Bài tập Hình học Lớp 10 - Vấn đề 1: Biểu diễn véctơ

164 trang nhungbui22 11/08/2022 3540

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Hình học Lớp 10 - Vấn đề 1: Biểu diễn véctơ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_tap_hinh_hoc_lop_10_van_de_1_bieu_dien_vecto.docx

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 10 - Vấn đề 1: Biểu diễn véctơ

VẤN ĐỀ 1. BIỂU DIỄN VÉC TƠ Câu 1: Cho tam giác ABC biết AB 3,BC 4, AC 6 , I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .Gọi    x y z x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x.IA y.IB z.IC 0 .Tính P y z x 3 41 23 2 A. P . B. P . C. P . D. P . 4 12 12 3 Câu 2: Cho hình bình hành ABCD . Gọi I là trung điểm của CD , G là trọng tâm tam giác BCI . Đặt   a AB,b AD . Hãy tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau?  5 2  5 A. AG a b . B. AG a b . 6 3 6  5  4 2 C. AG a b . D. AG a b . 6 3 3 Câu 3: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đẳng thức nào sau đây đúng. uur uur uur r uur uur uur r A. aIA + bIB + cIC = 0 B. bIA + cIB + aIC = 0 uur uur uur r uur uur uur r C. cIA + bIB + aIC = 0 D. cIA + aIB + bIC = 0 Câu 4: Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn, ·ADC 300 . Biết DA = a, DC = b, hãy biểu diễn    DB theo hai vectơ DA và DC .      b a 3  A. DB DA DC. B. DB DA DC. b   b a     C. DB DA DC. D. DB bDA aDC. b uuuur uur r Câu 5: Cho hình bình hành ABCD , M là điểm thỏa mãn 5AM + 2CA = 0. Trên các cạnh AB , BC lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho MP / / BC, MQ / / AB . Gọi N là giao điểm của AQ và CP . Giá AN CN trị của tổng + bằng: AQ CP 21 24 23 25 A. B. C. D. 19 19 19 19 Câu 6: Cho tứ giác ABCD, M là điểm tùy ý. K là điểm cố định thỏa mãn đẳng thức      MA MB MC 3MD xMK . Tìm x:
A. 2. B. 6. C. 5. D. 4. Câu 7: Cho tam giác ABC , trên cạnh AC lấy điểm M , trên cạnh BC lấy điểm N sao cho AM = 3MC , NC = 2NB . Gọi O là giao điểm của AN và BM . Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác OBN bằng 1. A. 24. B. 20. C. 30 . D. 45 Câu 8: Cho tam giác ABC , gọi I là điểm trên BC kéo dài sao cho IB 3IC . Gọi J, K lần lượt là những    điểm trên cạnh AC, AB sao cho JA 2JC; KB 3KA . Khi đó BC m.AI n.JK . Tính tổng P m n ? A. P 34. B. P 34 . C. P 14 . D. P 14.  1   1  Câu 9: Cho hình bình hành ABCD, lấy M trên cạnh AB và N trên cạnh CD sao cho AM AB, DN DC 3 2     . Gọi I và J là các điểm thỏa mãn BI mBC, AJ nAI . Khi J là trọng tâm tam giác BMN thì tích m.n bằng bao nhiêu? 1 2 A. B. 3 C. D. 1 3 3 Câu 10: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấ y điểm M, trên cạnh BC lấ y N sao cho AM=3MB, NC=2BN. Gọi I là giao điểm của AN với CM. Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác ICN bằng 2. 3 33 9 A. B. C. 11 D. 2 2 11     Câu 11: Cho ∆ABC có trọng tâm G và hai điểm M, N thỏa mãn: 3MA 2CM 0, NA 2NB 0 . Chọn mệnh đề đúng.         A. NG 4GM . B. NG 5GM . C. NG 6GM . D. NG 7GM . Câu 12: (Đẳng thức vec tơ) Cho tam giác ABC . Gọi A', B',C' là các điểm xác định bởi       2018A'B 2019A'C 0 , 2018B'C 2019B' A 0 , 2018C ' A 2019C 'B 0. Khi đó, mệnh đề nào sau đây đúng? A. ABC và A'B'C ' có cùng trọng tâm. B. ABC A'B'C '. C. ABC : A'B'C '. D. ABC và A'B'C ' có cùng trực tâm. Câu 13: ( tính độ dài vec tơ) Cho tam giác đều ABC cạnh a . Gọi điểm M là trung điểm BC . Tính độ dài 1   của vec tơ AB 2AC 2 a 21 a 21 a 21 a 21 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 7 Câu 14: Cho ABC có M là trung điểm của BC, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Tìm x để     HA HB HC xHO .
A. x 2. B. x 2 . C. x 1. D. x 3. Câu 15: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL . Giả sử ngoài ra a bk 2 còn có CM kAL . Biết cos A . Tính a b c d c dk 2 A. 18. B. 5 . C. 26 . D. 17 . uuur uuur r uuur uuur 1 Câu 16: Cho tam giác ABC . Gọi M , N, P là các điểm lần lượt thỏa mãn MA 3MB 0 , AN AC , 3   2PB 3PC 0 Gọi K là giao điểm của AP và MN . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? uur uuur r uur uuur r A. .4 KA B.5 K. P 0 3KA 2KP 0 uur uuur r uur uuur C. .K A KPD. 0. KA KP Câu 17: Cho hình thang ABCD (AB / /CD) có hai đường chéo vuông góc với nhau. Biết AB CD 20cm.   Tìm AC BD . A. .4 0cm. B. . 20cm. C. . 3D.0c .m. 10cm. Câu 18: Cho tam giác ABC có AB 3; AC 4 .Gọi AD là đường phân giác trong của góc A .Biết    AD mAB nAC .Khi đó tổng m n có giá trị là: 1 1 A. 1 B. 1 C. D. 7 7 Câu 19: Cho tam giác ABC bất kỳ, gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,CA . H, H ' lần lượt là trực tâm các tam giác ABC, MNP . Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?         A. .H A HB HC 3HHB.' . HA HB HC 2HH '        C. HA HB HC 0 . D. .HM HN HP 3HH ' Câu 20: Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm bất kì bên trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là hình     chiếu của M lên BC, CA, AB. Với giá trị nào của k ta có hệ thức: MD ME MF kMO 1 3 A. .k B. . k 1 C. . k D. k 2 2 2 Câu 21: Một giá đỡ hình tam được gắn vào tường (như hình vẽ). Tam giác ABC vuông cân tại B. Người ta treo vào điểm A một vật nặng 10N. Tính độ lớn của các lực tác động vào tường tại B và C? (Bỏ qua khối lượng của giá đỡ) A. FB 10 2N, FC 10N
B. FB 10N, FC 10 2 C. FB FC 10N D. FB 10N, FC 10 2    · Câu 22: Cho ba điểm A , B ,C thuộc đường tròn tâm O , thỏa mãn OA OC OB 0 . Tính góc AOB ? A. .·A OB 12B.00 . C. . ·AOB D.90 .0 ·AOB 1500 ·AOB 300  1  2  Câu 23: Cho tam giác ABC . Điểm M trên cạnh BC thỏa mãn AM .AB .AC , khẳng định nào sau 3 3 đây là khẳng định đúng?     A. .M B 2MB.C . C. . MB D.2M .C MC 2MB MC 3MB  1   1  Câu 24: Cho hình vuông ABCD, E,F thõa mãn BE BC;CF CD ; AE  BF I 3 2    Ta có AI k AB l AD . Khi đó tỉ số k,l thõa mãn cặp nào sau: 3 2 6 2 5 3 6 1 A. k ;l B. k ;l C. k ;l D. k ;l 5 5 5 5 6 6 5 3 Câu 25: Cho tam giác ABC , trên cạnh AC lấy điểm M , trên cạnh BC lấy điểm N sao cho: AM 3MC , NC 2NB , gọi O là giao điểm của AN và BM .Tính diện tích ABC biết diện tích OBN bằng 1. A. .1 0 B. . 20 C. . 25 D. . 30 Câu 26: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chọn khẳng định đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. .H A + HB+ HC = 4B.H O. HA + HB+ HC = 2HO uuur uuur uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur C. .H A + HB+ HC = D.H .O HA + HB+ HC = 3HO 3 Câu 27: Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC , O là một điểm trên đoạn AD sao cho AO 4OD . Gọi E CO  AB , F BO  AC , M AD  EF . Khẳng định nào sau đây đúng?  1   2   1   2  A. MO AD B. MO AD C. MO AD D. EM BC 7 15 8 7 Câu 28: Cho hình thang ABCD có AB //CD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC, BD . Kẻ NH  AD (H AD) và ME  BC (E BC) . Gọi I ME  NH , kẻ IK  DC (K DC) . Khi đó trong tam giác MNK hệ thức nào sau đây đúng?       A. MK.IN NK.IM MN.IK 0 B. IN.tan N IM.tan M IK.tan K 0       C. IN.cot N IM.cot M IK.cot K 0 D. IM IN IK 0 Câu 29: Cho ABC , điểm Mthuộc cạnh B saoC cho 2018.S ABM 2019.S A .C MĐẳng thức nào sau đây sai?   A. .2 018.S ABC 4037.SB. AC .M 2018.BM 2019.CM 0  4037  2019 C. BC .BM D. .S .S 2018 ABM 4037 ABC
Câu 30: Cho tam giác ABC . M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho SABC 3SAMC . Một đường thẳng cắt các AB AC AM cạnh AB, AM , AC lần lượt tại B , M ,C phân biệt. Biết rằng 2 k. . Tìm số k . AB AC AM 2 A. .k 1 B. . k 2 C. . k D.3 . 3 Câu 31: Cho n điểm phân biệt trên mặt phẳng. Bạn An kí hiệu chúng là A1, A2 , , An . Bạn Bình kí hiệu chúng    là B1, B2 , , Bn (A1  Bn ). Vectơ tổng A1B1 A2 B2 An Bn bằng    A. .0 B. . A1 An C. . B1Bn D. . A1Bn Câu 32: Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB và CD cắt nhau tại M. Qua trung điểm S của BD kẻ SM AK AM 2 cắt AC tại K sao cho a .Tính: CK CM 2 1 A. 2a B. a2 C. D. a a2  2   1  Câu 33: Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn:BD BC, AE AC . 3 4  AK Điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K,E thẳng hàng. Xác định tỷ số  AD 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 4 5 Câu 34: Cho tam giác ABC vuông tại C, có AC = b,BC = a , D là chân đường cao kẻ từ C. Khẳng định nào sau đây là đúng?  a2  b2   a2  b2  A. .C D CB.A . CB CD CA CB a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2  a2  b2   a2  b2  C. CD AC BC D. .CD AC BC a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2
   Câu 35: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm xác định bởi 5IA 7IB IC 0. Gọi E là giao EA điểm của AI và BG. Tính tỷ số . EI 1 1 A. 2. B. . C. 3. D. . 2 3 Câu 36: Cho 2 tia Ox, Oy vuông góc. Trên tia Ox lấy các điểm A,B sao cho OA = OB = 1. C là điểm thuộc đoạn OA, N là một điểm thuộc đoạn OB và dựng hình vuông OCMN. Trên đoạn CM lấy điểm Q và dựng hình vuông ACQP. Gọi S là giao điểm của AM và PN. Giả sử OC kOA , AS xAM , 1 NS yNP , k ;1 2 13 a Khi x + y = thì k = , với a,b  và a, b nguyên tố cùng nhau thì a.b bằng 10 b A. 7 B. 4 C. 5 D. 12 Câu 37: Cho tam giác ABC . Giả sử điểm M nằm trên cạnh BC thỏa các tam giác MAB, MAC lần lượt có diện tích là S1, S2 . Khẳng định nào sau đây đúng?       A. S1 S2 AM S2 AB S1 AC. B. S1 S2 AM S1 AB S2 AC.       C. S2 S1 AM S2 AB S1 AC. D. S2 S1 AM S1 AB S2 AC.  1 Câu 38: Cho tam giác ABC có có M là trung điểm của BC, AI MI . Điểm K thuộc cạnh AC sao cho 2  m  B,I,K thẳng hàng. Khi đó KA CK . Tính S 25m 6n 2019 n A. .S 2019 B. . SC. .2 068 D. . S 2018 S 2020     Câu 39: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, lấy các điểm I, J sao cho IA 2IB và 3JA 2JC 0 và thỏa mãn   đẳng thức IJ kIG . Giá trị của biểu thức P (25k2 36)(k2 k 1)500 là: 5 6 A. P 1235 B. P 0 C. P D. P 6 5 Câu 40: Cho tam giác ABC . M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho SABC = 3SAMC . Một đường thẳng cắt AB AC AM các cạnh AB,AM ,AC lần lượt tại B ',M ',C 'phân biệt. Biết + m = n . Tính AB ' AC ' AM ' m n . A. 2. B. 5. C. 3. D. 4. Câu 41: Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC , O là một điểm trên đoạn AD sao cho AO 4OD . Gọi E CO  AB , F BO  AC , M AD  EF . Khẳng định nào sau đây đúng?  1   2   1   2  A. MO AD B. MO AD C. MO AD D. EM BC 7 15 8 7
Câu 42: Cho hình thang ABCD có AB//CD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC, BD . Kẻ NH  AD (H AD) và ME  BC (E BC) . Gọi I ME  NH , kẻ IK  DC (K DC) . Khi đó trong tam giác MNK hệ thức nào sau đây đúng?       A. MK.IN NK.IM MN.IK 0 B. IN.tan N IM.tan M IK.tan K 0       C. IN.cot N IM.cot M IK.cot K 0 D. IM IN IK 0 Câu 43: Cho hình bình hành ABCD . Gọi I là trung điểm của CD , G là trọng tâm tam giác BCI . Đặt   a AB,b AD . Hãy tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau?  5 2  5 A. AG a b . B. .AG a b 6 3 6  5  4 2 C. AG a b . D. .AG a b 6 3 3 Câu 44: Một đường thẳng cắt các cạnh DA, DC và đường chéo DB của hình bình hành ABCD lần lượt tại     các điểm E, F và M. Biết DE m.DA, DF n.DC (m, n 0). Khẳng định đúng là:  m n   m  A. DM DB . B. .DM DB m.n m n  n   m.n  C. DM DB . D. .DM DB m n m n Câu 45: Hình thang cân ABCD có độ dài đường cao AH a; AB / /CD, AB a 3; AD a 2; AB DC  x y z  AC cắt BH tại I. Biết AI AC; x; y; z;m N . m Tính tổng T x y z m A. 20 B. 18 C. 17 D.21 Câu 46: Cho hình thang ABCD với O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua O vẽ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng này cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại M và N.  Với AB a , CD b , khi đó MN bằng:         a.AB b.DC b.AB a.DC a.AB b.DC b.AB a.DC A. . B. . C. . D. . a b a b a b a b Câu 47: Cho tam giác ABC đều tâm O ; điểm M thuộc miền trong tam giác OBC ; D , E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên BC , CA , AB . Khẳng định nào sau đây đúng?    1      A. .M D ME MF B.M O. MD ME MF MO 2        3  C. .M D ME MF 3MD.O . MD ME MF MO 2 Câu 48: Cho hình bình hành ABCD có các điểm M , I, N lần lượt thuộc các cạnh AB, BC,CD sao cho 1 1 AM AB, BI kBC, CN CD . Gọi G là trọng tâm tam giác BMN . Xác định k để AI đi qua 3 2 G .
1 9 6 12 A. . B. . C. . D. . 3 13 11 13 Câu 49: Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho 1 3 AM = AB, AN = AC . Gọi O là giao điểm của CM và BN. Trên đường thẳng BC lấy E. Đặt 3 4 uuur uuur BE = xBC . Tìm x để A, O, E thẳng hàng. Chọn C 2 8 9 8 A. B. C. D. 3 9 13 11 Ý tưởng: Cho tam giácABC , I là trung điểm của BC . Gọi P, Q, R là các điểm xác định bởi:       AP pAB, AQ qAI, AR r AC với pqr 0 . 2 1 1 Chứng minh rằng: P, Q, R thẳng hàng khi và chỉ khi . q p r Câu 50: Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm BC ; P là điểm đối xứng với A qua B ; R là điểm trên 2 cạnh AC sao cho AR AC . Khi đó đường thẳng AR đi qua điểm nào trong các điểm sau đây? 5 A. Trọng tâm tam giác ABC . B. Trọng tâm tam giác ABI . C. Trung điểm AI . D. Trung điểm BI . (có thể phát triển P, J, G, M, R thẳng hàng với J – có lẽ là trung điểm BH, còn M chia AI theo tỷ số tính được) Câu 51: Cho ABC có H là trung điểm của AB và G AC :GC 2AG . Gọi F là giao điểm của CH và BG . Tìm điểm I trên BC sao cho I, F, A thẳng hàng uur uur uur uur uur uur A. IC 2IB. B. IB 2IC. C. IB IC. D. IC 3IB. Câu 52: Cho tam giác ABC. I là trung điểm của BC. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm xác định bởi       AM mAB; AN nAI; AP pAC , với mnp 0 . Tìm điều kiện của m,n, p để M, N, P thẳng hàng. A. mp mn np B. 2mp mn np C. 2np mn mp D. 2mn mp np Câu 53: Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác, I là trung điểm của BC, M và N là các điểm  1  CN BC được xác định bởi 2 . Gọi P là giao điểm của AC và MN. Tính tỉ số diện tích tam   3MA 4MB 0 giác ANP và tam giác CNP. 7 A. 3 B. C. 4 D. 2 2
 2   1  BD BC; AE AC Câu 54: Cho tam giác.A GọiBC lầnD, Elượt là các điểm thỏa mãn: 3 . 4Điểm K  a  a AK AD trên AD thỏa mãn b (với b là phân số tối giản) sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tính P a2 b2 . A. .P 10 B. . P 13C. . D.P . 29 P 5    Câu 55: Cho tam giác ABC, I là điểm thỏa mãn: 2IA IB 4IC 0    K là điểm thỏa mãn: KA 2KB 3KC 0    P là điểm thỏa mãn: PA mPB nPC 0 Có bao nhiêu cặp m,n , m,n Z, m,n  10;10 sao cho I, K, P thẳng hàng. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5       Câu 56: Cho tam giác ABC , M và N là hai điểm thỏa mãn: BM BC 2AB , CN xAC BC . Xác định x để A , M , N thẳng hàng. 1 1 A. 3. B. . C. 2. D. . 3 2 Câu 57: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm AG , lấy K thuộc cạnh AC sao cho   AK kAC . Nếu B, I,K thẳng hàng thì giá trị của k nằm trong khoảng? 1 1 1 1 1 A. 0; B. 0; C. ; D. ;1 6 2 5 3 5 Câu 58: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm AG , lấy K thuộc cạnh AC sao cho   AK kAC . Nếu B, I,K thẳng hàng thì giá trị của k nằm trong khoảng? 1 1 1 1 1 A. 0; B. 0; C. ; D. ;1 6 2 5 3 5   Câu 59: Cho tam giác ABC , M là điểm thuộc cạnh AC sao choMA 2.MC , N thuộc BM sao cho     NB 3NM , P là điểm thuộc BC . Biết rằng ba điểm A, N, P thẳng hàng khi PB k PC . Khẳng định nào sau đây là đúng? 5 5 1 1 A. .k 3;B. . C. . k D.; . 1 1; ;0 2 2 2 2 Câu 60: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt nằm trên đường thẳng BC, CA, AB sao cho uuur uuur uuur uur uur uur MB mMC , NC nNA, PA k PB . Tính tích mnk để M, N, P thẳng hàng? A. .1 B. . 1 C. . 2 D. . 2
Câu 61: Cho hình bình hành ABCD gọi M là trung điểm của cạnh CD, N là điểm thuộc cạnh AD sao cho 1 AN AD . Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN, đường thẳng AG cắt BC tại K. Khi đó 3  m  m BK BC ( là tối giản). Tính S m n n n A. .S 16 B. . S 17C. . D.S . 18 S 19 Câu 62: Cho hình thang ABCD có đáy AB , CD , CD 2AB .M , N lần lượt là các điểm thuộc cạnh AD và BC sao cho AM 5MD , 3BN 2NC . Gọi P là giao điểm của AC và MN ; Q là giao điểm PM QN a a của BD và MN ; Khi đó , với là phân số tối giản. Khi đó a b bằng PN QM b b A. .3 86 B. . 385 C. . 287 D. . 288 Câu 63: Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho AM = 3MC, NC = 2BN. Gọi I là giao điểm của AN và BN. Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác ABN bằng 4. A. .S ABC 110B. . C.S .A BC 115D. . SABC 125 SABC 120 Câu 64: Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC sao cho MA 2.MC , N thuộc BM sao cho NB 3.NM , P thuộc BC sao cho PB k.PC . Tìm giá trị k để ba điểm A, N, P thẳng hàng. A. .k 1 B. . k 2 C. . D.k . 1 k 2 2 2    Câu 65: Cho tam giác ABC với J là điểm thoả mãn 2JA 5JB 3JC 0 , gọi E là điểm thuộc AB và   thoả mãn AE kAB . Xác định k để C, E, J thẳng hàng. A. .k 2; 1B. . C. k. 1;0 D. k 0;1 k 1;2 Câu 66: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh 1 . Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn 2MA2 MB2 2MC 2 MD2 9 là một đường tròn có bán kính R . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 3 3 A. .R 0;1 B. . RC. . 1;2 D. . R ; R ;2 2 2 2 Câu 67: Cho tam giác ABC . Tập hợp những điểm M thỏa mãn:       4MA MB MC 2MA MB MC là: A. Đường thẳng đi qua A B. Đường thẳng qua B vàC C. Đường tròn D. Một điểm duy nhất. Câu 68: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định với BC 2a . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và   M là trung điểm của đoạn BC. Nếu đỉnh A thay đổi nhưng luôn thỏa MA.MH MA2 4a 2thì điểm A luôn thuộc một đường tròn cố định có bán kính bằng A. .2 a B. . a 3 C. . a 2 D. . a Câu 69: Cho hai điểm A và B cố định. Tìm giá trị k 0 để tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện MA2 MB2 k là một đường tròn.
2 2 2 2 A. .k AB2 B. . C.k . AB2 D. . k AB 2 k AB2 3 3 3 3 Câu 70: Cho tam giác vuông ABC tại A . Tìm tập hợp M sao cho MB2 MC 2 MA2 . A. Đường thẳng. B. Đường tròn. C. Đoạn thẳng. D. Một điểm. Câu 71: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB 5cm . Gọi (S) là tập hợp các điểm M trong mặt     phẳng thỏa mãn hệ thức: MA.MB MA.MC 25 . Gọi I là trung điểm của BC . Kết luận nào sau đây đúng? A. (S) là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AI . B. (S) là đoạn thẳng AI . 5 10 C. (S) là đường tròn cố định bán kính R . 4 5 2 D. (S) là đường tròn tâm I bán kính R 4 Câu 72: Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 5a2 4MA2 MB2 MC 2 nằm trên một đường tròn C có bán kính là: 2 a a a 3 a A. . B. . C. . D. . 3 4 2 6       Câu 73: Cho ABC . Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA 3MB 2MC 2MA MB MC . A. Tập hợp các điểm M là một đường tròn. B. Tập hợp của các điểm M là một đường thẳng. C. Tập hợp các điểm M là tập rỗng. D. Tập hợp các điểm M chỉ là một điểm trùng với A . Câu 74: Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 5a2 4MA2 MB2 MC 2 nằm trên một đường tròn C có bán kính là: 2 a a a 3 a A. . B. . C. . D. . 3 4 2 6 Câu 75: Cho VABC đều, có cạnh bằng a. Khi đó tập hợp những điểm M sao cho       a2 MA.MB MB.MC MC.MA là: 6 a A. Đường tròn có bán kính R . 3 a B. Đường tròn có bán kính R . 2 a 2 C. Đường tròn có bán kính R . 3
a 3 D. Đường tròn có bán kính R . 9 Câu 76: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3 . Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức uuur uuur uuur uuur uuur 2MA+ 3MB + 4MC = MB- MA là đường tròn cố định có bán kính bằng: 1 3 1 A. .1 B. . C. . D. . 3 2 2 Câu 77: Cho tam giácABC có là trọng tâm G . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn     2    2   2 MA MB MC BC MA MC 3MG CB AC . A. Đường tròn đường kính AB . B. Đường trung trực đoạn thẳng.AB C. Đường tròn đường kính AC . D. Đường trung trực đoạn thẳng.AC   Câu 78: Cho đoạn thẳng AB 5 . Biết rằng tập hợp điểm M thỏa mãn MA2 MB2 3MA.MB là một đường tròn có bán kính R . Tìm giá trị của R . 5 5 3 3 A. .R B. . R C. . D.R . R 2 2 2 2    Câu 79: Cho tam giác ABC , có bao nhiêu điểm M thỏa MA MB MC 5 ? A. .1 B. . 2 C. vô số. D. Không có điểm nào. Câu 80: Cho ABC cóAB 3 ;AC 4 . Phân giác trong AD của góc B· AC cắt trung tuyến BM tại I . AD Tính . AI AD 3 AD 10 AD 29 AD 7 A. . B. . C. . D. AI 2 AI 7 AI 20 AI 5 Câu 81: [Đề thi olympic 30/4 TPHCM khối không chuyên lần 2 ] Cho ABC gọi điểm D nằm trên cạnh BC sao cho BD 2BC , E là trung điểm của AD . Một đường thẳng bất kì qua E và cắt các cạnh AB AC AB; AC lần lượt tại M , N . Tình tỉ số 2 AM AN AB AC AB AC A. . B. 2 . 6 2 5 AM AN AM AN AB AC 28 AB AC 29 C. . D. 2 2 AM AN 5 AM AN 5 Câu 82: Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD 2DB . Trên cạnh AC lấy điểm E BN sao cho CE 3EA . Gọi M là trung điểm của DE . Tia AM cắt BC tại N . Tỉ số có giá trị CN là: 1 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 4 8 2 7
Câu 83: Bài toán tổng quát của bài toán 1). Cho tam giác ABC . Gọi I là điểm chia BC theo tỉ số k . Trên AB AC AI các tia AB và AC lấy các điểm M , N . AI cắt MN tại P . Đặt b , c . Tỷ số có AM AN AP giá trị bằng b kc b kc c kb c kb A. . B. . C. . D. . 1 k 1 k 1 k 1 k Câu 84: (Hệ quả hay dùng của bài toán 2). Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của BC. Trên các tia AB AC AI AB và AC lấy các điểm M , N . AI cắt MN tại P . Đặt b , c . Tỷ số có giá trị AM AN AP bằng b c b2 c2 2bc A. . bc B. . C. . D. . 2 2 b c  2   1  Câu 85: Cho tam giác ABC . Gọi D, E lần lượt là các các điểm thỏa mãn BD BC, AE AC . Điểm 3 4 AD K trên đoạn thẳng AD sao cho ba điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số . AK AD 1 AD AD 2 AD 3 A. . B. . C. .3 D. . AK 3 AK AK 3 AK 2     Câu 86: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thỏa mãn OC 3OA, OD 4OB . Qua CN trung điểm M của AB dựng đường thẳng MO cắt CD tại N . Tính tỉ số . ND 3 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 4 4 3 3    Câu 87: Cho tam giác ABC và điểm I thỏa mãn 23IA 8IB 2018IC 0 . Đường thẳng AI cắt đường JB thẳng BC tại J . Giá trị của tỉ số là: JC 23 2018 2018 8 A. B. C. D. 8 23 8 23 Câu 88: Cho tam giác ABC . Điểm K chia trung tuyến AD theo tỷ số 3:1 kể từ đỉnh. S Đường thẳng BK chia diện tích tam giácABC theo tỷ số k ABF , giá trị của k bằng? SBCF 5 3 3 3 A. k B. k C. k D. k 8 8 5 2 uuur uuur Câu 89: Cho tam giác ABC với K là trung điểm BC . Lấy các điểm M ,N thỏa mãn AM 3 AB , 4 uur uuur uur uuur uuur uuur x AN 1 AC . Gọi I là giao điểm của MN và AK . Đặt MI xMN , AI y AK . Hỏi 3 y A. .3 B. . 4 C. . 1 D. . 5 2 3 3
AD 3 BE 1 Câu 90: Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh BC lấy E, F sao cho ; DB 2 EC 3 ; BF 4 KD . Đường thẳng AE chia đoạn DF theo tỷ số k . Giá trị của k bằng? FC 1 KF 3 11 3 11 A. k B. k C. k D. k 11 3 14 14 Câu 91: Cho tam giác ABC . Kéo dài AB một đoạn BE AB , gọi F là trung điểm của AC . Vẽ hình bình KB hành EAFG . Đường thẳng AG cắt BC tại K . Tính tỉ số ? KC 1 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 4 8 5 7 Câu 92: Cho tam giác ABC có AB 3 , AC 4 . Phân giác trong AD của góc BAC cắt trung tuyến BM AD tại I . Tính tỉ số . AI 13 11 10 10 A. . B. . C. . D. . 8 6 7 5 Câu 93: Cho hình bình hành ABCD , O là điểm bất kì trên đoạn AC , đường thẳng BO cắt cạnh CD tại E AF và đường thẳng AD tại F sao cho EF 2BO . Tỷ số bằng AD 1 5 5 A. . B. . 2 C. . 1 D.2 . 2 2 Câu 94: Cho hai tam giác ABC và A1B1C1 ; gọi A2,B2,C2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCA1, CAB1, ABC1 . Gọi G,G1,G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A1B1C1 , A2B2C2 . GG Tính tỉ số 1 ta được kết quả : GG2 1 1 A. B. C. 3 D. 2 3 2 Câu 95: Cho ABC và 3 số dương x, y, z thay đổi có tổng bình phương: x2 y2 z2 k 2 , k R . Giá trị lớn nhất của P xy cosC yz cos A zx cosB là: k k 2 k k 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 3 Câu 96: Cho hai điểm A, B (I;6) và M (I;3) , thỏa mãn : ·AIB 60 . Khi A, B, M thay đổi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA 2MB ? A. .9 B. . 3 2 6 C. . 3 1D.3 . 6 3 Câu 97: Cho tứ giác ABCD , M là điểm tùy ý và các điểm I, J, K cố định sao cho đẳng thức thỏa mãn với      mọi điểm M: MA MB MC 3MD kMK. Giá trị của k là A. k = 3 B. k = 4 C. k = 5 D. k = 6
Câu 98: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi là góc giữa hai đường trung tuyến BD và CK. Giá trị nhỏ nhất của cos bằng 4 5 4 3 A. B. C. D. 5 4 3 4 Câu 99: Cho hai điểm cố định G và G' là trọng tâm của tam giác ABC và tam giácA'B'C ' .Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P AA' BB' CC ' bằng 1 A. GG' B. 3GG' C. 2GG' D. GG' 3 · · 0 Câu 100: Cho hình thang A1B1C1D1 có A1B1 //C1D1, A1B1 = 3a,C1D1 = 2a, D1A1B1 = C1B1A1 = 60 . Với mỗi uuuur uuuur uuuur điểm G1 di động trên cạnh A1B1 ta xác định điểm F1 sao cho G1F1 = G1C1 + G1D1 . Tìm độ dài nhỏ uuuur nhất của G1F1 . 3a 3 3a A. 2a . B. a 3 . C. . D. . 2 2 Câu 101: Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = 2; CA = b; AB = c và điểm M di động Biểu thức F= 8MA2 b2MB2 c2MC2 đạt giá trị lớn nhất bằng A. 4 B. 12 C. 16 D. 24 Câu 102: Cho ABC đều có cạnh bằng 2a . Gọi d là đường thẳng qua A và song song BC , điểm M di động    trên d . Tìm giá trị nhỏ nhất của MA 2MB MC . a 3 a 3 A. .2 a 3 B. . a 3 C. . D. . 4 2 Câu 103: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ. Đặt a BC, b CA, c AB . Tìm giá MA MB MC trị nhỏ nhất của biểu thức T . a b c 3 3 A. .3 3 B. . 3 C. . D. . 3 2 Câu 104: Cho tam giác ABC có trung tuyến AA'  CC' A' BC,C' AB . Tìm giá trị nhỏ nhất của cos B. 4 2 1 A. . B. . C. . 1 D. 5 5 2    Câu 105: Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Tìm điểm M để vecto aMA bMB cMC có độ dài nhỏ nhất
A. M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. B. M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC. C. M trùng với trực tâm H của tam giác ABC. D. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC. Câu 106: Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,M là điểm di động trên đường thẳng AC . Khi uuur uuur uuur uuur uuur uuur đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = MA + MB + MC + 3 MA - MB + MC là: 2a 3 5a 3 A. MinT = . B. MinT = 2a 3. C. MinT = a 3. D. MinT = . 3 2 Câu 107: Cho ABC và A' B 'C ' có các trọng tâm G và G ' cố định và GG ' a . Khi đó giá trị nhỏ nhất của T AA ' BB ' CC ' là: A. .T a B. . T 2aC. . D.T . 3a T 4a Câu 108: Cho tam giác ABC với các cạnh AB x, AC y ; x y 0 . Gọi AD là đường phân giác trong    của góc A . Biết biểu thị vectơ AD mAB nAC . Tính S m n . A. .S 2 B. . S 0 C. . SD. .1 S 2 Câu 109: Cho ABC có AB 3 ;AC 4 . Phân giác trong AD của góc B· AC cắt trung tuyến BM tại I . AD a a Biết , với a,b ¥ và tối giãn. Tính S a 2b . AI b b A. S 10 . B. S 14 . C. S 24 . D. S 27 . Câu 110: Cho tứ giác ABCD có AD và BC cùng vuông góc với AB , AB 8 , AD a , BC b . Gọi E là một điểm thuộc cạnh CD . Biết ·AEB 90 , giá trị lớn nhất của T ab là A. .4 B. . 16 C. . 8 D. . 64 Câu 111: Cho tứ giác ABCD có AD và BC cùng vuông góc với AB , AB h , AD a , BC b . Cho k là   số thực dương thuộc 0;1 và điểm E thỏa mãn k EC 1 k ED 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa a , b , h , k để góc ·AEB 90 ? A. . 1 k b ka h kB. 1 . k kb 1 k a hk 1 k C. .k b 1 k a h kD. 1 . k 1 k b ka hk 1 k Câu 112: Cho tam giác có trọng tâm G , qua G dựng đường thẳng d cắt cách cạnh AB , AC lần lượt tại AM AN M , N . Đặt x , y , gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất củaT x y AB AC . Tính m M . 10 17 11 5 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 2
 1  Câu 113: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho BH HC . Điểm 3     M di động trên BC sao cho BM xBC . Tìm x sao cho MA GC đạt giá trị nhỏ nhất. 4 5 5 6 A. . B. . C. . D. . 5 4 6 5 Câu 114: Cho tam giác ABC đều cạnh 2 3 , d là đường thẳng qua B và tạo với AB một góc 600 C .    Tìm giá trị nhỏ nhất của A MA MB 3MC ? 3 12 4 A. B. C. D. 2 5 5 5 Câu 115: Cho tam giác ABC đều cạnh 1 nội tiếp đường tròn (O) và điểm M thay đổi trên O . Gọi s , i lần    lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB MC . Tính s i . 4 3 5 3 A. .s i 3 B. . C.s . i D. . s i s i 2 3 3 3 Câu 116: Cho lục giác đều ABCDEF cạnh a . Trên đường chéo AC , CE lấy hai điểm M , N sao cho AM CN k 0 k 1 . Độ dài BM 2 BN 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi k bằng bao nhiêu? AC CE 1 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 3 4 Câu 117: Cho hình chữ nhật ABCD có AD a , AB b . O và I lần lượt là trung điểm DB và DO . N là      điểm thỏa mãn 2NA 2NC AB AD 2AD và NB lớn nhất. Tính NB . 2a 3 a2 b2 a a2 b2 2a 3 a2 b2 2a a2 b2 A. B. C. D. . 2 2 4 4 Câu 118: Cho tam giác ABC, AB 3(cm), BC 4(cm),CA 5(cm). Điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MB2 MC 2 MA2 là 5 97 5 97 5 97 A. .0 B. . 5 C. . D.5 . 5 2 2 4
 1  Câu 119: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho BH HC . 3     Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM xBC . Tìm x sao cho độ dài của vectơ MA GC đạt giá trị nhỏ nhất. 4 5 6 5 A. . . B. . . C. . . D. . 5 6 5 4   Câu 120: Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp đôi đáy AB. Lấy một điểm E sao cho 3BC 2DE và đồng thời thỏa mãn CA CE . Giá trị nhỏ nhất của góc ·ABC nằm trong khoảng nào dưới đây? A. .( 95 ;100 )B. . C. .( 100 ;106D. ) . (106 ;115 ) (115 ;120 )     Câu 121: Cho hình thang ABCD có 2AB DC , AC 8, BD 6 , góc tạo bởi hai véc tơ AC và BD bằng1 20 . Khi đó giá trị của (AD BC) bằng: 13 2 5 14 4 7 15 2 10 A. . B. . C. . D. . 6 4 3 2 3 4   Câu 122: Cho hình thang ABCD có 2AB DC , AC 9, BD 6 . Giá trị của biểu thức (BC 2 AD2 ) bằng: 80 A. .1 5 B. . C. . 12 D. . 14 3 Câu 123: Cho tam giác ABC có B· AC 60 và AB, AC đã biết. Biểu thức P k.MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất bằng (AB AC) với mọi giá trị thực k k0 . Giá trị của k0 nằm trong khoảng nào dưới đây? 3 3 A. .( 0;1) B. . ( ;2) C. . (1;D.) . (2;3) 2 2    Câu 124: Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Tìm điểm M để vecto aMA bMB cMC có độ dài nhỏ nhất A. M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. B. M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC. C. M trùng với trực tâm H của tam giác ABC. D. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC. Câu 125: Cho tam giác ABC đều cạnh a và điểm M thay đổi. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2MA2 3MB2 4MC 2 là: 26a2 26a2 A. 14a2 B. 14a2 C. D. 3 3 Câu 126: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của cos A . 1 2 3 4 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 5     Câu 127: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng a. Một điểm M di động sao cho MA MB MA MB . Gọi H là hình chiếu của M lên AB . Tính độ dài lớn nhất của MH ?
a a 3 A. . B. . C. a. D. 2a. 2 2 Câu 128: Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi là góc giữa hai trung tuyến và BD . GiáCK trị nhỏ nhất của cos là:. 1 4 2 3 A. . B. . C. . D. . 2 5 3 4  1  Câu 129: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A sao cho CH HB . Điểm M di động 3     trên BC sao cho CM x.CB . Tìm x sao cho độ dài vecto MA GB đạt giá trị nhỏ nhất. 8 5 6 5 A. . B. . C. . D. . 5 6 5 8     Câu 130: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng a. Một điểm M di động sao cho MA MB MA MB . Gọi H là hình chiếu của M lên AB . Tính độ dài lớn nhất của MH ? a a 3 A. . B. . C. a. D. 2a. 2 2 Câu 131: Cho AD và BE là hai phân giác trong của tam giác ABC . Biết AB 4 , BC 5 và CA 6 . Khi  đó DE bằng: 5  3  3  5  9  3  3  9  A. . CA B.CB . C. . CAD. . CB CA CB CA CB 9 5 5 9 5 5 5 5     Câu 132:: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng a .Một điểm M di động sao cho MA MB MA MB . Gọi H là hình chiếu của M lên AB . Tính độ dài lớn nhất của MH ? a a 3 A. . B. . C. a. D. 2a. 2 2   Câu 133: Một miếng gỗ có hình tam giác có diện tích là S điểm I , O lần lượt thỏa mãn IB IC 0 ;   OA OI 0 . Cắt miếng gỗ theo một đường thẳng qua O , đường thẳng này đi qua M , N lần lượt trên các cạnh AB, AC . Khi đó diện tích miếng gỗ chứa điểm A thuộc đoạn: S S S S 3S S S 3S A. . ; B. . ;C. . D. ; ; 4 3 3 2 8 2 4 8 Câu 134: Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R 2 . Tìm giá trị lớn nhất của BC 2 AB2 AC 2 . A. 1. B. 2. C. 3. D. 4 Câu 135: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi M là điểm nằm trên cạnh AB. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu    thức MA 2MB MC theo a. a 3 a 3 a 3 2a 3 A. . B. . C. . D. . 4 2 8 3 Câu 136: Cho hình bình hành ABCD, M thuộc đường chéo AC, (M không trùng với các đỉnh A, C)
Trên các đường thẳng AB, BC, lấy các điểm P và Q sao cho MP // BC, MQ // AB. Gọi N là giao hai đường thẳng AQ và CP. Giả sử DN mDA nDC . Tìm giá trị lớn nhất của m + n 4 3 1 A. B. C. D. 2 3 4 2  1  Câu 137: : Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho BH HC . 3     Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM xBC . Tìm x sao cho độ dài của vectơ MA GC đạt giá trị nhỏ nhất. 4 5 6 5 A. . B. . C. . D. . 5 6 5 4 Câu 138: Cho tam giác ABC có BC a, AC b, AB c nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. M là điểm N,n thuộc đường tròn (O). Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA2 MB2 MC 2 . Khi đó giá trị của N n bằng A. .1 2R 2 B. . 4R 9R 2 a2 b2 c2 C. .2 R 9R 2 a2 b2 cD.2 . 8R 9R 2 a2 b2 c2 Câu 139: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O ,bán kính R , M là một điểm bất kì trên đường tròn. Giá trị lớn nhất của biểu thức S MA2 2MB2 3MC 2 là A. .R 2 21 B. . RC.2 2. 1 D. . 2R2 21 2R2 21 Câu 140: Cho tam giác ABC . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3 cos 2A 2cos 2B 2 3 cos 2C A. .P 4 B. . C. . PD. . 3 1 P 2 3 3 P 5 min min 2 min min       Câu 141: Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tính AB.BC BC.CA CA.AB 3a 2 3a 2 a2 3 a2 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 Câu 142: Cho tam giác ABC có AD là trung tuyến, G là trọng tâm. Một đường thẳng qua G cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M , N . Khẳng định nào sau đây đúng?   1   2   A. AM.AN AN.MB AM.NC 2 3       B. AM.AN AN.MB AM.NC   2     C. AM.AN (AN.MB AM.NC) 3   3     D. AM.AN (AN.MB AM.NC) 2 Câu 143: Cho các véc tơ a,b , c thỏa mãn a a , b b , c c và a b 3c 0 . Tính A a.b b.c c.a . 3c2 a2 b2 3a2 c2 b2 A. . B. . 2 2
3b2 a2 c2 3c2 a2 b2 C. . D. . 2 2 Câu 144: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a, M là điểm trên đoạn BC sao cho MB = 2MC. Biết rằng   AM.BC a2 . Độ dài cạnh AC là: a 33 a 3 A. AC B. AC a 3 C. AC D. AC a 5 3 3 Câu 145: Cho tam giác ABC có B· AC 900 , AB 1, AC 2 .Dựng điểm M sao choAM  BC , AM 3 .    Đặt AM x.AB y.AC .Tính T x2 y2 ? 153 151 157 159 A. .T B. . T C. . D. . T x 20 20 20 20     Câu 146: Cho tam giác ABC vuông tại A. Quỹ tích điểm M thỏa mãn MB.MC MA.BC MA2 là A. Đường thẳng AC. B. Đường thẳng AB. C. Đường thẳng BC. D. Đường trung trực cạnh BC. Câu 147: Cho tam giác đều ABC cạnh 3a , a 0 . Lấy các điểm M , N , P lần lượt trên các cạnh BC , CA , AB sao cho BM a , CN 2a , AP x 0 x 3a . Tìm x để AM  PN . 3a 4a A. .x B. . x 5 5 a 2a C. .x D. x 5 5 Câu 148: Cho tam giác ABC vuông cân tại B . Gọi M là trung điểm AB và I là điểm di động trên đường   AC thẳng MC . Khi 2IM AC đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính tỉ số . AI AC AC AC AC 3 A. . 1 B. . C. . 2 D. . 2 AI AI AI AI 2 )  1  Câu 149: Cho ABC có trọng tâm G , H là chân đường cao kẻ từ A sao cho BH HC . Điểm M di động 3     trên BC sao cho BM xBC . Tìm x sao cho MA GC nhỏ nhất. 6 5 4 5 A. B. C. D. 5 4 5 6 Câu 150: Cho tam giác ABC, nhọn, không cân và nội tiếp đường tròn O; R . Gọi G và M lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và trung điểm cạnh BC. Cho đường thẳng OG vuông góc với đường thẳng OM 2 2 2 tính giá trị biểu thức AC AB 2BC theo R. A. 8R2. B. 10R2. C. 12R2. D. 14R2.   Câu 151: Cho tam giác MNP có MN=4,MP=8, Mµ = 600 Lấy điểm E trên tia MP và đặt ME kMP .Tìm k để NE vuông góc với trung tuyến MF của tam giác MNP.
2 2 1 1 A. k=. B. k=. C. k=. D. k=. 3 5 3 2     Câu 152: Đẳng thức MA.AD MB.BC đúng với mọi điểm M. Khi đó tứ giác ABCD là hình gì. A. Hình thang vuông. B. Hình chữ nhật. C. Hình thoi. D. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Lời giải Câu 153: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi M , N lần lượt thuộc các đoạn thẳng BC và AC sao cho  1    BM MC , CN k AN và AM  DN . Khi đó k thuộc khoảng nào dưới đây? 3 A. . 3;5 B. . 5; C.3 . D. . 4; 2 2;4 Câu 154: Cho hai vector a,b thỏa mãn đồng thời các điều kiện a 2b 7, a b 2 , vector (3a b) vuông góc với (a b) . Tính cosin của góc tạo bởi hai vector a và b . 1 2 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 3 4 Câu 155: Giả sử O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC a;CA b; AB c . Tìm giá trị OA2 OB2 OC 2 biểu thức: K b.c c.a a.b 1 1 1 A. K B. K C. K 1 D. K 2 3 4 CM CN 1 Câu 156: Cho hình vuông ABCD. M, N lần lượt nằm trên hai cạnh BC và CD sao cho . Gọi E CB CD 3   là điểm thỏa mãn AE kAN. Khi BE  AM . Tính giá trị biểu thức T k 2 k 1 . 13 7 8 5 A. B. C. D. 16 9 9 16 AC Câu 157: Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM . Gọi N là trung điểm 4 CD. Tam giác BMN là A. Tam giác đều. B. Tam giác cân. C. Tam giác Vuông. D. Tam giác vuông cân Câu 158: Cho tam giácABC . Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giácABC . Đặt BC = a , CA = b ,AB = c . Tìm hệ thức liên hệ giữa a , b , c sao cho OH vuông góc với trung tuyến vẽ từ đỉnh A của tam giácABC . A. .2 a2 = bB.2 +. c2 C. . D.2b 2. = a2 + c2 2c2 = a2 + b2 b2 = 2a2 + 2c2 Câu 159: Cho tam giác ABC có AD là trung tuyến, G là trọng tâm. Một đường thẳng qua G cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M , N . Khẳng định nào sau đây đúng?   1   2   A. AM.AN AN.MB AM.NC 2 3
      B. AM.AN AN.MB AM.NC   2     C. AM.AN (AN.MB AM.NC) 3   3     D. AM.AN (AN.MB AM.NC) 2 Câu 160: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB=2 và AD=4.Gọi M là trung điểm của cạnh AB và N là điểm   trên cạnh AD sao cho AN k AD ,CM vuông góc với BN.Khi đó k thuộc vào khoảng nào sau đây 1 1 1 1 1 1 1 A. 0; B. ; C. ; D. ; 16 16 20 20 9 9 6   Câu 161: Cho tam giác MNP có MN=4,MP=8, Mµ = 600 Lấy điểm E trên tia MP và đặt ME kMP .Tìm k để NE vuông góc với trung tuyến MF của tam giác MNP. 2 2 1 1 A. k=. B. k=. C. k=. D. k=. 3 5 3 2 Câu 162: Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c . M là trung điểm của BC , D là chân đường phân  2 giác trong góc A . Tính AD  2 4c  2 4bc A. .A D p pB. a . AD p a b c 2 b c 2  2 4bc  2 4bc C. .A D p pD. a AD p p a b c 2 b c 2 Câu 163: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và B·CácAC điểm= 60 0 .M, N được xác định bởi uuur uuur uuur uur MC = - 2MB và NB = - 2NA . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau. A. .6 B.c2 -. 4b2 - 5bc = 0 4c2 - 5b2 - 6bc = 0 C. .6 D.c2 -. 5b2 - 4bc = 0 4c2 - 6b2 - 5bc = 0 Câu 164: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là trung điểm của AC và M là điểm thỏa mãn     OM 2OA OB 2OC . Biết rằng OM vuông góc với BI và AC 2 3BC.BA . Tính góc ·ABC . A. .3 0 B. 45 C. . 60 D. . 120 Câu 165: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AD = h, đáy AB = a, đáy CD = b. Gọi M là trung điểm của BC. Hệ thức giữa a, b, h để AM  BD là A. .a 2 hB.2 ab 0 h2 C.a2 . abD. 0. h2 b2 ab 0 b2 h2 ab 0 uuuur uuur uuur uuur Câu 166: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Gọi M, N là các điểm thỏa mãn BM 1 BC , AN 1 AB . 3 3 Gọi I là giao điểm của AM và CN. Tính diện tích của tam giác IBC theo a? a2 3 a2 7 2a2 7 2a2 3 A. .S B. . C. . D.S . S S IBC 7 IBC 7 IBC 7 IBC 7    2   4  Câu 167: Cho tam giác đều ABC và các điểm M , N, P thỏa mãn B M k BC , C, N CA AP AB 3 15 . Tìm kđể AM vuông góc với PN .
1 1 2 3 A. k B. k C. k D. k 3 2 3 4 Câu 168: : Giả sử O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC a;CA b; AB c . Tìm giá OA2 OB2 OC 2 trị biểu thức: K b.c c.a a.b 1 1 1 A. K B. K C. K 1 D. K 2 3 4 1 Câu 169: Cho hai véc tơ a và b thỏa mãn các điều kiện a b 1, a 2b 15. Đặt u a b và 2 v 2ka b, k ¡ . Tìm tất cả các giá trị của k sao cho u,v 600. 3 5 3 5 17 17 A. k 4 . B. k 4 . C. k 5 . D. k 5 . 2 2 2 2     AD Câu 170: Cho tứ giác ABCD , hai điểm M , N thỏa mãn 2MB MA 0;2NC ND 0 và x. Tính BC cosD· BC theo x để MN  BD. cos·ADB x x x A. . B. . C. . D. . x 3 2 2 3 Câu 171: Cho tam giác ABC có AB 6; BC 7;CA 5. Gọi M là điểm thuộc cạnh AB sao cho AM 2MB   a và N là điểm thuộc AC sao cho AN k AC (k ¡ ). Biết k b a ( là phân số tối giản, a,b là các số nguyên) sao cho đường thẳng CM vuông góc với đường thẳng b BN. Tính giá trị biểu thức T 2018a 2019b 5 . A. T 2017. B. T 2020. C. T 2030. D. T 2030. 0 Câu 172: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và B·CácAC điểm 60 M,. N được xác định bởi     MC 2MB và NB 2NA . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau. A. 6c2 5b2 4bc 0 B. c2 6b2 5bc 0 C. 4c2 6b2 5bc 0 D. 4c2 6b2 5bc 0 Câu 173: Cho hình chữ nhật ABCD có AB= a, AD=2a. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AD sao uuur uuur cho AD = kAN . Tìm k để CM  BN. A. k=7,9 B. k=8 C. k=8,1 D. k=7.8 Câu 174: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn là AC . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên AB, AD . Biểu thức nào sau đây là đúng.
A. .A B.AH AD.AF AB.C .2 AB.AE AD.AF AC 2 C. .A B.AE AD.AH AD.C .2 AB.AE AD.AF AC.AH Câu 175: Cho hình thang vuông ABCD , đường cao AD h , cạnh đáy AB a,CD b . Tìm hệ thức giữa a,b,h để BD vuông góc trung tuyến AM của tam giác ABC . A. .h 2 a aB. .b h2 a b a C. .h h b a a b h D. 2h2 a a b Câu 176: Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O, R), M là điểm chính giữa cung BC ( cung BC không chứa điểm A). Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau: A. MA MB.sin C MC.sin B B. MA MB.cosC MC.cos B C. MA MB.sin B MC.sin C D. MA MB.cos B MC.cosC Câu 177: Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c . M là trung điểm của BC , D là chân đường phân  2 giác trong góc Aµ . Tính AD  2 4c  2 4bc A. AD p p a B. AD p a 2 2 b c b c  2 4bc  2 4bc C. AD p p a D. AD p p a 2 2 b c b c Câu 178: Trong cuộc thi giải trí toán học tổ chức nhân dịp hoạt động chào mừng Ngày nhà giáo Việt Nam có một trò chơi như sau: Người ta thiết kế hai đường ray tạo với nhau một góc 300 như hình vẽ dưới đây. Trên các đường thẳng Ox và Oy người ta để hai vật nặng cùng trọng lượng. Buộc hai vật thể với nhau bằng một thanh cứng AB 1m sao cho mỗi vật đều có thể chuyển động được trên hai đường ray. Nối hai vật bằng một sợi giây vòng qua một cột có gốc tại O . Người tham dự cuộc thi sẽ đứng tại vị trí điểm B để kéo vật thể chuyển động trên Oy . Người thắng cuộc sẽ là người kéo được vật thể ra xa nhất so với điểm gốc O . Hãy dùng kiến thức toán học để tính toán vị trí xa nhất mà người tham dự cuộc thi có thể đạt được. A O B A. .1 m B. . 2m C. . 3m D. . 2m
Câu 179: Cho tam giác ABC có AB= c,BC=a,CA=b. Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL và CM 3 . Tính cos A . AL 2 2 5 1 3 1 A. cos A B. cos A C. cos A D. cos A 2 4 2 2 Câu 180: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 1;CD 3 . Điểm M thuộc cạnh AD và N là trung điểm BC sao m BN cho MN  BD . Phân số tối giản có m n bằng bao nhiêu n NC A. 29. B. 18. C. 16. D. 27. Câu 181: Cho tam giác ABC có AB = c ; BC = a , CA = b . Gọi M là trung điểm của AB và D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC . Biết rằng trung tuyến CvuôngM góc với phân giác trong AD . Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng? A. .b 2c B. . c 2b C. . D. a. b c c a b Câu 182: Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O;R). M là điểm bất kì trên cung nhỏ B»C . Khi đó A. MA MB MC B. MA MB MC C. MA MB MC D. MA 2MB MC Câu 183: Cho tam giác ABC biết AB 3,BC 4, AC 6 , I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.Gọi    x y z x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x.IA y.IB z.IC 0 .Tính P y z x 3 41 23 2 A. .P B. P . C. .P D. . P 4 12 12 3 Lời giải Họ và tên tác giả: Vũ Ngọc Thành Tên FB: Vũ Ngọc Thành Chọn B
A D M I B N C E    IE  ID  Dựng hình bình hành BDIE như hình vẽ. Khi đó IB IE ID IA IC IA IC IE MB BC ID BN AB Theo tính chất đường phân giác trong tam giác: , IA MA AC IC NC AC  BC  AB  Suy ra IB IA IC . AC AC     x  z  Từ x.IA y.IB z.IC 0 suy ra IB .IA .IC . y y   Do IA,IC là hai véc tơ không cùng phương suy ra x 4t,y 6t,z 3t với t 0 . x y z 41 Vậy P . y z x 12 Họ và tên tác giả: Nguyễn Thi Tiết Hạnh Tên FB: Hạnhtiettiet Email: tiethanh.78@gmail.com Câu 184: Cho hình bình hành ABCD . Gọi I là trung điểm của CD , G là trọng tâm tam giác BCI . Đặt   a AB,b AD . Hãy tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau?  5 2  5 A. AG a b . B. .AG a b 6 3 6  5  4 2 C. .A G a D. .b AG a b 6 3 3 Lời giải
Chọn A  1  1  1   * I là trung điểm của CD nên: AI AC AD AB AD . 2 2 2  1  1  1     * G là trọng tâm tam giác BCI nên: AG AB AC AI , thay AC AB AD và 3 3 3  1    1  1   1 1   5  2  AI AB AD ta được AG AB AB AD AB AD AB AD . 2 3 3 3 2 6 3 Họ và tên: Dương Bảo Trâm Facebook: Bảo Trâm Email: ilovemath.ddt@gmail.com Câu 185: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đẳng thức nào sau đây đúng. uur uur uur r uur uur uur r A. aIA + bIB + cIC = 0 B. bIA + cIB + aIC = 0 uur uur uur r uur uur uur r C. cIA + bIB + aIC = 0 D. cIA + aIB + bIC = 0 Lời giải A B' I B C C' Chọn A Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với BI cắt AI tại A’ uur uuur uuur Ta có IC = IA ' + IB ' (*) Theo định lý Talet và tính chất đường phân giác trong ta có: IB BA c uuur b uur = 1 = Þ IB ' = - IB (1) IB ' CA1 b c uuur a uur Tương tự: IA ' = - IA (2) c Từ (1) và (2) thay vào (*) ta có:
uur a uur b uur uur uur uur r IC = - IA - IB Û aIA + bIB + cIC = 0 c c Họ tên: Đỗ Thị Hồng Anh Đ/c mail: honganh161079@gmail.com Câu 186: Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn, ·ADC 300 . Biết DA = a, DC = b, hãy biểu diễn    DB theo hai vectơ DA và DC .      b a 3  A. DB DA DC. B. DB DA DC. b   b a     C. DB DA DC. D. DB bDA aDC. b Lời giải Kẻ BE // AD, E nằm trên cạnh CD. Ta có:     DE   DE  DB DA DE DA DC DA DC DC DC .  DC 2KC   b a 3  DA DC DA DC DC b Vậy đáp án đúng là câuB. Email: kimduyenhtk@gmail.com FB: Kim Duyên Nguyễn. uuuur uur r Câu 187: Cho hình bình hành ABCD , M là điểm thỏa mãn 5AM + 2CA = 0 . Trên các cạnh AB , BC lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho MP / / BC, MQ / / AB . Gọi N là giao điểm của AQ và CP . Giá AN CN trị của tổng + bằng: AQ CP
21 24 23 25 A. B. C. D. 19 19 19 19 Lời giải A P B N Q M D C uuur uuur uuur uuur Đặt AN = xAQ , CN = yCP BQ AP AM 2 Vì MQ / / AB, MP / / BC Þ = = = BC AB AC 5 uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur 3 uuur Ta có: AQ = AB + BQ = AB + BC = AB + (AC - AB) = AC + AP 5 5 5 2 uuur uuur 2 uuur 3 uuur Nên AN = xAQ = xAC + xAP (1) 5 2 2 3 10 Do N, C, P thẳng hàng nên x x 1 x 5 2 19 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Mặt khác CN = yCP Û AN - AC = y(AP - AC) Þ AN = (1- y)AC + yAP (2) 3 15 AN CN 25 Từ (1) và (2) suy ra y x . Do đó + = x + y = . Đáp án D 2 19 AQ CP 19 Họ và tên tác giả: Phạm Thị Ngọc Tên FB: Giang Thao Email: thuangiaoyen@gmail.com Câu 188: Cho tứ giác ABCD, M là điểm tùy ý. K là điểm cố định thỏa mãn đẳng thức      MA MB MC 3MD xMK . Tìm x: A. 2. B. 6. C. 5. D. 4. Lời giải Chọn B      Vì đẳng thức MA MB MC 3MD xMK (1) thỏa mãn với mọi M nên nó đúng khi M trùng      với K. Khi đó ta có: KA KB KC 3KD xKK 0 (2).     Gọi G là trọng tâm ABC , ta có KA KB KC 3KG (3).     Thay (3) vào (2) ta được 3KG 3KD 0 KG KD 0 , suy ra K là trung điểm của GD. Từ (1) ta có:
               MK KA MK KB MK KCKB 3MK 3KD (KA KB KC 3KD) 6MK 6MK   Vậy 6MK xMK suy ra x = 6. Họ và tên: Nguyễn Thanh Hoài Email: ngthhoai1705@gmail.com Facebook: Câu 189: Cho tam giác ABC , trên cạnh AC lấy điểm M , trên cạnh BC lấy điểm N sao cho AM = 3MC , NC = 2NB . Gọi O là giao điểm của AN và BM . Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác OBN bằng 1. A. .2 4 B. . 20 C. 30 . D. 45 Lời giải C M N O A B Chọn C uuur uuur uuur uuur uuuur uuur Ta có: BO = xBA + (1- x)BN và AO = yAM + (1- y)AB . uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur r Þ AB = yAM + (x - y + 1)AB + (x - 1)BN Û (x - y)AB + yAM + (x - 1)BN = 0 (1) uuur r uur r uuur r r uuuur 3 r uuur 1 r Đặt CB = a,CA = b ta được AB = a - b;AM = - b;BN = - a 4 3 r r x - 1 r 3 r Thay vào (1) và thu gọn ta được: (x - y)a - (x - y)b = a + yb 3 4 ïì x - 1 ïì 1 ï x - y = ï x = uuur uuur æ öuuur ï 3 ï 10 1 1 ç 1 ÷ Suy ra í Û í . Với x = ta được BO = BA + ç1- ÷BN ï 3 ï 2 10 10 èç 10ø÷ ï y - x = y ï y = îï 4 îï 5 uuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur NA Û BO - BN = BA - BN Û NO = NA Û = 10 10( ) 10 NO Vì SONB = 1 Û SNAB = 10 Þ SABC = 30 .
Họ và tên tác giả: Trần Ngọc Uyên Tên FB: Tran Ngoc Uyen Email: ngocuyen203@gmail.com Câu 190: Cho tam giác ABC , gọi I là điểm trên BC kéo dài sao cho IB 3IC . Gọi J, K lần lượt là những    điểm trên cạnh AC, AB sao cho JA 2JC; KB 3KA . Khi đó BC m.AI n.JK . Tính tổng P m n ? A. .P 34 B. P 34 . C. .P 14 D. . P 14 Lời giải Chọn B     3   3   3  1  Ta có: AI AB BI AB BC AB AC AB AC AB (1) 2 2 2 2    1  2  JK AK AJ AB AC (2) 4 3  3  1  AI AC AB    2 2 AC 6AI 12JK Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình     2  1  JK AC AB AB 16AI 36JK 3 4      Ta có: BC AC AB 10AI 24JK m 10;n 24 m n 34 . Chọn đáp ánB. Email: huanpv@dtdecopark.edu.vn  1   1  Câu 191: Cho hình bình hành ABCD, lấy M trên cạnh AB và N trên cạnh CD sao cho AM AB, DN DC 3 2     . Gọi I và J là các điểm thỏa mãn BI mBC, AJ nAI . Khi J là trọng tâm tam giác BMN thì tích m.n bằng bao nhiêu? 1 2 A. B. 3 C. D. 1 3 3 (Họ và tên tác giả: Phạm Văn Huấn, Tên FB: Pham Van Huan) Lời giải Chọn A D N C A M B     J là trọng tâm tam giác BMN khi và chỉ khi AB AM AN 3AJ (9) Ta có
 1  * AM AB 3    1     1   1  * AN DN DA DC DC CA AC DC AC AB 2 2 2            * AJ nAI n AB BI n AB mBC n AB m AC AB n(1 m)AB mnAC  1   1    Nên thay vào (9) ta có AB AB AC AB 3n(1 m)AB 3mnAC 3 2 5 5   3n(1 m) 0 1 3n(1 m) AB 1 3mn AC 0 6 mn 6 3 1 3mn 0 Họ và tên: Hứa Nguyễn Tường Vy Email: namlongkontum@gmail.com FB: nguyennga Câu 192: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấ yđiểm M, trên cạnh BC lấ yN sao cho AM=3MB, NC=2BN. Gọi I là giao điểm của AN với CM. Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác ICN bằng 2. 3 33 9 A. B. C. 11 D. 2 2 11 Lời giải Chọn đáp án B A M I C B N   Đặt BC a; BA c .   3  2 Suy ra AC a c ; AM c; CN a 4 3    Do A, I, N thẳng hàng nên CI xCA (1 x) CN    Và M, I, C thẳng hàng nên AI y AC (1 y) AM        3y x 1 1 y 4x Mặt khác AC AI CI y AC (1 y) AM (xCA (1 x) CN) a c 0 3 4
3y x 1 2 0 x 3 11 Mà a; c không cùng phương suy ra 1 y 4x 3 0 y 4 11 2  2  9   2  Với x CI CA CN NI NA 11 11 11 11 NI 2 SNCI 2 Hay SNCA 11 NA 11 SNCA 11 SABC BC 3 33 Mà SABC SANC NC 2 2 congsondienan@gmail.com     Câu 193: Cho ∆ABC có trọng tâm G và hai điểm M, N thỏa mãn: 3MA 2CM 0 , NA 2NB 0 . Chọn mệnh đề đúng.         A. .N G 4GB.M NG 5GM . C. .N G 6GD.M . NG 7GM (Họ và tên tác giả: Trần Công Sơn, Tên FB: Trần Công Sơn) Lời giải Chọn B A M G B C E N . Gọi E là trung điểm BC. M, N là các điểm như hình vẽ.    2   2 1    5  1  Ta có: NG AG AN AE 2AB . AB AC 2AB AB AC . 3 3 2 3 3    2  2  2  2 1   1  1  GM AM AG AC AE AC . AB AC AB AC . 5 3 5 3 2 3 15  5  1  1  1   Nên NG AB AC 5 AB AC 5GM . 3 3 3 15   Vậy NG 5GM . (Email): tranminhthao2011@gmail.com
Câu 194: (Đẳng thức vec tơ) Cho tam giác ABC . Gọi A', B',C' là các điểm xác định bởi       2018A'B 2019A'C 0 , 2018B'C 2019B' A 0 , 2018C ' A 2019C 'B 0 . Khi đó, mệnh đề nào sau đây đúng? A. ABC và A'B'C ' có cùng trọng tâm. B. . ABC A'B'C ' C. . ABC : A'B'C ' D. ABC và A'B'C ' có cùng trực tâm. Lời giải Chọn A   Ta có 2018A'B 2019A'C 0     2018 A' A AB 2019 A' A AC 0    4037A' A 2018AB 2019AC 0 (1)       Tương tự ta có 4037B'B 2018BC 2019BA 0 ; 4037C 'C 2018CA 2019CB 0 Cộng vế với vế lại ta được          4023 AA' BB' CC ' BA AC CB 0 AA' BB' CC ' 0 . Vậy ABC và A'B'C ' có cùng trọng tâm Câu 195: ( tính độ dài vec tơ) Cho tam giác đều ABC cạnh a . Gọi điểm M là trung điểm BC . Tính độ dài 1   của vec tơ AB 2AC 2 a 21 a 21 a 21 a 21 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 7 Lời giải
Chọn B Gọi N là trung điểm AB , Q là điểm đối xứng của A qua C và P là đỉnh của hình bình hành AQPN . 1     Khi đó ta có AB AN, 2AC AQ suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có 2 1      AB 2AC AN AQ AP 2 Gọi L là hình chiếu của A lên PN Vì MN / / AC ·ANL M· NB C· AB 600 AL a a 3 Xét tam giác vuông ANL ta có sin ·ANL AL AN.sin ·ANL sin 600 AN 2 4 NL a a cos ·ANL NL AN.cos ·ANL cos600 AN 2 4 a 9a Ta lại có AQ PN PL PN NL AQ NL 2a 4 4 Áp dụng định lí Pitago trong tam giác ALP ta có 3a2 81a2 21a2 a 21 AP2 AL2 PL2 AP 16 16 4 2 1   a 21 Vậy AB 2AC AP 2 2 Họ và tên: Trần Quốc An Email: tranquocan1980@gmail.com Facebook: Tran Quoc An Câu 196: Cho ABC có M là trung điểm của BC, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Tìm x để     HA HB HC xHO . A. x 2. B. .x 2 C. x 1. D. . x 3 Lời giải
A H O C B M A' Chọn A Gọi A' là điểm đối xứng với A qua O, ta có: A'B  AB  CH P A'B (1) CH  AB  Tương tự ta chứng minh được BH P A'C (2) Từ (1),(2) suy ra tứ giác BHCA’ là hình bình hành. Do đó M là trung điểm của HA' .     Ta có: HB HC 2HM HA'       HA HB HC HA HA' 2HO x 2. buiduynam1993@gmail.com Câu 197: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL . Giả sử ngoài ra a bk 2 còn có CM kAL . Biết cos A . Tính a b c d c dk 2 A. 18. B. .5 C. . 26 D. . 17 (Bùi Duy Nam sưu tầm. FB: Bùi Duy Nam Lời giải Chọn A
1 Ta có ACM cân tại A AC AM AB c 2b với b AC , c AB . 2  b  c  2   Theo đề bài AL là phân giác trong của góc A nên: AL AB AC AM AC . c b c b 3 4   4 8 AL2 AM 2 AC 2 2AM.AC 2b2 2b2 cos A b2 1 cos A . 9 9 9   Lai có 2AC.AM AC 2 AM 2 CM 2 2b2 cos A 2b2 CM 2 CM 2 2b2 1 cos A . 8 Từ CM kAL 2b2 1 cos A k 2. b2 1 cos A 9 1 cos A 4k 2 1 cos A 9 9 4k 2 cos A . 9 4k 2 Vậy a b c d 18 . Họ và tên: Phạm Thanh My Email: phamthanhmy@gmail.com Facebook: Pham Thanh My uuur uuur r uuur uuur Câu 198: Cho tam giác ABC . Gọi M , N, P là các điểm lần lượt thỏa mãn MA 3MB 0 , AN 1 AC , 3   2PB 3PC 0 Gọi K là giao điểm của AP và MN . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? uur uuur r uur uuur r A. .4 KA B.5K .P 0 3KA 2KP 0 uur uuur r uur uuur C. KA KP 0 . D. .KA KP Lời giải Chọn C
A N K M I B P C Gọi I là giao điểm của MN và BC . IB NC MA  1    Áp dụng định lý Menelaus ta có . . 1 IB IC mà 2PB 3PC 0  P là trung IC NA MB 6 điểm IC . KA IP MB Áp dụng định lý Menelaus ta có . . 1 KP IB MA KA   1 KA KB 0 KP Câu 199: Cho hình thang ABCD (AB / /CD) có hai đường chéo vuông góc với nhau. Biết AB CD 20cm.   Tìm AC BD . A. .4 0cm. B. 20cm. . C. .3 0cm. D. . 10cm. Lời giải Chọn B Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Yến Tên FB: Nguyễn Yến Email: ntyen.c3lqd@gmail.com
A B D C E F      AC BD BE BD BF DE 20cm. Họ và tên tác giả:Lê Thanh Lâm Mail:quyphucvn@gmail.com Fb:Thanh Lâm Lê Câu 200: Cho tam giác ABC có AB 3; AC 4 .Gọi AD là đường phân giác trong của góc A .Biết    AD mAB nAC .Khi đó tổng m n có giá trị là: 1 1 A. 1 B. 1 C. D. 7 7 Lời giải Chọn A A B D C Theo tính chất đường phân giác trong của góc A trong tam giác ABC ta có: DB AB 3       3DC 4DB 3(AC AD) 4(AB AD) DC AC 4     4  3  4 3 7AD 4AB 3AC AD AB AC .Ta có m ;n .Vậy tổng m n 1 . Chọn A 7 7 7 7 Câu 201: Cho tam giác ABC bất kỳ, gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,CA . H, H 'lần lượt là trực tâm các tam giác ABC, MNP . Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?         A. .H A HB HC 3HHB.' HA HB HC 2HH '.
       C. .H AD. .HB HC 0 HM HN HP 3HH ' Lời giải Chọn B H ' là trực tâm tam giác MNP nên H ' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên BHCD là hình bình hành       suy ra HA HB HC HA HD 2HH ' . Mail: kimlinhlqd@gmail.com Câu 202: Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm bất kì bên trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M lên BC, CA, AB. Với giá trị nào của k ta có hệ thức:     MD ME MF kMO 1 3 A. .k B. . k 1 C. k . D. k 2 2 2 Lời giải Huỳnh Kim Linh GV Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa Chọn C
Gọi hình chiếu của M lên cạnh BC là D. Ta có S MD  S  3S  a MD a .AA' a AO . S AA' S 2S Sa SMBC Tương tự cho các đánh giá khác. Do đó:    3    MD ME MF S AO S BO S CO = 2S a b c 3       S MO MA S MO MB S MO MC 2S a b c 3  3    3  S S S .MO S MA S MB S MC MO 2S a b c 2S a b c 2 Cách Khác: Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh BC, CA, AB Họ và tên tác giả: Nguyễn Thanh Dũng Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng Email: thanhdungtoan6@gmail.com Câu 203: Một giá đỡ hình tam được gắn vào tường (như hình vẽ). Tam giác ABC vuông cân tại B. Người ta treo vào điểm A một vật nặng 10N. Tính độ lớn của các lực tác động vào tường tại B và C? (Bỏ qua khối lượng của giá đỡ) A. FB 10 2N, FC 10N B. FB 10N, FC 10 2 C. FB FC 10N D. FB 10N, FC 10 2 Lời giải Đáp án: B
       Hệ chất điểm cân bằng nên FB FC P 0 F P F P 10N    F F F P 10N B B Tam giác ABC vuông cân tại B suy ra    F F F 2 P 2 10 2N C C Email: giachuan85@gmail.com    · Câu 204: Cho ba điểm A , B ,C thuộc đường tròn tâm O , thỏa mãn OA OC OB 0 . Tính góc AOB ? A. ·AOB 1200 . B. .·A OB 9C.00 . D. . ·AOB 1500 ·AOB 300 Lời giải Họ và tên: Trần Gia Chuân Tên facebook: Trần Gia Chuân Chọn A    Do OA OC OB 0 nên O là trọng tâm tam giác ABC . Mà O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nên tam giác ABC đều. Vậy góc ·AOB 1200 Email: giachuan85@gmail.com  1  2  Câu 205: Cho tam giác ABC . Điểm M trên cạnh BC thỏa mãn AM .AB .AC , khẳng định nào sau 3 3 đây là khẳng định đúng?     A. .M B 2MB.C MB 2MC . C. .M C 2D.MB . MC 3MB Lời giải Họ và tên: Trần Gia Chuân Tên facebook: Trần Gia Chuân
Chọn B   Cách 1: Giả sử BM k.BC khi đó Ta có    AM AB BM   AB k.BC    AB k. AC AB   1 k .AB k.AC  1  2  2 Mà AM .AB .AC k suy ra 3 3 3   3.BM 2.BC MB 2MC Cách 2:  1  2  1  1  2  2  AM .AB .AC .AM .MB .AM .MC 3 3 3 3 3 3 1  2  .MB .MC 0 3 3   MB 2.MC 0 MB 2MC Email: cvtung.lg2@bacgiang.edu.vn Câu 206: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O , Mlà một điểm tùy ý nằm bên trong tam giác đã cho; gọi A '; B ';C ' theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh BC ; CA và AB .     k Khi đó ta có đẳng thức vectơ k M A ' M B ' M C ' l M O , k.l 0, là phân số tối giản. Tính l 2k 2 l 2 . . A. .2 k 2 l 2 B.1 2k 2 l 2 1. C. .2 k 2 l 2D. 1. 4 2k 2 l 2 5 Lời giải Họ và tên tác giả: Cao Văn Tùng Tên FB: Cao Tung Chọn B
Từ M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh BC;CA; AB và các đường thẳng này cắt các cạnh của tam giác ABC tại các điểm A1, A2 , B1, B2 ,C1,C2 như hình trên. Xét tam giác MA1 A2 do tam giác ABC đều và tính chất của góc đồng vị nên góc · · 0 MA1 A2 MA2 A1 60 suy ra tam giác MA1 A2 đều và A' là trung điểm của Atừ1 Ađó2 ta có:  1   MA' MA MA 2 1 2  1    1   Chứng minh tương tự ta có MB ' MB MB ;MC ' MC MC . 2 1 2 2 1 2    1       Suy ra MA' MB ' MC ' MA MC MA MB MB MC , mặt khác các tứ giác 2 1 2 2 2 1 1 AB1MC1; BA1MC2 ;CA2MB2 là hình bình hành nên    1    3      MA' MB ' MC ' MA MB MC MO 2 MA' MB ' MC ' 3MO . 2 2 Vậy k 2;l 3 2k 2 l 2 1 . Email: trang145@gmail.com  1   1  Câu 207: Cho hình vuông ABCD, E,F thõa mãn BE BC;CF CD ; AE  BF I 3 2    Ta có AI k AB l AD . Khi đó tỉ số k,l thõa mãn cặp nào sau: 3 2 6 2 5 3 6 1 A. k ;l B. k ;l C. k ;l D. k ;l 5 5 5 5 6 6 5 3 Lời giải Họ tên: Nguyễn Thị Trang Fb: Trang Nguyen Chọn B A B E K I D C F EK 1 EI EK 1 Kẻ EK//AB CF 3 AI AB 6  6  6   6  1  6  2  Ta có: AI AE (AB BE) (AB BC) AB BC) 5 5 5 3 5 5
Câu 208: Cho tam giác ABC , trên cạnh AC lấy điểm M , trên cạnh BC lấy điểm N sao cho: AM 3MC , NC 2NB , gọi O là giao điểm của AN và BM .Tính diện tích ABC biết diện tích OBN bằng 1. A. .1 0 B. . 20 C. . 25 D. 30 . (Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo) Lời giải Chọn D A Vì A,O, N thẳng hàng nên:    BO xBA 1 x BN    M Tương tự: AO y AM 1 y AB O B N C     AB y AM (x y 1)AB (x 1)BN    hay (x y)AB y AM (x 1)BN 0 (1)    Đặt CB a , CA b .   3  1 Ta có: AB a b; AM b; BN a 4 3 3 1 Thay vào (1) ta có: x y a b yb x y a 0 4 3 x 1 3y x y a x y b a b 3 4 x 1 1 x y x 3 10 Từ đó ta có: 3 2 y x y y 4 5 1  1  1  Với x BO BA (1 )BN 10 10 10   1    1  NA BO BN BA BN hay NO NA . 10 10 10 NO Vì SONB 1 SNAB 10 SABC 30 . Họ và tên: Nguyễn Văn Quân Tên FB: Quân Nguyễn Email: Quanvan09@gmail.com
Câu 209: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chọn khẳng định đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. .H A + HB+ HC = 4B.H O. HA + HB+ HC = 2HO uuur uuur uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur C. .H A + HB+ HC = D.H .O HA + HB+ HC = 3HO 3 Lời giải A H O B C D uuur uuur uuur uuur Dễ thấy: HA + HB+ HC = 2HO nếu tam giác ABC vuông. Nếu tam giácABC không vuông gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Khi đó: BH / /DC (vì cùng vuông góc với AC). BD / /CH (vì cùng vuông góc với AB). uuur uuur uuur Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó theo quy tắc hình bình hành thì HB+ HC = HD (1). uuur uuur uuur Mặt khác vì O là trung điểm của AD nên HA + HD = 2HO (2). uuur uuur uuur uuur Từ (1) và (2) suy ra.HA + HB+ HC = 2HO . Tên facebook: NT AG Câu 210: Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC , O là một điểm trên đoạn AD sao cho AO 4OD . Gọi E CO  AB , F BO  AC , M AD  EF . Khẳng định nào sau đây đúng?  1   2   1   2  A. MO AD B. MO AD C. MO AD D. EM BC 7 15 8 7 Lời giải Họ và tên tác giả: Nguyễn Đặng Chọn B
A E M F O C B D     Đặt: AB xAE , AC y AF , (x, y ¡ ) .  4  2   2  2  2  2  Theo bài ra ta có AO AD AB AC xAE AC AB y AF 5 5 5 5 5 5 2 2 3 Do O, B, F thẳng hàng nên y 1 y 5 5 2 2 2 3 Do C,O, E thẳng hàng nên x 1 x 5 5 2 AB AC 3 AD 4  2  Từ đó: , lại có AO AD MO AD AE AF 2 AM 5 15 Câu 211: Cho hình thang ABCD có AB //CD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC, BD . Kẻ NH  AD (H AD) và ME  BC (E BC) . Gọi I ME  NH , kẻ IK  DC (K DC) . Khi đó trong tam giác MNK hệ thức nào sau đây đúng?       A. MK.IN NK.IM MN.IK 0 B. IN.tan N IM.tan M IK.tan K 0       C. IN.cot N IM.cot M IK.cot K 0 D. IM IN IK 0 Lời giải Chọn B F J A B E H N M I D K C Ta chứng minh ID IC ·ABF ·AJF 180O Kẻ AF  BC, BJ  AD . Tứ giác ABFJ nội tiếp D· CB ·AJF 180O
Khi đó DCFJ là tứ giác nội tiếp. NH, ME là các đường trung bình của các tam giác DBJ,CAF IH, IE là các đường trung trực của DJ,CF nên IJ IF ID IC . Vậy ID IC KD KC NH //BC NK  ME NK  MI MK //AD MK  HN MK  NI Từ đó suy ra I là trực tâm tam giác MNK . Nên đáp án đúng là B Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát Email: nguyenvantoannbk@gmail.com Câu 212: Cho ABC , điểm Mthuộc cạnh B saoC cho 2018.S ABM 2019.S A .C MĐẳng thức nào sau đây sai?   A. .2 018.S ABC 4037.SB. AC M. 2018.BM 2019.CM 0  4037  2019 C. BC .BM D. .S .S 2018 ABM 4037 ABC Lời giải Chọn C Kẻ đường cao AH của ABC . 2019 4037 Ta có S S S S S S , suy ra A đúng. ABC ABM ACM 2018 ACM ACM 2018 ACM Tương tự D cũng đúng. 1 .AH.BM S BM 2019  2019  Từ giả thiết ta có ABM 2 BM CM , suy ra B đúng. S 1 CM 2018 2018 ACM .AH.CM 2  4037  (C sai vì BC .BM ). 2019 (Tác giả: Nguyễn Văn Phùng,Gmail: nvpmaster0808@gmail.com) Câu 213: Cho tam giác ABC . M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho SABC 3SAMC . Một đường thẳng cắt các AB AC AM cạnh AB, AM , AC lần lượt tại B , M ,C phân biệt. Biết rằng 2 k. . Tìm số k . AB AC AM 2 A. .k 1 B. . k 2 C. k 3. D. . 3 (Tác giả: Nguyễn Văn Phùng,Gmail: nvpmaster0808@gmail.com) Lời giải Chọn C
A C' M' B' C B M  2  Ta có S 3S BC 3MC BM BC ABC AMC 3       Đặt AB ' xAB ; AC '=y AC ; AM ' z AM      Ta có B 'M ' AM ' AB ' z AM xAB     2z  z AB BM xAB z x AB BC 3  2z   z  2z  z x AB AC AB x AB AC 3 3 3      Lại có: B 'C ' AC ' AB ' y AC xAB z 2z x   3 1 2 Mặt khác B 'M ' , B 'C ' cùng phương nên 3 3 x y z x y AB AC AM Hay 2 3 . AB ' AC ' AM ' Từ đó suy ra k 3 . nguyenchitrung12@gmail.com Câu 214: Cho n điểm phân biệt trên mặt phẳng. Bạn An kí hiệu chúng là A1, A2 , , An . Bạn Bình kí hiệu chúng    là B1, B2 , , Bn (A1  Bn ). Vectơ tổng A1B1 A2 B2 An Bn bằng    A. 0 . B. .A 1 An C. . B1Bn D. . A1Bn (Sưu tầm, Tên FB: Trung Nguyễn Chí) Lời giải Chọn A Lấy điểm O bất kì. Khi đó          A1B1 A2 B2 An Bn A1O A2O AnO OB1 OB2 OBn Vì B1, B2 , , Bn A1, A2 , , An nên
      OB1 OB2 OBn OA1 OA2 OAn          Do đó A1B1 A2 B2 An Bn A1O OA1 A2O OA2 AnO OAn 0 . Câu 215: Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB và CD cắt nhau tại M. Qua trung điểm S của BD kẻ SM AK AM 2 cắt AC tại K sao cho a .Tính: CK CM 2 1 A. 2a B. a2 C. D. a a2 Lời giải AK a 0 CK  1  a  Ta có: MK .MA .MC (1) 1 a 1 a     l   Do MK, MS cùng phương nên: MK lMS (MB MD) 2 Mặt khác  b  MB MA MA2 MA.MB MC.MD b 0  b  MD MC MC 2  bl  bl  MK MA MC(2) 2MA2 2MC 2 1 bl 1 a 2MA2 MA2 Từ (1) và (2) suy ra a a bl MC 2 1 a 2MC 2  2   1  Câu 216: Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn:BD BC, AE AC . 3 4
 AK Điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K,E thẳng hàng. Xác định tỷ số  AD 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 4 5 Lời giải A E K C B D Ba điểm K, B, E thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại sao cho:    AK AB (1 )AE (1)   1  2  Đặt AK xAD x( AB AC) 3 3  1  2  x  2x  AK x( AB AC) AB AC (2) 3 3 3 3 Áp dụng hệ quả 5 thì từ (1) và (2) ta có: x 1 x 3 3 1 2x 1 (1 ) 4 3 9   1  AK 1 Vậy AK AD  3 AD 3 Facebook: Lê Văn Kỳ Email: lethithuy@thpthv.vn Câu 217: Cho tam giác ABC vuông tại C, có AC = b,BC = a , D là chân đường cao kẻ từ C. Khẳng định nào sau đây là đúng?  a2  b2   a2  b2  A. .C D CB.A . CB CD CA CB a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2  a2  b2   a2  b2  C. CD AC BC D. .CD AC BC a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 Lời giải
Chọn A CB2 BD CB2 a2  a2  Ta có BC 2 BD.BA BD BD BA . BA BA BA2 a2 b2 a2 b2 uur uur uur uuur a2 uur uur Lại có: BA = CA- CB Þ BD = CA- CB . a2 + b2 ( ) uuur uur uuur uur a2 uur uur a2 uur b2 uur Vậy CD = CB + BD = CB + CA- CB = CA + CB a2 + b2 ( ) a2 + b2 a2 + b2 Email: huyenbla81@gmail.com    Câu 218: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm xác định bởi 5IA 7IB IC 0. Gọi E là giao EA điểm của AI và BG. Tính tỷ số . EI 1 1 A. 2. B. . C. 3. D. . 2 3 (Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thu Huyền. Tên FB: Thu Huyen Nguyen) Lời giải Chọn B A G E B C I
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:     IA IB IC 3IG.    Mà: 5IA 7IB IC 0.    Vậy ta có: 6IA 6IB 3IG   2BA IG IG / / AB (hình vẽ) IG 2AB EA AB 1 . EI IG 2 Email: nghiepbt3@gmail.com Câu 219: Cho 2 tia Ox, Oy vuông góc. Trên tia Ox lấy các điểm A,B sao cho OA = OB = 1. C là điểm thuộc đoạn OA, N là một điểm thuộc đoạn OB và dựng hình vuông OCMN. Trên đoạn CM lấy điểm Q và dựng hình vuông ACQP. Gọi S là giao điểm của AM và PN. Giả sử OC kOA , AS xAM , 1 NS yNP , k ;1 2 13 a Khi x + y = thì k = , với a,b  và a, b nguyên tố cùng nhau thì a.b bằng 10 b A. 7 B. 4 C. 5 D. 12 Lời giải FB: Ngô Quang Nghiệp Ta có: OS OA AS OA xAM OA x OM OA 1 x OA xOM 1 x OA x OC ON 1 x OA xkOA xkOB 1 x kx OA xkOB , (1). Mặt khác: OS ON NS kOB yNP kOB y OP ON kOB yOA y AP ykOB k 1 y OB yOA y 1 k OB , (vì AP = CA = 1 - k nên AP 1 k OB ) yOA k y 2ky OB , (2). 1 k x 1 x kx y 2k 2 2k 1 Từ (1) và (2), ta có kx k y 2ky k 2 y 2k 2 2k 1
3 k 13 1 k k 2 13 4 Ta có: x y 10 2k 2 2k 1 2k 2 2k 1 10 1 k 4 3 Đối chiếu điều kiện, ta chọn k . ĐÁP ÁND. 4 Họ Tên: Lê Duy Tên FB: Duy Lê Email: Duyleag@gmail.com Câu 220: Cho tam giác ABC . Giả sử điểm M nằm trên cạnh BC thỏa các tam giác MAB, MAC lần lượt có diện tích là S1, S2 . Khẳng định nào sau đây đúng?       A. S1 S2 AM S2 AB S1 AC. B. S1 S2 AM S1 AB S2 AC.       C. S2 S1 AM S2 AB S1 AC. D. S2 S1 AM S1 AB S2 AC. Lời giải Chọn A A S1 S2 C B M Gọi h d A, BC . 1 d A, BC .BM S BM Ta có 1 2 S 1 CM 2 d A, BC .CM 2       S1 BM MC S2 BA AM S1 MA AC S2    S2 S1 AM S2 AB S1 AC Họ và tên tác giả: Nguyễn Đức Duẩn Tên FB: Duan Nguyen Duc Email: Duanquy@gmail.com  1 Câu 221: Cho tam giác ABC có có M là trung điểm của BC, AI MI . Điểm K thuộc cạnh AC sao cho 2  m  B,I,K thẳng hàng. Khi đó KA CK . Tính S 25m 6n 2019 n A. .S 2019 B. S 2068 . C. .S 2018 D. . S 2020 Lời giải Chọn B
A K I  1   B C Ta có AM (AB AC) . M 2   Gọi điểm K thuộc cạnh AC sao cho AK x.AC .      1   1  1  5  1  Ta có BK AB x.AC và BI AB .AM AB AB AC AB AC 3 6 6 6 6 1 x 1  1  m 1 Để B,I,K thẳng hàng thì x KA CK 5 1 5 4 n 4 6 6 Vậy S 25.1 6.4 2019 2068 Họ và tên: Nguyễn Quang Huy Fb: Nguyễn Quang Huy Email: boigiabao98@gmail.com     Câu 222: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, lấy các điểm I, J sao cho IA 2IB và 3JA 2JC 0 và thỏa mãn   đẳng thức IJ kIG . Giá trị của biểu thức P (25k2 36)(k2 k 1)500 là: 5 6 A. P 1235 B. P 0 C. P D. P 6 5 Lời giải Thật vậy nếu ta gọi M là trung điểm của BC ta có:    2   2 1    1  5  IG AG AI AM 2AB . (AB AC) 2AB AC AB 5 3 2 3 3    2   6 1  5  6  Mặt khác ta lại có IJ AJ AI AC 2AB ( AC AB) IG 5 5 3 3 5 6 Do đó k 5 36 Nhận thấy 25k2 36 25. 36 36 36 0 do đó P 0 .vậy chọn B 25 (Email): nguyenmy181@gmail.com Câu 223: Cho tam giác ABC . M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho SABC = 3SAMC . Một đường thẳng cắt AB AC AM các cạnh AB,AM ,AC lần lượt tại B ',M ',C 'phân biệt. Biết + m = n . Tính AB ' AC ' AM ' m n . A. 2. B. 5. C. 3. D. 4. Lời giải
uuur 2 uuur Ta có S = 3S Þ BC = 3MC Þ BM = BC ABC AMC 3 uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur Đặt AB ' = xAB ; AC '= yAC ; AM ' = zAM uuuuur uuuur uuuur uuuur uuur Ta có B 'M ' = AM ' - AB ' = zAM - xAB uuur uuur uuur uuur 2z uuur = z AB + BM - xAB = (z - x )AB + BC ( ) 3 uuur 2z uuur uuur æz öuuur 2z uuur = (z - x )AB + AC - AB = ç - x ÷AB + AC 3 ( ) èç3 ø÷ 3 uuuuur uuuur uuuur uuur uuur B 'C ' = AC ' - AB ' = yAC - xAB z 2z uuuuur uuuuur - x 3 1 2 Mặt khác B 'M ' , B 'C ' cùng phương nên 3 = 3 Û = + - x y z x y AB AC AM Hay + 2 = 3 AB ' AC ' AM ' (Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Trà My, Tên FB: Nguyễn My) Họ và tên tác giả: Nguyễn Đặng Tên facebook: NT AG Câu 224: Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC , O là một điểm trên đoạn AD sao cho AO 4OD . Gọi E CO  AB , F BO  AC , M AD  EF . Khẳng định nào sau đây đúng?  1   2   1   2  A. MO AD B. MO AD C. MO AD D. EM BC 7 15 8 7 Lời giải Chọn B A E M F O C B D     Đặt: AB xAE , AC y AF , (x, y ¡ ) .
 4  2   2  2  2  2  Theo bài ra ta có AO AD AB AC xAE AC AB y AF 5 5 5 5 5 5 2 2 3 Do O, B, F thẳng hàng nên y 1 y 5 5 2 2 2 3 Do C,O, E thẳng hàng nên x 1 x 5 5 2 AB AC 3 AD 4  2  Từ đó: , lại có AO AD MO AD AE AF 2 AM 5 15 Câu 225: Cho hình thang ABCD có AB//CD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC, BD . Kẻ NH  AD (H AD) và ME  BC (E BC) . Gọi I ME  NH , kẻ IK  DC (K DC) . Khi đó trong tam giác MNK hệ thức nào sau đây đúng?       A. MK.IN NK.IM MN.IK 0 B. IN.tan N IM.tan M IK.tan K 0       C. IN.cot N IM.cot M IK.cot K 0 D. IM IN IK 0 Lời giải Chọn B F J A B E H N M I D K C Ta chứng minh ID IC ·ABF ·AJF 180O Kẻ AF  BC, BJ  AD . Tứ giác ABFJ nội tiếp D· CB ·AJF 180O Khi đó DCFJ là tứ giác nội tiếp. NH, ME là các đường trung bình của các tam giác DBJ,CAF IH, IE là các đường trung trực của DJ,CF nên IJ IF ID IC . Vậy ID IC KD KC NH //BC NK  ME NK  MI MK //AD MK  HN MK  NI Từ đó suy ra I là trực tâm tam giác MNK . Nên đáp án đúng là B Họ và tên tác giả: Nguyễn Thi Tiết Hạnh Tên FB: Hạnhtiettiet Email: tiethanh.78@gmail.com
Câu 226: Cho hình bình hành ABCD . Gọi I là trung điểm của CD , G là trọng tâm tam giác BCI . Đặt   a AB,b AD . Hãy tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau?  5 2  5 A. AG a b . B. .AG a b 6 3 6  5  4 2 C. .A G a D. .b AG a b 6 3 3 Lời giải Chọn A  1  1  1   * I là trung điểm của CD nên: AI AC AD AB AD . 2 2 2  1  1  1     * G là trọng tâm tam giác BCI nên: AG AB AC AI , thay AC AB AD và 3 3 3  1    1  1   1 1   5  2  AI AB AD ta được AG AB AB AD AB AD AB AD . 2 3 3 3 2 6 3 (Email): locleduc10@gmail.com Câu 227: Một đường thẳng cắt các cạnh DA, DC và đường chéo DB của hình bình hành ABCD lần lượt tại     các điểm E, F và M. Biết DE m.DA, DF n.DC (m, n 0). Khẳng định đúng là:  m n   m  A. .D M B. . DB DM DB m.n m n  n   m.n  C. .D M D. . DB DM DB m n m n Lời giải Chọn D     Đặt DM x.DB; EM yFM. Khi đó:      EM DM DE (x m)DA xDC
     FM DM DF xDA (x n)DC Ta có:       EM yFM (x m)DA xDC xyDA y(x n)DC.   x m xy Do DA; DC không cùng phương nên x y(x n) m mn Giải hệ được y và x . n m n  m.n  Vậy DM DB m n (Họ và tên tác giả: Lê Đức Lộc, Tên FB: Lê Đức Lộc) Email: phuogthu081980@gmail.com Câu 228: Hình thang cân ABCD có độ dài đường cao AH a; AB / /CD, AB a 3; AD a 2; AB DC  x y z  AC cắt BH tại I. Biết AI AC; x; y; z;m N . m Tính tổng T x y z m A. 20 B. 18 C. 17 D. 21 Lời giải Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thu FB: Buisonca Bui           )AI AB BI AB k HB AB k AB AH 1 k AB k AH     HC   3 1  )AC AH HC AH .AB AH AB. AB 3   )I AC AI mAC   Mà AH; AB không cùng phương
3 1 k 1 m 6 3  6 3  3 m AI AC 11 11 k m T 6 1 3 11 21 tambc3vl@gmail.com Câu 229: Cho hình thang ABCD với O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua O vẽ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng này cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại M và N.  Với AB a , CD b , khi đó MN bằng:         a.AB b.DC b.AB a.DC a.AB b.DC b.AB a.DC A. . B. . C. . D. . a b a b a b a b Lời giải Họ và tên: Nguyễn Thanh Tâm Tên FB: Tâm Nguyễn Chọn B MA NB OA OB AB a Do MN / / AB / /CD nên: . MD NC OC OD DC b  a  Do đó MA .MD ; b  a  NB .NC , nên: b  a   a   OA .OD  OB .OC OM b ; ON b a a 1 1 b b   a    a  OB OA . OC OD AB .DC      b.AB a.DC Có: MN ON OM b b a a 1 1 a b b b Câu 230: Cho tam giác ABC đều tâm O ; điểm M thuộc miền trong tam giác OBC ; D , E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên BC , CA , AB . Khẳng định nào sau đây đúng?    1      A. .M D ME MF B.M O. MD ME MF MO 2        3  C. .M D ME MF 3MD.O MD ME MF MO . 2 Lời giải. Phan Minh Tâm Chọn D
Từ M kẻ đường thẳng Mx P AC cắt AB , BC tại H , K ; Từ M kẻ đường thẳng My P AB cắt BC , CA tại P , Q ; Từ M kẻ đường thẳng Mz PBC cắt AB , AC tại R , S ; Suy ra HMR , PMK , QMS là các tam giác đều nên MD , ME , MF là các đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến. Khi đó  1   MD MP MK ; 2  1   ME MS MQ ; 2  1   MF MH MR . 2    1       Ta được MD ME MF MQ MH MP MR MS MK . 2    1    1       Hay MD ME MF MA MB MC MO OA MO OB MO OC . 2 2 Mặt khác ta có tam giác ABC đều nên tâm O cũng là trọng tâm tam giác ABC nên    OA OB OC 0 ;    3  Vậy MD ME MF MO . 2 VẤN ĐỀ 2. BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Email: phunghang10ph5s@gmail.com
Câu 231: Cho hình bình hành ABCD có các điểm M , I, N lần lượt thuộc các cạnh AB, BC,CD sao cho 1 1 AM AB, BI kBC, CN CD . Gọi G là trọng tâm tam giác BMN . Xác định k để AI đi qua 3 2 G . 1 9 6 12 A. . B. . C. . D. . 3 13 11 13 Lời giải Họ và tên tác giả: Phùng Hằng Tên FB: Phùng Hằng Chọn C Gọi E là trung điểm của MB . Khi đó: AM ME EB  1  Ta có: EG EN 3   1   EA AG EA AN 3  2  1   2 2  1   4  1  1  5  1  AG AE AN AG . AB AC CN AB AC AB AB AC 3 3 3 3 3 9 3 2 18 3   Do BI kBC và điểm I nằm trên đoạn BC nên BI k BC        BA AI k BA AC AI 1 k AB k AC 1 k k 18 6 Do AI đi qua G nên A, I,G thẳng hàng 1 k 3k k . 5 1 5 11 18 3 Câu 232: Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho 1 3 AM = AB, AN = AC . Gọi O là giao điểm của CM và BN. Trên đường thẳng BC lấy E. Đặt 3 4 uuur uuur BE = xBC . Tìm x để A, O, E thẳng hàng. Chọn C 2 8 9 8 A. B. C. D. 3 9 13 11 Lời giải
uuur 1 uuur 1 uuur Ta có: AO = AB + AC 9 4 uuur uuur uuur AE = (1- x)AB + xAC uuur uuur A, E, O thẳng hàng Û AE = kAO uuur uuur k uuur k uuur 36 9 Û (1- x)AB + xAC = AB + AC Û k = ; x = 9 4 13 13 9 Vậy x = là giá trị cần tìm. 13 Họ và tên tác giả: Nguyễn Thanh Dũng Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng Email: thanhdungtoan6@gmail.com Ý tưởng: Cho tam giácABC , I là trung điểm của BC . Gọi P, Q, R là các điểm xác định bởi:       AP pAB, AQ qAI, AR r AC với pqr 0 . 2 1 1 Chứng minh rằng: P, Q, R thẳng hàng khi và chỉ khi . q p r Chứng minh Ta có      1    q 2 p  q  PQ AQ AP qAI pAB q AB AC pAB AB AC 2 2 2      PR AR AP r AC pAB   Do đó, P, Q, R thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số thực m sao cho PQ mPR q 2 p  q    q 2 p 2mp  q 2mr  AB AC m r AC pAB AB AC 0 2 2 2 2 q 2 p 2mp 0 2   (vì AB, AC không cùng phương) q 2mr 0 2 q m 1 2 p q q 2 1 1 1 q 2 p 2r q p r m 2r
Câu 233: Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm BC ; P là điểm đối xứng với A qua B ; R là điểm trên 2 cạnh AC sao cho AR AC . Khi đó đường thẳng AR đi qua điểm nào trong các điểm sau đây? 5 A. Trọng tâm tam giác ABC . B. Trọng tâm tam giác ABI . C. Trung điểm AI . D. Trung điểm BI . Lời giải Đáp án: B A R M G B C J H I P   AP 2AB p 2 Theo đề bài,  2  2 AR AC r 5 5  2  2 Gọi G là trọng tâm tam giácABI , ta được AG AH q 3 3 1 1 1 1 2 Ta có 3 suy ra P, G, R thẳng hàng. p r 2 5 q 2 (có thể phát triển P, J, G, M, R thẳng hàng với J – có lẽ là trung điểm BH, còn M chia AI theo tỷ số tính được) Câu 234: Cho ABC có H là trung điểm của AB và G AC :GC 2AG . Gọi F là giao điểm của CH và BG . Tìm điểm I trên BC sao cho I, F, A thẳng hàng uur uur uur uur uur uur A. IC 2IB. B. IB 2IC. C. IB IC. D. IC 3IB. Lời giải
Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD và E là trung điểm của AD. Khi đó, ta có: uuur 1 uuur FH FC 4 Vận dụng định lý Menelauyt trong HBC có A, F, I thẳng hàng AH IB FC 1 IB . . 1 . . 4 1 AB IC FH 2 IC IB 1 IC 2 uur uur Vậy IC 2IB. Họ và tên tác giả: Hoàng Thị Trà FB: Hoàng Trà Câu 235: Cho tam giác ABC. I là trung điểm của BC. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm xác định bởi       AM mAB; AN nAI; AP pAC , với mnp 0 . Tìm điều kiện của m,n, p để M, N, P thẳng hàng. A. mp mn np B. 2mp mn np C. 2np mn mp D. 2mn mp np Lời giải      MP AP AM pAC mAB  1   Ta có      . Mà AI (AB AC) MN AN AM nAI mAB 2  n    n  n  MN (AB AC) mAB ( m)AB AC 2 2 2 n n m Do mnp 0 nên M, N, Q thẳng hàng khi và chỉ khi 2 2 2mp mn np m p Chọn đáp ánB.
Nhận xét: Với bài toán trên thì việc cụ thể hóa bộ ba số m,n,p sao cho thỏa mãn điều kiện trên ta đều ra được bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng. Kết quả trên chúng ta có thể vận dụng vào để giải nhanh bài toán sau: Câu 236: Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác, I là trung điểm của BC, M và N là các điểm  1  CN BC được xác định bởi 2 . Gọi P là giao điểm của AC và MN. Tính tỉ số diện tích tam   3MA 4MB 0 giác ANP và tam giác CNP. 7 A. 3 B. C. 4 D. 2 2 Lời giải. S PA PA Ta có ANP . Yêu cầu bài toán dẫn đến tìm tỉ số . SCNP PC PC Ta dễ dàng chứng minh được M, N, G thẳng hàng.  1         CN BC 2CN GC GB 2(GN GN) GC GB 2      Ta có 2GN 3GC GB 3GA 4GB        2GN 3GA 4GB 3MA 4MB(vi3MA 4MB 0)   2GN 7GM Vậy G, M, N thẳng hàng. Mặt khác MN cắt AC tại P, nên M, G, P thẳng hàng.   4 Áp dụng kết quả G, M, P thẳng hàng theo câu 1 vào ta có AM mAB m 7   2   4 4 2 2 4 AG nAI n , AP pAC. Khi đó 2mp mn np 2. .p . .p p , khi đó 3 7 7 3 3 5 PA S 4 . Vậy ANP 4 PB SCNP  2   1  BD BC; AE AC Câu 237: Cho tam giác.A GọiBC lầnD, Elượt là các điểm thỏa mãn: 3 . 4Điểm K  a  a AK AD trên AD thỏa mãn b (với b là phân số tối giản) sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tính P a2 b2 . A. P 10 . B. .P 13 C. . P 2D.9 . P 5 Lời giải Chọn A
 1   1  3  Vì AE AC BE BC BA(1) 4 4 4      Giả sử AK x.AD BK x.BD (1 x)BA  2     2x   Mà BD BC nên AK x.AD BK BD (1 x)BA 3 3   Vì B, K, E thẳng hàng (B E )nên có m sao cho BK mBE m  3m  2x   Do đó có: BC BA BC (1 x)BA 4 4 3 m 2x  3m  Hay BC 1 x BA 0 4 3 4   Do BC; BA không cùng phương nên m 2x 3m 1 8 0;1 x 0 Từ đó suy ra x ;m 4 3 4 3 9  1  Vậy AK AD 3 Email: themhaitotoanyp1@gmail.com    Câu 238: Cho tam giác ABC, I là điểm thỏa mãn: 2IA IB 4IC 0    K là điểm thỏa mãn: KA 2KB 3KC 0    P là điểm thỏa mãn: PA mPB nPC 0 Có bao nhiêu cặp m,n , m,n Z, m,n  10;10 sao cho I, K, P thẳng hàng. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Lời giải Ta có PA mPB nPC
   Có: 2IA IB 4IC 0 2 PA PI PB PI 4 PC PI 0 5PI 2PA PB 4PC 5PI 2m 1 PB 2n 4 PC Có:              KA 2KB 3KC 0 PA PK 2 PB PK 3 PC PK 0 6PK PA 2PB 3PC    6PK m 2 PB n 3 PC I,K,P thẳng hàng khi và chỉ khi 5PI,6PK cùng phương 2m 1 n 3 m 2 2n 4 2m 5n 11 Do m,n , m,n Z, m,n  10;10 nên m,n 8; 1 , 3, 1 , 2,3 , 5,7  (Fb: Lưu Thêm) Email : boyhanam@gmail.com Bài em sưu tầm ạ !       Câu 239: Cho tam giác ABC , M và N là hai điểm thỏa mãn: BM BC 2AB , CN xAC BC . Xác định x để A , M , N thẳng hàng. 1 1 A. 3. B. . C. 2. D. . 3 2 Lời giải Chọn D Ta có          BM BC 2AB AM BC AB AM AC 2BC           CN xAC BC. CA AN xAC BC AN x 1 AC BC   Để A, M , N thẳng hàng thì k 0 sao cho AM k AN 1 k     x 1 k 2 Hay x 1 AC BC k AC 2BC 1 2k 1 x 2 Huonghungc3@gmail.com Câu 240: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm AG , lấy K thuộc cạnh AC sao cho   AK kAC . Nếu B, I,K thẳng hàng thì giá trị của k nằm trong khoảng? 1 1 1 1 1 A. 0; B. 0; C. ; D. ;1 6 2 5 3 5 Lời giải (Họ tên: Nguyễn Thu Hương. Tên FB: Thu Hương)
C N G K O B Chọn B Không giảm tính tổng quát: giả sử tam giác ABC có: A(0;0);B(6;0);C(0;6) thì G(2;2);I (1;1) uur uuur 6 Gọi K (0;m) Khi đó: IB(5;- 1);KB(6;- m). Để B, I,K thẳng hàng:5m = 6 Û m = 5 I 1 suy ra k = 5 Họ và tên: Trần Văn Luật Email: Tvluatc3tt@gmail.com FB: Trần Luật   Câu 241: Cho tam giác ABC , M là điểm thuộc cạnh AC sao choMA 2.MC , N thuộc BM sao cho     NB 3NM , P là điểm thuộc BC . Biết rằng ba điểm A, N, P thẳng hàng khi PB k PC . Khẳng định nào sau đây là đúng? 5 5 1 1 A. .k 3;B. k ; 1 . C. . 1; D. . ;0 2 2 2 2 Lời giải Chọn B
A M N C B P Ta có           1  1  NB 3NM AB AN 3 AM AN AB 3AM 4AN AN AB AC . 4 2          Do P là điểm thuộc BC nên PB k PC AB AP k AC AP AB k AC 1 k AP  1  k  AP AB AC . k 1 1 k 1 h k 2   1 k 4 Ba điểm A, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi AP hAN 4 . 1 h h 3 1 k 2 Vậy k 2 . Họ và tên: Hoàng Thị Kim Liên Email: lientiencl@gmail.com Facebook: Kim Liên Câu 242: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt nằm trên đường thẳng BC, CA, AB sao cho uuur uuur uuur uur uur uur MB mMC , NC nNA, PA k PB . Tính tích mnk để M, N, P thẳng hàng? A. 1 . B. . 1 C. . 2 D. . 2 Lời giải Chọn A Ta có : uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur MB m BC; BP 1 AB; BC ( 1 m) MC; CN n AC 1 m k 1 1 n uuur uuur uuur 1 1 n MN AB AC 1 m 1 m 1 n
uuur uuur uuur m 1 m MP AB AC 1 m 1 k 1 m Để M, N, P thẳng hàng thì ta có : m 1 m Câu 243: 1 m 1 k 1 m mnk 1 1 1 n 1 m 1 m 1 n (Email): thuhangnvx@gmail.com Câu 244: Cho hình bình hành ABCD gọi M là trung điểm của cạnh CD, N là điểm thuộc cạnh AD sao cho 1 AN AD . Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN, đường thẳng AG cắt BC tại K. Khi đó 3  m  m BK BC ( là tối giản). Tính S m n n n A. .S 16 B. S 17 . C. .S 18 D. . S 19 Lời giải ( Tên FB: Phùng Hằng ) Chọn B Ta có    1   1   2AG AE AF AN AM AG AB 2 2     1  1    5  1   3AG AN AM AB AD AD AC AB AD AC AB 3 2 6 2 5  1    4  3  AD AB AD AB AD AB 6 2 3 2  1  4  AG AB AD . 2 9          Đặt BK x.BC AK AB BK AB xBC AB xAD .
k 2     k  4k  Do A,G,K thẳng hàng thì AK k AG AB xAD AB AD 8 2 9 x 9 m 8 Suy ra n 9 Vậy S 17 Email: builoiyka@gmail.com Câu 245: Cho hình thang ABCD có đáy AB , CD , CD 2AB .M , N lần lượt là các điểm thuộc cạnh AD và BC sao cho AM 5MD , 3BN 2NC . Gọi P là giao điểm của AC và MN ; Q là giao điểm PM QN a a của BD và MN ; Khi đó , với là phân số tối giản. Khi đó a b bằng PN QM b b A. 386 . B. .3 85 C. . 287 D. . 288 Lời giải Họ tên: Bùi Thị Lợi Facebook: LoiBui Chọn A E A B N P M Q D C Gọi E là giao điểm của AD và BC . Ta có A, lần lượt là trung điểm của,E. C ED     Giả sử PM xPN ; QN yQM .   11  7x   EM xEN EA EC 11  7x  Ta có EP 6 10 EA EC 1 x 1 x 6 1 x 10 1 x 11 7x 25 Do P, A, C thẳng hàng nên 1 55 21x 30 30x x . 6 1 x 10 1 x 9 PM 25 Vậy . PN 9 7  11y    EB ED  EN yEM 7  11y  Ta có EQ 5 12 EB ED 1 y 1 y 5 1 y 12 1 y
7 11y 24 Do Q, B, D thẳng hàng nên 1 84 55y 60 60y y . 5 1 y 12 1 y 5 QN 24 Vậy . QM 5 PM QN 341 Suy ra a 341;b 45 a b 386 . PN QM 45 Cách 2: Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AMN với ba điểm thẳng hàng là A, P,C , ta có PM CN AE PM 3 6 PM 25 . . 1 . . 1 . PN CE AM PN 10 5 PN 9 Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác EMN với ba điểm thẳng hàng là B,Q, D , ta có QN DM BE QN 1 5 QN 24 . . 1 . . 1 . QM DE BN QM 12 2 QM 5 PM QN 341 Vậy a 341;b 45 a b 386 . PN QM 45 Email: datltt09@gmail.com Câu 246: Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho AM = 3MC, NC = 2BN. Gọi I là giao điểm của AN và BN. Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác ABN bằng 4. A. .S ABC 110B. . C.S . ABC 115D. SABC 125 SABC 120 . Lời giải Họ và tên tác giả: Vũ Thị Hằng Tên FB: Đạt Lâm Huy Chọn D   Giả sử AI k AN ta có     BI BA k BN k BA   k  BI 1 k BA BC(1) 3      Tương tự 4AM 3AC BM BA 3BC(2) k 1 k 9 Vì B,I,M thẳng hàng nên từ(1) và(2) ta có 3 k 1 3 10 Suy ra SABN 10SBNI 40 SABC 3SABN 120
(Có thể dùng định lý Menelauyt để tính tỷ số) Email: samnk.thptnhưthanh@gmail.com Câu 247: Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC sao cho MA 2.MC , N thuộc BM sao cho NB 3.NM , P thuộc BC sao cho PB k.PC . Tìm giá trị k để ba điểm A, N, P thẳng hàng. A. .k 1 B. k 2 . C. .k 1 D. . k 2 2 2 Lời giải Họ và tên: Nguyễn Khắc Sâm Facebook: Nguyễn Khắc Sâm Chọn B A N M B P C Ta có: NB 3.NM AB AN 3. AM AN AB 3.AM 4.AN 1 1 AN AB .AC 1 4 2 PB k.PC AB AP k AC AP AB k.AC 1 k AP (k 1) 1 k AP AB AC 2 1 k 1 k Ba điểm A, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi: 1 h 1 k 4 AP h.AN k 2 . k h 1 k 2 VẤN ĐỀ 3. QUỸ TÍCH Nguyễn Văn Dũng Fb: Nguyễn Văn Dũng Email: dungtoanc3hbt@gmail.com    Câu 248: Cho tam giác ABC với J là điểm thoả mãn 2JA 5JB 3JC 0 , gọi E là điểm thuộc AB và   thoả mãn AE kAB . Xác định k để C, E, J thẳng hàng.
A. .k 2; B.1 . C. k 1;0 k 0;1 . D. k 1;2 Lời giải Ta có             2JA 5JB 3JC 0 2JE 2EA 5JE 5EB 3JC 0 7JE 3JC 2EA 5EB 0      5  5 Để C, E, J thẳng hàng thì 2EA 5EB 0 7EA 5AB 0 AE AB k . Chọn 7 7 C Leminh0310@gmail.com Câu 249: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh 1 . Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn 2MA2 MB2 2MC 2 MD2 9 là một đường tròn có bán kính R . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 3 3 A. .R 0;1 B. . RC. 1;2 R ; . D. .R ;2 2 2 2 (Sưu tầm: Lê Hồ Quang Minh – FB: Lê Minh) Lời giải Chọn C A D O B C   OA OC 0 Vì ABCD là hình vuông tâm O nên ta có:   OB OD 0 Theo giải thiết: 2MA2 MB2 2MC 2 MD2 9   2   2   2   2 2 MO OA MO OB 2 MO OC MO OD 9      6MO2 2OA2 OB2 2OC 2 OD2 2MO 2OA 2OC OB OD 9   0 6MO 2 3 9 MO 1 . Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O bán kính R 1 . Email: thuyhung8587@gmail.com
Câu 250: Cho tam giác ABC . Tập hợp những điểm M thỏa mãn:       4MA MB MC 2MA MB MC là: A. Đường thẳng đi qua A B. Đường thẳng qua B vàC C. Đường tròn D. Một điểm duy nhất. Lời giải       4MA MB MC 2MA MB MC       MA MB MC 3MA 2MA 2MI , (I : là trung điểm BC )     3 MG MA 2 MA MI , (G : trọng tâm VABC )   1 6 MJ 2 IA MJ IA ,(J là trung điểm của AG ) 3 1 AG JM AG (không đổi). Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâmJ , bán kính R . Chọn 2 2 đáp ánC. (Họ và tên tác giả: Cấn Việt Hưng, Tên FB: Viet Hung) ngoletao@gmail.com Câu 251: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định với BC 2a . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và   M là trung điểm của đoạn BC. Nếu đỉnh A thay đổi nhưng luôn thỏa MA.MH MA2 4a 2thì điểm A luôn thuộc một đường tròn cố định có bán kính bằng A. .2 a B. a 3 . C. .a 2 D. . a (Họ và tên tác giả: Ngô Lê Tạo, Tên FB: Ngô Lê Tạo) Lời giải Chọn B A H B C M