›
›
›

Tài liệu Toán Lớp 10 - Chủ đề 3: Phương trình. Hệ phương trình

doc 58 trang nhungbui22 11/08/2022 3360
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Toán Lớp 10 - Chủ đề 3: Phương trình. Hệ phương trình", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doctai_lieu_toan_lop_10_chu_de_3_phuong_trinh_he_phuong_trinh.doc

Nội dung text: Tài liệu Toán Lớp 10 - Chủ đề 3: Phương trình. Hệ phương trình

  1. CHUÛ ÑEÀ PHÖÔNG TRÌNH - HEÄ PHÖÔNG TRÌNH 3.  Baøi 01 ÑAÏI CÖÔNG VEÀ PHÖÔNG TRÌNH I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương trình một ẩn Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f (x)= g(x) (1) trong đó f (x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f (x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình (1). Nếu có số thực x0 sao cho f (x0 )= g(x0 ) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1). Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm). Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng). 2. Điều kiện của một phương trình Khi giải phương trình (1), ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để f (x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình). 3. Phương trình nhiều ẩn Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn 3x + 2y = x 2 - 2xy + 8, (2) 4x 2 - xy + 2z = 3z 2 + 2xz + y2 . (3) Phương trình (2) là phương trình hai ẩn ( x và y ), còn (3) là phương trình ba ẩn ( x, y và z ). Khi x = 2, y = 1 thì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp (x; y)= (2;1) là một nghiệm của phương trình (2). Tương tự, bộ ba số (x; y;z)= (- 1;1;2) là một nghiệm của phương trình (3). 4. Phương trình chứa tham số Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ 1. Phương trình tương đương Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. 2. Phép biến đổi tương đương Định lí
  2. Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức; b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0. Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó. 3. Phương trình hệ quả Nếu mọi nghiệm của phương trình f (x)= g(x) đều là nghiệm của phương trình f1 (x)= g1 (x) thì phương trình f1 (x)= g1 (x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f (x)= g(x). Ta viết f (x)= g(x)Þ f1 (x)= g1 (x). Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH 2x 3 Câu 1. Điều kiện xác định của phương trình - 5 = là x 2 + 1 x 2 + 1 A. x ¹ 1. B. x ¹ - 1. C. x ¹ ± 1. D. x Î ¡ . Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình x - 1 + x - 2 = x - 3 là A. x > 3. B. x ³ 2. C. x ³ 1. D. x ³ 3. x 2 + 5 Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình x - 2 + = 0 là 7- x A. x ³ 2. B. x 0. C. x > 0 và x 2 - 1³ 0. D. x ³ 0 và x 2 - 1> 0. x 2 8 Câu 5. Điều kiện xác định của phương trình = là x - 2 x - 2 A. x ¹ 2. B. x ³ 2. C. x 2. 1 Câu 6. Điều kiện xác định của phương trình = x + 3 là: x 2 - 4 A. x ³ - 3 và x ¹ ± 2. B. x ¹ ± 2. C. x > - 3 và x ¹ ± 2. D. x ³ - 3. 1 Câu 7. Điều kiện xác định của phương trình x 2 - 4 = là x - 2 A. x ³ 2 hoặc x £ - 2. B. x ³ 2 hoặc x 2 hoặc x 2 hoặc x £ - 2. 1 3- 2x Câu 8. Điều kiện xác định của phương trình x + = là 2x + 4 x
  3. 3 A. x > - 2 và x ¹ 0. B. x > - 2, x ¹ 0 và x £ . 2 3 C. x > - 2 và x - 2 và x ¹ - 1. B. x > - 2 và x - 2, x ¹ - 1 và x £ . D. x ¹ - 2 và x ¹ - 1. 3 2x + 1 Câu 10. Điều kiện xác định của phương trình = 0 là x 2 + 3x 1 1 A. x ³ - . B. x ³ - và x ¹ - 3. 2 2 1 C. x ³ - và x ¹ 0. D. x ¹ - 3 và x ¹ 0. 2 Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG – PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ Câu 11. Hai phương trình được gọi là tương đương khi A. Có cùng dạng phương trình.B. Có cùng tập xác định. C. Có cùng tập hợp nghiệm.D. Cả A, B, C đều đúng. Câu 12. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2 - 4 = 0 ? A. (2 + x)(- x 2 + 2x + 1)= 0. B. (x - 2)(x 2 + 3x + 2)= 0. C. x 2 - 3 = 1. D. x 2 - 4x + 4 = 0. Câu 13. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2 - 3x = 0 ? 1 1 A. x 2 + x - 2 = 3x + x - 2. B. x 2 + = 3x + . x - 3 x - 3 C. x 2 x - 3 = 3x x - 3. D. x 2 + x 2 + 1 = 3x + x 2 + 1. Câu 14. Cho phương trình (x 2 + 1)(x –1)(x + 1)= 0 . Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình đã cho ? A. x - 1 = 0. B. x + 1 = 0. C. x 2 + 1 = 0. D. (x –1)(x + 1)= 0. 1 Câu 15. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình x + = 1 ? x A. x 2 + x = - 1. B. 2x - 1 + 2x + 1 = 0. C. x x - 5 = 0. D. 7 + 6x - 1 = - 18. Câu 16. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 3x + x - 2 = x 2 Û 3x = x 2 - x - 2. B. x - 1 = 3x Û x - 1 = 9x 2 . 2x - 3 2 C. 3x + x - 2 = x 2 + x - 2 Û 3x = x 2 . D. = x - 1 Û 2x - 3 = (x - 1) . x - 1 Câu 17. Khẳng định nào sau đây là sai? x - 1 A. x - 1 = 2 1- x Û x - 1 = 0. B. x 2 + 1 = 0 Û = 0. x - 1 2 2 C. x - 2 = x + 1 Û (x - 2) = (x + 1) . D. x 2 = 1 Û x = 1. Câu 18. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: A. x + x - 1 = 1+ x - 1 và x = 1. B. x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1.
  4. C. x (x + 2)= x và x + 2 = 1. D. x (x + 2)= x và x + 2 = 1. Câu 19. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: x x + 1 A. 2x + x - 3 = 1+ x - 3 và 2x = 1. B. = 0 và x = 0. x + 1 2 C. x + 1 = 2- x và x + 1 = (2- x) . D. x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1. Câu 20. Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau: 2 A. x + 1 = x 2 - 2x và x + 2 = (x - 1) . B. 3x x + 1 = 8 3- x và 6x x + 1 = 16 3- x. C. x 3- 2x + x 2 = x 2 + x và x 3- 2x = x. D. x + 2 = 2x và x + 2 = 4x 2 . Câu 21. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương: 2x 2 + mx - 2 = 0 (1) và 2x 3 + (m + 4)x 2 + 2(m - 1)x - 4 = 0 (2) . 1 A. m = 2. B. m = 3. C. m = . D. m = - 2. 2 Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương: mx 2 - 2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) và (m - 2)x 2 - 3x + m2 - 15 = 0 (2) . A. m = - 5. B. m = - 5; m = 4. C. m = 4. D. m = 5. Câu 23. Khẳng định nào sau đây là sai? x (x - 1) A. x - 2 = 1 Þ x - 2 = 1. B. = 1 Þ x = 1. x - 1 C. 3x - 2 = x - 3 Þ 8x 2 - 4x - 5 = 0. D. x - 3 = 9- 2x Þ 3x - 12 = 0. Câu 24. Cho phương trình 2x 2 - x = 0 . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình đã cho? x A. 2x - = 0. B. 4x 3 - x = 0. 1- x 2 2 C. (2x 2 - x) + (x - 5) = 0. D. 2x 3 + x 2 - x = 0. x (x - 2) Câu 25. Cho hai phương trình: x (x - 2)= 3(x - 2) (1) và = 3 (2). Khẳng định nào x - 2 sau đây là đúng? A. Phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2). B. Phương trình (1) và (2) là hai phương trình tương đương. C. Phương trình (2) là hệ quả của phương trình (1). D. Cả A, B, C đều sai. Vấn đề 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Câu 26. Tập nghiệm của phương trình x 2 - 2x = 2x - x 2 là: A. S = {0}. B. S = Æ. C. S = {0;2}. D. S = {2}. Câu 27. Phương trình x (x 2 - 1) x - 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 28. Phương trình - x 2 + 6x - 9 + x 3 = 27 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
  5. 2 Câu 29. Phương trình (x - 3) (5- 3x)+ 2x = 3x - 5 + 4 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 30. Phương trình x + x - 1 = 1- x có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 31. Phương trình 2x + x - 2 = 2- x + 2 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 32. Phương trình x 3 - 4x 2 + 5x - 2 + x = 2- x có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 1 2x - 1 Câu 33. Phương trình x + = có bao nhiêu nghiệm? x - 1 x - 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 34. Phương trình (x 2 - 3x + 2) x - 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 35. Phương trình (x 2 - x - 2) x + 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
  6.  Baøi 02 PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT, BAÄC HAI I – ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 1. Phương trình bậc nhất Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng sau ax + b = 0 (1) Hệ số Kết luận (1) có nghiệm duy nhất a ¹ 0 b x = - a b ¹ 0 (1) vô nghiệm a = 0 b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x Khi a ¹ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. 2. Phương trình bậc hai Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (2) D = b2 - 4ac Kết luận (2) có hai nghiệm phân biệt D > 0 - b ± D x = 1, 2 2a b D = 0 (2) có nghiệm kép x = - 2a D < 0 (2) vô nghiệm 3. Định lí Vi–ét 2 Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì b c x + x = - , x x = . 1 2 a 1 2 a Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm của phương trình x 2 - Sx + P = 0. II – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó. 1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1. Giải phương trình x - 3 = 2x + 1. (3) Giải Cách 1 a) Nếu x ³ 3 thì phương trình (3) trở thành x - 3 = 2x + 1. Từ đó x = - 4. Giá trị x = - 4 không thỏa mãn điều kiện x ³ 3 nên bị loại.
  7. 2 b) Nếu x < 3 thì phương trình (3) trở thành - x + 3 = 2x + 1. Từ đó x = . 3 giá trị này thỏa mãn điều kiện x < 3 nên là nghiệm. 2 Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x = . 3 Cách 2. Bình phương hai vế của phương trình (3) ta đưa tới phương trình hệ quả 2 2 (3)Þ (x - 3) = (2x + 1) Þ x 2 - 6x + 9 = 4x 2 + 4x + 1 Þ 3x 2 + 10x - 8 = 0. 2 Phương trình cuối có hai nghiệm là x = - 4 và x = . 3 2 Thử lại ta thấy phương trình (3) chỉ có nghiệm là x = . 3 2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn. Ví dụ 2. Giải phương trình 2x - 3 = x - 2. (4) 3 Giải. Điều kiện của phương trình (4) là x ³ . 2 Bình phương hai vế của phương trình (4) ta đưa tới phương trình hệ quả (4)Þ 2x - 3 = x 2 - 4x + 4 Þ x 2 - 6x + 7 = 0. Phương trình cuối có hai nghiệm là x = 3+ 2 và x = 3- 2. Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình (4), nhưng khi thay vào phương trình (4) thì giá trị x = 3- 2 bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị x = 3+ 2 là nghiệm (hai vế cùng bằng 2 + 1 ). Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình (4) là x = 3+ 2. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 - 4)x = 3m + 6 vô nghiệm. A. m = 1. B. m = 2. C. m = ± 2. D. m = - 2. Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx - m = 0 vô nghiệm. A. m Î Æ. B. m = {0}. C. m Î ¡ + . D. m Î ¡ . Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 - 5m + 6)x = m2 - 2m vô nghiệm. A. m = 1. B. m = 2. C. m = 3. D. m = 6. 2 Câu 4. Cho phương trình (m + 1) x + 1 = (7m - 5)x + m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho vô nghiệm. A. m = 1. B. m = 2; m = 3. C. m = 2. D. m = 3.
  8. Câu 5. Cho hai hàm số y = (m + 1)x 2 + 3m2 x + m và y = (m + 1)x 2 + 12x + 2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho không cắt nhau. A. m = 2. B. m = - 2. C. m = ± 2. D. m = 1. Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (2m - 4)x = m - 2 có nghiệm duy nhất. A. m = - 1. B. m = 2. C. m ¹ - 1. D. m ¹ 2. Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 10;10] để phương trình (m2 - 9)x = 3m(m - 3) có nghiệm duy nhất ? A. 2. B. 19. C. 20. D. 21. Câu 8. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 5;10] để phương trình (m + 1)x = (3m2 - 1)x + m - 1 có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử trong S bằng: A. 15. B. 16. C. 39. D. 40. Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 + m)x = m + 1 có nghiệm duy nhất x = 1. A. m = - 1. B. m ¹ 0. C. m ¹ - 1. D. m = 1. 2 Câu 10. Cho hai hàm số y = (m + 1) x - 2 và y = (3m + 7)x + m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau. A. m ¹ - 2. B. m ¹ - 3. C. m ¹ - 2; m ¹ 3. D. m = - 2; m = 3. Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 - 1)x = m - 1 có nghiệm đúng với mọi x thuộc ¡ . A. m = 1. B. m = ± 1. C. m = - 1. D. m = 0. Câu 12. Cho phương trình m2 x + 6 = 4x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm. A. m = 2. B. m ¹ - 2. C. m ¹ - 2 và m ¹ 2. D. m Î ¡ . Câu 13. Cho phương trình (m2 – 3m + 2)x + m2 + 4m + 5 = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x thuộc ¡ . A. m = - 2. B. m = - 5. C. m = 1. D. Không tồn tại. Câu 14. Cho phương trình (m2 - 2m)x = m2 - 3m + 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm. A. m = 0. B. m = 2. C. m ¹ 0; m ¹ 2. D. m ¹ 0. Câu 15. Cho hai hàm số y = (m + 1)x + 1 và y = (3m2 - 1)x + m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau. 2 2 A. m = 1; m = - . B. m ¹ 1 và m ¹ - . 3 3 2 C. m = 1. D. m = - . 3 Vấn đề 2. SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Câu 16. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
  9. ïì a ¹ 0 ïì a = 0 A. a = 0. B. íï hoặc íï . îï D = 0 îï b ¹ 0 ïì a ¹ 0 C. a = b = c = 0. D. íï . îï D = 0 Câu 17. Số - 1 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau? A. x 2 + 4x + 2 = 0. B. 2x 2 - 5x - 7 = 0. C. - 3x 2 + 5x - 2 = 0. D. x 3 - 1 = 0. Câu 18. Nghiệm của phương trình x 2 - 7x + 12 = 0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số nào sau đây? A. y = x 2 và y = - 7x + 12. B. y = x 2 và y = - 7x - 12. C. y = x 2 và y = 7x + 12. D. y = x 2 và y = 7x - 12. Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [- 10;10] để phương trình x 2 - x + m = 0 vô nghiệm? A. 9. B. 10. C. 20. D. 21. Câu 20. Phương trình (m + 1)x 2 - 2mx + m - 2 = 0 vô nghiệm khi: A. m £ - 2. B. m 2. D. m ³ 2. Câu 21. Số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn phương trình 2x (kx - 4)- x 2 + 6 = 0 vô nghiệm là? A. k = - 1. B. k = 1. C. k = 2. D. k = 3. Câu 22. Phương trình (m – 2)x 2 + 2x –1 = 0 có nghiệm kép khi: A. m = 1; m = 2. B. m = 1. C. m = 2. D. m = - 1. Câu 23. Phương trình mx 2 + 6 = 4x + 3m có nghiệm duy nhất khi: A. m Î Æ. B. m = 0. C. m Î ¡ . D. m ¹ 0. Câu 24. Phương trình mx 2 – 2(m + 1)x + m + 1 = 0 có nghiệm duy nhất khi: A. m = 0. B. m = - 1. C. m = 0; m = - 1. D. m = 1. Câu 25. Phương trình (m + 1)x 2 – 6(m + 1)x + 2m + 3 = 0 có nghiệm kép khi: 6 6 6 A. m = - 1. B. m = - 1; m = - C. m = - . D. m = . 7 7 7 Câu 26. Phương trình 2(x 2 - 1)= x (mx + 1) có nghiệm duy nhất khi: 17 17 A. m = . B. m = 2. C. m = 2; m = . D. m = - 1. 8 8 Câu 27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m - 2)x 2 - 2x + 1- 2m = 0 có nghiệm duy nhất. Tổng của các phần tử trong S bằng: 5 7 9 A. . B. 3. C. . D. . 2 2 2 Câu 28. Phương trình (m - 1)x 2 + 6x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi: 5 5 A. m > - 8. B. m > - . C. m > - 8; m ¹ 1. D. m > - ; m ¹ 1. 4 4 Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [- 5;5] để phương trình mx 2 - 2(m + 2)x + m - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt. A. 5. B. 6. C. 9. D. 10. Câu 30. Phương trình (m2 + 2)x 2 + (m - 2)x - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi: A. 0 2. C. m Î ¡ . D. m £ 2.
