Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chương 3 - Chuyên đề 6: Hypebol - Bài 6: Đường Hypebol - Đặng Việt Đông

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chương 3 - Chuyên đề 6: Hypebol - Bài 6: Đường Hypebol - Đặng Việt Đông

1. Chương 3 CHUYÊN ĐỀ 6 HYPEBOL §6. ĐƯỜNG HYPEBOL A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT y 1.Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c(c > 0) và hằng số a 1 a c c + M (x ;y ) thuộc (H) thì: MF = a + ex = a + x , MF = a - ex = a - x M M 1 M a M 2 M a M Câu 1. Khái niệm nào sau đây định nghĩa về hypebol? A. Cho điểm F cố định và một đường thẳng cố định không đi qua F . Hypebol H là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến F bằng khoảng cách từ M đến . B. Cho F1, F2 cố định với F1F2 2c, c 0 . Hypebol H là tập hợp điểm M sao cho MF1 MF2 2a với a là một số không đổi và a c . C. Cho F1, F2 cố định với F1F2 2c, c 0 và một độ dài 2a không đổi a c . Hypebol H là tập hợp các điểm M sao cho M P MF1 MF2 2a . D. Cả ba định nghĩa trên đều không đúng định nghĩa của Hypebol . 1
2. Lời giải Chọn B Cho F1, F2 cố định với F1F2 2c, c 0 . Hypebol H là tập hợp điểm M sao cho MF1 MF2 2a với a là một số không đổi và a c . Câu 2. Dạng chính tắc của hypebol là x2 y2 x2 y2 A. 1.B. 1.C. y2 2 px .D. y px2 . a2 b2 a2 b2 Lời giải Chọn B x2 y2 Dạng chính tắc của hypebol là 1. (Các bạn xem lại trong SGK). a2 b2 x2 y2 Câu 3. Cho Hypebol H có phương trình chính tắc là 1, với a,b 0 . Khi đó khẳng định a2 b2 nào sau đây đúng? 2 2 2 A. Nếu c a b thì H có các tiêu điểm là F1 c;0 , F2 c;0 . 2 2 2 B. Nếu c a b thì H có các tiêu điểm là F1 0;c , F2 0; c . 2 2 2 C. Nếu c a b thì H có các tiêu điểm là F1 c;0 , F2 c;0 . 2 2 2 D. Nếu c a b thì H có các tiêu điểm là F1 0;c , F2 0; c . Lời giải Chọn A. Xem lại sách giáo khoA. x2 y2 Câu 4. Cho Hypebol H có phương trình chính tắc là 1, với a,b 0 . Khi đó khẳng định a2 b2 nào sau đây đúng? c A. Với c2 a2 b2 c 0 , tâm sai của hypebol là e . a a B. Với c2 a2 b2 c 0 , tâm sai của hypebol là e . c c C. Với c2 a2 b2 c 0 , tâm sai của hypebol là e . a a D. Với c2 a2 b2 c 0 , tâm sai của hypebol là e . c Lời giải Chọn A Xem kiến thức sách giáo khoA. x2 y2 Câu 5. Cho Hypebol H có phương trình chính tắc là 1, với a,b 0 . Khi đó khẳng định a2 b2 nào sau đây sai? A. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục thực là A1 a;0 , A1 a;0 . B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục ảo là B1 0;b , A1 0; b . C. Với c2 a2 b2 c 0 , độ dài tiêu cự là 2c . a D. Với c2 a2 b2 c 0 , tâm sai của hypebol là e . c Lời giải Chọn D a Với c2 a2 b2 c 0 , tâm sai của hypebol là e . c 2
3. x2 y2 Câu 6. Cho Hypebol H có phương trình chính tắc là 1, với a,b 0 và c2 a2 b2 a2 b2 c 0 . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng? c.x A. Với M x ; y H và các tiêu điểm là F c;0 , F c;0 thì MF a M , M M 1 2 1 a c.x MF a M . 2 a c.x B. Với M x ; y H và các tiêu điểm là F c;0 , F c;0 thì MF a M , M M 1 2 1 a c.x MF a M . 2 a c.x C. Với M x ; y H và các tiêu điểm là F c;0 , F c;0 thì MF a M , M M 1 2 1 a c.x MF a M . 2 a c.x D. Với M x ; y H và các tiêu điểm là F c;0 , F c;0 thì MF a M , M M 1 2 1 a c.x MF a M . 2 a Lời giải Chọn D. Xem lại kiến thức sách giáo khoA. x2 y2 Câu 7. Hypebol 1 có hai tiêu điểm là : 16 9 A. F1 (- 5;0), F2 (5;0). B. F1 (- 2;0), F2 (2;0). C. F1 (- 3;0), F2 (3;0). D. F1 (- 4;0), F2 (4;0). Lời giải Chọn A. ïì a2 = 16 ïì a = 5 ï ï ï 2 ï Ta có : í b = 9 Þ íï b = 3. Các tiêu điểm là F - 5;0 , F 5;0 . ï ï 1 ( ) 2 ( ) ï c2 = a2 + b2 ï c = 5 îï îï x2 y2 Câu 8. Đường thẳng nào dưới đây là đường chuẩn của Hyperbol 1? 16 12 3 8 7 A. x 0. B. x + 2 = 0. C. x + 8 = 0. D. x 0. 4 7 Lời giải Chọn B. ïì a2 = 16 ïì a = 4 ï ï ï 2 ï Ta có : í b = 12 Þ íï b = 2 3 . ï ï ï c2 = a2 + b2 ï c = 2 îï îï c Tâm sai e = = 2 . Đường chuẩn : x + 2 = 0 và x - 2 = 0. a Câu 9. Hypebol có nửa trục thực là 4 , tiêu cự bằng 10 có phương trình chính tắc là: x2 y2 y2 x2 y2 x2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 16 9 16 9 16 9 16 25 3
4. Lời giải Chọn A. ïì a = 4 ïì a = 4 ï ï Ta có : íï 2c = 10 Þ íï c = 5 . ï ï ï 2 2 2 ï îï b = c - a îï b = 3 x2 y2 Phương trình chính tắc của Hyperbol là 1. 16 9 Câu 10. Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol (H) mà hình chữ nhật cơ sở có một đỉnh là (2;- 3). x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 2 3 4 9 9 3 2 3 Lời giải Chọn B. x2 y2 Gọi (H): - = 1. Tọa độ đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là A (- a;- b), A (a;- b), a2 b2 1 2 A3 (a;b), A4 (- a;b). ïì a = 2 Hình chữ nhật cơ sở của (H) có một đỉnh là (2;- 3), suy ra íï . Phương trình chính tắc îï b = 3 x2 y2 của (H) là 1. 4 9 x2 y2 Câu 11. Đường Hyperbol 1 có một tiêu điểm là điểm nào dưới đây ? 16 9 A. 7;0 . B. 0; 7 . C. (0;5). D. (- 5;0). Lời giải Chọn D. ïì a2 = 16 ï ï 2 Ta có : í b = 9 Þ c = 5 . Các tiêu điểm của H là - 5;0 và 5;0 . ï ( ) ( ) ( ) ï c2 = a2 + b2 îï x2 y2 Câu 12. Tâm sai của Hyperbol 1 bằng : 5 4 3 3 5 4 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn A. ïì a2 = 5 ïì a = 5 ï ï ï 2 ï c 3 Ta có : í b = 4 Þ íï b = 2 Þ e = = . ï ï a 5 ï c2 = a2 + b2 ï c = 3 îï îï Câu 13. Hypebol 3x2 – y2 = 12 có tâm sai là: 1 1 A. e . B. e . C. e 2. D. e 3. 3 2 Lời giải Chọn C. x2 y2 Ta có : 3x2 – y2 = 12 Û - = 1. 4 12 4
5. ïì a2 = 4 ïì a = 2 ï ï ï 2 ï c í b = 12 Þ íï b = 2 3 Þ e = = 2 . ï ï a ï c2 = a2 + b2 ï c = 4 îï îï x2 y2 Câu 14. Đường Hyperbol 1 có tiêu cự bằng : 20 16 A. 12. B. 2. C. 4. D. 6. Lời giải Chọn D. ïì a2 = 20 ïì a = 2 5 ï ï ï 2 ï Ta có : í b = 16 Þ íï b = 4 . Tiêu cự 2c = 12. ï ï ï c2 = a2 + b2 ï c = 6 îï îï Câu 15. Tìm phương trình chính tắc của hyperbol nếu nó có tiêu cự bằng 12 và độ dài trục thực bằng 10 . x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 25 11 25 9 100 125 25 16 Lời giải Chọn A. ïì 2c = 12 ïì c = 6 ï ï Ta có : íï 2a = 10 Þ íï a = 5 . ï ï ï 2 2 2 ï 2 îï b = c - a îï b = 11 x2 y2 Phương trình chính tắc (H): - = 1. 25 11 x2 Câu 16. Tìm góc giữa 2 đường tiệm cận của hyperbol y2 1. 3 A. 45°. B.30°. C. 90°. D. 60°. Lời giải Chọn D. ì 2 ì ï a = 3 ï a = 3 1 1 Ta có : íï Þ í . Đường tiện cận của (H) là y = x và y = - x hay ï 2 ï îï b = 1 îï b = 1 3 3 x - 3y = 0 và x + 3y = 0 . Gọi a là góc giữa hai đường tiệm cận, ta có : 1.1- 3. 3 1 cosa = = Þ a = 60°. 2 2 2 12 + (- 3) . 12 + 3 x2 y2 Câu 17. Hypebol 1 có 4 9 2 A. Hai đỉnh A (- 2;0), A (2;0) và tâm sai e . 1 2 13 2 13 B. Hai đường tiệm cận y x và tâm sai e . 3 2 3 13 C. Hai đường tiệm cận y x và tâm sai e . 2 2 2 D. Hai tiêu điểm F (- 2;0), F (2;0) và tâm sai e . 1 2 13 5
6. Lời giải Chọn C. ïì a2 = 4 ïì a = 2 ï ï ï 2 ï Ta có : í b = 9 Þ íï b = 3 . ï ï ï c2 = a2 + b2 ï îï îï c = 13 c 13 Tọa độ đỉnh A (- 2;0), A (2;0), tâm sai e = = , hai tiêu điểm F - 13;0 và 1 2 a 2 1 ( ) 3 F 13;0 , hai đường tiệm cận y = ± x . 2 ( ) 2 2 Câu 18. Phương trình hai tiệm cận y x là của hypebol có phương trình chính tắc nào sau đây? 3 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 4 9 3 2 2 3 9 4 Lời giải Chọn D. b 2 ïì a = 3 x2 y2 Ta có : ± = ± Þ íï . Phương trình (H): - = 1. a 3 îï b = 2 9 4 Câu 19. Viết phương trình của Hypebol có tiêu cự bằng10 , trục thực bằng 8 và tiêu điểm nằm trên trục Oy . x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 9 16 4 3 16 9 16 25 Lời giải Chọn A. ïì 2b = 8 ïì b = 4 ï ï x2 y2 Ta có : íï 2c = 10 Þ íï c = 5 . Phương trình H :- + = 1. ï ï ( ) ï 2 2 2 ï 9 16 îï a = c - b îï a = 3 x2 y2 Câu 20. Đường Hyperbol 1 có tiêu cự bằng : 5 4 A. 2. B. 6. C. 3. D. 1. Lời giải Chọn B. ïì a2 = 5 ïì a = 5 ï ï ï 2 ï Ta có : í b = 4 Þ íï b = 2 . Tiêu cự 2c = 6. ï ï ï c2 = a2 + b2 ï c = 3 îï îï Câu 21. Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol (H) biết nó đi qua điểm là (5;4) và một đường tiệm cận có phương trình là x y 0 . y2 x2 y2 A. x2 1. B. x2 y2 9. C. x2 y2 1. D. 1. 2 5 4 Lời giải Chọn C. ì ï a = b ï 2 2 Ta có : í 52 42 Þ {a = b = 1. Phương trình (H): x - y = 1. ï - = 1 îï a2 b2 6
7. Câu 22. Hypebol có hai tiêu điểm là F1 (- 2;0) và F2 (2;0) và một đỉnh A(1;0) có phương trình là chính tắc là y2 x2 y2 x2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 1 3 1 3 3 1 1 3 Lời giải Chọn D. ïì c = 2 ï ïì a2 = 1 x2 y2 Ta có : íï a = 1 Þ íï . Phương trình (H): - = 1. ï ï 2 1 3 ï 2 2 2 îï b = 3 îï b = c - a x2 y2 Câu 23. Đường Hyperbol 1 có tiêu cự bằng : 16 7 A. 2 23. B. 9. C. 3. D. 6. Lời giải Chọn A. ïì a2 = 16 ï ï 2 Ta có : í b = 7 Þ c = 23 . Tiêu cự 2c = 2 23. ï ï c2 = a2 + b2 îï Câu 24. Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol (H) biết nó tiêu điểm là (3;0) và một đường tiệm cận có phương trình là : 2x y 0 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 6 3 3 6 1 2 1 8 Lời giải Chọn A. ïì c = 3 ï ï b 1 ïì a2 = 2b2 ïì a2 = 6 x2 y2 Ta có : íï - = - Þ íï Þ íï . Phương trình (H): - = 1. ï a 2 ï 3b2 = 9 ï b2 = 3 6 3 ï îï îï ï 2 2 2 îï c = a + b x2 y2 Câu 25. Đường thẳng nào dưới đây là đường chuẩn của Hyperbol 1? 20 15 4 35 A. x 0. B. x + 2 = 0. C. x 4 5 0. D. x + 4 = 0. 7 Lời giải Chọn A. ïì a2 = 20 ï ïì ï 2 ï a = 2 5 c 7 2 5 Ta có : í b = 15 Þ íï . Tâm sai e = = . Các đường chuẩn là x ± = 0 ï ï 2 2 2 c = 35 a 2 7 ï c = a + b îï îï 2 4 35 hay x ± . 7 Câu 26. Tìm phương trình chính tắc của hyperbol nếu một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của hyperbol đó là M (4;3). x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 16 9 16 9 16 4 4 3 7
8. Lời giải Chọn A. ïì a = 4 x2 y2 Ta có : íï . Phương trình (H): - = 1. îï b = 3 16 9 Câu 27. Hypebol có tâm sai e 5 và đi qua điểm (1;0) có phương trình chính tắc là: y2 x2 x2 y2 x2 y2 y2 x2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 1 4 1 4 4 1 1 4 Lời giải Chọn A. ïì c ï = 5 ï a ïì a = 1 ï 2 2 ï 2 2 ï 1 0 ï x y Ta có : í - = 1 Þ íï c = 5 . Phương trình (H): - = 1. ï a b ï 1 4 ï 2 2 2 ï b = 2 ï b = c - a îï ï îï y2 Câu 28. Hypebol x2 1 có hai đường chuẩn là: 4 1 1 A. x 2. B. x 1. C. x . D. x . 5 2 Lời giải Chọn C. ïì a2 = 1 ïì a = 1 ï ï ï 2 ï c 1 Ta có : í b = 4 Þ íï b = 2 . Tâm sai e = = 5. Đường chuẩn x ± = 0 hay ï ï a 5 ï c2 = a2 + b2 ï îï îï c = 5 1 x = ± . 5 Câu 29. Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol (H) biết nó có một đường chuẩn là 2x 2 0 x2 x2 y2 x2 y2 A. x2 y2 1. B. 1. C. x2 1. D. 1. 1 4 2 2 2 Lời giải Chọn A. 1 Ta có : 2x + 2 = 0 Þ x + = 0 . 2 2 ïì a 1 a 1 ï c = 2 2 2 Suy ra = Þ = . Chọn a = 1 thì í . Phương trình H : x - y = 1. ï ( ) e 2 c 2 îï b = 1 x2 y2 Câu 30. Cho điểm M nằm trên Hyperbol (H): 1. Nếu hoành độ điểm M bằng 8 thì khoảng 16 9 cách từ M đến các tiêu điểm của (H)là bao nhiêu ? A. 8 4 2. B. 8 5. C. 5 và 13. D. 6 và 14. Lời giải Chọn D. 8
9. 82 y2 Với x = 8 ta có : - = 1 Þ y = ± 3 3 . Có hai điểm M thỏa mãn là M 8;3 3 và 16 9 1 ( ) M 8;- 3 3 . Tiêu điểm của H là F - 5;0 và F 5;0 . 2 ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) M1F1 = M2F1 = 14 , M1F2 = M2F2 = 6. Câu 31. Viết phương trình chính tắc của Hypebol, biết giá trị tuyệt đối hiệu các bán kính qua tiêu điểm của điểm M bất kỳ trên hypebol là 8, tiêu cự bằng 10 . x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1 hoặc 1. B. 1. 16 9 9 16 16 9 x2 y2 x2 y2 C. 1. D. 1. 4 3 4 3 Lời giải Chọn A. ïì 2a = 8 ïì a = 4 ï ï x2 y2 Ta có : íï 2c = 10 Þ íï c = 5 . Phương trình H : - = 1. ï ï ( ) ï 2 2 2 ï 16 9 îï b = c - a îï b = 3 Câu 32. Hyperbol (H) có 2 đường tiệm cận vuông góc nhau thì có tâm sai bằng bao nhiêu ? 2 A. 3. B. . C. 2. D. 2. 2 Lời giải Chọn C. x2 y2 b b Gọi (H): - = 1. Tiệm cận của (H) là D : y = - x và D : y = x . a2 b2 1 a 2 a b b D ^ D Û - . = - 1 Û a = b . 1 2 a a c Ta có : c2 = a2 + b2 = 2a2 Þ c = a 2 . Tâm sai e = = 2. a Câu 33. Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol (H) biết nó tiêu điểm là (- 1 ;0) và một đường tiệm cận có phương trình là : 3x y 0 x2 y2 y2 x2 y2 x2 y2 1 A. 1. B. x2 1. C. 1. D. . 1 3 9 1 6 1 9 10 Lời giải Chọn D. ïì c = 1 ì ï ïì c = 1 ï 2 1 ï ï ï a = 2 2 ï b ï ï 10 x y 1 Ta có : í - = - 3 Þ íï b = 3a Þ íï . Phương trình (H): - = . ï a ï ï 9 1 9 10 ï ï 2 ï b2 = ï 2 2 2 îï 10a = 1 ï îï c = a + b îï 10 Câu 34. Hypebol có hai đường tiệm cận vuông góc với nhau, độ dài trục thực bằng 6, có phương trình chính tắc là: x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 6 6 9 9 1 6 6 1 Lời giải Chọn B. 9
10. x2 y2 b b Gọi (H): - = 1. Tiệm cận của (H) là D : y = - x và D : y = x . a2 b2 1 a 2 a b b D ^ D Û - . = - 1 Û a = b . 1 2 a a ïì a = b Ta có : íï Þ a = b = 3. îï 2a = 6 x2 y2 Phương trình chính tắc (H): - = 1. 9 9 Câu 35. Điểm nào trong 4 điểm M (5;0), N (10;3 3), P(5 2;3 2), Q(5;4)nằm trên một đường tiệm x2 y2 cận của hyperbol 1? 25 9 A. N. B. M. C. Q. D. P. Lời giải Chọn D. ïì a2 = 25 ïì a = 5 3 Ta có : íï Þ íï . Đường tiệm cận của (H) là : y = ± x. ï 2 ï îï b = 9 îï b = 3 5 Vậy điểm P(5 2;3 2) thuộc đường tiệm cận của (H). Câu 36. Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol (H) biết nó có trục thực dài gấp đôi trục ảo và có tiêu cự bằng 10. x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 16 4 16 9 20 5 20 10 Lời giải Chọn C. ïì a = 2b ïì a = 2b ï ï ïì a2 = 20 x2 y2 Ta có : íï 2c = 10 Þ íï c = 5 Þ íï . Phương trình (H): - = 1. ï ï ï 2 20 5 ï 2 2 2 ï 2 îï b = 5 îï c = a + b îï 5b = 25 Câu 37. Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol (H) biết nó đi qua điểm (2;1) và có một đường chuẩn 2 là x 0 . 3 x2 x2 y2 y2 x2 A. y2 1. B. 1. C. x2 1. D. y2 1. 2 3 3 2 2 Lời giải Chọn D. x2 y2 Gọi (H): - = 1. a2 b2 ïì 2 2 ì 2 ï 2 1 ï 2 a ï - = 1 ï b = ï a2 b2 ï 4- a2 ï ï ïì 2 2 ï 2 ï ï a = 2, b = 1 ï a 2 ï 2 3 4 ï Ta có : ï = Þ ï c = a Þ ï . í í í 2 10 2 ï c 3 ï 4 ï a = , b = 5 ï ï 2 ï 3 ï 2 2 2 ï a 3 îï ï b = c - a ï = a4 - a2 ï ï 2 îï îï 4- a 4 Câu 38. Tìm phương trình chính tắc của hyperbol nếu nó đi qua điểm (4;1) và có tiêu cự bằng 2 15 . 10
11. x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 14 7 12 3 11 4 9 4 Lời giải Chọn B. x2 y2 Gọi (H): - = 1. a2 b2 ïì 42 12 ï - = 1 ï a2 b2 ï ïì 16b2 - a2 = a2b2 ïì a2 = 12 x2 y2 Ta có: íï 2c = 2 15 Þ íï Þ íï . Phương trình (H): - = 1. ï ï 2 2 ï 2 12 3 ï 2 2 2 îï a + b = 15 îï b = 3 ï c = a + b ï îï x2 Câu 39. Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của hypebol y2 1 có có phương trình là: 4 A. x2 y2 1. B. x2 y2 5. C. x2 y2 4. D. x2 y2 3. Lời giải Chọn B. ïì a2 = 4 ïì a = 2 Ta có: íï Þ íï . Tọa độ các đỉnh hình chữ nhật cở sở là (2;1), (2;- 1), (- 2;1), ï 2 ï îï b = 1 îï b = 1 (- 2;- 1). Dường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở có tâm O(0;0) bán kính R = 5 . Phương trình đường tròn là x2 y2 5. Câu 40. Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol (H) biết nó có một đường tiệm cận là x 2y 0 và hình chữ nhật cơ sở của nó có diện tích bằng 24 . x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 12 48 3 12 12 3 48 12 Lời giải Chọn C. ì ï b 1 ì ì 2 2 2 ï = ï a = 2b ï a = 12 x y Ta có : í a 2 Þ í Þ í . Phương trình (H): - = 1. ï ï 2 ï 2 ï îï 2a = 24 îï b = 3 12 3 îï a.b = 24 x2 Câu 41. Cho Hyperbol H : y2 1. Tìm điểm M trên H sao cho M thuộc nhánh phải và MF 4 1 nhỏ nhất (ngắn nhất). A. M (- 2;0). B. M (2;0). C. M (1;0). D. M (- 1;0). Lời giải Chọn B. ïì a2 = 4 ïì a = 2 ï ï ï 2 ï Ta có: í b = 1 Þ íï b = 1 . ï ï ï c2 = a2 + b2 ï îï îï c = 5 Gọi M (x0; y0 )Î (H). 2 x 2 2 2 Ta có: y 1 x 4 y 1 . M thuộc nhánh phải của H nên x0 ³ 2 . 4 2 4 4 MF1 = 2 + x0 ³ 2 + . MF1 nhỏ nhất bằng khi M º A(2;0). 5 5 5 11
12. x2 Câu 42. Cho Hyperbol H : y2 1. Tìm điểm M trên H sao cho khoảng cách từ M đến 4 đường thẳng : y x 1 đạt giá trị nhỏ nhất. æ4 1 ö æ 4 1 ö ç ÷ ç ÷ A. M ç ; ÷. B. M ç- ;- ÷. C. M (- 2;0). D. M (2;0). èç 3 3ø÷ èç 3 3ø÷ Lời giải Chọn B. x.x Gọi M (x ; y )Î (H). Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M là d : 0 - y.y = 1. 0 0 4 0 x0 - y x D//d khi 4 = 0 Þ y = 0 thay vào (H) ta có: 1 - 1 0 4 é 4 1 2 êx = ® y = x2 æx ö ê 0 0 0 ç 0 ÷ ê 3 3 - ç ÷ = 1 Û . 4 èç 4 ø÷ ê 4 1 êx = - ® y = - ê 0 0 ë 3 3 æ4 1 ö 1+ 3 ç ÷ Với M ç ; ÷ ta có : d(M,V)= . èç 3 3ø÷ 2 æ 4 1 ö 3 - 1 ç ÷ Với M ç- ;- ÷ ta có : d(M,V)= . èç 3 3ø÷ 2 2 2 Câu 43. Cho hyperbol H :3x 4y 12 có hai tiêu điểm là F1, F2 . Tìm trên một nhánh của H hai điểm P, Q sao cho DOPQ là tam giác đều. æ ö æ ö æ ö æ ö ç6 5 2 15÷ ç 6 5 2 15÷ ç 6 5 2 15÷ ç6 5 2 15÷ ç ÷ ç- - ÷ ç- ÷ ç - ÷ A. Pç ; ÷, Qç ; ÷. B. Pç ; ÷, Qç ; ÷. èç 5 5 ø÷ èç 5 5 ø÷ èç 5 5 ø÷ èç 5 5 ø÷ æ ö æ ö æ ö æ ö ç6 5 2 15÷ ç6 5 2 15÷ ç 6 5 2 15÷ ç6 5 2 15÷ ç ÷ ç - ÷ ç- - ÷ ç - ÷ C. Pç ; ÷, Qç ; ÷. D. Pç ; ÷, Qç ; ÷. èç 5 5 ø÷ èç 5 5 ø÷ èç 5 5 ø÷ èç 5 5 ø÷ Lời giải Chọn C. x2 y2 Ta có : H :3x2 4y2 12 1. 4 3 Gọi P(x0; y0 )Î (H)Þ Q(x0;- y0 ) (Do (H) đối xứng với nhau qua Ox ) DOPQ đều Û OP = PQ 2 2 2 2 2 Û 4y0 = x0 + y0 Û x0 = 3y0 . Thay vào (H) ta có: é 2 15 êy = ê 0 6 5 9x2 - 4y2 = 12 Û ê 5 Þ x = ± . 0 0 ê 0 ê 2 15 5 êy0 = - ë 5 æ ö æ ö ç6 5 2 15÷ ç6 5 2 15÷ ç ÷ ç - ÷ Vậy Pç ; ÷, Qç ; ÷. èç 5 5 ø÷ èç 5 5 ø÷ x2 Câu 44. Cho hyperbol H : y2 1. Lấy tùy ý M x ; y H . Tính tích khoảng cách từ M đến 4 o o hai tiệm cận của H . 12
13. 2 5 4 5 A. . B. . C. . D. . 5 4 5 2 Lời giải Chọn C. ïì a2 = 4 ïì a = 2 Ta có: íï Þ íï . Các đường tiệm cận của (H) là D : x + 2y = 0 và V : x - 2y = 0 . ï 2 ï 1 2 îï b = 1 îï b- 1 Gọi M (x0; y0 )Î (H). Lúc đó: 2 2 x + 2y . x - 2y x0 - 4y0 4 d(M,D ).d(M,D )= 0 0 0 0 = = . 1 2 5 5 5 x2 y2 Câu 45. Cho hyperbol H : 1. Biết tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng một a2 b2 số không đổi và bằng? ab a2b2 a2 + b2 A. . B. .C. a2 + b2 . D. . a + b a2 b2 a2b2 Lời giải Chọn B. Hai đường tiệm cận của (H) là D1 : bx + ay = 0 và D 2 : bx - ay = 0 . Gọi M (x0; y0 )Î (H). Lúc đó: 2 2 2 2 2 2 bx + ay . bx - ay b x0 - a y0 a b d M D d M D = 0 0 0 0 = ( , 1). ( , 2 ) 2 2 2 2 . 2 2 2 2 a + b a + b a + b . (- a) + b x2 y2 Câu 46. Cho hyperbol H : 1 có hai tiêu điểm F1, F2 . Với M là một điểm tùy ý thuộc (H). 25 16 2 2 Hãy tính S MF1 MF2 4OM 1 A. 8. B. 1. C. . D. 64. 64 Lời giải Chọn D. ïì a2 = 25 ïì a = 5 ï ï ï 2 ï Ta có: í b = 16 Þ íï b = 4 . ï ï ï c2 = a2 + b2 ï îï îï c = 41 41 Gọi M (x ; y )Î (H). Không mất tính tổng quát, giả sử x > 0 . Lúc đó : MF = 5+ x , 0 0 0 1 5 41 MF = - 5+ x , OM = x2 + y2 . 2 5 0 0 2 2 2 41 41 2 2 64 2 2 S MF1 MF2 4OM = 5+ x0 - 5+ x0 - 4(x0 + y0 )= x0 - 4y0 4 5 25 æx2 y2 ö ç 0 0 ÷ = 64ç - ÷= 64 èç25 16ø÷ 13
14. Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy , cho hypebol H có phương x2 y2 trình: 1 và điểm M 2;1 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M , biết rằng 2 3 đường thẳng đó cắt H tại hai điểm A , B mà M là trung điểm của AB. A. d : x - 2y = 0. B. d :3x y 5 0. C. d : x y 5 0. D. d :3x y 5 0. Lời giải Chọn D. Gọi A(x0; y0 )= d I (H). Vì M (2;1) là trung điểm của AB nên B(4- x0;2- y0 )Î (H). 2 2 (4- x ) (2- y ) 4 20 Suy ra 0 - 0 = 1 Û - 4x + y + = 0 Û 3x - y - 5 = 0 . 2 3 0 3 0 3 0 0 Vậy phương trình đường thẳng d : 3x - y- 5 = 0. Câu 48. Cho hyperbol H : x2 y2 8 . Viết phương trình chính tắc của Elip E đi qua điểm A 4;6 và có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của hyperbol đã cho. x2 y2 x2 y2 A. E : 1. B. E : 1. 16 36 48 64 x2 y2 x2 y2 C. E : 1. D. E : 1. 64 48 22 3 35 21 3 35 Lời giải Chọn C. ì ïì a2 = 8 ï a = 2 2 ï ï ï 2 ï H có í b = 8 Þ íï b = 2 2 . Tiêu điểm của H là F - 4;0 , F 4;0 . ( ) ï ï ( ) 1 ( ) 2 ( ) ï c2 = a2 + b2 ï c = 4 îï îï (E) có tiêu điểm là F1 (- 4;0), F2 (4;0) và đi qua A(4;6). ì ï ï c = 4 ï ì 2 2 2 ï ï a = b + 16 ïì a = 64 Ta có: íï a2 = b2 + c2 Þ íï Þ íï . ï ï 2 2 2 2 ï 2 ï 2 2 ï 16b + 36(b + 16)= (b + 16)b ï b = 48 ï 4 6 îï î ï + = 1 îï a2 b2 x2 y2 Vậy (E): + = 1. 64 48 Câu 49.Lập phương trình chính tắc của hyperbol H với Ox là trục thực, tổng hai bán trục a b 7, 3 phương trình hai tiệm cận: y x . 4 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. H : 1. B. H : 1. C. H : 1. D. H : 1. 32 42 42 32 282 212 212 282 Lời giải Chọn B. ïì a + b = 7 ï ïì a = 4 x2 y2 Ta có: ï Þ ï Phương trình H - = í b 3 í . ( ): 2 2 1. ï = îï b = 3 4 3 îï a 4 x2 y2 Câu 50. Cho hyperbol H : 1. Lập phương trình tiếp tuyến của H song song với đường 42 32 thẳng d :5x 4y 10 0 . 14
15. A. 5x 4y 4 0, 5x 5y 4 0 .B. 5x 4y 16 0 và 5x 4y 16 0 . C. 5x 4y 16 0 . D. 5x 4y 16 0 . Lời giải Chọn B. x .x y .y Gọi M (x ; y )Î (H). Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M là D : 0 - 0 = 1. 0 0 16 9 x y 0 - 0 - 1 x y D//d Û 16 = 9 ¹ Þ 0 = 0 . Ta có hệ phương trình 5 - 4 10 20 9 ïì x y é 9 ï 0 = 0 êx = 5; y = ï 20 9 ê 0 0 4 íï Û ê . ï 2 2 ê ï x0 y0 9 ï - = 1 êx0 = - 5; y0 = - îï 16 9 ëê 4 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là 5x 4y 16 0 và 5x 4y 16 0 . 15