 2 8 2 32 2 8 A. y x , y x B. y x , y x 9 9 9 9 9 9 9 9 2 1 2 8 2 32 2 4 C. y x , y x D. y x , y x 9 9 9 9 9 9 9 9 Hướng dẫn giải: Chọn B 2 x 1 2x 2 Ta có: y ' . x 1 2 x 1 2 2 Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại x0 ; y0 bằng y ' x0 2 x0 1 2 2 2 1 Theo giải thiết, ta có: x 1 2 9 0 9 x0 1
  37. 2 32 2 8 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y x , y x 9 9 9 9 2x Câu 58. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y , biết tạo với chiều dương của trục x 1 2 hoành một góc sao cho cos 5 1 3 1 3 1 13 A. y x B. y x C. y x D. Đáp án khác 5 4 5 4 5 4 Hướng dẫn giải: 2 x 1 2x 2 Ta có: y ' . x 1 2 x 1 2 2 Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại x0 ; y0 bằng y ' x0 2 x0 1 2 Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành,khi đó tồn tại 0;  để tan 0 và tan 2 . Ta x0 1 1 1 1 có: tan2 1 tan , nên có: cos2 4 2 2 1 2 x 1 4 2 2 0 x0 1 2x Câu 59. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y , biết tại điểm M thuộc đồ thị và vuông x 1 góc với IM ( I là giao điểm 2 tiệm cận ) 1 3 1 3 1 13 A. y x B. y x C. y x D. Đáp án khác 5 4 5 4 5 4 Hướng dẫn giải: 2 x 1 2x 2 Ta có: y ' . x 1 2 x 1 2 2 Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại x0 ; y0 bằng y ' x0 2 x0 1 2 2 kIM 2 , theo bài toán nên có: kIM .y ' x0 1 x0 1 4 x0 1 x4 x2 Câu 60. Cho hàm số y 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với 4 2 đường thẳng : y 2x 2 . 3 1 3 A. y 2x B. y 2x C. y 2x D. y 2x 1 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn A y '(x0 ) 2 (trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của (t) với (C)). 3 3 x0 x0 2 x0 x0 2 0 x0 1.
  38. 11 3 Phương trình (t): y y '(1)(x 1) y(1) 2(x 1) 2x 4 4 Câu 61. Cho hàm số y 2x4 4x2 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 48y 1 0 . A. : y 48x 81 B. : y 48x 81 C. : y 48x 1 D. : y 48x 8 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có y ' 8x3 8x Gọi M (x0 ; y0 ) . Tiếp tuyến tại M có phương trình: 3 4 2 y (8x0 8x0 )(x x0 ) 2x0 4x0 1.Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 48y 1 0 1 Nên ta có: y '(x ). 1 y '(x ) 48 0 48 0 3 x0 x0 6 0 x0 2 y0 15 . Phương trình : y 48(x 2) 15 48x 81. x3 Câu 62. Cho (C) là đồ thị của hàm số y x2 2x 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông 3 x góc với đường thẳng y 2 . 5 2 8 A. y = 5x + hoặc y = 5x – 8 B. y = 5x + hoặc y = 5x – 9 3 3 8 8 C. y = 5x + hoặc y = 5x – 5 D. y = 5x + hoặc y = 5x – 8 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D x Cách 1. Tiếp tuyến (d) của (C) vuông góc với đường thẳng y 2 ,suy ra phương trình (d) có dạng : 5 y = 5x + m. x3 x2 2x 1 5x m (1) (d) tiếp xúc với (C) 3 có nghiệm. 2 x 2x 2 5 (2) Giải hệ trên, (2) x = -1  x = 3. 8 Thay x = - 1 vào (1) ta được m = . 3 Thay x = 3 vào (1) ta được m = - 8. 8 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 5x + hoặc y = 5x – 8. 3 x Cách 2. Tiếp tuyến (d) vuông góc với đường thẳng y 2 suy ra hệ số góc của (d) : k = 5. 5 2 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C),ta có : k f '(x0 ) 5 x0 2x0 2 x0 1, x0 3 . 8 y 5(x 1) f (1) 5x Suy ra phương trình (d): 3 . y 5(x 3) f (3) 5x 8
