Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chương 3 - Chuyên đề 5: Elip - Bài 5: Đường Elip - Đặng Việt Đông

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chương 3 - Chuyên đề 5: Elip - Bài 5: Đường Elip - Đặng Việt Đông

1. Chương 3 CHUYÊN ĐỀ 5 ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1)Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c(c > 0) và hằng số a > c . Elip(E) là tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 = 2a . Các điểm F1, F2 là tiêu điểm của (E). Khoảng cách F1F2 = 2c là tiêu cự của (E). MF1, MF2 được gọi là bán kính qua tiêu. 2) Phương trình chính tắc của elip: y B2 Với F1 (- c;0), F2 (c;0): M x 2 y2 A1 A2 b2 = a2 - c2 M x;y Î E Û + = 1 1 trong đó ( ) ( ) 2 2 ( ) (1) được gọi là phươnga trìnhb chính tắc của (E) F1 O F2 x 3) Hình dạng và tính chất của elip: B1 Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Hình 3.3 + Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 (- c;0), tiêu điểm phải F2 (c;0) + Các đỉnh : A1 (- a;0), A2 (a;0), B1 (0;- b), B2 (0;b) + Trục lớn : A1A2 = 2a , nằm trên trục Ox; trục nhỏ :B1B2 = 2b , nằm trên trục Oy + Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x = ±a,y = ±b gọi là hình chữ nhật cơ sở. c + Tâm sai : e = < 1 a + Bán kính qua tiêu điểm của điểm M (xM ;yM ) thuộc (E) là: c c MF = a + ex = a + x , MF = a - ex = a - x 1 M a M 2 M a M Câu 1. Khái niệm nào sau đây định nghĩa về elip? A. Cho điểm F cố định và một đường thẳng cố định không đi qua F . Elip E là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến F bằng khoảng cách từ M đến . B. Cho F1, F2 cố định với F1F2 2c, c 0 . Elip E là tập hợp điểm M sao cho MF1 MF2 2a với a là một số không đổi và a c . C.Cho F1, F2 cố định với F1F2 2c, c 0 và một độ dài 2a không đổi a c . Elip E là tập hợp các điểm M sao cho M P MF1 MF2 2a . D. Cả ba định nghĩa trên đều không đúng định nghĩa của Elip. Lời giải Chọn C 1
2. Định nghĩa về Elip là: Cho F1, F2 cố định với F1F2 2c, c 0 và một độ dài 2a không đổi a c . Elip E là tập hợp các điểm M sao cho M P MF1 MF2 2a . Câu 2. Dạng chính tắc của Elip là x2 y2 x2 y2 A. 1.B. 1.C. y2 2 px .D. y px2 . a2 b2 a2 b2 Lời giải Chọn A x2 y2 Dạng chính tắc của Elip là 1. (Các bạn xem lại trong SGK). a2 b2 x2 y2 Câu 3. Cho Elip E có phương trình chính tắc là 1, với a b 0 . Khi đó khẳng định nào a2 b2 sau đây đúng? 2 2 2 A. Nếu c a b thì E có các tiêu điểm là F1 c;0 , F2 c;0 . 2 2 2 B. Nếu c a b thì E có các tiêu điểm là F1 0;c , F2 0; c . 2 2 2 C. Nếu c a b thì E có các tiêu điểm là F1 c;0 , F2 c;0 . 2 2 2 D. Nếu c a b thì E có các tiêu điểm là F1 0;c , F2 0; c . Lời giải Chọn C. Xem lại sách giáo khoA. x2 y2 Câu 4. Cho Elip E có phương trình chính tắc là 1, với a b 0 . Khi đó khẳng định nào a2 b2 sau đây đúng? c A. Với c2 a2 b2 c 0 , tâm sai của elip là e . a a B. Với c2 a2 b2 c 0 , tâm sai của elip là e . c c C. Với c2 a2 b2 c 0 , tâm sai của elip là e . a a D. Với c2 a2 b2 c 0 , tâm sai của elip là e . c Lời giải Chọn A Xem kiến thức sách giáo khoA. x2 y2 Câu 5. Cho Elip E có phương trình chính tắc là 1, với a b 0 . Khi đó khẳng định nào a2 b2 sau đây sai? A. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục lớn là A1 a;0 , A1 a;0 . B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục nhỏ là B1 0;b , A1 0; b . C. Với c2 a2 b2 c 0 , độ dài tiêu cự là 2c . a D. Với c2 a2 b2 c 0 , tâm sai của elip là e . c Lời giải Chọn D. a Với c2 a2 b2 c 0 , tâm sai của elip là e . c 2
3. x2 y2 Câu 6. Cho Elip E có phương trình chính tắc là 1, với a b 0 và c2 a2 b2 c 0 . a2 b2 Khi đó khẳng định nào sau đây đúng? c.x A. Với M x ; y E và các tiêu điểm là F c;0 , F c;0 thì MF a M , M M 1 2 1 a c.x MF a M . 2 a c.x B. Với M x ; y E và các tiêu điểm là F c;0 , F c;0 thì MF a M , M M 1 2 1 a c.x MF a M . 2 a c.x C. Với M x ; y E và các tiêu điểm là F c;0 , F c;0 thì MF a M , M M 1 2 1 a c.x MF a M . 2 a c.x D. Với M x ; y E và các tiêu điểm là F c;0 , F c;0 thì MF a M , M M 1 2 1 a c.x MF a M . 2 a Lời giải Chọn B Xem lại kiến thức sách giáo khoA. x2 y2 Câu 7. Cho Elip E có phương trình chính tắc là 1, với a b 0 và c2 a2 b2 c 0 . a2 b2 Khi đó khẳng định nào sau đây đúng? a a A. Các đường chuẩn của E là : x 0 và : x 0 , với ( e là tâm sai của E ). 1 e 2 e a a B. Elip E có các đường chuẩn là : x 0 , : x 0 và có các tiêu điểm là 1 e 2 e MF MF F c;0 , F c;0 thì 1 2 1. 1 2 d d M ; 1 M ; 2 a a C. Elip E có các đường chuẩn là : x 0 , : x 0 và có các tiêu điểm là 1 e 2 e MF MF a F c;0 , F c;0 thì 1 2 . 1 2 d d c M ; 1 M ; 2 a a D. Elip E có các đường chuẩn là : x 0 , : x 0 , các tiêu điểm là 1 e 2 e MF MF F c;0 , F c;0 và 1 2 1. 1 2 d d M ; 1 M ; 2 Lời giải Chọn A. Xem lại sách giáo khoA. x2 y2 Câu 8. Cho elíp E : 1 và đường thẳng : Ax By C 0 .Điều kiện cần và đủ để đường a2 b2 thẳng tiếp xúc với elíp E là A. a2 A2 b2 B2 C 2 . B. a2 A2 b2 B2 C 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C. a A b B C D.b B a A C 3
4. Lời giải Chọn A. Lý thuyết. x2 y2 Câu 9. Elip (E): 1 có tâm sai bằng bao nhiêu? 25 9 4 5 5 3 A. . B. .C. . D. . 5 4 3 5 Lời giải Chọn A. x2 y2 Phương trình chính tắc của elip có dạng E : 1 a,b 0 . a2 b2 2 a 25 a 5 2 b 9 b 3 2 2 2 c 4 c a b c 4 Vậy tâm sai của Elip e a 5 x2 y2 Câu 10. Đường Elip 1 có tiêu cự bằng : 16 7 9 6 A.3. B. 6 .C. .D. . 16 7 Lời giải Chọn B. x2 y2 Phương trình chính tắc của elip có dạng E : 1 a,b 0 . a2 b2 a2 16 a 4 2 b 7 b 7 . 2 2 2 c 3 c a b Vậy: Tiêu cự của Elip F1F2 2c 2.3 6 . Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho elip E có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục bé bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip E x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1.B. 1.C. 1.D. 0 . 144 36 9 36 36 9 144 36 Lời giải Chọn C. x2 y2 Phương trình chính tắc của elip có dạng E : 1 a,b 0 . a2 b2 x2 y2 Ta có a 6 , b 3 , vậy phương trình của Elip là: 1. 36 9 1 Câu 12. Tìm phương trình chính tắc của Elip có tâm sai bằng và trục lớn bằng 6 . 3 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1.B. 1.C. 1.D. 1. 9 3 9 8 9 5 6 5 Lời giải Chọn B. 4
