Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chủ đề: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng - Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0⁰ đến 180⁰ - Đặng Việt Đông

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chủ đề: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng - Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0⁰ đến 180⁰ - Đặng Việt Đông

1. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BÀI BẤT KỲ 1. TỪ 00 ĐẾN 1800 1. Định nghĩa Với mỗi góc a (00 £ a £ 1800 ) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho · xOM = a và giả sử điểm M có tọa độ M (x0 ; y0 ). Khi đó ta có định nghĩa: y · sin của góc a là y , kí hiệu sin a = y ; 0 0 1 · cosin của góc a là x0 , kí hiệu cosa = x0 ; M y0 y · tang của góc a là 0 (x ¹ 0), x 0 0 a x y kí hiệu tan a = 0 ; x x0 - 1 0 O 1 x0 x0 · cotang của góc a là (y0 ¹ 0), kí hiệu cot a = . y0 y0 2. Tính chất Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu x·OM = a thì · = 0 - a Ta có = = = - = Do đó xON 180 . yM yN y0 , x M xN x0 . y sin a = sin(1800 - a) cosa = - cos(1800 - a) y tan a = - tan(1800 - a) N 0 M cot a = - cot 1800 - a . ( ) a x - x0 O x0 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Giá trị a 00 300 450 600 900 1800 lượng giác 177
2. 1 2 3 sin a 0 1 0 2 2 2 3 2 1 cosa 1 0 - 1 2 2 2 1 tan a 0 1 3 P 0 3 1 cot a P 3 1 0 P 3 Trong bảng kí hiệu "P" để chỉ giá trị lượng giác không xác định. Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác. Chẳng hạn: 3 sin1200 = sin(1800 - 600 )= sin 600 = 2 2 cos1350 = cos(1800 - 450 )= - cos 450 = - . 2 4. Góc giữa hai vectơ a) Định nghĩa r r r uur r uur r Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA = a và OB = b. r r Góc A·OB với số đo từ 00 đến 1800 được gọi là góc giữa hai vectơ a và b. Ta kí hiệu góc giữa r r r r r r r r hai vectơ a và b là (a,b). Nếu (a,b)= 900 thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu r r r r là a ^ b hoặc b ^ a. r A b r a r B r a b O r r r r b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có (a,b)= (b,a). CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 1. Giá trị cos 450 + sin 450 bằng bao nhiêu? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Câu 2. Giá trị của tan 300 + cot 300 bằng bao nhiêu? 4 1+ 3 2 A. . B. . C. . D. 2. 3 3 3 Câu 3. Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng? 178
3. 3 3 A. sin150O = - . B. cos150O = . 2 2 1 C. tan150O = - . D. cot150O = 3. 3 Câu 4. Tính giá trị biểu thức P = cos30o cos 60o - sin 30o sin 60o. 3 A. P = 3. B. P = . C. P = 1. D. P = 0. 2 Câu 5. Tính giá trị biểu thức P = sin 30o cos 60o + sin 60o cos30o. A. P = 1. B. P = 0. C. P = 3. D. P = - 3. Câu 6. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A. sin 45O + cos 45O = 2. B. sin 30O + cos 60O = 1. C. sin 60O + cos150O = 0. D. sin120O + cos30O = 0. Câu 7. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A. sin 0O + cos 0O = 0. B. sin 90O + cos 90O = 1. 3 + 1 C. sin180O + cos180O = - 1. D. sin 60O + cos 60O = . 2 Câu 8. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai? A. cos 45O = sin 45O. B. cos 45O = sin135O. C. cos30O = sin120O. D. sin 60O = cos120O. Câu 9. Tam giác ABC vuông ở A có góc Bµ= 300. Khẳng định nào sau đây là sai? 1 3 1 1 A. cos B = . B. sinC = . C. cosC = . D. sin B = . 3 2 2 2 Câu 10. Tam giác đều ABC có đường cao AH . Khẳng định nào sau đây là đúng? 3 1 3 1 A. sin B·AH = . B. cos B·AH = . C. sin A·BC = . D. sin A·HC = . 2 3 2 2 Vấn đề 2. HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU Câu 11. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? A. sin(180°- a)= - cosa. B. sin(180°- a)= - sin a. C. sin(180°- a)= sin a. D. sin(180°- a)= cosa. Câu 12. Cho a và b là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. sin a = sin b. B. cosa = - cos b. C. tan a = - tan b. D. cot a = cot b. Câu 13. Tính giá trị biểu thức P = sin 30°cos15°+ sin150°cos165°. 3 1 A. P = - . B. P = 0. C. P = . D. P = 1. 4 2 Câu 14. Cho hai góc a và b với a + b = 180° . Tính giá trị của biểu thức P = cosa cos b - sin b sin a . 179
4. A. P = 0. B. P = 1. C. P = - 1. D. P = 2. Câu 15. Cho tam giác ABC . Tính P = sin A.cos(B + C )+ cos A.sin(B + C ). A. P = 0. B. P = 1. C. P = - 1. D. P = 2. Câu 16. Cho tam giác ABC . Tính P = cos A.cos(B + C )- sin A.sin(B + C ). A. P = 0. B. P = 1. C. P = - 1. D. P = 2. Câu 17. Cho hai góc nhọn a và b phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai? A. sin a = - cos b. B. cosa = sin b. C. tan a = cot b. D. cot a = tan b. Câu 18. Tính giá trị biểu thức S = sin2 15°+ cos2 20°+ sin2 75°+ cos2 110° . A. S = 0. B. S = 1. C. S = 2. D. S = 4. Câu 19. Cho hai góc a và b với a + b = 90° . Tính giá trị của biểu thức P = sin a cos b + sin b cosa . A. P = 0. B. P = 1. C. P = - 1. D. P = 2. Câu 20. Cho hai góc a và b với a + b = 90° . Tính giá trị của biểu thức P = cosa cos b - sin b sin a . A. P = 0. B. P = 1. C. P = - 1. D. P = 2. Vấn đề 3. SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 21. Cho a là góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. sin a 0. C. tan a 0. Câu 22. Cho hai góc nhọn a và b trong đó a cot b. D. tan a + tan b > 0. Câu 23. Khẳng định nào sau đây sai? A. cos75° > cos50°. B. sin 80° > sin 50°. C. tan 45° cos100°. C. tan 85° cos125°. Câu 25. Khẳng định nào sau đây đúng? A. sin 90° cos100°. D. cos150° > cos120°. Vấn đề 4. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Câu 26. Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos2 a + sin2 a = 1? a a 1 a a 1 A. cos2 + sin2 = . B. cos2 + sin2 = . 2 2 2 3 3 3 2 a 2 a 1 æ 2 a 2 a ö C. cos + sin = . D. 5çcos + sin ÷= 5. 4 4 4 èç 5 5 ø÷ a 3 a a Câu 27. Cho biết sin = . Giá trị của P = 3sin2 + 5cos2 bằng bao nhiêu ? 3 5 3 3 180
5. 105 107 109 111 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 25 25 25 25 6 sin a - 7 cosa Câu 28. Cho biết tan a = - 3. Giá trị của P = bằng bao nhiêu ? 6 cosa + 7 sin a 4 5 4 5 A. P = . B. P = . C. P = - . D. P = - . 3 3 3 3 2 cot a + 3tan a Câu 29. Cho biết cosa = - . Giá trị của P = bằng bao nhiêu ? 3 2 cot a + tan a 19 19 25 25 A. P = - . B. P = . C. P = . D. P = - . 13 13 13 13 Câu 30. Cho biết cot a = 5. Giá trị của P = 2 cos2 a + 5sin a cosa + 1 bằng bao nhiêu ? 10 100 50 101 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 26 26 26 26 Câu 31. Cho biết 3cosa - sin a = 1 , 00 < a < 900. Giá trị của tan a bằng 4 3 4 5 A. tan a = . B. tan a = . C. tan a = . D. tan a = . 3 4 5 4 Câu 32. Cho biết 2 cosa + 2 sin a = 2 , 00 < a < 900. Tính giá trị của cot a. 5 3 2 2 A. cot a = . B. cot a = . C. cot a = . D. cot a = . 4 4 4 2 Câu 33. Cho biết sin a + cosa = a. Tính giá trị của sin a cosa. A. sin a cosa = a2. B. sin a cosa = 2a. a2 - 1 a2 - 11 C. sin a cosa = . D. sin a cosa = . 2 2 1 Câu 34. Cho biết cosa + sin a = . Giá trị của P = tan2 a + cot2 a bằng bao nhiêu ? 3 5 7 9 11 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 4 4 4 4 1 Câu 35. Cho biết sin a - cosa = . Giá trị của P = sin4 a + cos4 a bằng bao nhiêu ? 5 15 17 19 21 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 5 5 5 5 Vấn đề 5. GÓC GIỮA HAI VECTƠ Câu 36. Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP. Góc nào sau đây bằng 120O ? uuuur uuur uuur uuur uuuur uur uuuur uuur A. (MN,NP) B. (MO,ON ). C. (MN,OP). D. (MN, MP). uuur uuur uuur uur uur uuur Câu 37. Cho tam giác đều ABC. Tính P = cos(AB,BC )+ cos(BC,CA)+ cos(CA, AB). 3 3 3 3 3 3 A. P = . B. P = . C. P = - . D. P = - . 2 2 2 2 181
6. uuur uuur Câu 38. Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Tính (AH,BA). A. 300. B. 600. C. 1200. D. 1500. Câu 39. Tam giác ABC vuông ở A và có góc Bµ= 500. Hệ thức nào sau đây sai? uuur uuur uuur uuur A. (AB, BC )= 1300. B. (BC, AC )= 400. uuur uur uuur uur C. (AB, CB)= 500. D. (AC, CB)= 400. uuur uur Câu 40. Tam giác ABC vuông ở A và có BC = 2AC. Tính cos(AC,CB). uuur uur 1 uuur uur 1 A. cos AC,CB = . B. cos AC,CB = - . ( ) 2 ( ) 2 uuur uur 3 uuur uur 3 C. cos AC,CB = . D. cos AC,CB = - . ( ) 2 ( ) 2 uuur uuur uuur uur uur uuur Câu 41. Cho tam giác ABC . Tính tổng (AB,BC )+ (BC,CA)+ (CA, AB). A. 180o. B. 360o. C. 270o. D. 120o. uuur uuur uuur uur Câu 42. Cho tam giác ABC với Aµ= 60o . Tính tổng (AB,BC )+ (BC,CA). A. 120o. B. 360o. C. 270o. D. 240o. Câu 43. Tam giác ABC có góc A bằng 100o và có trực tâm H. Tính tổng uuur uuur uuur uuur uuur uuur (HA,HB)+ (HB,HC )+ (HC,HA). A. 360o. B. 180o. C. 80o. D. 160o. uuur uuur Câu 44. Cho hình vuông ABCD . Tính cos(AC,BA). uuur uuur 2 uuur uuur 2 A. cos AC,BA = . B. cos AC,BA = - . ( ) 2 ( ) 2 uuur uuur uuur uuur C. cos(AC,BA)= 0. D. cos(AC,BA)= - 1. uuur uuur uuur uur uuur uuur Câu 45. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng (AB, DC )+ (AD,CB)+ (CO, DC ). A. 450. B. 4050. C. 3150. D. 2250. BÀI TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 2. 1. Định nghĩa r r r r r r r Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là a.b, được xác định bởi công thức sau: r r r r r r a.b = a . b cos(a,b). 182
7. r r r r r Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng vectơ 0 ta quy ước a.b = 0. Chú ý r r r r r r r · Với a và b khác vectơ 0 ta có a.b = 0 Û a ^ b. r r r r uur · Khi a = b tích vô hướng a.a được kí hiệu là a2 và số này được gọi là bình phương vô r hướng của vectơ a. Ta có: r 2 r r r 2 a = a . a .cos 00 = a . 2. Các tính chất của tích vô hướng Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng: r r r Với ba vectơ a, b, c bất kì và mọi số k ta có: r r r r · a.b = b.a (tính chất giao hoán); r r r r r r r · a(b + c)= a.b + a.c (tính chất phân phối); r r r r r r · (ka).b = k(a.b)= a.(kb); r 2 r 2 r · a ³ 0, a = 0 Û a = 0. Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra: r r 2 r 2 r r r 2 · (a + b) = a + 2a.b + b ; r r 2 r 2 r r r 2 · (a - b) = a - 2a.b + b ; r r r r r 2 r 2 · (a + b)(a - b)= a - b . 3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng r r r ur Trên mặt phẳng tọa độ (O;i; j), cho hai vectơ a = (a1;a2 ), b = (b1;b2 ). Khi đó tích vô hướng r r a.b là: r r a.b = a1b1 + a2b2. r r r Nhận xét. Hai vectơ a = (a1;a2 ), b = (b1;b2 ) đều khác vectơ 0 vuông góc với nhau khi và chỉ khi a1b1 + a2b2 = 0. 4. Ứng dụng a) Độ dài của vectơ r Độ dài của vectơ a = (a1;a2 ) được tính theo công thức: 183
8. r 2 2 a = a1 + a2 . b) Góc giữa hai vectơ r r Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu a = (a1;a2 ) và b = (b1;b2 ) đều khác r 0 thì ta có r r r r a.b a b + a b cos a;b = r r = 1 1 2 2 . ( ) 2 2 2 2 a . b a1 + a2 . b1 + b2 c) Khoảng cách giữa hai điểm Khoảng cách giữa hai điểm A(x A ; yA ) và B(xB ; yB ) được tính theo công thức: 2 2 AB = (xB - x A ) + (yB - yA ) . CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ r r r Câu 1. Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? r r r r r r r r r r r r A. a.b = a . b . B. a.b = 0 . C. a.b = - 1. D. a.b = - a . b . r r r r r r r r r Câu 2. Cho hai vectơ a và b khác 0 . Xác định góc a giữa hai vectơ a và b khi a.b = - a . b . A. a = 1800. B. a = 00. C. a = 900. D. a = 450. r r r r r r Câu 3. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = 3, b = 2 và a.b = - 3. Xác định góc a giữa hai r r vectơ a và b. A. a = 300. B. a = 450. C. a = 600. D. a = 1200. r r r r r 2 r r r r r Câu 4. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = b = 1 và hai vectơ u = a - 3b và v = a + b 5 r r vuông góc với nhau. Xác định góc a giữa hai vectơ a và b. A. a = 900. B. a = 1800. C. a = 600. D. a = 450. r r Câu 5. Cho hai vectơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai? r r 1 ær r 2 r 2 r 2 ö r r 1 ær 2 r 2 r r 2 ö A. a.b = ça + b - a - b ÷. B. a.b = ça + b - a - b ÷. 2 èç ø÷ 2 èç ÷ø r r 1 ær r 2 r r 2 ö r r 1 ær r 2 r r 2 ö C. a.b = ça + b - a - b ÷. D. a.b = ça + b - a - b ÷. 2 èç ø÷ 4 èç ÷ø uuur uuur Câu 6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB.AC. uuur uuur uuur uuur a2 3 uuur uuur a2 uuur uuur a2 A. AB.AC = 2a2 . B. AB.AC = - . C. AB.AC = - . D. AB.AC = . 2 2 2 uuur uuur Câu 7. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB.BC. 184
9. uuur uuur uuur uuur a2 3 uuur uuur a2 uuur uuur a2 A. AB.BC = a2 . B. AB.BC = . C. AB.BC = - . D. AB.BC = . 2 2 2 Câu 8. Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Mệnh đề nào sau đây là sai? uuur uuur 1 uuur uur 1 uuur uuur a2 uuur uuur 1 A. AB.AC = a2 . B. AC.CB = - a2 . C. GA.GB = . D. AB.AG = a2 . 2 2 6 2 Câu 9. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH . Mệnh đề nào sau đây là sai? uuur uuur uuur uuur uuur uuur a2 uuur uur a2 A. AH.BC = 0. B. AB,HA = 1500. C. AB.AC = . D. AC.CB = . ( ) 2 2 uuur uuur Câu 10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có AB = AC = a. Tính AB.BC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur a2 2 uuur uuur a2 2 A. AB.BC = - a2 . B. AB.BC = a2 . C. AB.BC = - . D. AB.BC = . 2 2 uuur uuur Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = c, AC = b. Tính BA.BC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. BA.BC = b2 . B. BA.BC = c 2 . C. BA.BC = b2 + c 2 . D. BA.BC = b2 - c 2 . uur uur Câu 12. Cho tam giác ABC có AB = 2 cm, BC = 3 cm, CA = 5 cm. Tính CA.CB. uur uur uur uur uur uur uur uur A. CA.CB = 13. B. CA.CB = 15. C. CA.CB = 17. D. CA.CB = 19. uuur uuur uuur Câu 13. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Tính P = (AB + AC ).BC. c 2 + b2 c 2 + b2 + a2 c 2 + b2 - a2 A. P = b2 - c 2 . B. P = . C. P = . D. P = . 2 3 2 Câu 14. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính uuuur uuur AM.BC. uuuur uuur b2 - c 2 uuuur uuur c 2 + b2 A. AM.BC = . B. AM.BC = . 2 2 uuuur uuur c 2 + b2 + a2 uuuur uuur c 2 + b2 - a2 C. AM.BC = . D. AM.BC = . 3 2 Câu 15. Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng uur uur uuur (OA + OB).AB = 0 là A. tam giác OAB đều. B. tam giác OAB cân tại O. C. tam giác OAB vuông tại O. D. tam giác OAB vuông cân tại O. Câu 16. Cho M , N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai? uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur A. MN (NP + PQ)= MN.NP + MN.PQ . B. MP.MN = - MN.MP . uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur C. MN.PQ = PQ.MN . D. (MN - PQ)(MN + PQ)= MN 2 - PQ 2 . uuur uuur Câu 17. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB.AC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 1 A. AB.AC = a2 . B. AB.AC = a2 2. C. AB.AC = a2 . D. AB.AC = a2 . 2 2 185
10. uuur uuur uur Câu 18. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính P = AC.(CD + CA). A. P = - 1. B. P = 3a2 . C. P = - 3a2 . D. P = 2a2 . uuur uuur uuur uuur uuur Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính P = (AB + AC ).(BC + BD + BA). A. P = 2 2a. B. P = 2a2 . C. P = a2 . D. P = - 2a2 . uuur uuur Câu 20. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua C. Tính AE.AB. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AE.AB = 2a2 . B. AE.AB = 3a2 . C. AE.AB = 5a2 . D. AE.AB = 5a2 . Câu 21. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AC uuur uuuur AM = . Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tính MB.MN. 4 uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur A. MB.MN = - 4. B. MB.MN = 0. C. MB.MN = 4. D. MB.MN = 16. uuur uuur Câu 22. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = 5. Tích AB.BD. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB.BD = 62. B. AB.BD = 64. C. AB.BD = - 62. D. AB.BD = - 64. uuur uuur Câu 23. Cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính AB.AC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB.AC = 24. B. AB.AC = 26. C. AB.AC = 28. D. AB.AC = 32. Câu 24. Cho hình bình hành ABCD có AB = 8 cm, AD = 12 cm , góc A·BC nhọn và diện tích uuur uuur bằng 54 cm2 . Tính cos(AB,BC ). uuur uuur 2 7 uuur uuur 2 7 A. cos AB,BC = . B. cos AB,BC = - . ( ) 16 ( ) 16 uuur uuur 5 7 uuur uuur 5 7 C. cos AB,BC = . D. cos AB,BC = - . ( ) 16 ( ) 16 Câu 25. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và AD = a 2 . Gọi K là trung điểm của cạnh uuur uuur AD. Tính BK.AC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. BK.AC = 0. B. BK.AC = - a2 2. C. BK.AC = a2 2. D. BK.AC = 2a2 . Vấn đề 2. QUỸ TÍCH uuur uuur uuur Câu 26. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA(MB + MC )= 0 là: A. một điểm.B. đường thẳng.C. đoạn thẳng.D. đường tròn. uuur uuur uuur uuur Câu 27. Tìm tập các hợp điểm M thỏa mãn MB(MA + MB + MC )= 0 với A, B, C là ba đỉnh của tam giác. A. một điểm.B. đường thẳng.C. đoạn thẳng.D. đường tròn. uuur uuur Câu 28. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA.BC = 0 là: A. một điểm.B. đường thẳng.C. đoạn thẳng.D. đường tròn. Câu 29*. Cho hai điểm A, B cố định có khoảng cách bằng a . Tập hợp các điểm N thỏa mãn uuur uuur AN.AB = 2a2 là: A. một điểm.B. đường thẳng.C. đoạn thẳng.D. đường tròn. 186
11. Câu 30*. Cho hai điểm A, B cố định và AB = 8. Tập hợp các điểm M thỏa mãn uuur uuur MA.MB = - 16 là: A. một điểm.B. đường thẳng.C. đoạn thẳng.D. đường tròn. Vấn đề 3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ Cho tam giác ABC với ba đỉnh có tọa độ xác định A(x A ; yA ), B(xB ; yB ), C (xC ; yC ) thì æx + x y + y ö Trung điểm I của đoạn AB ¾ ¾® I ç A B ; A B ÷. èç 2 2 ø÷ æx + x + x y + y + y ö Trọng tâm G ¾ ¾® Gç A B C ; A B C ÷. èç 3 3 ø÷ uuur uuur ì ï HA.BC = 0 Trực tâm H ¾ ¾® íï uuur uur . ï îï HB.CA = 0 ïì AE 2 = BE 2 Tâm đường tròn ngoại tiếp ¾ ¾® = = Û ï E EA EB EC í 2 2 . îï AE = CE uuur uuur ì ï AK.BC = 0 Chân đường cao K hạ từ đỉnh A ¾ ¾® íï uuur uuur . ï îï BK = kBC uuur AB uuur Chân đường phân giác trong góc A là điểm D ¾ ¾® DB = - .DC. AC Chu vi: P = AB + BC + CA . 1 1 Diện tích: S = AB.AC.sin A = AB.AC. 1- cos2 A . 2 2 uuur uuur Góc A : cos A = cos(AB, AC ). uuur uuur ïì AB.AC = 0 Tam giác ABC vuông cân tại A ¾ ¾® íï . ï îï AB = AC Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(3;- 1), B(2;10), C (- 4;2). Tính tích vô uuur uuur hướng AB.AC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB.AC = 40. B. AB.AC = - 40. C. AB.AC = 26. D. AB.AC = - 26. Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3;- 1) và B(2;10). Tính tích vô hướng uuur uur AO.OB. uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur A. AO.OB = - 4. B. AO.OB = 0. C. AO.OB = 4. D. AO.OB = 16. r r r r r r Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = 4i + 6 j và b = 3i - 7 j. Tính tích vô r r hướng a.b. r r r r r r r r A. a.b = - 30. B. a.b = 3. C. a.b = 30. D. a.b = 43. r r Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (- 3;2) và b = (- 1;- 7). Tìm tọa độ 187
12. r r r r r vectơ c biết c.a = 9 và c.b = - 20. r r r r A. c = (- 1;- 3). B. c = (- 1;3). C. c = (1;- 3). D. c = (1;3). r r r Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a = (1;2), b = (4;3) và c = (2;3). r r r Tính P = a.(b + c). A. P = 0. B. P = 18. C. P = 20. D. P = 28. r r Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (- 1;1) và b = (2;0). Tính cosin của góc r r giữa hai vectơ a và b. r r 1 r r 2 A. cos(a,b)= . B. cos(a,b)= - . 2 2 r r 1 r r 1 C. cos(a,b)= - . D. cos(a,b)= . 2 2 2 r r Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (- 2;- 1) và b = (4;- 3). Tính cosin của r r góc giữa hai vectơ a và b. r r 5 r r 2 5 A. cos a,b = - . B. cos a,b = . ( ) 5 ( ) 5 r r 3 r r 1 C. cos a,b = . D. cos a,b = . ( ) 2 ( ) 2 r r Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (4;3) và b = (1;7). Tính góc a giữa r r hai vectơ a và b. A. a = 90O. B. a = 60O. C. a = 45O. D. a = 30O. ur ur Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ x = (1;2) và y = (- 3;- 1). Tính góc a ur ur giữa hai vectơ x và y. A. a = 45O. B. a = 60O. C. a = 90O. D. a = 135O. r r Câu 40. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (2;5) và b = (3;- 7). Tính góc a giữa r r hai vectơ a và b. A. a = 30O. B. a = 45O. C. a = 60O. D. a = 135O. r Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ a = (9;3). Vectơ nào sau đây không vuông góc r với vectơ a ? ur ur ur uur A. v1 = (1;- 3). B. v2 = (2;- 6). C. v3 = (1;3). D. v4 = (- 1;3). Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;2), B(- 1;1) và C (5;- 1). Tính cosin uuur uuur của góc giữa hai vectơ AB và AC. uuur uuur 1 uuur uuur 3 A. cos AB, AC = - . B. cos AB, AC = . ( ) 2 ( ) 2 188
13. uuur uuur 2 uuur uuur 5 C. cos AB, AC = - . D. cos AB, AC = - . ( ) 5 ( ) 5 Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(6;0), B(3;1) và C (- 1;- 1). Tính số đo góc B của tam giác đã cho. A. 15O. B. 60O. C. 120O. D. 135O. Câu 44. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(- 8;0), B(0;4), C (2;0) và D(- 3;- 5). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hai góc B·AD và B·CD phụ nhau.B. Góc B·CD là góc nhọn. uuur uuur uur uuur C. cos(AB, AD)= cos(CB,CD). D. Hai góc B·AD và B·CD bù nhau. r 1 r r r r r Câu 45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = i - 5 j và v = ki - 4 j. Tìm k để 2 r r vectơ u vuông góc với v. A. k = 20. B. k = - 20. C. k = - 40. D. k = 40. r 1 r r r r r Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = i - 5 j và v = ki - 4 j. Tìm k để 2 r r vectơ u và vectơ v có độ dài bằng nhau. 37 37 37 5 A. k = . B. k = . C. k = ± . D. k = . 4 2 2 8 r r r r r Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a = (- 2;3), b = (4;1) và c = ka + mb với r r r k, m Î ¡ . Biết rằng vectơ c vuông góc với vectơ (a + b). Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2k = 2m. B. 3k = 2m. C. 2k + 3m = 0. D. 3k + 2m = 0. r r ur Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (- 2;3) và b = (4;1). Tìm vectơ d biết r ur r ur a.d = 4 và b.d = - 2 . ur æ5 6ö ur æ 5 6ö ur æ5 6ö ur æ 5 6ö A. d = ç ; ÷. B. d = ç- ; ÷. C. d = ç ;- ÷. D. d = ç- ;- ÷. èç7 7ø÷ èç 7 7ø÷ èç7 7÷ø èç 7 7ø÷ r r r r r Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ u = (4;1), v = (1;4) và a = u + m.v với r m Î ¡ . Tìm m để a vuông góc với trục hoành. A. m = 4. B. m = - 4. C. m = - 2. D. m = 2. r r Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = (4;1) và v = (1;4). Tìm m để vectơ r r r r r r a = m.u + v tạo với vectơ b = i + j một góc 450. 1 1 1 A. m = 4. B. m = - . C. m = - . D. m = . 2 4 2 Vấn đề 4. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách giữa hai điểm M (1;- 2) và N (- 3;4). A. MN = 4. B. MN = 6. C. MN = 3 6. D. MN = 2 13. 189
14. Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;4), B(3;2), C (5;4). Tính chu vi P của tam giác đã cho. A. P = 4 + 2 2. B. P = 4 + 4 2. C. P = 8 + 8 2. D. P = 2 + 2 2. r r r 3 r 4 r r Câu 53. Trong hệ tọa độ (O;i ; j ), cho vectơ a = - i - j . Độ dài của vectơ a bằng 5 5 1 6 7 A. . B. 1. C. . D. . 5 5 5 r r Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = (3;4) và v = (- 8;6). Khẳng định nào sau đây đúng? r r r r A. u = v . B. u và v cùng phương. r r r r C. u vuông góc với v . D. u = - v. æ 3ö Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1;2), B(- 2;- 4), C (0;1) và Dç- 1; ÷. èç 2ø÷ Mệnh đề nào sau đây đúng ? uuur uuur uuur uuur A. AB cùng phương với CD. B. AB = CD . uuur uuur uuur uuur C. AB ^ CD. D. AB = CD. Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(7;- 3), B(8;4), C (1;5) và D(0;- 2). Khẳng định nào sau đây đúng? uuur uur A. AC ^ CB. B. Tam giác ABC đều. C. Tứ giác ABCD là hình vuông. D. Tứ giác ABCD không nội tiếp đường tròn. Câu 57. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(- 1;1), B(0;2), C (3;1) và D(0;- 2). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tứ giác ABCD là hình bình hành. B. Tứ giác ABCD là hình thoi. C. Tứ giác ABCD là hình thang cân. D. Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn. Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 1;1), B(1;3) và C (1;- 1). Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Tam giác ABC đều.B. Tam giác ABC có ba góc đều nhọn. C. Tam giác ABC cân tại B .D. Tam giác ABC vuông cân tại A . Câu 59. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(10;5), B(3;2) và C (6;- 5). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC đều.B. Tam giác ABC vuông cân tại A . C. Tam giác ABC vuông cân tại B .D. Tam giác ABC có góc A tù. Câu 60. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 2;- 1), B(1;- 1) và C (- 2;2). Khẳng định nào sau đây là đúng? 190
15. A. Tam giác ABC đều.B. Tam giác ABC vuông cân tại A . C. Tam giác ABC vuông tại B .D. Tam giác ABC vuông cân tại C . Vấn đề 5. TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Câu 61. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(- 2;4) và B(8;4). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại C. A. C (6;0). B. C (0;0), C (6;0). C. C (0;0). D. C (- 1;0). Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2) và B(- 3;1). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC vuông tại A. A. C (0;6). B. C (5;0). C. C (3;1). D. C (0;- 6). Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(–4;0), B(–5;0) và C (3;0). Tìm điểm uuur uuur uuur r M thuộc trục hoành sao cho MA + MB + MC = 0. A. M (–2;0). B. M (2;0). C. M (–4;0). D. M (–5;0). Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M (–2;2) và N (1;1). Tìm tọa độ điểm P thuộc trục hoành sao cho ba điểm M , N, P thẳng hàng. A. P (0;4). B. P (0;–4). C. P (–4;0). D. P (4;0). Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm M thuộc trục hoành để khoảng cách từ đó đến điểm N (- 1;4) bằng 2 5. A. M (1;0). B. M (1;0), M (- 3;0). C. M (3;0). D. M (1;0), M (3;0). Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;3) và B(4;2). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều hai điểm A và B. æ 5 ö æ5 ö æ 3 ö æ3 ö A. C ç- ;0÷. B. C ç ;0÷. C. C ç- ;0÷. D. C ç ;0÷. èç 3 ø÷ èç3 ÷ø èç 5 ø÷ èç5 ø÷ Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;2), B(5;- 2). Tìm điểm M thuộc trục hoàng sao cho A·MB = 900 ? A. M (0;1). B. M (6;0). C. M (1;6). D. M (0;6). Câu 68. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;- 1) và B(3;2). Tìm M thuộc trục tung sao cho MA2 + MB 2 nhỏ nhất. æ 1ö æ 1ö A. M (0;1). B. M (0;- 1). C. M ç0; ÷. D. M ç0;- ÷. èç 2ø÷ èç 2ø÷ Câu 69. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD biết A(- 2;0), B(2;5), C (6;2). Tìm tọa độ điểm D. A. D(2;- 3). B. D(2;3). C. D(- 2;- 3). D. D(- 2;3). Câu 70. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;3), B(- 2;4), C (5;3). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác đã cho. æ 10ö æ8 10ö æ4 10ö A. Gç2; ÷. B. Gç ;- ÷. C. G(2;5). D. Gç ; ÷. èç 3 ø÷ èç3 3 ø÷ èç3 3 ø÷ 191
16. Câu 71. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 4;1), B(2;4), C (2;- 2). Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho. æ1 ö æ 1 ö æ 1ö æ 1ö A. I ç ;1÷. B. I ç- ;1÷. C. I ç1; ÷. D. I ç1;- ÷. èç4 ø÷ èç 4 ø÷ èç 4÷ø èç 4ø÷ Câu 72. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 3;0), B(3;0) và C (2;6). Gọi H (a;b) là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính a + 6b. A. a + 6b = 5. B. a + 6b = 6. C. a + 6b = 7. D. a + 6b = 8. Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;3), B(2;7) và C (- 3;- 8). Tìm toạ độ chân đường cao A' kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC. A. A'(1;- 4). B. A'(- 1;4). C. A'(1;4). D. A'(4;1). Câu 74. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;4), B(- 3;1), C (3;- 1). Tìm tọa độ chân đường cao A' vẽ từ đỉnh A của tam giác đã cho. æ3 1ö æ 3 1ö æ 3 1ö æ3 1ö A. A'ç ; ÷. B. A'ç- ;- ÷. C. A'ç- ; ÷. D. A'ç ;- ÷. èç5 5ø÷ èç 5 5ø÷ èç 5 5ø÷ èç5 5ø÷ Câu 75. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A(- 3;- 2), B(3;6) và C (11;0). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình vuông. A. D(5;- 8). B. D(8;5). C. D(- 5;8). D. D(- 8;5). Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;4) và B(1;1). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B. A. C (4;0). B. C (- 2;2). C. C (4;0), C (- 2;2). D. C (2;0). Câu 77. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(1;- 1) và B(3;0). Tìm tọa độ điểm D , biết D có tung độ âm. A. D(0;- 1). B. D(2;- 3). C. D(2;- 3), D(0;1). D. D(- 2;- 3). Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(1;2), B(- 1;3), C (- 2;- 1) và D(0;- 2). Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. ABCD là hình vuông. B. ABCD là hình chữ nhật. C. ABCD là hình thoi.D. ABCD là hình bình hành. Câu 79. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác OAB với A(1;3) và B(4;2). Tìm tọa độ điểm E là chân đường phân giác trong góc O của tam giác OAB. æ5 5ö æ3 1ö A. E = ç ; ÷. B. E = ç ;- ÷. èç2 2÷ø èç2 2ø÷ C. E = (- 2 + 3 2;4 + 2). D. E = (- 2 + 3 2;4 - 2). Câu 80. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(2;0), B(0;2) và C (0;7). Tìm tọa độ đỉnh thứ tư D của hình thang cân ABCD. A. D(7;0). B. D(7;0), D(2;9). C. D(0;7), D(9;2). D. D(9;2). BÀI CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 192
17. 3. VÀ GIẢI TAM GIÁC 1. Định lí côsin Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b và AB = c . A Ta có 2 2 2 a = b + c - 2bc.cos A; b b2 = c 2 + a2 - 2ca.cos B; c c 2 = a2 + b2 - 2ab.cosC. Hệ quả B a C b2 + c 2 - a2 c 2 + a2 - b2 a2 + b2 - c 2 cos A = ; cos B = ; cosC = . 2bc 2ca 2ab 2. Định lí sin Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b , AB = c và R là A bán kính đường tròn ngoại tiếp. c b Ta có a b c I = = = 2R sin A sin B sinC B a C 3. Độ dài đường trung tuyến Cho tam giác ABC có ma , mb , mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C . Ta có A b2 + c 2 a2 m2 = - ; a 2 4 ma b a2 + c 2 b2 c m2 = - ; b 2 4 2 2 2 mb mc 2 a + b c mc = - . a 2 4 B C 4. Công thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có ● ha , hb , hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB ; ● R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác; ● r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác; a + b + c ● p = là nửa chu vi tam giác; 2 ● S là diện tích tam giác. Khi đó ta có: 1 1 1 S = ah = bh = ch 2 a 2 b 2 c 193
18. 1 1 1 = bc sin A = ca sin B = ab sinC 2 2 2 abc = 4R = pr = p(p - a)(p - b)(p - c). CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. GIẢI TAM GIÁC Câu 1. Tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, CA = 8 . Số đo góc Aµ bằng: A. 30°. B. 45°. C. 60°. D. 90°. Câu 2. Tam giác ABC có AB = 2, AC = 1 và Aµ= 60° . Tính độ dài cạnh BC . A. BC = 1. B. BC = 2. C. BC = 2. D. BC = 3. Câu 3. Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3 , cạnh AB = 9 và A·CB = 60° . Tính độ dài cạnh cạnh BC . 3+ 3 33 A. BC = 3+ 3 6. B. BC = 3 6 - 3. C. BC = 3 7. D. BC = . 2 Câu 4. Tam giác ABC có AB = 2, AC = 3 và Cµ= 45° . Tính độ dài cạnh BC . 6 + 2 6 - 2 A. BC = 5. B. BC = . C. BC = . D. BC = 6. 2 2 Câu 5. Tam giác ABC có Bµ= 60°, Cµ= 45° và AB = 5 . Tính độ dài cạnh AC . 5 6 A. AC = . B. AC = 5 3. C. AC = 5 2. D. AC = 10. 2 Câu 6. Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1 cm và có B·AD = 60° . Tính độ dài cạnh AC . A. AC = 3. B. AC = 2. C. AC = 2 3. D. AC = 2. Câu 7. Tam giác ABC có AB = 4, BC = 6, AC = 2 7 . Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC = 2MB . Tính độ dài cạnh AM . A. AM = 4 2. B. AM = 3. C. AM = 2 3. D. AM = 3 2. 6 - 2 Câu 8. Tam giác ABC có AB = , BC = 3, CA = 2 . Gọi D là chân đường phân giác 2 trong góc Aµ. Khi đó góc A·DB bằng bao nhiêu độ? A. 45°. B. 60°. C. 75°. D. 90°. Câu 9. Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH = 32 cm . Hai cạnh AB và AC tỉ lệ với 3 và 4 . Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài bằng bao nhiêu? A. 38 cm. B. 40 cm. C. 42 cm. D. 45 cm. Câu 10. Tam giác MPQ vuông tại P . Trên cạnh MQ lấy hai điểm E, F sao cho các góc 194
19. M· PE, E·PF, F·PQ bằng nhau. Đặt MP = q, PQ = m, PE = x, PF = y . Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng? A. ME = EF = FQ. B. ME 2 = q 2 + x 2 - xq. C. MF 2 = q 2 + y2 - yq. D. MQ 2 = q 2 + m2 - 2qm. Câu 11. Cho góc x·Oy = 30° . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng: 3 A. . B. 3. C. 2 2. D. 2. 2 Câu 12. Cho góc x·Oy = 30° . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Khi OB có độ dài lớn nhất thì độ dài của đoạn OA bằng: 3 A. . B. 3. C. 2 2. D. 2. 2 Câu 13. Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức b(b2 - a2 )= c (a2 - c 2 ). Khi đó góc B·AC bằng bao nhiêu độ? A. 30°. B. 45°. C. 60°. D. 90°. Câu 14. Tam giác ABC vuông tại A , có AB = c, AC = b . Gọi l a là độ dài đoạn phân giác · trong góc BAC . Tính l a theo b và c . 2bc 2(b + c) 2bc 2 (b + c) A. l = . B. l = . C. l = . D. l = . a b + c a bc a b + c a bc Câu 15. Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc 600 . Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? Kết quả gần nhất với số nào sau đây? A. 61 hải lí. B. 36 hải lí. C. 21 hải lí. D. 18 hải lí. Câu 16. Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C . Ta đo được khoảng cách AB = 40m , C·AB = 450 và C·BA = 700 . Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 53 m . B. 30 m . C. 41,5 m . D. 41 m . 195
20. Câu 17. Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình vẽ). Biết AH = 4m, HB = 20m, B·AC = 450 . Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 17,5m . B. 17m . C. 16,5m . D. 16m . Câu 18. Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B và C thẳng hàng. Ta đo được AB = 24 m , C·AD = 630 , C·BD = 480 . Chiều cao h của tháp gần với giá trị nào sau đây? A. 18m . B. 18,5m . C. 60m . D. 60,5m . Câu 19. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5 m . Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc 500 và 400 so với phương nằm ngang. Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 12m . B. 19m . C. 24m . D. 29m . Câu 20. Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp. Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp một khoảng CD = 60m , giả sử chiều cao của giác kế là OC = 1m . Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh ta A nhình thấy đỉnh A của tháp. Đọc trên giác kế số đo của góc A·OB = 600 . Chiều cao của ngọn tháp gần với giá trị nào sau đây: A. 40m . B. 114m . C. 105m . D. 110m . B 60° O Câu 21. Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng 1m độ cao AB = 70m , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 300 , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15030' . D 60m C 196
21. Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 135m . B. 234m . C. 165m . D. 195m . Vấn đề 2. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Câu 22. Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm và BC = 10cm . Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác bằng: A. 4cm . B. 3cm . C. 7cm . D. 5cm . Câu 23. Tam giác ABC vuông tại A và có AB = AC = a . Tính độ dài đường trung tuyến BM của tam giác đã cho. a 5 A. BM = 1,5a. B. BM = a 2. C. BM = a 3. D. BM = . 2 Câu 24. Tam giác ABC có AB = 9 cm, AC = 12 cm và BC = 15 cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác đã cho. 15 13 A. AM = cm.B. AM = 10 cm.C. AM = 9 cm.D. AM = cm. 2 2 15 Câu 25. Tam giác ABC cân tại C , có AB = 9cm và AC = cm . Gọi D là điểm đối xứng 2 của B qua C . Tính độ dài cạnh AD. A. AD = 6 cm.B. AD = 9 cm.C. AD = 12 cm.D. AD = 12 2 cm. Câu 26. Tam giác ABC có AB = 3, BC = 8 . Gọi M là trung điểm của BC . Biết 5 13 cos A·MB = và AM > 3 . Tính độ dài cạnh AC . 26 A. AC = 13 .B. AC = 7 .C. AC = 13 .D. AC = 7 . Câu 27*. Tam giác ABC có trọng tâm G . Hai trung tuyến BM = 6 , CN = 9 và B·GC = 1200 . Tính độ dài cạnh AB . A. AB = 11 .B. AB = 13 .C. AB = 2 11 .D. AB = 2 13 . Câu 28 . Tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến lần lượt là 9; 12; 15 . Diện tích của tam giác ABC bằng: A. 24 . B. 24 2 . C. 72 . D. 72 2 . Câu 29*. Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Nếu giữa a, b, c có liên hệ b2 + c 2 = 2a2 thì độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác tính theo a bằng: a 3 a 3 A. . B. . C. 2a 3 . D. 3a 3 . 2 3 Câu 30*. Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m và AC = n . Trong các biểu thức sau, biểu thức nào đúng: A. m2 + n2 = 3(a2 + b2 ). B. m2 + n2 = 2(a2 + b2 ). 197
22. C. 2(m2 + n2 )= a2 + b2 . D. 3(m2 + n2 )= a2 + b2 . Câu 31 . Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức a2 + b2 = 5c 2 . Góc giữa hai trung tuyến AM và BN là góc nào? A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 900 . 2 2 2 Câu 32 . Tam giác ABC có ba đường trung tuyến ma , mb , mc thỏa mãn 5ma = mb + mc . Khi đó tam giác này là tam giác gì? A. Tam giác cân. B. Tam giác đều. C. Tam giác vuông. D. Tam giác vuông cân. Câu 33 . Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Gọi ma , mb , mc là độ dài ba đường trung tuyến, G trọng tâm. Xét các khẳng định sau: 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 (I). ma + mb + mc = (a + b + c ). (II). GA + GB + GC = (a + b + c ). 4 3 Trong các khẳng định đã cho có A. (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả hai cùng sai. D. Cả hai cùng đúng. Vấn đề 3. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP Câu 34. Tam giác ABC có BC = 10 và Aµ= 30O . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 10 A. R = 5 .B. R = 10 .C. R = .D. R = 10 3 . 3 Câu 35. Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6 và Aµ= 60° . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . A. R = 3 .B. R = 3 3 .C. R = 3 .D. R = 6 . Câu 36. Tam giác ABC có BC = 21cm, CA = 17cm, AB = 10cm . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 85 7 85 7 A. R = cm .B. R = cm .C. R = cm .D. R = cm . 2 4 8 2 Câu 37. Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R . Khi đó bán kính R bằng: a 3 a 2 a 3 a 3 A. R = .B. R = .C. R = .D. R = . 2 3 3 4 12 AB 3 Câu 38. Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = cm và = . Tính bán kính 5 AC 4 R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . A. R = 2,5cm .B. R = 1,5cm .C. R = 2cm .D. R = 3,5cm . Câu 39. Cho tam giác ABC có AB = 3 3, BC = 6 3 và CA = 9 . Gọi D là trung điểm BC . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. 9 9 A. R = .B. R = 3 .C. R = 3 3 .D. R = . 6 2 Câu 40 . Tam giác nhọn ABC có AC = b, BC = a , BB ' là đường cao kẻ từ B và C·BB ' = a . 198
23. Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC được tính theo a, b và a là: a2 + b2 - 2ab cosa a2 + b2 + 2ab cosa A. R = .B. R = . 2 sin a 2 sin a a2 + b2 + 2ab cosa a2 + b2 - 2ab cosa C. R = .D. R = . 2 cosa 2 cosa Vấn đề 4. DIỆN TÍCH TAM GIÁC Câu 41. Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6, B·AC = 60° . Tính diện tích tam giác ABC . 9 3 9 A. S = 9 3 .B. S = .C. S = 9 .D. S = . DABC DABC 2 DABC DABC 2 Câu 42. Tam giác ABC có AC = 4, B·AC = 30°, A·CB = 75° . Tính diện tích tam giác ABC . A. SDABC = 8 .B. SDABC = 4 3 .C. SDABC = 4 .D. SDABC = 8 3 . Câu 43. Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 . Diện tích của tam giác ABC bằng: A. SDABC = 16 .B. SDABC = 48 .C. SDABC = 24 .D. SDABC = 84 . · Câu 44. Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6, BAC = 60° . Tính độ dài đường cao ha của tam giác. 3 A. h = 3 3 .B. h = 3 .C. h = 3 .D. h = . a a a a 2 Câu 45. Tam giác ABC có AC = 4, A·CB = 60° . Tính độ dài đường cao h uất phát từ đỉnh A của tam giác. A. h = 2 3 .B. h = 4 3 .C. h = 2 .D. h = 4 . Câu 46. Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 . Gọi B ' là hình chiếu vuông góc của B trên cạnh AC . Tính BB ' . 84 168 84 A. BB ' = 8 . B. BB ' = .C. BB ' = .D. BB ' = . 5 17 17 Câu 47. Tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 18 cm và có diện tích bằng 64 cm2 . Giá trị sin A ằng: 3 3 4 8 A. sin A = .B. sin A = .C. sin A = .D. sin A = . 2 8 5 9 Câu 48. Hình bình hành ABCD có AB = a, BC = a 2 và B·AD = 450 . Khi đó hình bình hành có diện tích bằng: A. 2a2 .B. a2 2 .C. a2 .D. a2 3 . Câu 49*. Tam giác ABC vuông tại A có AB = AC = 30 cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại G . Diện tích tam giác GFC bằng: A. 50 cm2 .B. 50 2 cm2 .C. 75 cm2 .D. 15 105 cm2 . Câu 50*. Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R = 4 cm có diện tích bằng: A. 13 cm2 B. 13 2 cm2 C. 12 3 cm2 D. 15 cm2 . Câu 51*. Tam giác ABC có BC = 2 3, AC = 2AB và độ dài đường cao AH = 2 . Tính độ dài cạnh AB . 199
24. 2 3 A. AB = 2 . B. AB = . 3 2 21 2 3 C. AB = 2 hoặc AB = . D. AB = 2 hoặc AB = . 3 3 Câu 52*. Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có diện tích S . Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh AC lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng: A. 2S . B. 3S . C. 4S . D. 6S . Câu 53*. Tam giác ABC có BC = a và CA = b . Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi góc C bằng: A. 600 .B. 900 .C. 1500 .D. 1200 . Câu 54*. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM , CN vuông góc với nhau và có BC = 3 , góc B·AC = 300 . Tính diện tích tam giác ABC . 3 3 A. S = 3 3 . B. S = 6 3 .C. S = 9 3 .D. S = . DABC DABC DABC DABC 2 Vấn đề 5. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP Câu 55. Tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và B·AC = 600 . Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. A. r = 1 . B. r = 2 . C. r = 3 . D. r = 2 3 . Câu 56. Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 . Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. 7 A. r = 16 . B. r = 7 . C. r = . D. r = 8 . 2 Câu 57. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a . a 3 a 2 a 3 a 5 A. r = .B. r = .C. r = .D. r = . 4 5 6 7 Câu 58. Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, BC = 10 cm. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. A. r = 1 cm.B. r = 2 cm.C. r = 2 cm.D. r = 3 cm. Câu 59. Tam giác ABC vuông cân tại A , có AB = a . Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. a a a a A. r = .B. r = .C. r = .D. r = . 2 2 2 + 2 3 Câu 60. Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R . Gọi r là R bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Khi đó tỉ số bằng: r 2 + 2 2 - 1 1+ 2 A. 1+ 2 .B. .C. .D. . 2 2 2 200