Giáo án Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Chủ đề 2: Hai đường thẳng vuông góc

Nội dung text: Giáo án Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Chủ đề 2: Hai đường thẳng vuông góc

1. Chủ đề 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Thời lượng dự kiến: 3 tiết I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức Nắm khái niệm góc giữa hai vectơ trong không gian, tích vô hướng của 2 vectơ trong không gian. Nắm được định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng; định nghĩa 2 đường thẳng vuông góc trong không gian. 2. Kĩ năng Biết dựng góc giữa 2 vectơ; vận dụng linh hoạt công thức tích vô hướng của 2 vectơ trong không gian; xác định được góc của 2 đường thẳng trong không gian. Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc trong không gian. Hình thành cho học sinh các kĩ năng khác: Thu thập và xử lý thông tin. Tìm kiếm thông tin và kiến thức thực tế, thông tin trên mạng Internet. Làm việc nhóm trong việc thực hiện dự án dạy học của giáo viên. Viết và trình bày trước đám đông. 3.Về tư duy, thái độ Cẩn thận, chính xác. Tích cực hoạt động; rèn luyện tư duy khái quát, tương tự. Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhóm Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao. 4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động. Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải quyết bài tập và các tình huống. Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các câu hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học. Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình. Năng lực tính toán. II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 1. Giáo viên + Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, + Các câu hỏi gợi mở 2. Học sinh + Đọc trước bài, các kiến thức về vectơ trong không gian. + Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Mục tiêu: Tạo tình huống để học sinh tiếp cận các kiến thức, vectơ chỉ phương của hai đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng trong không gian và quan hệ vuông góc trong không gian. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động ➢ Nhóm 1: + Chuyển giao: GV chia lớp thành 4 • Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai vectơ trong mặt nhóm. Nội dung nghiên cứu của các 1
2. phẳng (Hình học 10). nhóm:   • Xác định góc giữa hai vectơ AB, BC trong hình + Thực hiện: Các nhóm thảo luận, viết sau: vào bảng phụ và cử đại diện trình bày trước lớp. D + Báo cáo, thảo luận: Lần lượt từng nhóm trình bày đáp án trước lớp, các nhóm khác nhận xét, góp ý. Giáo viên đánh giá chung và giải C thích các vấn đề học sinh chưa giải A C' quyết được. 1500 H - Từ nội dung trình bày của các nhóm, 0 120 GV nhận xét, từ đó đặt vấn đề vào bài B mới: nghiên cứu các vấn đề đã đặt ra đối với véctơ và đường thẳng vuông B' góc trong không gian. ➢ Nhóm 2: • Nêu định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng. (Hình học 10) • Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' . Tính   AB.AC . B C A D B' C' A' D' ➢ Nhóm 3: Nêu khái niệm góc giữa hai đường thẳng cắt nhau. Nhận xét về mối quan hệ về góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. ➢ Nhóm 4: Nêu định nghĩa hai đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng. Lấy ví dụ về hình ảnh hai đường thẳng vuông góc trong thực tế. B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC Mục tiêu: Tiếp cận khái niệm góc giữa hai vectơ, công thức tính tích vô hướng của hai vectơ trong không gian. Học sinh hiểu khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng trong không gian, từ đó rút ra được các nhận xét. Học sinh hiểu khái niệm góc giữa hai đường thẳng và khái niệm hai đường thẳng vuông góc. Vận dụng giải quyết một số bài tập liên quan. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt học sinh động 2
3. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt học sinh động I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG Chuyển giao: GV yêu cầu học sinh quan sát KHÔNG GIAN. hình vẽ và trả lời các câu hỏi. 1. Góc giữa hai vectơ trong không gian Thực hiện: Các em học sinh trả lời (có thể Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' . Xác định góc sai) giữa các cặp vectơ sau: GV nhận xét và dẫn dắt vào định nghĩa.   0 B C a) AB, AC 45   b) AB, A'C ' 450 A   D c) AB, D 'C ' 00   0 B' C' d) AB, A' D ' 90 A' D' Định nghĩa. Trong không gian, cho u,v 0 , lấy điểm A   bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho: AB u , AC v khi đó ta gọi góc B· AC (0 B· AC 1800 ) là góc giữa hai vectơ u và v , kí hiệu là (u,v) . - Cùng hướng. - Vuông góc. - Ngược hướng. Câu hỏi: Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng - Chuyển giao: Giáo viên chia lớp thành 4 0 0 0 0 ,90 ,180 nhóm. • Nhóm 1, 2: Câu a. • Nhóm 3, 4: Câu b. Chú ý: 00 u,v 1800 . - Thực hiện: Các nhóm thảo luận và trình Ví dụ 1. bày vào bảng phụ, sau đó cử đại diện lên Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của AB. Hãy trình bày. tính góc giữa các cặp vectơ:   - GV đánh giá, sửa chữa và hoàn thiện. a) AB và BC   Kết quả. b) CH và AC   a) AB, BC 1200   b) CH, AC 1500 3
4. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt học sinh động D C A C' 1500 H 1200 B B' 2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' cạnh a . Tính các tích vô hướng sau: Chuyển giao: GV yêu cầu học sinh suy nghĩ và trả lời. B C Thực hiện: Các em học sinh trả lời (có thể sai) A GV nhận xét và dẫn dắt vào định nghĩa. D   a) AB.AC a2 C'   B' b) AB.CD a2   c) AB.AA' 0 A' D' Định nghĩa. Trong không gian cho hai vectơ u,v 0 . Tích vô hướng của hai vectơ u và v là một số, kí hiệu là u . v , được xác định bởi công thức: u.v | u |.| v | cos u,v . Chú ý: Từ công thức trên ta có 2 + Biểu thức độ dài của một vectơ | u | u . u.v + Tính góc giữa hai vectơ: cos(u,v) . | u |.| v | - Chuyển giao: GV chia lớp thành 4 nhóm. + (u,v) 900 u.v 0 . • Nhóm 1, 2: Câu a. Ví dụ 2. • Nhóm 3, 4: Câu b. Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' - Thực hiện: Các nhóm thảo luận và trình      a) Hãy phân tích AC ' và BD theo AB, AD, AA' . bày vào bảng phụ, sau đó cử đại diện lên   trình bày. b) Tính cos AC ', BD ? - GV đánh giá, sửa chữa và hoàn thiện. B C Kết quả.     A a) AC ' AB AD AA' D    BD AB AD B' C'   b) cos AC ', BD 0 A' D' 4
5. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt học sinh động 1   S | AB |.| AC |.sin A Ví dụ 3: Cho S là diện tích của tam giác ABC. Chứng 2   minh rằng: AB.AC Ta có cosA   . 1  2  2   S AB .AC (AB.AC)2 . | AB |.| AC | 2   2 AB.AC Suy ra cos2A   | AB |2 .| AC |2 Do đó  2  2   2 AB .AC AB.AC sin A 1 cos2 A   | AB |.| AC | 1  2  2   2 Kết luận. S AB .AC AB.AC . 2 II. VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG. d B C Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' . Kể tên một số VTCP của đường thẳng d đi qua hai điểm B, C . A D 1. Định nghĩa Vectơ a 0 được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu C' B' giá của vectơ a song song hoặc trùng với đường thẳng A' D' d. + Chuyển giao: Nêu định nghĩa VTCP của đường thẳng trong không gian. Rút ra nhận xét. + Thực hiện: HS làm việc độc lập, đưa ra câu 2. Nhận xét trả lời nhanh nhất. GV quan sát, nhận xét. a) Nếu a là VTCP của d thì k.a cũng là VTCP của d + Báo cáo, thảo luận: Sau thời gian tìm hiểu, k 0 . GV gọi HS đứng dậy trả lời. Các HS khác lắng nghe, nhận xét, bổ sung. b) Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn có thể + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: GV tổng xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một VTCP a hợp, chuẩn hóa kiến thức.Yêu cầu HS ghi bài của nó. vào vở. c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi là hai đường thẳng phân biệt và có hai VTCP cùng phương. III. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 1. Góc giữa hai đường thẳng Cho biết góc giữa các cặp đường thẳng sau: H1: 300 5
6. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt học sinh động H2: 600 H3: 900 1. Định nghĩa Góc giữa hai đường thẳng a,b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a ',b' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a,b . a b a' b' O 2. Nhận xét: a. Điểm O có thể nằm trên đường thẳng a hoặc b . b. Nếu u,v lần lựợt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a,b : - Nếu u,v 900 thì góc giữa hai đường thẳng bằng góc u,v . - Nếu u,v 900 thì góc giữa hai đường thẳng bằng + Tính góc giữa hai vectơ chỉ phương, từ đó 1800 u,v . suy ra góc giữa hai đường thẳng. Hãy nêu một số phương pháp tính góc giữa hai đường + Tính góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần thẳng trong không gian? lượt song song với hai đường thẳng đã cho. - Chuyển giao: GV chia lớp thành 4 nhóm. • Nhóm 1: Ví dụ 4a Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' . Tính • Nhóm 2: Ví dụ 4b góc giữa các cặp đường thẳng: • Nhóm 3: Ví dụ 4c a) AB và B 'C ' • Nhóm 4: Ví dụ 5. b) AC và B 'C ' 6
7. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt học sinh động c) A'C ' và B 'C - Thực hiện: Các nhóm thảo luận và trình D C bày vào bảng phụ, sau đó cử đại diện lên trình bày. A B - GV đánh giá, sửa chữa và hoàn thiện. a) Ta có: A' B '// AB mà ·A' B ', B 'C ' 900 0 D' C' nên ·AB, B 'C ' 90 b) Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên A' B' ·AC, BC 450 . Do B 'C ' // BC , nên ·AC, B 'C ' 450 c) Ta có: A 'C ' // AC và ACB ' là tam giác đều vì có các cạnh đều bằng đường chéo của các hình vuông bằng nhau. Do đó: ·A'C ', B 'C ·AC, B 'C 600 Gọi O là trung điểm của AC Suy ra OM song song với AB, ON song song Ví dụ 5. Cho tứ diện ABCD có AB =2a, CD 2 2a . M, với CD N lần lượt là trung điểm của BC và AD, MN = a 5 . Suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD Tính số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD. bằng góc giữa hai đường thẳng OM và ON. A Xét tam giác OMN, ta có: OM 2 ON 2 MN 2 cos M· ON = N 2a 2.OM.ON 2 2 2 O a 5 a 2a 5a 1 2 = D B 2a 2 · 0 M 2 2 a Suy ra góc MON =135 . Suy ra gócgiữa hai đường thẳng AB và CD C bằng 450 B 2. Hai đường thẳng vuông góc C Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' . Kể tên các đường thẳng vuông góc với AB . A D B' C' 1. Định nghĩa A' Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa D' chúng bằng 900 . Kí hiệu: a  b 2. Nhận xét:  a. a  b u.v 0 trong đó u, v lần lượt là hai VTCP của hai đường thẳng a,b . 7
8. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt học sinh động a // a ' b. b  a ' b  a c. Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì có thể cắt nhau hoặc không cắt nhau. + Dùng định nghĩa. Hãy nêu một số phương pháp chứng minh hai đường + Chứng minh tích vô hướng hai vectơ chỉ thẳng vuông góc trong không gian? phương của hai đường thẳng đó bằng 0. a // a ' + b  a ' b  a - Chuyển giao: GV chia lớp thành 4 nhóm. • Nhóm 1, 2: Ví dụ 6 • Nhóm 3, 4: Ví dụ 7 - Thực hiện: Học sinh dựa vào kiến thức liên quan trong mặt phẳng, tìm hiểu làm ví dụ vào bảng phụ. - Báo cáo, thảo luận: Các nhóm treo bảng phụ, cử đại diện báo cáo kết quả. Các nhóm khác nhận xét, phản biện. - Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa kiến thức. HS viết bài vào vở. Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC và SBC Gọi M là trung điểm của BC cân có chung đáy BC. Chứng minh rằng hai đường Vì tam giác ABC và SBC cân đáy BC nên AM thẳng SA và BC vuông góc. và SM vuông góc với BC. S      Ta có : SA.BC MA MS .BC     = MA BC MS.BC C     A = 0 (vì MA  BC, MS  BC ) M Suy ra SA  BC. B Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD có AB  AC, AB  BD. Gọi     I, J là trung điểm của AB, CD. CMR: AB  PQ. Ta có: PQ PA AC CQ     PQ PB BD DQ    Cộng vế theo vế: 2PQ AC BD       Suy ra 2AB.PQ AB.AC AB.BD 0 .   Kết luận: AB  PQ . 8
9. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt học sinh động A P B D Q C C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP Mục tiêu: Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động học tập của học sinh Bài toán 1] Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Tính góc giữa hai đường thẳng AC và A D . Gợi ý: Do ABCD.A B C D là hình lập phương nên các tam giác AB C; A C D là các tam giác đều D· A C 60 Mặt khác AC / / A C nên ·AC; A D ·A C ; A D 60 Bài toán 2. Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a Gợi ý: và ·ABC B· ' BA B· ' BC 600 . Chứng Trước hết ta dễ thấy tứ giác A’B’CD là hình bình hành, minh tứ giác A’B’CD là hình vuông. ngoài ra B’C = a = CD nên nó là hình thoi. Ta chứng minh A D hình thoi A’B’CD là hình vuông. Thật vây, ta có:          a2 a2 B C CB '.CD CB BB ' .BA CB.BA BB '.BA 0 2 2 Suy ra CB '  CD . Vậy tứ giác A’B’CD là hình vuông. A' D' B' C' Bài toán 3. Cho hình chóp S.ABCD có Gợi ý: đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a Ta có: MN / /SA MN, SC SA, SC . và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD Ta lại có: AC a 2 . Xét SAC , nhận thấy: 2 2 2 . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AC SA SC . 9
10. MN, SC . Theo định lí Pitago đảo, SAC vuông tại S . Suy ra: ASC 900 hay MN, SC SA, SC 900 . Bài toán 4. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC và ·ASB B· SC C· SA . Gợi ý:          Chứng minh SC  AB . Ta có SC.AB SC. SB SA SC.SB SC.SA S         SC . SB .cos SC.SB SC . SA .cos SC.SA SC.SB.cos B· SC SC.SA.cos ·ASC.   Mà SA SB SC và B· SC ·ASC SC.AB 0 . C A Do đó SC  AB . B Gợi ý: Bài toán 5. Cho tứ diện ABCD có IF P CD AB CD . Gọi I, J, E, F lần lượt là Ta có IF là đường trung bình của ACD 1 trung điểm của AC, BC, BD, AD . Chứng IF CD 2 mình IE  JF . . A Lại có JE là đường trung bình của BCD JE P CD 1 . F JE CD 2 IF JE I Tứ giác IJEF là hình bình hành. IF P JE B D E 1 IJ AB 2 Mặt khác: . Mà AB CD IJ JE . J 1 JE CD 2 C Do đó IJEF là hình thoi. Suy ra IE, JF 90. D,E HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI MỞ RỘNG Mục tiêu: Vận dụng được bài học vào thực tế. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động của học sinh 10
11. HS lấy ví dụ cụ thể về hai đường thẳng vuông góc * Hai đường thẳng vuông góc (cắt nhau) (cắt nhau, không cắt nhau) trong thực tế? Xà ngang và cột dọc của một khung thành * Hai đường thẳng vuông góc (chéo nhau) Tuyến đường sắt trên cao và tuyến đường bộ bên dưới cho ta hình ảnh của hai đường thẳng vuông góc IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC 1 NHẬN BIẾT Câu 1. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau? A. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. B. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn. C. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c ). D. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c . 2 THÔNG HIỂU Câu 2. Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a / /b . B. Nếu a / /b , c  a thì c  b . C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a / /b . 11
12. D. Nếu a và b cùng nằm trong mặt phẳng và c / / thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c . 3 VẬN DỤNG Câu 3. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC, ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là A. 1200 . B. 600 . C. 900 . D. 300 . 4 VẬN DỤNG CAO Câu 4. Cho tứ diện ABCD .Gọi M , N , I lần lượt là trung điểm của BC , AD và AC . Cho AB 2a , CD 2a 2 và MN a 5 . Tính góc ·AB,CD A. 135 . B. 60 . C. 90 . D. 45 . V. PHỤ LỤC 1 PHIẾU HỌC TẬP PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2 2 MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ Nội dung Nhận thức Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao 12