Công phá Toán Lớp 10 - Câu 371-410 (Phần 2 - Có lời giải)

Nội dung text: Công phá Toán Lớp 10 - Câu 371-410 (Phần 2 - Có lời giải)

1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Chủ đề X Trong chủ đề này chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán liên quan đến đường thẳng, đường tròn, đường elip trong mặt phẳng. Vấn đề cần nắm: Đây là chủ đề lớn và quan trọng trong chương trình THPT và chắc chắn sẽ có trong đề 1. Phương trình thi THPT quốc gia các năm tới. Vf vậy để đạt được kết quả tốt chúng ta phải học và nắm đường thẳng. chắc hệ thống lí thuyết, các dạng bài tập cơ bản, điển hình, từ đó áp dụng để giải các bài 2. Phương trình toán tổng hợp khó hơn. đường tròn 3. Phương trình Chủ đề này cũng là nền tảng cơ bản để mở rộng ra chủ đề “ Phương pháp tọa độ trong Elip. không gian” sẽ học ở lớp. 4. Một số vài $1. Phương trình đường thẳng. toán cực trị. 5. Một số bài A.Lý thuyết. toán sử dụng tính chất hình 1.Véc tơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng. học. a. Vectơ n 0 và có giá vuông góc với đường thẳng d được gọi là vectơ pháp tuyến(VTPT) của đường thẳng d. b. Vectơ u 0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d. b c. Đường thẳng d có VTCP là u a;b với a 0 thì có hệ số góc k . a Nhận xét: + Nếu n là VTPT của đường thẳng d thì kn k 0 là VTPT của đường thẳng d. + Nếu u là VTCP của đường thẳng d thì ku k 0 là VTCP của đường thẳng d. STUDY TIP (một đưởng thẳng có vô số VTPT và VTCP) + Nếu n A; B là + Nếu VTCP của d là n A; B d có VTCP là u B; A (hoặc u B; A VTPT của ) và ngược lại. d u B;A là + Nếu đường thẳng d có hệ số góc là k thì có VTCP là u 1;k . VTCP của d + Đường thẳng d có hệ Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d qua A 1;2 và B 1 ;3 . số góc k Phát biểu nào sau đây là sai? có VTCP: A. VTPT của d là n 1;2 . u 1;k B. VTCP của d là u 2; 1 . C. Hệ số góc của đường thẳng d là 2. 1 D. Hệ số góc của đường thẳng d là . 2 Lời giải:  Đường thẳng d có VTCP là AB 2;1
2. 1 1 Hệ số góc của đường thẳng d là k C sai. 2 2 2. Phương tình đường thẳng. a. Phương trình tổng quát của đường thẳng. DTUDY TIP Đường thẳng d đi qua M(x0;y0) và có VTCP Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d qua M x0; y0 và có VTPT là n A; B có n A; B phương trình tổng  quát là: M x; y d , ta có MM  n  A x x0 B y y0 0 n.MM 0 (1) A x x0 B y y0 0 + phương tình (1) gọi là phương trình đường thẳng d đi qua M x0; y0 và có VTCPn A; B . +Phương trình Ax By C 0 A2 B2 0 biểu thị một đường thẳng có VTPT là n A; B và VTCP u B; A . Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d đi qua M 1;2 và có hệ số góc k = -2 STUDY TIP + Đường thẳng có hệ là: số góc k VTCP là A. 2x – y =0. B. 2x + y – 4=0. C. 2x + y = 0. D. 2x + y + 4 =0 Lời giải: u 1;k Cách 1: + Đường thẳng t = ax + b hệ số góc là a + Đường thẳng d có hệ số góc k = -2 VTCP u 1; 2 VTCP n 2;1 + Đường thẳng d đi qua M (2; 1) và có VTPT n 2;1 Phương trình đường thẳng d là: 2 x 1 1 y 2 0 2x y 4 0 Cách 2: + Bước 1: Kiểm tra đường thẳng qua M (1;2), loại phương án C,D. + Bước 2: Kiểm tra phương án A: d 2x y 0 y 2x hệ số góc k = 2(loại) Vậy đáp án B đúng.
