Bài tập Bất đẳng thức Lớp 10 - Mức độ 2 phần 5 (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập Bất đẳng thức Lớp 10 - Mức độ 2 phần 5 (Có đáp án)

1. Câu 1: Cho x, y là hai số bất kì thỏa mãn 2x y 5 ta có bất đẳng thức nào sau đây đúng: A. x2 y2 5. B. x – 2 2 0. C. x2 5 – 2x 2 5. D. Tất cả đều đúng. Lời giải Chọn D 2 Từ giả thiết ta có x2 y2 x2 5 2x 2 5x2 20x 25 5 x2 4x 4 5 5 x 2 5 Dễ thấy biểu thức trên lớn hơn hoặc bằng 5, và tất cả các đáp án A, B, C đều đúng nên chọn D. Câu 2: Cho a, b, c 0 và a b c 1 . Dùng bất đẳng thức Côsi ta chứng minh được 1 1 1 1 1 1 64 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào: a b c 1 A. a b c. B. a b c 1. C. a b c . D. a = 1,b = c = 0. 3 Lời giải Chọn C Cách 1: Thử chọn dễ thấy C là đáp án thỏa mãn. Cách 2: Giải chi tiết: 1 1 1 1 1 1 1 Xét VT 1 a b c ab bc ca abc Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương trên ta có 3 1 1 1 3 1 1 1 3 a b c 1 ; và abc 3 2 a b c abc ab bc ca 3 abc 3 27 Suy ra VT 1 9 27 27 64 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c . 3 Câu 3: đề nghị sửa thành dạng 1.1 Xét các bất đẳng thức: 2 a2 b2 2ab ; a b 2 a2 b2 a b 2 ab ; a 2 b2 c 2 ab bc ca Trong các bất đẳng thức trên, số bất đẳng thức đúng với mọi số thực a, b, c là: A. 1.B. 2.C. 3.D. 4. Lời giải Chọn C Ta có a2 b2 2ab a b 2 0 luôn đúng với mọi số thực a, b 2 2 Ta có a b 2 a2 b2 a b 0 luôn đúng với mọi số thực a, b Ta có a2 b2 c2 ab bc ca 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca a b 2 b c 2 c a 2 0 luôn đúng với mọi số thực a, b, c. Ta có a b 2 ab không đúng khi a, b âm Vậy có 3 bất đẳng thức đúng. 1 Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x với x 2 là: x 2
2. A. 1.B. 2.C. 3.D. 4. Lời giải Chọn D Ta có x 2 x 2 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 1 1 P x x 2 2 2 x 2 . 2 4 x 2 x 2 x 2 Vậy GTNN của P 4 1 Dấu bằng xảy ra khi x 2 x 3. x 2 Câu 5: Cho a b 0 . Xét các mệnh đề sau I : a3 b3 (a b)(a2 b2 ) . II : a(a2 3b2 ) b(b2 3a2 ) . III : a2 (a 3b) b2 (b 3a) . IV : a3 b3 b3 3a2b 3ab2 a3 0 . Số mệnh đề đúng là. A. 4 .B. 2 .C. 1.D. 3. Lời giải Chọn D A đúng vì BDT a b a2 ab b2 a b a2 b2 0 ab a b 0 B đúng vì BDT a3 3a2b 3ab2 b3 0 a b 3 0 C đúng vì BDT a3 3a2b 3ab2 b3 0 a b 3 0 . 3 D sai vì BDT a3 b3 b a 0. Câu 6: Cho 2 số a và b . Xét các mệnh đề sau đây. I :b(a b) a(a b) . II : 2(1 a)2 1 2a2 . 2 III : (1 a2 )(1 b2 ) (1 ab)2 . IV : a2 b2 4a2b2 Số mệnh đề đúng là. A. 1.B. 2 .C. 4 .D. 3. Lời giải Chọn D A đúng vì BDT a2 2ab b2 0 a b 2 0 B đúng vì BDT 4a2 2a 1 0 2a 1 2 0 C đúng vì BDT 1 a2 b2 a2b2 1 2ab a2b2 a2 2ab b2 0 a b 2 0 D sai vì BDT a2 b2 0 . Câu 7: Cho a, b, c với a b và a c . Câu nào sau đây đúng? b c a . a c b a . 2a 2 b2 c 2 . a b c a 0. 2 Số mệnh đề đúng là.
