›
›
›

Công phá Toán Lớp 10 - Câu 221-250 (Có lời giải)

doc 56 trang nhungbui22 11/08/2022 2320
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Công phá Toán Lớp 10 - Câu 221-250 (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doccong_pha_toan_lop_10_cau_221_250_co_loi_giai.doc

Nội dung text: Công phá Toán Lớp 10 - Câu 221-250 (Có lời giải)

  1. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng F = ax + by. Áp dụng vào bài toán tối ưu trong thực tế Ví dụ 3: Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2x 3y 6 0 L y x , với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình 2x 3y 1 0 . Khẳng định x 0 nào dưới đây đúng? 11 1 A. a 2 và b B. a 3 và b 12 2 1 25 C. a 2 và b D. a và b 3 3 8 Lời giải Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác ABC kể cả các cạnh 1 7 5 AB, BC, CA với A 0; ; B ; và 3 4 6 C 0;2 . Lập bảng: 1 7 5 Đỉnh A 0; B ; C 0;2 3 4 6 1 11 L 2 3 12 11 Vậy a 2 và b . 12 Đáp án A. LOVEBOOK.VN | 1
  2. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 4: Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau: Số máy trong từng nhóm để sản xuất ra một đơn Số máy trong mỗi Nhóm vị sản phẩm nhóm Loại I Loại II A 10 2 2 B 4 0 2 C 12 2 4 Mỗi đơn vị sản phẩm I lãi 3.000 đồng, mỗi đơn vị sản phẩm II lãi 5.000 đồng. Để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất thì cần dùng đến mấy máy thuộc nhóm A? A. 4B. 6C. 8D. 10 Lời giải Gọi x và y lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất ( x, y ¥ ). Khi đó số lãi thu được là L 3x 5y (nghìn đồng). Theo giả thiết thì x và y phải thỏa mãn hệ bất phương trình: 2x 2y 10 2y 4 2x 4y 12 . x 0 y 0 Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền đa giác OABCD, kể cả các cạnh của nó. Lập bảng: Đỉnh O 0;0 A 5;0 B 4;1 C 2;2 D 0;2 LOVEBOOK.VN | 2
  3. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing L 3x 5y 0 15 17 16 10 Vậy cần sản xuất 4 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II để số lãi thu được cao nhất. Khi đó cần dùng đến 2.4 2.1 10 máy thuộc nhóm A. Đáp án D. LOVEBOOK.VN | 3
  4. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book x y 1 0 C. Bài tập rèn luyện kĩ năng x 4y 9 0 . Biết T đạt giá trị nhỏ nhất khi Xem đáp án chi tiết tại trang 230 x 2y 3 0 Câu 1: Miền không bị gạch bỏ (bao gồm cả x x và y y . Tính x2 y2 . đường thẳng d) trong hình dưới đây là miền 0 0 0 0 nghiệm của bất phương trình nào? A. 5B. 41 C. 26D. 0 Câu 4: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kg thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn, giá tiền mỗi kg thịt bò là 250.000 đồng, A. x 2y 2 0 giá tiền mỗi kg thịt lợn là 85.000 đồng. Hỏi chi B. x 2y 2 0 phí ít nhất để mua thịt mỗi ngày của gia đình đó là bao nhiêu? C. 2x y 2 0 A. 226.000 đồngB. 209.500 đồng D. 2x y 2 0 C. 167.000 đồng D. 168.500 đồng Câu 2: Cho hệ bất phương trình: x y 4 0 x y 0 . Miền nghiệm của hệ bất phương x 0 y 2 0 trình là: A. Một nửa mặt phẳng. B. Một miền tam giác C. Một miền tứ giác D. Một miền ngũ giác Câu 3: Cho biểu thức T 3x 2y 4 với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình: LOVEBOOK.VN | 4
  5. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing 2 BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ V x 3x 2 0 . Xem đáp án chi tiết tại trang 230 A. S 1;2 Câu 1: Bất phương trình nào sau đây không B. S ;1  2; tương đương với bất phương trình x 2018 0 ? C. S  2 A. x 1 x 2018 0 D. S 1;2 B. x2 x 2018 0 Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình: x x 1 2 4 x chứa khoảng nào trong các C. x 2018 x 2018 0 khoảng dưới đây? D. x 2018 x 2019 0 A. 0;1 B. 1;2 C. 2;3 D. 0;3 Câu 2: Khẳng định nào dưới đây đúng? Câu 6: Tập nghiệm của hệ bất phương trình: A. x2 3x x 3 2x 1 x 1 x 1 3 B. 0 x 1 0 chứa bao nhiêu số nguyên? 2 4 3x x 3 x 2 C. x 3 x 2 3 x x 2 A. 4B. 3 C. 2D. 1 D. x 1 x 2 0 x 1 0 Câu 7: Cặp bất phương trình nào sau đây 7 không tương đương? Câu 3: Cho bất phương trình 1. Một 2 x A. x 2 x và 2x 1 x 2 x 2x 1 học sinh giải như sau: 1 1 7 I 1 1 II x 2 B. 2x 1 và 2x 1 0 1 x 5 x 5 2 x 2 x 7 2 x 7 C. x2 x 5 0 và x 5 0 III x 2 IV x 5 . x 5 D. x4 x 5 0 và x 5 0 Hỏi học sinh giải sai từ bước nào? Câu 8: Điều kiện của bất phương trình: A. (I)B. (II)C. (III)D. (IV) 1 3 x 2 x 3 5x 2 là: Câu 4: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: x 1 A. x 2 B. x 3 LOVEBOOK.VN | 5
  6. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book C. x 2 và x 1 D. x 3 và x 1 Câu 13: Có bao nhiêu số nguyên không thuộc tập nghiệm của bất phương trình Câu 9: Bất phương trình x2 4 x2 4 có tập x 1 x 4 7 ? nghiệm là: A. 6B. 8 C. 4D. 2 A. S ; x2 5x 4 Câu 14: Cho bất phương trình 1. B. S 2 . x2 4 C. S ; 22; Nghiệm lớn nhất của bất phương trình gần với số nào nhất trong các số sau? D. S 2;2   A. 3B. 4 C. 5D. 6 Câu 10: Gọi a và b lần lượt là nghiệm âm lớn Câu 15: Cho hệ bất phương trình nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của hệ bất mx 3m 0 2 . Xét các khẳng định sau: x 2x 3 0 5 3x 2x 3 phương trình . Tính a b . x2 11x 28 0 (I) Khi m 0 thì hệ bất phương trình đã cho vô A. 3B. 2 C. 6D. 10 nghiệm. Câu 11: Bất phương trình (II) Khi m 0 thì hệ bất phương trình đã cho 5x 4 2x2 3x 2 0 có tập nghiệm là: có tập nghiệm là ¡ . (III) Khi m 0 thì hệ bất phương trình đã cho 4 5 A. S ; B. S ; 2 5 4 có tập nghiệm là ; . 5 4 C. S ; D. S  (IV) m thì hệ bất phương trình đã cho có 5 2 nghiệm là ; . Câu 12: Khẳng định nào sau đây sai? 5 A. Bất phương trình ax b 0 luôn có nghiệm Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng a,b . định đúng? B. Bất phương trình ax b 0 vô nghiệm khi A. 1B. 2 C. 3D. 4 a 0 và b 0 Câu 16: Giá trị lớn nhất của tham số m để hệ C. Bất phương trình ax b 0 có tập nghiệm x2 x 12 0 bất phương trình vô nghiệm là ¡ khi a 0 và b 0 x m 1 D. Bất phương trình ax b 0 có nghiệm khi là: a 0 LOVEBOOK.VN | 6
  7. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 phương trình (1), S2 là tập nghiệm của bất Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình phương trình (2) còn S là tập nghiệm của hệ bất x 1 phương trình. Khẳng định nào dưới đây đúng? 1 là: x 2 A. S1  S2 B. S2  S1 A. S 1; C. S1 S D. S2 S 1 Câu 22: Biết hệ bất phương trình: B. S ; 2 2x 3y 6 C. S ; 2  1; 11x 6y 18 có miền nghiệm là một miền đa x 0 1 D. S ; 2  ; giác (kể cả các cạnh của nó). Tính diện tích đa 2 giác đó. Câu 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của A. 3B. 4 C. 5D. 6 tham số m để phương trình Câu 23: Miền nghiệm của hệ bất phương trình m 2 x2 2mx m 3 0 có 2 nghiệm dương phân biệt? 2x 3y 6 0 2x 3y 1 0 A. 3B. 4 C. 5D. 6 là: x 0 Câu 19: Cho hệ bất phương trình y 0 2 x x 6 0 . Có bao nhiêu giá trị của A. Một nửa mặt phẳngB. Một miền tam giác m 3 x m 9 C. Một miền tứ giác D. Một miền ngũ giác tham số m để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất? Câu 24: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F y x , với x và y thỏa mãn hệ bất phương A. 0B. 1 C. 2D. Vô số y 2x 2 4 1 Câu 20: Bất phương trình: có bao trình 2y x 4 là: x 5 7 x y 5 nhiêu nghiệm nguyên âm? A. 0B. 1 C. 2D. 3 A. Vô sốB. 23 C. 22D. 21 Câu 21: Cho hệ bất phương trình: 2x 3y 5 1 3 . Gọi S1 là tập nghiệm của bất x y 5 2 2 LOVEBOOK.VN | 7