3. b. Phương trình tham số của đường thẳng STYDY TIP Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M x0; y0 và nhận u a;b làm VTPT có dạng: Cho đường thẳng d đi qua M x0; y 0 và có VTCP là u a;b  x x0 at M x; y d MM và u cùng phương y y0 bt  MM tu ( t là tham số) x x 0 ta x x0 at (2) y y0 tb y y0 bt Phương trình (2) gọi là phương trình tham số của đường thẳng d. Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình tham số của đường thảng d đi qua A (2;-3) và song song với đường thẳng :3x 4y 5 0 là x 2 4t 3 5 x 4 2t A. . B. 3x – 4y – 18 =0. C. y x . D. . y 3 3t 4 4 y 3 3t Lời giải Đường thẳng d / / nhận VTCP của là n 3; 4 làm VTPT nhận u 4;3 làm VTCP d đi qua A(2;-3) và nhận u 4;3 làm VTCP x 2 4t phương trình tham số của đường thẳng d là . y 3 3t Lưu ý: STUDY TIP + Đối với Ví dụ 3 ta có thể loại ngay phương án C và B, do không phải là phương Đường thẳng có trình tham số (dạng khác của đường thẳng d). phương trình Ax By C 0 + Đường thẳng ở phương án D thì không đi qua A, suy ra chọn đáp án A. VTPT của là c. Phương trình chính tắc của đường thẳng. n A; B . Đường thẳng d đi qua M x0; y0 và nhận u a;b làm VTCP có phương trình
4. x x 0 at (2) y y0 bt Với a.b 0 thì hệ phương trình(2) x x0 t x x 0 y y0 a (3) a b y y t 0 b Phương trình (3) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d. Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Phương trình chính tắc của đường thẳng qua A(- 1; -2) và B(0;3) là: x 1 t A. 5 x 1 1 y 2 0. B. . y 2 5t x 1 y 2 x y 2 C. . D. . 1 5 1 5 Lời giải  Đường thẳng AB đi qua A(-1;-2) và có VTCP AB 1;5 x 1 y 2 phương trình chính tắc của d là: . 1 5 Lưu ý: Phương trình ở phương án A và B không phải ở dạng chính tắc của đường thẳng AB. Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm STUDY TIP A xA; yA ; B xB; yB với xB xA y B yA 0 không phải là phương trình nào Phương trình đường sau đây? x x y y x x y y thẳng qua hai điểm A. A A . B. B B . x x y y x x y y A xA;yA ; B xB; yB B A A B A B A B x x y y x xA y yA x xB y yB là: A A C. . D. . xB xA yB yA xB xA yB yA xB xA yB yA Lời giải: Với xB xA yB yA 0 Nhận thấy ở phương án A, VTCP của AB là u xB xA; yA y B không cùng pương  với AB xB xA; yB yA mâu thuẫn phương án A không phải là phương trình chính tắc của đường thẳng AB.  Nhận xét: + Phương án B: AB đi qua B và có VTCP là BA  + Phương án C: AB đi qua A và có VTCP là AB  + Phương án D: AB đi qua B và có VTCP là AB Cả 3 phương án B, C, D đều đúng. d. Phương trình đường thẳng theo hệ số góc
5. + Cho đường thẳng d đi qua M x0; y0 và có hệ số góc k Khi đó d có VTCP là u 1;k d có VTPT là n k;1 Phương trình đường thẳng d: k x x0 1 y y0 0 STUDY TIP y k x x0 y0 (4) + Đường thẳng d: y ax b có hệ số góc Phương trình (4) gọi là phương trình đường thẳng d theo hệ số góc k. là a. Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d qua A(-1;2) và song song với : y 5x 2 có phương trình là: + 2 đường thẳng song song thì cùng hệ số A. y = 5x -3. B. y = 3x + 5. C. y= -7x -5. D. y = 5x +7. Lời giải: góc (có hệ số góc bằng nhau-lớp 9). Đường thẳng d đi qua A(-1;2) và có hệ số góc k = 5 d : y 5 x 1 2 y 5x 7. Đáp án D. STUDY TIP e. Phương trình đường thẳng dạng đoạn chắn Phương trình đường thẳng dạng đoạn Phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(a;0) và B(0;b) với a.b 0 là chắn qua x a y 0 x y x y A a;0 Ox;B 0;b Oy 1 1 (5) 0 a b 0 a b a b x y ab 0 là: 1 a b Phương trình (5) gọi là phương trình đường thẳng theo dạng đoạn chắn qua A và B. Ví dụ 7: Đường thẳng d qua M(2;4) cắt Ox; Oy lần lượt tại A, B cho M là trung điểm của AB có phương trình là: x y x y A. 1. B. 1. C. 2x – y =0. D. y = ax + 2. 2 4 4 8 Lời giải: STUDY TIP A Ox A a;0 ; B Oy B 0;b Cho A xA; yA ; B xB; y B , a 0 2 trung điểm AB là: 2 a 4 A 4;0 x y M(2;4) là trung điểm của AB AB : 1 0 b b 8 B 0;8 4 8 xA yA xB yB 4 I ; 2 2 2 Ví dụ 8: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình đường thẳng qua M(1;4) cắt các tia Ox; Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho diện tích OAB đạt GTNN là: ax by 8 0. Khi đó a + b đạt giá trị: A. 5 B. -5. C. 3. D. -3. Lời giải: x y + Gọi A a;0 ; B 0;b ;a,b 0 (do cắt các tia Ox; Oy) AB : 1 a b
6. 1 4 + AB qua M(1;4) 1 a b 1 4 1 4 4 1 2 . ab 4 ab 16 a b a b ab STUDY TIP 1 1 1 1 + S OA.OB a . b ab .16 Cho x, y 0 OAB 2 2 2 2 x y 2 2 xy 1 4 a b a 2 min S 8 khi Dấu bằng xảy ra OAB 1 4 b 8 x y 1 a b x y AB : 1 8x 2y 16 0 4x y 8 0 a b 5. 2 8 Đáp án A. 3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng. a. Cách 1: : Ax By C 0 Cho 2 đường thẳng khi đó: : A x B y C 0 A B + Nếu và cắt nhau. A B A B C + Nếu và song song với nhau. A B C A B C + Nếu và trùng nhau. A B C b. Cách 2: ; Ax By C 0 Xét hệ gồm phương trình 2 đường thẳng (I), khi đó: : A x B y C 0 + Nếu hệ (I) có 1 nghiệm x0; y0 1  2 M x0; y0 + Nếu hệ (I) vô nghiệm 1 / / 2 + Nếu hệ (I) có vô số nghiệm 1  2 x 1 y 2 Ví dụ 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường thẳng d : ; 1 2 1 x 1 2t d2 : ; d3 : x 2y 5 0. Khi đó ta có y 3 t A. d1 / /d2. B. d2  d3. C. d2 / /d3. D. d1  d3.
7. Lời giải: x 1 y 2 + d1 : x 1 2 y 2 x 2y 5 0 (1) STUDY TIP 2 1 Nên đưa các đường x 1 2t x 1 y 3 + d2 : x 1 2y 6 x 2y 5 0 (2) thẳng về phương trình y 3 t 2 1 tổng quát trước khi xét vị trí tương đối. + d3 : x 2y 5 0 (3) Từ (1) và (2) d1  d2 , loại phương án A. 1 2 5 Từ (2) và (3) d / /d , loại B. 1 2 5 2 3 Vậy ta chọn đáp án C. Ví dụ 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 đường thẳng d1 : 2x m 0 và d2 : mx y 3 0 với m là tham số, biết tập hợp giao điểm của d1 và d2 là một parabol. Khi đó tọa độ đỉnh đỉnh của parabol đó là: A. I(1;3). B. I(0;3). C. I(0;0). D. I(2;3). Lời giải 2x m 0(1) 2 0 + Xét hệ (*) có D 2 1 m.0 2 mx y 3 0(2) m -1 D 0 Hệ có 1 nghiệm d1 luôn cắt d2 tại 1 điểm + Gọi giao điểm của d1 và d2 là M(x;y) thỏa mãn (*) STUDY TIP Từ phương trình (1) m 2x thế vào phương trình (2) D : y ax2 bx c 2.x.x y 3 0 y 2x2 3 (3) a 0 có đỉnh b V Tọa độ M thỏa mãn phương trình (3) tập hợp điểm M là (P): y 2x2 3 I ; 2a 4a I 0;3 . 4. Góc giữa hai đường thẳng a. Cho 1 và 2 cắt nhau tạo thành 4 góc: + Nếu 1 không vuông góc với 2 thì góc nhọn trong 4 góc đó được gọi là góc giữa hai · 0 đường thẳng 1, 2 1, 2 90 0 + Nếu 1  2 thì góc giữa chúng là 90 . 0 + Nếu 1 / / 2 (hoặc 1  2 ) góc giữa chúng là 0 .
8. STUDY TIP b. Cho 2 đường thẳng 1 : Ax By C 0 có VTPT n1 A; B  · + : 1, 2 2 : A x B y C 0 có VTPT n 2 A ; B · Gọi là góc giữa và + Nếu 1, 2 1 2     n .n 00 900 · 1 2 AA BB 1, 2 cos cos n1.n2   cos (6) 2 2 2 2 n1 . n2 A B A B Chú ý: · 0 1, 2 0 90     1  2 n1  n2 n1 .n2 0 AA BB 0 1 : y k1x m1; 2 : y k2x m2 1  2 k1k2 1 Ví dụ 11: Trong mặt phẳng Oxy, cho d1 : x 2y 5 0 và d2 :3x y 1 0 , góc giữa d1 và d2 là: A. 300. B. 450. C. 600. D. 900. Lời giải:   + VTPT của d1 và d2 lần lượt là: n1 1; 2 ;n2 3; 1 + Gọi là góc giữa 1, 2. Khi đó:   n1.n2 1.3 2 .( 1) 1 cos   450. 2 2 n1 . n2 12 2 32 1 2 Ví dụ 12: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng đi qua A(0;1) và tạo với đường thẳng : x 2y 3 0 một góc 450 có dạng 3x by c 0 b,c Z . Khi đó b + 3c là: A. 0. B. 1. C. 2. D. -2. Lời giải: Cách 1: 0  + Gọi VTPT của d qua A và tạo với một góc 45 là n1 a;b 0  + có VTPT n2 1;2 + Góc giữa d và bằng 450   n1.n2 1 a 2b cos 45 0   3a2 8ab 3b2 0 (*) 2 2 n1 . n2 2 a b 5
9. TH1: b 0 a 0 (loại) a 2 3 a 3b a a b TH2: b 0 * 3 8 3 0 1 b b a 1 a b 3 b 3  - Với a = 3b chọn b 1 a 3 n1 3;1 d :3 x 0 1 y 1 0 3x y 1 0 (1) 1  - Với a b, chọn b 3 a 1 n 1; 3 3 1 d :1 x 0 3 y 1 0 x 3y 3 0 Từ phương trình (1) d :3x y 1 0 b 3c 2 chọn đáp án D. Cách 2: STUDY TIP x 0 + Đường thẳng d đi qua A(0;1) có dạng: Đường thẳng qua y k x 0 1 A x0; y0 có dạng: Với d : x 0 góc tạo với : x 2y 3 0 không phải 450 (loại) x0 0 (1)  Với d : y kx 1 kx y 1 0 có VTPT n1 k; 1 y k x x0 y 0 (2)  với k là hệ số góc + Đường thẳng : x 2y 3 0 có VTPT n2 1;2 mà được tạo với một góc 45 độ -TH (1) là d qua A và vuông góc Ox. k 3 0 k 2 2 cos 45 3k 8k 3 0 1 - TH (2) là d qua A và 2 k k 1 5 3 không vuông góc với Ox. Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn đề bài trên: - Với k 3 d :3x y 1 0 1 - Với k d : x 3y 3 0 3 Suy ra, phương trình thỏa mãn bài toán: 3x y 1 0 b 1;c 1 b 3c 2. Lưu ý: + Với cách 2 thông thường ta sẽ giải đồng hợp đường thẳng d có dạng y k x 0 1 trước, nếu đủ trường hợp cảy ra là thôi, nếu thiếu trường hợp thì mới kiểm tra đến đường thẳng x =0. + ở bài toán trên chỉ có 2 đường thẳng đi qua A thỏa mãn nên không cần xét đường thẳng x= 0 nữa, khi đó bài toán sec giải nhanh hơn.
10. 5. Khoảng cách. 2 2 a. Cho điểm M x0; y0 và đường thẳng : Ax By Cz 0 A B 0 Khi đó khoảng cách từ M đến được xác định theo công thức: Ax0 By0 C d M ; (7) A2 B2 b. Cho hai đường thẳng song song với nhau lần lượt có phương trình 1 : Ax By C 0 1 : Ax By C 0. Khi đó: C C d (8) 1; 2 A2 B2 Ví dụ 13: Trong mặt phẳng Oxy, cho d : 2x 3y 1 0 và : 4x 6y 5 0. Khi đó khoảng cách từ d đến là: 7 13 3 13 3 13 A. . B. . C. . D. 0. 26 26 13 Lời giải: Cách 1: STUDY TIP d : 2x 3y 1 0 (1) 2 3 1 Khoảng cách giữa + Ta có: d / / : 4x 6y 5 0 (2) 4 6 5 hai đường thẳng là khoảng cách từ 1 1 1 điểm thuộc đường + Chọn x= 0 thế vào (1) 2.0 3.y 1 0 y M 0; d 3 3 thẳng này đến đường thẳng kia. 1 4.0 6. 5 3 3 13 d d; d M ; 4 2 62 26 Cách 2: 5 + : 4x 6y 5 0 2x 3y 0 (1) 2 + Đường thẳng d : 2x 3y 1 0 (2) 5 1 2 3 13 Từ (1) và (2) d / / d d; . 22 3 2 26 6. Đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau Cho d1 : A1x B1y C1 0 và d2 : A2x B2 y C2 0
11. Điểm M x; y nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau d1 và A1x B1y C1 A2x B2 y C2 d2 d d (9) M ;d1 M ;d2 2 2 2 2 A1 B1 A2 B2 Phương trình (9) gọi là phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau d1 và d2. Ví dụ 14: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình đường phân giác góc nhọn của góc tạo bởi 2 đường thẳng 1 :3x 4y 3 0 và 2 : 4x 3y 1 0 là: A. x y 2 0. B. 7x 7y 4 0. C. x y 2 0. D. 7x 7y 4 0. Lời giải: Phương trình đường phân giác cần tìm là: 3x 4y 3 4x 3y 1 x y 2 0 32 42 32 42 7x 7y 4 0 + Gọi phân giác 1 là d1 : x y 2 0 Phân gíac 2 là d2 : 7x 7y 4 0 + Chọn M 1;0 1 1 2 3 7 2 3 3 Tính d ;d M ;d1 M ;d2 STUDY TIP 2 2 72 72 7 2 2 Viết phương trình d : 7x 7y 4 0 là đường phân giác góc nhọn đường phân giác của 2 góc nhọn: Đáp án B. + Viết phương trình 2 7. Vị trí tương đối của 2 điểm đối với 1 đường thẳng đường phân giác: phân giác 1 và phân Cho đường thẳng d: Ax + By + C = 0 và 2 điểm A xA; yA ; B xB; yB giác 2. Xét tích AxA ByA C AxB ByB C a. Khi này: + Chọn M 1 tính + Nếu a 0 A và B nằm về 2 phía của đường thẳng d. d M;PG1 và + Nếu a 0 A và B nằm cùng phía của đường thẳng d. d M;PG2 . + Nếu a 0 A và B nằm trên đường thẳng d. Khi đó khoảng cách nhỏ hơn ứng vứi phân Ví dụ 15: Trong mặt phẳng Oxy, cho A(1;2); B(-3;5); C(-5;-6). Phương trình đường giác của góc nhọn. phân giác trong hạ từ A của ABC là: A. x 7y 13 0. B. 7x y 9 0. C. x 7y 13 0. D. 7x y 9 0. Lời giải + Đường thẳng AB: 3x + 4y – 11 =0
12. Đường thẳng AC: 4x – 3y + 2= 0 M x; y thuộc đường phân giác tạo bởi AB, AC 3x 4y 11 4x 3y 2 d M ;AB d M ;AC 32 42 42 3 2 x 7y 13 0 7x y 9 0 + Xét đường thẳng 1 : x 7y 13 0 với hai điểm B(-3;5) , C(-5;-6) Có 3 7.5 13 5 7 6 13 0 B và C nằm về hai phía của đường thẳng 1 Đường phân giác trong hạ từ A của VABC là 1 : x 7y 13 0. Lưu ý: + Đường thẳng 2 : 7x y 9 0 ở trên là đường phân giác ngoài hạ từ đỉnh A của VABC . + Bạn có thể giải bài toán này bằng cách tìm chân đường phân giác trong hạ từ A xuống BC là điểm D DDuongf phân giác cần tìm qua A và B. (Xem phần tích có hướng của 2 vectơ.). 8. Một số phương pháp tham số hóa 1 điểm thuộc đường thẳng a. M Ox M a;0 b. M Oy M 0;b c. M d : y ax b M m;am b d. M d : x ay b M am b;m x x0 at e. M d : M x0 at; y0 bt y y0 bt Ví dụ 16: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2x 3y 4 0. Điểm M d thì STUDY TIP tọa độ có dang Một số bài khi tham số A. M m; 2m 4 . B. M 3m 4;m . hóa điểm dẫn đến các C. M 2 3m; 2m . D. M 0;2m 3m 4 . bài tập phức tạp, ta nên chuyển về phương Lời giải: trình dạng tham số. Đường thẳng d: 2x + 3y – 4 = 0. Chọn M 2;0 d d đi qua M(2;0) và có VTPT n 2;3 VTCP u 3; 2
13. x 2 3t d : trong đó t là tham số. y 2t M d M 2 3t; 2t Ví dụ 17: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 3 =0 và : x 2y 6 0. Tìm M có hoành độ âm thuộc sao cho khoảng cách từ M đến d là 5. Khi đó được điểm M a;b . Tính a + b ( với a< 0). A. 2. B. 3. C. 4. D. -2. + M : x 2y 6 0 x 2y 6 M 2m 6;m với m là tham số. 2 2m 6 m 3 m 2 M 2;2 + d m;d 5 5 5m 15 5 22 12 m 4 M 2;4 Suy ra điểm M cần tìm là M 2;4 a b 2.