Đề thi đề xuất chọn học sinh giỏi chuyên Toán Lớp 10 - Năm học 2013-2014 - Sở giáo dục và đào tạo Vĩnh Phúc

Nội dung text: Đề thi đề xuất chọn học sinh giỏi chuyên Toán Lớp 10 - Năm học 2013-2014 - Sở giáo dục và đào tạo Vĩnh Phúc

1. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI HSG THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn: TOÁN 10 (Dành cho học sinh THPT Chuyên) ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian phát đề) Ngày thi: Câu 1. Tìm tất cả các hàm số f x xác định trên tập số thực, nhận mọi giá trị thực và thỏa mãn 2 f xf x f y f x y x, y ¡ Câu 2. Xét 2014 số thực không âm x1, x2 ,, x2014 thỏa mãn xk xk 1 xk 2 1 k 1,2, ,2014 (phép cộng ở đây lấy theo modulo 2014). Tìm giá trị lớn nhất có thể được của tổng S x1x3 x2 x4 x3x5 x4 x6 L x2013x1 x2014 x2. Câu 3. Trong mặt phẳng cho trước đường tròn O và một điểm P không nằm trên đường tròn. Hai đường thẳng d và d tùy ý đi qua P, theo thứ tự cắt O tại các điểm X , X và Y,Y . Các đường tròn PXX , PYY cắt nhau tại điểm thứ hai Q. Gọi Px ,Py theo thứ tự là các điểm xuyên tâm đối của P trên các đường tròn PXX , PYY . Gọi Ox ,Oy tương ứng là tâm của các đường tròn PXX , PYY . 1. Chứng minh rằng các điểm Q,Px ,Py cùng nằm trên một đường thẳng. 2. Gọi M là trung điểm của XY,M là trung điểm của X Y . Chứng minh rằng các điểm P,Q,M ,M và O cùng nằm trên một đường tròn. 3. Chứng minh rằng O cách đều Px ,Py . Câu 4. Xét tập hợp S x2 x | x ¥ *. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương k 2 tồn tại một tập con gồm k 1 phần tử của S mà có một tử bằng tổng k phần tử còn lại. Câu 5. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n 1, số 2n 1 11 33 55 77 99  2n 1 chia hết cho 2n nhưng không chia hết cho 2n 1. HẾT Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . Số báo danh