  39. 3 2 Câu 63. Cho hàm số y x 2x (m 1)x 2m có đồ thị là (Cm ) . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm ) tại điểm có hoành độ x 1 song song với đường thẳng y 3x 10 . A. m 2 B. m 4 C. m 0 D. Không tồn tại m Hướng dẫn giải: Chọn D 2 Ta có: y ' 3x 4x m 1. Tiếp tuyến của (Cm ) tại điểm có hoành độ x 1 có phương trình y (m 2)(x 1) 3m 2 (m 2)x 2m m 2 3 Yêu cầu bài toán vô nghiệm. 2m 10 Vậy không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán. 3 2 Câu 64. Cho hàm số y x 2x (m 1)x 2m có đồ thị là (Cm ) . Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị (Cm ) vuông góc với đường thẳng : y 2x 1. 11 6 A. m 1 B. m 2 C. m D. m 6 11 Hướng dẫn giải: Chọn C 2 2 2 4 4 7 2 7 7 Ta có: y ' 3x 4x m 1.Ta có: y ' 3 x x m 3 x m y ' m . 3 9 3 3 3 3 2 7 Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x có hệ số góc nhỏ nhất và hệ số góc có giá trị : k m . 3 3 7 11 Yêu cầu bài toán k.2 1 m .2 1 m . 3 6 2x 1 Câu 65. Cho hàm số y (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần x 1 1 lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 6 4 1 A. y 3x 1, y 3x 1, y 12x 2, y x 3 3 4 2 B. y 3x 1, y 3x 11, y 12x 2, y x 3 3 4 3 C. y 3x 11, y 3x 11, y 12x, y x 3 4 4 2 D. y 3x 1, y 3x 11, y 12x 2, y x 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D 3 Ta có y ' . Gọi M x ; y là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến có dạng: (x 1)2 0 0 3 2x0 1 y 2 x x0 . (x0 1) x0 1
  40. y 0 Ox A: 3 2x 1 (x x ) 0 0 2 0 (x0 1) x0 1 2x2 2x 1 Suy ra A 0 0 ;0 . 3 x 0 Oy B : 3x 2x 1 y 0 0 2 (x0 1) x0 1 2 2x0 2x0 1 Suy ra: B 0; 2 (x0 1) 2 1 1 2x2 2x 1 Diện tích tam giác OAB : S OA.OB 0 0 2 6 x0 1 2 2 1 2x0 2x0 1 Suy ra SOAB 1 6 x0 1 1 2 2 x0 0, x0 2x0 2x0 1 x0 1 2x0 x0 0 2 2x2 2x 1 x 1 2x2 3x 2 0 1 0 0 0 0 0 x , x 2 0 2 0 Từ đó ta tìm được các tiếp tuyến là: 4 2 y 3x 1, y 3x 11, y 12x 2, y x . 3 3 x2 2mx m Câu 66. Cho hàm số y . Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp tuyến x m của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 7 . Hướng dẫn giải: Chọn C. x2 2mx m Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số C : y và trục hoành: x m x2 2mx m x2 2mx m 0 * 0 . x m x m x2 2mx m Đồ thị hàm số y cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt phương trình * có hai nghiệm x m 2 m 0 m 1 m m 0 phân biệt khác m 1 . 3m2 m 0 m 3 2 Gọi M x0 ; y0 là giao điểm của đồ thị C với trục hoành thì y0 x0 2mx0 m 0 và hệ số góc của tiếp tuyến với C tại M là:
  41. 2 2x0 2m x0 1 x0 2mx0 m 2x 2m k y x 0 . 0 2 x m x0 m 0 2x1 2m Vậy hệ số góc của hai tiếp tuyến với C tại hai giao điểm với trục hoành là k1 , x1 m 2x2 2m k2 . x2 m 2x1 2m 2x2 2m Hai tiếp tuyến này vuông góc k1.k2 1 1 x1 m x2 m 2 2 . 4 x1x2 m x1 x2 m x1x2 m x1 x2 m x1x2 m 2 m 0 Ta lại có , do đó m 5m 0 . Nhận m 5 . x1 x2 2m m 5 x 1 Câu 67. Cho hàm số y (C) . Có bao nhiêu cặp điểm A, B thuộc C mà tiếp tuyến tại đó song x 1 song với nhau: A. 0 . B. 2 . C. 1. D. Vô số. Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 Ta có: y ' . x 1 2 x 1 Đồ thị hàm số y có tâm đối xứng I 1;1 . x 1 Lấy điểm tùy ý A x0 ; y0 C . Gọi B là điểm đối xứng với A qua I suy ra B 2 x0 ;2 y0 C . Ta có: 2 Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A là: kA y ' x0 2 . x0 1 2 Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm B là: kB y ' 2 x0 2 . 1 x0 Ta thấy kA kB nên có vô số cặp điểm A, B thuộc C mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau 3 2 Câu 68. Cho hàm số y x 2x 2x có đồ thị (C). Gọi x1 , x2 là hoành độ các điểm M , N trên C , mà tại đó tiếp tuyến của C vuông góc với đường thẳng y x 2017 . Khi đó x1 x2 bằng: 4 4 1 A. . B. . C. . D. 1. 3 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: y ' 3x2 4x 2 . Tiếp tuyến tại M , N của C vuông góc với đường thẳng y x 2017 . Hoành độ x1 , x2 của các điểm M , N là nghiệm của phương trình 3x2 4x 1 0 . 4 Suy ra x x . 1 2 3
  42. Câu 69. Số cặp điểm A, B trên đồ thị hàm số y x3 3x2 3x 5, mà tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau là A. 1 B. 0 C. 2 . D. Vô số Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 Ta có y 3x 6x 3 . Gọi A(xA; yA ) và B(xB ; yB ) Tiếp tuyến tại A, B với đồ thị hàm số lần lượt là: 2 d1 : y (3xA 6xA 3)(x xA ) yA 2 d2 : y (3xB 6xB 3)(x xB ) yB Theo giả thiết d1  d2 k1.k2 1 2 2 2 2 (3xA 6xA 3).(3xB 6xB 3) 1 9(xA 2xA 1).(xB 2xB 1) 1 2 2 9(xA 1) .(xB 1) 1 ( vô lý) Suy ra không tồn tại hai điểm A, B Câu 70. Cho hàm số y x3 3x2 2 có đồ thị C . Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của C và có hệ số góc nhỏ nhất: A. y 3x 3 B. y 0 C. y 5x 10 D. y 3x 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. 3 2 Gọi M (x0 ; x0 3x0 2) là tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến với đồ thị C 2 y ' 3x0 6x0 Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: y k(x x0 ) y0 2 2 Mà k y '(x0 ) 3x0 6x0 3(x0 2x0 1) 3 2 3(x0 1) 3 3 Hệ số góc nhỏ nhất khi x0 1 y0 y(1) 0 ; k 3 Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm 1;0 có hệ số góc nhỏ nhất là : y 3x 3 1 x2 Câu 71. Cho hai hàm f (x) và f (x) . Góc giữa hai tiếp tuyến của đồ thị mỗi hàm số đã cho x 2 2 tại giao điểm của chúng là: A. 90 B. 30 . C. 45. D. 60 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.
  43. 2 1 x 1 2 1 1 Phương trình hoành độ giao điểm x x 1 y M 1; x 2 2 x 2 2 1 2 Ta có f (1) , g (1) f (1). g (1) 1 2 2 Câu 72. Cho hàm số y x3 3mx2 (m 1)x m . Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số với Oy . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A vuông góc với đường thẳng y 2x 3 . 3 1 3 1 A. B. C. D. 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Ta có A(0; m) f (0) m 1. Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A vuông góc với đường thẳng 3 y 2x 3 nên 2.(m 1) 1 m . 2 3m 1 x m2 m Câu 73. Cho hàm số y có đồ thị là C , m ¡ và m 0 .Với giá trị nào của m thì x m m tại giao điểm đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến của đồ thị sẽ song song với đường thẳng x y 10 0 . 1 1 1 1 A. m 1; m B. m 1; m C. m 1; m D. m 1; m 5 5 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm phương trình: 3m 1 x m2 m x m,m 0 0,m 0 2 x m 3m 1 x m m 0 1 1 x m,m 0,m m 0,m 3 3 4m2 m2 m 4m2 . Mà y ' 2 y ' 2 . m2 m m2 m x m 3m 1 2 x x m m m m 3m 1 3m 1 3m 1 m2 m 1 Tiếp tuyến song song với đường thẳng x y 10 0 nên y ' 1 m 1 hoặc m 3m 1 5 m 1 giao điểm là A 1;0 , tiếp tuyến là y x 1. 1 3 3 m giao điểm là B ;0 , tiếp tuyến là y x . 5 5 5 3 2 Câu 74. Tìm m ¡ để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của Cm : y x 2x m 1 x 2m vuông góc với đường thẳng y x 10 1 10 A. m B. m C. m D. m 1 3 3 13 Hướng dẫn giải: Chọn A.
