Giáo án Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Chủ đề 5: Khoảng cách

Nội dung text: Giáo án Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Chủ đề 5: Khoảng cách

1. Chủ đề 1. KHOẢNG CÁCH Trong đời sống ta nói đoạn đường dài từ nhà Lan sang nhà Điệp đó là khoảng cách giữa hai ngôi nhà; giả sử hai bờ sông là hai đường thẳng song song với nhau thì khoảng cách từ một chiếc thuyền đến bờ sông là khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, và trong thực tế còn có nhiều khoảng cách khác nữa. Chuyên đề này, ta sẽ cùng nhau tìm hiểu. Thời lượng dự kiến: 3 tiết I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức - Biết được khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian. - Biết được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. - Biết được khoảng cách giữa hai đường. - Biết được khoẳng cách giữa hai đường thẳng và mặt phẳng song song. - Biết được đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. - Biết được khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. - Nắm và trình bày được các tính chất về khoảng cách và biết cách tính khoảng cách trong các bài toán đơn giản. 2. Kĩ năng - Xác định được khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian. - Xác định được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. - Xác định được khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. - Xác định được khoảng cách giữa hai đường thẳng và mặt phẳng song song. - Xác định được đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. - Vận dụng được định lý ba đường vuông góc để xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, đồng thời biết cách xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. - Nắm được mối liên hệ giữa các loại khoảng cách để đưa các bài toán phức tạp này về các bài toán khoảng cách đơn giản. 3.Về tư duy, thái độ - Tích cực hoạt động; chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới. Có tinh thần hợp tác trong học tập. - Liên hệ được với nhiều vấn đề trong thực tế với bài học. - Phát huy tính độc lập, sáng tạo trong học tập. 4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự quản lý, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử dụng ngôn ngữ. II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 1. Giáo viên + Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, 2. Học sinh + Đọc trước bài + Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Mục tiêu: Hình thành khái niệm khoảng cách giữa hai đối tượng Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động
2. Các hình ảnh xét chiều cao của kim tự tháp hay khoảng cách từ bến tàu ra đảo Phú Quốc. Từ đó HS hình thành khái niệm khoảng cách giữa hai đối tượng trong không gian B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC Mục tiêu: Nắm vững các khoảng cách giữa các đối tượng và biết tìm khoảng cách giữa các đối tượng. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt học sinh động I. Khoảng cách từ một điểm đến một đường Trong hình vẽ (bên dưới) hãy tìm điểm thẳng, một mặt phẳng trên đường thẳng d có khoảng cách đến 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. O là nhỏ nhất? Vì sao? Cho điểm O và đt a. Trong mp(O,a) gọi H là hình O chiếu vuông góc của O trên a. Khi đó khoảng cách OH đgl khoảng cách từ điểm O đến đt a. Kí hiệu d(O,a). O a d α H M1 M2 M3 H M4 M5 d O;a OH. d O;a 0 O a. d O;a OH OM , M a.
3. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt học sinh động B C a A D H B' C' A' D' Ta có, AB  BCC B AB  AC . VD 1. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh Do đó ABC vuông tại B. a. Tính khoảng cách từ điểm B đến đường chéo H AC ? + Gọi là hình chiếu vuông góc của B lên cạnh AC¢,suy ra: d B; AC BH. 1 1 1 + Xét ABC ,có: (*). BH 2 AB2 BC 2 AB a  1 1 1 Mà  2 2 2 BC a 2 BH a 2a a 6 Vậy, d(B; AC ) BH . 3 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Cho O và mp(α ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của Trong hình vẽ (bên dưới) hãy tìm điểm trên mp(α )có khoảng cách đến O là nhỏ O trên α . Khi đó khoảng cách OH đgl khoảng cách nhất? Vì sao? từ điểm O đến mp(α ). Kí hiệu d O, α . O O M 5 M6 M2 α M H M0 H M3 M4 α M1 d O; OH. d O; 0 O . d O; OH OM , M .
4. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt học sinh động VD2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh S đáy bằng a và chiều cao bằng a 2 . Tính khỏang cách từ tâm O của đáy ABCD đến mặt phẳng (SCD)? H B C I O A D + Gọi I là là trung điểm cạnh CD, kẻ OH  SI (1). SI  CD    CD  SIO Ta có OI  CD  OH  SIO  OH  CD (2) Từ (1) và (2) OH  SCD Nên d O;(SCD) OH . + Xét SIO vuông tại O, ta có: 1 1 1 (*). OH 2 OI 2 OS 2 Mà a  OI 1 1 1 2  2 2 2 OH a 2a OS a 2 4 a 2 Vậy, d O;(SCD) OH . 3 II. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song. Quan sát hình vẽ (bên dưới). Cho đường thẳng a song song với mp ( ) . Hãy so 1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng sánh độ dài của các đoạn thẳng song song. AA¢, BB¢, CC¢, DD¢ ? Nhận xét? Cho a // α . Khoảng cách giữa a và ( ) là khoảng cách A B C D a từ một điểm bất kí của a đến ( ) . Kí hiệu d A,( ) . a A B D' B' C' α A' d a;( ) AA BB . α A' B'
5. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt học sinh động ( Với A, B a , A , B lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên mặt phẳng mp( ) . VD3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có B C các cạnh AB a, AD 2a, AA 3a. Tính khoảng a H cách giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng A 2a D (AA¢C¢C) theo a. 3a B' C' A' D' BB // AA  Ta có,  BB // AA C C . BB // CC  + Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với (AA¢C¢C) tại H,( H AC ). + d BB ; (AA C C) d B; AC BH + Xét ABC vuông tại B, 1 1 1 ta có: . BH 2 BA2 BC 2 AB a  1 1 1 Mà  2 2 2 BC 2a BH a 4a a 20 Vậy, d BB';(AA'C 'C) BH . 5 II. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng Quan sát hình vẽ (bên dưới). Cho hai mặt song song, giữa hai mặt phẳng song song. phẳng song song α và β . Gọi 2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. A, B, C, D, E, F thuộc α và Khoảng cách giữa hai mp α , β song song là khoảng A , B , C , D, E, F là hình chiếu vuông góc tương ứng của chúng xuống β . cách từ một điểm bất kì của mp này đến mp kia. Kí hiệu Hãy so sánh độ dài của các đoạn thẳng d ; AA', BB', CC', DD' ? Nhận xét và nêu cách xác định k/c giữa hai mặt phẳng song song trong không gian?
6. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt học sinh động D M B F C A E α α M' D' B' F' β C' E' β A' d ; d M ; ,M . d ; d M ; ,M . VD4: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh α B C M a. Gọi M là trung điểm cạnh AB, mặt phẳng đi H qua M và song song với AA C C . Tính khoảng A D cách giữa hai mặt phẳng AA C C và theo a. B' C' A' D' Ta có BB¢song song với hai mặt phẳng và AA C C . + Vì M là trung điểm của AB và BM  AA C C A , nên ta suy ra: d M ; AA C C MA 1 d B; AA C C BA 2 + d B; AA C C d B; AC BH + Xét ABC vuông tại B, 1 1 1 ta có: . BH 2 BA2 BC 2 1 1 1 2 BH 2 a2 a2 a2 a 2 BH . 2 1 a 2 Vậy, d ; AA C C BH . 2 4 Cho tứ diện đều ABCD . Gọi M, N lần lượt là III. Đường vuông góc chung và khoảng trung điểm của cạnh BC và AD. Chứng minh cách giữa hai đường thẳng chéo nhau rằng MN  BC , MN  AD ? Có nhận xét gì về độ 1. Định nghĩa. dài đoạn thẳng MN? a) Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường
7. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt học sinh động A thẳng ấy đgl đường vuông góc chung của a và b. N D b) Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N B M thì độ dài đoạn MN gọi là khoảng cách giữa C hai đường thẳng chéo nhau a và b. Từ đó giới thiệu định nghĩa. M a b N Δ VD5: Cho hình chóp S.ABC . Tìm đường vuông S góc chung giữa hai đường thẳng SA và BC? C A H B + Hạ AH vuông góc với BC (1). SA  ABC  + Vì  SA  AH (2) AH  ABC  Từ (1) và (2) suy ra AH là đường vuông góc chung giưa hai đường thẳng SA và BC. Cho HS quan sát hình vẽ (bên dưới). Có nhận xét 2. Cách tìm đường vuông góc chung của gì về tính chất của đường thẳng với hai đường hai đường thẳng chéo nhau. thẳng a và b? Cho hai đt chéo nhau a và b. Gọi β là mp Δ chứa b và song song a,a¢ là hình chiếu vuông a M góc của a lên β . α Vì a // β nên a // a Do đó b Ça¢= N . Gọi a' α là mp chứa a và a’, là đt qua N và N b vuông góc với β . Khi đó (α) º (a,a¢) β vuông góc với β . Như vậy nằm trong α và β . α nên cắt a tại M và cắt b tại N, đồng thời
8. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt học sinh động cùng vuông góc với cả a và b. Vậy là đường vuông góc chung của a và b. 3. Nhận xét a) Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau bằng khoảng cách từ một điểm trên đt này đến mp song song với nó và chứa đt kia b) Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau bằng khoảng cách giữa 2 mp song song lần lượt chứa 2 đt đó. VD6. Quan sát hình vẽ (bên phải). Chọn mệnh đề đúng, trong các α A M mệnh đề sau, khi xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b? (1). Qua H dựng đường thẳng a’ song song với a, và cắt b tại B. a' B H P b (2). Chọn một điểm M trên a, dựng MH vuông góc (P) tại H. (3). Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a. (4). Từ B dựng đường thẳng song song với MH, và cắt đường thẳng a tại A. Đoạn AB là đoạn vuông góc của a và b. A. (1) (3) (2) (4). B. (3) (1) (2) (4). C. (3) (2) (1) (4). D. (2) (1) (3) (4). C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP Mục tiêu: Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt học sinh động Bài tập 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a, cạnh SA vuông góc S với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi I là trung điểm của cạnh SC và M là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng I A D CM. M O N H B a 30 a 3 C A. . B. . 10 10 Ta có SA ^ (ABCD) mà IO // SA, do đó a 30 a 3 C. . D. . 9 2 OI ^ (ABCD). Trong mặt phẳng (ABCD) dựng H là hình chiếu vuông góc của O trên CM, ta có IH  CM và IH chính là khoảng cách từ I đến đường
9. thẳng CM. Gọi N là giao điểm của MO với cạnh CD. Hai tam giác MHO và MNC đồng dạng nên a a . OH OM CN.OM a OH 2 2 CN MC MC a 5 2 5 2 . SA a Lại có OI 2 2 a2 a2 3a2 và IH 2 IO2 OH 2 . 4 20 10 a 3 a 30 Vậy d I,CM IH . 10 10 Chọn đáp án A. C' B' A' D' C B H Bài tập 2. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có O cạnh là a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng D A (A BD). Gọi O là giao điểm của AC và BD. a 3 a 3 A. . B. . 2 3 Vì AA  (ABCD) nên AA  BD. Mặt a 2 khác AO  BD. Suy ra BD  OAA . hay C. a 3. D. . 4 A BD  OAA . Trong mặt phẳng OAA kẻ AH  OA . Khi đó AH  A BD hay d A, A BD AH .
10. Xét OAA’ vuông tại A có: 1 1 1 2 1 3 . AH 2 AO2 AA'2 a2 a2 a2 a 3 Vậy d A, A BD . 3 Chọn đáp án B. D,E HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI MỞ RỘNG Mục tiêu: Tìm được khoảng giữa hai đối tượng ở các bài toán vận dụng cao. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động của học sinh Bài tập 1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh bằng a, S SA a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). G H A a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC) . D F E O a 3 a 3 B C A. . B. . 4 3 a) Ta có: OA SBC C nên: a 3 a 2 C. . D. . 6 2 d O, SBC OC 1 d A, SBC AC 2 b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC). 1 d O, SBC d A, SBC . 2 a 2 a 2 A. . B. . 2 3 Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta có: a 6 a 2 AH  SB C. . D. . AH  SBC . 6 6 AH  BC Trong tam giác vuông SAB có: 1 1 1 4 a 3 AH . AH 2 SA2 AB2 3a2 2 1 1 a 3 d O, SBC d A, SBC AH . 2 2 4
