Đề thi Olympic Toán Lớp 11 cấp THPT mở rộng - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi Olympic Toán Lớp 11 cấp THPT mở rộng - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 KỲ THI OLYMPIC THÁNG 4 TPHCM CẤP THPT MỞ RỘNG NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN LỚP 11 HỌC HỎI - CHIA SẺ KIẾN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) THỨC Bài 1. (4,0 điểm) Tính các giới hạn sau: sin x a) lim . x 3 x2 2x 3 cos5x b) lim . x sin 2020x .sin 2021x 2 Bài 2. (4,0 điểm) 1) Cho hàm số f x x x 1 x 2 x 2020 . Tính: f ' 1010 và f '' 1010 . 2) Với số thực m 4 , chứng minh rằng phương trình sau có 5 nghiệm thực phân biệt , trong đó có hai số âm và ba số dương: x x2 1 x3 m cos x Bài 3. (3,0 điểm) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số (các chữ số khác nhau đôi một). Chọn ngẫu nhiên một số từ S . Tính xác suất để số được chọn là số chẵn và nhỏ hơn 7560 . Bài 4. (6,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD , AB a , AD 2a , SA  ABCD và SA a . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . a) Tính theo a khoảng cách từ G đến mặt phẳng SCD . b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng CG và SD . Bài 5. (3,0 điểm) Cho hai cấp số cộng un : 7,10,13,16, và vn : 4,9,14,19,24, Mỗi cấp số trên có đúng 99 số hạng. a) Hỏi có tất cả bao nhiêu số xuất hiện đồng thời ở cả hai cấp số cộng nêu trên? b) Tính giá trị của T u1 v1 u2 v2 u99 v99 . HẾT TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 1
2. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD ￿ BIÊN SOẠN TOÁN THPT KỲ THI OLYMPIC THÁNG 4 TPHCM CẤP THPT MỞ RỘNG NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN LỚP 11 HỌC HỎI - CHIA SẺ KIẾN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) THỨC LINK NHÓM: Bài 1. (4,0 điểm) Tính các giới hạn sau: sin x a) lim . x 3 x2 2x 3 cos5x b) lim . x sin 2020x .sin 2021x 2 Lời giải sin x sin x 3 sin x 3 a) lim lim lim . x 3 x2 2x 3 x 3 x2 2x 3 x 3 x 3 x 1 4 2sin 5x cos5x 2cos5x 2 b) lim lim lim x sin 2020x .sin 2021x x cos x cos 4041x x 2 2 2 sin x sin 4041x 2 2 5 2sin 5x 2sin 5 x 2 2 lim lim x 4041 x 2 sin x sin 4041x 2 sin x sin 4041 x 2 2 2 2 2.5 1 . 1 4041 404 Bài 2. (4,0 điểm) 1) Cho hàm số f x x x 1 x 2 x 2020 . Tính: f ' 1010 và f '' 1010 . Lời giải  Đặt y x 1010 y ' 1. Ta có: f x f y 1010 y 1010 y 1009 y 1 .y. y 1 y 1010 y y2 12 y2 22 y2 10102 2021 2019 2017 3 2 y a1 y a3 y a2017 y 1010! y 2020 2018 2 2 f ' x 2021 x 1010 2019.a1 x 1010 3a2017 x 1010 1010! 2019 2017 f '' x 2021.2020. x 1010 2019.2018.a1 x 1010 6a2017 x 1010 Trang 2 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
3. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 Vậy f ' 1010 1010! 2 và f '' 1010 0 . 2) Với số thực m 4 , chứng minh rằng phương trình sau có 5 nghiệm thực phân biệt , trong đó có hai số âm và ba số dương: x x2 1 x3 m cos x Lời giải Xét hàm số liên tục f x x x2 1 x2 m cos x Ta có: lim f x , lim f x x x Ngoài ra, f 2 6 m 4 cos 2 6 m 4 0 vì 2 ; 2 f 0 cos0 1 0 1 3 4m 1 1 3 4m 1 12m 35 f cos 1 0 2 32 2 32 32 f 1 cos1 0 vì 1 0; . 2 1 1 Suy ra f x 0 có nghiệm trên các miền ; 2 , 2;0 , 0; , ;1 , 1; , tức là có 2 2 2 nghiệm âm và ba nghiệm dương. Bài 3. (3,0 điểm) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số (các chữ số khác nhau đôi một). Chọn ngẫu nhiên một số từ S . Tính xác suất để số được chọn là số chẵn và nhỏ hơn 7560 . Lời giải Ta có n S 9.9.8.7 4536 . Gọi T 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 Gọi A abcd S | abcd 7560,d2 . Do abcd 7560,d2 và a,b,c,d là các chữ số khác nhau đôi một nên: + Với a 6 , b,c,d T \ a ta có trường hợp 1 và trường hợp 2. + Với a 7 ta có b 5 , c,d T \ a;b ta có trường hợp 3 và trường hợp 4. + Với a 7 , b 5 , ta có c 6 , d T \ a;b;c ta có trường hợp 5 và trường hợp 6. Cụ thể 6 trường hợp như sau:  Trường hợp 1: Với a 1;3;5 thì Có 3 cách chọn a . Có 5 cách chọn d . Có 8 cách chọn b . Có 7 cách chọn c . Vậy có 3.5.8.7 840 số ứng với trường hợp 1.  Trường hợp 2 : Với a 2;4;6 thì Có 3 cách chọn a . Có 4 cách chọn d . Có 8 cách chọn b . Có 7 cách chọn c . TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 3
4. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD ￿ BIÊN SOẠN TOÁN THPT Vậy có 3.4.8.7 672 số ứng với trường hợp 2 .  Trường hợp 3 : Với a 7 , b 1;3 thì Có 1 cách chọn a . Có 2 cách chọn b . Có 5 cách chọn d . Có 7 cách chọn c . Vậy có 1.2.5.7 70 số ứng với trường hợp 3 .  Trường hợp 4 : Với a 7 , b 0;2;4 thì Có 1 cách chọn a . Có 3 cách chọn b . Có 4 cách chọn d . Có 7 cách chọn c . Vậy có 1.3.4.7 84 số ứng với trường hợp 4 .  Trường hợp 5 : Với a 7 , b 5 , c 1;3 thì Có 1 cách chọn a . Có 1 cách chọn b . Có 2 cách chọn c . Có 5 cách chọn d . Vậy có 1.1.2.5 10 số ứng với trường hợp 5 .  Trường hợp 6 : Với a 7 , b 5 , c 0;2;4 thì Có 1 cách chọn a . Có 1 cách chọn b . Có 3 cách chọn c . Có 4 cách chọn d . Vậy có 1.1.3.4 12 số ứng với trường hợp 6 . Khi đó n A 840 672 70 84 10 12 1688. 1688 211 Do đó xác suất cần tìm là . 4536 567 Bài 4. (6,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD , AB a , AD 2a , SA  ABCD và SA a . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . a) Tính theo a khoảng cách từ G đến mặt phẳng SCD . b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng CG và SD . Lời giải Trang 4 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
5. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 a) CD  SAD SCD  SAD Kẻ AH  SD AH  SCD 2a 2a 2a 5 AH d A, SCD 5 5 5 EG 2 4a 4a 5 d G, SCD . EA 3 3 5 15 b) Gọi P là điểm đối xứng với N qua A CN P DP CN P SDP d CG, SD d CN, SDP d N, SDP 2d A, SDP . Kẻ AK  DP SAK  SDP Kẻ AJ  SK AJ  SDP 2a 2a 2a AK AJ d A, SDP . 17 21 21 4a 41 21 Vậy d CG, SD . 21 21 Bài 5. (3,0 điểm) Cho hai cấp số cộng un : 7,10,13,16, và vn : 4,9,14,19,24, Mỗi cấp số trên có đúng 99 số hạng. a) Hỏi có tất cả bao nhiêu số xuất hiện đồng thời ở cả hai cấp số cộng nêu trên? b) Tính giá trị của T u1 v1 u2 v2 u99 v99 . Lời giải a) Ta có un 7 3 n 1 3n 4 và vn 4 5 n 1 5n 1 với n 1,2,3 Nên các số hạng xuất hiện ở cả hai dãy phải chia 15 dư 4, có dạng 15k 4 với k ¢ Ta thấy u99 399 4 301 và v99 599 1 494 . Vậy nên số các số cùng xuất hiện ở hai dãy là: 151 4, 152 4, 153 4, , 1519 4 289 , gồm tất cả 19 số hạng. b) Ta thấy vn un 5n 1 3n 4 2n 5 TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 5
6. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD ￿ BIÊN SOẠN TOÁN THPT Nếu không xét hai hiệu đầu tiên là 3, 1 , các hiệu còn lại, kể từ 1 đều dương nên giá trị tuyệt đối của chúng lập thành cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 2, số cuối là v99 u99 193. Tổng của 97 hiệu đó là 1 3 193 9409 . Vì thế nên T 3 1 9409 9413 . Trang 6 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA