Bài tập Phương trình. Hệ phương trình Toán Lớp 10 - Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong căn

Nội dung text: Bài tập Phương trình. Hệ phương trình Toán Lớp 10 - Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong căn

1. CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG CĂN PHẦN I : Phương trình có chứa căn (MỖI CÔNG THỨC HOẶC MỖI KĨ THUẬT CHO 1-2 VD VÀ 1-3 BT TƯƠNG TỰ) I)Phương pháp biến đổi tương đương KĨ THUẬT: 1.biến đổi tđ, 2.dùng công thức 3.nhân liên hợp 4. đưa về tích . 1) Kiến thức cơ bản : +) f (x) a(a 0) f (x) a2 ; f (x) g(x) f (x) g 2 (x) g(x) 0 f (x) hoac g(x) 0 +) f (x) g(x) f (x) g(x) 2 f (x) g (x) f (x) g(x) +) 3 f (x) g(x) f (x) g 3 (x); 3 f (x) 3 g(x) f (x) g(x) * Chú ý trong các công thức trên thông thường f (x) & g(x) là các hàm xác định trên R; các trường hợp khác phải tìm điều kiện xác định trước khi biến đổi Bài tập áp dụng II) Phương pháp đặt ẩn phụ KĨ THUẬT: 1.biến đổi tđ, 2.dùng công thức 3.nhân liên hợp 4. đưa về tích .chú ý III) Phương pháp đánh giá IV) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số PHẦN 2 :Bất phương trình có chứa căn I)Phương pháp biến đổi tương đương : II)Phương pháp đặt ẩn phụ phương trình có chứa giá trị tuyệt đối Phương pháp biến đổi tương đương 1) Cơ sở lý thuyết : f (x) g(x) (1) Dạng1: f (x) g(x) f (x) g(x) (2) g(x) 0 g(x) 0 Dạng2: f (x) g(x) , hoặc 2 2 f (x) g(x) f (x) g (x) f (x) g(x) Chú ý: người ta thường dùng cách thứ 2 khi bình phương hai vế xuâts hiện phương trình bậc cao 2) Bài tập áp dụng x 2 x 2 x 2 Bài1: gpt 1 x 2 x 2 x 0 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 4 0 Bài2:gpt | x2 +5x+4 | = x+4 tương đương x 0, x 6 2 2 2 (x 5x 4) (x 4) 2 2 Bài 3: Giải và biện luận phương trình: | x -2mx-2m | = | x + 2x| (1) x2 2mx 2m x2 2x (m 1)x m 2 Tương đương với 2 2 2 x 2mx 2m x 2x x (m 1)x m 0 (3) Giải 2 .Bài-giảng Pt- Hpt trang.1 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
2. • với m + 1 = 0 thì m = -1 khi đó (2) vô nghiệm m • với m + 1 ≠ 0 thì m ≠ - 1 khi đó (2) tương đương với x m 1 Giải3 Ta có = (m+1)2 * Với = 0 m = - 1 (3) có nghiệm x = -1 x 1 * Với > 0 m ≠ - 1 khi đó (3) có nghiệm x m Kết luận • Với m = -1 phương trình có một nghiệm x = - 1 m • Với m ≠ - 1 phương trình có3 nghiệm x = - 1 , x = m , x m 1 Bài4 Giải và biện luận phương trình | x2 + x +m | = - x2 + x +2 Phưong trình tương với 1 x 2 (*) x2 x 2 0 1 x 2 2 m x2 (2) x2 x m x2 x 2 2x2 2 m 2 2 2 2x 2 m 2 m x x m x x 2 x (3) 2 a) Giải và biện luận (2) 2 m 0 2 m 2 * với khi đó (2) không có nghiệm thỏa mãn (*) 2 m m 6 4 2 2 m 2 m * Với 1 2 hoặc m <- 6 phương trình vô nghiệm 2 m • ) Với 0 m 2 phương trình có 2 nghiệm x = 2 2 m 2 m • ) 6 m 0 thì (2) có nghiệm x = và x= 2 2 II) Phương pháp chia khoảng 1) Cơ sở lý thuyết: Khi giải phương trình có chứa nhiều tuyệt đối a) Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa b) Lập bảng xét dấu tất cả các biểu thức nằm trong tuyệt đối c) Giải phương trình trên từng khoảng đã chia d) Kết luận 2) Bài tập áp dụng Bài 1 gpt | x2 – x | + | 2x – 4 | = 3 x 0 1 2 X2-x 0 - | + | + 2x-4 - | - | - 0 + • Nếu x ≤ 0 hoặc 1 ≤ x ≤ 2 pt tương dưong với x2 – x – (2x-4) = 3 khi x2-3x+1=0 .Bài-giảng Pt- Hpt trang.2 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
3. 3 5 Cho ta 2 nghiệm x loại 2 1 5 * Nếu 0<x<1 pt tương đương với x2 +x -1 = 0 có nghiệm x thỏa mãn 2 1 29 * Nếu x ≥ 2 pt tương đương với x2 +x – 7 = 0 có nghiệm x thỏa mãn 2 3 Bài2: gpt x 3 điều kiện x khác 3 và 5 x 4 1 x -3 4 x+3 - 0 + | - x-43 - | - 0 + * Nếu x ≤ -3 pt tương đương với x2 = 12 có nghiệm x = 2 3 thỏa mãn * Nếu -3 <x < 4 pt tương đương với x2 = 6 có nghiệm x = 6 thỏa mãn * Nếu x ≥ 4 pt tương đương với x2 -2x – 18 = 0 có nghiệm x = 1+ 19 thỏa mãn Chú ý : néu có nhiều giá trị tuyệt đối cách giải vẫn tương tự nhự vậy III) Phương pháp sử dụng các tính chất giá trị tuyệt đối : 1) Cơ sở lý thuyết: * Tính chất 1: | a+b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a,b ≥ 0 * Tính chất 2: |a| + |b| = a + b khi và chỉ khi a,b ≥ 0 * Tính chất3 : |a| + |b| = a - b Khi và chỉ khi a ≥ 0 , b ≤ 0 * Tính chất 4 : | a – b | = |a| - |b| Khi và chỉ khi b( a-b) ≥ 0 Cách giải • Đặt điều kiện phương trình có nghĩa • Biến đổi phương trình về 1 trong 4 dạng trên • Giải và kết luận 2) Bài tập áp dụng Bài1: Giải phương trình | x2 – 4x + 3| + | x2 – 4x| = 3 Cách 1 có thể giải bằng phương pháp chia khoảng Cách 2 phương trình có thể biến đổi thành | x2 – 4x + 3| + | x2 – 4x| = x2 4x 3 0 0 x 1 ( x2 – 4x + 3)- ( x2 – 4x ) 2 x 4x 0 3 x 4 tan x tan 2 x Bài2 Giải phương trình tan x tan x 1 tan x 1 tan x tan x Biến đổi phương trình về dạng tan x tan x tan x 1 tan x 1 x k tan 2 x tan x 0 Tương đương với 0 tan x 1 tan x 1 k x k 4 2 Bài3 Giải phương trình x 2 x 1 x 3 4 x 1 1 điều kiện x ≥ 2 Tương đương với ( x 1 1)2 (2 (x 1)2 1 Tương đương với x 1 1 2 x 1 = ( x 1 1) (2 x 1) .Bài-giảng Pt- Hpt trang.3 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
4. x 1 1 0 x 1 0 Tương đương với 2 x 5 2 x 1 0 x 1 2 IV) Phương pháp đặt ẩn phụ: 1) Cơ sở lý thuyết : Đặt ẩn phụ thích hợp đưa bài toán đã cho vè bài toán 1 ản không có tuyệt đối 2) Bài tập áp dụng Bài1: gpt (x – 1 )2 +4 | x-1| +3 = 0 Đặt t = | x-1| t không âm ta có phương trình t2 +4t +3 = 0 t 1 loai x 1 3 x 4 t 3 x 1 3 x 2 6 Bài2: Giải phương trình x2 5x 2 1 0 x2 5x 2 Dặt t = | x2 -5x +2| >0 ta có phương trình t + 1/t +1=0 có nghiệm t= -3 , t=2 với t = 2 thỏa mãn khi đó | x2 -5x +2| = 2 ta có x2 -5x +2 = 2 , x2 -5x +2 = - 2 cho ta nghiệm x=0 , x= 1, x= 4 , x=5 2 Bài3 : Giải và biện luận pt mx 2 2 mx 2 1 Đặt t = | mx-2| +1 ≥ 1 có phương trình t – 1 + 2/t =2 mx 2 t 1 mx 2 1 1 mx 2 0 mx 3 t 2 mx 2 1 2 mx 2 1 mx 1 Kết luận : * với m =0 phương trình vô nghiệm • với m khác 0 phương trình có 3 nghiệm phân biệt x = 1/m , x = 2/m , x = 3/m V) Phương pháp hàm số 1) Cơ sở lý thuyết Nếu hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định của nó thì ta luôn có f(u) = f(v) khi và chỉ khi u = v 2)Bài tập áp dụng 1 1 1 1 Bài 1 gpt e 2x 5 e x 1 e 2x 5 e x 1 2x 5 x 1 2x 5 x 1 Tập xác định x khác 5/2 , 1 Xét hàm só f(t) = et – 1 / t có đạo hàm et + 1/t2 > 0 với mọi t hàm số luôn đồng biến Vậy ta có f(| 2x-5|) = f( |x-1|) khi và chỉ khi | 2x-5| = | x-1| giải ra có nghiệm x = 2,x=4 Bài2 gpt x2 –x|x| + 3x – 10 = 0 3x2 2x 3 x 0 2 ) = Xét hàm số f(x) = x –x|x| + 3x – 10 có đạo hàm f 2 3x 2x 3 x 0 Đạo hàm luôn dương với mọi x hàm số luôn luôn đồng biến vậy nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất dễ thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của bài toán VI) Phương pháp điều kiện cần và đủ a. Cơ sở lý thuyết : Tìm điều kiện tham số có thẻ xẩy ra các dạng sau • Dạng1 : phương trình có nghiệm duy nhất • Dạng2 phương triònh có nghiệm với mọi giá trị tham số • Dạng 3 phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc miền D • Phương trình tương đương với một phương trình hoặc một bất phương trình khác Thực hiện các bước giải sau • Đặt điều kiện phương trình có nghĩa • Dựa vào đặc điểm của phương trình tìm điều kiện cần suy ra giá trị của tham só • Giá trị tham số thỏa mãn điều kiện của bài toán là giá trị cần tìm .Bài-giảng Pt- Hpt trang.4 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
5. b. Bài tập áp dụng Bài toán : Tìm m để phương trình sau | x-m | = x + 4 đúng với mọi x ≥ -2 Điều kiện cần : vì đúng với mọi x ≥ -2 nên đúng với x = -2 suy ra | 2-m| = 2+m Suy ra m = 0 , m=4 Điều kiẹn đủ Với m = o ta có phương trình |x| = x+ 4 ta thấy x =0 không thỏa mãn loại Với m = 4 ta có | x-4 | = x + 4 luôn đúng với mọi x ≥ -2 Vậy giá trị m = 4 là giá trị cần tìm VII) Phương pháp đánh giá 1) Cơ sở lý thuyết dựa vào tính chát một số bất đẳng thức cơ bản ,và phương pháp đối lập Ta có thể suy ra nghiệm của phương trình 1) Bài tập áp dụng 3 x 1 Bài toán 1: gpt sau 2 x 1 3 Áp dụng bất đẳng thức cô si cho vế trái phương trình ta có 3 x 1 3 x 1 2 2 bằng vế phải dấu bằng xẩy ra khi x 1 3 x 1 3 3 x 1 khi x = 2 , x = 4 vậy phương trình có 2 nghiệm x=2,x=4 x 1 3 5 10 Bài toán2: gpt 6-4x –x2 = 10 (x 2)2 y y 2y sin cos sin x x x nhận xét Vt ≤ 10, Vp ≥ 10 dấu bằng xẩy ra khi cả 2 vế bằng 10 x 2 0 x 2 x 2 2y sin 1 sin y 1 y k x 2 Chủ đề bất phương trình có chứa giá trị tuyệt đối I) Phương pháp biến đổi tương đương a) Cơ sở lý thuyết 1) | f(x) | > | g(x) ) tương đương với f2(x) > g2(x) g(x) 0 2) f (x) g(x) g(x) 0 2 2 f (x) g (x) g(x) 0 3) f (x) g(x) 2 2 f (x) g (x) Khi giải cần thực các bước sau • Kiểm tra đièu kiện • sử dụng các phép biến đổi tương đưa bất phương trình đã cho về hệ phương trình đại số từ đó tìm được nghiệm • Kiểm tra đièu kiện • Kết luận nghiệm b) Bài tập áp dụng Bài1 gbpt | 4x3 – 3x | ≤ 1 tương đương với ( 4x3 – 3x )2 ≤ 1 tương đương .Bài-giảng Pt- Hpt trang.5 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
6. ( 4x3 -3x +1 ) ( ( 4x3 -3x -1 ) ≤ 0 tương đương vói (x2 – 1)(2x+1)2(2x-1)2 ≤ 0 2x 1 0 Tương đưong 2x 1 0 1 x 1 2 x 1 0 x2 5x 4 Bài2 gbpt 1 x2 5x 4 x2 4 x2 4 Tương đương với ( x2 -5x +4 ) 2 ≤ (x2 – 4 )2 tương đương ( 2x2 -5x) ( 8-5x) ≤ 0 8 0 x 5 8 5 Tương đương với 0,  , 5 5 2 x 2 2x 1 0 Bài3 gbpt | 1-4x | > 2x +1 tương đương với 2x 1 0 ,0  1, 2 2 (1 4x) (2x 1) II) Phương pháp chia khoảng : 1) Cơ sở lý thuyết : khi gặp bài toán có từ hai trị số tuyệt đối trở lên ta làm như sau • Đặt điều kiện có nghĩa của bpt • Lập bảng xét dấu tất cả cac biểu thức trong dấu tuyệt đối , chia khoảng • Giải bất phương trình trên từng khoảng • Kết luận 2) Bài tập áp dụng : x2 4x 3 Bài1 gbp 1 bpt có nghĩa với mọi x x2 x 3 Ta có bảng xét dấu x 0 4 5 X2 – 4x + 0 - 0 + | + x- 5 - | - | - 0 + Kết luận x2 4x 3 2 Trưòng hợp 1 x 0,4 x 5 1 x x2 x 5 3 x2 4x 3 1 Trưòng hợp 2 0 5 tương đương với 1 x loại x2 x 5 5 2 1 Vậy nghiệm của bpt là ,  ,2 3 2 9 Bài2 gbpt x 2 ta có bảng xét dấu x 5 3 x 2 5 x-5 - | - 0 + x-2 - 0 + 0 + .Bài-giảng Pt- Hpt trang.6 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
7. 9 9 x2 4x 5 * Nếu x x 2 x 2 0 0 2 x 5 5 x 3 2 x 2 x 9 9 x2 10x 7 * Nếu x>5 bpt x 2 (x 2) 0 0 8 x 5 3 2 x 5 3 x 8 x 8 Kết luận nghiệm bpt , 1 2,5  8,5 3 2 III) Phương pháp sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối 1) Cơ sở lý thuyết * Tính chất1 | a + b | ≤ |a| + |b| với mọi a,b * Tinh chất 2 | a - b | ≥ |a| - |b| với mọi a,b * Tính chất1 | a + b | |a| - |b| tương đương với b(a-b)<0 Thực hiện các bước sau 1) Đặt điều kiện néu có 2) Biến dổi phương trình về một trong 4 dạng trên 3) Giải 4) Kết luận 2) Bài tập áp dụng Bài1 gbpt | 2x2-3x+11| - | 2x2 -5x | < 2x + 1 tương đương với | 2x2-3x+11| - | 2x2 -5x | < | ( 2x2 -3x+11) – (2x2 – 5x ) | tương đương với ( 2x2 – 5x )( 2x+1) < 0 cho ta nghiệm x < - 1/2 , 0 < x < 5/2 tan x tan 2 x tan x tan x Bài 2 gbpt tan x tan x tan x tan x 1 tan x 1 tan x 1 tan x 1 x k tan 2 x tan x 0 Tương đương với 0 tan x 1 tan x 1 k x k 2 2 IV) Phương pháp dặt ẩn phụ 1) Cơ sở lý thuyết căn cứ vào đặc điểm bài toán có thẻ dặt ẩn phụ thích hợp đưa bát phương tình về dạng không còn chứa tuyệt đối 2) Bài tập áp dụng Bài 1 gbpt ( 2x-1)2 -3 |2x-1| +2 ≤ 0 đặt t = | 2x-1| t không âm ta có bpt sau T2 – 3t +2 ≤ 0 cho ta 1 ≤ t ≤ 2 1 1 1 2 2x 1 2 x x 0 2 2 2 2x 1 1 x 1 3 2x 1 1 1 x x 0 2 2 Bài2 gbpt x2 3x 1 0 đặt t = | x2 -3x +1| ≥ 0 ta có bpt x2 3x 1 1 2 t 0 t 2 t 2 0 2 t 1 x2 3x 1 1 1 x2 3x 1 1 t 1 x 2 x2 3x 2 0 0 x 1 x 1 2 x 3x 0 2 x 3 0 x 3 V) Phương pháp hàm số .Bài-giảng Pt- Hpt trang.7 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
8. 1) Cơ sở lý thuyêt dựa vào tính chất đơn điệu hàm số suy ra f(u) > f( v) khi và chỉ khi u>v nếu hàm số đó luôn đồng biến và ngược lại 2)Bài tập áp dụng : Bài1 gbpt 4| 2x-1| (x2 –x +1) > x3 -6x2 +15x -14 ta biến đổi | 2x-1| ( (2x-1)2 +3) > (x-2)2 +3x-6 tương đương | 2x-1| 3 +3 | 2x-1| > (x-2)3 +3(x-2) Xét hàm số f(t) = t3 +3t có đạo f ) = 3t2 +3 >0 với mọi t hàm số đồng biến nên f(| 2x-1| ) > f(x-2) khi và chỉ khi | 2x-1| > x-2 thỏa mãn với mọi x , vậy bất phương trình nghiệm đúng vói mọi x Bài2 gbpt x3 - | x2 -3x +2 | +6x +7 > 0 Xét hàm số f(x) = x3 - | x2 -3x +2 | +6x +7 có tập xác định R 2 x 1 3x 2x 9 voi Đạo hàm f ) = x 2 đạo hàm luôn dương với mọi x 2 3x 2x 3 voi 1 x 2 Hàm số luôn đồng biến mặt khác ta lại có f(1) =0 vậy dẻ f(x) > 0 khi x >1 là nghiệm của bài toán VI) Phương pháp đánh giá 1) Cơ sở lý thuyết • Dựa vào tam thức bậc hai • Dựa nvào các bất đẳng thức cơ bản Cô si, Bu nhi a • Tính chất giá trị tuyệt đối 2) Bài tập áp dụng Bài1: gbpt x x2 4 4 x x2 4 8 Tập xác dịnh với mọi x ≥ |2| Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho vế trái ta có VT 2 4 x x2 4 x x2 4 8 bằng vế phải vạy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ≥ |2| Bài2 gbpt điều kiện 0 ≤ x ≤ 1 Sử dụng bát dẳng thức Bu nhi a cho vé trái ta có ( x 1 x x 1 x)2 x2 (1 x)2 (1 x x) 2x2 2x 1 1 vp vi 0 x 1 Vậy bpt nghiệm đúng với mọi x 0,1 Phần III/ Rèn phản xạ theo tình huống mới và bài tập cập nhật:  .Bài-giảng Pt- Hpt trang.8 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng