›
›
›

Bài tập Phương trình. Hệ phương trình Toán Lớp 10 - Luyện tập chung

doc 35 trang nhungbui22 11/08/2022 2960
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Phương trình. Hệ phương trình Toán Lớp 10 - Luyện tập chung", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_phuong_trinh_he_phuong_trinh_toan_lop_10_luyen_tap_c.doc

Nội dung text: Bài tập Phương trình. Hệ phương trình Toán Lớp 10 - Luyện tập chung

  1. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print Đề: 1 1) Giải phương trình: 2x 3 x 1 3x 2 2x2 5x 3 16 . Giải: 1) Đặt t 2x 3 x 1 > 0. (2) x 3 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 0; 1 3 : m x2 2x 2 1 x(2 x) 0 (2) t2 2 Đặt t x2 2x 2 . (2) m (1 t 2),do x [0;1 3] t 1 t2 2 t2 2t 2 Khảo sát g(t) với 1 t 2. g'(t) 0 . Vậy g tăng trên [1,2] t 1 (t 1)2 t2 2 2 Do đó, ycbt bpt m có nghiệm t [1,2] m max g(t) g(2) t 1 t 1;2 3 3 2) Giải phương trình: 2 2 cos2x sin2x cos x 4sin x 0 . 4 4 3 (sin x cos x) 4(cos x sin x) sin2x 4 0 x k ; x k2 ; x k2 4 2 Đề: 2. 1. Giải phương trình: sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x k x 2 2 2 2 1) sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x cos x(cos7x cos11x) 0 2 k x 9 21 x 2x 1 2) 2. Giải bất phương trình: 0 0 x 1 2x 1 1 1 Giải phương trình: log (x 3) log (x 1)8 3log (4x) .(1) (x 3) x 1 4x x = 3; x = 3 2 3 2 2 4 4 8 2 x 2 3 Tìm nghiệm trên khoảng 0; của phương trình: 4sin 3 sin 2x 1 2 cos x 2 2 2 4 5 2 x k (k Z) (a) 18 3 5 Giải: 1) 2) (2) sin 2x sin x Vì x 0; nên x= . 3 2 5 18 x l2 (l Z) (b) 2 6 1 1 Giải phương trình: sin2x sin x 2cot 2x (1) 2sin x sin2x cos2 2x cos x cos2x 2cos2x Giải: 1) (1) cos2x = 0 x k sin 2x 0 4 2 3sin2x 2sin x 2(1 cos x)sin x(2cos x 1) 0 Giải phương trình: 2 (1) (1) 2cosx – 1 = 0 sin2x.cos x sin x 0, cos x 0 x k2 3 4 2 2 Giải hệ phương trình : x 4x y 6y 9 0 (2) 2 2 x y x 2y 22 0 (x2 2)2 (y 3)2 4 x2 2 u (2) . Đặt 2 2 (x 2 4)(y 3 3) x 2 20 0 y 3 v u2 v2 4 u 2 u 0 x 2 x 2 x 2 x 2 Khi đó (2) hoặc ; ; ; u.v 4(u v) 8 v 0 v 2 y 3 y 3 y 5 y 5 Bài-giảng Pt- Hpt trang.1 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  2. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print Đề: 6 1) Giải phương trình: 5 .3 2 x 1 7 .3 x 1 1 6 .3 x 9 x 1 0 (1) 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: log (x 1) log (x 1) log 4 (a) 3 3 3 log (x2 2x 5) m log 2 5 (b) 2 (x2 2x 5) 3 Giải: 1) Đặt t 3x 0 . (1) 5t 2 7t 3 3t 1 0 x log ; x log 5 3 5 3 log (x 1) log (x 1) log 4 (a) 3 3 3 2) log (x2 2x 5) mlog 2 5 (b) 2 (x2 2x 5) Giải (a) 1 < x < 3. 2 Xét (b): Đặt t log2 (x 2x 5) . Từ x (1; 3) t (2; 3). 25 (b) t 2 5t m . Xét hàm f (t) t 2 5t , từ BBT m ; 6 4 Đề: 7. 1) Giải phương trình: cos2x 5 2(2 cos x)(sin x cos x) (1) 8x3 y3 27 18y3 2) Giải hệ phương trình: 2 2 4x y 6x y Giải: 1) (1) (cos x –sin x)2 4(cos x –sin x) –5 0 x k2  x k2 2 3 3 3 (2x) 18 y 3 a b 3 2) (2) . Đặt a = 2x; b = . (2) 3 3 y ab 1 2x. 2x 3 y y 3 5 6 3 5 6 Hệ đã cho có nghiệm: ; , ; 4 3 5 4 3 5 Đề 8. 1 1 1) Giải bất phương trình sau trên tập số thực: (1) x 2 3 x 5 2x 2) Tìm các nghiệm thực của phương trình sau thoả mãn 1 log1 x 0 : 3 sin x.tan 2x 3(sin x 3 tan 2x) 3 3 1 Giải: 1) Với 2 x : x 2 3 x 0, 5 2x 0 , nên (1) luôn đúng 2 1 5 5 Với x : (1) x 2 3 x 5 2x 2 x 2 2 2 1 5 Tập nghiệm của (1) là S 2;  2; 2 2 2) (2) (sin x 3)(tan 2x 3) 0 x k ;k Z 6 2 5 Kết hợp với điều kiện ta được k = 1; 2 nên x ; x 3 6 Đề: 9. 2 3 2 1) Giải phương trình: cos3xcos3 x sin3xsin3 x (1) 8 Bài-giảng Pt- Hpt trang.2 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  3. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print x2 1 y(y x) 4y 2) Giải hệ phương trình: (x, y ) 2 (x 1)(y x 2) y 2 Giải: 1) (1) cos4x = x k 2 16 2 x2 1 y x 2 2 x2 1 y 1 x 1 x 2 2) (2) y hoặc 2 x 1 y 2 y 5 (y x 2) 1 y x 2 1 y Đề: 10. 1) Giải phương trình: 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 2 2 2 2) Giải bất phương trình: log 2 x log 2 x 3 5(log 4 x 3) Giải: 1) PT (1– sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 1– sinx = 0 x k2 2 2 2 2) BPT log2 x log2 x 3 5(log2 x 3) (1) 2 Đặt t = log2x. (1) t 2t 3 5(t 3) (t 3)(t 1) 5(t 3) t 1 1 t 1 log x 1 0 x t 3 2 2 3 t 4 3 log x 4 2 2 8 x 16 (t 1)(t 3) 5(t 3) Đề:11. 1) Giải phương trình: log2 (x2 1) (x2 5)log(x2 1) 5x2 0 2) Tìm nghiệm của phương trình: cos x cos2 x sin3 x 2 thoả mãn : x 1 3 Giải: 1) Đặt log(x2 1) y . PT y2 (x2 5)y 5x2 0 y 5  y x2 Nghiệm: x 99999 ; x = 0 2) PT (cos x 1)(cos x sin x sin x.cos x 2) 0 x k2 . Vì x 1 3 2 x 4 nên nghiệm là: x = 0 Đề: 12 (sin 2x sin x 4)cos x 2 1) Giải phương trình: 0 2sin x 3 2) Giải phương trình: 8x 1 2 3 2x 1 1 (2cos x 1)(sin x cos x 2) 0 Giải: 1) PT x k2 2sin x 3 0 3 2) Đặt 2x u 0; 3 2x 1 1 v . x 0 u3 1 2v u3 1 2v u v 0 PT 3 2 2 3 1 5 v 1 2u (u v)(u uv v 2) 0 u 2u 1 0 x log2 2 Đề: 13 1) Giải phương trình: sin x cos x 4sin 2x 1 . 2 2 x y x y 2 2) Tìm m để hệ phương trình: 2 2 có ba nghiệm phân biệt m x y x y 4 2 Giải:1) Đặt t sin x cos x , t 0 . PT 4t t 3 0 x k . 2 Bài-giảng Pt- Hpt trang.3 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  4. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print (m 1)x4 2(m 3)x2 2m 4 0 (1) 2) Hệ PT x2 2 . y x2 1 2x2 1 0 Khi m = 1: Hệ PT x2 2 (VN) y x2 1 Khi m ≠ 1. Đặt t = x2 , t 0 . Xét f (t) (m 1)t 2 2(m 3)t 2m 4 0 (2) Hệ PT có 3 nghiệm phân biệt (1) có ba nghiệm x phân biệt f (0) 0 (2) có một nghiệm t = 0 và 1 nghiệm t > 0 2 m 3 m 2 . S 0 1 m Đề: 14 x y 1 1) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm: . x x y y 1 3m 2) Giải phương trình: cos23x.cos2x – cos2x = 0. u v 1 u v 1 1 u x,v y (u 0, v 0) 0 m Giải: 1) Đặt . Hệ PT 3 3 . ĐS: . u v 1 3m uv m 4 2) Dùng công thức hạ bậc. ĐS: x k (k Z) 2 Đề: 15 3sin 2x 2sin x 1) Giải phương trình.: 2 sin 2x.cos x x 2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x(x 1) 4(x 1) m x 1 2(1 cos x)(sin 2x sin x) 0 Giải: 1) PT x k2 sin x 0, cos x 0 3 x 2) Đặt t (x 1) . PT có nghiệm khi t 2 4t m 0 có nghiệm, suy ra m 4 . x 1 Đề: 16 1 3x 7 1) Giải phương trình: 4cos4x – cos2x cos4x cos = 2 4 2 2) Giải phương trình: 3x.2x = 3x + 2x + 1 cos2x 1 x k 3x Giải: 1) PT cos2x + cos = 2 3x m8 (k;m ¢ ) x = 8n 4 cos 1 x 4 3 2x 1 2) Nhận xét; x = 1 là các nghiệm của PT. PT 3x . 2x 1 Dựa vào tính đơn điệu PT chỉ có các nghiệm x = 1. Đề: 17 cos2 x. cos x 1 1) Giải phương trình: 2 1 sin x sin x cos x 2 2 x y xy 3 (a) 2) Giải hệ phương trình: 2 2 x 1 y 1 4 (b) Giải: 1) PT (1 sin x)(1 sin x)(cos x 1) 2(1 sin x)(sin x cos x) Bài-giảng Pt- Hpt trang.4 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  5. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print 1 sin x 0 1 sin x 0 x k2 2 sin x cos x sin xcos x 1 0 1 sin x cos x 1 0 x k2 2) (b) x2 y2 2 (x2 1).(y2 1) 14 xy 2 (xy)2 xy 4 11 (c) p 3 p 11 (c) 2 p2 p 4 11 p Đặt xy = p. 2 35 3p 26 p 105 0 p 3 2 35 (a) x y 3xy 3 p = xy = (loại) p = xy = 3 x y 2 3 3 xy 3 xy 3 1/ Với x y 3 2/ Với x y 3 x y 2 3 x y 2 3 Vậy hệ có hai nghiệm là: 3; 3 , 3; 3 Đề: 18 x x 2 2 x 1) Giải phương trình: 1 sin sin x cos sin x 2cos 2 2 4 2 2 1 2) Giải bất phương trình: log2 (4x 4x 1) 2x 2 (x 2)log 1 x 2 2 x 2 x x x k Giải: 1) PT sin x sin 1 2sin 2sin 1 0 x k 2 2 2 x k4 1 1 1 2) BPT xlog (1 2x) 1 0 x x hoặc x < 0 2 2 4 2 Đề: 19. x2 1 y(x y) 4y 1) Giải hệ phương trình: (x, y R ) 2 (x 1)(x y 2) y sin3 x.sin3x cos3 xcos3x 1 2) Giải phương trình: 8 tan x tan x 6 3 x2 1 x y 2 2 y Giải: 1) y = 0 không phải là nghiệm. Hệ PT x2 1 (x y 2) 1 y x2 1 x2 1 u v 2 1 Đặt u ,v x y 2 . Ta có hệ u v 1 y y uv 1 x y 2 1 Nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (–2; 5). 2) Điều kiện: sin x sin x cos x cos x 0 6 3 6 3 Ta có tan x tan x tan x cot x 1 6 3 6 6 1 PT sin3 x.sin3x cos3 xcos3x 8 1 cos2x cos2x cos4x 1 cos2x cos2x cos4x 1   2 2 2 2 8 x k (loaïi) 1 3 1 1 6 2(cos2x cos2xcos4x) cos 2x cos2x 2 8 2 x k 6 Bài-giảng Pt- Hpt trang.5 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  6. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print Vậy phương trình có nghiệm x k , (k Z) 6 Đề: 20 1) Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất: ln(mx) 2ln(x 1) 2) Giải phương trình: sin3 x.(1 cot x) cos3 x(1 tan x) 2sin 2x . Giải: 1) ĐKXĐ: x 1,mx 0 . Như vậy trước hết phải có m 0 . Khi đó, PT mx (x 1)2 x2 (2 m)x 1 0 (1) Phương trình này có: m2 4m . Với m (0;4) 0 và (1) cũng có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1 x2 . Áp dụng định lý Viet, ta thấy cả hai nghiệm này đều dương nên các giá trị m 4 cũng bị loại. Tóm lại, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: m ( ;0)  4 . k 2) ĐKXĐ: x sao cho sin 2x 0 . 2 Khi đó, VT = sin3 x cos3 x sin2 xcos x cos2 xsin x = (sin x cos x)(sin2 x sin xcos x cos2 x) sin xcos x(sin x cos x) = sin x cos x sin x cos x 0 sin x cos x 2sin 2x PT 2 (sin x cos x) 2sin 2x (1) (1) 1 sin 2x 2sin 2x sin 2x 1( 0) 2x 2k x k 2 4 Để thoả mãn điều kiện sin x cos x 0 , các nghiệm chỉ có thể là: x 2k 4 Đề: 21 1) Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0 2 2 x 91 y 2 y (1) 2) Giải hệ phương trình: 2 2 y 91 x 2 x (2) k x cos3x x cos( 3x) x Giải: 1) PT cos 3 cos 3 3 2 2) Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: 2 2 2 2 x 91 y 91 y 2 x 2 y x x2 y2 y x (y x)(y x) 2 2 x 91 y 91 y 2 x 2 x y 1 (x y) x y 0 2 2 x 2 y 2 x 91 y 91 x = y (trong ngoặc luôn dương và x và y đều lớn hơn 2) Vậy từ hệ trên ta có: x2 91 x 2 x2 x2 91 10 x 2 1 x2 9 x2 9 x 3 1 1 (x 3)(x 3) (x 3) (x 3) 1 0 2 x2 91 10 x 2 1 x 91 10 x 2 1 x = 3 Vậy nghiệm của hệ x = y = 3 Bài-giảng Pt- Hpt trang.6 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  7. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print Đề:22 1) Giải bất phương trình: log2 ( 3x 1 6) 1 log2 (7 10 x) sin6 x cos6 x 1 2) Giải phương trình: tan 2x cos2 x sin2 x 4 1 x 10 Giải: 1) Điều kiện: 3 3x 1 6 3x 1 6 log log (7 10 x) 7 10 x BPT 2 2 2 2 3x 1 6 2(7 10 x) 3x 1 2 10 x 8 49x2 – 418x + 369 ≤ 0 369 1 ≤ x ≤ 49 (thoả) k x (k ¢ ) 2) Điều kiện: cos2x ≠ 0 4 2 3 1 1 sin2 2x sin 2x PT 4 4 3sin22x + sin2x – 4 = 0 x k sin2x = 1 4 ( không thoả). Vậy phương trình vô nghiệm. Đề:23. 2 3 2 1) Giải phương trình: cos3xcos3x – sin3xsin3x = 8 2) Giải phương trình: 2x 1 x x2 2 (x 1) x2 2x 3 0 2 cos4x x k ,k Z Giải:1) PT 2 16 2 v2 u2 2x 1 u x2 2, u 0 u2 x2 2 2 2 2 2 2 v u 1 v x2 2x 3, v 0 v x 2x 3 x 2) Đặt: 2 v u 0 (b) v u 1 (v u) (v u) 1 0 v u 1 2 2 (v u) 1 0 (c) PT 2 2 Vì u > 0, v > 0, nên (c) vô nghiệm. 1 v u 0 v u x2 2x 3 x2 2 x Do đó: PT 2 Đề:24. 1) Giải bất phương trình: x2 3x 2 2x2 3x 1 x 1 2) Giải phương trình : cos 3 x cos 3x sin 3 x sin 3x 2 4 1 ;  1 2; Giải: 1) Tập xác định: D = x = 21 là nghiệm x 2: BPT x 2 x 1 2x 1 vô nghiệm 1 1 x2 : BPT 2 x 1 x 1 2x có nghiệm x 2 1 ;  1 BPT có tập nghiệm S= 2 1 k (k  ) 2) PT cos 2x=2 x= 8 Đề: 25. 1) Giải phương trình: cot x 3 tan x 2cot 2x 3 . Bài-giảng Pt- Hpt trang.7 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  8. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print 2) Giải phương trình: x2 2(x 1) 3x 1 2 2x2 5x 2 8x 5 . sin xcos x 0 x k Giải: 1) Điều kiện: 2 . cos2x cos2 x sin2 x 2cot 2x 2 2 cot x tan x Ta có: sin 2x 2sin xcos x . cot x 3 3 cot x 3 cot x cot x 1 x k ,k 2 ¢ PT cot x 7cot x 6 0 4 1 x 2) Điều kiện: 3 . 2 2 2 2 2 PT (x 1) 2(x 1) 3x 1 3x 1 x 2 2 2x 5x 2 2x 1 0 2 2 3x 1 x 1 (x 1) 3x 1 x 2 2x 1 0 x 1 2x 1 x 2 . Đề:26. 2 1) Giải phương trình: 2cos 3x 4cos4x 15sin2x 21 4 x3 6x2y 9xy2 4y3 0 2) Giải hệ phương trình: x y x y 2 x k Giải: 1) PT sin3 2x 2sin2 2x 3sin 2x 6 0 sin 2x 1 4 x3 6x2y 9xy2 4y3 0 (1) x y 2 2) x y x y 2 (2) . Ta có: (1) (x y) (x 4y) 0 x 4y Với x = y: (2) x = y = 2 Với x = 4y: (2) x 32 8 15; y 8 2 15 Đề: 27. 1 1) Giải phương trình: (1 4sin2 x)sin3x 2 2) Giải phương trình: x2 3x 1 tan x2 x2 1 6 Giải: 1) Nhận xét: cosx = 0 không phải là nghiệm của PT. Nhân 2 vế của PT với cosx, ta được: 3 PT 2sin3x(4 cos x 3cos x) cos x 2sin3x.cos3x cos x sin 6x sin x 2 k2 k2 x  x 14 7 10 5 3 x2 3x 1 x4 x2 1 2) PT 3 (1) 4 2 2 2 2 2 2 Chú ý: x x 1 (x x 1)(x x 1) , x 3x 1 2(x x 1) (x x 1) 3 2(x2 x 1) (x2 x 1) (x2 x 1)(x2 x 1) Do đó: (1) 3 . 2 2 x x 1 2 2 t , t 0 Chia 2 vế cho x x 1 x x 1 và đặt x2 x 1 Bài-giảng Pt- Hpt trang.8 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  9. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print 3 t 0 2 3 1 x2 x 1 1 2 3 t 2t t 1 0 Ta được: (1) 3 3 x2 x 1 3 x 1 . Đề: 28. x2 5x y 9 1) Giải hệ phương trình: 3 2 2 3x x y 2xy 6x 18 1 2) Giải phương trình: sin x sin 2x 1 cos x cos2 x 2 y 9 x2 5x y 9 x2 5x x 1 4 3 2 Giải: 1) Hệ PT x 4x 5x 18x+18 0 x 3 x 1; y 3 x 1 7 x 3; y 15 x 1 7; y 6 3 7 x 1 7; y 6 3 7 x k2 2) PT (sin x 1)(sin x cos x 2) 0 sin x 1 2 . Đề: 29. 1) Giải bất phương trình: x 3 x 12 2x 1 3sin x 3tan x 2) Giải phương trình: 2 cos x 2 tan x sin x Giải: 1) BPT 3 x 4 . cos x 0 1 2 cos x x k2 2) Điều kiện: sin x 0 . PT 2 3 . Đề: 30. x 2y xy 0 1) Giải hệ phương trình: . x 1 4y 1 2 1 2(cos x sin x) 2) Giải phương trình: tan x cot 2x cot x 1 x y x 2 y 0 x 2 y 0 x 4y Giải :1) Hệ PT x 1 4y 1 2 x 1 4y 1 2 4y 1 1 x 2 1 y 2 sin x 0 cos x 0 2 cos x x k2 2) Điều kiện: cot x 1 . PT 2 4 . Đề: 31. 1) Giải phương trình: 2 cos3x 3 sin x cos x 0 8x3y3 27 7y3 (1) 2) Giải hệ phương trình: 2 2 4x y 6x y (2) Bài-giảng Pt- Hpt trang.9 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  10. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print 2 x k Giải:1) PT cos3x cos x 0 cos3x cos x 3 . 3 3 x k 6 2 8x3y3 27 7y3 t xy 2) Từ (1) y 0. Khi đó Hệ PT 2 2 3 3 2 4x y 6xy y 8t 27 4t 6t t xy 3 1 9 t ; t ; t 2 2 2 3 1 1 3 Với t : Từ (1) y = 0 (loại). Với t : Từ (1) x ; y 4 2 2 23 4 9 3 3 Với t : Từ (1) x ; y 3 4 2 23 4 Đề:32. 1 3x 7 1) Giải phương trình: 4 cos4 x cos2x cos4x cos 2 4 2 2) Giải phương trình: 3x.2x 3x 2x 1 3x Giải: 1) PT cos2x cos 2 (*). 4 cos2x 1 cos2x 1 x k Ta có: 3x . Do đó (*) 3x 8l x 8m . cos 1 cos 1 x 4 4 3 1 2) PT 3x (2x 1) 2x 1 (1). Ta thấy x không phải là nghiệm của (1). 2 1 2x 1 2x 1 Với x , ta có: (1) 3x 3x 0 2 2x 1 2x 1 2x 1 3 6 1 Đặt f (x) 3x 3x 2 . Ta có: f (x) 3x ln3 0, x 2x 1 2x 1 (2x 1)2 2 1 1 Do đó f(x) đồng biến trên các khoảng ; và ; Phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất 2 2 1 1 1 nghiệm trên từng khoảng ; , ; . 2 2 Ta thấy x 1, x 1 là các nghiệm của f(x) = 0. Vậy PT có 2 nghiệm x 1, x 1. Đề: 33. x 3x 1) Giải phương trình: cos cos x cos sin 2x 0 2 6 3 2 2 6 2) Giải phương trình: 4 x x2 1 x x2 1 2 x x x x Giải: 1) PT cos cos2 cos3 cos4 0 2 6 2 6 2 6 2 6 x Đặt t , 2 6 Bài-giảng Pt- Hpt trang.10 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  11. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print t cos 0 t 5t 2 PT trở thành: cost cos2t cos3t cos4t 0 4 cos .cost.cos 0 cost 0 2 2 5t cos 0 2 t (2m 1) t l 2 2k t 5 5 4 Với t (2m 1) x (4m 2) Với t l x 2l 3 2 3 2k 11 4k Với t x 5 5 15 5 x2 1 0 2) Điều kiện: x 1. 2 x x 1 Khi đó: x x2 1 x x2 1 4 x x2 1 (do x 1) Coâ Si VT > 4 x x2 1 4 x x2 1 28 x x2 1 x x2 1 = 2 PT vô nghiệm. Đề: 34. 1) Giải phương trình: 2 3 cos2x sin2x 4cos2 3x 2 2 2xy x y 1 2) Giải hệ phương trình: x y 2 x y x y 5 3 1 5 x k Giải: 1) PT cos2x sin2x cos6x cos 2x cos6x 48 4 2 2 6 5 x l 24 2 2 2 2xy x y 1 (1) 2) x y . Điều kiện: x y 0 . 2 x y x y (2) 2 1 2 2 (1) (x y) 1 2xy 1 0 (x y 1)(x y x y) 0 x y 1 0 x y (vì x y 0 nên x2 y2 x y 0 ) 2 2 x 1 (y 0) Thay x 1 y vào (2) ta được: 1 x (1 x) x x 2 0 x 2 (y 3) Vậy hệ có 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3). Đề: 35. (1 2sin x)cos x 1) Giải phương trình: 3 (1 2sin x)(1 sin x) 2) Giải hệ phương trình: 23 3x 2 3 6 5x 8 0 x m2 6 1 2sin x 0 7 Giải: 1) Điều kiện: x n2 1 sin x 0 6 x p2 2 Bài-giảng Pt- Hpt trang.11 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  12. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print cos x 2sin x.cos x PT 3 cos x sin 2x 3(sin x cos2x) 1 sin x 2sin x 2sin2 x 3 1 1 3 cos2x sin2x cos x sin x cos 2x cos x 2 2 2 2 6 3 x k2 (loaïi) 2 2 . Vậy PT có nghiệm: x k . 2 18 3 x k (nhaän) 18 3 6 u 3 3x 2 u3 3x 2 2) Điều kiện: x . Đặt . 2 5 v 6 5x v 6 5x 2u 3v 8 u 2 3x 2 2 Ta có hệ PT: 3 2 . Giải hệ này ta được x 2 . 5u 3v 8 v 4 6 5x 16 Thử lại, ta thấy x 2 là nghiệm của PT. Vậy PT có nghiệm x 2 . Đề:36. 1) Giải phương trình: 2 sin 2x 3sin x cos x 2 . 4 2 2 2y x 1 2) Giải hệ phương trình: 3 3 2x y 2y x 1 x k2 Giải: 1) PT sin x cos x 1 2cos x 3 0 sinx cosx 1 sin x 2 . 4 2 x k2 KL: nghiệm PT là x k2 ; x k2 . 2 2) Ta có: 2x3 y3 2y2 x2 2y x x3 2x2 y 2xy2 5y3 0 Khi y 0 thì hệ VN. 3 2 3 x x x Khi y 0 , chia 2 vế cho y 0 ta được: 2 2 5 0 y y y x y x Đặt t , ta có : t3 2t2 2t 5 0 t 1 x y 1, x y 1 2 y y 1 Đề: 37. 1) Giải phương trình: 2sin 2x 4sin x 1 6 2y x m 2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất. y xy 1 Giải: 1) PT 3 sin 2x cos2x 4sin x 1 0 2 3 sin x cos x 2sin2 x 4sin x 0 . sin x 3 cos x 2 sin x 1 2 3 cos x sin x 2 sin x 0 3 sin x 0 x k 5 x k2 6 x k 2y x m (1) 2) . y xy 1 (2) Bài-giảng Pt- Hpt trang.12 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  13. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print y 1 Từ (1) x 2y m , nên (2) 2y2 my 1 y 1 (vì y 0) m y 2 y 1 1 Xét f y y 2 f ' y 1 0 y y2 Dựa vào BTT ta kết luận được hệ có nghiệm duy nhất m 2 . Đề: 38. 1) Giải phương trình: cos3x sin 2x 3 sin 3x cos 2x x3 y3 xy 2) Giải hệ phương trình: 3 4 2 2 x y 9 1 3 3 1 Giải: 1) PT cos3x 3 sin 3x 3 cos 2x sin 2x cos3x sin 3x cos 2x sin 2x 2 2 2 2 x k2 6 cos 3x cos 2x 3 6 k2 x 10 5 2) Ta có : x2 y2 9 xy 3 . Khi: xy 3 , ta có: x3 y3 4 và x3. y3 27 Suy ra: x3; y3 là các nghiệm của phương trình: X 2 4X 27 0 X 2 31 Vậy nghiệm của Hệ PT là: x 3 2 31, y 3 2 31 hoặc x 3 2 31, y 3 2 31 . Khi: xy 3 , ta có: x3 y3 4 và x3. y3 27 Suy ra: x3; y3 là nghiệm của phương trình: X 2 4X 27 0 (PTVN) Đề: 39. 4 cos2 2x 1) Giải phương trình: tan 2x .tan 2x 4 4 tan x cot x 3 y 2 1 x2 y2 1 x 2) Giải hệ phương trình: x x2 y2 4 22 y cos 2x 0; cos 2x 0 Giải: 1) Điều kiện 4 4 * sin 2x 0; tan x cot x 0 Để ý rằng: tan 2x .tan 2x tan 2x .tan 2x cot 2x .tan 2x 1Khi đó PT 4 4 4 4 4 4 4 cos2 2x trở thành: 1 cot x tan x 4 cos2 2x tan x cot x 2 1 tan x 1 2 4 2 4 tan 2x 1 0 tan x 1 tan2 2x tan 2x 1 tan2 2x tan 2x 1 2x m x k k Z : Không thoả điều kiện (*). 4 8 2 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Bài-giảng Pt- Hpt trang.13 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  14. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print 2) Điều kiện: x 0, y 0, x2 y2 1 0 3 2 3 2 2 2 x 1 1 (1) Đặt u x y 1;v . Hệ PT trở thành: y u v u v u 1 4v 22 u 21 4v (2) v 3 2 3 Thay (2) vào (1) ta được: 1 2v2 13v 21 0 7 21 4v v v 2 x2 y2 1 9 x2 y2 10 x 3 x 3 Nếu v = 3 thì u = 9, ta có Hệ PT: x  3 x 3y y 1 y 1 y 7 Nếu v thì u = 7, ta có Hệ PT: 2 2 2 x2 y2 1 7 x2 y2 8 y 4 y 4 53 53 x 7 7  x y 2 2 y 2 2 x 14 x 14 53 53 So sánh điều kiện ta được 4 nghiệm của Hệ PT. Đề: 40. 1) Giải phương trình: 2sin2 x 3 sin 2x 1 3 sin x cos x 3 x y 2 xy 2) Giải hệ phương trình: 2 2x y 8 2 Giải:1) PT 3 sin x cos x 3 sin x cos x 3 sin x cos x 3 sin x cos x 1 0 3 tan x x k 3 sin x cos x 0 3 6 3 sin x cos x 1 0 2 sin x sin x k2 ; x k2 6 6 3 3 x y 2 xy (1) 2) . Điều kiện : x.y 0 ; x y 2 2x y 8 (2) y Ta có: (1) 3(x y)2 4xy (3x y)(x 3y) 0 x 3y hay x 3 Với x 3y , thế vào (2) ta được : y2 6y 8 0 y 2 ; y 4 x 6 x 12 Hệ có nghiệm ; y 2 y 4 y Với x , thế vào (2) ta được : 3y2 2y 24 0 Vô nghiệm. 3 x 6 x 12 Kết luận: hệ phương trình có 2 nghiệm là: ; y 2 y 4 Đề:41. cos 2 x cos3 x 1 1) Giải phương trình: cos 2x tan 2 x cos 2 x x2 y2 xy 1 4y 2) Giải hệ phương trình: 2 2 y(x y) 2x 7y 2 Giải: 1) Điều kiện: cos x 0 . PT cos2x tan2 x 1 cos x (1 tan2 x) 2cos2 x cos x 1 0 Bài-giảng Pt- Hpt trang.14 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  15. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print cos x 1 x k2 1 2 cos x x k2 2 3 x2 1 x y 4 x2 y2 xy 1 4y y 2) Từ hệ PT y 0 . Khi đó ta có: . y(x y)2 2x2 7y 2 x2 1 (x y)2 2 7 y x2 1 u v 4 u 4 v v 3, u 1 Đặt u , v x y ta có hệ: 2 2 y v 2u 7 v 2v 15 0 v 5, u 9 x2 1 y x2 1 y x2 x 2 0 x 1, y 2 Với v 3, u 1ta có hệ: . x y 3 y 3 x y 3 x x 2, y 5 x2 1 9y x2 1 9y x2 9x 46 0 Với v 5, u 9 ta có hệ: , hệ này vô nghiệm. x y 5 y 5 x y 5 x Kết luận: Hệ đã cho có hai nghiệm: (1; 2), ( 2; 5) . Đề:42. 1) Giải phương trình: x 1 1 4x2 3x 5 2) Giải hệ phương trình: 5cos 2x 4sin x –9 3 6 Giải: 1) Điều kiện x 0 . 2x 1 PT 4x2 1 3x x 1 0 (2x 1)(2x 1) 0 3x x 1 1 1 (2x 1) 2x 1 0 2x 1 0 x . 3x x 1 2 2 2) PT 10sin x 4sin x 14 0 sin x 1 x k2 . 6 6 6 3 Đề: 43.Giải hệ phương trình: 2 2log1 x ( xy 2x y 2) log2 y (x 2x 1) 6 log1 x (y 5) log2 y (x 4) = 1 xy 2x y 2 0, x2 2x 1 0, y 5 0, x 4 0 Giải: Điều kiện: (*) 0 1 x 1, 0 2 y 1 Hệ PT 2log1 x[(1 x)(y 2)] 2log2 y (1 x) 6 log1 x (y 2) log2 y (1 x) 2 0 (1) log1 x (y 5) log2 y (x 4) = 1 log1 x (y 5) log2 y (x 4) = 1 (2) 1 Đặt log (1 x) t thì (1) trở thành: t 2 0 (t 1)2 0 t 1. 2 y t Với t 1 ta có: 1 x y 2 y x 1 (3) . Thế vào (2) ta có: x 4 x 4 log ( x 4) log (x 4) = 1 log 1 1 x x2 2x 0 1 x 1 x 1 x x 4 x 4 x 0 x 2 Với x 0 y 1 (không thoả (*)). Với x 2 y 1 (thoả (*)). Vậy hệ có nghiệm duy nhất x 2, y 1. x 1 x x 2 x Đề:44. Giải bất phương trình: 4 –2.2 –3 .log2 x –3 4 4 Bài-giảng Pt- Hpt trang.15 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  16. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print x x x 1 x x x Giải:BPT (4 2.2 3).log2 x 3 2 4 (4 2.2 3).(log2 x 1) 0 x log2 3 2x x x 2 2.2 3 0 2 3 1 x x log2 3 log2 x 1 0 log2 x 1 2 1 22x 2.2x 3 0 2x 3 x log 3 0 x 2 2 1 log2 x 1 0 log2 x 1 0 x 2 Đề:45. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x log5(25 – log5 a) x x x x 2x x t 5 , t 0 Giải: PT 25 log5 a 5 5 5 log5 a 0 2 t t log5 a 0 (*) 2 PT đã cho có nghiệm duy nhất (*) có đúng 1 nghiệm dương t t log5 a có đúng 1 nghiệm dương. 2 1 1 1 Xét hàm số f (t) t t với t [0; +∞). Ta có: f (t) 2t 1 f (t) 0 t . f , 2 2 4 f (0) 0 . Dựa vào BBT ta suy ra phương trình f (t) log5 a có đúng 1 nghiệm dương log a 0 a 1 5 1 1 . log a a 5 4 4 5 Đề: 46. 2 2 1) Giải phương trình: 2sin x 2sin x tan x 4 2 2 2 2) Giải hệ phương trình: 2 log3 x –4 3 log3(x 2) log3(x –2) 4 Giải: 1) Điều kiện: cos x 0 x k. (*). 2 2 sin2x 1 PT 1–cos 2x 2sin x –tan x 1–sin2x tan x(sin2x –1) 2 tan x 1 2x k.2 x k. 2 4 x k. . (Thỏa mãn điều kiện (*) ). 4 2 x l. x l. 4 4 x2 4 0 x2 4 0 x 2 2) Điều kiện: ( ) 2 2 x 3 log3(x 2) 0 (x 2) 1 2 2 2 2 PT log3 x – 4 3 log3(x 2) log3(x –2) 4 2 2 2 2 log3(x 2) 3 log3(x 2) 4 0 log3(x 2) 4 log3(x 2) 1 0 2 2 log3(x 2) 1 (x 2) 3 x 2 3 Kiểm tra điều kiện ( ) chỉ có x 2 3 thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x 2 3 x3 4y y3 16x Đề: 47.Giải hệ phương trình: . 2 2 1 y 5(1 x ) 3 3 Giải: x 4y y 16x (1) 2 2 1 y 5(1 x ) (2) Từ (2) suy ra y2 –5x2 4 (3). Bài-giảng Pt- Hpt trang.16 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  17. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print Thế vào (1) được: x3 y2 –5x2 .y y3 16x x3 –5x2y –16 x 0 x 0 hoặc x2 –5xy –16 0 Với x 0 y2 4 y 2 . 2 x2 16 x2 16 Với x2 –5xy –16 0 y (4). Thế vào (3) được: 5x2 4 5x 5x 4 2 4 2 4 2 2 x 1 (y 3) x –32x 256 –125x 100x 124 x 132x –256 0 x 1 . x 1 (y 3) Vậy hệ có 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3) Đề: 48. 5 1) Giải phương trình: 2 2 cos x sin x 1 12 log2 x y 3log8( x y 2) 2) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 x y 1 x y 3 5 5 5 5 1 Giải: 1) PT 2 sin 2x sin 1 sin 2x sin sin 12 12 12 12 2 4 5 5 sin 2x sin sin 2 cos sin sin 12 4 12 3 12 12 5 2x k2 x k 5 12 12 6 sin 2x sin k ¢ 12 12 5 13 3 2x k2 x k 12 12 4 2) Điều kiện: x y 0, x y 0 x y 2 x y Hệ PT . 2 2 2 2 x y 1 x y 3 u v 2 (u v) u v 2 uv 4 u x y Đặt: ta có hệ: u2 v2 2 u2 v2 2 v x y uv 3 uv 3 2 2 u v 2 uv 4 (1) . (u v)2 2uv 2 uv 3 (2) 2 Thế (1) vào (2) ta có: uv 8 uv 9 uv 3 uv 8 uv 9 (3 uv)2 uv 0 . uv 0 Kết hợp (1) ta có: u 4, v 0 (với u > v). Từ đó ta có: x = 2; y = 2.(thoả đk) u v 4 Kết luận: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y) = (2; 2). Đề: 49 1) Giải phương trình: 25x – 6.5x + 5 = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f (x) x2 ln(1 2x) trên đoạn [-2; 0]. Giải: Câu 2: 1) 25x – 6.5x + 5 = 0 (5x )2 6.5x 5 0 5x = 1 hay 5x = 5 x = 0 hay x = 1. 2 4x2 2x 2 3) Ta coù : f’(x) = 2x + 1 2x 1 2x Bài-giảng Pt- Hpt trang.17 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  18. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print 1 f’(x) = 0 x = 1 (loại) hay x = (nhận) 2 1 1 f(-2) = 4 – ln5, f(0) = 0, f( ) = ln 2 2 4 1 vì f lieân tuïc treân [-2; 0] neân max f (x) 4 ln5 vaø min f (x) ln 2 [ 2;0] [ 2;0] 4 Đề: 50. x 2y xy 0 1. Giải hệ phương trình: x 1 4y 1 2 2. Giải phương trình: cosx = 8sin3 x 6 x 1 x 2y xy 0 (1) Giải: 1. Điều kiện: 1 x 1 4y 1 2 (2) y 4 x x Từ (1) 2 0 x = 4y y y 1 Nghiệm của hệ (2; ) 2 3 2. cosx = 8sin3 x cosx = 3 sinx+cosx 6 3 3 sin3 x 9sin2 xcosx +3 3 sinxcos2 x cos3 x cosx = 0 (3) Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm (3) 3 3 tan3 x 8t an2x + 3 3 t anx = 0 t anx = 0 x = k Đề: 51. Tìm m để bất phương trình: 52x – 5x+1 – 2m5x + m2 + 5m > 0 thỏa với mọi số thực x. Giải: Đặt X = 5x X > 0 Bất phương trình đã cho trở thành: X2 + (5 + 2m)X + m2 + 5m > 0 (*) Bpt đã cho có nghiệm với mọi x khi và chỉ khi (*) có nghiệm với mọi X > 0 < 0 hoặc (*) có hai nghiệm X1 ≤ X2 ≤ 0 Từ đó suy ra m 1 2 cos x sin x Đề: 52.1. Giải phương trình lượng giác: tan x cot 2x cot x 1 2 1 2. Giải bất phương trình: log3 x 5x 6 log1 x 2 log1 x 3 3 2 3 cos x.sin 2x.sin x. tan x cot 2x 0 Giải: (1) Điều kiện: cot x 1 1 2 cos x sin x cos x.sin 2x Từ (1) ta có: 2 sin x 2sin x.cos x 2 sin x sin x cos 2x cos x 1 cos x cos x sin 2x sin x x k2 2 4 cos x k ¢ Giao với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho 2 x k2 4 là x k2 k ¢ 4 (2) Điều kiện: x 3; Phương trình đã cho tương đương: Bài-giảng Pt- Hpt trang.18 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  19. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print 1 2 1 1 log3 x 5x 6 log 1 x 2 log 1 x 3 2 2 3 2 3 1 2 1 1 log3 x 5x 6 log3 x 2 log3 x 3 2 2 2 x 2 log3 x 2 x 3 log3 x 2 log3 x 3 log3 x 2 x 3 log3 x 3 x 2 x 2 x 3 x 3 x 10 x2 9 1 Giao với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là x 10 x 10 Đề:53.Cho phương trình x 1 x 2m x 1 x 2 4 x 1 x m3 Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất. Giải: Phương trình x 1 x 2m x 1 x 2 4 x 1 x m3 (1) Điều kiện : 0 x 1 Nếu x 0;1 thỏa mãn (1) thì 1 – x cũng thỏa mãn (1) nên để (1) có nghiệm duy nhất thì cần có điều kiện 1 1 1 1 3 m 0 x 1 x x . Thay x vào (1) ta được: 2. m 2. m 2 2 2 2 m 1 2 1 *Với m = 0; (1) trở thành: 4 x 4 1 x 0 x Phương trình có nghiệm duy nhất. 2 * Với m = -1; (1) trở thành x 1 x 2 x 1 x 2 4 x 1 x 1 x 1 x 2 4 x 1 x x 1 x 2 x 1 x 0 2 2 4 x 4 1 x x 1 x 0 1 1 + Với 4 x 4 1 x 0 x + Với x 1 x 0 x 2 2 Trường hợp này, (1) cũng có nghiệm duy nhất. * Với m = 1 thì (1) trở thành: 2 2 x 1 x 2 4 x 1 x 1 2 x 1 x 4 x 4 1 x x 1 x 1 Ta thấy phương trình (1) có 2 nghiệm x 0, x nên trong trường hợp này (1) không có nghiệm duy 2 nhất. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi m = 0 và m = -1. Đề:54.Giải phương trình : sin 4 x cos4 x 1 1). tan x cot x ; sin 2x 2 2 3 2). log x 1 2 log 4 x log 4 x 4 2 8 Bài-giảng Pt- Hpt trang.19 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  20. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print sin4 x cos4 x 1 Giải:1) tan x cot x (1) Điều kiện: sin 2x 2 1 1 sin2 2x 2 1 sin x cos x sin 2x 0 (1) sin 2x 2 cos x sin x 1 1 sin2 2x 1 1 2 1 sin2 2x 1 sin 2x 0 sin 2x sin 2x 2 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. log x 1 2 2 log 4 x log 4 x 3 2. 4 2 8 (2) Điều kiện: x 1 0 2 4 x 4 (2) log2 x 1 2 log2 4 x log2 4 x log2 x 1 2 log2 16 x 4 x 0 x 1 2 2 log2 4 x 1 log2 16 x 4 x 1 16 x 4 x 0 2 x 2 + Với 1 x 4 ta có phương trình x 4x 12 0 (3) ; (3) x 6 lo¹i + Với 4 x 1 ta có phương trình x2 4x 20 0 (4); x 2 24 4 ; Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x 2 hoặc x 2 1 6 x 2 24 lo¹i 2 3 2 Đề:55 1). Giải phương trình: cos3xcos3x – sin3xsin3x = 8 2). Giải phương trình: 2x +1 +x x2 2 x 1 x2 2x 3 0 3) Giải phương trình: 4x 2x 1 2 2x 1 sin 2x y 1 2 0 . 2 2 4) Giải bất phương trình: 9x x 1 1 10.3x x 2 . 2 3 2 Giải: 1). Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 8 2 3 2 8 2 3 2 2 cos23x sin2 3x+3 cos3xcosx sin3xsinx cos4x x k ,k Z . 2 2 16 2 2) Giải phương trình : 2x +1 +x x2 2 x 1 x2 2x 3 0 . (a) v2 u2 2x 1 u x2 2, u 0 u2 x2 2 * Đặt: 2 2 2 2 2 v u 1 v x2 2x 3, v 0 v x 2x 3 x 2  Ta có: Bài-giảng Pt- Hpt trang.20 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  21. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v u 1 v u 1 2 2 v u u v u v (a) v u .u 1 .v 0 v u .u .v 0 2 2 2 2 2 2 v u 0 (b) v u 1 (v u) (v u) 1 0 v u 1 2 2 (v u) 1 0 (c) 2 2 Vì u > 0, v > 0, nên (c) vô nghiệm. Do đó: 1 (a) v u 0 v u x2 2x 3 x2 2 x2 2x 3 x2 2 x 2 1 Kết luận, phương trình có nghiệm duy nhất: x = . 2 3) Giải phương trình 4x 2x 1 2 2x 1 sin 2x y 1 2 0 (*) x x 2 2 1 sin 2 y 1 0(1) Ta có: (*) 2x 1 sin 2x y 1 cos2 2x y 1 0 x cos 2 y 1 0(2) Từ (2) sin 2x y 1 1. Khi sin 2x y 1 1, thay vào (1), ta được: 2x = 0 (VN) Khi sin 2x y 1 1, thay vào (1), ta được: 2x = 2 x = 1. Thay x = 1 vào (1) sin(y +1) = -1 y 1 k ,k Z . 2 Kết luận: Phương trình có nghiệm: 1; 1 k ,k Z . 2 2 2 2 4) Giải bất phương trình: 9x x 1 1 10.3x x 2 . Đặt t 3x x , t > 0. Bất phương trình trở thành: t2 – 10t + 9 0 ( t 1 hoặc t 9) 2 Khi t 1 t 3x x 1 x2 x 0 1 x 0 .(i) x2 x 2 x 2 Khi t 9 t 3 9 x x 2 0 (2i) x 1 Kết hợp (i) và (2i) ta có tập nghiệm của bpt là: S = (- ; -2][-1;0][1; + ). Đề:56.Giải phương trình, hệ phương trình: 2 2 log3 x x y x y 12 1 x 2 x x 2 2 2 1. 2 ; 2. y x y 12 Giải: Phương trình đã cho tương đương: Bài-giảng Pt- Hpt trang.21 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  22. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print x 2 0 x 2 0 x 2 log x log3 x 1 3 1 1 log x ln x 0 x 1 ln x 0 3 2 2 2 x 2 x 2 0 x 2 x 2 x 2 x 2 log3 x 0 x 1 x 1 x 2 Điều kiện: | x | | y | 1 1 3 ln x 0 x 1 x 2 2 2 x 2 x 2 x 2 u x2 y2 ; u 0 1 u2 Đặt ; x y không thỏa hệ nên xét x y ta có y v . v x y 2 v Hệ phương trình đã cho có dạng: u v 12 u 4 u 3 u u2 hoặc v 12 v 8 v 9 2 v u 4 x2 y2 4 + (I) v 8 x y 8 u 3 x2 y2 3 + (II) Giải hệ (I), (II). Sau đó hợp các kết quả lại, ta được tập nghiệm của hệ v 9 x y 9 phương trình ban đầu là S 5;3 , 5;4  Sau đó hợp các kết quả lại, ta được tập nghiệm của hệ phương trình ban đầu là S 5;3 , 5;4  Đề: 57. Định m để phương trình sau có nghiệm 2 4sin3xsinx + 4cos 3x - cos x + cos 2x + m 0 4 4 4 Giải: Ta có: +/ 4sin3xsinx = 2 cos2x - cos4x ; +/ 4cos 3x - cos x + 2 cos 2x - cos4x 2 sin 2x + cos4x 4 4 2 2 1 1 +/ cos 2x + 1 cos 4x + 1 sin 4x 4 2 2 2 Do đó phương trình đã cho tương đương: 1 1 2 cos2x + sin2x sin 4x + m - 0 (1) Đặt t cos2x + sin2x = 2cos 2x - (điều kiện: 2 2 4 2 t 2 ). Khi đó sin 4x = 2sin2xcos2x = t2 1. Phương trình (1) trở thành: t 2 4t 2m 2 0 (2) với 2 t 2 (2) t 2 4t 2 2m Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường (D) : y 2 2m (là đường song song với Ox và cắt 2 trục tung tại điểm có tung độ 2 – 2m) và (P): y t 4t với 2 t 2 . Trong đoạn 2; 2 , hàm số y t 2 4t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2 tại t 2 và đạt giá trị lớn nhất là 2 4 2 tại t 2 . Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 4 2 2 2m 2 4 2 2 2 m 2 2 . Đề: 58. Bài-giảng Pt- Hpt trang.22 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  23. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print 1) Giải phương trình: cos2x 5 2(2 - cos x)(sin x - cos x) x 2 1 y(x y) 4y 2 2) Giải hệ phương trình: (x 1)(x y 2) y (x, y R ) Giải: 1. Phương trình (cosx–sinx)2 - 4(cosx–sinx) – 5 = 0 cos x -sin x -1 x k2 2sin(x ) 1 sin(x ) sin 2 (k Z) cos x -sin x 5(loai vi cos x -sin x 2) 4 4 4 x k2 x2 1 (x y 2) 2 y x 2 1 2) HÖ ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi §Æt u , v x y 2 x2 1 y (x y 2) 1 y x2 1 u v 2 1 Ta cã hÖ u v 1 Suy ra y . uv 1 x y 2 1 Gi¶i hÖ trªn ta ®­îc nghiÖm cña hpt ®· cho lµ (1; 2), (-2; 5) Đề: 59. Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực: 2 2 91 1 x (m 2)31 1 x 2m 1 0 (1) 2 Giải: * Đk x [-1;1], đặt t = 31 1 x ; x [-1;1] t [3;9] t 2 2t 1 Ta có: (1) viết lại t 2 (m 2)t 2m 1 0 (t 2)m t 2 2t 1 m t 2 2 2 t 2t 1 / t 4t 3 / t 1 Xét hàm số f(t) = , với t [3;9]. Ta có: f (t) , f (t) 0 t 2 (t 2) t 3 Lập bảng biến thiên t 3 9 f/(t) + 48 f(t) 7 4 Căn cứ bảng biến thiêng, (1) có nghiệm x [-1;1] (2) có nghiệm t [3;9] 4 m 48 7 Đề: 60. 1. Giài phương trình: (2cosx - 1)(sin x + cosx) = 1 3 2 3 3 log1 (x + 2) - 3 = log1 (4 - x) + log1 (x + 6) 2. Giải phương trình: 2 4 4 4 Giải: 1) Giải phương trình: sin 2x(cos x 3) 2 3.cos3 x 3 3.cos2x 8( 3.cos x sin x) 3 3 0 2sin x.cos2 x 6sin x.cos x 2 3.cos3 x 6 3 cos2 x 3 3 8( 3.cos x sin x) 3 3 0 2cos2 x( 3 cos x sin x) 6.cos x( 3 cos x sin x) 8( 3 cos x sin x) 0 Bài-giảng Pt- Hpt trang.23 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  24. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print ( 3 cos x sin x)( 2cos2 x 6cos x 8) 0 tan x 3 3 cos x sin x 0 cos x 1 2 cos x 3cos x 4 0 cos x 4(loai) x k 3 ,k  x k2 2/ Giải bất phương trình: 2 1 2 1 x 4x 5 0 x ( ; 5)  (1; ) log2 (x 4x 5) log 1 ( ) (1) Đk: 2 2 x 7 x 7 0 x 7 x ( 7; 5)  (1 ) 1 Từ (1) log (x 2 4x 5) 2log 2 2 x 7 2 2 2 2 log2 (x 4x 5) log2 (x 7) x 4x 5 x 14x 49 27 10x 54 x 5 27 Kết hợp điều kiện: Vậy BPT có nghiệm: x ( 7; ) 5 Đề: 61. Giải phương trình: sin 2x cos x 3 2 3cos3 x 3 3cos2x 8 3 cos x sinx 3 3 0 . Giải: 1/Giải phương trình: sin 2x(cos x 3) 2 3.cos3 x 3 3.cos2x 8( 3.cos x sin x) 3 3 0 2sin x.cos2 x 6sin x.cos x 2 3.cos3 x 6 3 cos2 x 3 3 8( 3.cos x sin x) 3 3 0 2cos2 x( 3 cos x sin x) 6.cos x( 3 cos x sin x) 8( 3 cos x sin x) 0 ( 3 cos x sin x)( 2cos2 x 6cos x 8) 0 tan x 3 x k 3 cos x sin x 0 3 ,k  cos x 1 2 x k2 cos x 3cos x 4 0 cos x 4(loai) Đề: 62. x 3 y 3 1 2 2 3 Giải hệ phương trình : x y 2xy y 2 2sin 2 (x ) 2sin 2 x tan x Giải phương trình: 4 . Giải: x 3 y 3 1 x 3 y 3 1 (1) 1. 2 2 3 3 3 2 2 x y 2xy y 2 2x y x y 2xy 0 (2) x 3 y 3 1 (3) 3 2 y 0. Ta có: x x x 2 2 1 0 (4) y y y Bài-giảng Pt- Hpt trang.24 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  25. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print x 1 Đặt : t (4) có dạng : 2t3 – t2 – 2t + 1 = 0 t = 1 , t = . y 2 x 3 y 3 1 1 Nếu t = 1 ta có hệ x y x y 3 2 x 3 y 3 1 Nếu t = -1 ta có hệ hệ vô nghiệm. x y 1 x 3 y 3 1 3 3 23 3 Nếu t = ta có hệ x , y 2 y 2x 3 3 2. Pt 2sin 2 (x ) 2sin 2 x tan x (cosx 0) [1 cos(2x )]cos x 2sin 2 x.cos x sin x 4 2 (1 - sin2x)(cosx – sinx) = 0 sìn2x = 1 hoặc tanx = 1. 4 2 Đề:63. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: x 1 x m Giải: D = [0 ; + ) 3 3 1 3 2 2 4 4 2 3 x x (1 2 ) 4 2 x 1 x x (x 1) x *Đặt f(x) = x 1 x f '(x) 3 4 2 3 4 2 3 2 (x 1) 2 x 2 (x 1) . x 1 3 2x 2 4 (1 ) . x x 2 1 3 1 4 (1 ) x 2 Suy ra: f’(x) = 0 x (0 ; ) 1 3 24 (1 ) . x x 2 x 2 1 x x 2 1 x 2 * lim (4 x 2 1 x) lim lim 0 x x 4 2 x 4 2 2 x 1 x ( x 1 x)( x 1 x) * BBT x 0 + f’(x) f(x) 1 0 Vậy: 0 < m 1 Đề:64. Giải bất phương trình: log x 3 log x 3 x 0 3 Giải: ĐK : x 1 Bất phương trình trở thành : x 3 1 1 1 1 1 1 0 log x x log x log x 1 log x log x 1 3 log 3 3 3 3 3 3 1 0 log3 x(log3 x 1) 0 log3 x 0  log3 x 1 log3 x(log3 x 1) * log3 x 0 x 1 kết hợp ĐK : 0 < x < 1 * log3 x 0 x 3 Vậy tập nghiệm của BPT: x (0 ;1)  (3 ; ) Đề65. 1.Gi¶i ph¬ng tr×nh 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8 Bài-giảng Pt- Hpt trang.25 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  26. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print 2 2 2 2.Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh log 2 x log 2 x 3 5(log 4 x 3) Giải: Ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8  6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0  6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0 (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 1 sin x 0   x k2 6cos x 2sin x 7 0 (VN) 2 x 0 §K: 2 2 log 2 x log 2 x 3 0 2 2 BÊt ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi log 2 x log 2 x 3 5(log 2 x 3) (1) ®Æt t = log2x, 2.BPT (1)  t 2 2t 3 5(t 3) (t 3)(t 1) 5(t 3) t 1 1 t 1 log x 1 0 x t 3 2 2 VËy BPT ®· cho cã tËp 3 t 4 3 log x 4 2 2 8 x 16 (t 1)(t 3) 5(t 3) 1 nghiÖm lµ: (0; ]  (8;16) 2 Đề: 66.1. Giaûi phöông trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0 2 2 x 91 y 2 y (1) 2 2 2. Giải hệ phương trình y 91 x 2 x (2) Giải: 1. 3 sin x cosx 2 cos3x 0 sin sinx + cos cosx = – cos3x. 3 3 cos x cos3x cos x cos( 3x) 3 3 k x k 3 2 (k Z) x = (k Z) x k 3 2 3 2. Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: x2 91 y2 91 y 2 x 2 y2 x2 x2 y2 y x (y x)(y x) x2 91 y2 91 y 2 x 2 x y 1 (x y) x y 0 2 2 x 91 y 91 x 2 y 2 x = y (trong ngoặc luôn dương và x vay đều lớn hơn 2) Vậy từ hệ trên ta có: x2 91 x 2 x2 x2 91 10 x 2 1 x2 9 x2 9 x 3 1 1 (x 3)(x 3) (x 3) (x 3) 1 0 2 2 x 91 10 x 2 1 x 91 10 x 2 1 x = 3 Vậy nghiệm của hệ x = y = 3 Bài-giảng Pt- Hpt trang.26 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  27. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print Đề: 67. sin 3x sin x sin 2x cos2x 0;2 1).Tìm các nghiệm trên của phương trình : 1 cos2x 3 3 2).Giải phương trình: x 34 x 3 1 sin 3x sin x 2cos2x.sin x Giải: sin 2x cos2x (1) 2cos 2x 1 cos2x 2 sin x 4 1.§K : sinx ≠ 0 x k Khi x 0; th× sinx > 0 nªn : (1) 2 cos2x = 2 cos 2x 4 k x 16 2 9 Do x 0; nªn x hay x 16 16 Khi x ;2 th× sinx < 0 nªn : (1) 2 cos2x = 2 cos 2x cos -2x = cos 2x- 4 4 5 k x 16 2 21 29 Do x ;2 nªn x hay x 16 16 2. §Æt u 3 x 34, v 3 x 3 . Ta cã : u v 1 u v 1 3 3 2 2 u v 37 u v u v uv 37 u 3 u v 1 u v 1 v 4 2 u v 3uv 37 uv 12 u 4 v 3 Víi u = -3 , v = - 4 ta cã : x = - 61 Víi u = 4, v = 3 ta cã : x = 30 ; VËy Pt ®· cho cã 2 nghiÖm : x = -61 vµ x = 30 Đề68. 1.Gi¶i ph¬ng tr×nh 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8 2 2 2 2.Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh log 2 x log 2 x 3 5(log 4 x 3) Giải: Ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8  6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0  6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0  (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 x k2 2 1 sin x 0  6cos x 2sin x 7 0 (VN) x 0 2. §K: 2 2 log 2 x log 2 x 3 0 2 2 BÊt ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi log 2 x log 2 x 3 5(log 2 x 3) (1) ®Æt t = log2x, Bài-giảng Pt- Hpt trang.27 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  28. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print BPT (1)  t 2 2t 3 5(t 3) (t 3)(t 1) 5(t 3) t 1 1 t 1 log x 1 0 x t 3 2 2 VËy BPT ®· cho cã tËp 3 t 4 3 log x 4 2 2 8 x 16 (t 1)(t 3) 5(t 3) 1 nghiÖm lµ: (0; ]  (8;16) 2 Đề: 70. x 2 x 2 Giải phương trình: 3.25 3x 10 5 x 3 sin x sin y 2 Giải hệ phương trình: cos x cos y 2 log x cos x sin x log 1 cos x cos2x 0 3.Giải phương trình: x . 3 2 4.Giải bất phương trình: x 1 x 1 3x x 1 0 Giải: 3.25x 2 3x 10 5x 2 x 3 1. 5x 2 3.5x 2 1 x 3.5x 2 1 3 3.5x 2 1 0 3.5x 2 1 5x 2 x 3 0 3.5x 2 1 0 1 x 2 5 x 3 0 2 1 1 1 5x 2 x 2 log 2 log 3 2 5x 2 x 3 3 5 3 5 Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2) có nghiệm x = 2 nên là nghiệm duy nhất. Vậy Pt có nghiệm là: x = 2 log5 3 và x = 2 2. sinx siny 2 sinx cosx siny cosy 2 2 cosx cosy 2 cos x 1 x k2 4 4 cos x cos y 2 Thử lại thấy đúng nên: 4 4 cos y 1 y l2 4 4 x k2 4 là nghiệm của hệ phương trình. y l2 4 3. log x cos x sin x log 1 cos x cos2x 0 x Bài-giảng Pt- Hpt trang.28 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  29. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print 0 x 1 Điều kiện: cos x sin x 0 . Khi đó Pt cos x cos2x 0 cos2x sin x cos2x cos x 2 2x x k2 x k2 2 2 k2 . 2x x k2 x 2 6 3 k2 Kết hợp với điều kiện ta được: x (Với k ∊N* k 4 6 3 x3 1 x2 1 3x x 1 0 x3 x2 3 x3 x2 2 0 2 t 2 2 3 2 2 t 3t 2 0 Đặt t x x 1 t x x 1 x 1 t 1 3 3 3 t 2 Đề:71. 1 3x 7 cos4x +cos 1. Giải phương trình: 4cos4x – cos2x 2 4 = 2 2. Giải phương trình: 3x.2x = 3x + 2x + 1 Giải: 1 3x 7 1. 4cos4x – cos2x cos4x +cos = 2 4 2 1 3x 7 3x (1 + cos2x)2 – cos2x (2cos2 2x 1) +cos = cos2x + cos = 2 2 4 2 4 cos2x = 1 3x ( vì VT ≤ 2 với mọi x) cos 1 4 x k m8 (k;m ¢ ) x = 8n ( n ¢ ) x 3 2. Ta thấy phương trình: 3x.2x = 3x + 2x + 1 (2) có hai nghiệm x = 1. 1 Ta có x = không là nghiệm của phương trình nên 2 2x 1 (2) 3x 2x 1 Ta có hàm số y = 3x tăng trên R 2x 1 1 1 hàm số y = luôn giảm trên mỗi khoảng ; , ; 2x 1 2 2 Vậy Phương trình (2) chỉ có hai nghiệm x = 1 Đề: 72. 1 x 1 x cos 2 sin 2 1. Giải phương trình: 4 3 2 2 . Bài-giảng Pt- Hpt trang.29 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  30. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print 1 1 log (x 3) log (x 1)8 3log (4x) 2. Giải phương trình: 2 2 4 4 8 . Giải: 2x 1 cos 1 x 1 x 1 1 cos x 2x cos2 sin2 ; 3 1 2 2cos 1 cos x; 4 3 2 2 4 2 4 3 x 2 3 1. 2 2cos2a cos3a a 2 2 2cos a 1 4cos a 3cos a ; 3 2 4cos2 a 2 4cos3 a 3cos a 0 cos a 4cos2 a 4cos a 3 0 cos a 0 x x cos 0 k 3 1 3 3 2 x k3 cos a 2 2 x x cos cos k2 x k6 . 3 cos a loaïi 3 3 3 3 2 1 1 2. log (x 3) log (x 1)8 3log (4x) . 2 2 4 4 8 Điều kiện: x 3 x 1 0 x 1.Biến đổi theo logarit cơ số 2 thành phương trình x 0 2 x 1 loaïi log2 x 3 x 1 log2 4x x 2x 3 0 x 3. x 3 Đề: 73. 1 m ;1 Tìm các giá trị của tham số để phương trình sau có nghiệm duy nhất thuộc đoạn : 2 3 1 x 2 2 x 3 2x 2 1 m ( m R ). Giải: 1 Đặt f x 3 1 x2 2 x3 2x2 1 , suy ra f x xác định và liên tục trên đoạn ;1 . 2 3x 3x2 4x 3 3x 4 f ' x x . 1 x2 x3 2x2 1 1 x2 x3 2x2 1 1 4 3 3x 4 x ;1 ta có x 3x 4 0 0 . 2 3 1 x2 x3 2x2 1 Vậy: f ' x 0 x 0 .Bảng biến thiên: 1 x 0 1 2 f ' x || 0 || 1 C Ñ 3 3 2 2 f x 2 4 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 1 3 3 22 Phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất thuộc ;1 4 m hoặc m 1. 2 2 Đề:74. 1.Giaûi baát phöông trình: Bài-giảng Pt- Hpt trang.30 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  31. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print x2 3x 2 x2 4x 3 2. x2 5x 4 2log (2x2 x 2m 4m2 ) log (x2 mx 2m2 ) 0 2.Cho phöông trình: 4 1 2 2 2 Xaùc ñònh tham soá m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm x1 , x2 thoûa : x1 x2 1 Giải: 1) Giaûi baát phöông trình: x2 3x 2 x2 4x 3 2. x2 5x 4 x2 3x 2 0 2 Ñieàu kieän: x 4x 3 0 x 1 x 4 2 x 5x 4 0 Ta coù: Baát phöông trình (x 1)(x 2) (x 1)(x 3) 2 (x 1)(x 4) (*) Neáu x = 1 thì hieån nhieân (*) ñuùng . Suy ra x=1 laø nghieäm cuûa phöông trình Neáu x < 1 thì (*) trôû thaønh : 2 x 3 x 2 4 x 2 x 4 x Nhaän xeùt: 2 x 3 x 2 4 x Suy ra Baát phöông trình voâ nghieäm. 3 x 4 x Neáu x 4 thì (*) trôû thaønh : x 2 x 3 2 x 4 x 2 x 4 Nhaän xeùt: x 2 x 3 2 x 4 Suy ra Baát phöông trình ñuùng x 4 . x 3 x 4 Toùm laïi: Baát phöông trình coù nghieäm laø: x 1 x 4 . 2) 2log (2x2 x 2m 4m2) log (x2 mx 2m2) 0 4 1 2 2 2 2 2 2 2 x m x 2m 0 log (2 x x 2m 4m ) log ( x m x 2m ) 0 2 2 2 2 x (1 m ) x 2m 2m 0 2 2 x m x 2m 0 x 2m , x 1 m 1 2 x 2 x 2 1 1 2 Yeâu caàu baøi toaùn vôùi x 2m , x 1 m x 2 m x 2m 2 0 1 1 1 2 x 2 m x 2m 2 0 2 2 5 m 2 2 m 0 2 2 1 4 m 0 1 m 0  m 5 2 2 2 m m 1 0 Đề: 75. 1.Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa tham soá a ñeå phöông trình sau coù nghieäm: sin6 x cos6 x a sin2x 3 Giải: Phöông trình : 1 3sin2 x cos2 x a sin 2x 1 sin2 2x a sin 2x 4 Ñaët t sin 2x ñieàu kòeân 0 t 1 4 3t2 Phöông trình laø: f(t) = 4a (vì t =0 khoâng laø nghieäm) t Bài-giảng Pt- Hpt trang.31 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  32. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print 4 3t2 4 4 Ñaët f (t) 3t vôùi t (0,1) f '(t) 3 0 f(t) laø haøm soá giaûm trong (0, 1). t t t 2 1 Khi ñoù phöông trình f(t) = 4a coù nghieäm t (0,1) 4a f (1) 4a 1 a 4 Đề:76. 1. Giải phương trình 2cos6x+2cos4x- 3cos2x =sin2x+ 3 2 1 2x x 2 y 2 2 2. Giải hệ phương trình y y x 2y 2 x k 2 cos x 0 cos x=0 k Giải: 1. x 2cos5x =sinx+ 3 cos x cos5x=cos(x- ) 24 2 6 k2 x 42 7 2. ĐK : y 0 1 2x2 x 2 0 2 y 2u u v 2 0 u v hệ đưa hệ về dạng u v 1 2 u 1 v 2 1 2v v u 2 0 u v 1 x 2 0 2 2 2 v v u 2 0 y y 3 7 3 7 u u 2 2 hoặc , 1 7 1 7 v v 2 2 3 7 2 3 7 2 Từ đó ta có nghiệm của hệ(-1 ;-1),(1 ;1), ( ; ), ( ; ) 2 7 1 2 7 1 log (x 1)2 log (x 1)3 3 4 0 Đề 77. Giải bất phương trình x2 5x 6 3log (x 1) 2log (x 1) 3 3 log 4 log (x 1) Giải: Đk: x > - 1 ; bất phương trình 3 0 3 0 0 x 6 (x 1)(x 6) x 6 Đề:78 1) Giải phương trình: 2x 3 x 1 3x 2 2x2 5x 3 16 . 3 2 2 cos2x sin2x cos x 4sin x 0 2) Giải phương trình: 4 4 . Giải 1) Đặt t 2x 3 x 1 > 0. (2) x 3 2) 2) (sin x cos x) 4(cos x sin x) sin 2x 4 0 3 x k ; x k2 ; x k2 4 2 log (x2 y2 ) log (2x) 1 log (x 3y) 4 4 4 2 x log4 (xy 1) log4 (4y 2y 2x 4) log4 1 Đề:79. Giải hệ phương trình: y Bài-giảng Pt- Hpt trang.32 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  33. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print x x=2 Giải : vôùi >0 tuyø yù vaø y y=1 Đề:80.1.Gi¶i ph¬ng tr×nh 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 Giải: Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8  6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0  6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0  (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 1 sin x 0   x k2 6cos x 2sin x 7 0 (VN) 2 Đề:81 . Giải bất phương trình: 2x 10 5x 10 x 2 (1) Giải: Điều kiện: x 2 1 2x 10 x 2 5x 10 2x2 6x 20 x 1(2) Khi x 2 => x+1>0 bình phương 2 vế phương trình (2) (2) 2x2 6x 20 x2 2x 1 x2 4x 11 0 x ; 73; Kết hợp điều kiện vậy nghiệm của bất phương trình là: x 3 Đề 82. Giải phương trình: 3 (2cos2x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 0 2 log2 (x 2) log4 (x 5) log 1 8 0 Giải phương trình: 2 Giải:1. Phương trình đã cho tương đương với phương trình : 3 x ( 1)n n , n ¢ sin x 3 2sin x 3 3sin x cos x 0 2 3sin x cos x 0 x k , k ¢ 6 2. Điều kiện: x > – 2 và x 5 (*) Với điều kiện đó, ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình: 2 2 log2 (x 2) x 5 log2 8 (x 2) x 5 8 (x 3x 18)(x 3x 2) 0 x2 3x 18 0 3 17 x 3; x 6; x 2 x 3x 2 0 2 3 17 Đối chiếu với điều kiện (*), ta được tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là: x 6 và x 2 Đề:83. 2 Giải phương trình: 3 4 sin 2x 2cos 2x 1 2 sin x 2 3 log x x 14log16x x 40log4x x 0. Giải phương trình: 2 Giải: Giải phương trình 3 4 sin2 2x 2cos 2x 1 2 sin x Biến đổi phương trình về dạng 2 sin3x 2 sin x 1 2 sin x 1 0 Do đó nghiệm của phương trình là 7 k2 5 k2 x k2 ; x k2 ; x ; x 6 6 18 3 18 3 2 3 Giải phương trình log x x 14log16x x 40log4x x 0. 2 1 1 Điều kiện: x 0; x 2; x ; x . 4 16 Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho Với x 1. Đặt t logx 2 và biến đổi phương trình về dạng Bài-giảng Pt- Hpt trang.33 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  34. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print 2 42 20 1 1 0 , Giải ra ta được t ;t 2 x 4; x . Vậy pt có 3 nghiệm x =1; 1 t 4t 1 2t 1 2 2 1 x 4; x . 2 Đề:84. 1 1 3.4 x .9 x 2 6.4 x .9 x 1 Giải phương trình 3 4 . 1 1 Giải: Giải phương trình 3.4 x .9 x 2 6.4 x .9 x 1 Biến đổi phương trình đã cho về dạng 3 4 x 2x 2x 2x 9 2x 3 2 2 3.2 27.3 6.2 .3 Từ đó ta thu được x log 3 4 2 39 2 39 Đề 85. x 2 f (x) e x sin x 3 Cho hàm số 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của f (x) và chứng minh rằng f (x) 0 có đúng hai nghiệm. Giải: Ta có f ( x ) ex x cos x. Do đó f ' x 0 ex x cos x. Hàm số y ex là hàm đồng biến; hàm số y x cosx là hàm nghịch biến vì y' 1 sin x 0,x . Mặt khác x 0 là nghiệm của phương trình ex x cos x nên nó là nghiệm duy nhất. Lập bảng biến thiên của hàm số y f x (học sinh tự làm) ta đi đến kết luận phương trình f (x) 0 có đúng hai nghiệm. Từ bảng biến thiên ta có min f x 2 x 0. Đề 86. 2 2 2xy x y 1 1 Giải hệ phương trình: x y 2 x y x y 2 2 2 Giải phương trình: 2sin x 2sin x t anx 4 log log x2 1 x log log x2 1 x 1 5 3 1 Giải bất phương trình: 3 5 2 2 2xy x y 1 1 Giải: x y dk x y 0 x y x2 y 2 2 2xy 3 1 x y 2xy 1 0 x y 2xy x y 2xy x y 0 x y 2 x y x y 1 2xy x y 1 0 x y 1 3 Dễ thấy (4) vô x2 y2 x y 0 4 x y 1 x y x y 1 2xy 0 nghiệm vì x+y>0 x y 1 x 1; y 0 Thế (3) vào (2) ta được x2 y 1 Giải hệ 2 x y 1 x 2; y 3 Bài-giảng Pt- Hpt trang.34 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  35. Pt- Bpt- Hpt Luyện-thi-chung. Yet-print 2 2 2 sinx 2. Đk: cos x 0(*) 2sin x 2sin x t anx 1 cos 2x 2sin x 4 2 cos x cosx sin2x.cosx 2sin2 x.cosx sinx cosx sinx sin2x cosx sinx 0 cos x 0 sinx cos x t anx 1 x k 4 (tm(*)) x k 4 2 sin 2x 1 2x l2 x l 2 4 3. log log x2 1 x log log x2 1 x (1) 1 5 3 1 3 5 Đk: x 0 1 log log x2 1 x log log x2 1 x 0 3 1 3 5 5 log log x2 1 x .log x2 1 x 0 log2 x2 1 x 1 3 1 5 5 5 0 log x2 1 x 1 5 *) 0 log x2 1 x x 0 5 12 *) log x2 1 x 1 x2 1 x 5 x2 1 5 x x 5 5 12 Vậy BPT có nghiệm x 0; 5 Bµi 9: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 3 14 x3 x 2(1 x2 2x 1 (Dïng ph-¬ng ph¸p ®¸nh gi¸) Bµi 10: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 2 x2 8 5 x3 8 (Dïng ph-¬ng ph¸p biÕn ®æi t-¬ng ®-¬ng) Bài-giảng Pt- Hpt trang.35 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng