Bài tập Đại số Lớp 11 - Cấp số cộng. Cấp số nhân

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 11 - Cấp số cộng. Cấp số nhân

1. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 1. Cấp số cộng u1 a * 1.1. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi , n N gọi là cấp số cộng; un 1 un d d gọi là công sai. 2.1. Các tính chất: Số hạng thứ n được cho bởi công thức: un u1 (n 1)d . Ba số hạng uk ,uk 1 ,uk 2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi 1 u u u . k 1 2 k k 2 Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức : n n S u u u u u 2u n 1 d . n 1 2 n 2 1 n 2 1 2. Cấp số nhân u1 a * 1.2. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi , n N gọi là cấp số cộng; q un 1 un .q gọi là công bội. 2.2. Các tính chất: n 1 Số hạng thứ n được cho bởi công thức: un u1q . Ba số hạng uk ,uk 1 ,uk 2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi 2 uk 1 uk .uk 2 . Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức : qn 1 S u u u u . n 1 2 n 1 q 1 Vấn đề 1. Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp số Phương pháp: Dãy số (un ) là một cấp số cộng un 1 un d không phụ thuộc vào n và d là công sai. un 1 Dãy số (un ) là một cấp số nhân q không phụ thuộc vào n và q là công bội. un Ba số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng a c 2b . Ba số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân ac b2 . Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u1 và d . Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u1 và q .
2. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120 . A. 1,5,6,8 B. 2,4,6,8 C. 1,4,6,9 D. 1,4,7,8 Lời giải: Giả sử bốn số hạng đó là a 3x; a x; a x; a 3x với công sai là d 2x .Khi đó, ta có: a 3x a x a x a 3x 20 2 2 2 2 a 3x a x a x a 3x 120 4a 20 a 5 2 2 4a 20x 120 x 1 Vậy bốn số cần tìm là 2,4,6,8 . Chú ý: * Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán gọn hơn. * Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai d x , là chẵn thì gọi công sai d 2x rồi viết các số hạng cấp số dưới dạng đối xứng. a1 a2 an p * Nếu cấp số cộng (an ) thỏa: 2 2 2 2 thì: a1 a2 an s 2 2 1 n n 1 12 ns p a p .d và d . 1 2 2 n 2 n n 1 u2 u3 u5 10 Ví dụ 2. Cho CSC (un ) thỏa : u4 u6 26 1. Xác định công sai và; A. d 2 B. d 4 C. d 3 D. d 5 2. công thức tổng quát của cấp số A. un 3n 2 B. un 3n 4 C. un 3n 3 D. un 3n 1 2. Tính S u1 u4 u7 u2011 . A. S 673015 B. S 6734134 C. S 673044 D. S = 141 Lời giải: Gọi d là công sai của CSC, ta có: (u d) (u 2d) (u 4d) 10 u 3d 10 u 1 1 1 1 1 1 (u1 3d) (u1 5d) 26 u1 4d 13 d 3 1. Ta có công sai d 3 và số hạng tổng quát : un u1 (n 1)d 3n 2 .
3. 2. Ta có các số hạng u1 ,u4 ,u7 , ,u2011 lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai 670 d' 3d , nên ta có: S 2u 669d' 673015 2 1 u5 3u3 u2 21 Ví dụ 3. Cho cấp số cộng (un ) thỏa: . 3u7 2u4 34 1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ; A. u100 243 B. u100 295 C. u100 231 D. u100 294 2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ; A. S15 244 B. S15 274 C. S15 253 D. S15 285 3. Tính S u4 u5 u30 . A. S 1286 B. S 1276 C. S 1242 D. S 1222 Lời giải: u 4d 3(u 2d) (u d) 21 Từ giả thiết bài toán, ta có: 1 1 1 3(u1 6d) 2(u1 3d) 34 u 3d 7 u 2 1 1 . u1 12d 34 d 3 1. Số hạng thứ 100 của cấp số: u100 u1 99d 295 15 2. Tổng của 15 số hạng đầu: S15 2u1 14d 285 2 27 3. Ta có: S u4 u5 u30 2u4 26d 2 27 u1 16d 1242 . Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau: 3 S S S 15 2u 29d 2u 2d 1242 . 30 3 1 2 1 u2 u3 u5 10 Ví dụ 4. Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u4 u6 26 1. Xác định công sai? A.d=3 B. d=5C. d=6D. d=4 2. Tính tổng S u5 u7  u2011 A. S 3028123 B. S 3021233 C. S 3028057 D. S 3028332