3. A. 1.B. 3.C. 4 .D. 2 . Lời giải Chọn D A đúng vì BDT 2a b c a b a c 0 B đúng vì BDT a b a c 0 C sai với a 1,b 2, c 3 . D sai vì a b và a c nên a b c a 0 Câu 8: Trong các hình chữ nhật có cùng chi vi thì A. Hình vuông có diện tích nhỏ nhất. B. Hình vuông có diện tích lớn nhất. C. Không xác định được hình có diện tích lớn nhất. D. Cả A, B, C đều sai. Lời giải Chọn B Ý nghĩa hình học của bất đẳng thức Cô si. Câu 9: Cho biểu thức P a a với a 0 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? 1 1 A.Giá trị nhỏ nhất của P là .B.Giá trị lớn nhất của P là . 4 4 1 1 C.Giá trị lớn nhất của P là .D. P đạt giá trị lớn nhất tại a . 2 4 Lời giải Chọn B 2 2 1 1 1 Ta có: P a a a a a . 4 2 4 2 Câu 10: Giá trị lớn nhất của hàm số f x bằng x2 5x 9 11 4 11 8 A. .B. .C. .D. . 4 11 8 11 Lời giải Chọn D 2 2 5 11 11 Ta có: x 5x 9 x ;x ¡ . 2 4 4 2 8 8 Suy ra: f x . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng . x2 5x 9 11 11 Câu 11: Cho f x x x2 . Kết luận nào sau đây là đúng? 1 1 A. f x có giá trị nhỏ nhất bằng .B. f x có giá trị lớn nhất bằng . 4 2 1 1 C. f x có giá trị nhỏ nhất bằng .D. f x có giá trị lớn nhất bằng . 4 4 Lời giải Chọn D 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 f x x x x x x và f . 4 4 4 2 4 2 4 Câu 12: Bất đẳng thức m n 2 4mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây?
4. A. n m 1 2 m n 1 2 0 .B. m2 n2 2mn . C. m n 2 m n 0 .D. m n 2 2mn . Lời giải Chọn B m n 2 4mn m2 2mn n2 4mn m2 n2 2mn . Câu 13: Với mọi a,b 0 , ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. a b 0 .B. a2 ab b2 0 .C. a2 ab b2 0.D. a b 0 . Lời giải Chọn C 2 2 2 2 2 2 2 b b 3b b 3b a ab b a 2a a 0;b 0 . 2 2 4 2 4 Câu 14: Với hai số x , y dương thoả thức xy 36 , bất đẳng nào sau đây đúng? A. x y 2 xy 12 .B. x y 2xy 72 . 2 2 2 x y C. 4xy x y . D. xy 36 . 2 Lời giải Chọn A Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y . Ta có: x y 2 xy 2 36 12 . Câu 15: Cho hai số x , y dương thoả x y 12 , bất đẳng thức nào sau đây đúng? 2 x y A. xy 6 .B. xy 36 . 2 C. 2xy x2 y2 . D. xy 6 . Lời giải Chọn A x y Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y . Ta có: xy 6 . 2 Câu 16: Cho x , y là hai số thực bất kỳ thỏavà xy 2 . Giá trị nhỏ nhất của A x2 y2 . A. 2 .B. 1.C. 0 .D. 4 . Lời giải Chọn D Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x2 và y2 . Ta có: 2 A x2 y2 2 x2 y2 2 xy 4 . Đẳng thức xảy ra x y 2 . Câu 17: Với a,b,c,d 0. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề sai? a a a c a a a c A. 1 .B. 1 . b b b c b b b c a c a a c c C. .D. Có ít nhất hai trong ba mệnh đề trên sai. b d b b d d Lời giải Chọn D a a c a b c Ta có: suy ra A, B đúng. b b c b b c 2 a2 b2 a b Câu 18: Hai số a,b thoả bất đẳng thức thì 2 2 A. a b .B. a b .C. a b . D. a b .
5. Lời giải Chọn C 2 2 2 a b a b 2 2 2a2 2b2 a b a b 0 a b . 2 2 a b Câu 19: Cho a,b 0 . Chứng minh 2 . Một học sinh làm như sau: b a a b a2 b2 I) 2 2 1 b a ab II) 1 a2 b2 2ab a2 b2 2ab 0 (a b)2 0 . 2 a b III) và a b 0 đúng a,b 0 nên 2 . b a Cách làm trên : A. Sai từ I). B. Sai từ II). C. Sai ở III).D. Cả I), II), III) đều đúng. Lời giải Chọn D a b a b c 1 1 1 9 Câu 20: Cho các bất đẳng thức: 2 I , 3 II , III (với b a b c a a b c a b c a,b,c 0 ). Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức trên là đúng? A. chỉ I đúng.B. chỉ II đúng. C. chỉ III đúng.D. I, II, III đều đúng. Lời giải Chọn D a b a b a b c a b c Ta có: 2 . 2 I đúng; 33 . . 3 II đúng; b a b a b c a b c a 1 1 1 1 33 1 1 1 1 1 1 9 a b c abc a b c 9 III đúng. a b c a b c a b c 3 a b c 3 abc Câu 21: Với m , n 0 , bất đẳng thức: mn m n m3 n3 tương đương với bất đẳng thức A. m n m2 n2 0 .B. m n m2 n2 mn 0 . C. m n m n 2 0 .D. Tất cả đều sai. Lời giải Chọn C mn m n m3 n3 m2n m3 mn2 n3 0 m2 m n n2 m n 0 m n 2 m n 0 . Câu 22: Cho x, y 0 . Tìm bất đẳng thức sai? 2 1 1 4 A. x y 4xy .B. . x y x y 1 4 2 2 2 C. 2 .D. x y 2 x y . xy x y Lời giải Chọn B 1 1 1 1 4 x y 4 đẳng thức xảy ra x y . x y x y x y
6. Câu 23: Cho x2 y2 1, gọi S x y . Khi đó ta có A. S 2 .B. S 2 .C. 2 S 2 .D. 1 S 1. Lời giải Chọn C Ta có: 1 x2 y2 2xy 2xy 1. 2 Mặt khác: S 2 x y x2 2xy y2 2 2 S 2 . Câu 24: Cho x, y là hai số thực thay đổi sao cho x y 2 . Gọi m x2 y2 . Khi đó ta có: A. giá trị nhỏ nhất của m là 2 . B.giá trị nhỏ nhất của m là 4 . C. giá trị lớn nhất của m là 2 .D.giá trị lớn nhất của m là 4 . Lời giải Chọn A Ta có: x y 2 y 2 x . 2 2 Do đó: m x2 y2 x2 2 x 2x2 4x 4 2 x 1 2 2;x ¡ . Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 2 . 2 2 2 x 1 x Câu 25: Với mỗi x 2 , trong các biểu thức: , , , , giá trị biểu thức nào là nhỏ nhất? x x 1 x 1 2 2 2 2 2 x A. .B. .C. .D. . x x 1 x 1 2 Lời giải Chọn B 2 2 2 x x 1 Ta có: và . x 1 x x 1 2 2 x 2 x2 x 4 x 2 x 2 x x 2 Mặt khác: 0;x 2 . 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 x 2 Câu 26: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x với x 1 là 2 x 1 5 A. 2 .B. .C. 2 2 .D. 3. 2 Lời giải Chọn B x 2 x 1 2 1 x 1 2 1 5 Ta có: f x 2 . . 2 x 1 2 x 1 2 2 x 1 2 2 5 Vậy hàm số f x có giá trị nhỏ nhất bằng . 2 1 Câu 27: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 2x với x 0 là x 1 A. 2 .B. .C. 2 .D. 2 2 . 2 Lời giải Chọn D 1 1 Ta có: f x 2x 2 2x. 2 2 . x x Vậy hàm số f x có giá trị nhỏ nhất bằng 2 2 . Câu 28: Xét các mệnh đề sau đây: I. a2 b2 2ab II. ab(a b) a3 b3 III. ab 4 4 ab
7. Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I.B. Chỉ II.C. I và III. D. I, II và III. Lời giải Chọn A 2 I đúng vì BDT a b 0 II, III sai với a 0,b 1 . Câu 29: Xét các mệnh đề sau a2 1 ab 1 a2 1 1 2 ab . . . 1 . a4 1 2 ab 1 2 a2 2 2 a b Số mệnh đề đúng là . A. 1.B. 3. C. 4 .D. 2 . Lời giải Chọn D 2 A đúng vì BDT 2a2 a4 1 a2 1 0 B sai với a 1,b 2 a2 1 1 2 C đúng vì a2 2 2 a2 1 a2 1 1 0 . a2 2 2 D sai với a 1;b 1 Câu 30: Cho a, b, c dương. Bất đẳng thức nào đúng? a b c a b c A. 1 1 1 8 .B. 1 1 1 3 . b c a c a b b c a C. 1 1 1 3 .D. a b b c c a 6abc . c a b Lời giải Chọn A a a b b c c Với a,b, c dương thì 1 2 ,1 2 và 1 2 , nhân vế theo vế ta chọn A b b c c a a Câu 31: Cho x2 y2 4 . Câu nào sau đây sai ? A. | 3x 4y | 10 .B. | 3x 4 y | 5 . C. | 3x 4 y | 25 .D. | 3x 4 y | 20 . Lời giải Chọn B Với mọi x, y thì 3x 4y 32 42 x2 y2 10 nên B sai. Câu 32: Cho bốn số a, b, x, y thỏa mãn a2 b2 x2 y2 1. Tìm bất đẳng thức đúng. I :| ax by | 1. II :| a(x y) b(x y) | 2 . III :| a(x y) b(x y) | 2 . IV :| ay bx | 1. Số mệnh đề đúng là . A. 1.B. 2 .C. 3.D. 4 .
8. Lời giải Chọn D A đúng vì ax by a2 b2 x2 y2 1. B đúng vì a x y b x y a2 b2 x y 2 x y 2 2 a2 b2 x2 y2 2 . Tương tự C, D đúng. Câu 33: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x2 5x 6 trên đoạn2;3 . 5 1 1 A. .B. .C. 1.D. . 2 4 2 Lời giải Chọn D 2 1 5 1 1 5 Ta có: y x ,x 2;3 và y x . 4 2 4 4 2 Câu 34: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x6 8x3 trên đoạn0;2 . A. 8 B. 16 .C. 4 .D. 3 4 . Lời giải Chọn B 2 Ta có: y 16 x3 4 16,x 0;2 và y 16 x 3 4 0;2 . Câu 35: Trong các số 3 2 , 15 , 2 3 , 4 A. số nhỏ nhất là 15 , số lớn nhất là 2 3 . B. số nhỏ nhất là 2 3 , số lớn nhất là 4 . C. số nhỏ nhất là 15 , số lớn nhất là 3 2 . D. số nhỏ nhất là 2 3 , số lớn nhất là 3 2 . Lời giải Chọn D Dùng máy tính cầm tay kiểm tra ta được 2 3 15 4 3 2 . Câu 36: Cho hai số thực a,b sao cho a b . Bất đẳng thức nào sau đây không đúng? A. a4 b4 .B. 2a 1 2b 1.C. b a 0.D. a 2 b 2. Lời giải Chọn A 4 4 a b a 4 b4 không đúng. Ví dụ a 3;b 4; a b nhưng a4 3 4 b4 . Câu 37: Nếu 0 a 1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? 1 1 A. a .B. a .C. a a . D. a3 a2 . a a Lời giải Chọn A 1 1 Lấy ví dụ cụ thể với a ta sẽ thấy được chỉ có kết quả a là đúng. 4 a Câu 38: Nếu a b a và b a b thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. ab 0 .B. b a . C. a b 0.D. a 0 và b 0 . Lời giải
9. Chọn A a b a b 0; b a b a 0 a 0 Suy ra ab 0 . Câu 39: Cho a,b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Mệnh đề nào sau đây không đúng? 2 2 2 2 2 2 2 2 A. a ab ac . B. ab bc b . C. b c a 2bc .D. b c a 2bc . Lời giải Chọn D b2 c2 a2 2bc b2 c2 2bc a2 b c 2 a2 b c a 0 a c b (Vô lý). Câu 40: Cho f x x x2 . Kết luận nào sau đây là đúng? 1 1 A. f (x) có giá trị nhỏ nhất bằng .B. f (x) có giá trị lớn nhất bằng . 4 2 1 1 C. f (x) có giá trị nhỏ nhất bằng .D. f (x) có giá trị lớn nhất bằng . 4 4 Lời giải Chọn D 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Ta có: f x x x x 2.x. x . 2 4 4 2 4 4 1 Đẳng thức xảy ra khi x . 2 1 Vậy, f (x) có giá trị lớn nhất bằng . 4 1 Câu 41: Cho hàm số f x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? x2 1 A. f (x) có giá trị nhỏ nhất là 0 , giá trị lớn nhất bằng 1. B. f (x) không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1. C. f (x) có giá trị nhỏ nhất là 1, giá trị lớn nhất bằng 2 . D. f (x) không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. Lời giải Chọn B Ta có: f x 0 nên không có giá trị nhỏ nhất. 1 Ta có: x2 1 1 1. Đẳng thức xảy ra khi x 0 . x2 1 Vậy, f (x) không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1. x y 1 Câu 42: Với giá trị nào của a thì hệ phương trình có nghiệm (x; y) với x.y lớn nhất x y 2a 1 1 1 1 A. a .B. a .C. a . D. a 1. 4 2 2 Lời giải Chọn B Hệ phương trình có nghiệm x a , y 1 a
10. 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Ta có: xy a 1 a a a a 2a. a 2 4 4 2 4 4 1 Đẳng thức xảy ra khi a . 2 1 Vậy xy lớn nhất khi a . 2 Câu 43: Cho biết hai số a và b có tổng bằng 3 . Khi đó, tích hai số a và b 9 9 A. có giá trị nhỏ nhất là .B. có giá trị lớn nhất là . 4 4 3 C. có giá trị lớn nhất là .D. không có giá trị lớn nhất. 2 Lời giải Chọn B 2 2 2 2 3 9 9 3 9 9 Ta có: ab a 3 a a 3a a 3a a 2a. a 2 4 4 2 4 4 3 Đẳng thức xảy ra khi a . 2 9 Vậy, ab có giá trị lớn nhất là . 4 Câu 44: Cho a b 2. Khi đó, tích hai số a và b A. có giá trị nhỏ nhất là 1 .B. có giá trị lớn nhất là 1 . C. có giá trị nhỏ nhất khi a b .D. không có giá trị nhỏ nhất. Lời giải Chọn A Ta có: ab a a 2 a2 2a a 1 2 1 1 Đẳng thức xảy ra khi a 1 Vậy, ab đạt giá trị nhỏ nhất là 1 . 2 2 2 x 1 x Câu 45: Với mỗi x 2, trong các biểu thức: , , , , giá trị biểu thức nào là nhỏ nhất? x x 1 x 1 2 2 2 2 2 x A. .B. .C. .D. . x x 1 x 1 2 Lời giải Chọn B 2 2 2 2 x 1 3 x Nếu x 2 thì 1, , 2 , , 1. x x 1 3 x 1 2 2 2 2 Vậy giá trị của biểu thức là nhỏ nhất. x 1 Câu 46: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 3x với x ¡ là: 3 9 27 81 A. .B. .C. .D. . 2 4 4 8 Lời giải Chọn B
11. 2 2 2 3 9 9 3 9 9 Ta có: x 3x x 2.x. x 2 4 4 2 4 4 3 Đẳng thức xảy ra khi x 2 9 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là . 4 Câu 47: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 3 x với x ¡ là: 9 3 3 A. .B. .C. 0 .D. . 4 2 2 Lời giải Chọn C Ta có: x2 3 x 0 Đẳng thức xảy ra khi x 0 . 2 Câu 48: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 6 x với x ¡ là: A. 9.B. 6.C. 0 .D. 3 . Lời giải Chọn A 2 Ta có : A x2 6 x x 2 6 x x 2 6 x 9 9 x 3 9 9 Amin 9 khi x 3 0 x 3 . Câu 49: Cho biểu thức P a a với a 0 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? 1 1 A. Giá trị lớn nhất của P là .B. Giá trị nhỏ nhất của P là . 4 4 1 1 C. Giá trị lớn nhất của P là .D. P đạt giá trị nhỏ nhất tại a . 2 4 Lời giải Chọn A 2 1 1 1 1 1 Ta có : P a a a a a a a 4 4 4 2 4 1 1 1 P khi a 0 a . max 4 2 4 2 Câu 50: Giá trị lớn nhất của hàm số f x bằng x2 5x 9 11 4 11 8 A. .B. .C. .D. . 4 11 8 11 Lời giải Chọn D 2 Ta có : f x f x đạt giá trị lớn nhất khi A x 2 5x 9 đạt giá trị nhỏ nhất. x2 5x 9
12. 2 2 2 25 11 5 11 11 11 5 A x 5x 9 x 5x x Amin khi x 4 4 2 4 4 4 2 8 5 Vậy f x đạt giá trị lớn nhất là khi x . 11 2 Câu 51: Cho biểu thức f x 1 x2 . Kết luận nào sau đây đúng? A. Hàm số f (x) chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất. B. Hàm số f (x) chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất. C. Hàm số f (x) có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. D. Hàm số f (x) không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất. Lời giải Chọn C TXĐ : D  1;1 2 x D 0 1 x 1 ymin 0; ymax 1. Vậy hàm số có GTLN và GTNN. 2a Câu 52: Cho a là số thực bất kì, P . Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi a? a2 1 A. P 1 . B. P 1 . C. P 1 .D. P 1 . Lời giải Chọn D 2 2a 2a a2 1 a 1 Cách 1. Xét P 1 1 0 P 1. a2 1 a2 1 a2 1 Vậy, chọn đáp án D. Cách 2. Khi a 1 P 1 loại đáp án A, B và C. Câu 53: Cho Q a2 b2 c2 ab bc ca với a,b, c là ba số thực. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Q 0 chỉ đúng khi a,b, c là những số dương. B. Q 0 chỉ đúng khi a,b, c là những số không âm. C. Q 0. với a,b, c là những số bất kì. D. Q 0 với a,b, c là những số bất kì. Lời giải Chọn D 2Q 2 a2 b2 c2 ab bc ca a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ca a2 2 2 2 a b b c c a 0 a,b,c ¡ Q 0 a,b,c ¡ Vậy, chọn đáp án D. Câu 54: Số nguyên a lớn nhất sao cho a 200 3300 là:
13. A. 3 .B. 4 .C. 5 .D. 6 . Lời giải Chọn C 100 100 Ta có : a200 3300 a2 33 a2 33 a2 27 a 5 . Câu 55: Cho hai số thực a , b tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là đúng? a a A. ab a . b .B. với b 0 . b b C. Nếu a b thì a2 b2 .D. a b a b . Lời giải Chọn C +Ta có a b a2 b2 , a,b hay ta có C đúng. + Chọn a 2, b 1 thay vào các phương án chỉ có phương án C đúng. Câu 56: Cho hai số thực a , b tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. a b a b .B. a b a b .C. a b a b .D. a b a b . Lời giải Chọn A + Với mọi số thực a , b ta có a b a b a b hay ta có A đúng. + Chọn a 3, b 2 ta có B, D sai chỉ có A, C đúng. Chọn a 3, b 2 thay vào A, C chỉ có A đúng. Câu 57: Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực x ? A. x x .B. x x .C. x 2 x2 .D. x x . Lời giải Chọn D Chọn x 0 thay vào các phương án ta có D đúng. Câu 58: Nếu a , b là những số thực và a b thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? 1 1 A. a2 b2 .B. với ab 0. a b C. b a b.D. a b . Lời giải Chọn A +Ta có a b a2 b2 , a,b hay ta có A đúng. 1 + Chọn a , b 4 ta có B, C, D sai chỉ có A đúng. 2 Câu 59: Cho a 0. Nếu x a thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? 1 1 A. x a .B. x x .C. x a .D. . x a Lời giải Chọn B + Ta có x x,x vậy B đúng. + Chọn x 4, a 3 ta có A, C, D đều sai, Vậy chọn.A.
14. Câu 60: Nếu x a , với a 0 thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? 1 1 A. x a . B. .C. x a .D. x a . x a Lời giải Chọn D Chọn x 1, a 2 thay vào ta có A, B, C đều sai chọn.D. Câu 61: Cho a 1, b 1. Bất đẳng thức nào sau đây Sai? A. a 2 a 1 .B. ab 2a b 1 .C. ab 2b a 1 . D. 2 b 1 b . Lời giải Chọn C Chọn a 1, b 1 thay vào ta có A, B, D đúng chỉ C sai. 2 Câu 62: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) x với x 0 là x 1 A. 4 .B. .C. 2 .D. 2 2 . 2 Lời giải Chọn D 2 Vì x 0 nên ta có 0 . x 2 2 2 Áp dụng BĐT Cô-Si cho hai số x và ta có x 2 x. 2 2 . Dấu " " xảy ra khi và x x x 2 chỉ khi x x 2, x 0 . x Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2 2 khi x 2 . 3 Câu 63: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 2x với x 0 là x A. 4 3 .B. 6 .C. 2 3 .D. 2 6 . Lời giải Chọn D 3 Vì x 0 nên ta có 2x 0 và 0 . x 3 3 3 Áp dụng BĐT Cô-Si cho hai số 2x và ta có 2x 2 2x. 2 6 . Dấu " " xảy ra khi x x x 3 3 và chỉ khi 2x x , x 0 . x 2 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2 6 khi x . 2 x 2 Câu 64: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) với x 1 là 2 x 1 5 A. 2 .B. . C. 2 2 .D. 3 . 2 Lời giải Chọn B
15. x 2 x 1 2 1 x 1 2 1 5 Ta có f x 2 . . 2 x 1 2 x 1 2 2 x 1 2 2 x 1 2 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x 3, x 1 . 2 x 1 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là khi x 3. 2 x 2 Câu 65: Cho x 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) bằng x 1 2 2 1 A. .B. .C. .D. . 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn A Cách 1: Với x 2 y 0 . x 2 Ta có y y2.x2 x 2 0 , x Nếu y 0 x 2 . Nếu y 0 khi đó hàm số đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất khi có nghiệm 1 1 Vậy ta có 0 1 8y2 0 y . 2 2 2 2 2 x 4 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x 8x 16 0 . x 1, ktm 1 Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất y khi x 4. 2 2 Cách 2: (Sử dụng kiến thức 12). x 4 Ta có y ; y 0 x 4 . 2x2 x 2 1 Lập BBT và dựa vào BBT ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất y khi x 4. 2 2 1 Câu 66: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 2x với x 0 là x 1 A. 2 .B. .C. 2 .D. 2 2 . 2 Lời giải Chọn D 1 1 Ta có f x 2x 2 2x. 2 2 . x x 1 2 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 2x x , x 0 . x 2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2 2 khi x . 2
16. 1 Câu 67: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 2x với x 0 là x2 A. 1.B. 2 .C. 3 .D. 2 2 . Lời giải Chọn C 1 1 1 1 Ta có f x 2x x x 33 x.x. 3 . Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x x x2 x2 x2 x2 x 2 1 x 1 do x 0 . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3 khi x 1. Câu 68: Cho a , b , c , d là các số dương. Mệnh đề nào sau đây là đúng? a c a b c d a c a b c d A. Nếu thì .B. Nếu thì . b d a c b d b d C. a b c ab bc ca .D. 2 ab( a b) 2ab a b . Lời giải Chọn A a c b d b d b a d c a b c d Ta có 1 1 . b d a c a c a a c c a c a c a b c d a b c d Ta có . b d b b d d b d Ta có a b 2 ab , b c 2 bc , c a 2 ca . Cộng vế theo vế ta có a b c ab bc ca Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b c. Ta có a ab 2a b ;b ab 2b a . Cộng vế theo vế ta có a b 2ab 2 ab a b , Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b 1. Câu 69: Chọn mệnh đề đúng. A. Giá trị lớn nhất của hàm số y x 1 3 x với 1 x 3 là 2 khi x 2 B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 1 3 x với 1 x 3 là 2 khi x 2 17 5 C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2x2 5x 1 là khi x 8 4 17 5 D. Giá trị lớn nhất của hàm số y 2x2 5x 1 là khi x 8 4 Lời giải Chọn A Với 1 x 3 thì ta có y 0 1 . 2 2 2 2 2 1 Khi đó ta có y x 1 3 x x 1 3 x 1 1 4 . Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x 1 3 x x 2 . Hay ta có y2 4 2 y 2 2 . Từ 1 và 2 ta có 0 y 2 .
17. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là y 2 khi x 2. Câu C,D sai vì: 2 2 5 17 17 Ta có y 2x 5x 1 2 x . 4 8 8 17 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là y khi x . 8 4 Câu 70: Cho a 2 b2 c 2 1. Hãy chọn mệnh đề đúng. 1 A. ab bc ca 0 .B. ab bc ca . 2 C. ab bc ca 1.D. ab bc ca 1. Lời giải Chọn B + Ta có a 2 b 2 2ab ; b 2 c 2 2bc ; c 2 a 2 2ac . Cộng vế theo vế ta có 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca ab bc ca 1. 2 1 + Ta có a b c 0 a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 ab bc ca . 2 Bài 2: Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn. Câu 71: Nếu a b và c d. thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. ac bd .B. a c b d .C. a d b c .D. ac bd . Lời giải Chọn C Có c d c d Lại có a b Cộng vế theo vế ta có: a d b c . Câu 72: Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a? A. 6a 3a .B. 3a 6a .C. 6 3a 3 6a .D. 6 a 3 a . Lời giải Chọn D a 0:6a 3a loại A a 0:3a 6a loại B 6 3a 3 6a 3a 3 a 1 loại C 6 a 3 a 6 3 (luôn đúng). Câu 73: Nếu a,b,c là các số bất kì và a b thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. 3a 2c 3b 2c .B. a2 b2 .C. ac bc . D. ac bc. Lời giải Chọn A a b 3a 3b 3a 2c 3b 2c (luôn đúng) a b 0 a2 b2 loại B a b;c 0 ac bc loại C a b;c 0 ac bc loại D. Câu 74: Nếu a b 0 , c d 0 thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng? A. ac bc .B. a c b d .C. a2 b2 .D. ac bd . Lời giải
18. Chọn B A, C, D luôn đúng. Câu 75: Nếu a b 0 , c d 0. thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng? a b a d A. a c b d .B. ac bd .C. . D. . c d b c Lời giải Chọn C A, B luôn đúng. ac bd ac bd a d Ta có: D đúng. bc 0 bc bc b c Câu 76: Nếu a 2c b 2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? 1 1 A. 3a 3b .B. a2 b2 .C. 2a 2b.D. . a b Lời giải Chọn C a 2c b 2c a b 2a 2b (luôn đúng). Câu 77: Nếu 2a 2b và 3b 3c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. a c .B. a c . C. 3a 3c.D. a 2 c 2 . Lời giải Chọn B 2a 2b a b   a c . 3b 3c b c Câu 78: Với số thực a bất kì, biểu thức nào sau đây có thể nhận giá trị âm? A. a 2 2a 1 .B. a2 a 1.C. a 2 2a 1 .D. a 2 2a 1 . Lời giải Chọn D a 2 2a 1 có ' 0 a2 2a 1 0 a R loại A a2 a 1 có ' 3 0 a2 a 1 0 a R loại B a 2 2a 1 có ' 0 a2 2a 1 0 a R loại C 2 ' 2 a 2a 1 có 2 0 a 2a 1 0 a a1;a2 (với a1;a2 là nghiệm của phương trình). Câu 79: Với số thực a bất kì, biểu thức nào sau đây luôn luôn dương. A. a 2 2a 1 .B. a2 a 1.C. a 2 2a 1 .D. a 2 2a 1 . Lời giải Chọn B Giải thích thương tự như câu 12 a2 a 1 có 3 0 a2 a 1 0 a R .