Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chương 3: Phương trình. Hệ phương trình - Bài 1: Bất đẳng thức - Đặng Việt Đông

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chương 3: Phương trình. Hệ phương trình - Bài 1: Bất đẳng thức - Đặng Việt Đông

1. BẤT ĐẲNG THỨC Chương 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH § 1. BẤT ĐẲNG THỨC  Điều kiện Nội dung Cộng hai vế với số bất kì a b a c b c (1) một số dương: c 0 a b ac bc (2a) Nhân hai vế một số âm: c 0 a b ac bc (2b) a b Cộng vế theo vế các BĐT cùng chiều a c b d (3) c d a b 0 Nhân từng vế BĐT khi biết nó dương ac bd (4) c d 0 Mũ lẻ a b a2n 1 b2n 1 (5a) Nâng lũy thừa với n ¢ Mũ chẵn 0 a b a2n b2n (5b) a 0 (6a) Lấy căn hai vế a b a b a bất kỳ a b 3 a 3 b (6b) 1 1 Nếu a, b cùng dấu: ab 0 a b (7a) Nghịch đảo a b 1 1 Nếu a, b trái dấu: ab 0 a b (7b) a b BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (AM – GM) a b  a 0; b 0 thì ta có: ab. Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b. 2 a b c  a 0; b 0; c 0 thì ta có: 3 abc. Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b c. 3 BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACÔPXKI (CAUCHY SCHWARZ) 2 2 2 2 2 (a.x b.y) (a b )(x y ) x y  x; y; a; b ¡ thì:  Dấu " " xảy ra khi , (a; b 0). 2 2 2 2 a.x b.y (a b )(x y ) a b 2 2 2 2 2 2 2 (a.x b.y c.z) (a b c )(x y z )  x; y; z; a; b; c ¡ thì:  2 2 2 2 2 2 a.x b.y c.z (a b c )(x y z ) x y z Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi (a; b; c 0). a b c x2 y2 (x y)2 x y  x; y ¡ và a 0, b 0 thì  Dấu " " xảy ra khi  a b a b a b x2 y2 z2 (x y z)2 x y z  x; y; z ¡ và a 0, b 0, c 0 thì  Dấu " "  a b c a b c a b c Câu 1. Cho bất đẳng thức a b a b . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 1
2. A. a b .B. ab 0 .C. ab 0 .D. ab 0 . Hướng dẫn giải Chọn B. Tính chất của bất đẳng thức. Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 3 x với x ¡ là: 9 3 3 A. .B. .C. 0 . D. . 4 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C. 2 x 0  Ta có:  x2 3 x 0. x 0  Câu 3. Cho biểu thức f x 1 x2 . Kết luận nào sau đây đúng? A.Hàm số f x chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất. B.Hàm số f x chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất. C. Hàm số f x có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. D. Hàm số f x không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất. Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: f x 0 và f 1 0; f x 1 và f 0 1. Vậy hàm số f x có giá trị nhỏ nhất bằng 0 và giá trị lớn nhấtbằng 1. 1 Câu 4. Cho hàm số f x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? x2 1 A. f x có giá trị nhỏ nhất là 0 , giá trị lớn nhất bằng 1. B. f x không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1. C. f x có giá trị nhỏ nhất là 1, giá trị lớn nhất bằng 2 . D. f x không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: 0 f x 1;x ¡ và f 0 1. Vậy f x không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1. Câu 5. Cho biết hai số a và b có tổng bằng3 . Khi đó, tích hai số a và b 9 9 A. có giá trị nhỏ nhất là .B. có giá trị lớn nhất là . 4 4 3 C. có giá trị lớn nhất là .D. không có giá trị lớn nhất. 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Vì a và b là hai số bất kì nên không xác định được giá trị lớn nhất của tích ab . Câu 6. Cho ba số a ; b ; c thoả mãn đồng thời: a b c 0 ; b c a 0 ; c a b 0 . Để ba số a ; b ; c là ba cạnh của một tam giác thì cần thêm đều kiện gì ? A. Cần có cả a,b,c 0 .B. Cần có cả a,b,c 0 . C. Chỉ cần một trong ba số a,b,c dươngD. Không cần thêm điều kiện gì. Hướng dẫn giải Chọn B. Câu 7. Trong các hình chữ nhật có cùng chi vi thì 2
3. A. Hình vuông có diện tích nhỏ nhất. B. Hình vuông có diện tích lớn nhất. C. Không xác định được hình có diện tích lớn nhất. D. Cả A, B, C đều sai. Hướng dẫn giải Chọn B. Ý nghĩa hình học của bất đẳng thức Cô si. Câu 8. Tìm mệnh đề đúng? 1 1 A. a b ac bc .B. a b . a b C. a b và c d ac bd .D. a b ac bc, c 0 . Hướng dẫn giải Chọn D. Tính chất của bất đẳng thức. Câu 9. Suy luận nào sau đây đúng? a b a b a b A. ac bd .B. . c d c d c d a b a b 0 C. a c b d .D. ac bd . c d c d 0 Hướng dẫn giải Chọn D. Tính chất của bất đẳng thức. Câu 10. Trong các tính chất sau, tính chất nào sai? a b 0 a b a b A. a c b d .B. . c d 0 c d d c 0 a b a b C. ac bd .D. a c b d . 0 c d c d Hướng dẫn giải Chọn D. Tính chất của bất đẳng thức. Câu 11. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? 1 1 a b A. a b .B. a b ac bc .C. ac bd .D. Cả A, B, C đều sai. a b c d Hướng dẫn giải Chọn D. Tính chất của bất đẳng thức. Câu 12. Mệnh đề nào sau đây sai? a b a b A. a c b d .B. ac bd . c d c d a b C. a c b d .D. ac bc a b . c 0 c d Hướng dẫn giải Chọn B. Tính chất của bất đẳng thức. Câu 13. Cho biểu thức P a a với a 0 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? 1 1 A.Giá trị nhỏ nhất của P là .B.Giá trị lớn nhất của P là . 4 4 3
4. 1 1 C.Giá trị lớn nhất của P là .D. P đạt giá trị lớn nhất tại a . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn B. 2 2 1 1 1 Ta có: P a a a a a . 4 2 4 2 Câu 14. Giá trị lớn nhất của hàm số f x bằng x2 5x 9 11 4 11 8 A. .B. .C. .D. . 4 11 8 11 Hướng dẫn giải Chọn D. 2 2 5 11 11 Ta có: x 5x 9 x ;x ¡ . 2 4 4 2 8 8 Suy ra: f x . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng . x2 5x 9 11 11 Câu 15. Cho f x x x2 . Kết luận nào sau đây là đúng? 1 1 A. f x có giá trị nhỏ nhất bằng .B. f x có giá trị lớn nhất bằng . 4 2 1 1 C. f x có giá trị nhỏ nhất bằng .D. f x có giá trị lớn nhất bằng . 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D. 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 f x x x x x x và f . 4 4 4 2 4 2 4 Câu 16. Bất đẳng thức m n 2 4mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây? A. n m 1 2 m n 1 2 0 . B. m2 n2 2mn . C. m n 2 m n 0 .D. m n 2 2mn . Hướng dẫn giải Chọn B. m n 2 4mn m2 2mn n2 4mn m2 n2 2mn . Câu 17. Với mọi a,b 0 , ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. a b 0 .B. a2 ab b2 0 . C. a2 ab b2 0.D. a b 0 . Hướng dẫn giải Chọn C. 2 2 2 2 2 2 2 b b 3b b 3b a ab b a 2a a 0;b 0 . 2 2 4 2 4 Câu 18. Với hai số x , y dương thoả xy 36 , bất đẳng thức nào sau đây đúng? 2 2 2 x y A. x y 2 xy 12 .B. x y 2xy 72 .C. 4xy x y .D. xy 36 . 2 Hướng dẫn giải Chọn A. Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y . Ta có: x y 2 xy 2 36 12 . Câu 19. Cho hai số x , y dương thoả x y 12 , bất đẳng thức nào sau đây đúng? 4
5. 2 x y A. xy 6 .B. xy 36 . 2 C. 2xy x2 y2 . D. xy 6 . Hướng dẫn giải Chọn A. x y Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y . Ta có: xy 6 . 2 Câu 20. Cho x , y là hai số thực bất kỳ thỏavà xy 2 . Giá trị nhỏ nhất của A x2 y2 . A. 2 .B. 1.C. 0 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn D. Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x2 và y2 . Ta có: 2 A x2 y2 2 x2 y2 2 xy 4 . Đẳng thức xảy ra x y 2 . 1 a 1 b Câu 21. Cho a b 0 và x , y . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 a a2 1 b b2 A. x y .B. x y . C. x y .D. Không so sánh được. Hướng dẫn giải Chọn B. 1 1 1 1 Ta có: a và b . x a 1 y b 1 1 1 1 Suy ra: a b 1 x y a 1 b 1 1 1 Do a b 0 nên a 1 1 và b 1 1 suy ra: 1 1 0 . a 1 b 1 a 1 b 1 1 1 1 1 1 1 Vậy 0 do x 0 và y 0 nên x y . x y x y x y Câu 22. Với a,b,c,d 0. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề sai? a a a c a a a c A. 1 . B. 1 . b b b c b b b c a c a a c c C. . D. Có ít nhất hai trong ba mệnh đề trên là sai. b d b b d d Hướng dẫn giải Chọn D. a a c a b c Ta có: suy ra A, B đúng. b b c b b c 2 a2 b2 a b Câu 23. Hai số a,b thoả bất đẳng thức thì 2 2 A. a b . B. a b . C. a b . D. a b . Hướng dẫn giải Chọn C. 2 2 2 a b a b 2 2 2a2 2b2 a b a b 0 a b . 2 2 a b Câu 24. Cho a,b 0 . Chứng minh 2 . Một học sinh làm như sau: b a 5
6. a b a2 b2 I) 2 2 1 b a ab II) 1 a2 b2 2ab a2 b2 2ab 0 (a b)2 0 . 2 a b III) và a b 0 đúng a,b 0 nên 2 . b a Cách làm trên : A. Sai từ I). B. Sai từ II). C. Sai ở III).D. Cả I), II), III) đều đúng. Hướng dẫn giải Chọn D. Câu 25. Cho a,b,c 0 . Xét các bất đẳng thức sau: a b a b c 1 1 I) 2 . II) 3. III) a b 4. b a b c a a b Bất đẳng thức nào đúng? A. Chỉ I) đúng. B. Chỉ II) đúng.C. Chỉ III) đúng. D. Cả ba đều đúng. Hướng dẫn giải Chọn D. a b a b a b c a b c Ta có: 2 . 2 I đúng; 33 . . 3 II đúng; b a b a b c a b c a a b 2 ab  1 1 1 1 1  a b 4 (III) đúng. 2 a b a b ab  a b a b c 1 1 1 9 Câu 26. Cho các bất đẳng thức: 2 I , 3 II , III (với b a b c a a b c a b c a,b,c 0 ). Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức trên là đúng? A. chỉ I đúng.B. chỉ II đúng. C. chỉ III đúng.D. I, II, III đều đúng. Hướng dẫn giải Chọn D. a b a b a b c a b c Ta có: 2 . 2 I đúng; 33 . . 3 II đúng; b a b a b c a b c a 1 1 1 1 33 1 1 1 1 1 1 9 a b c abc a b c 9 III đúng. a b c a b c a b c 3 a b c 3 abc Câu 27. Cho a,b,c 0 . Xét các bất đẳng thức: 3 1 1 1 I) a b c 3 abc II) a b c 9 III) a b b c c a 9 . a b c Bất đẳng thức nào đúng: A. Chỉ I) và II) đúng. B. Chỉ I) và III) đúng. C. Chỉ I) đúng.D. Cả ba đều đúng. Hướng dẫn giải Chọn A. • a b c 33 abc I đúng; 1 1 1 1 33 1 1 1 1 1 1 9 • a b c abc a b c 9 II đúng; a b c a b c a b c 3 a b c 3 abc 6
7. • a b 2 ab ; b c 2 bc ; c a 2 ca a b b c c a 8abc III sai. Câu 28. Cho a,b,c 0 . Xét các bất đẳng thức: a b c 2 2 2 I) 1 1 1 8 . II) b c c a a b 64 . b c a a b c III) a b c abc . Bất đẳng thức nào đúng? A. Chỉ I) đúng. B. Chỉ II) đúng. C. Chỉ I) và II) đúng.D. Cả ba đều đúng. Hướng dẫn giải Chọn C. a a b b c c a b c a b c 1 2 ; 1 2 ; 1 2 1 1 1 8 8 I đúng. b b c c a a b c a b c a 1 b 1 c 2 bc bc b 2 ; c 2 b c 2 4 4 4 . a a a a a a2 a2 2 ac 2 ab Tương tự: c a 4 4 ; a b 4 4 . b b2 c c2 2 2 2 Suy ra: b c c a a b 64 II đúng. a b c Ta có: 33 abc a b c abc 3 abc 2 3 abc 3 3 III sai. 1 1 1 9 Câu 29. Cho x, y, z 0 và xét ba bất đẳng thức(I) x3 y3 z3 3xyz ; (II) ; (III) x y z x y z x y z 3 . Bất đẳng thức nào là đúng? y z x A. Chỉ I đúng. B. Chỉ I và III đúng. C. Chỉ III đúng. D. Cả ba đều đúng. Hướng dẫn giải Chọn B. x3 y3 z3 33 x3 y3 z3 3xyz I đúng; 1 1 1 1 33 1 1 1 1 1 1 9 x y z xyz x y z 9 II sai; x y z x y z x y z x y z 33 xyz x y z x y z 33 . . 3 III đúng. y z x y z x Câu 30. Cho a,b 0 và ab a b . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a b 4 . B. a b 4 . C. a b 4. D. a b 4. Hướng dẫn giải Chọn B. a b 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: ab . 4 2 a b 2 Do đó: ab a b a b a b 4 a b 0 a b a b 4 0 4 a b 4 0 (vì a b 0) a b 4 . Câu 31. Cho a b c d và x a b c d , y a c b d , z a d b c . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x y z . B. y x z . C. z x y . D. x z y . 7
8. Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: x y a b c d a c b d a c d b c d a b d c b d a c b bd cd d a b c 0 . Suy ra: x y . Tương tự: x z a c d b 0 x z ; y z a b d c 0 y z . Câu 32. Với m , n 0 , bất đẳng thức: mn m n m3 n3 tương đương với bất đẳng thức A. m n m2 n2 0 .B. m n m2 n2 mn 0 . C. m n m n 2 0 .D. Tất cả đều sai. Hướng dẫn giải Chọn C. mn m n m3 n3 m2n m3 mn2 n3 0 m2 m n n2 m n 0 m n 2 m n 0 . Câu 33. Bất đẳng thức: a2 b2 c2 d 2 e2 a b c d e ,  a , b , c, d tương đương với bất đẳng thức nào sau đây? 2 2 2 2 b c d e A. a a a a 0 . 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a B. b c d e 0 . 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a C. b c d e 0 . 2 2 2 2 D. a b 2 a c 2 a d 2 a d 2 0 . Hướng dẫn giải Chọn B. a2 b2 c2 d 2 e2 a b c d e 2 2 2 2 a 2 a 2 a 2 a 2 ab b ac c ad d ae e 0 4 4 4 4 2 2 2 2 a a a a b c d e 0 . 2 2 2 2 Câu 34. Cho x, y 0 . Tìm bất đẳng thức sai? 2 1 1 4 A. x y 4xy .B. . x y x y 1 4 2 2 2 C. 2 .D. x y 2 x y . xy x y Hướng dẫn giải Chọn B. 1 1 1 1 4 x y 4 đẳng thức xảy ra x y . x y x y x y Câu 35. Cho x2 y2 1, gọi S x y . Khi đó ta có A. S 2 .B. S 2 .C. 2 S 2 .D. 1 S 1. Hướng dẫn giải Chọn C. 8
9. Ta có: 1 x2 y2 2xy 2xy 1. 2 Mặt khác: S 2 x y x2 2xy y2 2 2 S 2 . Câu 36. Cho x, y là hai số thực thay đổi sao cho x y 2 . Gọi m x2 y2 . Khi đó ta có: A. giá trị nhỏ nhất của m là 2 .B.giá trị nhỏ nhất của m là 4 . C. giá trị lớn nhất của m là 2 .D.giá trị lớn nhất của m là 4 . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: x y 2 y 2 x . 2 2 Do đó: m x2 y2 x2 2 x 2x2 4x 4 2 x 1 2 2;x ¡ . Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 2 . 2 2 2 x 1 x Câu 37.Với mỗi x 2 , trong các biểu thức: , , , , giá trị biểu thức nào là nhỏ nhất? x x 1 x 1 2 2 2 2 2 x A. .B. .C. .D. . x x 1 x 1 2 Hướng dẫn giải Chọn B. 2 2 2 x x 1 Ta có: và . x 1 x x 1 2 2 x 2 x2 x 4 x 2 x 2 x x 2 Mặt khác: 0;x 2 . 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 x 2 Câu 38. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x với x 1 là 2 x 1 5 A. 2 .B. .C. 2 2 .D. 3. 2 Hướng dẫn giải Chọn B. x 2 x 1 2 1 x 1 2 1 5 Ta có: f x 2 . . 2 x 1 2 x 1 2 2 x 1 2 2 5 Vậy hàm số f x có giá trị nhỏ nhất bằng . 2 x 2 Câu 39. Cho x 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số f x bằng x 1 2 2 1 A. .B. .C. . D. . 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A. 2 2 x 2 1 2 1 1 1 1 1 Ta có f x 0 và f x 2 0 f x . 2 2 x x x 8 x 4 8 2 2 1 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng . 2 2 1 Câu 40. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 2x với x 0 là x 1 A. 2 .B. .C. 2 .D. 2 2 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D. 9
10. 1 1 Ta có: f x 2x 2 2x. 2 2 . x x Vậy hàm số f x có giá trị nhỏ nhất bằng 2 2 . a b c Câu 41. Với a,b,c 0 . Biểu thức P . Mệnh đề nào sau đây đúng? b c c a a b 3 3 4 3 A. 0 P .B. P .C. P .D. P . 2 2 3 2 Hướng dẫn giải Chọn D. 1 1 1 Ta có: P 3 a b c . b c c a a b 1 1 1 9 1 1 1 9 Áp dụng bất đẳng thức suy ra: . x y z x y z b c c a a b 2 a b c 9 3 Do đó P 3 P ; đẳng thức xảy ra khi a b c . 2 2 10