  10. Câu 31. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = 2x + m tiếp xúc với parabol (P): y = (m –1)x 2 + 2mx + 3m –1. A. m = 1. B. m = - 1. C. m = 0. D. m = 2. Câu 32. Phương trình x 2 + m = 0 có nghiệm khi: A. m > 0. B. m - . D. m ³ - . 2 2 2 2 Câu 35. Phương trình (m - 1)x 2 + 3x - 1 = 0 có nghiệm khi: 5 5 5 5 A. m ³ - . B. m £ - . C. m = - . D. m = . 4 4 4 4 Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 10;10] để phương trình mx 2 - mx + 1 = 0 có nghiệm. A. 17. B. 18. C. 20. D. 21. Câu 37. Biết rằng phương trình x 2 - 4x + m + 1 = 0 có một nghiệm bằng 3 . Nghiệm còn lại của phương trình bằng: A. - 1. B. 1. C. 2. D. 4. Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3x 2 - (m + 2)x + m - 1 = 0 có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại. ïì 5 ïü ïì 1ïü ïì 2ïü ïì 3 ïü A. m Î íï ;7ýï . B. m Î íï - 2;- ýï . C. m Î íï 0; ýï . D. m Î íï - ;1ýï . îï 2 þï îï 2þï îï 5þï îï 4 þï Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3x 2 - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0 có một nghiệm gấp ba nghiệm còn lại. A. m = 7. B. m = 3. C. m = 3; m = 7. D. m Î Æ. Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (x - 1)(x 2 - 4mx - 4)= 0 ba nghiệm phân biệt. 3 3 A. m Î ¡ . B. m ¹ 0. C. m ¹ . D. m ¹ - . 4 4 Vấn đề 3. DẤU CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Câu 41. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi: ïì D > 0 ïì D ³ 0 ïì D > 0 ïì D > 0 A. íï . B. íï . C. íï . D. íï . îï P > 0 îï P > 0 îï S > 0 îï S 0 ïì D > 0 ïì D > 0 ï ï ïì D > 0 A. íï . B. íï P > 0 . C. íï P > 0 . D. íï . îï P > 0 ï ï îï S > 0 îï S > 0 îï S < 0
  11. Câu 43. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi: ïì D > 0 ïì D > 0 ïì D > 0 ï ï ïì D > 0 A. íï . B. íï P > 0 . C. íï P > 0 . D. íï . îï P > 0 ï ï îï S > 0 îï S > 0 îï S 0 ïì D > 0 A. íï . B. íï . C. P 0. îï S 0 Câu 45. Phương trình x 2 - mx + 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi: A. m 2. C. m ³ - 2. D. m ¹ 0. Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [- 5;5] để phương trình x 2 + 4mx + m2 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt? A. 5. B. 6. C. 10. D. 11. Câu 47. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx 2 + x + m = 0 có hai nghiệm âm phân biệt là: æ 1 ö æ 1 1ö æ 1ö A. m Î ç- ;0÷. B. m Î ç- ; ÷. C. m Î (0;2). D. m Î ç0; ÷. èç 2 ø÷ èç 2 2ø÷ èç 2ø÷ Câu 48. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 2;6] để phương trình x 2 + 4mx + m2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. Tổng các phần tử trong S bằng: A. - 3. B. 2. C. 18. D. 21. Câu 49. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 2 - 2(m + 1)x + m2 - 1 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt là: æ 1 ö A. m Î (- 1 ;1). B. m Î (1 ; + ¥ ). C. m Î ç- ;+ ¥ ÷. D. m Î (- ¥ ; - 1). èç 2 ø÷ Câu 50. Phương trình (m - 1)x 2 + 3x - 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi: A. m > 1. B. m < 1. C. m ³ 1. D. m £ 1. Vấn đề 4. BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Câu 51. Giả sử phương trình x 2 - (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là x1, x2 . Tính giá trị biểu thức P = 3x1x2 - 5(x1 + x2 ) theo m. A. P = 3m2 - 10m + 6. B. P = 3m2 + 10m - 5. C. P = 3m2 - 10m + 1. D. P = 3m2 + 10m + 1. 2 Câu 52. Giả sử phương trình x - 3x - m = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là x1, x2 . 2 2 Tính giá trị biểu thức P = x1 (1- x2 )+ x2 (1- x1 ) theo m. A. P = - m + 9. B. P = 5m + 9. C. P = m + 9. D. P = - 5m + 9. 2 Câu 53. Giả sử phương trình 2x - 4ax - 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 . Tính giá trị của biểu thức T = x1 - x2 . 4a2 + 2 a2 + 8 a2 + 8 A. T = . B. T = 4a2 + 2. C. T = . D. T = . 3 2 4
  12. Câu 54. Cho phương trình x 2 + px + q = 0 trong đó p > 0, q > 0. Nếu hiệu các nghiệm của phương trình bằng 1. Khi đó p bằng A. 4q + 1. B. 4q - 1. C. - 4q + 1. D. q + 1. 2 2 Câu 55. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - (2m + 1)x + m + 1 = 0 ( m là tham x x số). Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức P = 1 2 có giá trị nguyên. x1 + x2 A. m = - 2. B. m = - 1. C. m = 1. D. m = 2. 2 2 Câu 56. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - 2(m + 1)x + m + 2 = 0 ( m là tham số). Tìm m để biểu thức P = x1x2 - 2(x1 + x2 )- 6 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 A. m = . B. m = 1. C. m = 2. D. m = - 12. 2 2 2 Câu 57. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x + 2mx + m - 2 = 0 ( m là tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = 2x1x2 + x1 + x2 - 4 . 1 25 9 A. P = . B. P = 2. C. P = . D. P = . max 2 max max 4 max 4 2 2 Câu 58. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - 2(m - 1)x + 2m - 3m + 1 = 0 ( m là tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = x1 + x2 + x1x2 . 1 9 9 A. P = . B. P = 1. C. P = . D. P = . max 4 max max 8 max 16 2 Câu 59. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - mx + m - 1 = 0 ( m là tham số). 2x1x2 + 3 Tìm m để biểu thức P = 2 2 đạt giá trị lớn nhất. x1 + x2 + 2(x1x2 + 1) 1 5 A. m = . B. m = 1. C. m = 2. D. m = . 2 2 2 Câu 60. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - mx + m - 1 = 0 ( m là tham số). 2x1x2 + 3 Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = 2 2 . x1 + x2 + 2(x1x2 + 1) 1 A. P = - 2. B. P = - . C. P = 0. D. P = 1. min min 2 min min Vấn đề 5. TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Câu 61. Nếu m ¹ 0 và n ¹ 0 là các nghiệm của phương trình x 2 + mx + n = 0 thì tổng m + n bằng: 1 1 A. - . B. - 1. C. . D. 1. 2 2 Câu 62. Giả sử các nghiệm của phương trình x 2 + px + q = 0 là lập phương các nghiệm của phương trình x 2 + mx + n = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 3 3 3 æmö p A. p + q = m . B. p = m + 3mn. C. p = m - 3mn. D. ç ÷ = . èçn ø÷ q Câu 63. Cho hai phương trình x 2 - 2mx + 1 = 0 và x 2 - 2x + m = 0. Có hai giá trị của m để phương trình này có một nghiệm là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình kia. Tính tổng S của hai giá trị m đó. 5 1 1 A. S = - . B. S = 1. C. S = - . D. S = . 4 4 4
  13. Câu 64. Cho hai phương trình x 2 - mx + 2 = 0 và x 2 + 2x - m = 0 . Có bao nhiêu giá trị của m để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là 3 ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 65. Cho a, b, c, d là các số thực khác 0 . Biết c và d là hai nghiệm của phương trình x 2 + ax + b = 0 và a, b là hai nghiệm của phương trình x 2 + cx + d = 0. Tính giá trị của biểu thức S = a + b + c + d. - 1+ 5 A. S = - 2. B. S = 0. C. S = . D. S = 2. 2 Vấn đề 6. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 3 3x Câu 66. Tập nghiệm S của phương trình 2x + = là: x - 1 x - 1 ïì 3ïü ïì 3ïü A. S = íï 1; ýï . B. S = {1}. C. S = íï ýï . D. S = ¡ \{1}. îï 2þï îï 2þï x 2 - 5x 4 Câu 67. Tập nghiệm của phương trình = - là: x - 2 x - 2 A. S = {1;4}. B. S = {1}. C. S = Æ. D. S = {4}. 2x 2 - 10x Câu 68. Phương trình = x - 3 có bao nhiêu nghiệm? x 2 - 5x A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2 10 50 Câu 69. Gọi x là nghiệm của phương trình 1- = - . Mệnh đề nào 0 x - 2 x + 3 (2- x)(x + 3) sau đây đúng? A. x0 Î (- 5;- 3). B. x0 Î [- 3;- 1]. C. x0 Î (- 1;4). D. x0 Î [4;+ ¥ ). (m2 + 1)x - 1 Câu 70. Tập nghiệm S của phương trình = 1 trong trường hợp m ¹ 0 là: x + 1 ïì m + 1ïü ïì 2 ïü A. S = í 2 ý. B. S = Æ. C. S = ¡ . D. S = í 2 ý. îï m þï îï m þï (2m2 + 3)x + 6m Câu 71. Tập nghiệm S của phương trình = 3 khi m ¹ 0 là: x ïì 3 ïü A. S = Æ. B. S = íï - ýï . C. S = ¡ . D. S = ¡ \{0}. îï mþï x 2 + mx + 2 Câu 72. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình = 1 vô x 2 - 1 nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2mx - 1 Câu 73. Phương trình = 3 có nghiệm duy nhất khi: x + 1 3 A. m ¹ . B. m ¹ 0. 2 3 1 3 C. m ¹ 0 và m ¹ . D. m ¹ - và m ¹ . 2 2 2
  14. Câu 74. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 3;5] để x - m x - 2 phương trình = có nghiệm. Tổng các phần tử trong tập S bằng: x + 1 x - 1 A. - 1. B. 8. C. 9. D. 10. Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [1;20] để phương trình x + 1 m x + 3 + = có nghiệm. x - 2 4 - x 2 x + 2 A. 4. B. 18. C. 19. D. 20. Câu 76. Tập nghiệm S của phương trình 3x - 2 = 3- 2x là: A. S = {- 1;1}. B. S = {- 1}. C. S = {1}. D. S = {0}. Câu 77. Phương trình 2x - 4 - 2x + 4 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 78. Tập nghiệm S của phương trình 2x - 1 = x - 3 là: ïì 4ïü ïì 4ïü A. S = íï ýï . B. S = Æ. C. S = íï - 2; ýï . D. S = {- 2}. îï 3þï îï 3þï Câu 79. Tổng các nghiệm của phương trình x 2 + 5x + 4 = x + 4 bằng: A. - 12. B. - 6. C. 6. D. 12. 2 Câu 80. Gọi x1, x2 (x1 . B. a . 2 2 2 2 2 2 Câu 89. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình x + 1 = x 2 + m có nghiệm duy nhất. A. m = 0. B. m = 1. C. m = - 1. D. Không có m.
  15. Câu 90. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 5;5] để phương trình mx + 2x - 1 = x - 1 có đúng hai nghiệm phân biệt? A. 8. B. 9. C. 10. D. 11. Câu 91. Tập nghiệm S của phương trình 2x - 3 = x - 3 là: A. S = {6;2}. B. S = {2}. C. S = {6}. D. S = Æ. Câu 92. Tập nghiệm S của phương trình x 2 - 4 = x - 2 là: A. S = {0;2}. B. S = {2}. C. S = {0}. D. S = Æ. Câu 93. Tổng các nghiệm của phương trình (x - 2) 2x + 7 = x 2 - 4 bằng: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. x 2 - 4x - 2 Câu 94. Phương trình = x - 2 có tất cả bao nhiêu nghiệm? x - 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. 4 Câu 95. Phương trình 2- x + = 2 có tất cả bao nhiêu nghiệm? 2- x + 3 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 96. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình æ 2 ö2 2 ç x ÷ 2x ç ÷ + + m = 0 có đúng bốn nghiệm? èçx - 1ø÷ x - 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 97. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình æ 2 1 ö æ 1ö çx + ÷- 2mçx + ÷+ 1 = 0 có nghiệm. èç x 2 ø÷ èç x ø÷ æ ö é ö ç 3 3÷ 3 ÷ A. m Î ç- ; ÷. B. m Î ê ;+ ¥ ÷. èç 4 4ø ëê4 ø æ ù æ ù é ö ç 3 ç 3 3 ÷ C. m Î ç- ¥ ;- ú. D. m Î ç- ¥ ;- úÈ ê ;+ ¥ ÷. èç 4ûú èç 4ûú ëê4 ø Câu 98. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 4 æ 2ö x + - 4çx - ÷+ m - 1 = 0 có đúng hai nghiệm lớn hơn 1. x 2 èç x ÷ø A. m < - 8. B. - 8 < m < 1. C. 0 < m < 1. D. m £ - 8. Câu 99. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 (x 2 + 2x + 4) – 2m(x 2 + 2x + 4)+ 4m –1 = 0 có đúng hai nghiệm. A. m Î (3;4). B. m Î (- ¥ ;2- 3)È(2 + 3;+ ¥ ). C. m Î (4;+ ¥ )È{2 + 3}. D. m Î ¡ . Câu 100. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 2 + 2mx + 2m x + m + m2 + 3- 2m = 0 có nghiệm. é3 ÷ö A. m Î (¥ ;- 3]È[1;+ ¥ ). B. m Î (¥ ;- 3]È ê ;+ ¥ ÷. ëê2 ø é3 ÷ö C. m Î [1;+ ¥ ). D. m Î ê ;+ ¥ ÷. ëê2 ø
  16.  Baøi 03 PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT NHIEÀU AÅN I – ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax + by = c (1) trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0. CHÚ Ý a) Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c. Nếu c ¹ 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số (x0 ; y0 ) đều là nghiệm. b) Khi b ¹ 0, phương trình ax + by = c trở thành a c y = - x + (2) b b Cặp số (x0 ; y0 ) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm M (x0 ; y0 ) thuộc đường thẳng (2). Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy. 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là ïì a x + b y = c íï 1 1 1 (3) ï îï a2 x + b2 y = c2 Trong đó x, y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số. Nếu cặp số (x0 ; y0 ) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x0 ; y0 ) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (3). Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó. II – HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là ax + by + cz = d, trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là ïì a1x + b1 y + c1z = d1 ï íï a x + b y + c z = d (4) ï 2 2 2 2 ï îï a3 x + b3 y + c3 z = d3 Trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số. Mỗi bộ ba số (x0 ; y0 ;z0 ) nghiệm đúng của ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (4). CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
  17. ïì x + y + z = 11 ï Câu 1. Nghiệm của hệ phương trình íï 2x - y + z = 5 là: ï îï 3x + 2y + z = 24 A. (x; y;z)= (5;3;3). B. (x; y;z)= (4;5;2). C. (x; y;z)= (2;4;5). D. (x; y;z)= (3;5;3). ïì x + 2y = 1 ï Câu 2. Nghiệm của hệ phương trình íï y + 2z = 2 là: ï îï z + 2x = 3 ïì x = 0 ïì x = 1 ïì x = 1 ïì x = 1 ï ï ï ï A. íï y = 1 . B. íï y = 1. C. íï y = 1. D. íï y = 0. ï ï ï ï îï z = 1 îï z = 0 îï z = 1 îï z = 1 Câu 3. Bộ (x; y;z)= (2;- 1;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ? ïì x + 3y - 2z = - 3 ïì 2x - y - z = 1 ï ï A. íï 2x - y + z = 6 . B. íï 2x + 6y - 4z = - 6. ï ï îï 5x - 2y - 3z = 9 îï x + 2y = 5 ïì 3x - y - z = 1 ïì x + y + z = - 2 ï ï C. íï x + y + z = 2 . D. íï 2x - y + z = 6 . ï ï îï x - y - z = 0 îï 10x - 4 y - z = 2 Câu 4. Bộ (x; y;z)= (1;0;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ? ïì 2x + 3y + 6z - 10 = 0 ïì x + 7y - z = - 2 ï ï A. íï x + y + z = - 5 . B. íï - 5x + y + z = 1. ï ï îï y + 4z = - 17 îï x - y + 2z = 0 ïì 2x - y - z = 1 ïì x + 2y + z = - 2 ï ï C. íï x + y + z = 2 . D. íï x - y + z = 4 . ï ï îï - x + y - z = - 2 îï - x - 4 y - z = 5 ì ï 3x + y - 3z = 1 ï Câu 5. Gọi (x0 ; yo ;z0 ) là nghiệm của hệ phương trình í x - y + 2z = 2 . Tính giá trị của ï îï - x + 2y + 2z = 3 2 2 2 biểu thức P = x0 + y0 + z0 . A. P = 1. B. P = 2. C. P = 3. D. P = 14. ì ï x + y + z = 11 ï Câu 6. Gọi (x0 ; yo ;z0 ) là nghiệm của hệ phương trình í 2x - y + z = 5 . Tính giá trị của ï îï 3x + 2y + z = 24 biểu thức P = x0 y0 z0 . A. P = - 40. B. P = 40. C. P = 1200. D. P = - 1200. ïì 2x + 3y + 4 = 0 ï Câu 7. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình íï 3x + y - 1 = 0 có duy nhất ï îï 2mx + 5y - m = 0 một nghiệm. 10 10 A. m = . B. m = 10. C. m = - 10. D. m = - . 3 3 ïì mx + y = 1 ï Câu 8. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình íï my + z = 1 vô nghiệm. ï îï x + mz = 1 A. m = - 1. B. m = 0. C. m = 1. D. m = 1.
  18. Câu 9. Một đoàn xe tải chở 290 tấn xi măng cho một công trình xây đập thủy điện. Đoàn xe có 57 chiếc gồm ba loại, xe chở 3 tấn, xe chở 5 tấn và xe chở 7,5 tấn. Nếu dùng tất cả xe 7,5 tấn chở ba chuyến thì được số xi măng bằng tổng số xi măng do xe 5 tấn chở ba chuyến và xe 3 tấn chở hai chuyến. Hỏi số xe mỗi loại ? A. 18 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 20 xe chở 7,5 tấn. B. 20 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7,5 tấn. C. 19 xe chở 3 tấn, 20 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7,5 tấn. D. 20 xe chở 3 tấn, 18 xe chở 5 tấn và 19 xe chở 7,5 tấn. Câu 10. Có ba lớp học sinh 10A, 10B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng được là 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ? A. 10A có 40 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em. B. 10A có 45 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em. C. 10A có 45 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em. D. 10A có 43 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em.
  19. ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT CHUÛ ÑEÀ PHÖÔNG TRÌNH - HEÄ PHÖÔNG TRÌNH 3.  Baøi 01 ÑAÏI CÖÔNG VEÀ PHÖÔNG TRÌNH I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương trình một ẩn Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f (x)= g(x) (1) trong đó f (x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f (x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình (1). Nếu có số thực x0 sao cho f (x0 )= g(x0 ) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1). Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm). Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng). 2. Điều kiện của một phương trình Khi giải phương trình (1), ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để f (x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình). 3. Phương trình nhiều ẩn Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn 3x + 2y = x 2 - 2xy + 8, (2) 4x 2 - xy + 2z = 3z 2 + 2xz + y2 . (3) Phương trình (2) là phương trình hai ẩn ( x và y ), còn (3) là phương trình ba ẩn ( x, y và z ). Khi x = 2, y = 1 thì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp (x; y)= (2;1) là một nghiệm của phương trình (2). Tương tự, bộ ba số (x; y;z)= (- 1;1;2) là một nghiệm của phương trình (3). 4. Phương trình chứa tham số Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ 1. Phương trình tương đương Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. 2. Phép biến đổi tương đương Định lí
  20. Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức; b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0. Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó. 3. Phương trình hệ quả Nếu mọi nghiệm của phương trình f (x)= g(x) đều là nghiệm của phương trình f1 (x)= g1 (x) thì phương trình f1 (x)= g1 (x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f (x)= g(x). Ta viết f (x)= g(x)Þ f1 (x)= g1 (x). Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH 2x 3 Câu 1. Điều kiện xác định của phương trình - 5 = là x 2 + 1 x 2 + 1 A. x ¹ 1. B. x ¹ - 1. C. x ¹ ± 1. D. x Î ¡ . Lời giải. Chọn D. Vì x 2 + 1 ¹ 0 với mọi x Î ¡ . Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình x - 1 + x - 2 = x - 3 là A. x > 3. B. x ³ 2. C. x ³ 1. D. x ³ 3. ïì x - 1³ 0 ïì x ³ 1 ï ï Lời giải. Phương trình xác định khi íï x - 2 ³ 0 Û íï x ³ 2 Û x ³ 3. Chọn D. ï ï îï x - 3 ³ 0 îï x ³ 3 x 2 + 5 Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình x - 2 + = 0 là 7- x A. x ³ 2. B. x 0 îï x 0. C. x > 0 và x 2 - 1³ 0. D. x ³ 0 và x 2 - 1> 0. ì ï x > 0 Lời giải. Phương trình xác định khi í 2 . Chọn C. îï x - 1³ 0 x 2 8 Câu 5. Điều kiện xác định của phương trình = là x - 2 x - 2 A. x ¹ 2. B. x ³ 2. C. x 2. Lời giải. Phương trình xác định khi x - 2 > 0 Û x > 2 . Chọn D.
  21. 1 Câu 6. Điều kiện xác định của phương trình = x + 3 là: x 2 - 4 A. x ³ - 3 và x ¹ ± 2. B. x ¹ ± 2. C. x > - 3 và x ¹ ± 2. D. x ³ - 3. ïì x 2 - 4 ¹ 0 ïì x ¹ ± 2 Lời giải. Phương trình xác định khi íï Û íï . Chọn A. îï x + 3 ³ 0 îï x ³ - 3 1 Câu 7. Điều kiện xác định của phương trình x 2 - 4 = là x - 2 A. x ³ 2 hoặc x £ - 2. B. x ³ 2 hoặc x 2 hoặc x 2 hoặc x £ - 2. ïì éx ³ 2 ïì x 2 - 4 ³ 0 ï ê éx > 2 ï Û ï êx £ - 2 Û ê Lời giải. Phương trình xác định khi í í ë ê . Chọn D. îï x - 2 ¹ 0 ï ëx £ - 2 îï x ¹ 2 1 3- 2x Câu 8. Điều kiện xác định của phương trình x + = là 2x + 4 x 3 A. x > - 2 và x ¹ 0. B. x > - 2, x ¹ 0 và x £ . 2 3 C. x > - 2 và x - 2 ì ï ï 2x + 4 > 0 ï ï ï 3 Lời giải. Phương trình xác định khi íï 3- 2x ³ 0 Û í x £ . Chọn B. ï ï 2 îï x ¹ 0 ï îï x ¹ 0 1 4 - 3x Câu 9. Điều kiện xác định của phương trình x + 2- = là x + 2 x + 1 4 A. x > - 2 và x ¹ - 1. B. x > - 2 và x - 2, x ¹ - 1 và x £ . D. x ¹ - 2 và x ¹ - 1. 3 ì x > - 2 ì ï ï x + 2 > 0 ï ï ï 4 Lời giải. Phương trình xác định khi íï 4 - 3x ³ 0 Û í x £ . Chọn C. ï ï 3 îï x + 1 ¹ 0 ï îï x ¹ - 1 2x + 1 Câu 10. Điều kiện xác định của phương trình = 0 là x 2 + 3x 1 1 A. x ³ - . B. x ³ - và x ¹ - 3. 2 2 1 C. x ³ - và x ¹ 0. D. x ¹ - 3 và x ¹ 0. 2 ïì 1 ï x > - ï 2 ïì 1 ïì 2x + 1³ 0 ï ï x ³ - ï Û ï ¹ Û ï Lời giải. Phương trình xác định khi í 2 í x 0 í 2 . Chọn C. îï x + 3x ¹ 0 ï ï ï x ¹ - 3 îï x ¹ 0 ï îï Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG – PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ Câu 11. Hai phương trình được gọi là tương đương khi
  22. A. Có cùng dạng phương trình.B. Có cùng tập xác định. C. Có cùng tập hợp nghiệm.D. Cả A, B, C đều đúng. Lời giải. Chọn C. Câu 12. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2 - 4 = 0 ? A. (2 + x)(- x 2 + 2x + 1)= 0. B. (x - 2)(x 2 + 3x + 2)= 0. C. x 2 - 3 = 1. D. x 2 - 4x + 4 = 0. Lời giải. Ta có x 2 - 4 = 0 Û x = ± 2 . Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là S0 = {- 2;2}. Xét các đáp án: éx + 2 = 0 éx = - 2  Đáp án A. Ta có (2 + x) - x 2 + 2x + 1 = 0 Û ê Û ê . Do đó, tập ( ) ê 2 ê ë- x + 2x + 1 = 0 ëêx = 1± 2 nghiệm của phương trình là S1 = {- 2;1- 2;1+ 2} ¹ S0 . éx = 2 éx - 2 = 0 ê  Đáp án B. Ta có (x - 2) x 2 + 3x + 2 = 0 Û ê Û êx = - 1 . Do đó, tập nghiệm của ( ) ê 2 ê ëx + 3x + 2 = 0 ê ëx = - 2 phương trình là S2 = {- 2;- 1;2} ¹ S0 .  Đáp án C. Ta có x 2 - 3 = 1 Û x 2 - 3 = 1 Û x = ± 2 . Do đó, tập nghiệm của phương trình là S3 = {- 2;2} = S0 . Chọn C.  Đáp án D. Ta có x 2 - 4x + 4 = 0 Û x = 2 . Do đó, tập nghiệm của phương trình là S4 = {2} ¹ S0 . Câu 13. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2 - 3x = 0 ? 1 1 A. x 2 + x - 2 = 3x + x - 2. B. x 2 + = 3x + . x - 3 x - 3 C. x 2 x - 3 = 3x x - 3. D. x 2 + x 2 + 1 = 3x + x 2 + 1. éx = 0 x 2 - 3x = 0 Û ê Lời giải. Ta có ê . Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là ëx = 3 S0 = {0;3} . Xét các đáp án: ïì x ³ 2 ïì x - 2 ³ 0 ï  Đáp án A. Ta có x 2 + x - 2 = 3x + x - 2 Û íï Û íï éx = 0 Û x = 3 . Do đó, tập nghiệm ï 2 ï ê îï x - 3x = 0 ï ê îï ëx = 3 của phương trình là S1 = {3} ¹ S0 . 1 1 ïì x - 3 ¹ 0 2 + = + Û ï Û =  Đáp án B. Ta có x 3x í 2 x 0 . Do đó, tập nghiệm của x - 3 x - 3 îï x - 3x = 0 phương trình là S2 = {0} ¹ S0 . ïì x - 3 ³ 0 ïì x ³ 3 ï ï 2 ï 2 ï  Đáp án C. Ta có x x - 3 = 3x x - 3 Û í éx - 3x = 0 Û íï éx = 0 Û x = 3 . Do đó, tập nghiệm ï ê ï ê ï ê ï êx = 3 îï ëê x - 3 = 0 îï ë của phương trình là S3 = {3} ¹ S0 . éx = 0 x 2 + x 2 + 1 = 3x + x 2 + 1 Û x 2 = 3x Û ê  Đáp án D. Ta có ê . Do đó, tập nghiệm của ëx = 3 phương trình là S4 = {0;3} = S0 . Chọn D.
  23. Câu 14. Cho phương trình (x 2 + 1)(x –1)(x + 1)= 0 . Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình đã cho ? A. x - 1 = 0. B. x + 1 = 0. C. x 2 + 1 = 0. D. (x –1)(x + 1)= 0. Lời giải. Ta có (x 2 + 1)(x –1)(x + 1)= 0 Û (x - 1)(x + 1)= 0 (vì x 2 + 1> 0, " x Î ¡ . Chọn D. 1 Câu 15. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình x + = 1 ? x A. x 2 + x = - 1. B. 2x - 1 + 2x + 1 = 0. C. x x - 5 = 0. D. 7 + 6x - 1 = - 18. 1 ïì x ¹ 0 + = Û ï Lời giải. Ta có x 1 í 2 (vô nghiệm). Do đó, tập nghiệm của phương x îï x - x + 1 = 0 trình đã cho là S0 = Æ. Xét các đáp án: ïì 2 ³ 0 ï x 2 2  Đáp án A. Ta có í ¾ ¾® x + x ³ 0 . Do đó, phương trình x + x = - 1 vô nghiệm. ï îï x ³ 0 Tập nghiệm của phương trình là S1 = Æ= S0 . ì ï 2x - 1 = 0  Đáp án B. Ta có 2x - 1 + 2x + 1 = 0 Û íï (vô nghiệm). Do đó, phương trình ï îï 2x + 1 = 0 2x - 1 + 2x + 1 = 0 vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là S2 = Æ= S0 . ïì x - 5 ³ 0 ï  Đáp án C. Ta có x x - 5 = 0 Û íï ïì x = 0 Û x = 5 . Do đó, phương trình x x - 5 = 0 có ï íï ï ï îï îï x - 5 = 0 tập nghiệm là S3 = {5} ¹ S0 . Chọn C.  Đáp án D. Ta có 6x - 1 ³ 0 ¾ ¾® 7 + 6x - 1 ³ 7 > - 18 . Do đó, phương trình 7 + 6x - 1 = - 18 vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là S4 = Æ= S0 . Câu 16. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 3x + x - 2 = x 2 Û 3x = x 2 - x - 2. B. x - 1 = 3x Û x - 1 = 9x 2 . 2x - 3 2 C. 3x + x - 2 = x 2 + x - 2 Û 3x = x 2 . D. = x - 1 Û 2x - 3 = (x - 1) . x - 1 Lời giải. Chọn A. Câu 17. Khẳng định nào sau đây là sai? x - 1 A. x - 1 = 2 1- x Û x - 1 = 0. B. x 2 + 1 = 0 Û = 0. x - 1 2 2 C. x - 2 = x + 1 Û (x - 2) = (x + 1) . D. x 2 = 1 Û x = 1. Lời giải. Chọn D. Vì x 2 = 1 Û x = ± 1. Câu 18. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: A. x + x - 1 = 1+ x - 1 và x = 1. B. x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1. C. x (x + 2)= x và x + 2 = 1. D. x (x + 2)= x và x + 2 = 1. Lời giải. Xét các đáp án:  Đáp án A. Ta có ïì x ³ 1 x + x - 1 = 1+ x - 1 Û íï Û x = 1 ¾ ¾® x + x - 1 = 1+ x - 1 Û x = 1 . Chọn A. îï x = 1
  24. ïì x - 2 ³ 0  Đáp án B. Ta có x + x - 2 = 1+ x - 2 Û íï Û x Î Æ. îï x = 1 Do đó, x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1 không phải là cặp phương trình tương đương. ïì x ³ 0 ï x (x + 2)= x Û íï éx = 0 Û x = 0 ï ê x x + 2 = x x + 2 = 1  Đáp án C. Ta có ï ê . Do đó, ( ) và îï ëx + 2 = 0 x + 2 = 1 Û x = - 1 không phải là cặp phương trình tương đương. éx = 0 x x + 2 = x Û ê ( ) ê  Đáp án D. Ta có ëx = - 1. Do đó, x (x + 2)= x và x + 2 = 1 không phải là x + 2 = 1 Û x = - 1 cặp phương trình tương đương. Câu 19. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: x x + 1 A. 2x + x - 3 = 1+ x - 3 và 2x = 1. B. = 0 và x = 0. x + 1 2 C. x + 1 = 2- x và x + 1 = (2- x) . D. x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1. Lời giải. Xét các đáp án: ïì x ³ 3 ïì x - 3 ³ 0 ï 2x + x - 3 = 1+ x - 3 Û í Û í 1 Û x Î Æ îï 2x = 1 ï x =  Đáp án A. Ta có îï 2 . Do đó, 1 2x = 1 Û x = 2 2x + x - 3 = 1+ x - 3 và 2x = 1 không phải là cặp phương trình tương đương. x x + 1 ïì x + 1> 0 ïì x > - 1 x x + 1  Đáp án B. Ta có = 0 Û íï Û íï Û x = 0 . Do đó, = 0 và x = 0 là x + 1 îï x = 0 îï x = 0 x + 1 cặp phương trình tương đương. Chọn B. ì ì ï x £ 2 ï 2- x ³ 0 ï 5- 13 x + 1 = 2- x Û í Û íï Û x = ï 2 ï 5± 13 îï x + 1 = (2- x) ï x = 2  Đáp án C. Ta có îï 2 . Do đó, 2 5± 13 x + 1 = (2- x) Û x 2 - 5x + 3 = 0 Û x = 2 2 x + 1 = 2- x và x + 1 = (2- x) không phải là cặp phương trình tương đương. ïì x - 2 ³ 0  Đáp án D. Ta có x + x - 2 = 1+ x - 2 Û íï Û x Î Æ. Do đó, x + x - 2 = 1+ x - 2 và îï x = 1 x = 1 không phải là cặp phương trình tương đương. Câu 20. Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau: 2 A. x + 1 = x 2 - 2x và x + 2 = (x - 1) . B. 3x x + 1 = 8 3- x và 6x x + 1 = 16 3- x. C. x 3- 2x + x 2 = x 2 + x và x 3- 2x = x. D. x + 2 = 2x và x + 2 = 4x 2 . Lời giải. Chọn D.
  25. ïì x ³ 0 ïì 2x ³ 0 ï 1+ 33 + = Û ï Û ï Û = x 2 2x í 2 í 1± 33 x îï x + 2 = 4x ï x = 8 Ta có îï 8 . 1± 33 x + 2 = 4x 2 Û x = 8 Do đó, x + 2 = 2x và x + 2 = 4x 2 không phải là cặp phương trình tương đương. Câu 21. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương: 2x 2 + mx - 2 = 0 (1) và 2x 3 + (m + 4)x 2 + 2(m - 1)x - 4 = 0 (2) . 1 A. m = 2. B. m = 3. C. m = . D. m = - 2. 2 éx = - 2 Lời giải. Ta có (2)Û (x + 2) 2x 2 + mx - 2 = 0 Û ê . ( ) ê 2 ë2x + mx - 2 = 0 Do hai phương trình tương đương nên x = - 2 cũng là nghiệm của phương trình (1). 2 Thay x = - 2 vào (1), ta được 2(- 2) + m(- 2)- 2 = 0 Û m = 3 . Với m = 3 , ta có 1 · (1) trở thành 2x 2 + 3x - 2 = 0 Û x = - 2 hoặc x = . 2 2 1 · (2) trở thành 2x 3 + 7x 2 + 4x - 4 = 0 Û (x + 2) (2x + 1)= 0 Û x = - 2 hoặc x = . 2 Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy m = 3 thỏa mãn. Chọn B. Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương: mx 2 - 2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) và (m - 2)x 2 - 3x + m2 - 15 = 0 (2) . A. m = - 5. B. m = - 5; m = 4. C. m = 4. D. m = 5. éx = 1 1 Û x - 1 mx - m + 2 = 0 Û ê . Lời giải. Ta có ( ) ( )( ) ê . ëmx - m + 2 = 0 Do hai phương trình tương đương nên x = 1 cũng là nghiệm của phương trình (2). ém = - 5 x = 1 2 m - 2 - 3+ m2 - 15 = 0 Û m2 + m - 20 = 0 Û ê . Thay vào ( ), ta được ( ) ê ëm = 4 Với m = - 5 , ta có 7 (1) trở thành - 5x 2 + 12x - 7 = 0 Û x = hoặc x = 1. 5 10 (2) trở thành - 7x 2 - 3x + 10 = 0 Û x = - hoặc x = 1. 7 Suy ra hai phương trình không tương đương Với m = 4 , ta có 1 (1) trở thành 4x 2 - 6x + 2 = 0 Û x = hoặc x = 1. 2 1 (2) trở thành 2x 2 - 3x + 1 = 0 Û x = hoặc x = 1. 2 Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy m = 4 thỏa mãn. Chọn C. Câu 23. Khẳng định nào sau đây là sai? x (x - 1) A. x - 2 = 1 Þ x - 2 = 1. B. = 1 Þ x = 1. x - 1 C. 3x - 2 = x - 3 Þ 8x 2 - 4x - 5 = 0. D. x - 3 = 9- 2x Þ 3x - 12 = 0. Lời giải. Chọn C.
  26. Ta có: ì ï x ³ 3 ï ì x - 3 ³ 0 ì ï é 5 ï ï x ³ 3 ï êx =  3x - 2 = x - 3 Û í 2 2 Û í Û í ê 4 Û x Î Æ. ï (3x - 2) = (x - 3) ï 8x 2 - 6x - 5 = 0 ï ê îï îï ï ê 1 ï êx = - îï ëê 2 1± 11  8x 2 - 4x - 5 = 0 Û x = . 4 Do đó, phương trình 8x 2 - 4x - 5 = 0 không phải là hệ quả của phương trình 3x - 2 = x - 3 . Câu 24. Cho phương trình 2x 2 - x = 0 . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình đã cho? x A. 2x - = 0. B. 4x 3 - x = 0. 1- x 2 2 C. (2x 2 - x) + (x - 5) = 0. D. 2x 3 + x 2 - x = 0. éx = 0 2 ê Lời giải. Ta có 2x - x = 0 Û ê 1 . Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là êx = ëê 2 ïì 1ïü S0 = í 0; ý . îï 2þï Xét các đáp án: ïì x ¹ 1 ï é ì ï x = 0 x ï 1- x ¹ 0 ï éx = 0 ê  Đáp án A. Ta có 2x - = 0 Û í Û í ê Û ê 1 . Do đó, tập nghiệm của 1- x ï 2x (1- x)- x = 0 ï ê êx = îï ï 1 ê ï êx = ë 2 îï ëê 2 ïì 1ïü phương trình là S1 = í 0; ýÉ S0 . îï 2þï ì ï x = 0 3 ï  Đáp án B. Ta có 4x - x = 0 Û í 1 . Do đó, tập nghiệm của phương trình là ï x = ± îï 2 ïì 1 1ïü S2 = í - ;0; ýÉ S0 . îï 2 2þï 2 2 2 2 ïì 2x - x = 0 ïì 2x - x = 0  Đáp án C. Ta có (2x 2 - x) + (x - 5) = 0 Û íï Û íï (vô nghiệm). Do đó, îï x - 5 = 0 îï x = 5 tập nghiệm của phương trình là S3 = ÆÉ S0 . Chọn C. éx = 0 ê ê 1 2x 3 + x 2 - x = 0 Û êx =  Đáp án D. Ta có ê . Do đó, tập nghiệm của phương trình là ê 2 ê ëx = - 1 ïì 1ïü S2 = í - 1;0; ýÉ S0 . îï 2þï x (x - 2) Câu 25. Cho hai phương trình: x (x - 2)= 3(x - 2) (1) và = 3 (2). Khẳng định nào x - 2 sau đây là đúng? A. Phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2). B. Phương trình (1) và (2) là hai phương trình tương đương. C. Phương trình (2) là hệ quả của phương trình (1). D. Cả A, B, C đều sai.
  27. Lời giải. Ta có: éx - 2 = 0 éx = 2 1 Û ê Û ê 1  Phương trình ( ) ê ê . Do đó, tập nghiệm của phương trình ( ) là ëx = 3 ëx = 3 S1 = {2;3} . ïì x - 2 ¹ 0  Phương trình (2)Û í Û x = 3 . Do đó, tập nghiệm của phương trình (2) là S2 = 3 . îï x = 3 Vì S2 Ì S1 nên phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2). Chọn A. Vấn đề 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Câu 26. Tập nghiệm của phương trình x 2 - 2x = 2x - x 2 là: A. S = {0}. B. S = Æ. C. S = {0;2}. D. S = {2}. ïì x 2 - 2x ³ 0 ïì x 2 - 2x ³ 0 éx = 0 Lời giải. Điều kiện: íï Û íï Û x 2 - 2x = 0 Û ê . ï 2 ï 2 ê îï 2x - x ³ 0 îï x - 2x £ 0 ëx = 2 Thử lại ta thấy cả x = 0 và x = 2 đều thỏa mãn phương trình. Chọn C. Câu 27. Phương trình x (x 2 - 1) x - 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Điều kiện: x - 1³ 0 Û x ³ 1. éx = 0 éx = 0 ê ê ê 2 - = Û ê = ± Phương trình tương đương với êx 1 0 êx 1. ê ê = 1 ëê x - 1 = 0 ëx Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 1. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B. Câu 28. Phương trình - x 2 + 6x - 9 + x 3 = 27 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2 Lời giải. Điều kiện: - x 2 + 6x - 9 ³ 0 Û - (x - 3) ³ 0 Û x = 3 . Thử lại ta thấy x = 3 thỏa mãn phương trình. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B. 2 Câu 29. Phương trình (x - 3) (5- 3x)+ 2x = 3x - 5 + 4 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. ì 2 ï (x - 3) (5- 3x)³ 0 Lời giải. Điều kiện: í . (*) ï îï 3x - 5 ³ 0 Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện (*). ïì 5 ï x £ ïì 5- 3x ³ 0 ï 3 5 Nếu x ¹ 3 thì (*)Û íï Û íï Û x = . ï 3x - 5 ³ 0 ï 5 3 îï ï x ³ îï 3 5 Do đó điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc x = . 3 5 Thay x = 3 và x = vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn. 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B. Câu 30. Phương trình x + x - 1 = 1- x có bao nhiêu nghiệm?
  28. A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. ïì x - 1³ 0 ïì x ³ 1 Lời giải. Điều kiện íï Û íï Û x = 1. îï 1- x ³ 0 îï x £ 1 Thử lại x = 1 thì phương trình không thỏa mãn phương trình. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn A. Câu 31. Phương trình 2x + x - 2 = 2- x + 2 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. ïì x ³ 0 ï Lời giải. Điều kiện: íï x - 2 ³ 0 Û x = 2 . ï îï 2- x ³ 0 Thử lại phương trình thấy x = 2 thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B. Câu 32. Phương trình x 3 - 4x 2 + 5x - 2 + x = 2- x có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 3 2 ì 2 ïì x - 4x + 5x - 2 ³ 0 ï (x - 1) (x - 2)³ 0 éx = 1 Lời giải. Điều kiện: íï Û í Û ê . ï ï ê = îï 2- x ³ 0 îï x £ 2 ëx 2 Thay x = 1 và x = 2 vào phương trình thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B. 1 2x - 1 Câu 33. Phương trình x + = có bao nhiêu nghiệm? x - 1 x - 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Điều kiện: x ¹ 1. Với điều kiện trên phương trình tương đương x 2 - x + 1 = 2x - 1 Û x = 1 hoặc x = 2 . Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. Chọn B. Câu 34. Phương trình (x 2 - 3x + 2) x - 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Điều kiện: x ³ 3 . Ta có x = 3 là một nghiệm. Nếu x > 3 thì x - 3 > 0 . Do đó phương trình tuong đương (x 2 - 3x + 2) x - 3 = 0 Û x 2 - 3x + 2 = 0 Û x = 1 hoặc x = 2 . Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. Chọn B. Câu 35. Phương trình (x 2 - x - 2) x + 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Điều kiện: x ³ - 1 . Ta có x = - 1 là một nghiệm. Nếu x > - 1 thì x + 1 > 0 . Do đó phương trình tương đương x 2 - x - 2 = 0 Û x = - 1 hoặc x = 2 . Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = - 1, x = 2 . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Chọn C.
  29.  Baøi 02 PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT, BAÄC HAI I – ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 1. Phương trình bậc nhất Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng sau ax + b = 0 (1) Hệ số Kết luận (1) có nghiệm duy nhất a ¹ 0 b x = - a b ¹ 0 (1) vô nghiệm a = 0 b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x Khi a ¹ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. 2. Phương trình bậc hai Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (2) D = b2 - 4ac Kết luận (2) có hai nghiệm phân biệt D > 0 - b ± D x = 1, 2 2a b D = 0 (2) có nghiệm kép x = - 2a D < 0 (2) vô nghiệm 3. Định lí Vi–ét 2 Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì b c x + x = - , x x = . 1 2 a 1 2 a Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm của phương trình x 2 - Sx + P = 0. II – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó. 1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1. Giải phương trình x - 3 = 2x + 1. (3) Giải Cách 1 a) Nếu x ³ 3 thì phương trình (3) trở thành x - 3 = 2x + 1. Từ đó x = - 4. Giá trị x = - 4 không thỏa mãn điều kiện x ³ 3 nên bị loại.
