Bài tập Hình học Lớp 11 - Bài 4: Phép đối xứng tâm

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 11 - Bài 4: Phép đối xứng tâm

1.  BÀI 4 PHÉP ĐỐI XỐNG TÂM 1. Định nghĩa Cho điểm I . Phép biến hình biến điểm I thành M' chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M ' sao I cho I là trung điểm của MM ' được gọi là phép đối M xứng tâm I . Điểm I được gọi là tâm đối xứng. Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là ÑI . / / Nếu hình H là ảnh của hình H qua ÑI thì ta còn nói H đối xứng với H qua tâm I , hay H và H / đối xứng với nhau qua I. uuur uur Từ đinh nghĩa suy ra M ' = ÑI (M)Û IM ' = - IM. 2. Biểu thức toạ độ ïì x ' = - x · Với O(0;0), ta có M ' x '; y' = Ñ éM x; y ù thì ï . ( ) O ëê ( )ûú í îï y ' = - y ïì x ' = 2a - x · Với I (a;b), ta có M ' x '; y' = Ñ éM x; y ù thì ï . ( ) I ëê ( )ûú í îï y ' = 2b - y 3. Tính chất Tính chất 1 uuuuuur uuuur Nếu ÑI (M)= M ' và ÑI (N)= N ' thì M ' N ' = - MN , từ đó suy ra M ' N ' = MN. M N I Tính chất 2 M' Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thànhN' đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính. A B A A C B O I I B' I C' O' A' A' B' A' 4. Tâm đối xứng của một hình Định nghĩa Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có tâm đối xứng. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Hình nào sau đây có tâm đối xứng? A. Hình thang. B. Hình tròn. C. Parabol. D. Tam giác bất kì. Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Tam giác đều có tâm đối xứng.B. Tứ giác có tâm đối xứng. C. Hình thang cân có tâm đối xứng.D. Hình bình hành có tâm đối xứng. Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. Câu 3. Hình nào sau đây không có tâm đối xứng? A. Hình vuông. B. Hình tròn. C. Hình tam giác đều. D. Hình thoi. Câu 4. Trong các hình sau đây, hình nào không có tâm đối xứng? A. Hình gồm một đường tròn và một hình chữ nhật nội tiếp. B. Hình gồm một đường tròn và một tam giác đều nội tiếp. C. Hình lục giác đều. D. Hình gồm một hình vuông và đường tròn nội tiếp. Câu 5. Trong các hình dưới đây hình nào không có tâm đối xứng ? A. Đường elip. B. Đường hypebol. C. Đường parabol.D. Đồ thị hàm số y = sin x. Câu 6. Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 7. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến một đường thẳng a cho trước thành chính nó? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 8. Cho hai đường thẳng song song d và d '. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thằng đó thành chính nó? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 9. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d '. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 10. Cho hai đường thẳng song song d và d '. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến d thành d '? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 11. Cho bốn đường thẳng a, b, a ', b ' trong đó a P a ' , b P b ' và a cắt b. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến các đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng a ' và b '? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 12. Hình nào sau đây vừa có tâm đối xứng, vừa có trục đối xứng? A. Hình bình hành.B. Hình bát giác đều. C. Hình ngũ giác đềuD. Hình tam giác đều. Câu 13. Hình nào sau đây có trục đối xứng nhưng không có tâm đối xứng? A. Hình bình hành.B. Hình bát giác đều. C. Đường thẳng.D. Hình tam giác đều. Câu 14. Hình nào sau đây có tâm đối xứng (một hình là một chữ cái in hoa): A. Q. B. P. C. N. D. E. Câu 15. Hình nào sau đây có trục đối xứng và đồng thời có tâm đối xứng? Hình 1 Hình 2 Hình 3 A. Hình 1 và Hình 2. B. Hình 1 và Hình 3. C. Hình 2 và Hình 3. D. Hình 1, Hình 2 và Hình 3. Câu 16. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Phép đối xứng tâm không có điểm nào biến thành chính nó. B. Phép đối xứng tâm có đúng một điểm biến thành chính nó. C. Có phép đối xứng tâm có hai điểm biến thành chính nó. D. Có phép đối xứng tâm có vô số điểm biến thành chính nó. Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. Câu 17. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. B. Nếu IM ' = IM thì ÑI (M)= M '. C. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho. D. Phép đối xứng tâm biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. Câu 18. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của tam giác ABD qua phép đối xúng tâm O. A. DADB. B. DDEA. C. DDCF. D. DEAD. Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm I (1;2) biến điểm M (x; y) thành M '(x '; y '). Mệnh đề nào sau đây là đúng? ïì x ' = - x + 2 ïì x ' = - x + 2 ïì x ' = - x + 2 ïì x ' = x + 2 A. íï . B. íï . C. íï . D. íï . îï y ' = - y - 2 îï y ' = - y + 4 îï y ' = - y - 4 îï y ' = y - 2 Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm O(0;0) biến điểm M (- 2;3) thành điểm M ' có tọa độ là: A. M '(- 4;2). B. M '(2;- 3). C. M '(- 2;3). D. M '(2;3). Câu 21. Phép đối xứng tâm I (a;b) biến điểm A(1;3) thành điểm A'(1;7). Tính tổng T = a + b . A. T = 4. B. T = 6. C. T = 7. D. T = 8. Câu 22. Phép đối xứng tâm O(0,0) biến điểm A(m;- m) thành điểm A' nằm trên đường thẳng x - y + 6 = 0. Tìm m . A. m = 3 . B. m = 4 . C. m = - 3 .D. m = - 4 . Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (2;1). Thực hiện liên tiếp phép đối xứng r qua tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ v = (1;2) biến điểm M thành điểm nào trong các điểm sau? A. A(1;3) . B. B(2;0) . C. C (0;2).D. D(- 1;1). Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng D : x + 2y - 3 = 0 và D ' : x - 2y - 7 = 0 . Qua phép đối xứng tâm I (1;- 3), điểm M trên đường thẳng D biến thành điểm N thuộc đường thẳng D '. Tính độ dài đoạn thẳng MN. A. MN = 12. B. MN = 13. C. MN = 2 37. D. MN = 4 5. Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng D : y + 2 = 0 và đường tròn (C ): x 2 + y2 = 13. Qua phép đối xứng tâm I (1;0) điểm M trên D biến thành điểm N trên (C ). Độ dài nhỏ nhất của đoạn MN bằng: A. 5. B. 6. C. 4 5. D. 4 2. Câu 26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình x = 2 . Trong bốn đường thẳng cho bởi các phương trình sau đường thẳng nào là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O ? A. x = - 2. B. y = 2. C. x = 2. D. y = - 2. Câu 27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : 3x - 2y - 1 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O có phương trình là: A. 3x + 2y + 1 = 0. B. - 3x + 2y - 1 = 0. C. 3x + 2y - 1 = 0. D. 3x - 2y - 1 = 0. Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x + y - 2 = 0. Tìm phương trình đường thẳng d ' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I (1;2). Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. A. x + y + 4 = 0. B. x + y - 4 = 0. C. x - y + 4 = 0. D. x - y - 4 = 0. ïì x = 2- 4t Câu 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng D : íï . Ảnh của đường thẳng îï y = 1+ t D qua phép đối xứng tâm I (- 2;2) có phương trình là: A. x + 4 y - 5 = 0. B. x + 4 y - 6 = 0. C. 4x - y + 1 = 0. D. 4x - y - 1 = 0. Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x - y + 4 = 0. Hỏi trong bốn đường thẳng cho bởi các phương trình sau đường thẳng nào có thể biến thành d qua một phép đối xứng tâm? A. 2x + y - 4 = 0. B. x + y - 1 = 0. C. 2x - 2y + 1 = 0. D. 2x + 2y - 3 = 0. Câu 31. Ảnh của đường thẳng D : x - y - 4 = 0 qua phép đối xứng tâm I (a;b) là đường 2 2 thẳng D ' : x - y + 2 = 0 . Tính giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = a + b . 2 1 1 A. Pmin = 2. B. Pmin = . C. Pmin = . D. Pmin = . 2 2 2 Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C ') là ảnh của đường 2 2 tròn (C ): (x - 3) + (y + 1) = 9 qua phép đối xứng tâm O(0;0). 2 2 2 2 A. (C '):(x - 3) + (y + 1) = 9. B. (C '):(x + 3) + (y + 1) = 9. 2 2 2 2 C. (C '):(x - 3) + (y - 1) = 9. D. (C '):(x + 3) + (y - 1) = 9. Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C ') là ảnh của đường tròn (C ): x 2 + y2 = 1 qua phép đối xứng tâm I (1;0). 2 2 A. (C '):(x - 2) + y2 = 1. B. (C '):(x + 2) + y2 = 1. 2 2 C. (C '): x 2 + (y + 2) = 1. D. (C '): x 2 + (y - 2) = 1. 2 2 Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ):(x - 1) + (y - 3) = 16. Giả sử phép đối xứng tâm I biến điểm A(1;3) thành điểm B(a;b). Tìm phương trình của đường tròn (C ') là ảnh của đường tròn (C ) qua phép đối xứng tâm I. 2 2 2 2 A. (C '):(x - a) + (y - b) = 1. B. (C '):(x - a) + (y - b) = 4. 2 2 2 2 C. (C '):(x - a) + (y - b) = 9. D.(C '):(x - a) + (y - b) = 16. Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C ) và (C ') có phương trình lần lượt là x 2 + y2 - 4x - 4 y + 7 = 0 và x 2 + y2 - 12x - 8y + 51 = 0 . Xét phép đối xứng tâm I biến (C ) và (C '). Tìm tọa độ tâm I. A. I (2;3). B. I (1;0). C. I (8;6). D. I (4;3). Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y2 = x . Viết phương trình parabol (P ') là ảnh của parabol (P) qua phép đối xứng tâm I (1;0). A. (P '): y2 = x - 2. B. (P '): y2 = - x + 2. C. (P '): y2 = - x - 2. D. (P '): y2 = x + 2. x 2 y2 Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E) có phương trình + = 1. Viết 4 1 phương trình elip (E ') là ảnh của elip (E) qua phép đối xứng tâm I (1;0). 2 2 (x - 1) y2 (x - 2) y2 A. (E '): + = 1. B. (E '): + = 1. 4 1 4 1 Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
5. 2 2 (x + 1) y2 (x + 2) y2 C. (E '): + = 1. D. (E '): + = 1. 4 1 4 1 Câu 38. Cho tam giác ABC không cân. Hai điểm M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC . Gọi O là trung điểm của MN . Điểm A¢ đối xứng với A qua O . Tìm mệnh đề sai. A. AMA¢N là hình bình hành. B. BMNA¢ là hình bình hành. C. B,C đối xứng với nhau qua A¢. D. BMNA¢là hình thoi. Câu 39. Cho hình bình hành ABCD ( ABCD không là hình thoi). Trên đường chéo BD lấy hai điểm M , N sao cho BM = MN = ND . Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của AN và CD ; CM và AB . Tìm mệnh đề sai. A. P và Q đối xứng qua O . B. M và N đối xứng qua O . C. M là trọng tâm tam giác ABC . D. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Câu 40. Cho tam giác ABC có A, B cố định; điểm C di động trên đường thẳng d . Dựng hình bình hành AMBC . Quỹ tích điểm M là: A. ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm A. B. ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm B. C. ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I với I là trung điểm AB. D. ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I với I là trung điểm AC. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Hình nào sau đây có tâm đối xứng? A. Hình thang. B. Hình tròn. C. Parabol. D. Tam giác bất kì. Lời giải. Chọn B. Tâm đối xứng của hình tròn là tâm của hình tròn đó. Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Tam giác đều có tâm đối xứng.B. Tứ giác có tâm đối xứng. C. Hình thang cân có tâm đối xứng.D. Hình bình hành có tâm đối xứng. Lời giải. Chọn D. Tâm đối xứng của hình hình bình hành là giao điểm của hai đường chéo. Câu 3. Hình nào sau đây không có tâm đối xứng? A. Hình vuông. B. Hình tròn. C. Hình tam giác đều. D. Hình thoi. Lời giải. Chọn C. (Hình vuông và hình thoi có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo). Câu 4. Trong các hình sau đây, hình nào không có tâm đối xứng? A. Hình gồm một đường tròn và một hình chữ nhật nội tiếp. B. Hình gồm một đường tròn và một tam giác đều nội tiếp. C. Hình lục giác đều. D. Hình gồm một hình vuông và đường tròn nội tiếp. Lời giải. Chọn B. Vì tam giác đều không có tâm đối xứng. Câu 5. Trong các hình dưới đây hình nào không có tâm đối xứng ? A. Đường elip. B. Đường hypebol. C. Đường parabol.D. Đồ thị hàm số y = sin x. Lời giải. Chọn C. Câu 6. Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. Chọn B. Có một tâm đối xứng chính là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai đường tròn. Câu 7. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến một đường thẳng a cho trước thành chính nó? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. Chọn D. Tâm đối xứng là điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng a . Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
6. Câu 8. Cho hai đường thẳng song song d và d '. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thằng đó thành chính nó? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. Tâm đối xứng phải nằm trên cả d và d ' nên không có. Chọn A. Câu 9. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d '. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. Chọn B. Tâm đối xứng là giao điểm của d và d ' . Câu 10. Cho hai đường thẳng song song d và d '. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến d thành d '? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. Chọn D. Tâm đối xứng là các điểm cách đều d và d ' . Câu 11. Cho bốn đường thẳng a, b, a ', b ' trong đó a P a ' , b P b ' và a cắt b. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến các đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng a ' và b '? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. Chọn B. Đó là phép đối xứng qua tâm hình bình hành tạo thành bởi bốn đường thẳng đã cho. Câu 12. Hình nào sau đây vừa có tâm đối xứng, vừa có trục đối xứng? A. Hình bình hành.B. Hình bát giác đều. C. Hình ngũ giác đềuD. Hình tam giác đều. Lời giải. Chọn B. Câu 13. Hình nào sau đây có trục đối xứng nhưng không có tâm đối xứng? A. Hình bình hành.B. Hình bát giác đều. C. Đường thẳng.D. Hình tam giác đều. Lời giải. Chọn D. Câu 14. Hình nào sau đây có tâm đối xứng (một hình là một chữ cái in hoa): A. Q. B. P. C. N. D. E. Lời giải. Chọn C. Câu 15. Hình nào sau đây có trục đối xứng và đồng thời có tâm đối xứng? Hình 1 Hình 2 Hình 3 A. Hình 1 và Hình 2. B. Hình 1 và Hình 3. C. Hình 2 và Hình 3. D. Hình 1, Hình 2 và Hình 3. Lời giải. Chọn C. Câu 16. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Phép đối xứng tâm không có điểm nào biến thành chính nó. B. Phép đối xứng tâm có đúng một điểm biến thành chính nó. C. Có phép đối xứng tâm có hai điểm biến thành chính nó. D. Có phép đối xứng tâm có vô số điểm biến thành chính nó. Lời giải. Chọn B. Điểm đó là tâm đối xứng. Câu 17. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. B. Nếu IM ' = IM thì ÑI (M)= M '. C. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho. Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
7. D. Phép đối xứng tâm biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. Lời giải. Chọn B. B là mệnh đề sai vì: Giả sử tam giác IMM ' là tam giác cân tại I nên IM ' = IM nhưng I, M , M ' không thẳng hàng nên M ' không phải là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I. Câu 18. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của tam giác ABD qua phép đối xúng tâm O. A. DADB. B. DDEA. C. DDCF. D. DEAD. Lời giải. Phép đối xứng tâm O biến điểm A thành điểm A D Phép đối xứng tâm O biến điểm B thành điểm E B F Phép đối xứng tâm O biến điểm D thành điểm A Vậy ảnh của tam giác qua phép đối xúng tâm là ABD O O tam giác DEA. Chọn B. C E D Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm I (1;2) biến điểm M (x; y) thành M '(x '; y '). Mệnh đề nào sau đây là đúng? ïì x ' = - x + 2 ïì x ' = - x + 2 ïì x ' = - x + 2 ïì x ' = x + 2 A. íï . B. íï . C. íï . D. íï . îï y ' = - y - 2 îï y ' = - y + 4 îï y ' = - y - 4 îï y ' = y - 2 uuuur uuur Lời giải. Ta có IM ' = (x '- 1; y '- 2), IM = (x - 1; y - 2). ì uuuur uuur ï x '- 1 = - (x - 1) ïì x ' = - x + 2 Vì Ñ M = M ' Û IM ' = - IM Û í Û íï . Chọn B. I ( ) ï ï îï y '- 2 = - (y - 2) îï y ' = - y + 4 Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm O(0;0) biến điểm M (- 2;3) thành điểm M ' có tọa độ là: A. M '(- 4;2). B. M '(2;- 3). C. M '(- 2;3). D. M '(2;3). ïì x ' = - x Lời giải. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O(0;0) là íï Þ M '(2;- 3). îï y ' = - y Chọn B. Câu 21. Phép đối xứng tâm I (a;b) biến điểm A(1;3) thành điểm A'(1;7). Tính tổng T = a + b . A. T = 4. B. T = 6. C. T = 7. D. T = 8. ïì 1+ 1 ï a = = 1 ï 2 Lời giải. Từ giả thiết, suy ra I là trung điểm của AA' Þ íï Þ T = 6. ï 3+ 7 ï b = = 5 îï 2 Chọn B. Câu 22. Phép đối xứng tâm O(0,0) biến điểm A(m;- m) thành điểm A' nằm trên đường thẳng x - y + 6 = 0. Tìm m . A. m = 3 . B. m = 4 . C. m = - 3 .D. m = - 4 . Ñ Lời giải. Ta có A(m;- m)¾ ¾O ® A'(- m;m). Do A' nằm trên đường thẳng x - y + 6 = 0 nên - m - m + 6 = 0 Û m = 3. Chọn A. Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (2;1). Thực hiện liên tiếp phép đối xứng r qua tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ v = (1;2) biến điểm M thành điểm nào trong các điểm sau? Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
8. A. A(1;3) . B. B(2;0) . C. C (0;2).D. D(- 1;1). Lời giải. Phép đối xứng tâm O(0;0) biến điểm M (2;1) thành điểm M '(- 2;- 1). r Phép tịnh tiến theo vectơ v = (1;2) biến điểm M ' thành điểm M " uuuuuuur r Þ M ' M " = v Þ M "(- 1;1)º D. Chọn D. Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng D : x + 2y - 3 = 0 và D ' : x - 2y - 7 = 0 . Qua phép đối xứng tâm I (1;- 3), điểm M trên đường thẳng D biến thành điểm N thuộc đường thẳng D '. Tính độ dài đoạn thẳng MN. A. MN = 12. B. MN = 13. C. MN = 2 37. D. MN = 4 5. Lời giải. Lấy điểm M (3- 2m;m) thuộc D. Gọi N là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I (1;- 3)¾ ¾® N (2m - 1;- 6- m). Vì N Î D ' nên (2m - 1)- 2(- 6- m)- 7 = 0 Û m = - 1. Với m = - 1 ¾ ¾® M (5;- 1), N (- 3;- 5)¾ ¾® MN = 4 5. Chọn D. Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng D : y + 2 = 0 và đường tròn (C ): x 2 + y2 = 13. Qua phép đối xứng tâm I (1;0) điểm M trên D biến thành điểm N trên (C ). Độ dài nhỏ nhất của đoạn MN bằng: A. 5. B. 6. C. 4 5. D. 4 2. Lời giải. Lấy điểm M (m;- 2) thuộc D. Gọi N là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I (1;0)¾ ¾® N (2- m;2). 2 ém = - 1 Vì N Î C nên 2- m + 22 = 13 Û ê . ( ) ( ) ê ëm = 5 Với m = - 1 Þ M (- 1;- 2),N (3;2)¾ ¾® MN = 4 2. Với m = 5 Þ M (5;- 2),N (- 3;2)¾ ¾® MN = 4 5 . Chọn D. Câu 26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình x = 2 . Trong bốn đường thẳng cho bởi các phương trình sau đường thẳng nào là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O ? A. x = - 2. B. y = 2. C. x = 2. D. y = - 2. ïì x ' = - x Lời giải. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O là íï . Thay vào phương trình îï y ' = - y đường thẳng d , ta được - x ' = 2 Û x ' = - 2. Chọn A. Câu 27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : 3x - 2y - 1 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O có phương trình là: A. 3x + 2y + 1 = 0. B. - 3x + 2y - 1 = 0. C. 3x + 2y - 1 = 0. D. 3x - 2y - 1 = 0. ïì x ' = - x Lời giải. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O là íï . Thay vào phương trình îï y ' = - y đường thẳng d , ta được 3(- x ')- 2(- y ')- 1 = 0 Û - 3x '+ 2y '- 1 = 0. Chọn B. Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x + y - 2 = 0. Tìm phương trình đường thẳng d ' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I (1;2). A. x + y + 4 = 0. B. x + y - 4 = 0. C. x - y + 4 = 0. D. x - y - 4 = 0. Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
9. Lời giải. Qua phép đối xứng tâm đường thẳng biến thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên suy ra d ' : x + y + c = 0. uuur uur ïì IA' = - IA Chọn A(1;1) thuộc d . Ta có Ñ A = A' x; y Û íï . I ( ) ( ) ï îï A' Î d ' uuur uur Từ IA' = - IA ¾ ¾® A'(1;3) thay vào d ' ta được 1+ 3+ c = 0 Û c = - 4 ¾ ¾® d ' : x + y - 4 = 0 . Chọn B. ïì x ' = 2a - x ïì x = 2- x ' Cách 2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I (a;b) là íï Þ íï . îï y ' = 2b - y îï y = 4 - y ' Thay vào phương trình đường thẳng d ta được (2- x ')+ (4 - y ')- 2 = 0 Û x '+ y '- 4 = 0. ïì x = 2- 4t Câu 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng D : íï . Ảnh của đường thẳng îï y = 1+ t D qua phép đối xứng tâm I (- 2;2) có phương trình là: A. x + 4 y - 5 = 0. B. x + 4 y - 6 = 0. C. 4x - y + 1 = 0. D. 4x - y - 1 = 0. Lời giải. Đường thẳng D có phương trình tổng quát là x + 4 y - 6 = 0. ïì x ' = 2a - x ïì x = - 4 - x ' Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I (a;b) là íï Þ íï . îï y ' = 2b - y îï y = 4 - y ' Thay vào phương trình đường thẳng d ta được (- 4 - x ')+ 4(4 - y ')- 6 = 0 Û x '+ 4 y '- 6 = 0 . Chọn B. Cách 2. Nhận thấy I (- 2;2)Î D nên ảnh của đường thẳng D qua phép đối xứng tâm I trùng với chính nó. Vậy ảnh của đường thẳng D qua phép đối xứng tâm I (- 2;2) có phương trình là: x + 4 y - 6 = 0 . Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x - y + 4 = 0. Hỏi trong bốn đường thẳng cho bởi các phương trình sau đường thẳng nào có thể biến thành d qua một phép đối xứng tâm? A. 2x + y - 4 = 0. B. x + y - 1 = 0. C. 2x - 2y + 1 = 0. D. 2x + 2y - 3 = 0. Lời giải. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng nó. Do đó chỉ có đáp án C thỏa mãn. Chọn C. Câu 31. Ảnh của đường thẳng D : x - y - 4 = 0 qua phép đối xứng tâm I (a;b) là đường 2 2 thẳng D ' : x - y + 2 = 0 . Tính giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = a + b . 2 1 1 A. Pmin = 2. B. Pmin = . C. Pmin = . D. Pmin = . 2 2 2 Lời giải. Chọn M (4;0)Î D . Điểm đối xứng của M qua tâm I (a;b) là điểm M '(2a - 4;2b). Điểm M ' Î D ' nên (2a - 4)- 2b + 2 = 0 Û a - b = 1 Û a = b + 1. 2 2 2 2 2 2 æ 1ö 1 1 Khi đó P = a + b = (b + 1) + b = 2b + 2b + 1 = 2çb + ÷ + ³ . èç 2ø÷ 2 2 1 1 1 Dấu '' = '' xảy ra Û b = - ¾ ¾® a = . Vậy P = . Chọn C. 2 2 min 2 Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C ') là ảnh của đường 2 2 tròn (C ): (x - 3) + (y + 1) = 9 qua phép đối xứng tâm O(0;0). Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
10. 2 2 2 2 A. (C '):(x - 3) + (y + 1) = 9. B. (C '):(x + 3) + (y + 1) = 9. 2 2 2 2 C. (C '):(x - 3) + (y - 1) = 9. D. (C '):(x + 3) + (y - 1) = 9. Lời giải. Đường tròn (C ) có tâm I (3;- 1), bán kính R = 3. Gọi I ' là điểm đối xứng của I (3;- 1) qua tâm O(0;0), suy ra I '(- 3;1). Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách nên R ' = R = 3. 2 2 Vậy đường tròn (C ') có tâm I '(- 3;1). , bán kính R ' = 3 nên (C '):(x + 3) + (y - 1) = 9. Chọn D. ïì x ' = - x ïì x = - x ' Cách 2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O(0;0) là íï Þ íï . îï y ' = - y îï y = - y ' 2 2 2 2 Thay vào (C ) ta được (- x '- 3) + (- y '+ 1) = 9 Û (x '+ 3) + (y '- 1) = 9. Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C ') là ảnh của đường tròn (C ): x 2 + y2 = 1 qua phép đối xứng tâm I (1;0). 2 2 A. (C '):(x - 2) + y2 = 1. B. (C '):(x + 2) + y2 = 1. 2 2 C. (C '): x 2 + (y + 2) = 1. D. (C '): x 2 + (y - 2) = 1. ïì x ' = 2a - x = 2- x Lời giải. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I (a;b) là íï îï y ' = 2b - y = - y ïì x = 2- x ' 2 2 2 Þ íï . Thay vào (C ) ta được (2- x ') + (- y ') = 1 Û (x '- 2) + y '2 = 1. îï y = - y ' Chọn A. 2 2 Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ):(x - 1) + (y - 3) = 16. Giả sử phép đối xứng tâm I biến điểm A(1;3) thành điểm B(a;b). Tìm phương trình của đường tròn (C ') là ảnh của đường tròn (C ) qua phép đối xứng tâm I. 2 2 2 2 A. (C '):(x - a) + (y - b) = 1. B. (C '):(x - a) + (y - b) = 4. 2 2 2 2 C. (C '):(x - a) + (y - b) = 9. D.(C '):(x - a) + (y - b) = 16. Lời giải. Theo giả thiết điểm A(1;3) biến thành thành điểm B(a;b) qua phép đối xứng tâm I ïì 2x = x + x = a + 1 nên ta có íï I A B . ï îï 2yI = yA + yB = b + 3 ïì x ' = 2x - x = a + 1- x ïì x = a + 1- x ' Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I là íï I Þ íï . ï ï îï y ' = 2yI - y = b + 3- y îï y = b + 3- y ' 2 2 2 2 Thay vào (C ) ta được (a - x ') + (b - y ') = 16 Û (x '- a) + (y '- b) = 16. Chọn D. Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C ) và (C ') có phương trình lần lượt là x 2 + y2 - 4x - 4 y + 7 = 0 và x 2 + y2 - 12x - 8y + 51 = 0 . Xét phép đối xứng tâm I biến (C ) và (C '). Tìm tọa độ tâm I. A. I (2;3). B. I (1;0). C. I (8;6). D. I (4;3). Lời giải. Đường tròn (C ) có tâm K (2;2). Đường tròn (C ') có tâm K '(6;4). Tọa độ tâm đối xứng I là trung điểm của KK ' nên suy ra I (4;3). Chọn D. Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y2 = x . Viết phương trình parabol (P ') là ảnh của parabol (P) qua phép đối xứng tâm I (1;0). Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
