Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 5: Đạo hàm - Vấn đề 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc của tiếp tuyến

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 5: Đạo hàm - Vấn đề 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc của tiếp tuyến

1. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. MỤC LỤC Vấn đề 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc của tiếp tuyến 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 10 1
2. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Vấn đề 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc của tiếp tuyến. Phương pháp: Giải phương trình f '(x) k giải phương trình này ta tìm được các nghiệm x1 ,x2 , ,xn . Phương trình tiếp tuyến: y f '(xi )(x xi ) f (xi ) (i 1,2, ,n) . Chú ý: Đối với bài toán này ta cần lưu ý một số vấn đề sau: Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình : f '(x) k . Cho hai đường thẳng d1 : y k1x b1 và d2 : y k2 x b2 . Khi đó k1 k2 · i) tan , trong đó (d1 ,d2 ) . 1 k1.k2 k1 k2 ii) d1 / /d2 b1 b2 iii) d1  d2 k1.k2 1 . OB Nếu đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thì tanO· AB , trong đó hệ OA số góc của d được xác định bởi y' x tanO· AB 2x 1 Ví dụ 1 : Cho hàm số y có đồ thị (C) x 1 1. Giải bất phương trình y' 4 ; 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B mà OA 4OB . Lời giải: 1 1. Ta có y' . (x 1)2 2
3. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 1 1 1 3 1 (x 1)2 x 1 x Bất phương trình y' 4 4 4 2 2 2 (x 1)2 x 1 x 1 x 1 2. Cách 1: OB 1 1 1 Ta có tanO· AB nên hệ số góc của tiếp tuyến k hoặc k . OA 4 4 4 1 1 Nhưng do y' 0,x 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k . (x 1)2 4 1 1 x 3 Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình 2 . (x 1) 4 x 1 1 5 1 13 Từ đó ta xác định được hai tiếp tuyến thỏa mãn: y x ; y x 4 4 4 4 Cách 2: 2x0 1 Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M x0 ; (x0 1) là: x0 1 1 2x 1 x 2x2 2x 1 0 0 0 y 2 (x x0 ) hay y 2 2 (x0 1) x0 1 (x0 1) (x0 1) Ta xác định được tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ: 2x2 2x 1 A(2x2 2x 1;0),B 0; 0 0 0 0 2 (x0 1) 2 2 2x 2x 1 2 x 3 Từ giả thiết OA 4OB , ta có: 2x 2x 1 4 0 0 (x 1) 4 0 0 0 2 0 (x0 1) x0 1 Cách 3: Giả sử A(a;0),B(0;b) với ab 0 . b 1 Với giả thiết OA 4OB a 4 b a 4b a 4 x y b Đường thẳng đi qua hai điểm A, B có dạng : 1 hay : y x b a b a b Đường : y x b tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x khi và chỉ khi hệ sau có a 0 1 b 2 (*) (x 1) a b b 1 nghiệm x : 0 (I). Từ (*) suy ra 0 . 0 2x 1 b a a 4 0 x b ( ) 0 x0 1 a 3
4. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 1 1 x 3 0 13 2 4 b (x0 1) x0 1 4 Hệ (I) trở thành 2x0 1 1 2x 1 1 5 x b b 0 x b x 1 4 0 4 0 x0 1 4 1 5 1 13 Do vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn: y x ; y x 4 4 4 4 x2 2mx m 1 Ví dụ 2 Gọi (C) là đồ thị của hàm số y , m là tham số khác 0 và khác x m 3 1.Chứng minh rằng nếu (C) cắt Ox tại điểm M có hoành độ x0 thì hệ số góc của tiếp tuyến 2x 2m của (C) tại M là : k 0 x0 m 2.Tìm m để (C) cắt Ox tại hai điểm và hai tiếp tuyến của (C) tại hai điêm đó vuông góc với nhau. Lời giải: 3m2 m 1. Ta có y x 3m x m 1 Khi m 0 và m thì đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu do đó đồ thị hàm số 3 không suy biến thành đường thẳng. Hệ số góc của tiếp tuyến (d) của (C) tại M là (2x 2m)(x m) (x2 2mx m) 0 0 0 0 k y'(x0 ) 2 . (x0 m) 2 x0 2mx0 m 2 Vì M thuộc Ox nên y(x0 ) 0 x0 2mx0 m 0 . x0 m (2x 2m)(x m) 2x 2m 0 0 0 k 2 (đpcm). (x0 m) x0 m 2.Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox x2 2mx m x m 0 2 x m g(x) x 2mx m 0 (1) (C) cắt Ox tại hai điểm phân biệt M,N (1) có hai nghiệm x1, x2 khác – m . m 0  m 1 ' m2 m 0 m 0  m 1 2 1 . (*) g( m) 0 3m m 0 m 3 Khi đó hệ số góc của hai tiếp tuyến của (C) tại M, N là 4
5. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 2x1 2m 2x2 2m k1 , k2 . x1 m x2 m Hai tiếp tuyến này vuông góc k1.k2 1 2x 2m 2x 2m 1 2 1 x1 m x2 m 2 2 4[x1x2 m(x1 x2 ) m ] x1x2 m(x1 x2 ) m (2) 2 Lại có x1 x2 2m , x1.x2 m Do đó : (2) m 5m 0 m 0  m 5 . So với điều kiện (*) nhận m = 5. x Ví dụ 3 : Cho hàm số y có đồ thị là (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp x 1 tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua điểm M và điểm I 1;1 . Lời giải: x0 Với x0 1, tiếp tuyến (d) với (C) tại M x0 ; có phương trình : x0 1 1 x 1 x2 0 0 y 2 (x x0 ) 2 x y 2 0 (x0 1) x0 1 (x0 1) (x0 1) 1  1 (d) có vec tơ chỉ phương u 1; , IM x 1; 2 0 (x0 1) x0 1 Để (d) vuông góc IM điều kiện là :  1 1 x 0 u.IM 0 1.(x 1) 0 0 0 2 (x0 1) x0 1 x0 2 Với x0 0 , ta được M 0;0 Với x0 2 , ta được M 2; 2 Vậy, M 0;0 và M 2; 2 là tọa độ cần tìm. Ví dụ 4 : Cho hàm số y x3 3x2 9x 5 có đồ thị là (C). Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Lời giải: Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2 6x 9 . 3 2 Gọi M(x0 ; y0 ) (C) y0 x0 3x0 9x0 5 . 5
6. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 2 2 Tiếp tuyến tại điểm M có hệ số góc: k y'(x0 ) 3x0 6x0 9 3(x0 1) 12 12 mink 12, đạt được khi: x0 1 y0 16. Vậy trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tiếp tuyến tại M 1;16 . có hệ số góc nhỏ nhất và có phương trình là: y 12x + 4 Ví dụ 5. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y 2x3 6x2 5 . 1. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm A thuộc (C) có hoành độ x 3 . Tìm giao điểm khác A của (d) và (C). 2. Xác định tham số a để tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của (C) có hệ số góc là a. 3. Chứng minh rằng chỉ có duy nhất một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm có hoành độ thỏa mãn phương trình y'' 0 của (C). Lời giải: 1. Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm A: y y'(3)(x 3) y(3) 18x 49 . Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): 2x3 6x2 5 18x 49 2x3 6x2 18x 54 0 x 3  x 3 Suy ra giao điểm của (d) và (C) khác A là B 3;103 . 2. Tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của (C) có hệ số góc là a x0 ¡ , y'(x0 ) a 2 x0 : 6x0 12x0 a . Bài toán quy về :Tìm a để phương trình - 6x2 +12x = a (1) có nghiệm. (1) 6x2 – 12x + a = 0 . (1) có nghiệm ' 36 6a 0 a 6. Vậy a 6. 3. Từ giả thiết, suy ra hoành độ phương trình y'' 0 x 1 I 1; 1 . Phương trình tiếp tuyến (D) của (C) đi qua I 1; 1 .có dạng : y k x – 1 – 1. 2x3 6x2 5 k(x 1) 1 (1) (D) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x 0 0 0 có nghiệm x . 0 2 0 6x0 12x0 k (2) Thay (2) vào (1) ta được 3 2 2 3 2x0 6x0 5 ( 6x0 12x0 )(x0 1) 1 (x0 1) 0 x0 1 Suy ra phương trình d : y 6x – 7 6
7. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 2 5 Ví dụ 6 : Cho hàm số y x3 (m 1)x2 (3m 2)x có đồ thị là (C). Tìm m để trên 3 3 (C) có hai điểm phân biệt M1(x1 ; y1 ), M2 (x2 ; y2 ) thỏa mãn x1.x2 0 và tiếp tuyến của (C) tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x 3y 1 0. Lời giải: Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' 2x2 2(m 1)x 3m 2 . 1 Hệ số góc của d : x 3y 1 0 là k . d 3 Tiếp tuyến tại điểm M1(x1 ; y1 ), M2 (x2 ; y2 ) vuông góc với d thì phải có: y' 3 Trong đó x1 , x2 là các nghiệm của phương trình: 2x2 2(m 1)x 3m 2 3 2x2 2(m 1)x 3m 1 0 (1) Yêu cầu bài toán phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 0 ' (m 1)2 2(3m 1) 0 m 3 3m 1 1 0 1 m . 2 3 1 Vậy, m 3 hoặc 1 m thỏa mãn bài toán. 3 Ví dụ 7 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C : y x3 6x2 9x 2 tại điểm M, biết M cùng 2 điểm cực trị của C tạo thành tam giác có diện tích bằng 6. Lời giải: Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A 1; 2 , B 3; 2 và đường thẳng đi qua 2 cực trị là AB : 2x y 4 0 . Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của đồ thị C của hàm số và tiếp tuyến d cần tìm. 3 2 Khi đó y0 x0 6x0 9x0 2 2x y 4 Ta có: AB 2 5 , d M; AB 0 0 5 1 Giả thiết S 6 .AB.d M; AB 6 2x y 4 6 MAB 2 0 0 2x0 y0 10 hoặc 2x0 y0 2 7
8. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 2x y 2 y0 2 2x0 y 2 TH1: Tọa độ M thỏa mãn hệ: 0 0 0 3 2 x x2 6x 11 0 x 0 y0 x0 6x0 9x0 2 0 0 0 0 hay M 0; 2 Tiếp tuyến tại M là: y 9x 2 . 2x0 y0 10 TH2: Tọa độ M thỏa mãn hệ: 3 2 y0 x0 6x0 9x0 2 y0 10 2x0 y 2 0 hay M 4; 2 x 4 x2 6x 11 0 x 4 0 0 0 0 Tiếp tuyến tại M là: y 9x 34 . Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y 9x 2 và y 9x 34 x 1 Ví dụ 8 : Cho hàm số y có đồ thị là (C). Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp 2(x 1) tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0. Lời giải: Hàm số đã cho xác định D ¡ \ 1 x0 1 Gọi M( x0 ; ) (C) là điểm cần tìm. 2(x0 1) Gọi tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình : x 1 1 x 1 y f ' (x )(x x ) 0 y (x x ) 0 0 0 2(x 1) 2 0 2(x 1) 0 x0 1 0 x2 2x 1 x2 2x 1 Gọi A Ox A 0 0 ;0 , B Oy B 0; 0 0 . 2 2 2(x0 1) x2 2x 1 x2 2x 1 OAB có trọng tâm là: G( 0 0 ; 0 0 . 2 6 6(x0 1) x2 2x 1 x2 2x 1 0 0 0 0 Do G thuộc đường thẳng: 4x + y = 0 4. 2 0 6 6(x0 1) 8
9. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 1 1 x 1 x 1 0 0 2 2 2 4 2 (vì A, B O nên x0 2x0 1 0 ) 1 3 x0 1 x 1 x 0 2 0 2 1 1 3 Với x0 M ; 2 2 2 3 3 5 Với x0 M ; . 2 2 2 Ví dụ 9 : 1. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị y x3 3x2 m tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại A và B sao cho diện tích tam giác OAB có diện tích bằng 1,5 4 2 2. Tìm các giá trị dương của m để Cm : y x 3 m 1 x 3m 2 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ lớn nhất cùng với 2 trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 24 . Lời giải: 1. x 1 y 1 m 2 suy ra M 1; m 2 . Tiếp tuyến tại M là d : y 3x m 2 . m 2 d cắt Ox tại A nên A xA ;0 và A d suy ra A ;0 3 d cắt Oy tại B nên B 0; yB và B d suy ra B 0; m 2 1 3 Diện tích tam giác OAB có diện tích bằng 1,5 khi và chỉ khi . OA . OB hay 2 2 m 2 2 OA . OB 3 . m 2 3 hay m 2 9 phương trình này có 2 nghiệm m 5 3 hoặc m 1. Vậy, m 5 hoặc m 1 là giá trị cần tìm. 2. Phương trình hoành độ giao điểm Cm và trục hoành : 4 2 2 2 x 3 m 1 x 3m 2 0 x 1 x 3m 2 0 Với m 0 thì Cm cắt trục hoành tại 4 giao điểm phân biệt và x 3m 2 là hoành độ lớn nhất. Gỉa sử A 3m 2;0 là giao điểm có hoành độ lớn nhất và tiếp tuyến d tại A có phương trình: y 2 3m 1 3m 2.x 2 3m 1 3m 2 9
10. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Gọi B là giao điểm của d và Oy suy ra B 0; 2 3m 1 3m 2 Theo giả thiết, tam giác OAB vuông tại O và SOAB 24 OA.OB 48 hay 3m 2 18m2 22m 4 48 Xét f m 3m 2 18m2 22m 4 48, m 0 . 2 Ta có: f ' m 0 với mọi m 0 , suy ra f m đồng biến với mọi m 0 và f 0 , do 3 2 đó phương trình có nghiệm duy nhất m . 3 2 Vậy, m thỏa mãn đề bài. 3 Ví dụ 10 Tìm m ¡ , để tiếp tuyến của đồ thị hàm số : y x3 mx m 1 tại điểm có 2 2 1 hoành độ bằng 1 cắt đường tròn x 2 y 3 theo 1 dây cung có độ dài nhỏ nhất. 5 Lời giải: y' 3x2 m y' 1 3 m . Với x 1 y 1 0 M 1;0 . Phương trình tiếp tuyến tại M : y y' 1 x 1 3 m x y 3 m 0 d . 1 Đường tròn có tâm I 2; 3 và bán kính R . Vì IM R nên độ dài cung nhỏ nhất khi 5 3 m 2 3 3 m 1 d tiếp xúc với đường tròn, tức là d I; d R hay 2 3 m 1 5 m 1 , bình phương hai vế và rút gọn ta được phương trình m2 6m 10 5 5 2m2 3m 5 0 , giải phương trình này ta được m 1 hoặc m thỏa bài toán. 2 Ví dụ 11 : Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị y x3 3x2 m tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB 5 có chu vi 2 . 18 Lời giải: Với x0 1 y0 m 2 M 1; m – 2 10
11. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 2 Tiếp tuyến tại M là d: y (3x0 6x0 )(x x0 ) m 2 d : y 3x m 1 m 1 m 1 d cắt trục Ox tại A: 0 3xA m 1 xA A ; 0 3 3 d cắt trục Oy tại B : yB m 1 B(0 ; m 1) m 1 m 1 Tam giác vuông tại O,Trung điểm I của AB là tâm đt ngoại tiếp I ; 6 2 5 BK OI= m 1 18 5 m 0 Giả thiết có 2 OI 2 m 1 1 18 m 2 x 1 Ví dụ 12. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y . Viết phương trình tiếp tuyến (t) của (C), x 1 biết: 1. (t) tiếp xúc với đường tròn: () : (x 2)2 (y 6)2 45 . 2. Khoảng cách từ (t) đến điểm I(1;1) lớn nhất. Lời giải:  1. Tịnh tiến OI với I(1;1), hệ trục Oxy hệ trục IXY. x X x X 1 Công thức chuyển hệ tọa độ : I y Y yI Y 1 X x 1 2 1 1 Đối với hệ trục IXY thì A có tọa độ là Y y 1 6 1 5 X 1 1 X 2 2 Hàm số cho trở thành : Y 1 Y F(X). (X 1) 1 X X Phương trình của đường tròn () là (X 1)2 (Y 5)2 45, (  ) có tâm A(1;5) , bán kính R = 3 5 . Phương trình tiếp tuyến (D) của (C) tại điểm có hoành độ X0 là 2 2 2 4 2 Y F '(X0 )(X X0 ) F(X0 ) 2 (X X0 ) 2 X 2X X0Y 4X0 0. X0 X0 X0 X0 (D) tiếp xúc (C) d A, D R 2 2 2 2 5X0 4x0 (5X 4X 2) d[A,(D)) 3 5 [(d(A,(D))]2 0 0 45 4 4 X4 4 X0 0 11
12. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 4 2 3 2 4 25X0 16X0 4 40X0 20X0 16X0 180 45X0 4 3 2 2 2 5X0 10X0 9X0 4X0 44 0 (X0 2) (5X0 10X0 11) 0 X0 2 1 Vậy phương trình (D): Y X 2 ,suy ra phương trình (D) đối với hệ trục xuất phát 2 1 1 1 Oxy là : y 1 (x 1) 2 x . 2 2 2 2. Đối với hệ tọa độ IXY , phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : 4X 2X X2Y 4X 0 , d(I,(d)) 0 0 0 4 4 X0 4 4 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ,ta có : 4 X0 2 4X0 4X0 4X 4X d(I,(d)) 0 0 2 d(I,(d)) 2 X4 4 X 2 2 2X 0 0 4X0 0 Khi đó phương trình tiếp tuyến (d): Y X 2 2,Y X 2 2 . Suy ra phương trình (d) đối với hệ trục Oxy là y x 2 2 2 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 2x 1 Bài 1. Cho hàm số y có đồ thị là C . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị C x 1 sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A,B thoả mãn OA 4OB. 1 5 1 5 1 5 1 5 y x y x y x y x A. 4 4 B. 4 4 C. 4 4 D. 4 4 1 13 1 13 1 13 1 13 y x y x y x y x 4 4 4 4 4 4 4 4 Lời giải: Giả sử tiếp tuyến d của C tại M(x0 ; y0 ) (C) cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA 4OB . OB 1 1 1 Do OAB vuông tại O nên tan A Hệ số góc của d bằng hoặc . OA 4 4 4 1 1 1 Hệ số góc của d là y (x0 ) 2 0 2 (x0 1) (x0 1) 4 12
13. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 3 x0 1 y0 2 5 x0 3 y0 2 1 3 1 5 y (x 1) y x Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là: 4 2 4 4 . 1 5 1 13 y (x 3) y x 4 2 4 4 Bài 2: 2x 3 Câu 1. Cho hàm số y có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M x 2 thuộc C biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A,B sao cho 4 côsin góc A· BI bằng , với I 2; 2 . 17 1 3 1 7 1 3 1 7 A. y x ; y x B. y x ; y x 4 2 4 2 4 2 4 2 1 3 1 7 1 3 1 7 C. y x ; y x D. y x ; y x 4 2 4 2 4 2 4 2 Lời giải: 2x0 3 I 2; 2 , gọi M x0 ; (C), x0 2 x0 2 1 2x 3 0 Phương trình tiếp tuyến tại M : y 2 (x x0 ) (x0 2) x0 2 2x0 2 Giao điểm của với các tiệm cận: A 2; , B(2x0 2; 2). x0 2 · 4 · 1 IA 2 2 4 Do cos ABI nên tan ABI IB 16.IA (x0 2) 16 x0 0 hoặc 17 4 IB x0 4 3 1 3 Tại M 0; phương trình tiếp tuyến: y x 2 4 2 5 1 7 Tại M 4; phương trình tiếp tuyến: y x 3 4 2 13
14. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 2x 1 Câu 2. Cho hàm số y .Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C), các điểm M, N sao cho x 1 các tiếp tuyến tại M và N cắt hai đường tiệm cận tại 4 điểm lập thành một hình thang. 7 1 1 A. M 2; 5 ,N 0; 1 B. M 3; ,N 1; C. M 2; 5 ,N 1; 2 2 2 D. Với mọi M, N Lời giải: Gọi M(m; yM ), N(n; yN ) là 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C). Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B. Tiếp tuyến tại N cắt hai tiệm cận tại C, D. Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: y y (m).(x m) yM 2m 4 2n 4 A 1; ,B(2m 1; 2) . Tương tự: C 1; ,D(2n 1; 2) . m 1 n 1 3 Hai đường thẳng AD và BC đều có hệ số góc: k nên AD // BC. (m 1)(n 1) Vậy mọi điểm M, N thuộc 2 nhánh của (C) đều thoả mãn bài toán. Bài 3: x2 3x 3 Câu 1. Biết với một điểm M tùy ý thuộc C : y , tiếp tuyến tại M cắt C tại x 2 hai điểm A,Btạo với I 2; 1 một tam giác có diện tích không đổi , Diện tích tam giác đó là?. A. 2( đvdt ) B.4( đvdt ) C.5( đvdt ) D. 7( đvdt ) Lời giải: x2 3x 3 1 1 y x 1 . Ta có : y' 1 2 . x 2 x 2 x 2 1 Gọi M x0 ; y0 (C) y0 x0 1 x0 2 1 1 Tiếp tuyến với (C) tại M là : y 1 2 x x0 x0 1 x0 2 x0 2 x0 x0 Nếu  x 2 tại điểm A , thì yA A 2; x0 2 x0 2 Nếu cắt tiệm cận xiện tại điểm B thì 14
15. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 1 1 1 2 xB x0 x0 1 xB 1 xB 2x0 2 yB xB 1 2x0 3 x0 2 x0 2 B 2x0 2; 2x0 3 Nếu I là giao hai tiệm cận , thì I có tọa độ I 2; 1 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên tiệm cận đứng x 2 suy ra H( 2; 2x0 3) 1 1 1 x0 Diện tích tam giác AIB : S AI.BH yA yI . xB xH 1 2x0 2 2 2 2 2 x0 2 1 2 Hay S .2 x0 2 2 ( đvdt ) 2 x0 2 Chứng tỏ S là một hằng số , không phụ thuộc vào vị trí của điểm M . x 3 Câu 2. Cho hàm số y , có đồ thị là (C).Tìm trên đường thẳng d : y 2x 1 các điểm x 1 từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C). M(0;1) M(5;11) M(4;9) M(0;1) M( 1; 1) M( 1; 1) M( 1; 1) M( 1; 1) A. B. C. D. M(2; 5) M(7;15) M(2; 5) M(3;7) M(1; 3) M(1; 3) M(1; 3) M( 2; 3) Lời giải: . Gọi M(m; 2m 1) d . Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k có dạng: y k(x m) 2m 1 x 3 Phương trình hoành độ giao điểm của và (C): k(x m) 2m 1 x 1 kx2 (m 1)k 2mx mk (2m 4) 0 (*) tiếp xúc với (C) (*) có nghiệm kép k 0 2 (m 1)k 2m 4kmk (2m 4) 0 k 0 2 2 2 2 g(k) (m 1) k 4(m m 4)k 4m 0 Qua M(m; 2m 1) d kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) 15
16. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 32(m2 m 2) 0; g(0) 4m2 0 2 2 g(k) 0 có đúng 1 nghiệm k 0 32(m m 2) 0; g(0) 4m 0 1 m 1 0 16k 4 0 k 4 m 0 M(0;1) m 1 M( 1; 1) m 2 M(2; 5) m 1 M(1; 3) Bài 4: Cho hàm số y x3 3x 2 có đồ thị là (C). Câu 1. Đồ thị (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng? A. 1 B.2 C.3 D. 1 Lời giải: x3 3x 2 0 . Xét hệ phương trình : x 1 2 3x 3 0 Vậy (C) tiếp xúc với Ox tại điểm có hoành độ x 1. Câu 2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành. A. y 0 ; y 9x 18 B. y 0 ; y 9x 3 C. y 0 ; y 9x 8 D. y 0 ; y 9x 1 Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox. x3 3x 2 0 x 1,x 2 . * x 1 y 0, y'(1) 0 phương trình tiếp tuyến: y 0 . * x 2 y 0, y'(2) 9 phương trình tiếp tuyến: y 9(x 2) 9x 18 . Câu 3. Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. 8 28 8 28 A. M ;0 B. M ;0 C. M ;0 D. M ;0 27 7 7 27 Lời giải: Xét điểm M(m;0) Ox . Cách 1: Đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình: y k(x m) . 16
17. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. x3 3x 2 k(x m) d là tiếp tuyến của (C) hệ có nghiệm x 2 3x 3 k Thế k vào phương trình thứ nhất, ta đươc: 3(x2 1)(x m) (x3 3x 2) 0 (x 1)(3x2 3(1 m)x 3m) (x 1)(x2 x 2) 0 (x 1)[2x2 (3m 2)x 3m 2] 0 1 x 1 hoặc 2x2 (3m 2)x 3m 2 0 2 Để từ M kẻ được ba tiếp tuyến thì 1 phải có nghiệm x , đồng thời phải có 3 giá trị k khác nhau, khi đó 2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 , đồng thời phải có 2 giá trị k khác nhau và khác 0 2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 khi và chỉ khi : 2 (3m 2)(3m 6) 0 m , m 2 3 3 3m 3 0 m 1 Với điều kiện 3 , gọi x1 ,x2 là hai nghiệm của 2 , khi đó hệ số góc của ba tiếp tuyến là 2 2 k1 3x1 3, k2 3x2 3, k3 0 . Để hai trong ba tiếp tuyến này vuông góc với nhau k1.k2 1 và k1 k2 2 2 2 2 2 k1.k2 1 9(x1 1)(x2 1) 1 9x1 x2 9(x1 x2 ) 18x1x2 10 0 (i) 3m 2 3m 2 Mặt khác theo Định lí Viet x x ; x x . 1 2 2 1 2 2 28 Do đó (i) 9(3m 2) 10 0 m thỏa điều kiện 3 , kiểm tra lại ta thấy k k 27 1 2 28 Vậy, M ;0 là điểm cần tìm. 27 Cách 2: Gọi N(x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến của (C) tại N có phương trình : 2 y 3x0 3 (x x0 ) y0 . 2 đi qua M 0 3x0 3 (m x0 ) y0 2 3(x0 1)(x0 1)(x0 m) (x0 1) (x0 2) 0 x 1 (x 1) 2x2 (3m 2)x 3m 2 0 0 0 0 0 2 2x0 (3m 2)x0 3m 2 0 (a) 17
18. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Từ M vẽ được đến (C) ba tiếp tuyến (a) có hai nghiệm phân biệt khác 1 , và có hai giá 2 trị k 3x0 3 khác nhau và khác 0 điều đó xảy ra khi và chỉ khi: m 1 (3m 2)2 8(3m 2) 0 (3m 2)(3m 6) 0 2 (b) . 2 2(3m 2) 0 3m 3 0 m ,m 2 3 Vì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x 1 có hệ số góc bằng 0 nên yêu cầu bài toán ( 3p2 3)( 3q2 3) 1(trong đó p,q là hai nghiệm của phương trình (a) ) 9p2q2 9(p2 q2 ) 10 0 9p2q2 9(p q)2 18pq 10 0 9(3m 2)2 9(3m 2)2 28 28 9(3m 2) 10 0 m . Vậy M ;0 . 4 4 27 27 Bài 5. Cho hàm số y x4 2x2 1 có đồ thị là (C). Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 24x y 1 0 . A. : y 24x 4 B. : y 24x 42 C. : y 24x 23 D. : y 4x 42 Lời giải: Ta có y' 4x3 4x Gọi A(x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến của (C) tại A có phương trình 3 : y (4x0 4x0 )(x x0 ) y0 3 Tiếp tuyến song song với d : y 24x 1 nên ta có: 4x0 4x0 24 3 x0 x0 6 0 x0 2 y0 7 .Vậy : y 24x 42 . Câu 2. Tìm M Oy sao cho từ M vẽ đến (C) đúng ba tiếp tuyến. A. M(0; 2) B. M(0; 1) C. M(0; 5) D. M(0; 9) Lời giải: Ta có y' 4x3 4x Gọi A(x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến của (C) tại A có phương trình 3 : y (4x0 4x0 )(x x0 ) y0 Vì (C) nhận Oy làm trục đối xứng nên nếu d là một tiếp tuyến của (C) thì đường thẳng d' đối xứng với d qua Oy cũng là tiếp tuyến của (C). Do đó, để từ M vẽ được ba tiếp tuyến đến (C) thì trong ba tiếp tuyến đó phải có một tiếp tuyến vuông góc với Oy. Mà (C) có hai 18
19. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. tiếp tuyến cùng phương với Ox là: y 2 và y 1. Đường thẳng này cắt Oy tại M1(0; 2), M2 (0; 1). Ta kiểm tra được qua M1 chỉ vẽ đến (C) được một tiếp tuyến, còn từ M2 vẽ đến (C) được ba tiếp tuyến. Vậy M(0; 1) là điểm cần tìm. Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt. A. y 2x B. y 2x 1 C. y 2 D. y 4 Lời giải: Ta có y' 4x3 4x Gọi A(x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến của (C) tại A có phương trình 3 : y (4x0 4x0 )(x x0 ) y0 Giả sử là tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt M(m; m4 2m2 1) và N(n;n4 2n2 1) với m n . Ta có phương trình : y y'(m)(x m) y(m) : y y'(n)(x n) y(n) y'(m) y'(n) 4n3 4n 4m3 4m Suy ra 4 2 4 2 m.y'(m) y(m) n.y'(n) y(n) 3m 2m 1 3n 2n 1 2 2 (n m)(n2 mn n2 ) (n m) 0 n mn n 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 3(n m )(n m ) 2(n m ) 0 (n m) 3(n m ) 2 0 (*) 2 Từ (*) ta có: m n 0 hoặc n2 m2 . 3 m n 0 m n n2 1 n 1 1 mn 2 2 2 3 m n vô nghiệm. 3 4 (m n)2 3 Vậy y 2 là tiếp tuyến cần tìm. Bài 6 Cho hàm số y x3 3x2 9x 1có đồ thị là (C). 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. 19
20. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. A. y 2x 2 B. y x 2 C. y 12x 7 D. y 12x 2 Lời giải: 2 2 Ta có: y' 3(x 2x 3) . Do y' 3 (x 1) 4 12 min y' 12 , đạt được khi x 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 12x 2 . Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng 5 d : y x 1 một góc thỏa cos . 41 1 9 321 1 9 321 A. y x 9 B. y x 34 9 9 9 9 1 9 321 C. y x 7 D. đáp án khác 9 9 Lời giải: 2 Ta có: y' 3(x 2x 3) . Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến tại M: y y'(x0 )(x x0 ) y0 Hay kx y b 0 , Với k y'(x0 ) k 1 5 Theo bài ra ta có: cos k2 1. 2 41 1 41(k 1)2 50(k2 1) 9k2 82k 9 0 k 9,k . 9 2 k 9 x0 2x0 0 x0 0,x0 2 Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y 9x 1 và y 9x 3 1 9 321 k 27x2 54x 80 0 x 9 0 0 0 9 1 9 321 Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến là: y x y(x ). 0 9 9 Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 1;6) . A. y 7; y 9x 3 B. y 6; y 9x 7 C. y 6; y 2x 3 D. y 6; y 9x 3 Lời giải: 20
21. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 2 Ta có: y' 3(x 2x 3) . Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại M: y y'(x0 )(x x0 ) y0 . Do tiếp tuyến đi qua A nên ta có phương trình 2 3 2 6 3(x0 2x0 3)( 1 x0 ) x0 3x0 9x0 1 3 2 x0 3x0 2 0 (x0 1) (x0 2) 0 x0 1,x0 2 x0 1 y 6 x0 2 y 9x 3 Bài 7: Câu 1. Cho hàm số y x3 2x2 x 1. Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với một tiếp tuyến khác của đồ thị. A. M 1; 5 B. N 1;1 C. E 0;1 D. Đáp án khác Lời giải: Gọi A(a; f (a)) là điểm thuộc đồ thị. Khi đó tiếp tuyến tại A có hệ số góc k 3a2 4a 1 1 * Nếu a ; a 1 hiển nhiên không có tiếp tuyến nào vuông góc với tiếp tuyến tại A. 3 1 * Nếu k 0 . Ta xét phương trình: 3x2 4x 1 3a2 4a 1 1 3x2 4x 1 0 (1). 3a2 4a 1 Để tồn tại tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại A thì (1) phải có nghiệm 1 1 1 3a2 4a 2 ' 4 3(1 ) 0 0 0 3a2 4a 1 3a2 4a 1 3 3a2 4a 1 2 10 1 2 10   a ; 1; ; . 3 3 3 Câu 2. Cho hàm số y x3 3x 2 có đồ thị là (C). Tìm toạ độ điểm M thuộc d : y 3x 2 sao cho từ M kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. A. M(1; 1) B. M(3; 7) C. M( 1; 5) D. M(0; 2) Lời giải: Gọi M(m; 3m 2) d 21
22. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(x0 ; y0 ): 2 3 y (3x0 3)(x x0 ) x0 3x0 2 2 3 Tiếp tuyến đi qua M 3m 2 (3x0 3)(m x0 ) x0 3x0 2 2 x0 (2x0 3m) 0 .Yêu cầu bài toán m 0 . Vậy M(0; 2) . Bài 8: 2x m Câu 1. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = ,m là tham số khác – 4 và (d) là một tiếp x 2 tuyến của (C) .Tìm m để (d) tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam giác có diện tích bằng 2. m 6 m 3 m 3 m 3 A. B. C. D. m 5 m 5 m 6 m 5 Lời giải: Hai đường tiệm cận đứng và ngang của (C) có phương trình lần lượt là x = 2, y = 2 ,suy ra giao điểm của chúng là I(2;2).  Tịnh tiến OI . Hệ trục Oxy Hệ trục IXY. x X x X 2 Công thức chuyển hệ tọa độ : I y Y yI Y 2 Đối với hệ trục IXY . Hai đường tiệm cận đứng và ngang của (C) có phương trình lần lượt là X = 0 , Y = 0. 2(X 2) m 4 m (C) có phương trình là Y 2 Y F(X) . X 2 2 X Gọi X0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) với (C) thì phương trình (d) là m 4 m 4 m 4 2m 8 Y 2 (X X0 ) 2 X . X0 X0 X0 X0 2m 8 Gọi A là giao điểm của (C) với đường tiệm cận đứng của nó thì A 0; X0 Gọi B là giao điểm của (C) với đường tiệm cận ngang của nó thì B( 2X0 ; 0) Diện tích tam giác vuông IAB do (d) tạo với hai đường tiệm cận là 1 1 1 2m 8 S IA.IB YA XB 2X0 2m 8 . 2 2 2 X0 22
23. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 2m 8 2 m 3 S 2 2m 8 2 . 2m 8 2 m 5 3 Câu 2. Cho hàm số y x 1 m(x 1) có đồ thị là (Cm ) . Có bao nhiêu giá trị m để tiếp tuyến của (Cm ) tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8 . A. 1 B.2 C.3 D. 4 Lời giải: Ta có M(0;1 m) là giao điểm của (Cm ) với trục tung y' 3x2 m y'(0) m Phương trình tiếp tuyến với (Cm ) tại điểm m là y mx 1 m Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoanh và trục tung, ta có tọa độ 1 m A ;0 và B(0;1 m) m Nếu m 0 thì tiếp tuyến song song với Ox nên loại khả năng này Nếu m 0 ta có 2 1 1 1 m 1 m m 9 4 5 SOAB 8 OA.OB 8 1 m 8 16 2 2 m m m 7 4 3 Vậy có 4 giá trị cần tìm Bài 9: x 1 Câu 1. Cho hàm số y .Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm 2x 1 M (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng d : y 2m 1. 1 3 2 2 A. B. C. D. 3 3 3 3 Lời giải: 3 Gọi M(x0 ; y0 ) (C) . Phương trình tiếp tuyến tại M : y 2 (x x0 ) y0 (2x0 1) Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và trục tung 23
24. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 2x2 4x 1 0 0 yB 2 . (2x0 1) 2x2 4x 1 0 0 Từ đó trọng tâm G của OAB có: yG 2 . 3(2x0 1) 2x2 4x 1 0 0 Vì G d nên 2 2m 1 3(2x0 1) 2x2 4x 1 6x2 (2x 1)2 6x2 0 0 0 0 0 Mặt khác: 2 2 2 1 1 (2x0 1) (2x0 1) (2x0 1) 1 1 Do đó để tồn tại ít nhất một điểm M thoả bài toán thì 2m 1 m . 3 3 1 Vậy GTNN của m là . 3 2mx 3 Câu 2. Cho hàm số y .Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Tìm m để tiếp x m tuyến tại một diểm bất kì của (C) cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho IAB có diện tích S 22 . A. m 5 B. m 6 C. m 7 D. m 4 Lời giải: (C) có tiệm cận đứng x m, tiệm cận ngang y 2m . 2mx0 3 Giao điểm 2 tiệm cận là I(m; 2m) và M x0 ; (C) . x0 m 2m2 3 2mx 3 0 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M: y 2 (x x0 ) . (x0 m) x0 m 2 2mx0 2m 6 cắt TCĐ tại A m; , cắt TCN tại B(2x0 m; 2m) . x0 m 2 4m 6 1 2 Ta có: IA ; IB 2 x0 m SIAB IA.IB 4m 6 22 m 4 . x0 m 2 2x 3 Câu 3. Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị C : y tại M cắt các đường tiệm cận tại hai x 2 điểm phân biệt A,B . Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất , với I là giao điểm hai tiệm cận . 24
25. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 5 5 5 A. M 1;1 M 1; B. M 4; M 3; 3 C. M 1;1 M 4; D. M 1;1 M 3; 3 3 3 3 Lời giải: 2x 3 1 Gọi M x ; y C y 0 và y' 0 0 0 x 2 0 2 0 x0 2 1 2x 3 Phương trình tiếp tuyến d của C tại M : y x x 0 2 0 x 2 x0 2 0 2x0 2 d cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt A 2; , B 2x0 2; 2 . x0 2 Dễ thấy M là trung điểm AB và I 2; 2 là giao điểm hai đường tiệm cận. Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2 2 2x 3 2 1 2 0 S IM x0 2 2 x0 2 2 2 x0 2 x0 2 2 1 x 1 y 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi x 2 0 0 0 2 x 3 y 3 x0 2 0 0 Vậy M 1;1 M 3; 3 thỏa mãn bài toán. Bài toán có thể mở rộng : Tìm những điểm trên C có hoành độ x 2 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. 2x0 2 HD: theo trên ta có : A 2; ,B 2x0 2; 2 IA,IB.Chu vi tam giác AIB là x0 2 P IA IB AB IA IB IA2 IB2 2 IA.IB 2.IA.IB Đẳng thức xảy ra khi IA IB Nếu trường hợp tam giác AIB không vuông thì P IA IB AB , để tính AB ta cần đến định lý hàm số cosin AB2 IA2 IB2 2IA.IBcos I·A,IB . P IA IB AB2 2 IA.IB IA2 IB2 2IA.IBcos I·A,IB P 2 IA.IB 2IA.IB 2IA.IBcos I·A,IB . Đẳng thức xảy ra khi IA IB . 25
26. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 2x Bài 10: Cho hàm số y , có đồ thị là C . Có bao nhiêu điểm M thuộc C sao cho x 1 1 tiếp tuyến tại M của C cắt Ox, Oy tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng , 4 O là gốc tọa độ. A. 1 B.2 C.3 D. 4 Lời giải: 2x 2 Gọi M x ; y C y 0 y' 0 0 0 x 1 0 2 0 x0 1 2 2x2 0 Phương trình tiếp tuyến t của C tại M là : y0 2 x 2 . x0 1 x0 1 2 Tiếp tuyến t cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm phân biệt A x0 ;0 , 2 2x 0 1 B 0; 2 sao cho diện tích tam giác AOB có diện tích bằng khi đó 4 x0 1 2 1 1 1 2x 1 2 .OA.OB OA.OB x2 . 0 4x2 x 1 0 2 4 2 0 2 2 0 0 x0 1 1 1 2 2x0 x0 1 0 x0 M ; 2 2 2 . 2x2 x 1 0 0 0 x0 1 M 1;1 2x 2 Bài 12: Cho hàm số y có đồ thị là (C). x 1 Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y 4x 1 . A. : y 4x 2 ; : y 4x 1 B. : y 4x 2 ; : y 4x 7 C. : y 4x 6 ; : y 4x 14 D. : y 4x 2 ; : y 4x 14 Lời giải: Hàm số xác định với mọi x 1. 4 Ta có: y' (x 1)2 Tiệm cận đứng: x 1; tiệm cận ngang: y 2 ; tâm đối xứng I(1; 2) Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): 26
27. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 4 2x 2 0 : y 2 (x x0 ) . (x0 1) x0 1 Vì tiếp tuyến song với đường thẳng d : y 4x 1 nên ta có: 4 y'(x0 ) 4 2 4 x0 0,x0 2 . (x0 1) * x0 0 y0 2 : y 4x 2 * x0 2 y0 6 : y 4x 14 . Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. A. : y x 7 ; : y x 1 B. : y 2x 7 ; : y x 11 C. : y x 78 ; : y x 11 D. : y x 9 ; : y x 1 Lời giải: Hàm số xác định với mọi x 1. 4 Ta có: y' (x 1)2 Tiệm cận đứng: x 1; tiệm cận ngang: y 2 ; tâm đối xứng I(1; 2) Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): 4 2x 2 0 : y 2 (x x0 ) . (x0 1) x0 1 Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 . 4 2 1 x0 1,x0 3 (x0 1) * x0 1 y0 0 : y x 1 * x0 3 y0 4 : y x 7 Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. A. : y x 21 và : y x 7 . B. : y x 3 và : y x 2 . C. : y x 1 và : y x 17 . D. : y x 1 và : y x 7 . Lời giải: Hàm số xác định với mọi x 1. 27
28. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 4 Ta có: y' (x 1)2 Tiệm cận đứng: x 1; tiệm cận ngang: y 2 ; tâm đối xứng I(1; 2) Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): 4 2x 2 0 : y 2 (x x0 ) . (x0 1) x0 1 Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại x 1 2x 6 A : 4 2x 2 A 1; 0 y (1 x ) 0 x 1 2 0 0 (x0 1) x0 1 Tiếp tuyến cắt tiệm ngang tại y 2 B : 4 2x 2 B(2x 1; 2) 2 (x x ) 0 0 2 0 (x0 1) x0 1 8 Suy ra: IA ; IB 2 x0 1 IA.IB 16 x0 1 Chu vi tam giác IAB : P IA IB AB IA IB IA2 IB2 Mà IA IB 2 IA.IB 8; IA2 IB2 2IA.IB 32 Nên P 8 32 8 4 2 2 Đẳng thức xảy ra IA IB (x0 1) 4 x0 3,x0 1 Vậy ta có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán: : y x 1 và : y x 7 . 2x Bài 13 Cho hàm số y có đồ thị (C). x 2 Câu 1. Trên đồ thị (C) tồn tại bao nhiêu điểm mà tiếp tuyến của (C) tại đó song song với đường thẳng y 4x 3 . A. 1 B.2 C.3 D. 4 Lời giải: Hàm số xác định với mọi x 2 . 4 Ta có: y' (x 2)2 Gọi M(x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình 28
29. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 4 2x 4 2x2 0 0 y 2 (x x0 ) 2 x 2 (x0 2) x0 2 (x0 2) (x0 2) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y 4x 3 khi và chỉ khi 4 2 4 (x0 2) x 1; x 3 . 2x2 0 0 0 3 2 (x0 2) Vậy trên (C) có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán. Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam 1 giác có diện tích bằng . 18 9 1 4 1 9 31 4 2 A. : y x ; : y x B. : y x ; : y x 4 2 9 9 4 2 9 9 9 1 4 4 9 1 4 2 C. : y x ; : y x D. : y x ; : y x 4 2 9 9 4 2 9 9 Lời giải: Hàm số xác định với mọi x 2 . 4 Ta có: y' (x 2)2 Gọi M(x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình 4 2x 4 2x2 0 0 y 2 (x x0 ) 2 x 2 (x0 2) x0 2 (x0 2) (x0 2) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến với Ox, Oy y 0 1 1 2 Suy ra A : 4 2x2 x x2 A( x ;0) 0 0 0 2 x 2 0 2 2 (x0 2) (x0 2) y 0 x 0 2x2 B : 2x2 B 0; 0 0 2 y 2 (x0 2) (x0 2) Vì A,B O x0 0 . 29
30. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 1 1 x4 0 Tam giác AOB vuông tại O nên S AOB OA.OB 2 2 2 (x0 2) 1 x4 0 4 2 Suy ra S AOB 2 9 9x0 (x0 2) 18 (x0 2) 2 x 1 0 3x0 x0 2 0 (vn) 2 . 2 3x0 x0 2 0 x0 3 2 4 4 2 * x 1 y , y'(x ) . Phương trình : y x 0 0 3 0 9 9 9 2 9 * x y 1, y'(x ) 0 3 0 0 4 9 2 9 1 Phương trình : y (x ) 1 x . 4 3 4 2 Câu 3. Giả sử tồn tại phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến lớn nhất., thì hoành độ tiếp điểm lúc này là: A. x0 0,x0 4 B. x0 0,x0 3 C. x0 1,x0 4 D. x0 1,x0 3 Lời giải: Hàm số xác định với mọi x 2 . 4 Ta có: y' (x 2)2 Gọi M(x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình 4 2x 4 2x2 0 0 y 2 (x x0 ) 2 x 2 (x0 2) x0 2 (x0 2) (x0 2) Ta có tâm đối xứng I( 2; 2) 4 2x2 0 Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến : 2 x y 2 0 : (x0 2) (x0 2) 8 x 2 t d 0 8 , với t (x 2)2 0 4 t2 16 0 (x0 2) 16 t t 1 Do 2 d 2 t 16 2 16t2 16 2 2 Đẳng thức xảy ra khi t 16 t 4 (x0 2) 4 x0 0,x0 4 . 30
31. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Bài 14: Cho hàm số y x3 ax2 bx c , c 0 có đồ thị (C) cắt Oy ở A và có đúng hai điểm chung với trục Ox là M và N . Tiếp tuyển với đồ thị tại M đi qua A . Tìm a;b;c để SAMN 1. A. a 4,b 5,c 2 B. a 4,b 5,c 2 C. a 4,b 6,c 2 D. a 4,b 5,c 2 Lời giải: Giả sử (C) cắt Ox tại M(m;0) và N(n;0) cắt Oy tại A(0;c) Tiếp tuyến tại M có phương trình: y (3m2 2am b)(x m) . Tiếp tuyến đi qua A nên ta có: 3m3 2am2 bm c 0 a 2m3 am2 0 m (do m3 am2 bm c 0 ) 2 Mà (C) cắt Ox tại hai điểm nên (C) tiếp xúc với Ox. Nếu M là tiếp điểm thì suy ra Ox đi qua A vô lí nên ta có (C) tiếp xúc với Ox tại N. Do đó: y x3 ax2 bx c (x n)2 (x m) a a m ,n m 2n a 2 4 Suy ra 2mn n2 b a3 32c (1). 2 2 mn c 5a 16b Mặt khác S AMN 1 c n m 2 c a 8 a3 32c a 0 ta có: ac 8 vô nghiệm. 2 5a 16b a3 32c a 0 ta có: ac 8 a 4,b 5,c 2 2 5a 16b 2x 1 Bài 15: Cho hàm số y có đồ thị là (C). x 1 1 Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng . 4 31
32. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 1 3 1 3 1 3 1 5 A. : y x và y x .B. : y x và y x . 4 4 4 4 4 2 4 2 1 1 1 5 1 13 1 5 C. : y x và y x . D. : y x và y x . 4 4 4 4 4 4 4 4 Lời giải: : Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại M 1 2x 1 0 y 2 (x x0 ) . (x0 1) x0 1 1 Hệ số góc của tiếp tuyến bằng nên suy ra 4 1 1 2 x0 3,x0 1. (x0 1) 4 1 13 1 5 Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: y x và y x . 4 4 4 4 Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. 1 3 1 5 1 1 A. y x và y x .B. y x 3 và y x 1. 4 4 4 4 4 4 1 13 1 1 13 1 5 C. y x và y x 1. D. y x và y x . 4 4 4 4 4 4 4 Lời giải: Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại M 1 2x 1 0 y 2 (x x0 ) . (x0 1) x0 1 2x0 Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại A(1; ), cắt đường tiệm cận ngang tại B(2x0 1; 2) . x0 1 Tâm đối xứng I(1; 2) 2 Suy ra IA ,IB 2 x0 1 IA.IB 4 x0 1 Chu vi tam giác IAB : p AB IA IB IA2 IB2 IA IB Mặt khác: IA2 IB2 2IA.IB 8; IA IB 2 IA.IB 4 Nên p 2 2 4 . Đẳng thức xảy ra IA IB 32
33. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 2 (x0 1) 4 x0 3,x0 1. 1 13 1 5 Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: y x và y x . 4 4 4 4 Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng I đến tiếp tuyến tạo lớn nhất. 1 3 1 5 1 1 A. y x và y x .B. y x 1 và y x 5 . 4 4 4 4 4 4 1 13 1 3 1 13 1 5 C. y x và y x . D. y x và y x . 4 4 4 4 4 4 4 4 Lời giải: Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại M 1 2x 1 0 y 2 (x x0 ) . (x0 1) x0 1 Gọi H là hình chiếu của I lên . Ta có d(I, ) IH 1 1 1 2 1 Trong tam giác vuông IAB ta có: IH 2 IA2 IB2 IA.IB 2 Suy ra IH 2 . Đẳng thức xảy ra IA IB . 1 13 1 5 Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: y x và y x . 4 4 4 4 Câu 4. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với IM. A. y x 1, y x 4 B. y x 3, y x 5 C. y x 1, y x 3 D. y x 1, y x 5 Lời giải: Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại M 1 2x 1 0 y 2 (x x0 ) . (x0 1) x0 1 1  1 Đường thẳng có VTCP u 1; , IM (x 1; ) . 2 0 (x0 1) x0 1 1  IM x0 1 3 0 x0 0,x0 2 . (x0 1) Từ đó ta tìm được tiếp tuyến: y x 1, y x 5 . 33
34. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Bài 16: Câu 1. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y x4 1 và (d) là một tiếp tuyến của (C) , (d) cắt hai trục tọa độ tại A và B. Viết phương trình tiếp tuyến (d) khi tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất ( O là gốc tọa độ ). 4 8 4 8 4 7 4 8 A. y x B. y x C. y x D. y x 4 15 5 4 12 5 4 5 5 4 125 5 Lời giải: 3 4 3 4 Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y 4x0 (x x0 ) x0 1 4x0 x 3x0 1 trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C). 3x4 1 A là giao điểm của (d) với trục Ox A 0 ;0 3 4x0 4 B là giao điểm của (C) với trục Oy B(0; 3x0 1) . Diện tích của tam giác vuông OAB: 1 1 1 (3x4 1)2 1 (3x4 1)2 S OA.OB x y 0 0 2 2 A B 2 4x3 8 3 0 x0 1 (3x4 1)2 0 Xét trường hợp x0 0 ,khi đó S . 3 . 8 x0 (3x4 1)2 0 Xét hàm số f (x0 ) 3 , x0 (0; ). x0 2(3x4 1)12x3 .x3 (3x4 1)2 .3x2 3(3x4 1)(5x4 1) 0 0 0 0 0 0 0 f '(x0 ) 6 4 . x0 x0 4 1 1 f '(x0 ) 0 x0 x0 (do x0 0) 5 4 5 Bảng biến thiên của f (x0 ) x0 0 + f'(x0) - 0 + f(x0) 64 1 Từ bảng biến thiên suy ra min f (x0 ) đạt được khi và chỉ khi x0 5 4 5 4 5 34
35. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 8 1 Suy ra minS x0 . 5 4 5 4 5 4 8 Khi đó phương trình của (d) là y x . 4 125 5 Vì trục Oy là trục đối xứng của (C) nên trong trường hợp x0 0 (giả thiết) nên ta có 1 3m 2 ,suy ra với mọi tham số m > 0 , (Cm) cắt Ox tại 4 diểm phân biệt và nếu gọi A là giao điểm có hoành độ lớn nhất thì hoành độ A là xA 3m 2 . 4 2 Gọi f(x) x 3 m 1 .x 3m 2 , phương trình tiếp tuyến d của (Cm) tại A là 3 y f '(xA )(x xA ) f (xA ) [4xA 6(m 1)xA ](x xA ) ( vì f (xA ) 0 ) [4(3m 2) 3m 2 6(m 1) 3m 2](x 3m 2) 6m 2 3m 2 x 3m 2) 35
36. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến d với trục Oy thì B 0 ; 6m 2 3m 2 . Tam giác mà tiếp tuyến d tạo với hai trục toạ độ là tam giác vuông OAB ( vuông tạiO) ,theo giả thiết ta có : SOAB 24 OA.OB 48 xA yB 48 3m 2(6m 2)(3m 2) 48 (3). Gọi f m 3m 2(6m 2)(3m 2) 3m 2(18m2 22m 4) 3 f '(m) (18m2 22m 4) (36m 22) 3m 2 0 với mọi m >0. 2 3m 2 2 Suy ra hàm số f(m) đồng biến trên (0;+ ) và vì f 24 , do đó phương trình (3) chỉ có 3 2 một nghiệm là m trên (0;+ ) 3 Bài 18: 2x Câu 1. Cho hàm số y có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị x 2 C , để khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị C đến tiếp tuyến là lớn nhất. A. y 2x và y x 8 . B. y x và y x 9 .C. y 3x và y x 8 . D. y x và y x 8 . Lời giải: Tiếp tuyến d của đồ thị C tại điểm M có hoành độ a 2 thuộc C có phương trình: 4 2a y (x a) 4x (a 2)2 y 2a2 0 (a 2)2 a 2 Tâm đối xứng của C là I 2; 2 . 8 a 2 8 a 2 8 a 2 d(I,d) 2 2 16 (a 2)4 2.4.(a 2)2 2 2 a 2 d(I,d) lớn nhất khi (a 2)2 4 a 4 hoặc a 0 . Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến y x và y x 8 . 2x 3 Câu 2. Cho hàm số y có đồ thị C . Tìm trên C những điểm M sao cho tiếp x 2 tuyến tại M của C cắt hai tiệm cận của C tại A,B sao cho AB ngắn nhất. 5 5 A. M(3; 3) hoặc M( 1; ) B. M( 1; ) hoặc M(1;1) 3 3 36
37. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 5 5 C. M(4; ) hoặc M( 1; ) D. M(3; 3) hoặc M(1;1) 2 3 Lời giải: 1 1 Lấy điểm M m; 2 C . Ta có: y (m) m 2 (m 2)2 1 1 Tiếp tuyến d tại M có phương trình: y (x m) 2 (m 2)2 m 2 2 Giao điểm của d với tiệm cận đứng là: A 2; 2 m 2 Giao điểm của d với tiệm cận ngang là: B(2m – 2; 2) 1 2 2 Ta có: AB 4 (m 2) 2 8 . Đẳng thức xảy ra khi m 1 hoặc m 3 . (m 2) Vậy, điểm M cần tìm có tọa độ là: M(3; 3) hoặc M(1;1) Bài 19 : Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị y x3 mx m 1 tại điểm M có hoành độ x 1 cắt đường tròn (C) có phương trình (x 2)2 (y 3)2 4 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất. A. m 3 B. m 6 C. m 8 D. m 2 Lời giải: Ta có: y 3x2 m y ( 1) 3 m ; y( 1) 2m 2 . (C) có tâm I(2; 3) , R = 2. Phương trình đường thẳng d tại M( 1; 2m 2) : y (3 m)x m 1 (3 m)x y m 1 0 4 m 1 (3 m) 2. (3 m)2 1 d(I,d) 2 R (3 m)2 1 (3 m)2 1 (3 m)2 1 Dấu "=" xảy ra m 2 . Dó đó d(I,d) đạt lớn nhất m 2 Tiếp tuyến d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho AB ngắn nhất d(I,d) đạt lớn nhất m 2 , suy ra d: y x 3 . 37