  30. 2 b) Nếu x < 3 thì phương trình (3) trở thành - x + 3 = 2x + 1. Từ đó x = . 3 giá trị này thỏa mãn điều kiện x < 3 nên là nghiệm. 2 Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x = . 3 Cách 2. Bình phương hai vế của phương trình (3) ta đưa tới phương trình hệ quả 2 2 (3)Þ (x - 3) = (2x + 1) Þ x 2 - 6x + 9 = 4x 2 + 4x + 1 Þ 3x 2 + 10x - 8 = 0. 2 Phương trình cuối có hai nghiệm là x = - 4 và x = . 3 2 Thử lại ta thấy phương trình (3) chỉ có nghiệm là x = . 3 2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn. Ví dụ 2. Giải phương trình 2x - 3 = x - 2. (4) 3 Giải. Điều kiện của phương trình (4) là x ³ . 2 Bình phương hai vế của phương trình (4) ta đưa tới phương trình hệ quả (4)Þ 2x - 3 = x 2 - 4x + 4 Þ x 2 - 6x + 7 = 0. Phương trình cuối có hai nghiệm là x = 3+ 2 và x = 3- 2. Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình (4), nhưng khi thay vào phương trình (4) thì giá trị x = 3- 2 bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị x = 3+ 2 là nghiệm (hai vế cùng bằng 2 + 1 ). Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình (4) là x = 3+ 2. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 - 4)x = 3m + 6 vô nghiệm. A. m = 1. B. m = 2. C. m = ± 2. D. m = - 2. ïì m2 - 4 = 0 ïì m = ± 2 Lời giải. Phương trình đã cho vô nghiệm khi íï Û íï Û m = 2 . îï 3m + 6 ¹ 0 îï m ¹ - 2 Chọn B. Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx - m = 0 vô nghiệm. A. m Î Æ. B. m = {0}. C. m Î ¡ + . D. m Î ¡ . Lời giải. Phương trình viết lại mx = m . ïì m = 0 Phương trình đã cho vô nghiệm khi íï Û m Î Æ. Chọn A. îï m ¹ 0
  31. Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 - 5m + 6)x = m2 - 2m vô nghiệm. A. m = 1. B. m = 2. C. m = 3. D. m = 6. ïì ém = 2 ï ê ì 2 ï ê ï m - 5m + 6 = 0 ï ëm = 3 Lời giải. Phương trình đã cho vô nghiệm khi íï Û íï Û m = 3 . ï 2 ï îï m - 2m ¹ 0 ï m ¹ 0 ï îï m ¹ 2 Chọn C. 2 Câu 4. Cho phương trình (m + 1) x + 1 = (7m - 5)x + m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho vô nghiệm. A. m = 1. B. m = 2; m = 3. C. m = 2. D. m = 3. Lời giải. Phương trình viết lại (m2 - 5m + 6)x = m - 1 . ïì ém = 2 ïì m2 - 5m + 6 = 0 ï ê ém = 2 ï Û ï êm = 3 Û ê . Phương trình vô nghiệm khi í í ë ê Chọn B. îï m - 1 ¹ 0 ï ëm = 3 îï m ¹ 1 Câu 5. Cho hai hàm số y = (m + 1)x 2 + 3m2 x + m và y = (m + 1)x 2 + 12x + 2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho không cắt nhau. A. m = 2. B. m = - 2. C. m = ± 2. D. m = 1. Lời giải. Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình (m + 1)x 2 + 3m2 x + m = (m + 1)x 2 + 12x + 2 vô nghiệm Û 3(m2 - 4)x = 2- m vô nghiệm ïì m2 - 4 = 0 ïì m = ± 2 Û íï Û íï Û m = - 2. Chọn A. îï 2- m ¹ 0 îï m ¹ 2 Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (2m - 4)x = m - 2 có nghiệm duy nhất. A. m = - 1. B. m = 2. C. m ¹ - 1. D. m ¹ 2. Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2m - 4 ¹ 0 Û m ¹ 2 . Chọn D. Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 10;10] để phương trình (m2 - 9)x = 3m(m - 3) có nghiệm duy nhất ? A. 2. B. 19. C. 20. D. 21. Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m2 - 9 ¹ 0 Û m ¹ ± 3 mÎ [- 10;10] ¾ ¾m¾Î ¢ ¾® có 19 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu 8. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 5;10] để phương trình (m + 1)x = (3m2 - 1)x + m - 1 có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử trong S bằng: A. 15. B. 16. C. 39. D. 40. Lời giải. Phương trình viết lại (3m2 - m - 2)x = 1- m . ì ï m ¹ 1 2 ï Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 3m - m - 2 ¹ 0 Û í 2 ï m ¹ - îï 3 mÎ [- 5;10] ¾ ¾mξ¢ ¾® m Î {- 5;- 4;- 3;- 2;- 1;0;2;3;4;5;6;7;8;9;10}. Do đó, tổng các phần tử trong S bằng 39 . Chọn C.
  32. Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 + m)x = m + 1 có nghiệm duy nhất x = 1. A. m = - 1. B. m ¹ 0. C. m ¹ - 1. D. m = 1. ïì m ¹ 0 Lời giải. Phương trình có nghiệm duy nhất khi m2 + m ¹ 0 Û íï . (*) îï m ¹ - 1 1 Khi đó, nghiệm của phương trình là x = . m 1 Yêu cầu bài toán Û = 1 Û m = 1 (thỏa mãn (*)). Chọn D. m 2 Câu 10. Cho hai hàm số y = (m + 1) x - 2 và y = (3m + 7)x + m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau. A. m ¹ - 2. B. m ¹ - 3. C. m ¹ - 2; m ¹ 3. D. m = - 2; m = 3. Lời giải. Đồ thị hai hàm số cắt nhau khi và chỉ khi phương trình 2 (m + 1) x - 2 = (3m + 7)x + m có nghiệm duy nhất Û (m2 - m - 6)x = 2 + m có nghiệm duy nhất ïì m ¹ 3 Û m2 - m - 6 ¹ 0 Û íï . Chọn C. îï m ¹ - 2 Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 - 1)x = m - 1 có nghiệm đúng với mọi x thuộc ¡ . A. m = 1. B. m = ± 1. C. m = - 1. D. m = 0. Lời giải. Phương trình đã cho nghiệm đúng với " x Î ¡ hay phương trình có vô số ïì m2 - 1 = 0 nghiệm khi íï Û m = 1. Chọn A. îï m - 1 = 0 Câu 12. Cho phương trình m2 x + 6 = 4x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm. A. m = 2. B. m ¹ - 2. C. m ¹ - 2 và m ¹ 2. D. m Î ¡ . Lời giải. Phương trình viết lại (m2 - 4)x = 3m - 6 . ïì m2 - 4 = 0 ïì m = ± 2 Phương trình đã cho vô nghiệm khi íï Û íï Û m = - 2 . îï 3m - 6 ¹ 0 ïî m ¹ 2 Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi m ¹ - 2 . Chọn B. Câu 13. Cho phương trình (m2 – 3m + 2)x + m2 + 4m + 5 = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x thuộc ¡ . A. m = - 2. B. m = - 5. C. m = 1. D. Không tồn tại. Lời giải. Phương trình đã cho nghiệm đúng với " x Î ¡ hay phương trình có vô số ì é ì 2 ï m = 1 ï m - 3m + 2 = 0 ï ê ï Û ï ê = Û Î Æ nghiệm khi í 2 í ëm 2 m . Chọn D. ï - m + 4m + 5 = 0 ï îï ( ) ï îï m Î Æ Câu 14. Cho phương trình (m2 - 2m)x = m2 - 3m + 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm. A. m = 0. B. m = 2. C. m ¹ 0; m ¹ 2. D. m ¹ 0.
  33. ïì ém = 0 ï ê ì 2 ï ê ï m - 2m = 0 ï ëm = 2 Lời giải. Phương trình đã cho vô nghiệm khi íï Û íï Û m = 0 . ï 2 ï îï m - 3m + 2 ¹ 0 ï m ¹ 2 ï îï m ¹ 1 Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi m ¹ 0 . Chọn D. Câu 15. Cho hai hàm số y = (m + 1)x + 1 và y = (3m2 - 1)x + m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau. 2 2 A. m = 1; m = - . B. m ¹ 1 và m ¹ - . 3 3 2 C. m = 1. D. m = - . 3 Lời giải. Đồ thị hai hàm số trùng nhau khi và chỉ khi phương trình (m + 1)x + 1 = (3m2 - 1)x + m có vô số nghiệm Û (3m2 - m - 2)x = 1- m có vô số nghiệm ïì 3m2 - m - 2 = 0 Û íï Û m = 1. Chọn C. îï 1- m = 0 Vấn đề 2. SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Câu 16. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: ïì a ¹ 0 ïì a = 0 A. a = 0. B. íï hoặc íï . îï D = 0 îï b ¹ 0 ïì a ¹ 0 C. a = b = c = 0. D. íï . îï D = 0 Lời giải.  Với a = 0 . Phương trình trở thành bx = - c . Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất khi b ¹ 0 .  Với a ¹ 0 . Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất khi D = 0 . Chọn B. Câu 17. Số - 1 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau? A. x 2 + 4x + 2 = 0. B. 2x 2 - 5x - 7 = 0. C. - 3x 2 + 5x - 2 = 0. D. x 3 - 1 = 0. Lời giải. Xét các đáp án:  Đáp án A. Ta có (- 1)2 + 4.(- 1)+ 2 = - 1 ¹ 0 .  Đáp án B. Ta có 2.(- 1)2 - 5.(- 1)- 7 = 0 .  Đáp án C. Ta có - 3.(- 1)2 + 5.(- 1)- 2 = - 10 ¹ 0 .  Đáp án D. Ta có (- 1)3 - 1 = - 2 ¹ 0 . Chọn B. Câu 18. Nghiệm của phương trình x 2 - 7x + 12 = 0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số nào sau đây? A. y = x 2 và y = - 7x + 12. B. y = x 2 và y = - 7x - 12. C. y = x 2 và y = 7x + 12. D. y = x 2 và y = 7x - 12. Lời giải. Ta có x 2 - 7x + 12 = 0 Û x 2 = 7x - 12 . Do đó, nghiệm của phương trình đã cho có thể xem là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = x 2 và y = 7x - 12 . Chọn D.
  34. Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [- 10;10] để phương trình x 2 - x + m = 0 vô nghiệm? A. 9. B. 10. C. 20. D. 21. Lời giải. Ta có D = 1- 4m . 1 Phương trình vô nghiệm khi D 4 ïì m Î ¢ Do íï ¾ ¾® m Î {1;2;3; ;10} ¾ ¾® Có 10 giá trị thỏa mãn. Chọn B. ï îï m Î [- 10;10] Câu 20. Phương trình (m + 1)x 2 - 2mx + m - 2 = 0 vô nghiệm khi: A. m £ - 2. B. m 2. D. m ³ 2. Lời giải.  Với m + 1 = 0 Û m = - 1. 3 Khi đó phương trình trở thành 2x - 3 = 0 Û x = . 2  Với m + 1 ¹ 0 Û m ¹ - 1. Ta có D ¢= m2 - (m - 2)(m + 1)= m + 2 . Phương trình vô nghiệm khi D ¢ . 6 Do đó, số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là k = 2 . Chọn C. Câu 22. Phương trình (m – 2)x 2 + 2x –1 = 0 có nghiệm kép khi: A. m = 1; m = 2. B. m = 1. C. m = 2. D. m = - 1. ïì m - 2 ¹ 0 ïì m ¹ 2 Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm kép khi íï Û íï Û m = 1 . îï D ¢= m - 1 = 0 ïî m = 1 Chọn B. Câu 23. Phương trình mx 2 + 6 = 4x + 3m có nghiệm duy nhất khi: A. m Î Æ. B. m = 0. C. m Î ¡ . D. m ¹ 0. Lời giải. Phương trình viết lại mx 2 - 4x + (6- 3m)= 0 . 3  Với m = 0 . Khi đó, phương trình trở thành 4x - 6 = 0 Û x = . Do đó, m = 0 là một giá 2 trị cần tìm. 2 2  Với m ¹ 0 . Ta có D ¢= (- 2) - m(6- 3m)= 3m2 - 6m + 4 = 3(m - 1) + 1> 0 Khi đó, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt nên m ¹ 0 không thỏa. Chọn B. Câu 24. Phương trình mx 2 – 2(m + 1)x + m + 1 = 0 có nghiệm duy nhất khi: A. m = 0. B. m = - 1. C. m = 0; m = - 1. D. m = 1.
  35. 1 Lời giải.  Với m = 0 . Khi đó, phương trình trở thành - 2x + 1 = 0 Û x = . Do đó, m = 0 2 là một giá trị cần tìm. ¢ é ù2  Với m ¹ 0 . Ta có D = ë- (m + 1)û - m(m + 1)= m + 1. Khi đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi D ¢= 0 Û m + 1 = 0 Û m = - 1 . Chọn C. Câu 25. Phương trình (m + 1)x 2 – 6(m + 1)x + 2m + 3 = 0 có nghiệm kép khi: 6 6 6 A. m = - 1. B. m = - 1; m = - C. m = - . D. m = . 7 7 7 ïì m + 1 ¹ 0 Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm kép khi íï îï D ¢= 0 ïì m ¹ - 1 ï ïì m + 1 ¹ 0 ï ém = - 1 6 Û ï Û ï Û = - í 2 í ê m . Chọn C. îï 7m + 13m + 6 = 0 ï ê 6 7 ï êm = - îï ëê 7 Câu 26. Phương trình 2(x 2 - 1)= x (mx + 1) có nghiệm duy nhất khi: 17 17 A. m = . B. m = 2. C. m = 2; m = . D. m = - 1. 8 8 Lời giải. Phương trình viết lại (2- m)x 2 - x - 2 = 0 .  Với 2- m = 0 Û m = 2 . Khi đó, phương trình trở thành - x - 2 = 0 Û x = - 2 . Do đó, m = 2 là một giá trị cần tìm. 2  Với 2- m ¹ 0 Û m ¹ 2 . Ta có D = (- 1) - 4(2- m).(- 2)= - 8m + 17 . 17 Khi đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi D = 0 Û - 8m + 17 = 0 Û m = . 8 Chọn C. Câu 27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m - 2)x 2 - 2x + 1- 2m = 0 có nghiệm duy nhất. Tổng của các phần tử trong S bằng: 5 7 9 A. . B. 3. C. . D. . 2 2 2 3 Lời giải.  Với m = 2 , phương trình trở thành - 2x - 3 = 0 Û x = - . Do đó m = 2 là một 2 giá trị cần tìm.  Với m ¹ 2 , phương trình đã cho là phương trình bậc hai có D ¢= 2m2 - 5m + 3 . Để 3 phương trình có nghiệm duy nhất Û D ¢= 0 Û m = hoặc m = 1. 2 ïì 3 ïü 3 9 Vậy S = íï 1; ; 2ýï ¾ ¾® tổng các phần tử trong S bằng 1+ + 2 = . Chọn D. îï 2 þï 2 2 Câu 28. Phương trình (m - 1)x 2 + 6x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi: 5 5 A. m > - 8. B. m > - . C. m > - 8; m ¹ 1. D. m > - ; m ¹ 1. 4 4 ïì m - 1 ¹ 0 ïì m ¹ 1 Lời giải. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi íï Û íï îï D ¢> 0 îï m + 8 > 0 ïì m ¹ 1 Û íï . Chọn C. îï m > - 8 Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [- 5;5] để phương trình mx 2 - 2(m + 2)x + m - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
  36. A. 5. B. 6. C. 9. D. 10. ïì m ¹ 0 ïì m ¹ 0 Lời giải. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi íï Û íï îï D ¢> 0 îï 5m + 4 > 0 ïì m ¹ 0 ï ïì m Î ¢ Û í . Do íï ¾ ¾® m Î {1;2;3;4;5} ¾ ¾® Có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn ï 4 ï ï m > - îï m Î [- 5;5] îï 5 yêu cầu bài toán. Chọn A. Câu 30. Phương trình (m2 + 2)x 2 + (m - 2)x - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi: A. 0 2. C. m Î ¡ . D. m £ 2. ïì m2 + 2 ¹ 0 Lời giải. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi íï îï D > 0 Û 13m2 - 4m + 28 > 0 Û m Î ¡ . Chọn C. Câu 31. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = 2x + m tiếp xúc với parabol (P): y = (m –1)x 2 + 2mx + 3m –1. A. m = 1. B. m = - 1. C. m = 0. D. m = 2. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm (m - 1)x 2 + 2mx + 3m - 1 = 2x + m Û (m - 1)x 2 + 2(m - 1)x + 2m - 1 = 0. (*) Để d tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép ì m ¹ 1 ì ï ï m - 1 ¹ 0 ï Û í Û íï ém = 0 Û m = 0. Chọn C. ï 2 ï ê îï D ' = (m –1) – (m –1)(2m –1)= –m(m –1)= 0 ï ê îï ëm = 1 Câu 32. Phương trình x 2 + m = 0 có nghiệm khi: A. m > 0. B. m - . D. m ³ - . 2 2 2 2 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm - x 2 - 2x + 3 = x 2 - m Û 2x 2 + 2x - m - 3 = 0 . (*) Để hai đồ thị hàm số có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm 7 Û D / = 1- 2(- m - 3)³ 0 Û m ³ - . Chọn D. 2 Câu 35. Phương trình (m - 1)x 2 + 3x - 1 = 0 có nghiệm khi:
  37. 5 5 5 5 A. m ³ - . B. m £ - . C. m = - . D. m = . 4 4 4 4 1 Lời giải. · Với m = 1, phương trình trở thành 3x - 1 = 0 Û x = . 3 Do đó m = 1 thỏa mãn. · Với m ¹ 1, ta có D = 9 + 4(m - 1)= 4m + 5 . 5 5 Phương trình có nghiệm khi D ³ 0 Û 4m + 5 ³ 0 Û m ³ - ¾ m¾¹ - ¾1® - £ m ¹ - 1. 4 4 5 Hợp hai trường hợp ta được m ³ - là giá trị cần tìm. Chọn A. 4 Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 10;10] để phương trình mx 2 - mx + 1 = 0 có nghiệm. A. 17. B. 18. C. 20. D. 21. Lời giải. Nếu m = 0 thì phương trình trở thành 1 = 0 : vô nghiệm. ém £ 0 m =/ 0, D = m2 - 4m ³ 0 Û ê Khi phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ê ëm ³ 4 ém 0 2 Û m2 - 8m + 16 > 0 Û (m - 4) > 0 Û m =/ 4. (*) ïì 2 1 ì m - 1 m + 2 ï = + 2 , = + 2 ï ï x1 (m ) x2 (m ) ï x1 ×x2 = ;x1 + x2 = ï 9 9 Theo đinh lí Viet, ta có í 3 3 Û íï ï ï m - 1 îï x1 = 2x2 ï x1 ×x2 = îï 3 é 5 2 2 m - 1 êm = ¾ ¾® (m + 2) = Û 2m2 - 19m + 35 = 0 Û ê 2 (thỏa (*)). Chọn A. 81 3 ê ëêm = 7 Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3x 2 - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0 có một nghiệm gấp ba nghiệm còn lại. A. m = 7. B. m = 3. C. m = 3; m = 7. D. m Î Æ. Lời giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt Û D ' > 0 2 2 æ 7ö 15 Û m - 7m + 16 > 0 Û çm - ÷ + > 0," m Î ¡ . èç 2ø÷ 4
  38. ïì m + 1 m + 1 ïì 2 + 1 ï ï 3m - 5 (m ) ï x1 = , x2 = ï x1 ×x2 = ;x1 + x2 = ï 2 6 Theo đinh lí Viet, ta có í 3 3 Û í ï ï 3m - 5 ï ï × = ï x1 = 3x2 ï x1 x2 î îï 3 2 (m + 1) 3m - 5 ém = 3 ¾ ¾® = Û m2 - 10m + 21 = 0 Û ê . ê Chọn C. 12 3 ëm = 7 Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (x - 1)(x 2 - 4mx - 4)= 0 ba nghiệm phân biệt. 3 3 A. m Î ¡ . B. m ¹ 0. C. m ¹ . D. m ¹ - . 4 4 éx = 1 x - 1 x 2 - 4mx - 4 = 0 Û ê . Lời giải. Ta có ( )( ) ê 2 ëêg(x)= x - 4mx - 4 = 0 (*) Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân ì 2 ï D ¢= 4m + 4 > 0 3 biệt khác 1 Û í Û m =/ - . Chọn D. ï îï g(1)= 1- 4m - 4 =/ 0 4 Vấn đề 3. DẤU CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Câu 41. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi: ïì D > 0 ïì D ³ 0 ïì D > 0 ïì D > 0 A. íï . B. íï . C. íï . D. íï . îï P > 0 îï P > 0 îï S > 0 îï S 0 . Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 . Do x1 và x2 cùng dấu nên x1x2 > 0 hay P > 0 . Chọn A. Câu 42. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi: ïì D > 0 ïì D > 0 ïì D > 0 ï ï ïì D > 0 A. íï . B. íï P > 0 . C. íï P > 0 . D. íï . îï P > 0 ï ï îï S > 0 îï S > 0 îï S 0 . Khi đó, gọi 2 nghiệm của phương trình là x1 và x2 . Do x1 và x2 là hai nghiệm âm nên ïì x + x 0 îï P > 0 Câu 43. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi: ïì D > 0 ïì D > 0 ïì D > 0 ï ï ïì D > 0 A. íï . B. íï P > 0 . C. íï P > 0 . D. íï . îï P > 0 ï ï îï S > 0 îï S > 0 îï S 0 . Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 . Do x1 và x2 là hai nghiệm dương ïì x + x > 0 ïì S > 0 nên íï 1 2 hay íï . Chọn B. ï ï îï x1x2 > 0 îï P > 0 Câu 44. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:
  39. ïì D > 0 ïì D > 0 A. íï . B. íï . C. P 0. îï S 0 Lời giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi D > 0 . Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 . Do x1 và x2 là hai nghiệm trái dấu nên x1x2 0 . Do đó, phương trình có hai nghiệm trái a dấu khi và chỉ khi P 2. C. m ³ - 2. D. m ¹ 0. ì 2 ïì D > 0 ï m - 4 > 0 ï ï Lời giải. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi íï S 0 îï 1> 0 ïì ém 2 Û m 0 ïì 3m2 > 0 ï ï Lời giải. Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt khi íï S 0 ïî m > 0 ïì m ¹ 0 ïì m Î ¢ Û íï Û m > 0 . Do íï ¾ ¾® m Î {1;2;3;4;5} ¾ ¾® Có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu ï ï îï m > 0 îï m Î [- 5;5] cầu bài toán. Chọn A. Câu 47. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx 2 + x + m = 0 có hai nghiệm âm phân biệt là: æ 1 ö æ 1 1ö æ 1ö A. m Î ç- ;0÷. B. m Î ç- ; ÷. C. m Î (0;2). D. m Î ç0; ÷. èç 2 ø÷ èç 2 2ø÷ èç 2ø÷ ïì m ¹ 0 ïì a ¹ 0 ï ï ï 2 ï ï 1- 4m > 0 ï D > 0 ï Lời giải. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi í Û í 1 ï S 0 ï îï 1> 0 ïì m ¹ 0 ï ï 1 1 1 Û í - 0 Câu 48. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 2;6] để phương trình x 2 + 4mx + m2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. Tổng các phần tử trong S bằng: A. - 3. B. 2. C. 18. D. 21. ïì D ¢> 0 ïì 3m2 > 0 ï ï Lời giải. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi íï S > 0 Û íï - 4m > 0 ï ï ï ï 2 îï P > 0 ïî m > 0
  40. ì ï m ¹ 0 mÎ [- 2;6] Û í Û m 0 ï Lời giải. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Û íï S = 2(m + 1)> 0 ï ï 2 îï P = m - 1> 0 ïì ï ï m > - 1 ï Û íï m > - 1 Û m > 1 . Vậy với m > 1 thì thỏa bài toán. Chọn B. ï ï ém > 1 ï ê ï ê îï ëm 1. B. m 0 Û m > 1 . Chọn A. Vấn đề 4. BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Câu 51. Giả sử phương trình x 2 - (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là x1, x2 . Tính giá trị biểu thức P = 3x1x2 - 5(x1 + x2 ) theo m. A. P = 3m2 - 10m + 6. B. P = 3m2 + 10m - 5. C. P = 3m2 - 10m + 1. D. P = 3m2 + 10m + 1. ïì x x = m2 + 2 Lời giải. Theo định lý Viet, ta có íï 1 2 . ï îï x1 + x2 = 2m + 1 Thay vào P , ta được P = 3(m2 + 2)- 5(2m + 1)= 3m2 - 10m + 1. Chọn C. 2 Câu 52. Giả sử phương trình x - 3x - m = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là x1, x2 . 2 2 Tính giá trị biểu thức P = x1 (1- x2 )+ x2 (1- x1 ) theo m. A. P = - m + 9. B. P = 5m + 9. C. P = m + 9. D. P = - 5m + 9. 2 2 2 2 2 2 Lời giải. Ta có P = x1 (1- x2 )+ x2 (1- x1 )= x1 - x1 .x2 + x2 - x2 .x1 2 2 2 = x1 + x2 - x1.x2 (x1 + x2 ) = (x1 + x2 ) - 2x1.x2 - x1.x2 (x1 + x2 ). ïì x + x = 3 Theo định lý Viet, ta có íï 1 2 . ï îï x1.x2 = - m Thay vào P , ta được P = 32 - 2(- m)- (- m).3 = 5m + 9. Chọn B. 2 Câu 53. Giả sử phương trình 2x - 4ax - 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 . Tính giá trị của biểu thức T = x1 - x2 .
  41. 4a2 + 2 a2 + 8 a2 + 8 A. T = . B. T = 4a2 + 2. C. T = . D. T = . 3 2 4 2 Lời giải. Vì x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x - 4ax - 1 = 0. æ ö ç 4a÷ 1 Theo hệ thức Viet, ta có x1 + x2 = - ç- ÷= 2a và x1x2 = - . (1). èç 2 ø÷ 2 2 2 2 Ta có T = x1 - x2 Û T = (x1 - x2 ) = (x1 + x2 ) - 4x1x2 . (2). 2 2 æ 1ö 2 2 Từ (1) và (2) suy ra T = (2a) - 4.ç- ÷= 4a + 2 Þ T = 4a + 2 > 0. Chọn B. èç 2ø÷ Câu 54. Cho phương trình x 2 + px + q = 0 trong đó p > 0, q > 0. Nếu hiệu các nghiệm của phương trình bằng 1. Khi đó p bằng A. 4q + 1. B. 4q - 1. C. - 4q + 1. D. q + 1. 2 Lời giải. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình x + px + q = 0. ïì x + x = - p 0 ). (1) ï îï x1x2 = q > 0 2 2 Từ giả thiết, ta có x1 - x2 = 1 Û (x1 - x2 ) = 1 Û (x1 + x2 ) - 4x1x2 = 1. (2) Từ (1), (2) suy ra p2 - 4q = 1 Û p2 = 4q + 1 Û p = 4q + 1 > 0. Chọn A. 2 2 Câu 55. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - (2m + 1)x + m + 1 = 0 ( m là tham x x số). Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức P = 1 2 có giá trị nguyên. x1 + x2 A. m = - 2. B. m = - 1. C. m = 1. D. m = 2. 2 Lời giải. Ta có D = (2m + 1) - 4(m2 + 1) = 4m - 3 . 3 Để phương trình có hai nghiệm Û D ³ 0 Û m ³ . 4 ïì x1 + x2 = 2m + 1 Theo định lý Viet, ta có íï . ï 2 îï x1x2 = m + 1 x x m2 + 1 2m - 1 5 5 Khi đó P = 1 2 = = + ¾ ¾® 4P = 2m - 1+ . x1 + x2 2m + 1 4 4(2m + 1) 2m + 1 3 5 Do m ³ nên 2m + 1³ . 4 2 Để P Î ¢ thì ta phải có (2m + 1) là ước của 5 , suy ra 2m + 1 = 5 Û m = 2 . Thử lại với m = 2 , ta được P = 1: thỏa mãn. Chọn D. 2 2 Câu 56. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - 2(m + 1)x + m + 2 = 0 ( m là tham số). Tìm m để biểu thức P = x1x2 - 2(x1 + x2 )- 6 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 A. m = . B. m = 1. C. m = 2. D. m = - 12. 2 2 Lời giải. Ta có D ' = (m + 1) - (m2 + 2)= 2m - 1. 1 Để phương trình có hai nghiệm Û D ' ³ 0 Û m ³ . (*) 2 ïì x1 + x2 = 2m + 2 Theo định lý Viet, ta có íï . ï 2 îï x1.x2 = m + 2 2 2 Khi đó P = x1x2 - 2(x1 + x2 )- 6 = m + 2- 2(2m + 2)- 6 = (m - 2) - 12 ³ - 12. Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = 2 : thỏa (*). Chọn C. 2 2 Câu 57. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x + 2mx + m - 2 = 0 ( m là tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = 2x1x2 + x1 + x2 - 4 .
  42. 1 25 9 A. P = . B. P = 2. C. P = . D. P = . max 2 max max 4 max 4 Lời giải. Ta có D ' = m2 - 2(m2 - 2)= - m2 + 4 . Để phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi D ' = 4 - m2 ³ 0 Û - 2 £ m £ 2. (*) ì x + x = - m ï 1 2 ï Theo định lý Viet, ta có í 2 . ï m - 2 ï x1x2 = îï 2 2 Khi đó A = 2x1x2 + x1 + x2 - 4 = m - m - 6 = (m + 2)(m - 3) = - (m + 2)(m - 3) 2 2 æ 1ö 25 25 = - m + m + 6 = - çm - ÷ + £ (do - 2 £ m £ 2 ). èç 2ø÷ 4 4 1 Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = : thỏa (*). Chọn C. 2 2 2 Câu 58. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - 2(m - 1)x + 2m - 3m + 1 = 0 ( m là tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = x1 + x2 + x1x2 . 1 9 9 A. P = . B. P = 1. C. P = . D. P = . max 4 max max 8 max 16 2 Lời giải. Ta có D ' = (m - 1) - (2m2 - 3m + 1)= - m2 + m = m(1- m). Để phương trình có hai nghiệm Û D ' ³ 0 Û 0 £ m £ 1. (*) ïì + = - ï x1 x2 2(m 1) Theo định lý Viet, ta có í . ï 2 îï x1.x2 = 2m - 3m + 1 æ ö2 2 2 m 1 ç 1÷ 9 Khi đó P = x1 + x2 + x1.x2 = 2(m - 1)+ 2m - 3m + 1 = 2 m - - = 2 çm - ÷ - . 2 2 èç 4÷ø 16 1 1 3 æ 1ö2 9 æ 1ö2 9 Vì 0 £ m £ 1 ¾ ¾® - £ m - £ ¾ ¾® çm - ÷ £ ¾ ¾® çm - ÷ - £ 0. 4 4 4 èç 4ø÷ 16 èç 4ø÷ 16 æ 1ö2 9 æ9 æ 1ö2 ö 9 æ 1ö2 9 ç ÷ ç ç ÷ ÷ ç ÷ Do đó P = 2 çm - ÷ - = 2ç - çm - ÷ ÷= - 2çm - ÷ £ . èç 4ø 16 èç16 èç 4ø ÷ø 8 èç 4ø 8 1 Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = : thỏa mãn (*). Chọn C. 4 2 Câu 59. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - mx + m - 1 = 0 ( m là tham số). 2x1x2 + 3 Tìm m để biểu thức P = 2 2 đạt giá trị lớn nhất. x1 + x2 + 2(x1x2 + 1) 1 5 A. m = . B. m = 1. C. m = 2. D. m = . 2 2 2 Lời giải. Ta có D = m2 - 4(m - 1)= (m - 2) ³ 0 , với mọi m . Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . ïì x + x = m Theo hệ thức Viet, ta có íï 1 2 . ï îï x1x2 = m - 1 2 2 2 2 2 Suy ra x1 + x2 = (x1 + x2 ) - 2x1x2 = m - 2(m - 1)= m - 2m + 2 . 2x1x2 + 3 2m + 1 Khi đó P = 2 2 = 2 . x1 + x2 + 2(x1x2 + 1) m + 2 2 2m + 1 2m + 1- m2 - 2 (m - 1) Suy ra P - 1 = - 1 = = - £ 0, " m Î ¡ . m2 + 2 m2 + 2 m2 + 2 Suy ra P £ 1, " m Î ¡ . Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = 1. Chọn B.
  43. 2 Câu 60. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - mx + m - 1 = 0 ( m là tham số). 2x1x2 + 3 Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = 2 2 . x1 + x2 + 2(x1x2 + 1) 1 A. P = - 2. B. P = - . C. P = 0. D. P = 1. min min 2 min min 2 Lời giải. Ta có D = m2 - 4(m - 1)= (m - 2) ³ 0 , với mọi m . Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . ïì x + x = m Theo hệ thức Viet, ta có íï 1 2 . ï îï x1x2 = m - 1 2 2 2 2 2 Suy ra x1 + x2 = (x1 + x2 ) - 2x1x2 = m - 2(m - 1)= m - 2m + 2 . 2x1x2 + 3 2m + 1 Khi đó P = 2 2 = 2 . x1 + x2 + 2(x1x2 + 1) m + 2 2 1 2m + 1 1 2(2m + 1)+ m2 + 2 (m + 2) Suy ra P + = + = = ³ 0, " m Î ¡ . 2 m2 + 2 2 2(m2 + 2) 2(m2 + 2) 1 Suy ra P ³ - , " m Î ¡ . Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = - 2. Chọn B. 2 Vấn đề 5. TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Câu 61. Nếu m ¹ 0 và n ¹ 0 là các nghiệm của phương trình x 2 + mx + n = 0 thì tổng m + n bằng: 1 1 A. - . B. - 1. C. . D. 1. 2 2 ïì m + n = - m ïì n = - 2m ïì m = 1 Lời giải. Theo hệ thức Viet, ta có íï Û íï (n ¹ 0)Û íï îï m.n = n îï m = 1 îï n = - 2 ¾ ¾® m + n = - 1. Chọn B. Câu 62. Giả sử các nghiệm của phương trình x 2 + px + q = 0 là lập phương các nghiệm của phương trình x 2 + mx + n = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 3 3 3 æmö p A. p + q = m . B. p = m + 3mn. C. p = m - 3mn. D. ç ÷ = . èçn ø÷ q 2 Lời giải. Giả sử phương trình x + px + q = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và phương 2 trình x + mx + n = 0 có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 . ïì = 3 ï x1 x3 3 3 2 Theo bài ra, ta có í Û x + x = x + x = (x + x )é(x + x ) - 3x x ù. (*) ï 3 1 2 3 4 3 4 ëê 3 4 3 4 ûú îï x2 = x4 ïì x1 + x2 = - p ï Theo hệ thức Viet, ta có íï x + x = - m, thay vào (*), ta được - p = - m m2 - 3n . ï 3 4 ( ) ï îï x3 x4 = n Vậy p = m(m2 - 3n)= m3 - 3mn. Chọn C. Câu 63. Cho hai phương trình x 2 - 2mx + 1 = 0 và x 2 - 2x + m = 0. Có hai giá trị của m để phương trình này có một nghiệm là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình kia. Tính tổng S của hai giá trị m đó. 5 1 1 A. S = - . B. S = 1. C. S = - . D. S = . 4 4 4 2 Lời giải. Gọi x0 là nghiệm của phương trình x - 2mx + 1 = 0. Điều kiện: x0 ¹ 0.
  44. 1 Suy ra là nghiệm của phương trình x 2 - 2x + m = 0. x0 ïì x 2 - 2mx + 1 = 0 ï 0 0 ïì x 2 - 2mx + 1 = 0. 1 ï 2 ï 0 0 ( ) Khi đó, ta có hệ íï æ ö Û íï ï ç 1 ÷ 2 ï 2 ï ç ÷ - + m = 0 ï mx0 - 2x0 + 1 = 0. (2) ï ç ÷ îï îï èx0 ø x0 ém = 1 1 - 2 , x 2 1- m - 2x m - 1 = 0 Û m - 1 x 2 + 2x = 0 Û ê . Lấy ( ) ( ) ta được 0 ( ) 0 ( ) ( )( 0 0 ) ê ëx0 = - 2 2 5 Với x = - 2 thay vào (1), ta được (- 2) - 2m.(- 2)+ 1 = 0 Û m = - . 0 4 5 1 Vậy tổng tất cả giá trị của m cần tìm là m + m = 1- = - . Chọn C. 1 2 4 4 Câu 64. Cho hai phương trình x 2 - mx + 2 = 0 và x 2 + 2x - m = 0 . Có bao nhiêu giá trị của m để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là 3 ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2 Lời giải. Gọi x0 là một nghiệm của phương trình x - mx + 2 = 0. 2 Suy ra 3- x0 là một nghiệm của phương trình x + 2x - m = 0. ïì 2 - + 2 = 0 ïì 2 ï x0 mx0 ï x0 - mx0 + 2 = 0. (1) Khi đó, ta có hệ íï Û íï ï - 2 + - - = ï m = x 2 - 8x + 15. 2 îï (3 x0 ) 2(3 x0 ) m 0 îï 0 0 ( ) éx = 2 ê 0 2 1 , x 2 - x 2 - 8x + 15 x + 2 = 0 Û ê ¾(¾2)® 3 Thay ( ) vào ( ) ta được 0 ( 0 0 ) 0 ê 7 ± 3 5 cho ta giá trị của êx0 = ë 2 m cần tìm. Chọn D. Câu 65. Cho a, b, c, d là các số thực khác 0 . Biết c và d là hai nghiệm của phương trình x 2 + ax + b = 0 và a, b là hai nghiệm của phương trình x 2 + cx + d = 0. Tính giá trị của biểu thức S = a + b + c + d. - 1+ 5 A. S = - 2. B. S = 0. C. S = . D. S = 2. 2 Lời giải. Vì c, d là hai nghiệm của phương trình x 2 + ax + b = 0 suy ra c + d = - a. Vì a, b là hai nghiệm của phương trình x 2 + cx + d = 0 suy ra a + b = - c. ïì c + d = - a ïì a + c = - d Khi đó, ta có hệ íï Û íï Û b = d. îï a + b = - c îï a + c = - b ïì c 2 + ac + b = 0 éa = c Lại có íï ¾ ¾® c 2 - a2 + b - d = 0 Û a2 = c 2 Û ê . ï 2 ê îï a + ca + d = 0 ëa = - c Với a = - c thì từ c + d = - a ¾ ¾® d = 0 : mâu thuẫn giả thiết. Với a = c thì từ c + d = - a ¾ ¾® d = - 2c và từ a + b = - c ¾ ¾® b = - 2c. éc = 0(loaïi) 2 + + = 0 ¾ ¾a= c¾® 2 2 - 2 = 0 Û ê . Ta có c ac b b= - 2c c c ê ëêc = 1(thoaû) Khi đó S = a + b + c + d = c - 2c + c - 2c = - 2c = - 2.1 = - 2. Chọn A. Vấn đề 6. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
  45. 3 3x Câu 66. Tập nghiệm S của phương trình 2x + = là: x - 1 x - 1 ïì 3ïü ïì 3ïü A. S = íï 1; ýï . B. S = {1}. C. S = íï ýï . D. S = ¡ \{1}. îï 2þï îï 2þï Lời giải. Điều kiện x =/ 1. 3 3x 3(x - 1) 3 Khi đó phương trình Û 2x + = Û 2x = Û x = thỏa điều kiện x - 1 x - 1 x - 1 2 ïì 3ïü ¾ ¾® S = íï ýï . Chọn C. îï 2þï x 2 - 5x 4 Câu 67. Tập nghiệm của phương trình = - là: x - 2 x - 2 A. S = {1;4}. B. S = {1}. C. S = Æ. D. S = {4}. Lời giải. Điều kiện x > 2. 2 éx = 1 loaïi x - 5x 4 2 ê ( ) Khi đó phương trình Û = - Û x - 5x + 4 = 0 Û ê x - 2 x - 2 ëx = 4 ¾ ¾® S = {4}. Chọn D. 2x 2 - 10x Câu 68. Phương trình = x - 3 có bao nhiêu nghiệm? x 2 - 5x A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. ïì x 2 - 5x =/ 0 ï 2 2x 2 - 10x ï ïì x - 5x =/ 0 Lời giải. = x - 3 Û íï 2x (x - 5) Û íï ® S = Æ. Chọn A. x 2 - 5x ï = x - 3 ï 2 = x - 3 ï ïî îï x (x - 5) 2 10 50 Câu 69. Gọi x là nghiệm của phương trình 1- = - . Mệnh đề nào 0 x - 2 x + 3 (2- x)(x + 3) sau đây đúng? A. x0 Î (- 5;- 3). B. x0 Î [- 3;- 1]. C. x0 Î (- 1;4). D. x0 Î [4;+ ¥ ). ïì x ¹ 2 Lời giải. Điều kiện: íï . îï x ¹ - 3 2 10 50 Phương trình tương đương 1- = - 2- x x + 3 (2- x)(x + 3) éx = 10(thoûa) 2 ê Û (2- x)(x + 3)- 2(x + 3)= 10(2- x)- 50 Û x - 7x - 30 = 0 Û ê . Chọn D. ëêx = - 3(loaïi) (m2 + 1)x - 1 Câu 70. Tập nghiệm S của phương trình = 1 trong trường hợp m ¹ 0 là: x + 1 ïì m + 1ïü ïì 2 ïü A. S = í 2 ý. B. S = Æ. C. S = ¡ . D. S = í 2 ý. îï m þï îï m þï 2 ì (m + 1)x - 1 ï x =/ - 1 2 Lời giải. = 1 Û íï Û x = . Chọn D. + ï m2 + 1 x - 1 = x + 1 2 x 1 îï ( ) m (2m2 + 3)x + 6m Câu 71. Tập nghiệm S của phương trình = 3 khi m ¹ 0 là: x ïì 3 ïü A. S = Æ. B. S = íï - ýï . C. S = ¡ . D. S = ¡ \{0}. îï mþï 2 ì (2m + 3)x + 6m ï x =/ 0 3 Lời giải. = 3 Û íï Û x = - . Chọn B. ï 2m2 + 3 x + 6m = 3x x îï ( ) m
  46. x 2 + mx + 2 Câu 72. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình = 1 vô x 2 - 1 nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. ém = 0 ê x 2 + mx + 2 ïì x =/ ± 1 êïì m =/ 0 ém = 0 = Û ï ¾V¾N ® êï Û ê Lời giải. 2 1 í ï . Chọn D. x - 1 ï mx = - 3 êí êm = ± 3 îï êï 3 ë êï - = ± 1 ëîï m 2mx - 1 Câu 73. Phương trình = 3 có nghiệm duy nhất khi: x + 1 3 A. m ¹ . B. m ¹ 0. 2 3 1 3 C. m ¹ 0 và m ¹ . D. m ¹ - và m ¹ . 2 2 2 ïì 3 ì 2m - 3 =/ 0 ï ì x =/ - 1 ï ï m =/ 2mx - 1 ï nghiemduynhat ï ï 2 Lời giải. = 3 Û íï ¾ ¾ ¾ ¾ ¾® í Û íï . ï ï 4 ï x + 1 îï (2m - 3)x = 4 ï x = =/ - 1 ï 1 îï 2m - 3 ï m =/ - îï 2 Chọn D. Câu 74. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 3;5] để x - m x - 2 phương trình = có nghiệm. Tổng các phần tử trong tập S bằng: x + 1 x - 1 A. - 1. B. 8. C. 9. D. 10. ïì m =/ 0 ì =/ ± ï ì =/ x - m x - 2 ï x 1 co nghiem ï ï m 0 Lời giải. = Û í ¾ ¾ ¾ ¾® í 2 Û í . x + 1 x - 1 îï mx = m + 2 ï x = 1+ =/ ± 1 îï m =/ - 1 îï m Vì m Î ¢, m Î [- 3;5] nên m Î S = {- 3;- 2;1;2;3;4;5}. Chọn D. Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [1;20] để phương trình x + 1 m x + 3 + = có nghiệm. x - 2 4 - x 2 x + 2 A. 4. B. 18. C. 19. D. 20. ì =/ ± ì =/ x + 1 m x + 3 ï x 2 co nghiem m ï m 12 Lời giải. + 2 = Û í ¾ ¾ ¾¾® x = - 4 =/ ± 2 Û í . x - 2 4 - x x + 2 îï 2x = - m - 8 2 îï m =/ 4 Suy ra có tất cả 18 số nguyên m thỏa yêu cầu. Chọn B. Câu 76. Tập nghiệm S của phương trình 3x - 2 = 3- 2x là: A. S = {- 1;1}. B. S = {- 1}. C. S = {1}. D. S = {0}. ì ï 3- 2x ³ 0 Lời giải. Phương trình Û í ï 2 2 îï 3x - 2 = (3- 2x) ïì 3 ïì 3 ï x £ ï x £ Û íï 2 Û íï 2 Û x = ± 1 ¾ ¾® S = {- 1;1}. Chọn A. ï ï ï 2 2 ï 2 îï 9x - 12x + 4 = 4x - 12x + 9 îï 5x = 5 Câu 77. Phương trình 2x - 4 - 2x + 4 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. ïì 2x - 4 ³ 0 Lời giải. Phương trình Û 2x - 4 = 2x - 4 Û íï Û x ³ 2. îï 2x - 4 = 2x - 4 Do đó, phương trình có vô số nghiệm. Chọn D.
  47. Câu 78. Tập nghiệm S của phương trình 2x - 1 = x - 3 là: ïì 4ïü ïì 4ïü A. S = íï ýï . B. S = Æ. C. S = íï - 2; ýï . D. S = {- 2}. îï 3þï îï 3þï ì ï x ³ 3 ì - ³ ï ï x 3 0 ïì x ³ 3 ï é 4 Lời giải. Phương trình Û í Û íï Û í êx = Û x Î Æ ï 2 2 ï 2 ï ê îï (2x - 1) = (x - 3) îï 3x + 2x - 8 = 0 ï 3 ï ê îï ëêx = - 2 ¾ ¾® S = Æ. Chọn B. Câu 79. Tổng các nghiệm của phương trình x 2 + 5x + 4 = x + 4 bằng: A. - 12. B. - 6. C. 6. D. 12. ïì x + 4 ³ 0 ïì x ³ - 4 ï ï Lời giải. Phương trình Û í 2 2 Û í 2 2 ï x 2 + 5x + 4 = x + 4 ï x 2 + 5x + 4 - x + 4 = 0 îï ( ) ( ) îï ( ) ( ) ïì x ³ - 4 ïì x ³ - 4 éx = 0 ïì x ³ - 4 ï ï ê ï 2 ï Û íï Û íï éx + 6x + 8 = 0 Û íï éx = - 2, x = - 4 Û êx = - 2 ï (x 2 + 6x + 8)(x 2 + 4x)= 0 ï ê ï ê ê îï ï ê 2 ï ê = = - ê = - 4 îï ëêx + 4x = 0 îï ëx 0, x 4 ëx ¾ ¾® 0 + (- 2)+ (- 4)= - 6. Chọn B. 2 Câu 80. Gọi x1, x2 (x1 < x2 ) là hai nghiệm của phương trình x - 4x - 5 = 4x - 17 . Tính giá 2 trị biểu thức P = x1 + x2 . A. P = 16. B. P = 58. C. P = 28. D. P = 22. ïì 4x - 17 ³ 0 ï Lời giải. Phương trình Û í 2 2 ï x 2 - 4x - 5 = 4x - 17 îï ( ) ì ï 17 ïì 17 ï x ³ ï x ³ Û íï 4 Û íï 4 ï 2 2 ï ï x 2 - 4x - 5 = 4x - 17 ï x 2 - 8x + 12 x 2 - 22 = 0 îï ( ) ( ) îï ( )( ) ïì 17 ïì 17 ï x ³ ï x ³ ï 4 ï 4 éx = 6 2 Û íï Û íï Û ê ¾ ¾® P = 22 + 6 = 28. Chọn C. ï é 2 - + = ï éx = 2 Úx = 6 ê ( ) ï êx 8x 12 0 ï ê ëêx = 22 ï ê 2 ï ê îï ë x - 22 = 0 îï ëê x = ± 22 Câu 81. Tập nghiệm S của phương trình x - 2 = 3x - 5 là: ïì 3 7ïü ïì 3 7ïü ïì 7 3ïü ïì 7 3ïü A. S = íï ; ýï . B. S = íï - ; ýï . C. S = íï - ;- ýï . D. S = íï - ; ýï . îï 2 4þï îï 2 4þï îï 4 2þï îï 4 2þï 2 2 Lời giải. Phương trình Û x - 2 = 3x - 5 Û x 2 - 4x + 4 = 9x 2 - 30x + 25 é 3 êx = 2 ê 2 ïì 3 7ïü Û 8x - 26x + 21 = 0 Û ê ¾ ¾® S = íï ; ýï . Chọn A. ê 7 ï 2 4ï êx = î þ ëê 4 Câu 82. Tổng các nghiệm của phương trình x + 2 = 2 x - 2 bằng: 1 2 20 A. . B. . C. 6. D. . 2 3 3 2 2 Lời giải. Phương trình Û (x + 2) = 4(x - 2) Û 3x 2 - 20x + 12 = 0 . b 20 Do đó, tổng các nghiệm của phương trình bằng - = . Chọn D. a 3 Câu 83. Phương trình 2x + 1 = x 2 - 3x - 4 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.
  48. é 5± 45 2 êx = é 2x + 1 = x - 3x - 4 é 2 - 5 - 5 = 0 ê ê êx x ê 2 Lời giải. Phương trình Û ê 2 Û Û . 2x + 1 = - x - 3x - 4 ê 2 - - 3 = 0 ê ëê ( ) ëx x ê 1± 13 êx = ë 2 Chọn D. Câu 84. Phương trình 2x - 4 + x - 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. ì ï 2x - 4 ³ 0 Lời giải. Ta có í Þ 2x - 4 + x - 1 ³ 0 . ï îï x - 1 ³ 0 ì ï 2x - 4 = 0 ïì x = 2 Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi í Û íï Û x Î Æ. ï ï îï x - 1 = 0 îï x = 1 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn A. Câu 85. Tổng các nghiệm của phương trình 2x - 5 + 2x 2 - 7x + 5 = 0 bằng: 5 7 3 A. 6. B. . C. . D. . 2 2 2 ì ï 2x - 5 ³ 0 Lời giải. Ta có íï ¾ ¾® 2x - 5 + 2x 2 - 7x + 5 ³ 0. ï 2x 2 - 7x + 5 ³ 0 îï ïì 5 ï x = ïì 2x - 5 = 0 ï 2 5 Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi íï Û íï Û x = . Chọn B. ï 2x 2 - 7x + 5 = 0 ï 5 2 îï ï x = 1Úx = îï 2 2 Câu 86. Phương trình (x + 1) - 3 x + 1 + 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải. Đặt t = x + 1 , t ³ 0 . Phương trình trở thành t 2 - 3t + 2 = 0 Û t = 1 hoặc t = 2 . Với t = 1 ta có x + 1 = 1 Û x + 1 = ± 1 Û x = - 2 hoặc x = 0 . Với t = 2 ta có x + 1 = 2 Û x + 1 = ± 2 Û x = - 3 hoặc x = 1. Vậy phương trình có bốn nghiệm là x = - 3, x = - 2, x = 0, x = 1. Chọn D. Câu 87. Tổng các nghiệm của phương trình 4x (x - 1)= 2x - 1 + 1 bằng: A. 0. B. 1. C. 2. D. - 2. Lời giải. Phương trình tương đương với 4x 2 - 4x - 2x - 1 - 1 = 0 . Đặt t = 2x - 1 , t ³ 0 . Suy ra t 2 = 4x 2 - 4x + 1 Þ 4x 2 - 4x = t 2 - 1. ét = - 1 (loaïi) 2 2 ê Phương trình trở thành t - 1- t - 1 = 0 Û t - t - 2 = 0 Û ê . ëêt = 2 (thoûa) é 3 êx = é2x - 1 = 2 ê 2 3 æ 1ö Với t = 2 , ta có 2x - 1 = 2 Û ê Û ê ¾ ¾® + ç- ÷= 1. Chọn B. ê2x - 1 = - 2 ê 1 2 èç 2ø÷ ë êx = - ëê 2 Câu 88. Với giá trị nào của a thì phương trình 3 x + 2ax = - 1 có nghiệm duy nhất? 3 - 3 3 - 3 - 3 3 A. a > . B. a . 2 2 2 2 2 2 Lời giải. Dễ thấy, x = 0 không là nghiệm của phương trình đã cho.  Xét x Î (- ¥ ;0): Phương trình trở thành - 3x + 2ax = - 1 Û (2a - 3)x = - 1 (1)
  49. 3 Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi 2a - 3 ¹ 0 Û a ¹ . Khi đó, nghiệm của phương 2 - 1 - 1 3 trình là x = . Mà x 0 Û a > . 2a - 3 2a - 3 2  Xét x Î (0;+ ¥ ): Phương trình trở thành 3x + 2ax = - 1 Û (2a + 3)x = - 1 (2) 3 Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi 2a + 3 ¹ 0 Û a ¹ - . Khi đó, nghiệm của 2 - 1 - 1 3 phương trình là x = . Mà x > 0 Þ > 0 Û 2a + 3 < 0 Û a < - . 2a + 3 2a + 3 2 Chọn D. Câu 89. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình x + 1 = x 2 + m có nghiệm duy nhất. A. m = 0. B. m = 1. C. m = - 1. D. Không có m. 2 Lời giải. Phương trình Û x - x + (m - 1)= 0 Đặt t = x , t ³ 0 , phương trình trở thành t 2 - t + m - 1 = 0 (*) Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Û (*) có nghiệm duy nhất t = 0 . Với t = 0 là nghiệm của phương trình (*)Þ 02 - 0 + m - 1 = 0 Û m = 1 . Thử lại, thay m = 1 vào phương trình (*), thấy phương trình có 2 nghiệm t = 0 và t = 1 : Không thỏa mãn. Chọn D. Câu 90. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 5;5] để phương trình mx + 2x - 1 = x - 1 có đúng hai nghiệm phân biệt? A. 8. B. 9. C. 10. D. 11. émx + 2x - 1 = x - 1 é(m + 1)x = 0 (1) Lời giải. Ta có mx + 2x - 1 = x - 1 Û ê Û ê . ê + - = - - ê ëmx 2x 1 (x 1) ëê(m + 3)x = 2 (2) Xét (1), ta có: m = - 1 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x Î ¡ . m ¹ - 1 thì phương trình có nghiệm x = 0 . Xét (2), ta có: m = - 3 thì phương trình vô nghiệm. 2 m ¹ - 3 thì phương trình có nghiệm x = . m + 3 2 2 Vì ¹ 0, " m ¹ - 3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là x = 0 , x = khi m + 3 m + 3 m ¹ - 1 và m ¹ - 3. Mà m Î [- 5;5] và m Î ¢ ¾ ¾® m Î {- 5;- 4;- 2;0;1;2;3;4;5} ® có 9 giá trị m . Chọn B. Câu 91. Tập nghiệm S của phương trình 2x - 3 = x - 3 là: A. S = {6;2}. B. S = {2}. C. S = {6}. D. S = Æ. ïì x ³ 3 ïì x ³ 3 ï Lời giải. 2x - 3 = x - 3 Û íï Û íï éx = 2 Û x = 6. Chọn C. ï 2 ï ê îï 2x - 3 = x - 6x + 9 ï ê îï ëx = 6 Cách 2: thử đáp án. Thay x = 2 vào phương trình ta được 2.2- 3 = 2- 3 (sai).
  50. Thay x = 6 vào phương trình ta được 2.6- 3 = 6- 3 (đúng). Vậy x = 6 là nghiệm của phương trình. Câu 92. Tập nghiệm S của phương trình x 2 - 4 = x - 2 là: A. S = {0;2}. B. S = {2}. C. S = {0}. D. S = Æ. ïì x ³ 2 ïì x ³ 2 2 - = - Û ï Û ï Û = Lời giải. x 4 x 2 í 2 2 í x 2. Chọn B. îï x - 4 = x - 4x + 4 ïî x = 2 Cách 2: thử đáp án. Thay x = 0 vào phương trình ta được 02 - 4 = 0- 2 (sai). Thay x = 2 vào phương trình ta được 22 - 4 = 2- 2 (đúng). Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình. Câu 93. Tổng các nghiệm của phương trình (x - 2) 2x + 7 = x 2 - 4 bằng: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 7 Lời giải. Điều kiện xác định của phương trình 2x + 7 ³ 0 Û x ³ - . 2 Ta có (x - 2) 2x + 7 = x 2 - 4 Û (x - 2) 2x + 7 = (x - 2)(x + 2) Û x - 2 é 2x + 7 - x + 2 ù= 0 ( )ëê ( )ûú éx - 2 = 0 éx = 2 ê ê Û ê Û ê . ëê 2x + 7 - (x + 2)= 0 ëê 2x + 7 = x + 2 (1) ì ï x ³ - 2 Giải phương trình (1): 2x + 7 = x + 2 Û í ï 2 îï 2x + 7 = (x + 2) ïì x ³ - 2 ïì x ³ - 2 ï Û íï Û íï éx = 1 Û x = 1. ï 2 ï ê îï x + 2x - 3 = 0 ï ê îï ëx = - 3 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1, x = 2 nên tổng hai nghiệm của phương trình là 1+ 2 = 3. Chọn D. x 2 - 4x - 2 Câu 94. Phương trình = x - 2 có tất cả bao nhiêu nghiệm? x - 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. Lời giải. Điều kiện xác định của phương trình x - 2 > 0 Û x > 2. Từ phương trình đã cho ta được éx = 0 x 2 - 4x - 2 = x - 2 Û x 2 - 5x = 0 Û ê . ê ëx = 5 So với điều kiện x > 2 thì x = 5 là nghiệm duy nhất của phương trình. Chọn A. 4 Câu 95. Phương trình 2- x + = 2 có tất cả bao nhiêu nghiệm? 2- x + 3 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Điều kiện xác định của phương trình 2- x ³ 0 Û x £ 2. Từ phương trình đã cho ta được 2- x ( 2- x + 3)+ 4 = 2( 2- x + 3) ïì x ³ 0 ïì x ³ 0 éx ³ 0 ï Û 2- x = x Û íï Û ê Û íï éx = 1 Û x = 1. ï 2 ê 2 ï ê îï 2- x = x ëx + x - 2 = 0 ï ê îï ëx = - 2 So với điều kiện x < 2 thì x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình. Chọn B.
  51. Câu 96. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình æ 2 ö2 2 ç x ÷ 2x ç ÷ + + m = 0 có đúng bốn nghiệm? èçx - 1ø÷ x - 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. x 2 ïì x =/ 1 ïì 1- t + t =/ 0 Lời giải. Đặt = t Û íï ® íï . - 1 ï 2 - + = 0 * ï 2 x îï x tx t ( ) îï D t = t - 4t ét 0 Û ê thì (*) có hai nghiệm x phân biệt. t ê ët > 4 Mặt khác phương trình đã cho trở thành: ïì m £ 1 ï 2 2 ï t + 2t + m = 0 Û (t + 1) = 1- m Û íï ét = - 1- 1- m 0 hay íï é- 1+ 1- m 25 ë îï ëê- 1+ 1- m > 4 îï ë Câu 97. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình æ 2 1 ö æ 1ö çx + ÷- 2mçx + ÷+ 1 = 0 có nghiệm. èç x 2 ø÷ èç x ø÷ æ ö é ö ç 3 3÷ 3 ÷ A. m Î ç- ; ÷. B. m Î ê ;+ ¥ ÷. èç 4 4ø ëê4 ø æ ù æ ù é ö ç 3 ç 3 3 ÷ C. m Î ç- ¥ ;- ú. D. m Î ç- ¥ ;- úÈ ê ;+ ¥ ÷. èç 4ûú èç 4ûú ëê4 ø ïì t ³ 2 1 ï x + = t ® ï . Lời giải. Đặt í 2 1 2 x ï x + = t - 2 îï x 2 Khi đó phương trình đã cho trở thành f (t)= t 2 - 2mt - 1 = 0 (*) (Phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt t1 - 1.
  52. Mặt khác phương trình đã cho trở thành f (t)= t 2 - 4t + m + 3 = 0 (* *). Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm x1, x2 lớn hơn 1 khi và chỉ khi (* *) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 ïì D ¢= 4 - m - 3 > 0 ï ïì m 0 Û íï . Chọn B. ï 1 2 1 2 1 2 ï m > - 8 ï îï îï t1 + t2 = 4 > - 2 Câu 99. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 (x 2 + 2x + 4) – 2m(x 2 + 2x + 4)+ 4m –1 = 0 có đúng hai nghiệm. A. m Î (3;4). B. m Î (- ¥ ;2- 3)È(2 + 3;+ ¥ ). C. m Î (4;+ ¥ )È{2 + 3}. D. m Î ¡ . 2 Lời giải. Ta có (x 2 + 2x + 4) – 2m(x 2 + 2x + 4)+ 4m –1 = 0. (1) Đặt t = x 2 + 2x + 4 Þ x 2 + 2x + 4 - t = 0. (2) Phương trình (1) trở thành g(t)= t 2 - 2mt + 4m - 1 = 0. (3) ¢ Phương trình (2) có nghiệm khi D(2) = t - 3 ³ 0 Û t ³ 3 . Khi t = 3 thì phương trình (2) có nghiệm kép x = - 1. Phương trình (1) có đúng hai nghiệm khi: · TH1: Phương trình (3) có nghiệm kép lớn hơn 3 . ¢ 2 Phương trình (3) có nghiệm kép khi D(3) = m - 4m + 1 = 0 Û m = 2 ± 3 . Với m = 2- 3 ¾ ¾® Phương trình (3) có nghiệm t = 2- 3 3 : Thỏa mãn. · TH2: Phương trình (3) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn t1 0 ï ê í Û í êm > 2 + 3 Û m > 4. ï g(3)= - 2m + 8 4 Hợp hai trường hợp ta được m Î (4;+ ¥ )È{2 + 3} . Chọn C. Câu 100. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 2 + 2mx + 2m x + m + m2 + 3- 2m = 0 có nghiệm. é3 ÷ö A. m Î (¥ ;- 3]È[1;+ ¥ ). B. m Î (¥ ;- 3]È ê ;+ ¥ ÷. ëê2 ø é3 ÷ö C. m Î [1;+ ¥ ). D. m Î ê ;+ ¥ ÷. ëê2 ø 2 Lời giải. Ta có x 2 + 2mx + 2m x + m + m2 + 3- 2m = 0 Û ( x + m + m) = m2 + 2m - 3 ïì m2 + 2m - 3 ³ 0 ï ï é 2 Û í êx + m = - m + 2m - 3 - m (1). ï ê ï ê 2 îï ëêx + m = m + 2m - 3 - m (2) ém £ - 3 m2 + 2m - 3 ³ 0 Û ê . Ta có ê ëm ³ 1 · Nếu m £ - 3 , thì m2 + 2m - 3 - m ³ 0, suy ra (2) có nghiệm, do đó phương trình đã cho có nghiệm.
  53. · Nếu m ³ 1 thì (1) vô nghiệm, do đó phương trình đã cho có nghiệm khi và và chỉ khi 3 (2) có nghiệm Û m2 + 2m - 3 - m ³ 0 Û m2 + 2m - 3 ³ m2 Û m ³ . 2 é3 ÷ö Vậy m Î (¥ ;- 3]È ê ;+ ¥ ÷. Chọn B. ëê2 ø
  54.  Baøi 03 PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT NHIEÀU AÅN I – ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax + by = c (1) trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0. CHÚ Ý a) Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c. Nếu c ¹ 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số (x0 ; y0 ) đều là nghiệm. b) Khi b ¹ 0, phương trình ax + by = c trở thành a c y = - x + (2) b b Cặp số (x0 ; y0 ) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm M (x0 ; y0 ) thuộc đường thẳng (2). Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy. 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là ïì a x + b y = c íï 1 1 1 (3) ï îï a2 x + b2 y = c2 Trong đó x, y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số. Nếu cặp số (x0 ; y0 ) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x0 ; y0 ) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (3). Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó. II – HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là ax + by + cz = d, trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là ïì a1x + b1 y + c1z = d1 ï íï a x + b y + c z = d (4) ï 2 2 2 2 ï îï a3 x + b3 y + c3 z = d3 Trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số. Mỗi bộ ba số (x0 ; y0 ;z0 ) nghiệm đúng của ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (4). CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM