Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 2 - Nhị thức Newton (Có đáp án)

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 2 - Nhị thức Newton (Có đáp án)

1. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 PHẦN I – ĐỀ BÀI NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi n N và với mọi cặp số a, b ta có: n n k n k k (a b) Cn a b k 0 2. Tính chất: 1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1 2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n k n k k 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, , n) k n k 4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau:Cn Cn 0 n k 1 k k 5) Cn Cn 1, Cn Cn Cn 1 * Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn: n 0 n 1 n 1 n 0 1 n n (1+x) = Cn x Cn x Cn Cn Cn Cn 2 n 0 n 1 n 1 n n 0 1 n n (x–1) = Cn x Cn x ( 1) Cn Cn Cn ( 1) Cn 0 Từ khai triển này ta có các kết quả sau 0 1 n n * Cn Cn Cn 2 0 1 2 n n * Cn Cn Cn ( 1) Cn 0 B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp: n n p q n k p n k q k k n k k np pk qk ax bx Cn ax bx Cn a b x k 0 k 0 Số hạng chứa xm ứng với giá trị k thỏa: np pk qk m . m np Từ đó tìm k p q m k n k k Vậy hệ số của số hạng chứa x là: Cn a .b với giá trị k đã tìm được ở trên. Nếu k không nguyên hoặc k n thì trong khai triển không chứa xm , hệ số phải tìm bằng 0. Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa xm trong khai triển p q n 2n P x a bx cx được viết dưới dạng a0 a1x a2n x . Ta làm như sau: n p q n k n k p q k * Viết P x a bx cx Cn a bx cx ; k 0 k * Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng bx p cxq thành một đa thức theo luỹ thừa của x. * Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của xm . Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn Ta làm như sau:
2. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 * Tính hệ số ak theo k và n ; * Giải bất phương trình ak 1 ak với ẩn số k ; * Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên. Câu 1: Trong khai triển 2a b 5 , hệ số của số hạng thứ3 bằng: A. 80 . B. 80 . C. 10 . D. 10. n 6 Câu 2: Trong khai triển nhị thức a 2 , n ¥ . Có tất cả17 số hạng. Vậy n bằng: A. 17 . B. 11. C. 10. D. 12. 10 Câu 3: Trong khai triển 3x2 y , hệ số của số hạng chính giữa là: 4 4 4 4 5 5 5 5 A. 3 .C10 . B. 3 .C10 . C. 3 .C10 . D. 3 .C10 . Câu 4: Trong khai triển 2x 5y 8 , hệ số của số hạng chứa x5.y3 là: A. 22400 . B. 40000 . C. 8960 . D. 4000 . 6 2 3 Câu 5: Trong khai triển x , hệ số của x , x 0 là: x A. 60 . B. 80 . C. 160. D. 240 . 7 2 1 Câu 6: Trong khai triển a , số hạng thứ 5 là: b A. 35.a6.b 4 . B. 35.a6.b 4 . C. 35.a4.b 5 . D. 35.a4.b . Câu 7: Trong khai triển 2a 1 6 , tổng ba số hạng đầu là: A. 2a6 6a5 15a4 . B. 2a6 15a5 30a4 . C. 64a6 192a5 480a4 . D. 64a6 192a5 240a4 . 16 Câu 8: Trong khai triển x y , tổng hai số hạng cuối là: A. 16x y15 y8 . B. 16x y15 y4 . C. 16xy15 y4 . D. 16xy15 y8 . 6 2 1 9 3 Câu 9: Trong khai triển 8a b , hệ số của số hạng chứa a b là: 2 A. 80a9.b3 . B. 64a9.b3 . C. 1280a9.b3 . D. 60a6.b4 . 9 8 Câu 10: Trong khai triển x 2 , số hạng không chứa x là: x A. 4308 . B. 86016 . C. 84 . D. 43008 . Câu 11: Trong khai triển 2x 1 10 , hệ số của số hạng chứa x8 là: A. 11520 . B. 45 . C. 256 . D. 11520. Câu 12: Trong khai triển a 2b 8 , hệ số của số hạng chứa a4.b4 là: A. 1120. B. 560 . C. 140. D. 70 . Câu 13: Trong khai triển 3x y 7 , số hạng chứa x4 y3 là: A. 2835x4 y3 . B. 2835x4 y3 . C. 945x4 y3 . D. 945x4 y3 . Câu 14: Trong khai triển 0,2 + 0,8 5 , số hạng thứ tư là: A. 0,0064 . B. 0,4096 . C. 0,0512 . D. 0,2048 . Câu 15: Hệ số của x3 y3 trong khai triển 1 x 6 1 y 6 là: A. 20 . B. 800 . C. 36 . D. 400 .
3. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển 3x 2y 4 là: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A. C4 x y . B. 6 3x 2y . C. 6C4 x y . D. 36C4 x y . 11 8 3 Câu 17: Trong khai triển x y , hệ số của số hạng chứa x .y là 3 3 5 8 A. C11 . B. C11 . C. C11 . D. C11 . Câu 18: Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức sau: f (x) (1 2x)10 A. 15360 B. 15360 C. 15363 D. 15363 Câu 19: Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức sau: h(x) x(2 3x)9 A. 489889 B. 489887 C. 489888 D. 489888 Câu 20: Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức sau: g(x) (1 x)7 (1 x)8 (2 x)9 A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 Câu 21: Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức sau: f (x) (3 2x)10 A. 103680 B. 1301323 C. 131393 D. 1031831 Câu 22: Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức sau: h(x) x(1 2x)9 A. 4608 B. 4608 C. 4618 D. 4618 Câu 23: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f (x) (3x2 1)10 A. 17010 B. 21303 C. 20123 D. 21313 8 8 2 3 Câu 24: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f (x) 5x x A. 1312317 B. 76424 C. 427700 D. 700000 12 8 3 x Câu 25: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f (x) x 2 297 29 27 97 A. B. C. D. 512 51 52 12 Câu 26: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f (x) (1 x 2x2 )10 A. 37845 B. 14131 C. 324234 D. 131239 Câu 27: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f (x) 8(1 8x)8 9(1 9x)9 10(1 10x)10 0 8 1 8 8 8 0 8 1 8 8 8 A. 8.C8 .8 C9.9 10.C10.10 B. C8 .8 C9.9 C10.10 0 8 1 8 8 8 0 8 1 8 8 8 C. C8 .8 9.C9.9 10.C10.10 D. 8.C8 .8 9.C9.9 10.C10.10 Câu 28: Tìm hệ số của x8 trong khai triển biểu thức sau: g(x) 8(1 x)8 9(1 2x)9 10(1 3x)10 A. 22094 B. 139131 C. 130282 D. 21031 15 Câu 29: Hệ số đứng trước x25.y10 trong khai triển x3 xy là: A. 2080 . B. 3003 . C. 2800 . D. . 3200 18 1 Câu 30: Số hạng không chứa x trong khai triển x 3 là: x 3 9 10 8 3 A. C18 . B. C18 . C. .C 18 D. C18 . 12 Câu 31: Khai triển 1 x , hệ số đứng trước x7 là: A. .3 30 B. . – 33 C. . –72 D. . –792 2 Câu 32: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: f (x) (x )12 (x 0) x A. 59136 B. 213012 C. 12373 D. 139412 1 Câu 33: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: g(x) ( 4 x3 )17 (x 0) 3 x2
4. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 A. 24310 B. 213012 C. 12373 D. 139412 n 8 1 5 Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của 3 x biết x n 1 n Cn 4 Cn 3 7 n 3 . A. 495 B. 313 C. 1303 D. 13129 n 1 Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức x x2 với n là số x nguyên dương thoả mãn 3 2 k k Cn 2n An 1 .( Cn , An tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử). A. 98 B. 98 C. 96 D. 96 40 1 31 Câu 36: Trong khai triển f x x 2 , hãy tìm hệ số của x x A. 9880 B. 1313 C. 14940 D. 1147 18 3 1 Câu 37: Hãy tìm trong khai triển nhị thức x 3 số hạng độc lập đối với x x A. 9880 B. 1313 C. 14940 D. 48620 12 4 x 3 Câu 38: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 3 x 55 13 621 1412 A. B. C. D. 9 2 113 3123 15 Câu 39: Tính hệ số của x25 y10 trong khai triển x3 xy A. 300123 B. 121148 C. 3003 D. 1303 Câu 40: Cho đa thức P x 1 x 2 1 x 2 20 1 x 20 có dạng khai triển là 2 20 P x a0 a1x a2 x a20 x . Hãy tính hệ số a15 . A. 400995 B. 130414 C. 511313 D. 412674 9 Câu 41: Tìm số hạng của khai triển 3 3 2 là một số nguyên A. 8 và 4536 B. 1 và 4184 C. 414 và 12 D. 1313 1 Câu 42: Xét khai triển f (x) (2x )20 x 1. Viết số hạng thứ k 1 trong khai triển k 20 k 20 k k 20 k 20 2k A. Tk 1 C20.2 .x B. Tk 1 C10.2 .x k 20 4k 20 2k k 20 k 20 2k C. Tk 1 C20.2 .x D. Tk 1 C20.2 .x 2. Số hạng nào trong khai triển không chứa x 1 10 10 10 10 4 10 10 A. C20.2 B. A20 .2 C. C20 .2 D. C20 .2 Câu 43: Xác định hệ số của x4 trong khai triển sau: f (x) (3x2 2x 1)10 . A. 8089 B. 8085 C. 1303 D. 11312 Câu 44: Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của (2 3x)2n , biết n là số nguyên dương thỏa 1 3 5 2n 1 mãn : C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 1024 . A. 2099529 B. 2099520 C. 2099529 D. 2099520 Câu 45: Tìm hệ số của x9 trong khai triển f (x) (1 x)9 (1 x)10 (1 x)14
5. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 A. 8089 B. 8085 C. 3003 D. 11312 Câu 46: Tìm hệ số của x5 trong khai triển đa thức của: x 1 2x 5 x2 1 3x 10 A. 3320 B. 2130 C. 3210 D. 1313 8 2 8 Câu 47: Tìm hệ số cuả x trong khai triển đa thức f (x) 1 x 1 x A. 213 B. 230 C. 238 D. 214 2 10 20 Câu 48: Đa thức P x 1 3x 2x a0 a1x a20 x . Tìm a15 10 5 5 9 6 3 8 7 A. a15 C10 .C10.3 C10.C9 .3 C10.C8 .3. 10 5 5 9 6 6 8 7 7 B. a15 C10 .C10.2 C10.C9 .2 C10.C8 .2 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7 C. a15 C10 .C10.3 .2 C10.C9 .3 .2 C10.C8 .2 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7 D. a15 C10 .C10.3 .2 C10.C9 .3 .2 C10.C8 .3.2 2 Câu 49: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau (x3 )n , biết rằng C n 1 C n 2 78 với x n n x 0 A. 112640 B. 112640 C. 112643 D. 112643 3n 3 Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi a3n 3 là hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 2 n n (x 1) (x 2) . Tìm n để a3n 3 26n A. n=5 B. n=4 C. n=3 D. n=2 n 26 1 7 Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 4 x , biết x 1 2 n 20 C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 1. A. 210 B. 213 C. 414 D. 213 n n Câu 52: Cho n ¥ * và (1 x) a0 a1x an x . Biết rằng tồn tại số nguyên k (1 k n 1) sao a a a cho k 1 k k 1 . Tính n ? . 2 9 24 A. 10 B. 11 C. 20 D. 22 1 2 Câu 53: Trong khai triển của ( x)10 thành đa thức 3 3 2 9 10 a0 a1x a2 x a9 x a10 x , hãy tìm hệ số ak lớn nhất ( 0 k 10 ). 210 210 210 210 A. a 3003 B. a 3003 C. a 3003 D. a 3003 10 315 5 315 4 315 9 315 n 2 n Câu 54: Giả sử (1 2x) a0 a1x a2 x an x , biết rằng a0 a1 an 729. Tìm n và số lớn nhất trong các số a0 ,a1, ,an . A. n=6, max ak  a4 240 B. n=6, max ak  a6 240 C. n=4, max ak  a4 240 D. n=4, max ak  a6 240 n n Câu 55: Cho khai triển (1 2x) a0 a1x an x , trong đó n ¥ *. Tìm số lớn nhất trong các số a a a ,a , ,a , biết các hệ số a ,a , ,a thỏa mãn hệ thức: a 1 n 4096 . 0 1 n 0 1 n 0 2 2n A. 126720 B. 213013 C. 130272 D. 130127
6. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 n k k DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG  akCn b . k 0 Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton n 0 n n 1 1 n 2 2 2 n n (a b) Cn a a bCn a b Cn b Cn . Ta chọn những giá trị a,b thích hợp thay vào đẳng thức trên. Một số kết quả ta thường hay sử dụng: k n k * Cn Cn 0 1 n n * Cn Cn Cn 2 n k k * ( 1) Cn 0 k 0 n n 2n 2k 2k 1 1 k * C2n C2n C2n k 0 k 0 2 k 0 n k k n * Cn a (1 a) . k 0 Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng. Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn. 0 1 2 3 n Câu 1: Tổng T Cn Cn Cn Cn Cn bằng: A. T 2n . B. T 2n – 1. C. T 2n 1. D. T 4n . 0 1 6 Câu 2: Tính giá trị của tổng S C6 C6 C6 bằng: A. 64 . B. 48 . C. 72 . D. 100. 5 0 1 5 Câu 3: Khai triển x y rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S C5 C5 C5 A. 32 . B. 64 . C. 1 . D. 12 . 0 1 2 n n Câu 4: Tìm số nguyên dương n sao cho: Cn 2Cn 4Cn 2 Cn 243 A. 4 B. 11 C. 12 D. 5 5 0 1 5 Câu 5: Khai triển x y rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S C5 C5 C5 A. 32 . B. 64 . C. 1 . D. 12 . 2 3 5 2 15 Câu 6: Khai triển 1 x x x a0 a1x a2 x a15 x a) Hãy tính hệ số a10 . 0 4 4 3 0 5 2 4 4 3 A. a10 C5 . C5 C5 C5 B. a10 C5 .C5 C5 C5 C5 C5 0 5 2 4 4 3 0 5 2 4 4 3 C. a10 C5 .C5 C5 C5 C5 C5 D. a10 C5 .C5 C5 C5 C5 C5 b) Tính tổng T a0 a1 a15 và S a0 a1 a2 a15 A. 131 B. 147614 C. 0 D. 1 2 10 2 20 Câu 7: Khai triển 1 2x 3x a0 a1x a2 x a20 x a) Hãy tính hệ số a4 0 4 4 4 0 4 0 4 4 A. a4 C10.2 B. a4 2 C10 C. a4 C10C10 D. a4 C10.2 C10 20 b) Tính tổng S a1 2a2 4a3 2 a20 A. S 1710 B. S 1510 C. S 1720 D. S 710
7. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 1 1 1 1 ( 1)n Câu 8: Tính tổng sau: S C 0 C1 C3 C 4 C n 2 n 4 n 6 n 8 n 2(n 1) n 1 1 A. B. 1 C. 2 D. 2(n 1) (n 1) 1 n 1 2 n 2 3 n 3 n Câu 9: Tính tổng sau: S Cn 3 2Cn 3 3Cn 3 nCn A. n.4n 1 B. 0 C. 1 D. 4n 1 1 1 1 Câu 10: Tính các tổng sau: S C 0 C1 C 2 C n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2n 1 1 2n 1 1 2n 1 1 2n 1 1 A. B. C. 1 D. 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 2 n Câu 11: Tính các tổng sau: S2 Cn 2Cn nCn A. 2n.2n 1 B. n.2n 1 C. 2n.2n 1 D. n.2n 1 2 3 4 n Câu 12: Tính các tổng sau: S3 2.1.Cn 3.2Cn 4.3Cn n(n 1)Cn . A. n(n 1)2n 2 B. n(n 2)2n 2 C. n(n 1)2n 3 D. n(n 1)2n 2 32 1 3n 1 1 Câu 13: Tính tổng S C 0 C1 C n n 2 n n 1 n 4n 1 2n 1 4n 1 2n 1 A. S B. S 1 n 1 n 1 4n 1 2n 1 4n 1 2n 1 C. S 1 D. S 1 n 1 n 1 22 1 2n 1 1 Câu 14: Tính tổng S C 0 C1 C n n 2 n n 1 n 3n 1 2n 1 3n 2n 1 3n 1 2n 3n 1 2n 1 A. S B. S C. S D. S n 1 n 1 n 1 n 1 1 2 2 3 n 2n 1 Câu 15: Tìm số nguyên dương n sao cho : C2n 1 2.2C2n 1 3.2 C2n 1 (2n 1)2 C2n 1 2005 A. n 1001 B. n 1002 C. n 1114 D. n 102 0 n 1 n 1 1 n 2 n 2 n 1 0 0 Câu 16: Tính tổng1.3 .5 Cn 2.3 .5 Cn n.3 5 Cn A. n.8n 1 B. (n 1).8n 1 C. (n 1).8n D. n.8n 2 3 4 n Câu 17: Tính tổng S 2.1Cn 3.2Cn 4.3Cn n(n 1)Cn A. n(n 1)2n 2 B. n(n 1)2n 2 C. n(n 1)2n D. (n 1)2n 2 0 2 1 2 2 2 n 2 Câu 18: Tính tổng Cn Cn Cn Cn n n 1 n n 1 A. C2n B. C2n C. 2C2n D. C2n 1 n 0 n 1 n 1 2 n 2 n 2 n 0 Câu 19: Tính tổng sau: S1 5 Cn 5 .3.Cn 3 .5 Cn 3 Cn A. 28n B. 1 8n C. 8n 1 D. 8n 0 2 2 2010 2010 Câu 20: S2 C2011 2 C2011 2 C2011 32011 1 3211 1 32011 12 32011 1 A. B. C. D. 2 2 2 2 Câu 21: Tính tổng S C1 2C 2 nC n 3 n n n A. 4n.2n 1 B. n.2n 1 C. 3n.2n 1 D. 2n.2n 1
8. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi n N và với mọi cặp số a, b ta có: n n k n k k (a b) Cn a b k 0 2. Tính chất: 1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1 2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n k n k k 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, , n) k n k 4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau:Cn Cn 0 n k 1 k k 5) Cn Cn 1, Cn Cn Cn 1 * Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn: n 0 n 1 n 1 n 0 1 n n (1+x) = Cn x Cn x Cn Cn Cn Cn 2 n 0 n 1 n 1 n n 0 1 n n (x–1) = Cn x Cn x ( 1) Cn Cn Cn ( 1) Cn 0 Từ khai triển này ta có các kết quả sau 0 1 n n * Cn Cn Cn 2 0 1 2 n n * Cn Cn Cn ( 1) Cn 0 B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp: n n p q n k p n k q k k n k k np pk qk ax bx Cn ax bx Cn a b x k 0 k 0 Số hạng chứa xm ứng với giá trị k thỏa: np pk qk m . m np Từ đó tìm k p q m k n k k Vậy hệ số của số hạng chứa x là: Cn a .b với giá trị k đã tìm được ở trên. Nếu k không nguyên hoặc k n thì trong khai triển không chứa xm , hệ số phải tìm bằng 0. Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa xm trong khai triển p q n 2n P x a bx cx được viết dưới dạng a0 a1x a2n x . Ta làm như sau: n p q n k n k p q k * Viết P x a bx cx Cn a bx cx ; k 0 k * Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng bx p cxq thành một đa thức theo luỹ thừa của x. * Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của xm . Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn Ta làm như sau:
9. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 * Tính hệ số ak theo k và n ; * Giải bất phương trình ak 1 ak với ẩn số k ; * Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên. Câu 1: Trong khai triển 2a b 5 , hệ số của số hạng thứ3bằng: A. 80 . B. 80 . C. 10 . D. 10. Hướng dẫn giải: Chọn B. 5 0 5 1 4 2 3 2 Ta có: 2a b C5 2a C5 2a b C5 2a b 2 Do đó hệ số của số hạng thứ3bằngC5 .8 80 . n 6 Câu 2: Trong khai triển nhị thức a 2 , n ¥ . Có tất cả17 số hạng. Vậy n bằng: A. 17 . B. 11. C. 10. D. 12. Hướng dẫn giải: Chọn C. n 6 Trong khai triển a 2 , n ¥ có tất cả n 7 số hạng. Do đó n 7 17 n 10 . 10 Câu 3: Trong khai triển 3x2 y , hệ số của số hạng chính giữa là: 4 4 4 4 5 5 5 5 A. 3 .C10 . B. 3 .C10 . C. 3 .C10 . D. 3 .C10 . Hướng dẫn giải: Chọn D. 10 Trong khai triển 3x2 y có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6 . 5 5 Vậy hệ số của số hạng chính giữa là 3 .C10 . Câu 4: Trong khai triển 2x 5y 8 , hệ số của số hạng chứa x5.y3 là: A. 22400 . B. 40000 . C. 8960 . D. 4000 . Hướng dẫn giải: Chọn A. k k 8 k k k k 8 k k 8 k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 ( 1) C8 .(2x) (5y) ( 1) C8 .2 5 .x .y Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3. Khi đó hệ số của số hạng chứa x5.y3 là: 22400 . 6 2 3 Câu 5: Trong khai triển x , hệ số của x , x 0 là: x A. 60 . B. 80 . C. 160. D. 240 . Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 k k 6 k k 2 Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C6 .x 2 .x 1 Yêu cầu bài toán xảy ra khi 6 k k 3 k 3 . 2 3 3 3 Khi đó hệ số của x là:C6 .2 160 . 7 2 1 Câu 6: Trong khai triển a , số hạng thứ 5 là: b A. 35.a6.b 4 . B. 35.a6.b 4 . C. 35.a4.b 5 . D. 35.a4.b . Hướng dẫn giải: Chọn A.
10. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 k 14 2k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C7 .a .b 4 6 4 6 4 Vậy số hạng thứ 5 là T5 C7 .a .b 35.a .b Câu 7: Trong khai triển 2a 1 6 , tổng ba số hạng đầu là: A. 2a6 6a5 15a4 . B. 2a6 15a5 30a4 . C. 64a6 192a5 480a4 . D. 64a6 192a5 240a4 . Hướng dẫn giải: Chọn D. 6 0 6 6 1 5 5 2 4 4 Ta có: 2a 1 C6 .2 a C6.2 a C6 .2 a Vậy tổng 3 số hạng đầu là 64a6 192a5 240a4 . 16 Câu 8: Trong khai triển x y , tổng hai số hạng cuối là: A. 16x y15 y8 . B. 16x y15 y4 . C. 16xy15 y4 . D. 16xy15 y8 . Hướng dẫn giải: Chọn A. 16 15 16 0 16 1 15 15 16 Ta có: x y C16 x C16 x . y C16 x y C16 y 6 2 1 9 3 Câu 9: Trong khai triển 8a b , hệ số của số hạng chứa a b là: 2 A. 80a9.b3 . B. 64a9.b3 . C. 1280a9.b3 . D. 60a6.b4 . Hướng dẫn giải: Chọn C. k k 6 k 12 2k k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 1 C6 .8 a .2 b Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3. Khi đó hệ số của số hạng chứa a9b3 là: 1280a9.b3 . 9 8 Câu 10: Trong khai triển x 2 , số hạng không chứa x là: x A. 4308 . B. 86016 . C. 84 . D. 43008 . Hướng dẫn giải: Chọn D. k 9 k k 2k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C9 .x 8 .x Yêu cầu bài toán xảy ra khi 9 k 2k 0 k 3 . 3 3 Khi đó số hạng không chứa x là:C9 .8 43008 . Câu 11: Trong khai triển 2x 1 10 , hệ số của số hạng chứa x8 là: A. 11520 . B. 45 . C. 256 . D. 11520. Hướng dẫn giải: Chọn D. k 10 k 10 k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C10.2 .x . 1 Yêu cầu bài toán xảy ra khi 10 k 8 k 2 . 8 2 8 Khi đó hệ số của số hạng chứa x là:C10.2 11520 . Câu 12: Trong khai triển a 2b 8 , hệ số của số hạng chứa a4.b4 là: A. 1120. B. 560 . C. 140. D. 70 . Hướng dẫn giải: Chọn A. k 8 k k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C8 .a . 2 .b
11. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 4 . 4 4 4 4 Khi đó hệ số của số hạng chứa a .b là:C8 .2 1120. Câu 13: Trong khai triển 3x y 7 , số hạng chứa x4 y3 là: A. 2835x4 y3 . B. 2835x4 y3 . C. 945x4 y3 . D. 945x4 y3 . Hướng dẫn giải: Chọn A. k 7 k 7 k k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C7 .3 x . 1 .y Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3. 4 3 3 4 4 3 4 Khi đó hệ số của số hạng chứa x .y là: C7 .3 .x .y 2835.x .y . Câu 14: Trong khai triển 0,2 + 0,8 5 , số hạng thứ tư là: A. 0,0064 . B. 0,4096 . C. 0,0512 . D. 0,2048 . Hướng dẫn giải: Chọn D. k 5 k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C5 .(0,2) .(0,8) 3 2 3 Vậy số hạng thứ tư là T4 C5 .(0,2) .(0,8) 0,2028 Câu 15: Hệ số của x3 y3 trong khai triển 1 x 6 1 y 6 là: A. 20 . B. 800 . C. 36 . D. 400 . Hướng dẫn giải: Chọn D. k k m m Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C6 .x .C6 .y Yêu cầu bài toán xảy ra khi k m 3. 3 3 3 3 Khi đó hệ số của số hạng chứa x y là:C6 .C6 400 . Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển 3x 2y 4 là: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A. C4 x y . B. 6 3x 2y . C. 6C4 x y . D. 36C4 x y . Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 2 2 2 2 Số hạng chính giữa trong khai triển trên là số hạng thứ ba: C4 3x 2y 6 3x 2y . 11 8 3 Câu 17: Trong khai triển x y , hệ số của số hạng chứa x .y là 3 3 5 8 A. C11 . B. C11 . C. C11 . D. C11 . Hướng dẫn giải: Chọn B. k 11 k k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C11.x . 1 .y Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3. 8 3 3 Khi đó hệ số của số hạng chứa x .y là: C11 . Câu 18: Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức sau: f (x) (1 2x)10 A. 15360 B. 15360 C. 15363 D. 15363 Hướng dẫn giải: Chọn A. 10 10 k 10 k k k k k Ta có f (x) Cn 1 ( 2x) C10 ( 2) x k 0 k 0 Số hạng chứa x7 ứng với giá trị k 7 7 7 7 Vậy hệ số của x là: C10 ( 2) 15360 .
12. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Câu 19: Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức sau: h(x) x(2 3x)9 A. 489889 B. 489887 C. 489888 D. 489888 Hướng dẫn giải: Chọn D. 9 9 9 k 9 k k k 9 k k k Ta có (2 3x) C9 2 (3x) C9 2 3 .x k 0 k 0 9 k 9 k k k 1 h(x) C9 2 3 x . k 0 Số hạng chứa x7 ứng với giá trị k thỏa k 1 7 k 6 7 6 3 6 Vậy hệ số chứa x là: C9 2 3 489888. Câu 20: Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức sau: g(x) (1 x)7 (1 x)8 (2 x)9 A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 Hướng dẫn giải: Chọn A. 7 7 7 k k 7 Hệ số của x trong khai triển (1 x) C7 x là : C7 1 k 0 8 7 8 k k k 7 7 Hệ số của x trong khai triển (1 x) C8 ( 1) x là : C8 ( 1) 8 k 0 9 7 9 k k 9 Hệ số của x trong khai triển (1 x) C9 x là : C7 36 . k 0 Vậy hệ số chứa x7 trong khai triển g(x) thành đa thức là: 29 . Chú ý: 1 * Với a 0 ta có: a n với n ¥ . an m * Với a 0 ta có: n am a n với m,n ¥ ;n 1. Câu 21: Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức sau: f (x) (3 2x)10 A. 103680 B. 1301323 C. 131393 D. 1031831 Hướng dẫn giải: Chọn A. 10 10 k 10 k k k 10 k k k Ta có f (x) Cn 3 (2x) C10 3 ( 2) x k 0 k 0 Số hạng chứa x8 ứng với giá trị k 8 8 8 2 8 Vậy hệ số của x là: C10.3 .( 2) 103680 . Câu 22: Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức sau: h(x) x(1 2x)9 A. 4608 B. 4608 C. 4618 D. 4618 Hướng dẫn giải: Chọn A. 9 9 9 k 9 k k k k k Ta có (1 2x) C9 1 ( 2x) C9 ( 2) .x k 0 k 0 9 k k k 1 h(x) C9 ( 2) x . k 0 Số hạng chứa x8 ứng với giá trị k thỏa k 1 8 k 7 8 7 7 Vậy hệ số chứa x là: C9 ( 2) 4608 . Câu 23: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f (x) (3x2 1)10
13. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 A. 17010 B. 21303 C. 20123 D. 21313 Hướng dẫn giải: Chọn A. 10 k k 2k 8 8 4 4 Ta có: f (x) C10 3 x , số hạng chứa x ứng với k 4 nên hệ số x là: C10.3 17010 . k 0 8 8 2 3 Câu 24: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f (x) 5x x A. 1312317 B. 76424 C. 427700 D. 700000 Hướng dẫn giải: Chọn D. 8 k 8 k k 4k 8 8 8 Ta có: f (x) C8 2 ( 5) x , số hạng chứa x ứng với k 4 nên hệ số của x là: k 0 4 4 4 C8 .2 .( 5) 700000 . 12 8 3 x Câu 25: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f (x) x 2 297 29 27 97 A. B. C. D. 512 51 52 12 Hướng dẫn giải: Chọn A. 12 k 12 k k 2k 12 8 8 Ta có: f (x) C12 3 .2 .x , số hạng chứa x ứng với k 10 nên hệ số của x là: k 0 297 C10.32.2 10 . 12 512 Câu 26: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f (x) (1 x 2x2 )10 A. 37845 B. 14131 C. 324234 D. 131239 Hướng dẫn giải: Chọn A. 10 10 k k 2 10 k k k j 10 k 20 2k j Ta có: f (x) C10 (2x ) (1 x) C10Ck .2 x k 0 k 0 j 0 8 0 j k 10 Số hạng chứa x ứng với cặp (k, j) thỏa: j 2k 12 Nên hệ số của x8 là: 6 0 4 7 2 3 8 4 2 9 6 10 8 C10C6 .2 C10C7 2 C10C8 2 C10C9 2 C10 C10 37845 Câu 27: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f (x) 8(1 8x)8 9(1 9x)9 10(1 10x)10 0 8 1 8 8 8 0 8 1 8 8 8 A. 8.C8 .8 C9.9 10.C10.10 B. C8 .8 C9.9 C10.10 0 8 1 8 8 8 0 8 1 8 8 8 C. C8 .8 9.C9.9 10.C10.10 D. 8.C8 .8 9.C9.9 10.C10.10 Hướng dẫn giải: Chọn D. 8 8 k 8 k 8 k Ta có: (1 8x) C8 8 x k 0 9 9 k 9 k 9 k (1 9x) C9 9 x k 0 10 10 k 10 k 10 k (1 10x) C1010 x k 0
14. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 8 0 8 1 8 8 8 Nên hệ số chứa x là: 8.C8 .8 9.C9.9 10.C10.10 Câu 28: Tìm hệ số của x8 trong khai triển biểu thức sau: g(x) 8(1 x)8 9(1 2x)9 10(1 3x)10 A. 22094 B. 139131 C. 130282 D. 21031 Hướng dẫn giải: Chọn A. n n k k k k n k k Ta có: 1 ax Cn a x nên ta suy ra hệ số của x trong khai triển (1 ax) là Cn a . Do đó: i 0 8 8 8 Hệ số của x trong khai triển (1 x) là : C8 8 9 8 8 Hệ số của x trong khai triển (1 2x) là : C9 .2 8 10 8 8 Hệ số của x trong khai triển (1 3x) là :C10.3 . 8 8 8 8 8 8 Vậy hệ số chứa x trong khai triển g(x) thành đa thức là:8C8 9.2 .C9 10.3 .C10 22094 . 15 Câu 29: Hệ số đứng trước x25.y10 trong khai triển x3 xy là: A. 2080 . B. 3003 . C. 2800 . D. . 3200 Hướng dẫn giải: Chọn B. k 45 3k k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C15.x .x .y Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 10 . 15 25 10 3 10 Vậy hệ số đứng trước x .y trong khai triển x xy là:C15 3003 . 18 1 Câu 30: Số hạng không chứa x trong khai triển x 3 là: x 3 9 10 8 3 A. C18 . B. C18 . C. .C 18 D. C18 . Hướng dẫn giải: Chọn A. k 54 3k 3k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C18.x .x Yêu cầu bài toán xảy ra khi 54 3k 3k 0 k 9 . 9 Khi đó số hạng không chứa là:C18 . 12 Câu 31: Khai triển 1 x , hệ số đứng trước x7 là: A. .3 30 B. . – 33 C. . –72 D. . –792 Hướng dẫn giải: Chọn D. k k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C12. 1 .x Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 7 . 7 7 Khi đó hệ số của số hạng chứa x là: C12 792 . 2 Câu 32: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: f (x) (x )12 (x 0) x A. 59136 B. 213012 C. 12373 D. 139412 Hướng dẫn giải: Chọn A. 12 1 12 k 12 k 1 k Ta có: f (x) (x 2.x ) C12 x .( 2x ) k 0 12 k k 12 2k C12 ( 2) x k 0 Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12 2k 0
15. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 6 6 k 6 số hạng không chứa x là: C12.2 59136 . 1 Câu 33: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: g(x) ( 4 x3 )17 (x 0) 3 x2 A. 24310 B. 213012 C. 12373 D. 139412 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 3 1 Vì x 3 ; 4 x3 x 4 nên ta có 3 x2 2 17 k 3 k 17k 136 17 17 k 3 4 k 12 f (x) C17 x . x C17 .x k 0 k 0 Hệ số không chứa x ứng với giá trị k thỏa: 17k 136 0 k 8 8 Vậy hệ số không chứa x là: C17 24310 . n 8 1 5 Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của 3 x biết x n 1 n Cn 4 Cn 3 7 n 3 . A. 495 B. 313 C. 1303 D. 13129 Hướng dẫn giải: Chọn A. n 1 n n n 1 n Ta có: Cn 4 Cn 3 7 n 3 Cn 3 Cn 3 Cn 3 7 n 3 n 2 n 3 C n 1 7 n 3 7 n 3 n 3 2! n 2 7.2! 14 n 12 . n 5 12 k 60 11k 1 12 k 12 Khi đó: x5 C k x 3 . x 2 C k x 2 . 3  12  12 x k 0 k 0 60 11k Số hạng chứa x8 ứng với k thỏa: 8 k 4 . 2 12! Do đó hệ số của số hạng chứa x8 là: C 4 495 . 12 4! 12 4 ! n 1 Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức x x2 với n là số x nguyên dương thoả mãn 3 2 k k Cn 2n An 1 .( Cn , An tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử). A. 98 B. 98 C. 96 D. 96 Hướng dẫn giải: Chọn A. n 3 3 2 Ta có:Cn 2n An 1 n n 1 n 2 2n n 1 n 6 n 3 n 8 2 . n 9n 8 0 Theo nhị thức Newton ta có: 8 8 1 2 1 0 1 1 1 x x x 1 x C8 8 C8 6 1 x x x x x
16. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 1 2 1 3 4 8 C 2 1 x C3 1 x C 4 1 x C8 x8 1 x 8 x4 8 x2 8 8 Số hạng không phụ thuộc vào x chỉ có trong hai biểu thức 1 3 4 C3 1 x và C 4 1 x . 8 x2 8 3 2 4 0 Trong đó có hai số hạng không phụ thuộc vào x là: C8 .C3 và C8 .C4 3 2 4 0 Do đó số hạng không phụ thuộc vào x là: C8 .C3 C8 .C4 98. 40 1 31 Câu 36: Trong khai triển f x x 2 , hãy tìm hệ số của x x A. 9880 B. 1313 C. 14940 D. 1147 Hướng dẫn giải: Chọn A. 18 3 1 Câu 37: Hãy tìm trong khai triển nhị thức x 3 số hạng độc lập đối với x x A. 9880 B. 1313 C. 14940 D. 48620 Hướng dẫn giải: Chọn D. 9 C18 48620 12 4 x 3 Câu 38: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 3 x 55 13 621 1412 A. B. C. D. 9 2 113 3123 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 55 ( 3)4 C 4 38 12 9 15 Câu 39: Tính hệ số của x25 y10 trong khai triển x3 xy A. 300123 B. 121148 C. 3003 D. 1303 Hướng dẫn giải: Chọn C. 10 C15 3003 Câu 40: Cho đa thức P x 1 x 2 1 x 2 20 1 x 20 có dạng khai triển là 2 20 P x a0 a1x a2 x a20 x . Hãy tính hệ số a15 . A. 400995 B. 130414 C. 511313 D. 412674 Hướng dẫn giải: Chọn A. 20 15 a15  kCk 400995 k 15 9 Câu 41: Tìm số hạng của khai triển 3 3 2 là một số nguyên A. 8 và 4536 B. 1 và 4184 C. 414 và 12 D. 1313 Hướng dẫn giải: Chọn A.
17. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 9 9 k 9 k 3 k 3 Ta có 3 2 C9 3 2 k 0 Số hạng là số nguyên ứng với các giá trị của k thỏa: k 2m 9 k 3n k 0,k 6 k 0, ,9 9 6 3 0 3 6 3 Các số hạng là số nguyên: C9 2 8 và C9 3 2 1 Câu 42: Xét khai triển f (x) (2x )20 x 1. Viết số hạng thứ k 1 trong khai triển k 20 k 20 k k 20 k 20 2k A. Tk 1 C20.2 .x B. Tk 1 C10.2 .x k 20 4k 20 2k k 20 k 20 2k C. Tk 1 C20.2 .x D. Tk 1 C20.2 .x 2. Số hạng nào trong khai triển không chứa x 1 10 10 10 10 4 10 10 A. C20.2 B. A20 .2 C. C20 .2 D. C20 .2 Hướng dẫn giải: 1 1. Ta có:T C k (2x)20 k C k .220 k.x20 2k k 1 20 xk 20 2. Số hạng không chứa x ứng với k: 20 2k 0 k 10 10 10 Số hạng không chứa x: C20 .2 Câu 43: Xác định hệ số của x4 trong khai triển sau: f (x) (3x2 2x 1)10 . A. 8089 B. 8085 C. 1303 D. 11312 Hướng dẫn giải: Chọn B. 10 2 10 k 2 k f x 1 2x 3x C10 2x 3x k 0 10 k 10 k k i k i 2 i k i k i i k i C10 Ck (2x) .(3x ) C10 Ck 2 .3 x k 0 i 0 k 0 i 0 với 0 i k 10. Do đó k i 4 với các trường hợp i 0,k 4 hoặc i 1,k 3 hoặc i k 2. 4 4 4 0 2 1 3 1 2 2 2 Vậy hệ số chứa x : 2 C10.C4 2 3 C10.C3 3 C10.C2 8085 . Câu 44: Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của (2 3x)2n , biết n là số nguyên dương thỏa 1 3 5 2n 1 mãn : C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 1024 . A. 2099529 B. 2099520 C. 2099529 D. 2099520 Hướng dẫn giải: Chọn B. 2n 1 C k 22n 1  2n 1 n k 0 Ta có: C 2i 1 22n 1024 n 5 n n  2n 1 2i 1 2i i 0 C2n 1 C2n 1 i 0 i 0 10 2n k 10 k k k Suy ra (2 3x) C10 2 .( 3) x k 0 7 7 3 7 Hệ số của x là C10.2 .( 3) 2099520 .
18. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Câu 45: Tìm hệ số của x9 trong khai triển f (x) (1 x)9 (1 x)10 (1 x)14 A. 8089 B. 8085 C. 3003 D. 11312 Hướng dẫn giải: Chọn C. 9 9 9 9 9 9 9 Hệ số của x : C9 C10 C11 C12 C13 C14 3003. Câu 46: Tìm hệ số của x5 trong khai triển đa thức của: x 1 2x 5 x2 1 3x 10 A. 3320 B. 2130 C. 3210 D. 1313 Hướng dẫn giải: Chọn A. Đặt f (x) x 1 2x 5 x2 1 3x 10 5 10 k k k 2 i i Ta có : f (x) xC5 2 .x x C10 3x k 0 i 0 5 10 k k k 1 i i i 2 C5 2 .x C10 3 .x k 0 i 0 Vậy hệ số của x5 trong khai triển đa thức của f (x) ứng với k 4 và i 3 là: 4 4 3 3 C5 2 C10.3 3320 . 8 2 8 Câu 47: Tìm hệ số cuả x trong khai triển đa thức f (x) 1 x 1 x A. 213 B. 230 C. 238 D. 214 Hướng dẫn giải: Chọn C. Cách 1 8 2 0 1 2 2 4 2 3 6 3 1 x 1 x C8 C8 x 1 x C8 x 1 x C8 x 1 x 4 8 4 5 10 5 8 16 8 C8 x 1 x C8 x 1 x C8 x 1 x Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối 8 3 2 4 0 lớn hơn 8. Do đó x chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: C8 .C3 , C8 .C4 . 8 2 8 Vậy hệ số cuả x trong khai triển đa thức 1 x 1 x là: 3 2 4 0 a8 C8 .C3 C8 .C4 238. Cách 2: Ta có: 8 8 n 8 2 n 2n n n k k 2n k 1 x 1 x C8 x 1 x C8 Cn 1 x n 0 n 0 k 0 với 0 k n 8 . Số hạng chứa x8 ứng với 2n k 8 k 8 2n là một số chẵn. Thử trực tiếp ta được k 0;n 4 và k 2,n 3 . 8 3 2 4 0 Vậy hệ số của x là C8 .C3 C8 .C4 238 . 2 10 20 Câu 48: Đa thức P x 1 3x 2x a0 a1x a20 x . Tìm a15 10 5 5 9 6 3 8 7 A. a15 C10 .C10.3 C10.C9 .3 C10.C8 .3. 10 5 5 9 6 6 8 7 7 B. a15 C10 .C10.2 C10.C9 .2 C10.C8 .2 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7 C. a15 C10 .C10.3 .2 C10.C9 .3 .2 C10.C8 .2 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7 D. a15 C10 .C10.3 .2 C10.C9 .3 .2 C10.C8 .3.2 Hướng dẫn giải: Chọn D.
19. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 10 2 10 k 2 k Ta có: P x 1 3x 2x C10 3x 2x k 0 10 k 10 k k i k i 2 i k i k i i k i C10 Ck (3x) .(2x ) C10 Ck .3 .2 x k 0 i 0 k 0 i 0 với 0 i k 10 . Do đó k i 15 với các trường hợp k 10,i 5 hoặc k 9,i 6 hoặc k 8,i 7 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7 Vậy a15 C10 .C10.3 .2 C10.C9 .3 .2 C10.C8 .3.2 . 2 Câu 49: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau (x3 )n , biết rằng C n 1 C n 2 78 với x n n x 0 A. 112640 B. 112640 C. 112643 D. 112643 Hướng dẫn giải: Chọn A. n! n! Ta có: C n 1 C n 2 78 78 n n (n 1)!1! (n 2)!2! n(n 1) n 78 n2 n 156 0 n 12 . 2 12 12 3 2 k k 36 4k Khi đó: f (x) x C12 ( 2) x x k 0 Số hạng không chứa x ứng với k :36 4k 0 k 9 9 9 Số hạng không chứa x là: ( 2) C12 112640 3n 3 Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi a3n 3 là hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 2 n n (x 1) (x 2) . Tìm n để a3n 3 26n A. n=5 B. n=4 C. n=3 D. n=2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Cách 1:Ta có : 2 n 0 2n 1 2n 2 2 2n 4 n x 1 Cn x Cn x Cn x Cn n 0 n 1 n 1 2 2 n 2 n n x 2 Cn x 2Cn x 2 Cn x 2 Cn Dễ dàng kiểm tra n 1, n 2 không thoả mãn điều kiện bài toán. Với n 3 thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích x3n 3 x2n .xn 3 x2n 2.xn 1 Do đó hệ số của x3n 3 trong khai triển thành đa thức của n 2 n 3 0 3 1 1 x 1 x 2 là : a3n 3 2 .Cn .Cn 2.Cn .Cn . 2 2n 2n 3n 4 7 Suy ra a 26n 26n n hoặc n 5 3n 3 3 2 Vậy n 5 là giá trị cần tìm. Cách 2: n n 2 n n 3n 1 2 Ta có: x 1 x 2 x 1 2 1 x x i k n 1 n 2 n n x3n Ci C k x3n Ci x 2i C k 2k x k  n 2  n  n  n i 0 x k 0 x i 0 k 0 Trong khai triển trên, luỹ thừa của x là 3n 3 khi 2i k 3 2i k 3 .
20. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là i 0,k 3 hoặc i 1,k 1(vì i,k nguyên). n Hệ số của x3n 3 trong khai triển thành đa thức của x2 1 x 2 n 0 3 3 1 1 Là : a3n 3 Cn .Cn .2 Cn .Cn .2 . 2 2n 2n 3n 4 7 Do đó a 26n 26n n hoặc n 5 3n 3 3 2 Vậy n 5 là giá trị cần tìm. n 26 1 7 Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 4 x , biết x 1 2 n 20 C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 1. A. 210 B. 213 C. 414 D. 213 Hướng dẫn giải: Chọn A. k 2n 1 k Do C2n 1 C2n 1 k 0,1,2, ,2n 1 0 1 n n 1 n 2 2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 1 2 2n 1 2n 1 Mặt khác: C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 0 1 2 n 2n 1 2(C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1) 2 1 2 n 2n 0 2n C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 C2n 1 2 1 22n 1 220 1 n 10 . 10 10 1 10 10 Khi đó: x7 x 4 x7 C k (x 4 )10 k .x7k C k x11k 40 4  10  10 x k 0 k 0 Hệ số chứa x26 ứng với giá trị k : 11k 40 26 k 6 . 26 6 Vậy hệ số chứa x là: C10 210 . n n Câu 52: Cho n ¥ * và (1 x) a0 a1x an x . Biết rằng tồn tại số nguyên k (1 k n 1) sao a a a cho k 1 k k 1 . Tính n ? . 2 9 24 A. 10 B. 11 C. 20 D. 22 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 n! 1 n! k 2 (k 1)!(n k 1)! 9 (n k)!k! Ta có: ak Cn , suy ra hệ 1 n! 1 n! 9 (n k)!k! 24 (n k 1)!(k 1)! 9k 2(n k 1) 2n 11k 2 n 10,k 2. 24(k 1) 9(n k) 9n 33k 24 1 2 Câu 53: Trong khai triển của ( x)10 thành đa thức 3 3 2 9 10 a0 a1x a2 x a9 x a10 x , hãy tìm hệ số ak lớn nhất ( 0 k 10 ). 210 210 210 210 A. a 3003 B. a 3003 C. a 3003 D. a 3003 10 315 5 315 4 315 9 315 Hướng dẫn giải: Chọn A.
21. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 15 15 k k 1 2 15 1 2 15 2k Ta có: x C k x C k xk  15  15 15 3 3 k 0 3 3 k 0 3 k 1 k k Hệ số của x trong khai triển ak 15 C15 2 3 k 1 k 1 k k k 1 k Ta có: ak 1 ak C15 2 C15 2 C15 2C15 32 k k 10. Từ đó: a a a 3 0 1 10 Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được: 32 a a k a a a k 1 k 3 10 11 15 210 210 Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: a C10 3003 . 10 315 15 315 n 2 n Câu 54: Giả sử (1 2x) a0 a1x a2 x an x , biết rằng a0 a1 an 729. Tìm n và số lớn nhất trong các số a0 ,a1, ,an . A. n=6, max ak  a4 240 B. n=6, max ak  a6 240 C. n=4, max ak  a4 240 D. n=4, max ak  a6 240 Hướng dẫn giải: Chọn A. n n Ta có: a0 a1 an (1 2.1) 3 729 n 6 k k ak C6 2 suy ra max ak  a4 240 . n n Câu 55: Cho khai triển (1 2x) a0 a1x an x , trong đó n ¥ *. Tìm số lớn nhất trong các số a a a ,a , ,a , biết các hệ số a ,a , ,a thỏa mãn hệ thức: a 1 n 4096 . 0 1 n 0 1 n 0 2 2n A. 126720 B. 213013 C. 130272 D. 130127 Hướng dẫn giải: Chọn A. n n Đặt f (x) (1 2x) a0 a1x an x a1 an 1 n n a0 n f 2 2 4096 n 12 2 2 2 k k k 1 k 1 Với mọi k 0,1,2, ,11 ta có: ak 2 C12 , ak 1 2 C12 k k ak 2 C12 k 1 23 1 k 1 k 1 1 1 k ak 1 2 C12 2(12 k) 3 Mà k Z k 7 . Do đó a0 a1 a8 ak Tương tự: 1 k 7 a8 a9 a12 ak 1 8 8 Số lớn nhất trong các số a0 ,a1, ,a12 là a8 2 C12 126720 .
22. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 n k k DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG  akCn b . k 0 Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton n 0 n n 1 1 n 2 2 2 n n (a b) Cn a a bCn a b Cn b Cn . Ta chọn những giá trị a,b thích hợp thay vào đẳng thức trên. Một số kết quả ta thường hay sử dụng: k n k * Cn Cn 0 1 n n * Cn Cn Cn 2 n k k * ( 1) Cn 0 k 0 n n 2n 2k 2k 1 1 k * C2n C2n C2n k 0 k 0 2 k 0 n k k n * Cn a (1 a) . k 0 Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng. Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn. 0 1 2 3 n Câu 1: Tổng T Cn Cn Cn Cn Cn bằng: A. T 2n . B. T 2n – 1. C. T 2n 1. D. T 4n . Hướng dẫn giải: Chọn A. Tính chất của khai triển nhị thức Niu – Tơn. 0 1 6 Câu 2: Tính giá trị của tổng S C6 C6 C6 bằng: A. 64 . B. 48 . C. 72 . D. 100. Hướng dẫn giải: Chọn A. 0 1 6 6 S = C6 +C6 + +C6 2 64 5 0 1 5 Câu 3: Khai triển x y rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S C5 C5 C5 A. 32 . B. 64 . C. 1. D. 12 . Hướng dẫn giải: Chọn A. 0 1 5 5 Với x 1, y 1 ta có S= C5 +C5 + +C5 (1 1) 32 . 0 1 2 n n Câu 4: Tìm số nguyên dương n sao cho: Cn 2Cn 4Cn 2 Cn 243 A. 4 B. 11 C. 12 D. 5 Hướng dẫn giải: Chọn D. n 0 1 2 2 n n Xét khai triển: (1 x) Cn xCn x Cn x Cn 0 1 2 n n n Cho x 2 ta có: Cn 2Cn 4Cn 2 Cn 3 Do vậy ta suy ra 3n 243 35 n 5. 5 0 1 5 Câu 5: Khai triển x y rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S C5 C5 C5 A. 32 . B. 64 . C. 1. D. 12 . Hướng dẫn giải: Chọn A.
23. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 0 1 5 5 Với x 1, y 1 ta có S= C5 +C5 + +C5 (1 1) 32 . 2 3 5 2 15 Câu 6: Khai triển 1 x x x a0 a1x a2 x a15 x a) Hãy tính hệ số a10 . 0 4 4 3 0 5 2 4 4 3 A. a10 C5 . C5 C5 C5 B. a10 C5 .C5 C5 C5 C5 C5 0 5 2 4 4 3 0 5 2 4 4 3 C. a10 C5 .C5 C5 C5 C5 C5 D. a10 C5 .C5 C5 C5 C5 C5 b) Tính tổng T a0 a1 a15 và S a0 a1 a2 a15 A. 131 B. 147614 C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Đặt f (x) (1 x x2 x3 )5 (1 x)5 (1 x2 )5 10 0 5 2 4 4 3 a) Do đó hệ số x bằng: a10 C5 .C5 C5 C5 C5 C5 b) T f (1) 45 ; S f ( 1) 0 2 10 2 20 Câu 7: Khai triển 1 2x 3x a0 a1x a2 x a20 x a) Hãy tính hệ số a4 0 4 4 4 0 4 0 4 4 A. a4 C10.2 B. a4 2 C10 C. a4 C10C10 D. a4 C10.2 C10 20 b) Tính tổng S a1 2a2 4a3 2 a20 A. S 1710 B. S 1510 C. S 1720 D. S 710 Hướng dẫn giải: 10 2 10 k k 2k 10 k Đặt f (x) (1 2x 3x ) C10 3 x (1 2x) k 0 10 10 k k k 2k i 10 k i 10 k i C10 3 x  C10 k 2 x k 0 i 0 10 10 k k i k 10 k i 10 k i   C10C10 k 3 2 x k 0 i 0 0 4 4 a) Ta có: a4 C10.2 C10 b) Ta có S f (2) 1710 1 1 1 1 ( 1)n Câu 8: Tính tổng sau: S C 0 C1 C3 C 4 C n 2 n 4 n 6 n 8 n 2(n 1) n 1 1 A. B. 1 C. 2 D. 2(n 1) (n 1) Hướng dẫn giải: Chọn A. n 1 0 1 1 1 2 ( 1) n Ta có: S Cn Cn Cn Cn 2 2 3 n 1 k k n ( 1) k ( 1) k 1 1 k k 1 Vì Cn Cn 1 nên: S ( 1) Cn 1 k 1 n 1 2(n 1) k 0 n 1 1 k k 0 1 ( 1) Cn 1 Cn 1 . 2(n 1) k 0 2(n 1) 1 n 1 2 n 2 3 n 3 n Câu 9: Tính tổng sau: S Cn 3 2Cn 3 3Cn 3 nCn A. n.4n 1 B. 0 C. 1 D. 4n 1 Hướng dẫn giải:
24. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Chọn A. n k n k 1 Ta có: S 3  kCn k 1 3 k k k 1 1 k 1 Vì kCn n Cn 1 k 1nên 3 3 n k n 1 k n 1 k 1 n 1 1 k n 1 1 n 1 n 1 S 3 .n Cn 1 3 .n Cn 1 3 .n(1 ) n.4 . k 1 3 k 0 3 3 1 1 1 Câu 10: Tính các tổng sau: S C 0 C1 C 2 C n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2n 1 1 2n 1 1 2n 1 1 2n 1 1 A. B. C. 1 D. 1 n 1 n 1 n 1 n 1 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: 1 1 n! 1 (n 1)! C k k 1 n k 1 k!(n k)! n 1 (k 1)![(n 1) (k 1))! 1 C k 1 (*) n 1 n 1 n n 1 n 1 1 k 1 1 k 0 2 1 S1 Cn 1 Cn 1 Cn 1 . n 1 k 0 n 1 k 0 n 1 1 2 n Câu 11: Tính các tổng sau: S2 Cn 2Cn nCn A. 2n.2n 1 B. n.2n 1 C. 2n.2n 1 D. n.2n 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. n! n! Ta có: kC k k. n k!(n k)! (k 1)![(n 1) (k 1)]! (n 1)! n nC k 1 , k 1 (k 1)![(n 1) (k 1)]! n 1 n n 1 k 1 k n 1 S2  nCn 1 nCn 1 n.2 . k 1 k 0 2 3 4 n Câu 12: Tính các tổng sau: S3 2.1.Cn 3.2Cn 4.3Cn n(n 1)Cn . A. n(n 1)2n 2 B. n(n 2)2n 2 C. n(n 1)2n 3 D. n(n 1)2n 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. n! Ta có k(k 1)C k n(n 1)C k 2 n (k 2)!(n k)! n 2 n k 2 n 2 S3 n(n 1)Cn 2 n(n 1)2 . k 2 32 1 3n 1 1 Câu 13: Tính tổng S C 0 C1 C n n 2 n n 1 n 4n 1 2n 1 4n 1 2n 1 A. S B. S 1 n 1 n 1
25. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 4n 1 2n 1 4n 1 2n 1 C. S 1 D. S 1 n 1 n 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có S S1 S2 , trong đó 32 33 3n 1 S C 0 C1 C 2 C n 1 n 2 n 3 n n 1 n 1 1 1 S C1 C 2 C n 2 2 n 3 n n 1 n 2n 1 1 Ta có S 1 2 n 1 Tính S1 ? 3k 1 n! 3k 1 (n 1)! 3k 1 Ta có: C k 3k 1 C k 1 k 1 n (k 1)!(n k)! n 1 (k 1)![(n 1) (k 1)]! n 1 n 1 n n 1 n 1 1 k 1 k 1 0 1 k k 0 0 4 1 S1 3 Cn 2 2Cn 3 Cn 1 Cn 2Cn 2 . n 1 k 0 n 1 k 0 n 1 4n 1 2n 1 Vậy S 1. n 1 22 1 2n 1 1 Câu 14: Tính tổng S C 0 C1 C n n 2 n n 1 n 3n 1 2n 1 3n 2n 1 3n 1 2n 3n 1 2n 1 A. S B. S C. S D. S n 1 n 1 n 1 n 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: S S1 S2 n k 1 n k n 1 k 2 Cn 2 1 Trong đó S1 Cn ; S2  1 k 0 k 1 k 0 k 1 n 1 2k 1 2k 1 3n 1 1 Mà C k C k 1 S 1 k 1 n n 1 n 1 1 n 1 3n 1 2n 1 Suy ra: S . n 1 1 2 2 3 n 2n 1 Câu 15: Tìm số nguyên dương n sao cho : C2n 1 2.2C2n 1 3.2 C2n 1 (2n 1)2 C2n 1 2005 A. n 1001 B. n 1002 C. n 1114 D. n 102 Hướng dẫn giải: Chọn B. 2n 1 k 1 k 1 k Đặt S  ( 1) .k.2 C2n 1 k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 k 1 Ta có: ( 1) .k.2 C2n 1 ( 1) .(2n 1).2 C2n 0 1 2 2 2n 2n Nên S (2n 1)(C2n 2C2n 2 C2n 2 C2n ) 2n 1 Vậy 2n 1 2005 n 1002. 0 n 1 n 1 1 n 2 n 2 n 1 0 0 Câu 16: Tính tổng1.3 .5 Cn 2.3 .5 Cn n.3 5 Cn A. n.8n 1 B. (n 1).8n 1 C. (n 1).8n D. n.8n Hướng dẫn giải: Chọn A.
26. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 n k 1 n k n k Ta có: VT  k.3 .5 Cn k 1 k 1 n k n k k 1 n k k 1 Mà k.3 .5 Cn n.3 .5 .Cn 1 0 n 1 0 1 n 2 1 n 1 0 n 1 Suy ra: VT n(3 .5 Cn 1 3 .5 Cn 1 3 5 Cn 1 ) n(5 3)n 1 n.8n 1 2 3 4 n Câu 17: Tính tổng S 2.1Cn 3.2Cn 4.3Cn n(n 1)Cn A. n(n 1)2n 2 B. n(n 1)2n 2 C. n(n 1)2n D. (n 1)2n 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. n k Ta có: S  k(k 1)Cn k 2 k k 2 Mà k(k 1)Cn n(n 1)Cn 2 0 1 2 n 2 n 2 Suy ra S n(n 1)(Cn 2 Cn 2 Cn 2 Cn 2 ) n(n 1)2 0 2 1 2 2 2 n 2 Câu 18: Tính tổng Cn Cn Cn Cn n n 1 n n 1 A. C2n B. C2n C. 2C2n D. C2n 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: x 1 n 1 x n x 1 2n . Vế trái của hệ thức trên chính là: 0 n 1 n 1 n 0 1 n n Cn x Cn x Cn Cn Cn x Cn x Và ta thấy hệ số của xn trong vế trái là 0 2 1 2 2 2 n 2 Cn Cn Cn Cn n 2n n Còn hệ số của x trong vế phải x 1 là C2n 0 2 1 2 2 2 n 2 n Do đó Cn Cn Cn Cn C2n n 0 n 1 n 1 2 n 2 n 2 n 0 Câu 19: Tính tổng sau: S1 5 Cn 5 .3.Cn 3 .5 Cn 3 Cn A. 28n B. 1 8n C. 8n 1 D. 8n Hướng dẫn giải: Chọn D. n n Ta có: S1 (5 3) 8 0 2 2 2010 2010 Câu 20: S2 C2011 2 C2011 2 C2011 32011 1 3211 1 32011 12 32011 1 A. B. C. D. 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. Xét khai triển: 2011 0 1 2 2 2010 2010 2011 2011 (1 x) C2011 xC2011 x C2011 x C2011 x C2011 Cho x 2 ta có được: 2011 0 1 2 2 2010 2010 2011 2011 3 C2011 2.C2011 2 C2011 2 C2011 2 C2011 (1) Cho x 2 ta có được: 0 1 2 2 2010 2010 2011 2011 1 C2011 2.C2011 2 C2011 2 C2011 2 C2011 (2) Lấy (1) + (2) ta có: 0 2 2 2010 2010 2011 2 C2011 2 C2011 2 C2011 3 1
27. Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 32011 1 Suy ra: S C 0 22 C 2 22010 C 2010 . 2 2011 2011 2011 2 Câu 21: Tính tổng S C1 2C 2 nC n 3 n n n A. 4n.2n 1 B. n.2n 1 C. 3n.2n 1 D. 2n.2n 1 Hướng dẫn giải: Chọn B. n! n! (n 1)! Ta có: kC k k. n nC k 1 , k 1 n k!(n k)! (k 1)![(n 1) (k 1)]! (k 1)![(n 1) (k 1)]! n 1 n n 1 k 1 k n 1 S3  nCn 1 nCn 1 n.2 . k 1 k 0