Bài tập Phương trình. Hệ phương trình Toán Lớp 10 - Phần 3: Hệ phương trình - Đề 5

44 trang nhungbui22 11/08/2022 2490

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Phương trình. Hệ phương trình Toán Lớp 10 - Phần 3: Hệ phương trình - Đề 5", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_tap_phuong_trinh_he_phuong_trinh_toan_lop_10_phan_3_he_p.doc

Nội dung text: Bài tập Phương trình. Hệ phương trình Toán Lớp 10 - Phần 3: Hệ phương trình - Đề 5

Hpt- luyện-thi- Lượt 5 Lượt VI. 100 bài tập luyện thi hpt ì 2 ï x 12 - y + y(12 - x ) = 12 (1) Bài 1 Giải hệ phương trình: íï (x, y R) (ĐH khối A – 2014) ï x 3 - 8x - 1 = 2 y - 2 (2) îï Giải ì ïì ï 2 £ y £ 12 ï 2 £ y £ 12 Điều kiện : íï íï ï 12 - x 2 ³ 0 ï - 2 3 £ x £ 2 3 îï îï Cách 1: Đặt a = 12 - y,a ³ 0 Þ y = 12 - a2 PT (1) Û xa + (12 - a2)(12 - x 2) = 12 122 - 12x 2 - 12a2 + x 2a2 = 12 - xa ì ì ï xa £ 12 ï xa £ 12 íï íï ï 122 - 12x 2 - 12a2 + x 2a2 = 122 - 2.12.xa + x 2a2 ï 12x 2 - 2.12xa + 12a2 = 0 îï îï ì ï xa £ 12 íï ï (x - a)2 = 0 îï Ta có (x – a)2 = 0 x = 12 - y (*) Thế (*) vào (2) được : (12 - y) 12 - y - 8 12 - y - 1 = 2 y - 2 (4 - y) 12 - y = 2 y - 2 + 1 (3 - y) 12 - y + 12 - y - 3 + 2 - 2 y - 2 = 0 3 - y 2(3 - y) (3 - y) 12 - y + + = 0 12 - y + 3 1+ y - 2 é êy = 3 ì ï x = 3 ê 1 2 . Vậy í ê 12 - y + + = 0(voâ nghieäm) ï y = 3 ê îï ëê 12 - y + 3 1+ y - 2 Cách 2: Ta có x 12 - y + (12 - x 2)y £ (x 2 + 12 - x 2)(12 - y + y) = 12 x 12 - y Dấu “=” xảy ra Û = Û x y = (12 - y)(12 - x 2) (3) 12 - y2 y Khi đó (1) tương đương với (3) ì ì ì ï x ³ 0 ï x ³ 0 ï x ³ 0 (3) Û íï Û íï Û íï ï x 2y = 144 - 12x 2 - 12y + x 2y ï 12y = 144 - 12x 2 ï y = 12 - x 2 (4) îï îï îï Thế (4) vào (2) ta có: (2) Û x 3 - 8x - 1 = 2 10 - x 2 Û x 3 - 8x - 1- 2 10 - x 2 = 0 1- (10 - x 2) Û x 3 - 8x - 3 + 2(1- 10 - x 2 ) = 0 Û (x - 3)(x 2 + 3x + 1)+ 2. = 0 1+ 10 - x 2 2 é ù 2 9 - x ê 2 2(x + 3) ú Û (x - 3)(x + 3x + 1)+ 2. = 0 Û (x - 3)êx + 3x + 1+ ú= 0 1+ 10 - x 2 ëê 1+ 10 - x 2 ûú é êx = 3 ì ï x = 3 Û ê 2(x + 3) Û x = 3 Þ y = 3 . Vậy í êx 2 + 3x + 1+ = 0 (voâ nghieäm vì x ³ 0) ï y = 3 ê 2 îï ëê 1+ 10 - x r r r r Cách 3: Đặt a = (x; 12 - x 2 );b = ( 12 - y; y ) . a = b = 12 r 2 r 2 r r r r (1) Û a + b = 2a.b Û a = b Û x = 12 - y Bài-giảng Pt- Hpt trang.329 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 (3 - x)(3 + x) (2) Û x 3 - 8x - 3 = 2 10 - x 2 - 2 Û (x - 3)(x 2 + 3x + 1) = 2 Û x = y = 3 10 - x 2 + 1 (x 2 + 3x + 1)( 10 - x 2 + 1)- 2(3 + x) = 0 Đặt f (x) = (x 2 + 3x + 1)( 10 - x 2 + 1)- 2(3 + x). f '(x) 0 Þ phương trình vô nghiệm. Vậy nghiệm của hpt trên: (3;3) ì ï (1- y) x - y + x = 2 + (x - y - 1) y Bài 2 Giải hệ phương trình: ï (ĐH khối B – 2014) í 2 ï 2y - 3x + 6y + 1 = 2 x - 2y - 4x - 5y - 3 îï Giải ì ï y ³ 0 ï Điều kiện: í x ³ 2y . Pt thứ nhất viết lại thành ï ï 4x - 5y ³ 3 îï (1- y) x - y - (1- y) + (x - y - 1) = (x - y - 1) y (1- y)(x- y- 1) y - 1 éy = 1 Û = (x - y - 1) Û ê êx = y + 1 x - y + 1 y + 1 ëê TH1 : y = 1 thay xuống (2) ta có: 9 - 3x = 2 x - 2 - 4x - 8 Û x = 3(TM ) TH2 : x = y + 1 thay xuống (2) ta có 2y2 + 3y - 2 = 2 1- y - 1- y Û 2y2 + 3y - 2 - 1- y = 0 Û 2(y2 + y - 1) + (y - 1- y) = 0 æ ÷ö 2 ç 1 ÷ Û (y + y - 1)ç2 + ÷= 0 èç y + 1- y ø÷ 5 - 1 5 + 1 Û y = Þ x = (TM ) 2 2 5 + 1 5 - 1 Vậy hệ đã cho có nghiệm : (x;y) = (3;1),( ; ) . 2 2 ì 2 2 ï y(x + 2x + 2) = x(y + 6) Bài 3 Giải hệ phương trình: íï ï (y - 1)(x 2 + 2x + 7) = (x + 1)(y2 + 1) îï Giải ĐK: x,y Î R ì ì 2 2 ì 2 2 ï a = x + 1 ï b(a + 1) = (a - 1)(b + 6) ï (a - 1)(b + 6) = b(a + 1) (*) Đặt í , ta có hệ trở thành: íï Û íï ï b = y ï (b - 1)(a2 + 6) = a(b2 + 1) ï (b - 1)(a2 + 6) = a(b2 + 1)( ) îï îï îï Trừ vế theo vế hai phương trình rồi thu gọn ta có: éa = b (a - b)(a + b - 2ab + 7) = 0 Û ê êa + b - 2ab + 7 = 0 ëê  Trường hợp 1: a = b thay vào phương trình (*) ta có: éa = 2 (a - 1)(a2 + 6) = a(a2 + 1) Û a2 - 5a + 6 = 0 Û ê êa = 3 ëê Bài-giảng Pt- Hpt trang.330 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 éx = 1 Þ ê Þ hệ có 2 nghiệm (x; y) là: êx = 2 ëê  Trường hợp 2: a + b - 2ab + 7 = 0 æ ö2 æ ö2 ç 5÷ ç 5÷ 1 Trừ vế theo vế hai phương trình (*) và ( ) rồi rút gọn ta có: ça - ÷ + çb - ÷ = èç 2ø÷ èç 2ø÷ 2 ïì a + b - 2ab + 7 = 0 ï ï 2 2 Vậy ta có hệ phương trình: í æ 5ö æ 5ö 1 ï ça - ÷ + çb - ÷ = ï ç ÷ ç ÷ îï è 2ø è 2ø 2 ì ì ì ì ï a = 2 ï a = 3 ï a = 2 ï a = 3 Đây là hệ đối xứng loại I, giải hệ ta có các nghiệm: í ;í ;í ;í ï b = 2 ï b = 3 ï b = 3 ï b = 2 îï îï îï îï Từ đó ta có các nghiệm (x; y) là: (1;2),(2;3),(1;3),(2;2). Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm là: (1;2),(2;3),(1;3),(2;2). ì 3 3 2 ï x - 12x - y + 6y - 16 = 0 Bài 4 Giải hệ phương trình: íï ï 4x 2 + 2 4 - x 2 - 5 4y - y2 + 6 = 0 îï Giải é ù é ù ĐK: x Î ëê- 2;2ûú,y Î ëê0;4ûú Ta có PT (1) Û (x + 2)3 - 6(x + 2) = y 3 - 6y2 3 é ù 2 é ù Xét hàm số f (t) = t - 6t,t Î ëê0;4ûú ta có f '(t) = 3t - 12t = 3t(t - 4) £ 0, " t Î ëê0;4ûúÞ f (t) nghịch é ù biến trên ëê0;4ûú. Mà phương trình (1) có dạng: f (x 2) f (y) y x 2 thay vào phương trình (2) ta có: 4x 2 + 6 = 3 4 - x 2 Û x = 0 từ đó ta có y = 2. Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (0; 2). ì ï x - 2 y + 1 = 3 Bài 5 Giải hệ phương trình: íï . ï x 3 - 4x 2 y + 1 - 9x - 8y = - 52 - 4xy îï Giải §K: y ³ - 1. ì ï x = 3 + 2 y + 1 HPT Û íï ï x 3 - 4x 2 y + 1 + 4xy + 4x - 13x - 8y + 52 = 0 îï ì ï x = 3 + 2 y + 1 Û íï ï x(x - 2 y + 1)2 - 13x - 8y + 52 = 0 îï ì ï x = 3 + 2 y + 1 Û íï ï - x - 2y + 13 = 0 îï ì ï x = 3 + 2 y + 1 Û íï ï y + 1 = 5 - y îï Bài-giảng Pt- Hpt trang.331 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 ì ï x = 3 + 2 y + 1 ï Û íï y £ 5 ï ï y2 - 11y + 24 = 0 îï ïì ï ï ï x = 3 + 2 y + 1 ì ï ï x = 7 Û íï y £ 5 Û í ï ï y = 3 ï éy = 3 îï ï ê ï êy = 8 îï ëê ì ï x = 7 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm: í . ï y = 3 îï ïì y - 2x + y - x ï ï + 1 = 0 Bài 6 Giải hệ phương trình: í xy ï ï 2 2 ï 1- xy + x - y = 0 îï ĐK: x > 0;y > 0;xy £ 1 (1) Û y - 2x + y - x + xy = 0 Û ( y - x )( y + 2 x + 1) = 0 Û y = x Û y = x thay vào (2), ta được: 1- x 2 = 0 Û x = 1 Þ y = 1 KL: hệ pt có tập nghiệm: S = {(1;1)} ì 3 3 2 2 ï 2(x + y ) 3(x + y ) ï - + 5 x + y = 8 xy ï ( ) Bài 7 Giải hệ phương trình: íï xy xy ï 5x + y ï 5x - 1 + 2 - y = îï 2 1 ĐK: x ³ ;0 0;v = xy,v > 0 khi đó æ öææ ö2 ÷ö 3 2 2 3 u ÷ç u÷ u ÷ u 1 Û 2u - 3u v - uv - 2v = 0 Û ç - 2÷ç2ç ÷ + + 1÷= 0 Û = 2 Û u = 2v ( ) ç ÷ç ç ÷ ÷ èv øèç èv ø v ø÷ v 2 Þ x + y = 2 xy Û ( x - y ) = 0 Û x = y thay vào (2), ta được: 5x - 5 1- x æ 5 1 ö ç ÷ 5x - 1 + 2- x = 3x Û + = 3x - 3 Û (x - 1)ç - - 3÷= 0 5x - 1 + 2 2- x + 1 èç 5x - 1 + 2 2- x + 1 ø÷ é êx = 1 Þ y = 1 ê Û ê 5 1 1 ê - - 3 = 0 VN vì £ x £ 2 ë 5x - 1 + 2 2 - x + 1 5 KL: tập nghiệm của hệ pt là: S = {(1;1)} Bài-giảng Pt- Hpt trang.332 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 ì 2 ï 3 2 ï x + x + 1 æ 1ö x (x - y) ï + 2x + 1 ç1- ÷= 3y - 1 - ï 2 ( )ç ÷ 2 ( ) Bài 8 Giải hệ phương trình: íï y è y ø y x - y ï x 3 - x 2 - 1 4 ï + - 1 = 0 ï 2 îï y y ĐK: y ¹ 0 ïì 3 2 ïì æ 2 ö ï x - y + x - y + x - y + 1 = 0 ï (x - y + 1)ç(x - y) + 1÷= 0 Hệ Û ï ( ) ( ) ( ) Û ï èç ø÷ í 3 2 2 í ï x - x - 1+ 4y - y = 0 ï x 3 - x 2 - 1+ 4y - y2 = 0 îï îï ì ì ï y = x + 1 ï x = 1 Û í Û í ï x = 1 ï y = 2 îï îï KL: S = {(1;2)} ì 2 2 2 2 2 2 ï 4x + 3xy - 7y + 4(x + 5xy - 6y ) = 3x - 2xy - y Bài 9 Giải hệ phương trình: íï ï 3x 2 + 10xy + 34y2 = 47 îï ì 2 2 ï 3x - 2xy - y ³ 0 ĐK: íï ï 4x 2 + 3xy - 7y2 ³ 0 îï Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình (1), ta được: æ ÷ö éx = y n 2 2 ç 1 ÷ ê ( ) (x + 5xy - 6y )ç + 4÷= 0 Û ê ç 2 2 2 2 ÷ x = - 6y n èç 4x + 3xy - 7y + 3x - 2xy - y ø÷ ëê ( ) éx = 1 Þ y = 1 Với x = y thay vào 2 , ta được: x 2 = 1 Û ê ( ) êx = - 1 Þ y = - 1 ëê é ê 47 47 êy = Þ x = - 6 Với x = - 6y thay vào (2), ta được: 82y2 = 47 Û ê 82 82 ê 47 47 êy = - Þ x = 6 ëê 82 82 ïì æ ö æ öïü ï ç 47 47÷ ç 47 47÷ï KL: S = í (1;1),(- 1;- 1),ç ;- 6 ÷;ç- ;6 ÷ý ï ç 82 82÷ ç 82 82÷ï îï è ø è øþï ì 2 ï x + 3xy - 3(x - y) = 0 Bài 10 Giải hệ phương trình: íï ï x 4 + 9y x 2 + y - 5x 2 = 0 îï ( ) ïì x 2 + 3y = 3x - 3xy ï Hệ Û í 2 ï x 2 + 3y + 3x 2y - 5x 2 = 0 îï ( ) é êx = 0 Þ y = 0 ê ê 1 Thay 1 vào 2 , ta được: x 2 9y2 - 15y + 4 = 0 Û êy = Þ x = 1 ( ) ( ) ( ) ê ê 3 ê 4 2 êy = Þ x + x + 4 = 0 VN ë 3 Bài-giảng Pt- Hpt trang.333 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 ì ü ï æ 1÷öï