  8. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 25: Cho hệ bất phương trình 3 B. D ; 5; x y 2 2 3x 5y 15 . Biết miền nghiệm của hệ bất 3 x 0 C. D ;5 2 y 0 phương trình là một đa giác. Diện tích của đa 3 D. D ;5 giác đó gần với số nào nhất trong các số dưới 2 đây? Câu 30: Cho bất phương trình: A. 6B. 6,5 C. 7D. 5,5 2m 1 x2 3 m 1 x m 1 0. Câu 26: Tập nghiệm của bất phương trình Biết tập hợp các giá trị của tham số m để bất 1 x x 1 là: phương trình vô nghiệm là đoạn a;b . Tính độ 3 x 3 x dài đoạn a;b trên trục số. A. ;3 B. ;1 1 3 A. 6B. C. 4D. C. ;1  1;3 D. 1;3 7 7 Câu 31: Tập nghiệm của bất phương trình Câu 27: Phương trình x2 2mx m2 4m 1 0 có nghiệm khi và x2 4x 3 x2 4x 3 0 là: chỉ khi: A. 1;3 B. 1;3 1 1 A. m B. m 4 4 C. 1;3 D. ;13; 1 1 C. m D. m Câu 32: Gọi a và b lần lượt là nghiệm nhỏ nhất 4 4 và nghiệm lớn nhất của hệ bất phương trình: Câu 28: Có bao nhiêu số nguyên có giá trị 2 x 9 0 tuyệt đối nhỏ hơn 10 thuộc tập nghiệm của bất . x 1 3x2 7x 4 0 phương trình x 1 x 2 x 0 ? Tính a b . A. 9B. 10 C. 11D. 12 5 1 Câu 29: Tập xác định của hàm số A. B. C. 4 D. 2 3 3 y 7x 15 2x2 là: 3 A. D ;  5; 2 LOVEBOOK.VN | 8
  9. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing Câu 33: Tập xác định của hàm số C. 2;5 D. 2;5 y x m 8 2x có dạng là một đoạn Câu 38: Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của a;b (với a b ) khi và chỉ khi: tham số m để phương trình x m 2m A. m 4 B. m 4 C. m 4 D. m 4 x 2 có nghiệm. x 2 x 2 Câu 34: Tập nghiệm của bất phương trình 2 2 2x2 5x 2 2x2 5x 2 là: A. S ; B. S ; 3 3 1  2 2 A. ¡ B. ¡ \ ;2 C. S ; D. S ; 2  3 3 1 1 Câu 39: Biết phương trình x 1 2x 1 có C. ;  2; D. ;2 2 2 tập nghiệm là nửa khoảng a; , a gần với số Câu 35: Tập nghiệm của bất phương trình nào nhất trong các số sau? 2x2 7x 3 2x2 7x 3 0 là: A. 1 B. 0C. 1D. 2 1 1 Câu 40: Bất phương trình x 2018 x 0 A. ; 3; B. ;  3; 2 2 tương đương với bất phương trình nào dưới đây? 1  C. ¡ D. ¡ \ ;3 2 2  A. x x 2018 0 B. x 2018 x 0 Câu 36: Tập nghiệm của phương trình: C. x 2018 2 x 0 D. x 2018 2 x 0 2 x 5x 6 x2 5x 6 là: x 1 x 1 Câu 41: Biết tập nghiệm của bất phương trình 2 x 2 x 5 x 3 có dạng A. 2;3 B. ;23; ;ab; (với a b ). Tính a b . C. 1;23; D. 2;3 A. 5 5 B. 6 5 Câu 37: Tập nghiệm của bất phương trình: C. 7 5 D. 10 5 2 x 8x 12 x2 8x 12 là: 5 x 5 x Câu 42: Giá trị nhỏ nhất của tham số m để bất phương trình m 4 x2 2 m 6 x m 5 0 A. ;2  6; B. 2;6 LOVEBOOK.VN | 9
  10. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book có tập nghiệm bằng ¡ gần với số nào nhất Câu 47: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của trong các số sau đây? tham số m để bất phương trình 2 A. 4,5B. 5 C. 5,5D. 6 x 6x m x 3 1 có nghiệm? Câu 43: Gọi S1, S2 lần lượt là tập nghiệm của A. 7B. 8 C. 9D. Vô số 2 các bất phương trình x 3x 2 0 và Câu 48: Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham 4x 2 số m để bất phương trình x . Khẳng định nào dưới đây đúng? x 1 2 x 5 3 x x 2x m nghiệm đúng A. S S B. S  S  1 2 1 2 x  5;3là nửa khoảng a; , trong đó a C. S1  S2 D. S2  S1 là một số nguyên dương. Tính số ước nguyên dương của a. Câu 44: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để x2 mx 1 A. 1B. 2 C. 3D. 4 bất phương trình 1 có tập nghiệm x2 2x 3 Câu 49: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham bằng ¡ ? số m để hệ bất phương trình 2 x 6x 5 0 A. 0B. 1 C. 2D. Vô số có tập nghiệm là một 2 x m 1 x m 0 Câu 45: Có bao nhiêu giá trị thuộc khoảng đoạn có độ dài bằng 1 trên trục số? 0;1 của tham số m để hàm số A. 0B. 1 C. 2D. Vô số 2x2 x 5 y xác định khi x 0 ? x2 m 1 x m Câu 50: Bác Thùy dự định trồng đậu và cà trên diện tích 8a (1a 100m2 ). Nếu trồng đậu thì A. 0B. 1 C. 2D.Vô số cần 20 công và thu lãi 3.000.000 đồng trên mỗi Câu 46: Cho bất phương trình: a, nếu trồng cà thì cần 30 công và thu lãi 4.000.000 đồng trên mỗi a. Biết tổng số công x2 2 x 2m 4mx 6m2 3m 1 0. cần dùng không được vượt quá 180. Tính số Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất tiền lãi lớn nhất thu được. phương trình có nghiệm. A. 24 (triệu đồng)B. 25 (triệu đồng) 1 1 A. 1 m B. 1 m C. 26 (triệu đồng) D. 27 (triệu đồng) 2 2 1 1 C. m 1 D. m 1 2 2 LOVEBOOK.VN | 10
  11. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 5 2 I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH 2 m 1 x m 1 x 1 - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN 2 m2 1 x m 1 (*). Câu 1: Đáp án B. Vì m 1 nên m2 1 m2 1 0 . Ta có: 2 m 1 m 1 mx m 2x m 2 x m 0 (*). Do đó (*) x m2 1 m 1 Bất phương trình (*) vô nghiệm Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là m 2 0 m 2 m 2 . m 1 ; . m 0 m 0 m 1 Câu 2: Đáp án D. Câu 4: Đáp án B. 2x 3 0 * m 2 0 m 2 . Điều kiện: 5 x 0 Phương trình trở thành: Ta có: 2x 4 0 x 2 . 1 1 1 1 0 * m 2 0 m 2 . Khi đó phương trình đã 2x 3 5 x 2x 3 x 5 cho có nghiệm ' 0 3x 2 0 m2 4m 3 0 1 m 3 2x 3 x 5 * Vậy với m 1;3 thì phương trình đã cho có Bảng xét dấu vế trái: nghiệm. 3 2 x 5 Do đó a 1,b 3 a b 4 . 2 3 Câu 5: Đáp án D. VT + 0 + Suy ra bất phương trình có tập nghiệm Hàm số có tập xác định ¡ 3 2 f x 5m m2 4 x2 S ;  5; . 2 3 m 4 x 1 0x ¡ . Vậy có 6 số nguyên nhỏ hơn 10 thuộc S, đó là 2 các số 1;0;6;7;8;9. * TH1: 5m m 4 0 Câu 3: Đáp án A. m 1 hoặc m 4 . LOVEBOOK.VN | 11
  12. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book - Với m 1: x2 9 0 x2 9 x 3 f x 3x 1; x ; 33; . 1 f x 0 3x 1 0 x . Vậy trường hợp này bất phương trình có 3 nghiệm là x ; 3 4; . - Với m 4 : * Vậy S ; 3 14; . f x 1 f x 0x ¡ . Câu 7: Đáp án D. Vậy m 1 hoặc m 4 không thỏa mãn hàm số Điều kiện: x 2 0 x 2 (1). có tập xác định ¡ . * TH2: 5m m2 4 0 . Ta có: x x 2 2 x 2 x 2 (2). Khi đó f x 0x ¡ Từ (1) và (2) suy ra S  . 5m m2 4 0 2 Câu 8: Đáp án C. 3m 12m 0 Cách 1: * Giải bất phương trình: m 1;4 m  . x 1 x 0 (1). m ;0  4; Điều kiện: x 0 . * Tóm lại không có giá trị nào của m thỏa mãn ycbt. - Với x 0 thì x 1 x 0 . Do đó x 0 Câu 6: Đáp án C. không là nghiệm của bất phương trình (1). Điều kiện: - Với x 0 : x2 5x 4 0 x ;14; . x 1 x 0 x 1 0 x 1. * Với x 1 hoặc x 4 : Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm S 1; . x2 9 x2 5x 4 0 1 * Giải bất phương trình x 1 0 (2). Dễ thấy Vậy x 1, x 4 là các nghiệm của bất phương bất phương trình (2) có tập nghiệm trình. S2 1; . * Với x ;1  4; thì * Ta thấy S1 S2 . x2 9 x2 5x 4 0 LOVEBOOK.VN | 12
  13. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing Vậy x 1 x 0 x 1 0 . 16 m 5m 16 0 5 Cách 2: Ta có x 1 0 x 1. 20m 1 0 1 m 20 Với x 1 thì x 1 0 . Do đó nhân hai vế 16 1 của bất phương trình x 1 0 với x ta được m . 5 20 bất phương trình tương đương. Vậy C đúng. Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu Câu 9: Đáp án D. cầu bài toán, đó là các giá trị 3; 2; 1. x m 0 x m Điều kiện: . Câu 11: Đáp án D. 2m 6 x 0 x 2m 6 2 Để hàm số xác định trên khoảng 1;0 thì ta x 2 x 4x 4 4 phải có 2 x 2 x 2 4 m 1 m 1 3 m 1. x 2 x 2 4 . 2m 6 0 m 3 Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu Ta có x 2 x 2 x 2 2 x cầu bài toán. Đó là các giá trị 3; 2; 1. x 2 2 x 4 . Câu 10: Đáp án C. Vậy bất phương trình Ta có 2x2 3x 2 0 x ¡ (do có 2 7 0 và a 2 0 ). x 2 x 4x 4 4 vô nghiệm. x2 2x m Do đó S  . Do đó 2 3 2x2 3x 2 Câu 12: Đáp án D. x2 2x m 4x2 6x 4 Điều kiện xác định của hàm số: 2 2 x 2x m 6x 9x 6 x2 x 3 x 6 0 2 5x 4x m 4 0 1 x2 x 3 x 6 5x2 11x 6 m 0 2 2 x x 3 x 6 Để bất phương trình đã cho thỏa mãn x ¡ x2 9 thì (1) và (2) phải nghiệm đúng x ¡ x2 9 2 / x 2x 3 0 0 1 0 2 2 (do x 2x 3 0 x ) LOVEBOOK.VN | 13
  14. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book x 3 x ; 33; . - Nếu ' 0 thì f x 0 x ¡ . Vậy D ; 33; . Khi đó bất phương trình f x 0 vô nghiệm. Do đó M 3 và m 3 . - Nếu ' 0 thì f x 0 x m ; f m 0. Suy ra M m 0 . Khi đó bất phương trình f x 0 có 1 nghiệm Câu 13: Đáp án A. duy nhất x m . * 3x 2 2x 1 x 3. - Nếu ' 0 thì f x 0 có 2 nghiệm phân 2 * x 4m 2mx 1 biệt x1, x2 . Khi đó bất phương trình f x 0 2 2m 1 x 4m 1 (*) có tập nghiệm là S x1; x2  . - TH1: 2m 1 0 . Vậy để bất phương trình f x 0 có tập (*) trở thành 0x 0 x ¡ . nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 4 thì ta phải ' 0 Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiệm có: x x 4 x 3. 2 1 1 - TH2: 2m 1 0 m . 2 2 m 5m 8 0 2 Khi đó (*) x 2m 1. m m 5m 8 Để hệ bất phương trình vô nghiệm thì ta phải có m m2 5m 8 4 2m 1 3 m 2 . 2 1 m 5m 8 0 - TH3: 2m 1 0 m . 2 2 2 m 5m 8 4 Khi đó (*) x 2m 1. m2 5m 8 2 Suy ra hệ bất phương trình đã cho có nghiệm. m2 5m 8 4 * Tóm lại hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm m 2. 2 m 1 m 5m 4 0 . m 4 Câu 14: Đáp án C. 2 Vậy S 1;4 . Do đó tổng các phần tử của S Đặt f x x 2mx 5m 8 . bằng 5. Có ' m2 5m 8. Lưu ý: Ta có thể giải như sau: LOVEBOOK.VN | 14
  15. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing x x 4 x x 2 4 4 2 1 2 1 5x 6 x 2 5 2 x x 4x x 4 . 9 65 2 1 1 2 7x 11 x 3 5 Sau đó áp dụng định lí Vi-et để tìm m. 1 1 Câu 15: Đáp án C. 5x 6 x 2 7x 11 x 3 Điều kiện: 5 5 2 6 4 9 65 x 5x 6 0 5 7x 11 0 11 1 x 2 7 5x 6 x 2 6 1 6 x . 0 x 5 7x 11 x 3 5 Khi đó ta có: Do đó (*) x 1 x 2 0 2x2 4x 9 5x 6 7x 11 0 1 x 2 . 2 x2 x 2 5x 6 x 2 Kết hợp với điều kiện ta có S  1;2 . 7x 11 x 3 0 Do đó a b 1 2 1. x2 x 2 2 x2 x 2 5x 6 x 2 II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH x2 x 2 - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN 0 7x 11 x 3 Câu 1: Đáp án C. x 1 x 2 Phương trình đường thẳng d: x y 1 1 1 2x y 2 0 . 2 0 1 2 5x 6 x 2 7x 11 x 3 (*) Lấy điểm O 0;0 , ta có O d và 6 2.0 0 2 0 . Với x thì 5 Vậy miền không bị gạch bỏ (bao gồm cả đường thẳng d) là miền nghiệm của bất phương trình 2x y 2 0 . LOVEBOOK.VN | 15
  16. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 2: Đáp án C. Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng 17 khi x 5 và y 1. Do đó x0 5 và y0 1 2 2 x0 y0 26 . Câu 4: Đáp án D. Gọi x và y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó mua mỗi ngày. Khi đó x và y phải thỏa mãn hệ bất phương trình: 8x 6y 9 2x 4y 4 . 0 x 1,6 Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền 0 y 1,1 tứ giác ABOC với A 6; 2 , B 2;2 và Lượng tiền để mua thịt là C 0; 2 . T 250x 85y (nghìn đồng). Câu 3: Đáp án C. Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác ABCD với A 0,6;0,7 , B 1,6;0,2 , C 1,6;1,1 và D 0,3;1,1 . Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC với A 5; 1 , B 1; 2 và C 5;4 . Lập bảng: Lập bảng: Đỉnh A 5; 1 B 1; 2 C 5;4 Đỉnh A 0,6;0,7 B 1,6;0,2 T 17 3 3 T 209.500 417.000 Đỉnh C 1,6;1,1 D 0,3;1,1 LOVEBOOK.VN | 16
  17. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing T 493.500 168.500 + x 2 không thỏa mãn bất phương trình (*). Vậy chi phí mua thịt ít nhất là 168.500 đồng. + x 2: (*) x 1 0 x 1. Vậy trong trường hợp này bất phương trình có III. ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ 5 nghiệm x 1. Câu 1: Đáp án D. Vậy tập nghiệm của (*) là S 1; . Xét bất phương trình: * Xét bất phương trình: x 1 0 có tập nghiệm x 2018 x 2019 0 (*) S ' 1; . Điều kiện: x 2019 0 x 2019 . Ta thấy S S ' . * Dễ thấy x 2019 thỏa mãn bất phương Do đó x 1 x 2 0 x 1 0 . trình (*). * Với x 2019: Câu 3: Đáp án B. * x 2018 0 x 2018 Học sinh giải sai từ bước (II), vì 1 1 x 2 Vậy trong trường hợp này bất phương trình (*) chỉ đúng khi 2 x 0 . 2 x 7 2 x 7 có nghiệm x 2018 . Câu 4: Đáp án C. * Vậy (*) có tập nghiệm S  vì x2 3x 2 0 x ¡ . S  2018;  2019. Câu 5: Đáp án C. Mặt khác xét bất phương trình x 2018 0 . Bất phương trình này có tập nghiệm x x 1 2 4 x x3 2x2 2x 4 0 . S '  2018; . Phương trình x3 2x2 2x 4 0 có nghiệm Vậy S S ' . Do đó bất phương trình duy nhất x 2 (nghiệm bội 1). x 2018 0 không tương đương với bất Xét dấu vế trái: phương trình x 2 x 2018 x 2019 0 . VT 0 + Câu 2: Đáp án D. Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là * Xét bất phương trình 2; . x 1 x 2 0 (*) Câu 6: Đáp án C. Điều kiện: x 2 0 x 2 . Hệ bất phương trình đã cho tương đương với LOVEBOOK.VN | 17
  18. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 2x 1 3x 3 5x 4 S ; vì ta luôn có 4 3x 6 2x x 2 a a,a ¡ . 4 x 4 Câu 10: Đáp án B. 5 x 2; . 5 x 2 x2 2x 3 0 2 Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình chứa 2 x 11x 28 0 số nguyên là 1 và 0. x ; 13; Câu 7: Đáp án D. x ;47; * Xét bất phương trình x 5 0 . Dễ thấy bất phương trình có tập nghiệm S 5; . x ; 13;47; . * Xét bất phương trình Vậy a 1 và b 3 a b 2 . Câu 11: Đáp án C. x4 x 5 0 (*). Ta có: 5x 4 0 x ¡ . + Dễ thấy x 0 không thỏa mãn bất phương trình (*). Xét f x 2x2 3x 2 có 4 + Với x 0 thì x 0 . Khi đó: 9 4.2.2 0 và a 2 0 . 4 x x 5 0 x 5 0 x 5 . Do đó f x 0 x ¡ . Vậy trong trường hợp này (*) có nghiệm Suy ra 5x 4 . 2x2 3x 2 .0 x ¡ . x 5; \ 0 . S ; . + Vậy (*) có tập nghiệm Câu 12: Đáp án A. S ' 5; \ 0 . Chẳng hạn với a 0,b 1 thì bất phương trình * Ta thấy S ' S . Do đó x4 x 5 0 và 0x 1 0 là vô nghiệm. x 5 0 không tương đương với nhau. Câu 8: Đáp án D. Điều kiện của bất phương trình đã cho là: x 3 0 x 3 . x 1 0 x 1 Câu 9: Đáp án A. LOVEBOOK.VN | 18
  19. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing Câu 13: Đáp án B. x2 5x 4 * 2 1 Bảng xét dấu các nhị thức x 1 và x 4: x 4 2 2 x 1 4 x 5x 4 x 4 x 1 0 + + 2 2 x2 5x 4 x2 4 0 x 4 0 + x2 5x 4 x2 4 * x ; 1 : 2 2 Bất phương trình trở thành: x 5x 4 x 4 0 x 1 x 4 7 2x 4 x 2 . 2x2 5x 8 5x 0 . Vậy trong trường hợp này bất phương trình có Ta có: 2x2 5x 8 5x 0 nghiệm x ; 2 . 5 8 * x 1;4 : Bất phương trình trở thành: x 0  x  x .  2 5 x 1 x 4 7 5 7 (vô lí). * Bảng xét dấu Vậy trong trường hợp này bất phương trình vô f x 2x2 5x 8 5x : nghiệm. * x 4; : bất phương trình trở thành: x 0 8 / 5 5 / 2 x 1 x 4 7 f x + 0 0 + 0 2x 10 x 5 . Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là Vậy trong trường hợp này bất phương trình có 8 5 S ;0 ; \ 2 . nghiệm x 5; . 5 2 * Tóm lại, bất phương trình có nghiệm là Suy ra nghiệm lớn nhất của bất phương trình đã 5 x ; 2  5; . cho là . 2 Vậy có 8 số nguyen không thuộc tập nghiệm Câu 15: Đáp án B. của bất phương trình, đó là các số 2; 1; ;4;5. 2 * 5 3x 2x 3 5x 2 x . 5 Câu 14: Đáp án A. * mx 3m 0 mx 3m . Điều kiện: x2 4 0 x 2 . LOVEBOOK.VN | 19
  20. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book + m 0 : mx 3m x 3 Hệ bất * Trường hợp 2: phương trình vô nghiệm. x 1 x 1 x 1. + m 0 : mx 3m trở thành 0 0 (vô lý) x 2 0 x 2 Hệ bất phương trình vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là + m 0 : mx 3m x 3 Hệ bất 1 S ; 2  ; . 2 phương trình có nghiệm x . 2 5 Câu 18: Đáp án A. * Vậy I và III là các khẳng định đúng. Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt Câu 16: Đáp án C. a 0 2 ' 0 x x 12 0 3 x 4 . S 0 x m 1 x m 1 P 0 Hệ trên vô nghiệm m 1 3 m 2. m 2 0 Câu 17: Đáp án D. m 2 6 m 0 m 6 Điều kiện: x 2 . 2m 0 m 2 m ;0  2; x 1 x 1 x 2 1 0 m 3 m ; 3  2; 0 x 2 x 2 m 2 * Trường hợp 1: m ; 3  2;6 . x 1 0 Vậy có 3 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn x 1 x 2 0 ycbt. x 2 Câu 19: Đáp án A. x 1 2 2x 1 * x x 6 0 2 x 3. 0 x 2 * Xét bất phương trình x 1 m 3 x m 9 (*). 1 x ; 2  ; + m 3 0 m 3: (*) trở thành 2 0x 6 0 6 thỏa mãn x ¡ . Vậy với 1 m 3 hệ bất phương trình đã cho có tập x ; 2  ;1 2 LOVEBOOK.VN | 20
  21. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing nghiệm là  2;3 . Do đó m 3 không thỏa Vậy bất phương trình đã cho có 22 nghiệm nguyên âm. mãn yêu cầu đề bài. Câu 21: Đáp án B. + m 3 0 m 3: m 9 2 2x 3y 10 (*) x . m 3 Ta có: 2x 3y 10 2x 3y 5 Để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy hay 2 1 . m 9 nhất thì ta phải có 2 m 3 Vậy S2  S1 . m 9 2m 6 3m 3 m 1. Câu 22: Đáp án C. Vậy trường hợp này không có m thỏa mãn yêu Hai đường thẳng 2x 3y 6 và 11x 6y 18 cầu bài toán. 2 giao nhau tại điểm A 2; . + m 3 0 m 3: 3 m 9 * x . Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền m 3 tam giác ABC (kể cả các cạnh AB, AC, BC) với Để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy 2 A 2; ; B 0; 3 và C 0;2 . m 9 3 nhất thì ta phải có 3 m 9 3m 9 m 3 1 S .2.5 5. 2m 18 m 9 . ABC 2 Vậy trường hợp này không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán. * Tóm lại không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 20: Đáp án C. Với x 0 thì x 5 0. Khi đó bất phương trình đã cho trở thành: 4 1 28 x 5 (do x 5 0) x 5 7 Câu 23: Đáp án C. x 23. LOVEBOOK.VN | 21
  22. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tứ giác OABC, với 15 3 tứ giác OABC với A 2;0 , B ; ,C 0;3 . 1 7 5 4 4 A ;0 , B ; ,C 0;2 . 2 4 6 SOABC SOABD SBCD 1 15 3 1 15 9 2 . . . 2 4 4 2 4 4 51 6,375. 8 Câu 24: Đáp án B. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tam giác ABC (kể cả các cạnh của nó), trong đó A 0;2 , B 2;3 , C 1;4 . Câu 26: Đáp án B. Điều kiện: 3 x 0 x 3 . 1 x x 1 Ta có 1 x x 1. 3 x 3 x Ta có: 1 x x 1 x 1 x . Lập bảng: Dấu bằng xảy ra khi x 1 0 x 1. Do đó 1 x x 1 Đỉnh A 0;2 B 2;3 C 1;4 x 1 0 x 1. F 2 1 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là Vậy giá trị nhỏ nhất của F là 1, đạt được khi x 2 và y 3 . ;1 . Câu 25: Đáp án B. Câu 27: Đáp án A. LOVEBOOK.VN | 22
  23. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing ' m2 m2 4m 1 1 4m . Khi đó bất phương trình đã cho trở thành: 3 1 1 x 0 x . Phương trình có nghiệm ' 0 2 2 3 1 1 4m 0 m . * Trường hợp 2: 2m 1 0 . 4 Khi đó bất phương trình đã cho vô nghiệm Câu 28: Đáp án C. 2m 1 0 Điều kiện: m 1 m 5 0 x x 2 0 x ; 2  0; .   1 m 2 m 5; 1 . * Dễ thấy x 2 và x 0 thỏa mãn bất   5 m 1 phương trình. Vậy đoạn a;b có độ dài là * Với x ; 2  0; thì   x x 2 0 . Khi đó: 1 5 4. Câu 31: Đáp án C. x 1 x 2 x 0 x 1 0 x 1 x2 4x 3 x2 4x 3 0 * Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S 1;  0; 2 . x2 4x 3 x2 4x 3 Câu 29: Đáp án D. x2 4x 3 0 x 1;3 . Hàm số xác định 7x 15 2x2 0 Câu 32: Đáp án A. 3 x ;5 . x2 9 0 2 2 x 1 3x 7x 4 0 3 Vậy D ;5 . 2 x  3;3 Câu 30: Đáp án C. 4 x ; 1 1; 3 * Trường hợp 1: 4 1 x ; 1 1;3 2m 1 0 m . 3 2 4 5 Vậy a và b 3 a b . 3 3 LOVEBOOK.VN | 23
  24. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 33: Đáp án B. 1 x ;  3; . Điều kiện của hàm số: 2 x m 0 x m Câu 36: Đáp án C. . 8 2x 0 x 4 Điều kiện: x 1 0 x 1. 2 Do đó để tập xác định của hàm số có dạng là x 5x 6 x2 5x 6 một đoạn a;b (với a b ) thì ta phải có x 1 x 1 m 4 . x2 5x 6 x2 5x 6 Câu 34: Đáp án D. x2 5x 6 0 2x2 5x 2 2x2 5x 2 x ¡ . x ;23; Dấu bằng xảy ra khi Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 2 1 2x 5x 2 0 x ;2 . 1;23; . 2 Câu 37: Đáp án D. Tức là 2x2 5x 2 2x2 5x 2 Điều kiện: 5 x 0 x 5. 1 2 2 2x 5x 2 0 x ;2 . x 8x 12 x2 8x 12 2 5 x 5 x Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 2 2 1 x 8x 12 x 8x 12 ;2 . 2 x2 8x 12 0 2 x 6 . Câu 35: Đáp án B. Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm a nÕu a 0 x 2;5 . Ta có: a 0 nÕu a 0 Câu 38: Đáp án A. a nÕu a 0 Điều kiện: x 2 0 x 2 . 2a 0 nÕu a 0 a a x m 2m 0 nÕu a 0 x 2 x 2 x 2 Vậy 2x2 7x 3 2x2 7x 3 0 x 2 x m 2m 2 2x 7x 3 0 3m 2 2x 3m 2 x . 2 LOVEBOOK.VN | 24
  25. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing Phương trình đã cho có nghiệm Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm 3m 2 S1 0. 2 2 * Xét bất phương trình: 2 3m 2 4 m . x 2018 2 x 0 2 3 Câu 39: Đáp án C. Điều kiện: x 0 . 2 x 1 0 Với x 0 thì x 2018 0 . x 1 2x 1 2x 1 0 Do đó 2 x 0 x 0 . 2 x 1 2x 1 Vậy bất phương trình (2) có tập nghiệm x 1 S 0 . 2  1 x 2 * Ta có S1 S2 . Suy ra bất phương trình (1) 2 4x 5x 0 tương đương với bất phương trình (2). Câu 41: Đáp án B. x 1 2 x 2 x 5 0 1 x * Trường hợp 1: x 3 0 2 5 x ;0 ; x ;25; 4 x ;2 x ;3 5 x ; . 4 * Trường hợp 2: Câu 40: Đáp án C. x 3 0 2 * Xét bất phương trình 2 x 2 x 5 x 3 x 2018 x 0 (1) x 3 x ;4 5  4 5; Điều kiện: x 0 . Với x 0 thì x 2018 0 . x 4 5; . Do đó 1 x 0 x 0 . * Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S ;2 4 5; LOVEBOOK.VN | 25
  26. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book a 2 và b 4 5 x2 mx 1 Do đó 1 x2 2x 3 a b 6 5 . 2 2 Câu 42: Đáp án C. x mx 1 x 2x 3 * TH1: m 4 0 m 4 . Khi đó bất phương x2 mx 1 x2 2x 3 trình trở thành 2 2 x mx 1 x 2x 3 1 4x 1 0 x . m 2 x 4 4 2 2x m 2 x 2 0 Vậy m 4 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. * TH2: m 4 0 . Bất phương trình đã cho có Để bất phương trình đã cho có tập nghiệm bằng m 2 0 tập nghiệm bằng ¡ . thì ta phải có m 2. ¡ 2 m 4m 12 0 a m 4 0 ' 16 m 0 Câu 45: Đáp án D. 2 m 4 Ta có 2x x 5 0 x ¡ . 16 16 m . m 3 Do đó hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 3 x2 m 1 x m 0 Câu 43: Đáp án D. f x x 1 x m 0 . * x2 3x 2 0 * TH1: m 1: x ;1  2; . f x x 1 2 0 x 1. 4x 2 4x 2 * x x 0 x 1 x 1 Vậy m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. x2 3x 2 0 * TH2: m 1: x 1 f x 0 x ;1  m; . x 1;1  2; . Vậy m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. * Vậy S  S . 2 1 * TH3: m 1: Câu 44: Đáp án B. f x 0 x ;m  1; . Ta có x2 2x 3 0 x ¡ . Để hàm số đã cho xác định khi x 0 thì ta phải có 0 m 1. LOVEBOOK.VN | 26
  27. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing * Vậy các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài t 2 9 8 P t 1 toán là m 0;1 . t 1 t 1 1 9 Câu 46: Đáp án D. t 1 2 t 1 t 1 Bất phương trình đã cho tương đương với 9 x 2m 2 2 x 2m 2m2 3m 1 0 Vì t 0 nên t 1 1 9 . t 1 2 x 2m 1 3m 2m2 . Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 1 Ta có: t 1 2. t 1 x 2m 0 x x 2m 1 1 x Vậy P 2 9 2 9 . 2 x 2m 1 1 x . Dấu bằng xảy ra khi t 0 . Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm thì Do đó điều kiện để bất phương trình đã cho có ta phải có nghiệm là m 9 . Câu 48: Đáp án B. 3m 2m2 1 2m2 3m 1 0 Điều kiện: 1 m ;1 . 2 x 5 3 x 0 x  5;3 . Câu 47: Đáp án C. Ta có: x 5 3 x x2 2x m x2 6x m x 3 1 x 5 3 x x2 2x m k x 3 2 9 m x 3 1 Đặt t x 5 3 x . x 3 2 9 m Ta có với x 5;3 thì t 0;4 . x 3 1     Bất phương trình đã cho trở thành (vì x 3 1 0 x ). f t t 2 t 15 m (*) x 3 2 9 Đặt P . x 3 1 Bất phương trình đã cho thỏa mãn với mọi x  5;3 (*) thỏa mãn với mọi Đặt t x 3 ,t 0 thì t 0;4 m max f t . 0;4 LOVEBOOK.VN | 27
  28. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ta có t 0;4 thì Gọi x a và y a lần lượt là diện tích trồng đậu và trồng cà. f t 42 4 15 5 . Điều kiện: x 0, y 0 và x y 8 . Vậy ta phải có m 5 a 5 a có 2 ước nguyên dương là 1 và 5. Số công cần dùng là Chú ý: Xem lại chủ đề Hàm số. 20x 30y 180 2x 3y 18 . Câu 49: Đáp án B. Số tiền lãi thu được là T 3x 4y (triệu đồng). * x2 6x 5 0 x 1;5. Ta tìm giá trị lớn nhất của T 3x 4y với x, y x 0 2 * Tam thức f x x m 1 x m có 2 y 0 thỏa mãn hệ bất phương trình . nghiệm x 1 và x m (do có a b c 0 ). 1 2 x y 8 2 2x 3y 18 - Nếu m 1 thì f x x 1 0 x Bất Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất tứ giác OABC với A 0;6 , B 6;2 ,C 8;0 và x 1 m 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. O 0;0 . - Nếu m 1 thì f x 0 x m;1. Do đó hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1 m 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. - Nếu m 1 thì f x 0 x 1;m. Do đó để hệ bất phương trình đã cho có tập Lập bảng: nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 1 thì ta phải có m 2 . Đỉnh O 0;0 A 0;6 * Vậy m 2 là giá trị duy nhất của m thỏa mãn T 0 24 yêu cầu bài toán. Đỉnh B 6;2 C 8;0 Câu 50: Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 28
  29. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing T 26 24 Vậy số lãi lớn nhất thu được là 26 (triệu đồng), đạt được khi trồng 6a đậu và 2a cà. LOVEBOOK.VN | 29
  30. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Chủ đề 6 THỐNG KÊ Vấn đề cần nắm: Thống kê là khoa học nghiên cứu tập hợp nhiều lĩnh vực khác nhau gồm: phân tích, giải thích trình bày và biểu diễn các dữ liệu. Ngày nay thống kê được 1. Bảng phân bố tần số, áp dụng để nghiên cứu các lĩnh vực khoa học công nghệ hoặc các vấn đề xã hội. tần suất Trong chương trình học phổ thông hầu hết các môn đều liên quan đến thống kê. 2. Số trung bình cộng, Chủ đề này giúp chúng ta nắm vững một số phương pháp trình bày số liệu và trung vị, mốt thu gọn số liệu nhờ các số đặc trưng. 3. Phương sai và độ lệch chuẩn A. Lý thuyết 1. Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho có k giá trị khác nhau k n . Gọi xi là một giá trị bất kì trong k giá trị đó. Ta có: + Số lần xuất hiện xi trong dãy số liệu đã cho gọi là tần số của giá trị đó, kí hiệu là ni . n + Số f i được gọi là tần suất của giá trị x . i n i LOVEBOOK.VN | 30
  31. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing Ví dụ 1: Thống kê một điểm kiểm tra 45 phút của 40 học sinh của một lớp 10 năm học 2017 - 2018 cho ta kết quả như sau: 3 5 7 9 10 6 8 3 4 6 5 7 8 10 9 3 6 4 7 8 9 10 6 9 7 4 5 3 3 7 9 6 10 8 7 5 4 8 9 7 Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau: A. Trong 40 số liệu thống kê trên, số giá trị khác nhau là 8 B. Giá trị 9 có tần số là 6 C. Giá trị 10 có tần suất là 10% D. Giá trị 10 có tần suất là 4 Lời giải + Các giá trị khác nhau: x1 3, x2 4, x3 5, x4 6, x5 7, x6 8, x7 9, x8 10 A đúng. + Giá trị x7 9 xuất hiện 6 lần Tân số là 6 B đúng. 4 + Giá trị x 10 xuất hiện 4 lần Tần suất là hay 10% C đúng D 8 10 sai. Đáp án D. Chú ý: + Bạn đọc tham khảo bằng phân bố tần số, tần suất ở bảng bên. + Trong bảng phân bố tần suất thì tỉ số tần suất tính dưới dạng phần trăm. 2. Giả sử n là số liệu thống kê đã cho được phân vào k lớp ( k n ). Xét lớp thứ i ( i 1,2, ,k ), trong k lớp đó ta có: + Số ni các số liệu thống kê thuộc lớp thứ i được gọi là tần suất của lớp đó. n + Số f i gọi là tần số của lớp thứ i. i n LOVEBOOK.VN | 31
  32. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 2: Để giải thử một đề trắc nghiệm 35 câu, thời gian (giây) học sinh A làm từng câu được cho bởi bảng số liệu thống kê sau: Các số liệu thống kê được phân vào các lớp 1,0;1,5 , 1,5;2,0 , 2,0;2,5 , 2,5;3,0 , 3,0;3,5 , 3,5;4,0 . Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau: A. Tần số của lớp 3,0;3,5 là 4 2 B. Tần suất của lớp 2,0;2,5 là 7 C. Tần suất của lớp 3,0;3,5 là 10%. D. Số các lớp trong số liệu thống kê trên là 6. Lời giải + Có 4 số liệu thống kê thuộc lớp 3,0;3,5 A đúng. + Có 10 số liệu thống kê thuộc lớp 2,0;2,5 10 2 Tần suất là 28,57% B đúng. 35 7 + Có 4 số liệu thống kê thuộc lớp 3,0;3,5 4 Tần suất là 11,43% C sai. 35 Đáp án C. Lưu ý: Bạn đọc có thể tham khảo bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp ở bảng bên. 3. Các số đặc trưng của mẫu số liệu a. Nếu mẫu số liệu có kích thước n là x1, x2 , , xn thì: +) Số trung bình x được xác định theo công thức: LOVEBOOK.VN | 32
  33. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing 1 x x x x . n 1 2 n +) Phương sai s2 được xác định theo công thức: 1 2 2 2 s2 x x x x x x . n 1 2 n +) Độ lệch chuẩn s được xác định theo công thức: s s2 . b. Nếu mẫu số liệu cho dưới dạng một bảng phân bố tần số thì: +) Số trung bình x được xác định theo công thức: 1 x n x n x n x f x f x f x . n 1 1 2 2 k k 1 1 2 2 k k +) Phương sai 1 2 2 2 s2 n x x n x x n x x n 1 1 2 2 k k 2 2 2 f1 x1 x f2 x2 x fk xk x . Trong đó: ni , fi lần lượt là tần số, tần suất của giá trị xi ;n là số các số liệu thống kê n1 n2 nk n . c. Nếu mẫu số liệu cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp: +) Số trung bình x được xác định theo công thức: 1 x n c n c n c f c f c f c . n 1 1 2 2 k k 1 1 2 2 k k +) Phương sai 1 2 2 2 2 2 s2 n c x n c x n c x f c x f c x n 1 1 2 2 k k 1 1 2 2 2 fk ck x Trong đó ci ;ni ; fi lần lượt là các giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i. n là số các số liệu thống kê ( n1 n2 nk n ). LOVEBOOK.VN | 33
  34. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Lưu ý: + Phương sai và độ lệch chuẩn đều dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng) nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng độ lệch chuẩn s (giá trị càng nhỏ thì mức độ phân tán số liệu càng nhỏ) 2 + Phương sai còn được tính theo công thức: s2 x2 x Đối với bảng phân bố tần số, tần suất thì k k 2 1 2 2 x  ni xi  fi xi n1 n2 nk n . n i 1 i 1 Đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp thì k k 2 1 2 2 x  nici  fici n1 n2 nk n . n i 1 i 1 4. Số trung vị: Kí hiệu: M e + Nếu số phần tử của số liệu thống kê lẻ thì n 1 M Số giá trị thứ (n là số các số liệu thống kê). e 2 + Nếu số phần tử của số liệu thống kê chẵn thì n n M = Trung bình cộng của giá trị thứ và 1. e 2 2 5. Mốt: Kí hiệu: M O Mốt là giá trị có tần số lớn nhất LOVEBOOK.VN | 34
