Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chương 3: Phương trình. Hệ phương trình - Bài 4: Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc phương trình bậc hai - Đặng Việt Đông

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chương 3: Phương trình. Hệ phương trình - Bài 4: Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc phương trình bậc hai - Đặng Việt Đông

1. PHƯƠNG TRÌNH Chương 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH § 4. Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc phương trình bậc hai  Dạng toán 1: Phương trình bậc ba, phương trình bậc bốn Phương trình trùng phương: ax4 bx2 c 0, (a 0) ( ) — Đặt t x2 0 thì ( ) at2 bt c 0 ( ) — Để xác định số nghiệm của ( ), ta dựa vào số nghiệm của ( ) và dấu của chúng, cụ thể: ( ) v« nghiÖm Để ( ) vô nghiệm ( ) cã nghiÖm kÐp ©m. ( ) cã 2 nghiÖm ©m ( ) cã nghiÖm kÐp t1 t2 0 Để ( ) có 1 nghiệm  ( ) cã 1 nghiÖm b»ng 0, nghiÖm cßn l¹i ©m ( ) cã nghiÖm kÐp d­¬ng Để ( ) có 2 nghiệm phân biệt  ( ) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu Để ( ) có 3 nghiệm ( ) có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương. Để ( ) có 4 nghiệm ( ) có 2 nghiệm dương phân biệt. Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai 2 4 3 2 e d  Loại 1. ax bx cx dx e 0 với 0. a b 2 2 2  Phương pháp giải: Chia hai vế cho x 0, rồi đặt t x t x với x x d  b  Loại 2. (x a)(x b)(x c)(x d) e với a c b d.  Phương pháp giải: (x a)(x c)  (x b)(x d) e 2 2 2 x (a c)x ac  x (b d)x bd e và đặt t x (a c)x.  Loại 3. (x a)(x b)(x c)(x d) ex2 với a.b c.d. a b c d  Phương pháp giải: Đặt t x2 ab  x thì phương trình 2 a b c d a b c d 2 t  x  t  x ex (có dạng đẳng cấp) 2 2  Loại 4. (x a)4 (x b)4 c a b a b  Phương pháp giải: Đặt x t (t )4 (t )4 c với  2 2  Loại 5. x4 ax2 bx c (1)  Phương pháp giải: Tạo ra dạng A2 B2 bằng cách thêm hai vế cho một lượng 2k.x2 k2 , tức phương trình (1) tương đương: 1
2. (x2 )2 2kx2 k2 (2k a)x2 bx c k2 (x2 k)2 (2k a)x2 bx c k2 . 2k a 0 Cần vế phải có dạng bình phương 2 2 k ? VP b 4(2k a)(c k ) 0  Loại 6. x4 ax3 bx2 cx d (2)  Phương pháp giải: Tạo A2 B2 bằng cách thêm ở vế phải 1 biểu thức để tạo ra 2 2 2 a 4 3 a 2 2 dạng bình phương: x x k x ax 2k x kax k . Do đó ta sẽ cộng thêm 2 4 a2 hai vế của phương trình (2) một lượng: 2k x2 kax k2 , thì phương trình 4 2 2 2 a a 2 2 (2) x x k 2k b x (ka c)x k d. 2 4 a2 2k b 0 4 Lúc này cần số k thỏa: k ? 