Ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức - Bài 1: Bất đẳng thức

Nội dung text: Ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức - Bài 1: Bất đẳng thức

1. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC (CHƯƠNG 4 LỚP 10) BÀI 14. BẤT ĐẲNG THỨC 2 A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM 2 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 2 Dạng 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức 2 Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức Cosi 2 Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 1
2. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH BÀI 14. BẤT ĐẲNG THỨC A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM I. Định nghĩa : Cho a, b là hai số thực. Các mệnh đề "a b", "a b", "a b", "a b" được gọi là những bất đẳng thức. Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng(mệnh đề đúng) Với A, B là mệnh đề chứ biến thì " A B" là mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức A B (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến " A B" đúng với tất cả các giá trị của biến(thỏa mãn điều kiện đó). Khi nói ta có bất đẳng thức A B mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến là số thực. II. Tính chất : * a b và b c a c * a b a c b c * a b và c d a c b d * Nếu c 0 thì a b ac bc Nếu c 0 thì a b ac bc * a b 0 a b * a b 0 a2 b2 * a b 0 an bn III. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối. * a a a với mọi số thực a . * x a a x a ( Với a 0 ) x a * x a ( Với a 0 ) x a IV. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy) a) Đối với hai số không âm a b Cho a 0, b 0 , ta có ab . Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a b 2 Hệ quả : * Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau * Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau b) Đối với ba số không âm a b c Cho a 0, b 0, c 0 , ta có 3 abc . Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a b c 3 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Lưu ý: NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 2
3. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH Mỗi dạng gồm: - 5 ví dụ tự luận gồm đủ các mức độ - 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm đủ các mức độ Câu hỏi trắc nghiệm cho mỗi dạng trình bày theo chuẩn BTN theo mẫu sau: Dạng 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất cơ bản của bất đẳng thức PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ 2 a b Ví dụ 1. Cho hai số thực a,b . Chứng minh bất đẳng thức sau: ab 2 Lời giải 2 a b Bất đẳng thức tương đương với ab 0 2 a2 2ab b2 4ab a b 2 0 (đúng) ĐPCM. Đẳng thức xảy ra a b Ví dụ 2. Cho ba số thực a,b,c . Chứng minh bất đẳng thức sau: a b c 2 3 ab bc ca Lời giải BĐT tương đương a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 3 ab bc ca 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 (đúng) ĐPCM. Đẳng thức xảy ra a b c Ví dụ 3. Cho năm số thực a,b,c,d,e . Chứng minh rằng a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e) . Lời giải: Ta có : a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e) a2 a2 a2 a2 ( ab b2 ) ( ac c2 ) ( ad d 2 ) ( ae e2 ) 4 4 4 4 a a a a ( b)2 ( c)2 ( d)2 ( e)2 0 đpcm. 2 2 2 2 a Đẳng thức xảy ra b c d e . 2 1 1 2 Ví dụ 4. Cho ab 1. Chứng minh rằng : . a2 1 b2 1 1 ab Lời giải 1 1 2 1 1 1 2 Ta có ( ) ( ) a2 1 b2 1 1 ab a2 1 1 ab b2 1 1 ab NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 3
4. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH ab a2 ab b2 a b b a a b b a a2b b2a ( ) . (a2 1)(1 ab) (b2 1)(1 ab) 1 ab 1 b2 1 a2 1 ab (1 b2 )(1 a2 ) a b (a b)(ab 1) (a b)2 (ab 1) 0 (Do ab 1) . 1 ab (1 b2 )(1 a2 ) (1 ab)(1 b2 )(1 a2 ) Nhận xét : Nếu 1 b 1 thì BĐT có chiều ngược lại : 1 1 2 . a2 1 b2 1 1 ab Ví dụ 5. Cho a,b,c [0;1]. Chứng minh : a2 b2 c2 1 a2b b2c c2a Lời giải: Cách 1: Vì a,b,c [0;1] (1 a2 )(1 b2 )(1 c2 ) 0 1 a2b2 b2c2 c2a2 a2b2c2 a2 b2 c2 (*) Ta có : a2b2c2 0; a2b2 b2c2 c2a2 a2b b2c c2a nên từ (*) ta suy ra a2 b2 c2 1 a2b2 b2c2 c2a2 1 a2b b2c c2a đpcm. Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với a 2 1 b b2 1 c c2 1 a 1 Mà a,b,c 0;1 a2 a,b2 b,c2 c do đó a2 1 b b2 1 c c2 1 a a 1 b b 1 c c 1 a Ta chỉ cần chứng minh a 1 b b 1 c c 1 a 1 Thật vậy: vì a,b,c 0;1 nên theo nhận xét ta có abc 1 a 1 b 1 c 0 a b c ab bc ca 1 a 1 b b 1 c c 1 a 1 vậy BĐT ban đầu được chứng minh PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [0D4-1.1-1] Nếu a b và c d thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? a b A. ac bd .B. a c b d .C. a c b d .D. . c d Lời giải Chọn C Cộng 2 vế bất đẳng thức ta được a c b d . Câu 2. [0D4-1.1-2] Cho a b 0 . Xét các mệnh đề sau I : a3 b3 (a b)(a2 b2 ) . II : a(a2 3b2 ) b(b2 3a2 ) . III : a2 (a 3b) b2 (b 3a) . IV : a3 b3 b3 3a2b 3ab2 a3 0 . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 4
5. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH Số mệnh đề đúng là. A. 4 .B. 2 .C. 1.D. 3 . Lời giải Chọn D A đúng vì BDT a b a2 ab b2 a b a2 b2 0 ab a b 0 B đúng vì BDT a3 3a2b 3ab2 b3 0 a b 3 0 C đúng vì BDT a3 3a2b 3ab2 b3 0 a b 3 0 . D sai vì BDT a3 b3 b a 3 0. Câu 3. [0D4-1.1-2] Cho 2 số a và b . Xét các mệnh đề sau đây. 1 x 2 . II : 2(1 a)2 1 2a2 . 2 III : (1 a2 )(1 b2 ) (1 ab)2 . IV : a2 b2 4a2b2 Số mệnh đề đúng là. A. 1.B. 2 .C. 4 .D. 3 . Lời giải Chọn D A đúng vì BDT a2 2ab b2 0 a b 2 0 B đúng vì BDT 4a2 2a 1 0 2a 1 2 0 C đúng vì BDT 1 a2 b2 a2b2 1 2ab a2b2 a2 2ab b2 0 a b 2 0 D sai vì BDT a2 b2 0 . Câu 4. [0D4-1.1-2] Cho a, b, c với a b và a c . Câu nào sau đây đúng? b c a . a c b a . 2a2 b2 c2 . a b c a 0. 2 Số mệnh đề đúng là. A. 1.B. 3 .C. 4 .D. 2 . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 5
6. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH Lời giải Chọn D A đúng vì BDT 2a b c a b a c 0 B đúng vì BDT a b a c 0 C sai với a 1,b 2,c 3. D sai vì a b và a c nên a b c a 0 . Câu 5. [0D4-1.1-2] Nếu a,b,c là các số bất kì và a b thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. 3a 2c 3b 2c . B. a2 b2 . C. ac bc . D. ac bc . Lời giải Chọn A a b 3a 3b 3a 2c 3b 2c (luôn đúng) a b 0 a2 b2 loại B a b;c 0 ac bc loại C a b;c 0 ac bc loại D. Câu 6. [0D4-1.1-2] Nếu 2a 2b và 3b 3c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. a c .B. a c . C. 3a 3c . D. a2 c2 . Lời giải Chọn B 2a 2b a b   a c . 3b 3c b c Câu 7. [0D4-1.1-2] Cho a,b,c,d 0, tìm mệnh đề sai. a a a c A. 1 . b b b c a a a c B. 1 . b b b c NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 6
7. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH a c a a c c C. . b d b b c d D. Có ít nhất một trong ba mệnh đề trên sai. Lời giải Chọn C Với a,b,c,d 0 a A đúng vì 1 a b ac bc ab ac ab bc a b c b a c b a a c . b b c Tương tự B cũng đúng. 1 2 1 1 2 2 1 3 2 Dễ thấy C sai vì phản ví dụ (vô lí). 2 3 2 2 2 3 2 4 3 Câu 8. [0D4-1.1-2] Cho x, y 0 . Tìm bất đẳng thức sai. 2 1 1 4 A. x y 4xy. B. . x y x y 1 4 C. . D. x y 2 xy. xy (x y)2 Lời giải Chọn B Dễ thấy x y 2 4xy x y 2 0 , nên A đúng. Từ đó kéo theo C đúng. 1 1 4 B sai vì bđt đúng là x y x y 2 a2 b2 a b Câu 9. [0D4-1.1-2] Hai số a,b thoả bất đẳng thức thì 2 2 A. a b .B. a b .C. a b . D. a b . Lời giải Chọn C 2 2 2 a b a b 2 2 2a2 2b2 a b a b 0 a b . 2 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 7
8. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH Câu 10. [0D4-1.1-2] Với m , n 0 , bất đẳng thức: mn m n m3 n3 tương đương với bất đẳng thức A. m n m2 n2 0 .B. m n m2 n2 mn 0 . C. m n m n 2 0 .D. Tất cả đều sai. Lời giải Chọn C mn m n m3 n3 m2n m3 mn2 n3 0 m2 m n n2 m n 0 m n 2 m n 0 . Câu 11. [0D4-1.1-2] Cho m,n 0 , bất đẳng thức (m n)2 4mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây. A. n(m 1)2 m(n 1)2 0 .B. (m n)2 m n 0 . C. (m n)2 m n 0 .D. (m n)2 8mn . Lời giải Chọn C Ta có (m n)2 4mn m2 n2 2mn m n 2 0 . (Luôn đúng) (m n)2 m n 0 (Luôn đúng với mọi m,n 0 ) Vậy (m n)2 4mn (m n)2 m n 0 . Câu 12. [0D4-1.1-3] Bất đẳng thức a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e) a,b,c,d,e tương đương với bất đẳng thức nào sau đây? 2 2 2 2 b c d e A. a a a a 0. 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a B. b c d e 0. 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a C. b c d e 0. 2 2 2 2 D. a b 2 a c 2 a d 2 a e 2 0. Lời giải Chọn B NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 8
9. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e) 2 2 2 2 a 2 a 2 a 2 a 2 ab b ac c ad d ae e 0 4 4 4 4 2 2 2 2 a a a a b c d e 0 2 2 2 2 Câu 13. [0D4-1.1-3] Cho a b c d và x a b c d , y a c b d , z a d b c . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x y z .B. y x z .C. z x y .D. x z y . Lời giải Chọn A Tacó: x y a b c d a c b d a c d b c d a b d c b d a c b bd cd d a b c 0 . Suy ra: x y . Tương tự: x z a c d b 0 x z ; y z a b d c 0 y z . Câu 14. [0D4-1.1-1] Nếu a b và c d thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. ac bd .B. a c b d .C. a d b c .D. ac bd . Lời giải Chọn C a b và c d a c b d a d b c . Câu 15. [0D4-1.1-1] Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. Nếu a2 0 thì a 0 . B. Nếu a2 a thì a 0 . C. Nếu a2 a thì a 0 .D. Nếu a 0 thì a2 a . Lời giải Chọn D Đáp án D đúng, do a2 a a2 a 0 a a 1 0 đúng với a 0 . Câu 16. [0D4-1.1-2]Trong các tính chất sau, tính chất nào sai a b 0 a b a b A. a c b d. B. . c d 0 c d c d 0 a b 0 a b C. a.c b.d. D. a.c b.d. 0 c d 0 c d Lời giải Chọn B NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 9
10. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH Vì không thể chia vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều. Câu 17: [0D4-1.1-1] Cho bất đẳng thức a b a b . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? A. a b .B. ab 0 .C. ab 0 .D. ab 0 . Lời giải Chọn B Tính chất của bất đẳng thức. Câu 18: [0D4-1.1-1] Mệnh đề nào sau đây sai? a b a b A. a c b d .B. ac bd . c d c d a b C. a c b d .D. ac bc a b . c 0 c d Lời giải Chọn B Tính chất của bất đẳng thức. Câu 19. [0D4-1.1-3] Cho 3 số a, b, c . Bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. a b 2 ab .B. (a 2b 3c)2 14(a2 b2 c2 ) . 1 1 4 C. ab bc ca a2 b2 c2 .D. . a b a b Lời giải Chọn C C đúng vì ab bc ca a2 b2 c2 a b 2 b c 2 c a 2 0 . Câu 20. [0D4-1.1-2]Câu nào sau đây đúng với mọi số x và y ? A. 2x2 y2 4 6xy B. 4xy(x y)2 (x2 y2 )2 . C. xy 1 2 xy . D. x2 y2 3xy 0 . Lời giải Chọn B A sai với x 1, y 2 . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 10
11. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH C sai với x 0, y 0 . D sai với x 1; y 2 . Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ 1 1 1 Ví dụ 1. Cho a,b,c là số dương. Chứng minh rằng : a b c 8 b c a Lời giải Áp dụng BĐT côsi ta có 1 a 1 b 1 c a 2 , b 2 , c 2 b b c c a a 1 1 1 a b c Suy ra a b c 8 . . 8 ĐPCM. b c a b c a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c . Ví dụ 2. Cho a,b,c là số dương. Chứng minh rằng: a2 (1 b2 ) b2 (1 c2 ) c2 (1 a2 ) 6abc Lời giải Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có 1 a2 2 a2 2a , tương tự ta có 1 b2 2b, 1 c2 2c Suy ra a2 (1 b2 ) b2 (1 c2 ) c2 (1 a2 ) 2 a2b b2c c2a Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có a2b b2c c2a 3 a2b.b2c.c2a 3abc Suy ra a2 (1 b2 ) b2 (1 c2 ) c2 (1 a2 ) 6abc . ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Ví dụ 3. Cho a,b là số dương thỏa mãn a2 b2 2 . Chứng minh rằng a b a b 2 2 4 b a b a Lời giải Áp dụng BĐT côsi ta có a b a b a b a b 2 2 . 2, 2 . b a b a b2 a2 b2 a2 ab a b a b 4 Suy ra 2 2 (1) b a b a ab NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 11
12. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH Mặt khác ta có 2 a2 b2 2 a2b2 2ab ab 1 (1) a b a b Từ (1) và (2) suy ra 2 2 4 ĐPCM. b a b a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 1. ab bc ac Ví dụ 4. Cho a,b,c là số dương. Chứng minh rằng: a b c c a b Lời giải ab bc ab bc Áp dụng BĐT côsi ta có 2 . 2b c a c a bc ac ac ba Tương tự ta có 2c, 2a . a b b c Cộng vế với vế các BĐT trên ta được ab bc ac ab bc ac 2 2 a b c a b c ĐPCM c a b c a b Đẳng thức xảy ra khi a b c . Ví dụ 5. Cho a,b,c là số dương thỏa mãn a b c 3 . Chứng minh rằng 8 a b b c c a 3 a 3 b 3 c Lời giải Áp dụng BĐT côsi ta có 2 a b b c 3 a 2 a b b c 2 4 3 c 2 3 a 2 Tương tự ta có b c c a , c a a b 4 4 2 2 Nhân vế với vế lại ta được a b b c c a 64 3 a 3 b 3 c Suy ra 8 a b b c c a 3 a 3 b 3 c ĐPCM Đẳng thức xảy ra khi a b c 1 . PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [0D4-1.2-2] Với hai số x, y dương thỏa xy 36 , bất đẳng thức sau đây đúng? A. x y 2 xy 12 . B. x y 2 xy 72 . 2 x y C. xy 36 . D. x y 2xy 72 . 2 Lời giải Chọn A x y 2 xy 2. 36 12 . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 12
13. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH Câu 2: [0D4-1.2-2] Cho a, b, c dương. Bất đẳng thức nào đúng? a b c a b c A. 1 1 1 8 .B. 1 1 1 3 . b c a c a b b c a C. 1 1 1 3 .D. 0 x 1. c a b Lời giải Chọn A a a b b c c Với a,b,c dương thì 1 2 ,1 2 và 1 2 , nhân vế theo vế ta b b c c a a chọn A Câu 3: [0D4-1.2-3] Cho a, b, c 0 và a b c 1 . Dùng bất đẳng thức Côsi ta chứng minh được 1 1 1 1 1 1 64 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào: a b c A. a b c. B. a b c 1. 1 C. a b c . D. a 1,b c 0. 3 Lời giải Chọn C Cách 1: Thử chọn dễ thấy C là đáp án thỏa mãn. Cách 2: Giải chi tiết: 1 1 1 1 1 1 1 Xét VT 1 a b c ab bc ca abc Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương trên ta có 3 1 1 1 3 1 1 1 3 a b c 1 ; và abc 3 a b c abc ab bc ca 3 abc 2 3 27 Suy ra VT 1 9 27 27 64 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 13
14. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c . 3 Câu 4: [0D4-1.2-3] Cho a,b,c 0 Xét các bất đẳng thức sau a b a b c 1 1 I) 2 II) 3 III) a b 4 b a b c a a b Chọn khẳng định đúng. A. Chỉ I) đúng. B. Chỉ II) đúng. C. Chỉ III) đúng.D. Cả I), II), III) đúng. Lời giải Chọn D Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số dương a,b,c a b a b 2 . 2 , đẳng thức xảy ra khi a b . b a b a a b c a b c 33 . . 3, đẳng thức xảy ra khi a b c . b c a b c a 1 1 1 a b 2 ab.2 4 đẳng thức xảy ra khi a b . a b ab Câu 5. [0D4-1.2-3] Cho x, y, z 0 . Xét các bất đẳng thức sau 1 1 1 9 x y z I) x3 y3 z3 3xyz II) III) 3 x y z x y z y z x Chọn khẳng định đúng. A. Chỉ I) đúng .B. Chỉ I) và III) đúng . C. Cả I), II), III) đúng.D. Chỉ III) đúng. Lời giải Chọn B Dễ thấy I) và III) đúng. 1 1 1 1 1 1 1 9 Lại có x y z 33 xyz.33 9 . Vậy II) sai. x y z xyz x y z x y z Câu 6. [0D4-1.2-3] Cho a,b,c 0 . Xét các bất đẳng thức sau NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 14
15. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH a b a b c 1 1 1 9 I) 2 II) 3 III) b a b c a a b c a b c Bất đẳng thức nào đúng? A. Chỉ I) đúng. B. Chỉ II) đúng. C. Chỉ III) đúng.D. Cả I), II), III) đúng. Lời giải Chọn D Dễ thấy I) và III) đúng. 1 1 1 3 1 1 1 1 9 Lại có a b c 3. abc.3.3 9 .Vậy III) a b c abc a b c a b c cũng đúng. Câu 7. [0D4-1.2-2] Cho a,b,c 0 . Xét các bất đẳng thức 3 1 1 1 I) a b c 3 abc II) a b c 9 a b c III) a b b c c a 9 . Bất đẳng thức nào đúng A. Chỉ I) và II) đúng. B. Chỉ I) và III) đúng. C. Chỉ I) đúng. D. Cả I), II), III) đúng. Lời giải Chọn A Dễ thấy bđt I) và II) đúng còn bđt III) sai. Câu 8. [0D4-1.2-2] Cho hai số x , y dương thoả x y 12 , bất đẳng thức nào sau đây đúng? 2 x y A. xy 6 .B. xy 36 . 2 C. 2xy x2 y2 . D. xy 6 . Lời giải Chọn A x y Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y . Ta có: xy 6 . 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 15
16. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH Câu 9. [0D4-1.2-3] Cho x2 y2 1, gọi S x y . Khi đó ta có A. S 2 .B. S 2 .C. 2 S 2 .D. 1 S 1. Lời giải Chọn C Ta có: 1 x2 y2 2xy 2xy 1. Mặt khác: S 2 x y 2 x2 2xy y2 2 2 S 2 . Câu 10. [0D4-1.2-2] Cho x, y 0 . Tìm bất đẳng thức sai? 2 1 1 4 A. x y 4xy .B. . x y x y 1 4 2 2 2 C. 2 . D. x y 2 x y . xy x y Lời giải Chọn B 1 1 1 1 4 x y 4 đẳng thức xảy ra x y . x y x y x y a b c Câu 11: [0D4-1.2-3] Với a,b,c 0 . Biểu thức P . Mệnh đề nào sau đây b c c a a b đúng? 3 3 4 3 A. 0 P .B. P .C. P .D. P . 2 2 3 2 Lời giải Chọn D 1 1 1 Ta có: P 3 a b c . b c c a a b 1 1 1 9 1 1 1 9 Áp dụng bất đẳng thức suy ra: x y z x y z b c c a a b 2 a b c 9 3 Do đó P 3 P ; đẳng thức xảy ra khi a b c . 2 2 Câu 12. [0D4-1.2-3] Cho a,b 0 và ab a b . Mệnh đề nào sau đây đúng? NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 16
17. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH A. a b 4 .B. a b 4 .C. a b 4. D. a b 4. Lời giải Chọn B a b 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: ab . 4 a b 2 Do đó: ab a b a b 4 a b 2 4 a b 0 a b a b 4 0 a b 4 0 (vì a b 0) a b 4 . 1 a 1 b Câu 13. [0D4-1.2-4] Cho a b 0 và x , y . Mệnh đề nào sau đây 1 a a2 1 b b2 đúng? A. x y .B. x y . C. x y .D. Không so sánh được. Lời giải Chọn B 1 1 1 1 Ta có: a và b . x a 1 y b 1 1 1 1 Suy ra: a b 1 x y a 1 b 1 1 1 Do a b 0 nên a 1 1 và b 1 1 suy ra: 1 1 0 a 1 b 1 a 1 b 1 1 1 1 1 1 1 Vậy 0 do x 0 và y 0 nên x y . x y x y x y Câu 14. [0D4-1.2-3] Cho a, b, c dương. Câu nào sau đây sai ? A. (1 2a)(2a 3b)(3b 1) 48ab . B. (1 2b)(2b 3a)(3a 1) 48ab . 1 1 1 1 1 1 1 C. 2 2 2 . 1 a 1 b 1 c 2 a b c NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 17
18. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH a b c D. 1 1 1 8 . b c a Lời giải Chọn C A đúng khi áp dụng BĐT Cauchy có 1 2a 2 2a ; 2a 3b 2 6ab ; 3b 1 2 3b B đúng khi áp dụng BĐT Cauchy có 1 2b 2 2b ; 2b 3a 2 6ab ; 3a 1 2 3a C sai với a 1,b 2,c 3 . a a b b c c D đúng khi áp dụng BĐT Cauchy có 1 2 ; 1 2 ; 1 2 b b c c a a Câu 15. [0D4-1.2-2] Cho a, b, c dương. Bất đẳng thức nào đúng? 1 1 1 1 1 1 A. (a b c) 3 .B. (a b c) 9 . a b c a b c 1 1 1 1 1 1 C. (a b c) 9 . D. (a b c) 3 . a b c a b c Lời giải Chọn C 1 1 1 1 C đúng vì a b c 33 abc và 33 , nhân vế theo vế ta chọn C . a b c abc Câu 16. [0D4-1.2-2] Cho hai số x, y dương thỏa x y 12 , bất đẳng thức nào sau đây đúng? 2 x y A. 2 xy x y 12 .B. xy 36 . 2 C. 2xy x2 y2 . D. 2 xy x y 12 . Lời giải Chọn A Ta có: x y 2 xy nên A đúng. Câu 17. [0D4-1.2-4] Cho 3 số a, b, c dương. Câu nào sau đây đúng. a b c 2a 2b 2c A. 3.B. 1 . 1 . 1 8 2 . b c a b c a NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 18
19. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH C. 5 a2 b2 3a 4b 5 a2 b2 .D. 2 Câu B và C đúng. Lời giải. Chọn D A. Đúng vì a, b, c dương nên áp dụng BĐT Cô-si ta có: a b c a b c a b c 33 . . 3. Dấu "=" xảy ra khi: a b c. b c a b c a b c a 2a 2b 2c 2a 2b 2c B. Sai vì: 1 . 1 . 1 2 .2 .2 b c a b c a 2a 2b 2c 1 . 1 . 1 16 2 b c a C. Sai vì: 3a 4b 0 . Câu 18: [0D4-1.2-3] Cho a, b dương thỏa mãn a 4b 4. Câu nào sau đây đúng? 16 A. ab 1.B. ab2 . 27 64 C. a2b .D. Cả 3 đáp án trên. 27 Lời giải Chọn D Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương a và 4b ta có : a 4b 2 a.4b 4 4 ab ab 1. A đúng. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương a , 2b và 2b ta có : 3 3 a 2b 2b 2 4 2 16 a.2b.2b 4ab ab . B đúng. 3 3 27 3 a a 4b a a a a 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương , , 4b ta có: . .4b 2 2 2 2 3 3 2 4 2 64 a b a b . C đúng. 3 27 a b c Câu 19. [0D4-1.2-4] Cho a,b,c 0 và P . Khi đó b c c a a b 3 A. 0 P 1. B. 1 P 2 . C. 2 P 3 .D. P . 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 19
20. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH Lời giải Chọn D a b c 1 1 1 Thật vậy P 3 1 1 1 a b c b c c a a b a b b c c a 1 1 1 1 a b b c c a  2 a b b c c a 1 1 9 9 3 33 a b b c c a 33 P 3 2 a b b c c a 2 2 2 Câu 20: [0D4-1.2-4] Cho n số dương a1,a2 ,a3 , ,an thỏa mãn a1a2a3 an 1. Câu nào sau đây đúng ? Cho biết 1.2.3 n n! n 1 A. (1 a1)(1 a2 ) (1 an ) 2 . 2 n B. (1 a1)(4 a2 )(9 a3 ) (n an ) 2 .n!. n C. (1 a1)(1 a2 ) (1 an ) 2 . D. Hai Câu B và C. Lời giải Chọn D Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có : 1 a1 2 a1 1 a2 2 a2 1 an 2 an n n (1 a1)(1 a2 ) (1 an ) 2 a1a2a3 an 2 a1a2a3 an 1 Vậy C đúng. Tương tự áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có : 1 a1 2 a1 4 a2 2.2 a2 9 a2 2.3 a2 2 n an 2n an 2 n n (1 a1)(4 a2 )(9 a3 ) (n an ) 2 .1.2.3 n 2 .n! Kết luận B và C đúng. NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 20
21. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất của biểu thức PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ x 1 2 Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f (x) với x 2 x 2 Lời giải x2 2x 1 1 Ta có f (x) x 2 2 x 2 x 2 1 Do x 2 nên x 2 0, 0 . Áp dụng BĐT côsi ta có x 2 1 1 x 2 2 x 2 . 2 x 2 x 2 Suy ra f x 4 1 2 Đẳng thức xảy ra x 2 x 2 1 x 1(loại) hoặc x 3(thỏa x 2 mãn) Vậy min f x 4 khi và chỉ khi x 3. 3 Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: h x x với x 2 x Lời giải 3 3x x Ta có h x x 4 4 3 3x 3 3x Áp dụng BĐT côsi ta có 2 . 3 x 4 x 4 3 3x x 2 7 Mặt khác x 2 suy ra h x 3 x 4 4 4 2 3 3x Đẳng thức xảy ra x 4 x 2 x 2 7 Vậy min h x khi và chỉ khi x 2 . 2 3 Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x2 ( x 0 ). x2 Lời giải NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 21
22. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH 3 3 Với x 0 thì x2 0 nên y x2 2 x2. 2 3 . x2 x2 Ví dụ 4. Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 3 . Chứng minh rằng a b c 3 . 1 b2 1 c2 1 a2 2 Lời giải Áp dụng BĐT côsi ta có: 2 2 a a 1 b b ab2 ab2 ab a a a 1 b2 1 b2 1 b2 2b 2 b bc c ca Tương tự ta có b và c 1 c2 2 1 a2 2 Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được: a b c ab bc ca ab bc ca a b c 3 1 b2 1 c2 1 a2 2 2 Mặt khác ta có a b c 2 3 ab bc ca ab bc ca 3. a b c 3 3 Do đó 3 ĐPCM. 1 b2 1 c2 1 a2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Ví dụ 5. Cho a,b,c là số dương thỏa mãn 2a 4b 3c2 68. Tìm giá trị nhỏ nhất của A a2 b2 c3 . Phân tích Ta cần đánh giá biểu thức A qua biểu thức 2a 4b 3c2 . Do đó ta sẽ cho thêm vào các tham số vào và đánh giá như sau ( m,n, p dương) c3 c3 a2 m2 2am, b2 n2 2bn và 4 p3 3pc2 2 2 Suy ra a2 b2 c3 m2 n2 4 p3 2am 2bn 3pc (*) Để 2am 2bn 3pc2 có thể bội số của 2a 4b 3c2 thì 2m 2n 3p n m p 2 4 3 2 Mặt khác dấu bằng ở BĐT (*) xảy ra khi a m,b n,c 2 p Hay a m,b 2m,c 2m 2m 4. 2m 3 2m 2 68 17 12m2 10m 68 0 m 2(nhận) hoặc m (loại) 6 Suy ra p 2,n 4 do đó ta có lời giải như sau NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 22
23. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH Lời giải: Áp dụng bĐT côsi ta có c3 c3 a2 4 4a, b2 16 8b và 32 6c2 2 2 Cộng vế với vế ta được a2 b2 c3 52 4a 8b 6c2 , kết hợp với 2a 4b 3c2 68 Suy ra a2 b2 c3 84 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 2,b 4,c 4 Vậy min A 84 a 2,b 4,c 4 . PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [0D4-1.5-2] Cho x , y là hai số thực bất kỳ thỏa và xy 2 . Giá trị nhỏ nhất của A x2 y2 . A. 2 .B. 1.C. 0 .D. 4 . Lời giải Chọn D Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x2 và y2 . Ta có: A x2 y2 2 x2 y2 2 xy 2 4 . Đẳng thức xảy ra x y 2 . 1 Câu 2. [0D4-1.5-2] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 2x với x 0 là x2 A. 1. B. 2 .C. 3 . D. 2 2 . Lời giải Chọn C 1 x 0 2x 0 , 0 . x2 Áp dụng bdt Cosi ta có: 1 1 1 f (x) 2x x x 33 x.x. 3 . x2 x2 x2 1 Dấu “=” xảy ra khi x x x3 1 x 1. x2 x 8 Câu 3. [0D4-1.5-1] Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y với x 0 . 2 x NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 23
24. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH A. 16.B. 8 .C. 4 .D. 2 . Lời giải Chọn C x 8 x 8 Áp dụng BĐT AM-GM, được y 2 . 4 . 2 x 2 x Câu 4. [0D4-1.5-2] Cho x và y thỏa mãn x2 y2 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của T x y . A. 8 và 8 .B. 2 và 2 . C. 2 2 và 2 2 .D. 2 và 2 . Lời giải Chọn C Áp dụng BĐT BCS, được T x y 12 12 x2 y2 2 2 . Câu 5. [0D4-1.5-2] Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 3 x với x ¡ là: 9 3 3 A. .B. .C. 0 .D. . 4 2 2 Lời giải Chọn C 2 x 0  2 Ta có:  x 3 x 0. x 0  Câu 6. [0D4-1.5-2] Cho biểu thức f x 1 x2 . Kết luận nào sau đây đúng? A. Hàm số f x chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất. B. Hàm số f x chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất. C. Hàm số f x có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. D. Hàm số f x không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất. Lời giải Chọn C NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 24
25. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH Ta có: f x 0 và f 1 0; f x 1 và f 0 1. Vậy hàm số f x có giá trị nhỏ nhất bằng 0 và giá trị lớn nhất bằng 1. Câu 7. [0D4-1.5-2] Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x2 5x 6 trên đoạn2;3 . 5 1 1 A. .B. .C. 1.D. . 2 4 2 Lời giải Chọn D 2 1 5 1 1 5 Ta có: y x ,x 2;3 và y x . 4 2 4 4 2 1 x ; 1  0;  1; 2 . 3 1 1 , 2 x 0;  1;6. 3 Câu 8. [0D4-1.5-2] Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x6 8x3 trên đoạn0;2 . A. 8 B. 16.C. 4 .D. 3 4 . Lời giải Chọn B 2 Ta có: y 16 x3 4 16,x 0;2 và y 16 x 3 4 0;2 . 1 Câu 9: [0D4-1.5-3] Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x với x 2 là: x 2 A. 1.B. 2 .C. 3 .D. 4 . Lời giải Chọn D Ta có x 2 x 2 0 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 25
26. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 1 1 P x x 2 2 2 x 2 . 2 4 x 2 x 2 x 2 Vậy GTNN của P 4 1 Dấu bằng xảy ra khi x 2 x 3. x 2 Câu 10. [0D4-1.5-2] Cho x 0 ; y 0 và xy 2 . Gía trị nhỏ nhất của A x2 y2 là: A. 2 . B. 1. C. 0 .D. 4 . Lời giải Chọn D A x2 y2 x y 2 2xy 4 x 0, y 0, xy 2. Câu 11. [0D4-1.5-2] Cho f x x x2 . Kết luận nào sau đây là đúng? 1 1 A. f (x) có giá trị nhỏ nhất bằng . B. f (x) có giá trị lớn nhất bằng . 4 2 1 1 C. f (x) có giá trị nhỏ nhất bằng .D. f (x) có giá trị lớn nhất bằng . 4 4 Lời giải Chọn D 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Ta có: f x x x x 2.x. x . 2 4 4 2 4 4 1 Đẳng thức xảy ra khi x . 2 1 Vậy, f (x) có giá trị lớn nhất bằng . 4 x y 1 Câu 12. [0D4-1.5-3] Với giá trị nào của a thì hệ phương trình có nghiệm (x; y) x y 2a 1 với x.y lớn nhất 1 1 1 A. a .B. a . C. a . D. a 1. 4 2 2 Lời giải NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 26
27. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH Chọn B Hệ phương trình có nghiệm x a , y 1 a 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Ta có: xy a 1 a a a a 2a. a 2 4 4 2 4 4 1 Đẳng thức xảy ra khi a . 2 1 Vậy xy lớn nhất khi a . 2 Câu 13. [0D4-1.5-3] Cho biểu thức P a a với a 0 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? 1 1 A. Giá trị lớn nhất của P là . B. Giá trị nhỏ nhất của P là . 4 4 1 1 C. Giá trị lớn nhất của P là . D. P đạt giá trị nhỏ nhất tại a . 2 4 Lời giải Chọn A 2 1 1 1 1 1 Ta có : P a a a a a a a 4 4 4 2 4 1 1 1 P khi a 0 a . max 4 2 4 2 Câu 14. [0D4-1.5-3] Giá trị lớn nhất của hàm số f x bằng x2 5x 9 11 4 11 8 A. . B. . C. .D. . 4 11 8 11 Lời giải Chọn D 2 Ta có : f x f x đạt giá trị lớn nhất khi A x2 5x 9 đạt giá trị x2 5x 9 nhỏ nhất. 2 2 2 25 11 5 11 11 11 5 A x 5x 9 x 5x x Amin khi x 4 4 2 4 4 4 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 27
28. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH 8 5 Vậy f x đạt giá trị lớn nhất là khi x . 11 2 2a Câu 15. [0D4-1.5-2] Cho a là số thực bất kì, P . Bất đẳng thức nào sau đây đúng với a2 1 mọi a? A. P 1. B. P 1. C. P 1.D. P 1. Lời giải Chọn D 2 2a 2a a2 1 a 1 Cách 1. Xét P 1 1 0 P 1. a2 1 a2 1 a2 1 Vậy, chọn đáp án D. Cách 2. Khi a 1 P 1 loại đáp án A, B và C. x 2 Câu 16. [0D4-1.5-3] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) với x 1 là 2 x 1 5 A. 2 .B. . C. 2 2 . D. 3 . 2 Lời giải Chọn B x 2 x 1 2 1 x 1 2 1 5 Ta có f x 2 . . 2 x 1 2 x 1 2 2 x 1 2 2 x 1 2 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x 3, x 1 . 2 x 1 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là khi x 3. 2 x 2 Câu 17. [0D4-1.5-4] Cho x 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) bằng x 1 2 2 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn A Với x 2 y 0 . x 2 Ta có y y2.x2 x 2 0 , x Nếu y 0 x 2 . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 28
29. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH Nếu y 0 khi đó hàm số đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất khi có nghiệm 1 1 Vậy ta có 0 1 8y2 0 y . 2 2 2 2 2 x 4 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x 8x 16 0 . x 1, ktm 1 Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất y khi x 4 . 2 2 5 Câu 18. [0D4-1.5-3] Cho x, y là những số thực dương thỏa mãn x y . Giá trị nhỏ nhất của biểu 4 4 1 thức P là: x 4y 65 A. 2 .B. 3 .C. 5 .D. . 4 Lời giải Chọn C Áp dụng bất đẳng thức Cauchy schwarz ta có 2 2 1 1 25 2 2 4 1 2 2 2 P 4 5 x 4y x y x y 5 4 1 Dấu bằng xảy ra khi x 1, y . 4 Câu 19. [0D4-1.5-4] Cho 2 số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x y 1. Tìm giá trị 1 nhỏ nhất của biểu thức P xy . xy 17 1 A. .B. 2 .C. 4 .D. . 4 2 Lời giải Chọn A 2 x y 1 Ta có: xy xy 2 4 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 29
30. BẤT ĐẲNG THỨC TLDH 1 Đặt xy t , điều kiện t 4 1 1 15 1 15 1 15 17 Khi đó P t t 2 t. .4 . t 16t 16t 16t 16 2 4 4 x2 5x 3 Câu 20. [0D4-1.5-3] Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y với x 0 . x2 3 5 3 3 5 3 6 5 3 5 3 A. .B. .C. .D. . 3 6 3 6 Lời giải Chọn B x2 5x 3 x x 1 2 3 5 6 5 3 Ta có y 2 1 5. 2 1 5. 1 5. . x 3 x 3 2 x2.3 2 3 2 3 6 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 30