5. x2 y2 Phương trình chính tắc của Elip có dạng 1 a b 0 . a2 b2 1 c 1 Theo giả thiết: e a 3c và 2a 6 a 3 c 1 3 a 3 Khi đó: a2 b2 c2 32 b2 1 b2 8 b 2 2 x2 y2 Vậy phương trình chính tắc của Elip là: 1. 9 8 Câu 13. Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là x 4 0 và một tiêu điểm là 1;0 . x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1.B. 1.C. 0 .D. 1. 4 3 16 15 16 9 9 8 Lời giải Chọn B. x2 y2 Phương trình chính tắc của Elip có dạng 1 a b 0 . a2 b2 Theo giả thiết: Elip có một đường chuẩn là x 4 0 nên a 4 và một tiêu điểm là điểm 1;0 nên c 1. Do đó: b a2 c2 15 . x2 y2 Vậy phương trình chính tắc của Elip là: 1. 16 15 Câu 14. Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A 0;5 . x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1.B. 1.C. 1.D. 1. 100 81 34 25 25 9 25 16 Lời giải Chọn B. x2 y2 Phương trình chính tắc của elip có dạng 1 a,b 0 . a2 b2 02 52 Theo giả thiết: 2c 6 c 3. Vì A 0;5 E nên ta có phương trình: 1 b 5 . a2 b2 Khi đó: a2 b2 c2 a2 52 32 a2 34 a 34 . x2 y2 Vậy phương trình chính tắc của Elip là: 1. 34 25 Câu 15. Cho Elip có phương trình : 9x2 25y2 225 . Lúc đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng A.15. B. 40. C. 60. D.30. Lời giải Chọn C. x2 y2 9x2 25y2 225 1. 25 9 Từ đây, ta được a 5, b 3. Diện tích hình chữ nhật cơ sở là S 2a.2b 60. x2 y2 Câu 16. Cho Elip E : 1. Với M là điểm bất kì nằm trên E , khẳng định nào sau đây là 16 9 khẳng định đúng ? A. 4 OM 5. B.OM 5. C.OM 3. D.3 OM 4. Lời giải Chọn D. x2 y2 Từ E : 1, suy ra a 4,b 3. 16 9 5
6. Với một điểm bất kì trên E , ta luôn có b OM a 3 OM 4. Câu 17. Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4 3 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1.C. 1.D. 1. 36 9 36 24 24 6 16 4 Lời giải Chọn D. x2 y2 Phương trình chính tắc của Elip có dạng 1 a b 0 . a2 b2 Theo giả thiết: 2a 2.2b a 2b và 2c 4 3 c 2 3 Khi đó: a2 b2 c2 2b 2 b2 12 3b2 12 0 b 2 a 4 . x2 y2 Vậy phương trình chính tắc của Elip là: 1. 16 4 Câu 18. Cho elip E : x2 4y2 1 và cho các mệnh đề: I E có trục lớn bằng 4 II E có trục nhỏ bằng 1 3 III E có tiêu điểm F 0; IV E có tiêu cự bằng 3 1 2 Trong các mệnh đề trên, tìm mệnh đề đúng? A. I .B. II và IV . C. I và III .D. IV . Lời giải Chọn B. 2 2 2 a 1 a 1 2 2 x y 2 2 3 E : x 4y 1 1 1 c a b . 1 2 1 1 b b 2 4 4 2 3 Vậy, E có trục lớn bằng 2a 2 , có trục nhỏ bằng 2b 1, có tiêu điểm F ;0 , có tiêu 1 2 cự bằng 2c 3 . Câu 19. Phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm A 2; 2 là x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 24 6 36 9 16 4 20 5 Lời giải Chọn D. x2 y2 Phương trình chính tắc của elip có dạng 1 a,b 0 . a2 b2 Theo đề bài, ta được hệ 2 2 2 2 a 2b a 4b a 4b 2 a 20 x2 y2 4 4 4 4 5 . Suy ra: E : 1. 1 2 20 5 2 2 2 2 1 2 1 b 5 a b a b b x2 y2 Câu 20. Đường thẳng nào dưới đây là 1 đường chuẩn của Elip 1 20 15 A. x 4 5 0 .B. x 4 0 .C. x 2 0.D. x 4 0. Lời giải Chọn A. x2 y2 Ta có: 1. 20 15 6
7. a2 20 a 2 5 2 b 15 b 15 2 2 2 c a b c 5 x2 y2 a a a2 20 Vậy đường chuẩn của Elip 1 là x 4 5 x 4 5 0 20 15 e c c 5 a x2 y2 Câu 21. Cho Elip E : 1 và điểm M nằm trên E Nếu điểm M có hoành độ bằng 1 thì 16 12 các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của E bằng : 2 A. 4 2 .B. 3 và 5 .C. 3,5 và 4,5 . D. 4 . 2 Lời giải Chọn C. Ta có: a 4;b 12 c 2 . 1.2 1.2 Sử dụng công thức bán kính qua tiêu MF 4 3.5, MF 4 4,5. 1 4 2 4 x2 y2 Câu 22. Cho elip E : 1 và cho các mệnh đề : 25 9 (I) E có tiêu điểm F1 – 3;0 và F2 3; 0 . c 4 (II) E có tỉ số . a 5 (III) E có đỉnh A1 –5; 0 . (IV) E có độ dài trục nhỏ bằng 3. Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào sai ? A. I và II . B. II và III . C. I và III. D. IV và I. Lời giải Chọn C. Từ phương trình của elip, ta có a 5 , b 3 , c 4 suy ra các mệnh đề sai là (I) và (IV). 2 2 Câu 23. Đường thẳng qua M 1 ;1 và cắt elíp E : 4x 9y 36 tại hai điểm M1, M2 sao cho MM1 MM2 có phương trình là: A. 2x 4y – 5 0 .B. 4x 9y – 13 0 . C. x y 5 0 . D.16x – 15y 100 0 . Lời giải Chọn B. x1 x2 2 Gọi M1 x1; y1 ; M2 x2; y2 . Ta có M là trung điểm của M2 M1 . y1 y2 2 2 2 4x 9y 36 Ta có 1 1 4 x x 9 y y 0 2 2 2 1 2 1 4x 9y 36 1 1 Vậy n 4;9 là vectơ pháp tuyên của M1M2 . Vậy phương trình M1M2 là : 4x 9y – 13 0 . 12 Câu 24. Một elip có trục lớn bằng 26 , tâm sai e . Trục nhỏ của elip có độ dài bằng bao nhiêu? 13 A.10. B.12. C. 24. D. 5. 7
8. Lời giải Chọn A. x2 y2 Phương trình chính tắc của elip có dạng E : 1 a,b 0 . a2 b2 12 Độ dài trục lớn 2a 26 a 13, tâm sai e c 12 . Trục nhỏ 2b 2 a2 c2 10 . 13 x2 y2 Câu 25. Đường Elip 1 có tiêu cự bằng : 5 4 A. 2. B. 4. C. 9. D.1. Lời giải Chọn B. Ta có c 2 2c 4 . x2 y2 Câu 26. Cho Elip E : 1 và điểm M nằm trên E . Nếu điểm M có hoành độ bằng 13 169 144 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của E bằng : A.8; 18 .B. 13 5 .C. 10;16. D.13 10 . Lời giải Chọn A. Ta có a 13 , b 12 c 5 c c Vậy MF a x 18 ; MF a x 8 . 1 a M 2 a M Câu 27. Cho elíp có phương trình 16x2 25y2 100 . Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc elíp có hoành độ x 2 đến hai tiêu điểm. A.10 B. 2 2 C.5 D. 4 3 Lời giải Chọn C. x2 y2 Phương trình chính tắc của elip có dạng E : 1 a,b 0 . a2 b2 5 Ta có : a , b 2 , c 6 . 2 5 6 5 6 sử dụng công thức bán kính qua tiêu MF .2 , MF .2 1 2 2 2 2 2 MF1 MF2 5 . Câu 28. Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M 4;3 . x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 16 9 16 9 16 4 4 3 Lời giải Chọn B. x2 y2 Phương trình chính tắc của elip có dạng E : 1 a,b 0 . a2 b2 Một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M 4;3 , suy ra a 4, b 3 . x2 y2 Phương trình E : 1. 16 9 x2 y2 Câu 29. Đường thẳng y kx cắt Elip 1 tại hai điểm a2 b2 A.Đối xứng nhau qua trục Oy .B.Đối xứng nhau qua trục Ox . 8
9. C.Đối xứng nhau qua gốc toạ độ O .D.Đối xứng nhau qua đường thẳng y 1. Lời giải Chọn C. Đường thẳng y kx là đường thẳng đi qua gốc toạ độ nên giao điểm của đường y kx với Elip đối xứng nhau qua gốc toạ độ. x2 y2 Câu 30. Cho Elip E : 1. Đường thẳng d : x 4 cắt E tại hai điểm M , N . Khi đó: 25 9 9 18 18 9 A. MN .B. MN .C. MN .D. MN . 25 25 5 5 Lời giải Chọn C. Theo giả thiết: x 4 nên ta có phương trình: 9 9 y M 4; 2 2 2 4 y y 9 81 5 5 1 y2 25 9 9 25 25 9 9 y N 4; 5 5 2 2 9 9 18 Khi đó: MN 4 4 . 5 5 5 Câu 31. Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn một Elip có khoảng cách giữa các 50 đường chuẩn là và tiêu cự bằng 6 ? 3 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1.B. 1.C. 1.D. 1. 64 25 89 64 25 16 16 7 Lời giải Chọn C. x2 y2 Phương trình chính tắc của elip có dạng E : 1 a,b 0 . a2 b2 Tiêu cự bằng 6 2c 6 c 3 Loại A và B. a c Đường chuẩn của Elip có dạng x 0 , mà e e a a2 nên đường chuẩn của Elip còn được viết dưới dạng x 0 c 25 Từ đáp án C suy ra: a 5 các đường chuẩn là: x 0 . Dễ thấy khoảng cách giữa 2 3 50 đường chuẩn này là . 3 Câu 32. Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là x 5 0 và đi qua điểm 0; 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1.B. 1. C. 1.D. 1. 16 12 20 4 16 10 20 16 Lời giải Chọn B. x2 y2 Phương trình chính tắc của elip có dạng E : 1 a,b 0 . a2 b2 a a2 Elip có một đường chuẩn là x 5 0 nên 5 5 a2 5c e c 4 Mặt khác Elip đi qua điểm 0; 2 nên 1 b2 4 b2 9
10. c 1 a2 5 Ta có: c2 a2 b2 c2 5c 4 c2 5c 4 0 . 2 c 4 a 20 x2 y2 Phương trình chính tắc của Elip 1. 20 4 Câu 33. Đường tròn và elip có phương trình sau đây có bao nhiêu giao điểm: C : x2 y2 – 9 0, E : x2 y2 1. 9 4 A. 4.B. 1.C. 2.D. 3. Lời giải Chọn D. x2 y2 9 x2 9 x 3 Xét hệ 2 2 . x y 2 1 y 0 y 0 9 4 Câu 34. Viết phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm là A 0; 2 và một đường chuẩn x 5 0 ? x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. + 1.B. 1.C. 1.D. + 1. 29 4 16 12 20 16 16 10 Lời giải Chọn A. x2 y2 Phương trình chính tắc của elip có dạng E : 1 a,b 0 . a2 b2 Do E đi qua điểm là A(0; 2) và có một đường chuẩn x 5 0 nên ta có 4 1 b2 b2 4 . a2 a2 5c 5 c x2 y2 Câu 35.Cho elip có phương trình: 1. M là điểm thuộc E sao cho MF MF . Khi đó tọa 16 4 1 2 độ điểm M là: A. M1 0;1 , M 2 0; 1 .B. M1(0;2) , M 2 (0; 2) . C. M1( 4;0) , M 2 (4;0) .D. M1(0;4) , M 2 (0; 4) . Lời giải Chọn B. x2 y2 Phương trình chính tắc của elip có dạng E : 1 a,b 0 . a2 b2 Nên a 4; b 2 Vì MF1 MF2 nên M thuộc đường trung trực của F1F2 chính là trục Oy M là điểm thuộc E nên M là giao điểm của elip và trục Oy Vậy M1(0;2) , M 2 (0; 2) . x2 y2 Câu 36. Dây cung của elip E : 1 0 b a . vuông góc a2 b2 với trục lớn tại tiêu điểm có độ dài là 2 2 2 2 M 2c 2b 2a a 1 A. .B. .C. .D. . a a c c Lời giải M 10 2
11. Chọn B. Gọi dây cung đó là M1M 2 như hình vẽ. c2 y2 a2 c2 b4 b2 Giả sử M c; y y 0 , M E 1 y2 b2  y 1 1 a2 b2 a2 a2 a b2 b2 2b2 Khi đó, M1 c; , M 2 c; M1M 2 . a a a x2 y2 Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho E : 1và hai điểm A 5; 1 , B 1;1 . Điểm M 16 5 bất kì thuộc E , diện tích lớn nhất của tam giác MAB là: 9 2 A.12.B.9.C. . D. 4 2 . 2 Lời giải Chọn B  Ta có: AB 4;2 , AB 2 5 . Phương trình đường thẳng đi qua A , B : x 2y 3 0 . M 4cos ; 5 sin E 0 2 . 1 S AB.d M , . Diện tích lớn nhất khi và chỉ khi d M , lớn nhất. MAB 2 4cos 2 5 sin 3 4cos 2 5 sin 3 Ta có: d M , 5 5 2 2 4 2 5 3 9 1 d M , . Vậy S MAB AB.d M , 9. 5 5 2 3 4 Câu 38.Lập phương trình chính tắc của elip E , biếtđi qua điểm M ; và MF1F2 vuông tại M . 5 5 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1.B. 1. C. 1.D. 1. 9 4 9 36 4 9 36 9 Lời giải Chọn A. x2 y2 Phương trình chính tắc của elip có dạng E : 1 a,b 0 . a2 b2 9 16 1 Do Elip đi qua M nên 1. Lại có F· MF 90o OM F F c c 5 5a2 5b2 1 2 2 1 2 9 16 1 x2 y2 Như vậy ta có hệ điều kiện 5a2 5b2 . Giải hệ ta được a2 9;b2 4 E : 1. 2 2 9 4 a b 5 Câu 39. Lập phương trình chính tắc của elip E ,Hình chữ nhật cơ sở của E có một cạnh nằm trên đường thẳng x 2 0 và có độ dài đường chéo bằng 6. x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 4 16 4 32 32 4 9 36 Lời giải Chọn B. 11
12. x2 y2 Phương trình chính tắc của elip có dạng E : 1 a,b 0 . a2 b2 Do một cạnh của hình chữ nhật cơ sở thuộc đường thẳng x 2 0 nên có a 2 . Mặt khác a2 b2 62 b2 36 4 32 b 4 2 x2 y2 Vậy phương trình Elip là 1. 4 32 x2 Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho elíp E : y2 1 và điểm C 2;0 .Tìm tọa độ 4 các điểm A, B trên E , biết rằng hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành và ABC là tam giác đều và điểm A có tung độ dương . 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 A. và .B. và . A ; B ; A ; - B ; 7 7 7 7 7 7 7 7 2 4 3 2 4 3 C. A 2; 4 3 và A 2; 4 3 . D. và . A ; B ; 7 7 7 7 Lời giải Chọn A. Giả sử A x0 ; y0 . , Do A, B đối xứng nhau qua Ox nên B x0 ; y0 . 2 2 2 2 2 Ta có: AB 4y0 và AC x0 2 y0 . x2 x2 Vì A E nên 0 y2 1 y2 1 0 1 . 4 0 0 4 2 2 2 Vì AB AC nên x0 2 y0 4y0 2 . x0 2 y0 0 2 Thay 1 vào 2 ta được 7x0 16x0 4 0 2 4 3 . x y 0 7 0 7 2 4 3 2 4 3 Vì điểm A khác C và A có tung độ dương nên và . A ; B ; 7 7 7 7 x2 y2 Câu 41. Cho elíp E : 1 và đường thẳng d :3x 4y 12 0. Biết rằng d luôn cắt E tại 16 9 hai điểm phân biệt A , B . Tính độ dài đoạn AB . A. AB 5 .B. AB 3 . C. AB 4 .D. AB 10 . Lời giải Chọn A. 3x x2 y2 Ta có d :3x 4y 12 0 y 3 , thay vào phương trình E : 1 ta được 4 16 9 2 3x 2 3 2 2 x 4 x x 4 2 x 0 y 3 1 1 2x 8x 0 16 9 16 16 x 4 y 0 Vậy d luôn cắt E tại hai điểm phân biệt A 0;3 , B 4;0 và độ dài AB 5 . 9 9 Câu 42. N đối xứng với M 7; qua gốc toạ độ nên N 7; .Cho Elip E có các tiêu điểm 4 4 F1 4;0 , F2 4;0 và một điểm M nằm trên E biết rằng chu vi của tam giác MF1F2 bằng 18 . Lúc đó tâm sai của E là: 12
13. 4 4 4 4 A. e . B. e . C. e . D. e . 5 9 18 5 Lời giải Chọn D. x2 y2 Phương trình chính tắc của elip có dạng E : 1 a,b 0 . a2 b2 Theo giải thiết ta có c 4 , chu vi của tam giác MF1F2 bằng 18 nên c 4 MF MF F F 2a 2c 2a 2c 18 a 5 e . 1 2 1 2 a 5 x2 y2 Câu 43. Cho elíp E : 1 và đường thẳng d : x 2y 12 0 . Tìm trên E điểm M sao cho 25 9 khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là lớn nhất, nhỏ nhất. 12 61 12 61 A. d , d .B. d 12 61 , d 12 61 . 1 5 2 5 1 2 16 6 C. d , d .D. d1 16, d2 6 . 1 5 2 5 Lời giải Chọn A. x2 y2 E : 1 có độ dài nửa trục lớn a 5 và độ dài nửa trục bé b 3 25 9 Gọi là tiếp tuyến của E mà song song với d x 2y C 0, C 12 . Vì d : x 2y 12 0 tiếp xúc với E nên ta có: 1.52 2 2 .32 C 2 C 61 . Nên ta có hai tiếp tuyến của E song song với d là: 1 : x 2y 61 0 và 1 : x 2y 61 0 . 12 61 Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng d là lớn nhất là: d , khoảng cách từ 1 5 12 61 M đến đường thẳng d là bé nhất là: d 2 5 x2 y2 x2 y2 Câu 44. Cho hai elíp E : 1 và E : 1. Gọi E  E A, B,C, D Lập 1 9 4 2 16 1 1 2 phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD . A.11x2 11y2 92 0. B.11x2 11y2 1. C.11x2 11y2 92 0.D. x2 y2 92 0. Lời giải 13
14. Chọn A. x2 y2 432 1 x2 9 4 55 Xét hệ . 2 2 x y 2 28 1 y 16 1 55 Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có tâm O và bán kính 432 28 92 R x2 y2 . 55 55 11 92 Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x2 y2 11x2 11y2 92 0. 11 Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho elip E : x2 4y2 4 0.Tìm tất cả những điểm N · 0 trên elip E sao cho : F1NF2 60 ( F1, F2 là hai tiêu điểm của elip E ) 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 A. N ; hoặc N ; hoặc N ; hoặc N ; . 3 3 3 3 3 3 3 3 4 2 1 4 2 1 4 2 1 B. N ; hoặc N ; hoặc N ; . 3 3 3 3 3 3 4 2 1 4 2 1 4 2 1 C. N ; hoặc N ; hoặc N ; . 3 3 3 3 3 3 4 2 1 4 2 1 D. N ; hoặc N ; . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A. x2 - E : y2 1 a2 4,b2 1 c2 3 c 3 . 4 2 2 x0 4y0 4 3 3 - Gọi N x0 ; y0 E MF1 2 x0 ; MF2 2 x0 . Xét tam giác F1MF2 theo hệ thức 2 2 F F 2 3 1 2 2 2 2 0 lượng trong tam giác ta có: F1F2 MF1 MF2 2MF1MF2cos60 2 2 2 3 3 3 3 2 3 2 x 2 x 2 x 2 x 0 0 0 0 2 2 2 2 4 2 1 x y 3 3 0 0 2 2 9 2 2 32 3 2 1 3 12 8 x0 4 x0 x0 8 x0 y0 . 2 4 4 9 4 2 9 1 x y0 0 3 3 Vậy có tất cả 4 điểm thỏa 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 N ; hoặc N ; hoặc N ; hoặc N ; . 3 3 3 3 3 3 3 3 x2 y2 Câu 46. Viết phương trình tất cả các tiếp tuyến của elíp E : 1, biết tiếp tuyến đi qua điểm 16 9 A 4;3 . 14
15. A. d : y 3 0 và d : x 4 0. B. d : y 3 0 và d : x 4 0 . C. d : y 3 0 và d : x 4 0.D. d : y 3 0 và d : x 4 0 . Lời giải Chọn A - Giả sử đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n a;b qua A 4;3 thì d có phương trình là: a x 4 b y 3 0 * , hay: ax by 4a 3b 1 . - Để d là tiếp tuyến của E thì điều kiện cần và đủ là : a2.16 b2.9 4a 3b 2 2 2 2 2 a 0 d : y 3 0 16a 9b 16a 24ab 9b 24ab 0 . b 0 d : x 4 0 x2 y2 Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp E : 1 và hai điểm A 3; 2 , 9 4 B 3; 2 Tìm trên E điểm C sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất. A.C 0;3 .B. C 0;2 .C. C 3;0 .D. C 2;0 . Lời giải Chọn A. - A , B có hoành độ là hoành độ của 2 đỉnh của 2 bán trục lớn của E , chúng nằm trên đường thẳng y 2 0 . C có hoành độ và tung độ dương thì C nằm trên cung phần tư thứ nhất - Tam giác ABC có AB 6 cố định. Vì thế tam giác có diện tích lớn nhất khi khoảng cách từ C đến AB lớn nhất. - Dễ nhận thấy C trùng với đỉnh của bán trục lớn 0;3 . Câu 48. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm F1 4;0 , F2 4;0 và điểm A 0;3 . Điểm M thuộc E nào sau đây thỏa MF1 3MF2 . 25 551 25 551 25 551 25 551 A. M ; .B. M ; .C. M ; .D. M ; . 8 8 8 8 8 8 4 4 Lời giải Chọn B x2 y2 - Giả sử E : 1 1 . Theo giả thiết thì : c 4 c2 16 a2 b2 2 a2 b2 9 x2 y2 - E qua A 0;3 suy ra : 1 b2 9 , thay vào 2 ta có a2 25 E : 1 b2 25 9 x2 y2 - M thuộc E M x ; y 0 0 1 3 . Theo tính chất của E ta có bán kính qua tiêu 0 0 25 9 4 4 4 4 25 MF1 5 x0 , MF2 5 x0 MF1 3MF2 5 x0 3 5 x0 x0 . Thay vào 5 5 5 5 8 551 551 3 ta có y2 y . 0 82 0 8 x2 y2 Câu 49. Trong mặt phẳng Oxy cho E có phương trình : 1 . Khẳng định nào sau đây đúng? 9 4 2 A.OM MF1.MF2 là một số không đổi với F1, F2 là hai tiêu điểm của E và M E . B. F1 0; 5 , F2 0; 5 là các tiêu điểm của E . C. Độ dài trục lớn là 18. D. Các đỉnh nằm trên trục lớn là A1 0;3 và A2 0; 3 . Lời giải 15
16. Chọn A Dễ dàng thấy được B, C, D là các đáp án sai. x2 y2 Phương án A: Gọi M x ; y E 0 0 1(*) 0 0 9 4 - Theo công thức bán kính qua tiêu : 5 5 5 5 5 MF 3 x MF 3 x MF .MF 3 x 3 x 9 x2 1 0 2 0 1 2 0 0 0 3 3 3 3 9 2 2 2 2 2 2 5 2 4x0 2 x0 y0 - Vậy : OM MF1MF2 x0 y0 9 x0 9 y0 9 4 9 4 13 . 9 9 9 4 x2 y2 Câu 50. Trong mặt phẳng Oxy cho E có phương trinh: 1 .Có bao nhiêu điểm M thuộc E 9 4 o nhìn đoạn F1F2 dưới một góc 60 ? (Biết rằng F1, F2 là các tiêu điểm của elip). A. 1.B. 2.C. 3.D. 4. Lời giải Chọn D 5 5 5 5 5 Ta có : MF 3 x , MF 3 x MF .MF 3 x 3 x 9 x2 1 0 2 0 1 2 0 0 0 3 3 3 3 9 - Theo hệ thức hàm số cos ta có : 2 2 2 0 2 F1F2 MF1 MF1 2MF1MF2cos60 MF1 MF2 3MF1MF2 2 5 5 5 5 2 5 62 3 3 x 3 x 36 3 9 x2 9 x2 0 0 0 0 3 3 9 3 2 5 2 2 33 165 2 4 2 4 33 4 3 20 9 x0 x0 x0 y0 9 x0 9 3 5 5 9 9 5 9 4 3 y . 0 3 - Như vậy có 4 điểm thỏa mãn. 16