  44. 2 2 2 7 7 7 7 2 y ' 3x 4x m 1 3 x m m y ' m y ' m khi x .Theo bài toán ta 3 3 3 3 3 3 7 10 có: y ' 1 1 m 1 1 m . 3 3 Câu 75. Xác định m để hai tiếp tuyến của đồ thị y x4 2mx2 2m 1 tại A 1;0 và B 1;0 hợp với 15 nhau một góc  sao cho cos  . 17 5 7 15 17 A. m 0, m 2, m , m . B. m 0, m 2, m , m . 16 6 16 16 15 7 5 7 C. m 0, m 2, m , m . D. m 0, m 2, m , m . 16 16 6 6 Hướng dẫn giải: Dễ thấy, A, B là 2 điểm thuộc đồ thị với m ¡ . Tiếp tuyến d1 tại A : 4m 4 x y 4m 4 0 Tiếp tuyến d2 tại B : 4m 4 x y 4m 4 0 15 17 Đáp số: m 0, m 2, m , m . 16 16 1 Câu 76. Tìm m để đồ thị y mx3 m 1 x2 4 3m x 1 tồn tại đúng 2 điểm có hoành độ dương 3 mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng x 2y 3 0 . 1 1 2 1 1 7 A. m 0;  ; B. m 0;  ; 4 2 3 4 2 3 1 1 8 1 1 2 C. m 0;  ; D. m 0;  ; 2 2 3 2 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. Hàm số đã cho xác định trên ¡ . Ta có: y ' mx2 2 m 1 x 4 3m . 1 Từ yêu cầu bái toán dẫn đến phương trình y 1 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt, tức 2 m 0 m 0 1 m 2 ' 0 2 mx 2 m 1 x 2 3m 0 có đúng 2 dương phân biệt hay S 0 0 m 1 P 0 2 0 m 3 1 1 2 m 0;  ; . 2 2 3
  45. DẠNG 3: TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM x 2 Câu 1. Cho hàm số y , tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm –6;5 là x 2 1 7 1 7 A. y –x –1 ; y x . B. y –x –1 ; y x . 4 2 4 2 1 7 1 7 C. y –x 1 ; y x . D. y –x 1 ; y x . 4 2 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. x 2 4 y y . x 2 x 2 2 x 2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y tại điểm M x ;y C với x 2 là: x 2 0 0 0 4 x 2 y y x x x y y x x 0 . 0 0 0 2 0 x 2 x0 2 0 x 0 4 x0 2 2 0 Vì tiếp tuyến đi qua điểm –6;5 nên ta có 5 2 6 x0 4x0 24x0 0 x 2 x 6 x0 2 0 0 1 7 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là: y –x –1 và y – x . 4 2 3x 4 Câu 2. Tiếp tuyến kẻ từ điểm 2;3 tới đồ thị hàm số y là x 1 A. y 28x 59 ; y x 1. B. y –24x 51; y x 1. C. y 28x 59 . D. y 28x 59 ; y 24x 51. Hướng dẫn giải: Chọn C. 3x 4 7 y y . x 1 x 1 2 3x 4 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y tại điểm M x ;y C với x 2 là: x 1 0 0 0 7 3x 4 y y x x x y y x x 0 . 0 0 0 2 0 x 1 x0 1 0 7 3x 4 3 Vì tiếp tuyến đi qua điểm 2;3 nên ta có 3 2 x 0 x . 2 0 x 1 0 2 x0 1 0 Vậy có một tiếp tuyến thỏa đề bài là: y –28x 59 . x2 x 1 Câu 3. Cho hàm số y có đồ thị C . Phương trình tiếp tuyến của C đi qua điểm A 1;0 x 1 là: 3 3 A. y x B. y x 1 C. y 3 x 1 D. y 3x 1 4 4 Hướng dẫn giải:
  46. Chọn B. Gọi d là phương trình tiếp tuyến của C có hệ số góc k , Vì A 1;0 d suy ra d : y k x 1 x2 x 1 k(x 1) (1) x 1 d tiếp xúc với C khi hệ 2 có nghiệm x 2x 2 k (2) (x 1) 3 Thay 2 vào 1 ta được x 1 k y (1) . 4 3 Vậy phương trình tiếp tuyến của C đi qua điểm A 1;0 là: y x 1 4 Câu 4. Qua điểm A 0;2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y x4 2x2 2 A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn B. Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho. Vì A(0;2) d nên phương trình của d có dạng: y kx 2 x4 2x2 2 kx 2 (1) Vì d tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ có nghiệm 3 4x 4x k (2) x 0 Thay 2 và 1 ta suy ra được 2 x 3 Chứng tỏ từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị C Câu 5. Cho hàm số y x4 2x2 có đồ thị C . Xét hai mệnh đề: (I) Đường thẳng : y 1 là tiếp tuyến với C tại M ( 1;1) và tại N(1;1) (II) Trục hoành là tiếp tuyến với C tại gốc toạ độ Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) C. Cả hai đều sai D. Cả hai đều đúng Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Ta có y ( 1) y ( 1) 0 (I) đúng. Ta có y (0) 0 (II) đúng. 3 2 Câu 6. Cho hàm số y x 6x 9x 1 có đồ thị là C . Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến C : A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 0.
  47. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Xét đường thẳng kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x 2 có dạng : y k(x 2) kx-2k . x3 6x2 9x-1=kx 2k 2x3 12x2 24x-17=0 là tiếp tuyến của C có nghiệm 3x2 12x 9 k 3x2 12x 9 k Phương trình bậc ba có duy nhất một nghiệm tương ứng cho ta một giá trị k . Vậy có một tiếp tuyến. Dễ thấy kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x 2 có dạng y a song song với trục Ox cũng chỉ kẻ được một tiếp tuyến. Câu 7. Đường thẳng y 3x m là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 2 khi m bằng A. 1 hoặc 1. B. 4 hoặc 0 . C. 2 hoặc 2 . D. 3 hoặc 3 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Đường thẳng y 3x m và đồ thị hàm số y x3 2 tiếp xúc nhau x3 2 3x m m x3 3x 2 m 0 . 2 3x 3 x 1 m 4 Câu 8. Định m để đồ thị hàm số y x3 mx2 1 tiếp xúc với đường thẳng d : y 5? A. m 3 . B. m 3 . C. m 1. D. m 2 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Đường thẳng y x3 mx2 1 và đồ thị hàm số y 5 tiếp xúc nhau x3 mx2 1 5 (1) có nghiệm. 2 3x 2mx 0 (2) x 0 . (2) x(3x 2m) 0 2m . x 3 + Với x 0 thay vào (1) không thỏa mãn. 2m + Với x thay vào (1) ta có: m3 27 m 3. 3 Câu 9. Phương trình tiếp tuyến của C : y x3 biết nó đi qua điểm M (2;0) là: A. y 27x 54 . B. y 27x 9  y 27x 2 . C. y 27x 27 . D. y 0  y 27x 54 . Hướng dẫn giải: Vậy chọn D. + y ' 3x2 . + Gọi A(x0 ; y0 ) là tiếp điểm. PTTT của (C) tại A(x0 ; y0 ) là: 2 3 y 3x0 x x0 x0 (d) . + Vì tiếp tuyến (d) đí qua M (2;0) nên ta có phương trình: 2 3 x0 0 3x0 2 x0 x0 0 . x0 3 + Với x0 0 thay vào (d) ta có tiếp tuyến y 0.
  48. + Với x0 3 thay vào (d) ta có tiếp tuyến y 27x 54 . Câu 10. Cho hàm số y x2 5x 8 có đồ thị C . Khi đường thẳng y 3x m tiếp xúc với C thì tiếp điểm sẽ có tọa độ là: A. M 4;12 . B. M 4;12 . C. M 4; 12 . D. M 4; 12 . Hướng dẫn giải: Đáp án D. Đường thẳng d : y 3x m tiếp xúc với C d là tiếp tuyến với C tại M x0 ; y0 y 2x 5 y x0 3 2x0 5 3 x0 4; y0 12 . x2 Câu 11. Cho hàm số f x x 1, có đồ thị C . Từ điểm M 2; 1 có thể kẻ đến C hai tiếp 4 tuyến phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình: A. y x 1và y x 3 . B. y 2x 5 và y 2x 3 . C. y x 1và y x 3 . D. y x 1và y x 3 . Hướng dẫn giải: Chọn A x 2 x Gọi N x ; y là tiếp điểm; y 0 x 1; f x 0 1 0 0 0 4 0 0 2 2 x0 x0 Phương trình tiếp tuyến tại N là: y 1 x x0 x0 1 2 4 2 2 x0 x0 x0 Mà tiếp tuyến đi qua M 2; 1 1 1 2 x0 x0 1 x0 0 2 4 4 x0 0; y0 1; f 0 1 x0 4; y0 1; f 4 1 Phương trình tiếp tuyến : y x 1 và y x 3 . Câu 12. Cho hàm số y x3 3x2 6x 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm N(0;1) . 33 33 33 33 A. y x 11 B. y x 12 C. y x 1 D. y x 2 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Ta có: y ' 3x2 6x 6 . 2 3 2 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y (3x0 6x0 6)(x x0 ) x0 3x0 6x0 1 Vì tiếp tuyến đi qua N(0;1) nên ta có: 2 3 2 1 (3x0 6x0 6)( x0 ) x0 3x0 6x0 1 3 2x3 3x2 0 x 0, x 0 0 0 0 2 x0 0 y '(x0 ) 6 . Phương trình tiếp tuyến: y 6x 1. 3 107 33 x y , y '(x ) . Phương trình tiếp tuyến 0 2 0 8 0 4
  49. 33 3 107 33 y ' x x 1. 4 2 8 4 Câu 13. Cho hàm số y x4 x2 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm M 1;3 . A. y 6x 2 B. y 6x 9 C. y 6x 3 D. y 6x 8 Hướng dẫn giải: Chọn C 3 Ta có: y ' 4x 2x . Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến có dạng: 3 4 2 y 4x0 2x0 x x0 x0 x0 1 Vì tiếp tuyến đi qua M 1;3 nên ta có: 3 4 2 4 3 2 3 4x0 2x0 1 x0 x0 x0 1 3x0 4x0 x0 2x0 2 0 2 2 (x0 1) (3x0 2x0 2) 0 x0 1 y0 3, y '(x0 ) 6 Phương trình tiếp tuyến: y 6x 3. 2x 2 Câu 14. Cho hàm số y (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm x 1 A(4;3) 1 1 1 31 1 1 1 31 y x y x y x y x 9 9 9 9 9 9 9 9 A. B. C. D. 1 1 1 31 1 31 1 1 y x y x y x y x 4 4 4 4 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn D 4 Hàm số xác định với mọi x 1. Ta có: y ' (x 1)2 Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): 4 2x0 2 Vì tiếp tuyến đi qua A(4;3) nên ta có: 3 2 4 x0 (x0 1) x0 1 2 2 2 3(x0 1) 4(x0 4) 2(x0 1) x0 10x0 21 0 x0 3, x0 7 8 1 x 7 y , y '(x ) . Phương trình tiếp tuyến 0 0 3 0 9 1 8 1 31 y x 7 x . 9 3 9 9 1 x 3 y 1, y '(x ) . Phương trình tiếp tuyến 0 0 0 4 1 1 1 y x 3 1 x . 4 4 4 2x 1 Câu 15. Cho hàm số y (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A 7;5 . x 1 3 1 3 29 3 1 3 2 A. y x , y x B. y x , y x 4 4 16 16 4 2 16 16
  50. 3 1 3 9 3 1 3 29 C. y x , y x D. y x , y x 4 4 16 16 4 4 16 16 Hướng dẫn giải: Chọn D 3 Ta có y ' . Gọi M x ; y là tiếp điểm. Do tiếp tuyến đi qua A 7;5 nên ta có: (x 1)2 0 0 x 1 3 2x0 1 2 0 5 2 7 x0 x0 4x0 5 0 (x0 1) x0 1 x0 5 3 1 3 29 Từ đó ta tìm được các tiếp tuyến là: y x , y x . 4 4 16 16 2x 1 Câu 16. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị C : y biết d cách đều 2 điểm A 2;4 và x 1 B 4; 2 . 1 1 1 5 A. y x , y x 3 , y x 1 B. y x , y x 5 , y x 4 4 4 4 2 1 5 1 5 C. y x , y x 4 , y x 1 D. y x , y x 5 , y x 1 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi M x0 ; y x0 , x0 1 là tọa độ tiếp điểm của d và C 1 Khi đó d có hệ số góc y ' x0 2 và có phương trình là : x0 1 1 1 y x x 2 2 0 x 1 x0 1 0 Vì d cách đều A, B nên d đi qua trung điểm I 1;1 của AB hoặc cùng phương với AB . TH1: d đi qua trung điểm I 1;1 , thì ta luôn có: 1 1 1 1 x 2 , phương trình này có nghiệm x 1 2 0 x 1 0 x0 1 0 1 5 Với x 1ta có phương trình tiếp tuyến d : y x . 0 4 4 yB yA TH2: d cùng phương với AB , tức là d và AB có cùng hệ số góc, khi đó y ' x0 kAB 1 hay xB xA 1 2 1 x0 2 hoặc x0 0 x0 1 Với x0 2 ta có phương trình tiếp tuyến d : y x 5 . Với x0 0 ta có phương trình tiếp tuyến d : y x 1. 1 5 Vậy, có 3 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y x , y x 5 , y x 1 4 4
  51. Câu 17. Tìm m ¡ để từ điểm M 1;2 kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị 3 2 Cm : y x 2x m 1 x 2m . 10 100 10 100 A. m ,m 3 B. m ,m 3 C. m ,m 3 D. m ,m 3 81 81 81 81 Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi N x0 ; y0 C . Phương trình tiếp tuyến d của A tại N là: 2 3 2 y 3x0 4x0 m 1 x x0 x0 2x0 m 1 x0 2m 3 2 M d 2x0 5x0 4x0 3 3m 3 2 Dễ thấy là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y 3 3m và f x0 2x0 5x0 4x0 . 3 2 2 Xét hàm số f x0 2x0 5x0 4x0 có f ' x0 6x0 10x0 4 1 f ' x 0 x 2 hoặc x . 0 0 0 3 100 Lập bảng biến thiên, suy ra m ,m 3 81 Câu 18. Cho hàm số y 2x4 4x2 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(1; 3) . 64 1 64 1 A. : y 3 hay : y x B. : y 3 hay : y x 27 81 27 8 64 51 64 51 C. : y 3 hay : y x D. : y 3 hay : y x 27 2 27 81 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có y ' 8x3 8x Gọi M (x0 ; y0 ) . Tiếp tuyến tại M có phương trình: 3 4 2 y (8x0 8x0 )(x x0 ) 2x0 4x0 1.Vì tiếp tuyến đi qua A(1; 3) nên ta có 3 4 2 3 (8x0 8x0 )(1 x0 ) 2x0 4x0 1 4 3 2 2 3x0 4x0 2x0 4x0 1 0 (x0 1) (x0 1)(3x0 1) 0 x0 1 : y 3 1 64 51 x : y x . 0 3 27 81 Câu 19. Cho hàm số y 2x4 4x2 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt. A. : y 3 B. : y 4 C. : y 3 D. : y 4 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có y ' 8x3 8x Gọi M (x0 ; y0 ) . Tiếp tuyến tại M có phương trình: 3 4 2 4 2 y (8x0 8x0 )(x x0 ) 2x0 4x0 1.Giả sử tiếp xúc với (C) tại điểm thứ hai N(n;2n 4n 1)