2 2 a 2 VP (ka c) 4 2k b (k d) 0 4  Lưu ý: Với sự hổ trợ của casio, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn bằng phương pháp tách nhân tử. Tức sử dụng chức năng table của casio để tìm nhân tử bậc hai, sau đó lấy bậc bốn chia cho nhân tử bậc hai, thu được bậc hai. Khi đó bậc bốn được viết lại thành tích của 2 bậc hai. Phân tích phương trình bậc ba bằng Sơ đồ Hoocner Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm nghiệm sau đó chia Hoocner. — Nguyên tắc nhẩm nghiệm: Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x 1. Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có 1 nghiệm x 1. Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm x sao cho triệt tiêu đi tham số m và thử lại tính đúng sai. — Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo. b Câu 1. Phương trình = a có nghiệm duy nhất khi: x + 1 A. a ¹ 0 . B. a = 0 . C. a ¹ 0 và b ¹ 0 . D. a = b = 0. Hướng dẫn giải Chọn C. Điều kiện: x ¹ - 1 b Phương trình = a (1) Û a(x + 1)= b Û ax = b- a (2) x + 1 Phương trình (1) có nghiệm duy nhất Û Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khác - 1 ïì a ¹ 0 ï ïì a ¹ 0 ïì a ¹ 0 Û í b- a Û í Û í . ï ¹ 1 îï b- a ¹ a îï b ¹ 0 îï a 3 3x Câu 2. Tập nghiệm của phương trình 2x + = là : x- 1 x- 1 ïì 3ïü ïì 3ïü A. S = íï 1; ýï . B. S = {1}. C. S = íï ýï . D. S = Æ. îï 2þï îï 2þï 2
3. Hướng dẫn giải Chọn C. Điều kiện: x ¹ 1 éx = 1 (l) 3 3x 2 ê Phương trình 2x + = Û 2x(x- 1)+ 3 = 3x Û 2x - 5x + 3 = 0 Û ê 3 . x- 1 x- 1 êx = (n) ëê 2 ïì 3ïü Vậy S = íï ýï . îï 2þï (m2 + 2)x + 3m Câu 3. Tập nghiệm của phương trình = 2 trường hợp m ¹ 0 là: x ïì 3 ïü A. T = íï - ýï . B. T = Æ. îï mþï C. T = ¡ . D. Cả ba câu trên đều sai. Hướng dẫn giải Chọn A. Điều kiện: x ¹ 0 Phương trình thành (m2 + 2)x + 3m = 2x Û m2 x = - 3m - 3 Vì m ¹ 0 suy ra x = . m (m2 + 2)x + 2m Câu 4. Tập hợp nghiệm của phương trình = 2 (m ¹ 0)là : x ïì 2 ïü A. T = íï - ýï . B. T = Æ. C. T = R . D. T = R \ {0}. îï mþï Hướng dẫn giải Chọn A. Điều kiện: x ¹ 0 2 (m + 2)x + 2m - 2 Phương trình = 2 Û m2 x = - 2m Û x = x m ïì - 2ïü Vậy S = íï ýï . îï m þï x- m x- 2 Câu 5. Phương trình = có nghiệm duy nhất khi : x + 1 x- 1 A. m ¹ 0 . B. m ¹ - 1. C. m ¹ 0 và m ¹ - 1. D. Không có m . Hướng dẫn giải Chọn C. ïì x ¹ 1 Điều kiện: íï îï x ¹ - 1 Phương trình (1) thành x- m x- 2 = (1) Û (x- m)(x- 1)= (x- 2)(x + 1) Û x2 - x- mx + m = x2 - x- 2 x + 1 x- 1 Û mx = m + 2 (2) Phương trình (1) có nghiệm duy nhất Û Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khác - 1 và 1 3
4. ì ï ï m ¹ 0 ï ì m ¹ 0 ì m ¹ 0 ï ï ï ï m + 2 ï ï ïì m ¹ 0 Û í ¹ 1 Û í m + 2 ¹ m Û íï 2 ¹ 0 (ld) Û í . ï m ï ï ï m ¹ - 1 ï ï m + 2 ¹ - m ï îï ï m + 2 îï îï m ¹ - 1 ï ¹ - 1 îï m x + a Câu 6. Biết phương trình: x- 2+ = a có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là nghiệm nguyên. x- 1 Vậy nghiệm đó là : A. - 2 . B. - 1. C. 2 . D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn D. Điều kiện: x ¹ 1 Phương trình (1) thành x + a x- 2+ = a Û x2 - 3x + 2+ x + a = ax- a Û x2 - (2+ a)x + 2a + 2 = 0 (2) x- 1 Phương trình (1) có nghiệm duy nhất Û Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khác 1hoặc phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt có một nghiệm bằng 1 é êa = 2+ 2 2 ïì a2 - 4a- 4 = 0 ïì a2 - 4a- 4 > 0 ê Û íï Èíï Û êa = 2- 2 2 ï a + 1¹ 0 ï a + 1= 0 ê îï îï êa = - 1 ëê Với a = 2+ 2 2 phương trình có nghiệm là x = 2+ 2 Với a = 2- 2 2 phương trình có nghiệm là x = 2- 2 éx = 0 n ê ( ) Với a = - 1 phương trình có nghiệm là ê . ëêx = 1 (l) 2mx- 1 Câu 7. Cho phương trình: = 3 (1). Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm? x + 1 3 A. m ¹ . B. m ¹ 0 . 2 3 3 1 C. m ¹ và m ¹ 0 . D. m ¹ và m ¹ - . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Điều kiện: x ¹ - 1 2mx- 1 Phương trình (1) thành = 3 Û 2mx- 1= 3x + 3 Û (2m- 3)x = 4 (2) x + 1 Phương trình (1) có nghiệm ïì 3 ïì 2m- 3 ¹ 0 ï m ¹ ï ï 2 Û Phương trình (2) có nghiệm khác - 1 Û í 4 Û í . ï ¹ - 1 ï 1 îï 2m- 3 ï m ¹ - îï 2 Câu 8. Phương trình ax + b = cx + d tương đương với phương trình : A. ax + b = cx + d B. ax + b = - (cx + d) C. ax + b = cx + d hay ax + b = - (cx + d) D. ax + b = cx + d 4
5. Hướng dẫn giải Chọn C. Câu 9. Tập nghiệm của phương trình: x- 2 = 3x- 5 (1) là tập hợp nào sau đây ? ïì 3 7ïü ïì 3 7ïü ïì 7 3ïü ïì 7 3ïü A. íï ; ýï . B. íï - ; ýï . C. íï - ;- ýï . D. íï - ; ýï . îï 2 4þï îï 2 4þï îï 4 2þï îï 4 2þï Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có é 3 êx = éx- 2 = 3x- 5 é2x = 3 ê 2 x- 2 = 3x- 5 Û ê Û ê Û ê . êx- 2 = 5- 3x ê4x = 7 ê 7 ë ë êx = ëê 4 Câu 10. Phương trình 2x- 4 + x- 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm ? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. Vô số. Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có ïì 2x- 4 = 0 ïì x = 2 2x- 4 + x- 1 = 0 Û íï Û íï (vl) îï x- 1= 0 îï x = 1 Suy ra S = Æ. Câu 11. Phương trình 2x- 4 - 2x + 4 = 0 có bao nhiêu nghiệm ? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. Vô số. Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có: é2x- 4 = 2x- 4 ïì x ³ 2 2x- 4 - 2x + 4 = 0 Û 2x- 4 = 2x- 4 Û 2x- 4 ³ 0 Ç ê Û íï ê ï ë2x- 4 = 4- 2x (vl) îï x Î ¡ Û x ³ 2 . Câu 12. Với giá trị nào của a thì phương trình:3 x + 2ax = - 1có nghiệm duy nhất: 3 - 3 ïì - 3 3ïü - 3 3 A. a > . B. a . 2 2 îï 2 2þï 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có: é3x = - 1- 2ax 3 x + 2ax = - 1 Û 3 x = - 1- 2ax Û - 1- 2ax ³ 0 Ç ê Û 2ax £ - 1 Ç ëê3x = 1+ 2ax é - 3 é êa ëê 2 é - 3 êa ëê 2 Câu 13. Phương trình: x + 1= x2 + m có 1 nghiệm duy nhất khi và chỉ khi : A. m = 0 B. m = 1. 5
6. C. m = - 1. D. Không tồn tại giá trị m thỏa. Hướng dẫn giải Chọn D. ïì - x2 + x + 1 khi x ³ 0 x + 1= x2 + m Û m = f (x)= íï . ï 2 îï - x - x + 1 khi x < 0 Biểu diễn đồ thị hàm số f (x) lên hệ trục tọa độ như hình vẽ bên trên. Dựa vào đồ thị ta suy ra không tồn tại m để phương trình m = f (x) có duy nhất 1 nghiệm. Câu 14. Tập nghiệm của phương trình: x- 2 = 2x- 1là: A. S = {- 1;1}. B. S = {- 1} . C. S = {1}. D. S = {0}. Hướng dẫn giải Chọn C. éx- 2 = 2x- 1 1 éx = - 1 (l) Ta có x- 2 = 2x- 1 Û 2x- 1³ 0 È ê Û x ³ Ç ê ê - = - ê ëx 2 1 2x 2 ëêx = 1 (n) Vậy S = {1} x- 1 - 3x + 1 Câu 15. Tập nghiệm của phương trình = (1) là : 2x- 3 x + 1 ïì 11+ 65 11+ 41ïü ïì 11- 65 11- 41ïü A. íï ; ýï . B. íï ; ýï . ï ï ï ï îï 14 10 þï îï 14 10 þï ïì 11+ 65 11- 65ïü ïì 11+ 41 11- 41ïü C. íï ; ýï . D. íï ; ýï . ï ï ï ï îï 14 14 þï îï 10 10 þï Hướng dẫn giải Chọn C. ì ïì 3 ï 2x- 3 ¹ 0 ï x ¹ Điều kiện: í Û í 2 ï x + 1 ¹ 0 ï î îï x ¹ - 1 Phương trình (1) thành: x + 1 (x- 1)= (- 3x + 1)(2x- 3) TH1: x ³ - 1 é ê 11+ 65 êx = (n) Phương trình thành x2 - 1= - 6x2 + 11x- 3 Û 7x2 - 11x + 2 = 0 Û ê 14 ê 11- 65 êx = (n) ëê 14 TH2: x < - 1 6
7. é ê 11+ 41 êx = (l) 2 2 2 10 Phương trình thành - x + 1= - 6x + 11x- 3 Û 5x - 11x + 4 = 0 Û ê ê 11- 41 êx = (l) ëê 10 ïì 11+ 65 11- 65ïü Vậy S = íï ; ýï . ï ï îï 14 14 þï x2 - 4x- 2 Câu 16. Tập nghiệm của phương trình = x- 2 là : x- 2 A. S = {2} . B. S = {1}. C. S = {0;1}. D. S = {5} . Hướng dẫn giải Chọn C. Điều kiện: x > 2 2 éx = 0 (l) x - 4x- 2 2 2 ê Ta có = x- 2 Û x - 4x- 2 = x- 2 Û x - 5x = 0 Û ê x- 2 ëêx = 5 (n) Vậy S = {5} . x2 - 2(m + 1)x + 6m- 2 Câu 17. Cho = x- 2 (1). Với m là bao nhiêu thì (1) có nghiệm duy nhất x- 2 A. m > 1. B. m ³ 1. C. m 0 Û x > 2 . (1)Û x2 - (2m + 3)x + 6m = 0 (2), phương trình luôn có nghiệm là x = 3 và x = 2m , để phường trình (1) có duy nhất 1 nghiệm thì 2m £ 2 Û m £ 1. Câu 18. Với giá trị nào của tham số a thì phương trình: (x2 - 5x + 4) x- a = 0 có hai nghiệm phân biệt A. a . 4 4 4 4 7
8. Hướng dẫn giải Chọn C. éx = 1 Phương trình x2 - 3x + m x- 1 = 0 Û ê ( )( ) ê 2 ëêx - 3x + m = 0 (2) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ïì 9 ïì 9- 4m > 0 ï m 0 ì 4- 4a > 0 ï ï ï ï Û í S > 0 Û íï - 2 > 0 (vl) Û a Ï Æ. ï ï îï P > 0 îï a > 0 æ2 1 ö æ 1ö Câu 24. Định m để phương trình :çx + ÷- 2mçx + ÷+ 1+ 2m = 0có nghiệm : èç x2 ø÷ èç xø÷ 8
9. é 3 êm ³ 3 3 3 3 ê 2 A. - £ m £ . B. m ³ . C. m £ - . D. ê . 4 4 4 4 ê 1 êm £ - ëê 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Điều kiện x ¹ 0 1 Đặt t = x + suy ra t £ - 2 hoặc t ³ 2 . Phương trình đã cho trở thành x 2 t - 2mt - 1+ 2m = 0 , phương trình này luôn có hai nghiệm là t1 = 1; t2 = 2m- 1. Theo yêu é 3 êm ³ é2m- 1³ 2 ê 2 cầu bài toán ta suy ra ê Û ê . ê2m- 1£ - 2 ê 1 ë êm £ - ëê 2 2 4 æ 2ö Câu 25. Định k để phương trình: x + - 4çx- ÷+ k - 1= 0 có đúng hai nghiệm lớn hơn 1: x2 èç x÷ø A. k 2+ 3 . m 2 3 C. 2+ 3 < m < 4 . D. . m 4 Lời giải Chọn D. Đặt t x2 2x 4 x 1 2 3 3, phương trình trở thành t 2 2mt 4m 1 0 2 . Nhận xét: Ứng với mỗi nghiệm t 3 của phương trình 2 cho ta hai nghiệm của phương trình 1 . Do đó phương trình 1 có đúng hai nghiệm khi phương trình 2 có đúng một nghiệm t 3 . 9
10. m2 4m 1 0 m 2 3 2m 3 . 2 m 4 1. 3 2m.3 4m 1 0 25x2 Câu 27. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình : x2 + = 11 gần nhất với số nào dưới đây? (x + 5)2 A. 2,5. B. 3. C. 3,5. D. 2,8. Lời giải Chọn D. Ta có : 2 2 2 2 2 25x x æ 25 ö x x 10x 50 x + = 11 Û çx + 5+ ÷= 11 . 11 (x + 5)2 x + 5èç x + 5ø÷ x 5 x 5 x2 2 1 x2 x2 x2 x2 x 5 10 11 10 11 0 x 5 x 5 x 5 x 5 x2 11 x 5 1 21 x2 x 5 0 x 1,79 2 . 2 x 11x 55 0 vn 1 21 x 2,79 2 Câu 28. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: 2 2(x2 + 2x) - (4m- 3)(x2 + 2x)+ 1- 2m = 0 có đúng 3 nghiệm thuộc [- 3;0]. A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Hướng dẫn giải Chọn . Ta có: 4m 3 2 4.2. 1 2m 4m 1 2 2 1 2 x 2x 1 2 x2 2x 4m 3 x2 2x 1 2m 0 2 2 x 2x 2m 1 2 2 6 x  3; 0 2 1 2 1 x 2x 0 2 2 6 x  3; 0 2 2 x 1 2 2m . Phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc đoạn  3; 0 khi phương trình 2 có hai nghiệm thuộc đoạn  3; 0 2m 0 m 0 1 1 3 1 2m 0 m 0 m . 2 2 3 1 2m 0 m 2 Không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn. Câu 29. Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm âm: x6 + 2003x3 - 2005 = 0 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn B. Phương trình x6 + 2003x3 - 2005 = 0 10
11. Vì 1.(- 2005) 0 ïì D > 0 A.D 0 îï P > 0 Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt t = x2 (t ³ 0) Phương trình (1) thành at 2 + bt + c = 0 (2) Phương trình (1) vô nghiệm Û phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có 2 nghiệm cùng âm ïì D ³ 0 ï Û D 0 Câu 31. Phương trình x4 + ( 65 - 3)x2 + 2(8+ 63)= 0 có bao nhiêu nghiệm ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 0. Hướng dẫn giải Chọn D. 2 Ta có D = ( 65 - 3) - 4.2.(8+ 63)= 4- 2 195 - 8 63 < 0 Suy ra phương trình vô nghiệm. Câu 32. Phương trình- x4 - 2( 2 - 1)x2 + (3- 2 2)= 0 có bao nhiêu nghiệm ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 0. Hướng dẫn giải Chọn A. Đặt t = x2 (t ³ 0) Phương trình (1) thành - t 2 - 2( 2 - 1)t + (3- 2 2)= 0 (2) Phương trình (2) có a.c = (- 1)(3- 2 2)< 0 Suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu Suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt. Câu 33. Phương trình: 2x4 - 2( 2 + 3)x2 + 12 = 0 A. vô nghiệm 2 + 3 + 5 2 + 3 + 5 B. Có 2 nghiệm x = , x = - . 2 2 2 + 3 - 5 2 + 3 - 5 C. Có 2 nghiệm x = , x = - . 2 2 11
12. 2 + 3 + 5 2 + 3 + 5 2 + 3 - 5 D. Có 4 nghiệm x = , x = - , x = , 2 2 2 2 + 3 - 5 x = - . 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Đặt t = x2 (t ³ 0) Phương trình (1) thành 2.t 2 - 2( 2 + 3)t + 12 = 0 (2) Ta có D ' = 5+ 2 6 - 2 6 = 5 ì ï ï D ' = 5> 0 ï ï - 2( 2 + 3) b Ta có íï - = - > 0 ï 2 a ï ï 12 c ï = > 0 îï 2 a Suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt Vậy Phương trình (1) có 4 nghiệm. Câu 34. Cho phương trình x4 + x2 + m = 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng: 1 A. Phương trình có nghiệm Û m £ . 4 B. Phương trình có nghiệm m £ 0 . C. Phương trình vô nghiệm với mọi m . D. Phương trình có nghiệm duy nhất Û m = - 2 . Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt t = x2 (t ³ 0) Phương trình (1) thành t 2 + t + m = 0 (2) Phương trình (1)vô nghiệm Û phương trình (2)vô nghiệm hoặc phương trình(2) có 2 nghiệm âm ì D ³ 0 ì 1- 4m ³ 0 ï ï ïì 1 ï ï 1 ï m £ Û D Èí 4 Û m > 0 . ï ï 4 ï îï P > 0 îï m > 0 îï m > 0 Phương trình có nghiệm Û m £ 0 . Câu 35. Phương trình- x4 + ( 2 - 3)x2 = 0có: A. 1 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. 4 nghiệm. Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có éx2 = 0 - x4 + 2 - 3 x2 = 0 Û x2 - x2 + 2 - 3 = 0 Û ê Û x2 = 0 Û x = 0 . ( ) ( ) ê 2 ëêx = 2 - 3 (vl) Câu 36. Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm âm: x4 - 2005x2 - 13 = 0 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B. 12
13. Đặt t = x2 (t ³ 0) Phương trình (1) thành t 2 - 2005t - 13 = 0 (1) Phương trình (2) có a.c = 1.(- 13) 3 2 Phương trình thành x- 3+ 2x + 4 = 3 Û 3x = 2 Û x = (l) 3 Vậy S = Æ. Câu 38. Phương trình: 2x- 4 + x- 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm ? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. Vô số. Hướng dẫn giải Chọn A. ïì 2x- 4 = 0 ïì x = 2 2x- 4 + x- 1 = 0 Û íï Û íï (vl) Û x Î Æ îï x- 1= 0 îï x = 1 Câu 39. Cho phương trình: a x + 2 + a x- 1 = b . Để phương trình có hai nghiệm khác nhau, hệ thức giữa hai tham số a,b là: A. a > 3b . B. b > 3a . C. a = 3b . D. b = 3a . Hướng dẫn giải Chọn A. Câu 40. Phương trình: x + 2 + 3x- 5 - 2x- 7 = 0 , có nghiệm là : é 5ù A. " x Î ê- 2; ú. B. x = - 3. C. x = 3. D. x = 4 . ëê 3ûú Hướng dẫn giải Chọn A. Trường hợp 1: x £ - 2 Phương trình thành: - x- 2- 3x + 5+ 2x- 7 = 0 Û - 2x = 4 Û x = - 2 (n). 5 Trường hợp 2: - 2 < x < 3 5 Phương trình thành: x + 2- 3x + 5+ 2x- 7 = 0 Û 0x = 0 (ld) Suy ra - 2 < x < . 3 5 7 Trường hợp 3: £ x £ 3 2 5 Phương trình thành: x + 2+ 3x- 5+ 2x- 7 = 0 Û 6x = 10 Û x = (n). 3 13
14. 7 Trường hợp 4: x > 2 - 2 Phương trình thành: x + 2+ 3x- 5- 2x + 7 = 0 Û 6x = - 4 Û x = (l). 3 é 5ù Vậy S = ê- 2; ú. ëê 3ûú x2 3 x2 3 Câu 41. Phương trình - 2x + + - 3x + 4 = có nghiệm là : 2 2 2 4 1 7 13 3 7 11 A. x = , x = , x = . B. x = ; x = , x = . 2 2 3 2 3 3 7 5 13 7 5 13 C. x = , x = , x = . D. x = , x = , x = . 5 4 2 4 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D. TH 1: x £ 1 é 5+ 6 êx = (l) x2 3 x2 3 19 ê Phương trình thành: - 2x + + - 3x + 4 = Û x2 - 5x + = 0 Û ê 2 . 2 2 2 4 4 ê 5- 6 êx = (l) ëê 2 TH 2: 1 4. C. - 1 - 1. Hướng dẫn giải æx2 - 2x + 1ö x + 2 Câu 44. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: ç ÷- m = 12 có đúng 4 èçx2 + 4x + 4÷ø x- 1 nghiệm? A. 14. B. 15. C. 16. D. Nhiều hơn 16 nhưng hữu hạn. Hướng dẫn giải 14
15. 3mx + 1 2x + 5m + 3 Câu 45. Cho phương trình: + x + 1 = . Để phương trình có nghiệm, điều kiện để x + 1 x + 1 thỏa mãn tham số m là : ém 3 ê ëê 3 ëêm > 0 Hướng dẫn giải Chọn B. Điều kiện: x > - 1 Phương trình thành 3mx + 1+ x + 1= 2x + 5m + 3 Û (3m- 1)x = 5m + 1 (2) Phương trình (1) vô nghiệm Û Phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có nghiệm duy nhất nhỏ hơn bằng - 1 ïì 3m- 1¹ 0 ïì 3m- 1= 0 ï 1 æ 1 é5m + 1£ - 3m + 1 khi 3m- 1³ 0ö Û ï Èï Û m = È çm ¹ Çê ÷ í í 5m + 1 ç ê ÷ îï 5m + 1¹ 0 ï £ - 1 3 èç 3 ë5m + 1³ - 3m + 1 khi 3m- 1 ëê 3 x + m x- 2 Câu 46. Cho phương trình: + = 2. Để phương trình vô nghiệm thì: x + 1 x é 1 êm = - ém = 1 ém = - 1 ém = 2 ê 3 A. ê . B. ê . C. ê . D. ê . êm = 3 êm = - 3 êm = - 2 ê 1 ë ë ë êm = ëê 2 Hướng dẫn giải Chọn A. ïì x ¹ 0 Điều kiện: íï îï x ¹ - 1 Phương trình thành x2 + mx + x2 - x- 2 = 2(x2 + x) Û (m- 3)x = 2 (2). Phương trình (1) vô nghiệm Û Phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có nghiệm duy nhất bằng 0 hoặc bằng - 1. æ é 2 ö ç ê = 0 (vl)÷ ç êm- 3 ÷ ïì m ¹ 3 ém = 3 Û m- 3 = 0È çm- 3 ¹ 0Ç ÷Û m = 3Èï Û ê . ç ê ÷ í ç ê 2 ÷ îï 2 = 3- m ëêm = 1 ç ê = - 1 ÷ èç ëêm- 3 ø÷ x2 - 1+ x + 1 Câu 47. Cho phương trình: = 2 . Có nghiệm là: x (x- 2) A. x = 1. B. x = 3. C. x = 4 . D. x = 5. Hướng dẫn giải Chọn A. 15
16. ïì x ¹ 0 Điều kiện: íï îï x ¹ 2 Phương trình thành x2 - 1+ x + 1 = 2 x (x- 2) TH 1: x 0 éx = 0 (l) 2 2 ê Phương trình thành x - 1+ x + 1= 2x(x- 2) Û x - 5x = 0 Û ê . ëêx = 5 (n) 2x- m Câu 48. Tìm m để phương trình vô nghiệm: = m- 1 ( m là tham số). x- 2 A. m = 3 . B. m = 4. C. m = 3Úm = 4. D. m = 3Úm = - 4 . Hướng dẫn giải Chọn A. Điều kiện: x ¹ 2 Phương trình thành 2x- m = mx- 2m- x + 2 Û (m- 3)x = m- 2(2) Phương trình (1) vô nghiệm Û Phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có nghiệm duy nhất bằng 2 ïì m- 3 ¹ 0 ïì m- 3 = 0 ï ém = 3 Û ï Èï Û ê . í í m- 2 ê îï m- 2 ¹ 0 ï = 2 ëm = 4 îï m- 3 3- 2x - x Câu 49. Phương trình = 5 có các nghiệm là: 3+ 2x + x- 2 1 21 2 22 1 23 3 A. x = - , x = - 7 . B. x = - , x = . C. x = - , x = . D. x = - , x = . 8 9 23 9 23 9 23 Hướng dẫn giải Chọn A. Điều kiện: 3+ 2x + x- 2 ¹ 0 Phương trình thành 3- 2x - x = 5 3+ 2x + 5x- 10 - 3 TH 1: x < 2 Phương trình thành 3- 2x + x = - 15- 10x + 5x- 10 Û 4x = - 28 Û x = - 7 (n). - 3 TH2: £ x £ 0 2 1 Phương trình thành 3- 2x + x = 15+ 10x + 5x- 10 Û 16x = - 2 Û x = - (n). 8 3 TH 3: 0 < x < 2 1 Phương trình thành 3- 2x- x = 15+ 10x + 5x- 10 Û 18x = - 2 Û x = - (l). 9 3 TH 4: x ³ 2 16
17. 4 Phương trình thành - 3+ 2x- x = 15+ 10x + 5x- 10 Û 14x = - 8 Û x = - (l). 7 x- 3 x- 3 Câu 50. Tập nghiệm T của phương trình: = là: x- 4 x- 4 A. T = [3;+ ¥ ). B. T = [4;+ ¥ ). C. (4;+ ¥ ). D. T = Æ. Hướng dẫn giải Chọn C. Điều kiện: x > 4 Phương trình thành éx- 3 = x- 3 é0x = 0 (ld) x- 3 = x- 3 Û x- 3³ 0Çê Û x ³ 3Çê Û x ³ 3. ê ê ëx- 3 = 3- x ëx = 3 Vậy T = (4;+ ¥ ). 17