4. Lời giải: u d (u 2d) u 4d 10 u 3d 10 1. Ta có: 1 1 1 1 u1 3d u1 5d 26 u1 4d 13 u1 1,d 3 ;u5 u1 4d 1 12 13 2. Ta có u5 ,u7 , ,u2011 lập thành CSC với công sai d 6 và có 1003 số hạng nên 1003 S 2u 1002.6 3028057 . 2 5 Ví dụ 5. Cho một cấp số cộng (un ) có u1 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính 1 1 1 S u1u2 u2u3 u49u50 9 4 49 A. S B. S C. S 123 D. S 246 23 246 Lời giải: Gọi d là công sai của cấp số đã cho 497 2u Ta có: S 50 2u 99d 24850 d 1 5 100 1 99 5 5 5 5S u1u2 u2u3 u49u50 u u u u u u 2 1 3 2 50 49 u1u2 u2u3 u49u50 1 1 1 1 1 1 1 1 u1 u2 u2 u3 u48 u49 u49 u50 1 1 1 1 245 u1 u50 u1 u1 49d 246 49 S . 246 Ví dụ 6. Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u1 biết: u1 u2 u3 u4 15 1. 2 2 2 2 u1 u2 u3 u4 85 A. u1 1,u1 2 B. u1 1,u1 8 C. u1 1,u1 5 D. u1 1,u1 9 u u u u u 11 1 2 3 4 5 2. 82 u1 u5 11
5. 1 81 1 81 1 81 2 81 A. u ,u B. u ,u C. u ,u D. u ,u 1 11 1 11 1 12 1 12 1 13 1 13 1 11 1 11 Lời giải: q4 1 u 15 2 3 1 u1(1 q q q ) 15 q 1 1. Ta có: u2 1 q2 q4 q6 85 q8 1 1 u2 85 1 2 q 1 2 q 2 q4 1 q2 1 45 (q4 1)(q 1) 45 8 4 1 q 1 q 1 17 (q 1)(q 1) 17 q 2 Từ đó ta tìm được u1 1,u1 8 . 2 3 4 39 u 1 q q q q 11 2 1 u1q(1 q q ) 11 2. Ta có: 4 82 4 82 u1(1 q ) u (1 q ) 11 1 11 q4 1 82 1 q 3,q . q3 q2 q 39 3 2 u4 Ví dụ 7. Cho cấp số nhân (un ) thỏa: 27 . u3 243u8 1. Viết năm số hạng đầu của cấp số; 2 2 2 2 2 2 2 2 A. u 2,u ,u ;u ,u B. u 1,u ,u ;u ,u 1 2 5 3 9 4 27 5 81 1 2 3 3 9 4 27 5 81 2 2 2 2 2 2 2 2 C. u 2,u ,u ;u ,u D. u 2,u ,u ;u ,u 1 2 3 3 9 4 27 5 64 1 2 3 3 9 4 27 5 81 2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số; 59048 59123148 1359048 59048 A. S B. S C. S D. S 10 12383 10 19683 10 3319683 10 19683 2 3. Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ? 6561 A.41 B.12C.9D.3 Lời giải:
6. Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có: 3 2 3 2 u q 1 1 u1q 27 q 27 3 2 7 5 1 u1q 243.u1q q u1 2 243 2 2 2 2 1. Năm số hạng đầu của cấp số là:u 2,u ,u ;u ,u . 1 2 3 3 9 4 27 5 81 2. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số 10 1 10 1 10 q 1 3 1 59048 S10 u1 2. 3 1 . q 1 1 3 19683 1 3 2 2 3. Ta có: u u 3n 1 6561 38 n 9 n 3n 1 n 6561 2 Vậy là số hạng thứ 9 của cấp số. 6561 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Dãy số (un ) có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai ? Biết: 1. un 2n 3 A. d 2 B. d 3 C. d 5 D. d 2 2. un 3n 1 A. d 2 B. d 3 C. d 3 D. d 1 2 3. un n 1 A. d  B. d 3 C. d 3 D. d 1 2 4. u n n 1 A. d  B. d C. d 3 D. d 1 2 Lời giải: 1. Ta có: un 1 un 2(n 1) 3 (2n 3) 2 là hằng số Suy ra dãy (un ) là cấp số cộng với công sai d 2 . 2. Ta có: un 1 un 3(n 1) 1 ( 3n 1) 3 là hằng số Suy ra dãy (un ) là cấp số cộng với công sai d 3 .
7. 2 2 3. Ta có: un 1 un (n 1) 1 (n 1) 2n 1 phụ thuộc vào n . Suy ra dãy (un ) không phải là cấp số cộng. 2 2 2 4. Ta có: u u phụ thuộc vào n n 1 n n 1 n n(n 1) Vậy dãy (un ) không phải là cấp số cộng. Bài 2 . Dãy số (un ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: 1. un 2n A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  n 2. un 4.3 A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  2 3. u . n n 1 A. q 3 B. q C. q 4 D. q  2 Lời giải: un 1 n 1 1. Ta có: phụ thuộc vào n suy ra dãy (un ) không phải là cấp số nhân. un n u 4.3n 1 n 1 2. Ta có: n 3 không phụ thuộc vào n suy ra dãy (un ) là một cấp số nhân với un 4.3 công bội q 3 . u 2 2 n 3. Ta có: n 1 : phụ thuộc vào n . un n 1 n n 1 Suy ra dãy (un ) không phải là cấp số nhân. Bài 3. Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai. 1. un 3n 1 A. d  B. d 3 C. d 3 D. d 1 2. un 4 5n A. d  B. d 3 C. d 5 D. d 1 2n 3 3. u n 5
