Bài tập Bất đẳng thức Lớp 10 - Mức độ 4 phần 5 (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập Bất đẳng thức Lớp 10 - Mức độ 4 phần 5 (Có đáp án)

1. Câu 1: Cho 3 số a, b, c dương. Câu nào sau đây sai? ab bc ca æa böæb c öæc aö A. + + ³ a + b + c . B. ç + ÷.ç + ÷.ç + ÷³ 8 . c a b èçb c÷øèçc aø÷èça bø÷ ac cb ba C. + + £ a + b + c . D. Có 1 câu sai trong 3 câu trên. b a c Lời giải. Chọn C Vì 3 số a, b, c dương nên: ac cb ba abc acb cba + + £ a + b + c Û + + £ a + b + c b a c b2 a2 c2 1 1 1 a + b + c 1 1 1 1 1 1 Û + + £ Û + + £ + + (1) b2 a2 c2 abc b2 a2 c2 ab bc ca Mặt khác: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: æ1 1 1 ö2 æ1 1 1 öæ1 1 1 ö ç + + ÷ £ ç + + ÷ç + + ÷ èçab bc caø÷ èça2 b2 c2 ø÷èçb2 c2 a2 ø÷ 1 1 1 1 1 1 Þ + + £ + + ab bc ca a2 b2 c2 Do đó: bất đẳng thức (1) sai. Câu 2: Cho 3 số a, b, c dương. Câu nào sau đây đúng. a b c 2a 2b 2c A. 3 . B. 1 . 1 . 1 8 2 . b c a b c a C. 5 a2 b2 3a 4b 5 a2 b2 . D. 2 câu B và C đúng. Lời giải. Chọn D A. Đúng vì a, b, c dương nên áp dụng BĐT Cô-si ta có: a b c a b c a b c 33 . . 3. Dấu "=" xảy ra khi: a b c. b c a b c a b c a 2a 2b 2c 2a 2b 2c B. Sai vì: 1 . 1 . 1 2 .2 .2 b c a b c a 2a 2b 2c 1 . 1 . 1 16 2 b c a C. Sai vì: 3a 4b 0 . Câu 3: Cho 3 số a, b, c bất kì. Chọn đáp án sai. 2 2 2 a b a b 2 A. . B. (a b) 4ab . 2 2 2 a b c a2 b2 c2 C. .D. Có 1 câu sai trong 3 câu trên. 3 3 Lời giải. Chọn D A. Đúng vì áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
2. 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b 1 1 a b . 2 2 B. Đúng vì: a b 2 0 a b 2 4ab. C. Đúng vì áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c 1 1 1 a b c . 3 3 Câu 4: Cho 3a 4b 15. Xét các câu sau đây? I. a2 b2 9. II. 9a2 4b2 45. III. a2 4b2 17. Câu nào đúng? A. Chỉ I.B. Có I, II và III C. Có I và III. D. Có I và II. Lời giải. Chọn B I. Đúng vì áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 3a 4b 2 32 42 a2 b2 a2 b2 9. II. Đúng vì áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 1.3a 2.2b 2 12 22 9a2 4b2 9a2 4b2 45. III. Đúng vì áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 2 2 15 3.a 2.2b 32 22 a2 4b2 a2 4b2 a2 4b2 17 . 13 Câu 5: Cho a, b dương thỏa mãn a + 4b = 4. Câu nào sau đây đúng? 16 64 A. ab £ 1.B. ab2 £ .C. a2b £ .D. Cả 3 đáp án trên. 27 27 Lời giải Chọn D Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương a và 4b ta có : a + 4b ³ 2 a.4b Û 4 ³ 4 ab ab £ 1. A đúng. æa + 2b + 2bö3 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương a , 2b và 2b ta có : a.2b.2b £ ç ÷ èç 3 ø÷ 3 2 æ4ö 2 16 Û 4ab £ ç ÷ Û ab £ . B đúng. èç3ø÷ 27 æa a ö3 ç + + 4b÷ a a a a ç ÷ ç2 2 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương , , 4b ta có: . .4b £ ç ÷ 2 2 2 2 ç 3 ÷ èç ø÷ 3 2 æ4ö 2 64 Û a b £ ç ÷ Û a b £ . C đúng. èç3ø÷ 27
3. Câu 6: Xét bất đẳng thức a + b £ a + b . Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi: A. a = b .B. ab 0 . x2 + 3 5 3 + 3 5 3 + 6 5 3 5 3 A. .B. . C. . D. . 3 6 3 6 Lời giải Chọn B x2 + 5x + 3 x x 1 2 3 + 5 6+ 5 3 Ta có y = 2 = 1+ 5. 2 £ 1+ 5. = 1+ 5. = = . x + 3 x + 3 2 x2.3 2 3 2 3 6 Câu 8: Cho 2 số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 P = xy + . xy 17 1 A. .B. 2 .C. 4 . D. . 4 2 Lời giải Chọn A æx + yö2 1 Ta có: xy £ ç ÷ Û xy £ èç 2 ø÷ 4 1 Đặt xy = t , điều kiện t £ 4 1 æ 1 ö 15 1 15 1 15 17 Khi đó P = t + = çt + ÷+ ³ 2 t. + .4 = + = . t èç 16t ÷ø 16t 16t 16 2 4 4 Câu 9: Cho a, b, c, d thỏa mãn a2 + d 2 = b2 + c2 = 4 . Câu nào sau đây đúng ? A. ac + bd £ - 4 . B. ac + bd ³ 4 . C. - 2 £ ac + bd £ 2 .D. - 4 £ ac + bd £ 4 . Lời giải Chọn D 2 Ta có (ac + bd) £ (a2 + d 2 )(c2 + b2 ) Û (ac + bd)2 £ 16 Û - 4 £ ac + bd £ 4 . Câu 10: Cho n số dương a1,a2 ,a3 , ,an thỏa mãn a1a2a3 an = 1. Câu nào sau đây đúng ? Cho biết 1.2.3 n = n! n- 1 2 n A. (1+ a1)(1+ a2 ) (1+ an ) ³ 2 . B. (1+ a1)(4+ a2 )(9+ a3 ) (n + an ) ³ 2 .n!. n C. (1+ a1)(1+ a2 ) (1+ an ) ³ 2 .D. Hai câu B và C. Lời giải Chọn D Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có :
4. 1+ a1 ³ 2 a1 1+ a2 ³ 2 a2 1+ an ³ 2 an n n Þ (1+ a1)(1+ a2 ) (1+ an ) ³ 2 a1a2a3 an = 2 (a1a2a3 an = 1) Vậy C đúng. Tương tự áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có : 1+ a1 ³ 2 a1 4+ a2 ³ 2.2 a2 9+ a2 ³ 2.3 a2 2 n + an ³ 2n an 2 n n Þ (1+ a1)(4+ a2 )(9+ a3 ) (n + an ) ³ 2 .1.2.3 n = 2 .n! Kết luận B và C đúng.