  35. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing Ví dụ 1: Một xạ thủ bắn 30 viên đạn vào bia kết quả được ghi lại trong bảng phân bổ tần số sau: Lớp Tần số 6 4 7 3 8 8 9 9 10 6 Cộng 30 Khi đó điểm số trung bình cộng là (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm): A. 8,33B. 8,34C. 8,31D. 8,32 Lời giải n x n x n x n x n x 4.6 3.7 5.8 9.9 6.10 Cách 1: x 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 8,33 n 30 Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx - 570 VNPLUS + Nhập (vào chế độ thống kê). + Nhập (hiển thị cột tần số). + Nhập (nhập giá trị). + Nhập , sau đó ấn . + Tính giá trị trung bình: Ấn x 8,3333333 Đáp án A. LOVEBOOK.VN | 35
  36. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 2: Tuổi các học viên của một lớp học Tiếng Anh tại một trung tâm được ghi lại ở bảng tần số ghép lớp như sau: Lớp Tần số [16; 20) 10 [20; 24) 12 [24; 28) 14 [28; 32) 9 [32; 36) 5 Khi đó độ lệch chuẩn của bảng số liệu là (kết quả làm tròn đến hàng phần chục): A. 24,8B. 5,3C. 5,0D. 25,0 Lời giải Cách 1: + Giá trị đại diện mỗi lớp: c1 18;c2 22;c3 26;c4 30;c5 34 + Số trung bình cộng: n c n c n c n c n c 10.18 12.22 14.26 9.30 5.34 x 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 25 n1 n2 n3 n4 n5 50 + Độ lệch chuẩn: 10 18 25 2 12 22 25 2 14 26 25 2 9 30 25 2 5 34 25 2 s s2 50 5,0 Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx - 570 VNPLUS + Nhập (vào chế thống kê). + Nhập (hiển thị cột tần số). LOVEBOOK.VN | 36
  37. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing + Nhập (nhập giá trị). + Nhập (nhập tần số), sau đó ấn . + Nhập  x 4,983813801 (Lưu ý: Đối với Ví dụ 2, phương sai s2 24,9 ). Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 37
  38. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 5: Thống kê điểm thi môn Ngữ văn trong C. Bài tập rèn luyện kĩ năng một kì thi của 380 em học sinh. Người ta thấy Xem đáp án chi tiết tại trang 242 có 10 bài được điểm 8. Hỏi tần suất có giá trị Câu 1: Các giá trị xuất hiện nhiều nhất trong xi 8 là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến 2 mẫu số liệu được gọi là: chữ số thập phân) A. Độ lệch chuẩnB. Số trung bình A. 2,63%B. 2,11% C. Mốt D. Số trung vị C. 2,10% D. 4,74% Câu 2: Tỉ số giữa tần số và kích thước của mẫu Câu 6: Thống kê điểm thi môn Tiếng Anh khối được gọi là: 10 của một trường THPT gồm 420 học sinh. A. MốtB. Phương sai Người ta thấy số bài đạt điểm 10 chiếm tỉ lệ 5%. Hỏi tần số của giá trị x 10 là bao nhiêu? C. Số trung vị D. Tần suất i Câu 3: Để điều tra số thành viên trong mỗi gia A. 50B. 21 C. 42D. 10 đình của một hcung cư gồm 100 gia đình. Câu 7: Cho mẫu số liệu thống kê: Người ta chọn ra 20 gia đình ở tầng 3 và thu 5;2;1;6;7;5;4;5;9. Mốt M 0 của mẫu số liệu được mẫu số liệu sau: trên bằng bao nhiêu? A. 3B. 5 C. 9D. 7 Dấu hiệu điều tra ở đây là gì? Câu 8: Cho dãy số liệu thống kê: A. Số gia đình ở tầng 3 31;33;34;35;32;30 . Số trung bình cộng của B. Số con trong mỗi gia đình dãy số liệu thống kê trên là: C. Số người trong một gia đình A. 33,5B. 32 C. 32,5D. 24 D. Số tầng của chung cư Câu 9: Ba nhóm học sinh gồm 5 người, 10 người, 15 người. Khối lượng trung bình của Câu 4: Trong các biểu đồ sau, biểu đồ nào mỗi nhóm lần lượt là: 48 kg, 45kg và 40kg. thích hợp nhất cho việc thể hiện bảng phân bố Khối lượng trung bình của cả 3 nhóm học sinh tần suất ghép lớp? là: A. Biểu đồ hình quạt A. 42kgB. 64,5kg B. Biểu đồ hình cột C. 44,3kg D. 43kg C. Biểu đồ đường gấp khúc Câu 10: Cho mẫu số liệu thống kê D. Biểu đồ đa giác tần số 6;4;4;1;9;10;7 . Số liệu trung vị của mẫu số liệu thống kê trên là: LOVEBOOK.VN | 38
  39. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing A. 1B. 6 C. 4D. 10 Tần số 5 15 10 6 4 40 Câu 11: Cho dãy số liệu thống kê: 5; 6; 7; 8; 9. Tính tiền thưởng trung bình: Phương sai của dãy số liệu thống kê trên là: A. 3725000 đồngB. 3745000 đồng A. 10B. 7 C. 6D. 2 C. 3715000 đồng D. 3625000 đồng Câu 12: Tiền thưởng (triệu đồng) của cán bộ và nhân viên trong một công ty được cho ở Câu 15: Điểm kiểm tra một tiết môn Toán lớp bảng dưới đây: 10A được cho ở bảng sau: Tiền thưởng 1 2 3 4 5 Cộng Tần số 10 12 11 15 2 50 Tìm Mốt M 0 ? Tìm Mốt M 0 ? A. 6B. 8 C. 9D. 10 A. M 0 4 B. M 0 15 Câu 16: Điều tra về số học sinh của một trường THPT như sau: C. M 0 5 D. M 0 11 Khối lớp 10 11 12 Câu 13: Có 100 học sinh tham dự kì thi HSG Toán (thang điểm 20 điểm) kết quả như sau: Số học sinh 400 385 380 Điểm 9 10 11 12 13 14 Kích thước của mẫu là: Tần số 2 1 2 10 8 8 A. 400B. 385 C. 380D. 1165 Câu 16: Thời gian (phút) đi từ nhà đến trường Điểm 15 16 17 18 19 Cộng của bạn A trong 30 ngày: Tần số 24 18 14 10 3 100 Lớp thời gian (phút) Tần số Tính độ lệch chuẩn (kết quả làm tròn đến hai [15; 17) 5 chữ số thập phân). [17; 19) 4 A. 4,67B. 2,16 C. 4,70D. 2,17 [19; 21) 12 Câu 14: Tiền thưởng (triệu đồng) của cán bộ Trong 30 ngày được khảo sát, những ngày bạn và nhân viên trong một công ty được cho ở A có thời gian đi đến trường từ 19 phút đến bảng dưới đây: dưới 23 phút chiếm bao nhiêu %? Tiền thưởng 2 3 4 5 6 Cộng A. 60%B. 40% LOVEBOOK.VN | 39
  40. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book C. 20% D. 63,33% Câu 18: Số quần jeans bán được trong một quý ở một cửa hàng thời trang được thống kê ở bảng sau: Size 26 27 28 29 Tần số (số quần bán) 128 105 119 16 Size 30 31 32 Cộng Tần số (số quần bán) 8 2 1 379 Tìm số trung vị M e ? A. 26B. 27 C. 26,5D. 27,5 Câu 19: Sản lượng vải thiều (tạ) thu hoạch được của 20 hộ gia đình trong một hợp tác xã được ghi ở bảng sau Tìm phương sai s2 ? A. 3,4B. 1,84 C. 1,8D. 3,24 LOVEBOOK.VN | 40
  41. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 10: Đáp án B. Câu 1: Đáp án C. Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành một dãy không giảm là: Câu 2: Đáp án D. Câu 3: Đáp án C. 1 4 4 6 7 9 10 Vậy số trung vị là M 6 Câu 4: Đáp án A. e Câu 5: Đáp án A. Chú ý: Cách tìm số trung vị M e 10 1 Tần suất f 2,63% + Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành 1 dãy 380 38 không giảm (không tăng). n Chú ý: f ;n f .N + Nếu số phần tử lẻ thì M e là số đứng giữa N dãy. Với f là tần suất (%) + Nếu số phần tử chẵn thì M e là trung bình n là tần số cộng của 2 số đứng giữa dãy. N là kích thước mẫu Câu 11: Đáp án D. Câu 6: Đáp án B. + Trung bình cộng của dãy là x 7 Tần số n f .N 5%.420 21 + Phương sai của dãy số liệu thống kê là: Câu 7: Đáp án B. 1 5 7 2 1. 6 7 2 1. 7 7 2 1. 8 7 2 1. 9 7 2 S 2 Giá trị 5 xuất hiện nhiều lần nhất trong mẫu số 5 liệu (3 lần) 10 S 2 2 5 M 0 5 Câu 12: Đáp án A. Câu 8: Đáp án C. Tiền thưởng 4 triệu đồng được thưởng cho 15 Số trung bình cộng: người M 0 4 30 31 32 33 34 35 x 32,5 Câu 13: Đáp án D. 6 + Điểm trung bình của 100 học sinh là: Câu 9: Đáp án D. Khối lượng trung bình của cả 3 nhóm là: x 15,09 48.5 45.10 40.15 + Độ lệch chuẩn: x 43 (kg) 30 LOVEBOOK.VN | 41