8. 2 A. d  B. d C. d 3 D. d 1 5 n 1 4. u n n A. d  B. d 3 C. d 3 D. d 1 n 5. u n 2n A. d  B. d 3 C. d 3 D. d 1 2 6. un n 1 A. d  B. d 3 C. d 3 D. d 1 Lời giải: 1. Ta có: un 1 un 3(n 1) 1 3n 1 3 Dãy (un ) là CSC có công sai d 3 . 2. Ta có: un 1 un 5 Dãy (un ) là CSC có công sai d 5 2 2 3. Ta có: u u . Dãy (u ) là CSC có công sai d n 1 n 5 n 5 1 4. Ta có: u u (u ) không là CSC n 1 n n(n 1) n 5. Tương tự ý 4 dãy (un ) không là CSC 6. Tương tự ý 4 dãy (un ) không là CSC. Bài 4 Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. n 1. un 2 A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  3n 1 2. u n 5 A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  3. un 3n 1 A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q 
9. 2n 1 4. u n 3 A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  3 5. un n . A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  Lời giải: un 1 1. Ta có: 2 (un ) là CSN với công bội q 2 un un 1 2. Ta có: 3 (un ) là CSN với công bội q 3 un un 1 3n 2 3. Ta có: (un ) không phải là CSN un 3n 1 u 2n 1 1 n 1 4. Ta có: n (un ) không phải là CSN un 2 1 u (n 1)3 n 1 5. Ta có: 3 (un ) không phải là CSN . un n Bài 5. 1. Tam giác ABC có ba góc A,B,C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C 5A . Xác định số đo các góc A,B,C . A 100 A 150 A 50 A 200 A. B 1200 B. B 1050 C. B 600 D. B 600 0 0 0 0 C 50 C 60 C 25 C 100 2. Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và 3 3 sin A sin B sinC tính các góc của tam giác 2 A. 300 ,600 ,900 B. 200 ,600 ,1000 C. 100 ,500 ,1200 D. 400 ,600 ,800 Lời giải: 1. Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình :
10. A B C 1800 C 5A A 200 A C 2B B 3A B 600 . 0 0 C 5A 9A 180 C 100 2. Ba góc của tam giác: 300 ,600 ,900 n 1 2 Bài 6. Cho dãy số (un ) với un 3 1. Tìm công bội của dãy số (un). 3 1 A. q B. q 3 C. q D. q 3 2 2 2. Tính tổng S u2 u4 u6  u20 9 9 9 7 A. S (320 1) B. S (320 1) C. S (310 1) D. S (310 1) 2 2 2 2 3. Số 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số. A.15 B.16C.19D.17 Lời giải: n 1 1 u 3 2 n 1  * 1. Ta có: n 3 , n N Dãy số là cấp số nhân với u1 3 3;q 3 . u 1 n 32 2. Ta có u2 ;u4 ;u6 ;;u20 lập thành cấp số nhân số hạng đầu u2 9;q 3 và có 10 số hạng nên 1 310 310 1 9 S u . 9. (310 1) 2 1 3 2 2 n 1 n 3. Ta có : u 19683 32 39 1 9 n 16 n 2 Vậy số 19683 là số hạng thứ 16 của cấp số. Bài 7. 1. Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó. 2 2 A. u ;u ;u 2;u 18;u 54;u 162 1 9 2 5 3 5 6 7 2 2 B. u ;u ;u 2;u 18;u 54;u 162 1 7 2 3 3 5 6 7
11. 2 2 C. u ;u ;u 2;u 21;u 54;u 162 1 9 2 3 3 5 6 7 2 2 D.u ;u ;u 2;u 18;u 54;u 162 1 9 2 3 3 5 6 7 2. Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29. A.1; 2; 3 B. 4; 3; 2 C. 2; 1;0 D. 3; 2; 1 3. Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó. A. b 15,c 20,d 25,a 12 B. b 16,c 20,d 25,a 12 C. b 15,c 25,d 25,a 12 D. b 16,c 20,d 25,a 18 Lời giải: 1. Gọi CSN đó là (un), n 1,7 . Theo đề bài ta có : 2 u 6 u .q3 6 u 4 1 1 9 6 u7 243u2 u1.q 243u1.q q 3 Do đó các số hạng còn lại của cấp số nhân là 2 2 u ;u ;u 2;u 18;u 54;u 162 1 9 2 3 3 5 6 7 2. Gọi ba số hạng của CSC là a 2x; a; a 2x với d 2x a 3 a 2x a a 2x 9 Ta có: 2 2 2 1 . (a 2x) a (a 2x) 29 x 2 a d 37 a 37 d c b 36 c 36 b 3. Gọi bốn số đó là a,b,c,d ta có hệ : a c 2b d 73 3b 2 2 bd c b(73 3b) (36 b) b 16,c 20,d 25,a 12 . Bài 8. u7 u3 8 1. Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn . Tìm u1 ,d ? u2 .u7 75
12. d 2 d 2 d 2 A. B. C. u1 2,u1 17 u1 3,u1 7 u1 3,u1 17 d 2 D. u1 3,u1 17 u u 11 31 34 2. Cho cấp số cộng (un) có công sai d 0 ; 2 2 . Hãy tìm số hạng tổng quát của u31 u34 101 cấp số cộng đó. A. un 3n 9 B. un 3n 2 C. un 3n 92 D. un 3n 66 3. Gọi S1 ;S2 ;S3 là tổng n1 ;n2 ;n3 số hạng đầu của một cấp số cộng. Chứng minh rằng: S1 S2 S3 n2 n3 n3 n1 n1 n2 0 n1 n2 n3 Lời giải: u 6d u 2d 8 d 2 1. Ta có: 1 1 (u1 d)(u1 6d) 75 u1 3,u1 17 2u 63d 11 u 89 2. Ta có: 1 1 2 2 (u1 30d) (u1 33d) 101 d 3 Vậy un 3(n 1) 89 3n 92 . n 3. Thay công thức S 1 2u (n 1)d 1 2 1 1 n n S 2 2u (n 1)d ; S 3 2u (n 1)d 2 2 2 2 3 2 3 3 Ta có điều phải chứng minh. u u u u u 11 1 2 3 4 5 Bài 9. Cho CSN (un ) thỏa: 82 u1 u5 11 1. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số 3n 1 1 81 1 A. q 3;u B. q ;u . C.Cả A, B đúngD. Cả A, B sai n 11 3 n 11 3n 1 2. Tính tổng S2011 1 243 1 1 2011 A. q ;S2011 1 B. q 3;S2011 3 1 3 22 32011 22
13. C.Cả A, B đúngD. Cả A, B sai 1 3. Trên khoảng ;1 có bao nhiêu số hạng của cấp số. 2 A.1 B.2C.3D. 4 Lời giải: 1. Gọi q là công bội của cấp số. Khi đó ta có: 39 39 2 3 u2 u3 u4 u1 q q q 11 11 82 4 82 u1 u5 u1 1 q 11 11 q4 1 82 Suy ra: 39q4 82q3 82q2 82q 39 0 q3 q2 q 39 1 (3q 1)(q 3)(13q2 16q 13) 0 q ,q 3 3 1 81 81 1 q u u . 3 1 11 n 11 3n 1 1 3n 1 q 3 u u . 1 11 n 11 q2011 1 2. Ta có: S u 2011 1 q 1 1 243 1 q S2011 1 3 22 32011 1 2011 q 3 S2011 3 1 22 3n 1 1 3. Với q 3 ta có: un ;1 n 3 nên có một số hạng của dãy 11 2 1 1 1 Với q ta có: un ;1 n 3 nên có một số hạng của dãy. 3 11.3n 5 2 Bài 10. 1 1. Cho dãy số (x ) : x , n 1,2,3 . Chứng minh rằng luôn tồn tại một CSC gồm n n n 2011 số hạng mà mỗi số hạng đều thuộc dãy số trên. Lời giải:
14. k 1. Xét dãy số (u ) : u , k 1,2011 n k 2011! k 1 k 1 1 Ta có: u u k 1 2011! 2011! 2011! k 2011! Nên dãy (un ) là CSC có 2011 số hạng. 1 Hơn nữa u x k 1.2 (k 1)(k 1) 2011 1.2 (k 1)(k 1) 2011 Từ đó ta có đpcm. Vấn đề 2. Chứng minh tính chất của cấp số Phương pháp: Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội. Sử dụng tính chất của cấp số: i) a,b,c theo thứ tự đó lập thành CSC a c 2b ii) a,b,c theo thứ tự đó lập thành CSN ac b2 Các ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh rằng các số: 1. 1, 3,3 không thể cùng thuộc một CSC; 2. 2,3,5 không thể cùng thuộc một CSN. Lời giải: 1. Giả sử 1, 3,3 là số hạng thứ m,n, p của một CSC (un ) . Ta có: 3 3 up un u (p n) p n p n 3 1 vô lí vì 3 là số vô tỉ, còn là số hữu tỉ. 3 1 un um u1(n m) n m n m 2. Giả sử 2,3,5 là ba số hạng thứ m,n, p của CSN (vn ) có công bội q p n m n 2 um m n 5 p n 2 5 (p n)(m n) Ta có: q ; q , suy ra p 3 un 3 3 3 2p n.3m p.5n m 1 vô lí. Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (un ) là: 1. CSC khi và chỉ khi un an b n 2. CSN khi và chỉ khi un a.q . Lời giải: 1. Giả sử (un ) là một CSC công sai d , khi đó : un u1 (n 1)d dn u1 d an b. Giả sử: un an b un 1 un a un 1 un a, n
15. Suy ra (un ) là một CSC với công sai a . n 2. Giả sử (un ) là CSN với công bội q , khi đó: un u1.q n un 1 Giả sử un a.q , suy ra q un 1 q.un , n un Suy ra dãy (un ) là CSN với công bội q . Ví dụ 3. Chứng minh rằng : 1. Nếu phương trình x3 ax2 bx c 0 có ba nghiệm lập thành CSC thì 9ab 2a3 27c 2. Nếu phương trình x3 ax2 bx c 0 có ba nghiệm lập thành CSN thì c(ca3 b3 ) 0 Lời giải: 1. Giả sử phương trình có ba nghiệm x1 ,x2 ,x3 lập thành CSC Suy ra: x1 x3 2x2 (1) 3 2 Mặt khác: x ax bx c (x x1 )(x x2 )(x x3 ) 3 2 x (x1 x2 x3 )x (x1x2 x2 x3 x3x1 )x x1x2 x3 Suy ra x1 x2 x3 a (2) a Từ (1) và (2), ta suy ra 3x a hay x 2 2 3 a Dẫn tới phương trình đã cho có nghiệm x , tức là: 2 3 3 2 3 a a a 2a ba 3 a b c 0 c 0 9ab 2a 27c 3 3 3 27 3 Ta có đpcm. 2 2. Giả sử ba nghiệm x1 ,x2 ,x3 lập thành CSN, suy ra x1x3 x2 3 3 Theo phân tích bài trên, ta có: x1x2 x3 c x2 c x2 c 3 Hay phương trình đã cho có nghiệm x2 c , tức là: 3 2 3 c a 3 c b 3 c c 0 b 3 c a 3 c2 c(ca3 b3 ) 0 Bài toán được chứng minh. Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi cách chia tập X 1,2,3, ,9 thành hai tập con rời nhau luôn có một tập chứa ba số lập thành cấp số cộng. Lời giải: Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp phản chứng Giả sử X được chia thành hai tập con A và B đồng thời trong A và B không có ba số nào lập thành CSC. Xét ba CSC (1;3;5), (3;4;5), (3;5;7)
16. Ta thấy số 3, 5 không thể cùng nằm trong một tập hợp, vì nếu hai số này thuộc A thì 1,4,7 phải thuộc B, tuy nhiên các số 1,4,7 lại lập thành CSC. Tương tự bằng cách xét CSC (3;5;7), (5;6;7), (5;7;9) thì ta có hai số 5,7 không thể cũng nằm trong một tập. Vì cặp (3;5) và (5;7) hkoogn cùng thuộc một tập nên ta suy ra (3;7) thuộc A, 5 thuộc B. Khi đó ta xét các trường hợp sau 4 A , vì 3,4 A 2 A 2 B , do 1,4,7 lập thành CSC nên 1 B ; 2,5,8 lập thành CSC nên 8 A 9 B Do đó 1,5,9 B lập thành CSC vô lí 4 B , do 4,5 B 6 A mà 6,7 A 8 B 5,8 B 2 A , vì 2,3 A 1 B , vì 1,5 B 9 A Do đó: 3,6,9 B vô lí. Vậy bài toán được chứng minh. 1 Ví dụ 5. Dãy số (xn) thỏa mãn điều kiện: x x x m,n ¥ * . Chứng minh n m m n m n rằng: (xn) là một cấp số cộng. Lời giải: 1 Đặt a x nx , khi đó ta có a 0 và |a a a | ,m,n ¥ . Ở đây ta sẽ n n 1 1 m n m n m n chứng minh an 0,n ¥ . Thật vậy, ta có: 1 a a ,n ¥ , nên lim|a a | 0 hay lim|a a | 0,k ¥ . n 1 n n 1 n 1 n n k n 1 Mà a a a nên lim|a a a | 0 . n k n k n k n n k n k Từ đây suy ra ak 0,k ¥ . Vậy ta có điều phải chứng minh. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 1. Cho ba số a,b,c lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng : a2 2bc c2 2ab . 2. Cho a,b,c 0 lập thành cấp sô cộng.Chứng minh rằng : 1 1 2 . a b b c c a 3. Cho (un) là cấp số cộng. Chứng minh rằng : 1 u u u , 1 k n 1 n 2 n k n k Lời giải:
17. 1. Vì a,b,c lập thành cấp số cộng nên a c 2b . Do đó : a2 2bc c2 2ab a c a c 2b a c a c a c 2b 0 Suy ra a2 2bc c2 2ab . 2. Gọi d là công sai của cấp số, suy ra b a c b d,c a 2d 1 1 b a c b c a Do đó: a b b c d d d c a 2 . d( c a) c a u u (n k 1)d 3. Gọi d là công sai của cấp số. Ta có: n k 1 un k u1 (n k 1)d u u u u 2u 2n 2 d 2u u n k n k n k n k 1 n n 2 Bài 2 A B 1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng tan ; tan ; 2 2 C tan lập thành cấp số cộng cos A;cos B;cosC lập thành cấp số cộng. 2 A B C 2. Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng cot ;cot ;cot lập thành cấp số cộng 2 2 2 sin A;sin B;sinC lập thành cấp số cộng. Lời giải: A B C 1. Ta có: tan ; tan ; tan lập thành cấp số cộng 2 2 2 A C B sin( ) sin A C B tan tan 2 tan 2 2 2 2 2 2 2 A C B cos cos cos 2 2 2 2 B B A C A C cos sin cos cos 2 2 2 2 2 2 1 cos B 1 cos B 1 cos A cosC 2 2 2 cos A cosC cos B cos A,cos B,cosC lập thành CSC. 2 A B B C 2. Ta có: cot cot cot cot 2 2 2 2
18. A B B A B C C B cos sin cos sin cos sin cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C B sin sin sin sin 2 2 2 2 B A B A C B C B sin cos sin .cos 2 2 2 2 sin B sin A sinC sin B sin A sinC 2sin B . Bài 3 Cho a,b,c lập thành cấp số nhân . .Chứng minh rằng : 1. a b c a b c a2 b2 c2 2 2. a2 b2 b2 c2 ab bc 3 3 3. ab bc ca abc a b c 4. an bn cn an bn cn a2n b2n c2n ; n ¥ * Lời giải: Vì a,b,c lập thành cấp số nhân nên ta có b2 ac . 2 1. Ta có: a b c a b c a c b2 a2 2ac c2 b2 a2 2b2 c2 b2 a2 b2 c2 2 2. Ta có: a2 b2 b2 c2 a2 ac ac c2 ac a c 2 2 b2 a c ab bc . 3. b2 ac 3 3 Ta có: ab bc ca ab bc b2 b3 (a b c)3 abc(a b c)3 . 4. Ta có: VT (an cn )2 b2n a2n c2n b2n 2(ancn b2n ) a2n b2n c2n . Bài 4 Cho (un) là cấp số nhân .Chứng minh rằng : 1. a1an ak .an k 1 , k 1;n 2 2. Sn S3n S2n S2n Sn . Lời giải: Gọi q là công bội của cấp số n 1 2 n 1 1. Ta có: a1an a1.a1q a1 q k 1 n k 2 n 1 ak .an k 1 a1.q .a1.q a1 .q
19. Suy ra : a1an ak .an k 1 . qn 1 q3n 1 q2n 1 q2n (qn 1)2 2 2. Ta có: Sn S3n S2n u1 .u1 u1 2 q 1 q 1 q 1 (q 1) 2 2n n 2n n 2 2 q 1 q 1 q (q 1) 2 S2n Sn u1 u1 u1 2 q 1 q 1 (q 1) 2 Suy ra Sn S3n S2n S2n Sn . Bài 5 1. Điều cần và đủ để ba số khác không a,b,c là ba số hạng của một CSN là tồn tại ba số nguyên khác không p,t,r sao cho p t r 0 p t r . a .b .c 1 2. Cho cấp số cộng (an) với các số hạng khác không và công sai khác không.Chứng minh 1 1 1 n 1 rằng: . a1a2 a2a3 an 1an a1an 1 1 2 a a a a a a 3. Cho bốn số thực a ; a ; a ; a .Biết rằng : 1 2 2 3 1 3 1 2 3 4 1 1 1 3 a1a2 a2a3 a3a4 a1a4 Chứng minh rằng : a1 ; a2 ; a3 ; a4 lập thành cấp số cộng. 4. Cho a,b,c lần lượt là ba số hạng thứ m,n, p của một cấp số cộng. Chứng minh rằng : a. n p b. p m c. m n 0 . 5. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba số a,b,c là ba số hạng của một CSC là pa qb rc 0 tồn tại ba số nguyên khác không p,q,r thỏa: . p q r 0 6.Cho CSC (un ) thỏa Sm Sn ( m n ). Chứng minh Sm n 0 . 7. Chứng minh rằng nếu ba cạnh của tam giác lập thành CSN thì công bội của CSN đó 5 1 1 5 nằm trong khoảng ; . 2 2 Lời giải:
20. 1. Giải sử a,b,c là ba số hạng thứ k 1;l 1; m 1 của cấp số nhân có công bội q , khi đó ta có : l m k l k l m a k l b l m a b l m m l k 1 k 1 a u1.q ;b u1.q ;c u1.q q ; q a .b .c 1 b c b c Đặt p l m;t m l k 1;r k 1 . Khi đó ta có ba số p,t,r thỏa mãn yêu cầu bài toán. p r p t r 0 a b p r p r Giả sử ta có p t r a .c b (*) a .b .c 1 b c Do p t r 0 nên tồn tại ít nhất một số dương và một số âm. b Giải sử r 0,t 0 . Đặt qr b a.qr kết hợp với (*) ta có a p r r a a.q r p r c a.q . a.q c Vậy ba số a,b,c là ba số hạng của cấp số nhân với a là số hạng đầu,b là số hạng thứ r 1;c là số hạng thứ r p 1 . 1 1 1 1 2. Ta có akak 1 d ak ak 1 1 1 1 1 1 1 n 1 Suy ra a1a2 a2a3 an 1an d a1 an a1an 1 1 2 3. Ta có a3 a1 2a2 a1 a2 a2 a3 d a1a2 a2a3 a1a3 1 1 1 3 2 1 3 a1a2 a2a3 a3a4 a1a4 a1a3 a3a4 a1a4 2a4 a1 3a3 2a4 3(a1 2d) a1 a4 a1 3d . 4. Ta có: b a (n m)d; c a (p m)d Suy ra VT a(n p) a (n m)d (p m) a (p m)d (m n) d (n m)(p m) (p m)(m n) 0 . 5. Giả sử a,b,c là ba số hạng thứ m 1,n 1,k 1 của một CSC (un ) a b d a u1 md m n Ta có: b u nd m(a b) mb an 1 u a 1 m n m n Mặt khác: c u1 kd (m n)c mb na k(a b) (k n)a (m k)b (n m)c 0
21. pa qb rc 0 Đặt p k n,q m k,r n m p q r 0 Giả sử tồn tại ba số nguyên khác không p,q,r sao cho pa qb rc 0 p q r 0 Không mất tính tổng quát ta giả sử a b c và p,q,r 0 Ta có: p q r nên ( q r)a qb rc 0 (a b)p (c a)r a b Đặt d a b rd,c a pd b (p r)d r Vậy b,a,c là ba số hạng u1 ,ur ,up r của một CSC. a,b,c 2 2 6. Ta có Sm Sn 2u1(m n) (m n )d (m n)d 0 2u1 (m n 1)d 0 n m Suy ra Sm n 2u1 (m n 1)d 0 . 2 7. Giả sử là ba cạnh tam giác theo thứ tự đó lập thành CSN với công bội q . a aq aq2 q2 q 1 0 Ta có: 2 2 aq aq a q q 1 0 1 5 1 5 q ; 2 2 5 1 5 1 q ; . 1 5 1 5 2 2  q ; ; 2 2 Bài 6 1. Chứng minh ba số a,b,c 0 là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi 3 số a2 ab b2 ;c2 ca a2 ;b2 bc c2 cũng là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. 2. Cho (un ) là cấp số nhân. Kí hiệu S u1 u2 un ; 1 1 1 T ; P u1u2 un . Hãy tính P theo S,T và n. u1 u2 un Lời giải: 1. Ta có: a2 ab b2 b2 bc c2 2(a2 ca c2 ) 2b2 ab bc a2 2ac c2 b(a b c) b2 (a c)2 0 b(a b c) (a b c)(b a c) 0 2b a c 0 2b a c .
22. n 1 1 qn 1 1 q 1 qn 1 2. Ta có: S u ; T 1 q 1 u 1 u qn 1(q 1) 1 1 1 q n(n 1) n n 1 2 n 1 n 2 S P u1 q u1 q . Suy ra: P T Bài 7 Cho hai số tự nhiên n,k thỏa k 3 n . k k 1 k 2 1. Chứng minh rằng tồn tại không quá hai giá trị của k sao cho Cn , Cn và Cn là ba số hạng liên tiếp của một CSC. k k 1 k 2 k 3 2. Chứng minh rằng không tồn tại k để Cn , Cn ,Cn và Cn là bốn số hạng liên tiếp của một CSC. Lời giải: k k 2 k 1 1. Ta có: Cn Cn 2Cn n! n! n! 2 k!(n k)! (k 2)!(n k 2)! (k 1)!(n k 1)! (k 1)(k 2) (n k)(n k 1) 2(k 2)(n k) Đây là phương trình bậc hai ẩn k nên có nhiều nhất hai nghiệm. k k 1 k 2 k 3 2. Giả sử tồn tại k để Cn , Cn ,Cn và Cn là bốn số hạng liên tiếp của một CSC. k n k n k n k 1 n k 2 n k 3 Do Cn Cn nên suy ra: Cn ,Cn ,Cn ,Cn cũng tạo thành bốn số hạng liên tiếp của một CSC. Vậy ta có các bộ sau là ba số hạng liên tiếp của một CSC: k k 1 k 2 Cn ,Cn ,Cn k k 1 k 2 k 3 Cn , Cn ,Cn ,Cn n k 3 n k 2 n k 1 Cn ,Cn ,Cn n k 2 n k 1 n k Cn ,Cn ,Cn Ta chứng minh tập k,k 1,n k 3,n k 2 chứa không quá hai số khác nhau. Thật vậy, giả sử k,k 1,n k 3 là ba số khác nhau. k k 1 k 2 Khi đó, tồn tại ba CSC: Cn ,Cn ,Cn k 1 k 2 k 3 Cn ,Cn ,Cn n k 3 n k 2 n k 1 Cn ,Cn ,Cn Điều này trái với kết quả câu 1)
23. Do k,k 1 và k k 3,n k 2 là các số tự nhiên liên tiếp nên ta có: k n k 3 k 1 n k 2 k 2 Cn Cn Cn k 1 n k 2 k k 1 k 2 Suy ra Cn Cn Cn (1). k k 1 Xét phương trình : Cn Cn (2) n! n! n 1 k 1 n k k k!(n k)! (k 1)!(n k 1)! 2 Suy ra phương trình (2) có không quá một nghiệm k , điều này dẫn tới (1) mâu thuẫn. k k 1 k 2 k 3 Vậy không tồn tại k để Cn , Cn ,Cn và Cn là bốn số hạng liên tiếp của một CSC. Bài 8 n u u u n 1 n 1 2k k 1 1 n 1 1. Cho (un ) là CSC. Chứng minh rằng:  k . n 1  k 0 Cn 2 2 k 1 k 2. Cho k là một số nguyên dương cho trước. Giả sử s1 ,s2 ,s3 , là một dãy tăng nghặt các số nguyên dương sao cho các dãy con s ,s ,s , và s ,s ,s , đều là cấp số s1 s2 s3 s1 k s2 k s3 k cộng. Chứng minh rằng s1 ,s2 ,s3 , cũng là một cấp số cộng Lời giải: u u u u 1 n 1 k 1 n k 1  1. Ta có k n k , k 0,1,2, ,n Cn Cn n u n u u n u u n 1 Nên 2 k 1 k 1 n k 1 k 1 n k 1 (u u )  k  k n k  k 1 n 1  k k 0 Cn k 0 Cn Cn k 0 Cn k 0 Cn Do đó, để chứng minh đẳng thức đã cho ta chỉ cần chứng minh n 1 n 1 n 1 2k  k n 1  (1). k 0 Cn 2 k 1 k Ta chứng minh (1) bằng quy nạp 1 1 2 Với n 1 ta có: VT(1) 0 1 2 và VP(1) 2 2 2 C1 C1 4 Nên (1) đúng với n 1. n 1 n 1 n 1 2k n 1 1 n 2 n 2 2k Giả sử  k n 1  , ta chứng minh  k n 2  (2) k 0 Cn 2 k 1 k k 0 Cn 1 2 k 1 k n 1 1 1 n 1 n 1 Thật vậy:  k 0  k 1 1  k 1 k 0 Cn 1 Cn 1 k 0 Cn 1 k 0 Cn 1 (n 1)! n 1 Mà C k 1 C k n 1 (k 1)!(n k)! k 1 n
24. n 1 1 n k 1 1 n k 1 n k 1 Suy ra  k 1  k  k n k k 0 Cn 1 n 1 k 0 Cn 2(n 1) k 0 Cn Cn n 2 n 1 n 2 n 1 n 1 2k n 2 n 1 2k  k n 1  n 2  2(n 1) k 0 Cn 2(n 1) 2 k 1 k 2 k 1 k n 1 1 n 2 n 1 2k n 2 n 2 2k Suy ra  k 1 n 2  n 2  dẫn tới (2) được chứng minh k 0 Cn 1 2 k 1 k 2 k 1 k 2. Gọi p và q lần lượt là công sai của các cấp số cộng s ,s ,s , và s ,s ,s , . s1 s2 s3 s1 k s2 k s3 k Đặt a s p và b s q . s1 s1 k Theo công thức tính số hạng tổng quát của một cấp số cộng và với số nguyên dương n ta có: s s (n 1)p a np, s s (n 1)q b nq. sn s1 sn k s1 k Từ dãy s1 ,s2 ,s3 , là một dãy tăng ngặt, nên với mọi số nguyên dương n và với chú ý s k s ta có s k 1 s s , n n k sn sn k sn k từ đó ta thu được a np k 1 b nq a (n 1)p, điều này tương đương với 0 k 1 b a n(q p) kp, nếu p q thì ta thấy bất đẳng thức trên mâu thuẫn khi cho n cằng lớn. Nên suy ra p q và do đó 0 k 1 b a kp (1) Đặt m min sn 1 sn : n 1,2, . Khi đó b a (s q) (s p) s s km (2) và s1 k s1 s1 k s1 kp a (s1 k)p (a s1p) ss ss sb p sa q m(b a) (3) s1 k s1 Ta xét hai trường hợp: b a kp . Khi đó, với mỗi số nguyên dương n , s b np a (n k)p s , từ đây kết hợp với sn k sn k dãy s1 ,s2 ,s3 , là một dãy tăng ngặt ta có sn k sn k . Mặt khác do sn sn 1 sn k sn k nên sn 1 sn 1 và do đó s1 ,s2 ,s3 , là một cấp số cộng với công sai bằng 1. b a kp . Chọn số nguyên dương N sao cho sN 1 sN m . Khi đó m(a b p k) m((a (N 1)p) (b Np k)) sa (N 1)p sb Np k ss ss k sN 1 sN k (a sN 1p) (b (sN k)p) (sN 1 sN )p a b kp mp a b kp, do vậy: (b a km) (kp m(b a)) 0. (4)
25. Từ các bất đẳng thức (2), (3) và (4) ta thu được các đẳng thức sau: b a km và kp m(b a) . Giả sử tồn tại số nguyên dương n sao cho sn 1 sn m . Khi đó m(m 1) m(s s ) s s (a (n 1)p) (a np) n 1 n sn 1 sn m(b a) p m2 , vô lý. k Vì vậy điều giả sử là sai nên sn 1 sn m với mọi n ¥ hay dãy s1 ,s2 ,s3 , là một cấp số cộng có công sai bằng m . Vấn đề 3. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số Phương pháp: a,b,c theo thứ tự đó lập thành CSC a c 2b a,b,c theo thứ tự đó lập thành CSN ac b2 . Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm x biết : 1. x2 1,x 2,1 3x lập thành cấp số cộng ; A. x 4,x 3 B. x 2,x 3 C. x 2,x 5 D. x 2,x 1 2. 1,x2 ,6 x2 lập thành cấp số nhân. A. x 1 B. x 2 C. x 2 D. x 3 Lời giải: 1. Ta có: x2 1,x 2,1 3x lập thành cấp số cộng x2 1 1 3x 2(x 2) x2 5x 6 0 x 2; x 3 Vậy x 2,x 3 là những giá trị cần tìm. 2. Ta có: 1,x2 ,6 x2 lập thành cấp số nhân x4 6 x2 x 2 . Ví dụ 2. Cho các số 5x y, 2x 3y, x 2y lập thành cấp số cộng ; các số 2 2 y 1 ,xy 1, x 1 lập thành cấp số nhân.Tính x, y 1 4 3 3 10 4 3 3 A. (x; y) 0;0 ; ; ; ; B. (x; y) 0;0 ; ; ; ; 3 3 4 10 3 3 4 10 11 4 3 3 10 4 13 13 C. (x; y) 1;0 ; ; ; ; D. (x; y) 0;1 ; ; ; ; 3 3 4 10 3 3 4 10 Lời giải:
26. Ta có các số 5x y, 2x 3y, x 2y lập thành CSC nên suy ra 2 2x 3y 5x y x 2y hay 2x 5y (1) 2 2 Các số y 1 ,xy 1, x 1 lập thành CSN suy ra 2 2 2 xy 1 y 1 x 1 4 2y 2x 4xy 2x 2y 0 (2) Thay (1) vào (2) ta được : 4 2y 5y 10y2 5y 2y 0 4 3 y 4 3y 10y 3 0 y 0, y , y . 3 10 10 4 3 3 Vậy (x; y) 0;0 ; ; ; ; . 3 3 4 10 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Tìm x để các số sau lập thành cấp số cộng 1. 1; x; x3 2. 1;sin x ; 4sin x 6 Bài 2. Tìm x, y biết: 1. Các số x 5y,5x 2y,8x y lập thành cấp số cộng và các số 2 2 y 1 ,xy 1, x 1 lập thành cấp số nhân. 3 3 3 3 A. (x; y) 3; ; 3; B. (x; y) 3; ; 3; 2 2 2 2 3 3 3 3 C. (x; y) 3; ; 3; D. (x; y) 3; ; 3; 2 2 2 2 5 2. Các số x 6y,5x 2y,8x y lập thành cấp số cộng và các số x y, y 1,2x 3y lập 3 thành cấp số nhân. 3 1 1 1 A. (x; y) 3; 1 ; ; B. (x; y) 3; 1 ; ; 8 8 8 8 3 1 12 1 C. (x; y) 3;1 ; ; D. (x; y) 3; 1 ; ; 8 8 8 8 Lời giải: x 5y 8x y 2(5x 2y) 1 Ta có hệ: 2 2 2 giải hệ này ta tìm được (x 1) (y 1) (xy 1)
27. 3 3 (x; y) 3; ; 3; . 2 2 x 6y 8x y 2(5x 2y) 2. Ta có hệ: 5 2 giải hệ này ta tìm được (x y)(2x 3y) (y 1) 3 3 1 (x; y) 3; 1 ; ; . 8 8 Bài 3. Xác định a,b để phương trình x3 ax b 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. A. b 0,a 0 B. b 0,a 1 C. b 0,a 0 D. b 0,a 0 Lời giải: Đáp số: b 0,a 0 . Khi đó phương trình có ba nghiệm lập thành CSC là x 0,x a . Bài 4 Tìm m để phương trình: 1. mx4 2 m 1 x2 m 1 0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 9 7 9 A. m B. m 1 C. m D. m 16 16 12 2. x3 3mx2 4mx m 2 0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân 1 10 10 m m m 1 m A. 27 B. 7 C. D. 27 m 0 m 0 m 0 m 0 Lời giải: 9 1. Đáp số : m 16 2. Giả sử phương trình có ba nghiệm a,b,c lập thành CSN abc 2 m 3 Suy ra 2 m 2 b thay vào phương trình ta có b ac 4 10 b m 3 (3b 4)(b 2) 0 3 27 3 b 2 m 0 Thay ngược lại ta thấy không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán.
28. Bài 5 Xác định m để: 1. Phương trình x3 3x2 9x m 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. A. m 16 B. m 11 C. m 13 D. m 12 2. Phương trình x4 2 m 1 x2 2m 1 0 (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 4 4 A. m 2 hoặc m B. m 4 hoặc m 9 9 C. m 4 hoặc m 2 D. m 3 hoặc m 1 3. Phương trình x3 2x2 m 1 x 2 m 1 0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân. A. m 1,m 3,m 4 B. m 1,m 13,m 4 C. m 1,m 3,m 4 D. m 1,m 3,m 4 Lời giải: 1. Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. Khi đó: x1 x3 2x2 ,x1 x2 x3 3 x2 1 Thay vào phương trình ta có : m 11. Với m 11 ta có phương trình : x3 3x2 9x 11 0 2 x 1 x 2x 11 0 x1 1 12,x2 1,x3 1 12 Ba nghiệm này lập thành CSC. Vậy m 11 là giá trị cần tìm. 2. Đặt t x2 ,t 0 . Phương trình trở thành: t2 2 m 1 t 2m 1 0 (2) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt t2 t1 0 . 2 ' 0 m 1 2m 1 0 1 P 0 2m 1 0 m 0 2 S 0 2 m 1 0 Khi đó PT(2) có bốn nghiệm là: t2 ; t1 ; t1 ; t2 Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi : t t 2 t 2 1 1 t 3 t t 9t 2 1 2 1 t1 t2 2 t1
29. t t 2 m 1 Theo định lý viet thì : 1 2 t1t2 2m 1 m 4 t1 9t1 2 m 1 2 9m 32m 16 0 4 . t1 9t1 2m 1 m 9 4 Vậy m 4 hoặc m là những giá trị cần tìm. 9 3. Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành CSN,khi đó : x x x2 1 3 2 m 1 x x x 2 x 1 2 3 2 2 x1x2 x2 x3 x3x1 m 1 thay vào phương trình ta có : m 1,m 3,m 4 . Bằng cách thay từng giá trị của m vào phương trình ta thấy không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán.