Giáo án Giải tích Lớp 11 - Chương 4 - Chủ đề 3: Hàm số liên tục

Nội dung text: Giáo án Giải tích Lớp 11 - Chương 4 - Chủ đề 3: Hàm số liên tục

1. Chủ đề 20: HÀM SỐ LIÊN TỤC Thời gian dự kiến: 03 tiết I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức -Biết khái niệm hàm số liên tục tại một điểm. -Biết định nghĩa và tính chất của hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn, và các định lí trong SGK. 2. Kĩ năng - Biết vận dụng định nghĩa vào việc xét tính liên tục của hàm số. -Biết vận dụng các tính chất vào việc xét tính liên tục của các hàm số và sự tồn tại nghiệm của phương trình dạng đơn giản. 3. Thái độ - Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhĩm. - Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tịi nghiên cứu liên hệ thực tiễn . 4. Các năng lực chính hướng tới sự hình thành và phát triển ở học sinh: năng lực hợp tác, năng lực tự học, tự nghiên cứu, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực sử dụng cơng nghệ thơng tin, năng lực thuyết trình, báo cáo, năng lực tính tốn, dẫn dắt, tìm tịi đến kết quả. II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 1. Giáo viên -Giáo án, bảng phụ vẽ hình, phiếu học tập, thước, compa, máy chiếu, phần mềm dạy học - Thiết kế hoạt động học tập cho học sinh tương ứng với các nhiệm vụ cơ bản của bài học. 2. Học sinh + Học bài cũ, xem bàimới, dụng cụ vẽ hình, trả lời ý kiến vào phiếu học tập. + Thảo luận và thống nhất ý kiến, trình bày được kết luận của nhĩm. + Cĩ trách nhiệm hướng dẫn lại cho bạn khi bạn cĩ nhu cầu học tập. III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG - Mục tiêu:Giúp cho học sinh tiếp cận với các kiến thức cơ bản về hàm số liên tục thơng qua tính giới hạn của hàm số. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh động + Nội dung: Đặt vấn đề dẫn đến tình huống phải đưa ra nhận + Dự kiến sản phẩm: Học sinh nắm được xét về giới hạn của cùng một hàm số tại một điểm. tình huống dẫn đến việc và hình dung về tính liên tục vủa hàm số tại điểm. + Phương thức tổ chức: Theo nhĩm – trên lớp. + Đánh giá kết quả hoạt động: Học sinh Phát phiếu học tậpcho học sinh, đưa ra các hình ảnh kèm theo tham gia sơi nổi, các nhĩm thảo luận và các câu hỏi đặt vấn đề. tìm hướng giải quyết vấn đề. B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC - Mục tiêu: Học sinh nắm được khái niệm hàm số liên tục tại điểm, hàm số liên tục trên khoảng và một số định lí cơ bản về hàm số liên tục, áp dụng xét tính liên tục vủa hàm số. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh động 1. Tìm hiểu khái niệm hàm số liên tục tại một điểm + Nắm được khái niệm hàm số liên tục tại 1.1. Phương pháp điểm 1
2. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh động Bước 1: Tìm tập xác định cuả hàm số và xét xem điểm 0 cĩ Hàm số liên tục tại một điểm thuộc vào khoảng K. Định nghĩa 1: Cho f(x) xác định trên Bước 2: Tính lim ( ) và ( 0) khoảng K và x0 K. → 0 f(x) liên tục tại x limf(x) f(x) Bước 3 : Nếu limf(x) f(x ) thì f(x) liên tục tại x0. 0 0 0 x x0 x x0 Hàm số y=f(x) không liên tục tại x đgl x 0 Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số f(x) = tại x0 = 3. gián đoạn tại x0. x 2 Ví dụ 1 và 2: Mục đích chính là Áp dụng HD: xét tính liên tục của hàm số tại một f(3) = 3 điểm. lim f (x) = 3 x 3 Vì lim f (x) =f(3) nên hàm số liên tục tại điểm x0 = 3. x 3 Ví dụ 2. x 3 nếu x 1 Xét tính liện tục của hàm số g(x) x 1 2 nếu x= 1 tại x = –1. HD: g(–1) = 2 lim g(x) = –1 g(–1) x 1 + Học sinh quan sát và nắm được cách g(x) không liên tục tại x=–1 trình bày của một bài tốn xét tính liên tục của một hàm số tại điểm + Phương thức tổ chức hoạt động: Cá nhân – tại lớp. ( Học sinh lên bảng và thực hiện các bước tính giới hạn) 1.2. Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm: x 5 2 khi x 1 x 1 y f (x) tại x0 = –1. 1 khi x= 1 4 Nhớ lại cách tính giới hạn của hàm số dạng HD: 0 vơ định 0. 1 lim f (x) f ( 1) f(x) liên tục tại x0 = –1. x 1 4 + Kết quả .Hoạt động nhĩm bằng bảng con hoặc máy chiếu nhanh Ví dụ 3 + Phương thức tổ chức hoạt động: Hoạt động nhĩm tại lớp. + Giáo viên nhận xét bài giải của các nhĩm, chỉnh sửa, yêu cầu các nhĩm hồn thiện bài giải 1.3 Mở rộng: Hàm số liên tục trên một khoảng + Quan sát đồ thị và nếu định nghĩa về hàm số liên tục Định nghĩa 2: 2
3. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh động y • y = f(x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. • y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó a 0 b x liên tục trên khoảng (a;b) và lim f (x) f (a), lim f (x) f (b)Nhận Hình a x a x b y xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một "đường liền" trên khoảng đó. a 0 b x + Học sinh rút ra kết luận về tính liên tục của hàm số trên đoạn và khoảng. Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b); x Hìnhb 0 Đồ thị a) liên tục (a; b) Đồ thị b) không liên tục • f(x) liên tục tại x0 (a; b) lim f (x) f (x0 ) x x0 • f(x) liên tục trên (a; b) f(x) liên tục tại mọi x (a; b) • f(x) liên tục trên [a; b] lim f (x) f (a) x a + Phương thức tổ chức hoạt động: Cá nhân – tại lớp. f (x)lien tuc tren(a;b) lim f (x) f (b) x b 2. Tìm hiểu một số định lí cơ bản về hàm số liên tục + Nắm được các định lí cơ bản về hàm số 2.1. Hình thành phương pháp liên tục Thơng thường ta qua 3 bước: Định lí 1: Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số đa thức liên tục trên toàn tập số thực R. bộ tập số thực R. Hàm số phân thức hữu tỉ và các hàm số b) Hàm số phân thức hữu tỉ và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của lượng giác liên tục trên từng khoảng của chúng tập xác định của chúng. Bước 3: Tình giới hạn tại điểm của hàm số. Định lí 2: Giả sử y = f(x) và y = g(x) là Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số : hai hàm số liên tục tại x0. 2 ― ― 2 a) y = f(x) g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại , > 2 ( ) = ― 2 x . 5 ― , ≤ 2 0 f (x) b) y = liên tục tại x0 nếu g(x0) 0. HD: g(x) Xét tính liên tục trên R của hàm số. x2 x 2 + Kết quả . Học sinh lên bảng và thực • lim g(x) lim lim (x 1) 3 x 2 x 2 x 2 x 2 hiện được ví dụ 4. • lim g(x) lim (5 x) 3 lim g(x) x 2 x 2 x 2 + Giáo viên nhận xét bài giải của học sinh, Vậy hàm số g(x) liên tục tại x = 2 . từ đĩ chốt lại cơng thức nghiệm. 3
4. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh động x2 x 2 Từ đó suy ra hàm số liên tục trên R . Vì liên tục với x 2 + Giáo viên nhận xét bài giải của các nhĩm, chỉnh sửa, yêu cầu các nhĩm hồn x > 2 và 5 – x liên tục với x 0,f(-1) = -3m2 + 5 – 7 + 1 = -(3m2 + 1) < 0, m R Do đĩ tồn tại số c (-1; 0) sao cho f(c) = 0. Vậy phương trình luơn cĩ nghiệm âm với mọi giá trị của m . + Phương thức tổ chức hoạt động: Cá nhân – tại lớp. C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP + Mục tiêu:Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong Sách giáo khoa Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh động 3 Bài 2-SGK. a/ Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại x0 2 , x 8 2 3 Với x 2 thì g(x) x 2x 4 ― 8 , ≠ 2 x 2 biết: ( ) = ― 2 5 , = 2 lim g(x) lim(x2 2x 4) x 2 x 2 b/ Cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại x 2 0 12 g(2) 5 Vậy hàm số không liên tục tại x0 2 . Vì 4
5. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh động lim g(x) 12 g(2) x 2 Cần thay số 5 bởi số 12 + Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp (học sinh lên bảng + Giáo viên nhận xét lời giải, sửa chữa và trình bày lời giải bài tốn) củng cố kiến thức. D,E HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TỊI MỞ RỘNG - Mục tiêu: Giúp học sinh vận dụng kiến thức để giải quyết những vấn đề thực tế trong cuộc sống, những bài tốn thực tế ứng dụng phương trình, Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động của học sinh Bài tốn. Một hình vuơng cĩ cạnh bằng Kết quả: 100cm, người ta nối với nhau các trung điểm Giả sử hình vuơng cạnh a, và Tn là diện tích hình của 4 cạnh và lại được một hình vuơng mới, vuơng thứ n. lại làm như vậy đối với hình vuơng mới và cứ 1 1 1 1 tiếp tục làm như thế mãi. Tính tổng diện tích T a2 ,T T ,T T T , ,T T 1 2 2 1 3 2 2 22 1 n 2n 1 1 của n hình vuơng đầu tiên? Tổng diện tích cách hình vuơng: 1 2 S T T T T A. 2.100 1 99 n 1 2 3 n 2 1 2 1 1 n 1 B. 2.100 1 2 1 98 T 2 2a 1 2 1 1 n 1 1 2 2 1 2 C. 2.100 1 100 2 2 1 D. 2.100 1 97 2 Phương thức: Theo nhĩm – Tại nhà IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC 1 NHẬN BIẾT – THƠNG HIỂU 3 3x 2 2 khi x 2 x 2 Câu 1: Cho hàm số f x . Xác định a để hàm số liên tục tại 2 . 1 ax khi x 2 4 A. a 3.B. a 0 . C. a 2 .D. a 1. Câu 2: Xét hai câu sau: (1) Phương trình x3 4x 4 0 luơn cĩ nghiệm trên khoảng 1;1 (2) Phương trình x3 x 1 0 cĩ ít nhất một nghiệm dương bé hơn 1 Trong hai câu trên: A. Chỉ cĩ (1) sai.B. Chỉ cĩ (2) sai. C. Cả hai câu đều đúng.D. Cả hai câu đều sai. 5
6. Câu 3: Cho hàm số f x = 4x3 4x 1. Mệnh đề sai là: 1 A. Phương trình f x 0 cĩ ít nhất hai nghiệm trên khoảng 3; . 2 B. Phương trình f x 0 cĩ nghiệm trên khoảng 2;0 . C. Hàm số f x liên tục trên ¡ . D. Phương trình f x 0 khơng cĩ nghiệm trên khoảng ( ;1) . Câu 4: Cho các câu: 1. Nếu hàm số y f x liên tục trên a;b và f a . f b 0 thì tồn tại x0 a;b sao cho f x0 0 2. Nếu hàm số y f x liên tục trên a;b và f a . f b 0 thì phương trình f x 0 cĩ nghiệm 3. Nếu hàm số y f x liên tục, đơn điệu a;b và f a . f b 0 thì phương trình f x0 0 cĩ nghiệm duy nhất thuộc a;b Trong ba câu trên A. Cĩ đúng một câu sai.B. Cả ba câu đều đúng. C. Cĩ đúng hai câu sai.D. Cả ba câu đều sai. Câu 5: Cho hàm số f x xác định trên a;b. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu hàm số f x liên tục, tăng trên a;b và f a f b 0 thì phương trình f x 0 khơng cĩ nghiệm trong khoảng a;b . B. Nếu hàm số f x liên tục trên a;b và f a f b 0 thì phương trình f x 0 khơng cĩ nghiệm trong khoảng a;b . C. Nếu phương trình f x 0 cĩ nghiệm trong khoảng a;b thì hàm số f x phải liên tục trên a;b . D. Nếu f a f b 0 thì phương trình f x 0 cĩ ít nhất một nghiệm trong khoảng a;b . x4 x khi x 0 ; x 1 x2 x Câu 6: Hàm số f (x) 3 khi x 1 1 khi x 0 A. Liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn  1;0 . B. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 0 . 6
7. C. Liên tục tại mọi điểm x ¡ . D. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 1. Câu 7: Cho phương trình 2x4 5x2 x 1 0 (1). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Phương trình (1) chỉ cĩ một nghiệm trong khoảng 2;1 . B. Phương trình (1) cĩ ít nhất hai nghiệm trong khoảng 0;2 . C. Phương trình (1) khơng cĩ nghiệm trong khoảng 2;0 . D. Phương trình (1) khơng cĩ nghiệm trong khoảng 1;1 . Câu 8: Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b nếu nĩ liên tục tại mọi điểm thuộc đoạn a;b . B. Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên các khoảng mà nĩ xác định. C. Tổng hiệu tích thương của hai hàm liên tục tại một điểm là những hàm liên tục tại điểm đĩ. D. Cho hàm số f x cĩ miền xác định D và a D . Ta nĩi f là hàm liên tục tại x a khi lim f x f a . x a 2 VẬN DỤNG x cos khi x 1 Câu 9: Tìm các khoảng liên tục của hàm số: f (x) 2 . x 1 khi x 1 Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Hàm số liên tục tại x 1. B. Hàm số liên tục trên các khoảng ( ; 1), (1; ) . C. Hàm số liên tục tại x 1. D. Hàm số liên tục trên khoảng 1;1 . Câu 10: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x2 khi x 1, x 0 x Hàm số f (x) 0 khi x 0 x khi x 1 A. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 0 . 7
8. B. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 1. C. Liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn 0;1. D. Liên tục tại mọi điểm thuộc ¡ . 1 3 cos x khi x 0 Câu 11: Xét tính liên tục của hàm số sau: f x sin2 x 1 khi x 0 A. Hàm số khơng liên tục trên ¡ .B. Hàm số liên tục tại x 0 và x 2 . C. Hàm số liên tục tại x 0 và x 1.D. Hàm số liên tục tại x 0 và x 3. x cos x khi x 0 x2 Câu 12: Hàm số f x khi 0 x 1 1 x 3 x khi x 1 A. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 0 . B. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 1. C. Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x 0 và x 1. D. Liên tục tại mọi điểm x ¡ . 3 x khi x 3 Câu 13: Cho hàm số f (x) x 1 2 . Hàm số đã cho liên tục tại x 3 khi m bằng: m khi x 3 A. 4 .B. 4 .C. 1.D. 1. x2 khi x 0 Câu 14: Hàm số f x cĩ tính chất 17 khi x 0 A. Liên tục tại x 2 nhưng khơng liên tục tại x 0 . B. Liên tục tại x 4, x 0 . C. Liên tục tại mọi điểm. D. Liên tục tại x 3, x 4, x 0 . Câu 15: Giả sử hàm số y f x liên tục trên a;b và m f x M với mọi x a;b. Lúc đĩ: 1. Với mọi m;M , tồn tại x0 a;b sao cho f x0 2. Tồn tại x1 a;b sao cho f x1 f x ,x a;b 3. Tồn tại x2 a;b sao cho f x2 f x ,x a;b Trong ba mệnh đề trên trên 8
9. A. Cĩ đúng hai mệnh đề sai.B. Cả ba mệnh đề đều sai. C. Cĩ đúng một mệnh đề sai.D. Cả ba mệnh đề đều đúng. x 4 2 khi x 0 x Câu 16: Cho hàm số f (x) Xác định a để hàm số liên tục tại x0 0 . 5 2a khi x 0 4 3 A. a 3.B. a .C. a 2 .D. a 1. 4 x 2 khi x 4 x 5 3 Câu 17: Cho hàm số f (x) . Xác định a để hàm số liên tục tại x0 4 . 5 ax khi x 4 2 A. a 3.B. a 0 . C. a 2 .D. a 1. 2x 1 x 5 khi x 4 Câu 18: Cho hàm số f (x) x 4 . Xác định a để hàm số liên tục tại x0 4 . a 2 khi x 4 11 5 A. a 3.B. a 2 . C. a .D. a . 6 2 x3 4x2 3 khi x 1 x2 1 Câu 19: Cho hàm số f (x) . Xác định a để hàm số liên tục tại x0 1 5 ax khi x 1 2 A. a 3.B. a 3.C. a 2 .D. a 5. x2 6x 5 khi x 1 x2 1 Câu 20: Cho hàm số f (x) . Xác định a để hàm số liên tục tại x0 1. 5 a khi x 1 2 3 9 A. a .B. a 0 . C. a 2 .D. a . 2 2 . 9