Bài tập Đại số Lớp 11 - Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp. Tổ hợp - Trường THPT Phùng Khắc Khoan

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 11 - Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp. Tổ hợp - Trường THPT Phùng Khắc Khoan

1. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11  BÀI 02 HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP I – Hoán vị 1. Định nghĩa Cho tập A gồm n phần tử (n ³ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. 2. Định lí Số các hoán vị của n phần tử, kí hiệu là Pn = n! = n.(n - 1).(n - 2) 3.2.1. II – Chỉnh hợp 1. Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ³ 1). Kết quả của việc lấy k (1£ k £ n) phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. 2. Định lí n! Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là Ak = . n (n - k)! 3. Một số qui ước 0 n 0! = 1, An = 1, An = n! = Pn III – Tổ hợp 1. Định nghĩa Giả sử tập A có n phần tử (n ³ 1). Mỗi tập con gồm k (1£ k £ n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. 2. Định lí n! Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là C k = . n k!.(n - k)! 3. Một số quy ước 0 n Cn = 1, Cn = 1 n! với qui ước này ta có C k = đúng với số nguyên dương k thỏa 0 £ k £ n. n k!.(n - k)! 4. Tính chất k n- k Tính chất 1. Cn = Cn (0 £ k £ n). k- 1 k k Tính chất 2. Cn- 1 + Cn- 1=Cn (1£ k £ n). CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. HOÁN VỊ Câu 1. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng có 5 đội bóng? (giả sử rằng không có hai đội nào có điểm trùng nhau) A. 120. B. 100. C. 80. D. 60. Câu 2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài? A. 120 B. 5 C. 20 D. 25 Câu 3. Số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi là: A. 6!4!. B. 10!. C. 6!- 4!. D. 6!+ 4!. Trang 1
2. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 Câu 4. Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp sao cho bạn Chi luôn ngồi chính giữa là A. 24. B. 120. C. 60. D. 16. Câu 5. Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng luôn ngồi ở hai đầu ghế? A. 120. B. 16 C. 12. D. 24. Câu 6. Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau? A. 24. B. 48. C. 72. D. 12. Câu 7. Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau? A. 345600. B. 725760. C. 103680. D. 518400. Câu 8. Cô dâu và chú rể mời 6 người ra chụp ảnh kỉ niệm, người thợ chụp hình có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho cô dâu, chú rể đứng cạnh nhau. A. 8!- 7!. B. 2.7!. C. 6.7!. D. 2!+ 6!. Câu 9. Trên giá sách muốn xếp 20 cuốn sách khác nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho tập 1 và tập 2 đặt cạnh nhau. A. 20!- 18!. B. 20!- 19!. C. 20!- 18!.2!. D. 19!.18. Câu 10. Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn? A. 12. B. 24. C. 4. D. 6. Câu 11. Có 4 nữ sinh tên là Huệ, Hồng, Lan, Hương và 4 nam sinh tên là An, Bình, Hùng, Dũng cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp biết nam và nữ ngồi xen kẽ nhau? A. 576. B. 144. C. 2880. D. 1152. Câu 12. Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau: A. 44. B. 24.C. 1. D. 42. Vấn đề 2. CHỈNH HỢP Câu 13. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài? A. 15. B. 720. C. 30. D. 360. Câu 14. Giả sử có bảy bông hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mội lọ cắm một bông)? A. 35. B. 30240. C. 210. D. 21. Câu 15. Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mội lọ cắm không quá một một bông)? A. 60. B. 10. C. 15. D. 720. Câu 16. Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau? A. 15. B. 360. C. 24. D. 17280. r Câu 17. Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này? A. 15. B. 12. C. 1440. D. 30. Câu 18. Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn luyện viên mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ để đá luân lưu 5 quả 11 mét. Hãy tính xem huấn luyện viên của mỗi đội có bao nhiêu cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ. A. 462. B. 55. C. 55440. D. 11!.5! Câu 19. Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích cùng lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba? A. 336. B. 56. C. 24. D. 120. Trang 2
3. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 Câu 20. Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn ra 3 người vào ban thường vụ. Nếu cần chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn? A. 210. B. 200. C. 180. D. 150. Câu 21. Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể? A. 2730. B. 2703. C. 2073. D. 2370. Câu 22. Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể? A. 94109040. B. 94109400. C. 94104900. D. 94410900. Câu 23. Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất? A. 944109. B. 941409. C. 941094. D. 941049. Câu 24. Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải? A. 3766437. B. 3764637. C. 3764367. D. 3764376. Câu 25. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, ¼ , 9 ? A. 15120. B. 95. C. 59. D. 126. Câu 26. Cho tập A = {0,1, 2, ¼ , 9}. Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau lấy ra từ tập A là? A. 30420. B. 27162. C. 27216. D. 30240. Câu 27. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3? A. 249. B. 7440. C. 3204. D. 2942. Vấn đề 3. TỔ HỢP Câu 28. Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên? A. 9880. B. 59280. C. 2300. D. 455. Câu 29. Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người, hỏi có bao nhiêu cách lập? A. 25. B. 252. C. 50. D. 455. Câu 30. Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người trong ban thường vụ. Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu các chọn? A. 25. B. 42. C. 50. D. 35. Câu 31. Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. Nếu kết quả cuộc thi và việc chọn ra 4 người có điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra? A. 1635. B. 1536. C. 1356. D. 1365. Câu 32. Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ? A. 665280. B. 924. C. 7. D. 942. Câu 33. Có bao nhiêu cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con? A. 104. B. 450. C. 1326. D. 2652. Trang 3
4. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 Câu 34. Có 15 đội bóng đá thi đấu theo thể thức vòng tròn tính điểm. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu? A. 100. B. 105. C. 210. D. 200. Câu 35. Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa giống nhau vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông)? A. 10. B. 30. C. 6. D. 60. Câu 36. Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 2018 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P ? 2018! 2016! 2018! 2018! A. . B. . C. . D. . 2016! 2! 2! 2016!.2! Câu 37. Cho 10 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng khác nhau tạo bởi 2 trong 10 điểm nói trên? A. 90. B. 20. C. 45. D. Một số khác. Câu 38. Trong mặt phẳng, cho 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho? A. 15. B. 20. C. 60. D. Một số khác. Câu 39. Cho 10 điểm phân biệt A1, A2 , , A10 trong đó có 4 điểm A1, A2 , A3 , A4 thẳng hàng, ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy trong 10 điểm trên? A. 96 tam giác. B. 60 tam giác. C. 116 tam giác. D. 80 tam giác. Câu 40. Cho mặt phẳng chứa đa giác đều (H ) có 20 cạnh. Xét tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của (H ). Hỏi có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H ). A. 1440. B. 360. C. 1120. D. 816. Câu 41. Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 . Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, trên d2 lầy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ 37 điểm này. A. 5690. B. 5960. C. 5950. D. 5590. Câu 42. Số giao điểm tối đa của 5 đường tròn phân biệt là: A. 10. B. 20. C. 18. D. 22. Câu 43. Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là: A. 50. B. 100. C. 120. D. 45. Câu 44. Với đa giác lồi 10 cạnh thì số đường chéo là A. 90. B. 45. C. 35. D. Một số khác. Câu 45. Cho đa giác đều n đỉnh, n Î ¥ và n ³ 3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo. A. n = 15. B. n = 27. C. n = 8. D. n = 18. Câu 46. Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng phân biệt song song với nhau và năm đường thẳng phân biệt vuông góc với bốn đường thẳng song song đó. A. 60. B. 48. C. 20. D. 36. Câu 47. Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn học sinh sao cho trong đó có đúng 3 học sinh nữ? A. 110790. B. 119700. C. 117900. D. 110970. Câu 48. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ? 1 1 2 2 2 2 2 2 A. 4!C4C5 . B. 3!C3 C5 . C. 4!C4 C5 . D. 3!C4 C5 . Câu 49. Một túi đựng 6 bi trắng, 5 bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó. Hỏi có bao nhiêu cách lấy mà 4 viên bi lấy ra có đủ hai màu. A. 300. B. 310. C. 320. D. 330. Câu 50. Một nhóm học sinh có 6 bạn nam và 5 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong đó có cả nam và nữ? A. 455. B. 7. C. 456. D. 462. Câu 51. Để chào mừng kỉ niệm ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh, nhà trường tổ chức cho học sinh cắm trại. Lớp 10A có 19 học sinh nam và 16 học sinh nữ. Giáo viên cần chọn 5 học sinh để trang Trang 4
5. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 trí trại. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất 1 học sinh nữ? Biết rằng học sinh nào trong lớp cũng có khă năng trang trí trại. 5 5 5 5 5 5 A. C19 . B. C35 - C19 . C. C35 - C16 . D. C16 . Câu 52. Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 25 nam và 15 nữ. Giáo viên cần chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất 1 học sinh nam? A. 2625. B. 455. C. 2300. D. 3080. Câu 53. Từ 20 người cần chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư kí và 3 ủy viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đoàn đại biểu ? A. 4651200. B. 4651300. C. 4651400. D. 4651500. Câu 54. Một tổ gồm 10 học sinh. Cần chia tổ đó thành ba nhóm có 5 học sinh, 3 học sinh và 2 học sinh. Số các chia nhóm là: A. 2880. B. 2520. C. 2515. D. 2510. Câu 55. Một nhóm đoàn viên thanh niên tình nguyện về sinh hoạt tại một xã nông thôn gồm có 21 đoàn viên nam và 15 đoàn viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân chia 3 nhóm về 3 ấp để hoạt động sao cho mỗi ấp có 7 đoàn viên nam và 5 đoàn viên nữ? 12 12 7 5 7 5 7 5 A. 3C36 . B. C36 . C. 3C21C15. D. C21C15C14C10 . Câu 56. Trong một giỏ hoa có 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa coi như đôi một khác nhau). Người ta muốn làm một bó hoa gồm 7 bông được lấy từ giỏ hoa đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hoa biết bó hoa có đúng 1 bông hồng đỏ? A. 56. B. 112. C. 224. D. 448. Câu 57. Một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi sao cho có đủ cả ba màu. Số cách chọn là: A. 2163. B. 3843. C. 3003. D. 840. Câu 58. Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn? A. 126. B. 102. C. 98. D. 100. Câu 59. Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong số học sinh giỏi đó sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh? A. 85. B. 58. C. 508. D. 805. Câu 60. Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh tham gia IOE cấp tỉnh. Tính số cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10. A. 50. B. 500. C. 502. D. 501. Câu 61. Đội văn nghệ của một nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Cần chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ đó để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp 12A? A. 80. B. 78. C. 76. D. 98. Câu 62. Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ? A. 280. B. 400. C. 40. D. 1160. Câu 63. Một hộp bi có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi trong đó số viên bi đỏ lớn hơn số viên bi vàng. A. 654. B. 275. C. 462. D. 357. Câu 64. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Từ đó người ta muốn chọn ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì đã chọn. Hỏi có bao nhiêu cách làm như thế? A. 1000. B. 1200. C. 2000. D. 2200. Trang 5
6. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 Câu 65. Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập, người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 câu hỏi bài tập. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đề như trên ? A. 69. B. 88. C. 96. D. 100. Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 66. Tìm tất cả các giá trị x Î ¥ thỏa mãn 6(Px - Px- 1 )= Px + 1. A. x = 2. B. x = 3. C. x = 2; x = 3. D. x = 5. 2 Câu 67. Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa mãn P2 .x – P3.x = 8. A. S = - 4. B. S = - 1. C. S = 4. D. S = 3. 2 2 Câu 68. Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn 3Ax - A2x + 42 = 0 ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 6. 10 9 8 Câu 69. Cho số tự nhiên x thỏa mãn Ax + Ax = 9Ax . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. x là số chính phương. B. x là số nguyên tố. C. x là số chẵn. D. x là số chia hết cho 3. 3 2 Câu 70. Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn An + 5An = 2(n + 15)? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 1 2 3 Câu 71. Tìm giá trị n Î ¥ thỏa mãn Cn+ 1 + 3Cn+ 2 = Cn+ 1. A. n = 12. B. n = 9. C. n = 16. D. n = 2. x x + 2 x + 1 Câu 72. Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãn C14 + C14 = 2C14 . A. P = 4. B. P = 32. C. P = - 32. D. P = 12. 1 1 7 Câu 73. Tính tổng S của tất cả các giá trị của n thỏa mãn 1 - 2 = 1 . Cn Cn+ 1 6Cn+ 4 A. S = 8. B. S = 11. C. S = 12. D. S = 15. 0 x- 1 x- 2 Câu 74. Tìm giá trị x Î ¥ thỏa mãn Cx + Cx + Cx = 79. A. x = 13. B. x = 17. C. x = 16. D. x = 12. n+ 1 n Câu 75. Tìm giá trị n Î ¥ thỏa mãn Cn+ 4 - Cn+ 3 = 7(n + 3). A. n = 15. B. n = 18. C. n = 16. D. n = 12. 7n Câu 76. Tìm giá trị n Î ¥ thỏa mãn C 1 + C 2 + C 3 = . n n n 2 A. n = 3. B. n = 4. C. n = 6. D. n = 8. 1 2 3 2 Câu 77. Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa Cx + 6Cx + 6Cx = 9x - 14x. A. S = 2. B. S = 7. C. S = 9. D. S = 14. 6 7 8 9 8 Câu 78. Tìm giá trị n Î ¥ thỏa mãn Cn + 3Cn + 3Cn + Cn = 2Cn+ 2 . A. n = 18. B. n = 16. C. n = 15. D. n = 14. Câu 79. Đẳng thức nào sau đây là sai? 7 7 6 7 2000 6 A. C2007 = C2006 + C2006 . B. C2007 = C2006 + C2006 . 7 2000 1999 7 7 2000 C. C2007 = C2006 + C2006 . D. C2007 = C2006 + C2006 . Câu 80. Đẳng thức nào sau đây là đúng? 2 A. 1+ 2 + 3+ 4 + + n = Cn+ 1. 2 B. 1+ 2 + 3+ 4 + + n = An+ 1. 1 2 n C. 1+ 2 + 3+ 4 + + n = Cn + Cn + + Cn . 1 2 n D. 1+ 2 + 3+ 4 + + n = An + An + + An . 2 2 Câu 81. Tính tích P của tất cả các giá trị của n thỏa mãn Pn An + 72 = 6(An + 2Pn ). A. P = 12. B. P = 5. C. P = 10. D. P = 6. Trang 6
7. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 x- 1 Câu 82. Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãn 7(Ax + 1 + 2P x- 1 )= 30Px . A. P = 7. B. P = 4. C. P = 28. D. P = 14. n+ 3 3 Câu 83. Tìm giá trị n Î ¥ thỏa mãn Cn+ 8 = 5An+ 6 . A. n = 15. B. n = 17. C. n = 6. D. n = 14. 2 x- 1 Câu 84. Tìm giá trị x Î ¥ thỏa mãn Ax .Cx = 48. A. x = 4. B. x = 3. C. x = 7. D. x = 12. 2 n- 1 Câu 85. Tìm giá trị n Î ¥ thỏa mãn An - Cn+ 1 = 5. A. n = 3. B. n = 5. C. n = 4. D. n = 6. 2 2 Câu 86. Tính tích P của tất cả các giá trị của n thỏa mãn An - 3Cn = 15- 5n. A. P = 5. B. P = 6. C. P = 30. D. P = 360. 4 3 x- 4 Câu 87. Tìm giá trị x Î ¥ thỏa mãn 3Ax = 24(Ax + 1 - Cx ). A. x = 3. B. x = 1. C. x = 5. D. x = 1; x = 5. A4 15 Câu 88. Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn n+ 4 < ? (n + 2)! (n - 1)! A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. 2 2 Câu 89. Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn 2Cn+ 1 + 3An - 20 < 0 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. 2 2 Câu 90. Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn 2Cn+ 1 + 3An < 30 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. n- 3 4 Câu 91. Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn 14.P3Cn- 1 < An+ 1 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. ïì y y+ 1 ï Cx - Cx = 0 Câu 92. Giải hệ phương trình í . ï y y- 1 îï 4Cx - 5Cx = 0 ïì x = 17 ïì x = 17 ïì x = 9 ïì x = 7 A. íï . B. íï . C. íï . D. íï . îï y = 8 îï y = - 8 îï y = 8 îï y = 9 C y C y+ 1 C y- 1 Câu 93. Tìm cặp số (x; y) thỏa mãn x + 1 = x = x . 6 5 2 A. (x; y)= (8;3). B. (x; y)= (3;8). C. (x; y)= (- 1;0). D. (x; y)= (- 1;0), (x; y)= (8;3). ì ï x x 1 ï C y :C y+ 2 = ï 3 Câu 94. Giải hệ phương trình íï . ï 1 ï C x : Ax = îï y y 24 ïì x = 4 ïì x = 4 ïì x = 4 ïì x = 4 ïì x = 1 A. íï . B. íï . C. íï , íï . D. íï . îï y = 1 îï y = 8 îï y = 1 îï y = 8 îï y = 8 ïì y y ï 2Ax + 5Cx = 90 Câu 95. Giải hệ phương trình í . ï y y îï 5Ax - 2Cx = 80 ïì x = 5 ïì x = 20 ïì x = 2 ïì x = 6 A. íï . B. íï . C. íï . D. íï . îï y = 2 îï y = 10 îï y = 5 îï y = 3 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. HOÁN VỊ Trang 7
8. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 Câu 1. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng có 5 đội bóng? (giả sử rằng không có hai đội nào có điểm trùng nhau) A. 120. B. 100. C. 80. D. 60. Lời giải. Số các khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng có 5 đội bóng là một hoán vị của 5 phần tử nên có 5! = 120 cách. Chọn A. Câu 2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài? A. 120 B. 5 C. 20 D. 25 Lời giải. Số cách sắp xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài là một hoán vị của 5 phần tử nên có 5! = 120 cách. Chọn A. Câu 3. Số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi là: A. 6!4!. B. 10!. C. 6!- 4!. D. 6!+ 4!. Lời giải. Số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ là một hoán vị của 10 phần tử nên có 10! cách. Chọn B. Câu 4. Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp sao cho bạn Chi luôn ngồi chính giữa là A. 24. B. 120. C. 60. D. 16. Lời giải. Xếp bạn Chi ngồi giữa có 1 cách. Số cách xếp 4 bạn sinh An, Bình, Dũng, Lệ vào 4 chỗ còn lại là một hoán vị của 4 phần tử nên có có 4! cách. Vậy có 24 cách xếp. Chọn A. Câu 5. Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng luôn ngồi ở hai đầu ghế? A. 120. B. 16 C. 12. D. 24. Lời giải. Xếp An và Dũng ngồi hai đầu ghế có 2! cách xếp. Số cách xếp 3 bạn Bình, Chi, Lệ vào 3 ghế còn lại là một hoán vị của 3 phần tử nên có có 3! cách. Vậy có 2!.3! = 12 cách. Chọn C. Câu 6. Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau? A. 24. B. 48. C. 72. D. 12. Lời giải. Số cách xếp 5 bạn vào 5 chỗ trên ghế dài là một hoán vị của 5 phần tử nên có 5! = 120 cách. Số cách xếp sao cho bạn An và bạn Dũng luôn ngồi cạnh nhau là 2.4! = 48 cách ( An và Dũng ngồi cạnh nhau xem như 1 bạn; xếp 4 bạn vào 4 chỗ có 4! cách; cách xếp An và Dũng ngồi cạnh nhau là 2! = 2 ) Vậy số cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau là 120- 48 = 72 cách. Chọn C. Câu 7. Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau? A. 345600. B. 725760. C. 103680. D. 518400. Lời giải. Số các hoán vị về màu bi khi xếp thành dãy là 3! Số cách xếp 3 viên bi đen khác nhau thành dãy là 3! Số cách xếp 4 viên bi đỏ khác nhau thành dãy là 4! Số cách xếp 5 viên bi xanh khác nhau thành dãy là 5! Þ Số cách xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau là 3!.3!.4!.5! = 103680 cách. Chọn C. Câu 8. Cô dâu và chú rể mời 6 người ra chụp ảnh kỉ niệm, người thợ chụp hình có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho cô dâu, chú rể đứng cạnh nhau. A. 8!- 7!. B. 2.7!. C. 6.7!. D. 2!+ 6!. Lời giải. Khi cô dâu, chú rể đứng cạnh nhau (có thể thay đổi vị trí cho nhau), ta coi đó là một phần tử và đứng với 6 vị khách mời để chụp ảnh nên có 2.7! cách sắp xếp. Chọn B. Câu 9. Trên giá sách muốn xếp 20 cuốn sách khác nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho tập 1 và tập 2 đặt cạnh nhau. A. 20!- 18!. B. 20!- 19!. C. 20!- 18!.2!. D. 19!.18. Lời giải. Sắp xếp 20 cuốn sách trên giá là một hoán vị của 20 phần tử nên ta có 20! cách sắp xếp. Trang 8
9. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 Khi hai cuốn tập 1 và tập 2 đặt cạnh nhau (thay đổi vị trí cho nhau), ta coi đó là một phần tử và cùng sắp xếp với 18 cuốn sách còn lại trên giá nên có 2.19! cách sắp xếp. Vậy có tất cả 20!- 2.19! = 19!.18 cách sắp xếp theo yêu cầu bài toán. Chọn D. Câu 10. Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn? A. 12. B. 24. C. 4. D. 6. Lời giải. Chọn 1 người ngồi vào 1 vị trí bất kì . Xếp 3 người còn lại vào 3 ghế trống của bàn là một hoán vị của 3 phần tử nên có có 3! = 6 cách. Chọn D. Câu 11. Có 4 nữ sinh tên là Huệ, Hồng, Lan, Hương và 4 nam sinh tên là An, Bình, Hùng, Dũng cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp biết nam và nữ ngồi xen kẽ nhau? A. 576. B. 144. C. 2880. D. 1152. Lời giải. Giả sử các ghế ngồi đánh số từ 1 đến 8. Chọn 1 bạn bất kì ngồi vào 1 vị trí ngẫu nhiên trên bàn tròn có 1 cách. (Nếu chọn 8 cách thì tức là nhầm với bàn dài). Xếp 3 bạn cùng giới tính còn lại vào 3 ghế (có số ghế cùng tính chẵn hoặc lẻ với bạn đầu) có 3! cách. Xếp 4 bạn còn lại ngồi xen kẽ 4 bạn đẫ xếp ở trên có 4! cách. Vậy có 3!.4! = 144 cách. Chọn B. Câu 12. Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau: A. 44. B. 24.C. 1. D. 42. Lời giải. Số các số tự nhiện có 4 chữ số khác nhau được tạo thành là một hoán vị của 4 phần tử bằng 4! = 24 . Chọn B. Vấn đề 2. CHỈNH HỢP Câu 13. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài? A. 15. B. 720. C. 30. D. 360. Lời giải. Số cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài là một chỉnh hợp chập 4 4 của 6 phần tử. Suy ra có A6 = 360 cách. Chọn D. Câu 14. Giả sử có bảy bông hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mội lọ cắm một bông)? A. 35. B. 30240. C. 210. D. 21. Lời giải. Số cách xếp bảy bông hoa khác nhau vào ba lọ hoa khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 7 3 phần tử. Suy ra có A7 = 210 cách. Chọn C. Câu 15. Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mội lọ cắm không quá một một bông)? A. 60. B. 10. C. 15. D. 720. Lời giải. Số cách cắm 3 bông hoa vào ba lọ hoa khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Suy 3 ra có A5 = 60 cách. Chọn A. Câu 16. Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau? A. 15. B. 360. C. 24. D. 17280. Lời giải. Số cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Suy ra có A4 = 360 cách. Chọn B. 6 r Câu 17. Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này? A. 15. B. 12. C. 1440. D. 30. Lời giải. Mỗi cặp sắp thứ tự gồm hai điểm (A,B) cho ta một vectơ có điểm đầu A và điểm cuối B và ngược lại. Như vậy, mỗi vectơ có thể xem là một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 6 điểm đã cho. Suy ra 2 có A6 = 30 cách. Chọn D. Trang 9
10. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 Câu 18. Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn luyện viên mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ để đá luân lưu 5 quả 11 mét. Hãy tính xem huấn luyện viên của mỗi đội có bao nhiêu cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ. A. 462. B. 55. C. 55440. D. 11!.5! Lời giải. Số cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ đá 5 quả 11 mét là số các chỉnh hợp chập 5 của 11 phần 5 tử. Vậy có A11 = 55440 . Chọn C. Câu 19. Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích cùng lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba? A. 336. B. 56. C. 24. D. 120. Lời giải. Số kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba là số các chỉnh hợp chập 3 của 8 phần 3 tử. Vậy có A8 = 336 . Chọn A. Câu 20. Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn ra 3 người vào ban thường vụ. Nếu cần chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn? A. 210. B. 200. C. 180. D. 150. Lời giải. Số cách chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường vụ từ 7 3 người là số các chỉnh hợp chập ba của bảy phần tử. Vậy có A7 = 210 . Chọn A. Câu 21. Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể? A. 2730. B. 2703. C. 2073. D. 2370. Lời giải. Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì mỗi kết quả ứng với một 3 chỉnh hợp chập ba của 15 phần tử, do đó ta có: A15 = 2730 kết quả. Chọn A. Câu 22. Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể? A. 94109040. B. 94109400. C. 94104900. D. 94410900. 4 Lời giải. Mỗi kết quả ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 100 phần tử, do đó ta có: A100 = 94109400 kết quả. Chọn B. Câu 23. Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất? A. 944109. B. 941409. C. 941094. D. 941049. Lời giải. Vì người giữ vé số 47 trúng giải nhất nên mỗi kết quả ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 99 3 phần tử, do đó ta có: A99 = 941094 kết quả. Chọn C. Câu 24. Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải? A. 3766437. B. 3764637. C. 3764367. D. 3764376. Lời giải. Nếu người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải thì: · Người giữ vé số 47 có 4 cách chọn giải. 3 · Ba giải còn lại ứng với một chỉnh hợp chấp 3 của 99 phần tử, do đó ta có A99 = 941094 cách . 3 Vậy số kết quả bằng 4´ A99 = 4´ 941094 = 3764376 kết quả. Chọn D. Câu 25. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, ¼ , 9 ? A. 15120. B. 95. C. 59. D. 126. Trang 10
11. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 Lời giải. Mỗi cách xếp số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các số 1, 2, ¼ , 9 là một chỉnh hợp chập 5 5 của 9 phần tử. Vậy có A9 = 15120 . Chọn A. Câu 26. Cho tập A = {0,1, 2, ¼ , 9}. Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau lấy ra từ tập A là? A. 30420. B. 27162. C. 27216. D. 30240. Lời giải. Gọi số cần tìm là abcde,a ¹ 0 . · Chọn a có 9 cách. 4 · Chọn b,c,d,e từ 9 số còn lại có A9 = 3024 cách. Vậy có 9´ 3024 = 27216 . Chọn C. Câu 27. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3? A. 249. B. 7440. C. 3204. D. 2942. Lời giải. Ta chia thành các trường hợp sau: 4 · TH1: Nếu số 123 đứng đầu thì có A7 số. 4 · TH2: Nếu số 321 đứng đầu thì có A7 số. · TH3: Nếu số 123;321 không đứng đầu Khi đó có 6 cách chọn số đứng đầu ( khác 0;1;2;3 ), khi đó còn 6 vị trí có 4 cách xếp 3 số 321 hoặc 3 3 123 , còn lại 3 vị trí có A6 cách chọn các số còn lại. Do đó trường hợp này có 6.2.4.A6 = 5760 4 Suy ra tổng các số thoả mãn yêu cầu là 2A7 + 5760 = 7440 . Chọn B. Vấn đề 3. TỔ HỢP Câu 28. Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên? A. 9880. B. 59280. C. 2300. D. 455. Lời giải Nhóm học sinh 3 người được chọn (không phân biệt nam, nữ - công việc) là một tổ hợp chậm 3 của 40 (học sinh). 40! Vì vậy, số cách chọn nhóm học sinh là C 3 = = 9880. Chọn A. 40 37!.3! Câu 29. Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người, hỏi có bao nhiêu cách lập? A. 25. B. 252. C. 50. D. 455. Lời giải. Mỗi đoàn được lập là một tổ hợp chập 5 của 10 (người). Vì vậy, số đoàn đại biểu có thể có 10! là C 5 = = 252. Chọn B. 10 5!.5! Câu 30. Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người trong ban thường vụ. Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu các chọn? A. 25. B. 42. C. 50. D. 35. Lời giải. Vì không xét đến sự phân biệt chức vụ của 3 người trong ban thường vụ nên mỗi cách chọn ứng với một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử. 7! Như vậy, ta có C 5 = = 35 cách chọn ban thường vụ. Chọn D. 7 2!.5! Câu 31. Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. Nếu kết quả cuộc thi và việc chọn ra 4 người có điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra? A. 1635. B. 1536. C. 1356. D. 1365. Lời giải. Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra 4 người có điểm cao nhất thì mỗi kết quả ứng với một tổ hợp chập 4 của 15 phần tử. 4 Như vậy, ta có C15 = 1365 kết quả. Chọn D. Trang 11
12. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 Câu 32. Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ? A. 665280. B. 924. C. 7. D. 942. Lời giải. Số cách lấy 6 viên bi bất kỳ (không phân biệt màu) trong 12 viên bi là một tổ hợp chập 6 6 của 12 (viên bi). Vậy ta có C12 = 924 cách lấy. Chọn B. Câu 33. Có bao nhiêu cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con? A. 104. B. 450. C. 1326. D. 2652. Lời giải. Mỗi cách lấy 2 con bài từ 52 con là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử. 2 Vậy số cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con là C52 = 1326. Chọn C. Câu 34. Có 15 đội bóng đá thi đấu theo thể thức vòng tròn tính điểm. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu? A. 100. B. 105. C. 210. D. 200. Lời giải. Lấy hai đội bất kỳ trong 15 đội bóng tham gia thi đấu ta được một trận đấu. Vậy số trận đấu chính là một tổ hợp chập 2 của 15 phần tử (đội bóng đá). 15! Như vậy, ta có C 2 = = 105 trận đấu. Chọn B. 15 13!.2! Câu 35. Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa giống nhau vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông)? A. 10. B. 30. C. 6. D. 60. Lời giải. Cắm 3 bông hoa giống nhau, mỗi bông vào 1 lọ nên ta sẽ lấy 3 lọ bất kỳ trong 5 lọ khác nhau để cắm bông. Vậy số cách cắm bông chính là một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử (lọ hoa). Như 5! vậy, ta có C 3 = = 10 cách. Chọn A. 5 2!.3! Câu 36. Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 2018 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P ? 2018! 2016! 2018! 2018! A. . B. . C. . D. . 2016! 2! 2! 2016!.2! Lời giải. Với hai điểm bất kỳ trong n điểm ta luôn được một đoạn thẳng. Vậy số đoạn thẳng cần tìm chính là một tổ hợp chập 2 của 2018 phần tử (điểm). 2018! Như vậy, ta có C 2 = đoạn thẳng. Chọn D. 2018 2016!.2! Câu 37. Cho 10 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng khác nhau tạo bởi 2 trong 10 điểm nói trên? A. 90. B. 20. C. 45. D. Một số khác. Lời giải. Với hai điểm bất kỳ trong n điểm ta luôn được một đoạn thẳng. Vậy số đoạn thẳng cần tìm chính là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử (điểm). 10! Như vậy, ta có C 2 = = 45 đường thẳng. Chọn C. 10 8!.2! Câu 38. Trong mặt phẳng, cho 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho? A. 15. B. 20. C. 60. D. Một số khác. Lời giải. Cứ 3 điểm phân biệt không thẳng hàng tạo thành một tam giác. Lấy 3 điểm bất kỳ trong 6 điểm phân biệt thì số tam giác cần tìm chính là một tổ hợp chập 3 của 6 3 phần từ (điểm). Như vậy, ta có C6 = 20 tam giác. Chọn B. Câu 39. Cho 10 điểm phân biệt A1, A2 , , A10 trong đó có 4 điểm A1, A2 , A3 , A4 thẳng hàng, ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy trong 10 điểm trên? A. 96 tam giác. B. 60 tam giác. C. 116 tam giác. D. 80 tam giác. 3 Lời giải. Số cách lấy 3 điểm từ 10 điểm phân biệt là C10 = 120. 3 Số cách lấy 3 điểm bất kì trong 4 điểm A1, A2 , A3 , A4 là C4 = 4. Khi lấy 3 điểm bất kì trong 4 điểm A1, A2 , A3 , A4 thì sẽ không tạo thành tam giác. Trang 12
13. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 Như vậy, số tam giác tạo thành 120- 4 = 116 tam giác. Chọn C. Câu 40. Cho mặt phẳng chứa đa giác đều (H ) có 20 cạnh. Xét tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của (H ). Hỏi có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H ). A. 1440. B. 360. C. 1120. D. 816. Lời giải. Lấy một cạnh bất kỳ của (H ) làm cạnh của một tam giác có 20 cách. Lấy một điểm bất kỳ trong 18 đỉnh còn lại của (H ) (trừ đi hai đỉnh của một cạnh) có 18 cách. Vậy số tam giác cần tìm là 20.18 = 360 . Chọn B. Câu 41. Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 . Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, trên d2 lầy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ 37 điểm này. A. 5690. B. 5960. C. 5950. D. 5590. Lời giải. Một tam giác được tạo bởi ba điểm phân biệt nên ta xét: 1 2 TH1. Chọn 1 điểm thuộc d1 và 2 điểm thuộc d2 ¾ ¾® có C17 .C20 tam giác. 2 1 TH2. Chọn 2 điểm thuộc d1 và 1 điểm thuộc d2 ¾ ¾® có C17 .C20 tam giác. 1 2 2 1 Như vậy, ta có C17 .C20 + C17 .C20 = 5950 tam giác cần tìm. Chọn C. Câu 42. Số giao điểm tối đa của 5 đường tròn phân biệt là: A. 10. B. 20. C. 18. D. 22. Lời giải. Hai đường tròn cho tối đa hai giao điểm. Và 5 đường tròn phân biệt cho số giao điểm tối đa khi 2 đường tròn bất kỳ trong 5 đường tròn đôi một cắt nhau. 2 Vậy số giao điểm tối đa của 5 đường tròn phân biệt là 2.C5 = 20. Chọn B. Câu 43. Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là: A. 50. B. 100. C. 120. D. 45. Lời giải. Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt khi không có ba đường thẳng nào đồng quy và không có hai đường thẳng nào song song. Và cứ hai đường thẳng ta có một giao điểm suy ra số giao điểm chính là số cặp đường thẳng bất kỳ 2 được lấy từ 10 đường thẳng phân biệt. Như vậy, ta có C10 = 45 giao điểm. Chọn D. Câu 44. Với đa giác lồi 10 cạnh thì số đường chéo là A. 90. B. 45. C. 35. D. Một số khác. Lời giải. Đa giác lồi 10 cạnh thì có 10 đỉnh. Lấy hai điểm bất kỳ trong 10 đỉnh của đa giác lồi ta được số đoạn thẳng gồm cạnh và đường chéo của đa giác lồi. 10! Vậy số đường chéo cần tìm là C 2 - 10 = - 10 = 35. Chọn C. 10 8!.2! Câu 45. Cho đa giác đều n đỉnh, n Î ¥ và n ³ 3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo. A. n = 15. B. n = 27. C. n = 8. D. n = 18. Lời giải. Đa giác lồi n đỉnh thì có n cạnh. Nếu vẽ tất cả các đoạn thẳng nối từng cặp trong n đỉnh này thì có một bộ gồm các cạnh và các đường chéo. Vậy để tính số đường chéo thì lấy tổng số đoạn thẳng dựng được trừ đi số cạnh, với • Tất cả đoạn thẳng dựng được là bằng cách lấy ra 2 điểm bất kỳ trong n điểm, tức là số đoạn thẳng chính là số tổ hợp chập 2 của n phần tử. 2 Như vậy, tổng số đoạn thẳng là Cn . • Số cạnh của đa giác lồi là n. n(n - 3) Suy ra số đường chéo của đa giác đều n đỉnh là C 2 - n = . n 2 ïì n ³ 3 ï ïì n ³ 3 ï Û ï Û = Theo bài ra, ta có í n(n - 3) í 2 n 18. Chọn D. ï = 135 ïî n - 3n - 270 = 0 îï 2 Câu 46. Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng phân biệt song song với nhau và năm đường thẳng phân biệt vuông góc với bốn đường thẳng song song đó. A. 60. B. 48. C. 20. D. 36. Trang 13
14. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 Lời giải. Cứ 2 đường thẳng song song với 2 đường thẳng vuông góc với chúng cắt nhau tại bốn điểm là 4 đỉnh của hình chữ nhật. Vậy lấy 2 đường thẳng trong 4 đường thẳng song song và lấy 2 đường thẳng trong 5 đường thẳng 2 2 vuông góc với 4 đường đó ta được số hình chữ nhật là C4 .C5 = 60. Chọn A. Câu 47. Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn học sinh sao cho trong đó có đúng 3 học sinh nữ? A. 110790. B. 119700. C. 117900. D. 110970. 3 Lời giải. Số cách chọn 3 học sinh nữ là: C20 = 1140 cách. 2 Số cách chọn 2 bạn học sinh nam là: C15 = 105 cách. Số cách chọn 5 bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 1140´ 105 = 119700. Chọn B. Câu 48. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ? 1 1 2 2 2 2 2 2 A. 4!C4C5 . B. 3!C3 C5 . C. 4!C4 C5 . D. 3!C4 C5 . 2 Lời giải. Số cách chọn 2 số chẵn trong tập hợp {2;4;6;8} là: C4 cách. 2 Số cách chọn 2 số lẻ trong tập hợp {1;3;5;7;9} là: C5 cách. Số cách hoán vị 4 chữ số đã chọn lập thành 1 số tự nhiên là: 4! cách. 2 2 Vậy có 4!´ C4 ´ C5 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. Câu 49. Một túi đựng 6 bi trắng, 5 bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó. Hỏi có bao nhiêu cách lấy mà 4 viên bi lấy ra có đủ hai màu. A. 300. B. 310. C. 320. D. 330. Lời giải. Các viên bi lấy ra có đủ cả 2 màu nên ta có các trường hợp: Số bi trắng Số bi xanh Số cách chọn 1 3 1 3 C6 ´ C5 2 2 2 2 C6 ´ C5 3 1 3 1 C6 ´ C5 1 3 2 2 3 1 Vậy có tất cả C6 ´ C5 + C6 ´ C5 + C6 ´ C5 = 310 cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. 5 Cách 2. Dùng phần bù. Số cách chọn 4 viên bi tùy ý từ 11 viên bi là: C11 cách. 4 Số cách chọn 4 viên bi màu trắng là: C6 cách. 4 Số cách chọn 4 viên bi là màu xanh là: C5 cách. 5 4 4 Vậy có C11 - (C6 + C5 )= 310 cách chọn 4 viên bi trong đó có cả 2 màu. Câu 50. Một nhóm học sinh có 6 bạn nam và 5 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong đó có cả nam và nữ? A. 455. B. 7. C. 456. D. 462. 5 Lời giải. Số cách chọn 5 học sinh tùy ý là: C11 cách. 5 Số cách chọn 5 học sinh nam là: C6 cách. 5 Số cách chọn 5 học sinh nữ là: C5 cách. 5 5 5 Vậy có C11 - C6 - C5 = 455 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A. Cách 2. Do trong 5 học sinh được chọn có cả nam cả nữ nên ta có các trường hợp sau: Số học sinh nam Số học sinh nữ Số cách chọn 1 4 1 4 C6 ´ C5 2 3 2 3 C6 ´ C5 Trang 14
15. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 3 2 3 2 C6 ´ C5 4 1 4 1 C6 ´ C5 1 4 2 3 3 2 4 1 Vậy có C6 ´ C5 + C6 ´ C5 + C6 ´ C5 + C6 ´ C5 = 455 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 51. Để chào mừng kỉ niệm ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh, nhà trường tổ chức cho học sinh cắm trại. Lớp 10A có 19 học sinh nam và 16 học sinh nữ. Giáo viên cần chọn 5 học sinh để trang trí trại. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất 1 học sinh nữ? Biết rằng học sinh nào trong lớp cũng có khă năng trang trí trại. 5 5 5 5 5 5 A. C19 . B. C35 - C19 . C. C35 - C16 . D. C16 . Lời giải. Tổng số học sinh lớp 10A là 35 . 5 Có C35 cách chọn 5 học sinh từ 35 học sinh lớp 10A. 5 Có C19 cách chọn 5 học sinh từ 19 học sinh nam của lớp 10A. 5 5 Do đó có C35 - C19 cách chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất một học sinh nữ. Chọn B. Câu 52. Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 25 nam và 15 nữ. Giáo viên cần chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất 1 học sinh nam? A. 2625. B. 455. C. 2300. D. 3080. Lời giải. Do trong 3 học sinh được chọn có nhiều nhất 1 học sinh nam nên ta có các trường hợp sau: Số học sinh nam Số học sinh nữ Số cách chọn 1 2 1 2 C25 ´ C15 0 3 0 3 C25 ´ C15 1 2 0 3 Vậy có C25 ´ C15 + C25 ´ C15 = 3080 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D. 3 Cách 2. Số cách chọn 3 học sinh bất kì trong lớp là: C40 cách. 2 1 Số cách chọn 3 học sinh trong đó có 2 học sinh nam, 1 học sinh nữ là: C25 ´ C15 cách. 3 0 Số cách chọn 3 học sinh nam là: C25 ´ C15 cách. 3 2 1 3 0 Vậy có C40 - (C25 ´ C15 + C25 ´ C15 )= 3080 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 53. Từ 20 người cần chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư kí và 3 ủy viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đoàn đại biểu ? A. 4651200. B. 4651300. C. 4651400. D. 4651500. 1 Lời giải. Số cách chọn 1 người trong 20 người làm trưởng đoàn là: C20 cách. 1 Số cách chọn 1 người trong 19 người còn lại làm phó đoàn là: C19 cách. 1 Số cách chọn 1 người trong 18 người còn lại làm thư kí là: C18 cách. 3 Số cách chọn 3 người trong 17 người còn lại làm ủy viên là: C17 cách. 1 1 1 3 Vậy số cách chọn đoàn đại biểu là C20 ´ C19 ´ C18 ´ C17 = 4651200 . Chọn A. Câu 54. Một tổ gồm 10 học sinh. Cần chia tổ đó thành ba nhóm có 5 học sinh, 3 học sinh và 2 học sinh. Số các chia nhóm là: A. 2880. B. 2520. C. 2515. D. 2510. 5 Lời giải. Số cách chọn ra nhóm có 5 học sinh từ 10 học sinh là: C10 cách. 3 Số cách chọn ra nhóm 3 học sinh từ 5 học sinh còn lại là: C5 cách. 2 Số cách chọn ra nhóm 2 học sinh từ 2 học sinh còn lại là: C2 cách. 5 3 2 Vậy có C10 ´ C5 ´ C2 = 2520 cách chia nhóm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu 55. Một nhóm đoàn viên thanh niên tình nguyện về sinh hoạt tại một xã nông thôn gồm có 21 đoàn viên nam và 15 đoàn viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân chia 3 nhóm về 3 ấp để hoạt động sao cho mỗi ấp có 7 đoàn viên nam và 5 đoàn viên nữ? 12 12 7 5 7 5 7 5 A. 3C36 . B. C36 . C. 3C21C15. D. C21C15C14C10 . 7 5 Lời giải. Số cách chọn nhóm thứ nhất là: C21 ´ C15 cách. 7 5 Số cách chọn nhóm thứ hai là: C14 ´ C10 cách. Trang 15
16. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 7 5 Số cách chọn nhóm thứ ba là: C7 ´ C5 cách. 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 Vậy có (C21 ´ C15 )´ (C14 ´ C10 )´ (C7 ´ C5 )= C21C15C14C10 cách chia nhóm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D. Câu 56. Trong một giỏ hoa có 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa coi như đôi một khác nhau). Người ta muốn làm một bó hoa gồm 7 bông được lấy từ giỏ hoa đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hoa biết bó hoa có đúng 1 bông hồng đỏ? A. 56. B. 112. C. 224. D. 448. 1 Lời giải. Số cách chọn 1 bông hồng đỏ từ giỏ hoa là: C4 . Bó hoa gồm 7 bông hồng mà có đúng 1 bông hồng đỏ nên tổng số bông hồng vàng và bông hồng trắng là 6 . Ta có các trường hợp sau: Số bông hồng vàng Số bông hồng trắng Số cách chọn 5 1 5 1 C5 ´ C3 4 2 4 2 C5 ´ C3 3 3 3 3 C5 ´ C3 1 5 1 4 2 3 3 Vậy có C4 (C5 ´ C3 + C5 ´ C3 + C5 ´ C3 )= 112 cách chọn bó hoa thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu 57. Một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi sao cho có đủ cả ba màu. Số cách chọn là: A. 2163. B. 3843. C. 3003. D. 840. 5 Lời giải. Số cách chọn 5 viên bi bất kì trong hộp là: C15 cách. 5 Số cách chọn 5 viên bi mà trong đó không có viên bi nào màu vàng là: C11 cách. 5 Số cách chọn 5 viên bi mà trong đó không có viên bi nào màu đỏ là: C10 cách. 5 Số cách chọn 5 viên bi mà trong đó không có viên bi nào màu xanh là: C9 cách. 5 5 5 5 Vậy có C15 - (C11 + C10 + C9 )= 2163 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A. Câu 58. Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn? A. 126. B. 102. C. 98. D. 100. Lời giải. Do trong 5 học sinh có đủ học sinh ở các lớp 12A, 12B, 12C nên ta có các trường hợp sau: Số học sinh lớp Số học sinh lớp Số học sinh lớp Số cách chọn 12A 12B 12C 2 1 2 2 1 2 C4 ´ C3 ´ C2 1 2 2 1 2 2 C4 ´ C3 ´ C2 2 2 1 2 2 1 C4 ´ C3 ´ C2 3 1 1 3 1 1 C4 ´ C3 ´ C2 1 3 1 1 3 1 C4 ´ C3 ´ C2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 3 1 1 1 3 1 Vậy có C4 ´ C3 ´ C2 + C4 ´ C3 ´ C2 + C4 ´ C3 ´ C2 + C4 ´ C3 ´ C2 + C4 ´ C3 ´ C2 = 98 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C Cách 2. Tổng số học sinh trong đội văn nghệ của nhà trường là 9 học sinh. 5 Số cách chọn 5 học sinh bất kì trong 9 học sinh là: C9 cách. 5 Số cách chọn 5 học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12A là: C5 cách. 5 Số cách chọn 5 học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12B là: C6 cách. 5 Số cách chọn 5 học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12C là: C7 cách. Trang 16
17. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 5 5 5 5 Vậy có C9 - (C5 + C6 + C7 )= 98 cách thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 59. Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong số học sinh giỏi đó sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh? A. 85. B. 58. C. 508. D. 805. 6 Lời giải. Số cách chọn 6 học sinh bất kì trong 12 học sinh là: C12 cách. 6 Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 10 là: C7 cách. 6 Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 11 là: C8 cách. 6 Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 12 là: C9 cách. 6 6 6 6 Vậy có C12 - (C7 + C8 + C9 )= 805 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D. Câu 60. Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh tham gia IOE cấp tỉnh. Tính số cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10. A. 50. B. 500. C. 502. D. 501. Lời giải. Từ giả thiết suy ra có 2 khả năng xảy ra như sau: TH1: Có đúng 1 học sinh khối 10. 1 Số cách chọn 1 học sinh khối 10 là: C5 cách. 9 Số cách chọn 9 học sinh còn lại khối 11 và 12 là: C10 cách. TH2: Có đúng 2 học sinh khối 10. 2 Số cách chọn 2 học sinh khối 10 là: C5 cách. 8 Số cách chọn 8 học sinh còn lại từ khối 11 và 12 là: C10 cách. 1 9 2 8 Vậy có C5 ´ C10 + C5 ´ C10 = 500 cách lập đội thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu 61. Đội văn nghệ của một nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Cần chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ đó để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp 12A? A. 80. B. 78. C. 76. D. 98. Lời giải. Từ giả thiết suy ra có 3 khả năng xảy ra như sau: Số học sinh lớp Số học sinh lớp Số học sinh lớp Số cách chọn 12A 12B 12C 2 2 1 2 2 1 C4 ´ C3 ´ C2 2 1 2 2 1 2 C4 ´ C3 ´ C2 3 1 1 3 1 1 C4 ´ C3 ´ C2 2 2 1 2 1 2 3 1 1 Vậy có C4 ´ C3 ´ C2 + C4 ´ C3 ´ C2 + C4 ´ C3 ´ C2 = 78 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu 62. Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ? A. 280. B. 400. C. 40. D. 1160. Lời giải. Từ giả thiết suy ra có 2 trường hợp xảy ra như sau: Số viên bi xanh Số viên bi đỏ Số viến bi vàng Số cách chọn 1 1 2 1 1 2 C8 ´ C5 ´ C3 2 2 0 2 2 0 C8 ´ C5 ´ C3 1 1 2 2 2 0 Vậy có C8 ´ C5 ´ C3 + C8 ´ C5 ´ C3 = 400 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu 63. Một hộp bi có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi trong đó số viên bi đỏ lớn hơn số viên bi vàng. A. 654. B. 275. C. 462. D. 357. Trang 17
18. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 Lời giải. Tổng số bi lấy ra có 4 viên mà bi đỏ nhiều hơn bi vàng nên có 2 trường hợp xảy ra: TH1: Không có bi vàng, khi đó số bi đỏ phải từ 1 viên trở lên. 4 Số cách lấy 4 viên bi bất kì trong tổng số 9 viên bi (gồm 5 đỏ và 4 xanh) là: C9 cách. 4 Số cách lấy 4 viên bi xanh là: C4 cách. 4 4 Þ Số cách lấy thỏa mãn trong trường hợp này là: C9 - C4 = 125 cách. 1 TH2: Có 1 viên bi vàng, khi đó số bi đỏ phải từ 2 viên trở lên. Số cách lấy 1 viên bi vàng: C3 cách. 2 1 Số cách lấy 3 viên bi còn lại trong đó có 2 bi đỏ và 1 bi xanh là: C5 ´ C4 cách. 3 0 Số cách lấy 3 viên bi còn lại đều là bi đỏ là: C5 ´ C4 cách. 1 2 1 3 0 Þ Số cách lấy thỏa mãn trong trường hợp này là: C3´ (C5 ´ C4 + C5 ´ C4 )= 150 cách. Vậy có 125+ 150 = 275 cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.Chọn B. Câu 64. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Từ đó người ta muốn chọn ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì đã chọn. Hỏi có bao nhiêu cách làm như thế? A. 1000. B. 1200. C. 2000. D. 2200. 3 Lời giải. Số cách chọn 3 tem thư trong 5 tem thư khác nhau là: C5 cách. 3 Số cách chọn 3 bì thư trong 6 bì thư khác nhau là: C6 cách. 1 Số cách dán tem thư thứ nhất vào 3 bì thư là: C3 cách. 1 Số cách dán tem thư thứ hai vào 2 bì thư còn lại là: C2 cách. 1 Số cách dán tem thư thứ hai vào bì thư cuối cùng là: C1 cách. 3 3 1 1 1 Vậy có (C5 ´ C6 )´ (C3 ´ C2 ´ C1 )= 1200 cách làm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu 65. Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập, người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 câu hỏi bài tập. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đề như trên ? A. 69. B. 88. C. 96. D. 100. Lời giải. Theo bài ra, một đề thi gồm 3 câu hỏi vừa có câu hỏi lý thuyết vừa có câu hỏi bài tập nên ta xét: 1 TH1: Đề thi gồm 1 câu lý thuyết, 2 câu bài tập. Lấy 1 câu lý thuyết trong 4 câu lý thuyết có C4 cách, 2 1 2 tương ứng lấy 2 câu bài tập trong 6 câu bài tập có C6 cách. Vậy có C4 .C6 đề. 2 1 TH2: Đề thi gồm 2 câu lý thuyết, 1 câu bài tập. Lập luận tương tự TH1, ta sẽ tạo được C4 .C6 đề. 1 2 2 1 Vậy có thể tạo được C4 ´ C6 + C4 ´ C6 = 96 đề thi thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 66. Tìm tất cả các giá trị x Î ¥ thỏa mãn 6(Px - Px- 1 )= Px + 1. A. x = 2. B. x = 3. C. x = 2; x = 3. D. x = 5. Lời giải. Điều kiện: x ³ 1 và x Î ¥ . - = Û é - - ù= + Û - - = - + Ta có 6(Px Px- 1 ) Px + 1 6 ëx ! (x 1)!û (x 1)! 6(x 1)!.(x 1) (x 1)!.x (x 1) éx = 2 (thoûa maõn) 2 ê Û 6.(x - 1)= x (x + 1)Û x - 5x + 6 = 0 Û ê . Chọn C. ëêx = 3 (thoûa maõn) 2 Câu 67. Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa mãn P2 .x – P3.x = 8. A. S = - 4. B. S = - 1. C. S = 4. D. S = 3. éx = - 1 Lời giải. Ta có P .x 2 – P .x = 8 Û 2!.x 2 - 3!.x = 8 Û 2x 2 - 6x - 8 = 0 Û ê 2 3 ê ëx = 4 ¾ ¾® S = - 1+ 4 = 3. Chọn D. 2 2 Câu 68. Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn 3Ax - A2x + 42 = 0 ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 6. Trang 18
19. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 Lời giải. Điều kiện: x ³ 2 và x Î ¥ . x ! (2x)! Ta có 3A2 - A2 + 42 = 0 Û 3. - + 42 = 0 x 2x (x - 2)! (2x - 2)! éx = - 7(loaïi) 2 ê Û 3.(x - 1).x - (2x - 1).2x + 42 = 0 Û x + x - 42 = 0 Û ê . Chọn B. ëêx = 6(thoûa maõn) 10 9 8 Câu 69. Cho số tự nhiên x thỏa mãn Ax + Ax = 9Ax . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. x là số chính phương. B. x là số nguyên tố. C. x là số chẵn. D. x là số chia hết cho 3. Lời giải. Điều kiện: x ³ 10 và x Î ¥ . x ! x ! x ! Ta có A10 + A9 = 9A8 Û + = 9 x x x (x - 10)! (x - 9)! (x - 8)! éx = 11(thoûa maõn) 1 1 9 2 ê Û + = Û x - 16x + 55 = 0 Û ê . Chọn B. 1 x - 9 (x - 9)(x - 8) ëêx = 5(loaïi) 3 2 Câu 70. Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn An + 5An = 2(n + 15)? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Điều kiện: n ³ 3 và n Î ¥ . n! n! Ta có A3 + 5A2 = 2(n + 15)Û + 5. - 2n - 30 = 0 n n (n - 3)! (n - 2)! Û (n - 2).(n - 1).n + 5.(n - 1).n - 2n - 30 = 0 Û n3 + 2n2 - 5n - 30 = 0 Û n = 3. Chọn B. 1 2 3 Câu 71. Tìm giá trị n Î ¥ thỏa mãn Cn+ 1 + 3Cn+ 2 = Cn+ 1. A. n = 12. B. n = 9. C. n = 16. D. n = 2. Lời giải. Điều kiện: n ³ 2 và n Î ¥ . (n + 1)! (n + 2)! (n + 1)! Ta có C 1 + 3C 2 = C 3 Û + 3. = n+ 1 n+ 2 n+ 1 1!.n! 2!.n! 3!.(n - 2)! (n + 1).(n + 2) (n - 1).n.(n + 1) (n + 2) (n - 1).n. Û n + 1+ 3. = Û 1+ 3. = 2 6 2 6 én = - 2(loaïi) 2 2 ê Û 6 + 9n + 18 = n - n Û n - 10n - 24 = 0 Û ê . Chọn A. ëên = 12(thoûa maõn) x x + 2 x + 1 Câu 72. Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãn C14 + C14 = 2C14 . A. P = 4. B. P = 32. C. P = - 32. D. P = 12. Lời giải. Điều kiện: 0 £ x £ 12 và x Î ¥ . 14! 14! 14! Ta có C x + C x + 2 = 2C x + 1 Û + = 2 14 14 14 x !(14 - x)! (x + 2)!(12- x)! (x + 1)!(13- x)! 1 1 1 Û + = 2. (14 - x)(13- x) (x + 1)(x + 2) (x + 1)(13- x) Û (x + 1)(x + 2)+ (14 - x)(13- x)= 2(x + 2)(14 - x) éx = 4 Û x 2 - 12x + 32 = 0 Û ê ¾ ¾® P = 4.8 = 32. Chọn B. ê ëx = 8 1 1 7 Câu 73. Tính tổng S của tất cả các giá trị của n thỏa mãn 1 - 2 = 1 . Cn Cn+ 1 6Cn+ 4 A. S = 8. B. S = 11. C. S = 12. D. S = 15. Lời giải. Điều kiện: n ³ 1 và n Î ¥ . 1 1 7 (n - 1)! 2!.(n - 1)! 7(n + 3)! 1 2 7 Ta có 1 - 2 = 1 Û - = Û - = Cn Cn+ 1 6Cn+ 4 n! (n + 1)! 6(n + 4)! n n(n + 1) 6(n + 4) én = 3(thoûa maõn) 2 ê Û n - 11n + 24 = 0 Û ê ¾ ¾® S = 3+ 8 = 11. Chọn B. ëên = 8(thoûa maõn) Trang 19
20. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 0 x- 1 x- 2 Câu 74. Tìm giá trị x Î ¥ thỏa mãn Cx + Cx + Cx = 79. A. x = 13. B. x = 17. C. x = 16. D. x = 12. Lời giải. Điều kiện: x Î ¥ . 0 x- 1 x- 2 0 1 2 Ta có Cx + Cx + Cx = 79 Û Cx + Cx + Cx = 79 - 1 éx = 12(thoûa maõn) x (x ) 2 ê Û 1+ x + = 79 Û x + x - 156 = 0 Û ê . Chọn D. 2 ëêx = - 13(loaïi) n+ 1 n Câu 75. Tìm giá trị n Î ¥ thỏa mãn Cn+ 4 - Cn+ 3 = 7(n + 3). A. n = 15. B. n = 18. C. n = 16. D. n = 12. Lời giải. Điều kiện: n Î ¥ . n+ 1 n 3 3 Ta có Cn+ 4 - Cn+ 3 = 7(n + 3)Û Cn+ 4 - Cn+ 3 = 7(n + 3) (n + 4)(n + 2) (n + 2)(n + 1) Û - = 7 Û 3n - 36 = 0 Û n = 12(thoûa maõn). Chọn D. 3! 3! 7n Câu 76. Tìm giá trị n Î ¥ thỏa mãn C 1 + C 2 + C 3 = . n n n 2 A. n = 3. B. n = 4. C. n = 6. D. n = 8. 7n n! n! n! 7n Lời giải. Ta có C 1 + C 2 + C 3 = Û + + = n n n 2 (n - 1)! 2!.(n - 2)! 3!(n - 3)! 2 Û n2 - 16 = 0 ¾ ¾® n = 4. Chọn B. 1 2 3 2 Câu 77. Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa Cx + 6Cx + 6Cx = 9x - 14x. A. S = 2. B. S = 7. C. S = 9. D. S = 14. Lời giải. Điều kiện: x ³ 3 và x Î ¥ . x ! x ! x ! Ta có C 1 + 6C 2 + 6C 3 = 9x 2 - 14x Û + 6. + 6. = 9x 2 - 14x x x x 1!.(x - 1)! 2!.(x - 2)! 3!.(x - 3)! é = 0 loaïi êx ( ) 2 ê Û x + 3x (x - 1)+ (x - 2)(x - 1)x = 9x - 14x Û êx = 2(loaïi) . ê Chọn B. ëêx = 7(thoûa maõn) 6 7 8 9 8 Câu 78. Tìm giá trị n Î ¥ thỏa mãn Cn + 3Cn + 3Cn + Cn = 2Cn+ 2 . A. n = 18. B. n = 16. C. n = 15. D. n = 14. Lời giải. Điều kiện: n ³ 9 và n Î ¥ . k k+ 1 k+ 1 6 7 8 9 8 Áp dụng công thức Cn + Cn = Cn+ 1 , ta có Cn + 3Cn + 3Cn + Cn = 2Cn+ 2 6 7 7 8 8 9 8 7 8 9 8 Û Cn + Cn + 2(Cn + Cn )+ Cn + Cn = 2Cn+ 2 Û Cn+ 1 + 2Cn+ 1 + Cn+ 1 = 2Cn+ 2 7 8 8 9 8 8 9 8 9 8 Û (Cn+ 1 + Cn+ 1 )+ (Cn+ 1 + Cn+ 1 )= 2Cn+ 2 Û Cn+ 2 + Cn+ 2 = 2Cn+ 2 Û Cn+ 2 = Cn+ 2 ¾ ¾® n + 2 = 9 + 8 Û n = 15. Chọn C. Câu 79. Đẳng thức nào sau đây là sai? 7 7 6 7 2000 6 A. C2007 = C2006 + C2006 . B. C2007 = C2006 + C2006 . 7 2000 1999 7 7 2000 C. C2007 = C2006 + C2006 . D. C2007 = C2006 + C2006 . k k+ 1 k+ 1 6 7 7 Lời giải. Áp dụng công thức Cn + Cn = Cn+ 1 , ta có C2006 + C2006 = C2007 . Do đó A đúng. ïì 6 = 2000 k n- k ï C2006 C2006 Áp dụng công thức C = C ¾ ¾® í . n n ï 7 1999 îï C2006 = C2006 7 6 7 2000 1999 2000 7 Suy ra C2007 = C2006 + C2006 = C2006 + C2006 = C2006 + C2006 . Do đó C, D đúng; B sai. Chọn B. Câu 80. Đẳng thức nào sau đây là đúng? 2 A. 1+ 2 + 3+ 4 + + n = Cn+ 1. 2 B. 1+ 2 + 3+ 4 + + n = An+ 1. 1 2 n C. 1+ 2 + 3+ 4 + + n = Cn + Cn + + Cn . 1 2 n D. 1+ 2 + 3+ 4 + + n = An + An + + An . Trang 20
21. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 n(n + 1) (n + 1)! n(n + 1) Lời giải. Ta có 1+ 2 + 3+ 4 + + n = và C 2 = = . 2 n+ 1 2!(n + 1- 2)! 2 Do đó A đúng. Chọn A. 2 2 Câu 81. Tính tích P của tất cả các giá trị của n thỏa mãn Pn An + 72 = 6(An + 2Pn ). A. P = 12. B. P = 5. C. P = 10. D. P = 6. Lời giải. Điều kiện: n ³ 2 và n Î ¥ . n! é n! ù 2 + 72 = 6 2 + 2 Û !. + 72 = 6 ê + 2. !ú Ta có Pn An (An Pn ) n ê n ú (n - 2)! ëê(n - 2)! ûú é ù 2 Û n!.(n - 1).n + 72 = 6 ë(n - 1)n + 2.n!ûÛ (n!- 6)(n - n - 12)= 0 én = 4(thoûa maõn) 2 ê én - n - 12 = 0 Û ê Û ê = - ¾ ¾® = = ê ên 3(loaïi) P 4.3 12. Chọn A. ën!- 6 = 0 ê ëên = 3(thoûa maõn) x- 1 Câu 82. Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãn 7(Ax + 1 + 2P x- 1 )= 30Px . A. P = 7. B. P = 4. C. P = 28. D. P = 14. Lời giải. Điều kiện: x ³ 1 và x Î ¥ . é(x + 1)! ù Ta có 7 Ax- 1 + 2P = 30P Û 7 ê + 2. x - 1 !ú= 30.x ! ( x + 1 x- 1 ) x ê ( ) ú ë 2! û éx = 7(thoûa maõn) éx (x + 1) ù ê Û 7 ê + 2ú= 30x Û 7x 2 - 53x + 28 = 0 Û ê ¾ ¾® P = 7. Chọn A. ê ú ê 4 ë 2 û x = (loaïi) ëê 7 n+ 3 3 Câu 83. Tìm giá trị n Î ¥ thỏa mãn Cn+ 8 = 5An+ 6 . A. n = 15. B. n = 17. C. n = 6. D. n = 14. k n- k n+ 3 3 5 3 Lời giải. Áp dụng công thức Cn = Cn , ta có Cn+ 8 = 5An+ 6 Û Cn+ 8 = 5.An+ 6 + 8 + 7 én = 17(thoûa maõn) (n )(n ) 2 ê Û = 5 Û n + 15n - 544 = 0 Û ê . Chọn B. 5! ëên = - 32(loaïi) 2 x- 1 Câu 84. Tìm giá trị x Î ¥ thỏa mãn Ax .Cx = 48. A. x = 4. B. x = 3. C. x = 7. D. x = 12. Lời giải. Điều kiện: x ³ 2 và x Î ¥ . x ! x ! Ta có A2 .C x- 1 = 48 Û . = 48 x x (x - 2)! (x - 1)!.1! Û (x - 1)x.x = 48 Û x 3 - x 2 - 48 = 0 Û x = 4(thoûa maõn). Chọn A. 2 n- 1 Câu 85. Tìm giá trị n Î ¥ thỏa mãn An - Cn+ 1 = 5. A. n = 3. B. n = 5. C. n = 4. D. n = 6. Lời giải. Điều kiện: n ³ 2 và n Î ¥ . n! (n + 1)! n(n + 1) Ta có A2 - C n- 1 = 5 Û - = 5 Û (n - 1).n - - 5 = 0 n n+ 1 (n - 2)! (n - 1)!2! 2 én = - 2 (loaïi) 2 ê Û n - 3n - 10 = 0 Û ê . Chọn B. ëên = 5(thoûa maõn) 2 2 Câu 86. Tính tích P của tất cả các giá trị của n thỏa mãn An - 3Cn = 15- 5n. A. P = 5. B. P = 6. C. P = 30. D. P = 360. Lời giải. Điều kiện: n ³ 2 và n Î ¥ . n! n! Ta có A2 - 3C 2 = 15- 5n Û - 3. = 15- 5n n n (n - 2)! 2!.(n - 2)! - 1 én = 6(thoûa maõn) n(n ) 2 ê Û n(n - 1)- 3 = 15- 5n Û - n + 11n - 30 = 0 Û ê 2 ëên = 5(thoûa maõn) Trang 21
22. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 ¾ ¾® P = 5.6 = 30. Chọn C. 4 3 x- 4 Câu 87. Tìm giá trị x Î ¥ thỏa mãn 3Ax = 24(Ax + 1 - Cx ). A. x = 3. B. x = 1. C. x = 5. D. x = 1; x = 5. Lời giải. Điều kiện: x ³ 4 và x Î ¥ . x ! é(x + 1)! x ! ù 3 4 = 24 3 - x- 4 Û 23. = 24.ê - ú Ta có Ax (Ax + 1 Cx ) ê ú (x - 4)! ëê(x - 2)! (x - 4)!.4!ûú é ù é ù 1 ê x + 1 1 ú 1 ê x + 1 1 ú Û 23. = 24.ê - úÛ 23. = 24.ê - ú (x - 4)! ëê(x - 2)! (x - 4)!.4!ûú 1 ëê(x - 2)(x - 3) 1.24ûú é = 1 loaïi x + 1 x + 1 êx ( ) Û 23 = 24. - 1 Û = 1 Û ê . Chọn C. (x - 2)(x - 3) (x - 2)(x - 3) ëêx = 5(thoûa maõn) A4 15 Câu 88. Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn n+ 4 0 Û ê ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ê ën > 6 ì ³ n³ 3 ï n 7 ¾ n¾Î ¥¾® í . Chọn D. îï n Î ¥ ïì y y+ 1 ï Cx - Cx = 0 Câu 92. Giải hệ phương trình í . ï y y- 1 îï 4Cx - 5Cx = 0 ïì x = 17 ïì x = 17 ïì x = 9 ïì x = 7 A. íï . B. íï . C. íï . D. íï . îï y = 8 îï y = - 8 îï y = 8 îï y = 9 Lời giải. Điều kiện: x ³ y + 1 và x, y Î ¥ . Trang 22
23. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 ïì C y - C y+ 1 = 0 (1) Ta có íï x x . ï y - y- 1 = îï 4Cx 5Cx 0 (2) y y+ 1 Phương trình (1)Û Cx = Cx Û y + y + 1 = x Û x - 2y - 1 = 0 . x ! x ! Phương trình (2)Û 4C y = 5C y- 1 Û 4. = 5. x x y!.(x - y)! (y - 1)!.(x - y + 1)! 4 5 Û = Û 4x - 9y + 4 = 0. y x - y + 1 ïì x - 2y - 1 = 0 ïì x = 17 Do đó hệ phương trình đã cho Û íï Û íï (thoûa maõn). Chọn A. îï 4x - 9y + 4 = 0 îï y = 8 C y C y+ 1 C y- 1 Câu 93. Tìm cặp số (x; y) thỏa mãn x + 1 = x = x . 6 5 2 A. (x; y)= (8;3). B. (x; y)= (3;8). C. (x; y)= (- 1;0). D. (x; y)= (- 1;0), (x; y)= (8;3). Lời giải. Điều kiện: x ³ y + 1 và x, y Î ¥ . C y C y+ 1 5(x + 1)! 6x ! ● x + 1 = x Û 5.C y = 6.C y+ 1 Û = 6 5 x + 1 x y!(x + 1- y)! (y + 1)!(x - y - 1)! 5(x + 1) 6 Û = Û 5(y + 1)(x + 1)= 6(x - y)(x - y + 1). (1) (x - y)(x - y + 1) (y + 1) C y+ 1 C y- 1 x ! x ! ● x = x Û 2.C y+ 1 = 5.C y- 1 Û = 5 2 x x 5.(y + 1)!.(x - y - 1)! 2.(y - 1)!.(x - y + 1)! 1 1 Û = 5.y(y + 1) 2.(x - y)(x - y + 1) Û 5.y(y + 1)= 2.(x - y)(x - y + 1)Û 15.y(y + 1)= 6.(x - y)(x - y + 1). (2) Từ (1) và (2), suy ra Û 5(y + 1)(x + 1)= 15.y(y + 1)Û x + 1 = 3y . Thay vào (1), ta được éy = 0 ¾ ¾® x = - 1(loaïi) 2 ê Û 15(y + 1)y = 6(2y - 1)2y Û 3y - 9y = 0 Û ê . Chọn A. ëêy = 3 ¾ ¾® x = 8(thoûa maõn) ì ï x x 1 ï C y :C y+ 2 = ï 3 Câu 94. Giải hệ phương trình íï . ï 1 ï C x : Ax = îï y y 24 ïì x = 4 ïì x = 4 ïì x = 4 ïì x = 4 ïì x = 1 A. íï . B. íï . C. íï , íï . D. íï . îï y = 1 îï y = 8 îï y = 1 îï y = 8 îï y = 8 Lời giải. Điều kiện: y ³ x và x, y Î ¥ . ì ï x x 1 ï C y :C y+ 2 = (1) ï 3 Ta có íï . ï 1 ï C x : Ax = (2) îï y y 24 x C y 1 x x y! y! 24 Phương trình (2)Û x = Û 24C y = Ay Û 24. = Û = 1 Û x = 4 . Ay 24 x !(y - x)! (y - x)! x ! 4 C y 1 4 4 y! (y + 2)! Thay x = 4 vào (1), ta được 4 = Û 3C y = C y+ 2 Û 3. = C y+ 2 3 4!.(y - 4)! 4!.(y - 2)! + 1 + 2 éy = 1 4 = x (thoûa maõn) ïì y y ï 2Ax + 5Cx = 90 Câu 95. Giải hệ phương trình í . ï y y îï 5Ax - 2Cx = 80 Trang 23
24. Trường THPT Phùng Khắc Khoan Tổ hợp 11 ïì x = 5 ïì x = 20 ïì x = 2 ïì x = 6 A. íï . B. íï . C. íï . D. íï . îï y = 2 îï y = 10 îï y = 5 îï y = 3 Lời giải. Điều kiện: x ³ y và x, y Î ¥ . ïì y ì ì ï u = Ax ï 2u + 5v = 90 ï u = 20 Đặt í , ta được íï Û íï . ï y ï 5u - 2v = 80 ï v = 10 îï v = Cx îï îï k k Ta có An = k!Cn ¾ ¾® u = y!.v Û 20 = y!.10 Û y! = 2 Û y = 2. x ! éx = 5 u = 20 A y = 20 Û A2 = 20 Û = 20 Û x - 1 x = 20 Û ê . Với , suy ra x x ( ) ê (x - 2)! ëx = - 4(loaïi) ïì x = 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm íï . Chọn A. îï y = 2 Trang 24