Chuyên đề Toán Lớp 10 - Bài 4: Hệ trục tọa độ - Đặng Việt Đông

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 10 - Bài 4: Hệ trục tọa độ - Đặng Việt Đông

1. BÀI 4: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ I – LÝ THUYẾT 1. Trục và độ dài đại số trên trục a)Định nghĩa • Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e. • Điểm O gọi là gốc tọa độ. • Hướng của vecto đơn vị là hướng của trục. • Ta kí hiệu trục đó là O;e . r O e M  b) Cho M là một điểm tùy ý trên trục O;e . Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM k e. Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.  c) Cho hai điểm A và B trên trục O;e . Khi đó có duy nhất số a sao cho AB a e. Ta gọi số a là độ dài  đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu a AB. Nhận xét.  uuur · Nếu AB cùng hướng với e thì AB AB, còn nếu AB ngược hướng với e thì AB AB. · Nếu hai điểm A và B trên trục O;e có tọa độ lần lượt là a và b thì AB b a. 2. Hệ trục tọa độ a) Định nghĩa. Hệ trục tọa độ O;i , j gồm hai trục O;i và O; j vuông góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục O;i được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục O; j r r được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ i và j là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và i j 1. Hệ trục tọa độ O;i , j còn được kí hiệu là Oxy. y r 1 j x r O i O 1 Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy. b) Tọa độ của vectơ  Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý. Vẽ OA u và gọi A , A lần lượt là hình chiếu của    1 2 vuông góc của A lên Ox và Oy. Ta có OA OA1 OA2 và cặp số duy nhất x; y để   r r r OA1 x i , OA2 y j. Như vậy u = x i + y j. r Cặp số (x; y) duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ u đối với hệ tọa độ Oxy và viết u x; y hoặc u x; y . Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ u. Như vậy r u u x; y u x i y j A A Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng 2 r r nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng j u r 1 O i A1
2. nhau.   x x Nếu u x; y và u x ; y thì u u . y y Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó. c) Tọa độ của một điểm  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ OM đối với hệ trục Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó.  Như vậy, cặp số x; y là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM x; y . Khi đó ta viết M x; y hoặc M x; y . Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm M . Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là xM , tung độ của điểm M còn được kí hiệu là yM .  M x; y OM x i y j M (x; y) M 2 r j r O i M1 Chú ý rằng, nếu MM1  Ox, MM 2  Oy thì x OM1 , y OM 2 . d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng Cho hai điểm A xA ; yA và B(xB ; yB ). Ta có uuur AB = (xB - x A ; yB - yA ). 3. Tọa độ của các vectơ u v, u v, k u Ta có các công thức sau: Cho u u1;u2 , v v1;v2 Khi đó: • u v u1 u2 ;v1 v2 ; • u v u1 u2 ;v1 v2 ; • k u k u1;k u2 , k ¡ . r r r r Nhận xét. Hai vectơ u = (u1;u2 ), v = (v1;v2 ) với v ¹ 0 cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho u1 = k v1 và u2 = k v2 . 4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác a) Cho đoạn thẳng AB có A(x A ; yA ), B(xB ; yB ). Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm I (xI ; yI ) của đoạn thẳng AB là x x y y x A B , y A B . I 2 I 2 b) Cho tam giác ABC có A xA ; yA , B xB ; yB , C xC ; yC . Khi đó tọa độ của trọng tâm G xG ; yG của tam giác ABC được tính theo công thức 2
3. x x x y y y x A B C , y A B C . G 3 G 3 II – DẠNG TOÁN  1. Dạng 1: Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và chứng minh hệ thức liên quan trên trục O;i ❖ Phương pháp giải. Sử dụng các kiến thức cơ bản sau:  • Trên trục O,i , điểm M có tọa độ a OM a.i  • Trên trục O,i , vecto u có tọa độ a OM a.i   • Vectơ AB có độ dài đại số là m AB AB mi • Nếu a,b lần lượt là tọa độ của A,B thì AB b a x x • Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là: x A B I 2 • Các tính chất: + AB  B A + AB CD AB CD  + A;B;C ( O ; i ) : AB BC AC A. VÍ DỤ MINH HỌA  Ví dụ 1: Trên trục tọa độ O;i cho 2 điểm A,B có tọa độ lần lượt là 2;1. Tọa độ của vecto AB là: A. 3 .B. 3 . C.1. D. 1. Lời giải Chọn B.  Ta có: AB 1 2 3 AB 3i. Ví dụ 2: Trên trục tọa độ O;i cho 2 điểm A,B có tọa độ lần lượt3 và 5 . Tọa độ trung điểm I của AB là : A. 4. B. 4 . C. 1. D. 1. Lời giải Chọn D. 3 ( 5 ) Tọa độ điểm I là: x 1. I 2 Ví dụ 3: Trên trục O;i cho 3 điểm A,B,C có tọa độ lần lượt là a;b;c . Tìm điểm I sao cho uur uur uur ur IA + IB + IC = 0 a b c a b c a b c a b c A. . B. . C. . D. . 2 3 3 3 Lời giải Chọn D. Gọi điểm I có tọa độ là x.   IA a x IA ( a x )i;   IB b x IB ( b x )i;   IC c x IC ( c x )i; 3
4.     IA IB IC 0 ( a b c 3x )i 0 a b c a b c 3x 0 x . 3 Ví dụ 4: Trên trục O;i , cho ba điểm A,B,C lần lượt có tọa độ là 5;2;4 . Tìm tọa độ điểm M thỏa    mãn 2MA 4MB 3MC 0 . 10 10 10 9 A. . B. . C. . D. . 3 3 9 10 Lời giải Chọn C. Gọi điểm M có tọa độ là x.   MA 5 x MA ( 5 x )i;   MB 2 x MB ( 2 x )i;   MC 4 x MC ( 4 x )i;    2MA 4MB 3MC 0 10 2x i 8 4x i 12 3x i 0 10 10 9x 0 x . 9 B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Trên trục O;i , cho ba điểm A,B lần lượt có tọa độ là 2; 6 . Tìm tọa độ điểm I sao cho   IA 3IB . A. 4 . B. 4. C.5. D. 10.  Câu 2: Trên trục O;i , cho ba điểm M ,N lần lượt có tọa độ là 2;3 . Độ dài đại số của MN là: A. 5. B. 5. C. 1. D. 1.  2. DẠNG 2: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ trên mặt phẳng Oxy . ❖ Phương pháp giải. • Để tìm tọa độ của vectơ a ta làm như sau  Dựng vectơ OM a . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên Ox, Oy . Khi đó a a1;a2 với a1 OH , a2 OK uuur • Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ OA uuur • Nếu biết tọa độ hai điểm A( x ; y ), B( x ; y ) suy ra tọa độ AB được xác định theo công  A A B B thức AB xB xA ; yB yA Chú ý:OH OH nếu H nằm trên tia Ox (hoặc Oy ) và OH = - OH nếu H nằm trên tia đối tia Ox (hoặc Oy ). A. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho điểm M x; y . Tìm tọa độ của các điểm M 1 đối xứng với M qua trục hoành? A. M1 x; y .B. M1 x; y . C. M1 x; y .D. M1 x; y . Lời giải Chọn A. M 1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1 x; y . 4
5. Ví dụ 2:Vectơ a 4;0 được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào? A. a 4i j . B. a i 4 j . C. a 4 j . D. a 4i . Lời giải Chọn D Ta có: a 4;0 a 4i 0 j 4i . Ví dụ 3:Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hai vectơ u 2; 1 và v 1;2 đối nhau. B. Hai vectơ u 2; 1 và v 2; 1 đối nhau. C. Hai vectơ u 2; 1 và v 2;1 đối nhau. D. Hai vectơ u 2; 1 và v 2;1 đối nhau. Lời giải Chọn C Ta có: u 2; 1 2;1 v u và v đối nhau. Ví dụ 4:Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD tâm I và có A(1;3) . Biết điểm B thuộc trục   Ox và BC cùng hướng với i . Tìm tọa độ các vectơ AC ? A. 3;3 .B. 3;3 .C. 3; 3 .D. 3;0 . Lời giải Chọn C. y Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt A D phẳng tọa độ Oxy như hình vẽ bên. Vì điểm A(1;3) suy ra AB 3, OB 1 Do đó B 1;0 , C 4;0 , D 4;3 O  Vậy AC 3; 3 . O B C x Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho hình thoi ABCD cạnh a · 0 và BAD 60 . Biết A trùng với gốc tọa độ O; C thuộc trục Ox và xB 0, yB 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B và C của hình thoi ABCD . a 3 a a 3 a A. B ; , C a 3;0 . B. B ; , C a 3;0 . 2 2 2 2 a 3 a a a 3 a a C. B ; , C a 3; .D. B ; , C a 3; . 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn A. y Từ giả thiết ta xác định được hình thoi trên mặt phẳng tọa độ B Oxy a Gọi I là tâm hình thoi ta có BI AB sin B· AI a sin300 C 2 A I x a2 a 3 AI AB2 BI 2 a2 4 2 D a 3 a a 3 a Suy ra A 0;0 , B ; , C a 3;0 , D ; . 2 2 2 2 5
6. B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho điểm M 2; 3 . Tìm tọa độ của các điểm M 1 đối xứng với M qua trục tung? A. M 3;2 .B. M 2;3 .C. M 2; 3 .D. M 2;3 . Câu 4: Trong hệ trục tọa độ O,i, j , cho tam giác đều ABC cạnh a , biết O là trung điểm BC , i   cùng hướng với OC , j cùng hướng OA . Tìm tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC . æ a 3 ÷ö æ a ö æa ö Aç0; ÷, B ç- ;0÷, C ç ;0÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç2 ø÷ Câu 5: Trong hệ trục tọa độ O,i, j , cho tam giác đều ABC cạnh a , biết O là trung điểm BC , i   cùng hướng với OC , j cùng hướng OA . Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Lời giải a 3 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm G 0; 6  Câu 6: Trong hệ trục tọa độ O,i, j , cho hình thoi ABCD tâm O có AC 8, BD 6 . Biết OC và i  cùng hướng, OB và j cùng hướng. Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC Lời giải A(- 4;0), C (4;0), B (0;3), D (0;- 3)Þ G (0;1). Câu 7: Cho hình bình hành ABCD có AD 4 và chiều cao ứng với cạnh AD 3, B· AD 600 . Chọn  hệ trục tọa độ A;i, j sao cho i và AD cùng hướng, yB 0 . Tìm tọa độ các vecto     AB, BC , CD và AC Câu 8: Cho lục giác đều ABCDEF . Chọn hệ trục tọa độ O,i, j , trong đó O là tâm lục giác đều , i   cùng hướng với OD , j cùng hướng EC . Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục giác là 6 . Lời giải ĐS: A(- 6;0), D (6;0), B (- 3;3 3), C (3;3 3), F (- 3;- 3 3), E (3;- 3 3) C. ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN D. HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN  DẠNG 3: Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạng u v, u v, k u ❖ Phương pháp. • Dùng công thức tính tọa độ của vectơu v, u v, k u  • Với u ( x; y ) ;u' ( x'; y') và số thực k , khi đó u v ( x x'; y y') và k.u ( kx;ky ) A. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1:Trong hệ trục O;i; j , tọa độ của vec tơ i j là: A. 1;1 . B. 1;0 . C. 0;1 . D. 1;1 . Lời giải Chọn D. Ta có: i j 1;0 0;1 1;1 . 6
7. Ví dụ 2: Cho u 3; 2 , v 1;6 . Khẳng định nào sau đây là đúng? r r A.u+ v và a 4;4 ngược hướng.B. u, v cùng phương. C.u v và b 6; 24 cùng hướng. D. 2u v, v cùng phương. Lời giải Chọn C. Ta có u v 4;4 và u v 2; 8 . 4 4 Xét tỉ số  u v và a 4;4 không cùng phương. Loại A 4 4 3 2 Xét tỉ số  u, v không cùng phương. Loại B 1 6 2 8 1 Xét tỉ số 0  u v và b 6; 24 cùng hướng. 6 24 3   Ví dụ 3:Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A 1;3 , B 4;0 . Tọa độ điểm M thỏa 3AM AB 0 là A. M 4;0 . B. M 5;3 . C. M 0;4 . D. M 0; 4 . Lời giải Chọn C.   3 xM 1 4 1 0 xM 0 Ta có: 3AM AB 0 M 0;4 . y 4 3 yM 3 0 3 0 M Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A 3;3 , B 1;4 ,C 2; 5 . Tọa độ điểm M thỏa mãn    2MA BC 4CM là: 1 5 1 5 1 5 5 1 A. M ; . B. M ; . C. M ; . D. M ; . 6 6 6 6 6 6 6 6 Lời giải Chọn C. 1    xM 2 3 xM 2 1 4 xM 2 6 1 5 Ta có: 2MA BC 4CM M ; . 2 3 y 5 4 4 y 5 5 6 6 M M y M 6 B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 9: Cho a x;2 ,b 5;1 ,c x;7 . Vec tơ c 2a 3b nếu: A. x 3. B. x 15. C. x 15. D. x 5. Câu 10: Cho a (0,1) ,b ( 1;2) , c ( 3; 2) .Tọa độ củau 3a 2b 4c : A. 10; 15 . B. 15;10 . C. 10;15 . D. 10;15 . Câu 11: Cho a 3i 4 j và b i j . Tìm phát biểu sai:   A. a 5. B. b 0 . C. a b 2; 3 . D. b 2 .   Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A 1;3 , B 4;0 . Tọa độ điểm M thỏa 3AM AB 0 là A. M 4;0 . B. M 5;3 . C. M 0;4 . D. M 0; 4 .   Câu 13: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;2 , B 2;3 . Tìm tọa độ đỉểm I sao cho IA 2IB 0. 7
8. 2 8 A. I 1;2 .B. I 1; .C. I 1; . D. I 2; 2 . 5 3   Câu 14: Cho hai điểm A 1;0 và B 0; 2 .Tọa độ điểm D sao cho AD 3AB là: A. 4; 6 . B. 2;0 . C. 0;4 . D. 4;6 . Câu 15: Cho a 5;0 ,b 4; x . Haivec tơ a và b cùng phương nếu số x là: A. 5 . B. 4 . C. 1. D. 0 .  DẠNG 4: Xác định tọa độ các điểm của một hình. ❖ Phương pháp. Dựa vào tính chất của hình và sử dụng công thức x x y y + M là trung điểm đoạn thẳng AB suy ra x A B , y A B M 2 M 2 x x x y y y + G trọng tâm tam giác ABC suy ra x A B C , y A B C G 3 G 2  x x' + u x; y u' x'; y' y y' A. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1 :Trong hệ tọa độ Oxy,cho tam giác ABC có A 3;5 , B 1;2 , C 5;2 .Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ? 9 9 A. G 3; 3 . B. G ; . C. G 9;9 . D. G 3;3 . 2 2 Lời giải Chọn D. 3 1 5 x 3 G 3 Ta có  G 3;3 . 5 2 2 y 3 G 3 Ví dụ 2: Trong hệ tọa độ Oxy,cho tam giác ABC có A 2;2 , B 3;5 và trọng tâm là gốc tọa độ O 0;0 . Tìm tọa độ đỉnh C ? A. C 1; 7 . B. C 2; 2 . C. C 3; 5 . D. C 1;7 . Lời giải Chọn A. Gọi C (x; y). 2 3 x 0 3 x 1 Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên . 2 5 y y 7 0 3 Ví dụ 3: Cho M 2;0 , N 2;2 , P 1;3 lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA, AB của ABC . Tọa độ B là: A. 1;1 . B. 1; 1 . C. 1;1 . D. 1; 1 . Lời giải Chọn C 8
9. A P N B M C xB xN xP xM xB 2 2 ( 1) xB 1 Ta có: BPNM là hình bình hành nên . yB yN yP yM yB 2 0 3 yB 1 Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M 1; 1 , N 5; 3 và P thuộc trục Oy , trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox .Toạ độ của điểm P là A. 0;4 . B. 2;0 . C. 2;4 . D. 0;2 . Lời giải Chọn A. Ta có: P thuộc trục Oy P 0; y , G nằm trên trục Ox G x;0 1 5 0 x 3 x 2 G là trọng tâm tam giác MNP nên ta có: ( 1) ( 3) y y 4 0 3 Vậy P 0;4 . Ví dụ 5:Cho tam giác ABC với AB 5 và AC 1. Tính toạ độ điểm D là của chân đường phân giác trong góc A , biết B( 7; 2 ),C(1;4 ). 1 11 11 1 A. ; . B. 2;3 . C. 2;0 . D. ; . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B. A C B D DB AB   Theo tính chất đường phân giác: 5 DB 5DC DB 5DC. DC AC   Gọi D x; y DB 7 x; 2 y ;DC 1 x;4 y . 7 x 5 1 x x 2 Suy ra: . 2 y 5 4 y y 3 Vậy D( 2;3). Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A 3; 1 , B 1;2 và I 1; 1 . Xác định tọa độ các điểm C , D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành biết I là trọng tâm tam giác ABC . Tìm tọa tâm O của hình bình hành ABCD . 9
10. 7 5 5 5 A.O 3; B.O 2; C.O 2; D.O 2; 2 2 2 2 Lời giải Chọn B. Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên x x x x A B C x 3x x x 1 I 3 C I A B y y y y A B C y 3y y y 4 I 2 C I A B Suy ra C 1; 4 Tứ giác ABCD là hình bình hành suy ra   1 3 1 xD xD 5 AB DC D( 5; 7 ) 2 1 4 yD yD 7 Điểm O của hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm AC do đó xA xC yA yC 5 5 xO 2, yO O 2; 2 2 2 2 B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 16: Cho hai điểm A 1;0 và B 0; 2 . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: 1 1 1 A. ; 1 . B. 1; . C. ; 2 . D. 1; 1 . 2 2 2 Câu 17: Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O, hai đỉnh A và B có tọa độ là A 2;2 ; B 3;5 . Tọa độ của đỉnh C là: A. 1;7 . B. 1; 7 . C. 3; 5 . D. 2; 2 . Câu 18: Tam giác ABC có C 2; 4 , trọng tâm G 0;4 , trung điểm cạnh BC là M 2;0 . Tọa độ A và B là: A. A 4;12 , B 4;6 . B. A 4; 12 , B 6;4 . C. A 4;12 , B 6;4 . D. A 4; 12 , B 6;4 . Câu 19: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C 2; 4 , trọng tâm G 0;4 và trung điểm cạnh BC là M 2;0 . Tổng hoành độ của điểm A và B là A. - 2. B. 2. C. 4. D. 8. Câu 20: Trong mặt phẳng Oxy , cho B 5; 4 ,C 3;7 . Tọa độ của điểm E đối xứng với C qua B là A. E 1;18 . B. E 7;15 . C. E 7; 1 . D. E 7; 15 . Câu 21: Trong mặt phẳng Oxy , cho A 2;4 , B 1;4 , C 5;1 . Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành là: A. D 8;1 . B. D 6;7 . C. D 2;1 . D. D 8;1 . Câu 22: Trong mặt phẳng Oxy , gọi B ', B '' và B ''' lần lượt là điểm đối xứng của B 2;7 qua trục Ox , Oy và qua gốc tọa độ O. Tọa độ của các điểm B ', B '' và B ''' là: A. B ' 2; 7 , B" 2;7 và B"' 2; 7 . B. B ' 7;2 , B" 2;7 và B"' 2; 7 . C. B ' 2; 7 , B" 2;7 và B"' 7; 2 . D. B ' 2; 7 , B" 7;2 và B"' 2; 7 . 10
11. Câu 23: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A 0;3 , D 2;1 và I 1;0 là tâm của hình chữ nhật. Tìm tọa độ trung điểm của cạnh BC. A. 1;2 .B. 2; 3 .C. 3; 2 . D. 4; 1 .  DẠNG 5: Bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ. Phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương. ❖ Phương pháp.   r • Cho u ( x; y ) ;u' ( x'; y') . Vectơ u' cùng phương với vectơ u u 0 khi và chỉ khi có số k x' kx sao cho y' ky  x' y' Chú ý: Nếu xy 0 ta có u' cùng phương u x y • Để phân tích c c1;c2 qua hai vectơ a a1;a2 , b b1;b2 không cùng phương, ta giả sử a1x b1 y c1 c xa yb . Khi đó ta quy về giải hệ phương trình a2 x b2 y c2 A. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho A 1;2 , B 2;6 . Điểm M trên trục Oy sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng thì tọa độ điểm M là: A. 0;10 . B. 0; 10 . C. 10;0 . D. 10;0 . Lời giải Chọn A. Ta có: M trên trục Oy M 0; y   Ba điểm A, B, M thẳng hàng khi AB cùng phương với AM    Ta có AB 3;4 , AM 1; y 2 . Do đó, AB cùng phương với  1 y 2 AM y 10 . Vậy M 0;10 . 3 4 Ví dụ 2: Cho các vectơ a 4; 2 ,b 1; 1 ,c 2;5 . Phân tích vectơ b theo hai vectơ a và c , ta được: 1 1 1 1 1 1 1 A. b a c . B. b a c . C. b a 4c . D. b a c . 8 4 8 4 2 8 4 Lời giải Chọn A. 1 m 1 4m 2n 8 1 1 Giả sử b ma nc . Vậy b a c . 1 2m 5n 1 8 4 n 4 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho A m 1; 1 , B 2;2 2m ,C m 3;3 . Tìm giá trị m để A, B,C là ba điểm thẳng hàng? A. m 2 . B. m 0 . C. m 3 . D. m 1. Lời giải Chọn B.   Ta có: AB 3 m;3 2m , AC 4;4 11
12.   Ba điểm A, B,C thẳng hàng khi và chỉ khi AB cùng phương với AC 3 m 3 2m m 0 . 4 4 Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A( 6;3), B( 3;6 ), C(1; 2 ) . Xác định điểm D trên trục hoành sao cho ba điểm A, B, D thẳng hàng. 1 2 1 2 A. E 5; 10 .B. E ; C. E ; . D. E 5;10 . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B. uuur uuur Vì E thuộc đoạn BC và BE = 2EC suy ra BE = 2EC   Gọi E x; y khi đó BE x 3; y 6 , EC 1 x; 2 y 1 x x 3 2 1 x 3 Do đó y 6 2 2 y 2 y 3 1 2 Vậy E ; . 3 3 Ví dụ 5:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A 0;1 , B 1;3 , C 2;7 và D (0;3). Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD . 2 2 2 2 A. ;3 .B. ; 3 . C. 3; . D. 3; . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A.     Gọi I x; y là giao điểm AC và BD suy ra AI ; AC cùng phương và BI ; BD cùng phương Mặt khác   x y 1 AI ( x ; y 1 ), AC ( 2;6 ) suy ra 6x 2y 2 (1) 2 6   2 BI ( x 1; y 3), BD ( 1;0 ) suy ra y 3 thế vào (1) ta có x 3 2 Vậy I ;3 là điểm cần tìm. 3 B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 24: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng? A. Hai vec tơ u 4;2 và v 8;3 cùng phương. B. Hai vec tơ a 5;0 và b 4;0 cùng hướng. C. Hai vec tơ a 6;3 và b 2;1 ngượchướng.  D. Vec tơ c 7;3 là vec tơ đối của d 7;3 . Câu 25: Cho 4 điểm A 1; 2 , B 0;3 ,C 3;4 , D 1;8 . Ba điểm nào trong 4 điểm đã cho là thẳng hàng? A. A, B,C . B. B,C, D . C. A, B, D . D. A,C, D . Lời giải Chọn C 12
13.     Ta có: AD 2;10 , AB 1;5 AD 2AB 3 điểm A, B, D thẳng hàng. Câu 26: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A( 6;3), B( 3;6 ), C(1; 2 ) . Xác định điểm E trên cạnh BC sao cho BE 2EC . 1 2 1 2 2 1 2 1 A. E ; B. E ; C. E ; D. E ; 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 Câu 27: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A( 6;3), B ; , C(1; 2 ), D(15;0 ) . Xác định 3 3 giao điểm I hai đường thẳng BD và AC . 7 1 7 1 7 1 7 1 A. I ; B. I ; C. I ; D. I ; 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 28: Cho ba điểm A( 1; 1), B( 0;1), C( 3;0 ). Xác định tọa độ điểm D biết D thuộc đoạn thẳng BC và 2BD 5DC . 15 2 15 2 2 15 15 2 A. ; .B. ; C. ; D. ; 7 7 7 7 7 7 7 7 Câu 29: Cho tam giác ABC có A( 3;4 ), B( 2;1), C( 1; 2 ) . Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho SABC 3SABM . A. M1 0;1 , M 2 3;2 .B. M1 1;0 , M 2 3;2 . C. M1 1;0 , M 2 2;3 . D. M1 0;1 , M 2 2;3 . Câu 30: Cho hình bình hành ABCD có A(- 2;3) và tâm I (1;1). Biết điểm K (- 1;2) nằm trên đường thẳng AB và điểm D có hoành độ gấp đôi tung độ. Tìm các đỉnh B,D của hình bình hành. A. B 2;1 , D 0;1 .B. B 0;1 ; D( 4; 1). C. B 0;1 ; D 2;1 ,.D. B 2;1 , D 4; 1 . C. HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN uuur uuur Câu 26: Vì E thuộc đoạn BC và BE= 2EC suy ra BE = 2EC Gọi E x; y khi đó BE x 3; y 6 , EC 1 x; 2 y 1 x x 3 2 1 x 3 Do đó y 6 2 2 y 2 y 3 1 2 Vậy E ; 3 3 Câu 27: Gọi I x; y là giao điểm của BD và AC .   46 2 Do đó DI x 15; y ,DB ; cùng phương suy ra 3 3 3 x 15 3y x 23y 15 0 (1) 46 2   x 6 y 3 AI x 6; y 3 , AC 5; 5 cùng phương suy ra x y 3 0 (2) 5 5 7 1 Từ (1) và (2) suy ra x và y 2 2 13
14. 7 1 Vậy giao điểm hai đường thẳng BD và AC là I ; . 2 2     Câu 28: Ta có 2BD 5DC, BD xD ; yD 1 ,DC 3 xD ; yD 15 xD 2xD 5 3 xD 7 15 2 Do đó D ; . 2 y 1 5 y 2 7 7 D D y D 7   Câu 29: Ta có S 3S BC 3BM BC 3BM ABC ABM  Gọi M x; y BM x 2; y 1 ; BC 3; 3 3 3 x 2 x 1 3 3 x 2 x 3 Suy ra hoặc 3 3 y 1 y 0 3 3 y 1 y 2 Vậy có hai điểm thỏa mãn M1 1;0 , M 2 3;2 . Câu 30: I là trung điểm AC nên C 4; 1 Gọi D 2a;a B 2 2a;2 a   AK 1; 1 , AB 4 2a; 1 a   4 2a 1 a Vì AK , AB cùng phương nên a 1 D 2;1 , B 0;1 1 1 III – ĐỀ KIỂM TRA CUỐI BÀI Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho A xA; yA và B xB ; yB . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: xA xB yA yB xA xB yA yB A. I ; . B. I ; . 2 2 2 2 xA xB yA yB xA yA xB yB C. I ; . D. I ; . 3 3 2 2 Lời giải Chọn B. xA xB   xI xI xA xB xI 2 Ta có: I là trung điểm của đoạn thẳng AB AI IB y y y y y y I A B I y A B I 2 xA xB yA yB Vậy I ; . 2 2 Câu 2: Cho các vectơ u u1;u2 , v v1;v2 . Điều kiện để vectơ u v là u1 u2 u1 v1 u1 v1 u1 v2 A. . B. . C. . D. . v1 v2 u2 v2 u2 v2 u2 v1 Lời giải Chọn C.  Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho A xA; yA và B xB ; yB . Tọa độ của vectơ AB là   A. AB yA xA; yB xB . B. AB xA xB ; yA yB .   C. AB xA xB ; yA yB . D. AB xB xA; yB yA . 14
15. Lời giải Chọn D.  Theo công thức tọa độ vectơ AB xB xA; yB yA . Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy , cho A xA; yA , B xB ; yB và C xC ; yC . Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: xA xB xC yA yB yC xA xB xC yA yB yC A. G ; . B. G ; . 3 3 3 2 xA xB xC yA yB yC xA xB xC yA yB yC C. G ; . D. G ; . 3 3 2 3 Lời giải Chọn C.     Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC OA OB OC 3OG với O là điểm bất kì. Chọn O chính là gốc tọa độ O. Khi đó, ta có: xA xB xC     xG xA xB xC 3xG 3 OA OB OC 3OG y y y 3y y y y A B C G y A B C G 3 xA xB xC yA yB yC G ; . 3 3  Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A 5;2 , B 10;8 . Tọa độ của vec tơ AB là: A. 2;4 . B. 5;6 . C. 15;10 . D. 50;6 . Lời giải Chọn B.  Ta có: AB 10 5;8 2 5;6 .   Câu 6: Cho hai điểm A 1;0 và B 0; 2 .Tọa độ điểm D sao cho AD 3AB là: A. 4; 6 . B. 2;0 . C. 0;4 . D. 4;6 . Lời giải Chọn D.   xD xA 3 xB xA xD 1 3 0 1 xD 4 Ta có: AD 3AB . y 6 yD yA 3 yB yA yD 0 3 2 0 D Câu 7: Cho a 1;2 ,b 5; 7 . Tọa độ của vec tơ a b là: A. 6; 9 . B. 4; 5 . C. 6;9 . D. 5; 14 . Lời giải Chọn C. Ta có: a b 1 5;2 7 6;9 .  Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 3, BC 4 . Độ dài của vec tơ AC là: A. 9. B. 5. C. 6. D. 7. Lời giải Chọn B.  Ta có: AC AC AB2 BC 2 32 42 5 . 15
16.  Câu 9: Cho hai điểm A 1;0 và B 0; 2 . Vec tơ đối của vectơ AB có tọa độ là: A. 1;2 . B. 1; 2 . C. 1;2 . D. 1; 2 . Lời giải Chọn B.   Ta có vectơ đối của AB là BA 0 1; 2 0 1; 2 . Câu 10: Cho a 3; 4 ,b 1;2 . Tọa độ của vec tơ a b là: A. 2; 2 . B. 4; 6 . C. 3; 8 . D. 4;6 . Lời giải Chọn A. Ta có: a b 3 ( 1);( 4) 2 2; 2 .    Câu 11: Cho A 0;3 , B 4;2 . Điểm D thỏa OD 2DA 2DB 0 , tọa độ D là: 5 A. 3;3 . B. 8; 2 . C. 8;2 . D. 2; . 2 Lời giải Chọn B.    xD 0 2 0 xD 2 4 xD 0 xD 8 Ta có: OD 2DA 2DB 0 . y 2 yD 0 2 3 yD 2 2 yD 0 D Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A 3; 2 , B 7;1 , C 0;1 , D 8; 5 . Khẳng định nào sau đây là đúng?     A. AB,CD đối nhau. B. AB,CD cùng phương nhưng ngược hướng.   C. AB,CD cùng phương cùng hướng. D. A, B, C, D thẳng hàng. Lời giải Chọn B.     Ta có: AB 4;3 ,CD 8; 6 CD 2AB . Câu 13: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A 1;3 , B 4;0 ,C 2; 5 . Tọa độ điểm M thỏa mãn    MA MB 3MC 0 là A. M 1;18 . B. M 1;18 . C. M 18;1 . D. M 1; 18 . Lời giải Chọn D.    1 xM 4 xM 3 2 xM 0 xM 1 Ta có: MA MB 3MC 0 . y 18 3 yM 0 yM 3 5 yM 0 M Câu 14: Trong mặt phẳng Oxy , cho A 2;0 , B 5; 4 , C 5;1 . Tọa độ điểm D để tứ giác BCAD là hình bình hành là: A. D 8; 5 . B. D 8;5 . C. D 8;5 . D. D 8; 5 . Lời giải Chọn D.   5 5 2 xD xD 8 Ta có: tứ giác BCAD là hình bình hành khi BC DA . 1 4 0 yD yD 5 16
17. Câu 15: Trong mặt phẳng Oxy , cho A 2;4 , B 1;4 , C 5;1 . Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành là: A. D 8;1 . B. D 6;7 . C. D 2;1 . D. D 8;1 . Lời giải Chọn C.   1 2 5 xD xD 2 Ta có: tứ giác ABCD là hình bình hành khi AB DC . 4 4 1 yD yD 1 Câu 16: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A 0;2 , B 1;4 . Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn   AM 2AB là: A. M 2; 2 . B. M 1; 4 . C. M 3;5 . D. M 0; 2 . Lời giải Chọn A.   xM 0 2 1 0 xM 2 Ta có: AM 2AB M 2; 2 . y 2 yM 2 2 4 2 M Câu 17: Cho a 4,1 vàb 3, 2 . Tọa độ c a 2b là: A. c 1; 3 . B. c 2;5 . C. c 7; 1 . D. c 10; 3 . Lời giải Chọn B. Ta có: c a 2b 4 2.( 3);1 2.( 2) 2;5 . Câu 18: Cho a (2016 2015;0), b (4; x) . Hai vectơ a,b cùng phương nếu A. x 504 . B. x 0 . C. x 504. D. x 2017 . Lời giải Chọn B. Ta có: a,b cùng phương a k.b x 0 . 7  Câu 19: Trong mặt phẳng Oxy , Cho A ; 3 ; B( 2;5) . Khi đó a 4AB ? 2 11 A. a 22; 32 . B. a 22;32 . C. a 22;32 . D. a ;8 . 2 Lời giải Chọn A.  7 Ta có: a 4AB 4 2 ;5 3 22; 32 . 2 Câu 20: Trong mặt phẳng Oxy , cho a (m 2;2n 1),b 3; 2 . Nếu a b thì 3 A. m 5,n 3 . B. m 5,n . C. m 5,n 2 . D. m 5,n 2. 2 Lời giải Chọn B. m 5 m 2 3 Ta có: a b 3 . 2n 1 2 n 2 17
18. Câu 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A(2; 1) . Điểm B là điểm đối xứng của A qua trục hoành. Tọa độ điểm B là: A. B(2;1) . B. B( 2; 1) . C. B(1;2) . D. B(1; 2) . Lời giải Chọn A. Ta có: B là điểm đối xứng của A qua trục hoành B 2;1 .  Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho a (2;1), b (3;4), c (7;2) . Cho biết c m.a n.b . Khi đó 22 3 1 3 22 3 22 3 A. m ;n . B. m ;n . C. m ;n . D. m ;n . 5 5 5 5 5 5 5 5 Lời giải Chọn C. 22 m 7 2m 3n 5 Ta có: c m.a n.b . 2 m 4n 3 n 5 Câu 23: Cho các vectơ a 4; 2 ,b 1; 1 ,c 2;5 . Phân tích vectơ b theo hai vectơ a và c , ta được: 1 1 1 1 1 1 1 A. b a c . B. b a c . C. b a 4c . D. b a c . 8 4 8 4 2 8 4 Lời giải Chọn A. 1 m 1 4m 2n 8 1 1 Giả sử b ma nc . Vậy b a c . 1 2m 5n 1 8 4 n 4 1  Câu 24: Cho a (x;2), b 5; , c x;7 . Vectơ c 4a 3b nếu 3 A. x 15. B. x 3. C. x 15. D. x 5. Lời giải Chọn D. x 4x 3.( 5)  Ta có: c 4a 3b 1 x 5. 7 4.2 3. 3 Câu 25: Trong mặt phẳng Oxy , cho A m 1; 1 , B 2;2 2m ,C m 3;3 . Tìm giá trị m để A, B,C là ba điểm thẳng hàng? A. m 2 . B. m 0 . C. m 3 . D. m 1. Lời giải Chọn B.   Ta có: AB 3 m;3 2m , AC 4;4   Ba điểm A, B,C thẳng hàng khi và chỉ khi AB cùng phương với AC 3 m 3 2m m 0 . 4 4 18
19. Câu 26: Cho hai điểm M 8; 1 , N 3;2 . Nếu P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N thì P có tọa độ là: 11 1 A. 2;5 . B. 13; 3 . C. 11; 1 . D. ; . 2 2 Lời giải Chọn A. Ta có: P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N nên N là trung điểm đoạn thẳng PM 8 xP 3 2 xP 2 Do đó, ta có: P 2;5 . ( 1) y y 5 2 P P 2 Câu 27: Cho tam giác ABC với A 3; 1 , B 4;2 ,C 4;3 . Tìm D để ABDC là hình bình hành? A. D 3;6 . B. D 3;6 . C. D 3; 6 . D. D 3; 6 . Lời giải Chọn B.   4 3 xD 4 xD 3 Ta có: ABDC là hình bình hành AB CD D 3;6 . 2 1 yD 3 yD 6 Câu 28: Cho K 1; 3 . Điểm A Ox, B Oy sao cho A là trung điểm KB . Tọa độ điểm B là: 1 A. 0;3 . B. ;0 . C. 0;2 . D. 4;2 . 3 Lời giải Chọn A. Ta có: A Ox, B Oy A x;0 , B 0; y 1 0 x 1 2 x A là trung điểm KB 2 .Vậy B 0;3 . 3 y 0 y 3 2 Câu 29: Cho tam giác ABC với A 3;1 , B 4;2 ,C 4; 3 . Tìm D để ABCD là hình bình hành? A. D 3;4 . B. D 3; 4 . C. D 3; 4 . D. D 3;4 . Lời giải Chọn B.   4 3 4 xD xD 3 Ta có: ABCD là hình bình hành AB DC D 3; 4 . 2 1 3 yD yD 4 Câu 30: Các điểm M 2;3 , N 0; 4 , P 1;6 lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA , AB của tam giác ABC . Tọa độ đỉnh A của tam giác là: A. 1; 10 . B. 1;5 . C. 3; 1 . D. 2; 7 . Lời giải Chọn C. 19
20. A P N B M C xA xM xP xN xA 2 0 ( 1) xA 3 Ta có: APMN là hình bình hành nên . yA yM yP yN yA 3 ( 4) 6 yA 1 Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M 1; 1 , N 5; 3 và P thuộc trục Oy ,trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox .Toạ độ của điểm P là A. 0;4 . B. 2;0 . C. 2;4 . D. 0;2 . Lời giải Chọn A. Ta có: P thuộc trục Oy P 0; y , G nằm trên trục Ox G x;0 1 5 0 x 3 x 2 G là trọng tâm tam giác MNP nên ta có: ( 1) ( 3) y y 4 0 3 Vậy P 0;4 .    Câu 32: Cho các điểm A 2;1 , B 4;0 ,C 2;3 . Tìm điểm M biết rằng CM 3AC 2AB A. M 2; 5 . B. M 5; 2 . C. M 5;2 . D. M 2;5 . Lời giải Chọn A.    xM 2 3 2 2 2 4 2 xM 2 Ta có: CM 3AC 2AB M 2; 5 y 5 yM 3 3 3 1 2 0 1 M Hết . 20