Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Chuyên đề 4: Tích của hai vecto với một số - Bài 3: Tích của một vectơ với một số - Đặng Việt Đông
Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Chuyên đề 4: Tích của hai vecto với một số - Bài 3: Tích của một vectơ với một số - Đặng Việt Đông", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tài liệu đính kèm:
- chuyen_de_toan_lop_10_chuong_1_vecto_chuyen_de_4_tich_cua_ha.doc
Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Chuyên đề 4: Tích của hai vecto với một số - Bài 3: Tích của một vectơ với một số - Đặng Việt Đông
- Chương 1 VECTO CHUYÊN ĐỀ 4 TÍCH CỦA HAI VECTO VỚI MỘT SỐ §3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT r r 1. Định nghĩa: Tích của vectơ a với số thực k ¹ 0 là một vectơ, kí hiệu là ka , cùng hướng với cùng r r r hướng với a nếu k > 0 , ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng k a r r r r Quy ước: 0a = 0 và k0 = 0 2. Tính chất : r r r r r r r i) (k + m)a = ka + ma ii) k(a ± b) = ka ± kb r r r r ék = 0 êr r iii) k(ma) = (km)a iv) ka = 0 Û ê êa = 0 r r r r ë v) 1a = a, (- 1)a = - a 3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương r r r r r r • b cùng phương a (a ¹ 0) khi và chỉ khi có số k thỏa b = ka uuur uuur • Điều kiện cần và đủ để A,B,C thẳng hàng là có số k sao cho AB = kAC 4. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. r r r r r r Cho a không cùng phương b . Với mọi vectơ x luôn được biểu diễn x = ma + nb với m, n là các số thực duy nhất. Câu 1: Chọn phát biểu sai? A. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB k BC , k 0. B. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AC k BC , k 0 . C. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB k AC , k 0 . D. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB = k AC . Lời giải Chọn D. Ta có ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi k ¡ ,k 0 sao cho AB = k AC . Câu 2: Cho tam giác ABC với trung tuyến AM và trọng tâm G . Khi đó GA 2 2 1 A. 2GM . B. GM . C. AM . D. AM . 3 3 2 Lời giải Chọn C. A G C B M 1
- 2 Ta có GA AM 3 2 Mặtkhác GA và AM ngược hướng GA AM . 3 Câu 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và trung tuyến AM . Khẳng định nào sau đây là sai: A. GA 2GM 0 . B. OA OB OC 3OG , với mọi điểmO . C. GA GB GC 0 . D. AM 2MG . Lời giải Chọn D. A G C B M Ta có AM 3MG Mặtkhác AM và MG ngược hướng AM 3MG . Câu 4: Cho hình bình hành ABCD . Tổng các vectơ AB AC AD là A. AC . B. 2AC . C. 3AC . D. 5AC . Lời giải Chọn B. Do hình bình hành ABCD . Ta có AB AC AD AB AD AC 2AC . Câu 5: Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho MN 3MP . Điểm P được xác định đúng trong hình vẽnào sau đây: A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4. Lời giải Chọn C. Ta có MN 3MP nên MN 3MP và MN và MP ngược hướng. ChọnC. Câu 6: Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là A. M : MA MB MC 0 . B. M : MA MC MB . C. AC AB BC . D. k R : AB k AC . Lời giải Chọn D. Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng là k R : AB k AC . 2
- Câu 7: Hãy chọn kết quả đúng khi phân tích vectơ AM theo hai véctơ AB và AC của tam giác ABC với trung tuyến AM . A. AM AB AC . B. AM 2AB 3AC . 1 1 C. AM (AB AC) . D. AM (AB AC) . 2 3 Lời giải Chọn B. A G C B M 1 Do M là trung điểm của BC nên ta có AM (AB AC) . 2 Câu 8: Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. AC AD CD . B. AC BD 2CD . C. AC BC AB . D. AC BD 2BC . Lời giải Chọn D. A D B C Ta có A. Sai do AC AD DC . B. Sai do AC BD 2CD AB AD AD AB 2CD 2AB 2CD . C. Sai do AC BC AB AC AB BC BC CB . D. Đúng do AC BD AB BC BC CD 2BC AB CD 2BC 0 2BC . Câu 9: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC . Đẳng thức vectơ nào sau đây đúng? 3 A. 2AM 3AG . B. AM 2AG . C. AB AC AG . D. AB AC 2GM . 2 Lời giải Chọn A. A G C B M 3
- 3 Ta có AM AG 2 3 Mặtkhác AM và AG cùng hướng AM AG hay 2AM 3AG . 2 Câu 10: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC . Câu nào sau đây đúng? A. GB GC 2GM . B. GB GC 2GA . C. AB AC 2AG . D. AB AC 3AM . Lời giải Chọn A. A G C B M Do M là trung điểm của BC nên ta có:GB GC 2GM . Câu 11: Nếu G là trọng tam giác ABC thì đẳng thức nào sau đây đúng. AB AC AB AC A. AG . B. AG . 2 3 3(AB AC) 2(AB AC) C. AG . D. AG . 2 3 Lời giải Chọn B. A G C B M Gọi M là trung điểm của BC nên ta có AB AC 2AM 3 3 AB AC Mà AM AG AB AC 2. AG 3AG AG . 2 2 3 Câu 12: Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạn AB . A. OA OB . B. OA OB . C. AO BO . D. OA OB 0 . Lời giải Chọn D. Điểm O là trung điểm của đoạn AB khi và chỉ khi OA OB; OA và ngược hướng. Vậy OA OB 0 . Câu 13: Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ bên: A. 3AI AB 0 . B. 3IA IB 0 . C. BI 3BA 0 . D. AI 3AB 0 . 4
- I B A Lời giải Chọn A. Ta có AB 3AI; AI và AB ngược hướng nên AB 3AI 3AI AB 0 Vậy 3AI AB 0 . Câu 14: Cho tam giác ABC có trung tuyến BM và trọng tâmG . Khi đó BG 1 1 1 A. BA BC . B. BA BC . C. BA BC . D. BA BC . 2 3 3 Lời giải Chọn D. A M G B C Ta có 2 2 1 1 BG BM BA BC BA BC . 3 3 2 3 Câu 15: Gọi CM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của CM . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. DA DB 2DC 0 . B. DA DC 2DB 0 . C. DA DB 2CD 0 . D. DC DB 2DA 0 . Lời giải A M D B C Chọn A. Ta có DA DB 2DC 2DM 2DC 2 DM DC 2.0 0 . Câu 16: Cho đoạn thẳng AB và điểm I thỏa mãn IB 3IA 0 . Hình nào sau đây mô tả đúng giả thiết này? A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4. 5
- Lời giải Chọn D. Ta có IB 3IA 0 IB 3IA . Do đó IB 3.IA ; IA và IB ngược hướng. Chọn Hình 4. Câu 17: Cho tam giác ABC có D, M lần lượt là trung điểm của AC,BD . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. MA MC 2MB 0 . B. MA MB MC MD 0 . C. MC MA MB 0 . D. MC MA 2BM 0 . Lời giải Chọn A. A D M B C Ta có MA MC 2MB 2MD 2MB 2 MD MB 2.0 0 . Câu 18: Cho vectơ b 0, a 2b , c a b . Khẳng định nào sau đây sai? A. Hai vectơ b và c bằng nhau. B. Hai vectơ b và c ngược hướng. C. Hai vectơ b và c cùng phương. D. Hai vectơ b và c đối nhau. Lời giải Chọn A. Ta có a 2b c a b 2b b b . Vậy hai vectơ b và c đối nhau. Câu 19: Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức sai? A. OB OD 2OB . B. AC 2AO . C. CB CD CA. D. DB 2BO . Lời giải A D O B C Chọn D. Ta có DB 2OB . ChọnD. Câu 20: Cho hình vuông ABCD cạnh a 2 . Tính S 2AD DB ? A. A 2a . B. A a . C. A a 3 . D. A a 2 . Lời giải 6
- A D B C Chọn A. Ta có S 2AD DB AD AD DB AD AB AC a 2. 2 2a . Câu 21: Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ bên: A. 2AI 3AB 0. B. 3BI 2BA 0 . C. 2IA 3IB 0 . D. 2BI 3BA 0 . I A B Lời giải Chọn D. 2 2 Ta có BA BI; BI và BA ngược hướng nên BA BI 3 3 2 BA BI 2BI 3BA 0 3 Vậy 2BI 3BA 0 . Câu 22: Cho tam giác ABC và Ithỏa IA 3IB . Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng? 1 1 A. CI CA 3CB . B. CI 3CB CA . C. CI CA 3CB . D. CI 3CB CA 2 2 Lời giải Chọn B. 1 Ta có IA 3IB CA CI 3 CB CI 2CI 3CB CA CI 3CB CA . 2 Câu 23: Phát biểu nào là sai? A. Nếu AB AC thì AB AC . B. AB CD thì A, B,C, D thẳng hàng. C. Nếu 3AB 7AC 0 thì A, B,C thẳng hàng. D. AB CD DC BA . Lời giải Chọn B. AB / /CD AB CD thì . Nên Đáp án B SAI. AB CD Câu 24: Cho hai tam giác ABC và A B C lần lượt có trọng tâm là G và G . Đẳng thức nào sau đây là sai? A. 3GG ' AA' BB ' CC ' . B. 3GG ' AB ' BC ' CA' . C. 3GG ' AC ' BA' CB ' . D. 3GG ' A' A B ' B C 'C . Lời giải Chọn D. Do G và G lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A B C nên AG BG CG 0 và A'G ' B 'G ' C 'G ' 0 7
- A. AA' BB ' CC ' AG BG CG GA GB GC 0 3GG ' . B. AB ' BC ' CA' AG BG CG GA GB GC 0 3GG ' . C. AC ' BA' CB ' AG BG CG GA GB GC 0 3GG ' . D. A' A B ' B C 'C A'G ' B 'G ' C 'G ' G ' A G ' B G 'C 0 3G 'G (SAI). Câu 25: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương? 1 1 A. 3a b và a 6b . B. a b và 2a b . 2 2 1 1 1 C. a b và a b . D. a b và a 2b . 2 2 2 Lời giải Chọn C. 1 1 Ta có a b a b nênchọn Đáp ánC. 2 2 Câu 26: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương? 1 3 3 A. u 2a 3b và v a 3b . B. u a 3b và v 2a b . 2 5 5 2 3 1 1 C. u a 3b và v 2a 9b . D. u 2a b và v a b . 3 2 3 4 Lời giải Chọn D. 1 1 1 3 1 Ta có v a b 2a b u . 3 4 6 2 6 Hai vectơ u và v là cùng phương. Câu 27: Biết rằng hai vec tơ a và b không cùng phương nhưng hai vec tơ 2a 3b và a x 1 b cùng phương. Khi đó giá trị của x là: 1 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C. 1 x 1 1 Ta có 2a 3b và a x 1 b cùng phương nên có tỉ lệ: x . 2 3 2 Câu 28: Cho tam giác ABC , có trọng tâm G . Gọi A1, B1,C1 lần lượt là trung điểm của BC,CA, AB . Chọn khẳng định sai? A. GA1 GB1 GC1 0 . B. AG BG CG 0 . C. AA1 BB1 CC1 0 . D. GC 2GC1 . 8
- A C1 B1 G B C A1 Lời giải Chọn D. Ta cóGC 2GC1 nên GC 2GC1 sai. Chọn D. Câu 29: NếuG là trọng tâm tam giác ABC thì đẳng thức nào sau đây đúng? 3(AB AC) AB AC 2(AB AC) AB AC A. AG . B. AG . C. AG . D. AG . 2 3 3 2 Lời giải Chọn B. Gọi M là trung điểm BC . 2 2 1 AB AC Ta có AG AM . AB AC AG . 3 3 2 3 Câu 30: Cho a, b không cùng phương, x 2 a b . Vectơ cùng hướng với x là: 1 A. 2 a b . B. a b . C. 4 a 2 b . D. a b . 2 Lời giải Chọn B. 1 1 1 Ta có a b 2 a b x . ChọnB. 2 2 2 Câu 31: Cho hình bình hành ABCD , điểm M thoả mãn: MA MC AB . Khi đó M là trung điểm của: A. AB . B. BC . C. AD . D. CD . Lời giải Chọn C. A D I B C Ta có MA MC 2MI AB . Vậy M là trung điểm của AD . Câu 32: Cho tam giác ABC , tập hợp các điểm M sao cho MA MB MC 6 là: A.một đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC . B.đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng 6 . C.đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng 2 . D.đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng 18 . 9
- Lời giải Chọn C. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , ta có MA MB MC 3MG . Thay vào ta được : MA MB MC 6 3MG 6 MG 2 , hay tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng 2 . Câu 33: Cho tam giác ABC , điểm I thoả mãn: 5MA 2MB . Nếu IA mIM nIB thì cặp số m;n bằng: 3 2 2 3 3 2 3 2 A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . 5 5 5 5 5 5 5 5 Lời giải Chọn A. Ta có 3 2 5MA 2MB 5 MI IA 2 MI IB 5IA 3IM 2IB IA IM IB . 5 5 Câu 34: Xét các phát biểu sau: (1) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là BA 2AC (2) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là CB CA (3) Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của đoạn PQ là PQ 2PM Trong các câu trên, thì: A. Câu (1) và câu (3) là đúng. B. Câu (1) là sai. C. Chỉ có câu (3) sai. D. Không có câu nào sai. Lời giải Chọn A. Ta có (1) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là BA 2AC (3) Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của đoạn PQ là PQ 2PM Phát biểu sai: (2) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là CB CA Do đó câu (1) và câu (3) là đúng. Câu 35: Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho MB 3MA . Khi đó, biễu diễn AM theo AB và AC là: 1 1 3 A. AM AB 3AC . B. AM AB AC . 4 4 4 1 1 1 1 C. AM AB AC . D. AM AB AC . 4 6 2 6 Lời giải Chọn B. A C B M 10
- 3 3 1 3 Ta có AM AB BM AB BC AB BA AC AB AC . 4 4 4 4 Câu 36: Cho tam giác ABC có M thuộc cạnh BC sao cho CM 2MB và I là trung điểm của AB . Đẳng thức nào sau đây đúng? 1 1 1 1 A. IM AB AC . B. IM AB AC . 6 3 6 3 1 1 1 1 C. IM AB AC . D. IM AB AC . 3 3 3 6 Lời giải Chọn A. A I C B M Ta có 1 1 1 1 1 1 IM IB BM AB BC AB AC AB AB AC . 2 3 2 3 6 3 Câu 37: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương? 1 1 1 A. a b và a 2b . B. a b và a b . 2 2 2 1 1 1 1 D. a 2b và a b . D. 3a b và a 100b . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A. 1 1 Ta có a b a 2b nên chọn.A. 2 2 Câu 38: Cho tam giác ABC có N thuộc cạnh BC sao cho BN 2NC . Đẳng thức nào sau đây đúng? 2 1 1 2 A. AN AB AC . B. AN AB AC . 3 3 3 3 1 2 1 2 C. AN AB AC . D. AN AB AC 3 3 3 3 Lời giải Chọn D. A C B N Ta có 11
- 2 2 2 2 1 2 AN AB BN AB BC AB BA AC AB AB AC AB AC . 3 3 3 3 3 3 Câu 39: Cho hai điểm cố định A, B ; gọi I là trung điểm AB . Tập hợp các điểm M thoả: MA MB MA MB là: A. Đường tròn đường kính AB . B. Trung trực của AB . C. Đường tròn tâm I , bán kính AB . D. Nửa đường tròn đường kính AB . Lời giải Chọn A. BA Ta có MA MB MA MB 2MI BA 2MI BA MI 2 Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AB . Câu 40: Tam giác ABC vuông tại A, AB AC 2 . Độ dài vectơ 4AB AC bằng: A. 17 . B. 2 15 . C. 5. D. 2 17 . Lời giải C B B' A C' D Chọn D. Vẽ AB ' 4AB; AC ' AC . Vẽ hình bình hành AC DB Ta có: 4AB AC AB AC AD AD Do đó AD AB 2 AC 2 82 22 2 17 . Câu 41: Cho tam giác ABC có M thuộc cạnh AB sao cho AM 3MB .Đẳng thức nào sau đây đúng? 1 3 7 3 A. CM CA CB . B. CM CA CB . 4 4 4 4 1 3 1 3 C. CM CA CB . D. CM CA CB 2 4 4 4 Lời giải C B A M Chọn A. 3 3 1 3 Ta có CM CA AM CA AB CA AC CB CA CB . 4 4 4 4 Câu 42: Cho tam giác ABC có N thuộc cạnh BC sao cho BN 2NC và I là trung điểm của AB . Đẳng thức nào sau đây đúng? 12
- 1 2 1 2 A. NI AB AC . B. NI AB AC . 6 3 6 3 2 1 2 1 C. NI AB AC . D. NI AB AC . 3 3 3 6 Lời giải A I C B N Chọn B. 1 2 1 2 1 2 Ta có NI BI BN AB BC AB AC AB AB AC . 2 3 2 3 6 3 Câu 43: Cho tam giác ABC có I, D lần lượt là trung điểm AB, CI , điểm N thuộc cạnh BC sao cho BN 2NC . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. AN DN . B. AN 2ND . C. AN 3DN . D. AD 4DN . Lời giải Chọn D. Gọi K là trung điểm BN. Xét CKI ta có A DN / /IK 1 1 DN IK (1) DN IK 2 2 I Xét ABN ta có AN / /IK D AN 2IK (2) 1 C AN IK B K N 2 Từ (1) và (2) suy ra AN 2IK 2.2 DN 4 DN . Câu 44: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM ,gọi I là trung điểm AM .Đẳng thức nào sau đây đúng? A. 2IA IB IC 0. B. IA IB IC 0 . C. 2IA IB IC 4IA . D. IB IC IA. A I C B M Lời giải Chọn A. Ta có 2IA IB IC 2IA 2IM 2 IA IM 2.0 0 . Câu 45: Cho tam giác ABC , có bao nhiêu điểm M thỏa MA MB MC 5? 13
- A. 1. B. 2 . C. vô số. D. Không có điểm nào. Lời giải Chọn C. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , ta có MA MB MC 3MG . 5 Thay vào ta được : MA MB MC 5 3MG 5 MG , hay tập hợp các điểm M là 3 5 đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng . 3 Câu 46: Cho tam giác ABC có I, D lần lượt là trung điểm AB, CI . Đẳng thức nào sau đây đúng? 1 3 3 1 A. BD AB AC . B. BD AB AC . 2 4 4 2 1 3 C. BD AB AC . D. 4 2 3 1 BD AB AC . 4 2 Lời giải Chọn B. A I D B C 1 1 1 1 BD BI ID AB IC AB IA AC 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 AB IA AC AB AB AC AB AC . 2 2 2 2 4 2 4 2 Câu 47: Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB 4MC . Khi đó 4 1 4 A. AM AB AC . B. AM AB AC . 5 5 5 4 1 1 4 C. AM AB AC . D. AM AB AC . 5 5 5 5 Lời giải A C B M Chọn D. 4 4 1 4 AM AB BM AB BC AB BA AC AB AC . 5 5 5 5 Câu 48: Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD . Mệnh đề nào sau đây đúng? 14
- A. AC BD BC AD 4MN . B. 4MN BC AD . C. 4MN AC BD . D. MN AC BD BC AD . D A N M B C Lời giải Chọn A. Do M là trung điểm các cạnh AB nên MB MA 0 Do N lần lượt là trung điểm các cạnh DC nên 2MN MC MD Ta có 2MN MC MD MB BC MA AD AD BC MA MB AD BC . Mặt khác AC BD AC BC CD BC AC CD BC AD Do đó AC BD BC AD 4MN . Câu 49: Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC của tứ giác ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai? A. AC DB 2MN . B. AC BD 2MN . C. AB DC 2MN . D. MB MC 2MN . Lời giải Chọn B. B A N M D C Do M là trung điểm các cạnh AD nên MD MA 0 Do N lần lượt là trung điểm các cạnh BC nên 2MN MC MB . Nên D đúng. Ta có 2MN MC MB MD DC MA AB AB DC MD MA AB DC . Vậy AB DC 2MN . Nên C đúng Mà AB DC AC CB DC AC DB 2MN . Nên A đúng. Vậy B sai. Câu 50: Gọi AN, CM là các trung tuyến của tam giác ABC . Đẳng thức nào sau đây đúng? 2 2 4 2 A. AB AN CM . B. AB AN CM . 3 3 3 3 15
- 4 4 4 2 C. AB AN CM . D. AB AN CM . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D. A M C B N 1 1 1 Ta có AN AB AC AB AC 2 2 2 1 1 1 CM CA AM CM CA AM 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 Suy ra AN CM AB AC CA AM AB AC AC AB AB 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 Do đó AB AN CM . 3 3 16