11. Chọn đáp án A. b) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB. Do EG  SAC S nên d G, SAC GS 2 d E, SAC ES 3 2 d G, SAC d E, SAC 3 Ta có: BO  AC BO  SAC ; BE  SAC A BO  SA 1 1 a 2 d E, SAC d B, SAC BO 2 2 4 2 a 2 a 2 d G, SAC  . 3 4 6 Chọn đáp án D. Bài tập 2. Cho hình lăng trụ tam giác Chọn C ABC.A B C có độ dài cạnh bên bằng a 7 , đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , AC a 3 . Biết hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ABC là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và B C bằng 3 3a A. a . B. . 2 2 2 a 3 C. a . D. . 3 2 Gọi H là trung điểm của BC Ta có BC AB2 AC 2 a2 3a2 2a suy ra
12. 1 AH BC a và 2 A H A A2 AH 2 7a2 a2 a 6 Từ A ta dựng đường thẳng d song song với BC , kẻ HM  d tại M và HK  AM tại K . Ta có AM  MH AM  A MH AM  HK . AM  A H HK  AM Ta có HK  A AM . HK  A M Do đó d AA ; B C d BC; A AM d H; A AM HK . Ta có AB2.AC 2 a2.3a2 3a HM AI . AB2 AC 2 a2 3a2 2 Xét tam giác A HM vuông tại H ta có 3 2 2 2 2 a .6a MH .A H 4 2 HK 2 2 a . 3 2 2 MH .A H a 6a 3 4 IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC 1 NHẬN BIẾT Bài tập 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ABCD và A B C D bằng A. AC . B. AB .C. AD .D. AA . Lời giải Chọn D B' C' A' D' C B A D
13. Ta có d ABCD , A B C D AA Bài tập 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , AB 6 , BC 8, AC 10 . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BC . S A B C A. Không tính được d . B. d 8 . C. d 6 .D. d 10 . Lời giải Chọn C Theo giả thiết, tam giác ABC vuông tại B nên AB là đoạn vuông góc chung của SA và BC . Vậy d SA; BC AB 6 . Bài tập 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, cạnh bên SA vuông góc với đáy. 6a Biết khoảng cách từ A đến SBD bằng . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng 7 SBD ? 12a 3a 4a 6a A. . B. .C. .D. . 7 7 7 7 Lời giải Chọn D S A D O B C
14. Do ABCD là hình bình hành AC  BD O là trung điểm của AC và 6a BD d C, SBD d A, SBD . 7 Bài tập 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy a và SA . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC . 2 a 3 a 3 A. a 3 . B. a .C. .D. . 4 2 Lời giải S A C M B Chọn D Gọi M là trung điểm cạnh BC . AM  BC Ta có AM là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA và BC . AM  SA a 3 Do đó AM d SA, BC . 2 Bài tập 5. Cho hình chóp S.ABC trong đó SA , AB , BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA 3a , AB a 3 , BC a 6 . Khoảng cách từ B đến SC bằng: A. 2a 3 .B. a 3 .C. a 2 .D. 2a . Lời giải Chọn D S 3a H A a 3 B a 6 C
15. Do BC  AB ; SA  BC suy ra BC  SB . Kẻ BH  SC . 1 1 1 Vậy khoảng cách từ B đến SC là BH , trong tam giác vuông SBC : BH 2 SB2 BC 2 Trong đó SB SA2 AB2 2a 3 , BC a 6 suy ra BH 2a . 2 THÔNG HIỂU Bài tập 1. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A C bằng A D B C A D B C 3a A. 3a .B. a . C. .D. 2a . 2 Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có BD // A B C D d BD, A C d BD, A B C D d B, A B C D BB a . Cách 2: Gọi O , O lần lượt tâm của hai đáy. Ta có: OO là đoạn vuông góc chung của BD và A C . Do đó d BD, A C OO a . Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a 3 , SA  ABCD . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC . a 3 2 a 3 A. . B. . C. . D. a . 2 a 3 4 Lời giải: Chọn A
16. Ta có BC  SA và BC  AB nên BC  SAB SBC  SAB . Mặt khác SBC  SAB SB . Do đó từ A kẻ AH  SB AH  SBC hay AH d A, SBC . Trong tam giác vuông SAB ta có 1 1 1 1 1 4 . AH 2 SA2 AB2 3a2 a2 3a2 a 3 Vậy AH . 2 Bài tập 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A , biết SA  ABC và AB 2a, AC 3a , SA 4a . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng SBC . 12a 61 2a a 43 6a 29 A. d . B. d . C. d .D. d . 61 11 12 29 Lời giải Chọn A Dựng đường cao AH của tam giác ABC và đường cao AK của tam giác SAH .
17. BC  SA Có BC  SAH BC  AK . BC  AH AK  BC Có AK  SBC d A; SBC AK . AK  SH Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC , được AB.AC 2a.3a 6 13a AH . BC 4a2 9a2 13 SAH vuông tại H , Áp dụng hệ thức lượng ta được SA.AH 6 13a 1 12a 61 d A; SBC AK 4a. . . SH 13 36 61 16a2 a2 13 Bài tập 4. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Tính khoảng cách từ B tới đường thẳng DB . a 3 a 6 a 3 a 6 A. .B. . C. .D. . 6 3 3 6 Lời giải Chọn B C B D A H B C D A Theo giả thuyết ta có: BD a 2 Gọi H là hình chiếu của B lên DB ta có: BH d B, DB . Xét tam giác BB D vuông tại B ta có: 1 1 1 1 1 3 a 6 2 2 2 2 2 2 BH BH B B BD a a 2 2a 3 Bài tập 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác ABC vuông tại A có BC 2a , AB a 3 . Khoảng cách từ AA đến mặt phẳng BCC B là: a 21 a 3 a 5 a 7 A. . B. .C. .D. . 7 2 2 3 Lời giải Chọn B
18. B C A H B C A Ta có AA // BCC B nên khoảng cách từ AA đến mặt phẳng BCC B cũng chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCC B . Hạ AH  BC AH  BCC B . 1 1 1 1 1 1 1 4 a 3 Ta có AH . AH 2 AB2 AC 2 3a2 BC 2 AB2 3a2 a2 3a2 2 a 3 Vậy khoảng cách từ AA đến mặt phẳng BCC B bằng . 2 3 VẬN DỤNG Bài tập 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy a2 3 và SA a 3 . Biết diện tích tam giác SAB là , khoảng cách từ điểm B đến SAC 2 là a 10 a 10 a 2 a 2 A. . B. . C. .D. . 3 5 3 2 Lời giải Chọn D s a 3 A B O D C a2 3 1 a2 3 Ta có: S và SA a 3 suy ra SA.AB AB a . SAB 2 2 2 Vì đáy ABCD là hình vuông tâm O nên BO  AC ; SA  ABCD , SA  BO suy ra BO  SAC . Vậy BO là khoảng cách từ điểm B đến SAC : AB a , AC AB2 BC 2 a 2
19. 1 a a a 2 Xét AOB vuông tại O có AB a , OA AC suy ra BO . 2 2 2 2 Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ABCD . Tính khoảng cách từ B đến SCD . 21 21 A. 1.B. .C. 2 .D. . 3 7 Lời giải Chọn D S K A H D M B C 3 7 Gọi H , M lần lượt là trung điểm của AB và CD suy ra HM 1, SH và SM 2 2 Vì tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD nên SH  ABCD . 1 1 3 3 Cách 1: V . . S.BCD 3 2 2 12 3 3VS.BCD 4 21 Khoảng cách từ B đến SCD là d B, SCD . S 1 7 7 SCD .1. 2 2 Cách 2: Vì AB//CD nên AB// SCD . Do đó d B; SCD d H; SCD HK với HK  SM trong SHM . 1 1 1 21 Ta có: HK . HK 2 SH 2 HM 2 7 Bài tập 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A , B ; AD 2a, AB BC SA a; cạnh bên SA vuông góc với đáy; M là trung điểm AD . Tính khoảng cách h từ M đến mặt phẳng SCD .
20. a a 6 a 6 a 3 A. h . B. h . C. h . D. h . 3 6 3 6 Lời giải Chọn B AD + Ta có: CM AM a nên ACD vuông tại C và AC a 2 . 2 + Kẻ AH  SC tại H . Ta có: CD  SAC nên AH  CD . Suy ra: AH  SCD tại H . Suy ra: d A, SCD AH . 1 1 1 1 1 3 + SAC vuông tại A có: . AH 2 SA2 AC 2 a2 2a2 2a2 a 6 Suy ra: d A, SCD AH . 3 d M , SCD DM 1 + Ta có: AM  SCD D nên . d A, SCD DA 2 1 a 6 Suy ra: d M , SCD d A, SCD . 2 6 a 6 Vậy h . 6 Bài tập 4. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB AC a , I là trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của BC , mặt phẳng SAB tạo với đáy một góc bằng 60 . Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng SAB theo a .
21. 3a a 3 a 3 A. . B. .C. .D. 4 15a . 5 4 5 Lời giải Chọn B a Gọi M là trung điểm AB thì HM //AC MH  AB và MH . 2 · Vậy SAB , ABC S·MH 60 . Lại có IH //SB IH // SAB nên d I, SAB d H, SAB . a 3 Kẻ HK  SM HK  SAB nên d H, SAB HK MH.sin 60 . 4 Bài tập 5. Cho hình chóp S.ABC có SA , SB , SC tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60 . Biết BC a , B· AC 45 . Tính khoảng cách h từ đỉnh S đến mặt phẳng ABC . a 6 a 6 a A. h a 6 .B. h .C. h .D. h . 2 3 6 Lời giải Chọn B
22. S 60° A C 45° H a B Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên ABC , suy ra d S, ABC SH và S· AH S· BH S· CH 60 HA HB HC . Do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . BC a Xét ABC , có: 2HA HA . sin A 2 a a 6 Xét SAH vuông tại H , có SH AH.tan S· AH . 3 . 2 2 4 VẬN DỤNG CAO Bài tập 1. Cho hình hộp ABCD.A B C D , AB 6 cm , BC BB 2 cm . Điểm E là trung điểm cạnh BC . Một tứ diện đều MNPQ có hai đỉnh M và N nằm trên đường thẳng C E , hai đỉnh P , Q nằm trên đường thẳng đi qua điểm B và cắt đường thẳng AD tại điểm F . Khoảng cách DF bằng A. 1 cm . B. 3 cm . C. 2 cm . D. 6 cm . Lời giải Chọn C A D B C A F D B E C Do tứ diện MNPQ đều nên ta có MN  PQ hay EC  B F .          Ta có: B F B A AF B A B B k AD B A B B k B C    1   Và EC EC CC B C B B 2
23.   k k   Khi đó EC .BF B B2 B C 2 4 .4 0 k 2 nên AF 2AD 2 2 Vậy F là điểm trên AD sao D là trung điểm của AF . Do đó DF BC 2 cm . Bài tập 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C . Cạnh bên AA a , ABC là tam giác vuông tại A có BC 2a , AB a 3 . Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng A BC . a 7 a 21 a 21 a 3 A. . B. . C. .D. . 21 21 7 7 Lời giải Chọn C A C B K A C H B Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC . Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên A H . BC  AH Ta có BC  A AH . Mặt khác AK  A AH AK  BC . BC  AA AK  AH Ta có AK  A BC d A, A BC AK . AK  BC 1 1 1 1 1 1 Ta có , . AH 2 AB2 AC 2 AK 2 AA 2 AH 2 1 1 1 1 1 1 1 7 a 21 Suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 , nên AK . AK AA AB AC a a 3 a 3a 7 a 21 Vậy d A, A BC AK . 7
24. · Bài tập 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC 60, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, SA, SD và G là trọng tâm tam giác SBC. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng (HMN) bằng a 15 a 15 a 15 a 15 A. .B. .C. .D. . 15 30 20 10 Lời giải Chọn D S N M J A G D K H I O P B C Dựng MK / /SH, KI  HO, KJ  MI KJ  HMN  . Chứng minh được SBC / / d G; d S; d A; 2d K; 2KJ. 1 a 3 a 3 SH a 3 Tính được KI . , MK . 4 2 8 2 4 KI.KM a 15 a 15 a 15 Suy ra KJ . Vậy d G; 2KJ 2. . KI 2 KM 2 20 20 10 · Bài tập 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có AB 1, AC 2 , AA 3 và BAC 120 . Gọi M , N lần lượt là các điểm trên cạnh BB , CC sao cho BM 3B M ; CN 2C N . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng A BN . 9 138 3 138 9 3 9 138 A. .B. .C. .D. . 184 46 16 46 46 Lời giải Chọn A
25. E A' C' B' N H M A C B Cách 1: Ta có BC 2 AB2 AC 2 2.AB.AC cos B· AC 12 22 2.1.2.cos120 7 . Suy ra BC 7 . 2 AB2 BC 2 AC 2 12 7 22 2 2 Ta cũng có cos ·ABC , suy ra cos ·A B C . 2.AB.BC 2.1. 7 7 7 DC C N 1 3 3 7 Gọi D BN  B C , suy ra , nên DB B C . DB B B 3 2 2 Từ đó, ta có 2 3 7 3 7 2 43 2 2 2 · 2 A D A B B D 2.A B .B D.cos A B D 1 2.1. . . 2 2 7 4 43 Hay A D . 2 Kẻ B E  A D và B H  BE , suy ra B H  A BN , do đó d B ; A BN B H . 2 3 Từ cos ·A B C sin ·A B C . 7 7 1 · 1 3 7 3 3 3 Do đó S .A B .B D.sin A B D .1. . . A B D 2 2 2 7 4 3 3 2. 2S 3 3 B E A B D 4 . A D 43 43 2 1 1 1 1 1 46 27 2 2 2 2 2 B H . B H B E BB 3 3 3 27 46 43 Từ BM 3B M suy ra
26. 3 3 3 27 9 138 d M ; A BN d B ; A BN .B H . . 4 4 4 46 184 Bài tập 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3 . Hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 60 . Gọi M , N là các điểm lần lượt thuộc cạnh đáy BC và CD sao cho BM 2MC và CN 2ND . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau DM và SN. 3 3 3 3 3 3 A. .B. . C. .D. . 730 370 370 730 Lời giải Chọn B S A D H N A D I N J I B C J M E B M E C - Vì hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy nên SA  ABCD S· BA 60 là góc giữa SB và mặt phẳng đáy SA AB.tan 60 3 3 . - Trong mặt phẳng ABCD dựng NE // DM cắt BC tại E , cắt AC tại J . Gọi I là giao điểm của DM và AC . Ta có: DM // NE DM // SNE d DM ;SN d DM ; SNE d I; SNE . CJ CE CN 2 1 Do NE // DM IJ IC . CI CM CD 3 3 IC CM 1 1 1 1 Lại có: BC // AD IC IA IJ IA IJ AJ IA AD 3 3 9 10 d I; SNE IJ 1 1 Mặt khác: d I; SNE d A; SNE . d A; SNE AJ 10 10 - Xét tam giác DAN và tam giác CDM có: DA CD , DN CM , ·ADN D· CM 90 DAN CDM (c.g.c) D· AN C· DM D· AN ·ADM C· DM ·ADM 90
27. AN  DM AN  NE NE  SAN SNE  SAN (có giao tuyến là SN ). - Dựng AH  SN tại H AH  SNE AH d A; SNE . - Ta có: SA 3 3 , AN AD2 DN 2 10 . 1 1 1 1 1 37 3 30 AH AH 2 SA2 AN 2 27 10 270 37 1 3 3 d DM ;SN AH . 10 370 V. PHỤ LỤC 1 PHIẾU HỌC TẬP PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2 2 MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ Nội dung Nhận thức Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao Khoảng cách từ Biết cách tìm một điểm đến một hình chiếu vuông đường thẳng góc của điểm lên đường thẳng. Khoảng cách từ Biết cách tìm Nắm được kỹ một điểm đến một hình chiếu vuông năng tìm hình mặt phẳng. góc của điểm lên chiếu của điểm mặt phẳng. lên mặt phẳng Khoảng cách Nhận thức được Vận dụng trong giữa đường khoảng cách giữa việc tìm khoảng thẳng và mặt đường thẳng và cách giữa hai phẳng song mặt phẳng song đường thẳng song. song bằng khoảng chéo nhau. cách từ một điểm trên đường thẳng tới mặt phẳng. Khoảng cách Nhận thức được Vận dụng trong giữa hai mặt khoảng cách hai việc tìm khoảng phẳng song mặt phẳng song cách giữa hai song. song bằng khoảng đường thẳng cách từ một điểm chéo nhau. mặt phẳng này tới mặt phẳng. Khoảng cách Đưa về khoảng Dựng được giữa hai đường cách giữa đường đường vuông góc thẳng chéo nhau thẳng và mặt chung của hai
28. Nội dung Nhận thức Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao phẳng song đường thẳng song; Khoảng chéo nhau. cách giữa hai mặt phẳng song song.