KL: S = íï 0;0 ;ç1; ÷ýï ï ( ) ç ÷ï îï è 3øþï ïì 2 2 ï (x + 2) + 4(y - 1) = 4xy + 13 ï Bài 11 Giải hệ phương trình: í x 2 - xy - 2y2 2 ï + x + y = ï x - y 2 2 îï x - y ì ï x + y > 0 ï ĐK: í x - y > 0 ï ï x - 2y ³ 0 îï ì 2 2 ï x - 4xy + 4y + 4x - 8y - 5 = 0 Hệ Û íï ï x + y x - 2y + x + y x - y = 2 îï ( ) ( ) 2 éx - 2y = 1 Ta có PT (1) Û (x - 2y) + 4(x - 2y)- 5 = 0 Û ê êx - 2y = - 5 l ëê ( ) Với x = 2y + 1 thay vào (2), ta được: (3y + 1) y + 1 = 1- 3y Þ 9y 3 + 6y2 + 13y = 0 Û y = 0 Þ x = 1 thỏa mãn KL: S = {(1;0)} ì ï (x 2 - 5) x 2 - 2y + x 2 + 3 = 2y x 2 - 2y + 1 Bài 12 Giải hệ phương trình: íï ( ) ï x 2 + 3y = 6 îï ĐK: x ³ 2y Ta có (2) Û x 2 = 6 - 3y thay vào (1) ta được: (1- 5y) 6 - 5y = 5y - 9 Þ y = 1 Þ x = ± 3 thỏa mãn KL: S = {( 3;1);(- 3;1)} ïì x 2 - y ï (y - 1) = 2 ï 2 Bài 13 Giải hệ phương trình: íï x - 1 + y - 1 ï ï 2 2 2 æ 2 ÷ö ï (x + 4y) x - 1 + 6 = 5 x - 1ç1+ (x - 1)(y - 1)÷ îï è ø ì ï x £ - 1Ú x ³ 1 ï ĐK: íï y ³ 1 ï ï x 2 - 1 + y - 1 ¹ 0 îï ïì 2 ïì 2 ï a = x - 1,a ³ 0 ï b (a - b) = 2 Đặt: í , ta được: í 3 2 2 ï b = y - 1,b ³ 0 ï a + 4ab - 5a b = 6 îï îï Nhân chéo hai phương trình giải hệ đẳng cấp ta đươc tập nghiệm: S = {( 10;2);(- 10;2)} ì 3 2 ï - 20y - 3y + 3xy + x - y = 0 Bài 14 Giải hệ phương trình: íï ï x 2 + y2 - 3y = 1 îï Bài-giảng Pt- Hpt trang.334 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 ì 3 ï - 20y - y (3y - 1)+ x (3y + 1) = 0 Hệ Û íï . ï x 2 + y2 = 3y + 1 îï Thế (2) vào (1), ta được phương trình thuần nhất bậc 3 ì ü ï æ3 1÷ö æ- 3 - 1÷öï KL: Síï ç ; ÷;ç ; ÷ýï ï ç ÷ ç ÷ï îï è2 2ø è 5 5 øþï ì 2 2 ï x - 3y + x + 3y = 0 Bài 15 Giải hệ phương trình: íï ï 2y - 1 + 2x 2 - y2 - 3x + 1 = 0 îï 1 ĐK: y ³ 2 ïì 3y ³ x ïì 3y ³ x ï 2 2 ï ï é Ta có PT (1) Û x + 3y = 3y - x Û í 2 Û í y = 0 (l ) ï 6y - 6xy = 0 ï ê îï ï êx = y îï ëê Với x = y thay vào (2), ta được: é êy = 1 Þ x = 1 ê 2y - 1 = - y2 + 3y - 1 Þ y 4 - 6y 3 + 11y2 - 8y + 2 = 0 Û êy = 2 + 2 (l ) ê êy = 2 - 2 Þ x = 2 - 2 ëê KL: S = {(1;1);(2 - 2;2 - 2)} 4 4 2 2 ïì 2 2 ï x y 3(x + y )+ 2x y ï + = ï 2 2 2 Bài 16 Giải hệ phương trình: í y x (x 2 + y2) ï ï xy2 + 3y2 + 4x = 8 îï ĐK: x.y ¹ 0 æ ö ç 4 2 2 4 ÷ 2 çx - x y + y ÷ éx = y Ta có PT 1 Û x 2 - y2 ç ÷= 0 Û x 2 = y2 Û ê ( ) ( ) ç 2 ÷ ê ç 2 2 2 2 ÷ êx = - y èçx y (x + y ) ÷ø ë Với x = y thay vào (2), ta được: x = 1 Þ y = 1 Với x = - y thay vào (2), ta được: y = - 1 Þ x = 1 KL: S = {(1;1);(1;- 1)} ì 2 2 ï 10x + 5y - 2xy - 38x - 6y + 41 = 0 Bài 17 Giải hệ phương trình: íï ï x 3 + xy + 6y - y 3 + x 2 - 1 = 2 îï ì 3 ï x + xy + 6y ³ 0 ĐK: íï ï y 3 + x 2 - 1 ³ 0 îï Ta có PT (1) Û 10x 2 - 2x (y + 19)+ 5y2 - 6y + 41 = 0. 2 Tính Δ 'x = - 49(y - 1) ³ 0 Û y = 1 thay vào (1) được x = 2 thỏa hệ phương trình Bài-giảng Pt- Hpt trang.335 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 KL: S = {(2;1)} ì 3 3 2 2 ï x - y - x y + xy - 2xy - x + y = 0 Bài 18 Giải hệ phương trình: íï ï x - y = x 3 - 2x 2 + y + 2 îï ĐK: x ³ y éy = x - 1 2 2 ê Ta có PT (1) Û (x - y - 1) x + y + x - y = 0 Û 2 2 ( ) êx + y + x - y = 0 ëê éx = 0 Þ y = - 1 y = x - 1 thay vào 2 , ta được: x 3 - 2x 2 + x = 0 Û ê ( ) êx = 1 Þ y = 0 ëê x 2 + y2 + x - y = 0 Û x = y = 0 (vì x - y ³ 0) thay vào hệ không thỏa KL: S{(1;0);(0;- 1)} ïì 2 2 3 2 3 2 ï y + 8x = 3 - (1+ 3 y - 1) y - 1 Bài 19 Giải hệ phương trình: íï ï 2 ï 4 - 33 y2 - 1 - 23 y2 - 1 = 12x 2 + y2 - 1- 4x 2 îï ( ) - 1 1 ĐK: £ x £ 2 2 ì 2 3 2 2 ï a = 3 y - 1 ïì a + 3a + 2a - 3b - b = 0 ï ï 2 Đặt: í , ta có: í 3 2 2 Þ a = b + b thay vào (1), ta được: ï b = 1- 4x 2 ,b ³ 0 ï a + 3a + a - 2b = 0 îï îï 3 2 (b2 + b) + 3(b2 + b) + 2(b2 + b)- 3b2 - b = 0 Û b = 0 Þ a = 0. ïì 2 ïì 1 ï 1- 4x = 0 ï x = ± Khi đó ta có: íï Û íï 2 2 ï 3 y - 1 = 0 ï y = ± 1 îï îï ì ü ï æ1 ÷ö æ1 ÷ö æ 1 ö÷ æ 1 ÷öï KL: S = íï ç ;1÷;ç ;- 1÷;ç- ;1÷;ç- ;- 1÷ýï ï ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ï îï è2 ø è2 ø è 2 ø è 2 øþï ì 6 3 2 2 ï 3x - 24y + (2y - x )(9x + 18y - 11) = 0 Bài 20 Giải hệ phương trình: íï ï 1+ 3 2 2y + 1 = x + 3 x + 6y - 1 îï ĐK: y ³ 0 Ta có PT (1) Û (x 2 - 2y)(3x 4 + 6x 2y - 9x 2 + 12y2 - 18y + 1) = 0 Với x 2 = 2y thay vào (2), ta được: æ ö ç ÷ 3 3 ç 1 2 ÷ 1+ 2x + 1 = x + 4x - 1 Û (x - 1)ç + ÷= 0 ç 3 2 3 3 3 2 ÷ èç x + 1 (4x - 1) + 4x - 1 2x + 1 + (2x + 1) ø÷ 1 Û x = 1 Þ y = 2 ì ü ï æ 1÷öï KL: S = íï ç1; ÷ýï ï ç ÷ï îï è 2øþï Bài-giảng Pt- Hpt trang.336 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 ì ï x + y 2(x - y) 2 ï + xy = + ï xy x + y xy Bài 21 Giải hệ phương trình: íï ï 1 1 ï - + x + y = 4 îï y x ĐK: x > 0;y > 0 2 Ta có PT (1) Û ( y - x + xy) = 0 Û x - y = xy Þ x + y = x 2y2 + 2 xy thay vào (2) ta được: ( xy - 1)(xy xy + xy + xy + 4) = 0 Û xy = 1 ì ï 3 ± 5 ì ï x = ï x + y = 3 ï Khi đó ta có: í Û íï 2 ï xy = 1 ï 3 m 5 îï ï y = îï 2 ïì æ öïü ï ç3 + 5 3 - 5÷ï KL: thay vào hệ ta có tập nghiệm: S = í ç ; ÷ý ï ç 2 2 ÷ï îï è øþï ïì x - 1 4 4 ï x + 2 + - + x - 1 = 0 ï y - 1 y - 1 Bài 22 Giải hệ phương trình: í y - 1 ï y - 1 ï (y - 1)(x - 1) x - 1 + 2 y - 1 - = 2 îï 2 ĐK: x ³ 1;y > 1 ì ï a = x - 1,a ³ 0 2 ïì b = 2 ï 2 2 2 ï Đặt: íï . Ta có (1) Û (b - 2) + a b + 2ab + ab = 0 Û í ï b = y - 1,b > 0 ï a = 0 îï îï ïì ì ï x - 1 = 0 ï x = 1 Þ íï Û í thỏa hệ phương trình ï y - 1 = 2 ï y = 5 îï îï KL: S = {(1;5)} ì ï x + 3 y ï = 1 ï 4y + 2x + y Bài 23 Giải hệ phương trình: íï ï 1 1 - 1 ï - = ï 3 2 îï 3x - 4y - 8 y - 1 ì ï y > 1 ï ĐK: í 2x + y ³ 0 ï ï 3x - 4y ¹ 8 îï æ ö ç 2 ÷ Ta có (1) Û (x - 4y)ç1- ÷= 0 Û x = 4y thay vào (2), ta được: èç 3 y + 2x + y ÷ø æ ÷ö 1 1 1 1 2 2 1 2 ç 1 ÷ - = - Þ a - a = - Û (a - 1)(2a + a + 1) = 0 Û a = 1 ça = ÷ 23 y - 1 y - 1 2 2 2 èç 6 y - 1ø÷ 1 Þ = 1 Û y = 2 Þ x = 8 6 y - 1 KL: S = {(8;2)} Bài-giảng Pt- Hpt trang.337 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 ì ï x - 1(1- 2y)- y + 2 = 0 Bài 24 Giải hệ phương trình sau: íï (x,y Î ¡ ). ï y y + x - 1 + x - 4 = 0 îï ( ) Giải Điều kiện: x ³ 1. Đặt t = x - 1, t ³ 0. Khi đó x = t 2 + 1 và hệ trở thành ì ì ì ï t(1- 2y) - y + 2 = 0 ï t - y - 2ty + 2 = 0 ï (t - y) - 2ty + 2 = 0 íï Û íï Û íï ï y(y + t) + t 2 - 3 = 0 ï y2 + ty + t 2 - 3 = 0 ï (t - y)2 + 3ty - 3 = 0 îï îï îï ét - y = 0 éy = t 2 ê ê Suy ra 2(t - y) + 3(t - y) = 0 Û ê 3 Û ê 3 êt - y = - êy = t + . ëê 2 ëê 2  Với y = t, ta có - 2t 2 + 2 = 0 Û t = 1. Suy ra x = 2, y = 1. æ ö 3 3 ç 3÷ 2 - 3 + 13  Với y = t + , ta có - - 2t çt + ÷+ 2 = 0 Û 4t + 6t - 1 = 0 Û t = . 2 2 èç 2ø÷ 4 19 - 3 13 3 + 13 Suy ra x = , y = . 8 4 Vậy nghiệm (x; y) của hệ là ì 2 2 ï (x + 2) x + 4x + 7 + y y + 3 + x + y + 2 = 0 Bài 25 Giải hệ phương trình sau: íï ï x 2 + y + 1 = x - y + 1 îï Giải Điều kiện:x 2 + y + 1 ³ 0 Phương trình (1) Û (x + 2) (x + 2)2 + 3 + x + 2 = - y (- y)2 + 3 - y t 2 Xét hàm số f (t) = t t 2 + 3 + t Có f '(t) = t 2 + 3 + + 1 > 0 " t t 2 + 3 Þ Hàm số f(t) đồng biến trên RÞ Phương trình (1) Û x + 2 = - y Thay vào (2) ta có ì ì ï 3 ï 3 2 ï x ³ - ï x ³ - x - x - 1 = 2x + 3 Û í 2 Û í 2 ï 2 2 ï 2 2 ï x - x - 1 = 4x + 12x + 9 ï x - x - 1 = 4x + 12x + 9 îï îï ïì : ï 3 ì ï x ³ - ï 3 ï 2 ï x ³ - ï Û í 2 Û í éx = - 1 Û x = - 1 Þ y = - 1 (tmdk) ï 2 ï ê ï 3x + 13x + 10 = 0 ï ê îï ï ê 10 ï x = - îï ëê 3 Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (-1;-1). ì ï (53 - 5x) 10 - x + (5y - 48) 9 - y = 0 (1) Bài 26 Giải hệ phương trình sau: íï (" x,y Î ¡ ) ï 2x - y + 6 + x 2 = - 2x + y + 11 + 2x + 66 (2) îï Giải Bài-giảng Pt- Hpt trang.338 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 ïì 10 - x ³ 0 ïì x £ 10 ï ï ï 9 - y ³ 0 ï y £ 9 ĐK: íï Û íï ï 2x - y + 6 ³ 0 ï 2x - y + 6 ³ 0 ï ï ï - 2x + y + 11 ³ 0 ï - 2x + y + 11 ³ 0 îï îï Từ PT(1) ta có é5 10 - x + 3ù 10 - x = é5 9 - y + 3ù 9 - y, 3 ëê ( ) ûú ëê ( ) ûú ( ) 2 é / 2 Xét hàm số f (t ) = (5t + 3)t trên khoảng t Î ëê0;+ ¥ ) có f (t ) = 15t + 3 > 0, " t ³ 0 hàm số đồng biến .Từ (3) ta có f ( 10 - x ) = f ( 9 - y ) Û 10 - x = 9 - y Û y = x - 1,(4) Thay (4) vào (2) ta 2 é ù được x + 7 - 10 - x + x - 2x - 66 = 0(5) ĐK: x Î ëê- 7;10ûú Giải (5) ta được x - 9 x - 9 ( x + 7 - 4)+ (1- 10 - x )+ x 2 - 2x - 63 = 0 Û + + (x - 9)(x + 7) = 0 x + 7 + 4 1+ 10 - x 1 1 (x - 9)[ + + (x + 7)] = 0 Û x = 9,y = 8 x + 7 + 4 1+ 10 - x Vậy Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (9;8) ïì x 1- y ï ï - + x + y = 1 Bài 27 Giải hệ phương trình sau: í 1+ 1- x 1+ y ï ï 1- x + 4 + y = 2 2 îï Giải ĐK: 0 £ x;y £ 1 x 1- y PT(1) Û + x = + 1- y (*) 1+ 1- x 1+ 1- (1- y) 1 1 (1+ 1- t ) + . t t xét h/s f (t) = + t ; có f '(t) = 2 t 2 1- t + 1 > 0 ," t Î (1;+ ¥ ) 1+ 1- t (1+ 1- t )2 vì (*) Û f (x) = f (1- y) Û x = 1- y , thế vào pt(2) ta được : 1- x + 5 - x = 2 2 Û 6 - 2x + 2 5 - 6x + x 2 = 8 1 1 Û 5 - 6x + x 2 = x + 1 Û 5 - 6x + x 2 = (x + 1)2 Û x = Þ y = (tmđk) 2 2 ïì 1 ï x = ï vậy hệ pt có nghiệm là íï 2 ï 1 ï y = îï 2 ì 3 3 3 ï 27x y + 7y = 8 Bài 28 Giải hệ phương trình sau: íï ï 9x 2y + y2 = 6x îï Giải Nhận xét y ¹ 0, nhân hai vế phương trình thứ hai với 7y, trừ đi phương trình thứ nhất, được (3xy)3 - 7(3xy)2 + 14(3xy) - 8 = 0 Từ đó tìm được hoặc 3xy = 1 hoặc 3xy = 2 hoặc 3xy = 4 1 Với 3xy = 1, thay vào phương trình thứ nhất, được y=1 do đó x = 3 Bài-giảng Pt- Hpt trang.339 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 Với 3xy = 2, thay vào phương trình thứ nhất, được y=0 (loại) 2 Với 3xy = 4, thay vào phương trình thứ nhất, được y=-2 do đó x = - 3 ì 3 3 ï x - y = 4x + 2y Bài 29 Giải hệ phương trình sau: íï ï x 2 + 3y2 = 4 îï Giải Phương trình (1) Û 2(x 3- y3) = 4(2x+ y) Từ phương trình (2) thay 4 = x 2 + 3y2 vào phương trình trên và rút gọn ta được: é êy = 0 2 2 3 ê x y + 6xy + 5y = 0 Û êx = - y ê x = - 5y ëê ì 3 ï x = 4x TH1 : y = 0 thay vào hệ ta được íï Û x = ± 2 Þ nghiệm (x;y) = (± 2;0) ï x 2 = 4 îï ì 3 ï 2x = 2x TH2 : x = - y Û y = - x thay vào hệ ta được : íï Û x = ± 1 ï 4x 2 = 4 îï Hệ có nghiệm (x;y) = (1;- 1); (- 1;1) 5 - 1 - 5 1 TH3 : x = - 5y thay vào hệ ta có nghiệm (x;y) = ( ; ); ( ; ) 7 7 7 7 Vậy hệ đã cho có 6 nghiệm. ì ï (y - 2). x + 2 - x. y = 0 Bài 30 Giải hệ phương trình sau: ï (x; y Î R). í 2 ï x + 1. y + 1 = (y - 3). 1+ x + y - 3x îï ( ) ( ) Giải ì ï x ³ - 1;y ³ 0 ĐK:íï ï x 2 + y - 3x ³ 0 îï PT (1) Û x + 2.y - x. y - 2 x + 2 = 0 é 2x + 4 ê y = 2 ê có D = x 2 + 8 x + 2 = x + 4 Û ê 2 x + 2 y ( ) ( ) ê - 2 ê y = 0 Þ f (t) đồng t 2 + 1 biến. ïì x ³ 1 ï Vì PT (*) Û f ( x + 1) = f (x - 1) Û x + 1 = x - 1 Û í 2 Û x = 3 ï x + 1 = x - 1 îï ( ) Với x = 3 Þ y = 5 (thỏa mãn). Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3; 5). Bài-giảng Pt- Hpt trang.340 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 ì 2 2 ï x + y + 1 = 2x + 2y Bài 31 Giải hệ phương trình sau: íï ï 2x - y y = 1+ 2y îï ( ) Giải Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được: éx = 2 x 2 + 2xy + 1 = 1+ 2x + 4y Û x x + 2y = 2 x + 2y Û x - 2 x + 2y = 0 Û ê ( ) ( ) ( )( ) êx + 2y = 0 ëê Trường hợp x=2 thay vào (2) ta có y = 1 Trường hợp x+2y = 0 thay vào (2) ta được phương trình vô nghiệm. Vậy hệ có nghiệm x = 2; y = 1. ì 2 ï xy (y + 1)+ y + 1 = 4y ï Bài 32 Giải hệ phương trình sau: í 1 ï xy2 x + 2 + + y2 = 5 ï ( ) 2 îï y Giải Điều kiện y ¹ 0 ïì 1 ïì 1 ï x (y + 1)+ y + = 4 ï y (x + 1)+ + x = 4 ï y ï y (I ) Û íï Û íï ï 1 ï 2 1 ï y2 x 2 + 2x + 1 + = 5 ï y2 x + 1 + = 5 ï ( ) 2 ï ( ) 2 îï y îï y 1 Đặt u = y (x + 1)+ ;v = x + 1 ta có hệ y ì ì ì ì ï u + v = 5 ï v = 5 - u ï u = - 5 ï u = 3 íï Û íï Û í Úí ï u2 - 2v = 5 ï u2 + 2u - 15 = 0 ï v = 10 ï v = 2 îï îï îï îï ïì 1 ïì 1 ï y (x + 1)+ = - 5 ï y (x + 1)+ = 3 hay íï y Úíï y ï ï ï x + 1 = 10 ï x + 1 = 2 îï îï é ïì 2 ïì 2 x = 1Ùy = 1 ï 10y + 5y + 1 = 0 ï 2y - 3y + 1 = 0 ê Û í Úí Û ê 1 ï x = 9 ï x = 1 êx = 1Ùy = îï îï ëê 2 Vậy hệ có các nghiệm (1;1) và (1; 1/2 ). ïì 3 2y ï + = 1 ï x 2 + y2 - 1 x Bài 33 Giải hệ phương trình sau: íï ï 4x ï x 2 + y2 + = 22 îï y Giải Điều kiện: x¹ 0, y ¹ 0. và x2 + y2 - 1 ¹ 0. Bài-giảng Pt- Hpt trang.341 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 ì ï 3 2 ïì 2 x ï + = 1 ï 2v - 13v + 21 = 0 Đặt u = x2 + y2 - 1 và v = Hệ phương trình (I) trở thành í u v Û í y ï u = 21- 4v ï u = 21- 4v îï îï ì ï 2 ì ïì u = 7 ì ì ì ïì u = 7 ï x = 14 ï u = 9 ï ï u = 9 ï x = 3 ï x = - 3 ï ï Û í hoặc íï + Với í Û í hoặc í Với íï Û Û íï 53 ï v = 3 ï 7 ï v = 3 ï y = 1 ï y = - 1 ï 7 ï îï ï v = îï îï îï ï v = ï 2 îï 2 îï 2 ï y = 4 îï 53 ì ï 2 ï x = - 14 hoặc íï 53 ï 2 ï y = - 4 îï 53 æ ö æ ö ç 2 2 ÷ ç 2 2 ÷ Vậy hệ có nghiệm (3;1), (-3;-1), ç14 ;4 ÷ và ç- 14 ;- 4 ÷. èç 53 53ø÷ èç 53 53ø÷ ïì 3 ï x - 1 - y = 1- x Bài 34 Giải hệ phương trình :í 4 (I) . ï x - 1 = y îï ( ) ïì ì ï x - 1 ³ 0 ï x ³ 1 Điều kiện: íï Û í ï y ³ 0 ï y ³ 0 îï îï 2 ïì 3 ï x - 1 - (x - 1) = 1- x Ta có (I) Û í 4 ï x - 1 = y îï ( ) 2 Từ phương trình : x - 1 - (x - 1) = 1- x 3 Û x - 1 = - x 3 + x 2 - 2x + 2 (1) é Ta thấy hàm số f (x) = x - 1 là hàm đồng biến trên ëê1;+ ¥ ) 3 2 é Xét hàm số g(x) = - x + x - 2x + 2. Miền xác định: D = ëê1;+ ¥ ) Đạo hàm g/ (x) = - 3x 2 + 2x - 2 0 " x Î D . Suy ra hàm số đồng biến trên D. 3 + t 2 2 t Từ (*) ta có f (x) = f (y) Û x = y Lúc đó: 3 + x 2 + x = 3 (3) + VT (3) là hàm số hàm đồng biến trên D. + VP (3) là hàm hằng trên D. Bài-giảng Pt- Hpt trang.342 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 Ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình (3) (thỏa điều kiện) Suy ra phương trình có nghiệm x = 1 là nghiệm duy nhất. Vậy hệ có nghiệm (1;1) ïì ï 2y 3 + 2.x 1- x = 3 1- x - y (1) Bài 36 Giải hệ phương trình : íï ï 2 ï y + 1 = 2x + 2xy 1+ x (2) îï ĐK : 1 ³ x ³ - 1 Từ (1) ta có : 2.y 3 + 2(x - 1) 1- x + 2 1- x = 3 1- x - y (thêm vào vế trái 2 1- x ) Û 2y 3 + y = 2( 1- x)3 + 1- x Xét hàm số f(t) = 2.t 3 +t có f’(t ) = 6t2 + 1 >0 suy ra hàm số đồng biến Suy ra y = 1- x thế vào (2), ta có 1- x + 1 = 2x 2 + 2x 1- x 2 (3) Vì 1 ³ x ³ - 1 nên đặt x = cos(t) với t Ì [0;p] sau đó thế vào phương trình (3) là ra kết quả. ïì 1 ï x 2 + y2 = (1) ï Bài 37 Giải hệ phương trình: íï 5 ï 2 57 ï 4x + 3x - = - y(3x + 1) (2) îï 25 Giải ĐK: x,y Î R Nhân 2 vế phương trình (1) với 25 và nhân 2 vế phương trình (2) với 50 ta có: ì 2 2 ï 25x + 25y = 5 Hệ phương trình Û íï ï 200x 2 + 150x - 114 = - 50y(3x + 1) îï Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta có: 225x 2 + 25y2 + 25 + 150xy + 150x + 50y = 144 2 é15x + 5y + 5 = 12 é15x + 5y = 7 Û 15x + 5y + 5 = 144 Û ê Û ê ( ) ê15x + 5y + 5 = - 12 ê15x + 5y = - 17 ëê ëê ì ï 15x + 5y = 7  Với 15x + 5y = 7 kết hợp với (1) ta có hệ phương trình: ï í 2 2 1 ï x + y = îï 5 éïì 11 êï x = ì êï 25 ï 5y = 7 - 15x êí ï êï 2 ïì 5y = 7 - 15x ïì 5y = 7 - 15x ï é 11 êï y = ï ï ï êx = êîï 25 Û í 2 2 Û í 2 Û í ê Û ï 25x + 25y = 5 ï 25x 2 + 7 - 15x = 5 ï ê 25 êïì 2 îï îï ( ) ï 2 êï x = ï êx = êï ï ê êíï 5 îï ë 5 êï 1 êï y = ëêîï 5 ì ï 15x + 5y = - 17  Với 15x + 5y = - 17 kết hợp với (1) ta có hệ phương trình: ï í 2 2 1 ï x + y = îï 5 ïì ïì 5y = - 17 - 15x ì ï 5y = - 17 - 15x ï ï 5y = 7 - 15x Û í Û í 2 Û í Þ hệ vô nghiệm. ï 25x 2 + 25y2 = 5 ï 25x 2 + - 17 - 15x = 5 ï x Î f îï îï ( ) îï Bài-giảng Pt- Hpt trang.343 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 ïì 2 ïì 11 ï x = ï x = ï ï Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm là: íï 5; íï 25 . ï 1 ï 2 ï y = ï y = îï 5 îï 25 ì ï x + y - 3x + 2y = - 1 (1) Bài 38 Giải hệ phương trình: íï ï x + y + x - y = 0 (2) îï Giải ì ï x + y ³ 0 Điều kiện : í ï 3x + 2y ³ 0 îï Hệ Phương trình tương đương ì ì ï x + y + 1 = 3x + 2y ï x + y + 2 x + y + 1 = 3x + 2y íï Û íï ï x + y = y - x ï x + y = y - x îï îï ì ì ï 2 x + y = 2x - y ï 2(y - x) = 2x - y Û íï Û íï ï x + y = y - x ï x + y = y - x îï ïî ì ì ï y = 4x - 1 ï y = 4x - 1 Û íï Û íï ï x + y = y - x ï 5x - 1 = 3x - 1 îï îï ïì y = 4x - 1 ïì y = 4x - 1 ï ï ï 1 ï 1 Û íï x ³ Û íï x ³ ï 3 ï 3 ï 5x - 1 = 9x 2 - 6x + 1 ï 9x 2 - 11x + 2 = 0 îï îï ïì ï ï ï y = 4x - 1 ï ì ï 1 ï x = 1 Û íï x ³ Û í ï 3 ï y = 3 ï îï ï éx = 1 ï ê ï ê 2 ï êx = îï ëê 9 ì ï x = 1 Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm í ï y = 3 îï ì 2 2 2 2 ï 2 2x - y = y - 2x + 3 (1) Bài 39 Giải hệ phương trình: íï ï x 3 - 2y 3 = y - 2x (2) îï Giải ĐK: 2x 2 - y2 ³ 0 Đặt : t = 2x 2 - y2 (t ³ 0) ét = 1 1 Û t 2 + 2t - 3= 0 Û ê ( ) êt = - 3 ëê Û t = 1 Û 2x 2 - y2 = 1 Û 2x 2 - y2 = 1 Bài-giảng Pt- Hpt trang.344 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 ì 2 2 ï 2x - y = 1 Khi đó hệ phương trình tương đương íï ï x 3 - 2y 3 = y - 2x îï ì 2 2 ì 2 2 ï 2x - y = 1 ï 2x - y = 1 Û íï Û íï ï x 3 - 2y 3 = y - 2x 2x 2 - y2 ï 5x 3 - 2x 2y - 2xy2 - y 3 = 0 ( 3) îï ( )( ) îï Th 1: y = 0 ì 2 ï 2x = 1 Hệ phương trình tương đương íï ( vô lí ) ï 5x 3 = 0 îï Vậy cặp ( x , 0) không là nghiệm của hệ TH2 : Chia hai vế ( 3 ) cho y 3 ta có hệ phương trình tương đương ì 2 2 ï 2x - y = 1 ïì 2x 2 - y2 = 1 ï ï Û ï æ ö3 æ ö2 æ ö Û ï í çx ÷ çx ÷ çx ÷ í x ï 5ç ÷ - 2ç ÷ - 2ç ÷- 1 = 0 ï = 1 ï ç ÷ ç ÷ ç ÷ ï y îï èy ø èy ø èy ø îï éx = y = 1 Û ê êx = y = - 1 ëê Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm S= {(1;1),(- 1;- 1)} ïì 1 9 ï x 2 + y2 + 6xy - + = 0 ï 2 ï x - y 8 Bài 40 Giải hệ phương trình: íï ( ) ï 1 5 ï 2y - + = 0 îï x - y 4 Giải Điều kiện: x - y ¹ 0 Hệ phương trình biến đổi tương đương ïì 2 2 1 9 ï 2 x + y - x - y - + = 0 ï ( ) ( ) 2 ï x - y 8 íï ( ) ï 1 5 ï (x + y)- (x - y)- + = 0 îï x - y 4 ì ï a = x + y ï Đặt í 1 ï b = x - y + îï x - y ïì 9 ï 2a2 - b2 + 2 + = 0 ï Ta có hệ tương đương íï 8 ï 5 ï a - b + = 0 îï 4 ì ïì æ ö2 ì ï 2 2 25 ï 5÷ 2 - 25 ï 5 ï 2a - b = - ï 2çb - ÷ - b = ï a = ï ï ç ÷ ï Û íï 8 Û í è 4ø 8 Û íï 4 ï - 5 ï ï - 5 ï a - b = ï 5 ï b = ï ï a = b - ï îï 4 îï 4 îï 2 æ ö æ ö ç7 3÷ ç13 - 3÷ Vậy hệ có nghiệm (x;y) = ç ; ÷,ç ; ÷ èç8 8ø÷ èç 8 8 ø÷ Bài-giảng Pt- Hpt trang.345 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 ì 2 2 ï (x + y )(x + y + 1) = 25(y + 1) Bài 41 Giải hệ phương trình: íï ï x 2 + xy + 2y2 + x - 8y = 9 îï Giải Hệ phương trình tương đương ïì x 2 + y2 x + y + 1 = 25 y + 1 ï ( )( ) ( ) í 2 ï x 2 + y2 + x y + 1 + y + 1 - 10 y + 1 = 0 îï ( ) ( ) ( ) Nhận xét y + 1 = 0 không là nghiệm hệ phương trình ì 2 2 ï (x + y )(x + y + 1) ï = 25 ï Chia hai vế phương trình một và hai cho y + 1 ta có íï y + 1 ï x 2 + y2 ï + (x + y + 1) = 10 îï y + 1 ïì x 2 + y2 ï a = Đặt íï y + 1 ï ï b = x + y + 1 îï ì ì ì 2 2 ï a.b = 25 ï a = 5 ï x + y = 5(y + 1) Khi đó ta có í Û í Û íï ï a + b = 10 ï b = 5 ï x + y + 1 = 10 îï îï îï æ ö ç 3 11÷ Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (3;1),ç- ; ÷ èç 2 2 ø÷ ì 2 2 2 ï (x + x)y - 4y + y + 1 = 0 Bài 42 Giải hệ phương trình: íï ï x 3y 3 + x 2y2 - 4y 3 + xy + 1 = 0 îï Giải Nhận xét y = 0 không là nghiệm hệ phương trình Chia hai vế phương trình một cho y2 và hai y 3 ïì 1 1 ï (x 2 + x)- 4 + + = 0 ï y2 y íï ï x 2 x 1 ï x 3 + + + - 4 = 0 ï 2 3 îï y y y ïì 1 ï a = x + ï y Đặt íï ï x ï b = îï y Hệ phương trình biến đổi tương đương ta có : ì 2 ì 2 ì ì ï a + a - 2b = 4 ï a - 2b = 4 - a ï a = 2 ï x = 1 íï Û íï Û í Û í ï a3 - 2ab = 4 ï a 4 - a = 4 ï b = 1 ï y = 1 îï îï ( ) ïî îï Hệ có nghiệm (x;y) = (1;1) ïì x 5y ï + = 4 ï x 2 - y x + y2 Bài 43 Giải hệ phương trình: íï ï x 2 - 5y2 ï 5x + y + = 5 îï xy Bài-giảng Pt- Hpt trang.346 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 Giải Hệ phương trinh tương đương: ïì x 5y ïì x 5y ïì x 5y ï + = 4 ï + = 4 ï + = 4 ï x 2 - y x + y2 ï x 2 - y x + y2 ï x 2 - y x + y2 íï Û íï Û íï ï x y ï x 2 - y y2 + x ï x 2 - y y2 + x ï 5x + y + - 5 = 5 ï 5 + = 5 ï + = 1 îï y x îï x y îï x 5y ì ï x ï a = ïì a + b = 4 ì ì ï x 2 - y ï ï a + b = 4 ï a = 2 Đặt íï khi đó ta có íï Û í Û í ï 5y ï 1 1 ï ab = 4 ï b = 2 ï b = ï + = 1 îï îï ï 2 îï a b îï x + y æ ö ç3 3÷ Hệ có nghiệm (x;y) = ç ; ÷ èç2 2ø÷ ïì ï x + 3 = 2 (3y - x)(y + 1) Bài 44 Giải hệ phương trình: íï ï x + 5 ï 3y - 2 - = xy - 2y - 2 îï 2 Giải 2 Điều kiện ta có y ³ ;x ³ - 3;3y ³ x 3 2 Phương trình (1) tương đương (x + 3) = 4(3y - x)(y + 1) Û x 2 + 2(5 + 2y)x - 12y2 - 12y + 9 = 0 éx = - 6y - 9 Û ê êx = 2y - 1 ëê Với x = - 6y - 9 x ³ - 3 Þ - 6y - 9 ³ - 3 Û y £ - 1 Suy ra phương trình vô nghiệm Với x = 2y - 1thay vào phương trình ( 2 ) ta có 2(y - 2) 3y - 2 - y + 2 = 2y2 - 3y - 2 Û = (2y + 1)(y - 2) 3y - 2 + y + 2 é êy = 2 ê 2 2 7 Û ê 2 Vì £ ;2y + 1 ³ ê = 2y - 1(vn) 3y - 2 + y + 2 2 3 ëê 3y - 2 + y + 2 Vậy hệ có nghiệm ( 3 ;2 ) ì ï 2y2 - 7y + 10 - x (y + 3) + y + 1 = x + 1 ï Bài 45 Giải hệ phương trình: í 3 ï y + 1 + = x + 2y îï x + 1 Giải Điều kiện 2y2 - 7y + 10 - x (y + 3)³ 0;y + 1 ³ 0;x + 1 > 0 ì ï 2y2 - 7y + 10 - x (y + 3) = x + 1- y + 1 Ta có íï ï x + 1 y + 1 + 3 = x + 2y x + 1 îï ( ) ( )( ) Bài-giảng Pt- Hpt trang.347 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 ì 2 ï 2y2 - 7y + 10 - x (y + 3) = (x + 1) - 2(x + 1) y + 1 + y + 1 Þ íï ï x + 1 y + 1 = x + 2y x + 1 - 3 îï ( ) ( )( ) ì 2 ï 2y2 - 7y + 10 - x (y + 3) = (x + 1) - 2(x + 1)(x + 2y)+ 7 Û íï ï x + 1 y + 1 = x + 1 x + 2y - 3 îï ( ) ( )( ) éx + y - 1 = 0 Phương trình ( *) tương đương 2y2 - 4y + 2 + 3xy + x 2 - 3x = 0 Û ê êx + 2y - 2 = 0 ëê Với y = 1 – x thay vào phương trình ( 2 ) ta được (x + 1) 2 - x = - 1+ x - x 2 ( VN ) Với x = 2 – 2y thay vào phương trình (2) ta được phương trình đơn giản ẩn y. Từ đó có nghiệm của hệ. ì 2 2 ï 2x + x + x + 2 = 2y + y + 2y + 1 ( 1 ) Bài 46 Giải hệ phương trình: íï ï x 2 + 2y2 - 2x + y - 2 = 0 ( 2 ) îï Giải Lấy ( 1 ) – ( 2 ) Ta có x 2 + 3x + 2 + x + 2 = 4y2 + 2y + 2y + 1 Û (x + 1)2 + (x + 1) + x + 2 = 4y2 + 2y + 2y + 1 Xét hàm số : f (t )= t 2 + t + t + 1 1 f '(t) = 2t + 1+ 2 t + 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 1 1 3 1 2(t + 1)+ + - 1 ³ - 1 = 4 t + 1 4 t + 1 2 2 Suy ra f '(t )> 0 Vậy f (t ) là hàm đồng biến Suy ra x + 1 = 2y 2 Thay x = 2y - 1 vào phương trình ( 2 ) ta có (2y - 1) + 2y2 - 2(2y - 1)+ y - 2 = 0 éy = 1 Þ x = 1 2 ê Û 6y - 7y + 1 = 0Û ê 1 - 2 êy = Þ x = ëê 6 3 ì ü ï æ- 2 1÷öï Vậy hệ có nghiệm S = íï 1;2 ,ç ; ÷ýï ï ( ) ç ÷ï îï è 3 6øþï ì ï (3 - x) 2 - x - 2y 2y - 1 = 0 Bài 47 Giải hệ phương trình: íï ï 3 x + 2 + 2 y + 2 = 5 îï Giải 1 Điều kiện x £ 2;y ³ 2 Phương trình ( 1) tương đương : (2 - x) 2 - x + 2 - x = (2y - 1) 2y - 1 + 2y - 1 Bài-giảng Pt- Hpt trang.348 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 Û f ( 2 - x ) = f ( 2y - 1). Xét hàm số f (t ) = t 3 + t ta có f '(t ) = 3t 2 + 1 > 0 sauy ra hàm số f (t ) đơn điệu tăng . Từ đó suy ra f ( 2 - x ) = f ( 2y - 1) Û 2 - x = 2y - 1 Û x = 3 - 2y thay vào phương trình (2) Ta có 3 5 - 2y + 2 y + 2 = 5 ( * ) ì ï u = 3 5 - 2y Đặt íï ï v = y + 2 v ³ 0 îï ( ) ïì é ï u = 1;v = 2 êy = 2 ï ê ì ï ê ï u + 2v = 5 ï - 3 - 65 23 + 65 ê 233 + 23 65 (*) Û íï Û íï u = ;v = Û y = ï u3 + 2v2 = 9 ï 4 8 ê 32 îï ï ê ï 65 - 3 23 - 65 ê 233 - 23 65 ï u = ;v = êy = îï 4 4 ëê 32 Vậy hệ có nghiệm ïì æ ö æ öïü ï ç23 65 - 185 233 - 23 65÷ ç- 23 65 - 185 233 + 23 65÷ï S = í (- 1;2),ç ; ÷,ç ; ÷ý ï ç 16 32 ÷ ç 16 32 ÷ï îï è ø è øþï ïì 2x 2y + y 3 = 2x 4 + x 6 ï Bài 48 Giải hệ phương trình: í 2 ï x + 2 y + 1 = x + 1 îï ( ) ( ) Giải ì ï y = 0 ï Với x = 0 thay vào hệ phương trình ta có í - 3 ( mâu thuẫn ) ï y = îï 4 æ ö3 æ ö 3 y çy ÷ 3 çy ÷ Chia hai vế phương trình ( 1) cho x ta có 2 + ç ÷ = 2x + x Û f ç ÷= f (x) x èçx ø÷ èçx ø÷ Xét hàm số f (t ) = t 3 + 2t có f '(t ) = 3t 2 + 2 > 0 sauy ra hàm số f (t ) đơn điệu tăng . y 2 Từ đó suy ra = x Û x 2 = y (y > 0)Thay vào phương trình ( 2) ta có (x + 2) x 2 + 1 = (x + 1) .(*) x ì ï u = x Đặt íï ï v = x 2 + 1 v ³ 0 îï ( ) (*) Û (u + 2)v = v2 + 2u Û v2 - uv - 2v + 2u = 0 Û (v - u)(v - 2) = 0 Û v = 2 Û x = ± 3 Vậy hệ có nghiệm S = {(- 3;3),( 3;3)} . ì 2 ï (4x + 1)x + (y - 3) 5 - 2y = 0 Bài 49 Giải hệ phương trình: íï ï 4x 2 + y2 + 2 3 - 4x = 7 îï Giải ïì 3 ï x £ ï Điều kiện : íï 4 ï 5 ï y £ îï 2 Bài-giảng Pt- Hpt trang.349 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 3 3 Phương trình ( 1 ) biến đổi ta có 8x 3 + 2x = (6 - 2y) 5 - 2y Û (2x) + 2x = ( 5 - 2y ) + 5 - 2y Xét hàm số f (t ) = t 3 + t ta có f '(t ) = 3t 2 + 1 > 0 suy ra hàm số f (t ) đơn điệu tăng . 5 - 4x 2 Từ đó suy ra Û f (2x) = f 5 - 2y Û 2x = 5 - 2y Û y = (x ³ 0) ( ) 2 Thay vào Phuong trinh ( 2) ta có 2 æ5 - 4x 2 ö é 3ù 3 4x 2 + ç ÷ + 2 3 - 4x - 7 = 0 . Với x Î ê0; ú . Nhận xét x = 0 ;x = đều không là nghiệm ç ÷ ê ú èç 2 ø ë 4û 4 2 æ5 - 4x 2 ö 4 æ 3ö 2 ç ÷ 2 ç ÷ g(x) = 4x + ç ÷ + 2 3 - 4x - 7 Khi đó g'(x) = 4x (4x - 3)- 0 suy ra hàm số f (t ) đơn điệu tăng . t 2 + 1 æ ö æ ö çx - 1÷ çx - 1÷ x - 1 Từ đó suy ra f ç ÷= f (y) f ç ÷= f (y) Û = y Û x = 2y + 1 thay vào phương trinh (*)ta èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ 2 được é 2 2 ê y + 1 = 2 - y 3 5 y2 + 1 + y = 4 Û ê Û y = Û x = ( ) 2 ê y + 1 = - 2 - y 4 2 ëê æ ö ç5 3÷ Vậy hệ có nghiệm ç ; ÷ èç2 2ø÷ ì 2 2 ï x + x - 2x + 5 = 3y + y + 4 Bài 51 Giải hệ phương trình: íï ï x 2 - y2 - 3x + 3y + 1 = 0 îï Giải Cộng hai phương trình ta có x 2 - 2x + 1+ x 2 - 2x + 5 = y2 + y2 + 4 2 2 Û (x - 1) + (x - 1) + 4 = y2 + y2 + 4 Bài-giảng Pt- Hpt trang.350 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 1 Xét hàm số f (t ) = t + t + 4 (t ³ 0) Khi đó f '(t ) = 1+ > 0 suy ra hàm số f (t ) đơn điệu 2 t + 4 tăng . é æ 2ö 2 y = x - 1 Từ đó suy ra f ç x - 1 ÷= f y2 Û x - 1 = y2 Û ê èç( ) ø÷ ( ) ( ) êy = 1- x ëê Với y = x - 1 thay vào phuong trình hai ta có 1 - 1 x 2 - (x 2 - 2x + 1)- 3x + 3(x - 1)+ 1 = 0 Û x = Þ y = 2 2 Với y = 1- x thay vào phương trình hai ta có 3 1 x 2 - (x 2 - 2x + 1)- 3x + 3(1- x)+ 1 = 0 x = Þ y = 4 4 ïì 2x 2 4x + 1 + 2y2 2y + 1 = y + 32 ï ( ) ( ) Bài 52 Giải hệ phương trình: ï í 2 2 1 ï x + y - x + y = îï 2 Giải 1 Xét phương trình thứ hai của hệ : x 2 - x + y2 + y - = 0 2 Phương trình có nghiệm khi D = 1- 4y2 - 4y + 2 = 3 - 4y - 4y2 ³ 0 - 3 1 Û £ y £ 2 2 Phương trình thứ hai của hệ biến đổi theo biến y 1 y2 + y + x 2 - x - = 0 2 Phương trình có nghiệm khi - 1 3 D = 1- 4x 2 + 4x + 2 = 3 + 4x - 4x 2 ³ 0 Û £ x £ 2 2 Phương trình thứ nhất ta có 8x 3 + 2x 2 = - 4y 3 - 2y2 + y + 32 Xét hàm số éx = 0 3 2 2 ê f (x) = 8x + 2x Khi đó f '(x) = 24x + 4x với f '(x) = 0 Û ê - 1 êx = ëê 6 æ ö æ ö æ ö ç- 1÷ 1 ç- 1÷ 1 ç3÷ 63 Ta có f (0) = 0; f ç ÷= ; f ç ÷= ; f ç ÷= èç 2 ø÷ 2 èç 6 ÷ø 54 èç2ø÷ 2 Xét hàm số é 1 êy = 3 2 2 ê g(y) = - 4y - 2y + y + 32 khi đó g'(y) = - 12y - 4y + 1 với g'(y) = 0 Û ê 6 ê - 1 êy = ë 2 æ ö æ ö æö æ ö ç- 1÷ 63 ç1÷ 1733 ç1÷ 63 ç- 3÷ 79 Ta có gç ÷= ;gç ÷= ;gç ÷= ;gç ÷= èç 2 ÷ø 2 èç6ø÷ 54 èç2ø÷ 2 èç 2 ø÷ 2 æ ö æ ö ç3 1÷ ç3 - 1÷ Vậy hệ phương trình có hai căp nghiệm ç ; ÷;ç ; ÷ èç2 2ø÷ èç2 2 ø÷ Bài-giảng Pt- Hpt trang.351 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 ì ï x - 2 y + 1 = 3 Bài 53 Giải hệ phương trình: íï (x,y Î ¡ ) ï x 3 - 4x 2 y + 1 - 9x - 8y = - 52 - 4xy îï Giải §K: y ³ - 1. ì ï x = 3 + 2 y + 1 HPT Û íï ï x 3 - 4x 2 y + 1 + 4xy + 4x - 13x - 8y + 52 = 0 îï ì ï x = 3 + 2 y + 1 Û íï ï x(x - 2 y + 1)2 - 13x - 8y + 52 = 0 îï ì ïì ï x = 3 + 2 y + 1 ï x = 3 + 2 y + 1 Û íï Û íï ï - x - 2y + 13 = 0 ï y + 1 = 5 - y îï îï ì ï x = 3 + 2 y + 1 ï Û íï y £ 5 ï ï y2 - 11y + 24 = 0 îï ïì ï ï ï x = 3 + 2 y + 1 ì ï ï x = 7 Û íï y £ 5 Û í ï ï y = 3 ï éy = 3 îï ï ê ï êy = 8 îï ëê Vậy hệ có nghiệm là (7,3). ïì 5x 2y - 4xy2 + 3y 3 - 2 x + y = 0 ï ( ) Bài 54 Giải hệ phương trình: í 2 (x,y Î ¡ ) ï xy x 2 + y2 + 2 = x + y îï ( ) ( ) Giải Biến đổi phương trình thứ hai của hệ ta có xy(x + y)2 - 2x 2y2 + 2 = (x + y)2 Û (x + y)2(xy - 1) - 2(xy - 1)(xy + 1) = 0 Û (xy - 1)(x 2 + y2 - 2) = 0 +) xy = 1, thay vào phương trình thứ nhất và rút gọn ta được: 3x 2y - 6xy 2+ 3y 3 = 0 Û y(x - y)2 = 0. Vì xy = 1 nên y ¹ 0 , do đó x = y. Do đó x = y =1 hoặc x = y = -1. +) x 2 + y2 = 0. thay vào phương trình thứ nhất và rút gọn ta được: x 3 - 4x 2y + 5xy2 - 2y 3 = 0 Û (x - 2y)(x - y)2 = 0 éx = 2y Û ê êx = y ëê Từ đó giải được các nghiệm 2 2 2 2 (1;1),(- 1,- 1),(2 ; ),(- 2 ;- ) 5 5 5 5 Bài-giảng Pt- Hpt trang.352 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 ì 2 2 ï x + x - 2x + 5 = 3y + y + 4 (1) Bài 55 Giải hệ phương trình: íï (x,y Î ¡ ) ï x 2 - y2 - 3x + 3y + 1 = 0 (2) îï Giải x 2 - y2 - 2x + 1 Từ (1): = 3y - x , thay (2) vào ta được x 2 - 2x + 5 + y2 + 4 1 (x - 3y)( + 1) = 0 Û x = 3y x 2 - 2x + 5 + y2 + 4 3 1 3 1 Với x = 3y thay vào (2) giải được: (x,y) = ( ; );( ; ) 2 2 4 4 ì 4 4 2 2 ï x + y + 1 = 25y - 2x (1) Bài 56 Giải hệ phương trình: íï ï x 2 + y2 + 1 = y(18 - x 2) (2) îï Giải Dễ thấy với y = 0 hệ pt vô nghiệm Xét y ¹ 0 .Chia (1) cho y2 , chia (2) cho y ta được hệ ïì x 4 1 x 2 ï + y2 + + 2 = 25 ï y2 y2 y2 íï ï x 2 1 ï + y + + x 2 = 18 ï îï y y ïì x 2 + 1 ï ( + y)2 - 2(x 2 + 1) = 25 ï y Û íï ï x 2 + 1 ï + y + x 2 = 18 îï y éïì a = 7 ì 2 êï ï x + 1 2 êí ï a = + y ïì a - 2b = 27 êï b = 11 Đặt ï ta được hệ ï Û îï í y í êì ï 2 ï a + b = 18 êï a = - 9 ï b = x îï êí îï êï b = 27 ëîï ì ì 2 ì 2 ï a = 7 ï x = 11 ï x = 11 + Với í ta giải ra được íï hoặc íï ï b = 11 ï y = 3 ï y = 4 îï îï îï ì ï a = - 9 + Với í vô nghiệm ï b = 27 îï ì 2 ì 2 ï x = 11 ï x = 11 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm íï hoặc íï ï y = 3 ï y = 4 îï îï ì 3 3 ï 8x - y = 65 Bài 57 Giải hệ phương trình: íï ï 2(2 + 3y)x 2 + (1- 3x)y2 - 4xy = - 5. îï Giải ì 2 2 ì 2 ï (2x - y)(4x + 2xy + y ) = 65 ï (2x - y)[(2x - y) + 6xy] = 65 Hệ Û íï Û íï ï 4x 2 - 4xy + y2 + 6x 2y - 3xy2 = - 5. ï (2x - y)[3xy + (2x - y)] = - 5. îï îï Bài-giảng Pt- Hpt trang.353 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 ïì 3 é2x - y = 5 ï (2x - y) + 6xy(2x - y) = 65 3 2 Û íï Þ (2x - y) - 2(2x - y) + 75 = 0 Û ê ï 2.(2x - y)2+ 6xy(2x - y) = - 10 ê(2x - y)2 + 3(2x - y) + 15 = 0(VN ) îï ëê éx = 2;y = - 1 3 3 2 ê Thay y = 2x – 5 vào (1) ta có 8x - (2x - 5) = 65 Û 6x - 15x + 6 = 0 Û ê 1 êx = ;y = - 4 ëê 2 1 Vậy hệ có 2 nghiệm (2;- 1);( ;- 4) . 2 ì 2 ï 2y - x = 2(x - 1) + 2 ï Bài 58 Giải hệ phương trình: í 1 ï 2(y - x) + 1 = îï x - 1 Giải ĐK: x ¹ 1 Hệ phương trình đã cho trở thành ì 2 ï 2y - x = 2(x - 1) + 2 ï í 1 ï 2y - x - (x - 1) = îï x - 1 Đặt ì ï a = 2y - x í . Khi đó hệ đã cho trở thành ï b = x - 1 îï ïì éb = - 1(L) ì 2 ì 2 2 ï ê ï a = 2b + 2 ï b + 1 = b 2b + 2 ï ì ï ï ï êb = 1 ï a = 2 íï Û íï Û í ëê Û í ï 1 ï 1 ï ï b = 1 ï a - b = ï a - b = ï 1 îï îï b îï b ï a - b = îï b ì ï a = 2 Với í Þ x = y = 2 ï b = 1 îï Vậy hệ phương trình đã cho có duy nhất nghiệm x = y = 2. ì 3 ï (xy + 1) = 2y 3(9 - 5xy) Bài 59 Giải hệ phương trình: íï ï xy(5y - 1) = 1+ 3y îï Giải Nhận thấy y = 0 không là nghiệm của hệ Xét y ¹ 0 hệ đã cho được biến đổi thành ïì 3 ì ï æxy + 1ö ï 1 3 ï ç ÷ = 2(9 - 5xy) ï (x + ) = 2(9 - 5xy) ï ç ÷ ï y íï è y ø Û íï ï 1+ 3y ï 1 ï x(5y - 1) = ï x + + 3 - 5xy = 0 ï ï y îï y îï ì 3 ì 1 ï a = 2b ï a = 2 Đặt a = x + , b = 9 - 5xy ta được hệ íï Û í y ï a + b - 6 = 0 ï b = 4 îï îï Bài-giảng Pt- Hpt trang.354 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 ì ì ï 1 ì ï a = 2 ï x + = 2 ï x = 1 Với í ta có hệ íï y Û í ï b = 4 ï ï y = 1 îï ï 9 - 5xy = 4 îï îï Vậy hệ đã cho có nghiệm x = y = 1 ì 2 ï x + y + 1 + 1 = 4 x + y + 3 x + y ï ( ) Bài 60 Giải hệ phương trình: í 3 ï 2x - y = îï 2 Giải §K: x + y ³ 0. pt(1) Û x + y + 1 - 3(x + y) = 4(x + y)2 - 1 2x + 2y - 1 Û + (2x + 2y - 1)(2x + 2y + 1) = 0 x + y + 1 + 3(x + y) 1 Û (2x + 2y - 1)( + 2(x + y) + 1) = 0 x + y + 1 + 3(x + y) Û 2x + 2y - 1 = 0 Từ đó ta có hệ ïì 2 ïì 2x + 2y - 1 = 0 ï x = ï ï íï Û íï 3 ï 3 ï 1 ï 2x - y = ï x = - îï 2 ï îï 6 ì 3 2 ï 3x + (9 - y)x - 3xy = 1 Bài 61 Giải hệ phương trình: íï ï x 2 + 9x - 2y = 3. îï Giải ì 2 ì 2 ì 2 ï x + 3x = 2 ï (x + 3x)(3x - y) = 1 ï x + 3x = 1 ï hpt Û ï Û ï ï í 2 í hoặc í 1 ï x + 3x + 2(3x - y) = 3 ï 3x - y = 1 ï 3x - y = îï îï îï 2 ì ì ï - 3 + 13 ï - 3 - 13 ì 2 ï x = ï x = ï x + 3x = 1 ï ï Nếu íï Û íï 2 hoặc íï 2 ï 3x - y = 1 ï - 11+ 3 13 ï - 11- 3 13 îï ï y = ï y = îï 2 îï 2 ïì ïì ì 2 ï - 3 + 17 ï - 3 - 17 ï x + 3x = 2 ï x = ï x = ï ï 2 ï 2 Nếu í 1 Û í hoặc í ï 3x - y = ï - 10 + 3 17 ï - 10 - 3 17 îï 2 ï y = ï y = îï 2 îï 2 ì 2 2 2 2 ï (x - y)(x + xy + y + 3) = 3(x + y ) + 2 (1) Bài 62 Giải hệ phương trình íï (x,y Î ¡ ) ï 4 x + 2 + 16 - 3y = x 2 + 8 (2) îï Giải Bài-giảng Pt- Hpt trang.355 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 16 ĐK:x ³ - 2,y £ 3 (1) Û (x - 1)3 = (y + 1)3 Û y = x - 2 Thay y = x - 2 vao (2) được 4(x - 2) 3(x - 2) 4 x + 2 + 22 - 3x = x 2 + 8 Û = (x - 2)(x + 2) + x + 2 + 2 22 - 3x + 4 é êx = 2 ê Û ê - 4 3 ê + (x + 2) + = 0(*) ëê x + 2 + 2 22 - 3x + 4 21 Xét f(x) = VT(*) trên 2; , có f’(x) > 0 nên hàm số đồng biến. suy ra x 1 là nghiệm duy nhất của 3 (*) Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm 2;0 , 1; 3 . ì 2 2 ï x + y + x - y = 12 Bài 63 Giải hệ phương trình íï (x,y Î ¡ ) ï y x 2 - y2 = 12 îï Giải Điều kiện: | x | ³ | y | ïì 2 2 æ 2 ö ï u = x - y ; u ³ 0 1ç u ÷ Đặt í ; x = - y không thỏa hệ nên xét x ¹ - y ta có y = çv - ÷. ï v = x + y 2ç v ÷ îï è ø Hệ phương trình đã cho có dạng: ïì u + v = 12 ï íï u æ u2 ö ï çv - ÷= 12 ï ç ÷ îï 2 è v ø Đến đây sử dụng phương pháp rút thế ta dễ dàng tìm ra kết quả bài toán. 2 ïì 2 ï x - y + x + y = y Bài 64 Giải hệ phương trình íï ( ) (x,y Î ¡ ) ï x 4 - 4x 2y + 3x 2 = - y2 îï Giải ì 2 ï x + y + x(1- 2y) = 0 (1) Hệ tương đương íï ï (x 2 + y)2 + 3x 2(1- 2y) = 0 (2) îï é êx = 0 2 ê 2 2 ê 1 Thay (1) vào (2) được (x(1- 2y)) + 3x (1- 2y) = 0 Û 2x (1- 2y)(2 - y) = 0 Û êy = ê 2 êy = 2 ëê Với x = 0 suy ra y = 0 - 1 Với 1 2y 0 thay vào (1) suy ra x 2 = - y = (Vô lí) 2 Với y = 2 suy ra x = 1 hoặc x = 2 Hệ có 3 nghiệm (0; 0), (1; 2), (2; 2). ì 2 2 ï x - 5y + 3 + 6 y - 7x + 4 = 0 Bài 65 Giải hệ phương trình íï (x,y Î R) . (x,y Î ¡ ) ï y(y - x + 2) = 3x + 3 îï Bài-giảng Pt- Hpt trang.356 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 Giải Phương trình thứ (2) Û y2 + (2 - x)y - 3x - 3 = 0 được xem là phương trình bậc hai theo ẩn y có D = (x + 4)2 é x - 2 - x - 4 êy = = - 3 ê Phương trình có hai nghiệm: ê 2 Thay y = -3 vào pt thứ nhất ta được pt vô ê x - 2 + x + 4 êy = = x + 1 ë 2 nghiệm Thay y = x + 1 vào pt thứ nhất ta được: x2 - 5x - 2 + 6 x 2 - 5x + 5 = 0 (3) ét = 1 (tm) Giải (3): đặt x 2 - 5x + 5 = t , điều kiện t³ 0 (3) Û t 2 + 6t - 7 = 0 Û ê êt = - 7 (ktm) ëê éx = 1 Þ y = 2 Với t=1 Û x 2 - 5x + 5 =1 Û ê ( thỏa mãn) êx = 4 Þ y = 5 ëê Vậy, hệ phương trình có 2 nghiệm là:(1;2) và (4;5) ì 2 2 2 ï x y - 2x - 2y + 5y - 2 = 0 Bài 66 Giải hệ phương trình íï ï y2 + 1 + x - y = 2xy - x 2 + x 2 - 2xy + y2 + 1 + y îï (x,y Î R) . Giải 2 2 Từ phương trình (2) ta có đ/k : x ³ y,y ³ 0 y2 + 1 - y - y2 = (x - y) + 1 - x - y - (x - y) . 2 2 é / t 1 Xét hàm số f (t ) = t + 1 - t - t liên tuc ëê0;+ ¥ ) có f (t ) = - - 2t t 2 + 1 .2 t æ ö ç 1 ÷ 1 = t ç - 2÷- 0 0;+ ¥ ç ÷ Suy ra hàm số nghịch biến ( ) nên èç t 2 + 1 ø÷ 2 t f (y) = f (x - y)Û x = 2y Thay vào (1) ta có (y - 2)(x 2 - x + 1) = 0 Û y = 2 Þ x = 4.Vậy hệ có nghiệm (x ;y) = (4 ; 2). ì ï 3x - 1 + 4(2x + 1) = y - 1 + 3y Bài 67 Giải hệ phương trình íï ï x + y 2x - y + 4 = - 6x - 3y îï ( )( ) Giải 1 Điều kiện: x ³ ;y ³ 1 3 2 éy + x + 1 = 0 (2) Û - y2 + x + 3 y + 2x 2 + 6x + 4 = 0; D = 3x + 5 Vậy ta có: ê ( ) ( ) ê2x - y + 4 = 0 ëê 1 y + x + 1 = 0 vô nghiệm vì x ³ ;y ³ 1 3 2x - y + 4 = 0 Û y = 2x + 4, thay vào (1) ta có: 3x - 1 + 4(2x + 1) = 2x + 3 + 3(2x + 4) Û 2(3x - 1)+ 3x - 1 = 2(2x + 3)+ 2x + 3 (*) (*) Û 3x - 1 = 2x + 3 Û x = 4 Þ y = 12 .Kết luận: (x,y) = (4;12). Bài-giảng Pt- Hpt trang.357 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 ì 2 2 ï x + xy + y = 3 ï Bài 68 Giải hệ phương trình í x 5 + y5 31 ï = ï 3 3 îï x + y 7 Giải Điều kiện của phương trình x ¹ - y ïì 2 2 ï x + xy + y = 3 ïì 2 2 ï ï x + xy + y = 3 (1) í x 5 + y5 31 Û í ï = ï 7 x 5 + y5 = 31 x 3 + y 3 2 ï 3 3 îï ( ) ( ) ( ) îï x + y 7 Lấy (2) nhân 3 kết hợp với (1) ta được phương trình đồng bậc 21(x 5 + y5) = 31(x 2 + xy + y2)(x 3 + y 3) Û 10x 5 + 31x 4y + 31x 3y2 + 31xy 4 + 10y 4 = 0 (3). Rõ ràng x = y = 0 không phải là nghiệm hệ phương trình. Đặt x = ty thay vào (3) ta được: y5 (10t 5 + 31t 4 + 31t 3 + 31t + 10) = 0 Û 10t 5 + 31t 4 + 31t 3 + 31t + 10 = 0 ét + 1 = 0 4 3 2 ê Û (t + 1) 10t + 21t + 10t + 21t + 10 = 0 Û 4 3 2 ( ) ê10t + 21t + 10t + 21t + 10 = 0 ëê Với t + 1 = 0 Û t = - 1 hay x = - y Û x + y = 0 (loại). Với 10t 4 + 21t 3 + 10t 2 + 21t + 10 = 0 (3). Vì t = 0 không phải là nghiệm của phương trình (3) chia æ 1 ö æ 1ö hai vế phương trình cho t 2 ta được: 10çt 2 + ÷+ 21çt + ÷+ 10 = 0, ç 2 ÷ ç ÷ èç t ø÷ èç t ø÷ 1 1 1 Đặt u = t + Þ u ³ 2; u2 = t 2 + + 2 Þ t 2 + = u2 - 2. Khi đó (3) trở thành t t 2 t 2 é 2 êu = loai 2 ê 10u + 21u - 10 = 0 Û ê 5 ê 5 êu = - ë 2 ét = - 2 5 1 5 2 ê Với u = - ta có t + = - Û 2t + 5t + 2 = 0 Û ê 1 2 t 2 êt = - ëê 2 Với t = - 2 ta có x = - 2y thế vào (1) ta có 3y2 = 3 Û y2 = 1 Û y = ± 1 tương ứng x = m2. 1 Với t = - ta có y = - 2x thế vào (1) ta có 3x 2 = 3 Û x 2 = 1 Û x = ± 1 tương ứng y = m2. 2 Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm là (1;- 2), (- 1;2), (2;- 1), (- 2;1). ì 3 4 ï x y - y = 7 Bài 69 Giải hệ phương trình íï ï x 2y + 2xy2 + y 3 = 9 îï Giải ïì y x 3 - y 3 = 7 1 ï ( ) ( ) Hệ phương trình Û í 2 ï y x + y = 9 2 îï ( ) ( ) Từ hệ suy ra x.y ¹ 0; x ¹ ± y, y > 0. Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn. Lấy hai phương trình thu được chia cho 3 3 3 3 y (x - y ) 73 nhau ta thu được phương trình đồng bậc: = . 8 4 y 4 (x + y) 9 Bài-giảng Pt- Hpt trang.358 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 3 3 (t - 1) 73 Đặt x = ty ta được phương trình: = 3 . Từ phương trình này suy ra t > 1. 8 4 ( ) (t + 1) 9 3 (t 3 - 1) Xét f t = ; " t > 1. ( ) 8 (t + 1) 2 8 7 3 2 7 9t 2 (t 3 - 1) (t + 1) - 8(t + 1) (t 3 - 1) (t 3 - 1) (t + 1) (9t 3 + 9t 2 - 8t 3 + 8) f' t = = ( ) 8 8 (t + 1) (t + 1) 2 7 (t 3 - 1) (t + 1) (t 3 + 9t 2 + 8) = > 0 " t > 1 8 (t + 1) Vậy f(t) đồng biến với mọi t > 1. Nhận thấy t = 2 là nghiệm của (3). Vậy t = 2 là nghiệm duy nhất. Với t = 2 ta có x = 2y thế vào (1) ta được y 4 = 1 Û y = 1 (vì y > 0) suy ra x = 2 . Vậy hệ có nghiệm là (2;1). ì ï 1 1 ï + 2 - = 2 (1) ï x y Bài 70 Giải hệ phương trình íï ï 1 1 ï + 2 - = 2 (2) ï x îï y 1 1 ĐK: x ³ ,y ³ . 2 2 1 1 1 1 Trừ vế hai pt ta được - + 2 - - 2 - = 0 Û x y y x æ ö 1 ç 1÷ 2 - - ç2 - ÷ y - x y èç x ø÷ y - x y - x + = 0 Û + = 0 xy 1 1 xy x + y æ 1 1÷ö 2 - + 2 - ( ) ç ÷ xy ç 2 - + 2 - ÷ y x èç y x ø÷ 1 1  TH 1. y - x = 0 Û y = x thế vào (1) ta được + 2 - = 2 x x 1 Đặt t = , t > 0 ta được x ïì 2 - t ³ 0 ïì t £ 2 2 ï ï 2 - t = 2 - t Û íï Û íï Û t = 1 Þ x = 1 và y = 1 ï 2 - t 2 = 4 - 4t + t 2 ï t 2 - 2t + 1 = 0 îï îï 1 1  TH 2. + = 0. TH này vô nghiệm do ĐK. æ ö xy ( x + y ) ç 1 1÷ xy ç 2 - + 2 - ÷ èç y x ø÷ Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; 1). ïì 8 ï x 2 + 2y2 + 2 = ï y Bài 71 Giải hệ phương trình: íï ï æ2 1ö ï 3x 2 + 3y2 + 5 = 8ç + ÷ ï ç ÷ îï èy x ø Bài-giảng Pt- Hpt trang.359 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 Điều kiện: x.y ¹ 0 Quy đồng rồi thế (1) vào (2), ta được: 3x 3y + 3xy 3 + 5xy = 2x (x 2y + 2y2 + 2y)+ y (x 2y + 2y2 + 2y) Û (x - 2y)(x 2 + xy + y2 + 1) = 0 Û x = 2y thay vào (1), ta được: 4y 3 + 2y2 + 2y - 8 = 0 Û y = 1 Þ x = 2 KL: S = {(2;1)} . ì 6 3 2 2 2 ï y + y + 2x = xy - x y Bài 72 Giải hệ phương trình: íï ï 8xy 3 + 2y 3 + 1 ³ 4x 2 + 2 1+ (2x - y)2 îï Giải æ ö2 1 ç 1÷ 1 6 3 2 1 VP(1) = - çxy - ÷ £ Þ VT (1) = y + y + 2x £ 4 èç 2ø÷ 2 2 Û 2y6 + 2y 3 + 4x 2 £ 1 (3) Từ (2) và (3) suy ra: 8xy 3 + 2y 3 + 2 ³ 2y6 + 2y 3 + 4x 2 + 4x 2 + 2 1+ (2x - y)2 Û 8xy 3 + 2 ³ 2y6 + 8x 2 + 2 1+ (2x - y)2 Û 4xy 3 + 1 ³ y6 + 4x 2 + 1+ (2x - y)2 Û 1- 1+ (2x - y)2 ³ y6 - 4xy 3 + 4x 2 = (y 3 - 2x)2 (4) VT (4) £ 0,VP(4) ³ 0. Do đó: é êì êï x = 0 êí êï y = 0 êîï ì ïì ïì êï 1 ï y = 2x ï y = 2x êï x = (4) Û í 3 Û í 3 Û êí 2 ï y = 2x ï y = y êï y = 1 îï îï êîï êì êï 1 êï x = - êí 2 êï y = - 1 ëêîï 1 Thử lại chỉ có: (x;y) = (- ;- 1) thỏa mãn. 2 1 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (- ;- 1) . 2 ïì y ï x + + y2 = 0 (1) ï 2 Bài 73 Giải hệ phương trình í 1+ x + x ï x 2 ï + 2 x 2 + 1 + y2 = 3 2 ï 2 ( ) îï y Giải Từ PT (1) ta có: x + y( x 2 + 1 - x) + y2 = 0 do y ¹ 0 x Û + y + x 2 + 1 - x = 0 (3) y Bài-giảng Pt- Hpt trang.360 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 éx 2 ê æ ö æ ö + y = - 1 çx ÷ çx ÷ êy Từ (2) & (3) ta có: ç + y÷ - 2ç + y÷- 3 = 0 Û ê èçy ø÷ èçy ø÷ êx ê + y = 3 ëêy Thay vào (3) giải ra ta có nghiệm (0;- 1) ì ï 2x - 2y + 2x + y + 2xy + 1 = 1 ï Bài 74 Giải hệ phương trình: íï 3 3y + 1 = 8x 3 - 2y - 1 ï ï x > 0 îï Giải Ta có (1) Û (2x + 1)- 2(y + 1)+ (2x + 1)(y + 1) = 0 ĐK: (2x + 1)(y + 1) ³ 0 ì ï 2x + 1 > 0 Mà x > 0 Þ í ï y + 1 ³ 0 îï Ta có PT (1) Û ( 2x + 1 - y + 1)( 2x + 1 + 2 y + 1) = 0 Û 2x + 1 - y + 1 = 0 Û y = 2x Thay vào (2): 3 6x + 1 = 8x 3 - 4x - 1 3 Û (6x + 1)+ 3 6x + 1 = (2x) + 2x (3) Hàm số f(t) = t3 + t đồng biến trên R 1 (3) Û 3 6x + 1 = 2x Û 4x 3 - 3x = 2 Nhận xét: x >1 không là nghiệm của phương trình p Xét 0< x £ 1: Đặt x = cosa với 0 £ a < 2 1 Þ cos3a = 2 é p 2p êa = + k ê Û ê 9 3 (kÎ Z ) ê p 2p êa = - + k ë 9 3 p p Do 0 £ a £ Þ a = 2 9 æ ö ç p p÷ Vậy hệ có nghiệm: çcos ;2cos ÷ èç 9 9ø÷ ïì 4 ï (x + y) + 3 = 4(x + y) ï 2 2 Bài 75 Giải hệ phương trình: í 4 4 ï x - y 9(x - y ) 7(x - y) æx - 3ö ï + + + 3lnç ÷= 0 ï ç ÷ îï 64 32 8 èy - 3ø Giải 4 4 Theo BĐT Cauchy ta có (x + y) + 1+ 1+ 1 ³ 44 (x + y) .1.1.1 = 4 x + y ³ 4(x + y) Dấu bằng xảy ra Û x + y = 1 (*) . Bài-giảng Pt- Hpt trang.361 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 x - 3 Từ đó kết hợp với điều kiện: > 0 Þ - 2 < x,y < 3. y - 3 x 4 9x 2 7x y 4 9y2 7y PT thứ hai của hệ Û + + + 3ln(3 - x) = + + + 3ln(3 - y). 64 32 8 64 32 8 x 4 9x 2 7x Xét hàm số f(x) = + + + 3ln(3 - x) ( với x < 3 ) 64 32 8 3 x 3 9x 7 3 (x + 9x + 14)(x - 3)+ 48 f ' (x) = + + + = 16 16 8 x - 3 16(x - 3) 2 2 x 4 - 3x 3 + 9x 2 - 13x + 6 (x - 1) (x - x + 6) = = £ 0 ( vì x < 3). 16(x - 3) 16(x - 3) Suy hàm số nghịch biến trên (-2; 3), vậy f(x) = f(y) Û x = y ( ). 1 Từ (*), ( ) có x = y = . 2 ïì æ 2 ö ï 2 2 çy + y + 9÷ ï (x - y)(x + xy + y - 2) = 6lnç ÷ ï ç 2 ÷ Bài 76 Giải hệ phương trình: í èçx + x + 9ø÷ ï ï x 5y - 3xy - 1 = 0 îï Giải æ 2 ö 2 2 çy + y + 9÷ Từ (x - y)(x + xy + y - 2) = 6lnç ÷ ç 2 ÷ èçx + x + 9ø÷ Û x 3 - 2x + 6ln(x + x 2 + 9) = y 3 - 2y + 6ln(y + y2 + 9) (1) Xét f (t ) = t 3 - 2t + 6ln(t + t 2 + 9) t Î ¡ æ ö 2 6 ç 2 2 2÷ f ' t = 3t - 2 + = 3çt + - ÷ ( ) ç ÷ t 2 + 9 èç t 2 + 9 3ø÷ 2 2 2 29 t 2 + 9 1 1 26 29 Ta có t 2 + - = t 2 + 9 + - = + + + (t 2 + 9)- t 2 + 9 3 t 2 + 9 3 27 t 2 + 9 t 2 + 9 27 3 26 29 26 29 29 ³ 1+ (t 2 + 9)- ³ 1+ = - = 0 27 3 3 3 3 Suy ra f '(t )³ 0 " t Þ hàm số đồng biến và liên tục trên R Mà (1) Û f (x) = f (y) Û x = y Thay vào phương trình còn lại của hệ ta có x 6 - 3x 2 - 1 = 0 (2) Đặt x 2 = u (u ³ 0) suy ra u3 - 3u = 1 (3) Xét g(u) = u3 - 3u - 1 với u ³ 0 g'(u) = 3u2 - 3 có g'(u) = 0 Û u = ± 1 Ta có bảng biến thiên của hàm số: u -1 0 1 2 g’(u) + 0 - - 0 + Bài-giảng Pt- Hpt -1 trang.362 ©copy&paste:+ Trần Xuân Dũng - 1 33 33 33 33 33 3
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 g(u) Căn cứ vào BBT phương trình (3) có nghiệm duy nhất thuộc (0; 2) æ ö ç p÷ Đặt u = 2cosa với a Î ç0; ÷ èç 2ø÷ 1 p p Khi đó (3) trở thành: cos3a= Û a = Þ x = ± 2cos 2 9 9 æ ö æ ö ç p p ÷ ç p p ÷ Vậy hệ có nghiệm ç 2cos ; 2cos ÷ ; ç- 2cos ;- 2cos ÷ èç 9 9 ø÷ èç 9 9 ø÷ ì x2+ y x+ y2 ï 2 + 2 = 8 Bài 77 Giải hệ phương trình: íï ï x + y = 2 îï Giải ïì 1 2 ï x + y ³ x + y = 2 ï ( ) 2 2 Ta có: íï 2 Þ x + y + x + y ³ 4 2 ï 2 2 1 ï x + y ³ (x + y) = 2 îï 2 2 2 2 2 Theo BĐT Cauchy ta có: 2x + y + 2y + x ³ 2 2x + y + x+ y ³ 2. 24 = 8 PT dấu “ = ” xảy ra. Từ đó ta có x = y = 1. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; 1). ïì x 2 - 8y 3 = 2xy(1- 2y) ï ï 2 Bài 78 Giải hệ phương trình: í 2y + 1 ï 3 ( ) ï x + 4x = 1+ îï 3 Giải §K: tõ PT (2) ,suy ra x> 0 Ta có PT (1) Û x(x - 2y) = 4y2(2y - x) Û (x - 2y)(x + 4y2) = 0 Û x = 2y ( v× x+4y2> 0 ) Thay vµo ph¬ng tr×nh (2) cã 3 x 3 + 4x = x 2 + 2x + 4 (*) Ap dông bÊt d¼ng thøc Cauchy tacã x 2 + 4 x 2 + 4 3 3 ³ x Þ x 2 + 2x + 4 = + (x 2 + 4) + 2x ³ x + (x 2 + 4x) + 2x = 4 4 4 4 3 x 2 + 4 3 = ( + 2x) ³ .2 x 3 + 4x = 3 x 3 + 4x 2 2 2 DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi x = 2. HÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (2,1) (Chó ý :C¸ch kh¸c : B×nh ph¬ng 2 vÕ cña pt (*) Û (x - 2)2(x 2 - x + 4) = 0 ) ì 2 2 ï xy + 4y + 8 = x(x + 2) Bài 79 Giải hệ phương trình: íï (x,y Î R) ï x + y + 3 = 3 2y - 1 îï Giải éx = - 4 2 ê (1) Û (x + 4) y - x + 2 = 0 Û 2 ( ) êx = y + 2 ëê Với x = - 4 thay vào pt (2) ta được y = 10 + 3 10 Bài-giảng Pt- Hpt trang.363 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 Với x = y2 + 2 thế vào pt (2) ta được y2 + y + 5 = 3 2y - 1 (*) Ta có y2 + y + 5 = 2y - 1+ (y2 - y + 1) + 5 > 2y - 1+ 5 ³ 2 5(2y - 1) ³ 3 2y - 1 Do đó pt (*) vô nghiệm. KL: Nghiệm của hệ x = - 4, y = 10 + 3 10 . ì 3 3 ï x - 8x = y + 2y Bài 80 Giải hệ phương trình: íï ï x 2 - 3 = 3(y2 + 1) îï Giải ì 3 3 ï x - y = 2(4x + y)(1) Ta có PT (1) íï ï x 2 - 3y2 = 6(2) îï é êx = 0 3 2 2 ê Þ x + x y - 12xy = 0 Û êx = 3y ê x = - 4y ëê Thay cả 3 trường hợp x vào (2) Hệ có các nghiệm là: 6 6 6 6 (3;1) , (- 3; - 1) , (- 4 ; ),(4 ;- ) 13 13 13 13 ì 2 2 ï 8(x + y) - 3xy = 2y + x Bài 81 Giải hệ phương trình: íï ï 4 2 - x + 3 - y = 2x 2 - y2 + 5 îï Giải ì é ï x £ 2 x + y = 0 Điều kiện: í , phương trình (1) Û x + y x + 2y - 8 = 0 Û ê . ï y £ 3 ( )( ) êx + 2y = 8 îï ëê Với x + 2y = 8 ì ì ï x £ 2 ï x £ 2 Ta có : í Û í Þ x + 2y £ 8 ï y £ 3 ï 2y £ 6 îï îï ì ï x = 2 Khi đó: x + 2y = 8 Û í không thỏa hệ. ï y = 3 îï Với x + y = 0 Û y = - x thay vào phương trình (2) Ta có PT (2) Û 4 2 - x + 3 + x = x 2 + 5 Điều kiện: - 3 £ x £ 2 1- x x - 1 Ta có (2) Û 4( 2 - x - 1)+ ( 3 + x - 2) = x 2 - 1 Û 4 + = (x - 1)(x + 1) 2 - x + 1 3 + x + 2 é êx = 1 Þ y = - 1 ê Û ê 4 1 ê - + x + 1 = 0 (*) ëê 2 - x + 1 3 + x + 2 4 1 Xét phương trình (*), đặt f (x) = - + x + 1 2 - x + 1 3 + x + 2 2 1 Ta có: f '(x) = + + 1 > 0; " x Î - 3;2 2 2 ( ) 2 - x ( 2 - x + 1) 2 3 + x ( 3 + x + 2) é ù é ù Mặt khác f (x) liên tục trên ëê- 3;2ûú, suy ra f (x) đồng biến trên ëê- 3;2ûú. Bài-giảng Pt- Hpt trang.364 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 Ta có: f (- 2) = 0, suy ra (*) có nghiệm duy nhất x = - 2 Þ y = 2. Kết hợp điều kiện, hệ có hai nghiệm (1;- 1),(- 2;2). ì 2 ï 3(y + y)(1+ x - 2) = x + 2 x - 2 + 1 Bài 82 Giải hệ phương trình: íï ï 2y2 + 2y + x - 2 = 2 îï Giải ĐK: x ³ 2. Ta có ì 2 ì 2 ï 3(y + y)(1+ x - 2) = x + 2 x - 2 + 1 ï 3(y + y)(1+ x - 2) = (x - 2 + 2 x - 2 + 1) + 2 íï Û íï ï 2y2 + 2y + x - 2 = 2 ï 2(y2 + y) + 1+ x - 2 = 3 îï îï é ïì a = y2 + y ïì 3ab = b2 + 2 ïì b = 3 - 2a êa = b = 1 ï ï ï ê Đặt í ta được í Û í 2 Û 11 4 ï b = 1+ x - 2 ï 2a + b = 3 ï 10a - 21a + 11 = 0 êa = ,b = îï îï îï ëê 10 5 é ê - 1- 5 êx = 2,y = 4 Với a=b=1 suy ra hệ có hai nghiệm là : ê 2 Vì b = 1+ x - 2 ³ 1 Þ b = không ê - 1+ 5 5 êx = 2,y = ëê 2 thỏa mãn. Vậy hệ chỉ có 2 nghiệm như trên. ì ï 2x - 2y + (2x + 1)(y + 1) = 1 Bài 83 Giải hệ phương trình: íï , với x ³ 0 và x,y Î R . ï 3 3y + 2 = 8x 3 - 2y - 2 îï Giải Điều kiện: (2x + 1)(y + 1) ³ 0, Phương trình (1) Û (2x + 1)- 2(y + 1)+ (2x + 1)(y + 1) = 0 . Từ giả thiết x ³ 0 ta có 2x + 1 > 0 Þ y + 1 ³ 0. Đặt a = 2x + 1,b = y + 1 ta có (1) trở thành: a2 - 2b2 + ab = 0 éa = b Û a2 - b2 + ab - b2 = 0 Û a - b a + 2b = 0 Û ê ( ) ( ) ( )( ) êa + 2b = 0(l) ëê Với a = b ta có: 2x + 1 = y + 1 Û y = 2x thay vào phương trình (2) ta có: 3 3 6x + 2 = 8x 3 - 4x - 2 Û (6x + 2)+ 3 6x + 2 = (2x) + 2x , (*). Xét hàm số f (t) = t 3 + t ta có f '(t) = 3t 2 + 1 > 0, " t Î R Þ hàm số f (t) đồng biến trên R Do đó PT (*) Û 3 6x + 2 = 2x Û 8x 3 - 6x - 2 = 0 éx = 1 (n) 2 ê Û 2(x - 1)(4x + 4x + 1) = 0 Û ê 1 . Với x = 1 Þ y = 2 êx = - (l) ëê 2 ïì 5x 5y - 4xy2 + 3y 3 - 2 x + y = 0 1 ï ( ) ( ) Bài 84 Giải hệ phương trình: í 2 . ï xy 2+ y2 + 2 = x + y 2 îï ( ) ( ) ( ) Giải Từ (2) ta có : (xy - 1)(x 2 + y2 - 2) = 0 Þ xy = 1Ú x 2 + y2 = 2 Với xy = 1; từ (1) suy ra : y 4 - 2y2 + 1 = 0 Û y = ± 1. Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;1),(-1;-1). Với : x 2 + y2 = 2 Þ (1) Û 3y (x 2 + y2)- 4xy2 + 2x 2y - 2(x + y) = 0 Û 6y - 4xy2 + 2x 2y - 2(x + y) = 0 Bài-giảng Pt- Hpt trang.365 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 Û (1- xy)(2y - x) = 0 ® xy = 1Ú x = 2y Xét : xy = 1 . Đã giải ở trên æ2 10 10ö÷ æ 2 10 10ö÷ 2 2 ç ÷ ç ÷ Với : x = 2y , thay vào x + y = 2 Þ (x;y) = ç ; ÷,ç- ;- ÷ èç 5 5 ø÷ èç 5 5 ø÷ æ ö æ ö ç2 10 10÷ ç 2 10 10÷ Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;1),(-1;-1),ç ; ÷,ç- ;- ÷ èç 5 5 ø÷ èç 5 5 ø÷ ì 2 ï x (y + 1) = 6y - 2 (1) Bài 85 Giải hệ phương trình: íï . ï x 4y2 + 2x 2y2 + y x 2 + 1 = 12y2 - 1 2 îï ( ) ( ) Giải Điều kiện : y ¹ 0;y ¹ - 1 4y - 4 9y + 1 Khi đó : (1) Û x 2y (y + 1) = 6y2 - 2y Þ x 2 - 2 = ;x 2 + 3 = . y + 1 y + 1 Thay vào (2) , ta có : x 4y2 + x 2y2 + y + 6y2 - 2y = 12y2 - 1 Û (x 2 - 2)(x 2 + 3)y2 - y + 1 = 0 é 2 é y = 1 ® x = ± 2 4(y - 1)(9y + 1)y êy = 1 ê Û = y - 1 Û 2 Û ê 2 ê 2 ê 1 y + 1 ê4(9y + 1)y = (y + 1) êy = ® x = 0 ( ) ë ë 3 ì 2 ï x y + 2y + x = 4xy ï Bài 86 Giải hệ phương trình: í 1 1 x . ï + + = 3 ï 2 îï x xy y Giải Điều kiện : x ¹ 0,y ¹ 0. Chia hai vế phương trình (1) cho xy , thêm 1 vào hai vế của phương trình (2) và ïì 1 1 1 ï x + + + = 4 ï x x y nhóm chuyển về dạng tích Þ íï ï æ 1öæ1 1ö ï çx + ÷ç + ÷= 4 ï ç ÷ç ÷ îï è x øèx y ø ì 1 1 1 ï u + v = 4 Đặt : u = x + ;v = + Þ í Û u = v = 4. x x y ï uv = 4 îï Đến đậy bài toán trở thành đơn giản. ïì 2xy ï x + = x 2 + y ï 3 x 2 - 2x + 9 Bài 87 Giải hệ phương trình: íï . ï 2xy 2 ï y + = y + x ï 3 2 îï y - 2y + 9 Giải Cộng hai vế phương trình của hệ vế với vế ta có : 2xy 2xy + = x 2 + y2 . Ta có : x = y = 0 là một nghiệm của hệ . 3 x 2 - 2x + 9 3 y2 - 2y + 9 2 Ta có : 3 x 2 - 2x + 9 = 3 (x - 1) + 8 ³ 2 Þ VT £ xy + xy = 2xy . Khi đó : VP = x 2 + y2 ³ 2xy . Cho nên dấu bằng chỉ xảy ra khi : x = y = 1. Vậy hệ có hai nghiệm : (x; y)=(0;0); (1;1). ì 2 4 7 ï (1+ x)(1+ x )(1+ x ) = 1+ y Bài 88 Giải hệ phương trình: íï . ï 1+ y 1+ y2 1+ y 4 = 1+ x 7 îï ( )( )( ) Bài-giảng Pt- Hpt trang.366 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 Giải Dễ thấy : x = y = 0 hoặc x = y = -1 là nghiệm của hệ Xét : x > 0 Ta có: 1+ y7 = (1+ x)(1+ x 2)(1+ x 4 ) = 1+ x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 > 1+ x 7 Þ y > x Ta có: 1+ x 7 = (1+ y)(1+ y2)(1+ y 4 ) = 1+ y + y2 + y 3 + y 4 + y5 + y6 + y7 > 1+ y7 Þ x > y Vậy hệ vô nghiệm . Tương tự khi y>0 hệ cũng vô nghiệm Xét : x 1+ x 7 Þ y > x . Tương tự khi y 1 ta có x y Hệ cũng vô nghiệm Xét trường hợp 1 x 0 . Hệ cũng vô nghiệm . Kết luận : Hệ có nghiệm : x;y 0;0 ; 1; 1 . ïì 1 ï 3x(1+ ) = 2 (1) ï x + y Bài 89 Giải hệ phương trình: íï . ï 1 ï 7y(1- ) = 4 2 (2) îï x + y Giải ĐK x ³ 0,y ³ 0. Dễ thấy x = 0 hoặc y = 0 không thõa mãn hệ. Với x > 0, y > 0 ta có : ì ïì ï 1 2 ï 1 2 2 ï 1+ = ï 1 = + ï x + y 3x ï 3x 7y 1 1 8 íï Û íï Þ = - ( nhân vế với vế) ï 1 4 2 ï 1 1 2 2 x + y 3x 7y ï 1- = ï = - ï x + y 7y ï x + y îï îï 3x 7y Þ 21xy = (7y - 24x)(x + y) Þ 24x 2 + 38xy - 7y2 = 0 Þ y = 6x (vì x, y dương). 1 2 1 1 æ1 2 ö ç ÷ Thay vào phương trình (1) ta được - . + 1 = 0 Û = 7ç ± ÷. 7x 3 x x èç 3 21ø÷ Từ đó dễ dàng suy ra x và y. ì 3 2 ï x + 3xy = - 49 (1) Bài 90 Giải hệ phương trình: íï . ï x 2 - 8xy + y2 = 8y - 17x (2) îï Giải Với hệ này, cả hai ẩn và ở hai phương trình đều khó có thể rút ẩn này theo ẩn kia. Tuy nhiên, nếu rút y2 từ (2) và thế vào (1) thì ta được một phương trình mà ẩn y chỉ có bậc 1: x 3 + 3x(- x 2 + 8xy + 8y - 17x) = - 49 Û 24xy(x + 1) = 2x 3 + 2x 2 + 49x 2 - 49 (3) Nếu x=0 thì (1) vô lí. Nếu x=-1 thì hệ trở thành y2 = 16 Þ y = ± 4 . 2x 2 + 49x - 49 Nếu x ¹ - 1& x ¹ 0 thì từ (3) suy ra y = . Thế trở lại phương trình (2) ta được 24x 2 2x 2 + 49x - 49 æ2x 2 + 49x - 49ö 2x 2 + 49x - 49 2 ç ÷ x - 8x. + ç ÷ = - 17x 24x èç 24x ø÷ 3x 2 x 2 æ2x 2 + 49x - 49ö - 49 ç ÷ 4 2 2 Û + ç ÷ = Û 192x + (2x + 49x - 49) = - 49.192x 3 èç 24x ÷ø 3x Û 196x 4 + 196x 3 + 2205x 2 + 4606x + 2401 = 0 Û 196x 3 + 2205x + 2401 = 0 Û 196x 3 + 196 + 2205x + 2205 = 0 Û 196x 2 - 196x + 2401 = 0 Phương trình cuối cùng vô nghiệm, chứng tỏ hệ chỉ có hai nghiệm (-1;4) và (-1;-4). Bài-giảng Pt- Hpt trang.367 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 ì 5 4 10 6 ï x + xy = y + y (1) Bài 91 Giải hệ phương trình: íï . ï 4x + 5 + y2 + 8 = 6 (2) îï Giải 5 ĐK: x ³ - . Nếu y = 0 thì từ phương trình (1) ta suy ra x = 0, thế vào phương trình (2) ta thấy không 4 thỏa mãn, vậy y khác 0. Đặt x = ky ta được (1) trở thành : k5y5 + ky5 = y10 + y6 Û k5 + k = y5 + y (3). Xét hàm số f (t) = t 5 + t trên ¡ , ta có f '(t) = 5t 4 + 1 > 0" t Î ¡ . Do đó f(t) là hàm số đồng biến trên ¡ , vậy (3) Û f (k) = f (y) Û k = y Þ x = y2. Thế vào (2) ta được 4x + 5 + x + 8 = 6 Û 5x + 13 + 2 4x 2 + 37x + 40 = 36 Û 2 4x 2 + 37x + 40 = 23 - 5x ì ì é ï 23 - 5x ³ 0 ï 5x £ 23 x = 1 Û íï Û íï Û ê ï 16x 2 + 148x + 160 = 25x 2 - 230x + 529 ï 9x 2 - 378x + 369 = 0 êx = 41 îï îï ëê Suy ra x = 1 và do đó y = ± 1. ì 2 2 ï x - 2x + 2 + 4 y - 2y + 2 = 2 Bài 92 Giải hệ phương trình: íï . ï 4 x + y + 3 = 3 îï Giải ïì x 2 - 2x + 2 ³ 0 ï ï 2 ì ï y - 2y + 2 ³ 0 ï x ³ 0 Điều kiện: íï Û í ï x ³ 0 ï y ³ - 3 ï îï ï y + 3 ³ 0 îï ïì 2 2 ïì 2 ï x - 2x + 2 = (x + 1) + 1 ³ 1 ï x - 2x + 2 ³ 1 Mà: í 2 2 Þ í ï y - 2y + 2 = (y - 1) + 1 ³ 1 ï 4 y2 - 2y + 2 ³ 1 îï ïî Þ x 2 - 2x + 2 + 4 y2 - 2y + 2 ³ 2 Vậy (1) có nghiệm x = y = 1 thỏa (2). ì 2 2 2 ï x y - 2x - 2y + 5y - 2 = 0 Bài 93 Giải hệ phương trình: íï . ï y2 + 1 + x - y = 2xy - x 2 + x 2 - 2xy + y2 + 1 + y îï Giải ĐK: x - y ³ 0;y ³ 0 Û x ³ y ³ 0 2 Từ (2) : y2 + 1 + x - y - y2 = - y2 + 2xy - x 2 + (x - y) + 1 + y Û 2 2 y2 + 1 - y - y2 = + (x - y) + 1 - x - y - (x - y) Xét hàm số : æ ö 2 2 t 1 ç 1 ÷ 1 f (t) = t + 1 - t - t t ³ 0 Þ f '(t) = - - 2t = t ç - 2÷- 0 ) t 2 + 1 t 2 + 1 Như vậy hệ có nghiệm chỉ xảy ra khi : y = x - y hay x = 2y . 2 2 Thay vào (1) : (2y) y - 2(2y) - 2y2 + 5y - 2 = 0 Û 4y 3 - 10y2 + 5y - 2 = 0 Û (y - 2)(4y2 - 2y + 1) = 0 Û y = 2 vì : 4y2 - 2y + 1 = 0 vô nghiệm . Bài-giảng Pt- Hpt trang.368 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 Vậy hệ có nghiệm : (x; y) = (4; 2). 2 1 ïì 2 8y + ï x + 1 2 ï 2 - 4 = 3(2 y - x )(1) Bài 94 Giải hệ phương trình: ï . í 2 ï (x+ y) 3 7 ï 2 + x + y = (2) îï 2 2 Giải Điều kiện :x,y ³ 0 4 4 ( x ) (2 y) Ta có PT (1) Û 2.2 + 3 x = 2.2 + 3(2 y ) Xét hàm số : f (t) = 2.t 4 + 3t (t ³ 0) Þ f '(t) = 8t 3 + 3 > 0. Chứng tỏ f(t) luôn đồng biến . Do vậy để phương trình (1) có nghiệm chỉ khi : x = 2 y Û x = 4y (*) 4 ( 5y) 3 7 4 3 4 3 Thay vào (2) : 2 + 5y = . Xét hàm số : f(t)=2t + t Þ f '(t) = 4t 3.2 + > 0. 2( ) 2 2 2 3 7 Nhận xét : f(1) = 2 + = . Suy ra t = 1 là nghiệm duy nhất . 2 2 ïì 1 ïì x = 4y ï y = æ ö ï ï 5 ç4 1÷ Û í Û í Û (x;y) = ç ; ÷ ï 5y = 1 ï 4 çè5 5ø÷ îï ï x = îï 5 ì ï x + x 2 + 4 y + y2 + 1 = 2 (1) Bài 95 Giải hệ phương trình: íï ( )( ) ï 27x6 = x 3 - 8y + 2 (2) îï Giải 2 Ta có PT (1) Û x + x 2 + 4 = (- 2y) + 4 + (- 2y) Hàm số f (t ) = t 2 + 4 + t đồng biến trên R nên (1) Û x = - 2y Thế vào PT (2) ta có: 27x6 = x 3 + 4x + 3 Û 3x2 = 3 x 3 + 4x + 3 3 Û (x + 1) + (x + 1) = x 3 + 4x + 3 + 3 x 3 + 4x + 3 (3) Lại xét : g(t ) = t 3 + t , đồng biến trên R nên: (3) Û x + 1 = 3 x 3 + 4x + 2 Û 3x2 - x - 1 = 0 1± 13 Û x = 6 ì 3 ï 2y + y + 2x 1- x = 3 1- x Bài 96 Giải hệ phương trình: íï (x,y Î ¡ ) ï 2y2 + 1 + y = 4 + x + 4 îï Giải Điều kiện: - 4 £ x £ 1;y Î ¡ . Ta có PT (1) Û 2y 3 + y = 2 1- x - 2x 1- x + 1- x Û 2y 3 + y = 2(1- x) 1- x + 1- x Bài-giảng Pt- Hpt trang.369 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 Xét hàm số f (t) = 2t 3 + t, ta có f '(t) = 6t 2 + 1 > 0, " t Î ¡ Þ f (t) đồng biến trên ¡ . Vậy ì ï y ³ 0 (1) Û f (y) = f ( 1- x) Û y = 1- x Û íï ï y2 = 1- x îï Thế vào (2) ta được 3 - 2x + 1- x = 4 + x + 4 (3). Xét hàm số g(x) = 3 - 2x + 1- x - x + 4, liên tục trên [-4;1], ta có 1 1 1 g'(x) = - - - 0 Ú x,y . Phương trình vô nghiệm . Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)=(- 3;3),( 3;3) Bài-giảng Pt- Hpt trang.370 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 Chú ý: Ta còn có cách giải khác Phương trình (1) khi x = 0 và y = 0 không là nghiệm do không thỏa mãn (2). æ ö æ ö3 3 çy ÷ çy ÷ 3 Chia 2 vế phương trình (1) cho x ¹ 0 Þ (1) Û 2ç ÷+ ç ÷ = 2x + x èçx ø÷ èçx ø÷ Xét hàm số : f (t ) = 2t + t 3 Þ f '(t ) = 2 + 3t 2 > 0" t Î R . Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến . Để phương y trình có nghiệm thì chỉ xảy ra khi : = x Û y = x 2 . Đến đây ta giải như ở phần trên. x ïì 2 2 ï x + 1+ x y + 1+ y = 1 Bài 99 Giải hệ phương trình: í ( )( ) ï x 6x - 2xy + 1 = 4xy + 6x + 1 îï Giải ïì æ 2 ö ï 2 ç ÷ ï x + 1+ x = ç- y + 1+ (- y) ÷ Ta có hệ Û íï ( ) èç ø÷ . (nhân liên hợp) ï ï x 6x - 2xy + 1 = 4xy + 6x + 1 îï t 1+ t 2 + t t + t Xét hàm số : f (t) = t + 1+ t 2 Þ f '(t) = 1+ = > ³ 0" t Î R 1+ t 2 t 2 + 1 1+ t 2 Chứng tỏ hàm số đồng biến . Để f x f y chỉ xảy ra x y (*) Thay vào phương trình (2) : 2 é 2 æ ö 2x + 6x + 1 = 3x 2 2 ç 2 x ÷ 25 2 ê x 6x + 2x + 1 = - 4x + 6x + 1 Û ç 2x + 6x + 1 - ÷ = x Û ê èç 2ø÷ 4 ê 2x 2 + 6x + 1 = - 2x ëê ïì x ³ 0 ïì x ³ 0 2 ï ï  Trường hợp : 2x + 6x + 1 = 3x Û íï Û íï Þ x = 1;y = - 1 ï 2x 2 + 6x + 1 = 9x 2 ï 7x 2 - 6x - 1 = 0 îï îï ïì x £ 0 ïì x £ 0 2 ï ï  Trường hợp : 2x + 6x + 1 = - 2x Û íï Û íï ï 2x 2 + 6x + 1 = 4x 2 ï 2x 2 - 6x - 1 = 0 îï îï 3 - 11 - 3 + 11 3 - 11 - 3 + 11 Þ x = ;y = . Vậy hệ có hai nghiệm : (x; y) = (1;-1),( ; ) 2 2 2 2 ì 3 ï (8x - 3) 2x - 1 - y - 4y = 0 (1) Bài 100 Giải hệ phương trình: íï ï 4x 2 - 8x + 2y 3 + y2 - 2y + 3 = 0 2 îï ( ) 1 G: Điều kiện : x ³ . 2 Ta có PT (1) Û (8x - 3) 2x - 1 = y + 4y 3 (*) Đặt t = 2x - 1 Þ 2x = t 2 + 1 Û 8x - 3 2x - 1 = é4 t 2 + 1 - 3ùt = 4t 2 + 1 t = 4t 3 + t ( ) ëê ( ) ûú ( ) Do đó (*) : 4t 3 + t = 4y 3 + y Xét hàm số : f(u) = 4u3 + u Þ f '(u) = 12u2 + 1 > 0" u Î R . Chứng tỏ hàm số đồng biến . Do đó phương trình có nghiệm khi : f(t) = f(y) Û 2x - 1 = y Û 2x = y2 + 1( ) 2 Thay vào (2) : (y2 + 1) - 4(y2 + 1)+ 2y 3 + y2 - 2y + 3 = 0 Û y 4 + 2y 3 - y2 - 2y = 0 Û y (y 3 + 2y2 - y - 2) = 0 Û y (y - 1)(y2 + 3y + 2) = 0 Û y (y - 1)(y + 2)(y + 1) = 0 Bài-giảng Pt- Hpt trang.371 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
Hpt- luyện-thi- Lượt 5 ïì y = 0 ïì y = 0 ï æ1 ö ïì y = 0 ïì y = 1 Vậy : ï Û ï ® x;y = ç ;0÷, ï Û ï ® x;y = 1;1 í 2 í 1 ( ) ç ÷ í 2 í ( ) ( ) ï 2x = y + 1 ï x = èç2 ÷ø ï 2x = y + 1 ï x = 1 îï îï 2 îï î ïì y = - 2 ïì y = - 1 ïì y = 0 ïì y = - 2 ï æ5 ö ï Û ï ® x;y = 1;0 , ï Û ï ® x;y = ç ;- 2÷. í 2 í ( ) ( ) í 2 í 5 ( ) ç ÷ ï 2x = y + 1 ï x = 1 ï 2x = y + 1 ï x = èç2 ø÷ îï î îï îï 2 Bài-giảng Pt- Hpt trang.372 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng