›
›
›

Bài tập Đại số Lớp 10 - Vấn đề 2: Hệ phương trình chứa tham số

docx 42 trang nhungbui22 11/08/2022 3010
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Đại số Lớp 10 - Vấn đề 2: Hệ phương trình chứa tham số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbai_tap_dai_so_lop_10_van_de_2_he_phuong_trinh_chua_tham_so.docx

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 10 - Vấn đề 2: Hệ phương trình chứa tham số

  1. VẤN ĐỀ 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ 2 2 2y 1 m 1 x 3m 2m y m Câu 1. Cho hệ phương trình , m là tham số thực.Hỏi có bao 3 2y 2x 1 x 3 1 x y nhiêu giá trị m nguyên để hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm (x; y) phân biệt thỏa mãn điều kiện 2y x 2023. A. 22 .B. 45 .C. 20 . D.35 . Lời giải Tác giả : Cao Văn Tùng,Tên FB: Cao Tung Email: Cvtung.lg2@BACgiAng.eDu.vn Chọn A x 1 ĐK: 2 2 2y 1 m 1 x 3m 2m 0 +) Xét phương trình 2y3 2x 1 x 3 1 x y, 2 đặt a 1 x 0 khi đó x 1 a2 phương trình trở thành 2y3 2 1 a2 a 3a y y a 2y2 2ay 2a2 1 0 2 y a do 2y2 2ay 2a2 1 a2 y2 a y 1 0 . y 0 y 1 x +) Với y a ta có 2 . x 1 y 2 2y x 2023 y 1 452 46 y 44 +) Từ đó 0 y 44 y 0 y 0 y 0 +) Lấy y 1 x thay vào phương trình đầu ta được 2y2 1 m y 3m2 2m y m, 1 2 2 2 2 2 2y 1 m y 3m 2m y m 2y 1 m y 3m 2m y m y m 2 2 y 2m y 1 3m y 2m 2m 0 y m 1, (3) y m y m +) Để hệ thỏa mãn yêu cầu bài toán thì (3) phải có hai nghiệm y phân biệt thuộc 0;44 điều kiện là:
  2. 0 2m 44 0 m 22 0 m 1 44 1 m 45 2m m 1 1 m 22 , m nguyên nên có 22 giá trị m thỏa mãn. m m 1 m 2 2m m 1 m 1 Email: Duyhungprudential@gmail.com NHẬN XÉT: • Pt (2) hệ pt có dạng f y f 1 x , f t 2t3 t là hàm tăng trên ¡ do đó y 1 x • Với y 1 x ứng với một x cho duy nhất một y và ngược lại. Do đó khi thế y 1 x vào pt (1). Yêu cầu bài toán tương ứng có đúng hai nghiệm y (hoặc đúng hai nghiệm x) 3 3 2 x y 3y 3x 2 0 1 Câu 2. Cho hệ phương trình 2 2 2 x 1 x 3 2y y m 0 2 Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hệ phương trình trên có nghiệm A.1B.2C.3D.4 Lời giải Tác giả : ĐẶNG DUY HÙNG,Tên FB: Duy Hùng Chọn D Điều kiện : x  1;1; y 0;2 3 2 Phương trình 1 x 1 3 x 1 y3 3y2 3 Vì x  1;1 x 1 0;2 Xét hàm số f t t3 3t 2 ,t 0;2 f ' t 3t 2 6t 0,t 0;2 f t nghịch biến trên 0;2 . Phương trình 3 có dạng f x 1 f y y x 1 Thay vào phương trình 2 ta được : x2 2 1 x2 m 0, x  1;1 4 Đặt u 1 x2 ,x  1;1 u 0;1 , phương trình 4 trở thành u2 2u 1 m 5 Xét hàm số g u u2 2u 1, u 0;1 g ' u 2u 2 0,u 0;1 BBT
  3. Dựa vào bảng biến thiên , hệ đã cho có nghiệm 1 m 2 . Chọn D 2 2 x 3 3 y y 3 3 x 1 Câu 3. Cho hệ phương trình: ( m là tham số). 2 x 1 1 x m 2 1 y 2 Số các giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình trên có nghiệm là: A.0.B. 1.C. 2.D. 3. Lời giải Chọn D Cách 1: Phương pháp lớp 10 + Đk: 0 x 1;0 y 1 + Với x y 0 hpt có nghiệm 2 m 2 m 4 + Với x; y thỏa mãn điều kiện và không đồng thời bằng không.Ta có pt x2 3 3 y y2 3 3 x x 2 3 y 2 3 3 x y 0 x2 y2 x y 3 0 x2 3 y2 3 x y x y 3 x y 0 2 2 x 3 y 3 x y x y 3 x y , do 0 x2 3 y2 3 x y + Với x y thế vào phương trình(2) ta được: x 1 1 x m 2 1 x2 x 1 1 x 2 1 x2 m 0 * Đặt t 1 x 1 x t2 2 2 1 x2
  4. Vì 0 x; y 1 nên 0 t 2 2 2 2 t 2 Khi đó pt (*) trở thành:t 2 t 2 m 0 t 2 t 2 m ( ) 2 Xét hàm số y t t 2 ;t 2;2 ta có hàm số đồng biến trên 2; 2 Nên phương trình ( ) có nghiệm y( 2) m y(2) 2 m 4 Vậy hpt có nghiệm khi 2 m 4 Suy ra số giá trị nguyên của m là 3. Cách 2: Phương pháp lớp 12. + Điều kiện: 0 x 1;0 y 1 + Với x; y thỏa mãn điều kiện và không đồng thời bằng không.Ta có phương trình x2 3 3 y y2 3 3 x x2 3 3 x y2 3 3 y * Xét hàm f t t 2 3 3 t,0 t 1 . t 3 Ta có f t 0, t 0;1 . Hàm số y f (t) tăng trên 0;1 t 2 3 2 t Từ * suy ra f x f y x y . + Với x y thế vào phương trình(2) ta được: x 1 1 x m 2 1 x2 x 1 1 x 2 1 x2 m 0 * Đặt t 1 x 1 x t2 2 2 1 x2 Vì 0 x; y 1 nên 0 t 2 2 2 2 t 2 Khi đó pt (*) trở thành:t 2 t 2 m 0 t 2 t 2 m ( ) 2 Xét hàm số y t t 2 ;t 2;2 ta có hàm số đồng biến trên 2; 2 Nên phương trình ( ) có nghiệm y( 2) m y(2) 2 m 4 Vậy hpt có nghiệm khi 2 m 4 Suy ra số giá trị nguyên của m là 3. Họ tên: Trần Đức Khánh Gmail: tranduckhanh26121986@gmail.com Facebook: Khanh Tran
  5. Câu 4. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ( biết m 2019 ) để hệ phương trình sau có 2 x x 3 y 1 2m 1 nghiệm thực: 3 2 3 2 3 2x x y 2x x y m 2 A. 2018. B. 2019. C. 2020. D. 2021. Lời giải NHẬN XÉT: Quan sát yếu tố xuất hiện phương trình ẩn x, y ta thấy chỉ có xuất hiện 3 y , do đó nghĩ đến phép thế biểu diễn tham số m theo hàm ẩn x. Do đó phương trình (2) nhân 2 cộng với pt (1). Cách 1:( Lớp 10) Nhân 2 vế của 2 với 2 rồi cộng vế với vế với 1 ta được phương trình 4x3 3x2 x 2x2 2x 1 3 y 1 3 2 2 1 1 1 Ta có: 2x 2x 1 2 x x ¡ 2 2 2 3 2 3 4x 3x x 1 3 1 3 1 Nên 3 y 2 y 2x 2 4 2x 2x 1 2 2 2x 2x 1 Thay 4 vào 1 ta được phương trình 2 1 3 1 x x 2x 2 1 2m 2 2 2x 2x 1 1 2 3 1 2x 2x 1 2 m 5 4 2x 2x 1 2 3 2 3 Ta có: 2x 2x 1 2 2 2x 2x 1 . 2 2 3 ( BĐT: AM- GM) 2x 2x 1 2x 2x 1 2 3 2 3 Nên vế trái 5 . Suy ra HPT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m 2 2 Lại có: m ¢ ; m 2019 nên m 2019; 2018; ;0 . Đáp án: C Cách 2: ( Lớp 12) 2 3 x x 2x y 1 2m HPT II x2 x . 2x 3 y m 2 1 Đặt x x u u ; 2x 3 y v 4
  6. u v 1 2m Hệ II trở thành u.v m v 1 2m u v 1 2m u 1 2 2 u u ; (u 2u 1 0) u u m 2u 1 m 4 2u 1 u2 u 1 Xét hàm số f u với u 2u 1 4 2u2 2u 1 3 1 f ' u ; f ' u 0 u 2u 1 2 2 BBT 1 3 1 u 4 2 ' f u + 0 2 3 2 f u 2 3 Từ BBT suy ra hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m 2 Lại có: m ¢ ; m 2019 nên m 2019; 2018; ;0 . Đáp án: C Email: tranthanhha484@gmail.com NHẬN XÉT: Cách 3. 1 2 3 1 2x 2x 1 2 m 5 4 2x 2x 1 5 2 8 1 1 3 Đặt t 2x 2x 1,t ta có m 1 t . Đến đây khảo sát hàm t là OK. 2 4 t Câu 5. Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: x 1 y 2 m x y 3m
  7. Biết m a;b. Giá trị biểu thức T 2018a 2019b 2020 thuộc khoảng nào trong các khoảng sau A. 4000;4100 . B. 4100;4200 . C. 4200;4300 . D. 4300;4500 . Họ và tên: Trần Thanh Hà -Tên FB: Hà Trần Lời giải Chọn C Điều kiện: x 1; y 2. u x 1 (u 0) u v m (1) Đặt : ta có hệ phương trình: (*) 2 2 ( (u 0,v 0) v y 2 (v 0) u v 3(m 1) (2) Bài toán trở thành: Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình (*) có nghiệm thực u,v thỏa mãn điều kiện : u 0,v 0 Hướng 1( Sử dụng phương pháp hình học): Nhận xét: + PT (1) có dạng phương trình đường thẳng, gọi đường thẳng đó là đường thẳng . + PT (2) có dạng phương trình đường tròn, gọi phương trình đường tròn đó là C . Đường tròn C có: Tâm O(0;0) . Bán kính R 3(m 1) Hệ (*) có nghiệm khi đường thẳng cắt đường tròn C tại ít nhất 1 điểm. R 2 1 m d(O;( )) R 6(m 1) 3(m 1) 2 2 2
  8. 3 21 x m2 3m 3 0 2 3 21 2 3 21 x 3 15 m 6m 6 0 x 2 . 2 3 15 x 3 15 3 21 Suy ra: a ;b 3 15 T 2018a 2019.b 2020 4205,7345. 2 Vậy : T (4200;4300) . Hướng 2( Sử dụng phương pháp giải hệ phương trình đại số): Đặt: u t.v (t 0) . Khi đóhệ phương trình(*) trở thành: v(t 1) m v2 (t 1)2 m2 (3) 2 2 2 2 ( ) v (t 1) 3(m 1) v (t 1) 3(m 1)(4) Do m 0 v 0 không là nghiệm của phương trình (4) không là nghiệm của hệ ( ) . Chia từng vế của phương trình (3) cho phương trình (4) ta được: (t 1)2 m2 2t m2 1. t 2 1 3(m 1) t 2 1 3(m 1) 2t m2 t 0 0 1 1 2 t 2 1 3(m 1) 3 21 x m2 3m 3 0 2 3 21 Do 2 3 21 x 3 15 m 6m 6 0 x 2 2 3 15 x 3 15 . Hướng 3( Đưa về bài toán giải và biện luận phương trình bậc hai): Từ PT (1) của hệ (*) ta có: u m v thay vào phương trình (2) ta được: 2v2 2mv m2 3m 3 0.(5) Bài toán trở thành: Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình (5) có nghiệm u, v thỏa mãn: u 0,v 0 2 2 ' m 6m 6 0. m 6m 6 0. 3 21 S u v m 0 m 0 x 3 15 2 2 1 2 m 3m 3 0 P u.v (m 3m 3) 0. 2 Hướng 4 ( Sử dụng định lý đảo của định lý Viet)
  9. u v m u v m (1) 2 m 3m 3 u2 v2 3(m 1) (2) u.v 2 Bài toán trở thành: Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình (5) có nghiệm u, v thỏa mãn điều kiện: 2 m2 2 m2 3m 3 2 S 4P m 6m 6 0 u 0,v 0 m 0 m 0 m 0 m2 3m 3 m2 3m 3 m2 3m 3 0 0 0 2 2 3 21 x 2 3 21 3 21 x x 3 15 . . 2 2 m 0 3 15 x 3 15 Email: thuyhung8587@gmail.com Câu 6. Gọi S là tập hợp tât cả các giá trị nguyên của m để hệ pt sau có hai nghiệm: m2 2 x2 2y y 1 0 2 2 4x 9y 36 Khi đó tổng bình phương tất cả các phần tử của S là: A. 2 .B. 8.C. 10.D. 18. Lời giải Tác giả : Cấn Việt Hưng,Tên FB: Viet Hung Chọn B Cách 1 :
  10. y 1 0 (1) 2 2 2 HPT x y m 1 (2) x2 y2 1 (3) 9 4 Ta thấy (2) là phương trình đường tròn (C) tâm O, bán kính R m2 1 (3) là phương trình Elip (E) Gọi M, N là giao điểm của Elip (E) với đường thẳng y = 1. 3 3 31 y = 1 4x2 9 36 x OM ON 2 2 Kết hợp (1) với (3) ta được cung Elip nhỏ M¼N Để hệ pt có hai nghiệm thì đường tròn (C) phải cắt cung Elip nhỏ M¼N tại hai điểm phân biệt. 31 31 ĐK: 2 R 2 m2 1 2 2 31 27 4 m2 1 3 m2 4 4 Vì m là số nguyên m 2 . Chọn đáp án B. Cách 2 : y 1 0 (1) 2 2 2 HPT x y m 1 (2) 2 2 4x 9y 36 (3) Giải hpt gồm (2) và (3) ta được 5x2 9m2 27 2 2 5y 32 4m 5x2 9m2 27 0 27 ĐK để hpt có hai nghiệm là: 3 m2 2 2 5y 32 4m 5 4 Vì m là số nguyên m 2 . Chọn đáp án B. Giáo viên : Mai Ngọc Thi Email : lyvAnxuAn@gmAil.Com Facebook : Mai Ngọc Thi
  11. x 1 y 1 m Câu 7. Số giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình có nghiệm là : x y 2m 1 A.4 .B. 3 . C. 2 .D. 1 . Lời giải NHẬN XÉT: [Tương tự câu 5] Chọn B Điều kiện : x 1 ; y 1. u x 1 Đặt , u,v 0 khi đó ta có hệ phương trình v y 1 u v m u v m u v m 2 2 2 2 m 2m 3 u v 2 2m 1 u v 2uv 2m 3 uv 2 S m S u v 2 Đặt , S 4P khi đó ta có hệ m2 2m 3 P uv P 2 m 0 S 0 m2 2m 3 m 3 Theo yêu cầu bài toán : P 0 0 2 2 2 m 4m 6 0 S 4P 2 2 m 2m 3 m 4. 2 3 m 2 10 Vậy ta có 3 m 2 10 và m ¢ m 3,4,5. Email: quangnam68@gmail.com Câu 8. Cho hệ phương trình 1 y x2 2x 2 0 ( m là tham số ). 2 2 2 y (m 1)(x 2x) m 4m 3 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Giá trị tổng các phần tử của tập S là : A. 3 .B. 3.C. 4. D. 4 . Lời giải Tác giả : Nguyễn Quang Nam,Tên FB: Quang Nam
  12. Chọn B Hệ đã cho tương đương 1 y (x 1)2 1 0 (1) 2 2 2 y (m 1)(x 1) m 3m 2 Ta thấy: nếu (x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ phương trình thì (2 x0 ; y0 ) cũng là nghiệm của hệ phương trình. Điều kiện cầnđể hệ có nghiệm duy nhất là : x0 2 x0 x0 1 2 m 1 thay vào (1) : m 3m 2 0 y0 y0 y0 0 m 2 Điều kiện đủ: +) với m 1, ta có hệ: 2 1 y (x 1) 1 0 x0 1 ( TM) 2 y 0 y 0 0 +) với m 2 , ta có hệ: 2 1 y (x 1) 1 0 x0 1 ( TM) 2 2 y 0 y (x 1) 0 0 Vậy S 1;2 Giá trị tổng các phần tử của tập S là : 1 2 3 Email: vannguyen300381@gmail.com 2 2 x x 1 y y 4 1 Câu 9. Cho hệ phương trình: 2 2 x 1 y 4 m Giá trị nhỏ nhất của m để hệ phương trình có nghiệm gần nhất với số nào sau đây? A.3,8 B.3,2 C. 3D. 6,4 Lời giải Tác giả : Nguyễn Thị VânTên FB: Vân Nguyễn Thị Chọn B x2 1 x x2 1 x x x 0 2 2 a 0 Đặt a x x 1,b y y 4 . Do 2 2 b 0 y 4 y y 4 y y y 0 1 1 4 4 Ta có: x2 1 x, y2 4 y a x2 1 x b y2 4 y
  13. ab 1 (1) Hệ đã cho trở thành: 1 4 a b 2m (2) a b 4a b (2) 2m a b 5a 2b 2 10ab 2 10 m 10 ab 10 1 1 3 10 a x a 5a 2b 5 2 a 20 Với m 10 ab 1 10 1 4 3 10 b y b 2 2 b 20 Vậy GTNN của m để hệ phương trình có nghiệm là 10 3,2 Email: NguyenCongkm2@gmAil.Com 2x y x 2y 3 Câu 10. Cho hệ phương trình 1 2x y 5x 5y m 16 Số giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) duy nhất là A. 14B. 17C. 16D. 17 Lời giải Họ tên tác giả: Nguyễn Văn CôngTên FB: Nguyễn Văn Công Chọn C Đặt a 2x y; b x 2y a,b 0;3; b 3 a 2a2 b2 3a2 6a 9 a2 2b2 a2 12a 18 Rút ra được x ; y= . 5 5 5 5 Nhận thấy rằng với một giá trị của a 0;3 cho ta một giá trị (x; y) . a b 3 Hệ phương trình đã cho có dạng 1 a a2 3b2 m (2) 16 433 Thế b 3 a vào (2) ta có phương trình 4a2 17a m (3). 16 Yêu cầu đề bài dẫn đến phương trình (3) có nghiệm duy nhất a 0;3 . 433 Lập bảng biến thiên của hàm số f (a) 4a2 17a 16
  14. a 17 0 3 8 27,0625 12,0625 f (a) 9 Dựa vào bảng biến thiên ta có m 9; 12,0625 m 27,0625 . Chọn C Email: tambc3vl@gmail.com x y 1 Câu 11. Cho hệ phương trình . Gọi a;b là đoạn chứa các giá trị thực của m để hệ đã x x y y 1 3m cho có nghiệm. Tính a b ? 1 1 A. 0 .B. .C. .D. 1. 4 4 Lời giải Chọn C Đặt u x ; v y ; u 0 ; v 0 u v 1 u v 1 Hệ đã cho trở thành: 3 3 * u v 1 3m uv m u,v là hai nghiệm của phương trình: X 2 X m 0 Hệ đã cho có nghiệm x; y hệ * có nghiệm u 0 ; v 0 phương trình có hai nghiệm 1 0 1 4m 0 m 4 1 X không âm S 0 1 0 m 0; 1 0 4 P 0 m 0 m 0 1 Suy ra a b . 4 tác giả : Nguyễn Thanh Tâm,Tên FB: Tâm Nguyễn Gmail: YurinohAnA811@gmAil.Com 3 2y y 2x 1 x 3 1 x (1) Câu 12. Cho hệ phương trình . Gọi S là tập các giá trị nguyên của m 2 2y 1 y m x 4 (2) để hệ có nghiệm. Tìm số phần tử của S.
  15. A. 4 .B. 6 . C.8 .D. 7 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hiền,Tên FB: Hien Nguyen Điều kiện 4 x 1 Cách 1: lớp 12. 3 1 2y3 y 2 1 x 1 x . Xét f t 2t3 t trên R. Dễ thấy hàm số đồng biến trên ¡ , mà từ PT có f y f 1 x y 1 x x 1 y2 , y 0 . Thay vào (2) ta có: m 2y2 1 y 5 y2 (3) với 0 y 5 . Xét 2y y g y 2y2 1 y 5 y2 trên 0; 5 , g y 1 0 ,y 0; 5 nên 2y2 1 5 y2 g y đồng biến trên 0; 5 . Hệ có nghiệm (3) có nghiệm g 0 m g 5 , hay 1 5 m 11 5 . Mà m nguyên nên m 1;0 5 , có 7 giá trị. Chọn A Cách 2: Lớp 10 3 1 2y3 y 2 1 x 1 x . Đặt b 1 x , ta có 1 2y3 y 2b3 b y b 2 2 2 2(y b) y yb b b y b 3b2 1(vn) . 2 y 2 4 Vậy y 1 x x 1 y2 , y 0 . Thay vào (2) ta có: m 2y2 1 y 5 y2 (3) với 2 2 0 y 5 . Xét g y 2y 1 y 5 y trên 0; 5 Dễ thấy 1 2y2 1 11 ; 5 5 y2 0 , do đó ming y 1 5 y 0; 0; 5 maxg y 11 5 y 5 . Hệ PT có nghiệm (3) có nghiệm 1 5 m 11 5 . 0; 5 Mà m nguyên nên m 1;0 5 , có 7 giá trị. Chọn A Email: triChinhsp@gmAil.Com 3x a y2 1 1 Câu 13. Hệ phương sau có nghiệm duy nhất: 1 với các giá trị a1;a2 thì tổng a1 a2 x y a2 2 y y 1 là
  16. 1 1 2 2 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 3 Lời giải Tác giả : Nguyễn Trí ChínhTên FB: Nguyễn Trí Chính Chọn A 2 3x a y 1 1 2 3x a y 1 1 1 2 I x y a 2 2 2 x y 1 a y y 1 Điều kiện cần: Thấy rằng nếu hệ có nghiệm ( x0 , y0 ) thì hệ cũng có nghiệm ( x0 , y0 ) , bởi vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là yo 0 . Thay yo 0 vào (I) có a 1 3x a 1 3a2 a 4 0 2 4 x 1 a a 3 2 3x y 1 1 Điều kiện đủ: a 1 , hệ (I)trở thành x y 0 2 x y 1 1 4 3x y2 1 1 7 4 3 x 7 a , hệ (I) trở thành 9 . Hệ có nghiệm (x ; y 0) là duy nhất 3 2 16 9 x y 1 y 0 9 4 Vậy tập hợp các giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán là a 1;a  3 1 Suy ra a a . 1 2 3 Email: tvluAtC3tt@gmAil.Com x y m 0 1 Câu 14. Cho hệ phương trình . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 0;2019 xy y 2 2 để hệ phương trình có nghiệm? A. 2018 .B. 2019 .C. 2017 .D. 2017 . Lời giải Tác giả :Trần LuậtTên FB: Trần Luật Chọn A Điều kiện: xy 0 . Cách lớp 10:
  17. Ta có 1 x y m . Thay x y m vào 2 ta có 2 y 0 xy y 2 y y m y 2 y y m 2 y 2 y y m 2 y y 2 y 2 2 2 . y my y 4y 4 4 m y 4 * Nếu 4 m 0 m 4 khi đó * 0 4 (vô lý) m 4 không thỏa mãn. 4 Nếu 4 m 0 m 4 khi đó * y . 4 m 4 2m 4 m 4 Do y 2 nên 2 0 . 4 m 4 m m 2 Theo đề bài m là số nguyên m 0;2019 nên m 0;1;2;5;6; ;2019 . Vậy có 2018 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn. Cách lớp 12: Ta có xy y 2 xy 2 y * . Do y 0 không thỏa mãn phương trình * nên y 2 * y2 4y 4 . x y y2 4y 4 y2 4y 4 4y 4 Thay x vào phương trình 1 ta được y m 0 m 4 . y y y Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình 4 có nghiệm y 2. 4y 4 Xét hàm số f y với y 2, ta có y 4 f y 0 vớiy ;0 và 0;2. y Ta có bảng biến thiên m 2 Từ bảng biến thiên ta có phương trình 4 có nghiệm khi . m 4
  18. Do m là số nguyên và m 0;2019 nên m 0;1;2;5;6; ;2019 . Vậy có 2018 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn. Email: tuancaohoc17@gmail.com 2 4 2x 3y x y 0 Câu 15. Cho hệ phương trình: . 2 2 4 2 y 4y 7 x 1 m 2m 3 Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hệ phương trình có nghiệm thực ? A. 0 .B. 2 . C. 6 . D. 4 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Tuấn,Tên FB: Nguyễn Tuấn Chọn B 2 4 2x 3y x y 0 1 Xét hệ phương trình: 2 2 4 2 y 4y 7 x 1 m 2m 3 2 x y 0 2 Ta có 1 4 2x 3y x y 2 2 x 2 y 1 x 4y 4 0 3 Để tồn tại x trong phương trình 3 ta phải có 2 5 y 1 4y2 4 3y2 2y 5 0 1 y . x 3 Ta có 2 y 1 2 2 y 1 4 x2 1 3 m4 2m2 2 y 1 2 2 y 1 4 x2 1 4 m2 1 4 5 Với mọi x, y thoả mãn: y 1; , x y 0 ta có: 3 VT(4)= y 1 2 2 y 1 4 x2 1 4 , dấu đẳng thức xảy ra x 0, y 1 2 VP(4) 4 m2 1 4 , dấu đẳng thức xảy ra m 1 Do đó điều kiện cần để hệ có nghiệm thực là m 1. Với m 1. Khi đó 4 y 1 2 2 y 1 4 x2 1 4 x 0, y 1 (thỏa mãn (1)). Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m sao cho hệ phương trình có nghiệm thựC. Email: duyhung2501@gmail.com
  19. 2 2 2 2 x 1 y 4 x 2x 5 y 4 (1) Câu 16. Cho hệ phương trình: 2 x 1 y m x 4x 3 (2) Tìm số giá trị nguyên của m  20;20 để hệ đã cho có nghiệm. A. 20B. 21C. 22D. 23 Tác giả :Tăng Duy Hùng,Tên FB:Hùng Tăng Lời giải Chọn C pt(1) x2 2x 5 4 x2 2x 5 y2 4 4 y2 4 (*) Xét f t t 2 4t đồng biến trên 2; Vì x2 2x 5 4; y2 4 4 Nên (*) f x2 2x 5 f y2 4 x 1 2 y2 x 1 y Thế vào (2) ta được: x2 4x 3 m ( ) Hệ có nghiệm ( ) có nghiệm m 1 Mà m  20;20 nên có 22 giá trị nguyên m thỏa mãn bài toán Email: vutoAnpvD@gmAil.Com Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hệ phương trình 2 2 x 3x 100 y 1 m 0 có nghiệm x ; y thỏa x y 80. 2 x 100 y y (100 x ) 100 A. 5. B. 6 . C.10.D. 9. Lời giải Tác giả: Vũ Huỳnh ĐứC. Tên facebook: Huỳnh ĐứC. Chọn B 2 2 x 3 x 100 y 1 m 0 (1) (I ) 2 x 100 y y (100 x ) 100 (2) Đặt t 100 y y 100 t 2 ,t 0. (2) trở thành xt (100 t 2 )(100 x 2 ) 100 (100 t 2 )(100 x 2 ) 100 xt
  20. 100 xt 0 2 2 2 (100 t )(100 x ) (100 xt ) 100 xt 0 100 xt 0 0 x 10 0 x 10 hay 2 2 2 t x 100x 100t 200xt x t 0 100 y x x 2 3 x 100 y 1 m 2 0 x 2 2x 1 m 2 0 x 1 m 2 2 (I ) 100 y x y 100 x y 100 x 0 x 10 0 x 10 0 x 10 x y 80 2 2 x (100 x ) 80 y 100 x 5 x 10. 0 x 10 0 x 10 + Nếu x 1 m thì 5 1 m 10 9 m 4 (loại). + Nếu x 1 m thì 5 1 m 10 4 m 9 . Vậy có 6 giá trị nguyên dương của m thỏa đề bài, đó là m 4;5;6;7;8;9. Email: honganh161079@gmail.com Câu 18. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất? x2 2018 | y 1| m 2 2 | x | y 2y 2018 2018 x m A. m (0;50).B. m (50;100).C. m (2000;2050) .D. m (4000;4050) . Tác giả : Đỗ Thị Hồng Anh,Tên FB: Hong Anh Lời giải Chọn A x2 2018 | z | m Đặt z y 1, hệ phương trình đã cho trở thành : . 2 2 | x | z 2017 2018 x m Nhận xét: nếu hệ có nghiệm (x0;z0 ) thì hệ cũng có nghiệm ( x0; z0 ) . Do đó, hệ có nghiệm duy nhất khi x0 z0 0 . Thay vào hệ, ta có m 2018 . x2 2018 | z | 2018 (1) Thử lại: thay m 2018 vào hệ phương trình, ta có: . 2 2 | x | z 2017 2018 x 2018 (2)
  21. Ta có x2 2018 | z | 2018 nên pt (1) x z 0. Ta cũng có x z 0 thỏa mãn pt (2). x2 2018 | z | 2018 Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất x z 0 . 2 2 | x | z 1 2018 x 2018 x2 2018 | y 1| m Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 2 2 | x | y 2y 2018 2018 x m m 2018 (0;50) . Email: kimlinhlqD@gmAil.Com Câu 19. Tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình : 3 3 2 x y 3y 3x 2 0 1 , x, y ¡ 2 2 2 x 1 x 3 2y y m 0 2 có nghiệm là : A. m  2;2 .B. m  1;1. C. m  1;2 .D. m 1;2 . Lời giải Tác giả : Huỳnh Kim Linh,Tên FB: Huỳnh Kim Linh Chọn C 2 1 x 0 1 x 1 Điều kiện: 2 2y y 0 0 y 2 Biến đổi pt (1) thành : 3 3 x3 3x y 1 3 y 1 x3 y 1 3 x y 1 0 x y 1 x2 x y 1 y 1 2 3 0 x y 1 0 y x 1 2 2 x x y 1 y 1 3 0 Do 1 x 1 2 2 x 1; x y 1 1; y 1 1 0 y 2
  22. Nên x2 1 2 x 1 x2 x y 1 y 1 3 0 x y 1 1 y 2 2 y 1 1 2 Thay y x 1vào (2) ta được x2 2 1 x2 m 0 Đặt v 1 x v 0;1 (2) trở thành: v2 2v 1 m * Hệ phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm trong đoạn 0;1. Bảng biến thiên của hàm số g(v) = v2 + 2v 1 trên 0;1 v 0 1 g(v) 2 1 Tìm được : min g(v) 1; max g(v) 2. [0;1] [0;1] Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m  1;2 . Email:damvanthuong1205@gmail.com 2 2 x 3 3 y y 3 3 x 1 Câu 20. Cho hệ phương trình: ( m là tham số). 2 x 1 1 x m 2 1 y 2 Số các giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình trên có nghiệm là: A.0.B. 1.C. 2.D. 3. Lời giải Tác giả :Đàm Văn Thượng,Tên FB: Thượng Đàm Chọn D Cách 1: Phương pháp lớp 10 + Đk: 0 x 1;0 y 1 + Với x y 0 hpt có nghiệm 2 m 2 m 4 + Với x; y thỏa mãn điều kiện và không đồng thời bằng không.Ta có pt
  23. x2 3 3 y y2 3 3 x x 2 3 y 2 3 3 x y 0 x2 y2 x y 3 0 x2 3 y2 3 x y x y 3 x y 0 2 2 x 3 y 3 x y x y 3 x y , do 0 x2 3 y2 3 x y + Với x y thế vào phương trình(2) ta được: x 1 1 x m 2 1 x2 x 1 1 x 2 1 x2 m 0 * Đặt t 1 x 1 x t2 2 2 1 x2 Vì 0 x; y 1 nên 0 t 2 2 2 2 t 2 Khi đó pt (*) trở thành:t 2 t 2 m 0 t 2 t 2 m ( ) 2 Xét hàm số y t t 2 ;t 2;2 ta có hàm số đồng biến trên 2; 2 Nên phương trình ( ) có nghiệm y( 2) m y(2) 2 m 4 Vậy hpt có nghiệm khi 2 m 4 Suy ra số giá trị nguyên của m là 3. Cách 2: Phương pháp lớp 12. + Điều kiện: 0 x 1;0 y 1 + Với x y 0 hpt có nghiệm 2 m 2 m 4 + Với x; y thỏa mãn điều kiện và không đồng thời bằng không.Ta có phương trình x2 3 3 y y2 3 3 x x2 3 3 x y2 3 3 y * Xét hàm f t t 2 3 3 t,0 t 1 . t 3 Ta có f t 0, t 0;1 . t 2 3 2 t Từ * suy ra f x f y x y .
  24. + Với x y thế vào phương trình(2) ta được: x 1 1 x m 2 1 x2 x 1 1 x 2 1 x2 m 0 * Đặt t 1 x 1 x t2 2 2 1 x2 Vì 0 x; y 1 nên 0 t 2 2 2 2 t 2 Khi đó pt (*) trở thành:t 2 t 2 m 0 t 2 t 2 m ( ) 2 Xét hàm số y t t 2 ;t 2;2 ta có hàm số đồng biến trên 2; 2 Nên phương trình ( ) có nghiệm y( 2) m y(2) 2 m 4 Vậy hpt có nghiệm khi 2 m 4 Suy ra số giá trị nguyên của m là 3. Email: quocdai1987@gmail.com x 4 y2 Câu 21. Cho hệ phương trình hai ẩn x; y với tham số m . Có tất cả giá trị nguyên của tham số x y m m để hệ phương trình đó có đúng hai nghiệm phân biệt. A.5B.1 C.3D.2 Lời giải Tác giả : Trần Quốc Đại,Tên FB: www.facebook.com/tqd1671987 Chọn B x 0 Điều kiện 2 y 4 x 4 y2 x2 y2 4(1) x y m x y m 0(2) Từ điều kiện kết hợp pt(1) ta suy ra đồ thị của phương trình (1) : là nữa đường tròn có tâm O 0;0 ; R 2
  25. Đồ thị pt(2) là đường thẳng luôn song song đường thẳng x y 0 Dựa vào đồ thị, đường thẳng : x y m cắt nữa đường tròn trên hình tại đúng hai điểm phân biệt 2 m 2 2 ì 2 ï y = 27 + 6x - x + 5 Câu 22. Cho hệ phương trình: í ï îï my + 2x + 3m - 6 = 0 Biết tập hợp tất cả các giá trị m là [a;b] thì hệ phương trình có nghiệm. Tính tổng a2 + b2 = ? 9 9 9 A. B. C. D. 0 2 8 4 Tác giả: Trần Phương FB: Phuong tran l Lời giải Chọn A
  26. 12 10 8 6 B A 4 d 2 O 3 5 10 -2 M -4 ì ³ ï y 5 +) PT(1) Û í ï 2 2 îï (y - 5) + (x - 3) = 36 Þ Tập hợp các điểm (x;y) thỏa mãn phương trình (1) là nửa đường tròn tâm I(3;5), bán kính R=6, đường kính AB với A(9;5), B(-3;5) và y ³ 5 +) PT(2) là phương trình của họ đường thẳng d: my + 2x + 3m - 6 = 0 luôn đi qua điểm M(3;-3) TH1: m = 0 Þ x = 3 Þ y = 11 hệ có nghiệm (3;11) - 2 6 - 2 TH2: m ¹ 0 Þ d : y = x - 3+ có hệ số góc k = m m m - 4 4 Đường thẳng MB, MA lần lượt có hệ số góc k = ,k = 1 3 2 3 Hệ có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng d cắt nửa đường tròn đường kính AB Û d nằm trong góc (MA,MB) é- 2 4 ê ³ êm 3 é 3 3ù Û ê Û m Î ê- ; ú\{0} ê- 2 - 4 ëê 2 2ûú ê £ ëêm 3 é 3 3ù 9 Từ hai trường hợp trên suy ra m Î ê- ; úÞ a2 + b2 = ëê 2 2ûú 2 Gmail: linhphuongtran79@gmail.com Email: lecamhoa474@gmail.com (x2 5x)2 8x2 40x 16 9x2 5x 4 10x | x | 0 Câu 23. Cho hệ phương trình 2 x 2(m 1)x m(m 2) 0. . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ? A.1. B. 2. C.3.D. 4 .
  27. Lời giải Tác giả : Lê Cẩm Hoa,Tên FB:Élie Cartan Cartan Chọn D Cách 1: Hệ phương trình đã cho tương đương | x2 5x 4 | 9x2 5x 4 10x | x | 0 (1) . 2 x 2(m 1)x m(m 2) 0 (2) + Giải (1): Phương trình (1) tương đương | x2 5x 4 | (x2 5x 4) 10x(| x | x) 0 (3) . Với 0 x 1 hoặc x 4 , VT 0 (3) vô nghiệm. Với 1 x 4 , VT 0 (3) có nghiệm đúng với mọi x 1;4. Với x 0,(3) 18x2 10x 8 0 x 1. Vậy (1) có nghiệm là x 1 hoặc 1 x 4. + Giải (2) : Ta có ' (m 1)2 m(m 2) 1 0,m Suy ra (2) luôn có nghiệm x1 m; x2 m 2 . Ta đi xét các khả năng để hệ có nghiệm duy nhất ( với nhận xét x1 và x2 hơn nhau 2 đơn vị) 2 m 2 4 4 m 6 1 m 2 1 1 m 3 . m 1 m 1 Vậy với m (1;3)  4;6 1 hệ có nghiệm duy nhất. Mà m ¢ , suy ra m {2;5;6; 1}. Chọn đáp án D. Chú ý : Nếu bạn đọc không trực quan được trong bước lập luận trên, tốt nhất hãy vẽ trục số biểu diễn tập x 1,1 x 4 và di chuyển đoạn [m 2;m] trên đó. Cách 2 : Dùng phương pháp đồ thị trên hệ tọa độ Oxy. Email: duyhung2501@gmail.com 2 2 2 2 x 1 y 4 x 2x 5 y 4 (1) Câu 24. Cho hệ phương trình: 2 x 1 y m x 4x 3 (2) Tìm số giá trị nguyên của m  20;20 để hệ đã cho có nghiệm. A 20B. 21C. 22D. 23 Tác giả :Tăng Duy Hùng,Tên FB:Hùng Tăng
  28. Lời giải Chọn C pt(1) x2 2x 5 4 x2 2x 5 y2 4 4 y2 4 (*) Xét f t t 2 4t đồng biến trên 2; Vì x2 2x 5 4; y2 4 4 Nên (*) f x2 2x 5 f y2 4 x 1 2 y2 x 1 y Thế vào (2) ta được: x2 4x 3 m ( ) Hệ có nghiệm ( ) có nghiệm m 1 Mà m  20;20 nên có 22 giá trị nguyên m thỏa mãn bài toán Email: anhtu82t@gmail.com Câu 25. Gọi m0 là giá trị nhỏ nhất của m để hệ phương trình sau có nghiệm 3 3 x y x y 27 2 2 . Khẳng định nào sau đây đúng ? m x 2x 3 A. m0 (4;5) .B. m0 (6;7) .C. m0 (7;8) .D. m0 (9;10) . Lời giải Tác giả : Đồng Anh Tú,Tên FB: Anh Tú Chọn B 3 3 x y x y x y 0 27 (1) 2 2 . ĐK x y 0 x 0 m x 2x 3 (2) x y x y Đặt a ,b thì a,b 0 . Từ PT (1), ta được x a2 b2 và a3 b3 27 2 2 0 a 3 a3 3a2 Nên 3(a2 b2 ) a3 b3 27 x a2 b2 9 . Vậy x 9 dấu bằng xẫy 3 2 0 b 3 b 3b ra khi y 9 . Với x 9 thì 3 3 Từ PT(2), ta có m 2 x ( x ) x 2 3 3 nên m 2 3 3 6,46 nên Chọn B x x 0 Nhận xét
  29. Để chứng minh x 9 , ta có thể làm cách khác như sau x y x y t 2 18 Đặt t ,(t 0) , ta tìm được x . Nên ta có 2 2 3 t t 2 18 t 2 9 9 x 9 3 t 3 t t Email: Cvtung.lg2@BACgiAng.eDu.vn 2 2 2y 1 m 1 x 3m 2m y m Câu 26. Cho hệ phương trình , m là tham số thựC. Hỏi có bao 3 2y 2x 1 x 3 1 x y nhiêu giá trị m nguyên để hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện 2y x 2023. A. 22 .B. 45 .C. 20 . D.35 . Lời giải Tác giả : Cao Văn Tùng,Tên FB: Cao Tung Chọn A +) Xét phương trình 2y3 2x 1 x 3 1 x y, 2 đặt a 1 x 0 khi đó x 1 a2 phương trình trở thành 2y3 2 1 a2 a 3a y y a 2y2 2ay 2a2 1 0 2 y a do 2y2 2ay 2a2 1 a2 y2 a y 1 0 . y 0 y 1 x +) Với y a ta có 2 . x 1 y 2 2y x 2023 y 1 452 46 y 44 +) Từ đó 0 y 44 y 0 y 0 y 0 +) Lấy y 1 x thay vào phương trình đầu ta được 2y2 1 m y 3m2 2m y m, 1 2 2 2 2 2 2y 1 m y 3m 2m y m 2y 1 m y 3m 2m y m y m 2 2 y 2m y 1 3m y 2m 2m 0 y m 1, (3) y m y m +) Để hệ thỏa mãn yêu cầu bài toán thì (3) phải có hai nghiệm y phân biệt thuộc 0;44 điều kiện là:
  30. 0 2m 44 0 m 22 0 m 1 44 1 m 45 2m m 1 1 m 22 , m nguyên nên có 22 giá trị m thỏa mãn. m m 1 m 2 2m m 1 m 1 Email: trungthuong2009@gmail.com Câu 27. Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 2 x xy 2x y 1 y 1 x 2 2x (6 m)y y 1 x 1 A.1.B. 7 . C.8.D. 2 . Lời giải Tác giả : Phạm Thành Trung,Tên FB: Phạm Thành Trung Chọn B x 1 Điều kiện: y 1 2 2x (6 m)y 0 Xét phương trình: x2 xy 2x y 1 y 1 x(*) x 0 Nếu đưa phương trình thứ 2 trong hệ về dạng 6 m 0 m 6 y 1 1 Nếu x y 1 0 , biến đổi phương trình về dạng (x y 1)(x 1 ) 0 x y 1 1 Từ điều kiện xác định của bài toán ta có x 1 0 . x y 1 Do đó (*) x y 1 0 y x 1 Thay vào phương trình còn lại trong hệ có: 2x2 (6 m)(x 1) m x x 1 2(x 1)2 (2 m)(x 1) 2 x 1 1 x 1 Do x 1 không là nghiệm phương trình nên chia hai vế cho x 1 0 ta có: 1 1 2 (x 1) 2 m 1 x 1 (x 1) x 1 1 1 Đặt t x 1 (t 2) khi đó có (x 1) t 2 2 x 1 (x 1)
  31. Vậy phương trình có dạng: 2(t 2 2) 2 m 1 t m t 2 2t 7 Xét hàm số g(t) t 2 2t 7(t 2) ta có g '(t) 2t 2 0t 2 Do đó phương trình có nghiệm khi m g(2) 7 Vậy có 7 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với học sinh lớp 10 ta có thể xét theo đồ thị của (P) : y t 2 2t 7,t 2 ta có bảng biến thiên: Với bảng biến thiên trên ta suy ra được yêu cầu bài toán. Email: soantailieutoanhoc2018@gmail.com x m y2 y m x2 m Câu 28. Có bao nhiêu giá trị nguyên m 0;2019 để hệ phương trình có 2x y 3 nghiệm thực. A.2014.B.2015.C. 2016.D.2017. Lời giải Tác giả: Trần Ngọc,Tên FB: Trần Minh Ngọc Chọn C x2 m Điều kiện . 2 y m 2 2 Phương trình x m y2 y m x2 m x m y2 y m x2 0 2 x 0 x m y y 0 , 1 2 y m x 2 2 x y m Phương trình x2 y2 m m 0 , là phương trình đường tròn tâm O 0;0 , bán kính R m Suy ra 1 biễu diễn trên hệ trục toạ độ Oxy , là dây cung AB như hình vẽ.
  32. y B A x 1 O 3 2 -3 Để hệ có nghiệm thì đường thẳng 2x y 3 cắt dây cung 3 9 AB m m m 3;4;5; 2018. 2 4 Email:datltt09@gmai.com x 1 y 2 3m Câu 29. Biết tập tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm là x y 4m a b 2a d a đoạn ; với a,b,c,d là các số tự nhiên và phân số tối giản .Tính P a b c d c c c ? A.60.B.58.C.61.D.62. Lời giải Tác giả : Vũ Thị Hằng,Tên FB: Đạt Lâm Huy NHẬN XÉT : Bài toán 29 dạng toán tương tự bài toán 5 và bài toán 7 Chọn B x 1 u x 1,u 0 u v 3m ĐKXĐ .Đặt hệ trở thành 2 2 (1) y 2 v y 2, v 0 u v 4m 1 u v 3m (1) u2 v2 (4m 1) 9m2 4m 1 .Suy ra u;v là nghiệm của phương trình uv 2 2 9m2 4m 1 X 2 3mX 0(2) .Do đó hệ đã cho có nghiệm khi (2) có 2 nghiệm không âm.Khi : 2 0 9m2 2(9m2 4m 1) m 0 2 2 13 4 34 u v 0 3m 0 9m 4m 1 0 m 9 9 u.v 0 9m2 4m 1 9m2 8m 2 0 0 2
  33. a 2,b 13,c 9,d 34 P 58. Email:datltt09@gmai.com Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn1;20 để hệ phương trình 5m2 15m 10 x 3 y 2 2(5m 1) có nghiệm? 5m2 7m 6 x 1 y 2 2(5m 1) A.20.B.15.C.4.D.5. Lời giải Tác giả : Vũ Thị Hằng,Tên FB: Đạt Lâm Huy Chọn B x 1 ĐKXĐ .Cộng và trừ tương ứng hai vế của hai phương trình trong hệ ta được y 2 10m2 22m 4 ( x 3 x 1) ( y 2 y 2) 2(5m 1) 8m 16 ( x 3 x 1) ( y 2 y 2) 2(5m 1) ( x 3 x 1) ( y 2 y 2) m 2 a x 3 x 1 a 2x 1 4 4 8m 16 (1) .Đặt b y 2 y 2 b 2y 2 x 3 x 1 y 2 y 2 2(5m 1) a b m 2 a b m 2 a b m 2 (1) trở thành 4 4 4(m 2) 4(a b) 4(m 2) (2) a.b 5m 1 a b 5m 1 a.b 5m 1 Hệ đã cho có nghiệm khi hệ (2) có nghiệm a,b thỏa mãn a 2,b 2 ,suy ra (a 2) (b 2) 0 (m 2) 4 0 m 2 (a 2)(b 2) 0 (5m 1) 2(m 2) 4 0 3m 1 m 16 2 2 2 (a b) 4a.b (m 2) 4(5m 1) m 16m 0 Vậy m 16,17,18,19,20 .Chọn D Email: thongqna@gmail.com xy (x y)( xy 2) x y y 1 Câu 31. Biết rằng hệ phương trình: nhận cặp số thực 2 (x 1)(y xy x x ) 4 2 x1; y1 , x2 ; y2 là nghiệm. Tính giá trị biểu thức P y1x2 .
  34. 1 17 1 1 17 A.1 .B. .C. . D. . 2 2 2 Lời giải Tác giả : Trần Văn Thông,Tên FB: Trần Thông Chọn D x; y 0 Điều kiện : . xy (x y)( xy 2) 0 (1) xy (x y)( xy 2) y ( x y) 0 (x y)(y xy 2) x y 0 xy (x y)( xy 2) y x y y xy 2 1 (x y) 0 (3) x y xy (x y)( xy 2) y 2 4 2 4 Từ PT (2) ta có y xy x x (x 1) x 1 2 2 x 1 x 1 y xy 2 1 0 xy (x y)( xy 2) y x y 1 17 PT (3) x y , thay vào PT (2) ta được : x3 2x2 3x 4 0 x 1 hoặc x 2 1 17 1 17 Kết hợp với điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm là 1;1 ; ; . 2 2 1 17 Do vậy, P y x . 1 2 2 Email: hmtuonguqn@gmail.com Câu 32. Gọi (x0; y0 ) (a b c;d e c) (với clà số nguyên tố)là nghiệm của hệ phương trình 3 3 2 2 x 2 y x( y 1) 2 y(x 1) 0 (1) . 2 y (1 x 3y )(x 3y 2 y 2) (2) Tính gía trị của biểu thức P a b e. A. P 16. B. P 6  C. P 2  D. P 1. Lời giải
  35. Tác giả : Hồ Minh TườngTên FB:Hồ Minh Tường Chọn C x 3y 0 Điều kiện: . y 0 Ta có (1) x2 (x 2 y) y2 (x 2 y) (x 2 y) 0 (x 2 y)(x2 y2 1) 0 x2 y2 1 0 x 2 y * Xét x2 y2 1 0 vô nghiệm. 2 y y * Xét x 2 y thế vào (2) ta được y2 (1 y )( y 2 y 2) 2 1 y 1 y ( y 1 không là nghiệm) y 1 y y 1 0 (vn) 1 y y y 1 3 (vn) 2 1 y y 1 3 y0 4 2 3 x0 4 3 8 P 2 Chọn C Email: tuancaohoc17@gmail.com 2 4 2x 3y x y 0 Câu 33. Cho hệ phương trình: . 2 2 4 2 y 4y 7 x 1 m 2m 3 Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hệ phương trình có nghiệm thực ? A. 0 .B. 2 . C. 6 . D. 4 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Tuấn,Tên FB: Nguyễn Tuấn Chọn B 2 4 2x 3y x y 0 1 Xét hệ phương trình: 2 2 4 2 y 4y 7 x 1 m 2m 3 2 x y 0 2 Ta có 1 4 2x 3y x y 2 2 x 2 y 1 x 4y 4 0 3
  36. Để tồn tại x trong phương trình 3 ta phải có 2 5 y 1 4y2 4 3y2 2y 5 0 1 y . x 3 Ta có 2 y 1 2 2 y 1 4 x2 1 3 m4 2m2 2 y 1 2 2 y 1 4 x2 1 4 m2 1 4 5 Với mọi x, y thoả mãn: y 1; , x y 0 ta có: 3 VT(4)= y 1 2 2 y 1 4 x2 1 4 , dấu đẳng thức xảy ra x 0, y 1 2 VP(4) 4 m2 1 4 , dấu đẳng thức xảy ra m 1 Do đó điều kiện cần để hệ có nghiệm thực là m 1. Với m 1. Khi đó 4 y 1 2 2 y 1 4 x2 1 4 x 0, y 1 (thỏa mãn (1)). Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m sao cho hệ phương trình có nghiệm thực. Email:datltt09@gmail.com Câu 34. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn1;20 để hệ phương trình 5m2 15m 10 x 3 y 2 2(5m 1) có nghiệm? 5m2 7m 6 x 1 y 2 2(5m 1) A.20.B.15.C.4.D.5. Lời giải Tác giả : Vũ Thị Hằng,Tên FB: Đạt Lâm Huy Chọn D x 1 ĐKXĐ .Cộng và trừ tương ứng hai vế của hai phương trình trong hệ ta được y 2
  37. 10m2 22m 4 ( x 3 x 1) ( y 2 y 2) 2(5m 1) 8m 16 ( x 3 x 1) ( y 2 y 2) 2(5m 1) ( x 3 x 1) ( y 2 y 2) m 2 a x 3 x 1 a 2x 1 4 4 8m 16 (1) .Đặt b y 2 y 2 b 2y 2 x 3 x 1 y 2 y 2 2(5m 1) a b m 2 a b m 2 a b m 2 (1) trở thành 4 4 4(m 2) 4(a b) 4(m 2) (2) a.b 5m 1 a b 5m 1 a.b 5m 1 Hệ đã cho có nghiệm khi hệ (2) có nghiệm a,b thỏa mãn a 2,b 2 ,suy ra (a 2) (b 2) 0 (m 2) 4 0 m 2 (a 2)(b 2) 0 (5m 1) 2(m 2) 4 0 3m 1 m 16 2 2 2 (a b) 4a.b (m 2) 4(5m 1) m 16m 0 Vậy m 16,17,18,19,20 .Chọn D Email: thuhAngnvx@gmAil.Com Câu 35. Tổng các giá trịnguyên của m để hệ phương trình sau có 2 phân biệt nghiệm là: 3 3 2 x 3x y 3y 6y 4 0 1 2 2 2 x 1 x 3 2y y m 0 2 A.0.B. 1.C. 2 . D.3. Lời giải Tác giả : Phùng Thị Thu Hằng,Tên FB: Phùng Hằng Chọn A Cách 1 ( Lớp 10) Điều kiện: 1 x 1, 0 y 2 (1) x3 3x y 1 3 3 y 1 x y 1 x2 x y 1 y 1 2 3 x y 1 0 x y 1 x2 x y 1 y 1 2 3 0 y x 1 x2 x y 1 y 1 2 3 0 VN Thế y x 1 vào pt (2) ta được: x2 2 1 x2 m Đặt t 1 x2 t 0;1
  38. PT 1 t 2 2t m t 2 2t 1 m 3 Xét hàm số f t t 2 2t 1 BBT t 0 1 f t 2 -1 Với mỗi nghiệm t 0;1 cho 2 nghiệm x  1;1 nên để hệ phương trình có nghiệm 2 nghiệm phân biệt pt (3) có 1 nghiệmt 0;1 1 m 2 do m Z m 1;0;1 Chọn A Cách 2 (Lớp 12) Điều kiện: 1 x 1, 0 y 2 (1) x3 3x y 1 3 3 y 1 * Xét hàm số f t t3 3t f ' t 3t 2 3 0 t  1;1 Khi đó từ * x y 1 y x 1 Thế y x 1 vào pt (2) ta được: x2 2 1 x2 m 3 1 Xét hàm số g x x2 2 1 x2 g ' x 2x 1 g ' x 0 x 0 1 x2 BBT x -1 0 1 g ' x - + g x 1 1 -2 Để hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt pt (3) có 2 nghiệm phân biệt x  1;1 2 m 1 1 m 2 do m Z m 1;0;1 Chọn A Câu 36. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình:
  39. 3 3 2 x 12x y 6y 16 (1) có nghiệm. Số phần tử của S là 2 2 2 5 4y y 4x 2 4 x m (2) A. 21 .B. 22 .C. 23.D. 24 . Lời giải Chọn C x  2;2 Điều kiện: y 0;4 (1) x3 12x (y 2)3 12(y 2) . Với y 0;4 y 2  2;2 Xét hàm số: f (t) t3 12t (t  2;2) có f '(t) 3t 2 12 0 t  2;2 Nên hàm f (t) nghịch biến trên  2;2 mà f (x) f (y 2) x y 2 Thay vào (2) ta được: 3 4 x2 4x2 m Khảo sát hàm g(x) 3 4 x2 4x2 (x  2;2) ta được min g(x) g(2) g( 2) 16  2;2 và max g(x) g(0) 6 . Nên để hệ phương trình có nghiệm thì m  16;6  2;2 Suy ra số phần tử của S là: 23 Tác giả: Bùi Chí Thanh Tên Facebook: Thanhbui Lê –Thị-Thúy_thuytoanqx2@gmail.com 3 3 2 x y 3y y 4x 3 0 Câu 37. Cho hệ phương trình . Gọi S là tập các giá trị nguyên của 2 2 2 16x 10 1 x 14 2y y m 0 m để hệ phương trình có 2 nghiệm. Số phần tử của S. A. 8 B. 7C. 9D. 10 Lời giải Chọn C ĐK: 1 x 1 , 0 y 2 PT (1): x3 y3 3y2 y 4x 3 0 x 1 y 0 (a) x 1 y x2 x y 1 y 1 2 4 0 2 2 x x(y 1) (y 1) 4 (b) Do điều kiện x  1;1, y 0;2 nên PT(b) vô nghiệm
  40. Thay y x 1 vào phương trình (2) ta được 16 1 x2 24 1 x2 16 m x 1 t 2 2 1 0 Đặt t 1 x t 0;1 Với t0 1 x 0 ; t0 0;1 x1 x2 2 x2 1 t0 Xét hàm số f (t) 16t 2 24t 16 t 0;1 t 0 t1 3 1 4 3 Để16 hệ PT có 2 nghiệm thì PT : 16t 2 24t 16 m . Có nghiệm t hoặc t 0;t 4 1 f (t) m 25 24 24 , do m ¢ nên có 9 giá trị của m. Chọn C m 24; 16 25 Email: chauhieu2013@gmail.com PT-HPT vô tỷ chứa tham số Email: phuongthu081980@gmAil.Com 2 2 2 2 x mxy y x y =185 1 Câu 38. Cho hệ phương trình: . Tìm số các giá trị nguyên của 2 2 2 2 x mxy y x y 65 2 m  2018;2018để hệ phương trình có nghiệm là: A. 2018 B. 4037 . C. 4036 . D. 2019 . Lời giải Chọn C Cộng từng vế 2 pt ta được: 2 x2 y2 x2 y2 250 x2 y2 25 Thay vào hệ ban đầu ta có hpt: 25 mxy .5 185 2 2 2 12 x y 25 x y 2xy 25 xy 25 mxy .5 65 m 12 12 * xy xy m m Đặt S x y; P xy . Thay vào hệ trên ta có 24 12 25m 24 m S 2 2. 25 S 2 0 S 25 * m m 1 m 0 m 0 2 25m 24 12 25m 24 Hệ (*) có nghiệm S 4P 4. 0 24 *2 m m m m 25
  41. 24 m 25 Từ * ; * Theo gt: m  2018;2018;m Z có 4036 số . Chọn C 1 2 24 m 25 Họ tên: Nguyễn Thị Phương DungEmail: phDungsn@gmAil.Com FB : Phương Dung Câu 39. Tìm số giá trị nguyên của m để hệ phương trình sau có nghiệm: x y x 1 2y 2 1 . 2 2 x y 2 x 1 y 1 8 4 x y m 2 A.8 B.5 C.3 D.9 Lời giải Chọn A x 1 Điều kiện: y 1 1 x y 2 x 2y 1 2 x 1 2y 2 x y 2 x 2y 1 2 2x 2 y 1 Cosi x 2y 1 2x 2 y 1 3 x y 0 x y 3 2 x2 y2 2xy 2 x y 2 8 4 x y m Đặt x y t Ta có m t 2 2t 2 8 4 t Xét hàm số f t t 2 2t 2 8 4 t , t 0;3 4 f ' t 2t 2 4 t t 0 3 2 f ' t 0 t 2t 7t 0 t 1 2 2 t 1 2 2 Xét dau suy ra trên 0;3 hàm f t đồng biến
  42. min f 0 18, max f 3 25 x 0;3 x 0;3 Hệ phương trình có nghiệm khi m 18;25 Vậy có 8 giá trị nguyên của m .