Giáo án Hình học Lớp 10 - Chương 2 - Chủ đề 3: Các hệ thức lượng trong tam giác

Nội dung text: Giáo án Hình học Lớp 10 - Chương 2 - Chủ đề 3: Các hệ thức lượng trong tam giác

1. Chủ đề 1. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Thời lượng dự kiến: 5 tiết I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức - Nắm vững định lý cosin, công thức tính độ dài đường trung tuyến. Vận dụng được các công thức để làm các bài tập . -Học sinh hiểu và chứng minh được định lý sin. Nắm và vận dụng được công thức tính diện tích tam giác . 2. Kĩ năng -Biết vận dụng định lý cosin trong tính toán,giải bài tập . -Biết vận dụng định lý sin để tính các cạnh,các góc ,bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. - Biết tính diện tích tam giác ,bản kính đường tròn nội tiếp tam giác . 3.Về tư duy, thái độ - Phân tích vấn đề chi tiết, hệ thống rành mạch. - Tư duy các vấn đề logic, hệ thống. - Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao. 4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự quản lý, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử dụng ngôn ngữ. II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 1. Giáo viên + Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, 2. Học sinh + Đọc trước bài + Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Mục tiêu:Tạo hứng thú và mong muốn tìm hiểu về nội dung của chủ đề này của học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động - Cho học sinh nêu lại các hệ thức lượng trong tam giác vuông đã học ở lớp dưới. - Trong thực tế, có rất nhiều những khoảng cách mà ta không thể đo trực tiếp được. Ví dụ như đo khoảng cách giữa 2 ngọn núi, độ rộng của một đoạn sông (không đi qua được), Việc đo đạc sẽ trở nên dễ dàng khi ta áp dụng việc giải tam giác vào các bài toán trong thực tế này.
2. (Ngọn hải đăng Alexandria, Ai Cập) (Tượng phật Bồ Tát tại Chùa Linh Ứng Bãi Bụt Sơn Trà) Có những cách nào để đo chiều cao của Vì sao phải xây ít nhất hai ngọn hải đăng trên tượng phật? cùng một bờ biển? Làm sao để tính khoảng cách từ một địa Tính bán kính đường tròn để phục chế những điểm trên bờ sông đến một gốc cây trên một chiếc đĩa cổ bị vỡ. cù lao giữa sông ? B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC Mục tiêu: Biết được định lí côsin, định lí sin, các công thức tính diện tích tam giác, giải tam giác Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động học sinh I. ĐỊNH LÍ CÔSIN Cho hai vectơ a,b bất kì có độ lớn bằng a và b. Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề được cho dưới đây?
3. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động học sinh 2 I a2 a II a.b a.b.cos a;b 2 III a b a2 2a.b b2 Với ba điểm A, B,C bất kì. Hãy khai triển   2   2     2 2 AC AB . AC AB AB AC 2AB.AC Ta có Cho tam giác ABC , biết hai cạnh AB c, AC b và  2   2 BC 2 BC AC AB góc A, hãy tính BC 2 ?     2 2 Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp. AB AC 2AB.AC AB2 AC 2 2AB.AC.cos A Từ kết quả bài toán 2, ta suy ra định lí sau: Định lí côsin. Trong tam giác bất kì với ABC Học sinh nắm được nội dung định lí côsin BC = a,CA = b,AB = c ta có: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AB 7cm, AC 8cm BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cos A và góc µA 600. Tính cạnh BC ? BC 57 cm. Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có AB 3cm, AC 5cm 2 và BC 5cm. Tính cos A ? 2 2 BC BC AM AB 2AB. .cos B 24 Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có các cạnh 2 2 1 BC = 4, AB = 5 và cos B . Tính độ dài AM 2 6 4 đường trung tuyến AM. 2 2 2 a a ma c 2.c. .cos B 2 2 a2 c2 ac.cos B 1 4 a2 c2 b2 cos B 2 . 2ac 2 b2 c2 a2 Từ 1 , 2 m2 . Cho tam giác ABC có các cạnh BC a,CA b, AB c a 4 . Gọi m ,m ,m là độ dài các đường trung tuyến lần 2 a2 c2 b2 a b c 2 Tương tự ta có : mb ; lượt vẽ từ A, B,C. Tính ma ,mb ,mc theo a,b,c. 4 2 a2 b2 c2 m2 . c 4 Phương thức tổ chức: Hoạt động nhóm – tại lớp. Học sinh xây dựng được công thức độ dài trung tuyến.
4. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động học sinh II. ĐỊNH LÍ SIN Cho tam giác ABC vuông ở A nội tiếp trong đường tròn bán kính R và có BC a,CA b, AB c. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các đại lượng sau: a) a, sin A, R. b) b, sin B, R. c) c, sin C, R. Có sự liên hệ nào từ các hệ thức đã tìm được ? Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp. Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A ), ta có: ì ï a = BC = 2R · í 1 ï sinA = 1 ( ) îï AC b · sinB = = (2) BC 2R AB c · sinC = = (2) BC 2R Định lí sin. Trong tam giác ABC bất kì với BC a,CA b, AB c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có: Học sinh nắm được nội dung định lí sin. a b c 2R sin A sin B sin C Ví dụ 4. Trong tam giác ABC bất kì với BC a,CA b, AB c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Khẳng định nào sau đây là sai? a b c A. B. 2R sin A sin B cosC c.sin A C. a D. b 2R.sin B sin C
5. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động học sinh Ví dụ 5. Hãy phát biểu định lí sin đối với tam giác đều a a Ta có: 2R cạnh bằng a ? sin A sin 600 Ví dụ 6. a a Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh R 0 . 2sin 60 3 bằng a. Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp. 1 1 1 III. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC S a.h b.h c.h Nêu công thức tính diện tích tam giác theo một cạnh và 2 a 2 b 2 c chiều cao tương ứng? Cho tam giác nhọn ABC có BC a, AC b và góc C. Dựa vào công thức tính diện tích đã biết ở trên, hãy xây dựng một công thức tính diện tích tam giác 1 1 S AH.BC AH.a ABC theo a,b và góc C. 2 2 Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp. AH sin C AH b.sin C AC Suy 1 ra S ab.sin C 2 1 S ab.sin C 2 c c 2R sin C sin C 2R abc Suy ra S . 4R Dựa vào công thức tính diện tích đã xây dựng ở trên và định lí sin, hãy xây dựng một công thức tính diện tích tam giác ABC. Gọi (I ;r ) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC . a) Tính diện tích tam giác IBC theo r và BC a. b) Hãy xây dựng công thức tính diện tích tam giác ABC theo r và độ dài các cạnh BC a, CA b, AB c.
6. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động học sinh Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau: 1 1 1 S absin C bcsin A casin B 2 2 2 Học sinh xây dựng được các công thức tính abc diện tích tam giác. S ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp). 4R · S = pr ( p là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp). · S = p(p - a)(p - b)(p - c) (công thức Hê- rông). Ví dụ 7. Cho tam giác ABC bất kì có các cạnh BC a,CA b, AB c . Trong các công thức được cho dưới đây, công thức nào là công thức tính diện tích tam giác ABC. A. S p p a p b p c B. S pR abc C. S 4r 1 D. S bc.sin A 2 Ví dụ 8. Khi biết những đại lượng nào thì ta có thể tính được diện tích của một tam giác bất kì ? Tính diện tích tam giác ABC có cạnh a 2 3, cạnh µ 0 b 2 và góc C = 30 . IV. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG VÀO VIỆC ĐO ĐẠC A µ µ Ví dụ 9.Cho ABC có a = 17,4, B = 44030 , C = 640. c b Tính Aµ , b, c ? B a C Ví dụ 10. Cho ABC có a = 49,4, b = 26,4, Cµ = 47020 . Tính c, Aµ vaø Bµ . Aµ 1800 (Bµ Cµ ) = 71030 asin B b = 12,9 sin A Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp. asinC c = 16,5 sin A c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC 1369,66 c 37 b2 c2 a2 cosA = 2bc – 0,191 Aµ 1010 Bµ 1800 (Aµ Cµ ) 31040
7. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động học sinh Ví dụ 11. Đo chiều cao của một cái tháp mà không thể đến được chân tháp. Chọn 2 điểm A, B trên mặt đất sao cho A, B, C thẳng hàng. Đo AB, C· AD, C· BD . Tính chiều cao h = CD của tháp. Xét tam giác ABD  = –  D AB.sin AD = sin( )  h Xét tam giác vuông ACD h = CD = AD.sin  C A B Ví dụ 12. Tính khoảng cách giữa 2 điểm mà không thể đo trực tiếp được. Để đo khoảng cách từ điểm A trên bờ sông đến gốc Xét tam giác ABC cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B AB.sin AC = cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn sin( ) thấy C. Đo AB, C· AB, C· BA . Tính khoảng cách AC. Phương thức tổ chức: Hoạt động nhóm – tại lớp. C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP Mục tiêu:Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động 1. Cho ABC vuông tại A, Bµ =580 và cạnh a = 72 cm. Tính Cµ , Cµ = 900 – Bµ = 420 cạnh b, cạnh c và đường cao ha. b = a.sinB 61,06 (cm) c = a.sinC 38,15 (cm) bc ha = 32,36 (cm) a a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA = 129 a 11,36 (cm) 2. Cho ABC có Aµ = 1200, cạnh b = 8 cm, c = 5 cm. Tính cạnh a2 c2 b2 a và các góc Bµ , Cµ . cosB = 0,79 2ac Bµ 37048 Cµ = 1800 – ( Aµ Bµ ) 22012 Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp. Góc đối diện với cạnh lớn nhất. a2 b2 c2 5 cosC = = – 3. Cho ABC có các cạnh a = 8 cm, b = 10 cm, c = 13 cm. 2ab 160
8. a) Tam giác đó có góc tù không? Cµ tù. b) Tính độ dài trung tuyến MA của ABC. 2(b2 c2 ) a2 4. Cho ABC có cạnh a = 137,5 cm, Bµ = 830, Cµ = 570. Tính MA2 = 4 µ A , bán kính R của đường tròn ngoại tiếp, các cạnh b, c. = 118,5 5. Hai chiếc tàu thuỷ P và Q cách nhau 300 m. Từ P và Q thẳng MA 10,89 (cm) hàng với chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc B· PA = 350 và B· QA = 480. Tính chiều cao của tháp. Phương thức tổ chức: Hoạt động nhóm – tại lớp. D,E HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI MỞ RỘNG Mục tiêu:Giải quyết được các bài toán liên quan thực tế Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động của học sinh Bài toán 1: Cách thực hiện + Chọn vị trí A, B ( đặt giác kế) + Đo AB= a, µA ; Bµ  + CD = CH+HD + CH= 40cm + Tính HD Trong tam giác vuông AHD ta có HD=AD.sin (*) Theo định lí sin ta có: AD AB AB.sin B AD sin B sin D sin D Mà D  D  AB.sin  (*) AD sin  Tính chiều cao CD của cây. AB.sin  .sin HD sin  a.sin  .sin CD 0, 4 sin  Kết quả đo đạc: Cho AB=3m H· AD 370 , H· BD 550 , CH= 40cm =0,4m .Tính CD? ( Học sinh thay vào công thức trên để tính). Đáp án: 5,2 m * Ý nghĩa trong thực tế: Bài toán 2: Trong thực tế có nhiều bài toán yêu cầu tính chiều cao của một cây cao nào đó hay một tòa Khi khai quật một ngôi mộ cổ, người ta tìm nhà nào đó mà ta không thể trèo lên đến đỉnh được một mảnh của 1 chiếc đĩa phẳng hình của nó để đo trực tiếp được. Chẳng hạn như
9. tròn bị vỡ. Dựa vào các tài liệu đã có, các nhà muốn đo chiều cao của tháp Efen ta cũng không khảo cổ đã biết hình vẽ trên phần còn lại của thể trèo lên đỉnh của nó mà kéo thước dây để đo chiếc đĩa. Họ muốn làm một chiếc đĩa mới trực tiếp được. Vậy để đo chiều cao của nó thì phỏng theo chiếc đĩa này. Em hãy giúp họ tìm ta sẽ áp dụng việc giải tam giác . (Tương tự như bán kính chiếc đĩa. bài tập1) Cách thực hiện Lấy 3 điểm A, B, C trên cung tròn (mép đĩa). Bài toán trở thành tìm R khi biết a, b, c. Ta có: a b c S p( p a)( p b)( p c) , p 2 abc abc S R 4R 4S Kết quả đo đạc: Phương thức tổ chức: Hoạt động nhóm – tại lớp. Đáp án: 5,7cm Ý nghĩa trong thực tế: Bài toán này không chỉ phục vụ cho ngành khảo cổ học mà còn có thể dùng trong công nghiệp thực phẩm (Chế tạo hộp đựng bánh qui, chế tạo bánh quy theo mẫu là 1 phần bánh qui), trong công nghiệp chế tạo máy (làm lại phần bị hỏng của bánh xe, bánh lái tàu, ), IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC 1 NHẬN BIẾT Bài 1. Cho ABC có B 600 ,a 8,c 5. Độ dài cạnh b bằng: A. 7. B. 129. C. 49. D. 129 . Câu 1. Cho tam giác ABC , biết a 24,b 13,c 15. Tính góc A ? A. 33034'. B. 117049'. C. 28037'. D. 58024'. Câu 2. Cho ABC có a 6,b 8,c 10. Diện tích S của tam giác trên là:
10. A. 48. B. 24. C. 12. D. 30. Câu 3. Cho ABC có a 13,b 14,c 15. Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác trên là: A. 8,125. B. 130. C. 8. D. 8,5. 2 THÔNG HIỂU 3 Câu 4. Cho tam giác ABC có b = 7; c = 5, cos A . Đường cao h của tam giác ABC là 5 a 7 2 A. . B. 8. C.8 3. D.80 3. 2 Câu 5. Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 600 . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km / h . Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km ? A. 13. B. 15 13. C. 10 13. D. 15. Câu 6. Cho các điểm A(1; 2), B( 2;3),C(0;4). Diện tích ABC bằng bao nhiêu ? 13 13 A. . B. 13. C. 26. D. . 2 4 3 VẬN DỤNG µ 0 µ 0 Câu 7 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính bằng 3, biết A = 30 , B = 45 . Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A A. ma = 22,547 B. ma = 27,54 C. ma = 19,57 D. ma = 23,547 Lời giải µ 0 µ µ 0 0 0 0 Ta có C = 180 - A- B = 180 - 30 - 45 = 105 2 Theo định lí sin ta có a = 2Rsin A = 2.3.sin 300 = 3 , b = 2Rsin B = 2.3.sin 450 = 6. = 3 2 2 c = 2RsinC = 2.3.sin1050 » 5,796 2(b2 + c2 )- a2 2(18 + 5,7962 )- 9 Theo công thức đường trung tuyến ta có m2 = » = 23,547 a 4 4 4 VẬN DỤNG CAO · 1 Câu 8 : Cho hình chữ nhật ABCD biết AD = 1 . Giả sử E là trung điểm AB và thỏa mãn sin BDE = . 3 Tính độ dài cạnh AB . A. 2 B. 5 C. 2 2 D. 3 Lời giải (hình 2.8) A E B D C Hình 2.8
11. Đặt AB = 2x (x > 0)Þ AE = EB = x . · · Vì góc BDE nhọn nên cos BDE > 0 suy ra · 2 · 2 2 cos BDE = 1- sin BDE = 3 Theo định lí Pitago ta có: DE2 = AD2 + AE2 = 1+ x2 Þ DE = 1+ x2 BD2 = DC2 + BC2 = 4x2 + 1Þ BD = 4x2 + 1 Áp dụng định lí côsin trong tam giác BDE ta có · DE2 + DB2 - EB2 2 2 4x2 + 2 cos BDE = Û = 2DE.DB 3 2 (1+ x2 )(4x2 + 1) 2 Û 4x4 - 4x2 + 1= 0 Û 2x2 = 1 Û x = (Do x > 0 ) 2 Vậy độ dài cạnh AB là 2 V. PHỤ LỤC 1 PHIẾU HỌC TẬP PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 Ví dụ 1. Cho tam giác ABC bất kì với BC a,CA b, AB c. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. a2 b2 c2 2bc.cos A. B. a2 b2 c2 2bc.sin A. C. a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA. D. a2 = b2 + c2 + 2bc.sinA. Ví dụ 2. Hãy phát biểu định lí côsin đối với tam giác vuông cân ABC, biết AB = AC = a ? 2 MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ Nội dung Nhận thức Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao Định lí Nhận biết định lí cô Biết vận dụng định Biết vận dụng định lí côsin sin lí côsin tính góc côsin xây dựng công của tam giác khi thức độ dài trung biết 3 cạnh tuyến Định lí sin Nhận biết định lí sin Công thức Biết vận dụng công diện tích thức diện tích tam tam giác giác vào các bài toán liên quan Giải tam Giải quyết các bài Giải quyết các bài giác toán cơ bản về giải toán thực tế tam giác