  52. Suy ra: : y (8n3 8n)(x n) 2n4 4n2 1 3 3 2 2 8x0 8x0 8n 8n x0 nx0 n 1 0 Nên ta có: 4 2 4 2 2 2 6x0 4x0 1 6n 4n 1 (x0 n)(3x0 3n 2) 0 2 2 2 2 x x n n 1 0 x0 x0n n 1 0 0 0 (I) hoặc (II) 2 2 x0 n 0 3x0 3n 2 0 2 2 2 x0 n x0 n 3 Ta có (I) ; (II) vô nghiệm. Vậy : y 3. n 1 1 x n 0 3 x3 Câu 20. Cho (C) là đồ thị của hàm số y x2 2x 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp 3 tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân (O là gốc tọa độ ). 1 4 4 4 A. y = x + . B. y = x + . C. y = x + . D. y = x - . 3 3 13 3 Hướng dẫn giải: Chọn B Vì tam giác OAB là tam giác vuông tại O nên nó chỉ có thể vuông cân tại O, khi đó góc giữa tiếp tuyến (D) và trục Ox là 450 ,suy ra hệ số góc của (D) là kD 1 Trường hợp kD 1,khi đó phương trình (D) : y = x + a. (a 0) x3 x2 2x 1 x a (3) (D) tiếp xúc (C) 3 có nghiệm. 2 x 2x 2 1 (4) (4) x2 2x 1 0 x 1. 4 Thay x = 1 vaò phương trình (3) ta được a = . 3 4 Vậy trong trường hợp này,phương trình (D): y = x 3 Trường hợp kD 1, khi đó phương trình (D): y = - x + a. x3 x2 2x 1 x a (5) (D) tiếp xúc với (C) 3 có nghiệm 2 x 2x 2 1 (6) (6) x2 2x 3 0 .P/t này vô nghiệm nên hệ (5), (6) vô nghiệm,suy ra (D) : y = - x + a không tiếp xúc với (C). 4 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = x + . 3 3 2 Câu 21. Cho hàm số y x 2x (m 1)x 2m có đồ thị là (Cm ) . Tìm m để từ điểm M (1;2) vẽ đến (Cm ) đúng hai tiếp tuyến.
  53. m 3 m 3 m 3 m 3 A. 10 B. 100 C. 10 D. 100 m m m m 81 81 81 81 Hướng dẫn giải: Chọn D 2 Ta có: y ' 3x 4x m 1. Gọi A(x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại A: 2 3 2 y 3x0 4x0 m 1 (x x0 ) x0 2x0 (m 1)x0 2m 2 3 2 3 2 M 2 3x0 4x0 m 1 (1 x0 ) x0 2x0 (m 1)x0 2m 2x0 5x0 4x0 3m 3 0 (*) Yêu cầu bài toán (*) có đúng hai nghiệm phân biệt (1) Xét hàm số: h(t) 2t3 5t 2 4t, t ¡ 1 Ta có: h'(t) 6t 2 10t 4 h'(t) 0 t ,t 2 3 Bảng biến thiên x 1 2 3 y ' 0 0 12 y 19 27 3 3m 12 m 3 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (1) 19 100 là những giá trị cần tìm. 3 3m m 27 81 2x 1 Câu 22. Tìm điểm M trên đồ thị C : y sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng : x 1 x 3y 3 0 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 7 A. M 2;1 B. M 2;5 C. M 1; D. M 3; 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A 2m 1 Gọi M m; là tọa độ điểm cần tìm m 1 . m 1 2m 1 m 3 3 m 1 1 m2 2m 6 Khoảng cách từ M đến đường thẳng là: d hay d . 12 32 10 m 1
  54. m2 2m 6 khi m 1 m2 2m 6 m 1 Xét hàm số: f m m 1 m2 2m 6 khi m 1 m 1 Ta có: f ' m 0 m 2 thỏa m 1 hoặc m 4 thỏa m 1. 2 Lập bảng biến thiên suy ra min d khi m 2 tức M 2;1 . 10 1 1 Tiếp tuyến tại M là y x , tiếp tuyến này song song với . 3 3