  42. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 1 2 2 x 3,725 (triệu đồng) 2. 9 15,09 1. 10 15,09 100 S Câu 15: Đáp án C. 3. 19 15,09 2 Từ bảng trên có bảng phân bố tần số S 2,17 Điểm Tần số Chú ý: Cách sử dụng máy tính bỏ túi 5 1 Bước 1: Vào chế độ thống kê: 6 5 7 6 Bước 2: Hiển thị cột tần số: 8 8 9 9 Bước 3: Nhập các giá trị: nhập lần lượt từng giá 10 6 trị, nhập xong mỗi giá trị ấn phím để lưu M 0 9 vào máy. Câu 16: Đáp án D. Bước 4: Nhập tần số: Sau khi nhập đủ các giá Kích thước của mẫu là: trị, dùng phím để di chuyển con trỏ trở về đầu cột tần số. 400 385 380 1165 Nhập lần lượt tần số tương ứng với mỗi giá trị. Câu 17: Đáp án A. Số ngày bạn A đi học thỏa mãn yêu cầu bài Kết thúc ấn phím để thoát khỏi màn hình toán là: 12 6 18 ngày thống kê hai cột. 18 Bước 5: * Tính giá trị trung bình: Vậy chiếm .100 60% 30 Lưu ý: Có thể tìm tần suất của từng lớp rồi * Tính độ lệch chuẩn s: cộng tần suất của lớp 3 và lớp 4 ta được kết quả. Câu 18: Đáp án B. (Tính phương sai s2 ta ấn tiếp phím ) Số quần bán được là 379 chiếc Câu 14: Đáp án A. Số trung vị M là số chính giữa của dãy khi Tiền thưởng trung bình: e xếp số quần bán được thành một dãy không 5.2 15.3 10.4 6.5 4.6 x giảm 40 LOVEBOOK.VN | 42
  43. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing M e là quần có size đứng ở vị trí 190 M e 27 Câu 19: Đáp án D. Từ bảng số liệu trên ta có bảng phân bổ tần suất: Sản lượng (tạ) Tần số 12 4 13 2 14 5 15 5 16 1 17 1 18 2 Sản lượng vải trung bình: x 14,4 (tạ) Phương sai s2 là: 2 2 1 12 14,4 2. 13 14,4 s2 20 2 2. 18 14,4 3,24 Lưu ý: Có thể tìm phương sai bằng cách sử dụng máy tính như các ví dụ trên. LOVEBOOK.VN | 43
  44. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Chủ đề 6 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC Vấn đề cần nắm: LƯỢNG GIÁC 1. Bảng phân bố tần số, Trong chủ đề này chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm về đường tròn định tần suất hướng, cung, góc lượng giác cũng như một số công thức lượng giác cơ bản để thực hiện các biến đổi lượng giác, chuẩn bị cho chủ đề hàm số và phương trình 2. Số trung bình cộng, lượng giác sẽ được đề cập tới trong sách Công Phá Toán 2. Ngoài ra, kiến thức trung vị, mốt chủ đề này là công cụ rất quan trọng đối với việc học vật lí sau này. 3. Phương sai và độ lệch chuẩn §1. Cung và góc lượng giác A. Lý thuyết 1. Đơn vị đo góc và cung tròn a. Độ Đường tròn bán kính R có độ dài 2 R và có số đo 360° chia đường tròn thành 2 R R 360 phần, 1 phần có độ dài và có số đo 1 (góc ở tâm chắn cung 360 180 R ). 180 R a R Vậy cung 1 có độ dài ; cung a có độ dài . 180 180 b. Radian STUDY TIP 2 - Cung có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 radian (cung 1 radian). Diện tích: S R Chu vi: C 2 R - Góc ở tâm chắn cung radian gọi là góc có số đo 1 radian (góc 1 radian viết tắt là 1 rad) Nhận xét: + Cung độ dài R có số đo 1 rad. + Đường tròn có độ dài 2 R có số đo 2 rad. LOVEBOOK.VN | 44
  45. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing 1 + Cung có số độ dài l có số đo rad. R + Cung có số đo rad có độ dài l .R c. Liên hệ giữ độ và rad STUDY TIP 360 2 (số đo đường tròn bán kính R) Khi viết góc theo đơn vị 180 180 rad 1 rad 5717'45'' radian ta không viết chữ rad sau số đo góc đó. 1 rad 0,0175 rad Ví dụ: thay cho 180 2 Bảng chuyển đổi một số góc lượng giác đặc biệt: rad 2 Độ 30 45 60 90 120 135 150 180 2 3 5 Rad 6 4 3 2 3 4 6 Ví dụ 1: Một đường tròn có bán kính R 10cm . Tìm số đo (rad) của cung có độ dài là 5cm. A. 1B. 3C. 2D. 0,5 Lời giải l 5 Theo công thức tính độ dài cung tròn l ta có: 0,5 rad R 10 Đáp án D. Ví dụ 2: Cho đường tròn O; R ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF. Khi đó số sso cung của đường tròn có độ dài bằng chu vi lục giác theo độ và rad lần lượt là: 1080 A. 360 và 2 B. 360 và C. và 6D. 1080 và 6 Lời giải 360 ABCDEF là lục giác đều ·AOB 60 6 OA OB AOB đều AB OA R Chu vi ABCDEF là 6R LOVEBOOK.VN | 45
  46. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Cung có độ dài 6R có số đo 6 rad 180 1080 6 rad 6. Đáp án C. 2. Cung lượng giác, góc lượng giác và số đo của chúng a. Đường tròn định hướng - Đường tròn định hướng là đường tròn mà trên đó ta đã chọn một chiều là dương, chiều ngược lại là chiều âm. - Quy ước: Chiều ngược kim đồng hồ là chiều dương, chiều thuận kim đồng hồ là chiều âm. b. Cung lượng giác - Cho hai điểm A, B trên đường tròn định hướng. M chạy trên đường tròn treo một chiều (chiều dương hoặc chiều âm) từ A tới B, ta nói M tạo nên một cung Ð lượng giác điểm đầu là A, điểm cuối là B. Kí hiệu AB c. Góc lượng giác - Khi M đi từ A tới B thì OM quay từ OA tới OB. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là OA, tia cuối là OB. Kí hiệu OA,OB . Ð - Số đo góc lượng giác OA,OB là số đo của cung lượng giác AB . Ð - Số đo cung lượng giác: Cho cung tròn AB . Nếu OM quay theo chiều dương từ Ð OA tới OB tạo ra góc thì cung AB có số đo là k2 k ¢ . Ð Kí hiệu: sđ AB . Vậy: Ð Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều dương thì: sđ AB k2 k ¢ . Ð Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều âm thì: sđ AB k2 k ¢ LOVEBOOK.VN | 46
  47. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing d. Đường tròn lượng giác Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng tâm O bán kính R 1, cắt Ox tại A 1;0 và A' 1;0 ; cắt Oy tại B 0,1 và B ' 0,1 . Ta lấy A là điểm gốc của đường tròn đó. e. Biểu diện cung lượng giác trên đường tròn lượng giác - Để biểu diễn cung , ta xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho Ð sđ AM . + Nếu 2 360 , ta chọn điểm M sao cho ·AOM (theo chiều dương). + Nếu 2 , ta viết  k2 và ta chọn điểm M sao cho ·AOM  . Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn lượng giác. M thuộc Ð đường tròn sao cho ·AOM (M thuộc góc phần tư thứ tư). Số đo AM có thể 6 là giá trị nào sau đây? 5 13 11 A. B. C. D. 6 6 6 6 Lời giải Vì M thuộc góc phần tư thứ IV và ·AOM 30 nên đây là góc tính theo chiều âm ·AOM theo chiều dương là 2 k2 k ¢ 6 11 k2 k ¢ 6 Ð 11 sđ AM k2 k ¢ 6 Vì k ¢ nên chỉ có đáp án C thỏa mãn (với k 2 ). Đáp án C. 10 Ví dụ 2: Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng): ; ; 3 3 LOVEBOOK.VN | 47
  48. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 5 7  ; . Các cung có điểm cuối cùng trùng nhau là: 3 3 A. và  B. và  C. và  D.  và  Lời giải điểm cuối là M . 3 1 10 4  2 điểm cuối là M . 3 3 3 5  2 điểm cuối là M . 3 3 1 7  2 điểm cuối là M 3 3 4 Đáp án B Ví dụ 3: Cung có điểm đầu là A và điểm cuối là M thì số đo của là: 7 7 7 7 A. k B. k C. k2 D. k2 4 4 4 4 Lời giải Cung có điểm đầu là A và điểm cuối là M theo chiều dương có số đo là 7 k2 k ¢ . 4 Đáp án D. Ví dụ 4: Cho góc lượng giác OA;OB có số đo bằng . Trong các số sau, số 12 nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác OA;OB ? 13 25 49 19 A. B. C. D. 12 12 12 12 Lời giải 13 49 + ; 4 ; 12 12 12 12 LOVEBOOK.VN | 48
  49. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing 25 19 7 + 2 ; . 12 12 12 12 Đáp án C. B. Các dạng toán điển hình Ví dụ 4: Đổi số đo cung sau sang radian: 70 (làm tròn đến hàng phần nghìn). A. 2,443B. 1,222C. 2,943D. 1,412 Lời giải Cách 1: Dùng công thức đổi từ độ sang radian a 70 a rad 70 rad 1,222 rad 180 180 Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi: - Chuyển sang chế độ Radian: - Sau đó ấn: Đáp án B. 5 Ví dụ 2: Đổi số đo cung sau sang độ, phút, giây: rad . 6 A. 4744'47'' B. 3733'37'' C. 150 D. 30 Lời giải 180 5 5 180 Cách 1: Dùng công thức: a rad = a.  rad=  6 6 Chuyển đổi sang độ, phút, giây bằng máy tính. 5.180 Nhập biểu thức vào máy tính, sau đó ấn ta được kết quả là A. 6 Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi: - Chuyển sang chế độ: Sau đó ẩn: Đáp án A. LOVEBOOK.VN | 49
  50. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 3: Trên đường tròn lượng giác lấy điểm M sao cho ·AOM 150 . Tính Ð diện tích hình giới hạn bởi điểm O và AM có thể là: 5 5 5 5 A. (đvdt)B. (đvdt) C. (đvdt)D. (đvdt) 3 6 9 12 Lời giải 2 Diện tích hình tròn lượng giác là: S0 R (đvdt) Ð sđ AM 150 k360 ·AOM 150 (k ¢ ) Ð sđ AM 360 150 k360 210 k360 Ð 150 5 + sđ AM 150 S tp 360 12 Ð 210 7 + sđ AM 210 S tp 360 12 Ð Ð 5 + sđ AM 360 hoặc sđ AM 360 S (đvdt) 12 Đáp án D. Ví dụ 4: Trên đường tròn lượng giác lấy 4 điểm M1;M 2 ;M 3;M 4 sao cho ngũ Ð giác AM1M 2M 3M 4 là ngũ giác đều, sđ AM 3 là: A. 27 B. 144 C. 60 D. 120 Lời giải Vì AM1M 2M 3M 4 là ngũ giác đều nên 360 ·AOM M· OM M· OM M· OM M· OA 72 1 1 2 2 3 3 4 4 5 Ð · · · sđ AM 3 AOM 3 AOM 4 M 3OM 4 144 Nếu M1, M 2 , M 3 , M 4 sắp xếp theo thứ tự ngược lại, ta vẫn có đáp án không đổi. Đáp án B. Ví dụ 5: Trên đường tròn lượng giác, số tập hợp n điểm M1, M 2 , , M n thỏa mãn n điểm đó tạo thành một đa giác đều là: A. 0B. 1 C. 2 D. vô số LOVEBOOK.VN | 50
  51. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing Lời giải Để M1M 2 M n là đa giác đều thì STUDY TIP 2 M· OM M· OM M· OM M· OM M· OM Tập hợp n điểm tạo 1 2 2 3 3 4 n 1 n n 1 n thành 1 đa giác đều trên Tập hợp các điểm cần tìm là tập hợp các điểm M thỏa mãn: đường tròn lượng giác là Ð 2 tập hợp các điểm M thỏa sđ AM k k ¢ mãn: n Ð 2 Vì là góc bất kì nên có vô số tập hợp n điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. sđ AM k k ¢ n Đáp án D. Ð Ví dụ 6: Trên đường tròn lượng giác, cho cung lượng giác sđ AM có số đo 8,18 . Hỏi M nằm ở goác phần tư thứ mấy? A. IB. IIC. IIID. IV Lời giải Ta có: 8,18 2,6 3 8,18 2,5 4 8,18 1,5 4 3 M nằm ở góc phần tư thứ III (M nằm giữa điểm và ) 2 Ð Lưu ý: trên đường tròn lượng giác cho cung lượng giác AM có số đo . Với k ¢ ta có: + M nằm trong góc phần tư thứ nhất khi k2 k2 2 + M nằm trong góc phần tư thứ hai khi k2 k2 2 3 + M nằm trong góc phần tư thứ ba khi k2 k2 2 3 + M nằm trong góc phần tư thứ tư khi k2 2 k2 2 Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 51
  52. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ð Ví dụ 7: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M xác định bởi sđ AM  . Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua đường thẳng d thỏa mãn đường thẳng này cắt Ð đường tròn tại D (D có tung độ không âm) và ·AOD 0 . Cung AM Ð có số đo   . Khi đó số đo của cung lượng giác AM1 là: A. 2  k2 B. 2  k2 C. 2 k2 D. 2 k2 Lời giải Dễ thấy đường thẳng d là trục đối xứng của đường tròn nên M1 đối xứng với M qua d cũng thuộc đường tròn lượng giác. STUDY TIP Gọi giao điểm của d với O là D yD 0 Với M1 đối xứng với M Ð Ð Vì M đối xứng với M qua d sđ AM sđ DM qua d. d cắt O tại D 1 1 tung độ không âm) và Ð Ð Ð Ð Ð Ta có: MD AD AM sđ MD  sđ DM1  ·AOD ; sđ Ð Ð Ð Ð Ð AM   Lại có : AM1 AD DM1 sđ AM1  2  Thì số sđ Ð Ð sđ AM1 2  k2 AM 1 2  k2 Đây là trường hợp với 0 90,  có giá trị dương. Những trường hợp khác chứng minh tương tự ta vẫn có kết quả như trên Đáp án A. Ví dụ 8: Chọn điểm A 1;0 làm điểm đầu cung lượng giác trên đường tròn 27 lượng giác. Tìm điểm cuối M của cung lượng giác có số đo . 4 A. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ nhất B. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ hai C. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ ba D. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ tư Lời giải Ð 27 3 3 sđ AM 6 ·AOM 4 4 4 LOVEBOOK.VN | 52
  53. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing M là điểm chính giữa cung phần tư thứ hai. Đáp án B. Ví dụ 9: Một đường tròn bán kính 20cm. Tính độ dài cung trên đường tròn có số đo (tính gần đúng đến hàng phần trăm). 16 A. 3,92B. 3,93C. 24,67D. 24,68 Lời giải Cung có số đo 1 rad có độ dài là R 20cm Cung có số đo rad có độ dài là: R 3,93cm . 16 16 Đáp án B. Ví dụ 10: Khi biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn trên lượng giác. Khẳng định nào dưới đây là sai? A. Điểm biểu diễn cung và cung đối xứng qua trục tung B. Điểm biểu diễn cung và cung đối xứng nhau qua gốc tọa độ C. Mỗi cung lượng giác được biểu diễn bởi một điểm duy nhất D. Cung và cung a k2 k ¢ có cùng điểm biểu diễn Lời giải Điểm biểu diễn của cung và cung đối xứng nhau qua trục hoành. Đáp án B. 5 Ví dụ 11: Cho 2 góc lượng giác có sđ Ox;Ou m2 và sđ 2 Ox;Ov n2 m,n ¢ . Chọn khẳng định đúng. 2 A. Ou và Ov đối xứng B. Ou và Ov vuông góc C. Ou và Ov trùng nhau D. Ou và Ov tạo với nhau một góc 4 Lời giải LOVEBOOK.VN | 53
  54. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 5 Ta có: sđ Ox;Ou m2 2 m2 m 1 2 với m ¢ 2 2 2 Vậy n m 1 Do đó Ou và Ov trùng nhau. Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 54
  55. Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình The Best or Nothing Ð 13 C. Bài tập rèn luyện kĩ năng mãn AN k2 . Gọi M ' là điểm đối 12 Xem đáp án chi tiết tại trang 268 Ð xứng của M qua ON. Khi đó số đo AM ' là: Câu 1: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm Ð 2 A. 108 k360 B. 118 k360 M sao cho AM k2 . Khi đó diện tích 5 C. 128 k360 D. 138 k360 hình quạt OAM là: Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào 2 A. B. dưới đây không thuộc đường tròn lượng giác? 5 5 5 2 11 2 2 A. M 1;0 B. M ; C. D. Không xác định. 7 7 5 Câu 2: Trên đường tròn lượng giác, cho 3 4 1 2 C. M ; D. M ; 5 5 2 2 3 1 Ð M ; . Khi đó số đo cung AM là: 2 2 Câu 6: Tính số đo của góc hình học u· Ov , biết góc lượng giác Ou;Ov có đo bằng 1945 . A. k2 B. k2 3 3 A. 145 B. 45 C. 145 D. 235 C. k2 D. k2 · 6 6 Câu 7: Tính số đo của góc hình học uOv , biết góc lượng giác Ou;Ov có đo bằng 2550 . Câu 3: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm 3 M thỏa mãn k2 . Khi đó gọi M ', M '' lần A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 5 Câu 8: Trong các khẳng định sau, khẳng định lượt là điểm đối xứng của M qua Ox, Oy. Gọi Ð nào đúng? AM ' k2 ; Ð A. Góc lượng giác Ou;Ov có số đo dương AM ''  k2 0 ,  2 . Giá trị  thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu và tia cuối là: với nó có số đo dương 9 7 A. 2 B. C. D. B. Góc lượng giác Ou;Ov có số đo dương 5 5 5 thì mọi góc lượng giác Ou;Ov có số đo âm Câu 4: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm Ð 7 M thỏa mãn AM k2 , điểm N thỏa 5 LOVEBOOK.VN | 55
  56. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book · · 2 5 C. Hai góc hình học uOv;u 'Ov ' bằng nhau thì A. B. C. D. 3 3 6 6 số đo của các góc lượng giác Ou;Ov và 68 Ou ';Ov ' sai khác nhau bội nguyên 2 Câu 12: Đổi số đo rad thành số đo độ ta 5 11 được: D. Số đo Ou;Ov và số đo 6 A. 2484 B. 4896 C. 2448 D. 4243 13 Ou ';Ov ' thì u· Ov u· 'Ov ' 6 Câu 9: Cho đường tròn bán kính R 2m . Khi đó độ dài cung có số đo 30 là: 2 5 A. m B. m C. m D. m 3 3 6 6 Câu 10: Trong các hình sau, có bao nhiêu hình Ð có tan AM không xác định? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 11: Góc 120 có số đo bằng radian là: LOVEBOOK.VN | 56