Bài tập Đại số Lớp 10 - Vấn đề 4, Phần 1: Phương trình chứa tham số

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 10 - Vấn đề 4, Phần 1: Phương trình chứa tham số

1. VẤN ĐỀ 4-1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Email: themhaitotoanyp1@gmail.com Câu 1. Biết rằng tập hợp các giá trị của m để phương trình : (m 2) x 3 (2m 1) 1 x m 1 0 có nghiệm là đoạn a;b . Giá trị của S = 2019b - 2020a - 172 là : A.1918.B. 1819 .C. 1981. D. 2019 . Lời giải Chọn C. +) (m 2) x 3 (2m 1) 1 x m 1 0 , điều kiện 3 x 1 a x 3 +) Đặt , 0 a,b 2 b 1 x a2 b2 4 +) Ta có : (I)`` (m 2)a (2m 1)b m 1 0 +) Trong hệ tọa độ Oab, phương trình a2 b2 4 là phương trình đường tròn tâm O bán kính R 2 , và phương trình (m 2)a (2m 1)b m 1 0 là phương trình đường thẳng có hệ số 2 m 1 góc k (vì với m thì phương trình vô nghiệm). 2m 1 2 y d2: k2=7 f(x) = 4 x2 2 B 2-m : k = 2m-1 -1 1 d1: k1= 3 O A 7 2 x -1 3 1 1 +) Nhận xét thấy đi qua điểm I ; cố định. 3 3 +) Hệ (I) có nghiệm nằm trong miền góc nhọn tạo bởi d1,d2
2.  7 1 1 +) IA ; d1 có hệ số góc k1 . 3 3 7  1 7 +) IB ; d2 có hệ số góc k2 7 . 3 3 3 a 1 2 m 3 5 5 +) Yêu cầu bài toán k1 k k2 7 m 7 2m 1 5 3 5 b 3 S = 2019b - 2020a - 172 = 1981. Email: themhAitotoAnyp1@gmAil.Com. 2 x 3 1 x 1 Có thể giải cách khác như sau: PT m (2). x 3 2 1 x 1 2 2 x 3 2sin Vì x 3 1 x 4 nên đặt 0; . 1 x 2cos 2 2t 1 t 2 4. 2. 1 2 4sin 2cos 1 2 2 t 8t 3 1 20t 4 (2) trở thành: m 1 t 1 t 2sin 4cos 1 2t 1 t 2 3t 2 4t 5 3 3 3t 2 4t 5 2. 4. 1 1 t 2 1 t 2 20t 4 ( với t tan t 0;1 ). Xét f t trên đoạn 0;1được: 2 3t 2 4t 5 60t 2 24t 84 f t 0,t 0;1 . Suy ra ( 3t 2 4t 5)2 4 4 f t 4 1 4 1 f t 1 4 3 5 f 0 f t f 1 f t 4 m 5 15 3 3 3 15 3 3 3 3 5 3 Đến đây giống cách trên. Câu 2. Gọi T là tập các giá trị nguyên của m để phương trình 16x m 4 4x2 18x 4 m có 1 nghiệm.Tính tổng các phần tử của T. A.0.B.20.C.-20.D.10. Tác giả : Lưu Thị Thêm,Tên FB: Lưu Thêm Lời giải Chọn C Đặt t = 16x m 4,t 0 . Ta có m = t2 - 16x + 4 Phương trình trở thành: t 4x2 18x 4 t2 16x 4 4x2 t2 2x t
3. t 2x 16x m 4 2x 2x t . 2x t 1 0 t 2x 1 16x m 4 2x 1 x 0 2 m 4x 16x 4 1 x 2 2 m 4x 20x 5 4 m 4 Từ đồ thị, phương trình có 1 nghiệm m 20 Do m thuộc Z nên T 3; 2; 1;0;1;2;3; 20. Chọn C Email: maimai1.hn@gmail.com Câu 3. Có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình m x m x m có nghiệm ? A. 2 B.3.C. 4 . D.5. Lời giải Tác giả: Trần Tuyết Mai Tên FB: Mai Mai Chọn C
4. m x 0 m 0 m x 0 m 0 x 0 ĐKXĐ: 2 . m 0 0 x m x m x 0 + Khi m 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x 0 . + Khi m 0 thì phương trình m x m x 2 m2 x m2 m2 2m 0 2 2 2 2 2m 2 m x m 2 m x m 2m 2 * 2 2 4 m x m 2m m 2 Do điều kiện m 0 nên * 2 4 3 2 4 m x m 4m 4m m 2 m 2 3 . 4 3 m 4 m 4x m 4m x 4 Do điều kiện 0 x m2 nên phương trình có nghiệm khi: m 2 m 2 m3 4 m 0 m 4 2 m 4. 4 2 m3 4 m m 2 0 m2 4 Vậy để phương trình có nghiệm thì m 0 hoặc 2 m 4 . Do đó có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra. Email: tc_ngduychien2006@yahoo.com Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của m để phương trình 3 x4 2x2 1 33 x2 1 1 m 0 có nghiệm. 3 5 7 5 A. m B. m .C. m .D. m . 4 4 4 4 Tác giả : Nguyễn Duy Chiến,Tên FB: Nguyễn Duy Chiến Lời giải Chọn B Đặt t 3 x2 1,t 1 t 2 3 x4 2x2 1 Ta được phương trình t 2 3t 1 m 0 t 2 3t 1 m
5. Xét hàm số y t2 3t 1,t 1 Bảng biến thiên 3 t 1 2 1 y ] Z 5 4 5 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi m 4 Email: thachtv.tc3@nghean.edu.vn Câu 5. Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên dương và nhỏ hơn 2020 để phương trình 2 x 2 x 2 x m m có các nghiệm đều dương? A. 2019 .B. 2018 .C. 2015 .D. 2014 . Lời giải (Tác giả: Trịnh Văn Thạch – FB.com/thachtv.tc3) Chọn C Ta chỉ cần xét trường hợp x 0 và m 0 . Khi đó các biểu thức vế trái đều xác định. Đặt y 2 x 2 x m và z 2 x m y, z 0 2 x y m Ta có hệ phương trình: 2 x z y 2 x m z Không mất tính tổng quát, ta giả sử m y z 2 x z 2 x y 2 x m y m z m y z m2 4m Thay m y z vào hệ trên ta được: 2 x m m 4x 4m m2 x 4 Để có x 0 m2 4m 0 m 4 m 5,6,7 ,2019. Như vậy có tất cả 2015 giá trị m thỏa mãn yêu cầu của đề ra. Email: quAngtv.C3kl@gmAil.Com
6. 3 3 2 Câu 6. Cho phương trình m m2 x2 . m x m x 2m m2 x2 , với m là tham 2 số thực. Gọi P tổng tất các các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm nguyên. Tìm P. 1 1 A. P 0 B. P C. P D. P 4 4 2 Lời giải Tác giả: Trương Văn Quắng Tên FB: OcQuang Chọn B x m Điều kiện xác định: x m 2 2 m m x 0 Phương trình đã cho trở thành: 2m 2 m2 x2 . m x m x 2m m2 x2 2m m2 x2 2m m2 x2 0 1 2 2 2m 2 m x . m x m x 1 2 m 0 m 0 1 m2 x2 2m 2 2 2 2 2 m x 4m x 3m Do x nguyên nên ta suy ra được: x 0;m 0 (Thỏa mãn PT đã cho) 2 2 m x m x m x m x 1 m x m x m x m x 1 1 m 2 1 2m 0 2 2 2 m x m x 1 2m 2 m x 1 2 4 m2 x2 1 2m 1 x2 m 4 1 1 Do x nguyên nên ta suy ra được: x 0;m (Thỏa mãn PT đã cho). Vậy P . 4 4 Câu 7. Cho phương trình x2 3x 4 x 7 m x2 3x 4 x 7 m2 0. Tồn tại bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình có số nghiệm thực nhiều nhất. A.5B.6C.7D.8 Lời giải Tác giả : Hoàng Dũng,Tên FB: HoangDung ĐK: x 7
7. x2 3x 4 x 7 m x2 3x 4 x 7 m2 0 x2 3x 4 m x 7 m 0 x2 3x 4 m 0 1 x 7 m (2) Pt đã cho có nhiều nghiệm nhất khi pt (1) có hai nghiệm và pt(2) có nghiệm khác nghiệm pt (1) m 0;1;2;3;4;5;6 Email: Dongpt@C3phuCtho.eDu.vn Câu 8. Tổng các giá trị nguyên âm của tham số m để phương trình x2 2x 6 x2 2x 5 m 0 có nghiệm thực bằng A. 105 .B. 110 . C. 115 .D. 120 . Lời giải Tác giả : Hoàng Tiến Đông Tên FB: Hoàng Tiến Đông 2 Điều kiện: x2 2x 5 0 x 1 4 0,x ¡ . Ta có: x2 2x 6 x2 2x 5 m 0 * . Đặt t x2 2x 5 x 1 2 4 t 2 . Khi đó phương trình có dạng: t 2 6t m 5 0 t 2 6t 5 m . 2 Xét hàm số: f t 6t 5,t 2; . Bảng biến thiên: Phương trình * có nghiệm m 14 . Theo đề m là số nguyên âm nên có 14 giá trị m . Suy ra tổng các giá trị của m là 105 Phương trình chứa căn _ Trần Minh Thảo_(Email): trAnminhthAo2011@gmAil.Com Câu 9. Cho phương trình 2x2 2mx 4 x 1 (1) ( m là tham số). Gọi p,q lần lượt là giá trị m nguyên nhỏ nhất và lớn nhất thuộc[ 10;10] để phương trình (1) có nghiệm. Khi đó giá trị T p 2q là
8. A.T 19 .B. T 20 .C. T 10 .D. T 8 . Lời giải Họ và tên: Trần Thị Minh Thảo FB:Minh Thảo Trần Chọn A x 1 x 1 1 2 2 2 2x 2mx 4 x 2x 1 x 2 m 1 x 5 0 2 Do pt(2) có ac 5 0 nên pt(2) có 2 nghiệm trái dấu. Để pt(1) có nghiệm thì pt(2) có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1 1 x2 x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 5 2 m 1 1 0 m 1 Khi đó p 1,q 10 T 19 Vậy đáp án A. Tác giả: Đỗ Thế Nhất,Tên FB: Đỗ Thế Nhất Email: nhatks@gmail.com Câu 10. Cho phương trình x2 6x 5 x3 5x2 m4. x 1 8 2m 1 6 0(m là tham số). Gọi S là tổng các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm. Khẳng định nào dưới đây là đúng. A. S 0;2 B. S 2;4 C. S 4;6 D. S 6;8 Lời giải Chọn A Hàm số có TXĐ: D {1;5} TH1: Phương trình đã cho có nghiệm x=1 2 8 2m 1 6 0 2m 1 1 m 1 TH2: Phương trình đã cho có nghiệm x= 5 2m4 8 2m 1 6 0 2 2 2 2 m2 1 2m 2 2 2m 1 2 0 m2 1 0 2m 2 0 m 1 2 2m 1 2 0 Từ TH1 và TH2 suy ra S=1
9. mx x4 x3 5x2 x 1 Câu 11. Cho phương trình x2 x 1(với m là tham số thực). Tập hợp tất cả các x 1 2 a a giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm thực dương là ; , với là phân số tối giản. b b Tính a b A. a b 9 .B. a b 7 . C. a b 0.D. a b 8 Sáng tác bởi: Đỗ Văn Cường Facebook: Cường Đỗ Văn Lời giải Chọn B mx x4 x3 5x2 x 1 mx x4 x3 5x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x 1 2 x2 2x 1 1 1 m x2 x 5 2 1 x x x 1 ,do x 0 1 x 2 x x 2 1 1 m x x 3 x x 1 x 1 1 x 2 x x 1 1 +)Đặt t x 2 x. 2 x x Ta có m t 2 t 3 t 1 t 2 m t 2 t 3 t 2 t 2 +)Đặt u t 2 t 3,u 3 Phương trình trở thành u2 mu 5 0(*) +)Phương trình đầu có nghiệm thỏa mãn đề bài (*) có nghiệm u 3 Vì ta có a.c 5 0 nên (*) luôn có hai nghiệm trái dấuu1,u2 4 u 3 u u 3 u 3 0 u u 3 u u 9 0 5 3m 9 0 m 1 2 1 2 1 2 1 2 3
10. a 4,b 3 a b 7 Email: huynhthanhtinhspt@gmail.com Câu 12. Biết a và b lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của m để phương trình 2 x 1 3 x x 1 3 x m có nghiệm thực. Khi đó a b 2b3 bằng A. 22 .B. 24 .C. 27 . D.30 . Lời giải Họ và tên: Huỳnh Thanh Tịnh,Tên FB: huynhthanhtinh Chọn B ● Điều kiện: 1 x 3. t 2 4 ● Đặt t x 1 3 x t 2 x 1 3 x 2 x 1 3 x x 1 3 x 2 t 0 2 Ta có: t 4 2 x 1 3 x 4 t 2 t 2 1 . t 2 Dấu " " xảy ra khi x 1  x 3 . B.C.S 2 2 Ta lại có: x 1 3 x 12 12 x 1 3 x t 2 2 2 . Từ 1 và 2 suy ra t 2;2 2 . t 2 4 Phương trình trở thành t m 2m t 2 2t 4. 2 Xét hàm số f t t 2 2t 4 trên đoạn 2;2 2 . Bảng biến thiên t 1 2 2 2 f t 4 4 2 4 ● Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm min f t 2m max f t 4 2 4 2m 4 2 2 2 m 2 2;2 2 2;2 2 Câu 13. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x m 1 x 2x m 0 có 2 nghiệm phân biệt là nửa khoảng a;b . Tính S a b .
11. 3 A.1.B. .C. 1.D. 2 . 2 Lời giải Tác giả : Nguyễn Minh Cường,Tên FB: Yen Nguyen Chọn C x m 1 x 2x m 0 2x m 2x m x 2x m x 0 2x m 2x m 1 x 2x m 1 0 2x m 1 2x m x 0 x 0 2x m x 2 x 2x m * Ycbt (*) có 2 nghiệm phân biệt thoả x 0 BBT Suy ra m 1;0 a 1,b 0 S a b 1 Email: DuCnoiDs1@gmAil.Com Câu 14. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x2 2x x m m có nghiệm a  a duy nhất là   c;d , với a,b,c,d là các số tự nhiên và là phân số tối giản. Tính giá trị b  b biểu thức S a 2b 3c 4d . A. S 10 .B. S 15 . C. S 16 . D. S 18 . Lời giải Họ và tên: Trần Đức Nội. Facebook: Trần Đức Nội Chọn C Gọi phương trình đã cho là 1 . Đặt x m t , điều kiện t 0 , phương trình 1 trở thành: m2 1 2t 2 m t 4 2t 2 t 0 2 . m t 2 t Giải 2 theo m ta được 3 . 2 m t t 1
12. Ta thấy với mỗi giá trị t 0 , cho ta duy nhất một giá trị x , do đó 1 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hệ 3 có nghiệm duy nhất t 0; . Vẽ hai đồ thị hàm số y t2 t và y t2 t 1 với t 0 trên cùng một hệ trục tọa độ. y t O y = m -1 Căn cứ đồ thị ta có hệ 3 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng y m giao với cả hai 5 nhánh đồ thị trên tại một điểm duy nhất, suy ra m hoặc 1 m 0 . 4 Vậy a 5,b 4,c 1,d 0 , do đó S 16 . Cách 2: (của cô Lưu Thêm) Gọi phương trình đã cho là 1 . 1 x2 (x m) x x m x x m x x m 1 0 x 0 2 x m x m x x 2 x 1 x m x 1 2 m x 3x 1 Vẽ hai đồ thị hàm số y x2 x với x 0 và y x2 3x 1 với x 1 trên cùng một hệ trục tọa độ. y O 1 x y = m -1
13. Căn cứ đồ thị ta có hệ 2 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng y m giao với cả hai 5 nhánh đồ thị trên tại một điểm duy nhất, suy ra m hoặc 1 m 0 . 4 Vậy a 5,b 4,c 1,d 0 , do đó S 16 . Email: DuCnoiDs1@gmAil.Com Câu 15. Tìm số giá trị nguyên của tham số m để phương trình x 2 x m 2m x 2 x m 3 0 có đúng hai nghiệm phân biệt. A. 2 . B. 4 . C.5. D. 6 . Lời giải Họ và tên: Trần Đức Nội. Facebook: Trần Đức Nội Chọn B Gọi phương trình đã cho là 1 . Đặt x m t , điều kiện t 0 , phương trình 1 trở thành: m t 2 2t t 2 2t m t 2 2t 3 m 0 2 . 2 m t 2t 3 Ta thấy với mỗi giá trị t 0 , cho ta duy nhất một giá trị x , do đó 1 có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hệ 2 có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc nửa khoảng0; . Vẽ hai đồ thị hàm số y t 2 2t và y t 2 2t 3 với t 0 trên cùng một hệ trục tọa độ. y 4 3 y = m O t 1 -1 Căn cứ đồ thị ta có hệ 2 đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y m giao với cả 2 10  hai nhánh đồ thị trên tại 2 điểm phân biệt. Suy ra m 1, m 4 hoặc m 0;3 \  . 2  Do m nhận giá trị nguyên nên m 1;1;2;4 . Email: DuCnoiDs1@gmAil.Com Câu 16. Tìm số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để phương trình 2x 1 x2 mx 1 có nghiệm.
14. A.8. B. 10.C. 16. D. 21. Lời giải Họ và tên: Trần Đức Nội. Facebook: Trần Đức Nội Đề bài lấy của cô Bạch Dương trên Diễn Đàn Giáo Viên Toán Chọn B Gọi phương trình đã cho là 1 . 1 2x 1 0 x 1 2 2 2x 1 x mx 1 2 x m 2 x 2 0 2 1 Ta thấy 2 x 1 2 1 mx nên nếu 2 có nghiệm x thì m 0 . 2 1 Ta thấy nếu 2 có nghiệm x , x thì x x m 2 2 nên 2 luôn có ít nhất một nghiệm x . 1 2 1 2 2 m 2 2 2 Do đó 1 có nghiệm khi và chỉ khi 2 có nghiệm m 2 2 8 0 . m 2 2 2 Kết hợp với điều kiện ta được m 2 2 2 . Do m nguyên và thuộc đoạn  10;10 nên m 1;2; ;10, do đó có 10 giá trị của m thỏa mãn. Cách 2: (Của thầy Lâm le Van) Gọi phương trình đã cho là 1 . 1 x 2x 1 0 2 1 2x 1 x2 mx 1 x2 2x 2 m 2 x x2 2x 2 2 2 1 Với x 0 ta có x 2 2 x. 2 2 2 2 , đẳng thức xảy ra khi x 2 . x x x 2 1 Do đó 2 có nghiệm x khi và chỉ khi m 2 2 2 . 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi m 2 2 2 . Email: phamvanthuan1981@gmail.com 6 2x 6 2x 8 Câu 17. Số nghiệm của phương trình là: 5 x 5 x 3 A. 2 .B. 3.C. 4 . D.5. Lời giải Tác giả : Phạm Văn Thuấn,Tên FB: Pham Van Thuan
15. Chọn C Đk : 5 x 5 Đặt 5 x u; 5 x v 0 u,v 10 * 2 u2 v2 10 u v 10 2uv Ta có hpt : 4 4 8 2 4 2 u v u v 1 u v 3 uv 3 2 2 1 Lại đặt t uv t uv t 5 2 4 u v 10 t 2 16 Ta được hpt : u v 2 . Suy ra t phải thoả mãn: 9 1 t 2 uv t 4 16 2 2 10 8t 45t 1 t 18 1 t t 9 1 t 2 45t3 72t 2 t 18 0 3t 2 15t 2 14t 9 0 2 t uv 3 3 7 2 46 30 t uv a 15 7 2 46 Vậy u,v là nghiệm của một trong hai hệ sau: 2 u v 10 2uv 16 u v 4 u1 3,v1 1 I 2 u v 2 u 1,v 3 u v 10 2uv 4 2 2 10 2a 10 2a u3 2 10 2a 10 2a 2 v u v 10 2a 3 2 II 2 u v 10 2a 10 2a 10 2a u4 2 10 2a 10 2a v 4 2 2 Các nghiệm này đều thoả mãn điều kiện (*). Vậy pt đã cho có 4 nghiệm xk 5 uk ,k 1,2,3,4 .
16. Chọn C Câu 18. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 x m 3 3 x 3m 1 3 2x 4m 4 có đúng một nghiệm thuộc đoạn  14;22 . Số phần tử của tập hợp S bằng A.18.B. 19.C. 20 . D. 21. Lời giải Tác giả : Ngô Lê Tạo,,Tên FB: Ngô Lê Tạo Chọn B Đặt a 3 x m 3, b 3 x 3m 1 phương trình trở thành a b 3 a3 b3 a b 3 a3 b3 ab a b 0 . Suy ra x m 3 0 x m 3 * x 3m 1 0 x 3m 1  x m 3 x 3m 1 x 2m 2  Ta có  m 1  m 1 14 22 17 m 19 14  22 5 m 7 14  22 8 m 10 17 8 5 1 7 10 19   Phương trình có đúng một nghiệm thuộc  14;22 khi và chỉ khi m  17; 8  1  10;19 (Khi m 1 thì 3 nghiệm trùng nhau). Như vậy tập hợp S có 19 phần tử. Email: huyenthuylthb@gmail.com Câu 19. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn  100;100 để phương trình 2 x 1 x m có nghiệm thực? A.100.B. 101.C. 102.D.103.
17. Lời giải Tác giả : Phạm Thị Thanh Thủy,Tên FB:Phạm Thủy Chọn D Đk x 1 Đặt t x 1, t 0 . Phương trình trở thành: 2t t 2 1 m m t 2 2t 1 Xét hàm số f (t) t2 2t 1, t 0 Bảng biến thiên của f t : t 0 1 f t 0 2 f t 1 Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi m 2 . Số giá trị nguyên của m trong  100;100 là 103 giá trị. Câu 20. Tồn tại bao nhiêu giá trị nguyên lớn hơn – 2019 của tham số m để phương trình sau có nghiệm dương 3 x3 7x m 3x m . 1000 A. 2019B. 1000C. 2018D. 2021 Tác giả: Lương Tuấn Đức Tên facebook: Giang Sơn. Email: gacma1431988@gmail.com Chọn D Lời giải. Phương trình đã cho tương đương x3 7x m 103 3x m x3 10x 3x m 103 3x m . Đặt 3 3x m y x3 10x y3 10y x y x2 xy y2 10 0 . 2 2 2 1 3 2  x xy y 10 0 x y y 10 VN . 2 4  x y x 3 3x m x3 3x m x3 3x 2 2 m x 1 2 x 2 2 m 2 m 0 m 2 . Kết hợp m 2019 2019 m 2 suy ra có 2021 giá trị nguyên m.
18. Ngoài ra, đối với phương trình x3 3x m chúng ta có thể sử dụng công cụ đạo hàm – khảo sát hàm số như sau Đạo hàm f t 3t 2 3 0 t 1;t 1. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m 2 m 2 . Ngoài ra có thể sử dụng bất đẳng thức AM – GM như sau 3x m 2 x3 2 x3 1 1 33 x3 3x m 2 . Email: dangai.kstn.bkhn@gmail.com Câu 21. Cho phương trình x2 2x(m 1 x m) 8 2m x m 2m2 . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m [ 30; 2] để phương trình đã cho có nghiệm thực ? A.1.B. 5.C. 3.D. 12. Lời giải Tác giả : Nguyễn Đăng Ái,Tên FB: Nguyễn Đăng Ái Chọn A Lời giải Điều kiện: x m Đặt t x m x t2 m . Phương trình trở thành: (t2 m)2 2(t2 m)(m 1 t) 8 2mt 2m2 t4 2t3 2t2 8 m2 2m 2(t4 2t3 2t2 8) 2( m2 2m) (t4 4t3 4t2 ) (t4 8t2 16) 2( m2 2m) (t2 2t)2 (t2 4)2 2( m2 2m) (*) Để pt (*) có nghiệm thì ít nhất: 2( m2 2m) 0 2 m 0 chỉ có m 2 nguyên thỏa mãn.
19. Khi đó , phương trình (*) trở thành: t 2 2t 0 (t 2 2t)2 (t 2 4)2 0 t x m x 2 2 x 6 2 t 4 0 Vậy ta chọn đáp án A. Câu 22. Có bao nhiêu giá trị nguyên m < 10 để PT: 2x2 2(m 4)x 5m 10 3 x 0 có nghiệm. A. 6 .B. 7 . C.10.D. 8 . Lời giải Tác giả :Trần Văn Hiếu,Tên FB: Hieu Tran Chọn B Pt 2x2 2(m 4)x 5m 10 x 3 (1) x 3 0 x 3 2 2 2 2x 2(m 4)x 5m 10 (x 3) x 2(m 1)x 5m 1 0 (2) YCBT trở thành: Tìm m để hệ (1) (2) có nghiệm. Trước hết ta tìm điều kiện để hệ (1) (2) vô nghiệm trong 2 trường hợp sau: +TH 1: Hoặc là (2) vô nghiệm, tức là: ' m 2 3m 0 0 m 3 (3) +TH 2: Hoặc là (2) có nghiệm x1 x2 3 ' 0 m2 3m 0 f (3) 0 4 m 0 m 0(4) S m 1 3 3 2 Kết hợp (3) và (4) suy ra m 3 là điều kiện để hệ (1) (2) vô nghiệm, Vậy m 3 là điều kiện để hệ (1) (2) có nghiệm. Email: ngochuongdoan.6@gmail.com Câu 23. Có bao nhiêu giá trị m để phương trình 2 x x 1 2m (x 1)(2 x) 2 4 (x 1)(2 x) m3 có nghiệm duy nhất? A.1 B.2 C.3 D.0 Tác giả : Đoàn Thị Hường,Tên FB: Đoàn Thị Hường Lời giải. Chọn B 2 x x 1 2m (x 1)(2 x) 2 4 (x 1)(2 x) m3 (1)
20. Điều kiện cần: Ta có 2 x (3 x) 1; x 1 2 (3 x) nên nếu x0 là nghiệm của (1) thì 3 x0 cũng là nghiệm của (1). 3 Do đó để (1) có nghiệm duy nhất thì 3 x x x 0 0 0 2 m 0 3 1 1 3 3 Với x thay vào (1) ta có 2 m 2 4 m m m m 1 0 2 2 22 m 1 Điều kiện đủ: +) Với m = 0 có (1) trở thành 3 2 x x 1 2 4 (x 1)(2 x) 0 4 2 x 4 x 1 0 4 2 x 4 x 1 x 2 Vậy m = 0 thỏa mãn bài toán. +) Với m = 1 có (1) trở thành 2 x x 1 2 (x 1)(2 x) 2 4 (x 1)(2 x) 1 Dễ thấy phương trình này có ít nhất hai nghiệm x = 1; x = 2. Vậy m = 1 không thỏa mãn bài toán. +) Với m = - 1 có (1) trở thành 2 x x 1 2 (x 1)(2 x) 2 4 (x 1)(2 x) 1 2 2 2 x x 1 4 2 x 4 x 1 0 2 x x 1 3 x 4 4 2 x x 1 2 Vậy m = -1 thỏa mãn bài toán. Kết luận: Có hai giá trị m thỏa mãn bài toán. Hoàng Trọng Anh Email: DAnhDuoC@gmAil.Com Câu 24. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình: 4x 2 m.2x.sin x * có nghiệm duy nhất. Khẳng định nào sau đây đúng? 3 5 A. S  1;2 .B. S  ; .C. S  2;3. D. S  3;4. 2 2 Lời giải Tác giả: Vũ Danh Được,Tên FB: Danh Được Vũ Chọn C
21. Điều kiện Cần: Giả sử x0 là một nghiệm của phương trình * Khi đó 1 x0 cũng là một nghiệm của phương trình * 1 Để phương trình * có nghiệm duy nhất thì x 1 x x 0 0 0 2 Thay vào * ta được m 2 2 Điều kiện đủ: Thay m 2 2 vào phương trình * ta được: 2 4x 2 2 2.2x.sin x 2x 2 2.sin x 2x Ta có: VP 2 2 , dấu bằng khi sin x 1 2 2 2 1 VT 2 2x. 2 2 , dấu bằng xảy ra khi 2x 2x 2 2x 1 x x 2 2x 2 1 Do đó có nghiệm duy nhất x 2 Vậy m 2 2 thì phương trình * có nghiệm duy nhất. PT - Tham số - Đặt ẩn phụ – Phạm Đức Phương - Email: ducphuong2004@gmail.com Câu 25. Cho phương trình: x x2 m 2 x2 m x2 m x 2 x , với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. Tập hợp S có bao nhiêu số nguyên ? A.0.B. 1.C.2.D.3. Lời giải Chọn B Cách 1: (Khối 10) Đặt a x2 m , b x a,b 0 , phương trình đã cho trở thành: a3 a2 2a b3 b2 2b a b a2 ab b2 a2 b2 2 a b 0 a b a2 ab b2 a b 2 0 1 .
22. 1 Xét: a2 ab b2 a b 2 a2 2ab b2 a2 2a 1 b2 2b 1 2 2 1 2 2 2 a b a 1 b 1 2 0 2 * a b 0 x2 x m 0 2 . Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân biệt không âm. 1 4m 0 1 0 m . Kết luận: S có 1 số nguyên. m 0 4 Cách 2: (Khối 12) Phương trình đã cho tương đương: x2 m x2 m x2 m 2 x2 m x x x 2 x 1 . Đặt f t t3 t 2 2t , f ' t 3t 2 2t 2 0,t R . f t đồng biến trên R. 2 2 2 x x m 0 * 1 trở thành f x m f x x m x x 0 1 (*) có hai nghiệm phân biệt không âm khi và chỉ khi 0 m . 4 Email: truongthanhha9083@gmail.com Câu 26. Cho phương trình m 3 m 3( 3x 10 2x) 3x 10 2x . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm? A.10B.11 C.9D.12 Họ tên: Nguyễn Bá Trường,Tên FB: thanhphobuon Lời giải Chọn A Đặt a m 3( 3x 10 2x);b 3x 10 2x, a 0,b 0 .Điều kiện: 0 x 5 . m 3a b m 3a b2 Ta có: 2 m 3b a m 3b a 2 2 a b 3 a b b a a b a b 3 0 a b 3 0 (L) Với a b m 3b b m b2 3b f (b) (*)
23. b 3x 10 2x b2 x 10 2 3x(10 2x) 10 b 10 (1) 2 b 3x 10 2x b2 3x 2(5 x) 3 2 (x 5 x) 25 b 5 (2) Từ (1) và (2) suy ra b 10;5 f(b) b2 3b Xét hàm số trên đoạn 10;5 ta có Min f (b) f ( 10) 10 3 10, Max f (b) f (5) 10 10;5 10;5 Phương trình (*) có nghiệm khi Min f (b) m Max f (b) 10 3 10 m 10 mà m ¢ nên 10;5 10;5 có 10 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Email: DongtoAn.nq2012@gmAil.Com Face: Lê Anh Đông Sưu tầm và chế lại. Câu 27. Tìm những giá trị nguyên m thuộc  2019;2019 để phương trình 3m 1 x 6 x 9 m x 2 x 9 8 x 2 có hai nghiệm x1,x2 sao cho x1 10 x2 . A. 2009.B. 2006.C. 2007.D.2008. Giải: 3m 1 PT x 9 3 m x 9 1 x đặt t x 9,t 0 2 3m 1 PT trở thành : t 3 m t 1 t2 9 2t2 2 m 1 t m 13 0 (1) 2 Vì t x 9 t2 x 9 t2 9 x 2 2 Suy ra x1 t1 9; x2 t2 9 2 2 2 2 PT ban đầu có nghiệm x1 10 x2 t1 9 10 t2 9 t1 1 t2 ' 0 t1 1 t2 1 0 Vì t 0 , Nên ta có (1) có nghiệm 0 t1 1 t2 t1 t2 0 t1 .t2 0
24. 2 m 1 2 m 13 0 m2 25 0 m 13 m 1 1 0 13 m 0 2 m 13 . m 1 0 m 1 m 13 m 13 0 2 Vậy khi m 13 thì phương trình có nghiệm thỏa mãn. Đáp án: 2006 B Câu 28. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4x m 1 x 1 có hai nghiệm phân biệt? A. 3.B. 4 . C. 5. D. 6 . Lời giải Tác giả : Lê Thị Thu Hằng,Tên FB: Lê Hằng Chọn B 4x m 1 x 1 (1) x 1 2 4x m 1 x 2x 1 x 1 2 x 6x 2 m (2) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 1 Số nghiệm của phương trình (2) bằng số giao điểm của đường thẳng y m và parabol (P): y x2 6x 2 Bảng biến thiên: Vậy 7 m 3 mà m ¢ m 6; 5; 4; 3. Câu 29. Biết rằng tập hợp tất cả giá trị của tham số m để phương trình x 9 x x2 9x m có nghiệm là S a;b . Tính a b ?
25. 31 49 5 A. a b B. a b C. a b 10 D. a b 4 4 2 Lời giải Tác giả : Trần Quốc Đại,Tên FB: www.facebook.com/tqd1671987 Chọn A Điều kiện: 0 x 9 x 9 x 2 x(9 x) x2 9x m PT (1) 2 2 9 2 x 9x x 9x m (2) 2 9 Đặtt x 9x do 0 x 9 suy ra 0 t 2 Phương trình (2) trở thành 9 2t t 2 m t 2 2t 9 m (3) 9 Xét hàm số f (t) t2 2t 9 , 0 t 2 Bảng biến thiên : 9 Phương trình (1) có nghiệm x 0;9 phương trình (3) có nghiệm t 0; 2 9 9 31 m 10 suy ra S ;10 a b 4 4 4 Tác giả : Phùng Hằng,Tên FB: Phùng Hằng Email: phunghang10ph5s@gmail.com Câu 30. Biết rằng phương trình 2 x 2 x 4 x2 m có nghiệm khi m a;b, với a,b ¡ . Khi đó giá trị của T (a 2) 2 b là: A.T 3 2 2.B. T 6 . C.T 8.D. T 0 . Lời giải Chọn B Cách 1:
26. 2 Đặt 2 x 2 x t (1) t 2 2 x 2 x 2 2 2 2 x 2 x 2 x 2 4 x 2 x 4 2 4 x 4 Ta có: 2 2 x 2 x 12 12 2 x 2 x 8 2 2 t - 4 Þ 4£ t £ 8Þ 2£ t £ 2 2 (do t ³ 0 ). Vậy, t 2; 2 2 . Từ (1) Þ 4- x2 = 2 t 2 - 4 1 Phương trình 2 x 2 x 4 x2 m trở thành: t - = m Û - t 2 + t + 2 = m (*) 2 2 1 2 é ù æ 5ö Xét hàm số y = f (t)= - t + t + 2, t Î 2; 2 2 , đồ thị hàm số có đỉnh I ç1; ÷ 2 ëê ûú èç 2÷ø Bảng biến thiên: t 2 2 2 2 f (t) 2 2 2 a 2 2 2 Để phương trình (*) có nghiệm thì m 2 2 2;2 b 2 T (a 2) 2 b (2 2 2 2). 2 2 6 . Cách 2: Xét hàm số y 2 x 2 x 4 x2 trên  2;2, ta có: 1 1 x 2 x 2 x x y ' 2 x 2 x 4 x2 4 x2 2 x 2 x x y ' 0 0 2 x 2 x x 0, (x 2) 2 x 2 x x (1) 4 x2 Nếu x 0 thì 2 x 2 x 2 x 2 x 0 (1) vô nghiệm. Nếu x 0 thì 2 x 2 x 2 x 2 x 0 (1) vô nghiệm. Thay x 0 vào (1), ta thấy x 0 là nghiệm và đồng thời là nghiệm duy nhất của (1) Ta có bảng biến thiên như sau: x -2 0 2 f '(x) || - 0 + || 2 2
27. f (x) 2 2 2 2 Để phương trình 2 x 2 x 4 x m có nghiệm thì m 2 2 2;2 a 2 2 2 T (a 2) 2 b (2 2 2 2). 2 2 6 . b 2 Câu 31. Tập tất cả giá trị của m để phương trình x2 mx 1 m x 1 có nghiệm duy nhất là đoạn a;b . Tính a2 b2. A. P 1. B. P 4 . C. P 5. D. P 10. Lời giải Tác giả: Trần Quốc Thép,Tên FB: Thép Trần Quốc Chọn D Phương trình đã cho tương đương với x 1 x 1 m x 1 x 1 0 1 x 1 m 1 0 x m 2 TH1. x 1, 1 x 1 x 1 m 3 Phương trình (1) có nghiệm duy nhất m 3 m 2 1 TH2. x 1 1 x m Phương trình (1) vô nghiệm m 1 Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chi khi TH1 có nghiệm duy nhất, TH2 vô nghiệm hay 1 m 3 .