Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Chuyên đề 5: Trục tọa độ và hệ trục tọa độ - Bài 4: Trục tọa độ và hệ trục tọa độ - Đặng Việt Đông

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Chuyên đề 5: Trục tọa độ và hệ trục tọa độ - Bài 4: Trục tọa độ và hệ trục tọa độ - Đặng Việt Đông

1. Chương 1 VECTO CHUYÊN ĐỀ 5 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ §4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT : I.TRỤC TỌA ĐỘ: 1. Định nghĩa: Trục tọa độ (Trục , hay trục số ) là một đường thẳng trên đó ta đã xác định một điểm O và r r một vectơ đơn vị i ( tức là i = 1) r i x' O x Hình 1.30r r Điểm O được gọi là gốc tọa độ , vec tơ i được gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ. Kí hiệu (O ; i ) hay x 'Ox hoặc đơn giản là Ox 2. Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục: ur r r ur + Cho vec tơ u nằm trên trục (O ; i ) thì có số thực a sao cho u = a i với a Î R . Số a như thế được uur r gọi là tọa độ của vectơ u đối với trục (O ; i ) r uuur ur + Cho điểm M nằm trên (O ; i ) thì có số m sao cho OM = m i . Số m như thế được gọi là tọa độ của r điểm M đối với trục (O ; i ) uuur Như vậy tọa độ điểm M là trọa độ vectơ OM 3. Độ dài đại số của vec tơ trên trục : uuur Cho hai điểm A, B nằm trên trục Ox thì tọa độ của vectơ AB kí hiệu là AB và gọi là độ dài đại số của uuur vectơ AB trên trục Ox uuur r Như vậy AB = AB.i Tính chất : + AB = - BA uuur uuur + AB = CD Û AB = CD ur + " A;B;C Î (O ; i ) : AB + BC = AC y II. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 1. Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vuông M góc Ox và Oy với hai r r K vectơ đơn vị lần lượt là i , j . Điểm O gọi là gốc tọa độ, Ox gọi là trục hoành và Oy gọi là trục tung. r r O H x Kí hiệu Oxy hay (O;i , j ) 2. Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ . r r r r r Hình 1.31 + Trong hệ trục tọa độ O;i , j nếu u = xi + yj thì cặp số (x;y ) được gọi r ( ) r r là tọa độ của vectơ u , kí hiệu là u = (x;y ) hay u(x;y ). r x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của vectơ u r r uuur + Trong hệ trục tọa độ (O;i , j ), tọa độ của vectơ OM gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu là M = (x;y ) hay M (x;y ). x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của điểm M. 1
2. Nhận xét: (hình 1.31) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy thì uuur r r uuur uuur M (x;y ) Û OM = xi + yj = OH + OK uuur r uuur r Như vậy OH = xi , OK = yj hay x = OH , y = OK 3. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác. + Cho A(xA ;yA ), B(xB ;yB ) và M là trung điểm AB. Tọa độ trung điểm M (xM ;yM ) của đoạn thẳng x + x y + y AB là x = A B , y = A B M 2 M 2 + Cho tam giác ABC có A(xA ;yA ), B(xB ;yB ), C (xC ;yC ). Tọa độ trọng tâm G (xG ;yG ) của tam giác x + x + x y + y + y ABC là x = A B C và y = A B C G 3 G 2 4. Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ. r ur Cho u = (x;y) ;u ' = (x ';y ') và số thực k. Khi đó ta có : r ur ïì x = x ' 1) u = u ' Û íï ï y = y ' îï r r 2) u ± v = (x ± x ';y ± y ') r 3) k.u = (kx;ky) ur r r r ïì x ' = kx 4) u ' cùng phương u (u ¹ 0) khi và chỉ khi có số k sao cho íï ï y ' = ky îï uuur 5) Cho A(xA ;yA ), B(xB ;yB ) thì AB = (xB - xA ;yB - yA ) Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho A xA; yA và B xB ; yB . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: xA xB yA yB xA xB yA yB A. I ; . B. I ; . 2 2 2 2 xA xB yA yB xA yA xB yB C. I ; . D. I ; . 3 3 2 2 Lời giải Chọn B xA xB   xI xI xA xB xI 2 Ta có: I là trung điểm của đoạn thẳng AB AI IB y y y y y y I A B I y A B I 2 xA xB yA yB Vậy I ; . 2 2 Câu 2: Cho các vectơ u u1;u2 , v v1;v2 . Điều kiện để vectơ u v là u1 u2 u1 v1 u1 v1 u1 v2 A. . B. . C. . D. . v1 v2 u2 v2 u2 v2 u2 v1 Lời giải Chọn C u1 v1 Ta có: u v . u2 v2 2
3.  Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho A xA; yA và B xB ; yB . Tọa độ của vectơ AB là   A. AB yA xA; yB xB . B. AB xA xB ; yA yB .   C. AB xA xB ; yA yB . D. AB xB xA; yB yA . Lời giải Chọn D  Theo công thức tọa độ vectơ AB xB xA; yB yA . Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy , cho A xA; yA , B xB ; yB và C xC ; yC . Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: xA xB xC yA yB yC xA xB xC yA yB yC A. G ; . B. G ; . 3 3 3 2 xA xB xC yA yB yC xA xB xC yA yB yC C. G ; . D. G ; . 3 3 2 3 Lời giải Chọn C     Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC OA OB OC 3OG với O là điểm bất kì. Chọn O chính là gốc tọa độ O . Khi đó, ta có: xA xB xC     xG xA xB xC 3xG 3 OA OB OC 3OG y y y 3y y y y A B C G y A B C G 3 xA xB xC yA yB yC G ; . 3 3 Câu 5: Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hai vectơ u 2; 1 và v 1;2 đối nhau. B. Hai vectơ u 2; 1 và v 2; 1 đối nhau. C. Hai vectơ u 2; 1 và v 2;1 đối nhau. D. Hai vectơ u 2; 1 và v 2;1 đối nhau. Lời giải Chọn C Ta có: u 2; 1 2;1 v u và v đối nhau. Câu 6: Trong hệ trục O;i; j , tọa độ của vec tơ i j là: A. 1;1 . B. 1;0 . C. 0;1 . D. 1;1 . Lời giải Chọn D Ta có: i j 1;0 0;1 1;1 .  Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A 5;2 , B 10;8 . Tọa độ của vec tơ AB là: A. 2;4 . B. 5;6 . C. 15;10 . D. 50;6 . Lời giải Chọn B 3
4.  Ta có: AB 10 5;8 2 5;6 . Câu 8: Cho hai điểm A 1;0 và B 0; 2 . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: 1 1 1 A. ; 1 . B. 1; . C. ; 2 . D. 1; 1 . 2 2 2 Lời giải Chọn A xA xB yA yB 1 0 0 ( 2) 1 Ta có: Trung điểm của đoạn thẳng AB là: I ; ; ; 1 . 2 2 2 2 2 Câu 9: Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O , hai đỉnh A và B có tọa độ là A 2;2 ; B 3;5 . Tọa độ của đỉnh C là: A. 1;7 . B. 1; 7 . C. 3; 5 . D. 2; 2 . Lời giải Chọn B xA xB xC 2 3 xC xO 0 3 3 xC 1 Ta có: . y y y 2 5 y y 7 y A B C 0 C C O 3 3 Câu 10: Vectơ a 4;0 được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào? A. a 4i j . B. a i 4 j . C. a 4 j . D. a 4i . Lời giải Chọn D Ta có: a 4;0 a 4i 0 j 4i .   Câu 11: Cho hai điểm A 1;0 và B 0; 2 .Tọa độ điểm D sao cho AD 3AB là: A. 4; 6 . B. 2;0 . C. 0;4 . D. 4;6 . Lời giải Chọn D   xD xA 3 xB xA xD 1 3 0 1 xD 4 Ta có: AD 3AB . y 6 yD yA 3 yB yA yD 0 3 2 0 D Câu 12: Cho a 5;0 ,b 4; x . Haivec tơ a và b cùng phương nếu số x là: A. 5 . B. 4 . C. 1. D. 0 . Lời giải Chọn D Ta có: a và b cùng phương khi a k.b x 0 . Câu 13: Cho a 1;2 ,b 5; 7 . Tọa độ của vec tơ a b là: A. 6; 9 . B. 4; 5 . C. 6;9 . D. 5; 14 . Lời giải Chọn C Ta có: a b 1 5;2 7 6;9 .  Câu 14: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 3, BC 4 . Độ dài của vec tơ AC là: A. 9. B. 5. C. 6. D. 7. 4
5. Lời giải Chọn B  Ta có: AC AC AB2 BC 2 32 42 5 .  Câu 15: Cho hai điểm A 1;0 và B 0; 2 . Vec tơ đối của vectơ AB có tọa độ là: A. 1;2 . B. 1; 2 . C. 1;2 . D. 1; 2 . Lời giải Chọn B   Ta có vectơ đối của AB là BA 0 1; 2 0 1; 2 . Câu 16: Cho a 3; 4 ,b 1;2 . Tọa độ của vec tơ a b là: A. 2; 2 . B. 4; 6 . C. 3; 8 . D. 4;6 . Lời giải Chọn A Ta có: a b 3 ( 1);( 4) 2 2; 2 . Câu 17: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng? A. Hai vec tơ u 4;2 và v 8;3 cùng phương. B. Hai vec tơ a 5;0 và b 4;0 cùng hướng. C. Hai vec tơ a 6;3 và b 2;1 ngượchướng.  D. Vec tơ c 7;3 là vec tơ đối của d 7;3 . Lời giải Chọn B 5 Ta có: a b suy ra a cùng hướng với b . 4 Câu 18: Cho a x;2 ,b 5;1 ,c x;7 . Vec tơ c 2a 3b nếu: A. x 3. B. x 15. C. x 15. D. x 5. Lời giải Chọn C x 2x 3. 5 Ta có: c 2a 3b x 15. 7 2.2 3.1 Câu 19: Cho a (0,1) ,b ( 1;2) , c ( 3; 2) .Tọa độ củau 3a 2b 4c : A. 10; 15 . B. 15;10 . C. 10;15 . D. 10;15 . Lời giải Chọn C Ta có: u 3a 2b 4c 3.0 2.( 1) 4.( 3);3.1 2.2 4.( 2) 10;15 .    Câu 20: Cho A 0;3 , B 4;2 . Điểm D thỏa OD 2DA 2DB 0 , tọa độ D là: 5 A. 3;3 . B. 8; 2 . C. 8;2 . D. 2; . 2 Lời giải Chọn B 5
6.    xD 0 2 0 xD 2 4 xD 0 xD 8 Ta có: OD 2DA 2DB 0 . y 2 yD 0 2 3 yD 2 2 yD 0 D Câu 21: Tam giác ABC có C 2; 4 , trọng tâm G 0;4 , trung điểm cạnh BC là M 2;0 . Tọa độ A và B là: A. A 4;12 , B 4;6 . B. A 4; 12 , B 6;4 . C. A 4;12 , B 6;4 . D. A 4; 12 , B 6;4 . Lời giải Chọn C xB ( 2) 2 2 xB 6 Ta có: M 2;0 là trung điểm BC nên B 6;4 y ( 4) y 4 0 B B 2 xA 6 ( 2) 0 3 xA 4 G 0;4 là trọng tâm tam giác ABC nên A 4;12 . y 4 ( 4) y 12 4 A A 3 Câu 22: Cho a 3i 4 j và b i j . Tìm phát biểu sai:   A. a 5. B. b 0 . C. a b 2; 3 . D. b 2 . Lời giải Chọn B Ta có: a 3i 4 j a 3; 4 , b i j b 1; 1 b 2 . Câu 23: Cho A 1;2 , B 2;6 . Điểm M trên trục Oy sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng thì tọa độ điểm M là: A. 0;10 . B. 0; 10 . C. 10;0 . D. 10;0 . Lời giải Chọn A Ta có: M trên trục Oy M 0; y   Ba điểm A, B, M thẳng hàng khi AB cùng phương với AM    Ta có AB 3;4 , AM 1; y 2 . Do đó, AB cùng phương với  1 y 2 AM y 10 . Vậy M 0;10 . 3 4 Câu 24: Cho 4 điểm A 1; 2 , B 0;3 ,C 3;4 , D 1;8 . Ba điểm nào trong 4 điểm đã cho là thẳng hàng? A. A, B,C . B. B,C, D . C. A, B, D . D. A,C, D . Lời giải Chọn C     Ta có: AD 2;10 , AB 1;5 AD 2AB 3 điểm A, B, D thẳng hàng. Câu 25: Trong mặt phẳng Oxy , cho B 5; 4 ,C 3;7 . Tọa độ của điểm E đối xứng với C qua B là A. E 1;18 . B. E 7;15 . C. E 7; 1 . D. E 7; 15 . Lời giải 6
7. Chọn D Ta có: E đối xứng với C qua B B là trung điểm đoạn thẳng EC xE 3 5 2 xE 7 Do đó, ta có: E 7; 15 . y 7 y 15 4 E E 2   Câu 26: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A 1;3 , B 4;0 . Tọa độ điểm M thỏa 3AM AB 0 là A. M 4;0 . B. M 5;3 . C. M 0;4 . D. M 0; 4 . Lời giải Chọn C   3 xM 1 4 1 0 xM 0 Ta có: 3AM AB 0 M 0;4 . y 4 3 yM 3 0 3 0 M Câu 27: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A 3;3 , B 1;4 ,C 2; 5 . Tọa độ điểm M thỏa mãn    2MA BC 4CM là: 1 5 1 5 1 5 5 1 A. M ; . B. M ; . C. M ; . D. M ; . 6 6 6 6 6 6 6 6 Lời giải Chọn C 1    xM 2 3 xM 2 1 4 xM 2 6 1 5 Ta có: 2MA BC 4CM M ; . 2 3 y 5 4 4 y 5 5 6 6 M M y M 6 Câu 28: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A 3; 2 , B 7;1 , C 0;1 , D 8; 5 . Khẳng định nào sau đây là đúng?     A. AB,CD đối nhau. B. AB,CD cùng phương nhưng ngược hướng.   C. AB,CD cùng phương cùng hướng. D. A, B, C, D thẳng hàng. Lời giải Chọn B     Ta có: AB 4;3 ,CD 8; 6 CD 2AB . Câu 29: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A 1;3 , B 4;0 ,C 2; 5 . Tọa độ điểm M thỏa mãn    MA MB 3MC 0 là A. M 1;18 . B. M 1;18 . C. M 18;1 . D. M 1; 18 . Lời giải Chọn D    1 xM 4 xM 3 2 xM 0 xM 1 Ta có: MA MB 3MC 0 . y 18 3 yM 0 yM 3 5 yM 0 M Câu 30: Trong mặt phẳng Oxy , cho A 2;0 , B 5; 4 , C 5;1 . Tọa độ điểm D để tứ giác BCAD là hình bình hành là: A. D 8; 5 . B. D 8;5 . C. D 8;5 . D. D 8; 5 . Lời giải Chọn D 7
8.   5 5 2 xD xD 8 Ta có: tứ giác BCAD là hình bình hành khi BC DA . 1 4 0 yD yD 5 Câu 31: Trong mặt phẳng Oxy , cho A 2;4 , B 1;4 , C 5;1 . Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành là: A. D 8;1 . B. D 6;7 . C. D 2;1 . D. D 8;1 . Lời giải Chọn C   1 2 5 xD xD 2 Ta có: tứ giác ABCD là hình bình hành khi AB DC . 4 4 1 yD yD 1 Câu 32: Trong mặt phẳng Oxy , gọi B ', B '' và B ''' lần lượt là điểm đối xứng của B 2;7 qua trục Ox , Oy và qua gốc tọa độ O . Tọa độ của các điểm B ', B '' và B ''' là: A. B ' 2; 7 , B" 2;7 và B"' 2; 7 . B. B ' 7;2 , B" 2;7 và B"' 2; 7 . C. B ' 2; 7 , B" 2;7 và B"' 7; 2 . D. B ' 2; 7 , B" 7;2 và B"' 2; 7 . Lời giải Chọn A Ta có: B ' đối xứng với B 2;7 qua trục Ox B ' 2; 7 B'' đối xứng với B 2;7 qua trục Oy B '' 2;7 B ''' đối xứng với B 2;7 qua gốc tọa độ O B ''' 2; 7 . Câu 33: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A 0;2 , B 1;4 . Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn   AM 2AB là: A. M 2; 2 . B. M 1; 4 . C. M 3;5 . D. M 0; 2 . Lời giải Chọn A   xM 0 2 1 0 xM 2 Ta có: AM 2AB M 2; 2 . y 2 yM 2 2 4 2 M Câu 34: Cho a 4,1 vàb 3, 2 . Tọa độ c a 2b là: A. c 1; 3 . B. c 2;5 . C. c 7; 1 . D. c 10; 3 . Lời giải Chọn B Ta có: c a 2b 4 2.( 3);1 2.( 2) 2;5 . Câu 35: Cho a (2016 2015;0), b (4; x) . Hai vectơ a,b cùng phương nếu A. x 504 . B. x 0 . C. x 504. D. x 2017 . Lời giải Chọn B Ta có: a,b cùng phương a k.b x 0 . 7  Câu 36: Trong mặt phẳng Oxy , Cho A ; 3 ; B( 2;5) . Khi đó a 4AB ? 2 11 A. a 22; 32 . B. a 22;32 . C. a 22;32 . D. a ;8 . 2 8
9. Lời giải Chọn A  7 Ta có: a 4AB 4 2 ;5 3 22; 32 . 2 Câu 37: Trong mặt phẳng Oxy , cho a (m 2;2n 1),b 3; 2 . Nếu a b thì 3 A. m 5,n 3 . B. m 5,n . C. m 5,n 2 . D. m 5,n 2. 2 Lời giải Chọn B m 5 m 2 3 Ta có: a b 3 . 2n 1 2 n 2 Câu 38: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A(2; 1) . Điểm B là điểm đối xứng của A qua trục hoành. Tọa độ điểm B là: A. B(2;1) . B. B( 2; 1) . C. B(1;2) . D. B(1; 2) . Lời giải Chọn A Ta có: B là điểm đối xứng của A qua trục hoành B 2;1 .  Câu 39: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho a (2;1), b (3;4), c (7;2) . Cho biết c m.a n.b . Khi đó 22 3 1 3 22 3 22 3 A. m ;n . B. m ;n . C. m ;n . D. m ;n . 5 5 5 5 5 5 5 5 Lời giải Chọn C 22 m 7 2m 3n 5 Ta có: c m.a n.b . 2 m 4n 3 n 5 Câu 40: Cho các vectơ a 4; 2 ,b 1; 1 ,c 2;5 . Phân tích vectơ b theo hai vectơ a và c , ta được: 1 1 1 1 1 1 1 A. b a c . B. b a c . C. b a 4c . D. b a c . 8 4 8 4 2 8 4 Lời giải Chọn A 1 m 1 4m 2n 8 1 1 Giả sử b ma nc . Vậy b a c . 1 2m 5n 1 8 4 n 4 1  Câu 41: Cho a (x;2), b 5; , c x;7 . Vectơ c 4a 3b nếu 3 A. x 15. B. x 3. C. x 15. D. x 5. Lời giải Chọn D 9
10. x 4x 3.( 5)  Ta có: c 4a 3b 1 x 5. 7 4.2 3. 3 Câu 42: Trong mặt phẳng Oxy , cho A m 1; 1 , B 2;2 2m ,C m 3;3 . Tìm giá trị m để A, B,C là ba điểm thẳng hàng? A. m 2 . B. m 0 . C. m 3 . D. m 1. Lời giải Chọn B   Ta có: AB 3 m;3 2m , AC 4;4   Ba điểm A, B,C thẳng hàng khi và chỉ khi AB cùng phương với AC 3 m 3 2m m 0 . 4 4 Câu 43: Cho hai điểm M 8; 1 , N 3;2 . Nếu P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N thì P có tọa độ là: 11 1 A. 2;5 . B. 13; 3 . C. 11; 1 . D. ; . 2 2 Lời giải Chọn A Ta có: P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N nên N là trung điểm đoạn thẳng PM 8 xP 3 2 xP 2 Do đó, ta có: P 2;5 . ( 1) y y 5 2 P P 2 Câu 44: Cho tam giác ABC với A 3; 1 , B 4;2 ,C 4;3 . Tìm D để ABDC là hình bình hành? A. D 3;6 . B. D 3;6 . C. D 3; 6 . D. D 3; 6 . Lời giải Chọn B   4 3 xD 4 xD 3 Ta có: ABDC là hình bình hành AB CD D 3;6 . 2 1 yD 3 yD 6 Câu 45: Cho K 1; 3 . Điểm A Ox, B Oy sao cho A là trung điểm KB . Tọa độ điểm B là: 1 A. 0;3 . B. ;0 . C. 0;2 . D. 4;2 . 3 Lời giải Chọn A Ta có: A Ox, B Oy A x;0 , B 0; y 1 0 x 1 2 x A là trung điểm KB 2 .Vậy B 0;3 . 3 y 0 y 3 2 Câu 46: Cho tam giác ABC với A 3;1 , B 4;2 ,C 4; 3 . Tìm D để ABCD là hình bình hành? A. D 3;4 . B. D 3; 4 . C. D 3; 4 . D. D 3;4 . Lời giải 10
11. Chọn B   4 3 4 xD xD 3 Ta có: ABCD là hình bình hành AB DC D 3; 4 . 2 1 3 yD yD 4 Câu 47: Cho M 2;0 , N 2;2 , P 1;3 lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA, AB của ABC . Tọa độ B là: A. 1;1 . B. 1; 1 . C. 1;1 . D. 1; 1 . Lời giải Chọn C A P N B M C xB xN xP xM xB 2 2 ( 1) xB 1 Ta có: BPNM là hình bình hành nên . yB yN yP yM yB 2 0 3 yB 1 Câu 48: Các điểm M 2;3 , N 0; 4 , P 1;6 lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA , AB của tam giác ABC . Tọa độ đỉnh A của tam giác là: A. 1; 10 . B. 1;5 . C. 3; 1 . D. 2; 7 . Lời giải Chọn C A P N B M C xA xM xP xN xA 2 0 ( 1) xA 3 Ta có: APMN là hình bình hành nên . yA yM yP yN yA 3 ( 4) 6 yA 1 Câu 49: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M 1; 1 , N 5; 3 và P thuộc trục Oy ,trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox .Toạ độ của điểm P là A. 0;4 . B. 2;0 . C. 2;4 . D. 0;2 . Lời giải Chọn A Ta có: P thuộc trục Oy P 0; y , G nằm trên trục Ox G x;0 1 5 0 x 3 x 2 G là trọng tâm tam giác MNP nên ta có: ( 1) ( 3) y y 4 0 3 Vậy P 0;4 . 11
12.    Câu 50: Cho các điểm A 2;1 , B 4;0 ,C 2;3 . Tìm điểm M biết rằng CM 3AC 2AB A. M 2; 5 . B. M 5; 2 . C. M 5;2 . D. M 2;5 . Lời giải Chọn A    xM 2 3 2 2 2 4 2 xM 2 Ta có: CM 3AC 2AB M 2; 5 y 5 yM 3 3 3 1 2 0 1 M 12