Ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình. Hệ phương trình - Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Nội dung text: Ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình. Hệ phương trình - Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

1. TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN TLDH CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN (CHƯƠNG 3 LỚP 10) PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 2 A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM 2 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 2 Dạng 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 2 Dạng 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 2 Dạng 3: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 2 Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 1
2. TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN TLDH A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax + by = c (1) trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0. CHÚ Ý Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c. Nếu c ¹ 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số (x0 ; y0 ) đều là nghiệm. a c Khi b ¹ 0, phương trình ax + by = c trở thành y = - x + (2) b b Cặp số (x0 ; y0 ) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm M (x0 ; y0 ) thuộc đường thẳng (2). Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy. II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là ïì ax + by = c íï (I) îï a ' x + b' y = c ' Trong đó x, y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số. Ta đặt D ab' a'b, Dx cb' c'b, Dy ac' a'c Nếu D 0,Dx 0 hoặc Dy 0 thì hệ phương trình (I) vô nghiệm Nếu D Dx Dy 0 thì hệ phương trình (I) có vô số nghiệm. Tập nghiệm của hệ (I) trùng với tập nghiệm của phương trình ax by c Dx Dy Nếu D ¹ 0thì hệ phương trình (I) có nghiệm là x; y ; D D III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là ax + by + cz = d, trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là ì a x + b y + c z = d ï 1 1 1 1 ï í a2 x + b2 y + c2 z = d2 (4) ï îï a3 x + b3 y + c3 z = d3 Trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số. Mỗi bộ ba số (x0 ; y0 ;z0 ) nghiệm đúng ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (4). . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 2
3. TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN TLDH B. PHÂN LOẠI BÀI TẬP Dạng 1: Giải và biện luận phương trình bậc nhất hai ẩn PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho phương trình 5x 10y 2 0 , tìm cặp nghiệm thỏa mãn phương trình biết x 1 Lời giải 3 Với x 1, thay vào phương trình ta có 5.1 10y 2 0 y 10 3 Vậy phương trình có nghiệm là x; y 1; 10 Ví dụ 2. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình 4x 2y 1 là Lời giải 1 1 1 Từ phương trình 4x 2y 1 y 2x ; x ¡ hoặc 4x 2y 1 x y ; y ¡ 2 2 4 PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM. Câu 1. [0D3-3.1-1] Cho phương trình 2x 10y 2 0 , cặp nghiệm nào là nghiệm của phương trình trên A. x; y 6; 1 . B. x; y 6;1 . C. x; y 1; 6 . D. x; y 1;6 Lời giải Chọn A Thay x 6; y 1 vào phương trình ta có 2.6 10.1 2 0, thỏa mãn phương trình. Câu 2. [0D3-3.1-2] Công thức nghiệm tổng quát của phương trình 3x y 3 là x ¡ x ¡ x ¡ x ¡ A. . B. . C. . D. y 3x 3 y 3x 3 y x 3 y 3x 1 Lời giải Chọn A Từ phương trình 3x y 3 y 3x 3 . Câu 3. [0D3-3.1-2] Công thức nghiệm của phương trình 3x 2y 4 x ¡ x ¡ x ¡ x ¡ A. . B. 3 . C. 3 . D. 3 y 3x 4 y x 4 y x 2 y x 4 2 2 2 Lời giải Chọn C 3 Từ phương trình 3x 2y 4 y x 2 . 2 Câu 4. [0D3-3.1-2] Cho phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c 0;a2 b2 0 , với điều kiện nào của a,b,c thì tập hợp nghiệm x; y của phương trình trên luôn là đường thẳng qua gốc tọa độ A. c 0 . B. a 0 . C. b 0 . D. a.b 0 Lời giải Chọn A NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 3
4. TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN TLDH Phương trình ax by c 0có tập hợp nghiệm là đường thẳng ax by c 0đi qua gốc tọa độ x; y 0;0 là nghiệm của phương trình a.0 b.0 c 0 c 0 . Câu 5. [0D3-3.1-2] Cho phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c 0;a2 b2 0 , với điều kiện nào của a,b,c thì tập hợp nghiệm x; y của phương trình trên luôn là đường thẳng song song với trục Ox A. c 0 . B. a 0,b 0 . C. b 0 . D. c.b 0 Lời giải Chọn B Phương trình ax by c 0có tập hợp nghiệm là đường thẳng ax by c 0song song với trục Ox a 0 . Câu 6. [0D3-3.1-2] Cho phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c 0;a2 b2 0 , với điều kiện nào của a,b,c thì tập hợp nghiệm x; y của phương trình trên luôn là đường thẳng song song với trục Oy A. c 0 . B. b 0,a 0. C. b 0 . D. c.b 0 Lời giải Chọn B Phương trình ax by c 0có tập hợp nghiệm là đường thẳng ax by c 0song song với trục Oy b 0 . Dạng 2: Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ 5x 4y 3 Ví dụ 1Giải hệ phương trình 7x 9y 8 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số 5 x 5x 4y 3 35x 28y 21 35x 28y 21 17 7x 9y 8 35x 45y 40 17y 19 19 y 17 Giải hệ phương trình bằng phương pháp tính định thức 5 4 D 45 28 17 7 9 3 4 D 27 32 5 X 8 9 5 3 D 40 21 19 Y 7 8 5 19 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y ; 17 17 3x y 1 Ví dụ 2Giải hệ phương trình 5x 2y 3 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 4
5. TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN TLDH Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số 5x 4y 3 35x 28y 21 7x 9y 8 35x 45y 40 7x 9y 8 Giải hệ phương trình bằng phương pháp tính định thức 3 5 D 6 5 5 2 1 1 D 2 3 x 3 2 3 1 Dy 3 5 2 5 3 2 3 2 2 2 3 3 2 6 10 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y ; ; 5 6 5 6 19 19 4x 2y 6 Ví dụ 3Giải hệ phương trình 2x y 8 Giải hệ phương trình bằng phương pháp tính định thức 4 2 D 4 4 0 2 1 6 2 D 6 6 0 x 3 1 4 6 D 12 12 9 y 2 3 Vậy D Dx Dy 0, hệ có vô số nghiệm x my 3m Ví dụ 4. Giải và biện luận hệ phương trinh mx y 2m 1 1 m D 1 m2 m 1 3m m D 2m2 2m 2m 1 m x 2m 1 1 1 3m D 3m2 2m 1 3m 1 1 m y m 2m 1 Nếu D 0 1 m2 0 m 1 D 2m 1 m 2m Dy 3m 1 1 m 3m 1 x x ; y D 1 m2 1 m D 1 m2 1 m 2m 3m 1 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là x; y ; 1 m 1 m Nếu D 0 1 m2 0 m 1 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 5
6. TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN TLDH m 1 ta có Dx Dy 0 Hệ phương trình có vô số nghiệm m 1 ta có Dx 4 Hệ phương trình vô nghiệm mx 1y 1 Ví dụ 5Tìm m để hệ sau có một nghiệm nguyên duy nhất x my 2 1 m D 1 m2 m 1 1 1 D m 2 x 2 m m 1 D 2m 2 x 1 2 Để hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: D 0 1 m2 0 m 1 m 2 2m 1 Khi đó ta có x; y 2 ; 2 m 1 m 1 m 2 2m 1 3 Nếu x, y ¢ x y ¢ ¢ m2 1 m2 1 m 1 m 1 1 m 0 m 1 1 m 2 m 1 3 m 2 m 1 3 m 4 Thử lại: m 0 x; y 2;1 (chọn) 4 5 m 2 x; y ; (loại) 3 3 m 2 x; y 0;1 (chọn) 2 3 m 0 x; y ; (loại) 5 5 Vậy m 0;m 2. 2x y 1 Câu 7. [0D3-3.2-1] Nghiệm của hệ: là: 3x 2y 2 A. 2 2;2 2 3 B. 2 2;2 2 3 C. 2 2;3 2 2 . D 2 2;2 2 3 . Lời giải. Chọn C 2x 3y 5 Câu 8. [0D3-3.2-1] Chọn hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm x; y : 4x 6y 10 A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 6
7. TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN TLDH Lời giải Chọn D 2x 3y 5 4x 6y 10 hệ có vô số nghiệm 4x 6y 10 4x 6y 10 2 1 x y 2 1 Câu 9. [0D3-3.2-1] Nghiệm của hệ phương trình là: 2x 2 1 y 2 2 1 1 A. 1; B. 1; C. 1;2 . D. 1; 2 . 2 2 Lời giải Chọn D 2x 4y 2 Câu 10. [0D3-3.2-2] Cho hệ phương trình số nghiệm của hệ phương trình trên là 10x 20y 9 A. 1 nghiệm. B. Vô số nghiệm. C. Vô nghiệm. D. 2 nghiệm Lời giải Chọn C 2x 4y 2 10x 20y 10 hệ phương trình vô nghiệm 10x 20y 9 10x 20y 9 mx 4y m 2 Câu 11. [0D3-3.2-2] Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất x my m A. m 2 . B. m 2 . C. m 0 . D. m 1 Lời giải Chọn A m 4 Để hệ có nghiệm duy nhất: D m2 4 0 m 2 . 1 m mx 4y 6 Câu 12. [0D3-3.2-3] Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất sao cho x 0; y 0 x my 3 A. m 2;m 2 . B. m 2;m 2. C. m 2 . D. m 2;m 4 Lời giải Chọn B 2 Ta có D m 4; Dx 6m 12; Dy 3m 6 6 x m 2 Để hệ có nghiệm duy nhất D 0 m 2 , hệ có nghiệm là 3 y m 2 6 0 x 0 m 2 Điều kiện m 2 0 m 2 y 0 3 0 m 2 Vậy m 2;m 2. NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 7
8. TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN TLDH Câu 13. [0D3-3.2-2] Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau trùng nhau 2 d1 : m –1 x – y 2m 5 0 và d2 :3x – y 1 0 A. m 2. . B. m 2. . C. m 2 hay m 2. .D. Không có giá trị m Lời giải. Chọn A 2 m –1 x – y 2m 5 Để hai đường thẳng trùng nhau thì hệ sau có vô số nghiệm 3x – y 1 D m2 4 0 m 2 3x – y 9 Với m 2 , hệ phương trình vô nghiệm m 2 loại. 3x – y 1 3x – y 1 Với m 2 , hệ phương trình có vô số nghiệm m 2 chọn . 3x – y 1 mx y m 1 Câu 14. [0D3-3.2-2] Tìm m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm 9x my 12 A. m 3 . B. m 3 . C. m 3 . D. m 3 Lời giải Chọn A 2 2 Ta có D m 9; Dx m m 12;D y 3m 9 Để hệ vô nghiệm: D m2 9 0 m 3 m 3 Dx Dy 0 hệ có vô số nghiệm m 3 Dx 6;Dy 18 hệ vô nghiệm. Câu 15. [0D3-3.2-2] Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 2 2 2 m 1 x m m 2 y m 2m 3 m 1 x m 1 y m 1 A. m 0 . B. m 1 . C. m 1. D. m ¡ Lời giải Chọn B 2 2 m 1 m m 2 2 D m 1 m 1 m 1 Để hệ phương trình có hệ duy nhất D 0 x 1 2 0 x 1. mx m 4 y 2 Câu 16. [0D3-3.2-2] Cho hệ phương trình: . Để hệ này vô nghiệm, điều kiện cho m x y 1 y tham số m là A. m 0 . B. m 1 hay m 2. . 1 C. m 1 hay m . D. Không tồn tại m thỏa mãn 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 8
9. TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN TLDH Lời giải Chọn A m m 4 Ta có D m m 1 m m 4 0 m 0 m m 1 4y 2 Với m 0 hệ phương trình trở thành , hệ có vô số nghiệm. 2y 1 2x y m2 m Câu 17. [0D3-3.2-3] Cho hệ phương trình . Hệ phương trình có một nghiệm x; y 3x y 1 duy nhất sao cho x y nhỏ nhất, tính gía trị nhỏ nhất của x; y 3 3 1 1 A. . B. . C. . D. 2 2 2 2 Lời giải Chọn B 2 2 2 2 Ta có D 1; Dx m m 1;D y 3m 3m 2 x; y m m 1;3m 3m 2 2 2 2 2 1 3 3 x y m m 1 3m 3m 2 2m 2m 1 2 m 2 2 2 3 1 Vậy x y có giá trị nhỏ nhất là khi m . 2 2 mx y m Câu 18. [0D3-3.2-2] Cho hệ phương trình Tìm m để hệ phương trình có nghiệm m 2 x my 1 duy nhất A. m 1;m 2 . B. m 1;m 2 . C. m 1;m 2 . D. m 1;m 2 Lời giải Chọn B Ta có D m2 m 2 0 m 2  m 1 Câu 19. [0D3-3.2-2] Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau trùng nhau 2 d1 : m –1 x – y 2m 5 0 và d2 :3x – y 1 0 A. m 2. . B. m 2 C. m 2 hay m 2. .D. Không có giá trị m . Lời giải Chọn A m2 1 1 2m 5 Ta có : Hai đường thẳng d và d trùng nhau khi 1 2 3 1 1 m2 1 3 m 2 m 2 . 2m 5 1 m 2 2 x 2 3 y 1 19 Câu 20. [0D3-3.2-3] Cho hệ phương trình có nghiệm x; y , tính giá trị x.y x 2 y 1 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 9
10. TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN TLDH A. 15. B. 10 . C. 230. D. 225 Lời giải Chọn C 2a 3b 19 a 5 x 23 Đặt x 2 a; y 1 b a,b 0 ta có hệ phươn trình . a b 2 b 2 y 10 x y 3m Câu 21. [0D3-3.2-3] Hệ phương trình , với m;n tương ứng, hệ có nghiệm, x; y 6;3 x ny 1 m , tính m.n A. 8. B. 8 . C. 3. D. 3 Lời giải Chọn B Vì x; y 6;3 là nghiệm của hệ phương trình nên ta có m 3 x y 3m 3m 9 8 m.n 8 . x ny 1 m m 3n 5 n 3 mx 5y 6n 11 Câu 22. [0D3-3.2-3] Với các giá trị m;n thì hệ phương trình có nghiệm 4x ny 7 5m x; y 3;2 . Tính giá trị m n A. 4. B. 5. C. 6. D. 7 Lời giải Chọn B Vì x; y 3;2 là nghiệm của hệ phương trình nên ta có 3m 10 6n 11 3m 6n 21 m 3 m n 5 12 2n 7 5m 5m 2n 19 n 2 . x 1 y 0 Câu 23. [0D3-3.2-2] Hệ phương trình: có nghiệm là? 2x y 5 A. x; y 2; 1 . B. x; y 2; 1 ; x; y 4;3 . C. x; y 4;3 . D. x; y 4;3 Lời giải Chọn A x 1 y 0 x y 1 x 2 Với x 1 ta có hệ phương trình (Chọn) 2x y 5 2x y 5 y 1 x 1 y 0 x y 1 x 4 Với x 1 ta có hệ phương trình (Loại). 2x y 5 2x y 5 y 3 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 10
11. TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN TLDH 2 3 13 x y Câu 24. [0D3-3.2-2] Hệ phương trình có nghiệm là: 3 2 12 x y 1 1 1 1 A. x ; y B. x 2; y 3 C. x ; y D. Hệ vô nghiệm. 2 3 2 3 Lời giải Chọn A ax y a2 Câu 25. [0D3-3.2-2] Tìm a để hệ phương trình vô nghiệm: x ay 1 A. a 1. B. a 1 hoặc a 1. C. a 1. D. Không có a . Lời giải Chọn C 2 3 2 Ta có : D a 1, Dx a 1, Dy a a Hệ phương trình vô nghiệm D 0 a 1 a 1 Dx Dy 0 Hệ phương trình vô số nghiệm. a 1 Dx 2 Hệ phương trình vô nghiệm. 2x y 2 a Câu 26. [0D3-3.2-2] Cho hệ phương trình: . Các giá trị thích hợp của tham số a để tổng x 2y a 1 bình phương hai nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất: 1 1 A. a 1. B. a 1. C. a . D. a . 2 2 Lời giải Chọn C 5 a x 2x y 2 a 4x 2y 4 2a 5 Ta có : x 2y a 1 x 2y a 1 3a y 5 2 2 5 a 9a2 10a2 10a 25 1 1 1 9 9 x2 y2 2a2 2a 5 2a 5 25 25 5 5 2 2 10 1 Đẳng thức xảy ra khi a . 2 mx (m 2)y 5 Câu 27. Cho hệ phương trình: . Để hệ phương trình có nghiệm âm, giá trị cần tìm x my 2m 3 của tham số m là : 5 5 A. m 2 hay m . B. 2 m . 2 2 5 5 C. m hay m 2. D. m 1. 2 2 Lời giải NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 11
12. TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN TLDH Chọn D 2 2 2 Ta có : D m m 2 , Dx 2m 2m 6 , Dy 2m 3m 5 Hệ phương trình có nghiệm khi D 0 m 1;m 2 2m2 2m 6 2m2 3m 5 Hệ có nghiệm x , y m2 m 2 m2 m 2 m2 m 2 0 m 1 5 Hệ phương trình có nghiệm âm khi  m 1 2 2m 3m 5 0 m 2 2 5 m 1. 2 Câu 28. [0D3-3.2-2] Xác định m để ba phương trình sau đây có duy nhất một nghiệm chung 7 x 2y 3 0;2x y 0; x y m 0 2 5 3 3 5 m m m m 2 2 2 A. 2 . B. . B. C, Lời giải Chọn B x 2y 3 0 x 2 Giải hệ gồm hai phương trình 7 1 2x y 0 y 2 2 Để ba phương trình có duy nhất một nghiệm chung thì phương trình x y m 0 phải có một 1 nghiệm duy nhất. x; y 2; , thay vào phương trình 2 1 5 x y m 0 2 m 0 m . 2 2 Câu 29. [0D3-3.2-3] Cho biểu thức P x 2y 1 2 2x y 5 2 , P đạt giá trị nhỏ nhất tại x; y , tính giá trị x y 14 14 A. . B. . C. 0. D. 2 5 5 Lời giải Chọn B 2 x 2y 1 0 Ta có P 0 , P đạt giá trị nhỏ nhất 2 P 0 2x y 5 0 11 2 x x 2y 1 0 x 2y 1 0 5 . 2 2x y 5 0 3 2x y 5 0 y 5 Câu 30. [0D3-3.2-3] Cho biểu thức P x 2y 1 2 2x 4y 5 2 ,Tìm giá trị nhỏ nhất của P NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 12
13. TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN TLDH 9 A. 2 . B. 1. C. 0. D. 5 Lời giải Chọn D 2 x 2y 1 0 x 2y 1 0 Ta có Hệ phương trình vô nghiệm. 2 2x 4y 5 0 2x 4y 5 0 2 2 2 2 6 9 9 t x 2y 1 2x 4y 5 2t 3 P t 2t 3 5t 12t 9 5t 5 5 5 9 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là 5 . m x m 1 y 2 m 1 Câu 31. [0D3-3.2-3] Cho hệ phương trình sau Tìm m để hệ có một m 3 x 2 y 2 2m 4 nghiệm duy nhất A. m 1;m 3 . B. m 1;m 3. C. m 1;m 3 . D. m 1;m 3 Lời giải Chọn A Ta thấy nếu hệ có nghiệm x; y thì x; y cũng là nghiệm của hệ. Vậy để hệ có một nghiệm duy nhất x; y thì x 0 m 1 m 2 m 1 2 m 4m 3 0 m 1;m 3. y 2 m 2 Câu 32. [0D3-3.2-2] Cho hai đường thẳng d1 : m 1 x y 5;d2 : 2x my 10 , giá trị của m để hai đường thẳng cắt nhau A. m 1. B. m 2 . C. m 1;m 2 . D. m 1 Lời giải Chọn C m 1 x y 5 Tọa độ giao điểm của d1;d2 là nghiệm của hệ phương trình , để hai đường 2x my 10 thẳng cắt nhau thì hệ phương trình trên có một nghiệm duy nhất m 1 1 D m m 1 2 0 m 1;m 2 . 2 m Dạng 3: Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất ba ẩn PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ 2x y z 7 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình x 2y z 8 x y 2z 9 Cộng vế theo vế 3 phương trình ta có x y z 6 mà 2x y z 7 x 1; y 2;z 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y; z 1;2;3 Ví dụ 2. Tìm m để hệ phương trình sau có một nghiệm duy nhất và tìm nghiêm NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 13
14. TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN TLDH x y (m 1) z 2 1 3x 4y 2z m 1 2 3x 2y z 1 3 Từ 3 : z 2x 3y 1, thay vào 1 ; 2 ta có x y m 1 2x 3y 1 2 2m 3 x 3m 4 y m 3 3x 4y 2 2x 3y 1 m 1 7x 10y m 1 D 2 m, Dx 3 m 3 2 m , Dy 2 m 3 2 m , Để hệ có nghiệm duy nhất D 0 m 2 . Khi đó nghiệm duy nhất của hệ là D D x x 3m 9; y y 2m 6, z 1. D D PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM. ïì x + y + z = 11 ï Câu 33. [0D3-3.3-1] Nghiệm của hệ phương trình íï 2x - y + z = 5 là: ï îï 3x + 2y + z = 24 A. (x; y; z)= (5;3;3) B. (x; y; z)= (4;5;2). C. (x; y; z)= (2;4;5). . D. (x; y; z)= (3;5;3). Lời giải Chọn B 2x y 4 Câu 34. [0D3-3.3-1] Hệ phương trình: x 2z 1 2 2 có nghiệm là? y z 2 2 A. 1;2;2 2 . B. 2;0; 2 . C. 1;6; 2 D. 1;2; 2 . Lời giải Chọn D Ta có : Thế y 4 2x vào phương trình y z 2 2 ta được 2x z 2 2 2x z 2 2 Giải hệ ta được x 1; z 2 y 2 . x 2z 1 2 2 ïì x + 2y = 1 ï Câu 35. [0D3-3.3-1] Nghiệm của hệ phương trình íï y + 2z = 2 là ï îï z + 2x = 3 ïì x = 0 ïì x = 1 ïì x = 1 ïì x = 1 ï ï ï ï A. íï y = 1. . B. íï y = 1. . C. íï y = 1. . D. íï y = 0. ï ï ï ï îï z = 1 îï z = 0 îï z = 1 îï z = 1 Lời giải Chọn D Câu 36. [0D3-3.3-2] Bộ (x; y;z)= (2;- 1;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ? ïì x + 3y - 2z = - 3 ïì 2x- y - z = 1 ïì 3x- y - z = 1 ïì x + y + z = - 2 ï ï ï ï A. íï 2x- y + z = 6 . . B. íï 2x + 6y - 4z = - 6. C. íï x + y + z = 2 . . D. íï 2x- y + z = 6 . ï ï ï ï îï 5x- 2y - 3z = 9 îï x + 2y = 5 îï x- y - z = 0 îï 10x- 4y - z = 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 14
15. TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN TLDH Lời giải Chọn A 1 2 3 5 x y z 1 2 1 Câu 37. [0D3-3.3-2] Cho hệ phương trình 6 . Hệ có nghiệm là x y z 1 2 1 1 x y z 3 7 2 1 2 A. x; y; z ; 2; . B. x; y; z ; ; . 2 2 3 2 7 2 7 3 1 2 C. x; y; z ;2; . D. x; y; z ; ; . 3 2 2 2 7 Lời giải Chọn B Câu 38. [0D3-3.3-2] Bộ (x; y;z)= (1;0;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ? ïì 2x + 3y + 6z - 10 = 0 ïì x + 7y - z = - 2 ïì 2x- y - z = 1 ïì x + 2y + z = - 2 ï ï ï ï A. íï x + y + z = - 5 . B. íï - 5x + y + z = 1. C. íï x + y + z = 2 . . D. íï x- y + z = 4 . ï ï ï ï îï y + 4z = - 17 îï x- y + 2z = 0 îï - x + y - z = - 2 îï - x- 4y - z = 5 Lời giải Chọn C ì ï 3x + y - 3z = 1 ï Gọi (x0 ; yo ;z0 ) là nghiệm của hệ phương trình í x - y + 2z = 2 . Tính giá trị của Câu 39. [0D3-3.3-2] ï îï - x + 2y + 2z = 3 2 2 2 biểu thức P = x0 + y0 + z0 . A. P = 1. . B. P = 2. . C. P = 3 . D. P = 14. Lời giải Chọn C ì ì ï 3x + y - 3z = 1 ï x = 1 ï ï 2 2 2 í x - y + 2z = 2 Û í y = 1 Þ P = x0 + y0 + z0 = 3 ï ï îï - x + 2y + 2z = 3 îï z = 1 ïì x + y + z = 11 ï Gọi x ; y ;z là nghiệm của hệ phương trình ï 2x - y + z = 5 . Tính giá trị của Câu 40. [0D3-3.3-2] ( 0 o 0 ) í ï îï 3x + 2y + z = 24 biểu thức P = x0 y0 z0 . A. P = - 40. B. P = 40. C. P = 1200. D. P = - 1200. Lời giải Chọn B Hệ phương trình có nghiệm x; y; z 4;5;2 x.y.z 40 . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 15
16. TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN TLDH mx (m 1)y 3m Câu 41. [0D3-3.3-3] Cho hệ phương trình: x 2my m 2 . Để hệ phương trình có nghiệm, giá trị x 2y 4 thích hợp của tham số m là 5 5 2 2 A. m . . B. m C. m . . D. m . 2 2 5 5 Lời giải Chọn C 2 2 2 Ta có : D 2m m 1, Dx 5m 3m 2 , Dy m m 1 Hệ phương trình có nghiệm khi D 0 m 1;m 2 D 5m 2 D m Nghiệm của hệ là x x ; y y D 2m 1 D 2m 1 5m 2 2m 2 Thế vào phương trình x 2y 4 ta được 4 m . 2m 1 2m 1 5 x y 1 xy y z 1 Câu 42. [0D3-3.3-3] Tổng 3 nghiệm x y z của hệ phương trình sau yz 3 x z 1 z 2 276 11 11 1 A. . B. . C. . D. 35 12 12 12 Lời giải Chọn A x y 1 1 1 1 1 xy y x y z 1 1 1 1 Hệ được viết lại như sau 2 , cộng vế theo vế cả ba phương trình ta được yz 3 y z 3 x z 1 1 1 1 3 z 2 z x 2 1 1 1 11 4 y x z 12 1 1 1 7 1 5 12 12 Từ 4 ; 1 ; x; y;z ; ; 12 z 12 x 12 y 12 7 5 . mx (m 1)y 3m Câu 43. [0D3-3.3-3] Cho hệ phương trình: x 2my m 2 . Để hệ phương trình có nghiệm, giá trị x 2y 4 thích hợp của tham số m là NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 16
17. TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN TLDH 5 5 2 2 A. m . . B. m C. m . D. m . 2 2 5 5 Lời giải Chọn C 2 2 2 Ta có : D 2m m 1, Dx 5m 3m 2 , Dy m m 1 Hệ phương trình có nghiệm khi D 0 m 1;m 2 D 5m 2 D m Nghiệm của hệ là x x ; y y D 2m 1 D 2m 1 5m 2 2m 2 Thế vào phương trình x 2y 4 ta được 4 m . 2m 1 2m 1 5 Dạng 4: Các bài toán thực tế. Câu 44. [0D3-3.5-2] Hai người thợ làm chung một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm tiếp trong 6 giờ thì xong được 25% công việc. Người thợ thứ nhất nếu làm một mình thì mất bao lâu A. 24. B. 48. C. 12. D. 56 Lời giải Chọn A Gọi thời gian người thứ nhất, người thứ hai làm một mình xong công việc lần lượt là 1 1 x, y x, y 0 . Trong 1 giờ người thứ nhất, người thứ hai lần lượt làm được ; (công việc) x y Hai người thợ làm chung một công việc trong 16 giờ thì xong: Người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm tiếp trong 6 giờ thì xong được 25% công 3 6 1 việc: x y 4 1 1 1 1 1 x y 16 x 24 x 24 Ta có hệ phương trình: 3 6 1 1 1 y 48 . x y 4 y 48 Câu 45. [0D3-3.5-2] Có hai dây chuyển sản xuất quần áo A và. B. Ngày thứ nhất cả hai dây chuyền sản xuất được 930 sản phẩm. Ngày thứ hai, dây chuyển A tăng 18% công suất, dây chuyền tăng 15% công suất, cả hai dây chuyền sản xuất được 1083 sản phẩm. Hỏi dây chuyển A sản xuất được bao nhiêu sản phẩm trong ngày đầu tiên A. 450. B. 480. C. 460. D. 470 Lời giải Chọn B Gọi số sản phẩm dây chuyền A và B sản xuất trong ngày đầu lần lượt là x, y; x, y ¥ Ta có phương trình x y 930 Dây chuyền tăng 15% công suất, cả hai dây chuyền sản xuất được 1083 sản phẩm: 1,15x 1,18y 1083 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 17
18. TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN TLDH Ta có hệ phương trình. x y 930 x 480 . 1,15x 1,18y 1083 y 450 Câu 46. [0D3-3.5-2] Một người dự định đi từ A đến B với thời gian đã định. Nếu người đó tăng tốc thêm 10km / h thì đến B sớm hơn dự định 1h , nếu người đó giảm vận tốc đi 10km / h thì đến B trễ hơn sự định 2h . Tính độ dài quãng đường AB A. 120km . B. 150km . C. 140km . D. 75km Lời giải Chọn A Gọi vận tốc dự định là x km / h x 0 , thời gian dự định là y h y 0 Độ dài quãng đường AB là x.y Nếu người đó tăng tốc thêm 10km / h thì đến B sớm hơn dự định 1h : x 10 y 1 xy x 10y 10 nếu người đó giảm vận tốc đi 10km / h thì đến B trễ hơn sự định 2h x 10 y 2 xy 2x 10y 20 x 10y 10 x 30 Ta có hệ phương trình AB x.y 120 . 2x 10y 20 y 4 4 Câu 47. [0D3-3.5-2] Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 4 giờ đầy bể. Mỗi giờ lượng nước 5 1 chảy được của vòi I bằng 1 lượng nước chảy được của vòi II. Hỏi vòi I chảy riêng thì bao lâu 2 đầy bể A. 7 giờ. B. 8 giờ. C. 9 giờ. D. 6 giờ Lời giải Chọn B 1 3 1 Gọi thời gian vòi I, vòi II chảy riêng một mình đầy bể lần lượt là . x 2 y 1 1 Trong 1 giờ vòi I, vòi II chảy được ; (bể) x y 1 1 4 Hai vòi chảy chung: .4 1 x y 5 1 1 3 1 Mỗi giờ lượng nước chảy được của vòi I bằng 1 lượng nước chảy được của vòi II . 2 x 2 y 1 1 4 1 1 .4 1 x y 5 x 8 x 8 Ta có hệ phương trình: . 1 3 1 1 1 y 12 . 0 x 2 y y 12 Câu 48. [0D3-3.5-3] Có ba chiếc xe tải chở hàng, lượng hàng sẽ được chở hết nếu cả ba xe mỗi xe đều chở 8 chuyến. Lượng hàng cũng được chở hết nếu xe thứ nhất chở 4 chuyến, xe thứ hai chở 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 18
19. TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN TLDH chuyến, xe thứ ba chở 16 chuyến. Nếu xe thứ nhất chở 6 chuyến, xe thứ ba chở 12 chuyến thì xe thứ hai phải chở bao nhiêu chuyến để hết số hàng? A. 2 chuyến. B. 3 chuyến. C. 10 chuyến. D. 8 chuyến Lời giải Chọn B Gọi số hàng xe thứ nhất, thứ hai, thứ ba chở được tương ứng là x; y; z x; y; z 0 , Gọi số chuyến xe gtbthứ hai chở được ở lần cuối cùng là m m 0 8x 8y 8z 1 1 Ta có hệ phương trình 4x 2y 16z 1 2 6x my 12z 1 3 Nhân 2 với 2, trừ đi 1 ta có 2 4x 2y 16z 8x 8y 8z 1.2 1 y 1 7y 1 4y 24z 1 z x , thay vào 3 ta được 6 24 6 12 7y 1 y 1 6x my 12z 1 6 my 12 1 5y my 0 m 5 . 6 12 6 24 Câu 49. [0D3-3.5-3] Tìm độ dài hai cạnh của một tam giác vuông, biết rằng: Khi ta tăng mỗi cạnh 2cm thì diện tích tăng 17 cm2 ; khi ta giảm chiều dài cạnh này 3cm và cạnh kia 1cm thì diện tích giảm 11cm2. Đáp án đúng là: A. 5cm và 10cm. B. 4cm và 7cm. C. 2cm và 3cm. D. 5cm và 6cm Lời giải Chọn A Gọi hai cạnh của tam giác vuông lần lượt là x; y , khi đó diện tích tam giác vuông là x.y Khi tăng chiều dài mỗi cạnh lên 2 cm, diện tích tăng 17 cm2 : 1 1 x 2 y 2 xy 17 x y 15 2 2 Khi giảm chiều dài cạnh này 3cm và cạnh kia 1cm thì diện tích giảm 11cm2: 1 1 x 3 y 1 xy 11 x 3y 25 2 2 x 3y 25 Ta được hệ phương trình x y 15 . Câu 50. [0D3-3.5-3] Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250m. Tìm chiều dài và chiều rộng của thử ruộng biết rằng khi ta giảm chiều dài 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi. Đáp án đúng là: A. 32 m và 25 m. B. 75 m và 50 m. C. 50 m và 45 m. D. 60 m và 40 m Lời giải Chọn B Gọi chiều dài và chiều rộng của thửa ruộng lần lượt là x, y x, y 0 Chu vi hình chữ nhật là 250: x y 125 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 19
20. TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN TLDH Nếu giảm chiều dài 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi: x 2y 125 3 x y 125 x 75 Ta có hệ phương trình x 2y 125 y 50 3 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 20