›
›
›

Công phá Toán Lớp 10 - Câu 121-160 (Có lời giải)

doc 77 trang nhungbui22 11/08/2022 2900
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Công phá Toán Lớp 10 - Câu 121-160 (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doccong_pha_toan_lop_10_cau_121_160_co_loi_giai.doc

Nội dung text: Công phá Toán Lớp 10 - Câu 121-160 (Có lời giải)

  1. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing x 1 y Tóm lại chỉ có: thỏa mãn. x 1 y 2 2 2 2x 3y x 3xy y 1 Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: . Giả sử hệ có 2 2 x 2y x 2y 2 x0 nghiệm x0 ; y0 , x0 0 , y0 0 thì tỷ số: là nghiệm của phương trình nào sau y0 đây? A. t3 2t 2 3t 4 0 B. 4t3 3t 2 2t 1 0 C. 4t 2 3t 1 0 D. 4t 2 3t 1 0 Lời giải STUDY TIP Nhận xét: Ta nói mỗi phương trình đều có một vế bậc nhất vế còn lại là bậc hai với x, y nên khi nhân vế với vế của hai phương trình ta được phương trình đồng Phương trình (1) có bậc: vế trái bậc 1, vế phải bậc 2. 2x 3y x2 2y2 x2 3xy y2 x 2y x3 2x2 y 3xy2 4y3 0 Phương trình (2) có Vì x 0, y 0 ta chia 2 vế cho y3 ta được phương trình: vế trái bậc 2, vế phải 3 2 bậc 1. x x x 2 3 4 0 y y y x 0 là nghiệm của phương trình: t3 2t 2 3t 4 0 y0 Đáp án A. LOVEBOOK.VN | 1
  2. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Dạng 5 Giải hệ bằng phương pháp thế Ví dụ 1: Biết cặp x0 ; y0 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình: x4 2x3 y x2 y2 2x 9 2 x 2xy 6x 6 Khi đó tổng x0 y0 là: 1 25 1 1 A. B. C. D. 6 4 4 4 Lời giải STUDY TIP 2 2 4 3 2 2 x xy 2x 9 1 x 2x y x y Hệ phương trình 1 2 2 xy 6x 6 x 2 x2 xy 2 Thế xy ở phương trình (2) vào phương trình (1) ta được: 2 2 1 2 1 2 2 x 0 x 6x 6 x 2x 9 6x 6 x 2x 9 2 4 x 4 + Với x 0 không thỏa mãn hệ. + Với x 4 thay vào (2) ta có: 1 17 17 1 4y 24 6 16 y x 4, y x y . 2 4 0 0 4 0 0 4 Đáp án D. 2 2 x 4y 8x 4y 15 0 1 Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: . 2 2 x 2y 2xy 5 2 Hệ phương trình này có bao nhiêu nghiệm? A. 2B. 3C. 4D. 5 Lời giải LOVEBOOK.VN | 2
  3. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing STUDY TIP Trong phương trình (1) ta coi x là ẩn và giải phương trình bậc hai: Phương trình bậc hai x2 8x 4y2 4y 15 0 x2 8x 4y2 4y 15 0 với ẩn là x thì hệ số 2 2 2 x 5 2y Có ' 16 4y 4y 15 4y 4y 1 2y 1 a 1 ; b 8 ; x 3 2y c 4y2 4y 15 . - Với x 5 2y thế vào phương trình (2) ta được phương trình: 2 y 1 x 3 10y 30y 20 0 . Khi đó hệ có nghiệm là 3;1 , 1;2 . y 2 x 1 - Với x 3 2y thế vào phương trình (2) ta được phương trình: 3 2y 2 2y2 2 3 2y .y 5 9 12y 4y2 2y2 6y 4y2 5 2 y 1 x 1 2y 6y 4 0 y 2 x 1 Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm x; y là 1; 1 , 1; 2 , 3;1 , 1;2 . Đáp án C. Dạng 6 Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ 2 2 x y xy 1 4y Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: . 2 2 y x y 2x 7y 2 Biết hệ có 2 nghiệm x1; y1 và x2 ; y2 . Tính tổng x1 x2 y1 y2 . A. 6 B. 6C. 7 D. 2 STUDY TIP Lời giải Hệ đã cho ta thấy có Dễ thấy y 0 không phải là nghiệm của hệ. những biểu thức giống Với y 0 chia hai vế của các phương trình trong hệ cho y ta được hệ: nhau là x2 1 và x y . LOVEBOOK.VN | 3
  4. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book x2 1 x y 4 y 2 2 x 1 x y 2. 7 y x2 1 u u v 4 u 4 v v1 3 u1 1 Đặt ta có hệ: y 2 2 v 2u 7 v 2v 15 0 v2 5 u2 9 v x y - TH1: u 1,v 3 ta có hệ: x2 1 1 x2 1 y y 3 x x 1 x 2 hoặc y 2 y 3 x x x 2 0 y 2 y 5 x y 3 - TH2: v 5,u 9 ta có hệ: x2 1 9 x2 1 9y x2 9x 46 0 y vô nghiệm y 5 x y 5 x x y 5 Vậy hệ có nghiệm x; y là 1;2 và 2;5 x1 x2 y1 y2 6 . Đáp án B. x 2 6y x 2y 1 Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: y x x 2y x 3y 2 2 Gọi x; y là nghiệm của hệ mà x, y ¢ . Khi đó x y là: A. 5B. 12 C. 2 D. 10 STUDY TIP Trong phương trình (1) Lời giải x x 2y biến đổi 2 y y Điều kiện: y 0, x 2y 0; x x 2y 0 thì thấy có những biểu x x 2y x 2y thức giống nhau, từ đó Phương trình 1 2 x 2y 6y 0 6 0 tìm cách đặt ẩn phụ. y y2 y LOVEBOOK.VN | 4
  5. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing x 2y 3 y Giải phương trình bậc hai ta được: x 2y 2 y x 2y y 0 24 4 - Với 3 thế vào (2) ta được nghiệm ; không 2 y x 9y 2y 9 9 thỏa mãn x, y ¢ . x 2y y 0 - Với 2 thế vào (2) ta được nghiệm 12; 2 . 2 y x 4y 2y Đáp án D. Dạng 7 Hệ phương trình 3 ẩn x y 3z 2 2 Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: x y 5z . 3 3 x y 9z Số nghiệm của hệ phương trình trên là: A. 1B. 2C. 4D. 5 Lời giải Ta coi z như là tham số thì hệ đã cho là hệ đối xứng với x và y nên: x y 3z x y 3z 2 2 Hệ phương trình x y 2xy 5z 9z 5z 2xy 3 9z2 5z x y 3xy x y 9z 27z3 9z. 9z 2 x y 3z x y 3z 2 2 2xy 9z 5z 2xy 9z 5z 3z3 5z2 2z 0 2 z 0  z 1 z 3 LOVEBOOK.VN | 5
  6. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book x y 0 - Với z 0 ta có: xy 0 . z 0 Hệ này có nghiệm 0;0;0 . x y 3 - Với z 1 ta có: xy 2 z 1 Giải hệ ta có nghiệm 1;2;1 , 2;1;1 . STUDY TIP Trong Ví dụ 1, ta cũng có x y 2 thể dùng phương pháp thế 2 1 để giải. - Với z ta có: xy 3 3 2 z 3 3 6 3 6 2 3 6 3 6 2 Giải hệ ta có 2 nghiệm ; ; và ; ; . 3 3 3 3 3 3 Vậy hệ đã cho có 5 nghiệm. Đáp án D. xy 12 1 Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: yz 20 2 zx 15 3 Giả sử x1; y 1; z1 , x2 ; y2 ; z2 là các nghiệm của hệ. Tính x1 x2 y1 y2 . A. 0B. 3C. 6D. 9 Lời giải 2 xyz 60 Nhân vế với vế 3 phương trình trên ta được: xyz 3600 xyz 60 LOVEBOOK.VN | 6
  7. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing xy 12 1 yz 20 2 - Với xyz 60 ta có hệ: zx 15 3 xyz 60 4 Thay (1) vào (4) ta được z 5 Thay (2) vào (4) ta được x 3 Thay (3) vào (4) ta được y 4 Hệ có nghiệm là x; y; z là 3;4;5 - Tương tự với xyz 60 ta giải được nghiệm là 3; 4; 5 x1 x2 y1 y2 3 3 4 4 0 Đáp án A. LOVEBOOK.VN | 7
  8. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 5: Cho hệ phương trình: B. Bài tập rèn luyện kĩ năng x3 x3 y3 y3 17 Xem đáp án chi tiết tại trang 132 . Gọi x1; y1 và x2 ; y2 là x xy y 5 Câu 1: Cho hệ phương trình: các nghiệm của hệ. Tính x1 x2 . mx m 2 y 2 . Khi hệ có nghiệm duy A. 3B. 2 C. 0D. 1 x my m 3 3 nhất x; y thì tổng x y là: x y 2 Câu 6: Cho hệ phương trình: . xy x y 2 2 2 A. B. m2 m 2 m2 m 2 Đặt S x y, P x.y , tính S P ? 2m2 2 2m2 2 A. 1B. 2 C. 3D. 6 C. D. m2 2m 2 m2 2m 2 Câu 7: Tìm m để hệ phương trình sau có Câu 2: Xác định m để hệ phương trình sau vô nghiệm: nghiệm: x 4 y 1 4 2 2m x 3 m 1 y 3 x y 3m m x y 2y 2 13 A. m B. m 7 1 3 A. m 3 hoặc m B. m 0 2 5 13 C. m D. m 7 3 3 3 3 C. m 0 hoặc m D. m 0 hoặc m 4 4 Câu 8: Cho x y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất Câu 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hệ và lớn nhất của biểu thức Q x x y y . Khi m 1 x 2y m 1 phương trình: có đó các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất theo thứ tự m2 x y m2 2m là: nghiệm nguyên (tức là x, y ¢ )? 1 1 A. 0; B. ;1 C. 1;4 D. 0;4 A. 2B. 3 C. 4D. Vô số 4 4 Câu 4: Biết hệ phương trình: Câu 9: Số nghiệm của hệ phương trình y x2 4x 1 x2 3x 2y là: có hai nghiệm x1; y1 và 2 2x y 5 0 2 y 3y 2x x2 ; y2 . Khi đó x1 x2 y1 y2 bằng: A. 2B. 3 C. 4D. 5 A. 14B. 0 C. 3D. 4 LOVEBOOK.VN | 8
  9. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Câu 10: Tìm số nghiệm của hệ phương trình 2 x 2x y 4 4x y 1 x 1 0 sau: 2 x 3 y 6x 5 3x 2 x 3 7 3 x 2x y 1 3 Biết hệ phương trình có hai nghiệm là x ; y y 2y x 2 1 1 và x ; y . Tìm x x . A. 4B. 2 C. 3D. 5 2 2 1 2 A. 5B. 6 C. 7D. 8 Câu 11: Gọi x1; y1 , x2 ; y2 là các nghiệm 2 y 3xy 4 1 của hệ phương trình: . 2 2 x 4xy y 1 2 Hãy tính x1 y1 x2 y2 . A. 0B. 8 C. 10D. 5 Câu 12*: Cho hệ phương trình: x y 2a 1 . Xác định a để hệ có tích 2 2 2 x y a 2a 3 x.y nhỏ nhất. 2 A. a 1 B. a 2 2 2 C. a 2 D. a 2 2 Câu 13*: Cho hệ phương trình: 5 x2 y x3 y xy2 xy 4 . 5 x4 y2 xy 1 2x 4 Biết rằng hệ đã cho có 2 nghiệm là x1; y1 và 3 3 x2 ; y2 . Khi đó tổng x1 x2 là: 9 9 5 5 A. B. C. D. 4 4 4 4 Câu 14*: Cho hệ phương trình: LOVEBOOK.VN | 9
  10. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book x 3y 3 BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ III D. z 2 Xem đáp án chi tiết tại trang 134 2x 1 Câu 1: Cặp x; y 1;2 là nghiệm của Câu 4: Cho phương trình ax b 0 . Hãy chọn phương trình: mệnh đề đúng? A. 3x 2y 7 B. x 2y 5 A. Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ C. 0.x 3y 4 D. 3x 0.y 2 khi a 0 Câu 2: Cho phương trình bậc hai B. Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ 2 khi b 0 ax bx c 0 a 0 có hai nghiệm x1, x2 . Hãy xác định mệnh đề đúng. C. Phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi a 0,b 0 c b A. x x ; x .x 1 2 a 1 2 2a D. Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi a 0,b 0 b c B. x1 x2 ; x1.x2 2a a Câu 5: Điều kiện xác định của phương trình: c b 2x 3 C. x1 x2 ; x1.x2 5 là: a a x2 1 x 1 b c D. x x ; x .x A. D ¡ \ 1 B. D ¡ \ 1 1 2 a 1 2 a C. D \ 1 D. D Câu 3: Hệ phương trình nào sau đây không ¡  ¡ phải là hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn? Câu 6: Phương trình x2 2 3 x 6 0 x 2y 2 0 có: A. 2x y 3 0 2 A. Hai nghiệm trái dấuB. Hai nghiệm dương 2y 0 C. Hai nghiệm âm D. Vô nghiệm x y z 1 Câu 7: Tìm điều kiện xác định của phương B. x 2 trình 2x y 3z 3 3x 1 x 1 0 . x 0 15 3x C. y 3 A. 1 x 5 B. x 5 z 1 LOVEBOOK.VN | 10
  11. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing C. x 1 D. 1 x 5 A. 8x2 6x 1 0 B. 3x2 4x 1 0 Câu 8: Chọn cặ phương trình không tương C. 3x2 x 3 0 D. 3x3 4x2 x 0 đương trong các cặp phương trình sau: Câu 12: Nghiệm của hệ phương trình 2 2 A. x 1 x 2x và x 2 x 1 2 3 0 x y là x0 ; y0 . Tính x0 y0 bằng: B. 3x x 1 8 3 x và 6x x 1 16 3 x x 2 0 2 2 x y C. x 3 2x x x x và x 3 2x x 2 8 2 D. x 2 2x và x 2 4x2 A. 2B. C. D. 3 3 3 Câu 9: Cho các phương trình sau: Câu 13: Một công ty Taxi có 85 xe chở khách 2x 1 x 2 (1) gồm 2 loại, xe chở được 4 khách và xe chở x 3 x 3 được 7 khách. Dùng tất cả xe đó, tối đa mỗi lần công ty chở một lần được 445 khách. Hỏi công 2 x x 3 (2); x 2 ty đó có mấy xe mỗi loại? A. 50 xe 4 chỗ; 35 xe 7 chỗ x 1 x 3 x 1 (3); B. 35 xe 7 chỗ; 50 xe 4 chỗ 3x 1 x 3 (4). x 2 C. 45 xe 4 chỗ; 40 xe 7 chỗ Số phương trình vô nghiệm là: D. 40 xe 4 chỗ; 45 xe 7 chỗ A. 1B. 2 C. 3D. 4 Câu 14: Cho phương trình 10x 9 2x 1 có hai nghiệm x , x phân biệt. Hãy tính Câu 10: Tính tổng tất cả các nghiệm của 1 2 2 2 phương trình A x1 x2 . 2x2 3x 2 x 2 . 29 A. A B. A 39 4 3 A. 3B. 2 C. 1D. 25 2 C. A 0 D. A 4 Câu 11: Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương Câu 15: Tìm số nghiệm của phương trình trình x2 3x 2 0 . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào chỉ có hai nghiệm là x 3 5 2x ? x x 1 và 2 ? A. 1B. 2 C. 3D. 0 x2 1 x1 1 LOVEBOOK.VN | 11
  12. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 16: Cho phương trình C. 0;3 D. 8;12 x2 3x x2 3x 1 0 . Đặt Câu 21: Phương trình 2 t x 3x 1, t 0 . Khi đó, phương trình đã m2 4m 3 x m2 3m 2 có nghiệm duy cho trở thành phương trình nào sau đây? nhất khi: A. t 2 t 1 0 B. t 2 t 1 0 A. m 1 B. m 3 2 2 C. t t 0 D. t t 1 0 C. m 3 và m 1 D. m 3 hay m 1 Câu 17: Gọi S là tổng các nghiệm của phương Câu 22: Với điều kiện nào của m thì phương 4 2 trình x 3x 4 0 . Hãy tính S. 2 trình m 2 x 4 4x m có nghiệm âm? A. S 1 B. S 3 C. S 3 D. S 0 A. 0 m B. m 4 1 2x 1 Câu 18: Phương trình x có bao C. 0 m 4 D. 0 m và m 4 x 1 x 1 nhiêu nghiệm? x my 1 Câu 23: Cho hệ phương trình (I), A. 0B. 1 C. 2D. 3 mx y 1 m là tham số. Mệnh đề nào sai? Câu 19: Cho phương trình 2x2 x 0 . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào A. Hệ (I) có vô số nghiệm. không phải là hệ quả của phương trình đã cho? B. Khi m 1 thì hệ (I) có vô số nghiệm. x A. 2x 0 C. Hệ (I) có nghiệm duy nhất m 1. 1 x D. Khi m 1 thì hệ (I) vô nghiệm. B. 4x3 x 0 Câu 24: Số nghiệm của phương trình 2 2 2 C. 2x x x 5 0 x7 14x5 49x3 36x 0 là: D. 2x3 x2 x 0 A. 4B. 5 C. 6D. 7 Câu 20: Tìm giá trị thực của tham số m để hệ Câu 25: Một lớp học có 36 học sinh được phân 2x 3y 4 0 thành 3 nhóm A, B, C để thảo luận trong giờ học toán. Biết nhóm A ít hơn nhóm B 2 học phương trình 3x y 1 0 có duy nhất sinh, tổng số học sinh nhóm A và C gấp đôi số 2mx 5y m 0 học sinh nhóm B. Hỏi số lượng học sinh từng một nghiệm. Khi đó m thuộc khoảng nào sau nhóm A, B, C lần lượt là bao nhiêu? đây A. 12, 14, 16B. 12, 10, 14 A. ;4 B. 2;9 LOVEBOOK.VN | 12
  13. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing C. 14, 12, 10 D. 10, 12, 14 bình của Thảo 3km/h nên Châu đến B sớm hơn Thảo 30 phút. Tính vận tốc trung bình của mỗi Câu 26: Giả sử phương trình: người. x2 5x 4 5 x2 5x 28 0 A. Vận tốc trung bình của Châu là 15km/h, 2 2 của Thảo là 12km/h có các nghiệm là x1, x2 . Tính T x1 x2 A. T 16 B. T 81 C. T 9 D. T 97 B. Vận tốc trung bình của Châu là 12km/h, của Thảo là 15km/h Câu 27: Tổng các nghiệm của phương trình C. Vận tốc trung bình của Châu là 15km/h, x2 x 5 3x 4 0 là: của Thảo là 17km/h x x2 x 5 D. Vận tốc trung bình của Châu là 11km/h, A. 6B. 8 C. 6 D. 7 của Thảo là 8km/h Câu 28: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham Câu 32: Có bao nhiêu tam giác cân có một góc số m trên đoạn  2;20 để phương trình gấp đôi góc kia? 2 2 x 2mx m 4m 1 0 vô nghiệm. A. 0B. 1 C. 2D. Vô số A. 4B. 3 C. 19D. 20 Câu 33: Cho phương trình 4 2 Câu 29: Phương trình ax bx c 0 1 a 0 . Đặt: x2 2mx m2 m 1 0 có hai nghiệm dương b c b2 4ac , S , P . Ta có (1) vô phân biệt khi? a a nghiệm khi và chỉ khi: A. m 1 B. m 0 0 C. m ¡ D. 1 m 0 A. 0 B. 0 hoặc S 0 Câu 30: Cho phương trình: P 0 x2 2m 3 x m2 2m 2 0 . 0 0 C. D. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương S 0 P 0 trình có 2 nghiệm sao cho tổng bình phương hai Câu 34: Số nghiệm của phương trình nghiệm đó bằng 5? 2x 1 x 3 4 là: A. 0B. 1 C. 2D. 3 A. 1B. 4 C. 2D. 3 Câu 31: Thảo và Châu đi xe đạp cùng xuất phát một lúc đi từ A đến B dài 30km, vận tốc Câu 35: Số nghiệm của phương trình: trung bình của Châu nhanh hơn vận tốc trung LOVEBOOK.VN | 13
  14. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 1 1 1 trên đoạn  5;5 để phương trình 3 1 x 1 x 1 x 0 là: 1 x x m f x 0 xác định trên  4;4. 1 2x 1 x 1 x 1 x A. 2B. 1 C. 4D. 5 Câu 36: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để x2 mx 2 phương trình 1 vô nghiệm? x2 1 A. 0B. 1 C. 2D. 3 x2 2 m 1 x 6m 2 Câu 37: Cho x 2 x 2 A. 1B. 2 C. 3D. 4 (1). Có bao nhiêu giá trị nguyên m trên đoạn Câu 41: Cho hệ phương trình  2;2 để phương trình (1) có nghiệm duy nhất 2m 3 x my 3m 2 . Có bao nhiêu giá trị 5x 2m 3 y 5 A. 2B. 5 C. 3D. 4 m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y thỏa Câu 38: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: mãn điều kiện 2x 3y 27 . 2 2 x2 2x 4m 3 x2 2x 1 2m 0 có A. 0B. 1 C. 2D. 3 đúng 3 nghiệm thuộc  3;0 . Câu 42: Cho a, b, c, d là các số thực khác 0. Biết c và d là hai nghiệm của phương trình A. 1B. 2 C. 3D. 0 x2 ax b 0 và a, b là hai nghiệm của 2 Câu 39: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương phương trình x cx d 0 . Tính giá trị của trình x2 2 m 1 x 2m2 3m 1 0 (m là biểu thức S a b c d . tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu A. S 2 B. S 0 thức P x1 x2 x1x2 . C. S 1 D. S 1 1 Câu 43: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham A. P B. P 1 max 4 max số m thuộc đoạn  5;5 để phương trình 9 9 mx 2x 1 x 1 có đúng hai nghiệm phân C. P D. P max 8 max 16 biệt? Câu 40: Cho hàm số bậc hai y f x có đồ A. 8B. 9 C. 10D. 11 thị như hình vẽ. Tìm các giá trị nguyên của m LOVEBOOK.VN | 14
  15. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Câu 44: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham 3 2x y 2 2 2 2 x x 2x số m để phương trình m 0 3 x 1 x 1 2 2y x y có đúng bốn nghiệm? A. 1B. 2 C. 3D. 4 A. 0B. 1 C. 2D. Vô số Câu 50: Tìm số nghiệm của hệ phương trình Câu 45: Nghiệm của phương trình sau: 3 x 7 x 1 thuộc khoảng nào sau đây: 3 6 y 1 2x y 3x A. ; 2 B. 5;1 6 2 6 1 4x y 5x C. 2;3 D. 2; A. 1B. 2 C. 3D. 4 Câu 46: Nghiệm của phương trình a b 21 3 12 x 3 4 x 2 có dạng với a, c b, c tối giản. Tính T a b c A. 11B. 43 C. 61D. 29 Câu 47: Phương trình: x 3 2 5 3x 2x 3x 5 4 có bao nhiêu nghiệm? A. 0B. 1 C. 2D. 3 Câu 48: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau: 2 2 5 x y y 2x 2 2 3 x y 2x y 8xy A. 1B. 2 C. 3D. 4 Câu 49: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau: LOVEBOOK.VN | 15
  16. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 3 x 1 2 x 4x 3 0 x 3 7 2 x I. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH 7 2x 0 7 2 x Câu 1: Đáp án D. x 2 0 2 x 3 x 2 ĐKXĐ: x2 1 0 x ¡ Câu 8: Đáp án C. Câu 2: Đáp án B. ĐKXĐ: x 2 0 x 2 ĐKXĐ: x 2 0 x 2 0 x 2 x 2 2 x 7 2 7 x 0 x 7 x 4 0 Câu 9: Đáp án D. Vậy D ¡ \ 2;2. Nhìn đồ thị ta thấy f x 0 x 1 Câu 3: Đáp án A. Điều kiện: f x 0 x 1. x 1 0 x 1 ĐKXĐ: x 1 0 x 1 Câu 10: Đáp án A. x 2 0 x 2 x 1 Nhìn đồ thị ta thấy f x 0 x ¡ \ 1;1; 2. x 3 Câu 4: Đáp án B. Câu 11: Đáp án B. x 0 x 0 ĐKXĐ: Từ đồ thị ta thấy f x 2 . 2 x 4 x 1 0 Câu 5: Đáp án C. Câu 12: Đáp án B. 1 1 Vẽ lại hình: ĐKXĐ: 2x 1 x x ; 2 2 Câu 6: Đáp án D. ĐKXĐ: x 2 0 x 2 2 x 3 6 2x 0 x 3 Câu 7: Đáp án D. ĐKXĐ: LOVEBOOK.VN | 16
  17. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Ta thấy: Parabol y x2 1 đi qua các điểm Phương trình tương đương với 2;3 , 0; 1 , 2;3 m 1 x m 2 mx 3m 2 x 2m 2 là nghiệm của phương trình đã nên x 2;0 thì f x x 1. cho khi II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 5 2m 2 3 m QUY VỀ BẬC NHẤT 2 Câu 1: Đáp án B. Câu 6: Đáp án A. Phương trình đã cho vô nghiệm khi: Phương trình x m x 1 m2 4 0 m 2 0x m 1 1 m 2 x m x 1 3m 6 0 m 2 m 1 x m x 1 x 2 Câu 2: Đáp án A. 2 Phương trình đã cho vô nghiệm khi: - Với m 1: (1) nghiệm đúng x ; (2) có nghiệm x 1 m 0 m  m 0 - Với m 1: (1) vô nghiệm, (2) có nghiệm m 1 Câu 3: Đáp án C. x 2 Phương trình đã cho vô nghiệm khi: Câu 7: Đáp án C. m 2 Viết lại phương trình thành: 2 m 5m 6 0 m 3 m 3 1 1 m2 2m 0 m 0 x 1 x x m (*) 2 2 m 2 Vẽ đồ thị hàm số: Câu 4: Đáp án B. 1 1 ĐKXĐ: x 3 y x 1 x x C 2 2 Phương trình tương đương với 1 2x khi x 0 x 1 a x a 1 là nghiệm khi a 1 3 1 x khi 0 x 2 a 2 1 khi x 2 Câu 5: Đáp án C. ĐKXĐ: x 3. LOVEBOOK.VN | 17
  18. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Vẽ 4 đường thẳng d1,d2 ,d3 ,d4 suy ra tập nghiệm của phương trình là hình vuông ABCD cạnh bằng 2 . Vì số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị C với đường thẳng y m III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ nên m 1 thì phương trình có nghiệm. QUY VỀ BẬC HAI Câu 8: Đáp án A. Câu 1: Đáp án B. Khử giá trị tuyệt đối ta được - Với m 1 0 m 1 x 0 1. ta có phương trình: Khi đó phương trình trở thành y 0 3 2x 3 0 x x y 1 d1 2 x 0 - Với m 1 0 m 1. 2. ta có phương trình: y 0 Ta có: ' m2 m 1 m 2 m 2 . x y 1 d 2 Phương trình vô nghiệm khi x 0 m 2 0 m 2 3. ta có phương trình: y 0 Câu 2: Đáp án C. x y 1 d3 Viết lại phương trình: 2 x 0 2k 1 x 8x 6 0 . 4. ta có phương trình: y 0 1 - Với 2k 1 0 k . 2 x y 1 d4 LOVEBOOK.VN | 18
  19. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Khi đó phương trình trở thành Viết lại phương trình: 3 2 m x2 x 2 0 8x 6 0 x 4 - Với 2 m 0 m 2 1 - Với 2k 1 0 k . 2 Khi đó phương trình trở thành; Ta có ' 16 6 2k 1 0 x 2 0 x 2 . Do đó m 2 là một giá trị cần tìm. 11 12k 22 0 k , do đó số nguyên k 6 - Với 2 m 0 m 2 . nhỏ nhất là k 2 Ta có: Câu 3: Đáp án C. 2 1 4 2 m 2 8m 17 - Với m 0 . Khi đó, phương trình trở thành: Khi đó phương trình đã cho có nghiệm duy 1 2x 1 0 x . 2 nhất khi: 17 Do đó m 0 là một giá trị cần tìm. 0 8m 17 0 m 8 - Với m 0 ta có Câu 6: Đáp án B. ' m 1 2 m m 1 m 1 Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Khi đó phương trình đã cho có nghiệm duy 0 nhất khi Khi đó gọi hai nghiệm là x1, x2 là ' 0 m 1 0 m 1 x x 0 S 0 1 2 Câu 4: Đáp án C. x1.x2 0 P 0 Phương trình đã cho có nghiệm kép khi: Câu 7: Đáp án A. m 1 0 Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi: 2 ' 9 m 1 m 1 2m 3 0 2 ' 0 3m 0 m 1 S 0 4m 0 m 0 2 m 1 6 P 0 m 0 m 6 7 m m 1;2;3;4;5 7 Câu 5: Đáp án C. Vậy có 5 giá trị thỏa mãn yêu cầu. LOVEBOOK.VN | 19
  20. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 8: Đáp án B. Ta có: ' m 1 2 m2 2 2m 1 để Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân phương trình có nghiệm biệt 1 ' 0 m 2 ' 2m 2 0 m 1 Theo định lí Vi-et ta có: S 2 m 1 0 m 1 x x 2m 2 2 m 1 1 2 P m 1 0 x x m2 2 m 1 1 2 2 m 1 Khi đó: P m 2 2 2m 2 6 Vậy với m 1 thỏa mãn. m2 4m 8 m 2 2 12 12 Câu 9: Đáp án A. Pmin 12 khi m 2 . Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Câu 11: Đáp án A. khi đó ta có Ta có x1 x2 p 0 2 m2 4 m 1 m 2 0 m x1.x2 q Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với Theo giả thiết ta có x1 x2 1 mọi giá trị của m. Theo hệ thức Vi-et ta có: 2 2 x1 2x1x x2 1 x1 x2 m 2 x1x2 m 1 x1 x2 4x1x2 1 Ta có: x2 x2 x x 2 2x x q2 4q 1 p2 4q 1 1 2 1 2 1 2 m2 2 m 1 m2 2m 2 . p 4q 1 0 Câu 10: Đáp án C. Khi đó: 2x x 3 2m 1 Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình: 1 2 1 2 P 2 2 2 x1 x2 2 x1x2 1 m 2 x2 2 m 1 x m2 2 0 . 1 2m 1 1 P 2 Tìm m để biểu thức P x1x2 2 x1 x2 6 2 m 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất. LOVEBOOK.VN | 20
