›
›
›

Công phá Toán Lớp 10 - Câu 281-310 (Có lời giải)

doc 52 trang nhungbui22 11/08/2022 2850
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Công phá Toán Lớp 10 - Câu 281-310 (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doccong_pha_toan_lop_10_cau_281_310_co_loi_giai.doc

Nội dung text: Công phá Toán Lớp 10 - Câu 281-310 (Có lời giải)

  1. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Ví dụ 5: Cho ba điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng. Mệnh đề nào sau đây đúng?     A. AB BC B. CA và CB cùng hướng     C. AB và AC ngược hướng D. BA và BC cùng phương Lời giải   Với ba trường hợp lần lượt A, B, C nằm giữa thì ta luôn có BA, BC cùng phương. Đáp án D. Ví dụ 6: Cho tam giác ABC với trực tâm H. D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?         A. HA CD và AD CH B. HA CD và DA HC         C. HA CD và AD HC D. AD HC và OB OD Lời giải   Ta có BD là đường kính OB DO . AH  BC, DC  BC AH / /DC (1) Ta lại có CH  AB, DA  AB CH / /DA (2)     Từ (1) và (2) tứ giác HADC là hình bình hành HA CD; AD HC . Đáp án C. Ví dụ 7: Cho ABC với điểm M nằm trong tam giác. Gọi A', B ',C ' lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và N, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với M qua A', B ',C '. Câu nào sau đây đúng?         A. AM PC và QB NC B. AC QN và AM PC         C. AB CN và AP QN D. AB ' BN và MN BC Lời giải LOVEBOOK.VN | 1
  2. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book   Ta có AMCP là hình bình hành AM PC Lại có AQBM và BMCN là hình bình hành NC BM QA   AQNC là hình bình hành AC QN . Đáp án B. Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: - Sử dụng các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành. - Biến đổi vế này thành vế kia. - Biến đổi đẳng thức cần chứng minh thành một đẳng thức đã biết hiển nhiên đúng. - Từ một đẳng thức đúng biến đổi thành đẳng thức cần chứng minh. Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tìm đẳng thức sai:        A. AM AN AC B. AM AN AB AD        C. AM AN MC NC D. AM AN DB Lời giải    + Tứ giác AMCN là hình bình hành AM AN AC A đúng.      + ABCD là hình bình hành AB AD AC AM AN B đúng.         + AM NC, AN MC AM AN MC NC C đúng. Đáp án D. LOVEBOOK.VN | 2
  3. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Ví dụ 2: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F phân biệt. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?     A. AB DF BD FA 0     B. BE CE CF BF 0       C. AD BE CF AE BF CD       D. FD BE AC BD AE CF Lời giải          + Ta có: AB DF BD FA AB BD DF FA AA 0 A đúng.       + BE CE CF BF BC CB 0 B đúng.               + AD BE CF AE BF CD AD DC CF AE EB BF AF AF C đúng.        + FD DB BE EA AC FC 0 2FC 0 F  C (mâu thuẫn giả thiết) D sai. Đáp án D. Ví dụ 3: Cho ABC với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm. Hệ thức nào sau đây là đúng?  3     1    A. OH OG B. HO 3OG C. OG GH D. 2GO 3OH 2 2 Lời giải        Ta có GA GB GC 0 OA OB OC 3OG (1) Gọi I là trung điểm BC, A' đối xứng với A qua O. Dễ thấy HBA'C là hình bình hành          HB HC HA' HA HB HC HA HA' 2HO          3HO OA OB OC 2HO OH OA OB OC (2) LOVEBOOK.VN | 3
  4. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book         1  Từ (1) và (2) OH 3OG OG GH 3OG GH 2OG OG GH . 2 Đáp án C. Ví dụ 4: Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đẳng thức nào sau đây là sai?       A. AB CD 2IJ B. AC BD 2IJ       C. AD BC 2IJ D. 2IJ DB CA 0 Lời giải         + B đúng vì AC BD AI IJ JC BI IJ JD       2IJ AI BI JC JD 2IJ          + C đúng vì AD BC AI IJ JD BI IJ JC 2IJ       + D đúng vì AC BD 2IJ 2IJ CA DB 0 Đáp án A. Ví dụ 5: Cho ABC , M là một điểm trên cạnh BC. Khi đó đẳng thức nào sau đây là đúng?  MC  MB   MA  MB  A. AM .AB .AC B. BM .AC .BC BC BC AB AB  MB  MA   MC  MB  C. 3CM .AB .AC D. 2AM .AB .AC AC AB BC BC Lời giải Kẻ MN / / AC, N AB .  AN  MC  Áp dụng định lí Ta-lét ta có AN .AB .AB AB BC  NM  MB  NM .AC .AC AC BC LOVEBOOK.VN | 4
  5. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing    MC  MB  AM AN NM .AB .AC . BC BC Đáp án A. Ví dụ 6: Cho ABC , AM, BN, CP là các trung tuyến. D, E, F là trung điểm của AM, BN và CP. Với O là điểm bất kì. Đẳng thức nào sau đây đúng?       A. OA OB OC OD OE OF       B. 2 OA OB OC 3 OD OE OF       C. OA OB OC 2 OD OE OF       D. OA OB OC 3 OD OE OF Lời giải       Ta có: 2OA OB OC 2OA 2OM 4OD (1)     Tương tự OA 2OB OC 4OE (2)     OA OB 2OC 4OF (3) Cộng vế vói vế (1), (2), (3) ta được đáp án A. Đáp án A. Ví dụ 7: Cho tam giác ABC đều tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba cạnh lần lượt là D, E, F. Hệ thức nào sau đây là đúng?    1     2  A. MD ME MF MO B. MD ME MF MO 2 3    3     3  C. MD ME MF MO D. MD ME MF MO 4 2 Lời giải Qua M kẻ các đường thẳng A1B1 / / AB, A2C1 / / AC, B2C2 / /BC Các tam giác đều MB1C1, MA1C2 , MA2 B2 LOVEBOOK.VN | 5
  6. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book  1    1    1   Ta có: MD MB MC , ME MA MC , MF MB MA 2 1 1 2 1 2 2 2 2    1   1   1   MD ME MF MA MA MB MB MC MC 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1    3  MA MB MC MO . 2 2 Đáp án D. Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: - Bước 1: Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm,  trọng tâm biến đổi đẳng thức đã cho về dạng OM u trong đó u đã biết trước. - Bước 2: Dựng điểm M, dựng một vectơ bằng vectơ u , điểm cuối của vectơ chính là M. * Chú ý:   + Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 1 MA kMB và với điểm O tùy ý thì    OA kOB OM 1 k + Điều kiện cần và đủ để ABC và A' B 'C ' cùng trọng tâm là    AA' BB ' CC ' 0 . LOVEBOOK.VN | 6
  7. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing   Ví dụ 1: Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho IA 2IB 0 . 1 A. Điểm I ngoài đoạn AB sao cho IB AB 3 1 B. Điểm I thuộc đoạn AB sao cho IB AB 3 C. Điểm I là trung điểm đoạn AB 1 D. Điểm I nằm khác phía với B đối với A và IB AB . 3 Lời giải     IA 2IB 0 IA 2IB . 1 Vậy I thuộc đoạn AB sao cho IB AB . 3 Đáp án B. Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB. Hình nào sau đây biểu diễn điểm I sao cho  3  AI BA. 5 A. B. C. D. Đáp án B. LOVEBOOK.VN | 7
  8. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 3: Cho ABC có G là trọng tâm. Xác định điểm M sao cho:    MA MB 2MC 0 . A. Điểm M là trung điểm cạnh AC. B. Điểm M là trung điểm cạnh GC. C. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số 4.   D. Điểm M chia đoạn GC thỏa mãn GC 4GM . Lời giải          MA MB 2MC MG GA MG GB 2MG 2GC 0        4MG GA GB GC GC 0 GC 4GM Đáp án D. Ví dụ 4: Cho ABC , I là trung điểm của AC. Vị trí điểm N thỏa mãn    NA 2NB CB xác định bởi hệ thức:  1     2    A. BN BI B. BN 2BI C. BN BI D. BN 3BI 3 3 Lời giải         Ta có: NA 2NB CB NA NB NB CN NB       2  NA NC NB 2NI NB BN BI 3 Đáp án C. Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD. Tìm vị trí điểm N thỏa mãn:       NC ND NA AB AD AC . A. Điểm N là trung điểm cạnh ABB. Điểm C là trung điểm cạnh BN C. Điểm C là trung điểm cạnh AMD. Điểm B là trung điểm cạnh NC Lời giải LOVEBOOK.VN | 8
