Công phá Toán Lớp 10 - Câu 311-340 (Có lời giải)
52 trang
11/08/2022
3650
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Công phá Toán Lớp 10 - Câu 311-340 (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tài liệu đính kèm:
- cong_pha_toan_lop_10_cau_311_340_co_loi_giai.doc
Nội dung text: Công phá Toán Lớp 10 - Câu 311-340 (Có lời giải)
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing Ví dụ 7: Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1;0 , B 0,3 ,C 3; 5 . Tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho T 2MA 3MB 2MC bé nhất. A. M 2;0 B. M 4;0 C. M 4;0 D. M 2;0 Lời giải Gọi I x; y thỏa mãn: 2IA 3IB 2IC 0 2 1 x 3 x 2 3 x 0 x 4 2 y 3 3 y 2 5 y 0 19 y 3 Ta có T 2 MI IA 3 MI IB 2 MI IC MI MI Vì I cố định và M Ox T nhỏ nhất khi M là hình chiếu cảu I trên trục Ox M 4;0 Đáp án B STUDY TIP Ví dụ 8: Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm A 1;3 và B 4,7 . Tìm điểm M trên - Nếu hai điểm A, B cùng trục Oy sao cho MA MB là nhỏ nhất. phía thì lấy đối xứng một điểm qua đường thẳng và 19 1 3 11 điều kiện thẳng hàng. A. M 0; B. M 0; C. M 0; D. M 0; 5 5 5 5 - Nếu hai điểm A, B khác phía thì điều kiện M, A, B thẳng hàng. Lời giải Ta có A, B nằm cùng phía với trục Oy Gọi A' đối xứng với A qua Oy A' 1;3 Giả sử: M 0; y . Ta có MA MB MA' MB A' B MA MB nhỏ nhất khi A' , M, B thẳn hàng A' B 5;4 , A'M 1; y 3 LOVEBOOK.VN | 1
- Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing 1 y 3 19 19 y M 0; 5 4 5 5 Đáp án A Ví dụ 9: Trong hệ tọa độ Oxy, cho ABC có A 3;4 , B 2;1 ,C 1; 2 . Tìm điểm M có tung độ dương trên đường thẳng BC sao cho SABC 3SABM . A. M 2;2 B. M 3;2 C. M 3;2 D. M 3;3 Lời giải Gọi M x; y . Ta có: SABC 3SABM BC 3BM BC 3BM BM x 2; y 1 ; BC 3;3 x 1 - TH1: BC 3BM (loại) y 0 x 3 - TH2: BC 3BM (nhận) M 3;2 y 2 Đáp án B Ví dụ 10: Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm A 1; 1 , B 0;1 ,C 3;0 . Xác định tọa độ giao điểm I của AD và BG với D thuộc BC và 2BD 5DC , G là trọng tâm ABC 5 1 35 35 A. I ;1 B. I ;1 C. I ;2 D. I ;1 9 9 9 9 STUDY TIP Lời giải - b x '; y' cùng Ta có AB 1;2 , AC 4;1 AB, AC không cùng phương. phương với a x; y 0 15 xD 2xD 5 3 xD 7 15 2 k ¡ : b ka Ta có 2BD 5DC D ; 2 y 1 5 y 2 7 7 x ' kx x ' y ' D D y D y ' ky x y 7 (với x 0; y 0 ) LOVEBOOK.VN | 2
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing 2 Trọng tâm G ;0 . Gọi I x; y là giao điểm của AD và BG 3 22 9 Ta có AI x 1; y 1 , AD ; cùng phương 7 7 7 x 1 7 y 1 9x 22y 13 0 22 9 1 Ta lại có BI x; y 1 , BG ;0 cùng phương tồn tại số k ¡ 3 35 BI k BG y 1 I ;1 9 Đáp án D LOVEBOOK.VN | 3
- Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing C. Bài tập rèn luyện kĩ năng D. AB CD 2IK Xem đáp án chi tiết tại trang 327 Câu 6: Trên trục x 'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ Dạng 1: Trục tọa độ lần lượt là 2;1; 2 . Khi đó tọa độ điểm M nguyên 1 1 1 Câu 1: Tên trục O;i cho hai điểm A, B lần lượt có dương thỏa mãn là: MA MB MC tọa độ 1 và 5. Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn A. 0B. 4C. 2D. 3 2MA 3M 0 là: Câu 7: Trên trục x 'Ox cho 4 điểm A, B, C, D. Đẳng A. 10B. 11C. 12 D. 13 thức nào sau đây là đúng? 2 2 2 Câu 2: Trên trục O;i cho ba điểm A, B, C có tọa độ A. DA .BC DB .CA DC .AB BC.CA.AB 0 lần lượt là 5;2;4 . Khi đó tọa độ điểm M thảo mãn 2 2 2 B. DA .BC DB .CA DC .AB 0 2MA 3MC 4MB 0 là: 2 2 2 C. AB .BC CD .DB DB .CA 0 10 10 5 5 A. B. C. D. 3 9 3 4 D. DA.BC DB.CA CD.AB BC.AB 0 Câu 3: Trên trục x 'Ox cho tọa độ các điểm A, B lần Câu 8: Trên trục x 'Ox cho bốn điểm A, B, C, D có tọa lượt là a, b. Khi đó tọa độ điểm A' đối xứng với A qua độ lần lượt là 3;5; 7;9 . Mệnh đề nào sau đây sai? B là: A. AB 2 B. AC 10 a b A. b a B. C. 2a b D. 2b a 2 C. CD 16 D. AB AC 8 Câu 4: Trên trục x 'Ox cho tọa độ các điểm B, C lần Câu 9: Trên trục x 'Ox có vectơ đơn vị i . Mệnh đề lượt là m 2 và m2 3m 2 . Tìm m để đoạn thẳng BC nào sau đây sai? có độ dài nhỏ nhất. A. xA là tọa độ điểm A OA xA.i A. m 2 B. m 1 B. x , x là tọa độ của điểm B và C thì BC x x C. m 1 D. m 2 B C B C Câu 5: Trên trục x 'Ox cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, C. AC CB AB J, K, L lần lượt là trung điểm của AC, DB, AD, BC. OA OB D. M là trung điểm của AB OM Mệnh đề nào sau đây là sai? 2 A. AD CB 2IJ Câu 10: Trên trục O;i cho bốn điểm A, B, C, D có B. AC DB 2KI tọa độ lần lượt là a, b, c, d và điểm M có tọa độ x. Hỏi C. Trung điểm các đoạn IJ và KL trùng nhau mệnh đề nào sau đây sai? LOVEBOOK.VN | 4
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing a b Câu 15: Cho A 1;1 , B 1;3 ,C 2;0 . Tìm x sao A. Nếu MA MB 0 thì x 2 cho AB xBC a b c B. Nếu MA MB MC 0 thì x 2 2 3 A. x B. x 3 3 C. Nếu MA MB MC MD 0 thì 3 3 a b c d C. x D. x x 2 2 4 Câu 16: Trong các cặp vectơ sau, cặp vectơ nào không D. MA AB BD MD 0 cùng phương? Câu 11: Trên trục x 'Ox , cho tọa độ của A, B lần lượt A. a 2;3 ,b 6;9 là 2;3 . Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn: OM 2 MA.MB là: B. u 0;5 ,v 0; 1 A. 6B. 6 C. 6 D. 4 C. m 2;1 ,b 1;2 Dạng 2: Tọa độ vectơ D. c 3;4 ,d 6; 8 Câu 12: Vectơ a 5;0 biểu diễn dạng a x.i y. j Câu 17: Cho u m2 3;2m ,v 5m 3;m2 . Vectơ được kết quả nào sau đây? u v khi và chỉ khi m thuộc tập hợp: A. a 5i j B. a 5i A. 2 B. 0;2 C. 0;2;3 D. 3 C. a i 5 j D. a i 5 j Câu 18: Cho điểm A 2;3 và vectơ AM 3i 2 j . Câu 13: Xác định tọa độ vectơ c 5a 2b biết a 3; 2 ,b 1;4 Vectơ nào trong hình là vectơ AM ? A. c 2; 11 B. c 2;11 C. c 2;11 D. c 11;2 Câu 14: Cho a 3; 1 ,b 0;4 ,c 5;3 . Tìm vectơ x sao cho x a 2b 3c 0 . A. 18;0 B. 8;18 C. 8;18 D. 8; 18 LOVEBOOK.VN | 5
- Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing A. V B. V C. V D. V 1 1 2 3 4 A. u 2a b và v a 3b 2 Câu 19: Cho a 4; m ,v 2m 6;1 . Tập giá trị 2 B. u a 3b và v 2a 9b của m để hai vectơ a và b cùng phương là: 3 3 3 A. 1;1 B. 1;2 C. 2; 1 D. 2;1 C. u a 3b và v 2a b 5 5 Câu 20: Cho 4 điểm A 1; 2 , B 0;3 ,C 3;4 , 3 1 1 D. u 2a b và v a b D 1;8 . Ba điểm nào trong bốn điểm dã cho thẳng 2 3 4 hàng? Dạng 3: Tọa độ điểm A. A, B, C B. B, C, D Câu 25: Trong hệ tọa độ Oxy, cho ABC có A 3;5 , C. A, B, D D. A, C, D B 1;2 ,C 5;2 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác. Câu 21: Cho các vectơ a 4; 2 ,b 1; 1 , A. G 3;4 B. G 4;0 c 2;5 Phân tích vectơ a và c ta được: C. G 2;3 D. G 3;3 1 1 1 1 A. b a c B. b a c 8 4 8 4 Câu 26: Trong hệ tọa độ Oxy, cho M 3; 4 . Gọi 1 1 1 M1, M 2 làn lượt là hình chiếu vuông góc của M trên C. b a 4c D. b a c 8 8 4 Ox, Oy. Khẳng định nào đúng? Câu 22: Cho vectơ a 2;1 ,b 3;4 , c 7;2 . Khi A. OM1 3 đó c ma nc . Tính tổng m n bằng: B. OM 2 4 A. 5B. 3,8 C. 5 D. 3,8 C. OM1 OM 2 3;4 Câu 23: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 4 điểm A 1; 2 , B 0;3 ,C 3;4 ,D 1;8 . Phân tích CD D. OM1 OM 2 3; 4 qua AB và AC . Đẳng thức nào sau đây đúng? Câu 27: Trong hệ tọa độ Oxy, cho A 3;1 , B 1;4 , A. CD 2AB 2AC B. CD 2AB AC C 5;3 . Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình 1 bình hành. C. CD 2AB AC D. CD 2AB AC 2 A. D 1;0 B. D 1;0 Câu 24: Cho 2 vectơ a và b không cùng phương. Hai C. D 0; 1 D. D 0;1 vectơ nào sau đây cùng phương? LOVEBOOK.VN | 6
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ABC có 1 2 5 1 A. I ; B. I ; 3 3 2 2 M 2;3 , N 0;4 , P 1;6 lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ đỉnh A. 1 3 C. I 2;6 D. I ; 2 2 A. A 1;5 B. A 3;7 Câu 33: Trong hệ tọa độ Oxy, cho A 1;3 , B 4;0 . C. A 2; 7 D. A 1; 10 Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn MA MB 3MC 0 Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ABC có A. M 1;18 B. M 1;18 A 3;3 , B 1;4 ,C 2; 5 . Tọa độ điểm M thỏa mãn C. M 18;1 D. M 1; 18 2MA BC 4CM là: 1 5 1 5 A. M ; B. M ; 6 6 6 6 Câu 34: Gọi điểm M là giao điểm của đường thẳng AB và trục hoành biết A 1;2 và B 2;5 . Biết hoành độ 1 5 5 1 C. M ; D. M ; m m 6 6 6 6 điểm M có dạng trong đó tối giản và m,n ¥ . n n Câu 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho MNP có 2 2 Tính m n . M 1; 1 ; N 5; 3 và P thuộc trục Oy. Trọng tâm G A. 34B. 41C. 25D. 10 của tam giác nằm trên trục Ox. Tọa độ của điểm P là: Câu 35: Trong hệ tọa độ Oxy, cho M 1;2 , N 3;2 , A. P 0;4 B. P 2;0 P 4; 1 . Tìm tọa độ điểm E thuộc trục Ox sao cho C. P 2;4 D. P 0;2 T EM EN EP nhỏ nhất. Câu 31: Trong hệ tọa độ Oxy, cho A 2; 3 , B 3;4 . A. E 4;0 B. E 2;0 Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho A, B, M thẳng hàng. C. E 4;0 D. E 2;0 A. M 1;0 B. M 4;0 Câu 36: Trong hệ tọa độ Oxy, cho 2 điểm A 3;1 , 5 17 B 5;5 . Tìm điểm M trên trục yOy ' sao cho C. M ;0 D. M ;0 3 7 MA MB lớn nhất. Câu 32: Trong hệ tọa độ Oxy, cho A 2;1 , B 1; 3 . A. M 0; 5 B. M 0;5 Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường chéo hình bình hành OABC. C. M 0;3 D. M 0;6 LOVEBOOK.VN | 7
- Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Câu 37: Trong hệ tọa độ Oxy, cho ABC biết A 2;0 , B 1;1 ,C 1; 2 . Các điểm C ', A', B ' lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỉ số là 1 1; ; 2 . Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng? 2 A. A'C ' 2B 'C ' B. A'C ' 3B 'C ' C. A'C 3B 'C ' D. A'C 4B 'C ' Câu 38: Trong hệ tọa độ Oxy, tìm trên trục hoành điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M tới các điểm A 1;1 và B 2; 4 là nhỏ nhất. 6 5 A. M ;0 B. M ;0 5 6 5 6 C. M ;0 D. M ;0 6 5 Câu 39: Trong hệ tọa độ Oxy, cho 4 điểm A 0;1 ; B 1;3 ;C 2;7 ; D 0;3 . Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD. 2 1 4 2 A. ;3 B. ; 3 C. ;13 D. ;3 3 3 3 3 Câu 40: Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A 6;3 ; B 3;6 ;C 1; 2 . Biết điểm E trên cạnh BC sao cho BE 2EC . D nằm trên đường thẳng AB và thuộc trục Ox. Tìm giao điểm của DE và AC. 7 1 3 1 A. I ; B. I ; 2 2 2 2 7 1 7 1 C. I ; D. I ; 4 2 2 2 LOVEBOOK.VN | 8
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ VIII 1 C. AC D. A, B, C đều đúng 2 Xem đáp án chi tiết tại trang 274 Câu 1: Phát biểu nào sau đây đúng? Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho A m 1; 1 , A. Hai vectơ không bằng nhau thì độ dài của chúng B 2;2 2m ,C m 3;3 . Tìm giá trị m để A,B, C là không bằng nhau. ba điểm thẳng hàng? B. Hai vectơ không bằng nhau thì chúng không cùng A. m 2 B. m 0 C. m 3 D. m 1 phương Câu 7: Trên trục tọa độ O;i . Cho 2 điểm A và B có C. Hai vectơ bằng nhau thì có giá trùng nhau hoặc tọa độ lần lượt a và b. Tìm tọa độ điểm N sao cho song song nhau. 2NA 5NB . D. Hai vectơ có độ dài không bằng nhau thì không 4b 2a 5b 2a cùng hướng. A. x B. x N 7 N 7 Câu 2: Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao 5b 4a 5b 3a nhiêu vectơ (khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối là các C. x D. x N 7 N 7 điểm A, B, C, D? Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A 5;2 , A. 4B. 8C. 10D. 12 B 1;2 . Tìm tọa độ điểm C đôi xứng với điểm A qua Câu 3: Cho AB 0 và có một điểm C. Có bao nhiêu điểm B. điểm D thỏa mãn AB CD ? A. 6;0 B. 3;6 A. 0B. 2C. 1D. Vô số C. 7;2 D. 4;4 Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;2 , B 3; 2 ,C 2;3 xác định tọa độ trọng tâm G Câu 9: Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số của tam giác ABC. k 1 thì với mọi điểm O ta có: OA kOB A. G 2;1 B. G 4;0 A. MO k AB B. OM 1 k 3 C. G 3; D. G 6;3 OA k AB OA kOB 2 C. OM D. OM 1 k 1 k Câu 5: Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh bằng a thì Câu 10: Cho u 2i j và v i x j . Xác định x sao độ dài vectơ AO bằng: cho u và v cùng phương. a 2 A. B. OB 2 LOVEBOOK.VN | 9
- Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing 1 Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ A. x 1 B. x 2 a 1; 1 ;b 0;2 . Xác định tọa độ của vectơ x sao 1 C. x D. x 2 cho x b 2a . 4 A. x 2;0 B. x 2;4 Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A 2; 1 , B 0; 2 ,C 1;1 . Tìm tọa độ điểm C. x 1;1 D. x 1;3 D sao cho ABCD là hình bình hành. Câu 16: Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm K A. D 3; 4 B. D 3;0 sao cho: KA KB KC BC . C. D 1; 2 D. D 1;2 A. Điểm D là trung điểm cạnh AK B. Điểm K là trung điểm cạnh AC Câu 12: Cho ngũ giác đều tâm O. Mệnh đề nào sau đây sai? C. Điểm K chia đoạn DA theo tỉ số 2 A. OA OB cùng phương với OD . D. Điểm D chia đoạn AK theo tỉ số 2 B. OC OE cùng phương với OD . Câu 17: Cho hình chữ nhật ABCD có A 0;3 , D 2;1 , I 1;0 là tâm của hình chữ nhật. Tọa độ trung điểm C. AB và EC cùng phương. BC là: D. BA BC BD A. M 3; 2 B. M 4; 1 Câu 13: Cho A 2; 3 , B 3;4 . Tọa độ điểm M trên trục hoành để A, B, M thẳng hàng là: B. M 2; 3 D. M 1;2 A. M 1;0 B. M 4;0 Câu 18: Cho hai vectơ a OA,b OB có a b 10 , ·AOB 60 . Xác định vectơ c sao cho 5 1 17 C. M ; D. M ;0 3 3 7 a b c 0 Câu 14: Cho tam giác ABC đều cạnh a và G là trọng A. Vectơ c 0 tâm. Gọi I là trung điểm của AG. Tính độ dài của các vectơ BI . B. Vectơ cùng hướng với vectơ a b và có độ dài là 40 a 21 a 21 a 2 a A. B. C. D. 3 6 6 6 C. Vectơ ngược hướng với vectơ a b và có độ dài là 20 LOVEBOOK.VN | 10
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing D. Vectơ c ngược hướng với vectơ a b và có độ dài C. D 6;6 D. D 3; 2 là10 3 Câu 23: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, a là độ Câu 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm dài cho trước. Tập hợp các điểm M sao cho A 1; 2 , B 0;3 ,C 3;4 , D 1;8 . Ba điểm nào MA MB MC 3a là: trong 4 điểm đã cho thẳng hàng. A. Đường thẳng AB A. A, B, CB. B, C, D B. Đường tròn tâm G, bán kính 3a C. A, B, DD. A, C, D C. Đường tròn tâm G, bán kính a Câu 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi B ', B '' và D. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC B ''' lần lượt là điểm đối xúng của B 2;7 qua trục Câu 24: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ Ox, Oy và qua gốc tọa độ O. Tọa độ của các điểm a 1;3 ,b 1; 2 ,c 3; 1 . Biết a xb yc .Tính B ', B '' và B ''' là: A xy x y. A. B ' 2; 7 , B '' 2;7 và B ''' 2; 7 A. A 5 B. A 6 C. A 3 D. A 1 B. B ' 7;2 , B '' 2;7 và B ''' 2; 7 Câu 25: Cho I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC. Giả sử M là điểm C. B ' 2; 7 , B '' 2;7 và B ''' 7; 2 thỏa mãn điều kiện MA 2MB MC 0 . Khi đó vị trí D. B ' 2; 7 , B '' 7;2 và B ''' 2; 7 điểm M là: Câu 21: Cho tam giác ABC có D, M lần lượt là trung A. M là tâm của hình bình hành BIKJ. điểm của AC, BD. Đẳng thức nào sau đây đúng? B. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành AIKM. A. MA MC 2MB 0 C. M là trực tâm của tam giác ABC. B. MA MB MC MD 0 D. M là trọng tâm của tam giác IJK. C. MC MA MB 0 Câu 26: Cho ABC . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn 2MA 3MB 3MB 2MC ? D. MC MA 2MB 0 Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A. Quỹ tích điểm M là một đường thẳng. A 1; 1 , B 2;0 ,C 3;5 . Tìm tọa độ điểm D sao cho B. Quỹ tích điểm M là đường thẳng đi qua A song song với BC AB 2AC 3AD 0 C. Quỹ tích điểm M là đường tròn ngoại tiếp tam giác 8 A. D 2; B. D 3;3 ABC 3 LOVEBOOK.VN | 11
- Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing D. Cả A, B, C đều sai Câu 31: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Tìm đẳng thức đúng? Câu 27: Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi G theo thứ tự là trọng tâm A. AB BC BD 0 của tam giác OAB và OCD. Khi đó GG ' bằng: B. AC BD CB DA 0 1 2 A. AC BD B. AC BD 2 3 C. AD DA 0 1 D. OA BC DO 0 C. 3 AC BD D. AC BD 3 Câu 32: Cho tam giác đều ABC tâm H. Đẳng thức nào Câu 28: Cho tam giác ABC với phân giác trong AD. sau đây là sai? Biết AB 5, BC 6,CA 7 . Khi đó AD bằng: 1 A. AH BH CH 0 B. AH AB AC 3 5 7 7 5 A. AB AC B. AB AC 12 12 12 12 C. HA HB HC D. AH HB HC 7 5 5 7 C. AB AC D. AB AC Câu 33: Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm G sao cho 12 12 12 12 GA GB GC GD 0 . Câu 29: Cho ABC , I, J, K lần lượt là trung điểm của A. Điểm G trùng với giao điểm AC và BD BC, CA, AB. Xét các mệnh đề: B. Điểm G là trọng tâm tam giác ABC I. AB BC AC 0 C. Điểm G là trung điểm đoạn thẳng nối hai trung II. KB JC AI điểm AC và BD III. AK BI CJ 0 D. Điểm G là trung điểm đoạn thẳng nối hai trung điểm AB và CD Mệnh đề sai là: Câu 34: Cho 2 điểm A, B và hai số thực a, b sao cho A. Chỉ IB. Chỉ IIC. II và IIID. I và III a b 0 . Xét các mệnh đề: Câu 30: Cho hình binhg hành ABCD. Hai điểm M và (I) Tồn tại duy nhất một điểm M thỏa mãn N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN. aMA bMB 0 . Câu nào sau đây sai? b (II) MA AB a b A. AM NC B. DK NI (III) M là điểm nằm trên đường thẳng AB. C. MD BN D. MN BI Trong các mệnh đề trên thì: LOVEBOOK.VN | 12
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing A. (I) và (III) tương đương nhau Câu 38: Cho ABC có ba trung tuyến AM, BN, CP B. (II) và (III) tương đương nhau đồng quy tại G. Khi đó vectơ AM BN CP bằng vectơ nào? C. (I) và (II) tương đương nhau 3 D. (I), (II), (III) tương đương nhau A. GA GB CG B. 3 MG NG GP 2 Câu 35: Cho ABC có trực tâm H, nội tiếp đường 1 tròn tâm O, M là trung điểm BC, A', B ' lần lượt là C. AB BC AC D. 0 2 điểm đối xứng của A, B qua O. Xét các mệnh đề sau: Câu 39: Cho ABC , D là trung điểm của BC, M là (I) AB ' BA' trung điểm của AD, N là trung điểm của BM. Xét các (II) HA' CB ' đẳng thức: 3 1 (III) MH MA' (I) MB AB AC 4 4 Mệnh đề nào đúng? 1 1 (II) AM BN AC BC A. Chỉ (I)B. (II) và (III) 4 8 C. (I) và (III)D. Tất cả đều đúng 1 3 (III) ND AB BC Câu 36: Cho hình vuông ABCD cạnh a, có H là trung 4 8 điểm của BC. Tính độ dài vectơ AH . Mệnh đề sai là: a 2 a 3 A. Chỉ (II) A. AH B. AH 2 2 B. Chỉ (III) a 5 C. (I), (II), (III) C. AH D. AH 2a 2 D. Không có mệnh đề nào Câu 37: Cho ABC , trung tuyến AM và trọng tâm G. Câu 40: Cho hai điểm A, B phân biệt thuộc đường Hệ thức nào sau đây là đúng? thẳng xy. Nếu MA kMB 0 k 0 thì điểm M phải: 2 A. AG AB AC 3 A. nằm trong đoạn AB 1 B. nằm ngoài đường thẳng xy B. MG MA MB MC 3 C. thuộc Ax C. AM 3MG D. thuộc By D. AM AB AC LOVEBOOK.VN | 13
- Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Câu 41: Cho lục giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R, S MH mAB nAC . HỎI cặp số m, n nhận giá trị nào lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, sau đây? FA. Các tam giác nào sau đây có cùng trọng tâm? 5 1 2 1 A. m ,n B. m ,n A. MPR và MDEB. MPR và ABQ 6 6 3 4 C. MPR và NQSD. MNR và PQS 1 5 3 1 C. m ,n D. m ,n 6 6 4 6 Câu 42: Nếu MA MB MC MH (với H là trực tâm của tam giác) thì mệnh đề nào dưới đây là đúng? Câu 46: Cho tứ giác ABCD. Tìm hệ thức của điểm I và hằng số k để hệ thức: A. M trùng với trọng tâm của tam giác B. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MA 2MB 3MC 4MD kMI C. M trùng với trực tâm của tam giác thỏa mãn với mọi M. D. M là điểm tùy ý A. k 3, AI 2IB 3IC 4ID Câu 43: ABCD là một hình bình hành. Nếu B. k 2, AI 2IB 3IC 4ID 1 AB CM thì khẳng định nào dưới đây đúng? 2 C. k 1, AI 2IB 3IC 4ID A. M đối xứng với C qua D D. k 4, AI 2IB 3IC 4ID B. M là trung điểm của CD Câu 47: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho a 2;1 , C. M trùng với D b 3;4 ,c 7;2 . Cho biết c m.a n.b . Khi đó D. CM và BA ngược hướng. m n bằng: Câu 44: Cho ABC . Tập hợp điểm M thỏa mãn: 22 3 19 24 A. B. C. D. MA MB 2MC MB MC là đường tròn có: 5 5 5 5 A. tâm I bán kính CJ với I là trung điểm BC Câu 48: Cho hình bình hành ABCD có A 2;3 và B. tâm J bán kính BI với J là trung điểm AB tâm I 1;1 . Biết điểm K 1;2 nằm trên đường thẳng AB và điểm D có hoành độ gấp đôi tung độ. Tìm các AB C. tâm B bán kính 2 đỉnh còn lại của hình bình hành. AC A. D 2;1 B. B 0;1 D. tâm C bán kính 2 C. C 4; 1 D. Cả A, B, C đều đúng Câu 45: Cho ABC có trọng tâm G, trung tuyến AM, điểm đối xứng với B qua G là H. Khi đó LOVEBOOK.VN | 14
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing Câu 49: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lầ lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB 2AM ,CD 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB. Phân tích các vectơ AN, MN, AG qua các vectơ AB và AC . 1 5 A. AN AC AB B. MN AB AC 2 6 5 1 C. AG AB AC D. Cả A, B, C đều đúng 18 3 Câu 50: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho hình thoi ABCD cạnh a và B· AD 60 . Biết A trùng với gốc tọa độ O, C thuộc trục Ox và xB 0, yB 0 .Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD. a 3 a a 3 a A. A 0;0 , B ; ,C a 3;a , D ; 2 2 2 2 a 3 a a 3 a B. A 0;0 , B ; ,C a 3;0 , D ; 2 2 2 2 a 3 a a 3 a C. A 0;0 , B ; ,C a 3;0 , D ; 2 2 2 2 a 3 a a 3 a D. A 0;0 , B ; ,C a 3;0 , D ; 2 2 2 2 LOVEBOOK.VN | 15
- Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 8 I. Cung và góc lượng giác a 13 Suy ra MN MN Dạng 1: Các bài toán về khái 2 niệm vectơ Câu 7: Đáp án A Câu 1: Đáp án D Một vectơ khác vectơ không được xác định bởi 2 điểm phân biệt. Do Câu 8: Đáp án C đó có 12 cách chọn 2 điểm trong Vì tam giác đều nên 4 điểm của tứ giác. Áp dụng định lý Pytago trong tam AB AB 2a Câu 2: Đáp án A giác vuông MAD ta có: Câu 3: Đáp án D 2 Câu 9: Đáp án A 2 2 2 a 2 DM AM AD a Câu 4: Đáp án D 2 5a2 Các vectơ bằng vectơ AB là: 4 FO,OC, ED a 5 DM 2 Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P. Khi đó tứ giác ADNP là hình Thật vậy khi ABC nhọn thì ta vuông và có: a 3a PM PA AM a AH BC 2 2 AH //OM Câu 5: Đáp án C OM BC Áp dụng định lý Pytago trong tam Có 3 đường thẳng song song với giác vuông NPM ta có: O, H nằm trong tam giác MN là AC, AP, PC 2 AH,OM cùng hướng 2 2 2 2 3a MN NP PM a Nên có 7 vectơ 2 Câu 10: Đáp án D 13a2 NM , AC,CA, AP, PA, PC,CP 4 Câu 6: Đáp án C a 13 MN 2 LOVEBOOK.VN | 16
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing Câu 19: Đáp án D Ta có: MNPQ là hình bình hành 1 Ta có: MP / /DC, MP DC 2 MN QP 1 PN / / AB, PN AB Ta có: 2 1 OI OJ OA OC Mà MP PN 2 1 AB DC ABCD là hình Ta có: PQ AO OC OD OB 2 bình hành AD BC AR RQ PO BQ QC 1 1 OA OB OC OD 2 2 Câu 17: Đáp án A BO OD PR OM ON 0 OP RA DR CQ QB OI OJ Câu 20: Đáp án D Câu 11: Đáp án A AB AC B C Câu 21: Đáp án A Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ Câu 22: Đáp án B Ta có thể chỉ ra được ADCH là Vì µA 60 ABC đều hình bình hành a 3 a 3 AH DC AO AO 2 2 Câu 18: Đáp án D CO OB CO OD CD BA Câu 12: Đáp án C Câu 23: Đáp án C Câu 13: Đáp án D Câu 14: Đáp án A Câu 15: Đáp án A Câu 16: Đáp án C Ta có: OB OC R BO CO LOVEBOOK.VN | 17
- Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing AB CD AD DB CB BD AD CB DB BD AD BE CF AE ED BF FE CD DF AD DB VP AE BF CD ED DF FE Câu 27: Đáp án D AE BF CD AA' BB ' CC ' Câu 24: Đáp án D AG GG ' G ' A' Ta có: GC 2C G D sai. 1 Ta có: BG GG ' G ' B ' Nhận xét: ABC và A1B1C1 BA CB BD DC 0 CG GG ' G 'C ' 3GG ' cùng trọng tâm. Câu 28: Đáp án D BC CA BA 0 B A Câu 32: Đáp án B AB CD EA Vì A, B bất kì D sai. Ta có: AC CB CD ED DA' Câu 25: Đáp án B NP MN NQ QP MQ QN CB ED AC CD DA QP MQ NQ QN CB ED AD DA CB ED QP MQ VP Câu 29: Đáp án C Câu 33: Đáp án B 2MA MB 3MC 2MC 2CA MC CB 3MC 2CA CB VT OA OB OC Câu 30: Đáp án D OM MA ON NB OP PC Mà NB NM NP AB AC AD MA NB PC AG GB AG GC AG GD MA NM NP PC NA NC 0 1 3AG GB GC GD AI AK AB AC 2 4GA GA GB GC GD VT OM ON OP 1 AD AC 2 4AG 2I 2GJ 4AG Câu 26: Đáp án A (II) và (III) sai vì G không phải là VT 1 3 trung điểm của AC và BD. AC AB AD AC 2 2 Câu 34: Đáp án A Câu 31: Đáp án D LOVEBOOK.VN | 18
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing S S MA' b MB c MC * bIN p a IC p c IA 2 S S S S b c b c cIP p b IA p a IB 3 Mặt khác Cộng từng vế (1), (2), (3) ta được: MA' S S MA'B MA'C MA SMAB SMAC aIM bIN cIC S S S MA'B MA'C a 2 p b c IA 2 p a c IB SMAB SMAC Sb Sc MN MA AB BN 2 p a b IC Ta có S MN MD DC CN Ma ' a MA , thay vào aIA bIB cIC 0 Sb Sa Nhận xét: Áp dụng kết quả nếu I nMN nMA nAB nBN (*) ta được: là tâm đường tròn nội tiếp ABC mMN mMD mDC mCN Sa MA Sb MB Sc MC thì m n MN S MA S MB S MC 0 aIA bBI cCI 0 nMA mMD nAB mDC a b c Dạng 3: Xác định điểm thỏa nBN mCN Câu 36: Đáp án A mãn điều kiện cho trước 0 nAB mDC 0 Câu 37: Đáp án B nAB mDC MN Câu 38: Đáp án C m n Câu 35: Đáp án A Ta có: MN 3MP và P, N khác đối với M Câu 39: Đáp án C Câu 40: Đáp án B Gọi p là nửa chu vi ABC , ta có: Câu 41: Đáp án C AP AN p a 2IA 3IB 3BC BM BP p b Gọi A' AM BC 2IA 2IB IB 3BC CN CM p c A'C A' B 2 IA IB 2BC IB BC Ta có MA' MB MC MB MB BC BC Ta có IM .IB .IC BC BC 2BA 2BC IC A'C SMA'C SMAC Sb 2BA 2BC IC aIM p c IB p b IC 1 A' B SMA'B SMAB Sc 2CA IC CI 2CA Tương tự: A'C S A' B S Câu 42: Đáp án D b ; c BC Sb Sc BC Sb Sc LOVEBOOK.VN | 19
- Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Gọi K là trung điểm BC Câu 48: Đáp án A NB NC 2NK Ta có Nên 2NA NB NC 0 AB AC AD 4AM 4AM 2AC 2NA 2NK 0 1 AM AC M O NA NK 0 2 M là trung điểm AB nên N là trung điểm AK Câu 49: Đáp án D AB 2AM Câu 45: Đáp án D Ta có M là trọng tâm thì AC 2AN 3AB 2AC 12AK 0 MA MB MC 0 So sánh với 6AM 6AN 12AK 0 1 MA MB MC AK AM AN 2 1; 1 K là trung điểm của MN. MA 2MB CB Câu 50: Đáp án D Câu 43: Đáp án C MA MB MB CM MC CD MA 2MB 3MC MA MB MC 0 M là MA 2MB 2CM CM trọng tâm ABC CA 2CB CA CE Câu 46: Đáp án A Vậy D là đỉnh của hình bình hành 2MA MB 3MC ACED. 2 MA MB MC MC MB MA MB BA Câu 51: Đáp án B 6MG BC 0 MA MB MC AD 2IA 3IB 0 1 BA MC AD GM BC 5IA 3IB 3IA 0 6 CM AD AB AC 5IA 3AB 0 Câu 47: Đáp án B 3 3 Vậy C là trung điểm của AM AI AB k Ta có MA MB 4MC 0 5 5 Câu 44: Đáp án C Dạng 4: Tìm tập hợp điểm M MA MB MC 3MC thỏa mãn điều kiện 3MG 3MC MG MC Câu 52: Đáp án A Hay M là trung điểm của GC LOVEBOOK.VN | 20
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing MA MB MC BA MC Câu 56: Đáp án D Gọi E là trung điểm của AB, I là trung điểm của EC Vậy tập hợp điểm M là đường MA MB 2MC tròn tâm C bán kính AB. 3ME 2MC 4MI Câu 53: Đáp án A k MI BC MA MB MC MD 4 4MO k Do I, B, C cố định nên tập hợp điểm M là một đường thẳng đi k MO qua I và song song với BC. 4 Câu 58: Đáp án C Vậy tập hợp điểm M là đường k tròn tâm O bán kính 4 Gọi I là trung điểm AB Câu 54: Đáp án B I là điểm cố định: MA MB 2MI MM ' 2MI I là trung điểm của MM ' GT đã cho Gọi O ' là điểm đối xứng của O MA MB MC 3MA qua điểm I thì O ' cố định và MOM 'O ' là hình bình hành 2MA 2MI Gọi I là trung điểm của AB thì OM OM ' R M ' nằm (I là trung điểm AB) MA MB 2 MC trên đường tròn cố định tâm O ' 2MI 2MC bán kính R. 3 MG MA 2 MA MI Câu 57: Đáp án B Tập hợp điểm M là trung trực (G là trọng tâm ABC ) của IC 1 6 MJ 2 IA MJ IA Câu 55: Đáp án C 3 (J là trung điểm của AG) Ta có MA MB MC 3MG 1 JM AG MA MC CA 2 1 3MG CA MG CA 3 LOVEBOOK.VN | 21
- Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Vậy tập hợp điểm M là đường MA 2MB MC Câu 63: Đáp án B AG tròn tâm I bán kính R MA MA MB 3 MA AC Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm 2 ABC và DEF . 2AB 3AC 2AB 2AH 2HB Câu 59: Đáp án A (với H là điểm thỏa mãn MA MB MC 3 kMA kMB 2MC AH AC ) 2 MD ME MF 2k.MI 2MC MC kMI MA MB 3 MP 3 MQ (I là trung điểm AB) k MA 2MB 3MC 3 MP MQ 3PQ M nằm trên đường thẳng CI. 2ME 2k HB ME k HB Dấu " " xảy ra khi M thuộc Câu 60: Đáp án C đoạn PQ. Vậy tập hợp điểm M là Đáp án D Vì A, B, C cố định nên ta chọn đoạn thẳng PQ. điểm I thỏa mãn: Câu 62: Đáp án B Câu 64: Đáp án A 2IA 3IB 4IC 0 Từ giả thiết 2IA 3 IA IB 4 IA IC 0 2MA MC k MC MB 9IA 3AB 4AC 2MA MC k BC * 3AB 4AC IA 9 Gọi I là điểm sao cho: I duy nhất từ đó 2IA IC 0 IC 2IA, I AC Gọi O,O ' lần lượt là trung điểm 2MA 3MB 4MC AD và BC, ta có: Từ (*): 9MI 2IA 3IB 4IC 9MI AB ' AO OO ' O ' B 2 MI IA MI IC k BC và MA MB AB và DC DO OO ' O 'C 3MI k BC Từ giả thiết AB DC 2OO ' Vậy tập hợp điểm M là đường AB thẳng qua I và song song với BC. 9MI BA MI 9 Gọi I là trung điểm MN Dạng 5: Phân tích vectơ qua hai Câu 61: Đáp án D AM DN 2OI vectơ không cùng phương. Sự 1 OI k AB k DC kOO ' thẳng hàng, song song. 2 Câu 65: Đáp án A Vậy tập hợp điểm I là đường Câu 66: Đáp án C thẳng OO ' LOVEBOOK.VN | 22
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing Từ đó ta có hệ phương trình: 5 3 AB AI AJ 8 8 4 2 BA a b 25 9 2BA BC 2a 3 3 AC AI AJ 16 16 BA 2BC 2b 2 4 BC a b 5 3 3 3 AI AJ 1 8 8 AB AM MB AG 3 25 9 3GM GB GM AI AJ Câu 69: Đáp án B 16 16 2GM GB 35 1 AI AJ GB GC GB 2GB GC 48 16 4 2 BN CP Câu 70: Đáp án D 3 3 Câu 67: Đáp án D nBM mBC 1 n AM AB m AC AM DN DA AN CB AE 2 Gọi M là trung điểm BC: m n AM nAB mAC 1 AB AC AB AC 2 1 n m 4 AG AM AB AC AM AB AC 5 3 3 3 m n m n AB AC 4 4 2IC 3IB Câu 71: Đáp án C 2 AC AI 3 AB AI 5 3 MB kMC Vậy p ,q 4 4 3 2 AI AB AC AB AM k AC AM 5 5 Câu 68: Đáp án D AB k AC AM Tương tự: 1 k 5 2 AJ AB AC Câu 72: Đáp án B 3 3 Ta có hệ: BC 2BK 2 BA AK 3 2 AB AC AI 2BA 2a 5 5 3 2 2BA BC 2a AB AC AJ 5 5 1 CD 2LD 2 LA AD NA OA ON OA OB 2 2BC 2b Câu 73: Đáp án A BA 2BC 2b LOVEBOOK.VN | 23
- Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing 1 AD AB BD AB BC 3 1 3 1 AP AB; AN AC AB AC AB 2 4 3 3 1 2 1 MB 3MC AM AC AB AB AC 2 2 Đặt DM xDB, EM yFM 3 3 Do đó Câu 75: Đáp án D DM xDA xDC nên 3 MP AP AM AB AC 1 2 EM DM DE 1 3 MN AN AM AB AC 2 xDA xDC mDA 2 4 x m DA xDC Từ (1), (2) MP 2MN M, N, P thẳng hàng. Ta có: EM yFM Từ giả thiết: MA MB MC Câu 77: Đáp án A M là đỉnh thứ tư của hình bình x m DA xDC xyDA hành ACBM. y x m DC Từ giả thiết: Do DA và DC không cùng 2NA NB NC 0 phương nên: 2NA 2NK 0 m.n x N là trung điểm AK, với K là x m xy m n Ta có: 3AG AM AN AM x y x n m trung điểm BC. y 1 1 n Ta có: AB AB AC AB 3 2 m.n 1 5 DM DB MN MA AN BC AK AB AC m n 2 6 5 1 Câu 74: Đáp án A 1 AG AB AC AC AB AB AC 18 3 4 AI AB BI AB mAC 3 5 AB AC 4 4 AB m AC AB 3 5 p ,q 1 m AB mAC 4 4 Câu 76: Đáp án C Để AI đi qua G thì AI, AG cùng phương AI k AG LOVEBOOK.VN | 24
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing 1 m AB mAC BA BN 2BN IQ IN 2IJ 5 1 k. AB k. AC 3 BC BN 0 IM MQ IP PN 2IJ 18 3 6BN BA 3BC 2 MQ PN 2IJ 5k 6 1 m m 18 11 Từ (1), (2) 1 1 AE BD BD 2IJ k 18 2 2 m k 3 4BM 6BN BM BN 1 3 11 2 AE IJ 4 Câu 78: Đáp án B Câu 80: Đáp án C Câu 82: Đáp án C 1 AI AB 3 1 AC CI AC CB 3 1 Gọi E là trung điểm AC CI 2AC BC 1 3 1 AN AE MN //BE AJ 3AC AB BJ 3AB BC 2 Lời giải chi tiết ở phần Ví dụ - BJ 2AB BC 2AC BC 2 G là trọng tâm ABE dạng toán 2. 1 Từ (1) và (2) CI BJ 3 2 Nhận xét: Đường thẳng đi qua 3 AG AD nên M, N, P thẳng 3 điểm trực tâm, trọng tâm và tâm Câu 83: Đáp án D hàng đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường Ơ – le. P là trung điểm AG. Câu 81: Đáp án C 1 1 Vậy AP AG AD 2 3 Câu 79: Đáp án B Đặt AI xAN,CI yCM MA 2MC 0 Ta có: AI x AB BN BA BM 3 BC BM 0 x 4BM BA 3BC 1 xAB AC 4 Theo bài ra: 3x x 21x x AB AC AM AC 4 4 8 4 AN 2NB 3NC 0 Vì M, C, I thẳng hàng LOVEBOOK.VN | 25
- Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing 21x x 8 1 x CD 2k 1 a 1 k b 8 4 23 AB GB k AB Tương tự ta chưa tìm được ED 1 k AB GB 1 Gọi O là giao của 2 đường chéo IC 21 GB IM 2 AB AD AC 2AD a 3 Câu 85: Đáp án C Câu 84: Đáp án D Câu 88: Đáp án C OC OA;OD 2OA Vì OM ,ON cùng phương k sao cho k ON kOM ON OA OB 2 CN Ta đặt: CA a,CB b Đặt k,k 0 ND b Khi đó CM CE kCA ka 3 2k 2 Ta có: ON .OA OB OA CB OA BC 1 k k 1 Vì E nằm ngoài AC nên có số k OA AD OD 6 4k 3 sao cho: CE kCA ka với k BD a 2 k k 1 k k 1 2 0 k 1. 2 2 Dạng 6: Xác định và tính độ lớn Khi đó CF k.CB kb . Câu 89: Đáp án A vectơ Điểm D nằm trên AM và EF nên Câu 86: Đáp án C có số x này: Vì theo quy tắc 3 điểm CD xCA 1 x CM BC AB AB BC AC yCE 1 y CF Câu 87: Đáp án A Hay a 3 AB AC 2AM 2. 1 x 2 xa b kya k 1 y b 2 a 3 Vì a,b không cùng phương nên M là trung điểm BC. 1 x Câu 90: Đáp án D x ky và k 1 y 2 Theo quy tắc 3 điểm độ dài vectơ Suy ra x 2k 1 do đó tổng bao giờ cũng nhỏ hơn hoặc LOVEBOOK.VN | 26
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing bằng tổng độ dài 2 vectơ thành 2 1 a 2 21a 2 541 Ta có: NC AM BC phần. u 2,5a a 4 4 2 2 Câu 91: Đáp án A Câu 95: Đáp án A 2 2 a 10 BN BC NC AC CB AC AC BC CA AC BD 2AO 2OD 2 Câu 98: Đáp án B AA' 0 2 AD 6 Câu 92: Đáp án C Câu 96: Đáp án A 3 Gọi K AM : MK MA 4 AB BC AB AB ' H MB : MH 2,5MB BB ' 2 BK a 3 Ta có: AC a 2 và Do đó: Câu 93: Đáp án A AC a 2 3 OA MA 2,5MB MK MH 4 2 2 HK a OM . Gọi E là điểm sao 2 Ta có: cho OBEA là hình bình hành 3 3 3a 5a MK AM , MH OA OB OE AB a 4 8 4 Câu 97: Đáp án D a 127 Gọi K là điểm đối xứng với G qua KH MH 2 MK 2 8 AC thì AK GC AB GC Câu 99: Đáp án A 2a 3 AB AK KB 2BG 3 Câu 94: Đáp án A Dựng hình bình hành ABMN Áp dụng Pitago: BA BM BN BN LOVEBOOK.VN | 27
- Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Ta xem F là tổng của vectơ F1, F2 lần lượt nằm trên 2 dường thẳng AC và AB và ta có: AB AC AD 3 3 F1 F 10N; F2 10 2 và lực F theo hướng BA A đúng. 2 u 4 MO OA 3 MO OB II. Trục tọa độ, hệ trục tọa độ MO OC 2 MO OD HA HB HE AB 3 Dạng 1: Trục tọa độ 3OA OB B đúng. Câu 1: Đáp án D Trên OA lấy A' sao cho 63 BA BH BI OA' 3OA 2 2MA 3MB 0 2MA 3MB 2 xA xM 3 xB xM u OA' OB ' C đúng. xM 13 BA' OB2 OA2 a 5 HA HB BA 3 D sai. Câu 2: Đáp án B Câu 100: Đáp án C Câu 102: Đáp án C 2MA 3MC 4MB 0 2 5 xM 3 4 xM 4 2 xM 0 10 x M 9 Câu 3: Đáp án D A' đối xứng với A qua B nên B là F1 F2 OB OD OC Theo quy tắc hình bình hành: trung điểm của AA' F1 F2 OC 2OI 100 3 F1 F2 MA MC MB xA' xA 2xB xA' 2b a (vì OBD đều) AMB là tam giác đều Câu 4: Đáp án C Câu 101: Đáp án D MB 100N 2 BC BC m 2m 4 2 Câu 103: Đáp án C m 1 3 3 m ¡ LOVEBOOK.VN | 28
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing BC nhỏ nhất khi Chọn D là gốc tọa độ và a, b, c x a 2b 3c 0 m 1 0 m 1 lần lượt là tọa độ của A, B, C. x a 2b 3c 18;0 Câu 5: Đáp án D Ta có: Câu 15: Đáp án D Ta có: 2 2 2 DA .CB DB .CA DC .AB Ta có: xD xA xB xC AB.CA.AB 0 2 2 2 AB 2;2 , BC 3; 3 xB xD xA xC a c b b c a c b a 2 2 c b a c b a AB BC x 2xJ 2xI 2 xJ xI 3 3 a2c a2b b2a b2c c2b c2a Câu 16: Đáp án C Là tọa độ của 2IJ nên A đúng. c2b c2a abc c2b b2a b2c 2 2 2 Câu 17: Đáp án A Tương tự: a c c a a b abc 0 Câu 8: Đáp án C Theo bài ra u v x x x x 2 x x C A B D L K Ta có: 2 m 3 5m 3 là tọa độ của 2KL B đúng. m 2 CD x x 9 7 16 2 D C 2m m Gọi E, F là trung điểm của IJ và KL Câu 9: Đáp án B Câu 18: Đáp án D Ta có BC x x 1 B C Ta có: V 3i 2 j x x x 4 E 2 I J Câu 10: Đáp án D 1 1 Câu 19: Đáp án C x x x x 4 A C 4 D B MA AB BD MD a cùng phương b a kb 1 xF xK xL MB BD MD 2 4 k 2m 6 m 1 1 1 MD MD 2MD m k m 2 xA xD xC xB 4 4 Câu 11: Đáp án C Câu 20: Đáp án C xE xF C đúng. Gọi M có tọa độ là x Ta có: 2 Vậy đáp án D sai. x 2 x 3 x x 6 AB 1;5 , DA 2; 10 Câu 6: Đáp án B Dạng 2: Tọa độ vectơ Gọi tọa độ điểm M là x Câu 12: Đáp án B DA 2AB 1 1 1 A, B, D thẳng hàng. Câu 13: Đáp án D 2 x 1 x 2 x Câu 21: Đáp án A 2 c 3 3; 2 2 1;4 11;2 x 4x 0 x 4 Giả sử b ma nc Câu 7: Đáp án A Câu 14: Đáp án A LOVEBOOK.VN | 29
- Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing 1 OM 3,OM 4,OM OM 1 5 0 m 1 2 1 2 x 1 4m 2n 8 3 x 2 M1M 2 3;4 1 2m 5n 1 1 3 y y 4 m Câu 27: Đáp án B 0 4 3 AB 4;3 , DC 5 x;3 y Câu 22: Đáp án B Câu 31: Đáp án D 7 2m 3n với D x; y M Ox M x;0 , c ma nb 2 m 4n AB 1;7 , AM m 2;3 5 x 4 x 1 AB DC m 4,4 3 y 3 y 0 Để A, B, M thẳng hàng m n 3,8 n 0 D 1;0 m 2 3 17 m Câu 23: Đáp án B 1 7 7 Câu 28: Đáp án B CD 2;4 , AB 1;5 , Câu 32: Đáp án D Gọi A x; y , ta có: PA MN AC 4;6 I là trung điểm của CD xAB y AC x 1 2 x 3 1 3 OB I ; x 4y 2 x 2 y 6 1 y 7 2 2 5x 6y 4 y 1 A 3;7 Câu 33: Đáp án D CD 2AB AC Câu 29: Đáp án C Ta có Câu 24: Đáp án D Ta có 2MA BC 4CM MA MB 3MC 0 2u 4a 3b, 12v 4a 3b 1 x 4 x 2 3 xM 2 1 4 xM 2 M M u 6v 3 2 x 0 2 3 yM 5 4 4 yM 5 M Dạng 3: Tọa độ điểm 1 3 yM 0 yM x M 1 5 Câu 25: Đáp án D 6 3 5 yM 0 M ; 5 6 6 y xM 1 Ta có M 6 yM 18 3 1 5 5 2 2 Câu 30: Đáp án C G ; 3;3 Câu 34: Đáp án D 3 3 Ta có P thuộc Oy 0; y Câu 26: Đáp án D Gọi G thuộc trục Ox G x;0 I x; y : IM IN IP 0 I là Ta có M1 3;0 , M 2 0; 4 Vì G là trọng tâm MNP trọng tâm MNP (vì M, N, P không thẳng hàng) I 2;1 LOVEBOOK.VN | 30
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing T EI IM EI IN EI IP xA kxB y2A ky B 2 xM ; yMx I ;3 1 k 31 k 3 3EI 3EI Câu 39: Đáp án D T nhỏ nhất khi E là hình chiếu Tọa độ các điểm: Ta có của I trên trục Ox E 2;0 2 3 1 A' 3;4 , B ' 1; ,C ' ; 3 2 2 AB 9;3 , AC 5; 5 Câu 35: Đáp án A Ta có: AB, AC không cùng phương. 3 7 1 7 A'C ' ; ; B 'C ' ; D Ox D x;0 và D thuộc 2 2 2 6 đường thẳng AB A, B, D thẳng A'C ' 3B 'C ' hàng Câu 37: Đáp án D x 6 3 AD x 6; 3 Dễ thấy A, B nằm ở hai phía với 9 3 trục hoành. x 15 D 15;0 Ta có MA MB AB . Dấu " " Ta có: BE 2EC xảy ra khi A, M, B thẳng hàng và Với BE x 3; y 6 , MA, AB cùng phương E E EC 1 x ; 2 y Gọi M 0; y yOy ' x 1 0 1 6 E E M x M 1 2 1 4 1 5 x Ta có x .x 15 0 A, B nằm x 3 2 1 x A B 6 3 M ;0 y 6 2 2 y 2 cùng phía trên trục yOy ' 5 y 3 MA MB AB , dấu " " xảy ra Câu 38: Đáp án D 1 2 E ; khi A, M, B thẳng hàng Gọi I x; y là giao điểm của 2 3 3 MA 3;1 y , MB 5;5 y đường thẳng AC và BD. Gọi I x; y 3 1 y y 5 AI x; y 1 , AC 2;6 46 2 5 5 y DI x 15; y , DE ; 3 3 M 0; 5 x y 1 6x 2y 2 1 3 x 15 3y 2 6 cùng phương Câu 36: Đáp án B 46 2 BI x 1; y 3 , BD 1;0 Áp dụng công thức, điểm M chia x 23y 15 0 1 đoạn AB theo tỉ số k: y 3 thế vào (1) LOVEBOOK.VN | 31
- Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing AI x 6; y 3 , AC 5; 5 Câu 2: Đáp án D Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi x 6 y 3 Câu 3: Đáp án D và chỉ khi AB cùng phương với cùng phương AC 5 5 Ta có x y 3 0 2 3 m 3 2m AB CD AB CD m 0 4 4 Từ (1) và (2) ta được: Suy ra tập hợp các điểm D thỏa Câu 7: Đáp án B 7 1 7 1 yêu cầu bài toán là đường tròn x ; y I ; Gọi điểm N có tọa độ x 2 2 2 2 tâm C, bán kính AB. N Câu 40: Đáp án D Câu 4: Đáp án A Ta có 2NA 5NB Vì M thuộc Ox nên M x;0 x x x 2 a xN 5 b xN x A B C 2 C 3 5b 2a G 2;1 x A, B, M thẳng hàng nên AB cùng N yA yB yC 7 yC 1 phương AM 3 Câu 8: Đáp án C Câu 5: Đáp án D Ta có AB 1;3 , Ta có: điểm C đối xứng với điểm A qua điểm B nên điểm B là trung AM x 1; 2 điểm của đoạn thẳng AC AB cùng phương AM x x 5 x x A C 1 C B 2 2 x 1 2 1 x y y 2 y 1 3 3 y A C 2 C B 2 2 m 1;n 3 nên m2 n2 10 5 xC 2 xC 7 2 2 C 7;2 Ta có: AC AB BC a 2 2 y 4 y 2 III. Đề kiểm tra chủ đề 8 C C Câu 9: Đáp án B AC a 2 Câu 1: Đáp án C AO 2 2 MA kMB A. sai do hai vectơ không bằng 1 AO AC OA OM k OB OM nhau thì có thể hai vectơ ngược 2 hướng nhưng độ dài vẫn bằng AO OB AO OB OA kOB OM kOM nhau OA kOB OM Câu 6: Đáp án B 1 k B. sai do một trong hai vectơ là vectơ không AB 3 m;3 2m , AC 4;4 Câu 10: Đáp án B C. đúng do hai vectơ bằng nhau thì hai vectơ cùng hướng LOVEBOOK.VN | 32
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing 2 u 2i j u 2; 1 AMBO và M d . Vậy OA OB AG AG AM Ta có 3 v i x j v 1; x cùng phương với OD A đúng. 2 AB2 BM 2 + Tương tự 3 Để u và v cùng phương thì 2 OC OE ON, N d B đúng 2 2 a a 3 1 a v ku x 3 4 3 2 + AB và EC vuông góc với d BI BI BM 2 MI 2 Câu 11: Đáp án D AB / /EC nên AB và EC a2 a2 a 21 Gọi D x; y . cùng phương C đúng. 4 3 6 Ta có ABCD là hình bình hành Câu 13: Đáp án D Câu 15: Đáp án B Gọi M a;0 thuộc trục hoành. x 2 1 0 AD BC Ta có x b 2a 2;4 y 1 1 2 AB 1;7 , AM a 2;3 x 1 Mỗi lỗi học sinh hay vấp là thay y 2 A, B, M thẳng hàng AB, AM vì 2 2 4 lại bỏ mất 1 dấu cùng phương trừ thành 2 2 0 nên chọn A; Học sinh dễ nhầm lẫn với công thức ABCD là hình bình hành a 2 3 17 hoặc thực hiện phép tính 2a chỉ a AB CD hoặc tính toán sai. 1 7 7 nhân vào hoành độ hoặc tung độ nên có thể chọn C, D. Câu 12: Đáp án D 17 Vậy M ;0 7 Câu 16: Đáp án D Câu 14: Đáp án B Ta có: AB AB a . Gọi M là trung KA KB KC BC KD DA KD DB + Gọi d là đường thẳng chứa OD điểm của BC. Ta có: KD DC BC d là trục đối xứng của ngũ KD DA CB BC giác đều. Ta có: OA OB OM KD BC DA trong đó M là đỉnh của hình thoi LOVEBOOK.VN | 33
- Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing D là trung điểm của AK. Cách 1: Vẽ các điểm trên mặt Gọi D x; y phẳng tọa độ Oxy, ta nhận thấy 3 Câu 17: Đáp án A điểm A, B, D thẳng hàng. Ta có AB 1;1 , AC 2;6 , Cách 2: AD x 1; y 1 . AB 1;5 , AD 2;10 . Khi đó Ta thấy AD 2AB AB, AD AB 2AC 3AD 0 cùng phương nên 3 điểm A< B, 1 2.2 3 x 1 0 Ta có I là trung điểm AC D thẳng hàng. 1 2.6 3 y 1 0 xA xC 2x1 0 xC 2 Câu 20: Đáp án A x 2 yA yC 2y1 3 yC 0 8 Vậy C 2; 3 Ta có: B ' đối xứng với B 2;7 y 3 qua trục Ox B ' 2; 7 xB 4 Học sinh dễ sai khi tính toán tọa Ta có AB DC y 3 4 B B '' đối xứng với B 2;7 qua độ vectơ AB, AC, AD dẫn đến Vậy B 4; 1 . Tọa độ trung trục Oy B '' 2;7 các kết quả sai. Câu 23: Đáp án C điểm của BC là 3; 2 B ''' đối xứng với B 2;7 qua Câu 18: Đáp án D gốc tọa độ O B ''' 2; 7 Ta có: MA MB MC 3a Câu 21: Đáp án A 3MG 3a GM a Ta có: Nên M thuộc đường tròn tâm G, MA MC 2MB bán kính a 2MD 2MB 2 MD MB Câu 24: Đáp án D 2.0 0 x 3y 1 a b OC 2OH 10 3 a xb yc 2x y 3 Câu 22: Đáp án A Từ giả thiết: x 2 y 1 a b c 0 c a b Do đó A xy x y 1 c CC ' ngược hướng OC Học sinh hay nhầm lẫn chỗ bấm Câu 19: Đáp án C máy tính khi giải hệ LOVEBOOK.VN | 34
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing x 3y 1 2MA 3MB 3MB 2MC lại chuyển hết về 1 2x y 3 Vì AD là phân giác trong của tam x 3y 1 0 MK ML giác ABC nên: vế rồi bấm máy 2x y 3 0 Tập hợp điểm M là đường BD AB 5 5 BD DC x 2 trung trực của đoạn thẳng KL. DC AC 7 7 theo hệ số đó ra kết quả y 1 5 Câu 27: Đáp án D AD AB AC AD nên được kết quả A 3 ; hoặc 7 7 5 có thể tính toán sai khi nhân AD AB AC 12 12 vectơ với 1 số. Câu 29: Đáp án A Câu 25: Đáp án A Vì G ' là trọng tâm của tam giác OCD nên I. AB BC AC AC AC 0 1 I sai. GG ' GO GC GD 1 MA 2MB MC 0 3 II. KB JC AK AJ AI MA MC 2MB 0 Vì G là trọng tâm của tam giác II đúng. 2MK 2MB 0 OAB nên: GO GA GB 0 III. MK MB 0 GO GA GB 2 AK BI CJ AK KJ JA 0 M là trung điểm của KB III đúng. Từ (1) và (2) suy ra: M là tâm của hình bình hành Câu 30: Đáp án D 1 BIKJ. GG ' GA GB GC GD 3 Câu 26: Đáp án A 1 = AC BD Vì A, B, C cố định nên gọi K là 3 điểm thỏa mãn: 2KA 3KB 0 Câu 28: Đáp án C L là điểm thỏa mãn: MC / / AN, NC AN MANC 3LB 2LC 0 là hình bình hành AM NC . LOVEBOOK.VN | 35
- Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Tương tự MCDN, BNDM, IMKN Câu 34: Đáp án C là hình bình hành aMA bMB 0 DK KM , DK NI, aMA b MA AB 0 MD BN nên các đáp án A, B, b MA AB C đúng D sai. a b Câu 31: Đáp án D Do giả thiết M được xác định Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm duy nhất trên đường thẳng AB. của BC, AC, AB. Ta có: Câu 35: Đáp án D + AH BH CH HA HB CH 2HP CP 0 + AB BC BD A đúng. AB DA DB DB DB 0 + AB BC 2AM 3AH B A sai. đúng. + AC BD CB DA + HB HC 2HM AH D đúng. AC CB BD DA Câu 33: Đáp án D Ta có ABA' B ' là hình bình hành AB BA AB AB 0 AB ' BA' B sai. Tương tự ta chỉ ra được: + AD DA AD AD 0 C sai. + AHCB ' là hình bình hành + OA BC DO AH CB ' + BHCA' là hình bình hành DO OA BC DA AD 0 Gọi I, K là trung điểm AB và CD. MH MA' Câu 32: Đáp án C GA GB 2GI Câu 36: Đáp án C GC GD 2GK GA GB GC GD 2GI 2GK 0 G là trung điểm của IK LOVEBOOK.VN | 36
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing 1 AB AC AB 4 3 1 AB AC 2 4 4 Giả sử G là trọng tâm MPR . 2 2 2 a a 5 AH AB BH a 2 2 (I) đúng. Khi đó GN GQ GS + AM BN 1 1 Câu 37: Đáp án B GB GC GD GE 2 2 1 1 Áp dụng kết quả trọng tâm: AB AC BA BD 1 4 4 GF GA 2 1 Với M là điểm bát kì: AC BD 1 1 4 GA GB GC GD 2 2 MA MA MC 3MG 1 1 AC BD BC 1 4 8 GE GF Câu 38: Đáp án D 2 (II) đúng. GH GP GR 0 1 G cũng là trọng tâm NQS + ND BN BD BM BD 2 Câu 42: Đáp án B 1 BA BD BD Nếu G là trọng tâm của tam giác 4 1 3 1 3 thì MA MB MC 3MG Ta có: AM BN CP BA BD AB BC 4 4 4 8 Do đó MN 3MG (xem thêm ví 3 3 3 AG BG CG (III) đúng. 2 2 2 dụ dạng trước) M là tâm Câu 40: Đáp án A đường tròn ngoại tiếp tam giác 3 AG BG CG 0 Câu 43: Đáp án A 2 MA kMB 0,k 0 Câu 39: Đáp án D MA kMB MA, MB ngược hướng M ở trong đoạn AB Câu 41: Đáp án C 1 1 + MB MA AB AD AB AB CM CM 2AB 2 2 CM 2CD D là trung điểm của CM. LOVEBOOK.VN | 37
- Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Câu 44: Đáp án A 1 4 Gọi D 2a;a B 2 2a;2 a MH MB BH BC BI 2 3 1 4 1 AK 1; 1 , AB 4 2a; 1 a BC . BA BC 2 3 2 1 2 Vì AK, AB cùng phương nên BA BC BA BA AC 2 3 4 2a 1 a 5 1 5 1 a 1 BA AC AB AC 1 1 Từ giả thiết 6 6 6 6 5 1 D 2;1 , B 0;1 m ,n MA MC MB MC 6 6 Câu 49: Đáp án C MB MC Câu 46: Đáp án B CB CA MB MC Chọn điểm I thỏa mãn 2 CJ 2 MI MI CJ IA 2IB 3IC 4ID 0 (với I, J là trung điểm của BC, IA 2IB 3IC 4ID AB) Suy ra MA 2MB 3MC 4MD Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính CJ. MI IA 2 MI IB Câu 45: Đáp án A 3 MI C 4 MI ID 2MI Ta có: 1 Nên k 2 AN AC CN AC AB 2 Câu 47: Đáp án C MN MA AN Ta có: 1 1 AB AC AB 7 2m 3n 3 2 c m.a n.b Gọi I là trung điểm AC. 2 m 4n 5 AB AC 6 22 m 5 19 Vì G là trọng tâm tam giác MNB m n 3 5 nên n 5 Câu 48: Đáp án D I là trung điểm AC nên C 4; 1 LOVEBOOK.VN | 38
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing 3AG AM AN AB 1 1 AB AC AB AB 3 2 5 AB AC 6 5 1 Suy ra AG AB AC 18 3 Câu 50: Đáp án D Từ giả thiết ta xác định được hình thoi trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Gọi I là tâm hình thoi ta có: a BI ABsin B· AI asin 30 , 2 a2 a 3 AI AB2 BI 2 a2 4 2 LOVEBOOK.VN | 39
- Chủ đề 9: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng The Best or Nothing TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Chủ đề 8 Trong chủ đề này, chúng tôi xin giới thiệu một chuyên đề hình học lớp 10 nữa, đó là phép nhân vô hướng của hai vecto. Phép nhân này cho kết quả là một số, số Vấn đề cần nắm: đó gọi là tích vô hướng của hai vecto. Để có thể xác định tính vô hướng của hai 1. Giá trị lượng giác của một vecto ta cần đến khái niệm giá trị lượng giác của một góc bất kì với góc bất kì từ 0 180 0 180 là mở rộng của khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn 2. Tích vô hướng của hai đã biết ở lớp 9. vectơ 3. Các hệ thức lượng trong tam giác §1. Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 A. Lý thuyết 1. Định nghĩa Với mỗi góc (0 180) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho x·OM . Tung độ của điểm M là sin của góc , kí hiệu là sin Hoành độ của điểm M là côsin của góc , kí hiệu cos . Giả sử điểm M có tọa độ M x0 ; y0 . Khi đó y0 sin , x0 cos . STUDY TIP y0 Khi x0 0 , tỉ số được gọi là tang của góc , kí hiệu tan . - Để nhớ định nghĩa giá x0 trị lượng giác sin, cos, tan, cot ta có các câu sau: x0 Khi y0 0 , tỉ số được gọi là cotang của góc , kí hiệu cot . Cô sin (cos) là trục nằm y0 ngang (trục hoành). Các số sin ,cos , tan ,cot được gọi là các giá trị lượng giác của góc . Song song với nó là chàng cô tang (cot). Nhận xét: Với định nghĩa này, ta thấy: Còn sin thì đứng thẳng + Góc bất kì từ 0 đến 180 có sin thuộc đoạn 0;1 . bang. Đối diện với nó có tang + Góc bất kì từ 0 đến 180 có cosin thuộc đoạn 1;1. (tan) đứng chờ. + Với 0;90 : sin ,cos , tan ,cot 0 LOVEBOOK.VN | 40
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing + Với 90;180 : sin 0,cos , tan ,cot 0 2. Các hệ thức lượng giác cơ bản 1. sin2 cos2 1. 4. tan .cot 1 sin ,cos 0 sin 1 2. tan (cos 0) . 5. 1 tan2 cos cos2 cos 1 3. cot sin 0 . 6. 1 cot2 sin sin2 3.Tính chất a) Hai góc phụ nhau 1. sin cos 90 . 4. tan cot 90 2. cos sin 90 . 5. cot tan 90 b) Hai góc bù nhau 1. sin sin 180 . 4. tan tan 180 2. cos cos 180 . 5. cot cot 180 4. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Giá trị lượng giác 0 30 45 60 90 1 2 3 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 cos 1 0 2 2 2 1 tan 0 1 3 || 3 1 cot || 3 1 0 3 Ghi nhớ: LOVEBOOK.VN | 41
- Chủ đề 9: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng The Best or Nothing Cách 1: Quy tắc bàn tay trái. - Bước 1: Ghi các góc đặc biệt lên các ngón tay như hình vẽ (lòng bàn tay hứng vào trong). Tính giá trị lượng giác của góc nào, ta quặp ngón tay đó lại như hình vẽ. sè ngãn tay bªn ph¶i - Bước 2: sin 2 sè ngãn tay bªn tr¸i cos 2 Cách 2: Đánh số vị trí cho các góc 0,30,45,60,90 lần lượt theo thứ tự là 0, 1, 2, 3, 3. sè vÞ trÝ 4 sè vÞ trÝ sin ,cos 2 2 Chú ý: Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác. 3 Chẳng hạn: sin120 sin 180 60 sin 60 2 2 cos135 cos 180 45 cos 45 2 5. Góc giữa hai vectơ a) Định nghĩa Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 . Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA a và OB b . Góc ·AOB với số đo từ 0 đến 180 được gọi là góc giữa hai vectơ a và b . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b và a,b . Nếu a,b 90 thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là a b hoặc b a Lời giải STUDY TIP b) Nhận xét: Trong định nghĩa thì O được lấy tùy ý. Tuy nhiên trong giải toán ta có thể Từ định nghĩa ta có a,b b,a . chọn vị trí điểm O thích hợp, hay chọn điểm O + a,b 0 khi và chỉ khi a và b cùng hướng. trùng với điểm gốc của vectơ a và b cho đơn LOVEBOOK.VN | 42 giản.
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing + a,b 180 khi và chỉ khi a và b ngược hướng. B. Các dạng toán điển hình Dạng 1 Xác định tọa độ của điểm M Với dạng toán này, học sinh cần nắm vững định nghĩa Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là một điểm trên nửa đường tròn STUDY TIP đơn vị sao cho x·OM (như hình vẽ). Tọa độ của điểm M là: Muốn xác định tọa độ của điểm M trên nửa đường A. sin ;cos B. sin ;cos tròn đơn vị, ta xác định · góc xOM . Khi đó C. cos ;sin D. cos ;sin điểm M sẽ có tọa độ là cos ;sin Lời giải Vì hoành độ của điểm M là cos , tung độ của điểm M là sin nên tọa độ của điểm M là cos ;sin . Đáp án C. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là một điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho x·OM 36 (như hình vẽ). Hoành độ của điểm M là: 1 5 1 5 A. 1 5 B. C. 1 5 D. 4 4 4 2 Phân tích: Dựa vào ví dụ 1, hoành độ điểm M là cos36.Dùng máy tính cầm tay ta suy ra kết quả là đáp án A. Ta sẽ chuẩn xác lời giải bằng 2 cách sau: Lời giải Cách 1: (Dùng hình học) Xét tam iacs ABC cân tại A, B· AC 36, BC 1. Khi đó ·ABC ·ACB 72 . LOVEBOOK.VN | 43
- Chủ đề 9: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng The Best or Nothing Dựng phân giác CD. Suy ra tam giác ACD cân tại D, tam giác BCD cân tại C. Do đó: DA DC CB 1. Kẻ DH AC . Đặt AH HC x AB AC 2x, BD 2x 1 AH Khi đó cos36 x . AD AD AC 1 Do CD là phân giác của góc ·ACB nên 2x STUDY TIP DB BC 2x 1 Do 1 5 0 x·OM 36 90 . 4x2 2x 1 0 x x 0 Nên 0 cos36 1. 4 Như vậy ta thấy ngay 1 5 1 5 Vậy cos36 . Hoành độ của điểm M là cos36 . rằng đáp án C, D bị loại 4 4 Lưu ý: Từ bài toán này ta có thể tính được sin18 bằng cách làm tiếp từ bài toán trên như sau: BD 2x 1 Kể CK AB , do tam giác CDB cân tại C nên DK DB 2 2 STUDY TIP DK 2x 1 5 1 Mà C· DB 72 nên sin18 cos72 Ở cách 2, ta cần biết 2 DC 2 4 công thức sau: Cách 2: (Sau khi học xong các công thức lượng giác) sin 3 3sin 4sin3 sin 2 2sin .cos Ta có: cos36 sin 54 1 2sin2 18 4sin3 18 Do 0 18 90 4sin3 18 2sin2 18 3sin18 1 0 Nên 0 sin18 1 sin18 1 4sin2 18 2sin18 1 0 5 1 5 1 sin18 cos36 4 4 Đáp án A Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, B lần lượt là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho x·OA , x· OB 0 180 (như hình vẽ). Giá trị của cos bằng: A. cos .cos sin .sin B. cos .cos sin .sin LOVEBOOK.VN | 44
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing C. cos .cos sin .sin D. sin .sin cos .cos Phân tích: Với bài toán thi trắc nghiệm, với kiểu hỏi này, ta có thể cho 60, 30. Từ đó ta sẽ cho ra kết quả là đáp án B Lời giải Từ giả thiết, ta có: B cos ;sin , A cos ;sin và B· OA . Dựng tam giác MON sao cho M· ON , N là giao điểm của nửa đường tròn với trục hoành, M thuộc nửa đường tròn đơn vị. Suy ra M cos ;sin và N 1;0 . Với cách dựng hình như trên ta có: AOB NOM c.g.c AB NM 2 2 cos cos 2 sin sin 2 cos 1 sin 0 2 2 2 2 cos 2cos .cos cos sin 2sin .sin sin cos2 2cos 1 sin2 cos cos .cos sin .sin Đáp án B STUDY TIP Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, A' là giao điểm của nửa đường OA -Với 0;90 thì tròn đơn vị với trục Ox (A thuộc tia Ox), M thuộc trục Ox sao cho OM sin ,cos , tan ,cot 0 2 (như hình vẽ). Dựng điểm N trên nửa đường tròn đơn vị sao cho MN vuông góc - Với 90;180 thì · sin 0 ; với OA. Khi đó tan NOA bằng: cos , tan ,cot 0 . 1 15 A. 15 B. C. 15 D. 4 15 Lời giải Do MN vuông góc với OA nên hoành độ điểm N bằng hoành độ điểm M. Do OA 1 1 OM nên x . Suy ra x 4 M 4 M 4 Tung độ điểm N dương do giả thiết bài toán. LOVEBOOK.VN | 45
- Chủ đề 9: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng The Best or Nothing 1 15 Do x2 y2 1 y 1 x2 1 . N N N N 16 4 y Khi đó tan N· OA N 15 xN Đáp án A Dạng 2 Tính giá trị của biểu thức lượng giác Với dạng toán này, ta sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt. Bài toán 1: Biết cos , tính các giá trị lượng giác còn lại của góc . Phương pháp: Ta có: sin2 cos2 1 sin 1 cos2 Biết sin , cos ta sẽ tính được tan ,cot Bài toán 2: Biết sin , tính các giá trị lượng giác còn lại của góc . Phương pháp: Trường hợp 1: Nếu 0;90 thì giá trị cos , tan ,cot 0 Do đó ta có thể tính đưuọc 1 trong 3 giá trị cos , tan ,cot 0 như sau: - Tính được cos bằng cách sử dụng công thức: cos 1 sin2 , rồi suy ra hai giá trị còn lại. 1 - Tính được cot bằng cách sử dụng công thức: cot 1 , rồi suy ra cot2 hai giá trị còn lại. Trường hợp 2: Nếu 90;180 thì cos , tan ,cot 0 Do đó ta có thể tính được 1 trong 3 giá trị cos , tan ,cot như sau: - Tính được cos bằng cách sử dụng công thức: cos 1 sin2 , rồi suy ra hai giá trị còn lại. LOVEBOOK.VN | 46
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing 1 - Tính được cot bằng cách sử dụng công thức: cot 1 , rồi suy ra sin2 hai giá trị còn lại. Bài toán 3: Biết tan , tính các giá trị lượng giác còn lại của góc . (Trường hợp biết cot tính tương tự) Phương pháp: Trường hợp 1: Nếu 0;90 thì cos ,sin ,cot 0 Do đó ta có thể tính được 1 trong 3 giá trị cos ,sin ,cot như sau: 1 - Tính được cos bằng cách sử dụng công thức: cos , rồi suy ra 1 tan2 hai giá trị còn lại. Trường hợp 2: Nếu 90;180 cos ,sin ,cot 0 Do đó ta có thể tính được 1 trong 3 giá trị cos ,sin ,cot như sau: 1 - Tính được cos bằng cách sử dụng công thức: cos , rồi suy 1 tan2 ra hai giá trị còn lại. Bài toán 4: Biết giá trị của một biểu thức lượng giác theo , tính các giá trị lượng giác của góc Phương pháp: - Biến đổi biểu thức lượng giác đã cho về một dạng chỉ chứa một hàm lượng giác, rồi tực hiện phép đặt ẩn phụ (nếu cần) để giải một phương trình đại số. - Biến đổi biểu thức đã cho về dạng tích. - Sử dụng bất đẳng thức. Bài toán 5: Biết giá trị của một biểu thức lượng giác, giả sử là biểu thức A, tính các giá trị của biểu thức lượng giác B. Phương pháp: - Biến đổi A rồi thay vào B. - Biến đổi B rồi sử dụng A. - Biến đổi đồng thời cả hai biểu thức A, B xuất hiện biểu thức trung gian. LOVEBOOK.VN | 47
- Chủ đề 9: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng The Best or Nothing - Sử dụng phương pháp giải phương trình để tính các giá trị. 1 Ví dụ 1: Biết cos và 0 180 3 a) Tính các giá trị lượng giác còn lại. 3tan 2cot b) Tính giá trị của biểu thức: P . tan cot Lời giải 8 1 a) Ta có sin2 cos2 1 sin 1 cos2 , tan 8,cot 3 8 b) Với câu b, ta có thể thay trực tiếp kết quả tính được ở ý a, cho ra kết quả. Ngoài ra ta có thể làm như sau: sin cos 3 2 2 2 2 3tan 2cot 3sin 2cos 3 cos 26 P cos sin sin cos 2 2 2 tan cot sin cos 1 2cos 7 cos sin Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có tan A 5 a) Tính sin A,cos A? sin3 A 2cos3 A b) Tính giá trị của biểu thức: P . sin2 A.cos A 3sin A Lời giải a) Vì tan A 5 nên suy ra góc µA tù. Do đó cos A 0 1 1 5 Ta co: cos , sin A tan A.cot A . 1 tan2 26 26 b) Với ý b, ta có thể thay trực tiếp kết quả từ ý a. Sau đây chúng tôi nêu thêm một cách nữa như sau: sin3 A 4cos3 A 3 tan3 A 4 121 P cos A sin2 A.cos A 3sin A sin2 A cos2 A tan2 A 3tan3 A 3tan A 365 cos3 A LOVEBOOK.VN | 48
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing Ví dụ 3: Cho các số m, n dương và số 0;180 \ 90 thỏa mãn m tan ncot 2 mn 1 . Tính sin ,cos , tan ,cot . Lời giải Với tan 0 , ta suy ra cot 0 . Khi đó 2 mn m tan ncot 0 (vô lí). Vậy tan 0,cot 0 0,90 . Cách 1: (sử dụng bất đẳng thức). Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: m tan ncot 2 mn tan .cot 2 mn . n tan m Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: m tan ncot mn m cot n Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản ta có: 1 1 1 m 1 tan2 cos cos2 2 n m n 1 tan 1 m n m n sin tan .cos . m m n m n Cách 2: Ta có thể tính tan ,cot như sau: 2 2 m tan ncot 2 mn m tan ncot 2 mn tan .cot 2 m tan ncot 0 m tan ncot mn Cách 3: Đặt t tan t 0 . Khi đó (1) trở thành n 2 n mt 2 mn mt 2 2t mn n 0 t m n 0 t t m Ví dụ 4: LOVEBOOK.VN | 49
- Chủ đề 9: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng The Best or Nothing 1 a) Với giá trị nào của , 0;180 thì biểu thức P xác định. sin cos b) Cho góc 0;180 thỏa mãn sin cos 2 . Tính n n Sn sin cos . Lời giải 1 a) Biểu thức P xác định thì sin cos 0 sin cos tan 1 135 1 b) Ta có: sin cos 2 2sin cos 1 sin cos 2 n 1 n 1 Cách 1: Sn 1 sin cos sinn cosn sin cos sin cos sinn 1 cosn 1 1 S 2S S n 1 n 2 n 1 1 Từ đây sẽ dễ dàng tìm ra được Sn 2n 2 Cách 2: sin cos 2 sin 45 1 45 90 k260 45 k360 k ¢ n 2 1 Do 0;180 nên 45. Vậy S sinn cosn 2 n n 2 2 2 Dạng 3 Chứng minh, rút gọn biểu thức lượng giác Vấn đề 1. Chứng minh đẳng thức lượng giác Phương pháp: Cách 1. Biến đổi vế phức tạp sang vế rút gọn. Cách 2. Biến đổi cả hai vế về cùng một biểu thức trung gian. Cách 3. Biến đổi tương đương đẳng thức cần chứng minh thành một đẳng thức đúng. LOVEBOOK.VN | 50
- Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing - Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản. - Chú ý tới các hằng đẳng thức đáng nhớ: 1. a2 b2 a b 2 2ab a b 2 2ab 2. a3 a3 a b 3 3ab a b . 3. a3 b3 a b 3 3ab a b 2 4. a4 b4 a2 b2 2a2b2 3 5. a6 b6 a2 b2 3a2b2 a2 b2 a2 b2 a4 a2b2 b4 Vấn đề 2. Rút gọn các biểu thức lượng giác. Phương pháp: - Đưa về cùng một loại hàm số lượng giác. - Rút gọn đến biểu thức đơn giản nhất. - Nếu gặp dạng phân thức thì ta thường phải biến đổi tử và mẫu duwois dạng tích rồi rút gọn cho nhân tử chung. - Nếu gặp dạng căn thức thì thường nhân và chia cho biểu thức liên hợp, biến đổi biểu thức trong căn dạng lũy thừa rồi rút gọn. Vấn đề 3. Chúng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số Phương pháp: - Biến đổi và rút gọn biểu thức cho đến khi nhận được biểu thức đơn giản mà không phụ thuộc vào biến số theo yêu cầu bài toán. - Nếu biểu thức chứa một biến số thì biến đổi nó bằng hằng số. Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau a) A 1 tan .cos2 1 cot sin2 với 0;90 . 1 sin 1 sin b) B . 1 sin 1 sin LOVEBOOK.VN | 51
- Chủ đề 9: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng The Best or Nothing c) C 2 sin8 cos8 4 cos6 2sin6 6sin4 . Lời giải a) A sin cos .cos sin cos sin sin cos 2 sin cos b) 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin Cách 1: B 1 sin 2 1 sin 2 cos cos 2 cos 2 1 sin 1 sin 1 sin2 cos LOVEBOOK.VN | 52