  21. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing 2 2m 1 m2 2 m 3 0 m 3 2 2 m 2 Một nghiệm gấp đôi nghiệm kia khi: 2 x 2x x 2x 0 m 2 1 2 2 1 0 m 2 ¡ 2 m 2 2 2 5x1x2 2 x1 x2 0 1 P m ¡ . 9x x 2 x x 2 0 2 1 2 1 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m 2 . 9 m2 3m 4 8 m2 2m 1 0 Câu 12: Đáp án C. 2 m 4 2 m 11m 28 0 Giả sử phương trình x px q 0 có hai m 7 nghiệm phân biệt x , x và phương trình 1 2 Câu 14: Đáp án A. x2 mx n 0 có hai nghiệm phân biệt x , x . 3 4 Phương trình có nghiệm 3 x1 x3 ' m 3 0 m 3 Theo bài ra ta có: 3 x2 x4 2 2 P x1 x2 3 3 x1 x2 x3 x4 2 2 x1 x2 2x1x2 2m 2m 4 2 2 x3 x4 x3 x4 x3 x4 2 Xét f m 2m 2m 4,m 3 x x x x 2 3x x (*) 3 4 3 4 3 4 Bảng biến thiên: x x p 1 1 2 m 3 2 Theo hệ thức Vi-et: x3 x4 m x3.x4 n f m 8 Thay vào (*) ta được: P 8 Pmin 8 khi m 3 p m m2 3n p m3 3mn Câu 15: Đáp án B. Câu 13: Đáp án D. Phương trình bậc hai có các nghiệm x1 , x2 Phương trình đã cho có hai nghiệm x , x khi 1 2 có dạng và chỉ khi x x x x 0 2 1 2 ' m 1 m2 3m 4 0 LOVEBOOK.VN | 21
  22. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 2 Yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm m x x1 x2 .x x1x2 0 để phương trình (2) có nghiệm Đặt x1 x2 B B 0 ta có: t ; 22; . 2 2 2 Ta có: 9 m 1 nên phương trình (2) có 2 B x1 x2 t 1 nghiệm 1 . x1 x2 2 x1x2 p 2 q t2 3m 2 B p 2 q , x1x2 q Ta đi tìm m để phương trình (2) có 2 nghiệm 2;2 Vậy phương trình đã cho cần lập là: 2 3m 2 2 vì t 1 2;2 x2 p 2 q x q 0 1 4 Câu 16: Đáp án D. 0 m thỏa mãn yêu cầu tương đương 3 Phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân m 0 biệt với 4 . m f x x2 2 m 1 x m2 5 0 3 có hai nghiệm dương phân biệt 2 Câu 18: Đáp án A. Đặt x2 t,t 0 ta có phương trình: ' m 1 2 m2 5 0 2 2 m 1 0 mt 2 m 3 t 4m 0 (2) f 2 0 Để phương trình đã cho có 3 nghiệm thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm t 0,t 0. m 2 1 2 Câu 17: Đáp án C. Điều kiện cần: t 0 m 0 1 1 Khi đó ta có phương trình: Đặt t x t 2 x2 2 4 x x2 6t 0 t 0 Phương trình đã cho trở thành; Vậy không có giá trị nào của m để phương trình 2 đã cho có 3 nghiệm. t 1 3m t 3m 2 0 (2) Câu 19: Đáp án D. với t 2 Điều kiện: x 1. Phương trình LOVEBOOK.VN | 22
  23. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing x 1 x 1 9 3 m 2 4 Từ bảng biến thiên m 10 . x 1 x 1 4 IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH x 1 Đặt t 4 0 t 1 x 1 Câu 1: Đáp án B. Bài toán trở thành tìm m để phương trình m m 2 D m2 m 2 m 1 m 2 3t 2 2t m có nghiệm thuộc 0;1 . 1 m 2 2 m 2 Xét hàm số f t 3t 2t,t 0;1 . D m2 x m m Bảng biến thiên: m 2 D m2 2 1 y t 0 1 1 m 3 Hệ có nghiệm duy nhất khi m 1 và m 2 1 f t 0 3 1 D m2 x x D m2 m 2 1 Khi đó: Từ bảng biến thiên 1 m là giá trị cần D 2 3 y m 2 y 2 tìm. D m m 2 Câu 20: Đáp án B. 2 x y Điều kiện: 0 x 9 . m2 m 2 Bình phương 2 vế của phương trình ta được: Câu 2: Đáp án A. 9 2 x2 9x x2 9x m 9 D 0 Đặt t x2 9x,0 t ta có phương trình: 2 Hệ vô nghiệm Dx 0 t 2 2t 9 m . D 0 y 9 Khảo sát f t t 2 2t 9 trên 0; . 2 2 m 2m 7m 3 0 m 3 Ta có bảng biến thiên: 3m 0 1 m 9 m 4m 3 0 2 t 0 1 2 Câu 3: Đáp án C. 10 Ta có: f t 9 9 4 m 1 2 D 2m2 m 1 m2 1 LOVEBOOK.VN | 23
  24. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 1 Từ (2) ta có: y 5 2x thế vào (1) ta có: 2 m 1 m 2 5 2x x2 4x m 1 2 2 x 1 D 2m 3m 1 2 x 2 x 6x 5 0 m 2m 1 x 5 1 - Với x 1 y 3 2 m 1 m 2 - Với x 5 y 5 m 1 m 1 2 Dy 2 2 4m 2m Hệ có nghiệm là 1;3 ; 5; 5 m m 2m x x y y 4 . 1 1 2 1 2 4m m 2 Câu 5: Đáp án A. + Trường hợp 1: Hệ có vô số nghiệm Đặt S x y, P x.y 1 D D D 0 m ¢ Ta có: x y 2 x3 y3 x y 3 3xy x y S 3 3PS + Trường hợp 2: 3 3 m 1 S 3PS P 17 1 Ta có hệ: D 0 1 m ¢ S P 5 m 2 2 Lại đặt: S P S1, S.P P1 ta có: Lúc đó hệ có nghiệm duy nhất: 3 3 3 2 S P S P 3SP S P S1 3P1S1 Dx m 1 2 x 1 D m 1 m 1 3 S1 3P1S1 3P1 17 D Ta có hệ: y 2m 2 y 2 S1 5 D m 1 m 1 S 2 x, y ¢ m 1 là ước nguyên của 2 S1 5 P 3 m 1 2 m 1 P1 6 S 3 m 1 1 m 0 P 2 m 1 2 m 3 m 1 1 m 2 2 S 3 Vì S 4P nên chỉ có P 2 Câu 4: Đáp án D. LOVEBOOK.VN | 24
  25. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing x y 3 13 thỏa mãn m 13 xy 2 3 m 7 3 m 7 x, y là nghiệm phương trình: Câu 8: Đáp án B. 2 X 1 X 3X 2 0 Điều kiện: x 0; y 0. Khi đó ta có hệ: X 2 x y 1 Nghiệm của hệ là x y 1 3 3 1;2 ; 2;1 x x 1 2 3 x x y y Q x y Q 1 2 Câu 6: Đáp án C. Đặt: x y S, x. y P Ta có: S 0, P 0 S 2 4P x3 y3 x y 3 3xy x y S 3 3PS S 1 S 1 3 Ta có hệ: S 3P.S 2 2 1 Q Ta có hệ: S 3PS Q P S.P 2 3 S 3 8 S 2 (thỏa mãn ĐK) S P 3 S.P 2 P 1 2 1 Q S 4P 1 4. 3 3 4 4Q Câu 7: Đáp án D. P 0 1 Q Q 1 S 0 0 u x 4 3 Đặt: v y 1;u,v 0 1 4Q 1 Q 4 Khi đó hệ trở thành: Q 1 Q 1 u v 4 u v 4 1 2 2 21 3m Qmax 1,Qmin u v 3m 5 u.v 4 2 Câu 9: Đáp án C. Suy ra u, v là nghiệm không âm của phương trình: Trừ vế theo vế của hai phương trình, ta được: 21 3m x2 y2 3x 3y 2y 2x X 2 4X 0 (*) 2 x y x y 1 0 Theo đề bài hệ đã cho có nghiệm Phương trình (*) có nghiệm không âm LOVEBOOK.VN | 25
  26. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book x y 0 0;0 , 3; 3 , 3; 3 . x y 1 0 - TH2: x2 y2 xy 1 0 . Kết hợp với phương - TH1: x y ta có hệ: trình mà ta cộng vế với vế của 2 phương trình đã cho ta được: 2 x 0 x 3x 2y x 5 2 2 x y x y xy 1 0 x y 3 3 x y 3 x y Hệ có nghiệm là 0;0 , 5;5 . 2 x y xy 1 0 - TH2: x y 1 0 ta có hệ: 3 x y 3xy x y 3 x y 0 x2 3x 2y x2 x 2 1 x x y S x y 1 y 1 x Đặt ta có hệ: xy P 2 x x 2 0 2 S 2 P 1 0 S P 1 0 y 1 x 3 2 S 3PS 3S 0 S S 3P 3 0 x 1 x 2 hoặc y 2 y 1 S 0 2 S P 1 0 S 0 Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm. 2 S 3P 3 0 P 1 Câu 10: Đáp án D. 2 S P 1 0 Trừ vế theo vế hai phương trình ta có: x, y là nghiệm phương trình: x3 y3 x y X 2 SX P 0 x y x2 y2 xy 1 0 hay X 2 1 0 X 1 x y Hệ có nghiệm là 1; 1 , 1;1 . 2 2 x y xy 1 0 Vậy hệ phương trình đã cho có 5 nghiệm - TH1: Với x y thay vào (1) ta có: 0;0 , 3; 3 , 3; 3 , 1; 1 , 1;1 . x 0 y 0 x3 3x 0 2 Câu 11: Đáp án A. x 3 y 3 Nhận xét: Vế trái của hai phương trình đều là Hệ có nghiệm là bậc hai; vế phải là hằng số nên ta có thể nhân LOVEBOOK.VN | 26
  27. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing chéo hai phương trình đưa về phương trình S 2a 1 đẳng cấp. 3 P a2 3a 2 2 Ta có: 1 y2 3xy 4 x2 4xy y2 Để hệ có nghiệm thì S 2 4P 4x2 13xy 3y2 0 2 3 2 2a 1 4 a 3a 2 0 + Với y 0 x 0 không là nghiệm của hệ 2 + Với y 0 chia hai vế cho y2 ta được: 2a2 8a 7 0 2 x x 2 2 4 13 3 0 2 a 2 (*) y y 2 2 x Điều kiện (*) là điều kiện có nghiệm của hệ Đặt t ta có phương trình: y phương trình. t 3 3 2 3 Xét: P xy a 3a 2 ta có bảng biến 4t 13t 3 0 1 2 t 4 2 2 thiên trên đoạn 2 ;2 là: x 2 2 - Với t 3 3 x 3y thay vào (1) ta y 1 được y2 vô nghiệm. 2 1 x 1 - Với t ta có: y 4x thay vào (1) 4 y 4 x 1 x 1 hoặc Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất khi y 4 y 4 2 a 2 . x1 x2 y1 y2 0 . 2 Câu 12: Đáp án B. Câu 13: Đáp án B. Đặt S x y, P x.y ( S 2 4P ) Hệ đã cho biến đổi thành: Hệ phương trình đã cho có dạng 5 x2 y xy x2 y xy 4 S 2a 1 2 2 5 2 2 x y xy S 2P a 2a 3 4 LOVEBOOK.VN | 27
  28. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book S x2 y Câu 14: Đáp án C. Đặt , P xy Dùng máy tính cầm tay nhập biểu thức: hệ phương trình có dạng: X 2 2X Y 4 4X Y 1 X 1 5 5 S PS P P S 2 Ấn: SHIFT SOLV gán Y 100 4 4 5 1 Máy luận: 11,0489 tức là (11,0489 , 100) S 2 P S 3 S 2 S 0 4 4 là 1 cặp nghiệm của phương trình. 1 - Nhập tiếp: 4X Y 1 ấn “=” ta được kết S 0 S 2 quả là 5 hoặc P 3 4 P 12,0489 =11,0489 +1 = x 1 2 - Nhập tiếp: X 2 2X Y 4 ấn bằng máy S 0 - TH1: Với 5 hiện 2 ta hiểu: P 4 X 2 2X Y 4 2 tại 2 5 x 11,0489; y 100 . x y 0 x 3 4 3 Phương trình (1) của hệ phương trình với xy 25 3 2 y 16 2 x 2x y 4 2 1 1 S x2 y 2 2 4x y 1 x 1 0 - TH2: Với 3 3 P xy 2 2 Nhân liên hợp ta có: x2 2x y x2 2x 1 4x y 1 2 1 x 1 0 y x 2 2 3 x 2x y 4 2 x 1 4x y 1 3 y 2x x 3 0 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 1 x2 2x y 4 2 2 5 25 3 x 2x y 0 3 3 1 ; ; 1; 4 16 2 x 1 4x y 1 9 x3 x3 . 1 2 4 LOVEBOOK.VN | 28
  29. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Vì trong ngoặc vuông lớn hơn 0 nên Câu 6: Đáp án B. y x2 2x thế vào phương trình (2) của hệ x2 2 3 6 0 có ta được: 2 0 4x 24x 35 5 3x 2 5 x 3 S 2 3 0 Đến đây dùng máy tính nhẩm được x 1 hoặc P 6 0 x 6 . Phương trình có 2 nghiệm dương Vậy x1 x2 7 . Câu 7: Đáp án A. V. ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ 3 x 1 0 Câu 1: Đáp án A. ĐKXĐ: 1 x 5 15 3x 0 Thay x 1; y 2 vào phương trình của 4 đáp Câu 8: Đáp án D. án ta thấy đáp án A. ĐKXĐ: x 2 . Ta có: Câu 2: Đáp án D. 2x 0 Câu 3: Đáp án A. x 2 2x 2 x 2 4x Nhận dạng hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn theo công thức: x 0 1 33 x a x b y c z d 1 33 1 1 1 1 x 8 8 a2 x b2 y c2 z d2 trong đó mỗi phương a3 x b3 y c3 z d3 1 33 x 2 4x2 x trình là 1 phương trình bậc nhất 3 ẩn với các hệ 8 số không đồng thời bằng 0. Do đó, x 2 2x và x 2 4x2 không phải Câu 4: Đáp án A. là cặp phương trình tương đương. Câu 5: Đáp án A. Câu 9: Đáp án C. Phân tích phương án nhiễu: 2x 1 x 2 +) B. Sai do tính nhầm x 1 0 x 1 x 3 x 3 C. Sai do tính nhầm x 3 0 x 3 2 2x 1 x 2 x 1 x 1 0 x 1. Phương trình (1) vô nghiệm. D. Sai do không nhìn ra điều kiện. LOVEBOOK.VN | 29
  30. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 2 x Phương trình đã cho có 2 hai nghiệm là 1 và 2. +) x 3 . x 2 x x Suy ra 1 và 2 là một trong hai giá trị ĐKXĐ: x 2 0 x 2 x2 1 x1 1 1 x và 1. 0 x 2 3 x 2 4 1 2 Hai số có tổng bằng và tích bằng mà x 3 0 x ¡ 3 3 Phương trình (2) vô nghiệm. x x Do đó 1 và 2 là nghiệm của phương x 1 x 1 +) x 1 x 3 x 1 2 2 trình x 1 0 x 3 2 4 1 2 x 3 X X 0 3X 4X 1 0 . 3 3 Phương trình (3) có nghiệm Câu 12: Đáp án B. 3x 1 +) x 3 Điều kiện: x y x 2 Hệ phương trình x 2 0 x 2 4 x 3 0 x 3 x 3x 3y 2 3 Phương trình (4) vô nghiệm. x 2y 0 2 y 3 Câu 10: Đáp án A. Câu 13: Đáp án A. 2x2 3x 2 x 2 Gọi x là số xe chở được 4 khách và y là số xe 2x2 3x 2 x 2 chở được 7 khách (x, y nguyên và 0 x, y 85 ) 2x2 3x 2 x 2 Ta có hệ phương trình: x 1 3 x y 85 x 50 2 2x 4x 4 0 x 1 3 4x 7y 445 y 35 2 2x 2x 0 x 0 Câu 14: Đáp án A. x 1 9 ĐKXĐ: x Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 3. 10 Câu 11: Đáp án B. 10x 9 2x 1 LOVEBOOK.VN | 30
  31. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing 2x 1 0 ĐKXĐ: x 1. 2 10x 9 4x 4x 1 Với điều kiện trên phương trình tương đương 1 x2 x 1 2x 1 x 1 hoặc x 2 . x 1 2 x Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có 2 x 1 nghiệm duy nhất x 2 . 4x2 14x 10 0 5 x 2 Câu 19: Đáp án C. x 1 x 0 2 5 (TMĐK) Ta có 2x x 0 1 . x x 2 2 2 Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là 2 5 29 Vậy A 1 . 2 4 1  S0 0;  . 2 Câu 15: Đáp án A. Xét các đáp án: 8 x 3 5 2x x x 3 5 2x 3 * Đáp án A. Ta có x 3 5 2x x 2 x 1 x 0 2x 0 Thử lại vào phương trình ta thấy x 2 thỏa 1 x 2x 1 x x 0 mãn nên x 2 là nghiệm. x 1 x 0 Câu 16: Đáp án B. x 0 1 1 x Đặt t x2 3x 1,t 0 . x 2 2 2 2 2 2 t x 3x 1 x 3x t 1 Do đó, tập nghiệm của phương trình là Khi đó, phương trình ban đầu trở thành 1  S1 0;   S0 . t 2 t 1 0 . 2 Câu 17: Đáp án D. * Đáp án B. Ta có x4 3x2 4 0 x 0 3 4x x 0 1 . 2 x 1 x 1 x . Vậy S 0 . 2 2 x 4 vn x 1 Câu 18: Đáp án B. LOVEBOOK.VN | 31
  32. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Do đó, tập nghiệm của phương trình là Câu 21: Đáp án C. 1 1  2 2 S2 ;0;   S0 . m 4m 3 x m 3m 2 2 2 * Đáp án C. Ta có Nếu m 1 0x 0 Phương trình có vô số nghiệm 2 2x2 x x 5 2 0 Nếu m 3 0x 2 Phương trình vô 2 2 nghiệm 2x x 0 2x x 0 (vô nghiệm). x 5 0 x 5 m 2 Nếu m 3 và m 1 x Phương m 3 Do đó, tập nghiệm của phương trình là trình có 1 nghiệm duy nhất. S3   S0 . Câu 22: Đáp án A. * Đáp án D. Ta có m 2 2 x 4 4x m x 0 1 m m 4 x 4 m (1) 2x3 x2 x 0 x . 2 Với m 0 : 1 0x 4 : x 1 Do đó, tập nghiệm của phương trình là Phương trình vô nghiệm 1  Với m 4 : 1 0x 0 : Phương trình nghiệm S2 1;0;   S0 . 2 đúng với mọi x ¡ Câu 20: Đáp án D. Với m 0 và m 4 : Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra 1 1 (1) x , 0 m 0 2x 3y 4 0 x 1 m m 3x y 1 0 y 2 Do đó phương trình có nghiệm âm khi và chỉ 2x 3y 4 0 khi m 0 . Hệ phương trình 3x y 1 0 Câu 23: Đáp án A. 2mx 5y m 0 Hệ phương trình có vô số nghiệm có nghiệm duy nhất khi 1; 2 là nghiệm của 1 1 phương trình 2mx 5y m 0 tức là: 1 m 1 m 1 m 1 m 1 1 m 1 2m.1 5. 2 m 0 m 10 . 1 1 LOVEBOOK.VN | 32
  33. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Hệ phương trình có nghiệm duy nhất A B C 36 A 10 1 m B A 2 B 12 m2 1 m 1 m 1 A 2B C 0 C 14 x y 1 Câu 26: Đáp án D. Với m 1 ta có hệ hệ vô nghiệm. x y 1 Đặt t x2 5x 28 , (với t 0 ) Câu 24: Đáp án D. Ta có: t 2 5t 24 0 x7 14x5 49x3 36x 0 t 3 t 8 0 t 8 x x6 14x4 49x2 36 0 Với t 8 x2 5x 28 8 6 4 4 2 2 x x x 13 x x 36 x 1 0 x 4 2 2 T 4 9 97 4 2 2 2 2 x 9 x x x 1 13x x 1 36 x 1 0 Câu 27: Đáp án C. x x2 1 x4 13x2 36 0 x 0 x 0 2 2 2 ĐK (*) x x 1 x 1 x x 4 9 x 4 0 2 1 21 x x 5 0 x 2 x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 0 x2 x 5 Với điều kiện (*) ta đặt y x Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm số là: x2 y 1 x 5 0 (1) x 0 ; x 1; x 2; x 3. Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi Câu 25: Đáp án D. phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn (*) Gọi A, B, C lần lượt là số học sinh của 3 nhóm x 0 A, B, C. 1 21 y 0 ( ) x 0 A, B,C 36; A, B,C ¥ 2 A B C 36 Với điều kiện ( ), phương trình đã cho trở Theo đề ta có B 2 A 3 thành: y 4 0 A C 2B y 2 y 1 y 4y 3 0 y 3 LOVEBOOK.VN | 33
  34. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Với y 1, ta có: 4m 1; 0 1 2 x 1 6 4m 1 0 m (1) x 2x 5 0 4 x 1 6 x2 x2 5 x x 2 2x x 5 Với y 3 , ta có: 1 2 1 2 1 2 2m 3 2 2 m2 2m 2 5 2 x 1 1 x 4x 5 0 x 5 m 0 n 2 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân 2m 8m 0 m 4 l biệt: Câu 31: Đáp án A. x 1 6, x 1 6, x 1; x 5 Gọi vận tốc trung bình của Thảo là x (km/h), Câu 28: Đáp án B. x 0 2 2m 4. m2 4m 1 16m 4 Gọi vận tốc trung bình của Châu là x 3 (km/h) 1 0 m 30 4 Thời gian Thảo đi từ A đến B là (h) x Theo bài ra m 2; 1;0 30 Thời gian Châu đi từ A đến B là (h) Câu 29: Đáp án A. x 3 x2 2mx m2 m 1 0 có 2 nghiệm phân 30 30 1 Ta có phương trình: biệt cùng dương khi x x 3 2 2 2 x 12 n ' 0 m m m 1 0 2 x 3x 180 0 x 15 l S 0 2m 0 P 0 m2 m 1 0 Vậy Vận tốc trung bình của Châu là 15km/h, của Thảo là 12km/h. m 1 0 Câu 32: Đáp án C. m 0 2 m m 1 0 m ¡ Gọi A, B, C lần lượt là số đo 3 góc của tam giác ( 0 A, B,C 180 ), đơn vị độ. Không mất tính m 1 m 1 tổng quát ta giả sử A B m 0 Theo đề ta có Câu 30: Đáp án B. LOVEBOOK.VN | 34
  35. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing A B C 180 A B C 180 2 x 2 3x 18x 48 0 A B hoặc A B x 8 C 2A A 2C x 2 Kết hợp với x 3 có nghiệm A B C 180 A B C 180 x 8 A B 0 hoặc A B 0 + Nếu x 3 thì phương trình trở thành 2A C 0 2C A 0 3x2 10x 24 8 x 3 A 45 A 72 x 0 B 45 hoặc B 72 2 3x 2x 0 2 C 90 C 36 x 3 Câu 33: Đáp án B. Kết hợp với x 3 ta có phương trình vô Đặt t x2 (t 0 ) nghiệm. (1) thành at 2 bt c 0 (2) Kết luận phương trình có nghiệm Phương trình (1) vô nghiệm x 2; x 8 phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương Câu 35: Đáp án A. trình (2) có 2 nghiệm cùng âm 0 hoặc 1 x 0 x 1 0 ĐKXĐ: 1 x 0 x 1 S 0 x 0 x 0 P 0 Với điều kiện trên ta có: Câu 34: Đáp án C. 1 1 1 3 2x 1 x 3 4 2x 1 4 x 3 1 x 1 x 1 x 0 1 x x 1 2x 2x 1 2 16 8 x 3 x 3 2 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 3 4x2 4x 1 16 8 x 3 x2 6x 9 0 x x 1 x x 1 x 2x 3x2 10x 24 8 x 3 5 1 x2 2 1 x 2 2 1 x 2 0 + Nếu x 3 thì phương trình trở thành 2 2 x 3 3x 10x 24 8 x 3 x 9 0 x 3 Vậy phương trình có 2 nghiệm x 3; x 3 LOVEBOOK.VN | 35
  36. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 36: Đáp án D. có hai nghiệm thuộc đoạn  3;0 và khác x2 mx 2 x 1 2 6 2 1 x 1 mx 3 2 m 0 2m 0 m 0 m 0 1 m 0 3 1 2m 0 m 3 m 3 2 1 3 1 2m 0 m 2 m 1 Câu 37: Đáp án D. 0 m . 2 Điều kiện: x 2 0 x 2 . Không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn. 1 x2 2m 3 x 6m 0 (2), phương Câu 39: Đáp án C. trình luôn có nghiệm là x 3 và x 2m , để 2 phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm thì ' m 1 2m2 3m 1 m2 m 2m 2 m 1 m 2; 1;0;1 Để phương trình có hai nghiệm ' 0 Câu 38: Đáp án D. 0 m 1. (*) 4m 3 2 4.2. 1 2m 4m 1 2 Theo định lí Viet, ta có x1 x2 2 m 1 2 2 2 2 x 2x 4m 3 x 2x 1 2m 0 2 x1.x2 2m 3m 1 2 1 x 2x 1 Khi đó P x1 x2 x1x2 2 2 x 2x 2m 1 2 2 m 1 2m2 3m 1 2 1 2 1 x 2x 0 2 m 1 1 9 2 2 m 2 m 2 2 4 16 2 6 x  3;0 1 1 3 2 Vì 0 m 1 m 4 4 4 2 6 x  3;0 2 1 9 0 m 2 4 16 2 x 1 2m . Phương trình đã cho có 3 2 nghiệm thuộc đoạn  3;0 khi phương trình (2) 1 9 m 0 4 16 LOVEBOOK.VN | 36
  37. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing 2 2m 3 3m 2 9 1 9 D 5 m 1 m 0 y 16 4 16 5 5 2 1 9 9 m 1 0 m Với m 1 4m 9 0 9 4 16 16 m 4 2 2 1 9 9 1 P 2 m 2 m 6 m 1 4 16 16 4 x 4m 9 hệ có nghiệm duy nhất 2 5 9 1 9 y 2 m . 4m 9 8 4 8 Ta có 2x 3y 27 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m : thỏa mãn 4 12 m 1 15 27 (*). 4m 9 4m 9 Câu 40: Đáp án D. 4 m 1 5 9 4m 9 m 2 Đồ thị y f x như hình vẽ: Câu 42: Đáp án A. Vì c, d là hai nghiệm của phương trình x2 ax b 0 suy ra c d a . Vì a, b là hai nghiệm của phương trình x2 cx d 0 suy ra a b c . Khi đó, ta có hệ c d a a c d b d . a b c a c b m f x x  4;4 c2 ac b 0 Lại có m 2 m 2;3;4;5 2 a ca d 0 Câu 41: Đáp án B. a c c2 a2 b d 0 a2 c2 . 2m 3 m a c D 5 2m 3 - Với a c thì từ c d a d 0: mâu thuẫn giả thiết. 3m 2 m 2 Dx 6 m 1 5 2m 3 LOVEBOOK.VN | 37
  38. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book - Với a c thì từ c d a d 2c và từ Mà m  5;5 và m ¢ a b c b 2c . m 5; 4; 2;0;1;2;3;4;5 có 9 giá trị m. Ta có: c2 ac b 0 Câu 44: Đáp án D. c 0 l 2 2c 2c 0 . ĐKXĐ: x 1 c 1 t / m x2 Khi đó S a b c d Đặt t x 1 c 2c c 2c 2c 2.1 2 x 1 1 t t 0 . Câu 43: Đáp án B. 2 2 x tx t 0 * t t 4t Ta có mx 2x 1 x 1 t 0 Với mỗi t thỏa mãn t 0 thì (*) có mx 2x 1 x 1 t 4 hai nghiệm x phân biệt. mx 2x 1 x 1 Mặt khác phương trình đã cho trở thành: m 1 x 0 1 t 2 2t m 0 t 1 2 1 m ( ) m 3 x 2 2 m 1 Xét (1), ta có: t 1 1 m 0 k + m 1 thì phương trình nghiệm đúng với t 1 1 m mọi x ¡ . + m 1 thì có nghiệm x 0 . Phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm khi và chỉ khi ( ) có hai nghiệm t phân biệt thỏa điều Xét (2), ta có: kiện + m 3 thì phương trình vô nghiệm. m 1 + m 3 thì phương trình có nghiệm t 0 hay 1 1 m 0 2 x . 1 1 m 4 m 3 2 m 1 Vì 0,m 3 nên phương trình có hai 0 m 1 m 3 1 m 1 m 24 2 1 m 25 nghiệm, phân biệt là x 0, x khi m 3 Có vô số giá trị m m 1 và m 3 . Câu 45: Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 38
  39. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing ĐK: x 0 + Vì vai trò của u, v như nhau nên ta chỉ cần xét 3 21 3 x 7 x 1 3 x 7 x 1 u ta có: 3 x 7 x3 3x 3 x 1 72 16 21 36 16 21 12 x x x3 2x 3 x 6 0 9 9 3 2 Câu 47: Đáp án B. x 1 2 x 2 3 x 3 0 2 x 3 5 3x 0 Điều kiện: (*) 2 x 1 x 3 x 6 0 3x 5 0 Ta thấy x 3 thỏa mãn điều kiện (*) 2 3 15 x 1 x 0 Nếu x 3 thì 2 4 5 x x 1 x 1 (t/m) 5 3x 0 3 5 (*) x . 3x 5 0 5 3 Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x 3 x 1 Câu 46: Đáp án D. Do đó điều kiện xác định của phương trình là 5 x 3 hoặc x . u 3 12 x 3 + Đặt . Khi đó ta có: 3 v 4 x 5 Thay x 3 và x vào phương trình thấy chỉ 3 u v 2 u v 2 3 3 2 2 có x 3 thỏa mãn. u v 16 u uv v 8 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. u v 2 u v 2 Câu 48: Đáp án B. 2 4 . u v 3uv 8 uv 3 Hệ phương trình tương đương với 2 2 + Sử dụng định lí Viet đảo hoặc phương pháp 3x y x 3y 3x y x 3y 0 3 21 2 3x y x 3y 3x y x 3y 0 u 3 thế ta được: 3 21 3x y a v Đặt , hệ phương trình đã cho trở 3 x 3y b thành. LOVEBOOK.VN | 39
  40. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 2 2 2 2 3 a b a b 0 a b 2ab 0 3x 3 x 1 y . 2ab a b 0 2ab a b 0 Vậy hệ có nghiệm: x y 1. a b Câu 50: Đáp án B. a b a b 0 2 a 0 2a 2a 0 a b 1 Ta thấy x 0 không là nghiệm của hệ nên ta a 1 biến đổi hệ trở thành 3x y 0 x 0 Với a b 0 ta có 1 1 2y 3 3 2y 6 x 3y 0 y 0 x x 1 2 Với a b 1 ta có 2y 5 x6 2 x 1 3x y 1 5 Đặt a 2y,b ,ab 0 ta có hệ: 3 x 3y 1 1 x y 5 6 ab a b 6 a b ab Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y là 0;0 2 2 a b 5 2 a b 2ab 5 2 1 và ; . 5 5 6 a b ab 2 ab Câu 49: Đáp án A. 3 3 2 2 a b 3 2a b 5a b 36 0 Điều kiện: x, y 0 a 1 a 2 3 2  2x x y 3 b 2 b 1 Hệ 3 2 2y y x 3 1 y 2 x2 y3 xy x y 0 a 1 2 * . b 2 1 x x y 2x2 3xy 2y2 0 3 2 x y a 2 y 1 * . b 1 x 1 (Do 2x2 3xy 2y2 Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm: 2 3 7 2 2 x y y 0 x, y 0 ) 1 1 4 8 x; y 1,1 , ; 3 2 2 Thay vào hệ ta được: LOVEBOOK.VN | 40
  41. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Chủ đề 4 BẤT ĐẲNG THỨC Vấn đề cần nắm: Bất đẳng thức là dạng toán thường gặp trong các kỳ thi, đòi hỏi mức độ tư duy, sự sáng tạo của người học. Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng 1. Bất đẳng thức và giá thức nhưng trong khuôn khổ chủ đề này, tác giả chỉ giới thiệu một số phương trị lớn nhất, giá trị nhỏ pháp thường gặp như biến đổi tương đương, sử dụng các bất đẳng thức kinh điển nhất (Cô-si, Bunhi-a-cốp-xki), sử dụng tính chất hình học, sử dụng phản chứng, sử 2. Các tính chất cơ bản dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình hoặc miền giá trị của hàm số, sử của bất đẳng thức dụng tính chất của hàm số, 3. Một số phương pháp Mỗi phương pháp được đề cập đều có những ví dụ điển hình và những lời chứng minh bất đẳng bàn để bạn đọc hiểu sâu sắc hơn về phương pháp, kỹ thuật được sử dụng trong thức lời giải của ví dụ đó. Bên cạnh đó, có những ví dụ tác giả còn đề xuất thêm những câu hỏi trắc nghiệm khách quan ở các mức độ khác nhau giúp cho các em học sinh có cái nhìn tổng quát hơn trước mỗi câu hỏi trắc nghiệm. Từ đó, các em có thể tự mình đề xuất, phát triển hoặc sáng tạo các câu hỏi trắc nghiệm từ một câu hỏi tự luận hoặc câu hỏi trắc nghiệm khách quan khác. A. Lý thuyết I. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 1. Bất đẳng thức Giả sử a và b là hai số thực. Các mệnh đề “ a b ”, “ a b ”, “ a b ”, “ a b ” STUDY TIP được gọi là những bất đẳng thức. Đặc biệt, nếu hàm số Một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Chứng minh một bất đẳng thức là chứng y f x đạt giá trị lớn minh bất đẳng thức đó đúng. nhất M trên tập D thì ta 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ký hiệu M max f x D Cho f là biểu thức chứa biến (chứa một biến hoặc nhiều biến), và biến số thỏa hoặc M max f x ; nếu x D mãn điều kiện T. hàm số y f x đạt giá a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của biểu thúc f, viết là M max f , nếu: trị nhỏ nhất m trên tập D thì ta ký hiệu (1) f M với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T. m min f x hoặc D (2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho f M m min f x . x D LOVEBOOK.VN | 41
  42. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f, viết là m min f , nếu: (1) f m với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T. (2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho f m Như vậy: Để tìm giá trị lớn nhất (tương tự đối với giá trị nhỏ nhất) của biểu thức f, ta có thể trình bày lời giải như sau: - Bước 1: Chứng minh với mọi giá trị của biến số thỏa mãn điều kiện T đều xảy ra bất đẳng thức f M , trong đó M là một hằng số không phụ thuộc vào các biến của f. - Bước 2: Chứng minh hoặc chỉ ra tồn tại bộ giá trị của biến (không nhất thiết phải tìm ra tất cả) thỏa mãn điều kiện T sao cho f M . - Bước 3: Kết luận max f M . II. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Trong khi chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thúc chúng ta thường sử dụng các tính chất cơ bản sau đây của bất đẳng thức: LOVEBOOK.VN | 42
  43. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing 1. a b và b c a c . 2. a b a c b c . 3. Nếu c 0 thì a b ac bc . 4. Nếu c 0 thì a b ac bc . 5. a b và c d a c b d . 6. a b 0 và c d 0 ac bd . 7. a b 0 và n ¥ * an bn . 8. a b 0 a b . 9. a b 3 a 3 b . 10. a 0,b 0 a b a b và 3 a 3 b 3 a b . 1 1 11. a b 0 . a b 12. a2 0,a ¡ . Đẳng thức xảy ra khi a 0 . 13. a a a , với mọi a ¡ . 14. Với a 0 thì x a a x a . 15. Với a 0 thì x a x a hoặc x a . 1 2 16. Với mọi a,b ¡ , ta có a b a b a b . Đẳng thức xảy ra ở (1) khi ab 0 ; đẳng thức xảy ra ở (2) khi ab 0 . III. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP 1. Sử dụng biến đổi tương đương và các bất đẳng thức đúng đã biết a. Nội dung phương pháp Để chứng minh bất đẳng thức A B theo hướng này, chúng ta có thể làm theo một trong các cách sau đây: LOVEBOOK.VN | 43
  44. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Có nhiều phương pháp, kỹ thuật để chứng minh - Cách 1: Lập hiệu A B . Sử dụng biến đổi tương đương, các tính chất cơ bản bất đẳng thức. Trong của bất đẳng thức và các kết quả đã biết để chỉ ra A B 0 . phần này, chúng tôi chỉ - Cách 2: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, trình bày một số phương pháp chứng minh bất chúng ta đánh giá vế trái để được A B . đẳng thức thường gặp - Cách 3: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, trong các kỳ thi như thi chúng ta đánh giá vế phải để được B A . học kỳ, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi Trung học phổ thông quốc gia. Đó Chứng minh bất đẳng thức theo các cách nêu trên, ngoài sử dụng các tính chất cơ là, phương pháp sử dụng bản của bất đẳng thức, chúng ta thường sử dụng các kết quả sau: biến đổi tương đương hoặc các bất đẳng thức đã (1): x a;b a x b x a x b 0 . biết; sử dụng bất đẳng thức Cô-si; sử dụng bất 2 (2): f x 0, với mọi x sao cho f x xác định. đẳng thức Bu-nhi-a-cốp- xki; sử dụng kiến thức Đặc biệt, a2 b2 2ab;a2 b2 2ab . hình học; sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn (3): 3 ab bc ca a b c 2 3 a2 b2 c2 , với mọi a, b, c. tại nghiệm của phương trình; sử dụng tính chất b. Ví dụ minh họa của hàm số; sử dụng dồn biến; sử dụng dấu tam 3x 1 Ví dụ 1: a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên thức bậc hai; sử dụng x 2 phản chứng. đoạn  1;3 . x2 b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g x trên đoạn 2x2 1  1;2. Lời giải 3 x 2 7 7 a) Ta có f x 3 . ĐKXĐ: x 2 x 2 x 2 7 8 7 7 7 Với mọi x  1;3, ta có: 1 x 2 5 7 . 1 x 2 5 x 2 5 8 Do đó 4 f x ,x  1;3. 5 LOVEBOOK.VN | 44
  45. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing 8 Ta có f x 4 x 1  1;3; f x x 3  1;3. 5 8 Vậy max f x f 1 4 và min f x f 3 .  1;3  1;3 5 b) Với x  1;2 thì x2 0;4. 2 x2 1 2x 1 1 1 1 1 Ta có . . . 2x2 1 2 2x2 1 2 2 2x2 1 1 1 Với mọi x thuộc đoạn  1;2 thì 1 2x2 1 9 1 2x2 1 9 1 1 1 1 1 4 1 0 . . 2x2 1 9 2 2 2x2 1 9 2 Do đó 0 g x , x  1;2. 3 2 Mặt khác g x 0 x 0  1;2; g x x 2  1;2. 3 2 Vậy max g x g 2 và min g x g 0 0 ./.  1;2 3  1;2 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x2 4x 21 x2 3x 10 . Lời giải x2 4x 21 0 Điều kiện: 2 x 5 . 2 x 3x 10 0 Ta có x2 4x 21 x2 3x 10 x 11 0 , suy ra y 0. y2 2x2 7x 31 2 x 3 7 x x 2 5 x 2 x 3 5 x x 2 7 x 2 2 , suy ra y 2 . 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 3 5 x x 2 7 x x 3 LOVEBOOK.VN | 45
  46. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 1 Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x ./. 3 3 5 x 18 3 Ví dụ 3: a) Chứng minh rằng với mọi x ; thì x . 4 2 x2 1 25 50 3 b) Cho a,b,c là ba số không nhỏ hơn và có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 4 a b c 9 . a2 1 b2 1 c2 1 10 Lời giải 2 x 18 3 3x 1 4x 3 3 5 a) Ta có x 0,x ; . x2 1 25 50 50 x2 1 4 2 x 18 3 3 5 Suy ra x ,x ; . 2 STUDY TIP x 1 25 50 4 2 Khi học về đạo hàm, chúng ta 1 3 Dấu bằng xảy ra khi x hoặc x . có thể tìm ra biểu thức 3 4 18 3 a một cách đơn giản 3 3 5 25 50 b) Từ giả thiết, ta có 1 a b c a a . bằng phương pháp tiếp tuyến 4 4 2 như sau: Trước hết, chúng ta 5 5 dự đoán xem đẳng thức xảy ra Tương tự, ta cũng có b và c . khi nào? Chúng ta dự đoán 2 2 1 được a b c . Với 3 5 3 Suy ra a, b, c đều thuộc đoạn ; . 4 2 1 a 3 a thì . Sau 3 a2 1 10 Áp dụng kết quả ở ý a), ta có: đó, chúng ta viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số a 18 3 b 18 3 c 18 3 2 a ; 2 b ; 2 c . x a 1 25 50 b 1 25 50 c 1 25 50 f x 2 tại điểm x 1 Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, kết hợp với giả thiết, ta được 1 3 M ; . Tiếp tuyến đó có 3 10 a b c 18 9 9 2 2 2 a b c . phương trình là a 1 b 1 c 1 25 50 10 18 3 y x . 25 50 LOVEBOOK.VN | 46
  47. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c ./. 3 Nhận xét: Để giải ý b) chúng ta đã sử dụng kết quả của ý a). Nếu không có ý a) chúng ta tìm ra bất đẳng thức phụ bằng cách nào? Chúng ta có thể tìm ra bất đẳng thức phụ bằng cách sau đây: Thứ nhất, mỗi số hạng ở vế trái là biểu thức một biến, vì vậy chúng ta tìm cách đánh giá từng số hạng đó nhỏ hơn hoặc bằng biểu thức một biến rồi cộng vế theo vế và sử dụng giả thiết để chỉ ra điều phải chứng minh. Thứ hai, giả thiết của bài toán là a b c 1 (các biến số a, b, c có bậc một, a độc lập với nhau) nên cần đánh giá ma n , trong đó m, n là các hằng số a2 1 phải đi tìm. Thứ ba, từ giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh, chúng ta dự đoán được 1 1 a 3 đẳng thức xảy ra khi a b c . Khi a thì , do đó ta cần đánh 3 3 a2 1 10 a 3 giá m 3a 1 . Lúc này, chúng ta cần tìm m để bất đẳng thức trên a2 1 10 xảy ra. 2 a 3 3a 1 3 a 10m a 1 Xét m 3a 1 a2 1 10 10 a2 1 1 Lúc này, ta cần chọn m để 3 a 10m a2 1 0 nhận a làm nghiệm (mục 3 2 6 tiêu là xuất hiện 3a 1 ). Giải điều kiện đó ta tìm được m . Khi đó ta có 25 2 a 3 6 3a 1 4a 3 3 3a 1 0 (do a ). a2 1 10 25 50 a2 1 4 2. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si (Augustin-Louis Cauchy, 1789 - 1857, nhà toán học người Pháp) a. Nội dung phương pháp LOVEBOOK.VN | 47
  48. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book a b (1) Với hai số không âm a, b bất kỳ, ta luôn có: ab . Đẳng thức xảy ra 2 khi a b . - Các hình thức khác của bất đẳng thức này là: a2 b2 1. ab . 2 a b 2 2. ab . 4 - Hệ quả: +) Nếu a,b là các số không âm và a b S không đổi thì ab đạt giá trị lớn nhất 1 1 bằng S 2 khi và chỉ khi a b S . 4 2 +) Nếu a,b là các số không âm và ab P không đổi thì a b đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 P khi và chỉ khi a b P . 1 1 4 +) Với a 0,b 0 thì . Đẳng thức xảy ra khi a b . a b a b a b c (2) Với ba số không âm a, b, c bất kỳ, ta luôn có: 3 abc . Đẳng thức 3 xảy ra khi a b c . - Các hình thức khác của bất đẳng thức này là: 3 a3 b3 c3 a b c 1. abc 2. abc . 3 27 LOVEBOOK.VN | 48
  49. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing - Hệ quả: +) Nếu a, b, c là các số không âm và a b c S không đổi thì abc đạt giá trị 1 1 lớn nhất bằng S 3 khi và chỉ khi a b c S . 27 3 +) Nếu a,b,c là các số không âm và abc P không đổi thì a b c đạt giá trị nhỏ nhất bằng 33 P khi a b c 3 P . 1 1 1 9 +) Với a 0,b 0,c 0 thì . Đẳng thức xảy ra khi a b c a b c a b c . b. Ví dụ minh họa 3 Ví dụ 4: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của f x x với x 0 . x 3 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của g x x với x 1. x 1 3 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của h x x với x . 2x 1 2 3 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của p x x với x 2 . 4x 7 Lời giải 3 3 a) Do x 0 nên ta có f x x 2 x. 2 3 . x x 3 Đẳng thức xảy ra khi x x 3 (thỏa mãn điều kiện x 0 ). x Vậy, f x đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 3 khi x 3 . 3 3 b) Do x 1 nên ta có g x x 1 1 2 x 1 . 1 2 3 1. x 1 x 1 LOVEBOOK.VN | 49
  50. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 3 Đẳng thức xảy ra khi x 1 x 1 3 (thỏa mãn). x 1 3 6 6 c) Ta có h x x 2h x 2x 2x 1 1. 2x 1 2x 1 2x 1 1 6 Do x nên ta có 2h x 2 2x 1 . 1 2 6 1 2 2x 1 2 6 1 h x . 2 6 6 1 Đẳng thức xảy ra khi 2x 1 x (thỏa mãn). 2x 1 2 2 6 1 6 1 Vậy, h x đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi x . 2 2 3 12 d) p x x 4 p x 4x 4x 7 4x 7 STUDY TIP 4 12 71 Ngoài lời giải trình bày ở 4 p x 4x 7 4x 7 7 . bên, chúng ta có thể sử 75 4x 7 75 dụng một cách chung Từ giả thiết ta có 4x 7 15 . Do đó nhất để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất 4 12 71 44 11 4 p x 2 4x 7 . .15 7 p x . đối với hàm số, đó là sử 75 4x 7 75 5 5 dụng đạo hàm. Về kiến thức này sẽ được nghiên 4 12 4x 7 cứu ở chương trình Giải Đẳng thức xảy ra khi 75 4x 7 x 2 (thỏa mãn). tích 12 và bạn đọc có thể x 2 tham khảo trong cuốn sách Công phá Toán 3. 11 Vậy p x đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi x 2 ./. 5 LOVEBOOK.VN | 50
  51. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Nhận xét: Về hình thức thì các biểu thức f x , g x ,h x , p x tương tự như nhau nhưng để tìm được giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đó thì chúng ta quan tâm đến điều kiện của biến số và mục tiêu tìm giá trị nhỏ nhất. Cụ thể cả bốn biểu thức cần phải tìm cách đánh giá f x m1; g x m2 ;h x m3; p x m4 . - Việc đánh giá f x m1 thì chúng ta dễ dàng làm được khi áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si mà không cần có sự điều chỉnh gì về hình thức của biểu thức f x . - Việc đánh giá g x m2 ;h x m3 thì chúng ta không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si, do nếu áp dụng thì vế phải vẫn còn biến số. Vì vậy chúng ta cần 3 điều chỉnh hình thức của biểu thức g x x thành x 1 3 3 6 g x x 1 1, còn h x x thành 2h x 2x 1 1 x 1 2x 1 2x 1 (nhằm khi đánh giá thì về phải không còn biến số). - Việc đánh giá p x m4 chúng ta cũng không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si được mà cần có sự điều chỉnh về hình thức của p x để đạt được mục 12 tiêu. Ngay cả khi viết 4 p x 4x 7 7 thì chúng ta cũng không thể áp 4x 7 12 dụng luôn bất đẳng thức Cô-si 4 p x 2 4x 7 . 4 3 7 . 4x 7 12 2 3 7 Vì lúc này đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4x 7 x 2 , 4x 7 4 trong khi điều kiện của biến là x 2 . Một câu hỏi đặt ra là tại sao lại viết 4 p x thành 4 12 71 4 p x 4x 7 4x 7 7 ? 75 4x 7 45 4 Và số được tìm ra như thế nào? Có thể lý giải điều này như sau: 75 LOVEBOOK.VN | 51
  52. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 3 1 12 4 Chúng ta để ý khi x 2 thì và , trong khi chúng ta đang 4x 7 5 4x 7 5 12 cần đánh giá p x m nên ta phải tìm cách ghép m 4x 7 , với 4 4x 7 m 0 để áp dụng bất đẳng thức Cô-si nhằm triệt tiêu 4x 7 ở mẫu thức nhưng cũng phải chú ý đến điều kiện đẳng thức xảy ra. Vì vậy, ta cần tìm m để khi x 2 12 4 thì m 4x 7 . Dễ dàng tìm được m và chúng ta có lời giải như 4x 7 75 trên. Ví dụ 5: a) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn x y 5 . Chứng minh rằng 16 1 81 . x 4y 20 16 1 81 b) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng x 4y 20 x y 5 . Lời giải 16 1 65 16y x 65 16y x 65 81 Ta có x y 2 . 4 . x 4y 4 x 4y 4 x 4y 4 4 16 1 81 a) Khi x y 5 thì . x 4y 20 x y 5 40 5 Đẳng thức xảy ra khi x; y ; . 2 2 x 64y 9 9 16 1 81 b) Khi thì x y 5 . x 4y 20 x y 5 40 5 Đẳng thức xảy ra khi x; y ; ./. 2 2 x 64y 9 9 3. Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki LOVEBOOK.VN | 52
  53. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing (Viktor Yakovlevich Bunyakovsky, 1804 - 1889, nhà toán học người Nga) a. Nội dung phương pháp (1) Với bốn số thực a, b, x, y tùy ý, ta luôn có ax by 2 a2 b2 x2 y2 . a b Dấu bằng xảy ra khi ay bx hoặc (nếu xy 0 ). x y - Hình thức khác của bất đẳng thức này là: ax by a2 b2 x2 y2 . Nhận xét: Bất đẳng thức này cũng là một dạng bất đẳng thức hình học. Cụ thể trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu hai vectơ u a;b và v x; y thì do ta luôn có u.v u . v nên ax by a2 b2 x2 y2 . (2) Với sáu số a, b, c, x, y, z tùy ý, ta luôn có ax by cz 2 a2 b2 c2 x2 y2 z2 ay bx a b c Dấu bằng xảy ra khi hoặc (nếu xyz 0 ). az cx x y z - Hình thức khác của bất đẳng thức này là ax by cz a2 b2 c2 x2 y2 z2 . STUDY TIP Nhận xét: Bất đẳng thức này cũng là một dạng bất đẳng thức hình học. Cụ thể Liên quan đến Phương pháp tọa độ trong không trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, nếu xét hai vectơ u a;b;c và gian bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn Công v x; y; z thì do ta luôn có u.v u . v nên phá Toán 3. ax by cz a2 b2 c2 x2 y2 z2 . b. Ví dụ minh họa 3x 1 Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . x2 3 Lời giải LOVEBOOK.VN | 53
  54. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có: 2 2 1 1 2 28 3x 1 3.x . 3 32 x2 3 . x2 3 . 2 3 3 3 2 21 3x 1 2 21 3x 1 . x2 3 . 3 x2 3 3 x 3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 9 . 3 1 2 21 Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng khi x 9 ./. 3 Ví dụ 7: a) Chứng minh rằng x 3 5 x 4,x  3;5 . 5 4 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 2x 5 4 3x , với x ; . 2 3 Lời giải a) Đặt F x 3 5 x , với x  3;5 . Cách 1: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si). Với mọi x  3;5 , ta luôn có F 0 . Có F 2 8 2 x 3 5 x 8 x 3 5 x 16 F 4. Dấu bằng xảy ra khi x 3 5 x x 1  3;5. Vậy, F 4,x  3;5 . Cách 2: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si). 4 3 x 4 5 x Ta có 2F 2 x 3 2 5 x 8 F 4. 2 2 x 3 2 Dấu bằng xảy ra khi x 1  3;5. 5 x 2 LOVEBOOK.VN | 54
  55. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Vậy, F 4,x  3;5 . Cách 3: (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki). Ta có F 1. x 3 1. 5 x 12 12 . x 3 5 x 2. 8 4 . x 3 5 x Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 1  3;5 . 1 1 STUDY TIP Vậy, F 4,x  3;5 . Ngoài các cách trình bày b) (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki). ở bên, ví dụ này còn có thể giải theo cách lập 5 4 2 2 5 4 115 Ta có A 2. x 3. x 2 3 . x x . bảng biến thiên của hàm 2 3 2 3 6 số (có sử dụng công cụ đạo hàm - sử dụng kiến 5 4 x x thức lớp 12). Bạn đọc có 29 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 3 x . thể tham khảo trong cuốn 2 3 30 sách Công phá Toán 3. 115 29 Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng khi x ./. 6 30 LOVEBOOK.VN | 55
  56. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Nhận xét: 1. Trong ý a) chúng ta có thể áp dụng được cả hai bất đẳng thức Cô-si và Bu- nhi-a-cốp-xki để giải thì trong ý b) việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ gặp nhiều khó khăn vì rất khó để chọn điểm rơi (tức là điều kiện để dấu bằng xảy ra). Tuy nhiên, nếu để nguyên biểu thức A 2x 5 4 3x và áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki thì không khử được biến x. Do đó, chúng ta cần biết đổi để hệ số của biến x trong hai số hạng phải đối nhau. Có hai cách để làm điều này, đó là đặt hệ số của biến x làm nhân tử chung trong từng số hạng (như lời giải trên) hoặc nhân và chia mỗi số hạng cho một số nào đó, ví dụ 1 1 A . 6x 15 . 8 6x . 3 2 2. Từ bất đẳng thức, người ta có thể đề xuất một số phương trình hoặc hệ phương trình giải được bằng cách sử dụng các bất đẳng thức. Chẳng hạn, từ kết quả của ý a) và lưu ý đến điều kiện để đẳng thức xảy ra, chúng ta có thể đề xuất các bài toán sau đây: Bài 1. Giải phương trình x 3 5 x 4 . Bài 2. Giải phương trình x 3 5 x x2 2x 5 . x 3 5 y 4 Bài 3. Giải hệ phương trình . y 3 5 x 4 2 x 3 5 y x 2y 5 Bài 4. Giải hệ phương trình . 2 y 3 5 x y 2x 5 x 3 5 y 4 Bài 5. Giải hệ phương trình y 3 5 z 4 . z 3 5 x 4 x 3 5 y z2 2z 5 2 Bài 6. Giải hệ phương trình y 3 5 z x 2x 5 . 2 z 3 5 x y 2y 5 LOVEBOOK.VN | 56
  57. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing x2 y2 Ví dụ 8: a) Cho các số thực x, y thỏa mãn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và 25 16 giá trị lớn nhất của biểu thức S x 3y 4 . b) Cho các số thực x, y thỏa mãn x 2y 2z 5 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 y2 z2 2x 4y 6z 11. Lời giải 2 2 2 2 x y 2 2 x y a) Ta có S 4 5. 12. 5 12 169 5 4 25 16 S 4 13 9 S 17 . x y x y 12. 5. 12. 5. 5 4 5 4 Dấu bằng xảy ra khi 2 2 2 x y 2 12 2 1 x x 25 25 16 5 25 48 25 48 x; y ; hoặc x; y ; . 13 13 13 13 25 48 Vậy, S đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9 khi x; y ; ; đạt giá trị lớn nhất 13 13 25 48 bằng 17 khi x; y ; . 13 13 b) Ta có P 3 x 1 2 y 2 2 z 3 2 . x 2y 2z 5 0 x 1 2 y 2 2 z 3 6 . Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có 2 6 2 x 1 2 y 2 2 z 3 12 2 2 22 x 1 2 y 2 2 z 3 2 36 9. P 3 P 1. LOVEBOOK.VN | 57
  58. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book x 1 y 2 z 3 1 2 5 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 2 x; y; z ; ; . 3 3 3 x 2y 2z 5 0 1 2 5 Vậy, P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x; y; z ; ; ./. 3 3 3 4. Sử dụng kiến thức hình học a. Nội dung phương pháp Để chứng minh một bất đẳng thức theo cách này, chúng ta phải phát hiện được bản chất hình học của bất đẳng thức cần chứng minh. Sau đó dựa vào tính chất hình học, các bất đẳng thức đã biết và các mối liên hệ hình học để rút ra kết luận. Một số kết quả hình học thường dùng để chứng minh bất đẳng thức. - Kết quả 1: Với ba điểm tùy ý M, A, B, ta luôn có MA MB AB . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng AB (viết là M  AB ). - Kết quả 2: Với hai vectơ tùy ý a a1;a2 ,b b1;b2 , ta luôn có a.b a . b . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a,b cùng phương a1b2 a2b1 . - Kết quả 3: Với hai vectơ tùy ý a a1;a2 ,b b1;b2 , ta luôn có 1 2 a b a b a b . Dấu bằng xảy ra ở (1) khi và chỉ khi a,b ngược hướng a1b2 a2b1 a1b2 a2b1 hoặc . a1b1 0 a2b2 0 Dấu bằng xảy ra ở (2) khi và chỉ khi a,b cùng hướng a1b2 a2b1 a1b2 a2b1 hoặc . a1b1 0 a2b2 0 LOVEBOOK.VN | 58
  59. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing - Kết quả 4: Cho đường tròn I; R và điểm A nằm ngoài I; R . Gọi M là điểm 1 2 tùy ý thuộc đường tròn I; R . Khi đó ta luôn có: IA R MA IA R . Dấu bằng xảy ra ở (1) khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng IA với đường tròn I; R , trong đó M thuộc đoạn IA, tức là M được xác định bởi hệ thức  R  IM .IA. IA Dấu bằng xảy ra ở (2) khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng IA với đường tròn I; R , trong đó M nằm ngoài đoạn IA, tức là M được xác định bởi hệ  R  thức IM .IA. IA - Kết quả 5: Cho hai đường tròn I1; R1 và I2 ; R2 ngoài nhau (tức là I1I2 R1 R2 ). Gọi M, N là hai điểm tùy ý lần lượt thuộc I1; R1 và I2 ; R2 . 1 2 Khi đó ta luôn có: I1I2 R1 R2 MN I1I2 R1 R2 . Dấu bằng xảy ra ở (1) khi và chỉ khi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng I1I2 với hai đường tròn I1; R1 và I2 ; R2 , trong đó M, N thuộc đoạn I1I2 , tức   R1 là M được xác định bởi hệ thức I1M .I1I2 và N được xác định bởi hệ thức I1I2   R2 I2 N .I2 I1 . I1I2 Dấu bằng xảy ra ở (2) khi và chỉ khi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng I1I2 với hai đường tròn I1; R1 và I2 ; R2 , trong đó M, N nằm ngoài đoạn I1I2 ,   R1 tức là M được xác định bởi hệ thức I1M .I1I2 và N được xác định bởi hệ I1I2   R2 thức I2 N .I2 I1 . I1I2 LOVEBOOK.VN | 59
  60. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book - Kết quả 6: Cho đường tròn I; R và đường thẳng không cắt đường tròn. Gọi M, N là hai điểm tùy ý lần lượt thuộc đường tròn I; R và đường thẳng . Khi đó ta luôn có: MN d I, R . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi N là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng và M là giao điểm của đoạn IN với đường tròn I; R , tức là M thỏa mãn hệ  R  thức IM .IN . d I, * Chú ý: Trong thực hành giải toán bằng phương pháp này, chúng ta cần lưu ý đến việc chuyển đổi ngôn ngữ cho các biểu thức đại số sang ngôn ngữ hình học STUDY TIP để vận dụng phương pháp hoặc kỹ thuật giải cho phù hợp. Chẳng hạn: Khi sử dụng một kết quả nào đó trong các kết quả Biểu thức đại số Ngôn ngữ hình học nên trên vào việc tìm giá ax by c 0 Phương trình đường thẳng : ax by c 0 . trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất chúng ta lưu ý x a 2 y b 2 R2 Phương trình đường tròn có tâm I a;b và bán kính R đến điều kiện để đẳng ( R 0 ). thức xảy ra để có sự điều chỉnh hình thức tọa độ x a 2 y b 2 Độ dài vectơ u x a; y b hoặc khoảng cách giữa của điểm, tọa độ của hai điểm M x; y và A a;b . vectơ một cách phù hợp. b. Ví dụ minh họa Ví dụ 9: a) Chứng minh rằng với mọi x ¡ , ta có x2 4x 13 x2 10x 41 7 2 . b) Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, ta luôn có x2 y2 4x 6x 13 x2 y2 10x 8y 41 7 2 . c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M 4x2 4x 5 4x2 12x 25 . Lời giải a) Ta có A x2 4x 13 x2 10x 41 2 x 2 32 5 x 2 42 . LOVEBOOK.VN | 60
  61. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Xét hai vectơ a 2 x;3 và b 5 x;4 . Khi đó A a b và a b 72 72 7 2 . Mặt khác, ta luôn có a b a b nên A 7 2 . 2 x 5 x Dấu bằng xảy ra khi a,b cùng hướng x 1. 3 4 b) Cách 1: Xét hai vectơ u 2 x; y 3 và v x 5;4 y . Suy ra u v 7;7 và u v 72 72 7 2 . Ta có B x2 y2 4x 6x 13 x2 y2 10x 8y 41 u v . Mặt khác, ta luôn có u v u v nên B 7 2 . Dấu bằng xảy ra khi u,v cùng hướng 2 x 4 y x 5 y 3 x y 1 0 . 2 x x 5 0 5 x 2 Cách 2: Xét ba điểm M x; y , E 2; 3 , F 5;4 . Khi đó EF 7 2 và đường thẳng EF có phương trình là x y 1 0 . Ta có B x2 y2 4x 6x 13 x2 y2 10x 8y 41 ME MF . Vì ta luôn có ME MF EF nên B 7 2 . x y 1 0 Dấu bằng xảy ra khi M thuộc đoạn EF hay . 5 x 2 c) Xét hai vectơ u 1 2x;2 và v 2x 3; 4 . Suy ra u v 4; 2 và u v 42 2 2 2 5 . Ta có M 1 2x 2 22 2x 3 2 4 2 u v . LOVEBOOK.VN | 61
  62. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Mặt khác, ta luôn có u v u v nên M 2 5 . 1 2x 2 5 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u,v ngược hướng x . 2x 3 4 2 5 Vậy, M đạt giá trị lớn nhất bằng 2 5 khi x ./. 2 Ví dụ 10: Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn các điều kiện a2 b2 2a 4b 4 0 và 3c 4d 9 0 Chứng minh rằng 1 2 ac bd a2 b2 c2 d 2 . Lời giải Ta có a2 b2 2a 4b 4 0 a 1 2 b 2 2 9 . Xét điểm M a;b và điểm N c;d thì M và N lần lượt thuộc đường tròn C : x 1 2 y 2 2 9 và đường thẳng d :3x 4y 9 0 . Đường tròn C có tâm I 1; 2 và bán kính R 3. 3.1 4. 2 9 Ta có d I,d 4 R 3. 32 4 2 Mặt khác với mọi điểm X C ,Y d thì XY d I,d R . Do đó MN 1. Ta lại có MN 2 a c 2 b d 2 a2 b2 c2 d 2 2 ac bd . STUDY TIP Vậy, a2 b2 c2 d 2 2 ac bd 1 hay 1 2 ac bd a2 b2 c2 d 2 ./. Chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn 5. Sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình nhất, giá trị nhỏ nhất theo cách này chúng ta không a. Nội dung phương pháp cần phải chỉ ra giá trị cụ Sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình trong chứng thể của x để đẳng thức xảy ra nữa (vì chúng ta đã minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, chúng ta thường sử có điều kiện tồn tại x để dụng các kết quả sau đây: đẳng thức xảy ra rồi). LOVEBOOK.VN | 62
  63. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing (1) Phương trình ax2 bx c 0 , a 0 có nghiệm khi và chỉ khi 0 . u v S 2 (2) Điều kiện để tồn tại hai số u, v sao cho là S 4P 0 . uv P u v S (3) Điều kiện để tồn tại hai số không âm u, v sao cho là uv P S 0 P 0 . 2 S 4P 0 Chú ý: Để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x theo cách này, chúng ta có thể tiến hành như sau: - Bước 1: Gọi y0 là một giá trị bất kỳ thuộc miền giá trị của hàm số. Khi đó phương trình f x y0 có nghiệm. 2 - Bước 2: Biến đổi đưa phương trình f x y0 về dạng ax bx c 0 . Sau đó tìm điều kiện để phương trình này có nghiệm (điều kiện này dẫn đến giải bất phương trình ẩn y0 ). - Bước 3: Từ kết quả của bước 2, chúng ta kết luận về giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x . b. Ví dụ minh họa 2x 1 Ví dụ 11: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y . x2 x 4 Lời giải 2 2 1 15 Vì x x 4 x 0 với mọi x ¡ nên hàm số xác định trên ¡ . 2 4 Gọi y0 là một giá trị thuộc miền giá trị của hàm số đã cho. Khi đó phương trình 2x 1 y có nghiệm 0 x2 x 4 LOVEBOOK.VN | 63
  64. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 2 y0 x x 4 2x 1 có nghiệm 2 y0 x y0 2 x 4y0 1 0 (1) có nghiệm. Trường hợp 1: y0 0 . 1 Khi đó (1) trở thành 2x 1 0 x . 2 Trường hợp 2: y0 0 . Khi đó phương trình (1) có nghiệm 2 2 y0 2 4y0 4y0 1 0 15y0 8y0 4 0 4 2 19 4 2 19 y . 15 0 15 4 2 19 4 2 19 Kết hợp hai trường hợp ta có y 15 0 15 4 2 19 y01 2 Với y01 ta tìm được x . 15 2y01 4 2 19 y02 2 Với y02 ta tìm được x . 15 2y02 4 2 19 4 2 19 Vậy, max y và min y ./. ¡ 15 ¡ 15 LOVEBOOK.VN | 64
  65. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing STUDY TIP Nhận xét: Ngoài cách giải này, 1. Qua cách làm của ví dụ này, bạn đọc có thể tự mình đưa ra hướng giải cho bài chúng ta có thể sử dụng 2 công cụ đạo hàm để tìm a1x b1x c1 toán tổng quát: Tìm giá trị lớn nhất và gnn của hàm số y 2 , trong được giá trị lớn nhất và a2 x b2 x c2 giá trị nhỏ nhất của hàm đó a 0 và b2 4a c 0 . số (đây là cách làm có tư 2 2 2 2 tưởng rõ ràng, dễ hiểu đối 2. Từ kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể phát biểu lại bài toán dưới hình thức với mọi đối tượng học khác như sau: sinh) mà chúng ta sẽ được nghiên cứu ở chương a) Trong các cặp số (x; y) thỏa mãn phương trình x2 y xy 2x 4y 1 0, hãy trình Giải tích 12. tìm cặp số sao cho y đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 2x 1 b) Hàm số y nhận giá trị nguyên khi nào? x2 x 4 a b c 4 Ví dụ 12: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện . Chứng ab bc ca 4 8 minh rằng 0 a,b,c . 3 Lời giải a b 4 c a b 4 c Hệ điều kiện đã cho được viết lại là (*). 2 ab 4 c a b ab c 4c 4 Do tồn tại a, b đã cho nên hệ phương trình (*) có nghiệm, a, b hay 2 8 4 c 4 c2 4c 4 0 3c2 8c 0 0 c . 3 Vai trò của a, b, c trong hệ điều kiện đã cho là như nhau nên chứng minh tương 8 8 8 tự ta cũng có 0 a ,0 b . Vậy, 0 a,b,c ./. 3 3 3 LOVEBOOK.VN | 65
  66. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Nhận xét: 1. Trong ví dụ này vai trò của a, b, c là như nhau nên ta có cùng kết quả đánh 8 8 8 giá 0 a ,0 b ,0 c . Cũng có những trường hợp vai trò của các 3 3 3 biến là không tương đương, ta cần thực hiện phép biến đổi đưa về dạng vai trò của các biến là tương đương. Hãy nghiên cứu vấn đề thông qua bài tập dưới đây: x 2y 3z 4 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn hệ điều kiện . Chứng minh 2xy 6yz 3zx 4 rằng 8 4 8 0 x ,0 y ,0 z . 3 3 9 2. Nội dung ví dụ này có thể diễn đạt bằng hình thức khác như: Trong các bộ số a b c 4 a;b;c thỏa mãn điều kiện , hãy tìm bộ số sao cho c đạt giá trị ab bc ca 4 lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 3. Nếu kết hợp với tính chất hàm số, chúng ta có thể đề xuất bài toán sau: Trong a b c 4 các bộ số a;b;c thỏa mãn điều kiện , hãy tìm bộ số sao cho ab bc ca 4 P ab đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 4. Từ hằng đẳng thức a2 b2 c2 a b c 2 2 ab bc ca và từ giả thiết của ví dụ này, ta có a2 b2 c2 8. Do đó ta có thể đề xuất các bài toán sau đây: a b c 4 a) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện . Chứng minh 2 2 2 a b c 8 8 rằng 0 a,b,c . 3 ab bc ca 4 b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện . Chứng minh 2 2 2 a b c 8 8 8 rằng a,b,c . 3 3 LOVEBOOK.VN | 66
  67. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing 6. Sử dụng tính chất của hàm số a. Nội dung phương pháp Trong khuôn khổ chương trình lớp 10, để chứng minh bất đẳng thức theo cách này, chúng ta cần biết một số kiến thức sau đây: (1) Bảng biến thiên của hàm số bậc hai y ax2 bx c . b b x x 2a 2a y y 4a 4a Trường hợp a 0 Trường hợp a 0 (2) Xét hàm số bậc nhất y ax b trên đoạn  ; . Khi đó, STUDY TIP max y max y ; y   và min y min y ; y   . Ngoài cách dựa vào các  ;   ;  kết quả nêu trên, khi sử dụng tính chất của hàm số Đặc biệt: - Nếu a 0 thì max y y  ;min y y .  ;   ;  để chứng minh bất đẳng thức, người ta còn sử - Nếu a 0 thì max y y ;min y y  . dụng đến tính đơn điệu  ;   ;  của hàm số mà công cụ (3) Xét hàm số bậc hai f x ax2 bx c trên đoạn ; . hiệu quả, có đường lối, tư   duy rõ ràng là sử dụng b công cụ đạo hàm (được Tính y1 f , y2 f ; y3 f  . Khi đó nghiên cứu đầy đủ ở 2a chương trình lớp 12). Bạn b đọc có thể tham khảo - Nếu  ;  thì max f x max y1; y3;min f x min y1; y3 2a  ;   ;  trong cuốn sách Công phá Toán 3. b - Nếu  ;  thì max f x max y1; y2 ; y3;min f x min y1; y2 ; y3 2a  ;   ;  ax b (4) Xét hàm số f x , c 0;ad bc 0 xác định trên đoạn  ; . cx d Khi đó, max f x max f ; f  ;min f x min f ; f  .  ;   ;  LOVEBOOK.VN | 67
  68. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book (5) Xét hàm số f x a1x b1 a2 x b2 an x bn , trong đó ai 0 với b b b  i 1,2, ,n . Khi đó min f x min f 1 ; f 2 ; ; f n  . ¡ a1 al2 an  Đặc biệt, với a 0 thì ax b1 ax b2 b1 b2 . b. Ví dụ minh họa Ví dụ 13: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số a) f x x 1 9 x , với 3 x 6 . b) g x 2 x 1 9 x x 1 9 x , với 3 x 6 . Lời giải a) Với x 3;6 thì f x 0 . Ta có f 2 x 8 2 x 1 9 x 8 2 x2 10x 9 . Xét hàm số h x x2 10x 9 trên đoạn 3;6 . Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau: x 3 5 6 16 h x 12 15 Từ bảng biến thiên, ta có 8 2 12 f 2 x 8 2 16,x 3;6 8 4 3 f x 4,x 3;6 2 6 f x 4,x 3;6. Vậy, max f x f 5 4 và min f x f 3 2 6 . 3;6 3;6 Chú ý: Chúng ta cũng có thể tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số h x trên đoạn 3;6 bằng cách đơn giản như nêu ở phần lý thuyết. Cụ thể: b Ta có 5 3;6 và h 3 12;h 5 16;h 6 15 nên 2a LOVEBOOK.VN | 68
  69. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing min h x 12 và max h x 16 . 3;6 3;6 t 2 8 b) Đặt t x 1 9 x (ĐK: t 0 ). Suy ra x 1 9 x . 2 t 2 8 1 Do đó g x 2t t 2 4t 8 . 2 2 Với x 3;6 thì theo ý a) ta có t 2 6;4 . 2 Xét hàm số k t t 4t 8 trên đoạn 2 6;4 . b Ta có 2 2 6;4 và k 2 6 4 3 2 6 ;k 4 8. 2a Do đó 4 3 2 6 k t 8,t 2 6;4 . Suy ra 4 g x 2 2 6 3 ,x 3;6 . Vậy, max g x 2 2 6 3 và min g x 4 ./. 3;6 3;6 Ví dụ 14: Cho các số thực x, y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện x2 xy y2 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x4 y4 3x2 y2 4xy . Lời giải Ta luôn có x2 y2 2xy và x2 y2 2xy . 3 2xy xy Do đó, kết hợp với giả thiết ta có 3 xy 1. 3 2xy xy 2 Đặt t xy thì x2 y2 3 t và x4 y4 x2 y2 2x2 y2 t 2 6t 9 . Suy ra, A 2t 2 2t 9 . Xét hàm số f t 2t 2 2t 9 trên đoạn  3;1 . LOVEBOOK.VN | 69
  70. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book b 1 1 17 Ta có  3;1 và f 3 33; f ; f 1 9 . 2a 2 2 2 17 Do vậy A 33. 2 xy 3 x 3 x 3 +) A 33 hoặc . 2 2 x xy y 3 y 3 y 3 1 17 xy 14 6 14 6 +) A 2 (hệ có nghiệm x; y ; . 2 2 2 4 4 x xy y 3 17 Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng 33 và đạt giá trị nhỏ nhất bằng ./. 2 7. Sử dụng dồn biến a. Nội dung phương pháp Kỹ thuật dồn biến trong chứng minh bất đẳng thức là một kỹ thuật làm giảm số biến trong bất đẳng thức thông qua việc đánh giá, đổi biến, đánh giá kết hợp với đổi biến, Trong các kỳ thi Trung học phổ thông chúng ta thường chỉ gặp các bất đẳng thức từ ba biến trở xuống với những kỹ thuật dồn biến khá là cơ bản như đổi biến số; đánh giá dựa vào việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản, bất đẳng thức kinh điển; đánh giá kết hợp với đổi biến số; Một số đánh giá thường sử dụng thì đã được nêu ở các phần trên, ngoài ra còn cần chú ý đến một vài đánh giá như: Với a 0,b 0 thì (1) a2 b2 a b 2 ;a3 b3 a b 3 ; (2) c a c b c c a b , với c 0; Một số cách đổi biến thường gặp là t x y hoặc t xy hoặc t x2 y2 hoặc x y t ; t a b c hoặc t ab bc ca; Bên cạnh việc đổi biến số, chúng y x ta thường sử dụng các bất đẳng thức cơ bản hoặc kinh điển để tìm tập giá trị của biến mới. b. Ví dụ minh họa LOVEBOOK.VN | 70
  71. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Ví dụ 15: Cho x, y là các số thực khác không. Chứng minh rằng x2 y2 x y 3 2 2 8 10 0 . y x y x Lời giải x y x y Đặt t thì t 2 t 2 hoặc t 2 . y x y x 2 2 x y x y 2 Từ cách đặt, ta có 3 2 2 8 10 3t 8t 4 t 2 3t 2 . y x y x 2 Do t 2 3t 2 0 t hoặc t 2 nên t 2 3t 2 0,t 2 hoặc 3 t 2 . x2 y2 x y Vậy, 3 2 2 8 10 0 . Đẳng thức xảy ra khi x y 0 ./. y x y x Ví dụ 16: Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x y 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 4x2 3y 4y2 3x 25xy . Lời giải Vì x y 1 nên S 16x2 y2 12 x3 y3 34xy 16x2 y2 12 x y 3 3xy x y 34xy 16 xy 2 2xy 12 . Đặt t xy (ĐK: t 0 ), ta được S 16t 2 2t 12 . 2 x y 1 1 Lại có 0 xy nên t 0; . 2 4 4 1 Xét hàm số f t 16t 2 2t 12 trên đoạn 0; . 4 LOVEBOOK.VN | 71
  72. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book b 1 1 1 191 1 25 Ta có 0; và f 0 12; f ; f . 2a 16 4 16 16 4 2 1 25 1 191 Suy ra, max f t f ;min f t f . 1 1 0; 4 2 0; 16 16 4 4 x y 1 25 1 1 Vậy, Giá trị lớn nhất của S bằng ; khi 1 x; y ; . 2 xy 2 2 4 x y 1 191 Giá trị nhỏ nhất của S bằng ; khi 1 16 xy 16 2 3 2 3 2 3 2 3 x; y ; hoặc x; y ; ./. 4 4 4 4 Ví dụ 17: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x2 y2 8 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2 x2 y2 2xy x y 13 . Lời giải Ta có x y 0 và x y 2 2 x2 y2 16 x y 4. P x2 y2 x y 2 x y 13 x y 2 x y 5. Đặt t x y thì t 0;4 và P t 2 t 5 . Xét hàm số f t t 2 t 5 trên nửa khoảng 0;4. Bảng biến thiên của hàm số f t là: 1 t 0 4 2 f t 5 7 21 4 LOVEBOOK.VN | 72
  73. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Do đó f t 7,t 0;4 . x2 y2 8 Vậy, P đạt giá trị lớn nhất bằng 7; khi x; y 2;2 ./. x y 4 8. Sử dụng dấu tam thức bậc hai a. Nội dung phương pháp - Định lý (về dấu tam thức bậc hai): Cho tam thức bậc hai f x ax2 bx c,a 0 . + Nếu 0 thì f x cùng dấu với hệ số a với mọi x ¡ . b + Nếu 0 thì f x cùng dấu với hệ số a với mọi x . 2a + Nếu 0 thì f x có hai nghiệm x1 và x2 ( x1 x2 ). Khi đó, f x trái dấu với hệ số a với mọi x nằm trong khoảng x1; x2 (tức là với x1 x x2 ) và f x cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngoài đoạn x1; x2  (tức là với x x1 hoặc x x2 ). - Hệ quả: Từ định lý về dấu tam thức bậc hai ta rút ra các hệ quả sau đây: 2 a 0 1 x ¡ ,ax bx c 0 . 0 2 a 0 (2) x ¡ ,ax bx c 0 . 0 (3) Nếu tồn tại số α sao cho af 0 thì b2 4ac 0. b. Ví dụ minh họa Ví dụ 18: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta luôn có x2 19y2 6z2 8xy 12yz 4zx 0 . Lời giải LOVEBOOK.VN | 73
  74. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Cách 1: (Biến đổi tương đương) Ta có x2 19y2 6z2 8xy 12yz 4zx x2 2x 4y 2z 4y 2z 2 3y2 4yz 2z2 2 2 x 4y 2z y2 2 y z 0,x, y, z ¡ . Cách 2: (Sử dụng dấu tam thức bậc hai) Xét f x x2 2 4y 2z x 19y2 6z2 12yz . Có ' 4y 2z 2 19y2 6z2 12yz 3y2 4yz 2z2 2 y2 2 y z 0,y, z ¡ . Suy ra, f x 0,x, y, z ¡ . Vậy, x2 19y2 6z2 8xy 12yz 4zx 0,x, y, z ¡ ./. Ví dụ 19: Cho dãy số a1,a2 , ,an trong đó các số hạng thuộc đoạn 0;1. Chứng 2 2 2 2 minh rằng 1 a1 a2 an 4 a1 a2 an . Lời giải 2 2 2 2 Xét tam thức bậc hai f x x 1 a1 a2 an x a1 a2 an . 2 2 2 Ta có f 1 a1 a1 a2 a2 an an . 2 Vì 0 ak 1,k 1,2, ,n nên ak ak 0,k 1,2, ,n . Do đó f 1 0 . 2 Mặt khác hệ số của x bằng 1 0 nên f 0 2 2 2 2 1 a1 a2 an 4 a1 a2 an 0 2 2 2 2 1 a1 a2 an 4 a1 a2 an ./. 9. Sử dụng phản chứng a. Nội dung phương pháp LOVEBOOK.VN | 74
  75. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Để chứng minh một mệnh đề là đúng theo phương pháp phản chứng thì chúng ta có thể tiến hành như sau: - Bước 1: Giả sử mệnh đề đó là sai (lúc này kết quả đó được dùng làm giả thiết, gọi là giả thiết phản chứng). - Bước 2: Bằng lập luận lôgic, và những kiến thức đã biết, kết hợp với kết quả ở bước 1 để chỉ ra điều mâu thuẫn với điều giả sử hoặc mâu thuẫn với kết quả đúng đã biết. - Bước 3: Khẳng định mệnh đề đã cho là đúng. b. Ví dụ minh họa Ví dụ 20: Cho a, b, c là các số thực thuộc khoảng 1;5 . Chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng: a 1 5 b 4; b 1 5 c 4; c 1 5 a 4 . Lời giải a 1 5 b 4 Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều sia. Khi đó b 1 5 c 4 . c 1 5 a 4 Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được a 1 5 a b 1 5 b c 1 5 c 43 (*). 2 x 1 5 x Mặt khác, với x 1;5 thì 0 x 1 5 x 4 nên 2 a 1 5 a b 1 5 b c 1 5 c 43 . Điều này mâu thuẫn với (*). Suy ra điều giả sử là sai hay có ít nhất một bất đẳng thức trong các bất đẳng thức đã cho là đúng./. LOVEBOOK.VN | 75
  76. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book B. Các dạng toán điển hình Trong phần này, chúng ta cùng tìm hiểu một số ví dụ điển hình minh họa cho từng phương pháp nêu trên. Dạng 1 Sử dụng biến đổi tương đương hoặc các bất đẳng thức đã biết Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y x3 7x2 11x 2 trên đoạn 0;2 . A. m 11 B. m 0 C. m 2 D. m 3 STUDY TIP Lời giải Ngoài hai cách giải như Cách 1: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng) bên, ví dụ này còn có thể giải được nhờ công cụ Giá trị của m ở phương án C là nhỏ nhất nên ta kiểm tra phương án này trước. đạo hàm mà chúng ta sẽ 3 2 3 2 nghiên cứu trong Giải tích Xét phương trình x 7x 11x 2 2 x 7x 11x 0 12. Cách giải dựa vào đạo 2 hàm không chỉ giúp ta tìm x x 7x 11 0 x 0 0;2 . được giá trị nhỏ nhất mà còn tìm được cả giá trị Vậy m 2 . lớn nhất của hàm số Cách 2: (Biến đổi tương đương, đánh giá dựa vào kết quả đã biết) không những trên đoạn mà còn cả trên một đoạn Ta có y x3 7x2 10x x 2 x x 2 x 5 x 2 . bất kỳ. Do x 0;2 nên x x 2 x 5 0; x 2 2 . Suy ra y 2 . Đẳng thức xảy ra khi x 0 0;2 . Vậy m 2 . Đáp án C. Bài tập rèn luyện kĩ năng: Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x x3 2x2 x 2 trên đoạn 0;2 . 50 A. max f x 2 B. max f x 0;2 0;2 27 C. max f x 1 D. max f x 0 0;2 0;2 LOVEBOOK.VN | 76
  77. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x3 2x2 4x 1 trên đoạn 1;3 . 67 A. max y B. max y 2 1;3 27 1;3 C. max y 7 D. max y 4 1;3 1;3 Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 3x2 9x 2 trên đoạn 0;4 . A. min y 18 B. min y 2 0;4 0;4 C. min y 25 D. min y 34 0;4 0;4 Ví dụ 2: Cho hàm số y 2x 3 9 x2 . Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng: A. 6 B. 9 C. 9D. 0 Lời giải Điều kiện: 3 x 3 . Cách 1: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng) - Kiểm tra phương án B: Xét phương trình 2x 3 9 x2 9 3 9 x2 9 2x 9 9 2x 0 x 2 2 2 (điều này không thể xảy ra 9 9 x 9 2x 2 2 9 9 x 9 2x vì 3 x 3 ). - Kiểm tra phương án A: Xét phương trình 2x 3 9 x2 6 3 9 x2 6 2x LOVEBOOK.VN | 77