›
›
›

Công phá Toán Lớp 10 - Câu 161-190 (Có lời giải)

doc 54 trang nhungbui22 11/08/2022 2820
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Công phá Toán Lớp 10 - Câu 161-190 (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doccong_pha_toan_lop_10_cau_161_190_co_loi_giai.doc

Nội dung text: Công phá Toán Lớp 10 - Câu 161-190 (Có lời giải)

  1. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing STUDY TIP Ngoài hai cách giải như bên, ví dụ này còn có thể 6 2x 0 x 3 giải được nhờ công cụ 2 2 2 2 đạo hàm mà chúng ta sẽ 9 9 x 6 2x 9 9 x 2x 6 nghiên cứu trong Giải tích 12. Cách giải dựa vào đạo Đối chiếu với điều kiện ban đầu thì x 3. Thay vào phương trình thấy thỏa hàm không chỉ giúp ta tìm mãn. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 6 . được giá trị nhỏ nhất mà còn tìm được cả giá trị Cách 2: (Đánh giá dựa vào kết quả đã biết) lớn nhất của hàm số Với mọi x 3;3 , ta có y 2x 3 9 x2 2x 2. 3 6 . không những trên đoạn    3;3 mà còn cả trên x 3 Đẳng thức xảy ra khi x 3 . một đoạn bất kỳ thuộc 2 9 x 0  3;3 . Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 6 . Đáp án A. Nhận xét: 1. Chúng ta cũng có thể tìm được giá trị lớn nhất của hàm số dựa vào bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki. Cụ thể như sau: 2 Ta có y2 2.x 3. 9 x2 22 32 x2 9 x2 9.13 3 13 y 3 13 x 9 x2 6 13 y 3 13 x . 2 3 13 6 13 Vậy max y .  3;3 13 2. Bằng kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nói trên, bạn đọc cũng có thể tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: y 2x 3 9 x2 ; y 3x 5 16 x2 . LOVEBOOK.VN | 1
  2. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 3x2 2 trên đoạn  2;2 bằng: A. 2B. 0C. 1D. 18 Lời giải Ta có x3 3x2 2 0,x ¡ . Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi x 1  2;2 . Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 3x2 2 trên đoạn  2;2 bằng 0. Đáp án B. Ví dụ 4: Biết rằng biểu thức M x 3 2 x 4 x 6 x 4 5 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi x a;b . Giá trị của 2a 3b bằng: A. 11B. 29C. 40D. 49 Lời giải 2 2 Với x 4 thì x 3 2 x 4 x 4 1 và x 6 x 4 5 x 4 3 nên biểu thức M xác định khi x 4 . 2 2 Ta có M x 4 1 x 4 3 x 4 1 3 x 4 2. M 2 x 4 1 3 x 4 0 1 x 4 3 5 x 13. Vậy, biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi và chỉ khi x 5;13. Do đó a 5;b 13 2a 3b 49 . Đáp án D. LOVEBOOK.VN | 2
  3. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing 2x y 3z 4 Ví dụ 5: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Gọi M và 3x 4y 3z 6 m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A 2x 3y 2z . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. m 3M 18 B. 3m M 18 41 35 C. m 3M D. 3m M 2 2 Lời giải Ta có: 2x y 3z 4 2x y 4 3z x 2 3z . 3x 4y 3z 6 3x 4y 6 3z y 3z A 4 z . 2 14 2 Vì x, y, z không âm nên 0 z và 4 A ,z 0; . 3 3 3 14 2 A 4 x; y; z 2;0;0 và A x; y; z 0;2; . 3 3 14 Vậy M và m 4 . 3 Đáp án A. Bài tập rèn luyện kĩ năng: 2x y 3z 4 Câu 1: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Biết rằng 3x 4y 3z 6 biểu thức A 2x 3y 2z đạt giá trị lớn nhất khi x; y; z x0 ; y0 ; z0 . Tính giá trị của biểu thức S 24x0 6y0 2019z0 . A. S 48 B. S 1390 C. S 1358 D. S 66 LOVEBOOK.VN | 3
  4. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 2x y 3z 4 Câu 2: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Số nguyên 3x 4y 3z 6 của biểu thức A 2x 3y 2z là: A. 0B. 3C. 2D. 1 2x y 3z 4 Câu 3: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Số giá trị 3x 4y 3z 6 nguyên của biểu thức E x2 y2 2x y 3z 3 là: A. 4B. 5C. 6D. 7 2x y 3z 4 Câu 4: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Gọi S là tập 3x 4y 3z 6 hợp các giá trị nguyên của biểu thức E x2 y2 2x y 3z 3 . Tính tổng bình phương các phần tử của tập hợp S. A. 415B. 451C. 366D. 2025 2x y 3z 4 Câu 5: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Biết rằng 3x 4y 3z 6 biểu thức E x2 y2 2x y 3z 3 nhận giá trị là số nguyên tố p khi x; y; z x1; y1; z1 hoặc x; y; z x2 ; y2 ; z2 . Giá trị của biểu thức T p x1x2 y1 y2 z1z2 thuộc khoảng nào dưới đây? A. 9;10 B. 10;11 C. 11;12 D. 8;9 Ví dụ 6: Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biết rằng biểu thức 2 2 p F x 2y 1 2x my 5 đạt giá trị nhỏ nhất bằng , trong đó p, q là q p các số nguyên dương và phân số tối giản. Giá trị của p2 q2 pqm bằng q A. 74 B. 286C. 1606 D. 194 Lời giải LOVEBOOK.VN | 4
  5. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Ta có F 0,x, y ¡ . Đẳng thức xảy ra (tức là F 0 ) khi và chỉ khi hệ x 2y 1 0 phương trình có nghiệm m 4 . 2x my 5 0 Nhưng do F đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương nên m 4 . 2 2 2 11 9 9 Khi m 4 thì F x 2y 1 2x 4y 5 5 x 2y . 5 5 5 11 Đẳng thức xảy ra khi x 2y 0 5x 10y 11 0 . 5 9 Vậy, với m 4 thì min F . Suy ra p 9 và q 5 . 5 Do đó p2 q2 pqm 92 52 9.5. 4 74 . Đáp án A. Bài tập rèn luyện kĩ năng: Câu 1: Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Tìm giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của biểu thức F x 2y 1 2 2x my 5 2 là một số dương. A. m 4 B. m 10 C. m 4 D. m 10 Câu 2: Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biết rằng biểu thức F x 2y 1 2 2x my 5 2 đạt giá trị nhỏ nhất là số dương khi x, y thỏa a b mãn điều kiện ax by c 0. Tỷ số nhận giá trị thuộc khoảng nào dưới c đây? A. 1;2 B. 1;0 C. 0;1 D. 2; 1 Câu 3: Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biết rằng biểu thức F x 2y 1 2 2x my 5 2 đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương khi x, y thỏa mãn điều kiện 10x ay b 0. Giá trị của P a 2b 3m bằng: A. 12B. 30C. 36D. 52 LOVEBOOK.VN | 5
  6. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 4: Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biết rằng biểu thức E x 2y 1 2x my 5 đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương E0 . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. E0 0;1 B. E0 1;2 C. E0 2;3 D. E0 3;4 Dạng 2 Sử dụng bất đẳng thức Cô-si 2 1 Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y x2 trên đoạn ;2 . x 2 17 A. m B. m 10 C. m 5 D. m 3 STUDY TIP 4 1. Cách 2 trong lời giải ở bên dựa vào định nghĩa Lời giải giá trị nhỏ nhất của hàm 1 1 1 1 số trên một tập hợp mà cụ Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có y x2 33 x2. . 3. thể là dựa vào điều kiện x x x x tồn tại giá trị của biến để 1 1 đẳng thức xảy ra. Nếu Đẳng thức xảy ra khi x2 x 1 ;2 . Vậy m 3 . x 2 kiểm tra m 3 không đúng thì kiểm tra đến Cách 2: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng) những giá trị tiếp theo là 17 Trong 4 giá trị cho trong các phương án thì m 3 là giá trị nhỏ nhất nên ta kiểm m ; m 5 ; m 10 4 tra giá trị này trước. cho đến khi tìm được 2 2 1 phương án đúng. Ta có x2 3 x3 3x 2 0 x 1 x 2 0 x 1 ;2 . x 2 2. Đối với trường hợp tìm giá trị lớn nhất thì chúng Đáp án D. ta kiểm tra từ giá trị lớn nhất đến giá trị nhỏ nhất trong bốn giá trị cho trước đến khi tìm được phương án đúng. LOVEBOOK.VN | 6
  7. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Nhận xét: 1 1 1. Trong ví dụ này nếu thay giả thiết x ;2 thành giả thiết x ;2 thì 2 2 1 cách giải cũng không có gì thay đổi vì điểm rơi x 1 vẫn thuộc khoảng ;2 . 2 1 1 4 2. Nếu thay giả thiết x ;2 thành x ; hoặc x 2;6 chẳng hạn thì 2 5 5 kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si cũng cần điều chỉnh (do điểm rơi thay đổi). 1 4 1 16 2 5 - Nếu x ; thì x2 ; và ;10 . Do đó ta cần biết đổi như 5 5 25 25 x 2 sau: 2 64 64 122 2 64 64 122 157 y x 33 x . . . 125x 125x 125x 125x 125x 125x 50 4 Đẳng thức xảy ra khi x . 5 2 1 - Nếu x 2;6 thì x2 4;36 và ;1 . Do đó ta cần biến đổi như sau: x 3 7 2 1 2 1 1 7 2 1 2 1 1 y x x .2 33 x . . 5. 8 8 x x 8 8 x x Đẳng thức xảy ra khi x 2 . Bài tập rèn luyện kĩ năng: 2 Câu 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x trên khoảng 0; là: x 2 A. 4B. C. 2 2 D. 2 2 3 1 Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 2x2 trên đoạn ;1 là: x 2 3 A. 2 6 B. 3 36 C. 33 3 D. 33 18 2 LOVEBOOK.VN | 7