  9. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing       Ta có NC ND NA AB AD AC       NC NA ND AB AD AC       AC ND AC AC AC DN ACND là hình bình hành C là trung điểm cạnh BN. Đáp án B. Ví dụ 6: Cho 2 điểm A, B là hai số thực a, b sao cho a b 0 . Xét các mệnh đề:   (I) Tồn tại duy nhất một điểm M thỏa mãn aMA bMB 0 .  b  (II) MA AB . a b (III) M là điểm nằm trên đường thẳng AB. Trong các mệnh đề trên thì: A. (I) và (III) tương đương nhauB. (II) và (III) tương đương nhau C. (I) và (II) tương đương nhauD. (I), (II), (III) tương đương nhau Lời giải       b  aAM bMB 0 aMA b MA AB 0 MA AB a b Do giả thiết M được xác định duy nhất trên đường thẳng AB. Đáp án C. Ví dụ 7: Cho ABC với BC a, AC b, AB c . Nếu điểm I thỏa mãn hệ thức    aIA bIB cIC 0 thì: A. Điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . B. Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp ABC . C. Điểm I là trực tâm của ABC . D. Điểm I là trọng tâm của ABC . LOVEBOOK.VN | 9
  10. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Lời giải A' B c Lấy A' sao cho hay AA' là đường phân giác. A'C b      Ta có: aIA bIB cIC 0 aIA b c IA' 0 IA b c c BA I thuộc đoạn AA' và IA' a ac BA' b c I là tâm đường tròn nội tiếp ABC . Đáp án B. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện Phương pháp:   - Nếu MA MB với A, B cố định cho trước thì M nằm trên đường trung trực của AB.  - Nếu MA k 0 với A cố định cho trước thì M nằm trên đường tròn tâm A bán kính R k .   - Nếu MA k AB với A, B cố định cho trước thì M nằm trên đường tròn tâm A, bán kính R k.AB,k ¡ .   - Nếu MA k AB với A, B cố định, k là số thực thay đổi thì tập hợp điểm M là đường thẳng AB.   - Nếu MA k BC với A, B, C cố định, k là số thực thay đổi thì tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và song song với BC.     - Nếu MA MB MC MD với A, B, C, D cố định cho trước thì tập hợp điểm M nằm trên đường trung trực của IJ với I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. LOVEBOOK.VN | 10
  11. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Ví dụ 1: Gọi G là trọng tâm của ABC . Tập hợp điểm M sao cho    MA MB MC 6 là: A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. B. Đường tròn tâm G bán kính là 1. C. Đường tròn tâm G bán kính là 2. D. Đường tròn tâm G bán kính là 6. Lời giải       Ta có MA MB MC 3MG 3 MG 6 MG 2 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G bán kính là 2. Đáp án C. Ví dụ 2: Cho ABC có trọng tâm G. I là trung điểm của BC. Tập hợp điểm M      sao cho: 2 MA MB MC 3 MB MC là: A. đường trung trực của đoạn GI B. đường tròn ngoại tiếp ABC C. đường thẳng GI D. đường trung trực của đoạn AI Lời giải        Ta có: MA MB MC 3MG, MB MC 2MI   2 3MG 3 2MI   MG MI Tập hợp điểm M là trung trực của GI. Đáp án A. LOVEBOOK.VN | 11
  12. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng     thức MA MB MC MD là A. một đoạn thẳngB. một đường tròn C. một điểmD. tập hợp rỗng Lời giải         Ta có: MA MB MC MD MA MB MC MD     2MI 2MJ MI MJ với I, J là trung điểm của AB, CD Không có điểm M nào thỏa mãn. Đáp án D. Ví dụ 4: Trên đường tròn C O; R lấy điểm cố định A; B là điểm di động trên    đường tròn đó. Gọi M là điểm di động sao cho OM OA OB . Khi đó tập hợp điểm M là: A. đường tròn tâm O bán kính 2R. B. đường tròn tâm A bán kính R C. đường thẳng song song với OA D. đường tròn tâm C bán kính R 3 Lời giải    Từ giả thiết OM OA OB O, A, M, B theo thứ tự là các đỉnh của hình bình hành. Do AM OB R Tập hợp điểm M là đường tròn tâm A bán kính R. Đáp án B. LOVEBOOK.VN | 12
  13. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Ví dụ 5: Cho ABC và điểm M thỏa mãn đẳng thức:      3MA 2MB MC MB MA . Tập hợp điểm M là A. một đoạn thẳngB. nửa đường tròn C. một đường trònD. một đường thẳng Lời giải      Gọi E là trung điểm của AC 3MA 2MB MC MB MA         2 MA MB MA MC AB 2BA 2ME AB   Gọi I là điểm thỏa mãn BA EI      1 2 EI ME AB 2 MI AB MI AB 2 AB Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính . 2 Đáp án C.      Ví dụ 6: Tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức: 3MA 2MB 2MC MB MC AB A. là một đường tròn có bán kính là 2 BC B. là một đường tròn có bán kính là 3 C. là một đường thẳng qua A và song song với BC D. là một điểm Lời giải Chọn điểm I sao cho LOVEBOOK.VN | 13
  14. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book         3IA 2IB 2IC 0 3AI 2 AB AI 2 AC AI 0       2  3AI 2 AB AC 0 3AI 2CB AI CB 3           3MA 2MB 2MC 3 MI IA 2 MI IB 2 MI IC 3MI      1 3MA 2MB 2MC MB MC 3MI CB MI CB 3 CB Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính . 3 Đáp án B. Ví dụ 7: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn hệ thức:    2MA 1 k MB 3kMC 0 , k là giá trị thay đổi trên ¡ . A. Tập hợp điểm M là một đoạn thẳng. B. Tập hợp điểm M là một đường tròn. C. Tập hợp điểm M là một đường thẳng. D. Tập hợp điểm M là một nửa đường tròn. Lời giải     Từ giả thiết 2MA MB k MB 3MC (*)     Gọi I, K là các điểm sao cho 2IA IB 0; KB KC 0 Thì I, K là các điểm cố định: I AB : IB 2IA; K BC : KB 3KC           Từ (*) 2 MI IA MI IB k MK KB 3MK 3KC MI 4kMK Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng. Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 14
  15. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng phương. Sự thẳng hàng, song song 1. Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng phương Phương pháp: Cách 1: Từ giả thiết đã cho xác định tính chất hình học rồi từ đó khai triển vectơ cần biểu diễn bằng quy tắc ba điểm, quy tắc hiệu hai vectơ, quy tắc hình bình hành, Cách 2: Chuyển điều kiện ràng buộc thành hệ phương trình và giải hệ điều kiện đó. 2. Sự thẳng hàng, song song Phương pháp:   + Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB k AC,k 0    + Ba điểm A, B, C thẳng hàng MC .MA 1 .MB với M , ¡   + AB / /CD AB kCD,k 0  Ví dụ 1: Cho AK và BM là hai trung tuyến của ABC . Hãy phân tích vectơ AB   theo hai vectơ AK và BM .  2    1   A. AB AK BM B. AB AK BM 3 3  3    2   C. AB AK BM D. AB AK BM 2 3 Lời giải Cách 1:        1   1 Ta có: AB AK KB AK KM MB AK AB BM (vì KM AB ) 2 2 LOVEBOOK.VN | 15
  16. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book  1    3     2   AB AB AK BM AB AK BM AB AK BM 2 2 3    Cách 2: Giả sử có cặp số m, n sao cho AB mAK nBM , với G AK  BM     3   3  Ta có AB AG GB, AK AG, BM BG 2 2   3  3  3  3  AG GB mAG nGB m 1 AG n 1 BG (*) 2 2 2 2 3 2 m 1 0 m   2 3 Do AG, BG không cùng phương (*) 2 n 1 0 n 2 3  2   AB AK BM . 3 Đáp án A. 11  5  Ví dụ 2: Cho ABC vuông cân, AB AC . Khi đó vectơ u AB AC 4 2 được vẽ đúng ở hình nào sau đây? A. B. C. D. Lời giải LOVEBOOK.VN | 16
  17. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing  11   5  Theo hình vẽ AM AB, AN AC Chọn đáp án D. 4 2 Đáp án D. Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB 1 1 và CD sao cho AM AB,CN CD . Gọi G là trọng tâm của BMN . Hãy 3 2    phân tích AG theo hai vectơ AB a, AC b .  1 5  1 1 A. AG a b B. AG a b 18 3 18 5  5 1  5 1 C. AG a b D. AG a b 18 3 18 3 Lời giải      1  Ta có AM AN AB 3AG mà AM AB 3  1   1    1 AN AC AD AC AC AB a b 2 2 2  1  1    5   3AG AB AB AC AB AB AC 3 2 6  5 1 AG a b . 18 3 Đáp án C. Ví dụ 4: Cho ABC . Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI 3BI và J là     điểm trên tia đối của BC sao cho 5JB 2JC . Tính AI, AJ theo a AB,b AC .   3 2  5 2  3 2  5 2 A. AI a b, AJ a b B. AI a b, AJ a b 5 5 3 3 5 5 3 3  2 3  5 2  3 2  5 2 C. AI a b, AJ a b D. AI a b, AJ a b 5 5 3 3 5 5 3 3 LOVEBOOK.VN | 17
  18. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Lời giải       Ta có: 2IC 3IB 2 AC AI 3 AB AI     3  2  5AI 3AB 2AC AI AB AC . 5 5       Ta lại có: 5JB 2JC 5 AB AJ 2 AC AJ     5  2  3AJ 5AB 2AC AJ AB AC 3 3 Đáp án A. Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD. Trên AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho        AM k AB , DN k DC , k 1. Hãy biểu diễn MN theo hai vectơ AD và BC .       A. MN k.AD 1 k .BC B. MN 1 k .AD k.BC       C. MN 1 k .AD k.BC D. MN k.AD k 1 .BC Lời giải      Với điểm O bất kì: OM OA AM OA k AB      OA k OB OA 1 k OA kOB    Tương tự ON 1 k OD kOC          MN ON OM 1 k OD OA k OC OB 1 k AD k BC Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 18
  19. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Ví dụ 6: Cho ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là điểm 1 trên AC sao cho AK AC . Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để ba 3 điểm B, I, K thẳng hàng.  2   4     3  A. BK BI B. BK BI C. BK 2BI D. BK BI 3 3 2 Lời giải     1     Ta có: 2BI BA BM BA BC 4BI 2BA BC (1) 2     1   1   2  1  BK BA AK BA AC BA BC BA BA BC 3 3 3 3    3BK 2BA BC (2)  4  Từ (1) và (2) BK BI B, I, K thẳng hàng. 3 Đáp án B. Ví dụ 7: Cho ABC, E là trung điểm BC, I là trung điểm của AB. Gọi D, I, J, K    1    lần lượt là các điểm thỏa mãn BE 2BD, AJ JC, IK mIJ . Tìm m để A, K, 2 D thẳng hàng. 5 1 1 2 A. m B. m C. m D. m 6 3 2 5 Lời giải     Ta có: A, K, D thẳng hàng AD nAK n AI IK (1)     1   3  1  2AD AB AE AB AB AC AB AC 2 2 2  3   3   9  3  3AI AJ 3AI AI IJ AI IJ 2 2 2 2 LOVEBOOK.VN | 19
  20. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book    9  3   9  3  Mà IK mIJ nên 2AD AI IK AD AI IK (2) 2 2m 4 4m 9 3 1 Từ (1) và (2) m . 4 4m 3 Đáp án B.   Ví dụ 8: Cho ABC . Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức BC MA 0 ,    AB NA 3AC 0 . Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để MN / / AC .    1     1  A. MN 2AC B. MN AC C. MN 3AC D. MN AC 2 3 Lời giải      Ta có: BC MA 0 và AB NA 3AC 0      BC MA AB NA 3AC 0      AC MN 3AC 0 MN 2AC     Ta có: BC MA 0 BC AM ABCM là hình bình hành hay M AC MN / / AC Chọn đáp án A. Đáp án A.     Ví dụ 9: Cho ABC;M và N xác định bởi 3MA 4MB 0 , NB 3NC 0 . PA Trọng tâm ABC là G. Gọi P là điểm trên cạnh AC sao cho 4 . Các đẳng PC thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để M, G, N, P thẳng hàng.     A. 7GM 2GN 0 và 3PG 2PN 0     B. 5GM 2GN 0 và 3PG 2PN 0     C. 7GM 2GN 0 và 2PQ 3PN 0     D. 3GM 2GN 0 và 3PG 2PN 0 Lời giải LOVEBOOK.VN | 20
  21. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing   + Ta có: 3MA 4MB 0        3 MG GA 4 MG GB 0 3GA 4GB 7GM       Tương tự: NB 3NC 0 NG GB 3 NG GC 0       GB 3GC 2NG 0 3GA 4GB 2GN .     Vậy 7GM 2GN 7GM 2GN 0    + Gọi E là trung điểm BC 2AC AE AN  3    3  1  2AC AG AN AC AG AN (1) 2 4 2 PA  1   5  4 PC PA AC AP (2) PC 4 4 3  1  5  Từ (1) và (2) AG AN AP 4 2 4 3   1   5  3  1    AP PG AP PN AP PG PN 0 3PG 2PN 0 . 4 2 4 4 2 Đáp án A. Ví dụ 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của ADC và BCD . Đẳng thức nào là điều kiện cần và đủ để IJ / / AB .  1   2   1   1  A. IJ AB B. IJ .AB C. IJ AB D. IJ AB . 3 3 2 4 Lời giải Gọi M là trung điểm ĐƯỢC.  1   1  Ta có: MI MA, MJ MB 3 3   1    1  MJ MI MB MA IJ AB . 3 3 Đáp án A. LOVEBOOK.VN | 21
  22. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 11: Cho ABC . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB; N cạnh AC sao cho  1   3  ON AM AB , AN AC . Gọi O là giao điểm của CM và BN. Tính tỉ số và 3 4 OB OM tương ứng. OC 1 2 1 1 1 1 1 1 A. và B. và C. và D. và 9 3 3 4 4 6 6 9 Lời giải     Giả sử: ON nBN;OM mCM         1   AO AM MO AM mCm AM m AM AC 1 m .AB mAC 3      3   Tương tự: AO AN NO AN nBN 1 n AC nAB 4    Và AO chỉ biểu diễn duy nhất qua AB và AC 1 2 1 m n m 3 3 ON 1 OM 2 ; . 3 1 OB 9 OC 3 1 n m n 4 2 Đáp án A. Ví dụ 12: Cho hình bình hành ABCD. M thuộc AC sao cho: AM kAC . Trên cạnh AB, BC lấy các điểm P, Q sao cho MP / /BC, MQ / / AB . Gọi N là giao điểm AN CN của AQ và CP. Tính tỉ số và theo k. AQ CP AN k CN 1 k AN k CN 1 k A. ; B. ; AQ k 2 k 1 CP k 2 k 1 AQ k 2 k 1 CP k 2 k 1 AN k CN 1 k AN k CN 1 k C. ; D. ; AQ k 2 k 1 CP k 2 k 1 AQ k 2 k 1 CP k 2 k 1 Lời giải LOVEBOOK.VN | 22
  23. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing     Đặt AN xAQ;CN yCP       Ta có: DN DA AN DA x AB BQ   BQ    BQ  DA xDC x .BC DA xDC x .DA BC BC BQ AM    Vì MQ / / AB k DN 1 kx DA x.DC (1) BC AC      BP  Mặt khác: DN DC CN DC yDA y .BA BA BP CM CM AM Vì: MP / /BC 1 k BA CA CA       DN DC yDA y 1 k DC yDA 1 ky y DC (2) k x y 1 kx k 2 k 1 Từ (1), (2) x 1 ky y 1 k y k 2 k 1 Đáp án B. Xác định và tính độ lớn vectơ Phương pháp: - Vẽ hình xác định các vectơ thông qua các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành. - Áp dụng các công thức hình học để tính độ dài vectơ.   - Để tính độ dài a b c d thì ta đi rút gọn biểu thức vectơ a b c d rồi tính độ dài. - Áp dụng vectơ giải một số bài toán thực tế. LOVEBOOK.VN | 23
  24. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book   Ví dụ 1: Cho ABC . Vectơ BC AC được vẽ đúng ở hình nào sau đây? A. B. C. D. Lời giải      Vì BC AC BC CA BA Đáp án A. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 3cm , BC 5cm . Khi đó độ   dài BA BC là: A. 4B. 8C. 2 13 D. 13 Lời giải Ta có:    AC BC 2 AB2 4 AI 2; BA BC 2 BI 2 AB2 AI 2 2 13 . Đáp án C. Ví dụ 3: Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ và đường cao cùng bằng 2a và    ·ABC 45 . Tính CB AD AC . A. a 3 B. 2a 5 C. a 5 D. a 2 Lời giải LOVEBOOK.VN | 24
  25. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing          CB AD AC CB DA AC CB DC DB BH 2 DH 2 2a 5 Đáp án B. Ví dụ 4: Cho 2 vectơ a và b tạo với nhau góc 60°. Biết a 6; b 3. Tính a b a b A. 3 7 5 B. 3 7 3 1 C. 6 5 3 D. 2 3 51 2 Lời giải   Dựng OA a;OB b   Dựng hình bình hành OACB a b OC;a b BA AB 3 3 OAB vuông tại B IB 2 2 63 OI OB2 IB2 OC 63 a b a b 63 3 3 . 2 Đáp án B. Ví dụ 5: Cho tam giác vuông cân OAB với OA OB a . Tính độ dài vectơ 11  3  v OA OB . 4 7 6073 3 2 A. 2aB. a C. a D. a 28 2 2 Lời giải   Biểu diễn vectơ v theo 2 vectơ OA,OB . 2 2 11a 3a 6073 Áp dụng Pitago ta có: v a . 4 7 28 LOVEBOOK.VN | 25
  26. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Đáp án B.   Ví dụ 6: Một vật nặng (Đ) được kéo bởi hai lực F1 và F2 như hình vẽ. Xác định   hướng di chuyển của (Đ) và tính độ lớn lực tổng hợp của F1 và F2 . Biết     F1 F2 60N và góc giữa F1 và F2 là 60°. A. 50 3N B. 30 3N C. 60N D. 60 3N Lời giải          Đặt F1 OA; F2 OB;OC OA OB F1 F2 60 3 Ta có: OAB là đều OI , với I AB OC OC 60 3 . 2 Đáp án D. Ví dụ 7: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD. Cho AB 2a , CD a . Gọi O là trung điểm của AD. Khi đó:     A. OB OC 3a B. OB OC a   3a   C. OB OC D. OB OC 0 2 Lời giải           OB OC OA AB OD DC AB DC AB DC 3a   (vì AB và DC cùng hướng) Đáp án A. Ví dụ 8: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài vectơ:     u MA 2MB 3MC 2MD A. u 4a 2 B. u a 2 C. u 3a 2 D. u 2a 2 LOVEBOOK.VN | 26
  27. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Lời giải         u MO OA 2 MO OB 3 MO OC 2 MO OD      OA 2OB 3OC 2OD 2OA u 2OA AC a 2 . Đáp án B. Ví dụ 9: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A  1    sao cho BH HC . Điểm M di động trên BC sao cho BM x.BC . Tìm x sao 3   cho độ dài vectơ MA GC đạt giá trị nhỏ nhất. 4 5 6 5 A. x B. x C. x D. x 5 6 5 4 Lời giải      Dựng hình bình hành AGCE. Ta có MA GC MA AE ME   Kẻ EF  BC, F BC MA GC ME EF   Do đó: MA GC nhỏ nhất khi M  F . 3 Gọi P là trung điểm AC, Q là hình chiếu của B trên BC. Ta có BP BE 4 BQ BP 3  4  BPQ ~ BEF BF BQ BF BE 4 3  1   1  Mặt khác: BH HC PQ là đường trung bình của AHC HQ HC 3 2    1  1  5  5   4  5  5 BQ BH HQ HC HC HC BC BF BQ BC x . 3 2 6 8 3 6 6 Đáp án B. LOVEBOOK.VN | 27
  28. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 10: Cho ABC đều cạnh a. M là trung điểm BC. Tính độ dài 1   AB 2AC . 2 a 21 a 21 a 21 a 21 A. B. C. D. 3 2 4 7 Lời giải Gọi N là trung điểm của AB, Q là điểm đối xứng với A qua C và P là đỉnh của hình bình hành AQPN.  1       1    AN AB, AQ 2AC; AN AQ AP AB 2AC AP 2 2 Gọi L là hình chiếu của A trên PN. MN / / AC ·ANL M· NB C· AB 60 AL Xét tam giác vuông ANL có: sin ·ANL AN a a 3 a 9a AL .sin 60 NL AN.cos ·ANL PL PN NL 2 4 4 4 a 21 Xét tam giác vuông APL có: AP AL2 PL2 . 2 Đáp án B. Dạng 1: Các bài toán về khái niệm vectơ Câu 3: Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi: Câu 1: Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu vectơ khác A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng vectơ-không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ bằng nhau giác? B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của A. 4B. 8C. 10D. 12 một hình bình hành Câu 2: Cho 5 điểm A, B, C, D, E có bao nhiêu vectơ C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của khác vectơ-không có điểm đầu là A và điểm cuối là một tam giác đều một trong các điểm đã cho: D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau A. 4B. 20C. 10D. 12 LOVEBOOK.VN | 28
  29. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing    Câu 4: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy tìm các A. AB AC B. AB 2a vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh    C. AB 2a D. AB AB của lục giác và tâm O sao cho bằng với AB ?       A. FO,OC, FD B. FO, AC, ED Câu 9: Cho tam giác không cân ABC. Gọi H, O lần       lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam C. BO,OC, ED D. FO,OC, ED giác. M là trung điểm của BC. Mệnh đề nào sau đây là Câu 5: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là đúng?   trung điểm của AB, BC, CA. Xác định các vectơ cùng A. Tam giác ABC nhọn thì AH,OM cùng hướng.  phương với MN .         B. AH,OM luôn cùng hướng. A. AC,CA, AP, PA, PC,CP        C. AH,OM cùng phương nhưng ngược hướng. B. NM , BC,CB, PA, AP          D. AH,OM có cùng giá C. NM , AC,CA, AP, PA, PC,CP Câu 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là        D. NM , BC,CA, AM , MA, PN,CP trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi O là giao điểm của các đường chéo của tứ giác MNPQ, Câu 6: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD tương ứng là I, trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với C qua D.  J. Khẳng định nào sau đây là đúng? Hãy tính độ dài của vectơ MN .   A. OI OJ B. MP NQ  a 15  a 5 A. MN B. MN     2 3 C. MN PQ D. OI OJ  a 13  a 5 µ C. MN D. MN Câu 11: Cho hình thoi tâm O, cạnh bằng a và A 60. 2 4 Kết luận nào sau đây là đúng? Câu 7: Cho ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường  a 3    A. AO B. OA a thẳng. Các vectơ AB, BC cùng hướng khi và chỉ khi: 2 A. Điểm B thuộc đoạn AC    a 2 C. OA OB D. OA B. Điểm A thuộc đoạn BC 2 C. Điểm C thuộc đoạn AB Câu 12: Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để   D. Điểm A nằm ngoài đoạn BC AB CD Câu 8: Cho tam giác đều cạnh 2a. Đẳng thức nào sau A. ABCD là hình bình hành đây là đúng? B. ACBD là hình bình hành LOVEBOOK.VN | 29
  30. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book   C. AD và BC có cùng trung điểm (III) BO CO  D. AB CD và AB / /CD Mệnh đề đúng là: Câu 13: Cho hình vuông ABCD, câu nào sau đây là A. Chỉ (I)B. (I) và (III) đúng?     C. (I), (II), (III)D. Chỉ (III) A. AB BC B. AB CD Câu 19: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi P, Q, R     C. AC BD D. AD CB lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD. Lấy 8 điểm trên  là gốc hoặc ngọn của các vectơ. Tìm mệnh đề sai? Câu 14: Cho vectơ AB và một điểm C. Có bao nhiêu     A. Có 2 vectơ bằng PR B. Có 4 vectơ bằng AR điểm D thỏa mãn AB CD .   C. Có 2 vectơ bằng BO D. Có 5 vectơ bằng OP A. 1B. 2C. 0D. Vô số   Câu 15: Cho hình bình hành ABCD với O là giao điểm Câu 20: Nếu AB AC thì: của hai đường chéo. Câu nào sau đây là sai? A. tam giác ABC là tam giác cân     A. AB CD B. AD BC B. tam giác ABC là tam giác đều     C. AO OC D. OD BO C. A là trung điểm đoạn BC Câu 16: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là D. điểm B trùng với điểm C   trung điểm của AD, BC và AC. Biết MP PN . Chọn Câu 21: Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng, trong đó N câu đúng. nằm giữa hai điểm M và P. Khi đó cặp vectơ nào sau     đây cùng hướng? A. AC BD B. AC BC         A. MN và MP B. MN và PN C. AD BC D. AD BD     C. MP và PN D. NP và NM Câu 17: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi D là điểm đối xứng với Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ B qua O. Câu nào sau đây đúng? Câu 22: Cho hình bình hành tâm O. Kết quả nào sau     A. AH DC B. AB DC đây là đúng?           C. AD BC D. AO AH A. AB OA AB B. CO OB BA       Câu 18: Cho đường tròn tâm O. Từ điểm A nằm ngoài C. AB AD AC D. AO OD CB O , kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới O . Xét mệnh đề: Câu 23: Cho ABC, D, E, F lần lượt là trung điểm của     các cạnh BC, CA, AB. Đẳng thức nào sau đây là đúng? (I) AB AC (II) OB OC LOVEBOOK.VN | 30
  31. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing       A. AD BE CF AB AC BC Câu 27: Cho hai tam giác ABC và A' B 'C ' có       trọng tâm lần lượt là G và G ' . Đẳng thức nào sau đây B. AD BE CF AF CE BD đúng?       C. AD BE CF AE BF CD     A. A' A B ' B C 'C 3GG '       D. AD BE CF BA BC AC     B. AB ' BC ' CA' 3GG ' Câu 24: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F bất kì trên mặt     C. AC ' BA' CB ' 3GG ' phẳng. Tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau:         D. AA' BB ' CC ' 3GG ' A. AB CD AD CB      Câu 28: Cho 5 điểm A, B C, D, E. Đẳng thức nào sau B. AB CD EA ED CB đây là đúng?        C. AB CD EF CA CB ED CF      A. AB CD EA 2 CB ED     D. BA CB DC BD 0    1   B. AB CD EA CB ED Câu 25: Cho ABC , các điểm M, N, P lần lượt là 2 trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Với O là điểm    3   bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng? C. AB CD EA CB ED 2       A. OA OB OC 2 OM ON OP      D. AB CD EA CB ED       B. OA OB OC OM ON OP Câu 29: Cho ABC và một điểm M tùy ý. Chọn hệ       thức đúng? C. 2 OA OB OC OM ON OP      A. 2MA MB 3MC AC 2BC       D. 2 OA OB OC 3 OM ON OP      B. 2MA MB 3MC 2AC BC      Câu 26: Cho 4 điểm A, B, C, D. Câu nào sau đây C. 2MA MB 3MC 2CA CB đúng?          D. 2MA MB 3MC 2CB CA A. AB CD AD CB     Câu 30: Cho hình chữ nhật ABCD, I, K lần lượt là B. AB BC CD DA trung điểm của BC và CD. Chọn đẳng thức đúng.            C. AB BC CD DA A. AI AK 2AC B. AI AK AB AD     D. AB AD CB CD      3  C. AI AK IK D. AI AK AC 2 LOVEBOOK.VN | 31
  32. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book     Câu 31: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi A1, B1,C1 lần  nBC mCD  nCD mAD C. BN D. DM lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chọn đẳng thức m n m n sai. Câu 35: Cho ABC và một điểm M bất kì trong tam       giác. Đặt SMBC Sa , SMCA Sb , SMAB Sc . Đẳng thức A. GA1 GB1 GC1 0 B. AG BG CG 0      nào sau đây đúng? C. AA1 BB1 CC1 0 D. GC 2GC1    A. Sa .MA Sb .MB Sc .MC 0 Câu 32: Cho 4 điểm M, N, P, Q bất kì. Đẳng thức nào    sau đây luôn đúng. B. Sa .AB Sb .BC Sc .CA 0        A. PQ NP MQ MN C. Sa .MC Sb .MB Sc .MA 0        B. NP MN QP MQ D. Sa .AC Sb .AB Sc .BC 0     C. MN PQ NP MQ Câu 36: Cho ABC với BC a, AC b, AB c . I là     tâm đường tròn nội tiếp ABC , đường tròn nội tiếp D. NM QP NP MQ I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, Câu 33: Cho tứ giác ABCD. I, J lần lượt là trung điểm N, P. Đẳng thức nào sau đây là đúng? của AB và DC. G là trung điểm của IJ. Xét các mệnh    đề: A. a.IM b.IN c.IP 0        (I) AB AC AD 4AG B. a.MA b.NB c.PC 0       (II) IA IC 2IG C. a.AM b.BN c.CP 0       (III) JB ID JI D. a.AB b.BC c.CA 0 Mệnh đề sai là: Dạng 2: Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho A. (I) và (II)B. (II) và (III) trước Câu 37: Cho hai điểm A, B phần biệt. Xác định điểm C. Chỉ (I)D. Tất cả đều sai   M sao cho MA MB 0 Câu 34: Cho tứ giác ABCD, các điểm M, N lần lượt MA NB m A. M ở vị trí bất kì thuộc các đoạn AD và BC sao cho . MD NC n B. M là trung điểm của AB Đẳng thức nào sau đây là đúng? C. Không tìm được M      nAB mDC  nAC mAB A. MN B. AM D. M nằm trên đường trung trực của AB m n m n LOVEBOOK.VN | 32
  33. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Câu 38: Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho   MN 3MP . Hình vẽ nào sau đây xác định đúng vị trí điểm M. D. A. Câu 41: Cho ABC . Xác định điểm I sao cho: B.    2IA 3IB 3BC . C. A. Điểm I là trung điểm của cạnh AC D. B. Điểm C là trung điểm của cạnh IA Câu 39: Cho đoạn thẳng AB và điểm M là một điểm C. Điểm C chia đoạn IA theo tỉ số 2 1 trong đoạn AB sao cho AM AB . Tìm k để D. Điểm I chia đoạn AC theo tỉ số 2 5   Câu 42: Cho ABC có M là trung điểm AB và N trên MA kMB . cạnh AC sao cho NC 2NA . Xác định điểm K sao cho 1 1    A. k B. k 4 C. k D. k 4 3AB 2AC 12AK 0 . 4 4 A. Điểm K là trung điểm cạnh AM Câu 40: Cho ABC . Trên đường thẳng BC lấy điểm   B. Điểm K là trung điểm cạnh BN M sao cho MB 3MC . Điểm M được vẽ đúng trong hình nào sau đây? C. Điểm K là trung điểm cạnh BC D. Điểm K là trung điểm cạnh MN Câu 43: Cho hình bình hành ABCD. Tìm vị trí điểm M     thỏa mãn: MA MB MC AD . A. A. Điểm M là trung điểm cạnh AC B. Điểm M là trung điểm cạnh BD C. Điểm C là trung điểm cạnh AM B. D. Điểm B là trung điểm cạnh MC Câu 44: Cho ABC . Tìm điểm N sao cho:    2NA NB NC 0 . C. A. N là trọng tâm ABC B. N là trung điểm của BC LOVEBOOK.VN | 33
  34. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book     C. N là trung điểm của AK với K là trung điểm của BC đẳng thức AB AC AD 4AM . Khi đó điểm M D. N là đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AB và AC trùng với điểm: làm 2 cạnh A. O Câu 45: Cho ABC . Xác định điểm M sao cho: B. I là trung điểm đoạn OA    MA 2MB CB . C. I là trung điểm đoạn OC A. M là trung điểm cạnh AB D. C B. M là trung điểm cạnh BC Câu 49: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Gọi    C. M chia đoạn AB theo tỉ số 2 điểm M thỏa mãn đẳng thức MA MB  MC ; ,  ¡ . Nếu M là trọng tâm ABC thì ,  thỏa D. M là trọng tâm ABC mãn điều kiện nào sau đây? Câu 46: Cho ABC có trọng tâm G, điểm M thỏa mãn    A. 2  2 0 2MA MB 3MC 0 . Khi đó điểm M thỏa mãn hệ thức nào sau đây? B. . 1  1   1  A. GM BC B. GM CA C.  0 6 6 D. Cả A, B, C đều đúng  1   1  C. GM AB D. GM CB 6 3 Câu 50: Cho ABC . Nếu điểm D thỏa mãn hệ thức     MA 2MB 3MC CD với M tùy ý, thì D là đỉnh của Câu 47: Gọi G là trọng tâm ABC . Nối điểm M thỏa    hình bình hành: mãn hệ thức MA MB 4MC 0 thì M ở vị trí nào trong hình vẽ: A. ABCD B. ACBD C. ABED với E là trung điểm của BC D. ACED với B là trung điểm của EC Câu 51: Cho đoạn AB và điểm I sao cho     A. Miền (1)B. Miền (2) 2IA 3IB 0 . Tìm số k ¡ sao cho AI k AB . 3 3 2 3 C. Miền (3)D. Ở ngoài ABC A. k B. k C. k D. k 4 5 5 2 Câu 48: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M thỏa mãn Dạng 4: Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện LOVEBOOK.VN | 34
  35. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Câu 52: Cho ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn A. Khi M chạy trên O; R thì M ' chạy trên đường    MA MB MC là: thẳng AB A. một đường tròn tâm C B. Khi M chạy trên O; R thì M ' chạy trên đường B. đường tròn tâm I (I là trung điểm của AB) thẳng đối xứng với AB qua O C. một đường thẳng song song với AB C. Khi M chạy trên O; R thì M ' chạy trên một D. là đường thẳng trung trực của BC đường tròn cố định Câu 53: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Tập hợp các D. Khi M chạy trên O; R thì M ' chạy trên một     điểm M thỏa mãn MA MB MC MD k,k 0 là: đường tròn cố định bán kính R Câu 57: Cho ABC . Tìm tập hợp điểm M sao cho k A. đường tròn tâm O bán kính là     4 MA MB 2MC k BC với k ¡ B. đường tròn đi qua A, B, C, D A. là một đoạn thẳngB. là một đường thẳng C. đường trung trực của AB C. là một đường trònD. là một điểm D. tập rỗng Câu 58: Cho ABC . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:       Câu 54: Cho ABC trọng tâm G. Gọi I, J, K lần lượt 4MA MB MC 2MA MB MC là: là trung điểm BC, AB, CA. Quỹ tích các điểm M thỏa      mãn MA MB MC MA MC là: A. đường thẳng qua A 1 A. đường tròn tâm I bán kính JK B. đường thẳng qua B và C 2 C. đường tròn 1 B. đường tròn tâm G bán kính IJ 3 D. một điểm duy nhất    1 Câu 59: Tập hợp điểm M mà kMA kMB 2MC , C. đường tròn tâm G bán kính CA 3 k 1 là: D. trung trực AC A. đường thẳng chứa trung tuyến vẽ từ C Câu 56: Cho đường tròn O; R và hai điểm A, B cố B. đường thẳng chứa trung tuyến vẽ từ B định. Với mỗi điểm M ta xác định điểm M ' sao cho C. đường thẳng chứa trung tuyến vẽ từ A    MM ' MA MB , lúc đó: D. đường trung trực của AB Câu 60: Cho ABC . Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn: LOVEBOOK.VN | 35
  36. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book      2MA 3MB 4MC MB MA C. Tập hợp điểm I là đường thẳng OO ' với O và O ' lần lượt là trung điểm của AB, DC AB A. Quỹ tích điểm M là một đường tròn bán kính D. Cả A, B, C đều sai. 3 Câu 63: Cho lục giác đều ABCDEF. Tìm tập hợp điểm AB B. Quỹ tích điểm M là một đường tròn bán kính       4 M sao cho MA MB MC MD ME MF nhận AB giá trị nhỏ nhất. C. Quỹ tích điểm M là một đường tròn bán kính 9 A. Tập hợp điểm M là một đường thẳng AB D. Quỹ tích điểm M là một đường tròn bán kính B. Tập hợp điểm M là một đoạn thẳng 2 C. Tập hợp điểm M là một đường tròn Câu 61: Cho ABC . Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn      D. Là một điểm điều kiện: MA MB k MA 2MB 3MC ,k ¡ . Câu 64: Tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức: A. Tập hợp điểm M là đường trung trực của EF, với    2MA kMB 1 k MC 0,k ¡ là: E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC B. Tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và song A. đường thẳngB. đường tròn song với BC C. đoạn thẳngD. một điểm AB C. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính Dạng 5: Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng 9 phương. Sự thẳng hàng, song song  3  D. Với H là điểm thỏa mãn AH AC thì tập hợp Câu 65: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vectơ 2   u 3AB 4AC đưuọc vẽ đúng ở hình nào dưới đây? điểm M là đường thẳng đi qua E và song song với HB với E là trung điểm của AB Câu 62: Cho tứ giác ABCD với K là số tùy ý. Lấy cá     điểm M, N sao cho AM k AB, DN k DC . Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN khi k thay đổi. A. Tập hợp điểm I là đường thẳng OO ' với O và O ' lần lượt là trung điểm của AC, BD A. B. B. Tập hợp điểm I là đường thẳng OO ' với O và O ' lần lượt là trung điểm của AD, BC LOVEBOOK.VN | 36
  37. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Câu 69: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm trên BC sao cho 2CI 3BI và J là điểm trên BC kéo dài    sao cho 5JB 2JC . Tính AG theo AI và AJ  15  1   35  1  C. D. A. AG AI AJ B. AG AI AJ 16 16 48 16 Câu 66: Cho ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung   15  1   35  1  điểm của BC, CA, AB. Phân tích AB theo hai vectơ C. AG AI AJ D. AG AI AJ   16 16 48 16 BN là CP . Câu 70: Cho ABC . Điểm M nằm trên đường thẳng  4  2   4  2    A. AB BN CP B. AB BN CP BC sao cho nBM mBC n,m 0 . Phân tích vectơ 3 3 3 3    AM theo AB, AC  4  2   2  4  C. AB BN CP D. AB BN CP 3 3 3 3  1  1  A. AM AB AC m n m n Câu 67: Cho hình bình hành ABCD có E, N lần lượt là trung điểm của BC, AE. Tìm các số p và q sao cho  m  m     B. AM AB AC DN pAB qAC . m n m n  n  n  5 3 4 2 C. AM AB AC A. p ;q B. p ;q m n m n 4 4 3 3  n  m  4 2 5 3 D. AM AB AC C. p ;q D. p ;q m n m n 3 3 4 4 Câu 71: Cho ABC . Diểm M nằm trên đường thẳng Câu 68: Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, L lần lượt      BC sao cho MB kMC k 1 . Phân tích AM theo là trung điểm BC, CD. Biết AK a, AL b . Biểu diễn     BA, BC theo a,b AB, AC .        4 2  2 4 AB k AC AB k AC A. BA a b, BC a b A. AM B. AM 3 3 3 3 1 k 1 k      1 2  1 4  AB k AC  AB k AC B. BA a b, BC a b C. AM D. AM 3 3 3 3 1 k 1 k  1 2  1 4 Câu 72: Cho OAB với M, N lần lượt là trung điểm C. BA a b, BC a b 3 3 3 3 của OA, OB. Tìm số m, n thích hợp để     4 2  2 4 NA mOA nOB . D. BA a b, BC a b 3 3 3 3 LOVEBOOK.VN | 37
  38. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 1 1 nào sau đây là điều kiện cần và đủ để M, N, P thẳng A. m 1,n B. m 1,n 2 2 hàng.     1 1 C. m 1,n D. m 1,n A. MP 2MN B. MP 3MN 2 2     C. MP 2MN D. MP 3MN Câu 73: Một đường thẳng cắt các cạnh DA, DC và đường chép DB của hình bình hành ABCD lần lượt tại Câu 77: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các   1 các điểm E, F và M. Biết rẳng DE mDA , điểm nằm trên cạnh AB và CD sao cho AM AB ,     3 DF nDC m,n 0 . Hãy biểu diễn DM qua DB 1 CN CD . Gọi G là trọng tâm của BMN . Gọi I là và m, n. 2    m.n   m  điểm xác định bởi BI mBC . Xác định m để AI đi qua A. DM DB B. DM DB m n m n G.  n   m.n  6 11 C. DM DB D. DM DB A. m B. m m n m n 11 6 Câu 74: Cho ABC . Trên BC lấy điểm D sao cho 6 18 C. m D. m  1    5 11 BD BC . Khi đó phân tích AD theo các vectơ AB 3  Câu 78: Cho ABC có trung tuyến AD.Xét các điểm và AC .  1   1    M, N, P cho bởi AM AB, AN AC, AP mAD .  2  1   1  2  2 4 A. AD AB AC B. AD AB AC 3 3 3 3 Tìm m để M, N, P thẳng hàng.   2   5  1  1 1 1 2 C. AD AB AC D. AD AB AC A. m B. m C. m D. m 3 3 3 6 3 4 3 Câu 75: Cho tam giác ABC, hai điểm M, N thỏa mãn Câu 79: Cho ABC . M và N là hai điểm xác định thỏa            hệ thức MA MB MC 0 và 2NA NB NC 0 . mãn: MA 3MC 0 và NA 2NB 3NC 0 . Đẳng    Tìm hai số p,q sao cho MN pAB qAC . thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để M, N, B thẳng hàng? 3 A. p q B. p 2,q 0  1   3  4 A. BM BN B. BN BN 2 2 1 1 3 5 C. p ,q D. p ,q  2   1  2 2 4 4 C. BM BN D. BM BN 3 2 Câu 76: Cho ABC . Lấy các điểm M, N, P sao cho       MB 3MC, NA 3NC 0, PA PB 0 . Đẳng thức LOVEBOOK.VN | 38
  39. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Câu 80: Cho ABC với H, O, G lần lượt là trực tâm, AI 8 CI 7 AI 8 CI 21 C. ; D. ; tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm. Đẳng thức nào AN 23 IM 4 AN 23 IM 2 sau đây là điều kiện cần và đủ để H, O, G thẳng hàng? Câu 84: Cho ABC và trung tuyến AM. Một đường  3    thẳng song song với AB cắt các đoạn thẳng AM, AC và A. OH OG B. HO 3OG 2 BC lần lượt tại D, E, và F. Một điểm G nằm trên cạnh ED  1    AB sao cho FG song song với AC. Tính . C. OG GH D. 2GO 3OH GB 2 1 1 1 Câu 81: Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần A. B. C. D. 1 2 3 4 lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn MP và NQ. Đẳng Câu 85: Cho tứ giác ABCD có hai đưuòng chéo cắt thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để IJ / / AE ? nhau tại O. Qua trung điểm M của AB dựng đường thẳng MO cắt CD tại N. Biết OA 1,OB 2,OC 3 ,  3   5  A. IJ AE B. IJ AE CN 4 4 OD 4 . Tính . ND  1   1  C. IJ AE D. IJ AE 1 3 5 4 3 A. 1B. C. D. 2 2 2 Câu 82: Cho ABC . Các điểm I, J thỏa mãn hệ thức  1    Dạng 6: Xác định và tính độ lớn vectơ AI AB, AI 3AC . Đẳng thức nào sau đây là điều   3 Câu 86: Cho ABC . Vectơ BC AB được vẽ đúng ở kiện cần và đủ để IC / /BJ ? hình nào dưới đây?  2    A. CI BJ B. CI 3BJ 3  1   1  C. CI BJ D. CI BJ 3 3 A. B. Câu 83: Cho ABC . Trên các cạnh AB, BC lấy các 2 BN 1 điểm M, N sao cho AM MB, . Gọi I là giao 5 NC 3 AI CI điểm của AN và CM. Tính tỉ số và . AN IM AI 3 CI 21 AI 4 CI 7 C. D. A. ; B. ; AN 7 IM 2 AN 11 IM 2 Câu 87: Cho hình thoi ABCD có B· AD 60 và cạnh   là a. Tính độ dài AB AD . LOVEBOOK.VN | 39
  40. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book a 3 Câu 93: Cho tam giác ABC đều cạnh a, trọng tâm G. A. a 3 B. C. a 2 D. 2a   2 Tính độ dài vectơ AB GC . Câu 88: Cho hình vuông ABCD có cạnh là a. O là giao   2a 3 a 2a a 3 điểm của hai đường chéo. Tính OA CB . A. B. C. D. 3 3 3 3 a 3 a 2 Câu 94: Cho tam giác vuông cân OAB với A. a 3 B. C. D. a 2 21   2 2 OA OB a . Tính độ dài vectơ u OA 2,5OB 4 Câu 89: Cho ABC đều cạnh a. Độ dài vectơ tổng:   541 520 AB AC là A. a B. a 4 4 a 3 A. a 3 B. 3 C. 2a 3 D. 140 310 2 C. a D. a 4 4 Câu 90: Với a,b độ dài a b : Câu 95: Cho hình vuông ABCD có cạnh là 3. Tính độ   dài AC BD : A. Bao giờ cũng lớn hơn a b A. 6B. 6 2 C. 12D. 0 B. Không nhỏ hơn a b Câu 96: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O và M là   C. Bao giờ cũng nhỏ hơn a b trung điểm AB. Tính độ dài OA OB . a D. Không lớn hơn a b A. aB. 3aC. D. 2a 2 Câu 91: Cho ABC đều cạnh a. Khi đó    Câu 97: Cho ABC vuông cân tại A có BC a 2 , M AC CB AC bằng:   là trung điểm BC. Tính độ dài vectơ AB BM . A. 0B. 3a a 6 a 2 a 3 a 10 A. B. C. D. C. aD. a 3 1 2 2 2 2 Câu 92: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính độ dài Câu 98: Cho tam giác đều ABC cạnh a điểm M là   trung điểm của BC. Tính độ dài vectơ AB BC . 3   u MA 2,5MB . a 3 4 A. 0B. aC. a 3 D. 2 a 127 a 127 A. B. 4 8 LOVEBOOK.VN | 40
  41. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing a 127 a 127 C. D. 3 2 Câu 99: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài     vectơ u 4MA 3MB MC 2MD . a 5 A. u a 5 B. u 2 Trong đó ABC vuông ở C. Người ta treo vào điểm A C. u 3a 5 D. u 2a 5 một vật nặng 10N . Khi đó lực tác dụng vào bức tường tại điểm B: Câu 100: Cho hai lực F1 F2 100N có điểm đặt tại  A. Kéo bức tường theo hướng BA với cường độ O và tạo với nhau góc 60 . Tính cường độ lực tổng hợp của hai lực đó. 10 3N  A. 100NB. 50 3N B. Kéo bức tường theo hướng BC với cường độ 10 2N C. 100 3 D. 25 3N  C. Kéo bức tường theo hướng BA với cường độ Câu 101: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3. H là trung điểm của BC. Tìm mệnh đề sai. 10 2N      63 D. Kéo bức tường theo hướng BC với cường độ A. AB AC 3 3 B. BA BH 2 10 2N     C. AH HB 3 D. HA HB 3 Câu 102: Cho hai lực F1, F2 . Có điểm đặt tại M. Tìm   cường độ lực tổng hợp của chúng biết F1 và F2 có   cùng cường độ lực là 100N, góc hợp bởi F1 và F2 là 120 . A. 120NB. 60NC. 100ND. 50N Câu 103: Một giá đỡ được gắn vào tường như hình vẽ: LOVEBOOK.VN | 41
  42. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book §2. Trục tọa độ và hệ trục tọa độ A. Lý thuyết 1. Trục tọa độ - Trục tọa độ là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị i . Kí hiệu O;i . - Tọa độ của vectơ trên trục u a.i , a là tọa độ của vectơ u trên trục O;i . STUDY TIP    * AB CD AB CD - Tọa độ của điểm trên trục M x :OM x.i , x là tọa độ của vectơ u trên trục    * AB BC AC O;i . AB BC AC (hệ  thức Sa – lơ) - Độ dài đại số của vectơ trên trục AB a AB a.i . Lưu ý:   + Nếu AB cùng hướng với i thì AB AB và nếu AB ngược hướng với i thì AB AB  + Nếu hai điểm A, B có tọa độ lần lượt là a và b thì AB b a và AB AB.i 2. Hệ trục tọa độ - Hệ trục tọa độ O;i; j gồm hai trục O;i và O; j vuông góc với nhau. O là gốc tọa độ. Trục O;i là trục hoành kí hiệu là Ox, trục O; j là trục tung kí hiệu Oy. Các vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là i, j và i j 1. Hệ trục tọa độ O;i; j còn được kí hiệu là Oxy. - Tọa độ của vectơ trên hệ trục u x; y u x.i y. j  - Tọa độ của điểm trên hệ trục M x; y OM x.i y j - Tính chất: Cho a x; y ,b x '; y' ,k ¡ , A xA; yA , B xB ; yB ,C xC ; yC ta có: LOVEBOOK.VN | 42
  43. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing x x ' + a b y y ' STUDY TIP - Nếu phải biểu tọa độ + a b x x '; y y ' của điểm hoặc của vectơ trên hệ trục tọa độ thì + ka kx;ky phải chú ý khoảng cách đơn vị trên mỗi trục + b cùng phương với a 0 k ¡ :b ka tương ứng bằng nhau. x ' kx x ' y ' (với x 0; y 0 ) y ' ky x y  + AB xB xA; yB yA x x y y + Tọa độ trung điểm I của đoạn AB: x A B ; y A B 1 2 2 2   + Tọa độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ lệ k 1: MA kMB x kx y ky x A B ; y A B M 1 k A 1 k B. Các dạng toán điển hình Dạng 1 Trục tọa độ Phương pháp: - Sử dụng các kiến thức về trục, tọa độ vectơ trên trục và tọa độ của một điểm trên trục. Ví dụ 1: Trên trục x 'Ox cho 2 điểm A, B lần lượt có tọa độ là a, b. M là điểm   thỏa mãn MA kMB,k 1. Khi đó tọa độ của điểm M là: ka b kb a a kb kb a A. B. C. D. k 1 k 1 k 1 k 1 Lời giải LOVEBOOK.VN | 43
  44. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Gọi x là độ của điểm M.   kb a Ta có: MA kMB a x k b x k 1 x kb a x ,k 1 STUDY TIP k 1  + Tọa độ vectơ AB : Đáp án B. AB x x A B Ví dụ 2: Trên trục O;i cho ba điểm A, B, C. Nếu biết AB 5, AC 7 thì CB + Tọa độ trung điểm I của bằng: xA xB AB: x1 2 A. 2 B. 2C. 4 D. 3 + Độ dài đại số của vectơ là tọa độ của vectơ đó. Lời giải Ta có: CB AB AC 5 7 2 Đáp án A.   Ví dụ 2: Trên trục O;i tìm tọa độ x của điểm M sao cho MA 2C 0 , với A, C có tọa độ tương ứng là 1 và 3 5 2 2 5 A. x B. x C. x D. x 3 3 5 2 Lời giải       Từ MA 2MC 0 OA OM 2 OC OM 0 5 Hay 1 x 2 3 x 0 3x 5 x 3 Đáp án A. Ví dụ 4: Trên trục O;i cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là a, b, c, d. Gọi E, F, G, H (có tọa độ lần lượt là e, f, g, h) theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Xét các mệnh đề: I. e f g h a b c d    II. EG EF EH LOVEBOOK.VN | 44
  45. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing   III. AE CF 0 Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I B. II và IIIC. I, II, III D. Chỉ III Lời giải + Áp dụng công thức tọa độ trung điểm I đúng. + Lấy E làm gốc trục thì xE e 0 g f h II đúng.   1   + AE CE AB CB chỉ bằng 0 khi B là trung điểm của AB nên III sai. 2 Đáp án B CA DA Ví dụ 5: Cho 4 điểm A, B, C, D trên trục O;i thỏa mãn . Khi sso CB DB mệnh đề nào sau đây là đúng? 2 1 1 2 1 1 A. B. AC AB AD AB AC DA 2 1 1 2 1 1 C. D. AB AC AD AD AB AC Lời giải Gọi a, b, c, d lần lượt là tọa độ của A, B, C, D. Ta có: CA DA AC DA + c b b d b c a d CB DB CB DB ac bd bc ad 2ab 2cd a b c d 2 ad cb 2 1 1 2 1 1 + a b c d 2 ab cd AB AC AD b c c a d a Đáp án C LOVEBOOK.VN | 45
  46. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 6: Trên trục cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. AB.CD AC.DB AD.BC 0 B. AB.DB AC.BC AD.CD 0 STUDY TIP C. AB.AC AD.BC BC.CD 0 D. BD.BC AD.AC CB.CA 0 - Có thể chọn gốc tọa độ là một trong các điểm của hệ thức để vectơ có tọa độ Lời giải đơn giản    Chọn gốc tọa độ O  A xA 0, xB AB, xC AC, xD AD Từ đáp án A: VT xB xD xC xC xB xD xD xC xB 0 Đáp án A Dạng 2 Tọa độ vectơ Phương pháp: - Sử dụng các công thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số, điều kiện cùng phương, 2 vectơ bằng nhau - Biểu diễn một vectơ theo 2 vectơ không cùng phương là giải hệ phương là giải hệ phương trình để tìm 2 hệ số m, n: x ma nb Ví dụ 1: Vectơ a 2; 1 biểu diễn dưới dạng a xi y j được kết quả nào sau đây? A. a 2i j B. a i 2 j C. a 2i j D. a i 2 j Lời giải Ta có: a 2; 1 a 2i j Đáp án A Ví dụ 2: Xác định tọa độ của vectơ c a 3b biết a 2; 1 ,b 3;4 A. c 11;11 B. c 11; 13 C. c 11;13 D. c 7;13 LOVEBOOK.VN | 46
  47. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Lời giải STUDY TIP c a 3b 2; 1 9;12 11;11 a x; y ;b x '; y ' a b Đáp án A x  x '; y y ' Ví dụ 3: Cho a 2;1 ,b 3;4 ,c 7;2 . Tìm vectơ x sao cho x 2a b 3c . A. x 28;2 B. x 13;5 C. x 16;4 D. x 28;0 Lời giải x 2a b 3c x 2a b 3c 28;0 Đáp án D    1   Ví dụ 4: Cho A 3; 2 , B 5;4 ,C ;0 . Tìm x thỏa mãn AB xAC . 3 A. x 3 B. x 3 C. x 2 D. x 4 Lời giải   8   AB 8;6 ; AC ;2 AB 3AC . 3 Đáp án A Ví dụ 5: Trong các cặp vectơ sau, cặp vectơ nào không cùng phương? A. a 2;3 ;b 10; 15 B. u 0;5 ;v 0;8   STUDY TIP C. m 2;1 ;n 6;3 D. c 3;4 ;d 6;9 Vectơ b cùng phương với a 0 k ¡ : Lời giải  x ' kx 3 4 b ka Ta có: c và d không cùng phương. y ' ky 6 9 Đáp án D LOVEBOOK.VN | 47
  48. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 6: Cho 2 vectơ u 2m 1 i 3 m j và v 2i 3 j . Tìm m để hai vectơ cùng phương. 5 11 9 8 A. m B. m C. m D. m 11 5 8 9 Lời giải 2m 1 3 m 9 Để 2 vectơ cùng phương thì m . 2 3 8 Đáp án C Ví dụ 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho A m 1;2 ; B 2;5 2m ;C m 3;4 . Tìm m để A, B, C thẳng hàng. A. m 3 B. m 2 C. m 2 D. m 1 Lời giải 3 m 3 2m STUDY TIP A, B, C thẳng hàng m 5 2m 1 A, B, C thẳng hàng   3 m 2m 1 3 2m m 5 m 2 AB k AC Đáp án B Ví dụ 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho a 2;1 ;b 3;4 ;c 7;2 . Tìm m, n để c ma nb . 22 3 1 3 A. m ,n B. m ,n 5 5 5 5 22 3 22 3 C. m ,n D. m ,n 5 5 5 5 Lời giải LOVEBOOK.VN | 48
  49. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing 22 m 2m 3n 7 5 Ta có c ma nb m 4n 2 3 n 5 Đáp án C Ví dụ 9: Trong hệ trục Oxy, cho 4 điểm A 3; 2 , B 7;1 ,C 0;1 , D 8; 5 . Mệnh đề nào sau đây đúng?     A. AB,CD đối nhauB. AB,CD ngược hướng   C. AB,CD cùng hướng D. A, B, C, D thẳng hàng Lời giải    1    AB 4;3 ,CD 8; 6 AB CD nên AB,CD ngược hướng 2 Đáp án B Dạng 3 Tọa độ điểm Phương pháp: Sử dụng các công thức tọa độ điểm, tọa độ vectơ khi biết hai điểm, tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm của tam giác, tọa độ hai vectơ bằng nhau STUDY TIP * Lưu ý: - Các công thức phép toán vectơ. - Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB - Điều kiện ba điểm phân biệt thẳng hàng.   x x y y x A B ; y A B - Hai đường thẳng AB và MN song song khi AB kMN và điểm A 1 2 2 2 - Tọa độ trọng tâm G của không thuộc đường thẳng MN. tam giác ABC: Ví dụ 1: Trong hệ tọa độ Oxy, cho A 2; 3 ; B 4;7 . Tìm tọa độ trung điểm I x x x x A B C C 3 của đoạn AB. y y y y A B C C 3 A. I 6;4 B. I 2;10 C. I 3;2 D. I 8; 21 Lời giải LOVEBOOK.VN | 49
  50. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 2 4 3 7 Ta có I ; 3;2 . 2 2 Đáp án C Ví dụ 2: Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm A 2;1 ; B 0; 3 ;C 3;1 . Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành. A. D 5;5 B. D 5; 2 C. D 5; 4 D. D 1; 4 Lời giải   x 2 3 x 5 Gọi D x; y . Ta có: AD BC D 5;5 y 1 4 y 5 Đáp án A Ví dụ 3: Trong hệ tọa độ Oxy, cho A 4;1 ; B 2;4 ;C 2; 2 . Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm ABD A. D 8;11 B. D 12;11 C. D 8; 11 D. D 8; 11 Lời giải Gọi D x; y . C là trọng tâm ABD khi đó: 4 2 x 2 3 x 8 D 8; 11 1 4 y y 11 2 3 Đáp án C Ví dụ 4: Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm A 2;5 ; B 1;1 ;C 3;3 . Tìm điểm E    thuộc mặt phẳng tọa độ thỏa mãn AE 3AB 2AC ? A. E 3; 3 B. E 3;3 C. E 3; 3 D. E 2; 3 Lời giải LOVEBOOK.VN | 50
  51. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing STUDY TIP    Gọi điểm cần tìm có tọa Gọi E x; y AE x 2; y 5 , AB 1; 4 , AC 1; 2 độ x; y , từ hệ thức    x 2 5 x 3 vectơ của đề bài hoặc tính AE 3AB 2AC E 3; 3 y 5 8 y 3 chất các hình ta áp dụng công thức tọa độ để đi Đáp án C đến kết quả. Ví dụ 5: Trong hệ tọa độ Oxy, cho M 2;0 ; N 2;2 ; P 1;3 lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của ABC .Tọa độ điểm B là: A. B 1;1 B. B 1; 1 C. B 1;1 D. B 1; 1 Lời giải Ta có BPMN là hình bình hành nên STUDY TIP xB xN xP xM xB 2 1 2 xB 1 y y y y y 1 BMNP là hình bình hành B N P M yB 2 3 0 B khi B, M, N, P không   Đáp án C thẳng hàng và BM PN Ví dụ 6: Trong hệ tọa độ Oxy, cho A 2;1 ; B 6; 1 . Tìm điểm M trên Ox sao cho A, B, M thẳng hàng. A. M 2;0 B. M 8;0 C. M 4;0 D. M 4;0 Lời giải M Ox M x;0   AB 4; 2 , AM x 2; 1 x 2 1 Để A, B, M thẳng hàng x 4 4 2 Đáp án D LOVEBOOK.VN | 51
  52. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book LOVEBOOK.VN | 52