›
›
›

Chuyên đề Toán Lớp 10 - Bài 6: Dấu của tam thức bậc hai - Đặng Việt Đông

docx 59 trang nhungbui22 11/08/2022 2760
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Toán Lớp 10 - Bài 6: Dấu của tam thức bậc hai - Đặng Việt Đông", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxchuyen_de_toan_lop_10_bai_6_dau_cua_tam_thuc_bac_hai_dang_vi.docx

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 10 - Bài 6: Dấu của tam thức bậc hai - Đặng Việt Đông

  1. §6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 3 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 3 1. Tam thức bậc hai 3 2. Dấu của tam thức bậc hai 3 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 4  DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI. 4 1. Phương pháp giải 4 2. Các ví dụ minh họa 4 3. Bài tập luyện tập 9  DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC HAI LUÔN MANG MỘT DẤU 16 1. Các ví dụ minh họa 16 3. Bài tập luyện tập 18 §7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 21 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 21 1. Định nghĩa và cách giải 21 2. Ứng dụng 21  DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 21 1. Các ví dụ minh họa 21 2. Bài tập luyện tập 25  DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN. 29 1. Các ví dụ minh họa 29 3. Bài tập luyện tập 34  DẠNG TOÁN 3: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẤU THỨC 38 1. Các ví dụ minh họa 39 2. Bài tập luyện tập 44  DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.46 1. Phương pháp giải 46 0
  2. 2. Các ví dụ minh họa 47 3. Bài tập luyện tập 49 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. 54 TỔNG HỢP LẦN 1 54 TỔNG HỢP LẦN 2 65
  3. §6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai (đối với ) là biểu thức dạng ax2 bx c . Trong đó a,b,c là nhứng số cho trước với a 0 . Nghiệm của phương trình ax2 bx c 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai f x ax2 bx c ; b2 4ac và ' b'2 ac theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f x ax2 bx c . 2. Dấu của tam thức bậc hai Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau f x ax2 bx c, a 0 0 a. f x 0, x ¡ b  0 a. f x 0, x ¡ \  2a  a. f x 0, x ; x1  x2 ; 0 a. f x 0, x x1; x2 Nhận xét: Cho tam thức bậc hai ax2 bx c 2 a 0 2 a 0 ax bx c 0,x R ; ax bx c 0,x R 0 0 2 a 0 2 a 0 ax bx c 0,x R ; ax bx c 0,x R 0 0 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
  4. 1. DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI. 1. Phương pháp giải. Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa nó. * Đối với đa thức bậc cao P(x) ta làm như sau Phân tích đa thức P x thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất) Lập bảng xét dấu của P x . Từ đó suy ra dấu của nó . P(x) * Đối với phân thức (trong đó P x , Q x là các đa thức) ta làm như sau Q(x) Phân tích đa thức P x , Q x thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất) P(x) Lập bảng xét dấu của . Từ đó suy ra dấu của nó. Q(x) 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Xét dấu của các tam thức sau a) 3x2 2x 1 A. 3x2 2x 1 0, x ¡ B. 3x2 2x 1 0, x ¡ C. 3x2 2x 1 0, x ¡ D. 3x2 2x 1 0, x ¡ b) x2 4x 5 A. x2 4x 5 0 x 1;5 B. x2 4x 5 0 x 1;5 C. x2 4x 5 0 x ; 1  5; D. x2 4x 5 0 x ; 1 c) 4x2 12x 9 2 3 2 3 A. 4x 12x 9 0 x ¡ \  B. 4x 12x 9 0 x ¡ \  2 2 2 3 2 3 C. 4x 12x 9 0 x ¡ \  D. 4x 12x 9 0 x ¡ \  2 2 d) 3x2 2x 8 2 4 2 4 A. 3x 2x 8 0 x ;  2; B. 3x 2x 8 0 x ; 3 3
  5. 2 4 2 4 C. 3x 2x 8 0 x ;2 D. 3x 2x 8 0 x ;2 3 3 e) 25x2 10x 1 2 1 2 1 A. 25x 10x 1 0 x ¡ \  B. 25x 10x 1 0 x ¡ \  5 5 2 1 2 1 C. 25x 10x 1 0 x ¡ \  D. 25x 10x 1 0 x ¡ \  5 5 f) 2x2 6x 5 A. 2x2 6x 5 0 x ¡ B. 2x2 6x 5 0 x ¡ C. 2x2 6x 5 0 x ¡ D. 2x2 6x 5 0 x ¡ Lời giải: a) Ta có ' 2 0, a 3 0 suy ra 3x2 2x 1 0, x ¡ 2 x 1 b) Ta có x 4x 5 0 x 5 Bảng xét dấu x 1 5 x2 4x 5 0 + | Suy ra x2 4x 5 0 x 1;5 và x2 4x 5 0 x ; 1  5; 2 3 c) Ta có ' 0, a 0 suy ra 4x 12x 9 0 x ¡ \  2 x 2 d) Ta có 3x2 2x 8 0 4 x 3 Bảng xét dấu x 4 2 3 3x2 2x 8 + 0 | + 2 4 2 4 Suy ra 3x 2x 8 0 x ;  2; và 3x 2x 8 0 x ;2 3 3 2 1 e) Ta có ' 0, a 0 suy ra 25x 10x 1 0 x ¡ \  5 f) Ta có ' 1 0, a 0 suy ra 2x2 6x 5 0 x ¡
  6. Nhận xét: Cho tam thức bậc hai ax2 bx c . Xét nghiệm của tam thức, nếu: * Vô nghiệm khi đó tam thức bậc hai f x ax2 bx c cùng dấu với a với mọi x b * Nghiệm kép khi đó tam thức bậc hai f x ax2 bx c cùng dấu với a với mọi x 2a * Có hai nghiệm f x cùng dấu với a khi và chỉ khi x ; x1  x2 ; (ngoài hai nghiệm) và f x trái dấu với a khi và chỉ khi x x1; x2 (trong hai nghiệm)(ta có thể nhớ câu là trong trái ngoài cùng) Ví dụ 2: Tùy theo giá trị của tham số m, hãy xét dấu của các biểu thức f (x) x2 2mx 3m 2 Lời giải: Tam thức f (x) có a 1 0 và ' m2 3m 2 . * Nếu 1 m 2 ' 0 f (x) 0 x R . m 1 * Nếu ' 0 f (x) 0 x R và f (x) 0 x m m 2 m 2 * Nếu ' 0 f (x) có hai nghiệm m 1 2 2 x1 m m 3m 2 và x2 m m 3m 2 . Khi đó: +) f (x) 0 x ( ; x1)  (x2 ; ) +) f (x) 0 x (x1; x2 ) . Ví dụ 3: Xét dấu của các biểu thức sau a) x2 x 1 6x2 5x 1 2 2 1 1 A. x x 1 6x 5x 1 dương khi và chỉ khi x ; 3 2 2 2 1 1 B. x x 1 6x 5x 1 âm khi và chỉ khi x ; 3 2 2 2 1 1 C. x x 1 6x 5x 1 dương khi và chỉ khi x ;  ; 3 2 2 2 1 D. x x 1 6x 5x 1 âm khi và chỉ khi x ; 3
  7. x2 x 2 b) x2 3x 4 x2 x 2 A. âm khi và chỉ khi x 2;4 , x2 3x 4 x2 x 2 B. dương khi và chỉ khi x 2;4 , x2 3x 4 x2 x 2 C. dương khi và chỉ khi x ; 1  1;2 . x2 3x 4 x2 x 2 D. âm khi và chỉ khi x 1;2  4; . x2 3x 4 c) x3 5x 2 A. x3 5x 2 âm khi và chỉ khi x 1 2; 1 2  2; B. x3 5x 2 dương khi và chỉ khi x 1 2; 1 2 C. x3 5x 2 âm khi và chỉ khi x 1 2; 1 2 D. x3 5x 2 dương khi và chỉ khi x 1 2; 1 2  2; x2 x 6 d) x x2 3x 4 x2 x 6 A. x dương khi và chỉ khi x 2; 1  4; x2 3x 4 x2 x 6 B. x dương khi và chỉ khi x 4; x2 3x 4 x2 x 6 C. x âm khi và chỉ khi x ; 2  3;4 x2 3x 4 x2 x 6 D. x âm khi và chỉ khi x ; 2  1;1  3;4 x2 3x 4 Lời giải: 1 1 a) Ta có x2 x 1 0 vô nghiệm, 6x2 5x 1 0 x hoặc x 2 3 Bảng xét dấu
  8. x 1 2 3 3 x2 x 1 0 | 6x2 5x 1 + | 0 + x2 x 1 6x2 5x 1 0 + 0 2 2 1 1 Suy ra x x 1 6x 5x 1 dương khi và chỉ khi x ; 3 2 2 2 1 1 x x 1 6x 5x 1 âm khi và chỉ khi x ;  ; 3 2 2 x 1 2 x 1 b) Ta có x x 2 0 , x 3x 4 0 x 2 x 4 Bảng xét dấu x 1 2 4 x2 x 2 + 0 0 + | + x2 3x 4 0 + | + 0 x2 x 2 2 x 3x 4 || 0 + || x2 x 2 x2 x 2 Suy ra dương khi và chỉ khi x 2;4 , âm khi và chỉ khi x2 3x 4 x2 3x 4 x ; 1  1;2  4; . c) Ta có x3 5x 2 x 2 x2 2x 1 Ta có x2 2x 1 0 x 1 2 Bảng xét dấu x 1 2 1 2 2 x 2 0 0 | + x2 2x 1 + 0 | + 0 + x3 5x 2 0 + 0 0 + Suy ra x3 5x 2 dương khi và chỉ khi x 1 2; 1 2  2; , x3 5x 2 âm khi và chỉ khi
  9. x ; 1 2  1 2;2 . 2 x2 x 6 x3 2x2 5x 6 x 1 x x 6 d) Ta có x x2 3x 4 x2 3x 4 x2 3x 4 2 x 2 2 x 1 Ta có x x 6 0 , x 3x 4 0 x 3 x 4 Bảng xét dấu x 2 1 1 3 4 x 1 | | 0 + | + | + x2 x 6 0 + | + | + 0 | x2 3x 4 | 0 + | + | + 0 x2 x 6 x 2 x 3x 4 0 + || 0 + 0 || + x2 x 6 x2 x 6 Suy ra x dương khi và chỉ khi x 2; 1  1;3  4; , x âm khi và x2 3x 4 x2 3x 4 chỉ khi x ; 2  1;1  3;4 . 3. Bài tập luyện tập. Bài 4.84: Xét dấu các tam thức sau a) f (x) 2x2 3x 1 1 1 A. f (x) 0 x ( ;1) ;B. f (x) 0 x ( ; )  (1; ) . 2 2 1 1 C. f (x) 0 x ( ; )  (1; ) . D. f (x) 0 x ( ; ) . 2 2 1 b) g(x) x2 x 1 4 A. g(x) 0,x ¡ B. g(x) 0,x ¡ C. g(x) 0,x ¡ D. g(x) 0,x ¡ c) h(x) 2x2 x 1. A. g(x) 0 x R . B. g(x) 0 x R . C. g(x) 0 x R .D. g(x) 0 x R . Lời giải: 1 Bài 4.84: a) Tam thức f (x) có a 2 0 , có hai nghiệm x ; x 1 1 2 2
  10. 1 * f (x) 0 (trái dấu với a) x ( ;1) 2 1 * f (x) 0 (cùng dấu với a) x ( ; )  (1; ) . 2 1 1 1 b) Tam thức g(x) có a 0 , có 0 g(x) 0 (cùng dấu với a) x và g( ) 0 . 4 2 2 c) Tam thức g(x) có a 2 0, có 7 0 g(x) 0 (cùng dấu với a) x R . Bài 4.85: Xét dấu các biểu thức sau a) f (x) (x2 5x 4)(2 5x 2x2 ) A. x 1 1 2 4 2 x2 5x 4 + | + 0 – | – 0 + 2x2 5x 2 + 0 – | + 0 + | + f(x) + 0 + 0 + 0 – 0 + B. x 1 1 2 4 2 x2 5x 4 + | + 0 – | + 0 + 2x2 5x 2 + 0 + | – 0 + | + f(x) + 0 – 0 + 0 + 0 + C. x 1 1 2 4 2 x2 5x 4 + | + 0 + | – 0 + 2x2 5x 2 + 0 – | + 0 + | + f(x) + 0 – 0 + 0 – 0 + D. x 1 1 2 4 2 x2 5x 4 + | + 0 – | – 0 + 2x2 5x 2 + 0 – | – 0 + | +
  11. f(x) + 0 – 0 + 0 – 0 + 8 b) f (x) x2 3x 2 . x2 3x A. x -1 0 1 2 3 4 x2 3x + | + 0 + | – | – 0 + | + x2 3x 4 + 0 – | + | – | – | – 0 + x2 3x 2 + | + | + 0 – 0 + | + | + f(x) + || – 0 + || – || + 0 – || + B. x -1 0 1 2 3 4 x2 3x + | + 0 – | + | – 0 + | + x2 3x 4 + 0 – | – | + | – | – 0 + x2 3x 2 + | + | + 0 – 0 + | + | + f(x) + || – 0 + || – || + 0 – || + C. x -1 0 1 2 3 4 x2 3x + | + 0 – | – | + 0 + | + x2 3x 4 + 0 – | – | – | + | – 0 + x2 3x 2 + | + | + 0 – 0 + | + | + f(x) + || – 0 + || – || + 0 – || + D. x -1 0 1 2 3 4 x2 3x + | + 0 – | – | – 0 + | + x2 3x 4 + 0 – | – | – | – | – 0 + x2 3x 2 + | + | + 0 – 0 + | + | + f(x) + || – 0 + || – || + 0 – || + Lời giải:
  12. Bài 4.85: a) Ta có: x2 5x 4 0 x 1; x 4 1 2 5x 2x2 0 x 2; x 2 Bảng xét dấu: x 1 1 2 4 2 x2 5x 4 + | + 0 – | – 0 + 2x2 5x 2 + 0 – | – 0 + | + f(x) + 0 – 0 + 0 – 0 + (x2 3x)2 2(x2 3x) 8 (x2 3x 2)(x2 3x 4) b ) Ta có: f (x) x2 3x x2 3x Bảng xét dấu x -1 0 1 2 3 4 x2 3x + | + 0 – | – | – 0 + | + x2 3x 4 + 0 – | – | – | – | – 0 + x2 3x 2 + | + | + 0 – 0 + | + | + f(x) + || – 0 + || – || + 0 – || + Bài 4.86: Xét dấu các biểu thức sau 1 1 1 a) x 9 x 2 A. f (x) 0 x ( 6; 3)  (2;0) B. f (x) 0 ( ; 6)  ( 3;2)  (0; ) C. f (x) 0 ( ; 6)  ( 3;2)  (0; ) D. f (x) 0 x ( 6; 3)  (2;0) b) x4 4x 1. 2 4 2 2 2 4 2 2 A. f (x) 0 x ;  ; 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 B. f (x) 0 ; 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 C. f (x) 0 ; 2 2
  13. 2 4 2 2 2 4 2 2 D. f (x) 0 x ;  ; 2 2 3x 7 c) 5 x2 x 2 5x2 2x 3 3 A. 2 0 x ( ; 1)  ;1  (2; ) x x 2 5 5x2 2x 3 3 B. 2 0 x ( ; 1)  ;1 x x 2 5 5x2 2x 3 3 C. 2 0 x 1;  1;2 x x 2 5 5x2 2x 3 3 D. 2 0 x 1;  1;2 x x 2 5 d) x3 3x 2 A. f x 0 x 2; B. f x 0 x ; 2 C. f x 0 x ; 2 D. f x 0 x 2; \ 1 Lời giải: 2x 2(x 9) x(x 9) x2 9x 18 Bài 4.86: a) Ta có: f (x) 2x(x 9) 2x(x 2) f (x) 0 x ( 6; 3)  (2;0) f (x) 0 ( ; 6)  ( 3;2)  (0; ) 2 4 2 2 2 2 b) Ta có: f (x) x 2x 1 2(x 2x 1) (x 1) 2(x 1) f (x) x2 2x 1 2 x2 2x 1 2 2 4 2 2 2 4 2 2 f (x) 0 x ;  ; 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 f (x) 0 ; 2 2 5x2 2x 3 3 c) 2 0 x ( ; 1)  ;1  (2; ) x x 2 5 5x2 2x 3 3 Và 2 0 x 1;  1;2 x x 2 5
  14. d) f x (x 1)2 (x 2) f x 0 x 2; \ 1 f x 0 x ; 2 Bài 4.87: Tùy theo giá trị của tham số m g(x) (m 1)x2 2(m 1) m 3, Khẳng định nào sau đây đúng là sai? 3 A. m 1 g(x) 0 x ¡ B. T 0; có hai nghiệm phân biệt 2 a 0 C. m 1 g(x) 0 x R . D. Cả A, B, C đều sai ' 0 Lời giải: Bài 4.87: Nếu m 1 g(x) 2 0 x R Nếu m 1, khi đó g(x) là tam thức bậc hai có a m 1 và ' 2(m 1) , do đó ta có các trường hợp sau: 3 * T 0; có hai nghiệm phân biệt 2 m 1 2(m 1) m 1 2(m 1) x và x . 1 m 1 2 m 1 g(x) 0 x ( ; x1)  (x2 ; ) ; g(x) 0 x (x1; x2 ) . a 0 * m 1 g(x) 0 x R ' 0 2. DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC HAI LUÔN MANG MỘT DẤU. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì a) Phương trình mx2 3m 2 x 1 0 luôn có nghiệm b) Phương trình m2 5 x2 3m 2 x 1 0 luôn vô nghiệm Lời giải 1 a) Với m 0 phương trình trở thành 2x 1 0 x suy ra phương trình có nghiệm 2 Với m 0 , ta có 3m 2 2 4m 9m2 8m 4
  15. 2 2 Vì tam thức 9m 8m 4 có am 9 0, 'm 20 0 nên 9m 8m 4 0 với mọi m Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m . 2 b) Ta có 3m 2 4 m2 5 m2 4 3m 16 2 2 Vì tam thức m 4 3m 8 có am 1 0, 'm 4 0 nên m 4 3m 8 0 với mọi m Do đó phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi m . Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn âm a) f x mx2 x 1 m 0 1 1 A. m 0 B. m C. m 0 D. 1 4 4 m 4 b) g x m 4 x2 2m 8 x m 5 A. m 4 B. m 4 C. m 4 D. m 2 Lời giải: a) Với m 0 thì f x x 1 lấy cả giá trị dương(chẳng hạn f 2 1) nên m 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán Với m 0 thì f x mx2 x 1 là tam thức bậc hai dó đó m 0 a m 0 1 f x 0, x 1 m 0 1 4m 0 m 4 4 1 Vậy với m 0 thì biểu thức f x luôn âm. 4 b) Với m 4 thì g x 1 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán Với m 4 thì g x m 4 x2 2m 8 x m 5 là tam thức bậc hai dó đó a m 4 0 g x 0, x 2 ' m 4 m 4 m 5 0 m 4 m 4 m 4 0 Vậy với m 4 thì biểu thức g x luôn âm. Ví dụ 3: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn dương
  16. x2 4 m 1 x 1 4m2 a) h x 4x2 5x 2 5 5 5 3 A. m B. m C. m D. m 8 8 8 8 b) k x x2 x m 1 1 1 1 3 A. m B. m C. m D. m 4 4 4 4 Lời giải: a) Tam thức 4x2 5x 2 có a 4 0, 7 0 suy ra 4x2 5x 2 0 x Do đó h x luôn dương khi và chỉ khi h' x x2 4 m 1 x 1 4m2 luôn âm a 1 0 5 2 2 8m 5 0 m ' 4 m 1 1 4m 0 8 5 Vậy với m thì biểu thức h x luôn dương. 8 b) Biểu thức k x luôn dương x2 x m 1 0, x x2 x m 1, x x2 x m 0, x a 1 0 1 m 1 4m 0 4 1 Vậy với m thì biểu thức k x luôn dương. 4 Ví dụ 4: Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là ¡ với mọi giá trị của m . mx a) y 2m2 1 x2 4mx 2 2x2 2 m 1 x m2 1 b) y m2 x2 2mx m2 2 Lời giải: a) ĐKXĐ: 2m2 1 x2 4mx 2 0 Xét tam thức bậc hai f x 2m2 1 x2 4mx 2
  17. Ta có a 2m2 1 0, ' 4m2 2 2m2 1 2 0 Suy ra với mọi m ta có f x 2m2 1 x2 4mx 2 0 x ¡ Do đó với mọi m ta có 2m2 1 x2 4mx 2 0, x ¡ Vậy tập xác định của hàm số là D ¡ 2x2 2 m 1 x m2 1 b) ĐKXĐ: 0 và m2 x2 2mx m2 2 0 m2 x2 2mx m2 2 Xét tam thức bậc hai f x 2x2 2 m 1 x m2 1 và 2 2 2 2 Ta có a f 2 0, f ' m 1 2 m 1 m 2m 1 m 1 0 Suy ra với mọi m ta có f x 2x2 2 m 1 x m2 1 0, x ¡ (1) Xét tam thức bậc hai g x m2 x2 2mx m2 2 Với m 0 ta có g x 2 0 , xét với m 0 ta có 2 2 2 2 2 2 ag m 0, g ' m m m 2 m m 1 0 Suy ra với mọi m ta có g x m2 x2 2mx m2 2 0, x ¡ (2) 2x2 2 m 1 x m2 1 Từ (1) và (2) suy ra với mọi m thì 0 và m2 x2 2mx m2 2 0 đúng với m2 x2 2mx m2 2 mọi giá trị của x Vậy tập xác định của hàm số là D ¡ 3. Bài tập luyện tập. Bài 4.88: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì a) Phương trình x2 2 m 2 x m 3 0 luôn có nghiệm b) Phương trình m2 1 x2 3m 2 x 2 0 luôn vô nghiệm Lời giải: Bài 4.88: a) Ta có m 2 2 m 3 m2 5m 7 2 Vì tam thức m 5m 7 có am 1 0, 'm 2 0 nên x 4, x 0 với mọi m Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m . 2 b) Ta có 3m 2 8 m2 1 5m2 4 3m 4
  18. 2 2 Vì tam thức 5m 4 3m 4 có am 5 0, 'm 0 nên 5m 4 3m 4 0 với mọi m . Do đó phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi m . Bài 4.89: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn âm a) f x x2 2x m 1 1 A. m B. m 0 C. m 0 D. ¡ 4 4 b) g x 4mx2 4 m 1 x m 3 A. m 1 B. m 1 C. m 1 D. m 1 Lời giải: a 1 0 1 Bài 4.89: a) f x 0, x m ' 1 4m 0 4 1 Vậy với m 0 thì biểu thức f x luôn âm. 4 b) Với m 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán Với m 0 thì g x 4mx2 4 m 1 x m 3 là tam thức bậc hai dó đó a 4m 0 g x 0, x 2 ' 4 m 1 4m m 3 0 m 0 m 0 m 1 4m 4 0 m 1 Vậy với m 1 thì biểu thức g x luôn âm. Bài 4.90: Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là ¡ với mọi giá trị của m . a) y m2 x2 4mx m2 2m 5 2x 3m b) y x2 2 1 m x 2m2 3 Lời giải: Bài 4.90: a) ĐKXĐ: m2 x2 4mx m2 2m 5 0 (*) Với m 0 thì điều kiện (*) đúng với mọi x
  19. Với m 0 xét tam thức bậc hai f x m2 x2 4mx m2 2m 5 Ta có a m2 0, ' 4m2 8 2m2 1 12m2 8 0 Suy ra f x m2 x2 4mx m2 2m 5 0 x ¡ Do đó với mọi m ta có m2 x2 4mx m2 2m 5 0, x ¡ Vậy tập xác định của hàm số là D ¡ b) ĐKXĐ: x2 2 1 m x 2m2 3 0 Xét tam thức bậc hai f x x2 2 1 m x 2m2 3 Ta có a 1 0, ' 1 m 2 2m2 3 m2 2m 2 0 2 (Vì tam thức bậc hai f m m 2m 2 có am 1 0, 'm 1 0 ) Suy ra với mọi m ta có x2 2 1 m x 2m2 3 0, x ¡ Vậy tập xác định của hàm số là D ¡ Bài 4.91: Tìm m để a) 3x2 2(m 1)x 2m2 3m 2 0 x R A. m 1 B. m 1 C. m 1 D. Vô nghiệm b) Hàm số y (m 1)x2 2(m 1)x 3m 3 có nghĩa với mọi x. A. m 1 B. m 1 C. m 1 D. m 1 x m c) 1 x R x2 x 1 m 1 A. 0 m B. m 1 C. 0 m 1 D. m 0 Lời giải: Bài 4.91: a) 3x2 2(m 1)x 2m2 3m 2 0 x R ' (m 1)2 3(2m2 3m 2) 0 7m2 7m 7 0 bpt vô nghiệm Vậy không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán b) Hàm số có nghĩa với mọi x
  20. (m 1)x2 2(m 1)x 3m 3 0 x ¡ (1) * m 1không thỏa mãn m 1 0 * m 1 (1) m 1 ' (m 1)( 2m 4) 0 c) Ta có x2 x 1 0 x ¡ x m x m x2 1 m 0 (1) 1 1 1 2 2 2 x x 1 x x 1 x 2x m 1 0 (2) (1) đúng x ¡ 1 m 0 m 1 (2) đúng x ¡ ' m 0 m 0 Vậy 0 m 1 là những giá trị cần tìm §7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa và cách giải Bất phương trình bậc hai (ẩn x ) là bất phương trình có một trong các dạng f x 0, f (x) 0, f (x) 0, f (x) 0 , trong đó f (x) là một tam thức bậc hai. Cách giải. Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai. 2. Ứng dụng Giải bất phương trình tích, thương chứa các tam thức bậc hai bằng cách lập bảng xét dấu của chúng 3. DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau: a) 3x2 2x 1 0 1 1 1 A. S ( ; ) B. S (1; ) C. S ;1 D. S ( ; )  (1; ) 3 3 3 b) x2 x 12 0 A. S 4;3 B. S ; 4 C. S 3; D.S ¡
  21. c) 5x2 6 5x 9 0 3 5  3 5  3 5  A. S ¡ \  B. S ¡ \  C. S ¡ \  D. S ¡ 5  5  5  d) 36x2 12x 1 0 1 1 1 1 A. S  B. S ; C. S  D.S ; 6 6 6 6 Lời giải: 1 a) Tam thức f (x) 3x2 2x 1 có a 3 0 và có hai nghiệm x ; x 1 1 3 2 ( f (x) cùng dấu với hệ số a ). 1 Suy ra 3x2 2x 1 0 x hoặc x 1 3 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình : S ( ; )  (1; ) . 3 2 b) Tam thức f x x x 12 có a 1 0 và có hai nghiệm x1 4; x2 3 ( f (x) trái dấu với hệ số a ). Suy ra x2 x 12 0 4 x 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 4;3 c) Tam thức f x 5x2 6 5x 9 có a 5 0 và 0 ( f (x) cùng dấu với hệ số a ). 3 5 Suy ra 5x2 6 5x 9 0 x 5 3 5  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ¡ \  5  d) Tam thức f x 36x2 12x 1 có a 36 0 và 0 1 1 f (x) trái dấu với hệ số a nên f x âm với x và f 0 6 6 1 Suy ra 36x2 12x 1 0 x 6
  22. 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  6 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm a) x2 mx m 3 0 A. m ( ; 2] B. m [6; ) C. m  2;6 D. m ( ; 2][6; ) b) (1 m)x2 2mx 2m 0 m 0 A. m 0 B. 2 m C. 2 m 0 D. m 2 Lời giải: a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 2 2 m 6 m 4 m 3 0 m 4m 12 0 m 2 Vậy với m ( ; 2][6; ) thì phương trình có nghiệm b) Với m 1 phương trình trở thành 2x 2 0 x 1 suy ra m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán Với m 1 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 m2 2m 1 m 0 m2 2m 0 2 m 0 Vậy với 2 m 0 thì phương trình có nghiệm Ví dụ 3: Tìm m để mọi x  1;1 đều là nghiệm của bất phương trình 3x2 2 m 5 x m2 2m 8 0 (1) 1 A. m ( ; 3][7; ) B. m C. m 7 D. m 3 2 Lời giải: 4 m Ta có 3x2 2 m 5 x m2 2m 8 0 x m 2 hoặc x 3 4 m 1 * Với m 2 3m 6 4 m m ta có 3 2 4 m Bất phương trình (1) x m 2 3 4 m Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là ;m 2 3
  23. Suy ra mọi x  1;1 đều là nghiệm của bất phương trình (1) 4 m 4 m 1 khi và chỉ khi  1;1  ;m 2 3 3 1 m 2 m 7 m 7 m 1 1 Kết hợp với điều kiện m ta có m 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán 2 4 m 1 * Với m 2 m ta có 3 2 4 m Bất phương trình (1) m 2 x 3 4 m Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là m 2; 3 Suy ra mọi x  1;1 đều là nghiệm của bất phương trình (1) 1 m 2 4 m khi và chỉ khi  1;1  m 2; 4 m 3 1 3 m 3 m 3 m 1 1 Kết hợp với điều kiện m ta có m 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán 2 1 3 1 * Với m ta có bất phương trình (1) x nên m không thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 2 2 Vậy m ( ; 3][7; ) là giá trị cần tìm. Ví dụ 4: Cho (m 1)x2 2(2m 1)x 4m 2 0 khẳng định nào sau đây sai? A. m 1 bất phương trình có tập nghiệm là S ; 1 1 1 B. m bất phương trình có tập nghiệm là S  4 2 1 m 2 C. bất phương trình có tập nghiệm là S (x ; x ) 1 1 2 1 m 4
  24. D. m 1 bất phương trình có tập nghiệm là S ( ; x1)  (x2 ; ) Lời giải: Với m 1: bất phương trình trở thành 6x 6 0 x 1 Với m 1 ta có g(x) (m 1)x2 2(2m 1)x 4m 2 là tam thức bậc hai có : a m 1; ' 8m2 2m 1. Bảng xét dấu m 1 1 1 4 2 m 1 0 + | + | + 8m2 2m 1 + 0 + 0 0 + 1 1 a 0 * m g(x) 0 x R bất phương trình vô nghiệm. 4 2 ' 0 1 m 2 a 0 * S (x ; x ) , với 1 ' 0 1 2 1 m 4 2m 1 (2m 1)(m 1) 2m 1 (2m 1)(m 1) x ; x . 1 m 1 2 m 1 a 0 * m 1 S ( ; x1)  (x2 ; ) ' 0 Kết luận m 1 bất phương trình có tập nghiệm là S ; 1 1 1 m bất phương trình có tập nghiệm là S  4 2 1 m 2 bất phương trình có tập nghiệm là S (x ; x ) 1 1 2 1 m 4 m 1 bất phương trình có tập nghiệm là S ( ; x1)  (x2 ; ) 2. Bài tập luyện tập. Bài 4.92: Giải các bất phương trình sau: a) 2x2 3x 1 0
  25. 1 1 1 A. T ;1 B. T ; C. T ;1 D. T 1; 2 2 2 1 b) x2 x 1 0 4 A. T 3 B. T 4 C. T 2;3 D. T 2 c) 2x2 x 1 0 . A. T ¡ B. T ¡ \ 1 C. T 1; D. T ¡ \ 3;7 d) 7x 2x2 6 3 3 3 A. ;2 B. ;2 C. ; D. 2; 2 2 2 e) x2 22x 51 0 170 A. T  B. T ¡ C. T 9; D.T ;2 3 f) x2 5x 6 0 A. T ; 3 2; B. T ; 3 C. T  3; 2 D. T  2; Lời giải: 1 Bài 4.92: a) T ;1 b) T 2 c) T ¡ 2 3 d) ;2 e) T  f) T ; 3 2; 2 Bài 4.93: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm a) x2 2mx m 3 0 1 2 13 1 2 13 1 3 13 1 3 13 A. m ; B. m ; 2 2 2 2 1 4 13 1 4 13 1 13 1 13 C. m ; D. m ; 2 2 2 2 b) (m 1)x2 2m 2 x 2m 0 m 2 m 3 m 1 m 4 A. B. C. D. m 2 m 3 m 1 m 4
  26. Lời giải: Bài 4.93: a) Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi ' 0 1 13 1 13 m2 m 3 0 x 2 2 1 13 1 13 Vậy với thì phương trình vô nghiệm m ; 2 2 b) Với m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán Với m 1 phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi ' 0 2 m 1 m 1 2m m 1 0 m 1 m 1 0 m 1 m 1 Vậy với thì phương trình có nghiệm m 1 Bài 4.94: Cho mx2 2mx m 1 0 . Khẳng định nào sau đây là sai? A. m 0 bất phương trình có tập nghiệm là S  m m m m B. m 0 bất phương trình có tập nghiệm là S ( ; )  ( ; ) m m C. Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai Lời giải: Bài 4.94:Với m 0 , bất phương trình trở thành: 1 0 bất phương trình vô nghiệm Với m 0 f (x) mx2 2mx m 1 là tam thức bậc hai có a m, ' m ' 0 m m m m * m 0 bất phương trình có tập nghiệm: S ( ; )  ( ; ) . a 0 m m a 0 * m 0 bất phương trình vô nghiệm . ' 0 Kết luận m 0 bất phương trình có tập nghiệm là S  m m m m m 0 bất phương trình có tập nghiệm là S ( ; )  ( ; ) m m Bài 4.95: Tìm m để mọi x 0; đều là nghiệm của bất phương trình m2 1 x2 8mx 9 m2 0
  27. A. m 3; 1 B. m 3; 1 C. m  3; 1 D. m  Lời giải: Bài 4.95: m 1 không thỏa mãn ycbt; m 1 thỏa mãn ycbt Với m 1 ta có bpt m 1 x m 3 m 1 x m 3 0 Đáp số m  3; 1 2 7 Bài 4.96: Cho hàm số f x x bx 1 với b 3, . Giải bất phương trình f f x x . 2 1 b 2 b2 2b 3 1 b 2 b2 2b 3 A. S ;  ; 2 2 1 2b b2 2b 3 1 2b b2 2b 3 B. S ;  ; 2 2 1 3b b2 2b 3 1 3b b2 2b 3 C. S ;  ; 2 2 1 b b2 2b 3 1 b b2 2b 3 D. S ;  ; 2 2 Lời giải: 2 2 Bài 4.96: Ta có f f x – x x (b 1)x b 2 x (b 1)x 1 2 2 Suy ra f f x – x 0 x (b 1)x b 2 x (b 1)x 1 0 Đặt g x x2 b –1 x 1, h x x2 b 1 x b 2 2 2 Ta có g (x) b 2b 3 , h(x) b 2b 7 7 Vì b 3, nên g ( x) 0 và h( x) 0 . Phương trình g x 0 có hai nghiệm 2 1 b b2 2b 3 1 b b2 2b 3 x , x 1 2 2 2 1 b b2 2b 3 1 b b2 2b 3 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S ;  ; 2 2 4. DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN.
  28. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Giải các hệ bất phương trình sau: 2x2 9x 7 0 a) 2 x x 6 0 A. S  1;2 B. S 1;2 C. S ; 1 D. S ¡ 2x2 x 6 0 b) 2 3x 10x 3 0 A. S ( ; 2] B. S (3; ) C. S 2;3 D. S ( ; 2] (3; ) x2 5x 4 0 c) 2 x x 13 0 1 53 1 53 1 53 S ;1 A. S 1; B. C. S ; D. S 1; 2 2 2 x2 4x 3 0 d) 2x2 x 10 0 2 2x 5x 3 0 3 3 3 A. S 1; B. S 1; C. S ;1 D. S ; 2 2 2 Lời giải: x 1 2 2x 9x 7 0 7 a) Ta có x 1 x 2 2 x x 6 0 2 3 x 2 Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S 1;2 . 3 x 2 2x2 x 6 0 x 2 x 3 b) Ta có 2 3x 10x 3 0 x 3 x 2 1 x 3 Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S ( ; 2] (3; ) .
  29. 1 x 4 x2 5x 4 0 c) Ta có 2 1 53 1 53 x x 13 0 x 2 2 1 53 1 x 2 1 53 Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S 1; . 2 x 1 x 3 x2 4x 3 0 2 5 3 d) Ta có 2x x 10 0 2 x 1 x 2 2 2 2x 5x 3 0 3 1 x 2 3 Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S 1; . 2 mx2 x 5 0 Ví dụ 2: Cho hệ bất phương trình 2 1 m x 2mx m 2 0 a) Giải hệ bất phương trình khi m 1 1 2 21 1 2 21 1 3 21 1 3 21 A. S ; B. S ; 2 2 2 2 1 4 21 1 4 21 1 21 1 21 C. S ; D. S ; 2 2 2 2 b) Tìm m để hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi x 1 2 17 31 1 A. m B. m 4 20 20 1 17 1 17 1 C. m D. m 4 4 20 Lời giải: a) Khi m 1 hệ bất phương trình trở thành
  30. 1 21 1 21 2 x x x 5 0 2 2 1 21 1 21 x 2x 3 0 3 2 2 x 2 1 21 1 21 Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S ; 2 2 x 5 0 b) Khi m 0 hệ bất phương trình trở thành 2 (vô nghiệm) do đó m 0 không thỏa mãn yêu x 2 0 cầu bài toán Khi m 1 theo câu a ta thấy cũng không thỏa mãn yêu cầu bài toán m 0 Khi ta có hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi các bất phương trình trong m 1 hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi x m 0 m 0 1 1 1 20m 0 m 20 1 m 0 m 1 2 '2 m 1 m m 2 0 2 2m m 2 0 m 0 1 m 20 1 17 1 m m 1 4 20 1 17 1 17 m 4 4 1 17 1 Vậy m là giá trị cần tìm. 4 20 2 x 3x 2 0 m Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số để hệ sau có nghiệm 2 . mx 2 2m 1 x 5m 3 0 1 1 1 A. m B. m C. m D. m  2 2 2 Lời giải: Ta có bất phương trình x2 3x 2 0 1 x 2 . Yêu cầu bài toán tương đương với bất phương trình: mx2 – 2 2m 1 x 5m 3 0 (1) có nghiệm x S 1;2.
  31. Ta đi giải bài toán phủ định là: tìm m để bất phương trình (1) vô nghiệm trên S Tức là bất phương trình f x mx2 2 2m 1 x 5m 3 0 (2) đúng với mọi x S . 3 m 0 ta có (2) 2x 3 0 x nên (2) không đúng với x S 2 m 0 tam thức f x có hệ số a m , biệt thức ' m2 m 1 Bảng xét dấu m 1 5 1 5 0 2 2 m | 0 + | + m2 m 1 0 + | + 0 1 5 a 0 1 5 +) m ta có: nên f x 0, x ¡ , suy ra m không thỏa mãn 2 ' 0 2 1 5 a 0 3 5 1 5 f x 0, x +) m ta có: nên ¡ và f 0 , suy ra m thỏa mãn. 2 ' 0 2 2 1 5 +) m 0 ta có: a 0 và f x có hai nghiệm phân biệt 2 2m 1 ' 2m 1 ' x , x ( x x ) 1 m 2 m 1 2 x x1 x1 2 Do đó: f x 0 , suy ra (2) đúng với x S (*) x x2 x2 1 1 ' Ta có x 2 2 1 m 1 5 m 0 x2 1 ' m 1 2 2 ' m 2m 1 1 5 m 0 1 5 2 m 0 1 5 1 2 m 0 m . 2 2 2m2 m 0 1 m 2 1 5 1 Suy ra (*) m 2 2
  32. 1 5 +) 0 m ta có: a 0 và f x có hai nghiệm phân biệt 2 2m 1 ' 2m 1 ' x , x ( x x ) 1 m 2 m 1 2 Suy ra f x 0 x x2 ; x1 x2 1 ' m 1 0 Do đó (2) đúng với x S ( ) x 2 1 ' 1 0 Vì m 0 nên ( ) vô nghiệm. 1 Từ đó, ta thấy (2) đúng với x S m . 2 1 Vậy m là những giá trị cần tìm. 2 3. Bài tập luyện tập Bài 4.97: Giải các hệ bất phương trình sau: x2 4x 7 0 a) 2 x 2x 1 0 A. T ;1 2 B. T 1 2; C. T ;1 2  1 2; D. T 1 2;1 2 x2 x 5 0 b) 2 x 6x 1 0 1 A. S ¡ B. S  C. S ;4 D. S 1;2 2 x2 2x 7 c) 4 1 x2 1 3 3 A. T 1; B. T 4; C. T 4; 1; D. T  5 5 1 x2 2x 2 d) 1 13 x2 5x 7 11 11 A. T ; 1 ;3 B. T ¡ C. T ;3 D. T ; 1 4 4 Lời giải: Bài 4.97: a) T ;1 2  1 2; b) Vô nghiệm
  33. 2 2 x2 2x 7 4 x 1 x 2x 7 5x2 2x 3 0 c) 4 1 2 2 2 x 1 x 2x 7 x 1 2x 8 3 Suy ra tập T 4; 1; 5 11 d) T ; 1 ;3 4 Bài 4.98: Tìm m để bất phương trình m2 x m(x 1) 2(x 1) 0 nghiệm đúng với mọi x  2;1 m 0 3 3 A. 0 m B. 0 m C. m D. 3 2 2 m 2 Lời giải: Bài 4.98: Đặt f x m2 m – 2 x m 2 f ( 2) 0 (m2 m 2)( 2) m 2 0 Bài toán thỏa mãn: 2 f (1) 0 (m m 2)(1) m 2 0 3 2 m 2 2m m 6 0 2 3 0 m 2 m 2 m 2m 0 2 m 0 x2 1 2m x 2m 0 Bài 4.99: Cho 2 khẳng định nào sai? x 2 m x 2m 0 A. m 1: S  2;1, B. 1 m 0 : S 2a; a C. m 0 : S 0 D. m 0 : S 1 Lời giải: Bài 4.99: m 1: S  2;1, 1 m 0 : S 2a; a, m 0 : S 0, m 0 : S  Bài 4.100: Tìm m để bất phương trình 2x2 2m 1 x m2 2m 2 0 nghiệm đúng với mọi 1 x ;2 . 2 21 2 34 21 2 34 A. 2 m B. m 10 10
  34. m 2 C. 2 m D. 21 2 34 m 10 Lời giải: Bài 4.100: Đặt f x 2x2 2m 1 x m2 2m 2 , có 4m2 20m 15 5 10 m 2 0 , suy ra f x 0, x ¡ nên trường hợp này không thỏa yêu cầu bài toán. 5 10 m 2 5 10 5 10 f x 0 m ; , khi đó có hai nghiệm 2 2 2m 1 2m 1 x , x ( x x ) 1 4 2 4 1 2 Và f x 0 x x1; x2 . 2 2m 1 4 1 x1 2m 1 2 2 Do đó yêu cầu bài toán 2 7 2m 7 2m x2 2 1 7 m 2 2 20m2 84m 61 0 2 21 2 34 m 6m 8 0 2 m 10 1 7 m 2 2 21 2 34 Vậy 2 m là những giá trị cần tìm. 10 Bài 4.101: Cho phương trình: x2 2mx m2 m 1 0 1 a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x 1. A. m 2; B. m 3; C. m 4; D. m 1; b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x 1. A. m 1;2 B. m ;1 C. m 2; D. m 1;2
  35. c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1 1 x2 . m 1 A. 1 m B. m 2 C. 1 m 2 D. m 2 d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1 x2 1. A. 1 m B. m 2 C. 1 m 2 D.không tồn tại m Lời giải: Bài 4.101: Đặt t x 1 x t 1, thay vào pt (1) ta được phương trình: t 2 2 1 m t m2 3m 2 0 2 a) Để phương trình (1) có nghiệm x 1 phương trình (2) có nghiệm t 0 2 TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2 P 0 m 3m 2 0 1 m 2 . ' 0 m 1 0 m 1 2 m 1 TH2: Phương trình (2) có nghiệm : 0 t1 t2 P 0 m 3m 2 0 m 2 m 2 S 0 m 1 0 m 1 Kết luận: với m 1; thì phương trình (1) có nghiệm x 1. b) Để phương trình (1) có nghiệm x 1 phương trình (2) có nghiệm t 0 2 TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2 P 0 m 3m 2 0 1 m 2 . ' 0 m 1 0 2 TH2: Phương trình (2) có nghiệm t1 t2 0 P 0 m 3m 2 0 m 1 S 0 m 1 0 Kết luận: với m 1;2 thì phương trình (1) có nghiệm x 1. c) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1 1 x2 phương trình (2) có 2 nghiệm: 2 t1 0 t2 m 3m 2 0 1 m 2 . Kết luận: với 1 m 2 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 1 x2 d) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1 x2 1 phương trình (2) có 2 nghiệm: ' 0 m 1 0 2 t1 t2 0 P 0 m 3m 2 0 (vô nghiệm) S 0 m 1 0 Kết luận: không tồn tại m để phương trình (1) có nghiệm x1 x2 1.
  36. 5. DẠNG TOÁN 3: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẤU THỨC. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Giải các bất phương trình : a) 1 2x x2 x 1 0 1 5 1 5 1 1 5 1 1 5 1 1 5 A. S ; B. S ; C. S ;  ; D. S ; 2 2 2 2 2 2 2 2 b) x4 5x2 2x 3 0 1 13 1 5 1 13 1 5 A. S ; B. S ; 2 2 2 2 1 13 1 5 1 13 1 5 C. S ;  ; D. S  2 2 2 2 Lời giải: a) Bảng xét dấu x 1 5 1 1 5 2 2 2 1 2x | 0 + | + x2 x 1 + 0 – | – 0 + VT 0 + 0 0 + Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: 1 5 1 1 5 S ;  ; 2 2 2 b) Bất phương trình (x4 4x2 4) (x2 2x 1) 0 (x2 2)2 (x 1)2 0 (x2 x 3)(x2 x 1) 0 . Bảng xét dấu x 1 13 1 5 1 13 1 5 2 2 2 2 x2 x 3 + 0 – | – 0 + | +
  37. x2 x 1 + | + 0 – | – 0 + VT + 0 – 0 + 0 – 0 + Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: 1 13 1 5 1 13 1 5 S ;  ; . 2 2 2 2 Ví dụ 2: Giải các bất phương trình : x2 1 a) 0 x2 3 3x2 2x 8 4 4 A. S 3;  1;1 B. S 3;  3;2 3 3 4 C. S 1;1  3;2 D. S 3;  1;1  3;2 3 2x2 1 b) x2 10 x2 8 A. S (2 2;3] B. S [ 3; 2 2) C. S [ 3; 2 2)  (2 2;3] D. S ¡ \ 8 Lời giải: a) Bảng xét dấu x 4 3 1 1 3 2 3 x2 1 + | + | + 0 0 + | + | + x2 3 + 0 | | | 0 + | + 3x2 2x 8 | 0 + 0 + | + | + 0 VT || + || 0 + 0 || + || Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: 4 S 3;  1;1  3;2 3 2 2 2 2x 1 2x 1 2 b) Ta có x 10 2 2 x 10 0 x 8 x 8
  38. 2 2 2 2x 1 x 8 x 10 81 x4 0 0 x2 8 x2 8 2 2 9 x 9 x 9 x2 0 0 x2 8 x2 8 Bảng xét dấu x 3 2 2 2 2 3 9 x2 0 + | + | + 0 x2 8 + | + 0 | + | + VT 0 + || || + 0 Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S [ 3; 2 2)  (2 2;3] Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau x2 x 2 a) 0 x2 x 1 1 5 1 5 A. S ( ; 1] ; ; B. S ( ; 1][2; ) 2 2 1 5 1 5 1 5 1 5 C. S ; [2; ) ; D. S ( ; 1] ; [2; ) 2 2 2 2 x2 1 x 1 b) 0 x2 3x 6 A. S  1;0 B. S [1; 3) C. S  1;0[1; 3) D. S  Lời giải: a) Vì x2 x 2 0 nên x2 x 2 x2 x 2 x2 x 2 x2 x 2 x2 x 2 0 0 0 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 Bảng xét dấu
  39. x 1 5 1 5 1 2 2 2 x2 x 2 + 0 | | 0 + x2 x 2 + | + | + | + | + x2 x 1 + | + || || + 0 + x2 x 2 x2 x 2 2 x x 1 + 0 || + || 0 + Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 1 5 1 5 S ( ; 1] ; [2; ) 2 2 x 1 x 1 0 x 1 b) ĐKXĐ: x 3 2 x 3x 6 0 x 3 x 2 3 Vì x2 1 x 1 0 nên 2 2 x2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 0 x2 3x 6 x2 3x 6 x2 x 0 x2 3x 6 Bảng xét dấu x 2 3 0 1 3 x2 x + 0 + 0 0 + | + x2 3x 6 + 0 | | 0 + x2 x 2 x 3x 6 + || 0 + 0 || + Dựa vào bảng xét dấu và đối chiếu điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S  1;0[1; 3) Nhận xét: Ở câu b chúng ta phải đặt điều kiện thì khi đó các phép biến đổi trên mới đảm bảo là phép biến đổi tương đươc.
  40. 2 x 1 Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình x m m 3 3 2 0 (*) có nghiệm . x x 3x 3 m 2 A. 2 m B. m 1 C. 2 m 1 D. m 1 Lời giải: 2 x 1 x 2 3x 3x 4 3 0 0 Ta có * x3 x2 3x 3 x 1 x2 3 ( ) 2 x m m 2 x m m Bảng xét dấu x 3 57 3 57 3 1 3 2 6 6 x 1 0 + + + x 2 0 + 3x2 3x 4 + 0 0 + + + + x2 3 + + 0 0 + + x 2 3x2 3x 4 x 1 x2 3 + 0 || + 0 || + || 0 + x 2 3x2 3x 4 Tập nghiệm của bất phương trình 0 là x 1 x2 3 3 57 3 57 S ; 3  ;1  3;2 6 6 Do đó bất phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi hệ bất phương trình ( ) có nghiệm m2 m 2 m2 m 2 0 2 m 1 Vậy 2 m 1 là giá trị cần tìm. 2. Bài tập luyện tập. Bài 4.102: Giải các bất phương trình sau a) (4 3x)( 2x2 3x 1) 0 1 4 1 4 1 A. T ( ; ] B. T 1; C. T ( ; ] 1; D. T ;1 2 3 2 3 2
  41. 3 b) x2 x 0 x2 x 2 1 13 1 13 A. T ; 2 B. T 1; 2 2 1 13 1 13 T 2;1 C. T ; 2  1; D. 2 2 c) x4 x2 2x 1 0 1 5 1 5 A. T ; B. T ; 2 2 1 5 1 5 1 5 1 5 C. T ;  ; D. T ; 2 2 2 2 x2 4 3x2 2x 8 d) 0 x2 2x 4 4 A. T ; 2  ;0  2;2 B. T ; 2  ;0  2; 3 3 4 C. T ; 2  2;2  2; D. T ; 2  ;0  2;2  2; 3 1 x2 2x e) 0 x2 x 2 A. T 2;1 2 B. T 1;1 2 C. T 2;1 2  1;1 2 D. T 1 2;1 x2 1 x3 1 f) 0 x2 x A.T 1;0 B. T 1; C. T 1;0 1; D. T 0;1 Lời giải: Bài 4.102: a) BXD :
  42. x 1 4 1 2 3 4 3x | | 0 2x2 3x 1 0 0 | VT 0 0 0 1 4 T ( ; ] 1; 2 3 (x2 x)2 2(x2 x) 3 b) Bpt 0 x2 x 2 (x2 x 1)(x2 x 3) x2 x 3 1 13 1 13 0 0 T ; 2  1; 2 2 x x 2 x x 2 2 2 1 5 1 5 c) T ;  ; 2 2 4 d) T ; 2  ;0  2;2  2; 3 e) T 2;1 2  1;1 2 f) T 1;0 1; 6. DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT. 1. Phương pháp giải. 1. Ta đưa bất đẳng thức về một trong các dạng ax2 bx c 0 , ax2 bx c 0 , ax2 bx c 0 a 0 a 0 a 0 a 0 hoặc ax2 bx c 0 rồi đi chứng minh(theo thứ tự) , , hoặc . 0 0 0 0 2. Nếu BĐT cần chứng minh có dạng: A2 4BC (hoặc A2 BC ) ta có thể chứng minh tam thức f (x) Bx2 Ax C (hoặc f (x) Bx2 2Ax C ) luôn cùng dấu với B. Khi đó ta sẽ có 0 . 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Cho hai số thực x, y . Chứng minh rằng 3x2 5y2 2x 2xy 1 0 Lời giải: Viết bất đẳng thức lại dưới dạng 3x2 2(y 1)x 5y2 1 0
  43. Đặt f (x) 3x2 2(y 1)x 5y2 1 xem y là tham số khi đó f x là tam thức bậc hai ẩn x có hệ số ax 3 0 và 2 2 2 x ' ( y 1) 3(5y 1) 14 y 2 y 2 2 Xét tam thức g y 14y 2y 2 có hệ số ay 14 0 và 'y 27 0 Suy ra 'x 0 Do đó f x 0 với mọi x, y . Nhận xét: * Khi gặp bài toán chứng minh BĐT có dạng: f (a1,a2 , ,an ) 0 a1,a2 , ,an mà f (a1,a2 , ,an ) g(ai ) là một tam thức bậc hai với ẩn ai có hệ số a 0 , ta có thể sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để chứng minh. Khi đó g(a ) 0 0 . i ai Ví dụ 2: Cho x, y, z là số thực. Chứng minh rằng x2 y2 z2 x2 y2 z2 4xyz y2 z2 2yz 1 0 . Lời giải Bất đẳng thức viết lại 1 y2 z2 x2 4xyz y2 z2 y2 z2 2yz 1 0 Đặt f x 1 y2 z2 x2 4xyz y2 z2 y2 z2 2yz 1, khi đó f x là một tam thức bậc hai ẩn x có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 hệ số a 1 y z 0 và 'x 4y z 1 y z y z y z 2yz 1 2 2 2 2 4 2 3 3 2 4 4 4 'x (1 y 2 yz z 2 y z y z 2 y z y z y z ) Áp dụng BĐT a2 b2 2ab ta có y4 z2 y2 z4 2y3 z3 , y4 z4 1 2y2 z2 và y2 z2 2yz Cộng vế với vế lại suy ra 'x 0 Do đó f x 0, x, y, z . ĐPCM. Ví dụ 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và x, y, z thỏa mãn: a2 x b2 y c2 z 0 .Chứng minh rằng: xy yz zx 0 . Lời giải: * Nếu trong ba số x,y,z có một số bằng 0, chẳng hạn x 0 b2 y c2 z . c2 xy yz zx yz z2 0 . b2 b2 y c2 z * x, y, z 0 .Do a2 x b2 y c2 z 0 x a2
  44. b2 y c2 z xy yz zx 0 (y z) yz 0 a2 f (y) b2 y2 (b2 c2 a2 )yz c2 z2 0 . 2 2 2 2 2 2 2 Tam thức f (y) có y (b c a ) 4b c z . | b c | a 2 2 2 Vì 2bc b c a 2bc b c a 2 2 2 2 2 2 (b c a ) 4c b y 0, z f ( y) 0 y, z . Ví dụ 4: (BĐT Bunhiacốpski) Cho 2n số a1,a2 , ,an ,b1,b2 , ,bn . Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 2 (a1b1 a2b2 anbn ) (a1 a2 an )(b1 b2 bn ) . Lời giải: 2 2 2 * Nếu a1 a2 an 0 BĐT hiển nhiên đúng. 2 2 2 * Nếu a1 a2 an 0 . Xét tam thức : 2 2 2 2 2 2 2 f (x) a1 a2 an x 2(a1b1 a2b2 anbn )x b1 b2 bn 2 2 2 (a1x b1 ) (a2 x b2 ) (an x bn ) 0 x 2 2 2 2 2 2 2 (a1b1 a2b2 anbn ) (a1 a2 an )(b1 b2 bn ) 0 2 2 2 2 2 2 2 (a1b1 a2b2 anbn ) (a1 a2 an )(b1 b2 bn ) a a a Đẳng thức có 1 2 n . b1 b2 bn 3. Bài tập luyện tập. Bài 4.104: Tìm tất cả các giá trị của y sao cho BĐT sau đúng với x, z ¡ . x2 9y2 5z2 6xy 4xz 12yz 2z 1 0. 2 2 2 y A. y B. y 0 C. y 0 D. 3 3 3 y 0 Lời giải: Bài 4.104: BĐT đã cho đúng với x, z ¡ tam thức f (x) 0 x, z (Trong đó f (x) x2 2(3y 2z)x 9y2 5z2 12yz 2z 1 ) 2 2 2 2 'x (3y 2z) (9 y 5z 12 yz 2z 1) z 2(3y 1)z 1 0 z
  45. 2 ' (3y 1)2 1 0 3y(3y 2) 0 y 0 . z 3 2 Vậy y 0 là những giá trị cần tìm. 3 Bài 4.105: Cho x, y,z 0 thỏa mãn: xy yz zx xyz 4 . Chứng minh rằng : x y z xy yz zx . Lời giải: 4 yz Bài 4.105: Ta giả sử z min{x, y, z} z 1. Từ giả thiết x y z yz 4 yz 4 yz Nên (1) y z (y z) yz f (y) (1 z z2 )y2 (z2 z 4)y (z 2)2 0 . y z yz y z yz Tam thức f (y) có hệ số a 1 z z2 0 (do z 1) và có biệt thức : z(z 1)2 (5z 8) 0 f (y) 0 đpcm. Đẳng thức xảy ra x y z 1 hoặc (x; y; z) (2;2;0) và các hoán vị. Bài 4.106: Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng: xzy 2(x2 y2 z2 ) 8 5(x y z) . Lời giải: Bài 4.106: Trong ba số x,y,z luôn tồn tại hai số cùng không nhỏ hơn 1 hoặc cùng không lớn hơn 1. Ta giả sử hai số đó là x và y. Khi đó ta có: (x 1)(y 1) 0 xy x y 1 xyz xz yz z . xyz 2(x2 y2 z2 ) 8 xz yz z 2(x2 y2 z2 ) 8 . Nên ta chứng minh: xz yz z 2(x2 y2 z2 ) 8 5(x y z) f (z) 2z2 (x y 6)z 2(x2 y2 ) 5(x y) 8 0 . 2 2 Tam thức f (z) có a 2 0 và z 15x 2( y 14)x 15y 28y 28 2 z là tam thức bậc hai ẩn x, có a 15 0 và x 224(y 1) 0 z 0 f (z) 0 (đpcm). Đẳng thức xảy ra x y z 1. Bài 4.107: Cho các số thực x, y thỏa mãn bất phương trình5x2 5y2 5x 15y 8 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x 3y. A.2 B.3 C.4 D.5 Lời giải: Bài 4.107: Cho các số thực x, y thỏa mãn bất phương trình5x2 5y2 5x 15y 8 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x 3y.
  46. HD: Do S x 3y x S 3y , thay vào giả thiết 5x2 5y2 5x 15y 8 0 và viết theo hệ số của biến y ta thu được 50y2 30Sy 5S 2 5S 8 0(*) Vì bất đẳng thức trên đúng với mọi y nên ta có 0, tức là 900S 2 4.50.(5S 2 5S 8) 0 Biến đổi tương đương ta thu được 100S 2 1000S 1600 0 hay 100S 2 1000S 1600 0 2 S 8 3 9 1 Khi S 2 thay vào (*) được 50y2 60y 18 0 y nên x S 3y 2 5 5 5 12 36 4 Khi S 8 thay vào (*) được 50y2 240y 288 0 y x S 3y 8 5 5 5 max S 8,min S 2 Bài 4.108: Cho a,b là các số thực thỏa mãn a2 b2 4a 3b. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P 2a 3b. 9 45 13 9 5 13 9 4 13 9 45 13 A. B. C. D. 18 18 18 8 Lời giải: P 2a Bài 4.108: Ta có: P 2a 3b b 3 Thay vào biểu thức phía trên ta được: P 2a P 2a a2 ( )2 4a 3( ) 13a2 2(27 2P)a 9P P2 0 3 3 Ta cần tìm P để phương trình trên tồn tại a. Tức là ta phải có: 9 45 13 9 45 13 i 9P2 9P 729 0 P 18 18 Bài 4.109: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x2 y2 z2 5 và x y z 3 . Tìm giá trị lớn nhất x y 2 P z 2 A.0 B.1 C.2 D.3 Lời giải:
  47. 2 2 x y x y 2 2 Bài 4.109: Từ điều kiện ta có x2 y2 5 z2 x y 10 2z2 3 z 2 2 Do đó x y 1 6z 3z2 Dễ thấy z 2 . Ta có P z 2 2 x y 2 2 Do đó P z 2 2 1 6z 3z z 2 2 P2 4 z 2 P 4 1 6z 3z2 P2 3 z2 4P2 4P 6 z 4P2 8P 3 0 ' 2 2 2 2 Phương trình có nghiệm ẩn z khi và chỉ khi z 0 2P 2P 3 P 3 4P 8P 3 0 36 P 0 23 Ta có P 0 khi x 2, y 0, z 1 36 20 66 7 P khi x , y , z 23 31 31 31 Bài 4.110: Cho a,b,c là số thực. Chứng minh rằng 2(a b c ab bc ca 1)2 (ab bc ca 2)2 3 Lời giải: ab bc ca 2 3 Bài 4.110: Nếu . thì bất đẳng thức dễ dàng được chứng minh. ab bc ca 2 3 Xét trường hợp ngược lại 2 3 ab bc ca 2 3 . Ta đặt x a b c, y ab bc ca . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2(x y 1)2 (y 2)2 3 2x2 4x(y 1) 3y2 8y 3 0 . Đặt f (x) 2x2 4x(y 1) 3y2 8y 3 . Ta dễ dàng tính được ' 4(y 1)2 2(3y2 8y 3) 2y2 8y 2 2 y (2 3) y (2 3) 0. f (x) Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai thì bài toán được chứng minh. Bài 4.111: Cho a và b là các số thực thỏa mãn 9a2 8ab 7b2 6 . Chứng minh rằng 7a 5b 12ab 9 . Lời giải: Bài 4.111: Xét tam thức bậc hai f a 9a2 4b 7 a 7b2 5b 3 với b là tham số 2 2 2 Ta có f 4b 7 36 7b 5b 3 59 2b 1 0
  48. Suy ra f a 0 9a2 4b 7 a 7b2 5b 3 0 7a 5b 12ab 9 9a2 8ab 7b2 6 Theo giả thiết ta có 9a2 8ab 7b2 6 nên 7a 5b 12ab 9 . Bài 4.112: Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn: x y z 1 . Tìm giá trị lớn nhất của: P 9xy 10yz 11zx . 45 49 95 495 A. max P B. max P C. max P D. max P 18 148 148 148 Lời giải: Bài 4.112: Để ý rằng, với giả thiết x y z 1thì P 9xy 10yz 11zx 9xy z 10y 11x 9xy 1 x y 10y 11x Khai triển và rút gọn, ta thu được: P 11x2 10y2 11x 10y 12xy Tương đương với 11x2 (12y 11)x 10y2 10y P 0 * Coi đây là tam thức bậc hai ẩn x, do điều kiện tồn tại của x nên suy ra (*) phải có nghiệm, tức (12y 11)2 44(10y2 10y P) 0 2 74 2 22 121 Hay 296y 176y 121 44P 0 . Tương đương P y y 11 37 296 2 22 121 5445 74 5445 495 Ta có y y Suy ra P . 37 296 10952 11 10952 148 495 Vậy max P 148 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. TỔNG HỢP LẦN 1. 1. Tập nghiệm củabất phương trình x2 4x 4 0 là: A. 2; . B. ¡ . C. ¡ \ 2 .D. ¡ \ 2 . 2. Tập nghiệm củabất phương trình x2 6x 9 0 là: A. 3; . B. ¡ . C. ¡ \ 3 .D. ¡ \ 3 . 3. Tập nghiệm củabất phương trình x2 6x 9 0 là: A. 3; . B. ¡ .C. ¡ \ 3 . D. ¡ \ 3 . 4. Tập nghiệm củabất phương trình x2 2x 1 0 là: A. 1; . B. ¡ .C. ¡ \ 1 . D. ¡ \ 1 .
  49. 5. Tập nghiệm củabất phương trình x2 2x 1 0 là: A. 1; . B. ¡ .C. ¡ \ 1 . D. ¡ \ 1 . 6. Tam thức y x2 2x 3 nhận giá trị dương khi và chỉ khi A. x –3 hoặc x –1.B. x –1 hoặc x 3. C. x –2 hoặc x 6 . D. –1 x 3. 7. Tam thức y x2 12x 13 nhận giá trị âm khi và chỉ khi A. x –13 hoặc x 1.B. x –1 hoặc x 13. C. –13 x 1.D. –1 x 13. 8. Tam thức y x2 3x 4 nhận giá trị âm khi và chỉ khi A. x –4 hoặc x –1.B. x 1 hoặc x 4 . C. –4 x –4 .D. x ¡ . 9. Tam thức nào sau đây nhận giá trị âm với mọi x 2 ? A. y x2 5x 6 . B. y 16 x2 . C. y x2 2x 3 . D. y x2 5x 6 . 10. Tập nghiệm của bất phương trình x2 1 0 là: A. 1; . B. 1; . C. 1;1 .D. ; 1  1; . 11. Tập nghiệm của bất phương trình x2 x 1 0 là: 1 5 1 5 A. ¡ .B. ;  ; . 2 2 1 5 1 5 ; 1 5  1 5; C. ; .D. . 2 2 12. Tập nghiệm củabất phương trình x2 4x 4 0 là: A. 2; . B. ¡ .C. ¡ \ 2 . D. ¡ \ 2 . 13. Tập nghiệm của bất phương trình x2 4 2x 8 0 là: A. ;2 2 .B. ¡ \ 2 2.C.  .D. ¡ . 14. Tập nghiệm của bất phương trình x2 x 6 0 là: A. ; 3  2; .B. 3;2 . C. 2;3 .D. ; 2  3; . 15. Tập nghiệm của bất phương trình x2 9 là: A. –3;3 .B. ; 3 . C. ;3 . D. ; 3  3; . 16. Tập nghiệm củabất phương trình x2 6 2x 18 0 là: A. 3 2; .B. 3 2; .C.  .D. ¡ .
  50. 17. Tập nghiệm của bất phương trình x2 3 2 x 6 0 là: A. 2; 3 .B. 2; 3 .C. 3; 2 .D. 3; 2 . 18. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ? A. Nếu a2 0 thì a 0 .B. Nếu a2 a thì a 0 . C. Nếu a2 a thì a 0 .D. Nếu a 0 thì a2 a . x2 2x 8 19. Tập nghiệm của bất phương trình 0 là: x 1 A. 4; 1  1;2 .B. 4; 1 . C. 1;2 .D. 2; 1  1;1 . 2x2 3x 1 20. Tập nghiệm của bất phương trình 0 là 4x 3 1 3 3 1 3 3 A. ;  ;1 . B. ;  ;1 . 2 4 4 2 4 4 1 1 C. ;1 .D. ;  1; . 2 2 21. Tập xác định của hàm số y 8 x2 là A. 2 2;2 2 . B. 2 2;2 2 . C. ; 2 2  2 2; . D. ; 2 2  2 2; . 22. Tập xác định của hàm số y 5 4x x2 là 1 A.  5;1 .B. ;1 . 5 1 C. ; 51; .D. ; 1; . 5 23. Tập xác định của hàm số y 5x2 4x 1 là 1 1 A. ; 1; . B. ;1 . 5 5 1 1 C. ; 1; . D. ; 1; . 5 5 2 24. Tập xác định của hàm số y là: x2 5x 6 A. ; 61; .B. 6;1 . C. ; 6  1; .D. ; 1  6; .
  51. 25. Tập nghiệm của bất phương trình x2 x 12 x2 x 12 là A.  .B. ¡ . C. 4; 3 . D. ; 4  3; . 26. Tập nghiệm của bất phương trình x2 x 12 x 12 x2 là A. ; 3  4; . B. ; 4  3; . C. 6; 2  3;4 . D. 4;3 . 27. Biểu thức m2 2 x2 2 m 2 x 2 luôn nhận giá trị dương khi và chỉ khi: A. m 4 hoặc m 0 . B. m 4 hoặc m 0 . C. 4 m 0 . D. m 0 hoặc m 4 . 1 28. Tập xác định của hàm số y x2 x 2 là x 3 A. 3; . B. 3; . C. ;1  3; .D. 1;2  3; . 1 29. Tập xác định của hàm số y x2 3x 2 là x 3 A. 3; . B. 3;12; . C. 3;1 2; . D. 3;1  2; . 30. Tập nghiệm củabất phương trình x 2x 0 là 1 1 A. ; . B. 0; . 4 4 1 1 C. 0; .D. 0 ; . 4 4 1 31. Tập nghiệm của bất phương trình 2 là x 1 1 A. ; . B. 0; . 2 2 1 C. ;0  ; .D. ;0 . 2
  52. 2 32. Tập nghiệm của bất phương trình 1 là m A. 2;0 . B. ; 2 . 1 C. 2; . D. ;  1; . 2 x2 x 1 33. Tập nghiệm của bất phương trình x là 1 x 1 1 A. ;1 . B. ; . 2 2 1 C. 1; . D. ;  1; . 2 34. Tập nghiệm của bất phương trình x 3x 0 là 1 1 A. ; . B. 0; . 9 9 1 1 0 U ; C.  . D. 0 ; . 9 9 1 1 35. Tập nghiệm của bất phương trình là x 4 A. 0;16 . B. 0;16 . C. 0;4 . D. 16; . x x 1 36. Tập nghiệm của bất phương trình 3là x A. 1; . B. 0; . C. 0; . D. 0;1 . 37. Phương trình m 2 x2 3x 2m 3 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi 3 A. m –2. B. 2 m 2 . 3 3 C. m D. m 2 hoặc m 2 . 2 . 38. Tập nghiệm của phương trình x2 5x 6 x2 5x 6 là A. 2;3 . B. 2;3 . C. ;2  3; . D. ;23; . 39. Tập nghiệm của phương trình x2 7x 12 7x x2 12 là A. 3;4 . B. 3;4 . C. 3;4 . D. ;34; .
  53. 2 x 7x 10 x2 7x 10 40. Tập nghiệm của phương trình là x 3 x 3 A. 5; . B. 3;5 . C. 2;5 . D. 5; . 2 x 8x 12 x2 8x 12 41. Tập nghiệm của bất phương trình là 5 x 5 x A. 2;6 . B. 2;5 . C. –6; –2 . D. 5;6 . 42. Nếu 2 m 8 thì số nghiệm của phương trình x2 mx 2m 3 0 là A. 0. B. 1. C. 2.D. Chưa xác định được. 43. Phương trình m 1 x2 x 3m 4 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi 4 3 A. m –1 hoặc m B. m –1 hoặc m 3 . 4 . 4 4 C. m D. 1 m 3 . 3 . 44. Phương trình x2 mx 2m 0 có nghiệm khi và chỉ khi A. m 2 hoặc m 0 . B. m 0 hoặc m 8 . C. 8 m 0 . D. m 8 hoặc m 0 . 45. Phương trình x2 mx m2 m 0 có nghiệm khi và chỉ khi 4 4 1 1 A. 0 m . B. m 0 . C. m 0 . D. 0 m . 3 3 3 3 2 x 2x 2 46. Số nào sau đây là nghiệm của phương trình x2 x 1 x2 x 1 4 A. 0. B. –4.C. 4.D. . 3 47. Phương trình mx2 2mx 1 0 có nghiệm khi và chỉ khi A. m 0 hoặc m 1. B. m 0 hoặc m 4 . C. m 0 hoặc m 1. D. 0 m 1 . 48. Phương trình x2 2(m 2)x m2 m 6 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi A. m –2. B. –3 m 2. C. m –2. D. –2 m 3. 49. Phương trình x2 4mx m 3 0 vô nghiệm khi và chỉ khi 3 3 A. m 1. B. m 1. C. m hoặc m 1. D. . 4 4 50. Phương trình x2 (m 1)x 1 0 có nghiệm khi và chỉ khi A. m 1. B. –3 m 1. C. m 3 hoặc m 1. D. 3 m 1.
  54. 51. Phương trình x2 mx m 0 vô nghiệm khi và chỉ khi A. –1 m 0. B. 4 m 0 . C. –4 m 0. D. m –4 hoặc m 0. x m 0 (1) 52. Cho hệ bất phương trình 2 2 x x 4 x 1 (2) Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: A. m –5. B. m –5. C. m 5. D. m 5. 1 53. Tập xác định của hàm số y x2 x 1 là x 4 A. ¡ . B. ¡ \ 4 . C. ¡ \ 4 . D. 4; . 54. Tập xác định của hàm số y 4x 3 x2 5x 6 là 3 3 6 3 A. 1; . B. ; . C. ;1 . D. ; . 4 4 5 4 55. Tập xác định của hàm số y x2 x 2 2x 3 là 3 3 3 A. 1; . B.  2;1 ; . C. ; . D. ; . 2 2 2 56. Phương trình x2 2(m 2)x m2 m 6 0 có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi A. m 2. B. –3 m 2. C. m –2 hoặc m 3. D. –2 m 3. 57. Hai phương trình x2 x m 1 0 và x2 (m 1)x 1 0 cùng vô nghiệm khi và chỉ khi 3 A. 0 m 1. B. m 1. 4 3 5 C. m hoặc m 1. D. m 1. 4 4 1 1 58. Tập nghiệm của bất phương trình là x 3 x 3 A. ; 33; . B. ¡ . C. 3; . D. ; 3  3; . 1 59. Tập xác định của hàm số y x2 x 2 là 2x 3 2 2 3 3 A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . 3 3 2 2 60. Các giá trị của m để phương trình 3x2 (3m 1)x m2 4 0 có hai nghiệm trái dấu là A. m 4. B. –2 m 2. C. m 2. D. m –2 hoặc m 2.
  55. x2 1 61. Tập xác định của hàm số y là 1 x A. ; 1 . B.  1; \ 1 . C. ; 1 1; . D. ;1 . 2x2 3x 4 62. Tập nghiệm của bất phương trình 1là: x2 2 A. ; 1  2; . B. ; 2  1; . C. ;1  2; . D. ;2  4; . (m 1)x (m 2)x 2m 1 63. Tập hợp các giá trị của m để phương trình có nghiệm là 4 x2 4 x2 7 3 5 7 5 7 A. ; . B. ; . C. ; . D. ¡ . 2 2 2 2 2 2 x m 2m 64. Tập hợp các giá trị của m để phương trình x 1 có nghiệm là x 1 x 1 1 1 1 A. ; . B. ; . C. 1; . D. ; . 3 3 3 x2 3 65. Tập xác định của hàm số y là 1 x A. ; 1  1; . B. –1;1 . C. ¡ \ 1; 1 . D.  1;1 . 66. Tập hợp các giá trị của m để phương trình m2 (x 1) 2x 5m 6 có nghiệm dương là A. ; 1  6; . B. –1;6 . C. ;2  3; . D. 2;3 . x 5 2m 67. Tập hợp các giá trị của m để phương trình có nghiệm là 1 x2 1 x2 A. 2;3 . B. ¡ . C. 2;3 . D. –1;1 . 68. Cho biểu thức M x2 3x 2 , trong đó x là nghiệm của bất phương trình x2 3x 2 0. Khi đó A. M 0. B. 6 M 12. C. M 12. D. M nhận giá trị bất kì. 69. Số dương x thoả mãn bất phương trình x 3x khi và chỉ khi 1 1 1 A. x 9. B. x . C. x . D. x . 3 9 9 70. Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình bậc hai x2 2(m 1)x 3m 0 có nghiệm là A. 0 . B. ¡ \ 0 . C. ¡ . D.  . 71. Phương trình mx2 mx 2 0 có nghiệm khi và chỉ khi A. m 0 hoặc m 8 . B. m 0 hoặc m 8 .
  56. C. 0 m 8 . D. 0 m 8 . 72. Tập nghiệm của bất phương trình x + 1 0 với mọi x khi và chỉ khi. A. m £ 0 hoặc m > 12 B. m 12 C. 0 £ m 0 B. m < –2 hoặc m ³ 0 C.–2 < m < 0 D. –2 < m £ 0 1 77. Bất phương trình x2 - x + £ 0 có tập nghiệm là. 4 æ ö ì ü æ ö æ ö ç 1÷ ï 1ï ç 1÷ ç1 ÷ A. ç- ¥ ; ÷ B. C.í D.ý ç- ¥ ;- ÷ ç ;+ ¥ ÷ èç 2ø÷ îï 2þï èç 2ø÷ èç2 ø÷ TỔNG HỢP LẦN 2. 1. Cho tam thức bậc haif (x) x2 bx 3 . Với giá trị nào của b thì tam thức f (x) có hai nghiệm? A. b 2 3;2 3 .B. . b 2 3;2 3 C. .bD. ; 2 3  2 3; . b ; 2 3  2 3; 2. Giá trị nào của m thì phương trình x2 mx 1 3m 0 có 2 nghiệm trái dấu? 1 1 A. m . B. m .C. .D. m . 2 m 2 3 3 3. Gía trị nào của m thì phương trình m 1 x2 2 m 2 x m 3 0 có 2 nghiệm trái dấu? A. m 1 . B. m 2 .C. .D. m 3 . 1 m 3 4. Giá trị nào của m thì phương trình m 3 x2 m 3 x m 1 0 (1) có hai nghiệm phân biệt? 3 3 A. m ;  1; \ 3 .B. . m ;1 5 5 3 2 C. .mD. ; . ax - x + a ³ 0," x Î ¡ m Î ¡ \{3} 5 5. Tìm m để (m+ 1)x2 + mx + m < 0," x Î ¡ ?
  57. 4 4 A. m 1 .B. .C. m .D. 1 . m m 3 3 6. Tìm m để f (x) = x2 - 2(2m- 3)x + 4m- 3 > 0," x Î ¡ ? 3 3 3 3 A. m . B. m .C. .D. m . 1 m 3 2 4 4 2 7. Với giá trị nào của a thì bất phương trình ? 1 1 A. a 0 . B. a 0 .C. .D. 0 2 . m > 3 11. Gọi x1 , x2 là nghiệm phân biệt của phương trình . Khẳng định nào sau đúng? A. . B. .C. .D. . 12. Các giá trị làm cho biểu thức luôn luôn dương là: A. . B. .C. .D. . 13. Các giá trị để tam thức đổi dấu 2 lần là A. hoặc . B. hoặc .C. . D. . 14. Tập xác định của hàm số là A. .B. . C. .D. . 15. Dấu của tam thức bậc 2: được xác định như sau A. với và với hoặc . B. với và với hoặc . C. với và với hoặc .
  58. D. với và với hoặc . 16. Giá trị của làm cho phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt là: A. và . B. hoặc . C. .D. . 17. Cho . Xác định để với . A. . B. .C. .D. và . 18. Xác định để phương trình có ba nghiệm phân biệt bé hơn 1. A. hoặc và . B. hoặc và . C. .D. . 19. Cho phương trình (1). Với giá trị nào của thì (1) có 2 nghiệm thỏa . A. . B. .C. .D. . 20. Cho phương trình (1). Với giá trị nào của thì (1) có 2 nghiệm . A. . B. .C. .D. . 21. Cho . Tìm để không dương với mọi . A. . B. .C. .D. . 22. Xác định m để phương trình có ba nghiệm phân biệt lớn hơn –1. A. .B. và . C. và .D. và . 23. Phương trình có đúng hai nghiệm thoả . Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau A. . B. .C. .D. . 24. Cho bất phương trình (1). Với giá trị nào của thì bất phương trình trên vô nghiệm. A. . B. .C. .D. .
  59. 25. Cho phương trình (1). Với giá trị nào của thì (1) có 2 nghiệm thoả . A. . B. .C. hoặc .D. và . 26. Cho . Tìm để âm với mọi . A. .B. . C. .D. hoặc . 27. Tìm để phương trình có một nghiệm thuộc khoảng và nghiệm kia nhỏ hơn 1. A. .B. hoặc . C. .D. . 28. Cho . Tìm để âm với mọi . A. hoặc .B. . C. .D. . ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C A D A C D C D C B C C B B C C A A B C 21 22 23 24 25 26 27 28 D D A C A A D B