  8. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 8 Câu 3. Hàm số f x 3x2 đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 1;3 khi: x 2 2 A. x 1 B. x 3 C. x D. x 3 3 3 6 3 Câu 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 4x trên đoạn 0;2 là: x 1 2 A. 4 3 B. 33 6 C. 33 6 4 D. 4 3 4 2 Câu 5. Hàm số f x 3x đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0; 3 khi: 2x 1 2 2 3 3 3 4 3 3 A. x 0 B. x C. x D. x 3 2 3 3 2 3 3 4 Ví dụ 2: Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3x trên khoảng 0; . x2 A. min y 33 9 B. min y 2 3 9 0; 0; 33 C. min y D. min y 7 0; 5 0; Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có 4 3x 3x 4 3x 3x 4 y 3x 33 . . 33 9 . x2 2 2 x2 2 2 x2 3x 4 8 Đẳng thức xảy ra khi x 3 0; . 2 x2 3 Vậy min y 33 9 . 0; Đáp án A. LOVEBOOK.VN | 8
  9. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing x2 3 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn 2;4 . x 1 19 A. min y B. min y 2 2;4 3 2;4 C. min y 3 D. min y 6 2;4 2;4 Lời giải Hàm số xác định trên đoạn 2;4 . Cách 1: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si) x2 1 4 4 4 Ta có y x 1 x 1 2 . x 1 x 1 x 1 Với x 2;4 thì x 1 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có 4 4 x 1 2 x 1 . 4 . x 1 x 1 4 Suy ra y 6,x 2;4; y 6 x 1 x 3 2;4. x 1 Vậy min y y 3 6 . 2;4 Cách 2: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng) x2 3 Nhận thấy với x 2;4 thì y 0 nên loại ngay phương án B và C. x 1 19 Kiểm tra phương án D trước (vì 6 ). 3 x2 3 Ta có 6 x2 6x 9 0 x 3 2;4 . Vậy min y 6 . x 1 2;4 Đáp án D. LOVEBOOK.VN | 9
  10. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 4: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy x2 y . Tìm giá trị nhỏ nhất min P của biểu thức P x y . A. min P 6 B. min P 2 2 3 C. min P 2 3 2 D. min P 17 3 Lời giải Từ giả thiết ta có y x 1 x2 . Do x 0, y 0 nên suy ra x 1. x2 Với x 1 thì y x 1 x2 y . x 1 x2 x2 1 1 1 1 Do đó P x x 2x 1 2 x 1 3. x 1 x 1 x 1 x 1 Vì x 1 nên x 1 0 . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có 1 1 2 x 1 2 2 x 1 . 2 2 x 1 x 1 Suy ra P 2 2 3 . 1 2 x 1 2 2 4 3 2 x 1 Đẳng thức xảy ra khi x; y ; . 2 2 2 y x 1 x Vậy min P 2 2 3 . Đáp án B. Bài tập rèn luyện kĩ năng: 1. Qua kết quả trên đây, chúng ta có thể đề xuất một số câu hỏi trắc nghiệm sau đây: Câu 1: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy x2 y . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y là: A. một số hữu tỷ dương nhỏ hơn 5B. một số vô tỷ lớn hơn 5 C. một số hữu tỷ lớn hơn 5D. một số vô tỷ dương nhỏ hơn 5 LOVEBOOK.VN | 10
  11. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Câu 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy x2 y . Biểu thức P x y đạt giá trị nhỏ nhất bằng a b , trong đó a, b là các số thực dương. Giá trị của a b bằng: A. 7B. 13C. 17D. 22 Câu 3: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy x2 y . Biểu thức P x y đạt giá trị nhỏ nhất khi x; y x0 ; y0 . Giá trị của 3x0 y0 là: A. một số nguyên dươngB. một số hữu tỷ dương C. một số vô tỷ lớn hơn 1D. một số vô tỷ dương nhỏ hơn 1 2. Khi học về hàm số lôgarit (Giải thích lớp 12) thì bài toán này có thể được phát biểu dưới một hình thức khác nhưng bản chất giải quyết vấn đề thì không có gì thay đổi. Chẳng hạn: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ln x ln y ln x2 y . Tìm giá trị nhỏ nhất min P của biểu thức P x y . A. min P 6 B. min P 2 2 3 C. min P 2 3 2 D. min P 17 3 Ví dụ 5: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x 2y 3xy 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của Pmin của P x y . 9 11 19 9 11 19 A. P B. P min 9 min 9 18 11 29 2 11 3 C. P D. P min 21 min 3 Lời giải 3 2y 3 2y Ta có x 2y 3xy 3 x P y . Do x 0, y 0 nên 1 3y 1 3y 3 0 y . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có 2 LOVEBOOK.VN | 11
  12. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 9 6y 11 2 11 3 3P 3y 3y 1 3 2 11 3 P . 1 3y 1 3y 3 11 3y 1 3y 1 11 2 11 1 Đẳng thức xảy ra khi x; y ; (thỏa mãn). 3 2y 3 3 x 1 3y 2 11 3 11 2 11 1 Vậy P khi x; y ; . min 3 3 3 STUDY TIP Đáp án D. Việc tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài tập rèn luyện kĩ năng: 3 2y 3 f y y Câu 1: Cho x là số thực thay đổi và luôn thuộc khoảng 0; . Giá trị nhỏ nhất 1 3y 2 2 3 3x x 3 với y 0; có thể dựa của biểu thức f x thuộc khoảng nào dưới đây? 2 3x 1 vào đạo hàm (kiến thức lớp 12). Bạn đọc có thể A. 0;1 B. 1;2 C. 2;3 D. 3;4 tham khảo trong cuốn Câu 2: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x 2y 3xy 3 . Biết rằng biểu sách Công phá Toán 3. a b c thức P x y đạt giá trị nhỏ nhất bằng , trong đó a, b, c là các số 3 nguyên dương. Gọi S là tập hợp các giá trị của M a b c , tính tổng bình phương các phần tử của S. A. 932B. 2560C. 1764D. 4096 Câu 3: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x 2y 3xy 3 . Biết rằng biểu thức P x y đạt giá trị nhỏ nhất khi x; y x0 ; y0 , tính S 3x0 6y0 . A. 3 11 6 B. 3 11 4 C. 9 11 18 D. 3 11 3 Khi học về hàm số mũ, hàm số lôgarit (Giải tích 12) chúng ta có thể gặp bài toán này dưới hình thức khác. Chẳng hạn như câu 47, mã đề thi 101, THPTQG 2017: LOVEBOOK.VN | 12
  13. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing 1 xy Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log 3xy x 2y 4. Tìm giá trị 3 x 2y nhỏ nhất Pmin của P x y . 9 11 19 9 11 19 A. P B. P min 9 min 9 18 11 29 2 11 3 C. P D. P min 21 min 3 Ví dụ 6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab 2bc 2ca 7 . Tìm giá 11a 11b 12c trị nhỏ nhất min Q của biểu thức Q . 8a2 56 8b2 56 4c2 7 34 22 A. min Q B. min Q 4 6 3 9 C. min Q 2 D. min Q 1 Lời giải Từ giả thiết, ta có 8a2 56 8 a2 7 8 a2 ab 2bc 2ca 8 a b a 2c . STUDY TIP Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có Để tìm giá trị nhỏ nhất 8a2 56 2 2 a b a 2c 2 a b a 2c 3a 2b 2c . của biểu thức có dạng A f , với A 0, B 0 , 2 B Tương tự, ta cũng có 8b 56 2a 3b 2c . chúng ta có thể tiến hành Lại có 4c2 7 4c2 ab 2bc 2ca a 2c b 2c . theo một trong ba cách sau đây: Một là, đánh giá Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có B k.A , với k 0 ; hai là, đánh giá A k.B , với a 2c b 2c a b 4c 4c2 7 a 2c b 2c . k 0 ; ba là, đánh giá 2 2 A k .C và B k .C , 1 2 Suy ra với C 0 , k1 0 , k2 0 . LOVEBOOK.VN | 13
  14. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 11a 11b 12c 11a 11b 12c 8a2 56 8b2 56 4c2 7 Q 2 . 2 11a 11b 12c 2 2 a b a 2c 2 a b b 2c 3 Đẳng thức xảy ra khi a;b;c 1;1; . a 2c b 2c 2 ab 2bc 2ca 7 3 Vậy min Q 2 khi a;b;c 1;1; . 2 Đáp án C. Nhận xét: Khi đánh giá biểu thức 2 2 a b a 2c bằng bất đẳng thức Cô-si theo chiều nhỏ hơn hoặc bằng, chúng ta có 2 cách đánh giá. Đó là, 2 2 a b a 2c 2 a b a 2c 3a 2b 2c và 2 a b 2 a 2c a b 2 a 2c 3a b 4c . Nếu đánh giá theo cách thứ nhất thì chúng ta có lời giải như trên, còn nếu đánh giá theo cách thứ hai thì ta có: 9a 9b 20c 8a2 56 8b2 56 4c2 7 . 2 Việc đánh giá biểu thức Q chưa đạt được mục đích và dấu đẳng thức xảy ra khi c 0 (vô lý). Bài tập rèn luyện kĩ năng: Câu 1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab 2bc 2ca 7 . Giá trị nhỏ 11a 11b 12c nhất m của biểu thức Q thỏa mãn điều kiện 8a2 56 8b2 56 4c2 7 nào dưới đây? 3 3 5 5 A. 0 m B. m 2 C. 2 m D. m 3 2 2 2 2 LOVEBOOK.VN | 14
  15. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Câu 2: Cho a, b, c là các số thực dương không âm thỏa mãn ab 2bc 2ca 7 . 27a 27b 60c Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức E . 8a2 56 8b2 56 4c2 7 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 5 m 6 B. 6 m 7 C. 7 m 8 D. 4 m 5 Câu 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab 2bc 2ca 7 . Biết rằng 11a 11b 12c biểu thức Q đạt giá trị nhỏ nhất khi 8a2 56 8b2 56 4c2 7 a;b;c m;n; p . Tính giá trị của biểu thức P 2 p 9n 1945m . 1956 35 5857 A. P 1957 B. P 1954 7 C. P D. P 5 2 Câu 4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab 2bc 2ca 7 . Biết rằng 11a 11b 12c khi biểu thức Q đạt giá trị nhỏ nhất thì 8a2 56 8b2 56 4c2 7 m m a c , trong đó m, n là các số nguyên dương và phân số tối giản. Tính giá n n trị của biểu thức S 2m 5n . A. S 19 B. S 16 C. S 7 D. S 12 Dạng 3 Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki Ví dụ 1: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 4 x2 . Khi đó, giá trị của M m bằng A. 4B. 2 2 C. 2 2 2 D. 2 2 2 Lời giải Điều kiện 2 x 2 +) Với mọi x  2;2 , ta có y x 2; y 2 x 2 (TMĐK) m 2 . +) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có 2 y2 1.x 1. 4 x2 12 12 x2 4 x2 8. LOVEBOOK.VN | 15
  16. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Suy ra y 2 2 . x 4 x2 x 0 Đẳng thức xảy ra khi x 2 (TMĐK). 2 1 1 x 2 Do đó M 2 2 . Vậy M m 2 2 2 . Đáp án D. Ví dụ 2: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3x 2 3 2x . Tổng bình phương của M và m bằng 25 35 25 35 A. B. C. D. 3 6 6 3 Lời giải 2 3 - Điều kiện: x . Với điều kiện này thì y 0 . 3 2 2 3 - Với mọi x ; , ta có 3 2 1 5 5 y2 x 1 2 3x 2 3 2x 3x 2 2 3x 2 3 2x . 3 3 3 5 15 15 2 Suy ra y ; y 3x 2 0 x (TMĐK). 3 3 3 3 - Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có 2 2 3 4 3 4 25 y . 2x 1. 3 2x 1 2x 3 2x . 2 3 2 3 6 4 2x 25 5 6 5 6 3 2x 7 2 3 Suy ra y ; y 3 x ; (TMĐK). 6 6 6 3 1 6 3 2 2 5 6 15 35 Vậy M và m . Suy ra M 2 m2 . 6 3 6 LOVEBOOK.VN | 16
  17. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Đáp án B. Nhận xét: Khi tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3x 2 3 2x thì chúng ta hoàn toàn giải được các bài toán sau đây: 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3x 2 3 2x m có nghiệm. 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 3x 2 3 2x m có nghiệm. 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 2 3 3x 2 3 2x m nghiệm đúng với mọi x ; . 3 2 c Ví dụ 3: Cho x, y là các số thực thay đổi và thỏa mãn 36x2 16y2 9 . Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của biểu thức P y 2x 5 là 55 105 15 25 A. m và M B. m và M 16 16 4 4 5 45 5 35 C. m và M D. m và M 4 4 4 4 Lời giải Cách 1: (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có 2 2 1 1 1 1 2 2 25 2x y .6x .4y . 36x 16y . 3 4 9 16 16 5 5 5 15 25 Do đó 2x y 2x y 2x y 5 . 4 4 4 4 4 1 1 .6x .4y 2 9 2 9  Đẳng thức xảy ra khi 4 3 x; y ; ; ;  2 2 5 20 5 20  36x 16y 9 LOVEBOOK.VN | 17
  18. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 15 25 Vậy, m ;M . 4 4 Cách 2: (Sử dụng kiến thức hình học) Đặt X 6x;Y 4y . Từ giả thiết suy ra X 2 Y 2 9 . Từ cách đặt và P y 2x 5 , ta có 4X 3Y 12P 60 0. Xét trong hệ trục tọa độ OXY, thì phương trình X 2 Y 2 9 là phương trình đường tròn C có tâm O 0;0 , bán kính R 3, còn 4X 3Y 12P 60 0 là phương trình đường thẳng . Do tồn tại x, y nên cũng tồn tại X, Y. Suy ra và C phải có điểm chung 12P 60 15 25 d O, R 3 P . 5 4 4 15 25 Vậy, m ;M . 4 4 Cách 3: (Sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình) Ta có P y 2x 5 y 2x P 5 . Thay y 2x P 5 vào giả thiết, ta được 36x2 16 2x P 5 2 9 100x2 64 P 5 x 16 P 5 2 9 0. Do tồn tại x, y nên phương trình trên phải có nghiệm ' 322. P 5 2 100. 16 P 5 2 9 0 2 25 5 5 15 25 P 5 P 5 P . 16 4 4 4 4 15 25 Vậy, m ;M . 4 4 LOVEBOOK.VN | 18
  19. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Ví dụ 4: Xét các số thực x, y, z thỏa mãn hệ thức x 2 2 y 3 2 z 4 2 16 . Gọi S là tập giá trị của biểu thức F 2x y 2z 4 . Tập hợp S có bao nhiêu số nguyên dương? A. 0B. 23C. 25D. 9 Lời giải Ta có 2 x 2 y 3 2 z 4 2x y 2z 9 . Do vậy áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có 2x y 2z 9 22 12 2 2 . x 2 2 y 3 2 z 4 2 12 . Suy ra 12 2x y 2z 9 12 25 2x y 2z 4 1 1 2x y 2z 25 1 F 25 . x 2 y 3 z 4 Đẳng thức xảy ra khi 2 1 2 2 2 2 x 2 y 3 z 4 16 2 13 14 5 20 x; y; z ; ; hoặc x; y; z ; ; . 3 3 3 3 3 3 Suy ra S 1;25 và S có 25 số nguyên dương. Đáp án C. Dạng 4 Sử dụng kiến thức hình học Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x2 6x 13 x2 14x 58 bằng A. 17 B. 41 C. 9 D. 7 Lời giải 2 2 Ta có f x x 3 22 7 x 32 nên hàm số xác định trên ¡ . LOVEBOOK.VN | 19
  20. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book STUDY TIP Khi học về phương trình, chúng ta cũng có thể gặp một hình thức khác của Xét hai vectơ a x 3;2 và b 7 x;3 thì f x a b và a b 41 . dạng toán này. Đó là, giải phương trình: Do a b a b nên f x 41 . x2 6x 13 x2 14x 58 41 Đẳng thức xảy ra, khi và chỉ khi a,b cùng hướng 3 x 3 2 7 x 23 x . x 3 7 x 0 5 Vậy min f x 41 . ¡ Đáp án B. Bài tập rèn luyện kĩ năng: Câu 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x2 6x 13 x2 14x 58 là: A. một số hữu tỷ nhỏ hơn 8B. một số vô tỷ lớn hơn 6 C. một số vô tỷ nhỏ hơn 5D. một số nguyên lớn hơn 8 Câu 2. Hàm số f x x2 6x 13 x2 14x 58 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm: A. thuộc khoảng 1;3 B. thuộc khoảng 3;5 C. thuộc khoảng 5;7 D. thuộc khoảng 0;1 Câu 3. Biết rằng hàm số f x x2 6x 13 x2 14x 58 đạt giá trị nhỏ m m nhất tại điểm x , trong đó m, n là các số nguyên dương và phân số tối n n giản. Giá trị của 2m 5n bằng: A. 1B. 9C. 21D. 3 Cũng từ bài toán trên cùng với cách giải của nó, chúng ta có thể phát triển bài toán thành các bài toán sau đây: Câu 1. Cho hai số thực bất kỳ x, y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức LOVEBOOK.VN | 20
  21. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing f x, y x2 y2 6x 4y 13 x2 y2 14x 6y 58 . A. 17 B. 41 C. 9 D. 7 Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f x, y x 3 2 y 4 2 x2 y2 . A. 5B. 7C. 17 D. 14 Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f x, y x 2 2 y 3 2 x y . A. 5B. 13 D. 10 D. 2 3 Câu 4. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x y 3 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức STUDY TIP K x2 y2 10x 4y 29 x2 y2 20x 2y 101 Trong lời giải này, chúng ta không cần phải chỉ ra tọa độ A. 41 B. 82 C. 2 41 D. 34 của điểm P để đẳng thức xảy ra vì ở phần kiến thức cần biết Ví dụ 2: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2 y2 8x 6y 16 0 . Tìm giá trị lớn chúng ta đã chỉ ra sự tồn tại và cách xác định điểm P rồi. Nêu nhất M và giá trị nhỏ nhất m của biểu thức F x2 y2 . câu hỏi có liên quan đến điều kiện để đẳng thức xảy ra thì A. M 8 và m 2 B. M 2 2 và m 2 chúng ta cần phải chỉ ra tọa độ của P. Ta có: C. M 64 và m 4 D. M 16 và m 4  2  OP 2 OP OI 5 Lời giải 8 6 2 2 2 2 P ; ; Ta có x y 8x 6y 16 0 x 4 y 3 9 (*). 5 5  8  OP 8 OP OI Xét trong mặt phẳng tọa độ Oxy, thì (*) là phương trình đường tròn C có tâm 5 32 24 I 4; 3 , bán kính R 3. P ; . 5 5 Gọi P x; y là điểm tùy ý thuộc đường tròn C . Khi đó F OP2 . Đến đây thì bạn đọc có thể tự đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm 2 2 liên quan đến giá trị lớn nhất, Ta có OI 4 3 5 R 3 nên O nằm ngoài C . giá trị nhỏ nhất của biểu thức F và điều kiện để đạt được giá trị LOVEBOOK.VN | 21 đó.
  22. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Với mọi điểm P C , ta có OI R OP OI R 2 OP 8 . Suy ra M 82 64 và m 22 4 . Đáp án C. Nhận xét: Khi học về Số phức (Giải tích 12), chúng ta có thể bắt gặp bài toán này dưới một hình thức khác. Khi đó đòi hỏi chúng ta phải hiểu được bản chất của vấn đề và biết quy lại về quen để giải quyết vấn đề một cách nhanh gọn. Chẳng hạn như những câu hỏi dưới đây: Câu 1: Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện z 4 3i 3 . Giá trị lớn nhất của z là: A. 3B. 4C. 5D. 8 Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3. Môđun lớn nhất của số phức z là: 15 14 6 5 A. 14 6 5 B. 5 15 14 6 5 C. D. 14 6 5 5 Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 4 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z 2 i . Tính S M 2 m2 . A. S 34 B. S 82 C. S 68 D. S 36 x my 2 4m Ví dụ 3: Gọi x; y là nghiệm của hệ phương trình , với m là mx y 3m 1 tham số. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức L x2 y2 2x , khi m thay đổi. 29 85 29 85 A. B. 11 85 C. 10 85 D. 2 2 Lời giải Cách 1: (Lời giải đại số) LOVEBOOK.VN | 22
  23. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing x 1 my 1 4m 2 2 x my 2 4m Ta có L x 1 y 1 và mx y 3m 1 m x 1 y 2m 1 2 2 2 2 x 1 my m x 1 y 1 4m 2m 1 2 4m 18 2 2m 9 x 1 y2 20 L 19 . m2 1 m2 1 9 85 2m 9 9 85 Sử dụng phương pháp miền giá trị, ta có: . 2 m2 1 2 10 85 L 10 85 . Do đó, giá trị lớn nhất của L là 10 85 . Cách 2: (Lời giải hình học) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai đường thẳng d1 : x my 2 4m và d2 : mx y 3m 1. Nhận thấy d1 luôn đi qua điểm cố định A 2;4 ,d2 luôn đi qua điểm cố định B 3;1 và d1,d2 vuông góc với nhau. Điểm M x; y là giao điểm của d1 và d2 thì M thuộc đường tròn C đường 5 5 1 10 kính AB có tâm I ; , bán kính R AB . 2 2 2 2 2 34 L x 1 y2 1 JM 2 1, với J 1;0 . Có IJ R nên J nằm ngoài 2 C . 34 10 34 10 Với mọi M C thì IJ R JM IJ R JM 2 2 11 85 JM 2 11 85 10 85 JM 2 1 10 85 . Do đó, giá trị lớn nhất của L là 10 85 . Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 23
  24. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 4: Xét các số thực x, y thỏa mãn x2 y2 4x 2y 5 x2 y2 8x 14y 65 6 2 . Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức T x2 y2 2x 2y 2 . Tính P m M . 171 123 A. M 86 B. P C. P 123 D. P 2 2 Lời giải Ta có: x2 y2 4x 2y 5 x2 y2 8x 14y 65 6 2 x 2 2 y 1 2 4 x 2 7 y 2 6 2 (*). Xét hai vectơ u x 2; y 1 và v 4 x;7 y . Ta có u v 6;6 u v 62 62 6 2 . Do vậy, (*) trở thành u v u v . STUDY TIP Nếu chúng ta chỉ tập Điều này xảy ra khi và chỉ khi u,v cùng hướng trung biến đổi đại số điều kiện đã cho thì bài toán x 2 7 y y 1 4 x y x 3 . trở nên dài dòng và phức x 2 4 x 0 2 x 4 tạp. Dấu hiệu để chúng ta có thể nhận dạng sử dụng Khi y x 3 thì x2 y2 2x 2y 2 2x2 6x 17 . hình học để giải là biểu thức dưới căn bậc hai viết Xét hàm số f x 2x2 6x 17 trên đoạn  2;4. được dưới dạng tổng bình phương của hai số. Qua 6 3 3 25 lời giải bên, bạn đọc tự đề Ta có  2;4 và f 2 13; f ; f 4 73 . 2.2 2 2 2 xuất những câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến giá 25 Suy ra min f x ;max f x 73. trị lớn nhất, giá trị nhỏ  2;4 2  2;4 nhất và điều kiện để đạt 25 171 được các giá trị đó. Do đó m ;M 73 và m M . 2 2 Đáp án B. LOVEBOOK.VN | 24
  25. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Nhận xét: Khi học về Số phức (Giải tích 12), chúng ta có thể bắt gặp dạng toán này dưới một hình thức khác. Khi đó đòi hỏi chúng ta phải hiểu được bản chất của vấn đề và biết quy lạ về quen để giải quyết vấn đề một cách nhanh gọn. Chẳng hạn như những câu hỏi dưới đây. Câu 1: Xét các số phức z thỏa mãn z 2 i z 4 7i 6 2 . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z 1 i . Tính P m M . 5 2 2 73 A. P 13 73 B. P 2 5 2 73 C. P 5 2 73 D. P 2 Câu 2: Xét các số phức z thỏa mãn z 2 i z 1 i 13 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức z 2 i . 2 13 13 1 A. m 1 B. m C. m D. m 13 13 13 Ví dụ 5: Cho các số thực x, y thay đổi và luôn thỏa mãn hệ thức x2 y2 2x 1 x2 y2 6x 8y 25 10 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 1 2 y 2 2 . 17 A. B. 34C. 40 D. 17 2 Lời giải Hệ thức đã cho được viết lại thành x 1 2 y2 x 3 2 y 4 2 10. Xét các điểm M x; y , A 1;0 , B 3;4 và I 1;2 . Khi đó, hệ thức đã cho trở thành MA MB 10 , còn biểu thức P IM 2 . MA2 MB2 AB2 Dễ thấy I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Do đó IM 2 2 4 LOVEBOOK.VN | 25
  26. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 2 2 MA MB IM 8 17 P 17 . 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi MA MB 5 (khi đó MAB là tam giác cân tại M và có AB 4 2 có nghĩa là tồn tại M). Đáp án D. Dạng 5 Sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình x2 8x 7 Ví dụ 1: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y lần lượt x2 1 là: 9 1 13 3 A. 1 và 9 B. 9 và 1 C. và D. và STUDY TIP 2 2 2 2 Lời giải tự luận trong ví dụ này ngoài cách được Lời giải trình bày theo miền giá trị của hàm số thì chúng ta Cách 1: (Lời giải tự luận) còn có thể sử dụng bảng x2 8x 7 biến thiên của hàm số Gọi y0 là một giá trị thuộc miền giá trị của hàm số y 2 . (dựa vào công cụ đạo x 1 hàm trong chương trình 2 x 8x 7 2 Giải tích 12). Khi đó phương trình y y 1 x 8x y 7 0 (*) có x2 1 0 0 0 nghiệm. - Trường hợp 1: y0 1 0 y0 1. 3 (*) trở thành 8x 6 0 x . 4 - Trường hợp 2: y0 1 0 y0 1. (*) có nghiệm khi và chỉ khi ' 16 y0 1 y0 7 0 2 y0 8y0 9 0 1 y0 9 . Kết hợp hai trường hợp, ta có max y 9 và min y 1. Cách 2: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng) LOVEBOOK.VN | 26
  27. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing - Kiểm tra phương án A. 2 2 x2 8x 7 x 8x 7 x 1 8x 6 Ta có 1 . x2 1 x2 1 x2 1 8x 6 Đến đây, chúng ta không đánh giá được 0,x ¡ , tức là y 1 nên giá x2 1 trị lớn nhất của hàm số không phải là 1. Do đó, loại phương án A. - Kiểm tra phương án B. 2 2 2 x 8x 7 9 x 1 2 2x 1 1 +) y 9 0,x ¡ ; y 9 x . x2 1 x2 1 2 2 2x2 8x 8 2 x 2 +) y 1 0,x ¡ ; y 1 x 2 . x2 1 x2 1 Do vậy, phương án đúng là B (lúc này không cần kiểm tra các phương án còn lại nữa vì trong hai phương án còn lại giá trị lớn nhất nhỏ hơn 9). Cách 3: (Sử dụng cách loại trừ) Ta có y 0 7 nên max y y 0 7 . ¡ Do đó, các phương án A, C và D không phù hợp. Đáp án B. 1 Nhận xét: Từ lời giải tự luận của ví dụ này, với chú ý rằng M 9 x và 2 m 1 x 2 , chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm sau đây: Câu 1: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số x2 8x 7 y . Tính trung bình cộng của M và m. x2 1 A. 8B. 4C. 4 D. 2 x2 8x 7 Câu 2: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của hàm số y . Hỏi tập x2 1 hợp S có bao nhiêu phần tử? A. 11B. 10C. 9D. 5 LOVEBOOK.VN | 27
  28. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book x2 8x 7 Câu 3: Biết rằng hàm số y đạt giá trị lớn nhất khi x a và đạt giá x2 1 trị nhỏ nhất khi x b . Tính giá trị của biểu thức F 4a 5b . A. F 8 B. F 16 C. F 16 D. F 8 Câu 4: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số x2 8x 7 y trên đoạn  3;2 . Tính tổng bình phương của M và m. x2 1 A. 82B. 80C. 64D. 100 x2 cx d Câu 5: Biết rằng tồn tại các số thực c, d để hàm số y đạt giá trị lớn x2 1 nhất bằng 9 và giá trị nhỏ nhất bằng 1. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. 7 c2 8d 9 B. 285 c2 32d 290 C. 12 c d 17 D. 15 2 c d 22 2 2 Câu 6: Trong các cặp số x; y thỏa mãn x yx 8x y 7 0 thì x0 ; y0 là cặp số mà y đạt giá trị lớn nhất. Trung bình nhân của x0 và y0 bằng 9 19 9 2 A. 2 B. C. D. 2 4 2 Câu 7: Cho x, y là các số thực không đồng thời bằng không. Gọi M và m lần lượt x2 8xy 7y2 là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F . Tính x2 y2 P M m . A. P 8 B. P 8 C. P 4 D. P 4 Câu 8: Xét các số thực x, y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn x2 y2 3 và biểu thức S x2 8xy 7y2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S. Kí hiệu  p là số nguyên lớn nhất không vượt quá p, mệnh đề nào dưới đây đúng? A. M  m 14 B. 2M  m 30 LOVEBOOK.VN | 28
  29. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing C. M  2m 12 D. M  m 17 Ví dụ 2: Cho a là số thực khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của 12x x a hàm số theo a. x2 36 A. m 12 a2 36 và M 12 a2 36 B. m 6 2 a2 36 và M 6 2 a2 36 C. m 12 2 a2 36 và M 12 2 a2 36 D. m 6 a2 36 và M 6 a2 36 Lời giải 12x x a Gọi y là một giá trị thuộc miền giá trị của hàm số y . 0 x2 36 12x x a Khi đó phương trình y có nghiệm x2 36 0 y0 12 x 12ax 36y0 0 (*) có nghiệm. - Trường hợp 1: y0 12 0 y0 12 . 36 (*) trở thành 12ax 12.36 0 x . a - Trường hợp 2: y0 12 0 y0 12. 2 (*) có nghiệm khi và chỉ khi ' 36a 36y0 y0 12 0 2 2 2 2 y0 12y0 a 0 6 a 36 y0 6 a 36 . Kết hợp cả hai trường hợp, ta có m 6 a2 36 và M 6 a2 36 . Đáp án D. Bài tập rèn luyện kĩ năng: LOVEBOOK.VN | 29
  30. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 1: Cho a là số thực khác 0. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị 12x x a lớn nhất của hàm số y theo a. Tính tổng bình phương của m và M. x2 36 A. 144B. 144 2a2 C. 360 2a2 D. 576 8a2 12x x a Câu 2: Gọi T là tập hợp các giá trị của tham số a để hàm số y đạt x2 36 giá trị lớn nhất bằng 6 7 2 . Tính tổng các phần tử của tập hợp T. A. 0B. 144 C. 248 D. 144 Câu 3: Cho a là số thực thỏa mãn a 10 7 a . Số giá trị của a để giá trị nhỏ 12x x a nhất của hàm số y đạt giá trị lớn nhất là x2 36 A. 1B. 2C. 4D. 5 12x x a Câu 4: Cho a là số thực dương. Biết rằng tập giá trị của hàm số y x2 36 là đoạn m;M  và tồn tại a để M 2 3 4M m 4 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 1 a 3 B. 3 a 4 C. 6 a 8 D. 12 a 14 Câu 5: Gọi S là tập hợp các số nguyên a sao cho giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 12x x a nhất của hàm số y đều là các số nguyên. Tập hợp S gồm bao nhiêu x2 36 phần tử? A. 4B. 2C. 3D. 8 Ví dụ 3: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 y2 1. Tìm giá 2 x2 6xy trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của biểu thức P . 1 2xy 2y2 A. M 3;m 6 B. M 6;m 3 C. M 6;m 12 D. M 12;m 6 LOVEBOOK.VN | 30
  31. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Lời giải 2 x2 6xy Từ giả thiết, ta có P . x2 2xy 3y2 - Nếu y 0 thì từ giả thiết ta có x2 1. Suy ra P 2 . 2 2 t 6t x - Nếu y 0 thì P , trong đó t . t 2 2t 3 y 2 t 2 6t Ta có P P 2 t 2 2 P 6 t 3P 0 (*). t 2 2t 3 3 STUDY TIP +) Với P 2 thì (*) trở thành 8t 6 0 t . 4 1. Lời giải bên cũng là một ví dụ cho cách dồn biến thông +) Với P 2 thì (*) có nghiệm khi và chỉ khi ' P 6 2 3P P 2 0 x qua đổi biến t . Ngoài lời y P2 3P 18 0 6 P 3 . giải trên thì ví dụ này còn được Kết hợp hai trường hợp, ta có M 3 và m 6 . giải dựa vào điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình Đáp án A. lượng giác thông qua việc đổi biến (một cách dồn biến khác) Nhận xét: Từ lời giải ở trên, với chú ý rằng M 3 thì t 3 và m 6 thì như x sin t ; y cost . Bạn 3 t , chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm sau đây: đọc có thể tìm hiểu về giá trị 2 lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Câu 1: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 y2 1. Gọi max P hàm số lượng giác trong cuốn sách Công phá Toán 2. 2 x2 6xy là giá trị lớn nhất của biểu thức P thì max P thuộc khoảng nào 2. Ví dụ này được chuyển sang 1 2xy 2y2 dạng trắc nghiệm khách quan dưới đây? dựa trên câu IV.2 đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B A. 2;5 B. 0;2 C. 7; 4 D. 4;0 năm 2018. Câu 2: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 y2 1. Giá trị nhỏ 2 x2 6xy nhất của biểu thức P là: 1 2xy 2y2 A. một số nguyên dươngB. một số nguyên âm C. một số vô tỷ dươngD. một số vô tỷ âm LOVEBOOK.VN | 31
  32. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 3: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 y2 1 . Biết rằng 2 2 x 6xy m khi biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất thì y x , trong đó m, n 1 2xy 2y2 n m là các số nguyên dương và phân số tối giản. Giá trị của 19m 5n bằng: n A. 53B. 67C. 34D. 62 Câu 4: Cho hai số thực x, y thỏa mãn hệ thức x2 y2 1. Biểu thức 2 x2 6xy P đạt giá trị lớn nhất khi x; y x ; y , tính giá trị của 1 2xy 2y2 0 0 2 2 S x0 x0 y0 y0 . 13 7 7 19 A. B. C. D. 10 13 10 13 Câu 5: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 y2 1. Biết rằng 2 x2 6xy biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất bằng m khi x; y x ; y . 1 2xy 2y2 0 0 2 Tính giá trị của biểu thức L m 130x0 y0 . A. 96B. 24 C. 48D. 30 Ví dụ 4: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x2 2xy 3y2 4 . Giá trị lớn nhất max P của biểu thức P x y 2 là A. max P 8 B. max P 12 C. max P 16 D. max P 4 Lời giải - Nếu y 0 thì từ điều kiện suy ra x2 4 . Do đó, P 4 . 2 P x y t 2 2t 1 x - Nếu y 0 thì Q , với t . 4 x2 2xy 3y2 t 2 2t 3 y Suy ra Q 1 t 2 2 Q 1 t 3Q 1 0 (*). LOVEBOOK.VN | 32
  33. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing 1 +) Q 1 thì (*) trở thành 4t 2 0 t . 2 +) Q 1 thì (*) có nghiệm khi và chỉ khi ' Q 1 2 Q 1 3Q 1 0 P Q2 3Q 0 0 Q 3 . Suy ra 0 3 0 P 12 . 4 Kết hợp hai trường hợp, ta luôn có 0 P 12 . Vậy, max P 12 . Đáp án B. Bài tập rèn luyện kĩ năng: Câu 1: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x2 2xy 3y2 4 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P x y 2 là A. một số nguyên dươngB. một số vô tỷ dương C. một số nguyên tốD. một số chính phương Câu 2: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x2 2xy 3y2 4 . Gọi S là tập giá trị của biểu thức P x2 y2 2xy . Hỏi tập hợp S có bao nhiêu số nguyên tố? A. 5B. 6C. 7D. 12 Câu 3: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x2 2xy 3y2 4 . Biết rằng giá trị lớn nhất của biểu thức P x2 y2 2xy là một số nguyên m. Gọi S là tập hợp các ước số dương của m. Tổng các phần tử thuộc S bằng A. 28B. 27C. 15D. 16 x2 2xy 3y2 4 Câu 4: Xét hệ phương trình , với a là tham số. Gọi S là tập 2 2 x 2xy y a hợp các giá trị của tham số a để hệ phương trình có nghiệm. A. 13B. 12C. 4D. 5 LOVEBOOK.VN | 33
  34. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 3 x 1 3 y 2 y . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của biểu thức K x y . A. M 9 3 15 và m 9 3 15 B. M 9 3 15 và m 0 9 3 21 3 21 C. M 9 3 15 và m D. M 3 15 và m 2 2 Lời giải Điều kiện: x 1 và y 2 . Từ giả thiết, ta có x y x 1 y 2 . Cách 1: (Sử dụng bất đẳng thức Cô-si) Từ điều kiện đã cho ta có x y 0 . x y 3 x 1 y 2 x y 2 9 x y 3 18 x 1 y 2 . +) Do x 1 0; y 2 0 nên x y 2 9 x y 3 2 9 3 21 x y 9 x y 27 0 x y . 2 x 1 y 2 0 x 1 Đẳng thức xảy ra khi 9 3 21 11 3 21 hoặc x y y 2 2 13 3 21 x 2 . y 2 +) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có 2 x 1 y 2 x y 3 . Do đó ta có x y 2 9 x y 3 9 x y 3 18 x y 54 x y 2 18 x y 54 0 x y 9 3 15 . LOVEBOOK.VN | 34
  35. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing STUDY TIP x 1 y 2 10 3 5 8 3 5 Đẳng thức xảy ra khi x; y ; . Ví dụ này được chuyển x y 9 3 15 2 2 sang câu hỏi trắc nghiệm khách quan dựa vào câu 9 3 21 Vậy M 9 3 15 và m . 1, đề thi chọn học sinh 2 giỏi quốc gia năm 2005 (VMO 2005). Cách 2: (Sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm) Đặt a x 1;b y 2 và m a b , với a 0,b 0. m2 3m 3 Từ điều kiện ban đầu, ta có a2 b2 3 3 a b ab . 2 a b m Điều kiện tồn tại các số a, b không âm thỏa mãn 1 là ab m2 3m 3 2 m 0 2 3 21 m 3m 3 0 m 3 15 . 2 2 2 m 2 m 3m 3 0 9 3 21 Lại do x y 3 a b 3m nên x y 9 3 15 . 2 9 3 21 Vậy M 9 3 15 và m . 2 Đáp án C. Bài tập rèn luyện kĩ năng: Câu 1: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 3 x 1 3 y 2 y . Giá trị lớn nhất của biểu thức F x y là A. một số nguyên dương nhỏ hơn 7B. một số vô tỷ dương nhỏ hơn 7 C. một số nguyên dương lớn hơn 20D. một số vô tỷ lớn hơn 20 LOVEBOOK.VN | 35
  36. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 2: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 3 x 1 3 y 2 y . Giá trị nhỏ nhất a b.c của biểu thức F x y có dạng , trong đó a, b, c là các số nguyên 2 dương. Giá trị lớn nhất của a b c là A. 25B. 73C. 75D. 199 Câu 3: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 3 x 1 3 y 2 y . Biết rằng khi p q biểu thức F x y đạt giá trị lớn nhất thì x có dạng , trong đó p, q là 2 các số nguyên dương. Giá trị của p q bằng A. 25B. 36C. 55D. 66 Câu 4: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 3 x 1 3 y 2 y . Gọi S là tập giá trị của biểu thức F x y . Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập hợp S? A. 3B. 9C. 10D. 12 Câu 5: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm x 1 y 2 m . x y 3m A. 9 3 15;9 3 15 B. 0;9 3 15 3 21 9 3 21 C. ;3 15 D. ;9 3 15 2 2 Câu 6: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn x y 1 2 x 2 y 3 . Tập giá trị của biểu thức T x y là A.  7;7 B.  1;7 C. 13;7 D. 3;7 Câu 7: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn 2 x y 9 4 x 1 y 2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F x y . Tính tổng bình phương của M và m. LOVEBOOK.VN | 36
  37. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing 17 A. B. 10C. 17 D. 16 2 Câu 8: Cho các số thực x, y thỏa mãn x y 2 x 3 y 3 . Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức P 4 x2 y2 15xy là A. m 80 B. m 91 C. m 83 D. m 63 Dạng 6 Sử dụng tính chất của hàm số 4 2 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y x 2x 3 trên đoạn 0; 3 . A. M 9 B. M 8 3 C. M 1 D. M 6 STUDY TIP Lời giải Qua lời giải trên chúng ta tìm được 2 Đặt t x . Do x 0; 3 nên t 0;3 . min y y 1 2 . 0; 3 Hàm số đã cho trở thành y t 2 2t 3 . b Ta có 1 0;3 và y 0 3; y 1 2; y 3 6 nên M 6 . 2a Đáp án D. Bài tập rèn luyện kĩ năng: Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y x4 x2 13 trên đoạn  2;3 . 51 49 51 A. m B. m C. m 13 D. m 4 4 2 Câu 2: Giá trị lớn nhất của hàm số f x x4 4x2 5 trên đoạn  2;3 bằng: A. 50B. 5C. 1D. 122 Câu 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x4 2x2 3 trên đoạn  2;2 lần lượt là: A. 5 và 4 B. 3 và 4 C. 5 và 3 D. 1 và 1 LOVEBOOK.VN | 37
  38. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 4: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y x4 2m2 x2 m 1 trên đoạn 0;1 bằng 1. 1 A. m 3 B. m 1;m C. m 1 D. m 2 2 x m Ví dụ 2: Cho hàm số y (m là tham số thực) thỏa mãn min y 3 . Mệnh x 1 2;4 đề nào dưới đây đúng? A. m 1 B. 3 m 4 C. m 4 D. 1 m 3 Lời giải m 4 Hàm số đã cho xác định trên đoạn 2;4 và y 2 m 2; y 4 . 3 STUDY TIP y 2 3 Cách 1: Vì min y min y 2 ; y 4  và min y 3 nên Trong cách 1 thì chúng ta 2;y 2;y y 4 3 không biết được hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ m 2 3 m 5 . nhất tại điểm nào. Còn trong m 4 9 cách 2 lời giải tuy hơi dài nhưng chúng ta biết được m 4 2 m 1 Cách 2: Xét hiệu y 2 y 4 m 2 . hàm số đạt giá trị lớn nhất, 3 3 giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu và đạt được khi nào. - Nếu m 1 thì y 2 y 4 min y y 2 m 2 3 m 1 (loại). 2;y - Nếu m 1 thì y 2 y 4 min y y 4 m 4 9 m 5 (nhận). 2;y x 1 - Nếu m 1 thì y 1,x 2;4. Do đó không thể xảy ra min y 3 . x 1 2;4 Vậy m 5 . Đáp án C. Bài tập rèn luyện kĩ năng: LOVEBOOK.VN | 38
  39. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing x 1 Câu 1: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y trên đoạn 1;3 2x 1 lần lượt là: 2 2 A. 1 và 3B. 0 và C. 0 và 1 D. và 0 7 7 Câu 2: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2x y trên đoạn 0;1. Giá trị của biểu thức P M 4 m4 là: x2 1 A. P 4 B. P 8 C. P 1 D. P 16 x m 16 Câu 3: Cho hàm số y (m là tham số thực) thỏa mãn min y max y . x 1 1;2 1;2 3 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m 0 B. m 4 C. 0 m 2 D. 2 m 4 2mx 1 1 Câu 4: Giá trị lớn nhất của hàm số f x trên đoạn 2;3 bằng m x 3 khi m nhận giá trị bằng: A. 5 B. 1C. 0 D. 2 mx 4 Câu 5: Tìm m để hàm số y đạt giá trị lớn nhất bằng 5 trên đoạn x m  2;6. 1 4 3 6 A. m B. m C. m D. m 3 5 4 7 LOVEBOOK.VN | 39
  40. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 3: Cho hàm số f x x3 3x2 2 có bảng biến thiên như sau: x 0 2 f x 2 6 Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên đoạn  3;4 là một số nguyên dương M. Gọi S là tập hợp các ước nguyên dương của M. Tập hợp S có bao nhiêu phần tử? A. 8B. 4C. 6D. 10 Lời giải Ta có f 3 56; f 4 14 . Suy ra, bảng biến thiên của hàm số y f x trên đoạn  3;4 là x 3 0 2 4 f x 2 14 56 6 Do đó, với mọi x  3;4 thì 56 f x 14 . Suy ra 0 f x 56 . Vậy, M 56 nên S 1;2;4;7;8;14;28;56 . Khi đó, S có 8 phần tử. Đáp án A. Ví dụ 4: Cho các số thực x, y thỏa mãn các điều kiện x2 x y 12 và y 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất min M của biểu thức M xy x3 2y 29. 10 10 A. min M B. min M 3 9 34 C. min M 2 D. min M 3 LOVEBOOK.VN | 40
  41. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Lời giải Ta có x2 x y 12 y x2 x 12. STUDY TIP +) y 0 x2 x 12 0 4 x 3 . Qua lời giải bên, chúng ta tìm được max M 93 . +) M x x2 x 12 x3 2 x2 x 12 29 3x2 10x 5 . Xét hàm số f x 3x2 10x 5 trên đoạn  4;3 . 10 5 5 10 Ta có  4;3 và f 4 93; f ; f 3 2 . 2.3 3 3 3 10 10 5 50 Suy ra min f x hay min M , đạt được khi x; y ; .  4;3 3 3 3 9 Đáp án A. Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 1 x 3 x 1 x 3 x trên tập xác định của hàm số. A. min y 2 2 1 B. min 2 2 2 .  1;3  1;3 8 9 C. min y D. min y  1;3 10  1;3 10 Lời giải Điều kiện: 1 x 3. Đặt t x 1 3 x, t 0 . Ta có t 2 4 2 x 1 3 x . +) Do x 1 3 x 0 nên t 2 4 t 2;t 2 x 1 hoặc x 3. +) Lại do 2 x 1 3 x x 1 3 x 4 nên t 2 8 t 2 2 . Đẳng thức xảy ra khi x 1 3 x x 1. 2 t 4 1 2 Từ cách đặt, ta có y t t t 2, với 2 t 2 2 . 2 2 LOVEBOOK.VN | 41
  42. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 1 Xét hàm số f t t 2 t 2 trên đoạn 2;2 2 . 2 b Ta có 1 2;2 2 và f 2 2; f 2 2 2 2 2 nên 2a min f t 2 2 2 . 2;2 2 Suy ra min y 2 2 2 .  1;3 Đáp án B. Dạng 7 Sử dụng kỹ thuật dồn biến Ví dụ 1: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn x2 y2 2 . Giá trị lớn nhất max P và giá trị nhỏ nhất min P của biểu thức P x3 y3 xy x y 1 x y là: A. min P 3 và max P 1 B. min P 3 và max P 2 3 5 C. min P 3 và max P D. min P 3 và max P . 2 3 Lời giải Ta có P x y 3 3xy x y xy x y 1 x y x y 3 xy 2 x y 1 x y 2 2 t 2 Đặt t x y . Do x2 y2 2 x y 2xy 2 nên xy . 2 2 3 t 2 1 2 Suy ra P t 2t 1 t t t 1. 2 2 2 2 2 t 2 2 Do x y 4xy nên t 4. t 4 2 t 2 . 2 1 Xét hàm số f t t 2 t 1 trên đoạn  2;2. 2 LOVEBOOK.VN | 42
  43. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing b 3 3 Ta có 1  2;2 và f 2 3; f 1 ; f 2 1 nên max f t và 2a 2  2;2 2 3 min f t 3. Do đó min P 3 và max P .  2;2 2 Đáp án C. Ví dụ 2: Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn 1;4 và x y, x z . Giá trị nhỏ x y z nhất của biểu thức P bằng: 2x 3y y z z x 47 14 34 6 A. B. C. D. 42 33 33 5 Lời giải 1 1 2 Với a và b dương, ab 1 , ta luôn có (*). 1 a 1 b 1 ab Thật vậy, (*) a b 2 1 ab 2 1 a 1 b 2 a b ab 2 ab a b 2ab ab 1 a b 0 , luôn đúng với a và b dương, ab 1. Đẳng thức xảy ra, khi và chỉ khi ab 1 hoặc a b . 1 Với x và y thuộc đoạn 1;4 và x y (tức x. 1), ta có y x 1 1 1 2 P . 2x 3y z x y x 1 1 2 3. 1 y z x y z x x Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc 1. y z y x t 2 2 Đặt t thì t 1;2 . Khi đó P f t . y 2t 2 3 1 t LOVEBOOK.VN | 43
  44. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 6 34 Ta có f 1 và f 2 . Ta sẽ chỉ ra f t f 2 . 5 33 34 t 2 4 2 2 Thật vậy, f t 2 33 2t 3 11 1 t 3 2 2 t 35t 27t 48 34 0,t 1;2 hay f t ,t 1;2 . 33 t 1 2t 2 3 33 x Đẳng thức xảy ra khi t 2 (khi đó 4 x 4, y 1 ). y 34 Suy ra P . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 4, y 1 và z 2 . 33 34 Vậy, giá trị nhỏ nhất của P bằng . 33 Đáp án C. Dạng 8 Sử dụng dấu tam thức bậc hai Ví dụ 1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để biểu thức 9x2 20y2 4z2 12xy myz 6zx luôn dương với mọi x, y, z không đồng thời bằng 0. Đếm số giá trị nguyên của tham số m trong tập hợp S. A. 27B. 9C. 26D. 13 Lời giải Đặt F 9x2 20y2 4z2 12xy myz 6zx 9x2 6 2y z x 20y2 4z2 myz . - Nếu y 0 thì F 9x2 6zx 4z2 3x z 2 3z2 0 với mọi x, z không đồng thời bằng 0. - Nếu z 0 thì F 9x2 12xy 20y2 3x 2y 2 16y2 0 với mọi x, y không đồng thời bằng 0. - Nếu yz 0 thì F 9x2 6 2y z x 20y2 4z2 myz 0,x, y, z ¡ LOVEBOOK.VN | 44
  45. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing / 2 2 2 x 9 2y z 9 20y 4z myz 0,y, z 0 16y2 4 m yz 3z2 0,y, z 0 . 2 2 2 y 4 m z 4.16.3z 0,z 0 4 m 2 64.3 4 8 3 m 4 8 3 . Kết hợp các trường hợp, ta có S 4 8 3; 4 8 3 . Do đó, trong tập hợp S có 27 số nguyên. Đáp án A. Dạng 9 Sử dụng phản chứng Ví dụ 1: Cho a, b, c là ba số thực tùy ý thuộc  3;6 . Xét các bất đẳng thức: (I): a 3 6 b 3; (II): b 3 6 c 3; (III): c 3 6 a 3 . Khẳng định nào dưới đây luôn đúng? A. Có đúng một bất đẳng thức là sai. B. Cả ba bất đẳng thức đều sai. C. Có ít nhất là một bất đẳng thức là sai. D. Có ít nhất hai bất đẳng thức là sai. Lời giải Cách 1: (Lời giải tự luận) Giả sử cả ba bất đẳng thức đã cho đều đúng. Do đó: a 6 a b 3 6 b c 3 6 c 9 . Với mọi x  3;6, ta lại có x 3 6 x x 3 6 x 3 nên a 3 6 a b 3 6 b c 3 6 c 3 3 3 9. Suy ra, điều giả sử là sai hay trong ba bất đẳng thức đã cho có ít nhất một bất đẳng thức là sai. LOVEBOOK.VN | 45
  46. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Cách 2: (Lời giải trắc nghiệm) Cho a 3;b 6;c 0 thì (I) là đúng, còn (II) và (III) là sai nên loại ngay được các phương án A và B. Cho a 3;b 0;c 6 thì (I) và (II) là đúng, còn (III) là sai nên loại được phương án D. Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 46
  47. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing C. Bài tập rèn luyện kĩ năng Câu 4: Cho a, b là hai số thực tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây là SAI? Xem đáp án chi tiết tại trang 193 A. a b a b Câu hỏi ở mức độ nhận biết Câu 1: Cho a, b, c, d là các số thực tùy ý. B. a b a b ab 0 Mệnh đề nào dưới đây đúng? C. a b a b A. a b ac bc D. a b a b ab 0 a b B. a c b d . c d Câu 5: Bất đẳng thức nào dưới đây KHÔNG tương đương với bất đẳng thức a b 0 ? 1 1 C. c d c d A. a2019 b2019 0 a b B. a3920 a1945b1975 D. ac bd c d 1 1 C. 0 Câu 2: Cho a, b, c, d là các số thực tùy ý. a b Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 D. a b a b A. a d c b c d Câu hỏi ở mức độ thông hiểu a b Câu 6: Nếu a b a và b a b thì bất đẳng B. a c b d c d thức nào dưới đây là SAI? a b 0 a b A. ab 0 B. a b a b C. c d 0 c d C. a b 0 D. a b a b a b 0 a d D. a b c d 0 b c Câu 7: Nếu và 4b 4c thì bất đẳng 2 2 Câu 3: Cho a, b, c, d là các số thực bất kỳ thỏa thức nào dưới đây là luôn đúng? mãn a b 0;c d 0 . Mệnh đề nào dưới đây A. a c B. a2019 c2019 là SAI? C. ab bc D. c2018 a2018 A. ad bd B. c2018 d 2018 Câu 8: Nếu 0 a 1 thì bất đẳng thức nào C. ac bd D. ad bc dưới đây là SAI? LOVEBOOK.VN | 47
  48. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 1 1 A. x 4 B. x 8 A. a B. a a a2 24 36 C. x D. x C. a3 a2 D. a 3 a 5 5 Câu 9: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn Câu 14: Hàm số f x x3 8x2 16x 9 đạt a 0 1. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? giá trị lớn nhất trên đoạn 1;3 khi: b A. x 1 B. x 3 A. 0 a b B. b a 0 4 5 C. a2 ab D. b2 a2 C. x D. x 3 3 Câu 10: Cho x, y, z là độ dài các cạnh của một Câu 15: Cho các số thực x, y thỏa mãn hệ: x y z tam giác và biểu thức T . y z z x x y 2x y 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng? x y 2 . 5x y 4 A. 0 T 1 B. 1 T 2 Biểu thức F 2y x đạt giá trị bé nhất khi cặp C. 2 T 3 D. 3 T 4 x; y nhận giá trị: Câu 11: Cho biểu thức F 3 x 4 y 2x 3y , với 0 x 3 , A. 2;6 B. 0;2 0 y 4 . Biểu thức F đạt giá trị lớn nhất nếu 1 7 4 2 C. ; D. ; cặp x; y nhận giá trị: 3 3 3 3 A. 3;4 B. 0;2 Câu 16: Hàm số f x x2 4x 7 đạt giá C. 0;4 D. 3;0 trị nhỏ nhất bằng: A. 3 B. 3C. 2 D. 7 2x2 3x 3 Câu 12: Hàm số f x đạt giá trị x 1 3x2 4x 4 Câu 17: Hàm số f x đạt giá trị nhỏ nhất trên 0;3 khi x nhận giá trị nào dưới x2 đây? lớn nhất bằng: A. 3B. 0 C. 1D. 2 A. 3B. 4 C. 3D. 7 2 Câu 13: Hàm số f x 2 x 4 8 x đạt Câu 18: Hàm số f x x 6 x 15 đạt: giá trị lớn nhất khi x nhận giá trị nào dưới đây? A. giá trị lớn nhất bằng 15 LOVEBOOK.VN | 48
  49. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing B. giá trị nhỏ nhất bằng 6 (II): x y y z z x 8xyz ; C. giá trị lớn nhất bằng 6 1 1 1 9 (III): . D. giá trị nhỏ nhất bằng 15 x y z x y z Câu 19: Giá trị lớn nhất của hàm số Số bất đẳng thức đúng trong các bất đẳng thức f x x3 3x 1 trên đoạn 0;2 là: trên là: A. 1 B. 1C. 3D. 9 A. 3B. 0 C. 2D. 1 Câu 20: Cho các số thực dương a, b, c thỏa Câu 23: Cho x, y là các số thực khác 0 và thỏa 2 2 mãn điều kiện a b c và xét các bất đẳng mãn x y 4 . Xét các bất đẳng thức sau: thức: (I): x y 2 2 (II): 2 xy 2 a c b c b b (I): ; (II): ab ac ; (III): . 1 1 b a b a c a (III): 1; (IV): x4 y4 8 x2 y2 Mệnh đề nfao dưới đây đúng? Số bất đẳng thức đúng trong các bất đẳng thức A. Chỉ (I) đúngB. Chỉ (II) đúng trên là: C. (I) và (II) đúng D. (II) và (III) đúng A. 2B. 3 C. 4D. 1 Câu 21: Cho a, b là hai số thực dương thỏa Câu hỏi ở mức độ vận dụng và vận dụng cao mãn a b 2 và xét các bất đẳng thức: Câu 24: Tập giá trị của biểu thức 2 2 1 1 (I): a b 2 ; (II): 2 ; y x 7 9 x là: a b 1 1 3 A. 4;4 2 B. 0;4 2 (III): . ab a2 b2 2 C. 0;4 D. 4;8 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?   A. Chỉ (I) đúng Câu 25: Cho a, b là hai số thực không âm thỏa 2 2 B. Chỉ (II) đúng mãn a b 9. Tập giá trị T của f a b là: C. (I) và (II) đúng A. T 3 2;3 2 B. T 0;3 2 D. (I), (II) và (III) đúng C. T 3;6 D. T 3;3 2 Câu 22: Cho x, y, z là các số thực dương và xét x y z Câu 26: Giá trị lớn nhất của hàm số các bất đẳng thức: I : 3 ; y z x y x4 4x2 9 trên đoạn  2;3 bằng: LOVEBOOK.VN | 49
  50. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book A. 54B. 201 C. 9D. 2 C. T 338 D. T 667 Câu 27: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ Câu 31: Tập giá trị của hàm số: 3x 2 nhất m của hàm số y trên đoạn 0;3 . 1 2 2 x 2 f x x x 4x x 4 1 A. M 1 và m có bao nhiêu giá trị nguyên? 3 A. 2B. 1 C. 3D. 4 7 B. M 1 và m 5 Câu 32: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và 2 7 giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 9 x . C. M và m 1 5 Tổng M 2 m2 bằng: 1 D. M và m 1 A. 27B. 24 C. 18D. 36 3 Câu 33: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: Câu 28: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham f x 3x 2 4x 3 5x 4 . số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số x m4 m2 3 f x trên đoạn 0;1 bằng 2 . A. min f x 1 B. min f x x 1 ¡ ¡ 5 Số phần tử của tập hợp S là: 1 1 C. min f x D. min f x A. 2B. 4 C. 1D. 3 ¡ 2 ¡ 4 Câu 29: Biết rằng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ Câu 34: Cho các số thực x, y thỏa mãn các điều 2x 1 2 2 nhất của hàm số f x trên đoạn kiện x 2y 0 và x 4y 4 . Tìm giá trị 2 x 1 nhỏ nhất của biểu thức Q x y . 1 ;3 đạt được lần lượt tại x p và x q . 2 A. 2B. 3 C. 3 D. 2 2 2 Giá trị của 4 p 12q bằng: Câu 35: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn A. 49B. 19 C. 39D. 109 hệ thức 2x 3y 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Câu 30: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất 4 9 và giá trị nhỏ nhất của hàm số A bằng: 4x2 9y2 xy f x 7 2x 3x 4 . Tính giá trị của biểu 2 2 685 368 thức T 6M 12m . A. 53B. 56 C. D. 52 5 A. T 261 B. T 319 LOVEBOOK.VN | 50
  51. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Câu 36: Xét các tam giác có độ dài các cạnh là C. 3 D. 4 a, b, c và chu vi bằng 2. Biểu thức Câu 40: Cho hai tập hợp bằng nhau: a 4b 9c S đạt giá trị b c a c a b a b c x, y, z,t 2,9,19,45 . nhỏ nhất khi a;b;c m;n; p . Giá trị của Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị 18m 15n 12 p bằng: nhỏ nhất của biểu thức A x y 2 z t 2 . A. 19B. 4 C. 14D. 11 Tổng của M và m bằng Câu 37: Xét các số thực x, y thỏa mãn x y và A. 7210B. 6076 xy 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức C. 6350 D. 7574 x2 y2 P là: Câu 41: Xét các số thực x, y, z thuộc đoạn x y 0;2 và có tổng bằng 5. Số giá trị của bộ số A. một số hữu tỉ lớn hơn 3 x; y; z khi biểu thức x2 y2 z2 xyz đạt giá B. một số vô tỉ lớn hơn 3 trị lớn nhất là C. một số vô tỉ nhỏ hơn 3 A. 1B. 3 C. 6D. Vô số D. một số nguyên nhỏ hơn 3 Câu 42: Xét các số thực x, y, z, t thỏa mãn điều Câu 38: Xét các số thực x, y thỏa mãn x y và x2 y2 9 2 2 8x2 2y2 13 kiện z t 16 . Giá trị lớn nhất của x z xy 3 . Biểu thức P đạt giá 2x y xt yz 12 trị nhỏ nhất khi x; y p;q . Giá trị của bằng 2 2 4 p q bằng: A. 4B. 5 C. 7D. 6 175 3 649 35 Câu 43: Cho a, b là hai số thực không âm, còn A. B. 4 2 3a 5b 4c 23 c là số thực bất kỳ thỏa mãn . a 2b 6c 4 C. 70 D. 175 3 649 Tập giá trị của biểu thức T 2a 3b 6c có Câu 39: Xét các số thực x, y thỏa mãn bao nhiêu số nguyên dương? x y 0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. 15B. 11 C. 10D. 13 4 M x là: x y y 1 2 Câu 44: Biết rằng tồn tại các giá trị của a và b 2x2 ax b sao cho hàm số y đạt giá trị nhỏ A. 33 4 1 B. 33 4 1 x2 1 LOVEBOOK.VN | 51
  52. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book nhất bằng 1 và giá trị lớn nhất bằng 3. Tính Câu 48: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn T a 3 b . a 0,b 0 và f x ax2 bx c 0 với mọi x . Tìm giá trị nhỏ nhất F của biểu thức A. 8B. 3 C. 7D. 22 ¡ min 4a c Câu 45: Biết rằng tồn tại các số nguyên a, b F . b ax b sao cho hàm số y 2 đạt giá trị nhỏ nhất x 1 A. Fmin 1 B. Fmin 2 và giá trị lớn nhất đều là các số nguyên. Tính C. Fmin 3 D. Fmin 5 giá trị của a2 2b2 , biết rằng tập giá trị của hàm số đã cho chỉ có đúng 6 số nguyên Câu 49: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn 1 x 1 và 3 y 5 . Gọi M và m lần lượt là A. 36B. 34 C. 41D. 25 giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu Câu 46: Cho hai số thực không âm x, y thỏa thức: x y 10 P x2 3y2 4xy 6x 5y 4 . mãn điều kiện x y 3 . Biểu thức 5x 4y 35 Tính trung bình cộng của M và m. a 49 49 P x; y 5x 6y đạt giá trị lớn nhất bằng A. 40B. 80 C. D. b 4 8 khi x; y x ; y , trong đó a, b là các số 0 0 Câu 50: Cho a, b, c là ba số thực có tổng bằng nguyên dương, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2019 và thỏa mãn a 2 , b 9 , c 1945. Biết a b x y là 2 2 2 0 0 rằng biểu thức a b c đạt giá trị nhỏ nhất A. 19B. 382 C. 46D. 43 khi a;b;c a0 ;b0 ;c0 . Tính Câu 47: Cho p, q là hai số cho trước và khác T 19c0 5b0 1890a0 . nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: A. 107070B. 3676938 2 2 2 2 y x 2 px 2 p x 2qx 2q . C. 3795203 D. 80974 A. 2 p q B. 2 p2 q2 C. 2. p q D. 2 p2 q2 pq pq . LOVEBOOK.VN | 52
  53. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing 9 BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ IV B. f x có giá trị nhỏ nhất bằng 4 Xem đáp án chi tiết tại trang 196 9 C. f x có giá trị lớn nhất bằng Câu 1: Cho a, b, c là các số thực dương. Mệnh 4 đề nào dưới đây là SAI? D. f x đạt giá trị lớn nhất khi x 3 a a a c A. 1 b b b c Câu 5: Cho a và b là hai số thực dương. Mệnh đề nào dưới đây SAI? a a a c B. 1 b b b c 1 1 4 A. a b a b a b c C. 3 b c a 1 1 4 B. a 3b b 3a a b 3abc D. 3 3 3 1 a b c C. a b ab 1 4ab Câu 2: Cho a b còn c là số thực tùy ý. Mệnh D. a3 b3 ab a b đề nào dưới đây đúng? A. a2 b2 B. a 3c b 3c Câu 6: Cho hàm số f x x 3 5 x với 1 1 a b 3 x 5 . Hàm số f x đạt giá trị lớn nhất C. D. , c 0 . a b c c khi: Câu 3: Cho x là số thực tùy ý. Trong các bất A. x 3 B. x 1 C. x 5 D. x 2 đẳng thức sau, bất đẳng thức nào SAI? 3 Câu 7: Với x 0 thì biểu thức f x x A. x 3 x 4 7 x đạt giá trị nhỏ nhất bằng: B. x 2 x 5 7 A. 2 3 B. 2 C. 3 D. 6 C. 2x 1 3 2x 2 Câu 8: Cho x, y là các số thực dương. Biểu 3 D. 3x 1 5 3x 6 x y thức P đạt giá trị nhỏ nhất khi: xy2 Câu 4: Cho hàm số f x 3x x2 . Khẳng A. x 2y B. y 2x định nào dưới đây là đúng? C. x 3y D. y 3x A. f x đạt giá trị nhỏ nhất khi x 3 LOVEBOOK.VN | 53
  54. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 9: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 2019 Câu 14: Hàm số f x đạt: 1 1 1 9x2 6x 4 . Biểu thức A x y đạt giá trị x2 y2 2 A. giá trị lớn nhất bằng 673 nhỏ nhất khi: B. giá trị nhỏ nhất bằng 673 A. x y 2 B. x y 2 C. giá trị lớn nhất bằng 2019 C. x y 1 D. x y 4 D. giá trị nhỏ nhất bằng 2019 Câu 10: Cho x, y, z là các số thực dương và xét Câu 15: Cho x 0 . Giá trị nhỏ nhất của biểu biểu thức 2 thức P 4x 2 là: x y z x y y z z x x P . y z z x x y z x y A. 4B. 3 C. 6D. 4 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3x 5 Câu 16: Cho hàm số f x . Mệnh đề A. 0 P 3 B. 3 P 5 x 1 nào dưới đây đúng? C. 5 P 7 D. P 7 A. min f x 5 B. min f x 3 Câu 11: Cho a, b là các số thực dương. Biểu 0;1 0;1 a2 ab b2 thức S đạt giá trị lớn nhất bằng: C. min f x 4 D. min f x 1 a2 ab b2 0;1 0;1 1 7 1 A. 3B. 1 C. D. Câu 17: Biểu thức S 2 x2 1 đạt 3 2 x2 1 giá trị nhỏ nhất bằng: Câu 12: Hàm số f x 16x x2 đạt giá trị lớn nhất bằng: A. 2 2 B. 3C. 4 D. 2 A. 8B. 64 C. 16D. 36 Câu 18: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x2 xy y2 3. Mệnh đề nào dưới đây 3 Câu 13: Cho x 0 . Hàm số f x 2x đạt x đúng? giá trị nhỏ nhất khi: A. 1 xy 3 B. xy 3 3 C. 3 xy 1 D. xy 3 A. x 2 6 B. x 2 6 6 C. x D. x 2 3 LOVEBOOK.VN | 54