11. A. (P '): y2 = x - 2. B. (P '): y2 = - x + 2. C. (P '): y2 = - x - 2. D. (P '): y2 = x + 2. ïì x ' = 2a - x = 2- x Lời giải. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I (a;b) là íï îï y ' = 2b - y = - y ïì x = 2- x ' 2 2 Þ íï . Thay vào (P) ta được (- y ') = 2- x ' Û (y ') = - x '+ 2. Chọn B. îï y = - y ' x 2 y2 Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E) có phương trình + = 1. Viết 4 1 phương trình elip (E ') là ảnh của elip (E) qua phép đối xứng tâm I (1;0). 2 2 (x - 1) y2 (x - 2) y2 A. (E '): + = 1. B. (E '): + = 1. 4 1 4 1 2 2 (x + 1) y2 (x + 2) y2 C. (E '): + = 1. D. (E '): + = 1. 4 1 4 1 ïì x ' = 2a - x = 2- x Lời giải. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I (a;b) là íï îï y ' = 2b - y = - y 2 2 2 2 ïì x = 2- x ' (2- x ') (- y ') (x '- 2) (- y ') Þ íï . Thay vào (E) ta được + = 1 Û + = 1. îï y = - y ' 4 1 4 1 Chọn B. Câu 38. Cho tam giác ABC không cân. Hai điểm M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC . Gọi O là trung điểm của MN . Điểm A¢ đối xứng với A qua O . Tìm mệnh đề sai. A. AMA¢N là hình bình hành. B. BMNA¢ là hình bình hành. C. B,C đối xứng với nhau qua A¢. D. BMNA¢là hình thoi. Lời giải. Chọn D. A¢ đối xứng với A qua O Þ O là trung điểm AA¢. A ïì BA¢P MN MO là đường trung bình của DAA¢B Þ ï . í N îï BA¢= 2MO M O ïì CA¢P MN NO là đường trung bình của DAA¢C Þ íï . îï CA¢= 2MO B A' C Þ B, A¢,C thẳng hàng Þ A¢ là trung điểm BC . Do O đồng thời là trung điểm của MN và AA¢ nên AMA¢N là hình bình hành. Do BA¢= MN và BA¢P MN ( MN là đường trung bình của DABC ) nên BMNA¢ là hình bình hành. Do A¢ là trung điểm BC nên B, C đối xứng với nhau qua A¢. Không đủ điều kiện kết luận BMNA¢là hình thoi. Câu 39. Cho hình bình hành ABCD ( ABCD không là hình thoi). Trên đường chéo BD lấy hai điểm M , N sao cho BM = MN = ND . Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của AN và CD ; CM và AB . Tìm mệnh đề sai. A. P và Q đối xứng qua O . B. M và N đối xứng qua O . C. M là trọng tâm tam giác ABC . D. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Lời giải. Chọn D. Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
12. 2 Từ giả thiết suy ra DN = DO , mà O là trung điểm A Q B 3 AC Þ N là trọng tâm DACD . N M Mà AN cắt CD tại P Þ P là trung điểm CD . O Tương tự, ta có: Q là trung điểm AB . D P C  Do AQ P PC và AQ = PC Þ AQCP là hình bình hành Þ O là trung điểm của PQ Þ P và Q đối xứng qua O . 1  Do MO = NO = BD Þ O là trung điểm MN Þ M và N đối xứng qua O . 6  Chứng minh tương tự Þ M là trọng tâm tam giác ABC.  Tam giác ABC không phải là tam giác đều nên không đủ kết luận M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Câu 40. Cho tam giác ABC có A, B cố định; điểm C di động trên đường thẳng d . Dựng hình bình hành AMBC . Quỹ tích điểm M là: A. ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm A. B. ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm B. C. ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I với I là trung điểm AB. D. ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I với I là trung điểm AC. Lời giải. M là ảnh của C qua phép đối xứng d' d tâm I với I là trung điểm AB . M A Mà C di động trên đường thẳng d nên quỹ tích điểm M là ảnh của đường thẳng d qua I phép đối xứng tâm I. Chọn C. B C Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất