Bài tập Bất đẳng thức Lớp 10 - Mức độ 3 phần 5 (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập Bất đẳng thức Lớp 10 - Mức độ 3 phần 5 (Có đáp án)

1. 5 4 1 Câu 1: Cho x, y là những số thực dương thỏa mãnx y . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là: 4 x 4y 65 A. 2.B. 3.C. 5.D. . 4 Lời giải Chọn C Áp dụng bất đẳng thức Cauchy schwarz ta có 2 2 1 1 25 2 2 4 1 2 2 2 P 4 5 x 4y x y x y 5 4 1 Dấu bằng xảy ra khi x 1,y . 4 1 a 1 b Câu 2: Cho a b 0 và x , y . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 a a2 1 b b2 A. x y .B. x y . C. x y .D. Không so sánh được. Lời giải Chọn B 1 1 1 1 Ta có: a và b . x a 1 y b 1 1 1 1 Suy ra: a b 1 x y a 1 b 1 1 1 Do a b 0 nên a 1 1 và b 1 1 suy ra: 1 1 0 . a 1 b 1 a 1 b 1 1 1 1 1 1 1 Vậy 0 do x 0 và y 0 nên x y . x y x y x y Câu 3: Cho a,b,c 0 . Xét các bất đẳng thức sau: a b a b c 1 1 I) 2 . II) 3. III) a b 4. b a b c a a b Bất đẳng thức nào đúng? A. Chỉ I) đúng.B. Chỉ II) đúng.C. Chỉ III) đúng.D. Cả ba đều đúng. Lời giải Chọn D a b a b a b c a b c Ta có: 2 . 2 I đúng; 33 . . 3 II đúng; b a b a b c a b c a a b 2 ab  1 1 1 1 1  a b 4 (III) đúng. 2 a b a b ab  Câu 4: Cho a,b,c 0 . Xét các bất đẳng thức:
2. 3 1 1 1 I) a b c 3 abc II) a b c 9 III) a b b c c a 9 . a b c Bất đẳng thức nào đúng: A. Chỉ I) và II) đúng.B. Chỉ I) và III) đúng. C. Chỉ I) đúng.D. Cả ba đều đúng. Lời giải Chọn A a b c 33 abc I đúng; 1 1 1 1 33 1 1 1 1 1 1 9 a b c abc a b c 9 II đúng; a b c a b c a b c 3 a b c 3 abc a b 2 ab ; b c 2 bc ; c a 2 ca a b b c c a 8abc III sai. Câu 5: Cho a,b,c 0 . Xét các bất đẳng thức: a b c 2 2 2 I) 1 1 1 8 . II) b c c a a b 64 . b c a a b c III) a b c abc . Bất đẳng thức nào đúng? A. Chỉ I) đúng.B. Chỉ II) đúng. C. Chỉ I) và II) đúng.D. Cả ba đều đúng. Lời giải Chọn C a a b b c c a b c a b c 1 2 ; 1 2 ; 1 2 1 1 1 8 8 I đúng. b b c c a a b c a b c a 1 b 1 c 2 bc bc b 2 ; c 2 b c 2 4 4 4 . a a a a a a2 a2 2 ac 2 ab Tương tự: c a 4 4 ; a b 4 4 . b b2 c c2 2 2 2 Suy ra: b c c a a b 64 II đúng. a b c Ta có: 33 abc a b c abc 3 abc 2 3 abc 3 3 III sai. 1 1 1 9 Câu 6: Cho x, y, z 0 và xét ba bất đẳng thức(I) x3 y3 z3 3xyz ; (II) ; (III) x y z x y z x y z 3 . Bất đẳng thức nào là đúng? y z x A. Chỉ I đúng.B. Chỉ I và III đúng. C. Chỉ III đúng. D. Cả ba đều đúng. Lời giải Chọn B x3 y3 z3 33 x3 y3 z3 3xyz I đúng;
3. 1 1 1 1 33 1 1 1 1 1 1 9 x y z xyz x y z 9 II sai; x y z x y z x y z x y z 33 xyz x y z x y z 33 . . 3 III đúng. y z x y z x Câu 7: Cho a,b 0 và ab a b . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a b 4 .B. a b 4 . C. a b 4. D. a b 4. Lời giải Chọn B a b 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: ab . 4 2 a b 2 Do đó: ab a b a b a b 4 a b 0 a b a b 4 0 4 a b 4 0 (vì a b 0) a b 4 . Câu 8: Cho a b c d và x a b c d , y a c b d , z a d b c . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x y z .B. y x z .C. z x y .D. x z y . Lời giải Chọn A Ta có: x y a b c d a c b d a c d b c d a b d c b d a c b bd cd d a b c 0 . Suy ra: x y . Tương tự: x z a c d b 0 x z ; y z a b d c 0 y z . Câu 9: Bất đẳng thức: a2 b2 c2 d 2 e2 a b c d e ,  a , b , c, d tương đương với bất đẳng thức nào sau đây? 2 2 2 2 b c d e A. a a a a 0 . 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a B. b c d e 0 . 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a C. b c d e 0 . 2 2 2 2 D. a b 2 a c 2 a d 2 a d 2 0 . Lời giải Chọn B a2 b2 c2 d 2 e2 a b c d e 2 2 2 2 a 2 a 2 a 2 a 2 ab b ac c ad d ae e 0 4 4 4 4
4. 2 2 2 2 a a a a b c d e 0 . 2 2 2 2 x 2 Câu 10: Cho x 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số f x bằng: x 1 2 2 1 A. .B. .C. .D. . 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 2 2 x 2 1 2 1 1 1 1 1 Ta có f x 0 và f x 2 0 f x . 2 2 x x x 8 x 4 8 2 2 1 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng . 2 2 a b c Câu 11: Với a,b,c 0 . Biểu thức P . Mệnh đề nào sau đây đúng? b c c a a b 3 3 4 3 A. 0 P .B. P .C. P .D. P . 2 2 3 2 Lời giải Chọn D 1 1 1 Ta có: P 3 a b c . b c c a a b 1 1 1 9 1 1 1 9 Áp dụng bất đẳng thức suy ra: . x y z x y z b c c a a b 2 a b c 9 3 Do đó P 3 P ; đẳng thức xảy ra khi a b c . 2 2 Câu 12: Cho 3 số a, b, c . Bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. a b 2 ab .B. (a 2b 3c)2 14(a2 b2 c2 ) . 1 1 4 C. ab bc ca a 2 b 2 c 2 .D. . a b a b Lời giải Chọn C C đúng vì ab bc ca a2 b2 c2 a b 2 b c 2 c a 2 0 . Câu 13: Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. Xét các bất đẳng thức sau đây: I. a2 b2 c2 2(ab bc ca). II. a2 b2 c2 2(ab bc ca). III. a 2 b 2 c 2 ab bc ca. Bất đẳng thức nào đúng?
5. A. Chỉ I.B. Chỉ II.C. Chỉ III.D. II và III. Lời giải Chọn B 2 2 2 2 II đúng vì BDT a 2ac c b 2b 2ab 2bc 0 a c b a c b 2b b a c 0 I và III sai với a 3,b 4, c 5 . Câu 14: Cho a, b, c là 3 số không âm. Xét bất đẳng thức nào sau đây đúng? I : ab(b a) a3 b3 . II : (a b)(ab 1) 4ab . III : a b c ab bc ca . IV : a2 b2 c2 a b c 9abc . Các mệnh đề đúng là . A. Chỉ I.B. Chỉ II, III.C. Chỉ III.D. II và III, IV. Lời giải Chọn D A sai với a 0,b 1 . B đúng vì a b 2 ab 0và ab 1 2 ab 0 nên a b ab 1 4ab . C đúng vì a b 2 ab,b c 2 bc và c a 2 ca , cộng vế theo vế ta được đpcm. Câu 15: Câu nào sau đây đúng với mọi số x và y ? A. 2x2 y2 4 6xy B. 4xy(x y)2 (x2 y2 )2 . C. xy 1 2 xy .D. x2 y2 3xy 0 . Lời giải Chọn B A sai với x 1, y 2 . C sai với x 0, y 0 . D sai với x 1; y 2 . Câu 16: Cho a, b, c dương. Câu nào sau đây sai ? A. (1 2a)(2a 3b)(3b 1) 48ab . B. (1 2b)(2b 3a)(3a 1) 48ab . 1 1 1 1 1 1 1 C. 2 2 2 . 1 a 1 b 1 c 2 a b c a b c D. 1 1 1 8 . b c a Lời giải Chọn C A đúng khi áp dụng BĐT Cauchy có 1 2a 2 2a ; 2a 3b 2 6ab ; 3b 1 2 3b
6. B đúng khi áp dụng BĐT Cauchy có 1 2b 2 2b ; 2b 3a 2 6ab ; 3a 1 2 3a C sai với a 1,b 2, c 3 . a a b b c c D đúng khi áp dụng BĐT Cauchy có 1 2 ; 1 2 ; 1 2 b b c c a a Câu 17: Cho a, b, c dương. Bất đẳng thức nào đúng? 1 1 1 1 1 1 A. (a b c) 3.B. (a b c) 9 . a b c a b c 1 1 1 1 1 1 C. (a b c) 9 .D. (a b c) 3. a b c a b c Lời giải Chọn C 1 1 1 1 C đúng vì a b c 33 abc và 33 , nhân vế theo vế ta chọn C . a b c abc Câu 18: Cho x2 y2 1, gọi S x y . Khi đó ta có A. S 2 .B. S 2 .C. 2 S 2 .D. 1 S 1. Lời giải Chọn C S 2 x2 y2 2xy 2 x2 y2 2 Đẳng thức xảy ra khi x y . Vậy, 2 S 2 . Câu 19: Cho x, y là hai số thực thay đổi sao cho x y 2 . Gọi m x2 y2 . Khi đó ta có: A. giá trị nhỏ nhất của m là 2 .B. giá trị nhỏ nhất của m là 4 . C. giá trị lớn nhất của m là 2 . D. giá trị lớn nhất của m là 4 . Lời giải Chọn A 2 4 m Ta có: m x2 y2 x y 2xy 4 2xy xy 2 4 m m x2 y2 2xy 2. 4 m m 2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 2. Câu 20: Bất đẳng thức nào sau đây là đúng ? ab a b A. Nếu a,b dương thì . a b 4 B. Với a,b bất kỳ 2 a2 ab b2 a2 b2 . 1 1 1 C. Nếu a,b, c dương thì a b c 9 a b c
7. a b c 3 D. Nếu a,b, c dương thì . b c c a a b 2 Lời giải Chọn A 2 2 ab a b 4ab a b a b Xét đáp án A 0 a b 4 4 a b 4 a b ab a b a b 4 Xét đáp án B 2 a2 ab b2 a2 b2 a2 2ab b2 a b 2 0 2 a2 ab b2 a2 b2 1 1 1 Xét đáp án C a b c 9. a b c Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương a b c 33 abc 1 1 1 1 33 a b c abc 1 1 1 Nhân vế theo vế suy ra a b c 9 a b c 1 1 1 a b c 9. a b c a b c 3 Xét đáp án D b c c a a b 2 a b c 3 Ta có: b c c a a b 2 a b c 3 1 1 1 3 b c c a a b 2 a b c a b c a b c 9 b c b c b c 2 1 1 1 9 a b c b c b c b c 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương 1 3 a b c a b b c c a 3 a b b c c a 0 2 2
8. 1 1 1 1 33 0 b c b c b c a b b c c a 1 1 1 9 Nhân vế theo vế suy ra a b c b c b c b c 2 a b c 3 Vậy với a,b, c 0 là bất đẳng thức đúng b c c a a b 2 a b c 3 . b c c a a b 2 Câu 21: Cho a,b là các số thực. Bất đẳng thức nào sau đây là đúng ? 2 a b a b a2 b2 A. ab với a,b 0 B. . 2 2 2 C. a 2 b2 1 a b ab . D. a2 b2 9 3 a b ab . Lời giải Chọn C a b 2 Xét : ab a b 2 ab a b 2 ab 0 a b 0 2 Đáp án A sai khi a b 0 . 2 a b a2 b2 a2 2ab b2 a2 b2 Xét: 2 2 4 2 a2 2ab b2 2 a2 b2 a b 2 0. Đáp án B sai khi a b. Xét : a2 b2 1 a b ab 2 a2 b2 1 2 a b ab a2 2ab b2 a2 2a 1 b2 2b 1 0 2 2 2 a b a 1 b 2 0 a,b ¡ Đáp án C đúng 2 2 2 2 Xét : a b 9 3 a b ab 2 a b 9 2 3 a b ab a2 2ab b2 a2 6a 9 b2 6b 9 0 a b 2 a 3 2 b 3 2 0 Đáp án D sai khi a b 3.
9. 1 Câu 22: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 2x với x 0 là x2 A. 1.B. 2 .C. 3 .D. 2 2 . Lời giải Chọn C 1 x 0 2x 0 , 0 . x2 Áp dụng bdt cosi ta có: 1 1 1 f (x) 2x x x 33 x.x. 3 . x2 x2 x2 1 Dấu “=” xảy ra khi x x x3 1 x 1. x2