›
›
›

Công phá Toán Lớp 10 - Câu 91-120 (Có lời giải)

doc 52 trang nhungbui22 11/08/2022 3960
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Công phá Toán Lớp 10 - Câu 91-120 (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doccong_pha_toan_lop_10_cau_91_120_co_loi_giai.doc

Nội dung text: Công phá Toán Lớp 10 - Câu 91-120 (Có lời giải)

  1. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing - Đáp án C: x2 3x x 0 x2 x 3 3x x 3 x 3 S 3 S . x 3 0 x 3 3  0 x 3 x 3 - Đáp án D: 2 2 2 x 0 x x 1 3x x 1 S4 0;3 S0 . x 3 Đáp án D. Ví dụ 3: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 3x x 2 x2 3x x2 x 2 B. 3x x 2 x2 x 2 3x x2 C. x 2 3x x 2 9x2 2x 3 2 D. x 1 2x 3 x 1 x 1 Đáp án A. Ví dụ 4: Khẳng định nào sau đây là sai? x 1 A. x 1 2 x 1 x 1 0 B. x2 1 0 0 x 1 C. x 2 x 1 x 2 2 x 1 2 D. x2 1 x 1 Lời giải Chọn đáp án D vì x2 1 x 1 Còn các khẳng định khác đều đúng. Đáp án D. LOVEBOOK.VN | 1
  2. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 5: Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: A. 2x x 3 1 x 3 và 2x 1 x x 1 B. 0 và x 0 x 1 C. x 1 2 x và x 1 2 x 2 D. x x 2 1 x 2 và x 1 Lời giải Xét các đáp án: x 3 - Đáp án A: + Phương trình 2x x 3 1 x 3 x  2x 1 1 + Phương trình 2x 1 x 2 Do đó cặp phương trình ở đáp án A không tương đương vì không cùng tập nghiệm. x x 1 x 1 0 - Đáp án B: + Phương trình 0 x 0 x 1 x 0 + Phương trình x 0 STUDY TIP Vậy chọn đáp án B. 2 A B 2 A B x 1 2 x B 0 - Đáp án C: + Phương trình x 1 2 x 2 x 0 x 2 x2 5x 3 0 5 13 5 13 x x 2 x 2 2 2 5 13 + Phương trình x 1 2 x x2 5x 3 0 x 2 Do đó hai phương trình trong đáp án C không tương đương. LOVEBOOK.VN | 2
  3. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing x 2 0 - Đáp án D: x x 2 1 x 2 Tập nghiệm rỗng. x 1 Do đó phương trình x x 2 1 x 2 và x 1 không phải là hai phương trình tương đương. Đáp án B. Ví dụ 6: Xác định m để hai phương trình sau tương đương: x2 x 2 0 (1) và x2 2 m 1 x m2 m 2 0 (2) A. m 3 B. m 3 C. m 6 D. m 6 Lời giải Dễ thấy phương trình (1) vô nghiệm. STUDY TIP Để hai phương trình tương đương thì phương trình (2) cũng phải vô nghiệm, tức Hai phương trình vô 2 là: ' m 1 m2 m 2 0 m 3 0 m 3 . nghiệm thì tương đương với nhau. Đáp án A. Ví dụ 7: Hai phương trình nào sau đây không tương đương với nhau: A. x 1 x và 2x 1 x 1 x 2x 1 B. x 1 2 x 0 và 1 x. 2 x 0 2x x2 2x C. và x2 x 1 2 x 1 x 1 D. x2 x 2 0 và x . x 2 0 Lời giải Ta xét các đáp án: - Đáp án A: Điều kiện của hai phương trình là x 1 Khi đó 2x 1 0 nên ta có thể chia 2 vế của phương trình thứ hai cho 2x 1 nên hai phương trình tương đương. LOVEBOOK.VN | 3
  4. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book - Đáp án B: Hai phương trình có cùng tập nghiệm là 1;2 nên tương đương. - Đáp án C: Điều kiện của hai phương trình là x 1 nên ta có thể nhận phương STUDY TIP trình thứ nhất với x 1 0 ta được phương trình thứ hai. Điều kiện của Vậy hai phương trình tương đương. phương trình 2 f 2 x .g x 0 là: - Đáp án D: Phương trình x x 2 0 có 2 nghiệm x 2 và x 0 thỏa mãn x 0 điều kiện . f x 0 x 2 g x 0 Còn phương trình x . x 2 0 chỉ có nghiệm x 2 vì x 0 không thỏa mãn điều kiện x 2 . Vậy hai phương trình không cùng tập nghiệm nên không tương đương. Đáp án D. Ví dụ 8: Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 2x2 mx 2 0 và 2x3 m 4 x2 2 m 1 x 4 0 (2) A. m 2 B. m 3 C. m 2 D. m 3 Lời giải x 2 Ta có: Phương trình (2) x 2 2x2 mx 2 0 2 2x mx 2 0 Do hai phương trình tương đương nên x 2 cũng là nghiệm của phương trình (1), thay vào ta có m 3 . Khi m 3 hai phương trình đã cho có cùng tập nghiệm nên tương đương. Đáp án B. Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hai phương trình sau tương đương: mx2 2 m 1 x m 2 0 (1) và m 2 x2 3x m2 15 0 (2) A. m 5 B. m 5;m 4 C. m 4 D. m 5 LOVEBOOK.VN | 4
  5. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing Lời giải x 1 Phương trình (1) x 1 mx m 2 0 mx m 2 0 Do 2 phương trình tương đương nên x 1 cũng phải là nghiệm của (2) nên thay x 1 vào phương trình (2) ta có: 2 2 m 4 m 2 3 m 15 0 m m 20 0 m 5 + Với m 4 : x 1 2 1  Phương trình (1) trở thành: 4x 6x 2 0 1 S1 1;  x 2 2 x 1 2 1  Phương trình (2) trở thành 2x 3x 1 0 1 S2 1;  S1 x 2 2 STUDY TIP Vậy hai phương trình tương đương. Với câu hỏi trắc + Với m 5 : nghiệm ta có thể thử 7 từng đáp án. 2 x 7  Phương trình (1) trở thành: 5x 12x 7 0 5 T1 ;1 5  x 1 10 2 x 10  Phương trình (2) trở thành: 7x 3x 10 0 7 T2 ;1 7  x 1 Vậy T1 T2 Hai phương trình không tương đương. Vậy m 4 thỏa mãn đề bài. Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 5
  6. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 10: Cho phương trình 2x2 x 0 . Trong các phương trình sau đây phương trình nào không phải là phương trình hệ quả của phương trình đã cho: x A. 2x 0 B. 4x3 x 0 1 x 2 C. 2x2 x x 5 2 0 D. 2x3 x2 x 0 Lời giải STUDY TIP x 0 Phương trình (2) là 2 1  Giải phương trình 2x x 0 1 Tập nghiệm S0 0;  phương trình hệ quả x 2 2 của phương trình (1) nếu tập nghiệm của Ta xét các đáp án: phương trình (2) x 1 chứa tập nghiệm của x 0 x 1 x 0 x 0 - Đáp án A: 2x 0 1 phương trình (1). 1 x 2x 1 x x 0 1 x x 2 2 1  Vậy tập nghiệm của phương trình là S1 0;   S0 2 STUDY TIP Vậy phương trình ở đáp án A là phương trình hệ quả của phương trình đã cho. Phương trình x 0 2 2 3 1 1  f x g x 0 - Đáp án B: 4x x 0 1 S2 0; ;  S2  S0 x 2 2 2 f x 0 Vậy phương trình ở đáp án B là phương trình hệ quả của phương trình đã cho. g x 0 2 2 2 2 2 2x x 0 2x x 0 - Đáp án C: 2x x x 5 0 vô nghiệm x 5 0 x 5 S3  S2  S0 Vậy phương trình ở đáp án C không là phương trình hệ quả của phương trình đã cho. LOVEBOOK.VN | 6
  7. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing 1  - Đáp án D: Giải phương trình ta có: S4 1;0;   S0 2 Đáp án C. Dạng 3 Tìm điều kiện của phương trình liên quan đến đồ thị hàm số - Kiến thức cần nhớ + f x 0 Đồ thị của hàm số y f x nằm phía trên trục hoành. + f x 0 Đồ thị của hàm số y f x nằm phía dưới trục hoành. + f x g x Đồ thị hàm số y f x nằm trên đồ thị hàm số: y g x . Ví dụ 1: Cho parabol y f x có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f x 3 có điều kiện xác định là: x 1 x 1 A. B. C. 1 x 4 D. x ¡ x 4 x 4 Lời giải STUDY TIP Điều kiện: f x 0 nhìn đồ thị ta thấy: 1 x 4 thì đồ thị nằm phía trên trục Đồ thị y f x mà hoành hay hàm cho f x 0 . f x 0 là những giá Đáp án C. trị x làm cho đồ thị nằm phía trên trục hoành. LOVEBOOK.VN | 7
  8. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 2: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ khẳng định nào sau đây là đúng? A. Phương trình f x 0 xác định trên khoảng 1;4 . B. Phương trình f x 0 xác định trên đoạn 2;4 . 1 C. Phương trình 0 xác định trên khoảng 1;2 . f x 1 D. Phương trình xác định trên khoảng 0;4 . f x Lời giải Nhìn đồ thị ta thấy f x 0 x 1;2 Đáp án C. Ví dụ 3: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Khi đó phương trình f x x 1 0 xác định trên tập nào sau đây? A. 1;3 B.  2;1 C.  2;3 D. 0; Lời giải Ta thấy đường thẳng: y x 1 đi qua các điểm 2; 1 ; 1;2 và 3;4 . Từ điều kiện của phương trình là: f x x 1 ta thấy trên đoạn 1;3 . Đồ thị y f x nằm phía trên đường thẳng y x 1 nên với x 1;3 thì f x x 1. Đáp án A. LOVEBOOK.VN | 8
  9. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing Ví dụ 4: Cho parabol y f x có đồ thị như hình vẽ. Khi đó điều kiện xác định của phương trình 2 f x 0 là: A. x 0;4 \ 2 B. x 0;4 C. x  2;2 D. x 0;2 Lời giải Đồ thị y f x như hình bên. Khi đó điều kiện: 2 f x 0 f x 2 x 0;4 . Đáp án B. Ví dụ 5: Cho hàm y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của m để phương trình m f x 0 xác định trên  1;1. A. 5B. 1C. 3D. 4 Lời giải Đồ thị y f x như hình vẽ: m f x x  1;1 m 3 m 3 . Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 9
  10. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 1 C. Bài tập rèn luyện kĩ năng C. ; D.  1; 2 Xem đáp án chi tiết tại trang 82 Câu 6: Điều kiện xác định của phương trình: Câu 1: Điều kiện xác định của phương trình: x 2 6 2x 0 là: 2x 3 2 1 2 là: x 1 x 1 A. 2; B. ;2 A. D ¡ \ 1 B. D ¡ \ 1 C. ¡ \ 2;2 D. 2 x 3 C. D \ 1 D. D ¡  ¡ Câu 7: Điều kiện xác định của phương trình: Câu 2: Điều kiện xác định của phương trình: x 2 7x2 2 5x là: 1 3 4 x 4x 3 7 2x là: x 2 x 2 x2 4 7 7  A. 2; \ 3 B. ¡ \ 1;3;  A. 2; B. ¡ \ 2;2 2 2 C. ;2 D. 2;2 7 7 C. 2; D. 2; \ 3 2 2 Câu 3: Điều kiện xác định của phương trình: Câu 8: Điều kiện xác định của phương trình x 3 4 là x2 5 x 1 x 1 x 2 x 2 0 là: 7 x A. ¡ \ 1;1; 2 B. ¡ \ 1;1;2 A. 2; B. 7; C. 1; D. 2; C. 2;7 D. 2;7 Câu 4: Điều kiện xác định của phương trình: Câu 9: Cho đường thẳng y f x có đồ thị 1 x2 1 0 là: x như hình vẽ. Khi đó điều kiện xác định của 1 2 phương trình g x là: A. x 0 B. x 0 và x 1 0 f x C. x 0 D. x 0 và x2 1 0 Câu 5: Điều kiện xác định của phương trình 2x 1 4x 4 thuộc tập nào sau đây? 1 1 A. ; B. ; 2 2 LOVEBOOK.VN | 10
  11. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing A. x 1 B. x 0 C. x 0 D. x 1 1 Khi đó phương trình 2 xác Câu 10: Cho parabol y f x có đồ thị như f x x2 1 hình vẽ: định trên tập nào sau đây? A. ; 2 B. 2;0 C. 0;2 D. 1;2 Phương trình f x 0 có điều kiện là: x 1 A. B. 1 x 3 x 3 C. x 0 D. x 2 Câu 11: Cho parabol y f x như hình vẽ câu 10. Khi đó điều kiện xác định của phương trình: f x 2 0 là: x 1 x 0 A. B. C. x 2 D. x 2 x 3 x 4 Câu 12: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ: LOVEBOOK.VN | 11
  12. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book §2. Phương trình bậc nhất và quy về bậc nhất A. Lý thuyết Giải biện luận phương trình ax b 0 : b + Nếu a 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x . a + Nếu a 0 và b 0 thì phương trình vô nghiệm. + Nếu a 0 và b 0 thì phương trình có nghiệm x ¡ . B. Các dạng toán điển hình Dạng 1 Giải biện luận phương trình Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: m2 x 1 2 mx 2 có nghiệm dyu nhất là nghiệm nguyên? A. 1B. 2C. 3D. 4 STUDY TIP Phương trình Lời giải ax b 0 có nghiệm Phương trình m2 2m x m2 4 m m 2 x m 2 m 2 duy nhất khi a 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi m 0 và m 2 m 2 2 m 1 Khi đó nghiệm duy nhất là: x 1 là nghiệm nguyên m m m 2 Có 4 giá trị của m. Đáp án D. STUDY TIP Ví dụ 2: Tìm các giá trị của p để phương trình sau đây vô nghiệm. Phương trình 4 p2 2 x 1 2 p x . ax b 0 hay 1 1 phương trình ax b A. p 2 B. p C. p 1 D. p 2 2 a 0 vô nghiệm b 0 LOVEBOOK.VN | 12
  13. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing Lời giải Phương trình đã cho tương đương với 4 p2 1 x 1 2 p 2 p 1 2 p 1 x 2 p 1 1 p 2 2 p 1 2 p 1 0 1 1 Phương trình vô nghiệm p p 2 p 1 0 2 2 1 p 2 Đáp án B. Ví dụ 3: Cho phương trình m2 x 6 4x 3m . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm. A. m 2 B. m 2 C. m 2 D. m 2 Lời giải Viết lại phương trình: m2 4 x 3m 6 Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi: 2 m 2 m 4 0 m 2 m 2 3m 6 0 m 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi m 2 . Đáp án A. Ví dụ 4: Cho hai hàm số: y m 1 2 x 2 và y 3m 7 x m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đường thẳng đã cho cắt nhau. A. m 2 B. m 2 và m 3 C. m 3 D. m 2 và m 3 Lời giải LOVEBOOK.VN | 13
  14. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Hai đường thẳng đã cho cắt nhau khi và chỉ khi phương trình: m 1 2 x 2 3m 7 x m có nghiệm duy nhất 2 2 m 3 m m 6 x m 2 có nghiệm duy nhất m m 6 0 m 2 Đáp án B. Ví dụ 5: Cho hai hàm số y m 1 x 1 và y 3m2 1 x m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đường thẳng trên trùng nhau. 2 2 A. m 1,m B. m 1 và m 3 3 2 C. m 1 D. m 3 STUDY TIP Lời giải Phương trình Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi phương trình: ax b 0 có vô số 2 a 0 m 1 x 1 3m 1 x m có vô số nghiệm nghiệm b 0 2 2 3m m 2 0 3m m 2 x 1 m vô số nghiệm m 1. 1 m 0 Đáp án C. Dạng 2 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp: LOVEBOOK.VN | 14
  15. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing Dùng tính chất: B 0 A B + A B B 0 A B A B + A B A B Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình 2x m 2 x . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. m 4 phương trình đã cho có nghiệm. m 4 phương trình đã cho vô nghiệm. B. Phương trình đã cho luôn có nghiệm m . C. Phương trình đã cho vô nghiệm m . D. m 4 phương trình đã cho vô nghiệm. Lời giải STUDY TIP x 2 2 x 0 m 2 A B 2x m 2 x x Phương trình đã cho 3 A B A B 2 x 0 x 2 2x m x 2 x m 2 m 2 +) 2 m 4 3 +) m 2 2 m 4 m 2 x Vậy m 4 phương trình có 2 nghiệm 3 . x m 2 LOVEBOOK.VN | 15
  16. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book m 4 phương trình vô nghiệm. Đáp án A. Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình: mx 2 2x m . Khi đó kết luận nào sau đây là đúng? m 2 2 m A. m 3 phương trình có 2 nghiệm x ; x . 1 m 3 2 3 m m 3 phương trình đều có nghiệm x 0 . m 2 2 m B. m 2 phương trình có 2 nghiệm x ; x . 1 m 2 2 2 m m 2 phương trình vô nghiệm. m 2 C. m 2 phương trình có nghiệm duy nhất x . m 2 m 2 phương trình vô nghiệm. m 2 m 2 2 m D. phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 . m 2 m 2 2 m m 2 phương trình có nghiệm x 0 . m 2 phương trình có nghiệm x 0 . Lời giải mx 2 2x m 1 Phương trình đã cho tương đương với mx 2 2x m 2 - Giải (1): 1 m 2 x m 2 m 2 + Với m 2 phương trình có nghiệm duy nhất x . m 2 + Với m 2 ta có phương trình 0x 4 , phương trình vô nghiệm. - Giải (2): 2 m 2 x 2 m LOVEBOOK.VN | 16
  17. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing 2 m + Với m 2 phương trình có nghiệm duy nhất x . m 2 + Với m 2 phương trình 0x 4 , phương trình vô nghiệm. Kết luận: m 2 m 2 2 m + phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 , x2 . m 2 m 2 2 m + m 2 phương trình (1) vô nghiệm nhưng phương trình (2) có nghiệm x 0 . + m 2 phương trình (2) vô nghiệm nhưng phương trình (1) có nghiệm x 0 . Đáp án D. Ví dụ 3: Xác định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x 1 x m (1). A. m 1 B. m 1 C. m ¡ D. không tồn tại m Lời giải Cách 1: Ta thấy nếu x0 là nghiệm thì 1 x0 cũng là nghiệm do đó điều kiện cần để 1 phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x 1 x x 0 0 0 2 1 Thay x vào phương trình (1) ta được m 1. 0 2 - Với m 1 phương trình (1) trở thành: x 1 x 1 1 Ta thấy phương trình có ít nhất 3 nghiệm x 0, x 1, x . 2 Vậy không tồn tại m để (1) có nghiệm duy nhất. Cách 2: Ta vẽ đồ thị y x 1 x ta có bảng xét dấu: LOVEBOOK.VN | 17
  18. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book x 0 1 x x 0 x x 1 x 1 x 1 x 0 x 1 y 1 2x 1 2x 1 2x 1 khi x 1 Vậy y 1 khi 0 x 1 1 2x khi x 0 Ta có đồ thị như hình bên ta thấy m thì đường thẳng y m không thể cắt đồ thị tại một điểm duy nhất nên phương trình (1) không có nghiệm duy nhất. Đáp án D. Dạng 3 Phương trình chứa ẩn ở mẫu mx m 3 Ví dụ: Tìm m để phương trình: 1 (1) có nghiệm. x 1 3 A. m 1 B. m 1 và m 2 3 3 C. m D. m 1 hoặc m 2 2 Lời giải Điều kiện xác định của phương trình: x 1. Khi đó phương trình (1) mx m 3 x 1 m 1 x m 4 (2) m 4 - Với m 1 phương trình (2) có nghiệm duy nhất x nó là nghiệm của 1 m 1 (1). m 4 3 Khi 1 m 4 m 1 2m 3 m m 1 2 - Với m 1 phương trình (2) vô nghiệm (1) vô nghiệm. LOVEBOOK.VN | 18
  19. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing m 1 Vậy phương trình (1) có nghiệm khi 3 m 2 Đáp án B. LOVEBOOK.VN | 19
  20. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book C. Bài tập rèn luyện kĩ năng Câu 6: Cho phương trình x m x 1 . Xem đáp án chi tiết tại trang 129 Khẳng định nào sau đây là đúng? Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của m để A. m 1 phương trình có nghiệm x ¡ . phương trình: m2 4 x 3m 6 vô nghiệm. m 1 m 1 phương trình có 1 nghiệm x . 2 A. m 1 B. m 2 B. m 1 phương trình đã cho có tập nghiệm C. m 2 D. m 2 ¡ . Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m 1 phương trình đã cho có nghiệm duy m để phương trình: mx m 0 vô nghiệm. nhất. A. m  B. m 0 C. m 1 vô nghiệm. C. m ¡ D. m ¡ m 1 phương trình có nghiệm x ¡ . Câu 3: Tìm m để phương trình: D. m 1 phương trình vô nghiệm. 2 2 m 1 phương trình có nghiệm duy nhất m 5m 6 x m 2m vô nghiệm. m 1 x . A. m 1 B. m 2 2 C. m 3 D. m 6 Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để 1 1 Câu 4: Tìm a để phương trình: phương trình: x 1 x x m có nghiệm. 2 2 x 1 a có nghiệm. x 3 x 3 A. m 1 B. m 1 C. m 1 D. m 1 A. a 2 B. a 2 Câu 8: Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình x y 1 là: C. a ¡ D. a 1 Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của m để phương A. Hình vuông cạnh bằng 2 m 1 x m 2 B. Đường tròn tâm O bán kính bằng 1 trình m có nghiệm. x 3 C. Hai đường thẳng y x 1 A. m 1 B. m 1 D. Hình vuông cạnh bằng 1 5 5 C. m D. m 2 2 LOVEBOOK.VN | 20
  21. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing §3. Phương trình bậc hai và quy về bậc hai A. Lý thuyết 1. Giải biện luận phương trình: ax2 bx c 0 a 0 Ta có: b2 4ac . + 0 : phương trình vô nghiệm. b + 0 : phương trình có nghiệm kép x . 2a b b + 0 : phương trình có hai nghiệm phân biệt: x ; x . 2a 2a 2. Định lí Vi-et 2 Nếu phương trình ax bx c 0 a 0 có 2 nghiệm x1; x2 thì b S x x 1 2 a c P x x STUDY TIP 1 2 a Trong trường hợp x y S 2 phương trình có 2 Nếu hai số x, y mà thì x, y là nghiệm của phương trình t St P 0 x.y P nghiệm trái dấu ta 2 không cần điều kiện (với S 4P ). c c 0 vì 0 nên 3. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu x 0 x 0 a 1 2 a phương trình luôn có a 0 2 nghiệm. 0 4. Phương trình có 2 nghiệm dương 0 x1 x2 P 0 S 0 a 0 0 5. Phương trình có 2 nghiệm âm x1 x2 0 P 0 S 0 LOVEBOOK.VN | 21
  22. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book B. Các dạng toán điển hình Dạng 1 Xác định tham số biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn  10;10 để phương trình x2 x m 0 vô nghiệm? A. 9B. 10C. 11D. 20 Lời giải 1 Phương trình đã cho vô nghiệm khi 1 4m 0 m 4 Vì m  10;10,m ¢ nên m 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 , có 10 phần tử thỏa mãn. Đáp án B. Ví dụ 2: Phương trình m 2 x2 2x 1 0 có nghiệm kép thì: m 1 A. B. m 1 C. m 2 D. m 1 m 2 STUDY TIP Lời giải Phương trình m 2 0 m 2 Phương trình đã cho có nghiệm kép khi: m 1. ax2 bx c 0 có ' m 1 0 m 1 nghiệm duy nhất xảy Đáp án B. ra ở 1 trong 2 trường hợp sau: Ví dụ 3: Tìm m để phương trình mx2 6 4x 3m có nghiệm duy nhất. + TH1: a 0 , A. m  B. m 0 C. m ¡ D. m 0 phương trình bx c 0 có nghiệm Lời giải duy nhất. 2 Viết lại phương trình: mx 4x 6 3m 0 + TH2: a 0, 0 3 hoặc ' 0 - Với m 0 : Khi đó phương trình có dạng 4x 6 0 x là nghiệm. 2 LOVEBOOK.VN | 22
  23. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing - Với m 0 : Ta có ' 2 2 m 6 3m 3m2 6m 4 3 m 1 2 1 0 m . Khi đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt khi m 0 . Vậy m 0 thỏa mãn. Đáp án B. Ví dụ 4: Phương trình m 1 x2 6x 1 0 có hai nghiệm phân biệt khi: 5 A. m 8 B. m 4 5 C. m 8 và m 1 D. m và m 1 4 Lời giải Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi: m 1 0 m 1 m 1 ' 0 m 8 0 m 8 Đáp án C. Dạng 2 Dấu của nghiệm phương trình bậc hai Ví dụ 1: Phương trình ax2 bx c 0 a 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi: 0 0 0 0 A. B. C. D. P 0 P 0 S 0 S 0 Lời giải STUDY TIP Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 0 . ĐK để phương trình có 2 nghiệm phân Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1; x2 . biệt cùng dấu: Do x1; x2 cùng dấu nên x1.x2 0 hay P 0 . 0 Đáp án B. P 0 LOVEBOOK.VN | 23
  24. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 2: Phương trình ax2 bx c 0 a 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi: 0 0 0 0 A. B. P 0 C. P 0 D. P 0 S 0 S 0 S 0 STUDY TIP Lời giải ĐK để phương trình Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi: có 2 nghiệm âm phân 0 0 biệt: x1 x2 0 S 0 x .x 0 P 0 0 1 2 P 0 Đáp án C. S 0 Ví dụ 3: Phương trình ax2 bx c 0 a 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi: 0 0 A. B. C. P 0 D. P 0 S 0 S 0 Lời giải Giả srw phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì x1.x2 0 P 0 . c Khi đó P 0 a,c trái dấu nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân STUDY TIP a biệt. ĐK để phương trình có 2 nghiệm dương Đáp án C. phân biệt: Ví dụ 4: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn  2;6 để 0 phương trình x2 4mx m2 0 có hai nghiệm dương phân biệt. Tổng các phần P 0 tử của S bằng: S 0 A. 3 B. 2C. 18 D. 21 LOVEBOOK.VN | 24
  25. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing Lời giải Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt khi: ' 0 3m2 0 m 0 S 0 4m 0 S 2; 1 m 0 2 P 0 m 0 Vậy tổng các phần tử của S là 3 . Đáp án A. Ví dụ 5: Phương trình m 1 x2 3x 1 0 có hai nghiệm trái dấu khi: A. m 1 B. m 1 C. m 1 D. m 1 Lời giải Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi: m 1 0 a 0 m 1 1 m 1 P 0 0 m 1 m 1 Đáp án A. Ví dụ 6: Tìm điều kiện của m để phương trình x2 2m 1 x m2 m 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x1 x2 1. 3 A. m 2 B. m C. m 1 D. m 1 2 Lời giải Trước hết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi: 2m 1 2 4 m2 m 0 4m2 4m 1 4m2 4m 0 1 0 luôn đúng Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. x x 2m 1 Theo định lí Vi-et ta có: 1 2 2 x1x2 m m LOVEBOOK.VN | 25
  26. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Để x1; x2 thỏa mãn x1 x2 1 x1 1 x2 1 0 x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 STUDY TIP Điều kiện: x1 1 x2 1 0 x1 x2 2 0 x1 x2 1 2 2 m 3m 2 0 x1 1 x2 1 0 m m 2m 1 1 0 3 2m 1 2 0 m ta đi so sánh hai số 2 với nhau. m 1 0 m 2 0 3 m 1 m 2 0 m 2 m 2 3 m 2 m 1 0 m 2 0 3 m 2 Đáp án A. Ví dụ 7: Tìm điều kiện của m để phương trình x2 2m 1 x m2 m 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x1 2 x2 . m 2 A. m 2 B. m 3 C. 2 m 3 D. m 3 Lời giải STUDY TIP Trước hết phương trình đã cho phải có 2 nghiệm 0 1 0 thỏa mãn  m. Việc so sánh x1, x2 với 2 số ta đưa về so Để x1; x2 thỏa mãn x1 2 x2 x1 2 0 x2 2 ta đi so sánh hai số x1 2 sánh 2 số x1 2 và và x2 2 với số 0. x2 2 với số 0. Vậy điều kiện là: x1 2 x2 2 0 x1x2 2 x1 x2 4 0 LOVEBOOK.VN | 26
  27. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing x x 2m 1 Theo định lí Vi-et ta có: 1 2 2 x1.x2 m m m2 m 2 2m 1 4 0 m2 5m 6 0 m 2 0 m 3 0 m 2 m 3 0 2 m 3 m 2 0 m 3 0 Đáp án C. Dạng 3 Định lí Vi-et và những bài toán về phương trình bậc hai Ví dụ 1: Giả sử phương trình x2 3x m 0 (m là tham số) có hai nghiệm là 2 2 x1; x2 . Tính giá trị của biểu thức P x1 1 x2 x2 1 x1 theo m. A. P m 9 B. P 5m 9 C. P m 9 D. P 5m 9 Lời giải STUDY TIP Ta có: P x2 1 x x2 1 x 2 2 1 2 2 1 x1 x2 2 2 2 2 2 2 x1 x1 x2 x2 x1x2 x1 x2 2x1x2 x1x2 x1 x2 x1 x2 2x1x2 x1 x2 3 Theo định lí Vi-et ta có: thay vào P ta được: x1.x2 m P 32 2 m m .3 5m 9 . Đáp án B. 2 Ví dụ 2: Giả sử phương trình 2x 4ax 1 0 có hai nghiệm x1; x2 . Tính giá trị của biểu thức T x1 x2 . 4a2 2 a2 8 a2 8 A. T B. T 4a2 2 C. T D. T 3 2 4 Lời giải LOVEBOOK.VN | 27
  28. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book STUDY TIP Vì a và c trái dấu nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 . x x 2 1 2 Theo định lí Vi-et ta có: x x 2 4x x 1 2 1 2 x1 x2 2a 2 2 2 2 1 2 1 và T x1 x2 x1 x2 4x1x2 4a 4 4a 2 0 x .x 2 1 2 2 T 4a2 2 0 Đáp án B. 2 2 Ví dụ 3: Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình x 2m 1 x m 1 0 . x x Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức P 1 2 có giá trị nguyên. x1 x2 STUDY TIP A. m 2 B. m 1 C. m 1 D. m 2 Trong lời giải bên ta Lời giải nhân 2 vế của P ở đẳng thức (1) với 4 Ta có 2m 1 2 4m2 4 4m 3 để 2m 1 luôn là 3 Để phương trình có hai nghiệm thì 0 m số nguyên với m 4 nguyên. x x 2m 1 Theo định lí Vi-et ta có: 1 2 2 x1x2 m 1 2 x1x2 m 1 2m 1 5 1 5 Khi đó P 2m 1 (1) x1 x2 2m 1 4 4 2m 1 4 2m 1 5 3 5 4P 2m 1 ;m 2m 1 2m 1 4 2 P ¢ thì 2m 1 là ước của 5 2m 1 5 m 2 Thử lại với m 2 P 1 thỏa mãn. Đáp án D. LOVEBOOK.VN | 28
  29. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing 2 2 Ví dụ 4: Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình 2x 2mx m 2 0 . Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P 2x1x2 x1 x2 4 . 1 25 9 A. P B. P 2 C. P D. P max 2 max max 4 max 4 Lời giải Ta có: ' m2 2 m2 2 m2 4 Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi: STUDY TIP ' 4 m2 0 m2 4 2 m 2 b x x x x m 1 2 a 1 2 Theo định lí Vi-et ta có: m2 2 c x x x x 1 2 1 2 a 2 2 Khi đó: P 2x1x2 x1 x2 4 m 2 m 4 m2 m 6 m 2 m 3 m 2 m 3 2 2 1 25 25 m m 6 m 2 4 4 25 1 Do 2 m 2 P khi m  2;2. max 4 2 Đáp án C. 2 Ví dụ 5: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x mx m 1 0 . Tìm m để 2x1x2 3 biểu thức P 2 2 đạt giá trị lớn nhất. x1 x2 2 x1x2 1 1 5 A. m B. m 1 C. m 2 D. m 2 2 Lời giải Ta có m 2 2 0m . LOVEBOOK.VN | 29
  30. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book STUDY TIP Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm. 2x x 3 2m 1 Lời giải bên ta đã trừ P 1 2 (1) 2 m2 2 hai vế của (1) cho số x1 x2 2x1x2 2 x1x2 1 1 đưa về hằng đẳng 2 2 2 2m 1 2m 1 m 2 m 1 thức m 1 để đánh P 1 1 0m ¡ m2 2 m2 2 m2 2 giá dễ dàng hơn. P 1 Vậy Pmax 1 khi m 1 0 m 1. Đáp án B. Dạng 4 Tìm điều kiện để các nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước 2 Ví dụ 1: Giả sử phương trình: ax bx c 0 có 2 nghiệm x1, x2 . Khi đó hệ thức nào sau đây là điều kiện để phương trình có một nghiệm bằng k lần nghiệm còn lại? A. k 1 2 ac kb2 0 B. k 1 2 ac kb2 0 C. k 1 2 ac kb2 0 D. k 1 2 ac kb2 0 Lời giải b STUDY TIP x x 1 2 a Theo định lí Vi-et ta có: Phương trình bậc hai c x1x2 có nghiệm này bằng k a lần nghiệm kia thì 2 2 2 Khi đó: P x1 kx2 x2 kx1 x1x2 k x1 x2 k x1x2 x1 kx2 x kx 2 2 2 2 1 2 k 1 ac kb 2 c b c 2 c x1x2 k x1 x2 2x1x2 k x1x2 k 2 2 k 2 a a a a a 2 2 x1 kx2 0 Nếu k 1 ac kb 0 thì một trong hai thừa số của P là hay x2 kx1 0 nghiệm này bằng k lần nghiệm kia. LOVEBOOK.VN | 30
  31. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing Đáp án B. Ví dụ 2: Cho phương trình: m 1 x2 2 m 1 x m 2 0 . Xác định m để STUDY TIP phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 4 x1 x2 7x1x2 . PT: ax2 bx c 0 A. m 6 B. m 1 C. m 2 D. m 5 a 0 có 2 nghiệm x1; x2 thì: Lời giải b m 1 0 x1 x2 Phương trình có 2 nghiệm x , x a 1 2 2 ' m 1 m 1 m 2 0 c x1x2 a m 1 1 m 3 3 m 0 2 m 1 x1 x2 m 1 Khi đó phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn m 2 x x 1 2 m 1 2 m 1 m 2 4 x x 7x x 4. 7. 8m 8 7m 14 m 6 . 1 2 1 2 m 1 m 1 Đáp án A. Ví dụ 3: Cho hai phương trình x2 ax bc 0 (1) và x2 bx ca 0 (2). Giả sử a, b, c là ba số khác nhau từng đôi một và c 0 nếu phương trình (1) và phương trình (2) có đúng một nghiệm chung thì nghiệm khác của hai phương trình trên là nghiệm của phương trình nào sau đây? A. x2 cx ab 0 B. x2 cx ab 0 C. x2 cx ab 0 D. x2 cx ab 0 Lời giải 2 x0 ax0 bc 0 Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x khi đó: 0 2 x0 bx0 ca 0 LOVEBOOK.VN | 31
  32. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Trừ vế theo vế hai đẳng thức trên ta có: a b x0 c 0 x0 c (vì a b ) x0 x1 a x1 b; x0 c Phương trình (1) có nghiệm x1; x0 nên ta có: x0 x1 bc c a b x0 x2 b x2 a; x0 c Phương trình (2) có nghiệm x0 ; x2 nên ta có: x0 x2 ca c a b x1 x2 a b c Vậy ta được x1x2 ab 2 Vậy x1, x2 là nghiệm của phương trình: x cx ab 0 (3) Và phương trình (3) có c2 4ab a b 2 4ab a b 2 0a b Đáp án B. Dạng 5 Các phương trình quy về bậc hai Phương pháp: 1. ax2 bx2 c 0: Đặt t x2 ,t 0. STUDY TIP 2 Phương trình: 2. a. P x b.P x c 0 : Đặt t P x . 4 4 x a x b 3. x a x b x c x d e,a d b c : Đặt t x a x d . c 0 4 3 2 2 1 a b 4. ax bx cx bx a 0 : Chia cho x 0 , đặt t x . nếu đặt t x x 2 4 4 a b thì phương trình thu 5. x a x b c 0 : Đặt t x . 2 được luôn là phương trình bậc 4 trùng 6. a. f x b f x c 0: Đặt t f x . phương. 7. a. f x b.g x c f x .g x + Xét g x 0 . LOVEBOOK.VN | 32
  33. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing + Với g x 0 , chia hai vế cho g x ta có phương trình: f x f x f x a. b c . Đặt t . g x g x g x Ví dụ 1: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình: x 1 4 x 3 4 256 . A. 2 B. 1C. 2 D. 0 Lời giải 1 3 Đặt y x hay y x 1 x y 1, ta có phương trình: 2 y 2 4 y 2 4 256 2y4 48y2 224 0 2 2 t 4 Đặt y t 0 , phương trình trở thành: 2t 48t 224 0 t 28 l 2 y 2 x 1 Với t 4 y 4 Tổng các nghiệm là 3 1 2 . y 2 x 3 Đáp án A. 1 Ví dụ 2: Cho phương trình x4 3x3 4x2 3x 1 0 . Đặt t x ta được x phương trình nào sau đây? A. t 2 3t 2 0 B. t 2 3t 2 0 C. t 2 3t 2 0 D. t 2 t 2 0 Lời giải Với x 0 không là nghiệm. x 0 chia 2 vế cho x2 ta được phương trình: 2 3 1 2 1 1 x 3x 4 2 0 x 2 3 x 4 0 x x x x LOVEBOOK.VN | 33
  34. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 1 1 1 Đặt x t x2 2 t 2 x2 t 2 2 ta có phương trình: x x2 x2 2 2 STUDY TIP t 2 3t 4 0 t 3t 2 0 1 Đáp án B. t x thì x Ví dụ 3: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình: 1 x2 t 2 2 x2 x 1 x 2 x 3 x 4 3 . 5 5 A. B. 5C. 5 D. 2 2 Lời giải STUDY TIP Phương trình x 1 x 4 x 2 x 3 3 x2 5x 4 x2 5x 6 3 Trong phương trình ta nhóm Đặt: x2 5x y ta có phương trình: x 1 x 4 và 2 y 3 x 2 x 3 để sau y 4 y 6 3 y 10y 21 0 y 7 khi nhân ra ta được những biểu thức 5 13 x1 2 2 giống nhau là + Với y 3 x 5x 3 0 2 5 13 x 5x x2 2 + Với y 7 x2 5x 7 0 vô nghiệm. Vậy tổng x1 x2 5 . Đáp án C. Ví dụ 4: Phương trình x2 x2 11 31 có bao nhiêu nghiệm? A. 1B. 2C. 3D. 4 Lời giải Đặt x2 11 t,t 0 ta có phương trình: LOVEBOOK.VN | 34
  35. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing x2 11 x2 11 11 31 0 trở thành t 2 t 42 0 có nghiệm t 6 x2 11 6 x2 25 x 5 Vậy phương trình có 2 nghiệm. Đáp án B. Ví dụ 5: Tính tổng các nghiệm của phương trình: x 5 2 x 3 x2 3x . 3 3 A. 3B. 3 C. D. 2 2 Lời giải x 3 ĐKXĐ: . Khi đó phương trình đã cho tương đương với: x 0 x2 3x 10 3 x2 3x 0 x2 3x 3 x2 3x 10 0 2 2 t 5 l Đặt x 3x t,t 0 ta có phương trình: t 3t 10 0 t 2 2 2 x 1 x 3x 2 x 3x 4 0 x 4 Vậy tổng các nghiệm bằng 3 . Đáp án B. x x 1 Ví dụ 6: Số nghiệm của phương trình: 2 3 là: x 1 x A. vô nghiệmB. 1C. 2D. 4 Lời giải ĐKXĐ: x 1 hoặc x 0 x 1 Đặt t,t 0 ta có phương trình: x LOVEBOOK.VN | 35
  36. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book t 1 l 1 3 2 2 2 2t 3 0 2t 3t 1 0 t 1 2t t 1 0 1 t t 2 1 x 1 1 x 1 1 4 Với t 4x 4 x 3x 4 x 2 x 2 x 4 3 (TMĐK) Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm. Đáp án B. 2 3 x 1 Ví dụ 7: Cho phương trình: 2 x 2 5 x 1 . Đặt t 2 ;t 0 ta có x x 1 phương trình nào sau đây? A. t 2 5t 2 0 B. t 2 5t 2 0 C. 2t 2 5t 2 0 D. 2t 2 5t 2 0 STUDY TIP Lời giải 3 2 2 2 x3 1 Để ý x 1 x 1 x x 1 nên ta tách: 2 x 2 a x 1 b x x 1 2 x 1 x x 1 bằng cách đồng nhất hệ số và ta được: 2 x2 2 2 x 1 2 x2 x 1 Điều kiện: x 1 Ta có: 2 x2 2 5 x3 1 2 x 1 2 x2 x 1 5 x 1 x2 x 1 x 1 x 1 Chia hai vế cho x2 x 1 0 ta được: 2. 2 5 x2 x 1 x2 x 1 x 1 Đặt t ta có phương trình: 2t 2 5t 2 0 . x2 x 1 Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 36
  37. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing Ví dụ 8: Cho phương trình: x 3 6 x x 3 6 x 3 Đặt t x 3 6 x ta được phương trình nào sau đây? A. t 2 2t 1 0 B. t 2 2t 3 0 C. 2t 2 t 1 0 D. t 2 2t 3 0 Lời giải ĐKXĐ: 3 x 6 Đặt t x 3 6 x t 2 9 2 x 3 6 x t 2 9 x 3 6 x thay vào phương trình đã cho ta có: 2 t 2 9 t 3 2t t 2 9 6 t 2 2t 3 0 . 2 Đáp án D. Ví dụ 9: Cho phương trình: 7x 7 7x 6 2 49x2 7x 42 181 14x và t 7x 7 7x 6 , khi đó t nhận giá trị nào sau đây? A. 19B. 13C. 11D. 27 Lời giải 6 ĐKXĐ: x 7 Ta có: 49x2 7x 42 7x 7 7x 6 Khi đó: t 2 14x 1 2 49x2 7x 42 t 2 1 14x 2 49x2 7x 42 Thay vào phương trình đã cho ta có: 2 2 t 14 l t t 1 181 t t 182 0 t 13 LOVEBOOK.VN | 37
  38. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Đáp án B. Ví dụ 10: Cho phương trình: x 1 3 x x 1 3 x n . Tìm tất cả các giá trị của n để phương trình đã cho có nghiệm. A. n 2 2 2;2 B. n 2 C. n 2 D. n 2 2 2 Lời giải ĐKXĐ: 1 x 3. STUDY TIP Đặt: t x 1 3 x t 2 4 2 x2 2x 3 Phương trình: Xét f x x2 2x 3 trên 1;3 2 t 2 2 t 2 2t 2n 4 0   2 t 2 4 t 2t 4 2n Khi đó: x 1 3 x x2 2x 3 phương trình đã cho trở thành: 2 Lập bảng biến thiên t 2 4 cho hàm số t n 2 g t t 2 2t 4 ta 2t t 2 4 2n t 2 2t 2n 4 0 có ' 5 2n . cũng tìm được n. 5 t 1 5 2n Nếu ' 5 2n 0 n thì phương trình có 2 nghiệm 1 2 t2 1 5 2n - Với t2 1 5 2n (không thỏa mãn). - Với t1 1 5 2n (thỏa mãn) thì: 1 5 2n 2 2 2 2 2 n 2 Đáp án A. Ví dụ 11: Cho phương trình: mx4 2 m 3 x2 4m 0 (1). Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. 3 m 1 A. 3 m 1 B. C. 3 m 0 D. m 0 m 0 LOVEBOOK.VN | 38
  39. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing Lời giải Đặt x2 t,t 0 ta có phương trình: mt 2 2 m 3 t 4m 0 (2) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương m 0 m 0 2 2 m 3 4m 0 m 0 ' 0 phân biệt 2 m 3 3 m 1 m 3 0 S 0 0 m m 0 P 0 4 0 m 3 m 0 3 m 1 3 m 0 m 0 m 3 Đáp án C. Ví dụ 12: Tìm m để phương trình: 2x2 2mx 1 3 2x3 x có hai nghiệm thực phân biệt. Khi đó có bao nhiêu giá trị nguyên của m 0;20 thỏa mãn. A. 10B. 11C. 21D. 20 Lời giải ĐKXĐ: x 0 STUDY TIP Phương trình 2mx 2x2 1 3 2x3 x Bảng biến thiên của Ta thấy x 0 không là nghiệm. hàm số y ax2 bx c 1 1 Với x 0 , phương trình 2m 2x 3 2x a 0 x x 1 1 3 Đặt t 2x ,t 2 2 4 8 ta có phương trình: m t 2 t x 2 2 LOVEBOOK.VN | 39
  40. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Vì mỗi t 4 8 thì có 2 nghiệm x nên bài toán trở thành tìm m để phương trình 1 3 m t 2 t có một nghiệm lớn hơn 4 8 . 2 2 1 3 Xét hàm số g t t 2 t 2 2 Bảng biến thiên: t 4 8 g t 1 8 34 8 2 1 Vì 8 34 8 1,1 nên m 1;0;1;2;  2 Vì m 0;20 nên có 21 giá trị của m thỏa mãn. Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 40
  41. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing C. Bài tập rèn luyện kĩ năng m 2 C. 17 D. m 1 Xem đáp án chi tiết tại trang 130 m 8 Câu 1: Phương trình Câu 6: Phương trình ax2 bx c 0 a 0 m 1 x2 2mx m 2 0 vô nghiệm khi: có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi: A. m 2 B. m 2 0 C. m 2 D. m 2 0 A. B. P 0 P 0 Câu 2: Số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn phương S 0 trình 2x kx 4 x2 6 0 vô nghiệm là: 0 0 A. k 1 B. k 1 C. k 2 D. k 3 C. P 0 D. S 0 S 0 Câu 3: Phương trình mx2 2 m 1 x m 1 0 có nghiệm duy nhất Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham khi: số m thuộc đoạn  5;5 để phương trình 2 2 A. m 0 B. m 1 x 4mx m 0 có hai nghiệm âm phân biệt. m 0 A. 5B. 6 C. 10D. 11 C. D. m 1 m 1 Câu 8: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình Câu 4: Phương trình 2 2 2 x 2 m 1 x m 1 0 có hai nghiệm m 1 x 6 m 1 x 2m 3 0 có nghiệm dương phân biệt là: kép khi: A. m 1;1 B. m 1; m 1 A. m 1 B. 6 m 1 7 C. m ; D. m ; 1 2 6 6 C. m D. m Câu 9: Cho phương trình x2 px q 0 trong 7 7 đó p 0, q 0 . Nếu hiệu các nghiệm của 2 Câu 5: Phương trình 2 x 1 x mx 1 có phương trình bằng 1, khi đó p bằng: nghiệm duy nhất khi: A. 4q 1 B. 4q 1 17 A. m B. m 2 8 C. 4q 1 D. q 1 LOVEBOOK.VN | 41
  42. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 10: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương Câu 14: Cho phương trình; trình x2 2 m 1 x m2 2 0 . Tìm m để x2 2 m 1 x m2 3m 4 0 . biểu thức P x1x2 2 x1 x2 6 đạt giá trị 2 2 Xác định m để biểu thức P x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. nhỏ nhất. 1 A. m B. m 1 A. m 3 B. m 4 2 C. m 7 D. m 2 C. m 2 D. m 1 Câu 15: Giả sử phương trình x2 px q 0 ( Câu 11: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương p 0 , q 0 ) có các nghiệm x1, x2 . Lập trình x2 mx m 1 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất phương trình bậc hai có các nghiệm của nó là 2x1x2 3 Pmin của biểu thức P 2 2 . x1 , x2 . x1 x2 2 x1x2 1 1 A. x2 p 2 q .x q 0 A. 2 B. C. 0D. 1 2 2 Câu 12: Giả sử các nghiệm của phương trình B. x p 2 q .x q 0 x2 px q 0 là lập phương các nghiệm của C. x2 p 2 q .x q 0 phương trình x2 mx n 0 . Khẳng định nào sau đây đúng? D. x2 p 2 q .x q 0 3 3 A. p q m B. p m 3mn Câu 16: Xác định các giá trị của m để phương 3 trình x 2 x2 2 m 1 x m2 5 0 có 3 3 m p C. p m 3mn D. n q nghiệm dương phân biệt. Câu 13: Cho phương trình: A. m 2 B. m 2 C. m 2 D. m 2 x2 2 m 1 x m2 3m 4 0 Câu 17: Cho phương trình: Xác định m để phương trình có hai nghiệm 2 1 1 x 2 1 3m x 3m 0 x x phân biệt x1, x2 và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Tìm m để phương trình có nghiệm x 0 . A. m 2 B. m 3 m 0 m 0 A. 3 B. 4 m 5 m 4 m m C. D. 4 3 m 3 m 7 LOVEBOOK.VN | 42
  43. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing m 0 C. 4 D. m 0 m 3 Câu 18: Tìm m để phương trình: mx4 2 m 3 x2 4m 0 có đúng 3 nghiệm. A. không tồn tại mB. m 0 C. m 0 D. m 0 Câu 19*: Cho phương trình: 3 x 1 m x 1 2 4 x2 1 . Tìm m để phương trình có nghiệm. 1 A. m 1 B. m 3 1 C. m 1 D. 1 m 3 Câu 20*: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 9 x x2 9x m có nghiệm. 9 A. 9 m 10 B. m 10 4 9 C. m 10 D. m 9 4 LOVEBOOK.VN | 43
  44. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book §4. Hệ phương trình A. Các dạng toán điển hình Dạng 1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn a1x b1 y c1 a2 x b2 y c2 a1 b1 - Tính các định thức: D a1b2 a2b1 a2 b2 c1 b1 Dx c1b2 c2b1 c2 b2 a1 c1 Dy a1c2 a2c1 a2 c2 - Biện luận: D x x D + Nếu D 0 thì hệ có nghiệm duy nhất: D y y D + Nếu D 0 và Dx 0 hoặc Dy 0 thì hệ vô nghiệm. + Nếu D Dx Dy 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm. (Khi đó thay tham số vào hệ ta sẽ kết luận cụ thể). LOVEBOOK.VN | 44
  45. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing mx y m 1 Ví dụ 1: Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm duy nhất. Khi đó x my 2 tính x y ? m 3 m 2 A. m 1; x y B. m 1; x y m 1 m 1 C. m 1; x y 1 D. m 1; x y 0 STUDY TIP Lời giải Phương trình bậc hai 2 m 1 ax bx c 0 Ta có: D m2 1 m 1 m 1 1 m a 0 có 2 nghiệm 2 m 1 1 thì: ax bx c D m2 m 2 m 1 m 2 x 2 m a x x1 x x2 m m 1 D 2m m 1 m 1 y 1 2 m 1 Vậy hệ có nghiệm duy nhất D 0 m 1 Dx m 1 m 2 m 2 x D m 1 m 1 m 1 m 3 và nghiệm x y D m 1 1 m 1 y y D m 1 m 1 m 1 Đáp án A. Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng: d1 : m 1 x y 5 và d2 : 2x my 10 . Tìm m để hai đường thẳng d1 và d2 song song. A. m 1 B. m 1 C. m 2 D. m 2 Lời giải LOVEBOOK.VN | 45
  46. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book m 1 x y 5 Xét hệ phương trình: (*) 2x my 10 m 1 1 D m2 m 2 m 1 m 2 2 m 5 1 D 5 m 2 x 10 m m 1 5 D 10 m 2 y 2 10 D 0 d1 / /d2 Hệ phương trình (*) vô nghiệm Dx 0 m 1. D 0 y Đáp án B. Ví dụ 3: Cho ba đường thẳng d1 : 2x 3y 4 (1) d2 :3x y 1 (2) d3 : 2mx 5y m (3) Giá trị m thuộc khoảng nào sau đây để d1,d2 ,d3 đồng quy tại một điểm? A. m ;1 B. m 1;9 C. m 9;20 D. m 20 Lời giải STUDY TIP 2x 3y 4 1 d ,d ,d đồng quy khi và chỉ khi hệ phương trình: 3x y 1 2 có d1,d2 ,d3 đồng quy 1 2 3 2mx 5y m 3 d3 đi qua giao nghiệm duy nhất. điểm của d1 và d2 x 1 Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: thay vào (3) ta tìm được y 2 m 10 . Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 46
  47. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing Dạng 2 Hệ đối xứng loại I 1. Định nghĩa Hệ đối xứng loại I là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì từng phương trình trong hệ không thay đổi. f x, y 0 f x, y f y, x trong đó: g x, y 0 g x, y g y, x 2. Phương pháp giải tổng quát - Bước 1: Đặt điều kiện nếu có. - Bước 2: Đặt x y S; xy P S 2 4P + Đưa hệ về hệ mới chứa ẩn S, P + Giải hệ tìm S, P. Chọn S, P thỏa mãn S 2 4P . - Bước 3: Với S, P tìm thấy thì x, y là nghiệm của phương trình: X 2 SX P 0 3 3 x y 2 Ví dụ 1: Biết x0 ; y0 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình . xy x y 2 Khi đó x0 y0 bằng: STUDY TIP A. 0B. 1C. 2D. 4 x2 y2 S 2 2P x3 y3 S 3 3PS Lời giải Đặt x y S, xy P ta có: x3 y3 x y 3 3xy x y S 3 3PS S 3 3PS 2 S 3 8 S 2 Khi đó ta có hệ: PS 2 PS 2 P 1 x, y là nghiệm của phương trình: X 2 SX P 0 X 2 2X 1 0 LOVEBOOK.VN | 47
  48. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book x0 1 X 1 x0 y0 2 y0 1 Đáp án C. x xy y a 1 Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: 2 2 x y xy a Xác định a để hệ có ít nhất một nghiệm x; y thỏa mãn x 0 và y 0. 1 1 0 a a 2 a a 2 A. 4 B. C. 4 D. a 2 a 0 a 2 a 2 Lời giải S P a 1 Đặt x y S; x.y P ta có hệ phương trình: S.P a Khi đó S, P là nghiệm phương trình: 2 X 1 S 1 S a X a 1 X a 0 hoặc X a P a P 1 STUDY TIP S 2 4P Phương trình: Để hệ đã cho có ít nhất một nghiệm thỏa mãn x 0, y 0 thì S 0 ax2 bx c 0 có 2 P 0 nghiệm khi và chỉ 1 4a 0 1 TH1: S 1, P a thì: 1 0 0 a khi: P 0 4 a 0 S 0 a2 4 a 2 TH2: S a, P 1 thì: 1 0 a 2 a 2 a 0 a 0 1 0 a Vậy 4 . a 2 LOVEBOOK.VN | 48
  49. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing Đáp án A. Dạng 3 Hệ đối xứng loại II 1. Định nghĩa Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi thay đổi x bởi y và y bởi x thì phương trình này trở thành phương trình kia của hệ. Chú ý: Nếu x0 ; y0 là nghiệm của hệ thì y0 ; x0 cũng là nghiệm của hệ. 2. Phương pháp giải - Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi phương trình nhận được về phương trình tích số. - Kết hợp một phương trình tích với một phương trình của hệ để tìm nghiệm. 3 x 2x y 1 Ví dụ 1: Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm? 3 y 2y x 2 A. 2B. 3C. 5D. Vô nghiệm Lời giải Trừ vế theo vế của hai phương trình (1) và (2) ta được: x y STUDY TIP x3 y3 x y x y x2 y2 xy 1 0 2 2 x y xy 1 0 Khi cộng vế với vế x 0 của 2 phương trình 3 - TH1: Với x y thế vào (1) ta có phương trình: x 3x 0 trong hệ đối xứng x 3 loại II ta luôn được một phương trình đối Hệ có nghiệm là 0;0 , 3; 3 , 3; 3 . xứng. - TH2: Với x2 y2 xy 1 0 . Kết hợp với tổng của hai phương trình (1) và (2) ta có hệ: LOVEBOOK.VN | 49
  50. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 2 2 2 x y xy 1 0 x y xy 1 0 (là hệ đối xứng loại I) x3 y3 3 x y 3 x y 3xy x y 3 x y 2 S P 1 0 3 Đặt x y S, x.y P ta có hệ: 3 S 3PS 3S 0 4 Từ (3) ta có: P S 2 1 thế vào (4) ta được: 3 2 3 x y 0 S 3 S 1 .S 3S 0 2S 0 S 0 P 1 x.y 1 x, y là nghiệm của phương trình: X 2 1 0 X 1 Hệ có nghiệm x; y là 1; 1 , 1;1 . Kết luận: Vậy hệ phương trình đã cho có 5 nghiệm. Đáp án C. Ví dụ 2: Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2 3 2 x y 4y ay 1 2 3 2 y x 4x ax 2 25 A. Không có giá trị nào của aB. a 4 25 C. a D. a 0 4 Lời giải STUDY TIP Do tính đối xứng nên: Nếu hệ có nghiệm x0 ; y0 thì cũng có nghiệm y0 ; x0 . Nếu x0 ; y0 là một Một điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là x0 y0 thế vào (1) ta được: nghiệm và y0 ; x0 x 0 cũng là nghiệm để hệ 2 3 2 2 0 x0 x0 4x0 ax0 x0 x0 5x0 a 0 2 có nghiệm duy nhất x0 5x0 a 0 3 thì điều kiện cần Để hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) phải vô nghiệm hoặc có nghiệm x y 0 0 kép x 0 . LOVEBOOK.VN | 50
  51. Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình The Best or Nothing 25 - TH1: (3) vô nghiệm 25 4a 0 a 4 25 - TH2: (3) có nghiệm kép x 0 0 a 4 Khi đó x 0 không phải nghiệm kép. 25 Thử lại với a giải hệ thấy có nghiệm duy nhất. 4 Đáp án B. Dạng 4 Hệ đồng bậc x3 y3 1 Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: 2 2 3 x y 2xy y 2 x0 Gọi x0 ; y0 là nghiệm của hệ. Khi đó tất cả các tỉ số thuộc tập nào sau đây? y0 x 1  x 1  A. 0 1;1;  B. 0 1;  y0 2 y0 2 x x 1  C. 0 1;1 D. 0 1;  y0 y0 2 Lời giải Nhận xét ta thấy vế trái của hai phương trình đã cho đều bậc 3 với x và y còn vế phải là bậc 0 (hay hằng số) nên ta nhân chéo để đưa về phương trình đồng bậc. 3 3 STUDY TIP x y 1 2 Hệ phương trình 2 x3 y3 x2 y 2xy2 y3 3 Phương trình (3) trong lời giải là Với y 0 x 0 không là nghiệm. phương trình đẳng 3 2 cấp bậc 3 (là phương 3 x x x Với y 0 chia hai vế của (3) cho y ta được: 2 2 1 0 trình mà tất cả các y y y đơn thức của nó đều bậc 3) LOVEBOOK.VN | 51
  52. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book x 1  Giải phương trình bậc ba ta có: 1;1;  y 2 x + Với 1 x y thay vào (2) ta có: y3 y3 1 vô nghiệm. y x 1 + Với 1 x y thay vào (2) ta có: 2x3 1 x 3 y 2 x 1 3 1 + Với y 2x thay vào (2) ta có: 2x x3 1 9x3 1 x 3 y 2 9 LOVEBOOK.VN | 52